Lógica

1Matemtica discreta. Lgica

LgicaMatemtica discreta


Lgica:

rama de las matemticas instrumento para representar el lenguaje

natural proporciona un mecanismo de deduccin


Clculo proposicional y de predicados

Razonamientos

Clculoproposicional

Sentencias que expresan relaciones entre atributos y cualidades de los objetos

Clculo de predicados

Establecen propiedades de individuos y relaciones entre estos


ejemplo

p = el dato es de salida

q = el dato es de entrada

{p V q , p} q

"si el dato es de entrada o de salida y el dato no es de entrada, entonces es de salida"

"si x es de entrada, entonces x se graba en la memoria"

Px = x es un dato de entrada

Qx = x se graba en la memoriaPx Qx


Clculo proposicional

Clculo proposcionalProposicin o enunciado: es toda afirmacin u oracin

declarativa que expresa algo sobre lo que se pueda decir si es verdadero o falso. Todos los procedimientos se han ejecutado correctamente. Qu hora es?. (x-y)2=x2-2xy+y2. Menudo rollo de pelcula!. Esta frase es falsa.

Proposiciones simples o atmicas. Proposiciones compuestas o frmulas.



Proposiciones simples o atmicas

No pueden reducirse a otras ms sencillas Smbolos primitivos { }K,,,,,,T srqp=

Smbolos de proposicinEnunciados atmicos

Constantes lgicas Falsedad

Verdad

K,,,, srqp

T



Proposiciones compuestas o frmulas Enunciados bien formados a partir de smbolos

primitivos unidos mediante conectivas.{ }K,,,,L SRQP=Negacin

Conjuncin

Disyuncin (o inclusivo)

Disyuncin (o exclusivo)

Implicacin

Doble implicacin

Smbolos auxiliares ( , ) para evitar ambigedades

Conectivas



Regla de formacin de frmulas pLP,PP, 21

)()()()()()(T::P 21212121211 PPPPPPPPPPPp =Para abreviar se siguen las siguientes directrices:

Omisin de parntesis externos

Prioridad entre conectivas:

Asociatividad de la implicacin: asocia a la derecha

,,,,,



ejemplos))(( rqp )( rqp lo escribimos

rqp ))(( rqp es)( rqp rqp es distinto de

rqp ))(( rqp es



Semntica del clculo proposicional Valoracin

Valor veritativo

A cada smbolo primitivo se le asigna un valor booleano de verdad o falsedad: 0 falso, 1 verdad.

A cada frmula se le asigna un valor veritativo dependiendo de los valores de verdad de los smbolos primitivos que la componen.

: { }1,0=: L

En general, y abusando de la notacin, hablaremos de valoracin y de valor veritativo indistintamente.



Tablas de verdadRepresentan todos los posibles valores veritativos de las frmulas bsicas.

p q

0 0 1 1 0 0 0 1 10 1 1 0 0 1 1 1 01 0 0 1 0 1 1 0 01 1 0 0 1 1 0 1 1

p q qp qp qp qp qp



Las tablas de verdad son una representacin de las funciones

1)1,1(0)0,1(0)1,0(0)0,0(

:

====

ffff

f

1)1,1(1)0,1(1)1,0(0)0,0(

:

====

ffff

f 0)1(1)0(

:

==

ff

f

0)1,1(1)0,1(1)1,0(0)0,0(

:

====

ffff

f

1)1,1(0)0,1(1)1,0(1)0,0(

:

====

ffff

f

1)1,1(0)0,1(0)1,0(1)0,0(

:

====

ffff

f



Valores veritativos(p)= (p)( )=0(T)=1( )=( )=( )=( )=( )=( )=

P (P))(f

(Q))(P),(fQPQPQP

QPQP

(Q))(P),(f(Q))(P),(f(Q))(P),(f(Q))(P),(f



ejemploSi (p)=1, (q)=0, (r)=1( ) r)q(p == r))(q(p),(f

))(r),(q)((p),( = ff ))1,0(1,( ff= =1)11,( == f

p q r1 0 1 1 1

r)q(p rq



Satisfactibilidad

Una frmula P es satisfactible, si existe alguna valoracin que verifique (P)=1, se dice entonces que satisface P (= P), o que es un modelo de P [ Mod(P)].

En caso contrario, se dice que P es insatisfactible.



ejemplop q r

0 0 0 1 00 0 1 1 00 1 0 0 00 1 1 1 01 0 0 1 11 0 1 1 11 1 0 0 01 1 1 1 1

r)q(p rq



Tautologa, contingencia, contradiccin

Un frmula P es una tautologa si toda valoracin es modelo de ella. (Si P es tautologa, entonces es satisfactible).

Un frmula P es una contingencia si existen algunas valoraciones que son modelos de P y otras que no lo son.

Un frmula P es una contradiccin si no tiene modelos. (P es contradiccin si y slo si es insatisfactible).



ejemplop q r

0 00000000

contradiccin

0001101

contingencia

0 0 0 10 0 1 10 1 0 10 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 1

tautologa

r)q(p q)(pp q)(p(p )



Equivalencia lgica 1

Cuando los valores veritativos de dos frmulas P y Q son iguales en cualquier valoracin, es decir, (P)=(Q), se dice que P y Q son lgicamente equivalentes y se denota PQ.

PQ Mod(P) = Mod(Q).



ejemploqp qp y son lgicamente equivalentes

p q0 0 1 1

101

0 1 11 0 01 1 1

qp qp

qp qp



Equivalencia lgica 2

PP. Si PQ, entonces QP. PT si y slo si P PT si y slo si P es

tautologa. P Q T si y slo si todo

modelo de P lo es de Q. PQ T si y slo si P Q.

P P. Si PQ y QR, entonces PR. T y T P si y slo si P es

contradiccin. P Q T si y slo si toda

valoracin que no es modelo de Q, tampoco lo es de P.



Teorema de reemplazamiento

Si PQ y F(P) es una frmula que contiene a P como subfrmula, reemplazando una o varias apariciones de P por Q en F(P), se obtiene una frmula F(Q) que verifica F(P)F(Q).

Lo utilizaremos para simplificar frmulas complejas.



Leyes de equivalencia lgica 1 Conmutativa: PQ QP

PQ QP Distributiva: P(QR)(PQ)(PR)

P(QR)(PQ)(PR) De identidad: PT P

P P Tercio excluso: P P T Contradiccin: P P Idempotencia: PP P

PP P



Leyes de equivalencia lgica 2 Acotacin: P

PT T Absorcin: P(PQ) P

P(PQ) P Asociativa: P(QR) (PQ)R

P(QR) (PQ)R De Morgan: (PQ) P Q

(PQ) P Q Relacin entre conectivas: P Q PQ

PQ (P Q) (QP)



Razonamiento lgico deductivo 1

Razonamiento inductivo: se generaliza una situacin, a partir de un nmero relativamente pequeo de hechos particulares u observaciones.

Razonamiento deductivo: consiste en obtener una conclusin a partir de ciertas sentencias ciertas.

Un argumento es un conjunto de proposiciones en las que hay una, la conclusin Q, que se justifica a partir de las otras, las premisas {Pi}.



Razonamiento lgico deductivo 2

Dado un conjunto de frmulas {Pi} es un modelo de {Pi} si (Pi)=1 i. {Pi}es satisfactible si que sea modelo de {Pi}. En

caso contrario, es insatisfactible. Si AB, {Pi, A} y {Pi, B} tienen los mismos modelos.



ejemplo{qr, p(rq)} y {pqr, qr} tienen los mismos modelos.

p q r qr p(rq) p q r pqr qr

1

100000

1

01

1

1

1

1

011

10

0

01

011

01

1

11

101

101

0111

11110111

0 0 0 10 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 01 1 1 1



Razonamiento lgico 3 Q es consecuencia lgica de {Pi}, {Pi}= Q, si todo

modelo de {Pi}, lo es tambin de Q. Decir que una consecuencia lgica es vlida, {Pi}= Q,

es lo mismo que P1P2..PnQ es una tautologa, o que {Pi, Q} es insatisfactible.

Para probar la validez de un argumento se pueden utilizar tablas de verdad, leyes de equivalencia lgica o reglas de inferencia.



ejemploConsecuencia lgica no vlida,

razonamiento incorrecto:{pq, p} q

Consecuencia lgica vlida, razonamiento correcto:

{pq, p}= qconclusinpremisas

0101 q

0011 p

111001110100

pqqp

premisas conclusinp q pq p q

0 0101

011

0 0 10 1 11 0 01 1 1



Reglas de inferencia Modus ponens:{PQ,P}= Q Modus tolens:{PQ, Q}= P Silogismo: {PQ,QR}= PR Silogismo disyuntivo: {PQ, Q}= P Simplificacin: {PQ}= P

{P}= PQ{P,Q}= PQ

Regla de la cadena: si {Pi}= Q1 y {Pi ,Q1}= Q son vlidas, tambin lo es {Pi}= Q



Clculo de predicados Introduce los elementos necesarios para manejar

razonamientos en los que intervienen propiedades de

individuos y relacione entre ellos. Estas relaciones son

los predicados que pueden ser verdaderos o falsos en

funcin de sus argumentos.

Alfabeto A.

Trminos y frmulas L .



Alfabeto 1 smbolos de constante: C={c, t, ...}A smbolos de predicado: P={P, Q, ...}A

de aridad 1: propiedad de un individuo.Px x es parP4 4 es par

de aridad 2: relacin entre individuos.Pxy x es ms alto que y

P Ana Juan Ana es ms alta que Juan.



Alfabeto 2 constantes lgicas: { ,}A conectivas: {, , , , }A cuantificadores: {, }A.

Se usan acompaados de variables y con ellos se cierran los enunciados.

El radio de accin de la cuantificacin K en KxF es F. Tienen ms prioridad que cualquier conectiva.

smbolos auxiliares: {'(', ')'}A



Alfabeto 3 variables: V={x, y, z, ...}A

Representan individuos annimos, generales. Una variable est ligada si est en el radio de accin

de algn cuantificador, Kx F[x], y est libre en otro caso.

Una frmula est abierta si tiene variables libres. Si no tiene variables libres est cerrada.



ejemplox y (Mx Q(x,y))

Frmula cerrada.La variable y est ligada por el cuantificador existencial y

la variable x por el cuantificador universal.

F x (Mx Q(x,y))Frmula abierta.

La variable y est libre [ylib(F)] y la variable x estligada por el cuantificador universal.



Frmulas y trminos Trminos: T=CVA. Frmulas: palabra formada a partir del

alfabeto aplicando las reglas:L conjunto de frmulas del alfabeto A.

t1,..., tnT F, F1, F2 L xlib(F1) F::=| |P(t1,...,tn) |(F1#F2), #{ , , , }

|F1 | (x F1) | (x F1).


Semntica del clculo de predicados


Un dominio o universo de discurso es un conjunto formado por personas, ideas, smbolos, datos, o cualquier otra opcin que afecte al argumento lgico que se estconsiderando.

A los elementos del dominio se les llama individuos. Las constantes identifican de modo nico a individuos particulares.



InterpretacinI={D, ci , Pi} Dominio D. A cada smbolo de constante c se le asigna

un elemento del dominio D: c A cada smbolo de predicado P de aridad n se

le asigna una funcin booleana P:Dn{0,1}.

Dn ={(x1 ,...,xn) / xi D}


ejemploI={N, c0, c2, c3, c5, P, Q, R, S, }

x R(x,x,y) y es un cuadrado perfecto. x y P(x,y) todo natural tiene un sucesor. x S(x,c0) todos los naturales son mayores o

iguales que 0. Q(c2,c3,c5) 5=2+3

c0 0 c33 P(x,y) y=x+1 Q(x,y,z) z=x+yc2 2 c55 R(x,y,z) z=xy S(x,y) x y



Valores veritativos

(T)=1()=0(F)=f(F)(F1#F2)= f# ((F1), (F2)) #{ , , , }(P(t1,...,tn))= P(t1,..., tn)(x F)=1 si cD / (F[x/c])=1(x F)=1 si cD / (F[x/c])=1



Satisfactibilidad

Una frmula F es satisfactible, si existe alguna interpretacin I en la que el valor veritativo de F sea 1. Se dice que I es un modelo de F (I= F).

En caso contrario, se dice que F es insatisfactible.



Equivalencia lgica

Cuando los valores veritativos de dos frmulas F1 y F2 son iguales en cualquier interpretacin, se dice que F1 y F2 son lgicamente equivalentes y se denota F1F2

F1F2 Mod(F1) = Mod(F2).



Leyes de equivalencia lgica 1

x F[x] y F[y] x F[x] y F[y] x F[x] x F[x] x F[x] x F[x] x F[x] x G[x] x [F[x] G[x]] x F[x] x G[x] x [F[x] G[x]] Las de la lgica de proposiciones si no

interfieren los cuantificadores.



Tautologa, contradiccin

Un frmula F es una tautologa si cualquier interpretacin es modelo de ella.

Un frmula F es una contradiccin si no tiene modelos

LgicaLgica:Clculo proposicional y de predicadosejemploClculo proposcionalProposiciones simples o atmicasProposiciones compuestas o frmulasRegla de formacin de frmulasejemplosSemntica del clculo proposicionalTablas de verdadValores veritativosejemploSatisfactibilidadejemploTautologa, contingencia, contradiccinejemploEquivalencia lgica 1ejemploEquivalencia lgica 2Teorema de reemplazamientoLeyes de equivalencia lgica 1Leyes de equivalencia lgica 2Razonamiento lgico deductivo 1Razonamiento lgico deductivo 2ejemploRazonamiento lgico 3ejemploReglas de inferenciaClculo de predicadosAlfabeto 1Alfabeto 2Alfabeto 3ejemploFrmulas y trminosSemntica del clculo de predicadosInterpretacinejemploValores veritativosSatisfactibilidadEquivalencia lgicaLeyes de equivalencia lgica 1Tautologa, contradiccin

Lógica

Documents

Transcript of Lógica