LOGICA – CLASE 18-9

Hoy comenzamos repasando algo de lógica (cómo determinar validez o invalidez mediante tablas, buscando contraejemplos lógicos) y explicamos los razonamientos llamados "no deductivos", que dividimos en inductivos y analógicos. Mencionamos que estos razonamientos, a diferencia de los deductivos, PUEDEN tener premisas  verdaaderas y conclusión falsa, con lo cual son razonamientos "riesgosos" (si es que son razonamientos en absoluto). Dicho muy brevemente - pueden consultar Romero y Valente para mayores precisiones - los inductivos generalizan propiedades de la parte al todo, mientras que los analógicos artibuyen a una parte lo que se halló en otra parte similar. 

También estuvimos terminando y comentando los temas de Geymonat, cap. 1.

Volvimos a hablar sobre la relación entre números y figuras (formas) geométricas. Por ejemplo, los números trianglares, que son la suma de los primeros n números naturales (1, 3, 6, 10, 15, 21 etc.), y que equivalen a la mitad del número oblongo correspondiente. (por ejemplo, 3 = 2x3/2; 6 = 4x3/2; etc.). Mencionamos - siguiendo a Popper - que el programa filosófico de los pitagóricos consistía en "aritmetizar" la naturaleza, incluida la geometría. Es decir, interpŕetar la naturaleza y la geometría en clave aritmética, usando números naturales y sus relaciones o proporciones (exactamente como habían hecho en la música, descubriendo proporciones numéricas simples que subyacían a las armonías musicales). También mencionamos que a los pitagóricos se les atribuía una teoría acerca de la composición de las entidades físicas, suponiendo que estaban compuestas de diminutos e imperceptibles puntos. Así, por ejemplo, toda recta estaba compuesta por una yuxtaposición de estos puntos mínimos, en cantidad enorme pero en definitiva finita.   Esto implicaba que todo segmento era conmensurable con cualquier otro, pues estaban en una relación de números naturales: si el segmento AB contenía n puntos y el segmento CD contenía m puntos, la relación entre AB y CD era de n a m, o n:m. Recordemos que la conmensurabilidad entre dos segmentos significa justamente que hay una medida comúnque cabe exactamente n veces en uno y exactamente m veces en el otro (donde m y n son números enteros). Mencionamos que los mismos pitagóricos se vieron conmocionados por el descubrimiento de que hay segmentos inconmensurables: no hay ninguna medida común, ningún segmento menor, no importa cuán pequeño, que quepa un número entero n de veces en uno y un número entero m de veces en otro. Esto quiere decir que no podemos decir jamás que ambos segmentos están en una relación de m:n (como podíamos hacer en el caso de los segmentos musicales armónicos: 2:1 para la octava, 3:2 para la quinta, etc.). Esto asestaba un golpe mortal al programa pitagórico de encontrar las razones (proporciones) numéricas subyacentes a las relaciones geométricas. Para mayores detalles remito al texto de Popper, secciones ya indicadas.   Dimos la prueba de que existen tales segmentos inconmensurables, en particular, que algo tan simple como la diagonal de un cuadrado no es conmensurable con su lado. Esta prueba, que procede por reducción al absurdo, es mencionada repetidas veces por Aristóteles y es probable que fueran los pitagóricos mismos quienes la descubrieron. En su desarrollo, la prueba usa el teorema de Pitágoras y hechos muy simples acerca de la paridad de los números naturales y sus cuadrados, cosas bien conocidas, por cierto, por los pitagóricos. La prueba (que es esencialmente la prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2) está en Geymonat, con algún que otro condimento inesencial.   Noten que esta prueba implica que el teorema mismo de Pitágoras no puede interpretarse aritméticamente - como habrían querido los pitagóricos - cuando el triángulo dado es isóceles: no es posible descomponer un número entero m al cuadrado (el cuadrado de la hipotenusa) en dos veces el cuadrado de otro número entero n. No es posible descomponer un cuadrado formado por puntitos en dos cuadrados menores de idéntica cantidad de puntitos cada uno.

Clase que viene: Hempel.