Profesor: Sergio Pizarro Rojas

sergio.pizarro@usm.cl

Lógica Matemática

Introducción :

El punto de partida de toda estructura matemática supone la necesidad de razonar en

forma válida acerca de casos trascendentes. Esto implica que ha de existir absoluta claridad

y distinción en todo lo concerniente al razonamiento deductivo válido, esto es : significado

de los términos usuales, uso de proposiciones, definiciones, teoremas, etc. Todo ello obliga

a una gran simplificación y a la introducción de un simbolismo adecuado e inequívoco, que

permita razonar válidamente mediante reglas fijadas con claridad, aunque sean arbitrarias.

Para esto, en esta sección se desarrollará el uso de los elementos más usuales en

Lógica Matemática basado en el concepto de “proposición”, tomando como base las

siguientes oraciones:

1.- ¿Quién viene?

2.- Pase al frente

3.- El aire es pesado

4.- 3 es un número par

5.- Juan conoce a Pedro

6.- Pedro es conocido por Juan

Como se puede observar, en estas seis oraciones diferentes aparece una pregunta,

una orden y cuatro oraciones declarativas,(aunque realmente son tres, ya que la 5 y 6

corresponden a la misma expresión).

De las dos primeras no se puede decir que sean verdaderas o falsas; en cambio en

las cuatro siguientes, tiene sentido decir si son verdaderas (V) o falsas (F). A estas se les da

el nombre de “proposiciones”.

“Una proposición es una oración declarativa, es decir, susceptible de ser verdadera o

falsa”.

La verdad o falsedad de una proposición corresponde a su “valor de verdad”.

Las proposiciones se habitualmente se simbolizan con las letras minúsculas p, q, r,

etc.

Algunas proposiciones se pueden componer de dos o más proposiciones simples, lo

que obviamente constituye un “proposición compuesta”. Los elementos que relacionan

una proposición con otra para formar proposiciones compuestas son llamados “conectivos

lógicos” y sus características se presentan en el siguiente cuadro :

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Símbolo Operación asociada Significado

⋀ Conjunción o producto lógico “y”, “pero”, “sin embargo”, “aunque”

⋁ Disyunción o suma lógica “o” ( en sentido incluyente )

⊻ Diferencia simétrica “o” ( en sentido excluyente )

∼ Negación “no”, “no es cierto que”, “es falso que”

⇒ Implicación material “implica”, “si…entonces..”, “luego”

⇔ Equivalencia “es equivalente a”, “…si y sólo si…”

Definiciones

1° Conjunción de las proposiciones p y q, es la proposición compuesta “p ⋀ q”

que se obtiene uniéndolas, en el orden dado, mediante el conectivo “y”.

Esta definición se completa con un cuadro de valores llamado “tabla de verdad”,

donde se establece el valor de verdad de la proposición compuesta en función del valor de

verdad de las proposiciones simples.

Ejemplo:

Dadas las proposiciones simples .

p : “Juan canta”

q : “Juan baila”

La conjunción de ambas es :

p ⋀ q : “Juan canta y baila”

Considerando el razonamiento lógico se deduce que p ⋀ q es verdadera sólo cuando ambas

proposiciones son verdaderas. Luego su tabla de verdad es:

p q p ⋀ q

V V V

V F F

F V F

F F F

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2 ° Disyunción de las proposiciones p y q, es la proposición compuesta p ⋁ q,

que se obtiene uniéndolas en el orden dado, mediante el conectivo “o” en sentido

incluyente.

Ejemplo:

Dadas las proposiciones :

p : “Juan canta”

q : “Juan baila”

La disyunción de ambas es .

p ⋁ q : “Juan canta o baila”

El sentido lógico establece que p ⋁ q, es verdadera cuando por lo menos una de las

proposiciones es verdadera.

Su tabla de verdad es:

p q p ⋁ q

V V V

V F V

F V V

F F F

El conectivo “o” en sentido excluyente establece que si uno de los sucesos se realiza el

otro queda excluído.

Ejemplo:

“Juan esta tarde a las 6 PM va al cine o al circo”

indica un “o” excluyente, ya que sólo puede ocurrir uno de los dos eventos.

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3° Negación de una proposición “p” es la proposición “∼ p” ( no p), obtenida

anteponiendo el adverbio “no” a la primera.

Tabla de verdad

p ∼ p

V F

F V

4° Implicación de las proposiciones p y q es la proposición compuesta “p ⇒ q”,

anteponiendo a la primera proposición la palabra “Si”, y uniendo ambas mediante la

palabra “entonces”.

En este caso las proposiciones p y q reciben el nombre de antecedente y consecuente

respectivamente.

Ejemplo:

Dadas las proposiciones :

p : “a y b son números pares”

q : “la suma entre a y b es un número par”

La implicación entre ambas es :

p ⇒ q : “Si a y b son números pares, entonces la suma entre a y b es un número par”

Analizando la proposición se deduce que lo único ilógico, o sea falso, se presenta cuando la

primera proposición (p) es verdadera y la segunda (q) es falsa.

Simbólicamente : ( p ⋀ ∼q ) es F

En consecuencia: ∼ ( p ⋀ ∼q ) es V

Considerando este análisis son equivalentes las proposiciones :

p ⇒ q y ∼ ( p ⋀ ∼q )

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Luego la tabla de verdad correspondiente para esta proposición, tiene la siguiente

estructura:

p q ∼q p ⋀ ∼q ∼ (p ⋀ ∼q) p ⇒ q

V V F F V V

V F V V F F

F V F F V V

F F V F V V

En resumen:

p q p ⇒ q

V V V

V F F

F V V

F F V

5° Equivalencia de las proposiciones p y q, es la proposición compuesta “ p ⇔ q”,

obtenida uniéndolas mediante el conectivo “equivalente”, que corresponde a la doble

implicación o bicondicional [ (p ⇒ q) ⋀ (q ⇒ p) ].

Luego su tabla de verdad tiene la siguiente estructura :

p q p ⇒ q q ⇒ p (p ⇒ q) ⋀ (q ⇒ p) p ⇔ q

V V V V V V

V F F V F F

F V V F F F

F F V V V V

En resumen :

p q p ⇔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Luego, el bicondicional es verdadero sólo cuando las dos proposiciones simples tienen el

mismo valor de verdad

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Tautologías, contradicciones y contingencias

a) Tautología es una proposición compuesta que siempre es verdadera (V)

cualquiera que sea el valor de verdad de sus componentes.

b) Contradicción es una proposición compuesta que siempre es falsa (F)

cualquiera que sea el valor de verdad de las componentes.

c) Contingencia es una proposición compuesta que en algunos casos es verdadera

y en otros es falsa.

Cuantificadores

Toda proposición singular asigna a un sujeto particular una propiedad determinada.

Si esta propiedad se aplica a un grupo de sujetos se obtiene una función proposicional P(x),

donde x es el sujeto en particular.

A partir de una función proposicional es posible obtener proposiciones generales,

aplicando el concepto de cuantificador.

a) Ejemplo 1: sea la función proposicional

P(x) : “x es mortal”

Si se considera el conjunto de posibles sujetos, el formado por los seres humanos, ocurre

entonces que las proposiciones particulares que pueden obtenerse, son todas verdaderas.

Luego se puede decir que :

“Para todo x, x es mortal”

O bien :

“Para todo x, se verifica P(x)”

Para esto se utiliza la notación :

∀x : P(x) “para todo x” se cumple P(x)

b) Ejemplo 2 : sea la función proposicional

P(x) : “algunas personas son virtuosas”

En este caso P(x) se convierte en proposición verdadera (V) para algunos sujetos y falso (F)

para los restantes. Luego se puede decir que:

“Existe algún x, tal que se verifica P(x)”

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Lo que se simboliza mediante la expresión:

∃ x / P(x) “existe algún x” tal que P(x)

Los símbolos ∀x y ∃x reciben el nombre de cuantificador Universal y Existencial

respectivamente, y sus definiciones son :

a) Una función proposicional cuantificada “universalmente” es V si y sólo si son

V todas las proposiciones particulares obtenidas al sustituir la variable por

sujetos del conjunto considerado.

b) Una función proposicional es “existencial”, si y sólo si alguna proposición

particular es V.

Negación de los cuantificadores

a) La negación del cuantificador universal afirmativo :

“Todos los hombres son mortales”

Es la proposición existencial :

“Algún hombre no es mortal”

Que se expresa en símbolos, como :

∃ x / ∼P (x)

Por lo tanto: ∼ [∀x : P(x)] ⇔ ∃x / ∼ P(x)

La negación del cuantificador existencial :

“algunas personas son virtuosas”

Es la proposición universal ;

“ninguna persona es virtuosa”

Que se expresa en símbolos, como :

∀x : ∼ P(x)

Por lo tanto :

∼ [∃x / P(x) ] ⇔∀x : ∼P(x)

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Ejercicios :

1.- Dadas las proposiciones :

p : Jorge Eduardo ingresa a la Universidad

q : Jorge Eduardo estudia Ingeniería

r : Jorge Eduardo estudia Medicina

s : Jorge Eduardo estudia Arquitectura

a) Simbolizar mediante los conectivos lógicos, las siguientes proposiciones :

I Jorge Eduardo ingresa a la Universidad, si y sólo si estudia Ingeniería o Medicina

II Jorge Eduardo no estudia Medicina ni Arquitectura, pero ingresa a la Universidad

III No es cierto que, Jorge Eduardo estudia Medicina pero no Ingeniería, si ingresa a la

Universidad

b) Traducir a lenguaje común las siguientes proposiciones :

IV p ⇒ ( q ⋀ ∼ r )

V ∼ s ⇒ ( ∼ p )

2.- Determinar si las siguientes proposiciones son tautologías, contradicciones o

contingencias :

a) p ⇒ (∼ p v q )

b) ( p ⋀ ∼ q ) ⇔ [ ∼ ( p v q ) ⇒ ∼ p ]

c) [ ( p ⇒ ∼ q ) ⋀ ∼ ( q v r ) ] ⇔ ∼ r

d) [ ( p ⇒ q ) ⇒ r ] ⇔ ∼ [ ( p v ∼ q ) ⋀ ∼ r ]

3.- Determine el valor de verdad de las proposiciones :

a) p ⇒ ( ∼ p v ∼ q )

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b) ( p ⋀ q ) ⇔ [ ∼ ( p v ∼ q ) ⇒ p ]

c) [ ( ∼ p ⇒ ∼ q ) ⋀ ∼ ( q ⋁ r ) ] ⇔ r

d) [ ( p ⇒ q ) ⇒ ∼ r ] ⇔ [ ( p ⋁ ∼ q ) ⋀ ∼ r ]

considerando que : p es V, q es F, r es V

4.- Traducir las proposiciones siguientes usando cuantificadores :

a) Existe al menos un número primo que es par

b) Ningún número impar es múltiplo de 2

c) Algunos hombres son morenos

d) Todo número par sumado con 1, es número impar

5.- Traducir a lenguaje común

a) ∃ x ϵ R+, x < 7

b) ∀ x ϵ R+, x ≥ 7

6.- Niegue las siguientes proposiciones y luego simbolice :

a) Todo número natural es par

b) Hay algún número natural que no es impar

7.- Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones .

a) ∀ x ϵ R, ( x2 ≥ x )

b) ∀ x ϵ R ,

8.- Sabiendo que la proposición siguiente es verdadera ( V ), determinar el valor de

verdad de p , q y r :

∼ [ ( ∼ p ⋁ q ) ⋁ ( r ⇒ q ) ] ⋀ [ ( ∼ p ⋁ q ) ⇒ ( q ⋀ ∼ p) ]