ACTUALIZACIN DOCENTE 2010

138

Se denomina as a toda bicondicional"pq" que sea una tautologa y en talcaso la bicondicional se denota por"pq".

A y B son equivalentes cuando unidospor la bicondicional () es unatautologa (AB).

Circuitos Conmutadores

Leyes Lgicas NotablesPermite trasformar y simplificarfrmulas lgicas.

1) LEY DE IDEMPOTENCIA

Equivalencia Lgica

Son circuitos elctricos que constan deinterruptores para el paso de la corrienteelctrica. Si p y q son interruptores quedejan pasar la corriente, entonces ~p y~q no dejarn pasar la corriente, stosse podrn colocar ya sea en serie o enparalelo.

Serie:

: p qp q

~p ~q : ~p ~q

Paralelo:

: p qp

q

: ~p ~q~p

~q

p p pp p p

2) LEY DE IDENTIDAD

p V p ; p V Vp F p ; p F F

3) LEY DE INVOLUCIN

~(~p) p

4) LEY DE COMPLEMENTO

p ~p Vp ~p F

5) LEY CONMUTATIVA

p q q pp q q pp q q p

6) LEY ASOCIATIVA

(p q) r p (q r)(p q) r p (q r)

7) LEY DISTRIBUTIVA

p (q r) (p q) (p r)p (q r) (p q) (p r)p (q r) (p q) (p r)p (q r) (p q) (p r)

8) LEY BICONDICIONAL

pq (p q) (q p)pq (p q) (~p ~q)pq ~(p D q)

9) LEY DEL CONDICIONAL

10)LEY DE "DE MORGAN"

p q ~ p q~ (p q) p ~ q

"Si Andrs estudia, entoncesaprueba el curso"p: Andrs estudia.q: Andrs aprueba el curso.Simbologa: p qSu primer equivalente sera:~ p qSe lee:"Andrs no estudia o aprueba elcurso"Su segundo equivalente sera~ p ~ qSe lee:"No es cierto que Andrs estudie yno apruebe el curso"

Ejemplo:

~(p q) ~p ~q~(p q) ~p ~q

11)LEY DE ABSORCINp (p q) pp (~p q) p qp (p q) pp (~p q) p q

12)LEY DE TRANSPOSICINp q ~ q ~ pp q ~ q ~ p

13)EXPORTACIN

[(p q)r] [p(qr)]

14)DISYUNCIN FUERTEp D q ~ (pq)

LgicaMatemtica II

ARITMTICA

139

15)SILOGISMO HIPOTTICO(IMPLICANCIA)

[(p q)(q r)] (pr)(Transitividad)

- Si estudias duro, entoncesingresars.

- Si ingresa s , entonces teobsequiar un auto del ao.

p: estudias duroq: ingresarsr: te obsequiar un auto del ao.Simbologa: (p q) (q r)Conclusin: p rSe lee: "Si estudias duro, entonceste obsequiar un auto del ao".

Ejemplo:

Cuantificadores

Aqu presentamos dos nuevasproposiciones relacionadas con ciertasexpresiones P(x), llamadas funcionesproposicionales, las cuales se conviertenen proposiciones lgicas cuando lavariable "x" toma un valor o valoresen particular.

Ejemplo:

I) Dado: P(x): x+1 = 5Si x = 4, P(x) es verdadero.Si x = -2, P(x) es falso.

II) Dado: A = {2; 4; 7; 8; 10}y la funcin proposicional.P(x): x2 es un nmero par.Se tendr que la proposicin:"Existe un elemento xA talque P(x) es cierto", y que sedenota:"$ xA / P(x)" es verdaderopuesto que x puede ser 2 y 22=4es par.

Al smbolo "$" se le llama"cuantificador existencial".

Observacin

III)Dado: B = {2; 3; 5; 7; 11;...}y la funcin proposicional:q(x): 2x es impar"Para todo xB, q(x) es falsa" y sedenota:"" xB, q(x) es falsa"; puesto quepara x=2, "3x" no es impar.

Al smbolo """ se le llama"cuantificador universal".

Observacin

* Las negaciones de estas nuevasproposiciones son:

I) ~ ($ xA/P(x))"xA/~P(x)II) ~ (" xA/P(x))$xA/~P(x)

Ejemplo:

1) Indica la negacin de:" x N, x2>1

Resolucin:

Su negacin ser:~ (" x N,x2>1) $xN/x21

2) Indica la negacin de:$ x R/ x-1 = 0

Resolucin:

Su negacin ser:~ ($ x R/x-1=0) "x R,x-10

1) Halla el equivalente a: "es falso quesi usted ve un gato negro, entoncestendr mala suerte".

Resolucin:

Formalizando:p: ve un gato negroq: tendr mala suerteLuego:~ (p q)... (condicional)~ (~p q)... (Morgan)~ (~p) ~q ... (involucin)p ~ q ; luego:

Se lee:Ve un gato negro y no tiene malasuerte.

2) Qu se concluye de:* Si te levantas temprano, llegas

temprano.* El profesor te saluda si llegas

temprano.

Resolucin:

Formalizando:p: te levantas tempranoq: llegas tempranor: El profesor te saluda.

Formalizando:(p q) (q r)Por el sistema hipottico, se puedeconcluir:(p r) ~ p r (condicional)Luego el equivalente ser:"No te levantes temprano o el profesorte saluda".

3) Si ingresas sers ingeniero. Si noeres un gerente, entonces no eresingeniero.De este enunciado, qu se deduce?

Resolucin:

p: ingresasq: sers ingenieror: eres gerenteFormalizando:(p q) (~ r ~ q)

Transposicin

ACTUALIZACIN DOCENTE 2010

140

[(p q) (q r)] (p r)

Luego: "Si ingresas, sers gerente".

Silogismo hipottico

4) La proposicin:~[(q p) (p q)] (~ p q)

(~ p ~q)]

es equivalente a:

Resolucin:

~[{~ q p) (~ p q)}

{~ p (q ~ q)}]

Distributiva

V

5) Sea: A= {1; 2; 3}Determina el valor de verdad de lassiguientes expresiones:

I) $ xA, "yA/x2 < y+1II) "xA, $ yA/x2+y2

ARITMTICA

141

8) Si la proposicin(pDq)~(qr) es verdad, culesson no verdaderas?I. (rr)(pr)II. (pq)D(pr)III. (qr)(pDr)

a) Slo I d) I y IIb) I y III e) Todasc) Slo II

9) Si: A = { -4; -1; 0;+1;+4},cu les de la s s igu ientesproposiciones son verdaderas?

I. Hay por lo menos unxA/$ un y, donde x+y y.

II. Hay por lo menos un x eun y A/x+y = 0.

III. Existe un solo x A/x+y= y.

a) I y II d) I o IIb) I y III e) Todasc) Slo III

10) Halla la equivalencia de:~(~(pq)p)q

a) ~pq d) pqb) ~p~q e) Tautolgicac) ~pq

11) Si la proposicin: ~[p~r][q~r] es verdadera, el valorde las proposiciones p, q y r, es:

a) VFV d) FFVb) VFF e) FVFc) FVV

12) Si:(ps)~s F

y[(ps)D~p]D s F;

halla el valor de verdad de p, s ypDs

a) VVF d) FFFb) VFV e) N.A.c) FVV

13) De:~[(p q)~(p q)] (p D q)

se afirma que es:

a) Tb) Sc) Cd) Siempre verdaderae) N.A.

14) Si U={0,1,2,3,4,5}, halla elvalor de verdad de cada una delas siguientes proposiciones.p:" x U; x+3>2x+1

ACTUALIZACIN DOCENTE 2010

142

23) Si la proposicin compuesta:~(r~p)~(r~q) es verdadera,entonces el valor de verdad delas proposiciones p, q y r es:

a) VVF d) VFFb) VFV e) No se puedec) VVV determinar

24) Simplifica:[(pq)q]p

a) q~p d) ~(pq)b) ~qp e) ~qpc) qp

25) Se conoce que:p * q = ~(p~q);p # q = (p~q)pEvala:[(~p * q)q]#(~qp), y sutabla de valores es:

a) VVVV d) FVVVb) VVFF e) FVFVc) FVFF

26) Si la proposicin:(p~q)(pr)es falsa, cul de las siguientesproposiciones son verdaderas?

I. (pq)no es verdaderaII. rq no es falsa

III. p~q es verdadera

a) I y II d) Todasb) I y III e) Ningunac) II y III

27) Silaproposicin:(p~q)(pr)esfalsa, entonces son verdaderas:

I. pq es falsaII. rp es verdadera

III. ~qp es verdadera

a) I y II d) Todasb) I y III e) N.A.c) II y III

28) Si la proposicin:[(pq)(p~p)][(rs)q]es verdadera, cules son losvalores de verdad de p, q, r y s?

a) VFFF d) FVVVb) VFVV e) N.A.c) FVFF

29) S i l a p r o p o s i c i n :(pDq)~ (qr) es verdadera,

cules son no verdaderas?

I. (rr)(pr)II. (pq)D (pr)III. (qr) (pDr)

a) Slo I d) I y IIb) I y III e) Todasc) Slo II

30) De las siguientes relaciones:

I. p(qr)=(pq) rII. p(qr)= q(pr)III. p(qr)= ~r(p~q)IV. p(qr)= (pr)q

son verdaderas:

a) Slo I d) Todasb) Slo II e) II y IIIc) Slo III

Nivel III

31) Si (ps)~s Fy [(ps)D ~p]Ds Fhalla el valor de verdad de p, s ypDs.

a) VVF d) FFFb) VFV e) N.A.c) FVV

32) Indica el valor de verdad de:

I. p(pq)II. (pq)(pq)III. ~(pq)pIV. ~[(pq)p]si p = V y q = F

a) VFVF d) VVVFb) VFFV e) VVVVc) VFFF

33) Si ~p~qV y(pq)(pq)V,entonces p y q son:

a) VV d) VFb) FV e) N.A.c) FF

34) Si p D q (pq)(~q~p);entonces (pD~q)Dp equivale a:

a) pq d) ~qb) ~p~q e) N.A.c) ~pq

35) Simplifica:[(~pq)(~qp)]~(pq)

a) p d) ~qb) q e) pqc) ~p

36) Simplifica:~[(p~q)~q][~p(~pq)]

a) ~p~q d) ~p~qb) ~p e) pc) ~q

37) Simplifica:[~(pq)][~(pq)]

a) q d) ~pb) ~q e) pqc) p

ARITMTICA

143

38) Simplifica:(pq)(~p~q)p

a) pq d) q~pb) ~pq e) p~qc) p~q

39) Simplifica el siguiente esquema:{~(p~q)[(pq)q]}q

a) ~p d) pqb) q e) qpc) ~q

40) Si xy es falso, adems xy esverdadero, determina el valor deverdad de x e y.

a) VV d) FFb) VF e) N.A.c) FV

41) Indica el valor de verdad de:

I. ~[(pq)p]II. (pq)p

III. [(pq)(pq)IV. p(pq)

a) FVFV d) FVVVb) VFFV e) VVVVc) FFFV

42) Sabiendo que las proposicionesa y b son falsas, indica cul delas alternativas representa unaproposicin falsa:

a: (rs)(pq)b: (rDn)(mp)

a) (rn)(pq)b) (mDn)(rDq)c) (rn)(pq)d) [(mn)p]qe) [(pq)m]Dn

43) Se tiene que:

I. (tD~t)[tD(pq)]II. (rq)D[(pt)s]III. (pq)(~qr)

Son contradiccin, tautologa ycontradiccin respectivamente.Indica el valor de verdad de "r","s" y "t" en ese orden.

a) FFF d) VFFb) FVV e) VVFc) FFV

44) Si la proposicin: (p~q) (r~s) es falsa, halla en cuntasde las siguientes proposiciones, suvalor veritativo es verdadero.

I. ~(pq)~qII. [(rq)q][(~qr)s]III. ~(pq)rIV. ~[(pq)~q]~p

a) 1 d) 4b) 2 e) 0c) 3

45) S i " s " es verdadera y laproposicin:~(rs)D[(qp)s][(~q~p)(rDs)] es falsa, halla losvalores de verdad de "p", "q" y"r".

a) FVF d) VFFb) FFV e) VFVc) VVV

46) Al simplificar:p{[(qr)r][~q(rq)]}se obtiene:

a) pq d) pDqb) pq e) prc) ~p

47) Si se define:p q ~p~qp * q p~qIndica cules son proposicionesequivalentes.

I. (r *~q) pII. ~p (r*~q)III. ~[p*(r~q)]

a) I y II d) I, II y IIIb) II y III e) Ningunac) I y III

48) Si se sabe que p q es falso yque q t es falso, determina losvalores de verdad de p; q y t.

a) VVV d) FFFb) VFV e) VFFc) FVF

49) De la falsedad de:[(p ~q) ~p] qHalla los valores de verdad dep y q.

a) VV d) FFb) VF e) N.A.c) FV

50) Si la proposicin compuesta:(p ~q)(q r) es falsa, luego:I. p r es falso.II. (q r) no es verdadera.III. (q r) es falsason ciertas:

a) Slo I d) I y IIIb) Slo I I e) Todasc) I y II

ACTUALIZACIN DOCENTE 2010

144

1) La tabla de verdad de(~pq) ~q estdada por:

a) FFFV d) VVFVb) FVFV e) FVVVc) FVFF

5) Si sabemos que "(m ~t)(m r)" es falsa,cul (es) de las siguientes afirmaciones sonverdaderas?

I. (m t)~rII. (r t)(m t)III. ( ~r ~m)(t r)

a) Slo II d) Todasb) I y II e) N.A.c) II y III

2) Cul de las siguientes frmulas sonlgicamente equivalentes?

I. ~p q III. ~(q p)II. ~p ~q

a) Todos d) I y IIIb) I y II e) N.A.c) II y III

3) Si "p" es verdadera y "q" es una proposicincuyo valor de verdad se desconoce,entonces el va lor de verdad de:"(p~q) ~p" es:

a) V d) Es imposibleb) F e) N.A.c) Depende de "q"

4) Si se sabe que "pq" es falso y "qr"e s tam bin fa l so , encuent ra lo svalores veritativos de "p"; "q" y "t"respectivamente.

a) FFF d) VVFb) FVV e) FVFc) VFF