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Coordinación de Matemática y Estadística ME-003 Cálculo I

Límites que tienden al infinito

Este material tiene como finalidad dar unpequeño recorrido por el cálculo de límitesinfinitos.

Se plantean una serie de ejercicios, los cualesserán resueltos paso a paso y resaltandoaquellos aspectos importantes para resolvercada uno de ellos.

El tema de límites que tienden al infinito esnecesario para calcular asíntotas y graficaciónde funciones que será retomado en unidadesposteriores.

Presentación

2

Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III

Índice

Presentación 2

A manera de inicio 4

Límites infinitos 5

Teorema 6

Operaciones con infinito 7

Ejercicio 1 8

Ejercicio 2 14

Ejercicio 3 21

Ejercicio 4 28

Cierre 39

Créditos 40


3

A continuación se le presentan una serie de ejercicioscon la finalidad de mostrar lo más descriptivo posiblelos procedimientos para poder resolver cada uno delos límites propuestos.


A manera de inicio

4

Un límite se dice que es al infinito cuando la “x” tiendeal infinito, ya sea positivo o negativo.

A continuación se muestra el siguiente límite:lim$→±'

1) = 0

Límites infinitos


5

Si ! es una constante y " es un número racional positivo, entonces

lim&→±)!*+ = !

±∞ = 0

Teorema


6

Operaciones con infinito

§ ! " +∞ = +∞, '( ! > 0−∞, '( ! < 0

§ ! " −∞ = +∞, '( ! < 0−∞, '( ! > 0

§+∞ " +∞ = +∞

§ −∞ " −∞ = +∞

§ +∞ " −∞ = −∞

§ +∞ + ! = +∞

§ −∞ + ! = −∞

§ (+∞) + (+∞) = +∞

§ −∞ + −∞ = −∞


7

A continuación se presenta un ejercicio en el cuál sedebe calcular el límite.

lim$→&'4)* − 28) + 49)0 + )* − 5) + 3

Se factoriza el numerador y el denominador sacando a factor común la “x” con mayor exponente.

Ejercicio 1


8

Ejercicio 1Paso 1

Se factoriza el numerador, sacando a factor común la“x” con mayor exponente.

lim$→&'4)* − 28) + 49)0 + )* − 5) + 3

Para calcular los exponentes de la expresión, a cadabase “x” se le resta al exponente mayor.

4)* − 28) + 49 =

)* 4)*4* − 28)54* + 49)64* =

)* 4 − 28) + 49)*


9

Paso 2

Se factoriza el denominador, sacando a factor común la “x” con mayor exponente.

lim$→&'

() 4 − 28( + 49()(0 + () − 5( + 3


(0 + () − 5( + 3 =

(0 1(050 + ()50 − 5(650 + 3(750 =

(0 1 + 1(6 −

5() +

3(0

Ejercicio 1Tema: Límites que tienden al infinito, Unidad III

10

Paso 3

Todas las expresiones de la forma !"# , con $ un

número real y % un número natural tienden a cero.

lim"→*+

,- 4 − 28, + 49,,4 1 + 1

,6 −5,- +

3,4

Numerador:

,- 4 − 28, + 49,

Denominador:

,4 1 + 1,6 −

5,- +

3,4

00

000


11

Paso 5Sustituyendo la “x” por los ceros en la expresión

lim$→&'() 4 − 0 + 0

(. 1 + 0 − 0 + 0

Paso 6Se simplifica la expresión

lim$→&'4()1(.

Queda la expresión:

lim$→&'4()1(.

lim$→&'4()1(. = lim$→&'

4( = 0


12

Ejercicio 1Paso 7: Respuesta

Gráfica

lim$→&'4)* − 28) + 49)0 + )* − 5) + 3 = 0


13


lim$→&'−11*+ + 3*. + 9**0 + 5*2 − 11* + 17

Se factoriza el numerador y el denominadorsacando a factor común la “x” con mayorexponente.

Ejercicio 2


14

Ejercicio 2Paso 1

Se factoriza el numerador, sacando a factor común la “x”con mayor exponente.

lim$→&'−11*+ + 3*. + 9**0 + 5*2 − 11* + 17


11*+ + 3*. + 9* =

*+ −11*+&+ + 3*.&+ + 9*5&+ =

*+ −11 + 3*0 +

9*6


15

Paso 2Se factoriza el denominador, sacando a factor común la “x” con mayor exponente.

lim$→&'

() −11 + 3(. +

9(0

(. + 5(2 − 11( + 17


(. + 5(2 − 11( + 17 =

(. (.&. + 5(2&. − 11(5&. + 17(6&. =

(. 1 + 5(5 −

11(2 +

17(.


16

Paso 3

Todas las expresiones de la forma !"#, con $ un número real y % un número natural tienden a cero.

lim"→*+

,- −11 + 3,2 +

9,4

,2 1 + 5,6 −

11,7 +

17,2

Numerador:

,- −11 + 3,2 +

9,4

Denominador:

,2 1 + 5,6 −

11,7 +

17,2

00

000


17


lim$→&'() −11 + 0 + 0(. 1 + 0 − 0 + 0

Paso 5Se simplifica la expresión

lim$→&'−11()1(.

lim$→&'−11()1(.

lim$→&'−11()1(. = lim$→&' −11(0


18

Paso 6

Al simplificar queda

lim$→&' −11*+

Paso 7: Respuesta

lim$→&' −11*+ = −11 −∞ + = −11 . +∞ = +∞

Ejercicio 2

lim$→&'−11*0 + 3*+ + 9**3 + 5*5 − 11* + 17 = +∞


19

GráficaEjercicio 2

lim$→&'−11*+ + 3*. + 9**0 + 5*2 − 11* + 17 = +∞


20


lim$→&'3)** + 2)- + 9)/ − 6−18)** + 5)/ − 9)

Ejercicio 3

Se factoriza el numerador y el denominador sacando afactor común la “x” con mayor exponente.


21

Paso 1

Se factoriza el numerador, sacando a factor común la“x” con mayor exponente.

lim$→&'3)** + 2)- + 9)/ − 6−18)** + 5)/ − 9)

Ejercicio 3


3)** + 2)- + 9)/ − 6 =

)** 3)**6** + 2)-6** + 9)/6** − 6)76** =

)** 3 + 2)8 +

9)9 −

6)**


22

Paso 2

Se factoriza el denominador, sacando a factor común la “x” con mayor exponente.

lim$→&'

()) 3 + 2(- +

9(/ −

6())

−18()) + 5(5 − 9(


−18()) + 5(5 − 9( =

()) −18())7)) + 5(57)) − 9()7)) =

()) −18 + 5(/ −

9()8


23

Paso 3

Todas las expresiones de la forma !"#, con $ un número real y % un número natural tienden a cero.

lim"→*+

,-- 3 + 2,1 +

9,3 −

6,--

,-- −18 + 5,3 −

9,-9

Ejercicio 3

Numerador:

,-- 3 + 2,1 +

9,3 −

6,--

Denominador:

,-- −18 + 5,3 −

9,-9

0 0 0

0 0


24

Paso 4Sustituyendo la “x” por los ceros en la expresión.

lim$→&'()) 3 + 0 + 0 − 0()) −18 + 0 − 0

Paso 5Se simplifica la expresión, cancelando

lim$→0'3())−18())

lim$→0'3())−18())

lim$→0'3())−18()) = lim$→0'

−16


25

Paso 6Se evalúa el límite

lim$→&'−16 =

Paso 7: Respuesta

lim$→&'−16 = −1

6

Ejercicio 3

lim$→,'3.// + 2.2 + 9.4 − 6−18.// + 5.4 − 9. = −1

6


26

Gráfica


27


lim$→&' 9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)

Esta expresión es de la forma −∞+∞, por lo que seconsidera indeterminado y por ende hay queracionalizar la expresión.

Ejercicio 4


28

Paso 1

Se racionaliza el numerador

lim$→&' 9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)

lim$→&'9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)

1 1 9)* + 5) − 1 + 25)* + 14)9)* + 5) − 1 + 25)* + 14)

lim$→&'9)* + 5) − 1* − 25)* + 14)*

9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)


29

Paso 2

Se cancelan raíces con los exponentes

lim$→&'9)* + 5) − 1* − 25)* + 14)*

9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)

lim$→&'9)* + 5) − 1* − 25)* + 14)*

9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)

lim$→&'9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)


30

Paso 3

Se simplifica en el numerador

lim$→&'9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)

lim$→&'9)* + 5) − 1 − 1231 − 4539)* + 5) − 1 − 25)* + 14)

lim$→&'−16)* − 9) − 1

9)* + 5) − 1 − 25)* + 14)


31

Paso 4 Se factoriza el numerador, sacando a factor común la “x” con mayor exponente.

lim$→&'−16+, − 9+ − 1

9+, + 5+ − 1 − 25+, + 14+

Paso 5Se factoriza el denominador en la primera raíz, sacando a factor común la “x” con el mayor exponente.

lim$→&'

+, −16 − 9+ −1+,

9+, + 5+ − 1 − 25+, + 14+

−16+, − 9+ − 1 = +, −16 − 9+ −1+,

9+, + 5+ − 1 = +, 9 + 5+ −9+,


32

Paso 6

Se factoriza la segunda raíz del denominador, sacando a factor común la “x” con mayor exponente.

lim$→&'

() −16 − 9( −1()

() 9 + 5( −9() − 25() + 14(

25() + 14( = () 25 + 14(


33

Paso 7Todas las expresiones de la forma !"#, con $ un número real y % un número natural tienden a cero.

lim"→*+

,- −16 − 9, −1,-

,- 9 + 5, −9,- − ,- 25 + 14,

Ejercicio 4

Numerador:

,- −16 − 9, −1,-

Denominador:

,- 9 + 5, −9,- − ,- 25 + 14,

0 0

0 0 0


34


lim$→&'() −16 − 0 − 0

() 9 + 0 − 0 − () 25 + 0

Paso 9Se simplifica sacando de las raíces

lim$→&'−16()

9() − 25()

lim$→&'−16()

9() − 25()

() = (


35

Paso 10

Recordando la definición de valor absoluto

lim$→&'−16+,

3 + − 5 +

+ = 0+ 12 + ≥ 0−+ 12 + < 0

Entonces como + → −∞

+ = −+

La expresión queda:

lim$→&'−16+,

−3+ − −5+ = lim$→&'−16+,−3+ + 5+


36

Ejercicio 4

Paso 11: Respuesta

lim$→&'−16+,2+ = lim$→&'−8+ = −8 0 −∞ = +∞

lim$→&' 9+, + 5+ − 1 − 25+, + 14+ = +∞


37

Gráfica


38

Espero que estos ejercicios le sean de utilidadpara reforzar los conceptos necesarios pararesolver ejercicios de límites que tienden alinfinito, con los cuáles pueda construir los nuevosconocimientos de Cálculo I.

La esencia de las matemáticas no es hacer lascosas simples complicadas, sino hacer las cosascomplicadas simples.

S. Gudder.

Cierre


39

CréditosUniversidad Técnica Nacional

Coordinación de Matemáticas y Estadística

ContenidoAutor: Gerardo Arroyo Brenes

Producción del recurso didáctico:Productora académica: Guadalupe Camacho Zúñiga

Diseño Gráfico y multimedia: Karol González Ugalde

Derecho de AutorQueda prohibida la reproducción, transformación,distribución y comunicación pública de la obramultimedia [Límites infinitos], por cualquier medio o

procedimiento, conocido o por conocerse, sin elconsentimiento previo de los titulares de los derechos,así como de las obras literarias, artísticas o científicas

particulares que contiene.


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