LOCALIZACION DE CORTANTE EN SUELOS E HIPOPLASTICIDAD

LOCALIZACION DE CORTANTEEN SUELOS E HIPOPLASTICIDAD

Presentado porLuis Carlos Leguizamón Barreto

Candidato a M.Sc.

AsesorArcesio Lizcano Peláez, Ph.D.

Universidad de los Andes

Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental

Magíster en Ingeniería Civil

Grupo de Investigación en Geotecnia

2008

Tabla de Contenido

1. Introducción 1

2. Estado del Conocimiento 52.1. Evidencia experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1. Desrues et al - 1985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2. Yoshida et al - 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.3. Oda y Kazama - 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Modelos Hipoplásticos 293.1. Hipoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2. Hipoplasticidad Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3. Hipoplasticidad No Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4. Modelo de Elementos Finitos 414.1. Ensayos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.1. Ensayo triaxial no drenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.2. Ensayo triaxial drenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1.3. Ensayo oedométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1.4. Influencia de parámetros poles en el comportamiento mecánico del suelo . 42

4.2. Implementación del Ensayo biaxial en Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . 44

5. Conclusiones 53

1

Capítulo 1

Introducción

Como lo establece Jacques Desrues en su Tesis de Doctorado: "´La localización de la defor-

mación es a la vez un fenómeno banal y atractivo. ... Banal, porque aparece en un amplio rango

de situaciones y materiales. ... Fascinante, ya que se revela brutalmente en el campo de deforma-

ciones homogéneas o de heterogeneidad suave, con una estructura geométricamente bien típificada

conocida como banda de corte, y aparece en ciertos casos tomando una dimensión catastrófica,

por la incapacidad súbita de la estructura considerada para soportar cargas aplicadas en diferentes

etapas"[5]. La localización de la deformación como un proceso de bifurcación en el cual el ma-

granular materials, experimental studies performed by Vardoulakis and co-workers (Han and Vardoulakis,1991; Vardoulakis et al., 1978; Vardoulakis and Graf, 1985), Tatsuoka et al. (1990, 1986), Arthur and co-workers (Arthur and Dunstan, 1982; Arthur et al., 1977), Finno and co-workers (Finno et al., 1996; Finnoand Viggiani, 1997), Desrues and co-workers (Beesuelle et al., 2000; Desrues, 1984, 1990; Desrues et al.,1996, 1985; Mokni and Desrues, 1999), and others (many other studies in rock) have established a numberof conclusions, among which the following can be listed as motivation for the present discussion:(1) Strain localization in shear band mode can be observed in most, if not all, laboratory tests leading to

rupture in geomaterials, at least at sufficiently low temperature and pressure. The figure of the cylindricaltriaxial specimen split into two blocks, after some barrel-shaped deformation, by a single shear plane isclassical in soil mechanics (e.g. Fig. 1). However, shear banding is possible, and even very common, also inshort specimens as illustrated in Fig. 2, and even in cubical triaxial devices with strain control using rigidplatens, as shown in Fig. 3.(2) Complex localization patterns may be the result of specific geometrical or loading conditions. In very

short specimens, shear bands can reflect several times from the rigid boundaries of the specimen, as revealedon Fig. 4 by incremental strain field monitoring using stereophotogrammetry on a specially designed biaxialapparatus.Looking at the second increment from the left on the figure, one can see that a quasi-complete shear

band mechanism takes place suddenly at this time step (which is located just before the peak in the load–displacement curve). Whether such a localization pattern is the result of a propagation phenomenon, or it

Fig. 1. Classical triaxial test specimen with shear plane; after J.L. Colliat-Dangus Doctoral Thesis, 1984 (Colliat-Dangus, 1986).

3758 J. Desrues, R. Chambon / International Journal of Solids and Structures 39 (2002) 3757–3776

Figura 1.0.1: Localización de la deformación en forma de banda de corte en un ensayo triaxial [5]

1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN MIC 2008-II-17

terial que se deformaba homogéneamente pasa a una deformación no homogénea concentrada en

una zona conocida como banda de corte y la definición de bloques rígidos, no solo se presenta en

materiales granulares como arenas y arcillas, sino otros de origen artificial y natural como polvos

y granos, y el punto de inicio de formación suele encontrarse en pequeñas discontinuidades en el

material y en las condiciones de borde. Este fenómeno se identifica en campo en muchas obras

geotécnicas como una superficie de falla, plana, propia de taludes naturales, terraplenes, excava-

ciones y túneles, bajo diversas condiciones de tipo, humedad y permeabilidad del material, historia

de carga, y de condiciones de carga que solicitan el material considerado. Aún hoy en día es notable

la incapacidad de recopilar la información necesaria y suficiente, inclusive a través de ensayos de

laboratorio, que permitan profundizar en la compresión del comportamiento mecánico del suelo.

En las etapas iniciales del proceso de modelación del comportamiento del suelo era común la

implementación de la teoría del medio continuo convencional a través de modelos constitutivos

que se basaban en el desarrollo de deformaciones homogéneas, y que pretendían ser validados a

través de ensayos de laboratorio que debían garantizar esta condición de homogeneidad, situación

que nunca se logro, debido a que a pesar de los grandes esfuerzos en instrumentación y controles

de las condiciones del ensayo, siempre surgía alguna heterogeneidad en la muestra de suelo que

se traducía en diversos tipos de falla. A través del tiempo este hecho ha llevado a la validación en

el sentido inverso, es decir, el modelo constitutivo, y más en concreto, la teoría de medio continuo

han pasado al proceso de validación a través de su capacidad para representar el fenómeno de

localización bajo las mismas condiciones presentadas en los ensayos de laboratorio.

A través de diversos estudios experimentales se ha intentado una descripción de la formación

de la banda de corte en arenas drenadas, tendientes a establecer parámetros físicos del material

y funciones de los mismos que permitan reproducir la inclinación y el espesor de la superficie de

falla, y el empleo de estos parámetros en la simulación numérica a través de la técnica de elementos

finitos que implementan modelos constitutivos elastoplásticos e hipoplásticos fundamentados en

la mecánica del medio continuo convencional, sin ahondar en otros aspectos importantes como

diferentes condiciones de saturación y su influencia en el comportamiento del material.

El presente documento pretende:

Establecer los parámetros físicos involucrados en el proceso de formación de bandas de

corte en arenas drenadas densas, por medio del estudio de evidencia experimental de tipo

micromecánico.

Analizar el proceso de desarrollo del modelo hipoplástico y su fundamentación sobre la

teoria del medio continuo convencional, y las modificaciones introducidas bajos los enfoque

del medio continuo polar.

2


Determinar enfoques de continuos alternativos para el desarrollo de un modelo constitutivo

hipoplástico que permita una representación más realística del fenómeno de localización de

la deformación.

Desarrollar un análisis de sensibilidad de los parámetros polares a través de la implementación

de ensayos elementales.

Estudiar los inconvenientes surgidos de la implementación el modelo hipoplástico conven-

cional en el desarrollo de bandas de corte en arenas, con el empleo de un programa de

elementos finitos como ABAQUS.

De acuerdo con estos propósitos en el segundo capítulo de este documento se presenta una re-

visión bibliográfica detallada sobre la evidencia experimental encontrada por autores como Jacques

Desrues, Masanobu Oda y Yoshida en los que se muestra como la localización de la deformación

se presenta en un campo inhomogéneo de deformaciones que surge en etapas previas al estado

pico de esfuerzos, a través de patrones de bandas de corte paralelos o de dirección contraria carac-

terizados por concentración de deformación cortante y de incremento volumétrico considerables,

también se evidencia la necesidad de centrar los esfuerzos en el estudio de los procesos presentes

directamente en la zona de formación de la banda de corte en la que se ha identificado la presencia

de rotación de partículas generada por el pandeo de columnas surgidas en el estado pico y cuya

dirección de movimiento es contraria a la inclinación de la superficie de falla, además de analizar

el efecto del diámetro promedio del grano, la densidad inicial y la presión de confinamiento en el

espesor y dirección de la banda de corte.

En el tercer capítulo se detalla el desarrollo del modelo hipoplástico polar propuesto por Jacek

Tejchman y que tiene como antecesores los modelos presentados por Dimitrios Kolymbas, Wei

Wu, Gerd Gudehus, Erich Bauer y P.A. von Wolffersdorff, de este modelo enmarcado en un pro-

ceso de deformación plana se destaca la ventaja de adicionar un grado de libertad adicional para

la representación de la rotación de la partícula y el momento o esfuerzo acoplado que origina este

movimiento, y la inclusión del diámetro promedio del grano como longitud característica que per-

mite establecer patrones de análisis sobre el espesor de la superficie de falla. Adicionalmente se

presentan los fundamentos del modelo hipoplástico no local propuesto por Thomas Maier, como

enfoque alternativo para suplir el inconveniente de dependencia de la geometría de la malla para

estimación de la inclinación de la banda de corte.

3


El cuarto capítulo se ha dedicado a presentar los resultados de la implementación del modelo

hipoplástico polar en el desarrollo de una serie de ensayos elementales y estudiar la influencia de

parámetros hipoplásticos polares como la velocidad angular en el desarrollo del proceso de ablan-

damiento por deformación y los efectos del parámetro micropolar en el control de los momentos

presentes en la estructura granular dentro de la banda de corte y que están influenciados por la

rugosidad del grano condicionando en definitiva las variables polares involucradas en el modelo.

Adicionalmente se presentan resultados de un ensayo biaxial drenado en arena densa implementado

el modelo hipoplástico convencional desarrollado por Andrzej Niemunis en una UMAT apropiada

para la corrida de elementos finitos propia de ABAQUS, que permitieron establecer las desventajas

del modelo empleado.

El último capítulo esta centrado en la presentación de las conclusiones logradas con el desar-

rollo del proyecto indicado y trabajos propuestos con el fin de continuar con el desarrollo de la

investigación del modelo hipoplástico que permita la reproducción más precisa del comportamien-

to de arenas sujetas a diversas condiciones mecánicas.

4

Capítulo 2

Estado del Conocimiento

2.1. Evidencia experimental

Con el propósito de disponer de resultados y parámetros apropiados para la modelación del

comportamiento mecánico de materiales granulares, a través de ecuaciones constitutivas se adelan-

tan Ensayos Elementales (Triaxiales, Biaxiales, Triaxiales verdaderos) que pretenden el desarrollo

de deformación homogénea en las muestras de suelo ensayadas, objetivo que no ha sido posible

alcanzar, y llevando a que para que un modelo constitutivo sea valido, este en capacidad de simu-

lar la ocurrencia de deformación no homogénea evidenciada en la localización de la deformación

representada en la denominada Banda de corte.

2.1.1. Desrues et al - 1985

En 1985 Jacques Desrues y su grupo de colaboradores desarrolló una serie de Ensayos Biaxi-

ales drenados en arena densa a deformación controlada, con el propósito de analizar la transición

entre la deformación homogénea a la localización, las condiciones geométricas y el estado de es-

fuerzos y deformaciones presentes en estos ensayos se muestran en la Figura 2,1,1. Para tal fin

emplearon el método esterofotogramétrico que permite la obtención del campo de desplazamien-

tos y la deducción de parámetros como incrementos de deformación axial, cortante y cambios

volumétricos en el material ensayado.

5

CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO MIC 2008-II-17

Localization of deformation in tests on sand sample 915

upper plotten displ.

Fig. 7. Test conditions in biaxial apparatus. Fig. 8. Typical load vs displacement curve in biaxial apparatus.

Figure 9(a) and (b) presents the isovalue curves of the axial (lateral) displacements during the increment between the photographs 3 and 4. If the strain field was homogeneous, these isovalue curves would be parallel horizontal (vertical) lines. It can be seen that a strong het- erogeneity appears, with some high gradients for the two displacement components, located in the middle of the sample. This is confirmed by Fig. 9(c), which presents the incremental distortion field dr = f(del - de*). This map indicates clearly that a shear band mechanism is initiated in the middle of the sample. The distortions inside the band are higher than 0.03, although the global axial strain increment over the sample is small (0.006). A secondary shear band can be seen beside the major one: the two bands have approximately the same direction.

It should be noted that this initiation of the localization is observed in a very early stage of the deformation process, not after the peak but before. Hence, in terms of overall behaviour of the sample, the localization can be said to arise in the hardening part of the test. This result corroborates the theoretical findings obtained by the application of the localization analysis to various soil-like models; when normality does not apply, the localization condition is found to be met with positive hardening rate[8, 131. Experimentally, however, it was not so clear; from his biaxial tests, Vardoulakis indicated in 1978 that the localization takes place at peak[7]. Our observations show clearly that the phenomenon is initiated before that critical point, and then the peak appears to be rather a consequence of the development of the localized deformation.

The maps shown here allow us to obtain some new information about the location of this initiation. It can be seen in Fig. 9(c) that the shear band does not appear in a corner of the sample, as could be expected since these points are singular with respect to the boundary conditions. The actual initiation is located in the central part of the sample; this can be explained by the fact that, during the previous increments of this test, the sample showed a smoothly heterogeneous deformation, leading to higher strains in its central part. In other tests, involving controlled perturbations, it was observed that the location of the first localization is very sensitive to the imperfections of the test; as an example, a soft inclusion, as well as a hard one, produces systematically the initiation in its immediate vicinity. This result confirms the experimental and theoretical findings given by Vardoulakis et a1.[7], studying the imperfection sensitivity of the localization in biaxial tests.

The results presented here in Section II indicate that, in the true triaxial apparatus, the shear bands are initialized in a corner; this confirms the idea that in such an apparatus, the corners are the location of the major deviations from the desired homogeneity (before the localization).

3.2 Propagation Figures IO(a) and (b) present the evolution of the localization during the subsequent incre-

ments, 4-5 and 5-6, for the typical test illustrated up to that point. These distortion maps show

Figura 2.1.1: Condiciones de ensayo en el aparato biaxial [7]

Iniciación de la banda de corte En la Figura 2,1,2 se muestran las curvas carga-desplazamiento

y deformación volumétrica-desplazamiento típicas para una muestra densa en la que se apre-

cia el pico de carga seguido por la condición residual con la transición conocida como ablan-

damiento por deformación, y en la que se definen instantes durante el ensayo en los cuales

se presentan resultados del procesamiento con estereofotogrametría.

En las curvas de isovalores de desplazamientos axial y lateral en el incremento 3-4, que se

observan en la Figura 2,1,3, (a) y (b) respectivamente, se evidencia que en esta etapa ya se

ha perdido la condición de deformación homogénea, que correspondería a campos de de-

splazamientos axiales y laterales paralelos, al igual que la localización de la deformación

se ha iniciado en el centro de la muestra de arena. Este hecho es confirmado por el com-

portamiento de la deformación cortante o distorsión que aparece en la Figura 2,1,4 (c). En

este mismo instante se aprecia el surgimiento de otra banda de corte en la parte inferior de

la considerada. Estos resultados constatan que la iniciación de la banda de corte surge en

estos instantes, antes del pico de carga, en contraposición de otros resultados obtenidos por

Vardoulakis (1978) que indica que la localización parte del pico de esfuerzos, y confirman

desarrollos teóricos de Rudnicki (1975) y del mismo Vardoulakis (1980) en los que estable-

cen que este fenómeno se produce aún en la etapa de endurecimiento positivo. En la Figura

2,1,4 (d) se presenta evidencia relacionada con el surgimiento e incremento de la dilatancia

o incremento de la relación de vacíos en el interior de la banda de corte respecto al material

que conforman los bloques que la circundan.

6


Localization of deformation in tests on sand sample 915

upper plotten displ.

Fig. 7. Test conditions in biaxial apparatus. Fig. 8. Typical load vs displacement curve in biaxial apparatus.

Figure 9(a) and (b) presents the isovalue curves of the axial (lateral) displacements during the increment between the photographs 3 and 4. If the strain field was homogeneous, these isovalue curves would be parallel horizontal (vertical) lines. It can be seen that a strong het- erogeneity appears, with some high gradients for the two displacement components, located in the middle of the sample. This is confirmed by Fig. 9(c), which presents the incremental distortion field dr = f(del - de*). This map indicates clearly that a shear band mechanism is initiated in the middle of the sample. The distortions inside the band are higher than 0.03, although the global axial strain increment over the sample is small (0.006). A secondary shear band can be seen beside the major one: the two bands have approximately the same direction.

It should be noted that this initiation of the localization is observed in a very early stage of the deformation process, not after the peak but before. Hence, in terms of overall behaviour of the sample, the localization can be said to arise in the hardening part of the test. This result corroborates the theoretical findings obtained by the application of the localization analysis to various soil-like models; when normality does not apply, the localization condition is found to be met with positive hardening rate[8, 131. Experimentally, however, it was not so clear; from his biaxial tests, Vardoulakis indicated in 1978 that the localization takes place at peak[7]. Our observations show clearly that the phenomenon is initiated before that critical point, and then the peak appears to be rather a consequence of the development of the localized deformation.

The maps shown here allow us to obtain some new information about the location of this initiation. It can be seen in Fig. 9(c) that the shear band does not appear in a corner of the sample, as could be expected since these points are singular with respect to the boundary conditions. The actual initiation is located in the central part of the sample; this can be explained by the fact that, during the previous increments of this test, the sample showed a smoothly heterogeneous deformation, leading to higher strains in its central part. In other tests, involving controlled perturbations, it was observed that the location of the first localization is very sensitive to the imperfections of the test; as an example, a soft inclusion, as well as a hard one, produces systematically the initiation in its immediate vicinity. This result confirms the experimental and theoretical findings given by Vardoulakis et a1.[7], studying the imperfection sensitivity of the localization in biaxial tests.

The results presented here in Section II indicate that, in the true triaxial apparatus, the shear bands are initialized in a corner; this confirms the idea that in such an apparatus, the corners are the location of the major deviations from the desired homogeneity (before the localization).

3.2 Propagation Figures IO(a) and (b) present the evolution of the localization during the subsequent incre-

ments, 4-5 and 5-6, for the typical test illustrated up to that point. These distortion maps show

Figura 2.1.2: Curva típica carga vs desplazamiento [7]

La relación entre el comportamiento de ablandamiento por deformación y relaciones de

vacíos actuales ha sido identificada a través de ensayos experimentales, mostrando que la

marcada transición entre un estado pico de esfuerzos y el estado residual es producto de al-

tas relaciones de vacío iniciales que influyen en la concentración de deformación cortante en

la banda de corte. Dentro de los resultados obtenidos a tráves de los ensayos mencionados

se tiene la superficie de dilatancia que se puede obtener en el método estereofotogramético,

y que evidencia que al final del ensayo el material dentro de la banda de corte es significati-

vamente más suelto que en otras partes de la muestra.

Propagación de la banda de corte

La evolución de la localización en etapas posteriores al pico de carga se presenta en función

de los cálculos de distorsión en la Figura 2,1,5 (a) y (b), mostrando que las dos bandas de

corte se crecen de manera independiente hasta alcanzar los contornos de la muestra, sin evi-

denciar convergencia entre las mismas. En otros ensayos se encuentra el proceso de reflexión

de las bandas de corte, cuando estas en su desarrollo encuentran bordes rígidos, tal como los

contornos impuestos por el cabezal y el pedestal del aparato biaxial, como se aprecia en la

Figura 2,1,6.

7


J. DESR

UES

et al.

Figura 2.1.3: Isovalores de desplazamiento axial y lateral [7]

Tabla 2.1.1: Lista de materiales ensayados

Material Origen d50 [mm] Cu Gs emax emin Forma de granoArena de Hostun Francia 0.310 1.94 2.650 0.950 0.550 SubangularArena de Toyoura Japón 0.162 1.46 2.636 0.973 0.612 SubangularArena de Ticino Italia 0.502 1.33 2.680 0.960 0.590 SubangularArena de Monterrey No. 0 USA 0.440 1.74 2.640 0.860 0.550 IntermediaArena de Silver Leighton Buzzard UK 0.620 1.11 2.660 0.790 0.490 SubredondeadaArena de Karslruhe Alemania 0.450 1.65 2.650 0.870 0.540 SubredondeadaArena de Ottawa USA 0.182 1.70 2.665 0.864 0.515 SubredondeadaVidrio Ballotini Japón 0.505 1.21 2.490 0.713 0.563 Esférica

Yoshida et al, 1994

2.1.2. Yoshida et al - 1994

Hacia 1994, Yoshida et al desarrollaron una serie de ensayos biaxiales drenados en arena densa

tendientes a evaluar la influencia de parámetros como diámetro promedio del grano, angularidad,

y relaciones de vacío características en el comportamiento de localización de la deformación. El

listado completo de los materiales y sus propiedades mecánicas relevantes aparecen en la Tabla

2,1,1

Estos ensayos consideran un método de observación de la banda de corte diferente al de rela-

cionar las mediciones de desplazamientos axial y lateral en el contorno de los dos bloques involu-

crados en el proceso de localización. En este caso se traza una rejilla teñida en la superficie exterior

8


Localization

of deformation in tests on sand

sample

Figura 2.1.4: Isovalores de distorsión y cambio volumétrico local, incremento 3-4 [7]

de la membrana de latex en el plano σ2, considerando el mismo sistema de coordenadas indicado

en la Figura 2,1,1. A través de la placa de confinamiento transparente se toman varias imágenes de

la superficie σ2, similares a la mostrada en la Figura 2,1,7. Los ensayos fueron desarrollados para

presiones de confinamiento en aire de 80, 200 y 400 kPa, en el caso de estas dos últimas presiones

de confinamiento, las imágenes indicadas fueron tomadas desde afuera de la celda de presión, con

la respectiva corrección de distorsión debida a la forma anular de la celda de presión.

Las coordenadas de los nodos de la rejilla se registraron automáticamente con precisión igual

o menor a 0.03 mm por medio de un nuevo sistema fotogramétrico, y con estas lecturas se con-

struyeron los campos de deformación sobre la superficie σ2. Los incrementos de desplazamiento

cortante a través de la banda de corte, us y el cambio en espesor de la misma, un para dos etapas

de carga sucesivas se obtienen de los cambios de las coordenadas de los nodos localizados en los

extremos de dos líneas de referencia por fuera de los límites de la banda de corte formada. Se

obtienen el componente horizontal del desplazamiento relativo hBA entre los puntos adyacentes en

sentido vertical A y B y el componente vertical vBC entre los puntos adyacentes en sentido hori-

zontal B y C, en este caso si la muestra se deformará de manera homogénea perfecta donde las

deformaciones axial y lateral son principales, las componentes hBA y vBC serían cero.

El incremento del vector de desplazamiento relativo local d a través de la banda de corte se ob-

tiene de la suma de las componentes hBA y vBC, y las componentes de d en las direcciones paralela y

normal a la dirección de la banda de corte corresponden a los valores acumulados de us y un en una

etapa de carga específica se obtienen por integración de los incrementos dus y dun desde el inicio

9


918 J. D

ESRU

ES et al.

Figura 2.1.5: Propagación de la banda de corte durante los incrementos 4-5 y 5-6 [7]

de carga.

En los resultados de las relaciones entre la razón de esfuerzos σ1/σ3 y la deformación cortante

promedio γ = ε1− ε3 de que se muestran en la Figura 2,1,8, se aprecia que el estado residual para

una presión de confinamiento de 80 kPa se alcanza con γ = 12,5% y para 400 kPa con γ = 15,0%,

en esta misma figura se han indicado los puntos A, B y C correspondientes a etapas de carga

sucesivas dentro del régimen de ablandamiento.

El inicio de la formación de la banda de corte para la Arena SLB a una presión de cámara de

80 kPa, y para la Arena de Karlsruhe a una presión de 400 kPa se aprecian en la Figura 2,1,9,

donde se muestran los contornos de deformación cortante local acumulada antes, en y después de

un incremento de deformación cortante del 10 %. Estas distribuciones de deformación local se ob-

tienen de deformaciones definidas en cada elemento de 0.5 cm× 0.5 cm asumiendo deformaciones

uniformes en cada elemento. En ambos ensayos desde la etapa A, antes del estado pico, aparecen

señales de múltiples bandas de corte, en el caso de la Figura 2,1,9 (a) dos bandas de corte en la

dirección izquierda superior a derecha inferior y otra en dirección opuesta y en la Figura 2,1,9 (b)

dos bandas de corte en direcciones opuestas; en la etapa B, después del pico, solo una de ellas se

ha desarrollado en cada ensayo, y la deformación de la otra ha cesado. En el régimen post-pico la

tendencia fue acelerada, y la etapa C es el inicio del estado residual. Los campos de deformación

mostrados indican que la localización no es espontánea, y no es fácil identificar el momento exacto

de su formación, de esta manera en etapas tempranas de localización, los desplazamientos relativos

entre la parte superior e inferior de la muestra no serían representativos de la deformación de una

10


Localization

of deformation in tests on sand sam

ple 919 Figura 2.1.6: Propagación de la banda de corte y reflexión [7]

banda de corte simple.

Los espesores de la banda de corte to medidos en el inicio del estado residual son presentados

en la Tabla 2,1,2, el valor de to fue definido como la distancia entre dos puntos en los lados opuestos

de una banda de corte, donde la tasa de deformación de distorsión cruza con el máximo valor la

banda de corte a lo largo de las líneas de la rejilla. La relación to/d50 se encuentre en el rango de 10

a 30, en contraste con resultados presentados por Mühlhaus y Vardoulakis (1987)[18], que reportan

relaciones de 8 a 10. La tendencia es que to decrece con el incremento de la presión de cámara σ3,

y crece con el incremento del diámetro promedio del grano d50

El análisis de la dilatancia en la banda de corte se sustenta en la Figura 2,1,10 en la que se

muestra la relación entre el desplazamiento cortante us y los cambios acumulados en el espesor

de la banda de corte un para presiones de cámara de 80 y 400 kPa, para los ocho tipos de arena

ensayados. Se aprecia un incremento en el espesor de la banda de corte desde el registro del de-

splazamiento cortante hasta alcanzar un valor máximo que se mantiene constante indefinidamente,

resultado que esta en contraposición al planteado por Drescher et al (1990)[6], y Han y Vardoulakis

(1991)[14] según el cual se presenta una tasa grande de incremento en el espesor de la banda de

corte que ocurre después del inicio de la banda de corte, cerca al estado pico de esfuerzos, y

subsecuentemente el espesor disminuye también a una gran tasa, exhibiendo comportamiento con-

tractivo.

Los ángulos ϑ relativos de la dirección σ3 a la dirección promedio de la banda de corte medidos

desde el inicio del estado residual son mostrados en la Tabla 2,1,2, y como se aprecia disminuye con

11


Figura 2.1.7: Método para obtener el vector de incremento de desplazamiento relativo d a travésde la banda de corte [12]

el incremento del tamaño de la partícula, observación acorde a lo sugerido por Tatsuoka et al (1990)

y explicado por Vermeer (1990), que establece que esta orientación para el caso de arenas gruesas

tiende a la formulación planteada por Roscoe, obtenida mediante un análisis cinemático, y en el

caso de arenas finas al modelo de Coulomb, sustentada en consideraciones estáticas, ecuaciones

que se muestran a continuación, respectivamente:

ϑR = 45+ν

2ϑC = 45+

φ

2(2.1.1)

En estas ecuaciones ν representa el ángulo de dilatancia y φ el ángulo de fricción picos del

material ensayado.

Una aproximación desarrollada por Arthur (1977)[11], y que ha sido soportada matemática-

mente y verificada a través de los resultados experimentales obtenidos en 1977, por Vardoulakis

(1980)[26], tal y como se muestra en la Tabla 2,1,3:

ϑA = 45+14(φ +ν) =

12(ϑC +ϑR) (2.1.2)

12


Tabla 2.1.2: Resultados de Ensayos convencionales de deformación plana

Material σ′3 [kPa] eo ϕc [] ϕr [] ϑ [] to [mm] d50 [mm] to/d50

Arena de Hostun 80 0.616 47.6 35.9 63 6.2 0.310 20400 0.648 44.8 34.2 58 2.8 980 0.694 45.7 (45.3) 35.5 (36.9) 66 3.5 0.162 22

Arena de Toyoura 200 0.660 45.9 35.0 65 3.1 19400 0.661 45.0 33.7 66 2.5 15

Arena de Ticino 80 0.657 48.1 34.8 61 5.1 0.502 10400 0.679 45.7 34.5 60 3.6 7

Arena de Monterrey No. 0 80 0.604 47.8 (47.5) 34.4 66 5.3 0.440 12400 0.643 45.5 34.7 59 3.6 880 0.549 44.7 32.7 59 6.1 0.620 10

Arena de Silver Leighton Buzzard 200 0.548 43.4 31.3 62 5.8 9400 0.547 42.5 30.8 61 5.5 9

Arena de Karslruhe 80 0.621 43.8 33.0 59 4.5 0.450 10400 0.636 42.8 31.0 58 4.2 9

Arena de Ottawa 80 0.598 43.4 34.2 70 3.7 0.182 20400 0.608 44.3 32.2 65 3.6 20

Vidrio Ballotini 80 0.573 35.7 26.5 54 9.8 0.505 19400 0.621 32.3 26.2 53 9.0 18

Yoshida et al, 1994

Tabla 2.1.3: Comparación entre inclinación de bandas de corte medida y calculada

Aparato ϕ p [] ν p [] ϑ p [] ϑA = 45+14(φ +ν) []

FPSA 49.0 21.0 62.0 62.5FPSA 50.0 30.0 65.0 65.0FPSA 45.0 22.5 64.5 61.9FBC 46.0 9.0 59.0 58.9FBC 50.0 19.0 60.0 62.3FBC 51.0 20.0 64.0 62.8FBC 49.0 23.0 64.0 63.0

Vardoulakis, 1980

13


Figura 2.1.8: Relaciones entre σ1/σ3 y γ = ε1− ε3 para 80 y 400 kPa [12]

El aparato FPSA hace referencia a un aparato de deformación plana (aparato biaxial) de con-

torno flexible , y el FBC a un aparato triaxial verdadero con celda de contorno flexible tipo London

desarrollados en University College.

De acuerdo a esta evidencia experimental, el ángulo de inclinación de la banda de corte, ϑ

también disminuye con el incremento de la presión de confinamiento, σ3.

14


Figura 2.1.9: Contornos de deformación cortante local para un incremento de 10 % para (a) ArenaSLB y (b) Arena de Karlsruhe [12]

2.1.3. Oda y Kazama - 1998

El trabajo adelantado por estos investigadores pretendía estudiar el modelo de dilatancia prop-

uesto por Newland y Allely (1957)[21], del cual se presenta un esquema en la Figura 2,1,11 a

partir de observaciones micromecánicas en bandas de corte obtenidas en una serie de ensayos de

deformación plana drenados en arenas densas de Toyoura y Ticino.

Este modelo supone que el comportamiento cortante de los suelos granulares es análogo al

deslizamiento friccionante entre dos bloques rígidos, con la diferencia que en el primero el desliza-

miento tiene lugar en varias superficies de contacto mientras que en fricción se presenta un plano

único. En el modelo cortante las direcciones de deslizamiento local varían de la dirección prome-

dio del deslizamiento general, hecho que ocasiona la dilatancia durante corte y la relaciona con

el ángulo de fricción movilizado. El modelo de Newland proporciona un mecanismo de cortante

15


Figura 2.1.10: Relaciones entre cambios acumulados en el espesor de la banda de corte un y us

para (a) σ3 = 80 kPa y (b) σ3 = 400 kPa

KEYWORDS: Anisotropy; fabric=structure of soils;microscopy; sands; shear strength.

doit eÃtre l'une des composantes importantesgouvernant la reÂsistance des sols granuleÂs; (2) lapreÂsence d'une retenue rotationnelle aux pointsde contact doit eÃtre prise en compte pour for-muler les conditions de l'eÂquilibre statique dansune bande de cisaillement et pour interpreÂter lareÂsistance reÂsiduelle des sols granuleÂs.

INTRODUCTION

Any soil, needless to say, consists of discreteparticles and associated voids, which change theirarrangement easily when subjected to overall sheardistortion. Volume expansion during shear, knownas dilatancy, is one indication of such structuralchange. For several decades, soil engineers havediscussed the experimentally obtained relation be-tween dilatancy and mobilized shear strength, andhave proposed various possible models to interpretit (e.g. Newland & Allely, 1957; Rowe, 1962;Horne, 1965; Matsuoka, 1974; Nemat-Nasser,1980). A model by Newland & Allely (1957),among others, is of particular importance since ithad a tremendous in¯uence on the trend of subse-quent studies. The model basically relies on theassumption that shearing of granular soils is ana-logous to frictional sliding between two rigidblocks. The only difference is that sliding takesplace on many contact surfaces in the former buton a single plane in the latter. The local slidingdirections vary, and therefore deviate, even onaverage, from the general sliding direction (Fig. 1).Accepting this model, we can easily understandhow the deviation of the actual sliding directionsfrom the general sliding direction causes dilatancyduring shear, and how the dilatancy is related tothe mobilized friction angle (Newland & Allely,1957). The model indeed provides a possible, andseemingly rational, mechanism of shearing, but

nobody has observed directly such sliding contacts,even in model tests using arti®cial particles.

A recent topic in the mechanics of granular soilsarises from theoretical, as well as experimental,studies dealing with the evolution of shear bands(e.g., Arthur et al., 1977; Desrues et al., 1985;MuÈhlhaus & Vardoulakis, 1987; Tatsuoka et al.,1990; Han & Vardoulakis, 1991; Yoshida et al.,1994; Harris et al., 1995; Finno et al., 1996).MuÈhlhaus & Vardoulakis (1987), for example, haveshown that a bifurcation analysis, when coupledwith the micropolar theory, makes it possible topredict the thickness of a shear band, as well asthe shear band direction, in good agreement withsome experimental observations that the thicknessis about 8 to 10 times the mean particle size (e.g.Roscoe, 1970). Bardet & Proubet (1992) supportedthe micropolar theory with results derived from anumerical simulation test on an idealized assemblyof particles. Because the particle size is not negli-gibly small compared with the shear band thick-ness, it is natural to introduce a microstructurallength scale into the constitutive models as in themicropolar theory.

Our present objectives are (1) to discuss theshortcomings of the model of Newland & Allelyby examining the microstructure developed in shearbands, (2) to propose instead a realistic model forthe dilatation mechanisms and, ®nally, (3) todemonstrate the essential role of the micropolareffect in the evolution of shear bands.

To this end, we ®rst observed microstructuralchanges within two shear bands taken from planestrain tests on Toyoura and Ticino sands, with asupplementary test on Soma sand. In addition,photoelastic pictures taken by Oda et al. (1982)were examined to support our present observations.

TEST MATERIALS AND TESTING TECHNIQUE

Test materialsToyoura sand is a uniform dune sand with a D50

of 0´206 mm. The sand is composed mainly ofsub-angular quartz and feldspar. The particles areso strong that no breakage occurred in the presenttest. The maximum and minimum void ratios bythe Japanese standard method are 0´973 and 0´612respectively (Yoshida, 1994).

Manuscript received 9 September 1996; revised manu-script accepted 26 March 1997.Discussion on this paper closes 6 November 1998; forfurther details see p. ii. Saitama University.

Generalslidingdirection

Slidingat contacts

σn

τ

Fig. 1. An idealization of shearing behaviour forgranular soils (Newland & Allely, 1957)

466 ODA AND KAZAMA

Figura 2.1.11: Idealización del comportamiento cortante para suelos granulares[21]

posible pero que no se ha podido sustentar, aún en ensayos que emplean partículas artificiales.

Las relaciones esfuerzo y deformación volumétrica vs deformación axial se muestran en la

Figura 2,1,12 (a) para la Arena de Toyoura y (b) para la Arena de Ticino, como se observa el

esfuerzo desviador presenta una disminución considerable después del pico y simultáneamente se

desarrolla una banda de corte hasta que se alcanza el estado residual donde el esfuerzo axial es re-

ducido hasta el nivel marcado como a, la muestra fallada se fijó con la infiltración en los vacíos de

una mezcla de resina de poliester y estireno, solvente empleado para ajustar la viscosidad, a través

de una línea conectada en la parte inferior del dispositivo cuidando evitar cambios en los esfuer-

zos. Después de 24 horas la muestra endureció facilitando su manipulación, y los cambios en las

dimensiones de las muestras registrados indicando daños a la microestructura, representados por el

cambio de a a b en la figura mencionada. El sistema de coordenadas de referencia permanece igual

16


al considerado hasta el momento, pero se adicionan un sistema local ξi (i=1,2,3), ξ1 se encuentra

sobre el plano de corte en dirección del corte, ξ3 es perpendicular al plano de corte, y ξ2 esta sobre

el plano de corte y es perpendicular al plano formado por los dos ejes indicados.

Ticino sand is a uniform river sand (from theTicino river in Italy) with a D50 of 0´527 mm, andis composed mainly of angular quartz and rockfragments, and partially of feldspar, muscovite andbiotite. The particles look more fragile than thoseof the Toyoura sand. However, very little particlebreakage was observed in the present test. Themaximum and minimum void ratios are 0´96 and0´59 respectively (Yoshida, 1994).

An additional sand, called Soma sand, wastested without any detailed microstructural descrip-tion. It is a uniform sand with a D50 of 0´65 mmwhich was produced by crushing a fragile sand-stone, and is composed of hard quartz and feldsparparticles. The maximum and minimum void ratiosare 0´95 and 0´61 respectively.

Plane strain testsDrained plane strain tests were carried out using

a conventional testing machine with minor modi®-cations. Since the testing procedures are not new atall, the details are omitted here except for thefollowing remarks.

(a) The samples were 180 mm high, 160 mm wideand 80 mm thick.

(b) To make the samples as uniform as possible,the multiple-sieve pluviation method was used(Miura & Toki, 1982). The drop height wasadjusted so as to produce a high relativedensity of approximately 90%. At every25 mm deposition of dry sand, dyed particleswere poured through the same multiple sievesto make horizontal, thin marker layers.

(c) Friction between the sample and rigid endplatens was reduced by means of a thinmembrane layer greased with silicone oil.The friction reduction appeared to work ef-fectively, as samples remained rectangular inshape even after large deformation wasapplied.

(d) The major principal stress ó1 was increased bymoving a rigid top platen downward at aconstant rate of about 0´125 mm/min. Theminor stress ó3 was controlled by applyingan internal vacuum pressure of 49´0 kN/m2

inside the sample through a regulator valve.(e) The top platen was rigidly ®xed to a loading

piston so that no rotational movement wasallowed.

( f ) The global volumetric strain åv was calculatedfrom åv å1 å2 å3. Here å1 is the axialstrain induced by the downward movement ofthe loading piston; å2 is zero since nodeformation was allowed in the intermediateprincipal stress direction; å3 is the lateral strainin the minor principal stress direction, whichwas measured by monitoring with a laser

device the movements of three markers pastedon each side of the sample. (The strain å3

measured by the laser device, as will be notedlater, was not suf®ciently accurate after thepeak stress had passed. Moreover, in the post-peak region, the de®nition of the global strainhas no physical meaning, as deformation waslocalized within shear bands. In the followingsections, accordingly, the strain valves will beregarded simply as indices showing progressivedeformation.)

X-ray method and preparation of thin sectionsThe stress±strain curves measured in the drained

plane strain tests are shown in Fig. 2(a) for theToyoura sand and Fig. 2(b) for the Ticino sand. Ineach case, the stress difference (ó1 ÿ ó3) droppedmarkedly after the peak had passed, in parallelwith progressive development of a shear band, and®nally (ó1 ÿ ó3) reached a steady state called the`residual stress state'. (The Soma sand, althoughnot reported here, showed exactly the same charac-teristics as the Toyoura and Ticino sands in Fig. 2).The axial stress was then decreased to a stress state

400

200

0

400

200

0

Str

ess

diffe

renc

e σ 1

2 σ

3: k

N/m

2σ1 2 σ3εv

Toyoura sand

22

21

0

a

b

a b

1 32 4

(a)

Ticino sand

a

b22

21

01 32 4 5

Axial strain ε1: %

b a

Glo

bal v

olum

etric

str

ain

σ v: %

(b)

Fig. 2. Stress±strain relations in plane strain tests on(a) the Toyoura sand and (b) the Ticino sand (notethat the axial and volumetric strains are not strain inthe strict sense after the peak stress, as deformation isconcentrated within shear bands)

MICROSTRUCTURE OF SHEAR BANDS 467

Figura 2.1.12: Relaciones esfuerzo-deformación en ensayos de deformación plana en (a) Arena deToyoura y (b) Arena de Ticino

Oda y Kazama recalcan el hecho que las relaciones de deformación obtenidas después de la

máxima relación de esfuerzos no corresponden a deformaciones de la muestra de suelo, sino al

comportamiento dentro de la banda de corte.

Se cortaron tres placas verticales delgadas de muestras endurecidas, entre 5 y 10 mm de espe-

sor, que incluían los ejes x1 y x3 en la parte central de la muestra, y fueron sometidas a fotografía

de Rayos X, con el propósito de visualizar la localización, la dirección y forma de las bandas de

17


corte desarrolladas. Se prepararon otras dos secciones delgadas para estudio óptico a través de mi-

croscopio, 0.03 mm de espesor, una vertical perpendicular al eje x2 (42mm×60mm) que incluye la

banda de corte, y una sección paralela a la banda de corte (17mm×32mm), como se muestra en las

Figuras 2,1,13 y 2,1,14

σ1

16080

Nolateralstrain

180Shearband

σ2

x2x3

x1

S-thinsection

î3 î2

î1V-thinsection

σ3

Fig. 3. Two thin sections and reference axes (dimen-sions in millimetres)

Fig. 4. Inclination angles è and á of apparent longaxes of particles in (a) V-thin section and (b) S-thinsection (dimensions in millimetres)

0 1 2 3 4 5

21

22

23

24

25

x1

x3

42

60

θ

Shearband

(a)

î1

î2

α

17

32

(b)

468 ODA AND KAZAMA

Figura 2.1.13: Las dos secciones delgadas y ejes de referencia

La microestructura observada en las fotografías de Rayos X, Figura 2,1,15, para la Arena de

Toyoura muestran dos bandas de corte que crecen y se unen en el área central, y estan inclinadas

a 70.5 y 67.0 respecto de la horizontal, en general se observa que esta bandas de corte no son

rectas, sino levemente curvas debido a la restricción cinemática impuesta por las placas rígidas del

cabezal y el pedestal del dispositivo.

Con base en estas fotografías de Rayos X, se elaboran esquemas, similares al mostrado en la

Figura 2,1,16, donde se estiman parámetros como espesor de la banda de corte, desplazamientos

relativos y relaciones de vacíos locales a lo largo de la banda.

Las relaciones obtenidas entre el espesor de la banda de corte obtenido por medio de Rayos X

y microscopio, ts, y el diámetro promedio del grano, d50, se aprecian en la Figura 2,1,17, hecho que

concuerda con las conclusiones del estudio desarrollado por Yoshida et al (1994), y que establece

una razón entre estos dos parámetros de 7 a 8.

Las imágenes de Rayos X muestran que la forma de la banda de corte varía de una placa

delgada a otra, tal como se aprecia en la Figura 2,1,18

18


σ1

16080

Nolateralstrain

180Shearband

σ2

x2x3

x1

S-thinsection

î3 î2

î1V-thinsection

σ3

Fig. 3. Two thin sections and reference axes (dimen-sions in millimetres)

Fig. 4. Inclination angles è and á of apparent longaxes of particles in (a) V-thin section and (b) S-thinsection (dimensions in millimetres)

0 1 2 3 4 5

21

22

23

24

25

x1

x3

42

60

θ

Shearband

(a)

î1

î2

α

17

32

(b)

468 ODA AND KAZAMA

Figura 2.1.14: Ángulos de inclinación ϑ y α de ejes longitudinales aparentes de partículas

Los desplazamientos relativos son medidos sobre las las líneas teñidas sobre las partículas

como aparece en la Figura 2,1,15 y esquematizadas en la Figura 2,1,16, donde se aprecia un valor

promedio de 4.1 mm de desplazamiento relativo no recuperable entre la placa superior e inferior

que se alcanza después del pico de esfuerzos.

En cuanto a la relación de vacíos observada, se aprecia un incremento considerable dentro de

la banda de corte, que apoya la suposición del incremento de deformación volumétrica dilatante

en esta misa zona, obtenida en resultados experimentales que ya han sido considerados y otros

reportados en la literatura (Desrues et al, 1996)[8]. El análisis óptico de esta secciones muestran

que grandes vacíos individuales y altos valores de relación de vacíos local se pueden desarrollar

dentro de la banda de corte.

En la Figura 2,1,19 que corresponde a una sección delgada vertical, se esquematizan zonas

de análisis paralelas a la banda de corte planteadas en la Figura 2,1,14 (a), y que en este caso

estan definidas por las líneas marcadas con -1, 0 y 1, separadas 1 mm. La línea 0-0 establece

el centro de la banda de corte. En la figura se aprecia que en las zonas a, b, c y d se presentan

vacíos considerables que surgen periódicamente en la zona (0,1) y que de un estudio esteréoscopico

presentan una forma elipsoidal con el eje mayor en dirección del eje ξ2.

Para la estimación de la relación de vacíos local dentro de la banda de corte se midieron las

longitudes de intersección con partículas, lsi, y vacíos, lvi como se esquematiza en la Figura 2,1,20

y se estimó una relación de intersecciones, r, calculada como:

19


of the Toyoura sand, in particular, two shearbands seem to grow and join around the centre(see also Fig. 7, which shows the same shearband as in Fig. 5(a) but viewed on a differentthin plate. These two shear bands are inclinedrespectively at 70´58 and 67´08 to the horizon-tal. The orientation of a shear band varies,depending sensitively on some boundary con-ditions (Vermeer, 1990).

(b) The thickness values of the shear bands ts,determined using X-ray photographs and thinplates of the sands, are shown by open symbols(open circle, square and triangle) in Fig. 8 as afunction of D50. The linear relation between ts

and D50 seems to support the idea that thethickness of shear bands is related to theparticle size (e.g. Roscoe, 1970; Scarpelli &Wood, 1982; MuÈhlhaus & Vardoulakis, 1987;

Yoshida et al., 1994; Yoshida, 1994). Beforegoing to the next topic, a dif®culty in thedetermination of shear band thickness shouldbe noted: it is sometimes thought that shearbands can be seen through a rubber membrane,and that the thickness can be measured by ascale. This is not true. The measured value isnothing but a thickness value of a convolutedmembrane. This is the case, in particular, whenthe sand consists of small-size particles as inthe case of Toyoura sand. An overestimation ofshear band thickness can happen even if X-rayphotographs are used. This is because shearband is not a plane of constant thickness, butrather appears with a wavy form. (This is true,in particular, when a shear band intersects thetop or bottom rigid platen.) The X-ray imageof the shear band therefore changes in shape

x1

x3(a) (b)

Fig. 5. X-ray images of shear bands: (a) Toyoura sand; (b) Ticino sand


Figura 2.1.15: Imágenes de Rayos X de bandas de corte en Arena de Toyoura

r =n

∑i=1

lvi

/n

∑i=1

lsi (2.1.3)

La relación r y la relación de vacíos e son equivalentes si el espesor de la zona delgada tiende

a cero (0.03 mm). A través de correlaciones hechas con resultados de otro estudio experimental

desarrollado por Oda et al (1972), y el empleo de la relación r se obtienen las relaciones de vacíos,

que siguen la tendencia indicada en la Figura 2,1,21.

Con el propósito de ampliar sus conclusiones, Oda y Kazama, recurren a los resultados experi-

mentales obtenidos por Oda y otro grupo de coinvestigadores en 1982. En este caso se desarrollaron

ensayos biaxiales de compresión en ensambles bidimensionales de partículas de forma cilíndrica,

moldeadas con una membrana de poliuretano sensitiva fotoelásticamente, y con su superficie lubri-

cada con un talco para obtener un ángulo de fricción interpartícula de 26 y dispuestas en un marco

de carga de 330 mm de ancho y 370 mm de alto, que posteriormente fue comprimido verticalmente.

Durante el ensayo imágenes fotoelásticas fueron tomadas con luz polarizada en las etapas 1 a

9 indicadas en las curvas esfuerzo y deformación volumétrica vs deformación axial mostradas en

la Figura 2,1,22. En las imágenes tomadas en el pico (posición 4) y en el estado residual (posición

9) que se muestran en la Figura 2,1,23 se observa el desarrollo de una estructura de columnas par-

alelas a la dirección vertical, que en el estado pico se encarga de la transmisión del esfuerzo axial,

20


from section to section. A typical example isclearly seen when comparing the X-ray imageof Fig. 5(a) with that of Fig. 7. The same shearband looks quite different in spite of the factthat both images were taken from two closevertical plates. In order to get more reliablethickness data, therefore, we must use thinnerplates for such an X-ray analysis. The methodpresented in this paper using thin sections,0´03 mm thick, provides an ideal way toestimate the shear band thickness.

(c) The horizontal parallel lines visible on the X-ray photographs in Fig. 5 show the ®nalpositions of the marker layers of dyed parti-cles. Using these lines, the relative displace-ment across shear bands can be measured (Fig.6). The relative displacements are all about4´1 mm in both cases. Using the stress±straincurves of Fig. 2, it can be easily checked thatthe relative displacement of 4´1 mm is exactlythe same as the non-recoverable relativedisplacements between the top and bottomplatens taking place after the peak stress. Thisseems to support the conclusions of Yoshida(1994) that (1) evolution of shear bands startsaround the peak stress, and (2) non-recoverable

strain is concentrated in a narrow shear band(or bands) as soon as strain localization starts.

Void ratios in shear bandsIf the dilatational volumetric strain, as well as

the shear strain, is concentrated in a narrow shearband, an extremely large void ratio must be devel-oped in it. According to Roscoe (1970), for exam-ple, Coumoulos (1968) applied X-rays to sandsheared in the Roscoe-type simple shear apparatus,and found that the void ratio in a shear zone ismuch higher than the average. Recently, the sameobservation was reported by Desrues et al. (1996).By examining thin sections optically, we will showhow large individual voids, as well as high localvalues of void ratio, can be developed in shearbands.

Thin-section analysis for the Toyoura and Ticinosands. For convenience, each V-thin section wasdivided into several zones by straight lines denotedby serial numbers ÿ2, ÿ1, 0, 1, 2 and so on, eachof which was parallel to the corresponding shearband boundary (Fig. 4). Hereafter, each zone is

Fig. 6. Sketches of the X-ray images of Fig. 5 with some measurements,including thickness and inclination angle of shear bands: (a) Toyourasand; (b) Ticino sand. Two V-thin sections were made by grinding theportions surrounded by the broken lines; the image shown in Fig. 9 wastaken by magnifying the hatched area with a microscope (alldimensions in millimetres)

4.2

3.0

4.2

2.9

70.5°4.3

2.0

3.93.8

4.0 e 5 1.0121.13

e 5 0.632.067°4.0

e 5 0.79

2.0V-thinsection

X1

X3

(a)

4.2

4.4

4.0

4.1

3.9

3.9

3.5e 5 1.09

21.14

e 5 0.67

2.5

65°

e 5 0.67

4.4

2.9

V-thinsection

(b)

470 ODA AND KAZAMA

Figura 2.1.16: Esquemas de imágenes de Rayos X

al igual que la concentración de contactos normales en dirección del esfuerzo principal mayor, y

posteriormente al pico, estas columnas inician un pandeo que conlleva una disminución en la ca-

pacidad de transmisión de esfuerzo axial, condición propia del ablandamiento por deformación. En

los primeros instantes la localización y la dirección de este fenómeno de pandeo es aleatoria, pero

gradualmente se concentra dentro de la banda de corte llegando a ser uniforme, como se observa

en la Figura 2,1,23 (b).

Siguiendo la dirección de las partículas a, b, c, d y e en las imágenes 1 a 9, se trazan las

trayectorias indicadas en la Figura 2,1,24, en la cual también se indica el desplazamiento lateral

del plato inferior. Las partículas a y b que se encuentran debajo del límite inferior de la banda de

corte, permanecen prácticamente en su posición durante todo el ensayo, en cambio las partículas

c, d y e que se encuentran dentro de la banda se mueven considerablemente en una dirección

entre 39 y 41.5 con respecto a la dirección de la banda de corte, constituyendo un indicador del

comportamiento dilatante del material en el interior de la banda y que corresponde al ángulo de

dilatancia estimado para el material ensayado.

Considerando nuevamente los resultados de Oda y Kazama, aunque las partículas de arena son

de forma irregular es posible seleccionar una dirección aparente del eje longitudinal y establecer

la orientación de las partículas de arena en las secciones delgadas verticales con la medición del

ángulo θ , que se considera positivo en sentido antihorario (Figura 2,1,14), todas las partículas den-

tro de las zonas planteadas en la Figura 2,1,14 fueron estudiadas en el microscopio para establecer

la inclinación del ángulo θ , los resultados de este cálculo para la Arena de Toyoura se presentan

21


designated by a pair of serial numbers. Forexample, a zone enclosed by the two lines denotedby ÿ2 and ÿ1 is called the zone (ÿ2, ÿ1).Referring to the X-ray photographs and the sketchesof them, we ®rst selected a 0 line as the centre ofthe shear band, and the ÿ1 and 1 lines as thebottom and top shear band boundaries respectively.Later, however, we found that these lines were notexactly the top and bottom boundaries, but werevery close to them. Note also that individual linesare drawn 1 mm apart in the V-thin section of theToyoura sand, while they are drawn 2 mm apart inthat of the Ticino sand.

Figure 9 was taken from the V-thin section ofthe Toyoura sand by magnifying under a micro-scope the hatched area identi®ed in Fig. 6(a). Aremarkable observation is that surprisingly largevoids, such as a, b, c and d in Fig. 9, appear

almost periodically along the narrow zone (0, 1).Such large voids can also be found in a similarmanner in the Ticino and Soma sands. Usingvertical thin plates taken from the Toyoura, Ticinoand Soma sands, the shear bands were carefullyobserved under a stereoscope to see the shape oflarge voids. The large voids are not spherical inshape, but, rather, ellipsoidal with their long axesparallel to the axis î2. This observation explainswhy voids visible in the S-thin sections tend to beelongated parallel to the axis î2. On the basis ofthese observations, it can be concluded that theappearance of such large voids is a commonmicrostructural characteristic of shear bands.

In order to estimate the local void ratios withinthe shear bands, all intersection lengths of particleslsi and voids lvi were measured along scanninglines using an optical microscope with a mechani-cal stage (Fig. 10). Then an intersection ratio rwas calculated using

r P

lviPlsi

(1)

It can be proved that the ratio r is equivalent tothe conventionally de®ned void ratio e if the thick-ness of the thin section approaches zero (Oda etal., 1972). The thickness of thin sections is about0´03 mm, but still cannot be neglected in compari-son with the particle sizes. A correction is there-fore needed to convert the intersection ratio r tothe corresponding void ratio e. To this end, weused an experimentally determined relation be-tween r and e from Oda et al. (1972) (Fig. 11).The ratio r was ®rst determined by measuring theintersection values, and then the void ratio wasestimated by using Fig. 11. To get a reliable result,the scanning lines were selected in at least two

x1

x3

Fig. 7. X-ray image of the same shear band as in Fig.5(a), in a different thin plate

10

5

0

Thi

ckne

ss o

f she

ar b

and

t s: m

m

Estimated by X-ray

Estimated by microscope

0.5 1.0Mean size D50: mm

Toyourasand

Ticinosand

Somasand

ts/D50 5 8

7

Fig. 8. Thickness of shear bands as a function of meanparticle size


Figura 2.1.17: Espesor de las bandas de corte en función del diámetro promedio del grano

a manera de histogramas en la Figura 2,1,25, donde las flechas indican la orientación del vector

promedio.

En zonas alejadas del centro de la banda de corte, estos histogramas son unimodales con una

alta frecuencia entorno a θ=0, hecho que ya ha sido evidenciado en un estudio anterior desarrol-

lado por Oda y Koishikawa (1977) que establece que este tipo de histogramas es común en arenas

naturales depositadas bajo el efecto de la gravedad, ya que las partículas, que no son esféricas,

tienden a un plano horizontal con sus ejes longitudinales paralelos al mismo. En las zonas (0,1) y

(-1,0) las partículas se han reorientado hacia la dirección de la banda de corte, con una alta fre-

cuencia en θ=-44.3, mostrando que la orientación de la partícula se esta dando dentro de la banda

de corte, con altos gradientes de rotación de las partículas en los contornos, generando momentos

de contacto, procesos propios de la Teoría Micropolar, y mostrando la necesidad de profundizar en

la resistencia rotacional en los contactos como efecto a considerar en el desarrollo de las bandas

de corte. Estos hechos son consistentes con el efecto de pandeo de las columnas mostrado entre

los estados pico y residual de esfuerzos, Figura 2,1,26. Estos resultados concuerdan con el simula-

ciones numéricas desarrolladas por Jean-Pierre Bardet que indica que la rotación de las partículas

inducen a rodamiento y deslizamiento de contactos[1] .

22


designated by a pair of serial numbers. Forexample, a zone enclosed by the two lines denotedby ÿ2 and ÿ1 is called the zone (ÿ2, ÿ1).Referring to the X-ray photographs and the sketchesof them, we ®rst selected a 0 line as the centre ofthe shear band, and the ÿ1 and 1 lines as thebottom and top shear band boundaries respectively.Later, however, we found that these lines were notexactly the top and bottom boundaries, but werevery close to them. Note also that individual linesare drawn 1 mm apart in the V-thin section of theToyoura sand, while they are drawn 2 mm apart inthat of the Ticino sand.

Figure 9 was taken from the V-thin section ofthe Toyoura sand by magnifying under a micro-scope the hatched area identi®ed in Fig. 6(a). Aremarkable observation is that surprisingly largevoids, such as a, b, c and d in Fig. 9, appear

almost periodically along the narrow zone (0, 1).Such large voids can also be found in a similarmanner in the Ticino and Soma sands. Usingvertical thin plates taken from the Toyoura, Ticinoand Soma sands, the shear bands were carefullyobserved under a stereoscope to see the shape oflarge voids. The large voids are not spherical inshape, but, rather, ellipsoidal with their long axesparallel to the axis î2. This observation explainswhy voids visible in the S-thin sections tend to beelongated parallel to the axis î2. On the basis ofthese observations, it can be concluded that theappearance of such large voids is a commonmicrostructural characteristic of shear bands.

In order to estimate the local void ratios withinthe shear bands, all intersection lengths of particleslsi and voids lvi were measured along scanninglines using an optical microscope with a mechani-cal stage (Fig. 10). Then an intersection ratio rwas calculated using

r P

lviPlsi

(1)

It can be proved that the ratio r is equivalent tothe conventionally de®ned void ratio e if the thick-ness of the thin section approaches zero (Oda etal., 1972). The thickness of thin sections is about0´03 mm, but still cannot be neglected in compari-son with the particle sizes. A correction is there-fore needed to convert the intersection ratio r tothe corresponding void ratio e. To this end, weused an experimentally determined relation be-tween r and e from Oda et al. (1972) (Fig. 11).The ratio r was ®rst determined by measuring theintersection values, and then the void ratio wasestimated by using Fig. 11. To get a reliable result,the scanning lines were selected in at least two

x1

x3

Fig. 7. X-ray image of the same shear band as in Fig.5(a), in a different thin plate

10

5

0

Thi

ckne

ss o

f she

ar b

and

t s: m

m

Estimated by X-ray

Estimated by microscope

0.5 1.0Mean size D50: mm

Toyourasand

Ticinosand

Somasand

ts/D50 5 8

7

Fig. 8. Thickness of shear bands as a function of meanparticle size


Figura 2.1.18: Imagen de Rayos X de la misma banda de corte mostrada en la Figura 2,1,15, enuna placa delgada diferente

orthogonal directions, and the area was coveredwith a close net of scanning lines.

Each V-thin section was divided into threezones: one shear zone (ÿ1, 1) and two zones(ÿx, ÿ1) and (1, y), where x and y were taken tobe 10 and 6 for the Toyoura sand and 7 and 4 forthe Ticino sand respectively. Local values of voidratios in the three zones were estimated, and aresummarized in Fig. 6. They have the followingcharacteristics. In the case of the Toyoura sand

(Fig. 6(a)), such an estimation gives 0´63 on theright side of the shear band and this is consideredto be the initial void ratio of the sand. On the leftside, on the other hand, the estimation gives aslightly higher value of 0´79. This is because theleft side includes a prolongation of the upper shearband, as can be clearly seen on the X-ray photo-graph of Fig. 5(a). The void ratio in the shear band(ÿ1, 1) was estimated to be 1´01 from the V-thinsection and 1´13 from the S-thin section. Both

Fig. 9. Almost periodic appearance of extremely large voids along the shear band(0, 1) of the Toyoura sand

472 ODA AND KAZAMA

Figura 2.1.19: Aparición de vacíos grandes a lo largo de la banda de corte (0,1)

23


values are surprisingly large, larger than the maxi-mum void ratio of 0´973 determined by the Japa-nese standard method (Yoshida, 1994). The Ticinosand has the same estimated value of 0´67 on bothsides of the shear band (Fig. 6(b)). The void ratioin the shear band (ÿ1, 1) is estimated to be 1´09from the V-thin section and 1´14 from the S-thinsection. Again these values within the shear bandare larger than the corresponding maximum stan-dard void ratio of 0´96. (Note that the void ratiosestimated by the V- and S-thin sections are some-what different, with the S-thin section yielding alarger void ratio than the V-thin section. This ispartially because the bands (ÿ1, 1) on V-thin sec-tions do not exactly agree with the shear bands,and partially because large voids are elongatedparallel to the axis î2.)

In the light of these observations of very largeindividual voids and high values of void ratio with-in shear bands, we must ask whether the dilatancymodel of Newland & Allely (1957) can explainthese experimental observations and how suchlarge voids can survive in shear bands where sheardeformation is being accumulated. These questionswill be answered in the next section.

Biaxial compression tests by Oda et al.(1982). Oda et al. (1982) carried out biaxial com-pression tests on two-dimensional assemblies ofrod-like particles. One of the tests is discussed herebecause it helps to explain the micromechanismleading to the growth of large voids in a shear band.

Rod-like particles with oval cross-sections werecast from photoelastically sensitive polyurethanerubber. The surfaces of these particles were lubri-cated with talcum powder to give an interparticlefriction angle of 268. These particles were stackedby hand in a loading frame 330 mm wide and370 mm high. The assembly was then verticallycompressed by moving an upper loading platendownward, while keeping the lateral stress almostconstant. During the test, photoelastic pictures weretaken under polarized light at the positions 1±9shown in Fig. 12. Pictures taken at the peakposition (4) and the residual position (9) are repro-duced in Fig. 13. We make the following observa-tions.

(a) Development of columnar structure. Aroundthe peak (Fig. 13(a)), axial stress is mainlytransmitted through columnar structures ex-

Plan view

Particle

Scanningline

0.03 mm

lsi l vi

Fig. 10. Particle and void intersections along a scan-ning line

1.0

0.6

0.8

0.4

0.2

0

Voi

d/pa

rtic

le in

ters

ectio

n ra

tio r

r 5 e

Regressionline

Dm: mm0.50.71.0

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2Void ratio e

Fig. 11. Experimentally determined relation betweenthe intersection ratio and the corresponding void ratio

16

14

12

10

8

6

4

2

0

Str

ess

ratio

σ1/

σ 3

1

2

3

45

6

7

89

σ1/σ3εv

12

10

8

6

4

2

0

Vol

umet

ric s

trai

n 2

ε v: %

2 3 4 5 6 7Axial strain ε1: %

Fig. 12. Stress±strain relation in a biaxial test on atwo-dimensional assembly of oval rods performed byOda et al. (1982) (1, 2, . . . 9: positions where photo-elastic pictures were taken)


Figura 2.1.20: Intersección de partículas y vacíos a lo largo de la línea escaneada






Plan view

Particle

Scanningline

0.03 mm

lsi l vi


1.0

0.6

0.8

0.4

0.2

0

Voi

d/pa

rtic

le in

ters

ectio

n ra

tio r

r 5 e

Regressionline

Dm: mm0.50.71.0

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2Void ratio e


16

14

12

10

8

6

4

2

0

Str

ess

ratio

σ1/

σ 3

1

2

3

45

6

7

89

σ1/σ3εv

12

10

8

6

4

2

0

Vol

umet

ric s

trai

n 2

ε v: %




Figura 2.1.21: Relación determinada experimentalmente entre la razón de intersección y la corre-spondiente relación de vacíos

24







Plan view

Particle

Scanningline

0.03 mm

lsi l vi


1.0

0.6

0.8

0.4

0.2

0

Voi

d/pa

rtic

le in

ters

ectio

n ra

tio r

r 5 e

Regressionline

Dm: mm0.50.71.0

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2Void ratio e


16

14

12

10

8

6

4

2

0

Str

ess

ratio

σ1/

σ 3

1

2

3

45

6

7

89

σ1/σ3εv

12

10

8

6

4

2

0

Vol

umet

ric s

trai

n 2

ε v: %




Figura 2.1.22: Relación esfuerzo-deformación en un ensayo biaxial en un ensamble bidimensionalde cilíndros ovales

tending parallel to the vertical direction, andcontact normals gradually concentrate towardsthe major principal stress direction in paral-lel with the development of such columns(Oda, 1972; Oda et al., 1982). Wakabayashi(1957), Drescher (1976) and Allersma (1987)also observed bright bands in stressed assem-blies of optically sensitive particles underpolarized light, and interpreted them asprincipal stress trajectories. These bands areessentially the same as the columns. We canconclude therefore that development of thecolumnar structure is a common featureprevailing in the strain-hardening (pre-peak)process of granular soils.

(b) Buckling of columnar structure in shear bands.As the axial stress reaches the peak (failure),the columns start buckling, and are subse-quently able to carry less axial stress (strainsoftening). Buckling ®rst takes place at randomlocations and in random directions, but gradu-ally buckling concentrates into conjugate shearbands. The buckling direction becomes uni-form in each shear band as well (Fig. 13(b)).

Using the pictures from positions 1 to 9, thecentres of ®ve particles a, b, c, d and e weretraced, and the trajectories of the particles wereobtained as shown in Fig. 14, in which the dis-placement of the lateral loading platen is alsogiven to show the overall deformation. The parti-cles a and b, which were located below the lowerboundary of the shear band, stayed essentially atthe same positions while the deformation pro-ceeded from 1 to 9. On the other hand, theparticles c to e, which were located above theupper boundary, moved substantially, in a unique

direction inclined at â ( 39ÿ41:58) to the generaldirection of the shear band. The angle essentiallycontrols the dilatancy behaviour in the shear band,and in fact agrees well with the dilation angle í( 428) at the peak, de®ned by

í arcsinÿ då1 då3

då1 ÿ då3

(2)

It should also be noted that large voids gradually

Fig. 13. Photoelastic pictures taken at (a) the peak stress state 4 and (b) theresidual stress state 9 (Oda et al., 1982)

(a)

Shearband

(b)

c39°

124–5367

89

39°d

14–5

2–3

678 9

41.5°e

12–3

45678

92

146 89

Displacementof lateralloading platen

65°

x1

x2

1–9

b

3–91–2

a

Lowerboundaryof shear band

Fig. 14. Loci of the centres of particles a to e duringthe progressive deformation from the initial state 1 tothe residual state 9 in the biaxial test of Fig. 12

474 ODA AND KAZAMA

Figura 2.1.23: Imágenes fotoelásticas tomadas en (a) el estado de esfuerzos pico y (b) estados deesfuerzos residual

25


tending parallel to the vertical direction, andcontact normals gradually concentrate towardsthe major principal stress direction in paral-lel with the development of such columns(Oda, 1972; Oda et al., 1982). Wakabayashi(1957), Drescher (1976) and Allersma (1987)also observed bright bands in stressed assem-blies of optically sensitive particles underpolarized light, and interpreted them asprincipal stress trajectories. These bands areessentially the same as the columns. We canconclude therefore that development of thecolumnar structure is a common featureprevailing in the strain-hardening (pre-peak)process of granular soils.

(b) Buckling of columnar structure in shear bands.As the axial stress reaches the peak (failure),the columns start buckling, and are subse-quently able to carry less axial stress (strainsoftening). Buckling ®rst takes place at randomlocations and in random directions, but gradu-ally buckling concentrates into conjugate shearbands. The buckling direction becomes uni-form in each shear band as well (Fig. 13(b)).

Using the pictures from positions 1 to 9, thecentres of ®ve particles a, b, c, d and e weretraced, and the trajectories of the particles wereobtained as shown in Fig. 14, in which the dis-placement of the lateral loading platen is alsogiven to show the overall deformation. The parti-cles a and b, which were located below the lowerboundary of the shear band, stayed essentially atthe same positions while the deformation pro-ceeded from 1 to 9. On the other hand, theparticles c to e, which were located above theupper boundary, moved substantially, in a unique

direction inclined at â ( 39ÿ41:58) to the generaldirection of the shear band. The angle essentiallycontrols the dilatancy behaviour in the shear band,and in fact agrees well with the dilation angle í( 428) at the peak, de®ned by

í arcsinÿ då1 då3

då1 ÿ då3

(2)

It should also be noted that large voids gradually

Fig. 13. Photoelastic pictures taken at (a) the peak stress state 4 and (b) theresidual stress state 9 (Oda et al., 1982)

(a)

Shearband

(b)

c39°

124–5367

89

39°d

14–5

2–3

678 9

41.5°e

12–3

45678

92

146 89

Displacementof lateralloading platen

65°

x1

x2

1–9

b

3–91–2

a

Lowerboundaryof shear band

Fig. 14. Loci of the centres of particles a to e duringthe progressive deformation from the initial state 1 tothe residual state 9 in the biaxial test of Fig. 12

474 ODA AND KAZAMA

Figura 2.1.24: Superficie envolvente de los centros de partículas durante deformación progresiva

26


Ticino sand. The arrows in these ®gures denote themean vector directions (or preferred directions)de®ned by Curray (1956).

First, look at the histograms for the zones otherthan the shear bands, e.g. the zones (5, 6) and(ÿ10, ÿ9) for the Toyoura sand and the zones(2, 4) and (ÿ7, ÿ6) for the Ticino sand. Thehistograms are all unimodal, with a high frequencyaround è 08. Oda & Koishikawa (1977) havealready shown that such a histogram is quitecommon in natural sands deposited under gravity.This is because non-spherical particles lie on ahorizontal plane with their long axes parallel to it.In the shear bands (0, 1) and (ÿ1, 0) of bothsands, on the other hand, the particles are reor-iented towards the general shear band direction,and give a high frequency at è ÿ44:38 for theToyoura sand and at è ÿ24:58 for the Ticinosand. In regard to the particle rotation taking placein the shear bands, the following are worth noting.

(a) The particle orientation changes sharply whencrossing the shear band boundaries, whichmeans that a high gradient of particle rotationtakes place at the boundaries. Taking this intoaccount, together with the presence of mo-ments at contacts mentioned above, it can besaid that a micropolar theory can provide apossible continuum model, in particular forsolving strain localization problems of granularsoils (e.g. MuÈhlhaus & Vardoulakis, 1987).The recent study by Iwashita & Oda (1997)and Oda et al. (1997) has shown that such ahigh gradient of particle rotation appears, in aquite similar manner to the results of Figs 16and 17, in the numerical simulation by DEM,but only when the rotational resistance atcontacts is taken into account. This providesadditional evidence to support the importanceof the rotational resistance at contacts in thedevelopment of shear bands.

10

0

10

0

10

0

10

0

Fre

quen

cy: %

290 260230 0 30 60 90 290260 230 0 30 60 90

290 260 230 0 30 60 90 290 260 230 0 30 60 90

290 260 230 0 30 60 90

290 260 230 0 30 60 90

290 260 230 0 30 60 90

290 260 230 0 30 60 90Inclination angle θ: degrees

(a) (5,6)

(b) (2,3)

(c) (1,2)

(d) (0,1)

(e) (21,0)

(f) (22,21)

(g) (25,24)

(h) (210,29)

θ 5 22.6° θ 5 228.4°

θ 5 27.9°

θ 5 5.4°

θ 5 3.1°

θ 5 22.9°

θ 5 20.6°

θ 5 244.3°

Shear band

Shear band

10

0

0

10

0

10

Fig. 16. Preferred orientation of particles in the V-thin section of theToyoura sand

476 ODA AND KAZAMA

Figura 2.1.25: Orientación preferida de partículas en la sección delgada vertical - Arena de Toy-oura

27


(b) In bands (ÿ1, 1) of both the Toyoura and theTicino sands, the particles were rotated clock-wise towards the shear band direction. Itshould be noted, however, that the preferredorientation of particles does not coincide withthe general direction of shear bands (solid linesin Fig. 18), but is parallel to the initialhorizontal plane, which was also rotated duringthe process of shear banding (broken line inFig. 18). This means that the particle rotationù, on average, takes place in parallel with thecorresponding macroscopic rotation Ù in thecontinuum sense. The same observation wasreported by Lanier & Combe (1995) in a paperdealing with simple shear tests on two-dimen-sional granular media.

Particle orientation in S-thin section of theToyoura sand. Let á be the inclination angle ofthe apparent long axis of a particle in an S-thin

10

0

10

0

10

0

Fre

quen

cy: %

10

0

10

0

10

0

290 260230 0 30 60 90

290 260230 0 30 60 90

290 260 230 0 30 60 90

290 260 230 0 30 60 90

290 260 230 0 30 60 90

290 260 230 0 30 60 90

(g) (27,26)

θ 5 3.9°

θ 5 12.3°

(f) (23,22)

(e) (22,21) θ 5 6.5°(a) (2,4)

θ 5 20.4°

θ 5 28.2°(b) (1,2)

(c) (0,1)θ 5 23.4°

10

0

(d) (21,0)

θ 5 224.5°

Shear band

290 260 230 0 30 60 90

Inclination angle θ: degrees

Fig. 17. Preferred orientation of particles in the V-thin section of theTicino sand

Column

Clockwiserotation

Initialhorizontalplane

Ω

Shearband

x1

x3

Fig. 18. Buckling of columns and particle rotation in ashear band


Figura 2.1.26: Pandeo de columnas y rotación de partículas en una banda de corte

28

Capítulo 3

Modelos Hipoplásticos

3.1. Hipoplasticidad

Bajo el supuesto que los cuerpos granulares se pueden entender como un continuo, también

admiten los conceptos de densidad, esfuerzos y deformaciones para describir el comportamien-

to mecánico en sus transiciones de estado, y el concepto de material simple establece que las

propiedades materiales son demostradas plenamente bajo deformaciones homogéneas

La ecuación hipoplástica es del tipo tasa y considera funciones tensoriales no lineales que

representan el cambio de rigidez del material en el régimen de endurecimiento y el comportamiento

volumétrico en régimen de ablandamiento, sin necesidad de hacer distinción de etapas de carga y

descarga, además de representar el comportamiento mecánico de materiales granulares en amplios

rangos de densidad, presión y deformación.

3.2. Hipoplasticidad Polar

La modelación del fenómeno de localización de la deformación mediante un modelo consti-

tutivo hipoplástico se inicia en 1996, con los trabajos desarrollados por Tejchman y Wu 1996,

dentro del marco del continuo convencional, y Tejchman y Bauer[23], considerando la estática y

la cinemática del continuo polar que en forma adicional al convencional involucran el desarrollo

de esfuerzos acoplados generados por momentos, presentes a través de una longitud característica

representada por el diámetro promedio del grano, y la consiguiente rotación de las partículas con-

tenidas en la banda de corte. Las dos investigaciones parten del modelo hipoplástico convencional

29

CAPÍTULO 3. MODELOS HIPOPLÁSTICOS MIC 2008-II-17

desarrollado paralelamente por Bauer[2] y Gudehus[13], discutido en la sección anterior.

La simulaciones desarrolladas con el modelo hipoplástico polar consisten en representaciones

mecánicas de ensayos de compresión biaxial drenados en arena considerando de forma comparativa

arenas densas y sueltas, con varios diámetros de grano promedio.

Con el propósito de reducir la complejidad en la implementación del modelo hipoplástico polar,

el análisis se reduce a un espacio plano bidimensional propio de las condiciones del ensayo biaxial

y las expresiones generales desarrolladas para el cálculo de las tasas de incremento de Zaremba-

Jaumann de esfuerzos y esfuerzos acoplados se representan en las ecuaciones (3.2.1) y (3.2.2).

σi j = F (σkl, dckl, e, mk, kk, d50) (3.2.1)

mi = f (σkl, dckl, e, mk, kk, d50) (3.2.2)

Los parámetros involucrados en estas expresiones son:

σi j = Tensor tasa de esfuerzos de Jaumann

mi = Vector tasa de esfuerzos acoplados de Jaumann

σi j = Tensor de esfuerzos efectivos de Cauchy

dci j = Tensor tasa de deformación polar

e = Relación de vacíos

mi = Vector de esfuerzos acoplados de Cauchy

ki = Vector tasa de curvatura

d50 = Diámetro de grano promedio

La cinématica y la estática relacionada con el proceso de deformación plana considerado se rep-

resenta en la Figura 3,2,1, donde se aprecia dos grados de libertad de desplazamiento y un grado

adicional para describir la rotación de la partícula y los respectivos esfuerzos y esfuerzos acopla-

dos requeridos para el desarrollo de los desplazamientos descritos. El tensor tasa de deformación

polar es equivalente al tensor de deformación infinitesimal empleado en el continuo convencional,

con su parte simétrica y antisimétrica (tensor de giro infinitesimal) representados en las ecuaciones

(3.2.4) y (3.2.5) en función de la velocidad espacial, pero actualizado en el efecto de rotación de la

partícula representado por la tasa de rotación polar o Cosserat.

dci j = di j +wi j−wi j

c (3.2.3)

di j = (vi, j + v j,i)/2 (3.2.4)

wi j = (vi, j− v j,i)/2 (3.2.5)

30


Figure 1. Plane strain Cosserat continuum: (a) degrees of freedom (u1* horizontal displacement,

u2* vertical displacement, u# * Cosserat rotation), (b) stresses p

i+and couple stresses m

iat an element.

where f Bi

and mB are the volume body forces and volume body moment, respectively. Equations(5)(7) are equivalent to the virtual work principle

PB

(pijde

ij#m

idi

i) d<"P

B

( f Bi

dui#mBdu#) d<#PL

1B

tidu

idA#PL

2B

mdu# dA (8)

where ti"p

ijnjand m"m

ini. t

iand m are prescribed boundary tractions and moment on the

boundary L1B and L

2B with the normal vector n

i, de

ijand di

idenote virtual deformations and

curvatures, respectively, duiare virtual displacements, du# is a virtual Cosserat rotation, A stands

for the surface, and < denotes the volume. Virtual displacements and Cosserat rotations vanishon those parts of the boundary where kinematic boundary conditions are prescribed. The virtualwork principle is used to formulate the FE-equations of motion in a polar continuum[1,2,41,47,71,72]. As a consequence of micro-rotations and couple stresses, the constitutiveequation is endowed with a characteristic length corresponding to the mean grain diameter. Thus,numerical results become independent of the spatial discretization (if the element size is smallcompared to the width of shear zones) [1,47], and initial or boundary value problems remainmathematically well posed [44,55]. The polar approach can model the thickness of shear zonesand scale e!ects [2,47].

An elasto-plastic constituive law within a polar continuum was "rst proposed by MuK hlhaus[46,47,73], and was successfully applied in various boundary value problems involving shearlocalization [1,2], [28] [4850], [7177].

2.3. Polar hypoplasticity

The polar extension of the hypoplastic law [2,4,51,52,56] for the case of plane strain can beabbreviated as

ps ij"F (e, d50

, pkl, m

k, d#

kl, k

k) (9)

ms i"f (e, d50

,pkl, m

k, d#

kl, k

k) (10)

SHEARING OF A NARROW GRANULAR LAYER 5

Copyright ( 2001 John Wiley & Sons, Ltd. Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech., 2001; 25:128

Figura 3.2.1: (a)Grados de libertad en un continuo polar y (b) Esfuerzos y esfuerzos acopladosactuando sobre el elemento polar

El vector tasa de curvatura representa la variación de giro polar respecto a cada uno de los ejes

coordenados considerados, mientras que el tensor de giro polar es antisimétrico y en el caso de

deformación plana lo describe una sola componente, como se muestra en las siguientes ecuaciones:

ki = wc,i wkk

c = 0 (3.2.6)

wc21 =−w12

c = wc, wc = ωc (3.2.7)

La variación temporal de la relación de vacíos, e, debida a la trayectoria de esfuerzos desarrollada

es comúnmente representada mediante la ecuación (3.2.8)

e = (1+ e)dkk (3.2.8)

Las expresiones para el incremento objetivo de esfuerzos y esfuerzos acoplados están dadas medi-

ante las ecuaciones (3.2.9) y (3.2.10):

σi j = fs

[Li j + fd Ni j

√dc

kl2 + k2

k d502]

(3.2.9)

mi = fs

[Li

c + fd Nic√

dckl

2 + k2k d50

2]

d50 (3.2.10)

Donde los términos Li j, Ni j y Lci , Nc

i conforman los tensores de deformación lineal y no lineal

empleados en el cálculo del incremento objetivo de esfuerzos y de momentos respectivamente, y

que se encuentran definidos mediante las funciones indicadas a continuación, y que se analizarán

31


en detalle más adelante:

Li j (σkl, mk, dklc, kkd50) Ni j (σi j) (3.2.11)

Lci (σkl, mk, dkl

c, kkd50) Nci (mi) (3.2.12)

De acuerdo a la Ley de Compresión de Bauer[22], que resume la evidencia experimental en la

que las relaciones de vacío máxima, ei, crítica, ec, y mínima ed decrecen con el incremento del

esfuerzo promedio, ps, y tienden a un estado asintótico a un nivel de esfuerzo promedio elevado,

siguiendo una distribución exponencial, y que se plantea gráficamente en la Figura 3,2,2. Tomando

Figura 3.2.2: Relaciones de vacíos dependientes de la presión

como referencia relaciones de vacíos iniciales máxima eio, crítica eco y mínima edo, la evolución de

la densidad expresada en términos de la relación de vacíos con cambios en el nivel de presión se

ajusta a la ecuación (3.2.13) y el esfuerzo promedio, con el tensor de esfuerzos en sistema de ejes

principales, a la ecuación (3.2.14)

ei

eio

=ec

eco

=ed

edo

= exp[−(

3ps

hs

)n](3.2.13)

ps =−σkk/3 (3.2.14)

En la ecuación (3.2.13) los subíndices o,_ hacen referencia a relaciones de vacíos iniciales y actuales,

respectivamente.

El coeficiente de compresión n, parámetro de forma, y la dureza del esqueleto granular hs,

32


parámetro de escala, representan la curvatura y la pendiente de la curva de compresión oedométrica,

como se esquematiza en la Figura 3,2,3 y se expresan mediante las ecuaciones (3.2.15) y (3.2.16)

[15].

Figura 3.2.3: Determinación de n y hs

n = ln

(ep1 λ2

ep2 λ1

)/ ln

(ps2

ps1

)(3.2.15)

hs = 3 ps (n ep/λ ) (3.2.16)

Definida la dependencia de la rigidez y la resistencia cortante de los materiales granulares de la

densidad y del nivel de presión, en las ecuaciones (3.2.17) y (3.2.18) se presentan los factores

de picnotropía y en las ecuaciones (3.2.19) y (3.2.20) el factor de barotropía y en las ecuaciones

(3.2.22) y (3.2.23) el factor de rigidez, planteados po Bauer y Gudehus:

fe = (ec/e)β (3.2.17)

fd = [(e− ed)/(ec− ed)]α (3.2.18)

El factor fe toma en cuenta el incremento en la rigidez con la disminución en la relación de vacíos.

El parámetro β es el coeficiente de rigidez representa la sensibilidad de la rigidez con relación a la

densidad, y el parámetro α es el coeficiente de picnotropía y establece la variación existente entre

el nivel de esfuerzos en el estado pico y el estado residual del suelo.

Combinando el efecto de picnotropía dado por fe y el efecto de barotropía dado por el factor fb

33


propuesto por Gudehus[13], y cuya expresión elaborada corresponde a la ecuación (3.2.19), resulta

el factor de rigidez, fs, ecuación (3.2.23)

fb =hs

nhi

1+ ei

ei

(eio

eco

)β(−σkk

hs

)1−n

(3.2.19)

hi =1c2

1

+13−(

eio− edo

eco− edo

)α 1

c1

√3

(3.2.20)

(3.2.21)

fe

(eio

eco

)β

=(ec

e

)β

(eio

eco

)β

=(ei

e

)β

(3.2.22)

fs = fb fe =hs

nhi

1+ ei

ei

(ei

e

)β

(−σkk

hs

)1−n

(3.2.23)

Las funciones tensoriales lineal y no lineal explícitas para el cálculo del incremento de esfuer-

zos de Zaremba-Jaumann corresponden a las ecuaciones (3.2.24) y (3.2.25), mientras que para el

incremento de esfuerzos acoplados se emplean las ecuaciones (3.2.27) y (3.2.28):

Li j = a12 di j

c + σi j (σkl dklc + mi kk d50) (3.2.24)

Ni j = a1

(σi j + σ

∗i j

)(3.2.25)

(3.2.26)

Lci = a1

2 ki d50 +a12 mi (σkl dkl

c + mi kk d50) (3.2.27)

Nci = a1

2 ac mi (3.2.28)

Los parámetros involucrados en estas funciones tensoriales son:

σi j = Tensor de esfuerzos normalizado

σ∗i j = Parte desviadora de σi j

mi = Vector de esfuerzos acoplados normalizado

a1 = Radio de puntos de esfuerzos críticos

ac = Parámetro micropolar

Las ecuaciones para obtener los tensores de esfuerzos y el vector de esfuerzos acoplados normal-

izados se pueden apreciar en la expresión (3.2.29).

σi j =σi j

σkk

σ∗i j = σi j−

δi j

3mi =

mi

σkk d50

(3.2.29)

Un radio de puntos de esfuerzos críticos constante, a1, corresponde a una circunferencia en el

plano desviador, similar a la condición límite de Drucker-Prager, pero en condiciones reales este

34


parámetro es función de la dirección del esfuerzo desviador que se puede establecer por medio del

Ángulo de Lode, ϑ , que se puede obtener a través de la siguiente función:

cos3ϑ =−√

6tr(σ ∗3kl )[

tr(σ ∗2kl )]3/2 (3.2.30)

De esta manera a1 se puede describir como función de c1, constante de fricción a compresión, y

c2, constante de fricción a extensión, basándose en el análisis de la Figura 3,2,4 y expresado en la

ecuación (3.2.31):

Figura 3.2.4: Superficie de esfuerzos críticos en el plano desviador unitario

a−11 : = c1 + c2

√σ ∗

2kl [1+ cos3ϑ ] (3.2.31)

Mediante la manipulación de la función de la superficie de esfuerzos críticos se pueden introducir

diferentes condiciones límites dentro del modelo general de Bauer y Gudehus, que ha sido la base

para el desarrollo del modelo hipoplástico tratado, tal y como fue indicado por Bauer y Herle en

1999[4], que establecen las relaciones entre los parámetros F , a y el factor de rigidez, fs del modelo

hipoplástico de Wolffersdorff, mediante los cuales incorpora la condición límite de Matsuoka-

Nakai y el concepto de estado crítico, y el parámetro a1 y el factor de rigidez, fs del modelo de

Bauer y Gudehus, expresadas como:

F =a1

afsW =

fsB

a2(3.2.32)

35


Las constantes de fricción c1 y c2 se obtienen de la consideración del estado crítico, los parámetros

identificados con el símbolo 5 se entiende como correspondiente a un ensayo de compresión triaxial

y el símbolo 4 a un ensayo de extensión triaxial, para cada uno de estos ensayos se obtiene el

coeficiente de tierras en reposo K como se muestra en las siguientes expresiones:

c1

√σ ∗2

kl5 = 1 (3.2.33)

K5 =(

σ22

σ11

)5=

1− sinϕ5c

1+ sinϕ5c(3.2.34)

c1 =

√32

1+2K5

1−K5(3.2.35)

√σ ∗2

kl4[c1 +2c2

√σ ∗2

kl4]

= 1 (3.2.36)

K4 =(

σ22

σ11

)4=

1− sinϕ4c

1+ sinϕ4c(3.2.37)

c2 =34

(1+2K4)(2+K5+K4+4K4K5)(1−K5)(K4−1)2 (3.2.38)

Con el propósito de llegar a las expresiones (3.2.39) se debe desarrollar el tensor de esfuerzos

desviadores normalizado, obtener su norma y reemplazarla en las ecuaciones (??) y (??), despe-

jando las constantes de fricción y dividiendo la expresión compleja por σ11, las constantes quedan

en función de K como se muestra en las ecuaciones (3.2.35) y (??), que al ser reemplazado por sus

equivalencias dadas por las ecuaciones (3.2.34) y (3.2.37).

c1 =

√38

(3− sinϕc)sinϕc

, c2 =38

(3+ sinϕc)sinϕc

(3.2.39)

En estas ecuaciones el parámetro ϕc representa el ángulo de fricción crítico.

El parámetro micropolar, ac, controla la influencia de las cantidades polares. Tejchman ha prop-

uesto una correlación de ac con el radio de puntos de esfuerzos críticos (ecuación (3.2.40)), que

simplificando y considerando un ángulo de fricción crítico igual para los ensayos de compresión y

extensión, y en el caso de las arenas típicas permite definir un rango entre 1 y 5.

ac = (0,5−1,5)∗a−11 (3.2.40)

36


3.3. Hipoplasticidad No Local

Thomas Maier en 2002 [16], [17] propone un método alternativo para la modelación del fenó-

meno de localización de la deformación en arenas, mediante el desarrollo del continuo no local en

el modelo hipoplástico, que considera que el estado físico y por tanto el valor de cualquier variable

local para un elemento de la muestra no es aleatoria e independiente de la condición de los ele-

mentos adyacentes, e introduce una estimación basada en promedios ponderados de dicha variable

local. Este enfoque al igual que el polar considera una escala de longitud que toma en cuenta la

microestructura del material. De esta manera hace un estudio detallado de dependencia del tamaño

y orientación de la malla, demostrando que este modelo es apropiado para los fines pretendidos de

simulación numérica, inclusive aplicándolo a un problema de valor de contorno para fundaciones.

El continuo no local fue establecido por Eringen en 1972, con la idea de involucrar una variable

no local en la ecuación constitutiva, resultante del cálculo del promedio ponderado de la correspon-

diente variable local en todos los puntos materiales considerados. Partiendo de la expresión general

de la ecuación hipoplástica, ecuación (3.3.1)

T = L(T,e) : D+N(T,e)‖D‖ (3.3.1)

La variación al modelo hipoplástico no local se consigue con la definición del escalar

‖D‖2 = D : D = κ (3.3.2)

De tal forma que la parte lineal de la ecuación (3.3.1) permanece en condición local mientras que

la no lineal, que controla el ablandamiento del material, se convierte en no local, así la ecuación

hipoplástica se puede presentar con una parte local y no local, como se muestra en las ecuaciones

(3.3.3), (3.3.4) y (3.3.5).

T = Tl + Tnl (3.3.3)

Con

Tl = L(T,e) : D, (3.3.4)

Tnl = N(T,e)√

(D : D)? = N(T,e)√

κ ? (3.3.5)

Donde ? representa la cantidad no local

La variable no local κ ? en un dominio V esta relacionada a los valores locales de κ por la

37


Tabla 3.3.1: Parámetros hipoplásticos para Arena de Karlsruhe

ϕc [] hs [MPa] n edo eco eio α β

30 5800 0.28 0.53 0.84 1.00 0.13 1.05Herle, 1997

definición planteada en la ecuación (3.3.6).

En esta expresión xi es una coordenada global y xi es una coordenada local con origen en el

punto donde se considera el promedio, w es una función de peso no local, y el denominado volumen

representativo, V r, esta definido por la ecuación (3.3.7).

κ?

(x) =1

V r(x)

∫V

w(x) κ(x+x) dx (3.3.6)

V r(x) =∫

Vw(x) dx (3.3.7)

El volumen representativo es un factor de escala que implica que para un campo constante de κ ,

la variable no local permanecerá local. El parámetro de longitud interna, l, que puede relacionarse

en número de veces al diámetro promedio del grano d50, se incorpora al modelo constitutivo por

medio de la función de peso w, para la cual se emplea la Distribución Gaussiana:

w(r) =1

l√

πe−(r/l)2

(3.3.8)

En la ecuación (3.3.8), r es la distancia desde el punto i donde se considera el promedio, a todos los

puntos adyacentes j, y que es dado por r = | x | = |xi− x j |, de esta manera solo puntos materiales

dentro de esta distancia de unas pocas veces la longitud interna hacen parte del proceso de pon-

deración. La función de peso también restringe la ponderación a una área representativa pequeña

entorno al punto material considerado.

De esta manera el modelo hipoplástico no local se puede expresar como:

T = h(T,D,e, l) (3.3.9)

Donde es representado por el tensor de esfuerzos de Cauchy T, el tensor infinitesimal de deforma-

ción D y de la relación de vacíos e, que a su vez depende de la longitud interna de escala l.

Maier desarrolló una serie de simulaciones de ensayos biaxiales empleando Arena de Karl-

sruhe, con los siguientes los parámetros hipoplásticos indicados en la Tabla 3,3,1 La muestra bi-

axial media 14 cm de alto por 4 cm de ancho, con lubricación total los platos superior e inferior.

38


Después de compresión homogénea con presión de cámara de 200 kPa, se aplica compresión axial

mediante desplazamiento vertical de los nodos superiores. La muestra se mantiene fija horizontal-

mente en la mitad de la parte superior con el propósito de garantizar la estabilidad, los nodos en la

parte inferior se fijan verticalmente. La longitud interna se fija como l =2.2 mm, el peso unitario

seco es, γd = 17 kN/m3. A continuación se muestran los resultados de uno de dos experimentos,

el indicado con una relación de vacíos inicial de eo=0.55, con una imperfección con una relación

de vacíos más grande, e∗ = 1,1 · eo, que es introducida en la mitad izquierda de la muestra, y que

consiste en una región de 1.0×1.4 cm. Para efectos de la simulación se emplearon tres mallas

conformadas por 640, 2560 y 10240 elementos triangulares. Con el propósito de evitar el bloqueo

de cortante[10] los elementos son dispuestos como elementos triangulares cruzados con una in-

clinación de la malla de α = 54. Las mallas deformadas y el esquema de tasa de deformación

desviadora en una deformación axial de 12.4 % se muestran en la Figura 3,3,1. En esta figura se

for the coarse and the fine mesh almost coincide,although in the fine mesh 16 times more elements areemployed than in the coarse mesh. For the residual stateall curves coincide again.However, in contrast to the calculations with the local

hypoplastic model, the calculations with the proposednonlocal hypoplastic model run much more smoothlywith faster convergence of the iteration process andbigger time step sizes, when using automatic time incre-mentation.

Mesh alignment is also investigated for the planestrain biaxial test on dense Karlsruhe sand. Therefore,the above described biaxial test is discretized with var-ious inclined mesh lines in the range of =30–65. Theresults, shown in Fig. 3, are almost invariant to theinfluence of the mesh lines and the inclination of theshear band varies only in a relative small range of#=55–59. Compared with experimental results thecalculated values of shear band inclination are in goodagreement. With dense Karlsruhe sand Vardoulakis andGraf [34] obtained #=58.2. . .60.1 and Yoshida andTatsuoka [35] #=58.0. . .59.0.

6. Influence and determination of internal length from

biaxial test

For determining the influence of the internal length l aseries of FE-calculations on dense Karlsruhe sand iscarried out for different values of l in a range between1.7 and 5.0 mm. The boundary conditions, materialparameters and value of confining pressure are the sameas in the previous calculations. Fig. 4 shows the com-puted normalized stress-strain curves for the various

Fig. 2. Normalized stress–strain curves for a confining pressure T22= 200 kPa. (a) Medium dense sand e0=0.65; (b) dense sand e0=0.55.

Fig. 1. Deformation patterns and contour plots of deviatoric strain

rate for a vertical compression u1=h ¼ 12; 4% (e0=0.55, T22= 200

kPa).Fig. 3. Contour plots of deviatoric strain rate for different mesh

alignements u1=h ¼ 12; 4%; e0 ¼ 0:55; T22 ¼ 200 kPað Þ.

604 Th. Maier / Computers and Geotechnics 30 (2003) 599–610

Figura 3.3.1: Trayectorias de deformación y contornos de tasa de deformación desviadora[16]

aprecia que la independencia del espesor de la banda de corte, t ∼= 1.6 cm, con respecto al tamaño

de la malla, y la inclinación de la misma ϑ = 57-58, mayor que la inclinación de la malla. En la

39


Figura 3,3,2 se aprecia una coincidencia en el comportamiento de ablandamiento para cada una de

las muestras, y la relación de ablandamiento de una muestra a otra esta de acuerdo con la evidencia

experimental de la influencia de la densidad inicial del material. En este trabajo también se analizó





biaxial test








Figura 3.3.2: Curvas normalizadas esfuerzo-deformación (a) Arena medio densa, eo=0.65 (b) Are-na densa, eo=0.55[16]

el efecto de la inclinación de la malla, planteando valores de α de 30, 50 y 65, llegando a la con-

clusión que la influencia de la misma era despreciable, tal y como se observa en la Figura 3,3,3.





biaxial test








Figura 3.3.3: Contornos de tasa de deformación desviadora para diferentes inclinaciones demalla[16]

40

Capítulo 4

Modelo de Elementos Finitos

En el desarrollo de ensayos elementales, la implementación de un modelo constitutivo consid-

era que el campo de deformaciones es homogéneo, es decir las resultantes de deformación siempre

serán cero o colineales con el sistema de coordenadas de referencia, de tal forma que el fenómeno

de localización de la deformación, caracterizado por la transición de un estado de deformación

homogénea a inhomogénea, no es reproducible por medio de este tipo de simulaciones, sólo a

través de una modelación con elementos finitos, en la cual la interacción y el equilibrio de las re-

spuestas mecánicas de deformación de cada uno de los elementos del material pueden evidenciar

la formación de superficies de falla o bandas de corte.

4.1. Ensayos elementales

Con esta consideración para el estudio detallado y la implementación del modelo hipoplásti-

co polar se desarrollaron una serie de ensayos elementales a través de hoja electrónica EXCEL,

utilizando los parámetros hipoplásticos de la Arenas de Karlsruhe y de Lausitz, indicados en la

Tabla 4,1,1. Estos ensayos corresponden a una prueba triaxial drenada, no drenada y oedométrica,

que se comparan con los resultados de la implementación del modelo hipoplástico convencional

propuesto por Wolffersdorff[27].

4.1.1. Ensayo triaxial no drenado

Para el ensayo elemental triaxial no drenado se emplearon los parámetros de la Arena de

Lausitz, con una relación de vacíos inicial eo = 0.67, llevando al muestra a un estado de compre-

41

CAPÍTULO 4. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS MIC 2008-II-17

Tabla 4.1.1: Parámetros hipoplásticos para Arenas de Karlsruhe y Lausitz

Arena ϕc [] hs [MPa] n edo eco eio α β d50 [mm] ac

Karlsruhe 30 5800 0.28 0.53 0.84 1.00 0.13 1.00 0.40 5.00Lausitz 33 1600 0.19 0.44 0.85 1.00 0.25 1.00 0.25 5.00

Herle and Gudehus, 1999

sión isotrópica de 900 kPa, y luego aplicando un esfuerzo desviador hasta una deformación axial

de 8 %, como se puede apreciar en la Figura 4,1,1 (a), en esta gráfica también se presentan los

resultados experimentales indicados por Herle y Gudehus [15] observando una precisión apropia-

da de los mismos con las simulaciones desarrolladas con el modelo hipoplástico de Wolffersdorff

e hipoplástico polar de Tejchman y Bauer. En cuanto al comportamiento del exceso de presión

de poros, Figura 4,1,1 (b), también se observa concordancia entre la evidencia experimental y las

simulaciones indicadas.

4.1.2. Ensayo triaxial drenado

Para la simulación del ensayo triaxial drenado se usaron los parámetros de la Arena de Karl-

sruhe tomando una relación de vacíos eo = 0.53, la muestra fue comprimida isotrópicamente hasta

una presión de cámara de 1 MPa, llevándola a la falla hasta una deformación axial de 8 %, Figura

4,1,2 (a), donde se aprecia el comportamiento de ablandamiento por deformación propia de una

muestra densa drenada, que también se ve reflejado en la respuesta de deformación volumétrica,

que contrae hasta una deformación axial de 4 %, para seguir en proceso de dilatancia, Figura 4,1,2

(b).

4.1.3. Ensayo oedométrico

En el ensayo oedometrico, de nuevo se emplea la Arena de Karlsruhe, preparando una muestra

para compresión con una relación de vacíos eo = 0.55, aplicando escalones de carga hasta los

300 kPa y luego descargándola totalmente. La muestra llega a una deformación axial de 1.4 %,

recuperando un 0.3 % en la fase de descarga, como se puede apreciar en la Figura 4,1,3.

4.1.4. Influencia de parámetros poles en el comportamiento mecánico del suelo

Como se indicó inicialmente, dado que en esta etapa de desarrollo de ensayos elementales los

resultados de deformación no homogénea no son evidentes en las respuestas mecánicas simuladas,

42


Figura 4.1.1: Curvas (a) Esfuerzo desviador y (b) Presión de poros vs Deformación axial, ensayotriaxial CU

se procedió a introducir desequilibrios en los momentos iniciales dentro de la muestra para deter-

minar la influencia del parámetro micropolar, ac en el comportamiento de los esfuerzos acoplados,

Figura 4,1,4. En esta gráfica se puede ver que el parámetro polar efectivamente controla la respues-

ta de las cantidades polar, tal como propone Tejchman[24], y esta relacionado en forma directa con

la rugosidad del grano, es decir con un bajo valor de ac se espera una baja rugosidad del grano

que conlleva a un mayor efecto de los momentos que se puedan generar entorno al grano de arena,

a un mayor valor de ac la alta rugosidad del material influye en una disipación rápida del efecto

rotacional en el mismo. En el proceso de análisis del modelo hipoplástico polar se observó que la

velocidad angular, w, es un parámetro de entrada que condiciona el comportamiento del mismo y

que Tejchman no establece claramente, de esta forma se hizo un estudio de relación de esta ve-

43


Figura 4.1.2: Curvas esfuerzo desviador y deformación volumétrica vs deformación axial, ensayotriaxial CD

locidad con la tasa de deformación axial, Figura 4,1,5, estableciendo que para obtener la respuesta

esperada del nivel de esfuerzos que efectivamente puede soportar la muestra, la velocidad angular

debe corresponder a una tasa 10−2 veces inferior a la axial.

4.2. Implementación del Ensayo biaxial en Elementos Finitos

Con el propósito de observar en detalle el proceso de localización, por medio de la generación

de deformación no homogénea en el suelo, se implementó el modelo hipoplástico convencional por

medio de la rutina UMAT desarrollada por Andrzej Niemunis, en la simulación de un ensayo de de-

44


Figura 4.1.3: Curva deformación vs esfuerzo axial, ensayo oedométrico

formación plana, trabajo adelantado por Tejchman y Wu [25], con las recomendaciones planteadas

por Tejchman y Maier para este tipo de simulaciones.

La muestra biaxial tiene 14 cm de alto y 4 cm de ancho, el tipo de elemento empleado para pre-

venir el bloqueo volumétrico en plasticidad dilatante e isocórica indicadas por Tejchman y Maier y

establecidas por Nagtegaal[10] y Needleman [20], corresponde a un triángulo solido de dos dimen-

siones, de deformación plana, con la disposición indicada en la Figura 4,2,1. El material empleado

para la implementación corresponde a Arena de Karlsruhe, cuyos parámetros hipoplásticos fueron

indicados en la Tabla 3,3,1, el peso unitario inicial del material es de γd = 17 kN/m3 que corre-

sponde a una relación de vacíos eo = 0.55. Se incluyo una debilidad en la muestra consistente en

un área de 0.5×0.7 cm del mismo material, resaltada en la 4,2,1, pero con un γd = 14 kN/m3 y una

relación de vacíos eo = 0.605.

Los pasos de simulación consisten en una etapa geostática en la que se garantiza un equilibrio

del material bajo la acción de su peso propio con restricción vertical de los nodos inferiores, y

fijación horizontal en los nodos centrales superior e inferior, con el propósito de garantizar la

estabilidad de la muestra, una segunda etapa de compresión con presión de confinamiento hasta 200

kPa aplicada en las superficies laterales y superior, y por último una tercera etapa de corte, en la que

se retira la restricción al movimiento horizontal del nudo central inferior, con aplicación de carga

axial adicional a la presión de confinamiento, con deformación controlada hasta una deformación

del 6 %. Las condiciones de borde para las etapas de compresión y de corte se muestran en la

Figura 4,2,2.

Los resultados gráficos correspondientes a la simulación del ensayo biaxial, con un un factor de

45


Figura 4.1.4: Influencia del parámetro polar en la respuesta de esfuerzos acoplados

escala de deformación de 1.6, se presentan a continuación. El comportamiento de la deformación

cortante ε12 dentro de la muestra, al final de la etapa de compresión se muestra en la Figura 4,2,3, y

en la etapa de corte a los niveles de 2.5 %, 3.4 % y 6.0 % de deformación axial, ε1, se muestran en la

Figura 4,2,4. Como se aprecia en la Figura 4,2,3, con la inclusión del elemento débil en la muestra

de suelo, dada la geometría indicada que favorece la simulación de la respuesta de cortante y las

mismas condiciones de borde impuestas en el ensayo biaxial, al final de la etapa de compresión el

comportamiento de deformación cortante no es homogéneo en la muestra, y se observan patrones

de concentración de esta deformación de manera similar a la evidencia experimental, en la que

se distingue zonas de localización paralelas y de sentido contrario. En la etapa de corte 4,2,4

es evidente el comportamiento no lineal de la deformación cortante y la concentración de esta

deformación cortante en una región que sigue la geometría de la malla empleada a un nivel de

deformación axial de 2.5 %, la aparición de una banda de corte paralela a la inicial y el efecto de

reflexión en la placa inferior para una ε1 = 3.4 %, y la falla del material a una ε1 = 6.0 %. Unas

de las deficiencias detectadas en esta simulación numérica es que el espesor de la banda de corte

tiene una relación evidente con el tamaño de la malla propuesto, y el hecho de mostrar efectos de

contractancia en la misma que contradice los resultados experimentales encontrados por Yoshida

et al[12], además de una total dependencia de la inclinación de la superficie de falla de la geometría

propuesta para los elementos.

El estado de esfuerzos presentes en la muestra al final de la etapa de compresión se presenta en

la Figura 4,2,5, en la que se puede deducir que el elemento débil, además de concentrar esfuerzos

condiciona la respuesta a los mismos en otras puntos de la muestra.

46


Figura 4.1.5: Efecto de la tasa de velocidad angular en el comportamiento esfuerzo - deformación,ensayo triaxial CU

Los esfuerzos cortantes presentes en la muestra en la etapa de corte a una deformación axial de

2.5 %, que se presenta en la Figura 4,2,6 (c), han alcanzado una distribución diferente a la anterior

etapa concentrándose en dirección de la banda de corte, cruzando totalmente la muestra de arena.

La distribución de esfuerzos cortantes, Figura 4,2,7 (c), en la muestra en la etapa de corte a

una deformación axial de 3.4 % también exhibe la concentración en una banda paralela a la inicial,

como se observó en el comportamiento de deformación cortante para esta misma etapa.

En la etapa final de la simulación numérica, deformación axial de 6.0 % indicada en Figura

4,2,8 (c), se puede deducir que la banda de corte mantiene el mismo nivel de esfuerzos cortantes

alcanzado en el nivel de deformación axial anterior, evidencia de la condición residual del material

localizado en la falla.

El campo de desplazamiento simulado en la muestra en la etapa de compresión y en la etapa de

corte, a niveles de deformación axial de 2.5 %, 3.4 % y 6.0 %, y que se muestra en la Figura 4,2,9,

concuerda con campos de desplazamientos

47


0,04 m.

0,14

m.

Figura 4.2.1: Malla empleada en el modelo de elementos finitos

0,04 m.0,04 m.

0,14

m.

0,04 m.0,04 m.

0,14 m

.

Figura 4.2.2: Etapas de (a) Compresión y (b) Corte en el ensayo biaxial

48


Figura 4.2.3: Estado de deformación cortante al final de la etapa de compresión

Figura 4.2.4: Estado de deformación cortante durante la etapa de corte a una deformación axial de(a) 2.5 % (b) 3.4 % y (c) 6.0 %

49


Figura 4.2.5: Estado de esfuerzos al final de la etapa de compresión

Figura 4.2.6: Estado de esfuerzos durante corte a una deformación axial de 2.5 %

50




51


Figura 4.2.9: Campo de desplazamientos en la muestra en (a) Etapa de compresión y en la Etapade corte a una deformación axial de (b) ε1 = 2.5 %, (c) ε1 = 3.4 % y (d) ε1 = 6.0 %

52

Capítulo 5

Conclusiones

- La obtención del parámetro micropolar, ac, no esta aún establecida, es importante adelantar

ensayos de tipo micromecánico que estudien su influencia en el comportamiento de resisten-

cia rotacional y la rugosidad del grano.

- Es recomendable adelantar un programa de simulaciones numéricas que permita evaluar fac-

tores como forma, rugosidad, resistencia rotacional y diámetro promedio del grano, presión

de confinamiento, densidad, por medio de teorias avanzadas como la no local, que puedan ser

validadas por medio de simulaciones micromecánicas y ensayos de laboratorio que permitan

recopilar información confiable de los procesos considerados.

- Es necesario explorar otras posibilidades del modelo constitutivo hipoplástico concebido

bajos los enfoques de teorías como la del Segundo Gradiente, y la No Local, e involucrar

los efectos de la anisotropía propia de materiales granulares como la arena por medio de

conceptos como la distribución espacial de la relación de vacíos propuestos por Nübel[19] y

desarrollados por Tejchman[9], con el desarrollo de las de las rutinas Material y Elemento

de Usuario correspondientes, que permitan su implementación a través de un software de

elementos finitos como ABAQUS.

- El modelo hipoplástico convencional no esta en capacidad de representar el fenómeno de

localización principalmente a su desarrollo basado en los conceptos de un medio continuo

convencional, que no involucra procesos como la generación de rotación de las partículas

contenidas en la banda de corte, además de mostrar fuerte dependencia del espesor de la

banda de corte del tamaño de la malla empleada por la falta de consideración de una longitud

característica y la dependencia de la inclinación de la superficie de falla de la inclinación

inmersa en los elementos finitos empleados.

- Uno de los problemas presentes en la simulación de la localización de la deformación con

53

CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES MIC 2008-II-17

el modelo hipoplástico polar es la dependencia del ángulo de inclinación de la superficie de

falla de la geometría propuesta para los elementos triangulares empleados en el modelo de

Elementos finitos.

- El modelo hipoplástico no local representa adecuadamente la concentración de deformación

cortante en la banda de corte eliminando por completo las dependencias del tamaño y la

geometría de la malla, en la representación del espesor e inclinación de la superficie de falla.

- La implemetación del ensayo de deformación plana por medio del método de elementos

finitos, permitirá de manera posterior la estimación de las relaciones de vacíos en la muestra

de suelo, en diferentes niveles de deformación, para un posible análisis de bifurcación similar

al propuesto inicialmente por Wu y Sikora [28], [29] y Bauer[3].

54

Bibliografía

[1] J.P. Bardet. Observations on the effects of particle rotations on the failure of idealized granular

materials. Mechanics of Materials, 18:159–182, 1994.

[2] E. Bauer. Calibration of a comprehensive hypoplastic model for granular materials. Soils and

Foundations, 36:13–26, 1996.

[3] E. Bauer. Analysis of shear band bifurcation with a hypoplastic model for a pressure and

density sensitive granular material. Mechanics of Materials, 31:597–609, 1999.

[4] E. Bauer and I. Herle. Stationary states in hypoplasticity. Constitutive Modeling of Granular

Materials, pages 167–192, 2003.

[5] J. Desrues. La localisation de la déformation dans les matériaux granulaires. PhD Thesis.

Grenoble University, 1985.

[6] A. Drescher et al. A biaxial apparatus for testing soils. Geotechnical Testing Journal, 13:226–

234, 1990.

[7] J. Desrues et al. Localization of the deformation in tests on sand sample. Engineering Frac-

ture Mechanics, 21:909–921, 1985.

[8] J. Desrues et al. Void ratio evolution inside shear bands in triaxial sand specimens studied by

computed tomography. Géotechnique, 46:529–546, 1996.

[9] J. Tejchman et al. Effect of fabric anisotropy on shear localization in sand during plane strain

compression. Acta Mechanica, 189:23–51, 2007.

[10] J.C.Ñagtegaal et al. On numerically accurate finite element solutions in the fully plastic range.

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 4:153–177, 1974.

[11] J.R.F. Arthur et al. Plastic deformation and failure in granular media. Géotechnique, 27:53–

74, 1977.

55

BIBLIOGRAFÍA MIC 2008-II-17

[12] T. Yoshida et al. Shear banding in sands observed in plane strain compression. Localisation

and Bifurcation Theory for Soils and Rocks, pages 165–179, 1994.

[13] G. Gudehus. A comprehensive constitutive equation for granular materials. Soils and Foun-

dations, 36:1–12, 1996.

[14] C. Han and I. Vardoulakis. Plane-strain compression experiments on water-saturated fine-

grained sand. Géotechnique, 41:49–78, 1991.

[15] I. Herle and G. Gudehus. Determination of parameters of a hypoplastic constitutive model

from properties of grain assemblies. Mechanics of Cohesive-Frictional Materials, 4:461–486,

1999.

[16] Th. Maier. Nonlocal modeling of softening in hypoplasticity. Computer and Geotechnics,

30:599–610, 2003.

[17] Th. Maier. Comparison of non-local and polar modeling of softening in hypoplasticity. Inter-

national Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechancs, 28:251–268, 2004.

[18] H.-B. Mühlhaus and I. Vardoulakis. The thickness of shear bands in granular materials.

Géotechnique, 37:271–283, 1987.

[19] K.Ñübel. Experimental and Numerical Investigation of Shear Localization in Granular Ma-

terial. Publication Series of the Institute of Soil Mechanics and Rock Mechanics, Karlsruhe

University, No. 159, 2002.

[20] A.Ñeedleman and V. Tvergaard. Analyses of plastic flow localization in metals. Applied

Mechanics Review, 45:S3–S18, 1992.

[21] P.L. Newland and B.H. Allely. Volume changes in drained triaxial tests on granular materials.

Géotechnique, 7:17–34, 1957.

[22] A.Ñiemunis. Extended hypoplastic models for soils. Gdansk University of Technology., 2003.

[23] J. Tejchman and E. Bauer. Numerical simulation of shear band formation with a polar hy-

poplastic constitutive model. Computer and Geotechnics, 19:221–244, 1996.

[24] J. Tejchman and G. Gudehus. Shearing of a narrow granular layer with polar quantities. In-

ternational Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 25:1–28, 2001.

[25] J. Tejchman and W. Wu. Numerical simulation of shear band formation with a hypoplastic

constitutive model. Computer and Geotechnics, 18:71–84, 1996.

[26] I. Vardoulakis. Shear band inclination and shear modulus on sand in biaxial tests. Interna-

tional Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 4:103–119, 1980.

56

BIBLIOGRAFÍA MIC 2008-II-17

[27] P.-A. von Wolffersdorff. A hypoplastic relation for granular materials with a predefined limit

state surface. Mechanics of Cohesive-Frictional Materials, 1:251–271, 1996.

[28] W. Wu and Z. Sikora. Localized bifurcation in hypoplasticity. International Journal of En-

ginnering Science, 29:195–201, 1991.

[29] W. Wu and Z. Sikora. Localized bifurcation of pressure sensitive dilatant granular materials.

Mechanics Research Communications, 19:289–299, 1992.

57

LOCALIZACION DE CORTANTE EN SUELOS E HIPOPLASTICIDAD

Documents

Transcript of LOCALIZACION DE CORTANTE EN SUELOS E HIPOPLASTICIDAD