Logica y Programacion

Sintaxis y semantica de la logica proposicional

Antonia M. Chavez, Carmen Graciani, Agustn Riscos

Dpto. Ciencias de la Computacion e Inteligencia ArtificialUniversidad de Sevilla

Aplicaciones de la Logica Proposicional

La Logica es a los informaticos como la matematica a losarquitectos o fsicos.Es el calculo de la informatica (M. Y. Vardi).

Analisis de las propiedades de los sitemas en su diseno,desarrollo, mantenimiento.

Planificacion: manufactura automatica, robotica,programacion de vuelos en aerolneas, ...

Diseno y verificacion de circuitos ...

Deduccion: resolucion de problemas SAT

Resolucion de problemas de la vida real: horarios, rutas detransporte planificacion de obras, ...

Elementos de una logica

Elementos de una logica: Sintaxis: que expresiones son formulas? Semantica: que significa que una formula F es consecuencia

de un conjunto de formulas S?: S |= F Calculo: que significa que una formula F puede deducirse a

partir de un conjunto de formulas S?: S F

Propiedades: Potencia expresiva Adecuacion: S F = S |= F Completitud: S |= F = S F Decidibilidad Complejidad

Sintaxis de la logica proposicional

Alfabeto proposicional: Smbolos proposicionales: p, p0, p1, ..., q, q0, q1, ... Constantes: , Conectivas logicas: Negacion: Condicional:

Conjuncion: Equivalencia: Disyuncion:

Smbolos auxiliares: (, ).

Sintaxis de la logica proposicional

Dado un conjunto SP de smbolos proposicionales, se puede definirun lenguaje proposicional L(SP), que contiene todas las formulasposibles segun la siguiente definicion:

Una formula proposicional es: Un elemento de SP: (Formula atomica) Si F y G son formulas, entonces: ( F ), (F G), (F G),

(F G), (F G) tambien lo son.

Ejemplos: ((p q) (q p)) (p (q ( r)))

Sintaxis de la logica proposicional

Metavariables: SP: conjunto de smbolos proposicionales FProp: conjunto de formulas proposicionales Smbolos proposicionales: p, p0, p1, ..., q, q0, q1, ..., r , ... Formulas proposicionales: F , F0, F1, ..., G , G0, G1, ...

Eliminacion de parentesis: Parentesis externos: (p q) = p q Prioridad: , , , ,

(p ( q r)) (s t) = p q r s t((p q) r) s = p q r s

Asociatividad: y asocian por la derechap (q r) = p q r

Smbolos de una formula

Smbolos proposicionales de una formula:sp(p) = {p}sp( F ) = sp(F )sp(F G ) = sp(F ) sp(G )sp(F G ) = sp(F ) sp(G )sp(F G ) = sp(F ) sp(G )sp(F G ) = sp(F ) sp(G )

Semantica de la logica proposicional

La semantica debe proporcionarnos: Nocion de verdad: funcion de verdad Significado de las formulas: especificacion Nocion de consecuencia logica: conclusiones

Valores de verdad: y (utilizaremos False y True)

Semantica de la logica proposicional

Funciones de verdad fv : {False, True} {False, True}

fv(i) =

{

True si i = FalseFalse si i = True

fv : {False, True}2 {False, True}

fv(i , j) =

{

True si i = j = TrueFalse en otro caso

fv : {False, True}2 {False, True}

fv(i , j) =

{

False si i = j = FalseTrue en otro caso

Semantica de la logica proposicional

Funciones de verdad fv : {False, True}

2 {False, True}

fv(i , j) =

{

False si i = True y j = FalseTrue en otro caso

fv : {False, True}2 {False, True}

fv(i , j) =

{

True si i = jFalse en otro caso

Semantica de la logica proposicional

Interpretacion: Una interpretacion I es un conjunto de smbolos

proposicionales

Interpretaciones: Conjunto de todas las interpretaciones

sig : FProp Interpretaciones {False,True}

sig(p, I ) =

{

True si p IFalse en otro caso

sig(F , I ) = fv(sig(F , I )) sig(F G , I ) = fv(sig(F , I ), sig(G , I )) sig(F G , I ) = fv(sig(F , I ), sig(G , I )) sig(F G , I ) = fv(sig(F , I ), sig(G , I )) sig(F G , I ) = fv(sig(F , I ), sig(G , I ))

Semantica de la logica proposicional

Ejemplo: F = (p q) (q r)I = {p, r}

sig(F , I ) = sig((p q) (q r), I )= fv(sig(p q, I ), sig(q r , I ))= fv(sig(p q, I ), sig(q r , I ))= fv(fv(sig(p, I ), sig(q, I )),

fv(sig(q, I ), sig(r , I )))= fv(fv(True,False), fv(fv(sig(q, I )),True))= fv(True, fv(fv(False),True))= fv(True, fv(True,True))= fv(True,True)= True

Semantica de la logica proposicional

I = {p, r}

F = (p q) (q r)(True False) (False True)

True (True True)True True

True

I = {r}

F = (p q) (q r)(False False) (False True)

False (True True)False True

False

Modelos y contramodelos

interpretaciones(F ) = {I Interpretaciones : I sp(F )}

|interpretaciones(F )| = 2|sp(F )|

Modelo I es modelo de F sig(F , I ) = True Representacion: I |= F Ejemplo: {p, r} |= (p q) (q r)

Contramodelo I es contramodelo de F sig(F , I ) = False Representacion: I 6|= F Ejemplo: {r} 6|= (p q) (q r)

Modelos de una formula modelos(F ) = {I interpretaciones(F ) : I |= F}

Tablas de verdad

Comprobacion de todas las interpretaciones

p q r (p q) (q r) (p q) (q r)

True True True True True True

True True False True False True

True False True False True True

True False False False True True

False True True True True True

False True False True False True

False False True True True True

False False False True True True

Validez y satisfactibilidad

Formulas validas o tautologas F es valida toda interpretacion de F es modelo de F Representacion: |= F Ejemplos: |= (p p), |= (p q) (q p), 6|= (p q)

Formulas satisfacibles F es satisfacible tiene algun modelo F es insatisfacible no tiene ningun modelo Ejemplos:

(p q) (q r) es satisfacible(p (p)) no es satisfacible(p (p)) es insatisfacible(p q) (q r) no es insatisfacible

Validez y satisfactibilidad

Problema de la satisfacibilidad: Dada F determinar si essatisfacible

Problema de la validez: Dada F determinar si es valida

Relaciones entre validez y satisfacibilidad F es valida F es insatisfacible F es valida F es satisfacible F es satisfacible 6 F es insatisfacible

El problema de la satisfacibilidad es NPcompleto

Conjuntos de formulas

Smbolos proposicionales de un conjunto de formulas sp(S) =

{sp(F ) : F S} Ejemplo: sp({p q r , p s}) = {p, q, r , s}

Interpretaciones de un conjunto de formulas interpretaciones(S) = {I Interpretaciones : I sp(S)}

Modelos de un conjunto de formulas I es modelo de S para toda F de S, I |= F Representacion I |= S Ejemplo: {p, r} |= {(p q) ((q) r), q r}

Contramodelo de un conjunto de formulas I es contramodelo de S para alguna F de S, I 6|= F Representacion I 6|= S Ejemplo: {p, r} 6|= {(p q) ((q) r), r q}

Conjuntos de formulas

Modelos de un conjunto de formulas modelos(S) = {I interpretaciones(S) : I |= S}

Conjuntos consistentes e inconsistentes de formulas S es consistente S tiene algun modelo S es inconsistente S no tiene ningun modelo Ejemplos:

{(p q) ((q) r), p r} es consistente{(p q) ((q) r), p r ,r} no es consistente{(p q) ((q) r), p r ,r} es inconsistente{(p q) ((q) r), p r} no es inconsistente

Consecuencia logica

F es consecuencia logica de S para toda interpretacionI interpretaciones(S {F}), si I |= S entonces I |= F

Representacion: S |= F

Ejemplos:{p q, q r} |= p r{p} 6|= p q{p} 6|= r

Las siguientes condiciones son equivalentes: {F1, ..., Fn} |= G |= (F1 ... Fn) G {F1, ..., Fn,G} es inconsistente

Ejercicios

Sean S = {p (q r), p s, (q r) s} y F = s r .Se pide comprobar que S |= F mediante la definicion deconsecuencia logica.

Sean S = {(p q) r , (p r), q r} y F = r s. Sepide comprobar que S |= F mediante la definicion deconsecuencia logica.

Sean S = {a b,a (c b), b (d a), d c} yF = a d . Se pide comprobar que S |= F mediante ladefinicion de consecuencia logica.

Sean S = {a b,b (c d), c d , d (b a)} yF = b d . Se pide comprobar que S |= F mediante ladefinicion de consecuencia logica.

Ejercicios

Sean S = {p (q r), p s, (q r) s} y F = s r .Se pide comprobar que S |= F mediante la definicion deconsecuencia logica.

p q r s {p (q r) p s (q r) s} s r

Ejercicios

Sean S = {p (q r), p s, (q r) s} y F = s r .Se pide comprobar que S |= F mediante la definicion deconsecuencia logica. (False = 0, True = 1)

p q r s {p (q r) p s (q r) s} s r

Ejercicios

Sean S = {p (q r), p s, (q r) s} y F = s r .Se pide comprobar que S |= F mediante la definicion deconsecuencia logica. (False = 0, True = 1)

p q r s {p (q r) p s (q r) s} s r

0 0 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 1 1 10 0 1 0 1 0 0 00 0 1 1 1 1 1 10 1 0 0 1 0 1 10 1 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 0 1 00 1 1 1 1 1 1 1

Ejercicios

Sean S = {p (q r), p s, (q r) s} y F = s r .Se pide comprobar que S |= F mediante la definicion deconsecuencia logica. (False = 0, True = 1)

p q r s {p (q r) p s (q r) s} s r

1 0 0 0 1 1 1 11 0 0 1 1 1 1 11 0 1 0 1 1 0 01 0 1 1 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 11 1 1 0 0 1 1 01 1 1 1 0 1 1 1

Referencias

Chang, C.L. y Lee, R.C.T Symbolic Logic and MechanicalTheorem Proving. (Academic Press, 1973)

Cap. 2: The propositional logic

Genesereth, M.R. Computational Logic Cap. 2: Propositional logic

Nilsson, N.J. Inteligencia artificial (Una nueva sntesis).(McGrawHill, 2000)

Cap. 13: El calculo proposicional

Russell, S. y Norvig, P. Inteligencia artificial (un enfoquemoderno). (Prentice Hall Hispanoamericana, 1996)

Cap. 6.4: Logica propositiva: un tipo de logica muy sencillo