Lizcano, Emmanuel - Imaginario Colectivo

8/10/2019 Lizcano, Emmanuel - Imaginario Colectivo

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Editorial G edisa ofrece los siguientes títulos sobre

COMUNICACION Y SOCIOLOGIApertenecientes a sus diferentes colecciones y series

(Grupo “Ciencias Sociales”)

J . M . Fe r r y , D . W o l t o n El nuevo espacio públicoY OTROS

J a n e t M a l c o m El periodista y el asesinoJ o n E l s t e r El cemento de la sociedad

J a c q u e s P e r r i a u l t Las máquinas de comunicar M . M c L u h a n y La aldea global

B. R . POWERS

JEFFREY C . ALEXANDER Las teorías sociológicas desde la Segunda Guerra Mundial

G r e g o r y y El temor de los ángelesM a r y C a t h e r i n e Ba t e s o n

I s a a c J o s e p h El transeúnte y el espacio urbano

PA U L WATZLAWICK Y OTROS La realidad inventadaP i e r r e B o u r d i e u Cosas dichas

E l í s e o Ve r ó n Construir el acontecimientoP a u l Y o n n e t Juegos, modas y masas

M a r c A u g é El viajero subterráneo

M a r c A u g é Travesía por los jardines de Luxemburgo



IMAGINARIO COLECTIVOY CREACIÓN MATEMÁTICA

La construcción social del número, el espacio y lo imposible en China y en Grecia

por

Emmánuel Lizcano

Prólogo de A ntonio Escohotado



1.* edición, Barcelona, España, 1993

Derechos para todas las ediciones en castellano

© by Editorial Gedisa, S. A.

M un tan er, 460, entio., 1.*Tel. 201 60 0008006 - Barcelona, España

ISBN: 84-7432-501-3Depósito legal: B. 29.822/1993

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Impreso en España P rin ted in Sp ain

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Indice

P r o l o g o ...................................................................................................... I

INTRODUCCION .............................................................................................................. 13Breve relato de los orígenes y organización de esta investigación (p.l). Lacategoría de ‘negatividad’ (p.5). Algunas deudas teóricas y prácticas (p.9).

C a p i t u l oI

Ciencias del hom bre y matemáticas: crónica de una resistencia

1.1 / In-determinación sociológica de las m atem áticas........................... 361.2. Una historia de esencias y cum plim ientos........................................ 401.3. Dificultades para una antropología de las m ate m átic as................ 451.4. La imposible hermenéutica de las matemáticas............................. 53

C a p i t u l oII

Algebra y numerología chinas: maneras denegatividad radicalII. 1. El cap ítulo octavo del Jiu zhang su an sh u............................... 6311.2. El cálculo con palillos en el tablero. La materia del número.. 6711.3. El méto do fan g cheng y el ‘álgebra instrumental’. El arte de pro

ducir nada 7111.4. Arraigo del álgebra instrumental en la lengua natural................ 78IX.S. Las reg las zhenglfu (‘positivo/negativo’)........................................ 8311.6. El uso de las reglas zhenglfu en el con texto/an#ch en g ...... 9311.7. Irreductibilidad de la estruc tura zhenglfu al modelo ‘ganancias/

p é rd id as’. L a construcciónsocialde la just ic ia m atemática .. 9711.8. La cuestión del ‘cero ’ en la matem ática china. Lugares que sig

nifican 100



11.9. Estructura de ‘gru po ’ en el conjun to zheng/fuAvu’. El ser del no-ser (wu) c h in o ............................................................................................

11.10. Zheng y fu en e! lenguaje ordinario y en el imaginario culturalc h i n o................... 107

11.11. Otros modos denegatividad formal ................................................ 11311.12. La oposición, categoría central del Lib ro de la s mutacio nes ... 11911.13. El com plejo simbólico yin tyang com o matriz preconceptual. Su

huella en el campo nu m érico.............................................................. 12211.14. Cuadrados mágicos , pensam iento analógico y congruencias

algebraicas............................................................................ 12811.15. ¿Oponer o restar? Espacio simbólicovj . espacio ex ten so 13311.16. Eldao [tao] y el cero, goznes de opuestos. La construcción

imaginaria de lo imposible................................................................. 13711.17. Apéndice: Leibniz en China. Excursiones etnocéntricas.......... 144

Ca p i t u l o III

L a epistem e g riega o los lím ites de la abstracc ión

III. 1. La oposición parm enídea ‘no-ser/ser’ y la cree ncia en el principio de no-contradicción................................................................. 154

111.2. El jue go de las oposiciones. Su posib ilidad y anonadan iento enel pitagorismo ..................................................................................... 160

111.3. Donde A ristótele s tropieza con el ‘ce ro’ y asum e . (que nodecide) su im po sibilidad...................................................................... 168

111.4. Los ‘números tazones’ de la logística ¿Meros cálculos?........... 177111.5. El ‘álgebra geom étrica’: un espacio inhóspito para lanegativi

dad. Losdiorismoi o la imposibilidad de con stru ir ..................... 181111.6. Aphairesis: pensar por abstracción y operar por sustracción. Los

primeros princip ios o los límites del sentido común griego..... 194

Ca p i t u l o IV

Conflicto de im ag inarios en D iofanto: el decirse de lo indecible

IV. 1. La quiebra del ideal clásico. De la creencia en la razón a la razónde las cree nc ias........................................................................................ 213

IV.2. Diofanto ‘el osc uro’ y la crispación de los m ode rn o s................. 221IV.3. Una Babel matem ática. ¿Nuevos límites para el n ú m e ro ? 22IV.4. Diofanto o la prime ra emergencia occidental de lanegatividad

matemática. Una incursión en lo im pen sa b le................................. 232IV.5. Lanegatividad ‘en proceso ’ : el presentarse de la au se nc ia 236



IV.6. ... y el ausentarse de la presencia: la imposiblenegatividad ‘como producto’..................................................................................... 247

IV.7. El techo de lanegatividad en la metafísica neoplatónica. Im potencia de la voluntad de po d e r ............................................................ 258

C o n c l u s i o n e s .............................................................................................................. 265E p i l o g oMussil y Stendhal: R azones para no en ten de r ...................................................... 269B i b l i o g r a f í a ..................................... 277



A María Jesús y Manolo



Prólogo

Aunque en gran medida aprendamos oyendo hablar a otros, acceder alengua hablada desde uno mismo, a un lenguaje propio, implica abordar el fde algún asunto y la riqueza del pormenor adherido a él. Precisamento esoEm mánuel Lizcano en el denso ensayo que presta contenido a este libro. El del asunto es lo objetivamente veraz de la matemática, y el pormenor sonma temáticas de base no reconducible a uniformidad.

Por lo demás, no se trata de que el pormenor pruebe o desmienta la vedad objetiva de cierta línea, sino de que proporciona ocasión para minar un pcio sobre el que se sostiene crucialmente la Ciencia en su conjunto: com o reila pura verdad, la matemática es el último nombre del destino. No es com

demás, em pezando por las ciencias llamadas sociales; no es una precaria bala deriva entre atribuladas dudas y sectarismo, sino un ‘lecho de dura piedrasostiene sin vacilar una razón libre de (dolos. Gracias a ello cabe seguir confen el conocimiento científico como algo de naturaleza superior — y distinta—del acervo mítico.

Sin embargo, ¿qué nos dicen los primeros principios de Euclides, los trmas del I Ching, las ingeniosas adaptaciones de Diofanto? Vistos de cerca, tocuentan cosas sobre temperamentos, costumbres, componendas y, en genconcepciones del mundo. Unos, dados a lo práctico, carecen de ‘palabras va — como llaman los matemáticos chinos a nuestros venerados conceptos abtos— , mientras otros insisten en trazarse tantos aprioris como les sea pootros, por último, se comportan eclécticamente, al estilo helenístico, amanigual modo la norma regulativa genérica y el expediente que se revela útil.

Al segu ir como hilo conductor el número imaginario, gran parte de e ste pone ante los ojos cómo las magnitudes negativas — tan eficaces para ‘oper

matemáticas— se ligan a una precisa lógica subyacente, y pueden verse posdas durante milenios mientras reine cierta ontología de la identidad, o ser emdas desde siempre allí donde el lugar de la identidad es ocupado por una idfluida oposición, articulada en torno a un centro hueco como el Tao. Dicho d

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modo, m uestra cómo aquello inm aculado o transhistórico por principio, lo neo imparcial en sí, arrastra un universo de determinaciones adicionales que agan en la idiosincrasia cultural, en la sombra de algunos individuos geniales el simple azar.

¿Nos lleva esto a una convicción relativista? Las menciones a Speng podrían sugerir que esta oBra apoya su teoría de las concepciones del mucuyo núcleo es afirmar una radicalincomunicación entre cada una. Pero la curiosaconsecuencia de este relativismo es acabar postulando un deterninismo'pre pues si bien el magma semántico no puede considera rse único, lo cie rto es q postu la como inescapable en confines definidos de la Tie rra; resulta así quhay el hombre, ni nada acorde con un espíritu humano general, aunque sí haymusulmán y el pagano, el ario y el no ario.

No estoy seguro de que Lizcano se adhie ra a las tipologías de Spenglertesis parece ser más bien que no cerrremos prematuramente nuestras cuentasla realidad, y partamos de "gentes concretas, con sus diferentes prejuicios, tay ensoñaciones". Esa es la sustancia primera del planeta, principal fuenteinvenciones y presencias, y ningún absoluto trascente desdibujará su acciónreal tiene en propio un com ponen te de pluralidad y cam bio, pues una evanesc película separa el discurso del sobrio y el del ebrio, el del sueño y el de la viel que enumera generalidades y el que expone detalles.

En las Estratagemas de los reinos combatientes, un texto chino del siglo I,topé con cierto diálogo muy instructivo:

— "¿Cuánto produce la agricultura? — El décuplo de la inversión inicial. — ¿Y la venta de jade? — El céntuplo. — ¿Y poner a un príncipe en el trono? — ¡Eso supera todo cálculo!"

M uta tis mutandis, la matemática corona el imperio científico, y de ello ssiguen — sin duda— incalculables rendim ientos. El más sólido es el impmismo, con su combinación de ramas corporativas y credo, un credo que n presenta ya como verdad revelada sino como axiomática racional, matriz decios sintéticos a priori. V éase, si no, la proposición que define la línea recta cdistancia más corta entre dos puntos. Kant la exhibe como modelo autoevid pasando por alto definir qué significa ‘corto’, y evitando así reconocer que -tr

dose de líneas- corto y simple son sinónimos, con lo cual el aserto viene a dque la recta es una distancia no curva o quebrada entre dos puntos, esto es: la tancia simple o, para ser sinceros,recta. H e ahí un ejemplo ciertamente curioso de

ju icio sin té tico, ajeno a la solipsista circularidad del A = A. Para contribu

II



apaño, las líneas rectas o simples se dan por cosa existente a todas luces, aunadie haya experimentado jamás algo parecido, ni bajo el sol ni en tinieblas.

El nuevo absoluto p retendió haber desbordado la edad teo lógica y la mesica, y probó ese desbordamiento por una sustitución: en vez de ritos utilizexclusivamente métodos. Pero esos métodos son ritos orientados a confirmvalidez de tal o cual disciplina, y cuanto más nulo es el saber real incorporaella mayor espacio dedica a declarar su arraigo en el método experimentarango científico; en algunos casos, la parte destinada a m ostrar que aquel prconocimiento es pura ciencia abarca el programa ente’ro de la disciplina, deal arbitrio de algún alma caritativa posterior -o a la diligencia infusa del pu presta r algún contenido a la cáscara hueca de tanta pretensión form al. Si le qmos al método lo que tiene de nuda fe en La ciencia, el residuo es siempre uque va adaptándose a sucesivas modas.

No sin fundamento , los histo riadores recientes del quehacer científico destacado las raíces religiosas precisas que informan el paso de la cosmovaristotélica a la newtoniana. El mundo-reloj que se abre paso con Galileo econstrucción que remite al omnipotente relojero, y ya desde 1952 -cuandorece el gran libro de E.A. Burtt sobre los basamentos metafísicos de la ciemoderna- resulta insensato negar que la confianza en una inteligibilidad radel universo es una trasposición directa de la vieja confianza en el legisldivino. Como luego apostillaría Whitehead, la convicción de que todo ev puede conocerse al modo clá sico acompaña a un demiurgo concre to , constdesde "la energía personal de Jehová y dotado con la racionalidad de un filógriego".

Sin embargo, creo que en este proceso no se ha destacado aún en su jmedida el condicionante polí tic o de la construcción. El legado de la ciencia clásica no es sólo un dios único que fija en algoritmos el devenir de la naturasino un mundo corpóreo des-animado, inerte, expuesto como mera ‘masatrance de agregación y disgregación mecánica, donde lo rector son entes dcamados y por eso mismo trascendentes, las llamadas ‘fuerzas’. No me paarbitrario, pues, traducir lavis galileana y newtoniana por su correlato gubernativo, y hablar allí demerum imperíum o poder omnímodo del príncipe, pues loque en definitiva se obtiene es un cosmos-súbdito regido por las inapelables de cierto soberano, aislado de sus vasallos como un emperador en su inaccecastillo. La liquidación del automovimiento llamado physis por los griegos instaura un universo sencillamente muerto en y para sí mismo, cuyas transicioncumplen a golpe de decreto, poniendo en lugar de la capacidad cosm ogónica

rejada a cada cuerpo un. sistema de normas, cuya articulación calca el déabsoluto. Como en el esquema hobbesiano, el conjunto de los seres sucum biun cataclismo inmediato si cada uno se condujese efectivamente como tal, ede conformarse con el rol de simple sombra administrada por un Leviatán p

III



dente, única entidad en sentido propio. El orden viene de fuera a dentro, jamála inversa.

Del m ismo m odo que el soberano reduce el individuo concreto a leal pueb(o turba caótica), la construcción newtoniana reduce la dinámica a mecániimponiendo un universo meramente ideal donde en vez de singularidades, bifcaciones y turbulencias hay Sólidos regulares euclidianos, perfectam ente indemables, describiendo trayectorias lineales prefiguradas por la geometría de secciones cónicas. D e ah í que lo objetivo sea la Ley, sostenida po r el juego denunca mejor llam adas ‘fuerzas’, aunque eso suponga conformarse con una objvidad ilusoria, vá lida tan sólo para el álgebra y la fe; lo que m uestra como pruirrefutable de adecuación al mundo real es laexactidud en el cálculo del movimiento, sin para rse a exam inar hasta qué Apunto la exactitud está vic iada p or previa idealización del horizonte , y mas aún por la tendenciosidad de aquel

instrumentos con los que pretende ser investigado. Del mismo modo que el sorano hace abstracción de lo que opinen sus súbditos, el constructo newtoniahace abstracción de la cualidad para atenerse tan sólo a la cantidad, porqueincumbencia no es el cuerpo como fuente de sentido sino como masa inercsometida desde siempre y para siempre a una potencia incorpórea. Del mismodo que el soberano considera eterna su égida, la construcción new toniana tel tiem po com o ma gnitud reversible, reduciendo todo cambio a una mera aparcia de tal: no hay otra irreversibilidad que su dominio. Del mismo modo quesoberano exige acatamiento incondicional, desterrando cualquier espontaneicomo contumacia o petulancia, la construcción newtoniana empieza y terminaun mundo formado por autómatas deterministas, radicalmente ajenos a cualquactividad innovadora.

Por fortuna, la evolución del pensamiento científico no se ha detenido en ucrítica superficial de tales postulados; Tras el esfuerzo por retornar al univefísico que denota la obra de Einstein, y el ejercicio de hum ildad representado el principio de indeterminación, el conjunto de investigaciones hoy llam ado ccia del caos ha puesto en cuestión su núcleo mismo, que es el dogm a de una nraleza inerte. Paradigma secular de lo teórico, el desarrollo de la informáticaconvertido las m atem áticas en algo empírico, com parable al cepillo del carpiny al buril del grabador. Cualquier computadora realiza en segundos operacionde cálculo que ocuparon cientos o miles de horas a interminables estudiantcondenados a seguir la nerviosa tiza esgrimida por un docente que llenaba pirras sin fin, convencido de exponer así la quintaesencia del más sublime intelehumano.

Reconocidas al fin como no integrables, la inmensa mayoría de las ecuacnes ya no se plantean como un asunto a ‘resolver ’. Ahora se tratan en forma itetiva, dejando que ese o aquel proceso aparezca desde sí, haciendo su propcamino, en vez de pretender que el acto esquematizado por ellas se cierre en

IV



bucle de identidad especular. Llamativo es también que siga fracasando la al pretensión expuesta como ‘teoría del campo unificado’, cuyo propósito es exner absolutamente todo en taquigráficas leyes que se cuentan de sobra con dedos de una mano: muy sencillas, muy necesarias, muy objetivas... y ridicmente anacrónicas para definir un universo animado por tanta y tan azarosa vi

¿Quiere esto suge rir que renunciemos al afán de conocimiento? A mi juicsugiere precisamente lo contrario. El amor al conocimiento no sucumbe coex istir con un espíritu crítico, pero el espíritu crítico se pudre de raíz cuandhíbrido de corporativismo e idealización se enseñorea de la realidad, pretenddola tan única como abstracta. Lizcano lo describe en términos claros, al afirque el "mito de la razón enterró la razón de los mitos". Al fin y al cabo, ¿qué emito sino una forma singularmente densa — musical y pictórica— de inteligediscursiva? La Ciencia es un mito grandioso, hermoso, digno de venerarse co

norte supremo de nuestra especie. Con todo, lo que sobrecoge de esa construces la magnanimidad de reconocerse frágil, y este título de honor caduca cuadespliega intransigencia hacia otros mitos, codiciando una exclusiva de la veque — com o es lógico— sólo puede cimentarse sobre una transformación dobjeto en cadáver.

No es posib le calcular — ni con escuadra ni con métodos in finitesim aleaquello que va inventándose a golpes de energía y suerte. Por consiguienteciencia de cuño predictivo lleva en su interior — sabiéndolo o no— una negaa priori delcomp render en general; barnizada como catecismo positivista, su pro puesta sigue siendo la escisión de espíritu y materia, aquella rencorosa ordenque exige "creced y multiplicaos, someted la Tierra". Dado que la Tierra sonosotros mismos, hora es de que esa línea se entienda como técnica — deluego, todo lo útil y pasm osa que se quiera— , y que allí donde pretenda m onlizar el conocim iento sea denunciada como mito enmascarado.

Sin máscara, la observación atenta del acontecer que Pitágoras llamó fsofía — en otros lugarestheoreia, contemplación desapasionada del dios— es unaconsciente Construcción de leyendas, y en este caso de la más bella y veneraaquélla que sin jactarse de prever goza describiendo cosmogonías. Su valorestá en ser ciencia, sino en amar sinceramente el conocimiento, la informadisponible. Sólo así esquivará las servidumbres del meta-mítico, alguien parcual lo puro (de pyros, fuego) no es llama regeneradora sino cosa impoluta o virginal(kathará), no mancillada por semen de ningún tipo. Gracias a Lizcano, entotros, podem os estar seguros de que la matemática no es una virgen, cuya mlo fuese también.

Anto nio Escohotado

V



IntroducciónBreve relato de los orígenesy organización de esta investigación

Este estudio tiene su origen en el proyecto de traza r una historia de los númros negativos e imaginarios, desde sus diferentes orígenes hasta nuestros días;historia aún sin narrar, ni siquiera en su dimensión m ás positivista o supuestamdescriptiva. Sin embargo, nunca nos hubiéramos empeñado en un propósito estrecho como erudito de no estar animados por una decidida intención: indahasta qué pun to las m atemáticas, discurso de la pureza po r excelencia, no nacen yaarmadas y enteras com o A tenea de la cabeza de Zeus; intentar ver cómo emercontaminadas por las significaciones imaginarias colectivas que laten en la razcomún propia de cada época y cada cultura. Unos objetos tan precisos comonúm eros negativos, los imaginarios y el cero, además de aportar un límite al áma estudiar, prometían ser una buena guía para ello. L a trama de obstáculos, dis pancias, re sultados contradic to rios, argumentos a favor y en contra.. . que acomñan su penosa y zigzaguente construcción por la matemática occidental, deDiofanto hasta fechas bien recientes, bien pudiera servir de catalizador privgiado en el que ir observando cóm o van precipitando las diferentes sensibiliday modos de racionalidad de las distintas épocas de nuestra historia. Situadurante largo tiempo en lá indecisa frontera entre lo pensable y lo impensableverdadero y lo falso (o ficticio), lo razonable y lo absurdo... las diferentes opciones y consideraciones a que estos números se van viendo sometidos (o de

que se van viendo excluidos) pueden contribuir de manera singular a perfilarlímites y obstáculos que la razón encuentra — o se pone a sí misma— en el prohistórico de su irse haciendo.

Recíprocamente, el cúmulo de avatares (tanto en su acepción de ‘peripecicom o en la de ‘re-enc am aciones’) sufridos por estos núm eros bien pudiera mocóm o los distintos imag inarios sociales y sus modos de racionalidad van detenando, en su variación, la construcción de ciertos objetos m atemáticos —núm eros negativos y los im aginarios— por añadidura apenas estudiados. ¿Porlos excelentes matemáticos de la Grecia clásica no puedenni verlos? ¿Por quéviene a coincidir su primera emergencia en Occidente con la decadencia modelo clásico? ¿Por qué, pese a ello, tiene lugar con tantas restricciones? ¿qué es de nuevo otro periodo de decadencia del ideal griego renacido el que a

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mentalidades, antropología, hermenéutica, sociología de la ciencia, filología, alisis de textos, las propias matemáticas...

Adem ás, lo que parecía un objeto de estudio bien concreto se iba abriendotoda una serie de preconceptos y procedimientos argumentativos y mostrativoslos que dependía su comprensión cabal. ¿Cóm o afecta lo que cada cultura entien por numera r y nombrar, para que ciertas magnitudes sean aquí innom brables/inmerables y allí, sin embargo , perfectamente decibles? ¿T ienen todas las culturaépocas la misma necesidad de espacial izar los conceptos y así poder desca raquéllos para los que ‘no ha lugar’? Y, aún así, ¿es el m ismo espacio de rep restación el que presuponen todas ellas? ¿Es lícito suponer en todas ellas la misaversión por la contradicción a la que nosotros estamos habituados? ¿En qué stido pude decirse que d iferentes lenguas dicen lo mismo de ‘lo mismo’? Si la imsibilidad, por ejemplo, del cero en la matemática euclídea se nos presenta cocorolario de su aversión apolínea por el vacío y el no-ser, del caos y la sinrazón,

los cuales el cero sería una imposible condensación metonímica, ¿qué criterioracionalidad habrá de guiamos para tratar de explicar el cero en aquellas otrsociedades donde sí aparece? ¿Uno en el que caos y sinrazón puedan ser origenun orden autoconstituido (E. Lizcano, 1 990 ,1993c)?Pero entonces ¿seráe l m iscaos? ¿será el mismo cero? A la postre, del estudio de unos objetos matemátic bien concre tos iba aflorando todo un m undo de obje tos, conceptos y proble mconexos. O, mejor dicho, toda una colección de mundos y de formas de penmiento diferentes. Del vasto proyecto inicial hubo de excluirse, por un lado, toel sugerente ám bito de los números imaginarios, e incluirse, por otro, tres cate

rías que determinan de raíz, en cada cultura, la posibilidad o no de algo así comagnitudes negativas: las categorías de número, de espacio y la propia concepcde lo posible. Asimismo, su indagación hubo de quedar restringida a esos trmomentos históricos claves que vertebran el grueso de esta obra.

Un primer resultado de esa búsqueda del tipo de aproximación m ás adecuaa nuestro propósito fué el de una inespe rada perplejidad. En las ya de po r sí raocasiones en que cualquiera de las distintas disciplinas trataban el discurso m amático, la conclusión, casi invariable, era la de decidirlo intratable. A dife renciaotros discursos científicos más o menos formalizados, desde los de las ciencmás ‘duras ’ a las más ‘blandas’, el discurso matem ático parece ofrecer una insóresistencia a dejarse analizar por ellas. La crónica de esa perplejidad es la quenarra, tem atizada, en el capítulo I de este estudio. Ni la sociología, ni la historiala antropología, ni la hermenéutica, por sólo citar algunas de las metodologías csideradas, llegaban a concluir otra cosa que la imposibilidad de encontrar eninterior de los objetos m atemáticos ninguna traza social, histórica o propiam esimbó lica que los constituyera de modo efectivo, no meramente circunstancial.este capítulo reelaboramos lo que expusim os en E. Lizcano (1989a, 1989b), don

conjeturábamos, adem ás, alguna de las posibles causas de esta singular resistenSu lectura no es imprescindible para la comprensión de las investigaciones posvas que integran los capítulos siguientes, si bien éstas sólo cobran su sentido íngro desde la conciencia de que las matem áticas, entre nosotros, se adornan de

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halo protector — propio de los discursos sagrados— que las hace exce pciomente im penetrables a los análisis de las ciencias hum anas.

El caso ch ino, considerado en el capítulo II, aporta un distanciamiento nsario, no sólo respecto de los ensayos occidentales de construir las matemátisino también de toda nuestra manera de entender las matemáticas y el munuestra manera de pensar, de distinguir lo posible y lo imposible, de etiquetaque debe ser tenido por racional. Desde ahí, las dificultades de los ensayos oden tales para cons truir formas determinadas de negatividad matemática, que ndiluyan en la m era ausencia o en una oscura indeterminación, se manifiestancom o propias de un cierto m odo de pensar que com o producto de n inguna supudificultad inherente a la complejidad del objeto matemático mismo. La razóestas dificultades se explora entonces, en el capítulo III, en la especificidad dforma canónica de ma temáticas que Grecia deja establecida: la matem ática edea, cuyos presupuestos (lógicos, espaciales, lingüísticos) se revelan com o untáculo para construir unos objetos teóricos — los números negativos y el cerque la matemática china, desde sus propios supuestos, construye sin embaincluso en varios ám bitos formales. De especial interés resulta entonces obseen detalle, como pretendemos en el capítulo IV, las circunstancias en que tlugar la primera ‘superación’ del obstáculo griego por la matemática alejandespecialmente en la obra de Diofanto; una superación que tiene lugar agónmente:contra la m isma tradición que, sin em bargo, debe asumir para poder seg pensando.

En estos tres últimos capítulos se persigue un mismo objetivo último.

condiciones de posibilidad de unos objetos tan escurridizos nos sirven de preto hilo conductor desde el que tentar las fronteras de lo pensable, los límitesmundo que se construyen cada una de las tres formas de racionalidad considdas. No obstante, el sentido de nuestro recorrido es distinto en unos capítulen otros. En el capítulo II partimos de los propios textos matemáticos, y dejando hablar a estos textos, explicando lo que en ellos viene presupuesimplicado, como vaya explicitándose toda la trama simbólica que les da seny de la cual son expresión tanto como ellos m ismos contribuyen a reforzar. Pcon trario, el capítulo III sigue un recorrido inverso en cierto sentido. Arranclas concepciones metafísicas y simbólicas dominantes en la Grecia clásica, sólo después buscar su concreción en el trabajo efectivo de sus matemáticos.ello hemos pretend ido reproducir el propio m odo de discurrir, también inverscierto sentido, de cada una de ambas formas de pensamiento, china y griega propio de las fo rm as mas elaboradas de esta últ im a es discurr ir de lo genera lconcreto, de los principios y definiciones al encuentro de lo particular, ya conclusiones de juicios o la rotundidad de las cosas mismas. La primera, pocontrario, parece mas bien ascender desde cada singularidad irreductible, o,

aún, no tanto ascend er por una escala de abstracciones cuanto entrelazar talesgu laridad es en la espesu ra de un entram ado sim bólico que las man tiene en su iductibilidad. Frente a la verticalidad, ascendente o descendente, del pensami por deducción o inducción propia de laepisteme griega, pretendemos mostrar

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también horizontalidad del modo de pensar analógico, el trasiego de metáforsemejanzas y equivalencias carácterístico de laepisteme china; frente a esa vo luntad griega de clausura, de una definición precisa que excluya todas los sentidmenos uno, esa otra apertura a una radical polisemia, a situar cada concepobjeto en una encrucijada de sentidos.

El capítulo IV sigue un recorrido híbrido. Pese a asumir procedimientinversos, en los dos anteriores se prim a un acercam iento estático, en el que los cflictos, mas que presentarse en el tiempo, se piensan desde el interior de cada c

junto de representaciones colectivas, considerado, al modo durkheim iano, coun todo coherente, en el que ciertas formas se hacen posibles m ientras que la p bil idad de otras se bloquea. El periodo del ale jandrinismo tardío se nos presenen cambio, como un momento agónico, en el que por las grietas del paradigaristotélico-euclídeo, que se resquebraja como un super-yo cuyas interdiccionhubieran cristalizado en meras formalidades resecas, emergen ya, a tientas, ot

paradigmas y universos sim bólicos: unos soterrados, otros extranjeros. Si tantolos "Nueve capítulos del arte matemático" como en los "Elementos" de Eucli precip ita toda la sabiduría — y la inercia— de dos tradiciones cabalm ente contuidas, que hacen de ambos textos obras mas bien colectivas, la "Aritmética"Diofanto, por el contrario, expresa de modo ejemplar una lucha individual penco ntrar un sentido, escarbando entre restos que ya lo han perdido y o rganizamateriales a los que aún no se les ha otorgado. Es en esa intersección de im agrios colectivos, cada uno con su propia inercia y su propia coherencia, donde Dfanto ac ierta a balbucear ciertas formas efímeras denegatividad matem ática. Y

lo hace al modo delbñco leurdc 1que habla Lévi-Strauss, ensam blando fragmentosheterogéneos, residuos de diferentes discursos, ensayando verter significados sin concepto en significantes ya vacíos de contenido. De ahí que también nueexposición siga también, en este capítulo, una cierta dinámica debricolage. Dehaber seguido otros caminos de ace rcamiento para cada uno de estos tres capítuacaso también hubieran sido o tros los perfiles percibidos. En todo caso, los quese nos han manifestado creemos que justifican la decisión tomada.

No está de mas advert ir al le cto r sin una especia l instrucción m atem ática qno le será en absoluto necesaria para la comprensión del libro. Salvo en el ca bien preciso, del desarrollo chino de ciertas manipulaciones que hoy se entenrían como pertenecientes a una teoría de congruenc ias, hemos procurado no resar el nivel de nuestra matem ática elemental. Tan sólo ese curioso — ¿sagradosobrecogimiento con que a algunos se les bloquea la inteligencia habitual cuanto se ven en presencia de unos cuantos números, puede ser un obstáculo pla comprensión de lo que sigue. Pero precisamente la intención que recorre todtexto es la de m ostrar cóm otambién las matemáticas se construyen desde ese sabercom ún que todos los moradores de una cultura compartimos, y que por tanto b

ese saber común para tener acceso a cualquier construcción matemática. Cotampoco es necesario m ayor saber para poder discernir los límites que cada mmática, cuando — como entre nosotros— se constituye en saber ejemplar, impa la concepción del mundo.

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Acaso la reiteración en el texto de distintos recursos tipográficos (cursivdiferentes tipos de com illas, etc.) y de ciertos términos que — como el denegatividad — nunca quedan bien definidos pueda hacer la lectu ra un tanto sobresalen ocasiones. Esos sobresaltos tienen por objeto evitar esas lecturas ingenuas

producen la ilusión de entender, precisamente en el mom ento en que se dejhacerlo. Los citados recursos tipográficos obedecen a un doble motivo: por un evitar en lo posible, y dentro de ciertos límites de legibilidad, las traduccionemediatas de ciertos términos y expresiones mediante otros más familiares pero por eso mismo, arrastran ya toda una carga de presupuestos y significados cotados que no pueden sino torcer el sentido que para ellos construyen los protextos analizados; por otro lado, resaltar críticam ente aquellos términos y exprnes que, por habituales ya en las jergas especializadas, no podemos ev itar emp pero que a menudo hacen decir algo muy distinto de lo que se quería. Ejemplogular de ello es el propio objeto que nos ha servido de pre-texto para estas invgaciones: los ‘números negativos’, que hasta aquí hemos m encionado sin comcom o si fueranalgo con una identidad sabida y definida, com o si — en particularexistieran como tales en alguno de los tres ámbitos culturales en cuyo estudiohemos centrado. Sólo desde un ideal y definitivo final de la historia, y sólo ecreencia de que los ‘hechos’ y los ‘objetos’ teóricos atraviesan las épocas y laslizaciones sin irse haciendo/deshaciendo/rehaciendo en esa travesía, puedenmularse enunciados habituales como ‘las dificultades de Diofanto con las ma

tudes negativas’, o ‘los griegos no las admitieron’, o ‘los matem áticos de la éde los Han fueron los primeros en des-cubrirlas’. ¿Dónde, pues, estaban an¿Qué las cubría? ¿Cóm o puede no admitirse lo que no se conoce ni puede siq pensarse? ¿Qué destino común les e staba ya urdiendo la histo ria a lasleiponta eid é diofánticas y a los lugares opuestos en los cuadrados mágicos de la antigua C para que ambos puedan alo jarse, desde su misma gestación, bajo un único cepto? ¿Qué sentido tiene decir, como hace algún prestigioso historiador dematemáticas, que los chinos no tuvieron dificultades con ‘la idea de los númnegativos’ porque estaban acostumbrados a calcular con palillos de dos col(rojos y negros), cuando los supuestos ‘números negativos’ no eran ninguna cosaaparte de esos palillos (los negros)?

Intentando evitar, po r tanto, la ilusión de identidad de unos ‘núm eros netivos’ cuya m ítica búsqueda de los orígenes y posteriores cum plimientos se eviera investigando, decidimos emplear en su lugar el término'negatividad' ymantenerlo voluntariamente impreciso. Este término cubría, en un primmomento, el conjunto heteróclito de ‘antecedentes’, ‘embriones’ y ‘atisbosnúm eros negativos que suelen percibirse en tom o a la sustracción de m agnity a las ecuaciones algebraicas (coeficientes, soluciones, etc.). Proyectar retrtivam ente un concepto a cuñado sólo mucho después puede facilitar la detecde ‘antecedentes’, pero no es su menor inconveniente el de no mostrar al intigador sino lo que éste ya ha puesto previamente e imped irle ap rehende r el

La categoría denegatividad.

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ceso m ismo de construcción de unos objetos ma temáticos que sólo pueden in porar los mate ria le s que en ese mom ento tienen disponib le s. La categoríanegativldad fué viendo ampliado paulatinamente su campo de referencia. En m atemá tica de inm ediata tradición euclídea no hay ciertamente ‘rastro’ de núros negativos, pero sí cam pos conceptuales (com o el de la sustracción o difecia, o el de ciertas técn icas ‘equ ivalentes a ’ la resoluc ión de ecuaciones) en cámbito la matemática de herencia euclídea va a construir sus formas denegatividad ¿Qué le impidió a la griega hacerlo antes? El análisis del primero de ecam pos — el de la sustracción— nos conducirá entonces a buscar su fundamtación en un modo de pensar articulado sobre procesos de abstracción — y noequivalencias, com o el chino— y sobre clasificaciones en géneros y especiesdiferencia específica sustr ae el génerode la especie) —y no clasificaciones biparti tas, como en China— . El segundo campo, im bric ado en el prim ero , llevará a la consideración de técnicas, como la de ‘aplicación de áreas’,

resultan su -poner una cierta concepción del núm ero y del espacio de represeción, en la cual no parece haber lugar para los referentes denegatividad hastaahora considerados.

En el otro extrem o — en el Extremo Oriente— s í encontram os desde épo bie n tem pra nas fo rm as de ‘núm eros negativos’ bien sem eja nte s a la que a Odente tanto esfuerzo le llevará ir construyendo. Formas denegatividad que nosurgen propiamente de los campos antes acotados ni tampoco se derivan decierto concepto previo de número. Surgen directamente en un campo bien tinto: el de unos nombres/números/palillos opuestos que se destruyen m utuamente cuando se está pretendiendo crear unvacío en el espacio de representación. Un espacio que, adem ás, no tiene nada que ver con el espacio extensioeuclídeo, visualm ente percep tible y de-limitado, sino que es un espacio sui generis, integrado por lugares simbólicos singulares, irreductibles a una medicom ún y asociados a ciertos m om entos del tiem po 1. Exploran do ahora desde nueva perspectiva, se van manifestando otras maneras de oposición no meformalizadas, tanto dentro como fuera de lo quea priori habíamos tenido porm atemáticas: las oposiciones entre los dos carácteres básicos que com ponen

hexagram as adivinatorios delYijing [I Ching], las de los extremos de las crucesy ‘cuadrados mágicos’ estructurados por congruencias, etc. ¿Podríamos seghablando de ‘núm eros nega tivos’ cuando ya no hay núm eros (como en elYijing )o cuando los que hay (com o los de los cuadrados m ágicos) son etiquetas prcolarias y no magnitudes?

Fuertem ente arraigados en el imaginario simbó lico chino, unos criterios plógicos y pre-conceptuales ‘de oposición’ y ‘de equivalencia’ parecen cumaquí el papel de organización de la experiencia que en Grecia desempeñan

1 Para la imbricación entre tiempo y número en el saber popular chino véase E. Lizcano (1992b).

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p rin cip io s ‘de no-contradicción’, ‘de identidad’ y ‘de abstracción’. El hallazgo nuevos m odos denegatividad formal nos lleva así a examinar las condiciones de posibilidad de cie rta s construcciones teóricas, los rasgos diferencia le s de episteme que, como la china, funda su racionalidad en complejos simbólicosesquemas pre-conceptuales bien distintos a los nuestros. En particular, los nusimbólicos de la oposición yin/y ang y deldao — quicio o gozne que articula/

disuelve las oposiciones sin* participar de ellas y que se define por su no-(wu) — abren otro nuevo cam po de búsqueda para lanegatividad: la funciónestructural que en la construcción de las parejas de opuestos puedan jugar carácterísticas del espacio de representación (constituido porlugares que significan, en C hina; por extensión de-limitada, en Grecia) y la posibilidad de distinen su interior unvacío (el ‘hueco’ en el tablero de cálculo del álgebra fan g cheng) o un centro (cuadrados mágicos congruentes) que articule las operaciones/intracciones entre tales opuestos.

De vuelta de nuevo a Grecia, con este bagaje, se trata ahora de pensarlugar que jueg an en suepisteme — y en sus m atemáticas— criterios como el de‘op osición’ o concep tos com o el de ‘vac ío’ o el de ‘no-se r’, que en Ch ina serevelado decisivos en la construcción de sunegatividad, sea ésta m atemática,formal, conceptual o simbólica. A la luz de las construcciones chinas denegatividad, lo que la ma tem ática griega construye positivam ente se m anifiesahora proyectando una som bra que antes nos pasaba desapercibida. ¿Cómo se piensa en la G recia clásica el ‘vacío’, del que en China em ergen distintos mode ‘cero’? ¿Y cómo los juegos de oposiciones, que en China pivotan sobre

‘cero’ al que tienen por gozne? ¿Se piensan también, al modo chino, coaspectos encontrados — pero igualmente determinados— de lo mismo, comod os invertidos de determinación? ¿O más bien como oposición entre dem inación y su falta (indeterm inación), lo que pa rece excluir toda posibilidadform alización? E ste preciso ám bito chino de lanegatividad se nos revelará enGrecia sumergido en la som bra del edificio de su racionalidad: es el desordenque amenaza al orden de su razón y su mundo, la indefinición que se ciesobre la identida d que parecen exigir sus cosas e ideas, la me ra ausencia de presencia que se reclam a. La herencia de esta sombra , consti tuida ya en obculo epistemológico, forzará a la matemática posterior a tener que pensarnegatividad en términos de insostenibles ‘formas que faltan’ (Diofanto) o dimpensables magnitudes que fueran ‘menos que nada’. Nuestra historia denegatividad eng arza así en la historia de esa gran m etáfora de la luz que, segvió Heidegger, atraviesa toda la metafísica occidental. Una metáfora omnisente cuy a exige ncia de ilum inación, desde el m ito platónico de la caverna hlos m aestros de la que R icoeur llamó escuela de la sospecha (Nietzsche, Fry Marx), ha condenado a media realidad a no ser sino sombra, sombra ind

tinta, som bra de nada.La categoría denegatividad ha podido, por tanto, ir enriqueciéndose ennuestro estudio gracias a no haberse definidoa priori como un concepto quedelim ita un prec iso cam po de o bservación y reflexión (los supuestos núm e

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negativos y sus supuestos antecedentes); voluntariamente imprecisa, ha sido propio proceso de investigació n el que la ha ido construyendo. Concluidaésta, sí podemos ahora decir que tal categoría integra nociones como las diferencia, oposición, hueco (o no-ser). . . Nociones que se conectan —p‘arriba’— con co nstrucciones m etafísicas y lógicas (oposiciones pitagóricargumentos aristotélicos contra el vacío...) y con complejos simbólicosmatrices de racionalidad (formas de construcción del espacio, conceptualición por abstracción o por connotación.. .). N ociones que se engranan —‘ab ajo’— con ciertas prácticas e instrumentos (numerales griegos, palillos cnos, gnomones, tableros de cálculo.. .), con los espacios de representaci(delim itado en G recia por las figuras, articulado en China po r lugares.. .), diferentes concepciones de lo numérico (multitud de unidades, etiquetas ptocolarias...), con ciertas técnicas de cálculo y de demostración (logístiálgebra geométrica, álgebra retórica, álgebra instrumental. . .). Aspectos és

que, si en su m ayoría son m atem áticos, no hacen sino incorporar el dinam isde otras formas simb ólicas que p or lo común se tienen por ajenas a cualqu práctica m atem ática.

Esta apertura de lanegatívidad a nuevos contenidos se duplica, a su vez, conla de los acercam ientos disciplinarios antes m encionados, que a menudo han rlado (en especial, los análisis lingüísticos) nuevas conexiones. Sin embargo, crios de orden práctico imponían ciertos límites a la indagación sobre estanegatividad rizomática; así hubo de quedar fuera, por ejemplo, el ámbito de la lógica,que si hemos considerado ciertos registros (como el de los primeros principioGrecia o los razonamientos porreductio ad absurdum) otros, sin embargo, handebido quedar lamentablente fuera (como el de la negación, tanto de térmicom o de predicados).

Ac aso una exposición que hubiera ma ntenido el orden que la propia invtigación se fué dando a sí misma, según acabam os de esbozar, habría ganadovivacidad, al transparentar su propio ir haciéndose; no obstante, hemos opt por reorganizar el m ate ria l por ámbitos cultu ra les (chino antiguo, griego clá salejandrino). Pero dentro de cada uno de ellos no hem os evitado aquellas re

siones a cualquiera de los otros que — bien por contraste, bien por algún tipfiliación o bifurcación— pudieran enriquece r la reflexión en curso. Com o t poco hemos querido separar el análisis de las fuentes primarias del de las sedarias, o incluso de reflexiones actuales sob re ellas, pues a menudo estas últihan sesgado tanto el m odo de recibir y entender las primeras que nuestro prosito de d ejar hablar a los textos pasaba necesariamen te por una crítica de sus siones, citas o descripcione s; en ocasiones, incluso, el extrañam iento del comtarista respecto del texto comentado sirve a la perfección para restituir a último su originalidad irreductible. Por último, tampoco hemos evitado qu

fueran entreverando en un m ismo epígrafe consideraciones matem áticas, filf icas, l ingüíst icas, s imbólicas o sociales , pues el mostrar cómo sevan haciendolas unas a las otras — y las unas en las otras— es una de las tesis básicas que mantenemos.

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Los métodos y categorías de análisis que empleamos se van perfilando, coal trasluz, tras las las considerac iones críticas del capítulo I, aunque su constitucefectiva se lleva a cabo al hilo de los propios estudios que componen los capítuII al IV. Conviene, no obstante, señalar aquí siquiera alguno de los principalescom o sus fuentes. Un título alternativo para este estudio bien hubiera pod ido sede "Una arqueología de las m atemáticas", donde se habría destacado nuestra ddida voluntad de distanciam iento respecto de esa Ihistoria de las m atem áticas’ qtras la bandera de atenerse a losmeros hechos (como si los hechos fueran meros), proyecta sobre ellos el sesgo de unas metáforas im plícitas que, no por habitualcompartidas, dejan de contribuir a construir los hechos mismos: sea la metáf bio lógica (embriones, desarrollo , madurez.. ..), sea la fluvial (corrientes que ayen a un caudal central, em pantanam ientos, aceleraciones...), sea la directame

pla tónica (identidad, des-cubrimiento , error/opinión, in tu ición borrosa de id pre-existentes.. ..).M. Foucault (1970, 1978) contrapone la ‘historia de los historiadores’ a

que él llama, según la ocasión, una genealo gía o unaarqueología —que aquí nonos detendrem os a distinguir— . "La historia de los historiadores — y, podemañadir, en especial la de los historiadores de las matemáticas— se procura un pude apoyo fuera del tiempo; pretende juzgarlo todo según una objetividad de acalipsis, porque ha su-puesto una verdad eterna, un alma que no m uere, una cciencia siempre idéntica a sí misma" (1978: 18-19). Si bien laarqueología del

saber , que Foucault opone a esa h istoria, diseña un proyecto general, imposible por definición— de ceñir a unas prácticas y saberes/poderes singularizableseparables (com o, p.e., las matem áticas), los criterios que la perfilan pueden ortar una fecundaarqueología d el sab er matemático (E. Lizcano, 1993a). Estos son,a mi entender, y reorientados hacia nuestra investigación en matemáticas, los destacables:

a) Rechazar la búsqueda del origen de los objetos y resultados matem átic

como si hubiera un ‘lo mismo’ que estuviera ‘ya dado’, dotado de una identioculta a la espera de ser des-cubierta. La historia retroproyecta el presente en pre tendido origen, con lo que dota a lasemergencias de un destino que — com o no podía ser de otro modo— las acabará llevando a ser lo que debían de ser. Tnarración de los orígenes es narración mítica.

b) No re stablecer continuidades, desarrollos, evoluciones, acumulacionesino "mantener lo que pasó — y, añadiríamos, lo que pasa— en la dispersión le es propia", con todos sus pliegues, fracturas, puntos de inflexión, capas het

géneas, sustituciones, desplazamientos (Canguilhem, 1975) y obstáculos epimológicos (Bachelard1).c) Evitar historizar pretendidas esencias matemáticas que, de hecho, h

sido construidas a partir de materiales dispersos y, con frecuencia, extraños

Algunas deudas teóricas y prácticas

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ámbito de objetos, conceptos o prácticas cuyos perfiles nítidos tan sólo existenel momento de historiarlos. Atender, por el contrario, a la proliferación y mezcontra la que (gracias a la que) se ha conformado lo que se quiere presen tar co‘claro y distin to’. El matem ático, com o el científico, tiene m ás debricoleur (Lévi-Strauss, 1964) que de v igía.

d) Re parar en losbajos fond os, en elhumus simbólico, a cuyo través las

em ergencias ma temáticas anclan en elmagma (Castoriadis, 1987,198 8) del imaginario lingüístico, el inconsc iente y las pasiones. Prestar atención a lo que pdesapercibido o suele despreciarse (trampas, errores, disfraces, lapsus) en procesos de re-c onstrucción de ‘la verdad’ m ate m ática, que la presenta n btando ya limpia y asentada sobre "un lecho de roca firme" (Lakatos, 1981: 1Demasiadas veces loabsurdo para un estrato o momento se ha tenido porevidente en otro —y viceversa— como para no indagar "la multitud de erroresfantasmas que lo han hecho nacer y lo habitan todavía en secreto" (Foucau1978: 21).

e) Pe rcibir la singularidad de los sucesos (objetos, conceptos, procedim ietos) frente a esa teleología monótona que disuelve lo irreductible en favor dereconocim iento tan reconfortante com o ilusorio: reconocer-nos re-conociéndoFrente a la ficción de identidad que proporciona el habitual despliegue m eta-hirico, captar las diferentes escenas/contextos en que los diferentes papeles juga por ‘lo mismo’ lo revelan como realm ente ‘otro’.

f) Perfilar las siluetas de las ausencias y apreciar el modo de mirar que puede verlas o las ve como sinsentido, en lugar de despacharlo, desde un des

ñoso fin de la historia, como mera ignorancia, supertición o error. La verdad mmática no está menos necesitada de explicación que el error (Bloor, 1976). Esesos intersticios de sentido, en las fronteras de cada racionalidad, donde brotanemergencias.

El concep to de ‘em ergenc ia’, que Foucault toma del Herkfu nft nietzscheano,sustituye así en adelante al de ‘origen’, desplazando la atención de aquello quorigen origina (su destino) hacia el propio proceso del originarse, hacia el privgiado momento m anantial del estar emergiendo: la perspectiva de la ‘em ergen perm ite entonces "encontrar bajo el aspecto de un carácter, o de un concepto pro life ración de sucesos a través de los cuales (gracias a los cuales, contra los les) se ha formado" (1978: 13).

Este afán arqueológico, aplicado por Foucault a ámbitos como el de la sexlidad, la locura o las formas jurídicas, ha animado también notables estudios r

1 G. Bachelard (1988) . Para una sucinta historia de los 'números negativos' en términos de 'obs-

táculos’ véase G. Glaesner (1981). Estos obstáculos, no obstante, se entienden aquf en el sentido pro-gresista (‘comprensiones parciales' de la ‘auténtica’ noción de ‘número relativo' que dificultanprogreso de su captación). Una lúcida crítica y replanteamiento de esta historia en términos de obstá-culos — ahora s(— en el sentido bachelardiano puede verse en Brousseau (1983).

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sino sesgar la contem plación de su construcción efectivaallí y entonces (su em ergencia), peroignorarlo suponía renunciar a un instrumento de análisis privilegiado. Como criterio general hemos dado prioridad a esa ignorancia, en arasmantener para cada forma denegatividad el singular sentido con que emerge;aunque en ocasiones hemos cedido a la segunda opción — conocer la velocidaIgnorar la posición -, bien porque la filiación estuviera claramente contrasta bien porque acaso ningunaepojé, tal y como la exige ese ‘principio de inde term inación’, pueda serlo del todo.

El ‘programa fu e rt e ’ de so ciología del conocimiento, acometido por D. Bloo r1y la escuela de Edimburgo, salva algunas lagunas de ese ‘intemalismo’ que puacusar el enfoque de Serres, aunque al precio de una menor sistematicidad. P or que las ciencias sociales se hayan centrado en dar cuenta de las ‘patologías’ (eámbito del conocimiento: el error, la falsedad, la ignorancia, la desviación...), pla exigencia de simetría explicativa de esta sociología/uerfe ‘la verdad’ no resulta

menos asombrosa ni está m enos necesitada de explicación: ‘la verdad m atem átarraiga en la creencia no menos que ‘el error’ echa sus raíces en la experiencia fundada. Cuando D’Alembert, en el artículo Equation de la Enciclopedia, declaraque las raíces negativas han sido llamadas falsas "porque no satisfacen sino a un

fa lso enunciado de la cuestión", o cuando, en el artículo N égatif tiene aún que aclarar que "decir que la cantidad negativa está por debajo de nada , es avanzar una cosaque no se puede concebir" ¿no está acudiendo a la másevidente experiencia? Porotra parte, las creencias que so-portan y hacen posible una ‘verdadera’ matemá(basada en definiciones y axiomas, con criterios demostrativos, etc.), como la eudea, serán precisamente las que veremos bloquear la emergencia de modos denegatividad ‘verdaderos’, como los chinos; pero éstos, a su vez, no echan sus raícesuna tan asombrosa como imposible anticipación de los que serán ‘números negvos’ — con lo que las historias al uso renuncian a toda explicación — sino que agan, a su vez, en creencias propias del imaginario social chino, como las anudaen tomo al complejo simbólico yin/y ang/dao.

Las diferencias en los estilos cognitivos, las metafísicas subyacentes, las frteras de lo pensable que se le imponen a cada época o cultura, la versatilidad

concepto de rigor o la relatividad de las verdades lógicas que se pre-su-ponedeterminan — para este prog ram a— distintas matemáticas, en ocasiones irredu bles entre sí. No podemos, sin embargo, seguir a Bloor en su recuperación de principales tesis em pirista s y causalistas, siquiera sea porque entran en franca ctradicción2 con el núcleo central de su programa relativista.

Paradójicamente la fuerza del programa de Bloor se alimenta en la debilide su método. Frente a todo un ejército de científicos sociales que se ha dedic

1 Véase principalmente D. Bloor (1976). (Las referencias de paginación lo son a la edición francesa). En especial, el cap. 5, "Une approchc naluraliste aux matémaliques", y cap. 7, "La négotion dans la pensée matématique".

2 Como bien ha visto, p.e., B. Tuchanska (1990).

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a producir "una enorme can tidad de trabajos cuyo fin es mantener a las matemcas en u na perspectiva que excluya todo enfoque sociológico" (1976: 75), no den hacer suyos pensamientos bien heterogéneos. Mediante un sopesado eclecismo, va saltando de D urkhe im a Kuhn, de J.S. Mili a Lakatos, de Piaget a Pcaré, de J. K lein a Spengler, de W ittgenstein a Evans-Pritchard... tomando de uno tan sólo aquello que pueda contribuir a desvelar aquellas determinaciosociales a que pueda estar som etida la matemática.

Frente a Frege, Bloor tom a partido po r la ciertamente endeble ‘aritméticalas galletas’ de J. S. Mili. El discurso sobre Los fundam entos de ¡a aritmética del prim ero, no tenido pre cisam ente como re tórico, lo considera un cla ro discusacerdotal, defensor de la pureza (matemática) en peligro, lleno de im ágenes anazantes de invasión, penetración, ruina y confusión. Pero la objetividad librtoda sospecha que Frege reclam a para las matemáticas, Bloor la ve cumplidatodas las condiciones que Frege exige, mas bien en el carác ter de ‘creencia inscionalizada’ con que ciertas ideas y procedimientos matemáticos cristalizancada cultura. La ob jetividad matemática es social, lo que no la libra precisamde sospecha; su autoridad opera como la autoridad moral: induciendo la sensade que sus reglas son ineluctables y universales. En nuestros días estas carácteticas no lo son ya de la m oral propiamente dicha sino que habrían venido a rgiarse en la matemática, la cual funciona asíen lugar de la moral, cumpliendoaquellos papeles de cohesión social, modelamiento de conductas, establecimide lo indudable y confianza en el progreso que antes la moral venía sustentandPo r eso es tan fácil imaginar — y practicar— diferentes códigos m orales per

pueden im aginarse otras matemáticas si no es como maneras de error, de confuo de ignorancia.El acercam iento de Speng ler a las ma temáticas, no por casi desconocido e

nosotros ha dejado de inspirar enfoques tan dispares como el relativismo natlista de Bloor, historias marxistas como la de Restivo o idealistas como laCole rus1, o análisis ana rquizantes como los delúltimo W ittgenstein. También paraeste trabajo la lectura de La decadencia de Occidente ha sido una fuente de sugerencias, aunque su mención hoy no sea de buen tono para la buena educación démica ni para la democrática. Si bien tal vez sea precisamente su distancia pecto de ambas insti tuciones la que perm itió ese desparpajo im aginativo yradicalidad que atraviesan la obra, cuya lectura irrita tanto como fascina. Ahmitos de unidad, indeterminación y progreso de las matemáticas se van diviendo a golpes, si no de demostración, sí de analogía, de fuerza evocadoraalma de cada cultura — la apolínea o griega, la mágica o árabe, la fáustica u odental ...— delimita ununiverso-historia, en cuyo interior se despliegan en íntimaresonancia sus formas carácterísticas: políticas, artísticas, intelectuales ... y mmáticas. En estas últimas, cuyo estudio absorbió a Spengler durante algún tiem

se refleja de modo paradigmático eldestino de cadamónada cultural, por lo que

1 Véase nuestro capftulo I.

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no cabe universalidad ni acumulación de conocimientos matemáticos: "No haymatemática; hay muchas matemáticas. Lo que llamamos historia ‘de la’ matetica, supuesta realización progresiva de un ideal único e inmutable, es, en reali(...) una pluralidad de procesos cerrados en sí, independientes, un nacimiento retido de distintos y nuevos mundos de la forma"1.

Entre esas matemáticas está "la matemática occidental, la matem áticanues

tra, la que nosotros, con extraña ceguera, consideramos como única matemáticomo la cima y remate de una evolución de dos mil años" (1940:1: 103); peroes más que una entre otras y, además, para Spengler, está tocando a su fin. No nexo entre unas matemáticas y otras, cada una arranca de unos pre-su-puestos turales específicos, de una sensibilidad propia, y desde ahí levanta su particuedificio. La geom etría griega se prolonga menos en la geom etría cartesiana — pambas suponen pre-concepciones del espacio mutuamente irreductibles— quela ciudad-estado o en la estatuaria apolínea. Un teorema de cálculo infinitesimasigue antes de la forma musical de una fuga, o de un drama de Shakespeare, de su pretendido antecedente griego en el método de exhaución de Eudoxo . La mética griega es incapaz de pensar el cero y los núm eros negativos, que no obstconocía de los hindúes, porque literalmenteno puede ni verlos-, del mismo modoque la magnitud irracional es para ellaá-logon porque es impensable para su formade racionalidad.

Tanto nombrar como numerar son, igual para los salvajes que para nosothoy, maneras de delim itar y so-m eter los objetos, modos de construir el m undo.idioma de signos de una m atemática y la gramática de una lengua hablada tie

en último término, la misma estructura" (1940:1: 93). Por eso para Spengler tantas aritméticas como lenguas, tantas geometrías y topologías como maneras sido, son y serán de percibir el espacio, el interior y el exterior. Cada matemáforma parte de esa ilusión colectiva — acaso sea el reflejo más prístino de ella—que cada cultura se instituye. Y sólo en la medida en que una cultura no sabe psarse sino como ‘la’ cultura se atreve a decir que la suya es ‘la’ matemática. Pla otra cara de la capac idad de sugerencia de este autor es su ausencia de rigor método, así como numerosas conceptualizaciones lastradas con una fuerte caideológica.

Ortega, en la que seguramente sea su mejor obra filosófica, La idea de p rincipio en Leibniz, prolonga la reflexión de Spengler. Opone en ella dosmodos de

pensar, el euc lídeo y el cartesiano, irreductibles entre sí, pueslo por su-puesto encada uno es radicalmente distinto. En el primero, las magnitudes se piensan cocosas; en el segundo, comorelaciones: las matemáticas que arrancan de cada pro-toconcepción no sólo no se prolongan la una a la otra en sus desarrollos sino son inconciliables. El vaciado cultural de la matemática griega es en Ortega

1 O. Speng ler (19 40 :1: 99). Sobre su relativismo matemático, véanse, en particular, los capítu"El sentido de los números" (vol. I, pp. 85 145) y "La física fáustica y la física apolínea" (vol. II,: 239 319).

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liante y rotundo. El método axiomático-deductivo de Euclides, que servirámodelo para toda la matemática moderna y para buena parte de la investigaccientífica, es un gigante con pies de barro: la falta de fundam entación, la exigede evidencia para los axiom as, los lleva a coincidir con lostopoi, o ‘lugares comunes’, y laséndoxoi u ‘opiniones reinantes’. En la axiom ática euclidea precipitan alas creencias más arraigadas en el pueblo griego, esas que son impensables pr

samente porque son ellas las-que permiten pensar: los principios de identidadno contradicc ión y del tercero excluido; el criterio de abstracc ión; la visióncosista del m undo y su organización en géneros y especies, que harán de la geometría la aritmé tica ciencias incom unicables, aunque am bas dependientes del sentidla v is ta ... En lo no dicho de la evidencia siente Ortega latir toda la colectivida

fon do colectivo de cada matemático, una disposición genuinamente religiosa: " pensamiento con que se piensan las proposic iones primeras no razona, es irranal por tanto y, cuando menos, ilógico" (1979: 84). El ‘lecho de roca firme’, eque Lakatos veía descansar a la razón matemática, a Ortega se le muestra hedel material de los sueños, los pre-juicios y las creencias.

La aportación de Com elius Castoriadis a unaarqueología de las ma temáticas también arranca de la valoración de lo imaginario en la actividad matemática dun registro sociológico. Para este autor, en lugar de flotar en el reino de la ne cdad absoluta, lalógica conjuntista-identitaría — cuya "consumación más rica yavanzada es el desarrollo de las matemáticas"— hunde sus raíces en "inabarcaformaciones magmáticas". Unmagma es "aquello de lo que pueden extraerse (oaquello en lo que se pueden construir) organizaciones conjuntista-identitarianúmero indefinido, pero que no puede ser nunca reconstituido (idealmente) composición conjuntista (finita o infinita) de esas organizaciones" (1988: 2Los magmas proporcionan elhumus de lo imaginarlo radical, que desborda lalógica conjuntista-identitaría y a menudo la viola. Son ejemplos de magmatotalidad de las representaciones (recuerdos, percepciones, fantasías, conceptode que es capaz una persona en un momento dado, o la totalidad de las signifciones que podrían expresarse mediante las enunciaciones del castellano con poráneo. Ninguno de ellos se agota mediante sim ples operaciones conjuntiidentitarias : separar, clasificar, ordenar, contar... Siempre queda un residuo i

ductible, un fan go semántico, un caos abisal, del que em ergieron esas operacionesy sus productos, que es el que carácteriza al magma. Este concepto no es ciemente absoluto: son numerosos los casos de ámbitos magmáticos que contiempo se han vistoconjuntizados o formalizados exahustivamente. Pero unmagmaactual sí es irreductibleactualmente a estructuras bien determinadas y, encualquier caso, también hay magmas definitivamente irreductibles como, p.e propia actividad de form al i zac ión, o el magm a de las significaciones im aginsociales o el de las significaciones psíquicas.

Pues bien, para Castoriadis lo magmàtico es siempredenso en cualquierestructura o proceso conjuntista-identitario, y en particular en la matemáticadecir, en cualquier entorno, por restringido que sea, de una operación o concmatemático siempre hay significaciones que exceden, cuando no violan, los p

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cipios y operaciones que carácterizan la lógica conjustista-identitaria, a saber: principios de identidad, contradicción y te rcio excluso, la equivalencia propdad = clase, o las relaciones de equivalencia y de buen orden. Así, la m atemáno puede dejar de estar sobredeterminada por el magm a de las significaciones iginarias de la sociedad que la construye: "no hay aritmética sin mito” (1988: 20Al menos los magmas de la lengua ‘natural’ y de la lógica ‘espontánea’ penetdesde el principio la matemática. Un ilustrativo ejemplo del primer caso lo encuentra Castoriadis en el ensayo de definición del término ‘con junto’ po r Bourbaki (un m omento en que flaquea su coraje [formalista] y en que, pensando qu izá enabuela, consiente en expresarse en francés"): «Unconjunto está formado porelementos susceptibles de poseer ciertas propiedades y de tener entre sí, o con elementos de otros con juntos, ciertasrelaciones». Los términos en cursiva en el original ya confiesan el imperativo de una cierta indefinición en la definición mide un concepto — el de ‘con junto’— de cuyo rigor depende el de toda la ma tetica moderna. Pero, bien mirado, ¿son más indefinidos los términos ‘elemento‘relación’ que los términos ‘estar formado’, ‘ser susceptible de’ u ‘otro’?. ejemplo del segundo caso, el del arraigo en la lógica ‘espontánea’, lo ofrecenconceptos de ‘relación de equivalencia’ y de ‘conjunto cociente’, que formalilas actividades e spontáneas que cua lquiera1ejecuta para p roceder a clasificar aSon conceptos que cualquier teoría formal no puede introducir sino en una et bastante avanzada, y sin embargo no podría darse ni el primer paso para elabesa teoría sin presuponerlos inicialmente (p.e., al dar por sentado que el lecidentificará cada ‘x’ que aparezca en distintos lugares del texto y lasdistinguirá

cuando convenga hacerlo). Así, "la construcción de la lógica conjuntista-identria presupone la lógica conjuntista identitaria (y ciertamente también otras cosalo imaginario radical)" (1988: 198). También en matemáticas el resultado estáel principio, también las matemáticas encuentran lo que previamente se ha pueY eso que se ha su-puesto arraiga en los magmas simbólicos y lingüísticos quementan las diferentes sociedades.

Así también, Castoriadis, derivando hacia lo social el modelo biológico Varela (1980), considera cada sociedad sumergida en uncerco ep istémico, que distingue lo que para ella es información y lo que és ruido, lo que es perceptible que no, qué tiene significado, valor o sentido y qué es insignificante, desprecio absurdo: "toda sociedad es una construcción, una constitución, creación demundo: su propia identidad no es otra cosa que ese «sistema de interpretaci(1988: 69ss.)”. Este cerco, ciertamente poroso, es el que delimita las condiciode posibilidad de cada forma de conocimiento y de percepción; no sólo sus conidos concretos sino la propia configuración o matriz que los hace posiblestiempo que excluye la posibilidad de otros. Es lo que para Foucault (1968) deuna episteme o, para Ortega —y salvando las diferencias— , unmodo de pensar.

1 Esc 'cualquiera' acaso sea menos universal de lo que prelende Castoriadis, como tendremos ocasión de matizar al analizar los procesos "de clasificación’ en China.

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E. M orin critica la noción foucaultiana deepisteme po r simplista (no admitesino una solaepisteme pa ra cada cultura en c ada mom ento) y arbitraria en el esta blecimie nto de los cortes epistémicos, y la funde con el concepto de ‘paisaje mtal’ (mindscape) de Maruyama (1974), con el sentido que el término ‘paradigmtiene originalmente en la lingüística estructural de Hjemlslev y Jakobson, y coque da Kuhn a ese mismo término en la segunda edición de su Estructu ra de las revoluciones científicas como "conjunto de creencias, valores reconocidos y técncas que son comunes a los m iembros de un grupo dado”. Con esto, "un paradicontiene, para todos los discursos que se efectúan bajo su dominio, los concefundam entales o las categorías maestras de inteligibilidad al mismo tiempo qutipo de relaciones lógicas de atracción/repulsión (conjunción, disjunción, impción u otras) entre esos conceptos o categorías. Así, los individuos conocen, psan y actúan según los paradigmas inscritos culturalmente en ellos. Los sistede ideas están radicalmente organizados en virtud de paradigmas" (1991: 2

Morin asume esta noción "no sólo a pesar de su oscuridad, sino por su oscurid pues apunta a algo muy radical, profundamente sumerg ido en el inconsciente vidual y colectivo". Nosotros la acogemos asimismo sin mayor precisióm, anándola incluso con las nociones deepisteme, modo de pensar, imaginario social o colectivo, etc. Cualqu ier intento de definir lo que, por debajo de las definicion(y, más aún, por debajo de la manera de construir las definiciones), las hace p bles, no puede ser sino un intento fracasado de antemano o — en la medida entenga éxito— una proyección de cierta manera de construir conceptos sobre lesquiera otras maneras posibles, que es de lo que aquí se trata de indagar.

En la construcción de los conceptos — y, en particular, los m atemáticos— partir de los diferentes im aginarios, el lenguaje juega un papel mediador fumental, y complejo. "La sociedad hace el lenguaje que hace la sociedad, el homhace el lenguaje que hace al hombre, el hombre habla el lenguaje que le hablaMorin, 1991: 162). Y el lenguaje m atemático no constituye un universo lingüísseparado, sino que brota del lenguaje ordinario."En la matemática, apuntaba Wgenstein, son proposiciones gramaticales las que nos convencen". A diferencia delas ciencias em píricas, que siem pre tienen (o, m ejor dicho, pretenden tene r1

referente exterio r a su propio discurso, en cierto sentido puede decirse que la mmática se agota en su mero acontecer discursivo, es decir, es una actividad estamente textual, lo que la emparenta antes con la literatura que con las llamciencias. Es en el texto dondeefectivamente se producen las matemáticas. Unagenealogía de lanegatividaá a través de su construcción textual parece, pues, nosólo pertinente sino casi ineludible; no menos que la consideración de los eferetóricos que la matemática incorpora en el hecho mismo de su decirse, que notro que el de su hacerse. Sin embargo, es casi total la ausencia de aplicaciondiscurso m atem ático de las hoy tan potentes y variadas técnicas de análisis del

1 Sobre la invención de una realidad referencia! por las ciencias empíricas, véase E. Lizcano (1993b).

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curso, que tan reveladoras se han mostrado en sus incursiones al interior de cietextos científicos.

Son bastantes los estudios que, en los últimos años1, tratan la actividad c itífica como una actividad constructora de textos destinados, por un lado, a cciertos efectos de realidad, y por otro lado, a argumentar y convencer. Por lo las prácticas científicas serían perfectamente susceptibles de un análisis retórimbricación de estructuras textuales jerarquizadas, apropiación de sentidos todos de otros discursos, recursos para la construcción de un lector modelo, puen escena de d iferentes tipos de actores y otras estrategias de persuasión hanvado a algunos a calificar estos textos como una auténtica ‘ópera c ientífica’. Etécnicas abren otra sugestiva aproximación a una arqueología de las m atemátque, en lo que se nos alcanza, perm anece prácticamente inédita.

La crítica de J. A. Schuster (1968) al método cartesiano como discur‘mítico’ se cuenta entre las pocas de este tipo. Su análisis estructural de los tede Descartes revela en ellos un hábil tejido de recursos literarios destinados a clas ilusiones de unidad, aplicabilidad, eficacia y progreso. Siguiendo técnicasnes a la etnom etodología3, Schuster pone de m anifiesto el engarzam iento de niveles de discurso entre los que se irán produciendo convenientesdesplazamientos. El primer nivel es sistem ático y desarrolla el núcleo del método. El segundla representación primitiva delámbito vivo que se va a convertir en objeto sobre elque aplicar el método; esta representación es sui generis en el sentido kuhniano, esdecir, compuesta por elem entos — metafísicos, conceptuales, evaluativos e insmentales— especialmente adecuados a ese ámbito de fenómenos. El terceroforma el conjunto de historias, relatos, informaciones y glosas con que se redcribe el segundo u tilizando la teminología del primero.

La clave de la operación mitologizante del cartesio estaría en llevar al lecoyente a leer/oír en el tercer nivel. Ahí los ‘fantasmas disecados’ — en que seconvenido los ‘objetos destripados’ del ‘cam po vivo’ del segundo nivel— godel efecto de aplicación, que permite soportar la ilusión de que las reglas del primer nivel son perfectamente aplicables al segundo cuando, de hecho, tan sólestán aplicando a las narraciones — efecto de redescripción — sobre él del te rcer

nivel, narraciones que, pordecirse en términos del primero, m alamente podrían noaplicársele. El creyente en el método ve así además confirmada su confiamediante elefecto de progreso que se logra prolongando la anterior operación demixtificación de los tres niveles a otras narraciones sobre nuevos objetos ‘de bie rto s’. Y si la m aniobra se extiende a otros campos de realidad diferentes —

1 Véase, p.e., B. Latour (1987), B. Latour y F. Baslide (1983), B. Latour y P. Fabbri (1977),S.Woolgar (1991), P. Bourdieu (1985), o M. Mulkay (1991).

2 Esa rama de la etnometodología —véase p.e. A. Coulon (1988) o A. Cicourel (1973)— qu son las etnomalemáticas — así p.c. M. Aschcr & R. Aschcr (1986) o U. D’Ambrosio (1985, 1989)—nos ha sido también fuente se sugerencias y, sobre todo, de prevención ante cieno etnocentrismomatemático.

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naciones formales que a nosotros nos pasan desapercibidas (p. 178), demuestragolpe de órde nes (p. 193), o bien operan rimando núm eros (p. 229). Es el contelingüístico el que da — o quita — sentido a u n cálculo, una regla, una demostraco un axiom a, y no su adecuación a una supuesta realidad externa o su coherendesde una lógica dudosamente universal. Cada lógica, como cada juego de len

guaje , tiene su gracia . Com o juegos de lenguaje, las matemáticas es en el lenguajedonde se fundan... y también por el lenguaje se desfondan. "Es esencial a las mmáticas que sus signos se usen también en lo civil" (p. 215), pues es ahí donde personas in te ligentes se dejan atrapar por lasredes lingüísticas. El anclaje del discurso m atem ático en el lenguaje natural le permite apropiarse de los recursos rricos de éste: "en las matem áticas son proposiciones gramaticales las que nos convencen" (p. 133), son ‘tretas gramaticales’ las que bloquean ciertas asociacioneestim ulan otras hasta presen tarlas com o identificaciones irresistibles. "¡Fíjate e palabreo con el que convencemos a alguien de la verdad de una proposición m

mática!" (p. 197). La verbalización de una dem ostración m atemática se empa reasí con la narración mítica (p. 133). Por eso el discurso matemático, antes que dcriptivo o m ero encadenan te de transiciones necesarias, es sobre todo un discuimperativo: " ‘Tu haces eso’ quiere decir: debes hacer eso; y . ‘tu no haces equiere decir: no has de hace r eso" (p. 230). El decir matemático es típicam entecucionario, realiza la acción denom inada por el mero acto de enunciarla. Sus estegias de imposición (persuasión, seducción, provocación, intimidación...) s pues, susceptibles de análisis tanto gramatical como retórico.

* * *

Ciertam ente no son las hasta aquí referidas todas nuestras deudas ni los médos antes esbozados los únicos que em pleam os1, pero sí se cuentan entre las futes principales de sugerencias, bien para ensayar ciertos análisis bien p ara maner el ánimo ante algunas arriesgadas conclusiones a que esos análisis nos llevado. La tensión de su pensamiento ha alentado nuestro esfuerzo por evitahabitual lectura ingenua, positiva, de estas emergencias matemáticas, y por

incorporando — a veces, medio a tientas— esas formas de crítica, análisis e in pre tación que tan fecundas se han manifestado en otros ámbitos del conocim ien No querem os tampoco dejar de agradecer algunas valiosas orientacione

estímulos. En prim er lugar, a Javier Ordóñez, que acogió y alentó la tesis de dtorado que está en el origen de este libro, cuando tantas puertas se le vencerrando. A Agustín García Calvo por sus atinadas observaciones sobre ciertextos y términos griegos. A Antonio Escohotado por sus sabrosos comentario

1 En particular, las que nos han parecido deficiencias de ciertos enfoque teóricos — y que co-mentamos en el capítulo 1 — también nos han sido, no obstante, poderosas fuentes de estímulo y refe -rencia.

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críticas. A Luis Castro por su atenta lectura del m anuscrito y sus agudas sugercias. A Consuelo Marcos por el tiempo que le robó a la redacción de su gramáde chino para asesorarnos sobre esa lengua tan endiablada como apasionanteMariano Martínez por su disposición a ceder por igual acertados comentario precio sos ejemplares de su insólita biblioteca. A Julia Varela y Fem ando AlvaUría por sus frecuentes llamadas de atención hacia los registros sociológico

arqueológ ico. A M aría José «Muñoz por sus traducciones del latín vu lgar quecabo, no tuvieron cabida. A Nieves Díaz, de la Biblioteca Nacional, y al persode la hem eroteca y biblioteca de la UNED, por su diligencia en localizar mateles, algunos tan esquivos y recónditos. Sin ellos, y sin tantos otros, no hubiera s posib le este trabajo; aunque a ninguno de ellos cabe im putar n ingún desacierto pudie ra haber en el mismo.

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Capítulo I

Ciencias del hombre y matematicas:crónica de una resistencia

Recientemente criticaba Serres (1991) la ‘espontaneidad irreflexiva’ qusuele carácterizar la concepción general de la historia de las ciencias. Comoapuntara Feyerab end1, Serres observa en el origen de esta espontaneidad acrítuna actitud netam ente religiosa, que se acerca a los textos científicos como a ‘ttos sagrados’:

"En el fondo esta espontaneidad tiene una raíz: la admiración beata, literamente religiosa, aunque a veces justificada, hacia todo lo que se llama científicoyque, por lo mismo, sigue siendo intocable,y una simétrica adoración por la historia.

Incluso si se pretenden ateos o liberados, nuestros contemporáneos sacrifican buen grado an te estos dos altares o se inclinan ante esta doble jerarquía .(...) Son dtabúes de nuestro tiempo. Por consiguiente, la historia espontánea de las cienciasreduce a menudo a una historia sacra o sacralizada." (1991: 12-13).

Esa conclusión de Serres es la que sirve de hilo conduc tor a estacrónica delas resistencias que hemos observado en la mayor parte de de los enfoques a que, en muy diferentes campos de las ciencias sociales, hemos acudido dem anda de metodologías adecuadas para el análisis de lanegatividad matemática

que nos proponíamos. Sin apenas excepciones, podría decirse que las matemátise les presentan a las ciencias sociales como discurso sagrado2, imposible de penetrado por sus análisis , incluso para aquellos autores que tan brillantes resudos han conseguido frente a las tenidas por cienciasduras. El recorrido que aquíem prendem os no puede ser exhaustivo; nos limitamos a algunas de las reflexiomás sobresalientes — sea por la relevancia de sus autores, sea por la transparen

1 Véase, p.e., P.K. Feyerabend (1984:88; 1985: 58 ss.). Una tesis semejante mantuvimos en E.

Lizcano (1989), donde se desarrollan, en un tono periodístico, algunos de los argumentos de este ca-pítulo.2 Véase, p.e., cómo Mary Douglas aplica la consideración antropológica de lo sagrado al trata-

miento que concede Durkheim a las ciencias naturales, en el Prefacio de M. Douglas (1975).

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todavía y ciertos errores persistían aún; lo cual fue com pletam ente co rregido porconocimiento posterior. Esta relación simple entre un periodo de conocimiento pmitivo e incompleto y otro pos terior completo puede ser aprop iada en gran parte plas ciencias exactas (...); sin embargo, para las ciencias culturales ..." (1958: 356)

Para las ciencias exactas parece bastar una explicación en términos de ‘si

ple’ acumulación de verdades; a eso queda reducido el re la tiv ismo de un rela tivcultural cuando de pensar las m atemáticas desde lo social se trata. Ellas m arcaumbral donde su sociología del conocimiento debe inte rrum pirse1. Ante las mamáticas, la prevención de M annheim ya será norma en toda u na variada gam acientíficos sociales; muy rara será, en verdad, la ocasión en que no veamos sociólogo retroceder ante el m ero asomo de violación por su crítica deel impensable m atemático. La posterior sociología de la ciencia extiende ciertamente la crítica mannheimiana de lasciencias del espíritu a las de la naturaleza, pero no sefrena menos ante las matem áticas. Para no m ultiplicar los ejemplos , reduzcám oa uno de los m ás radicales de entre los actuales: el de Serge M oscovici. Para e psico-soció logo (1988) son los mismísim os objetos físicos — no sólo su conctualización— los que se crean por la acción de las teorías físicas, y mueren cellas, en ciertos m omentos históricos. La causa de e sta creac ión/destrucción dnaturaleza por el discurso está, según Moscovici, en el tipo de lenguaje que hvenido utilizando Jales teorías: el lenguaje ordinario, que, cargado de mem oriaes apto para el conocimiento. L enguaje de conocim iento sólo puede se rlo propmente el matemático, pues, al carecer de mem oria, sobrevuela el tiempo y los cu pos, el nacim iento y la muerte. Sólo el lenguaje matemático es lenguaje no deminado, y será por tanto el único que pueda librar al conocimiento de ldeterminaciones del tiem po y la subjetividad.

En la de Castoriadis veíamos antes una de las pocas sociologías que sí enyan un análisis de las raíces que la ma temáticas pudieran ech ar en las formac iosociales. Al ser el discurso m atemático ‘denso ’ en diversos m agm as (como loslas significaciones lingüísticas y las imaginarias), no puede haber eme rgencia sque no arrastre consigo, a modode ganga, residuos del imaginario social: ‘no haymatemática sin m ito’. De aquí deriva Castoriadis una doble c rítica. Una, lúcidradical, de la sociedad contemporánea ; la otra apunta a la matem ática, aunque ése nos antoja bastante más tímida, cuando no abortada, sobre todo tras unas exptativas tan ambiciosas como las que parecía abrir el anterior planteamiento. mundo moderno —constata Castoriadis— ha hecho de la aritmética un mito,exorbitado el peso de la dimensión conjuntista-identitaria hasta el punto de q"esta pseudoracionalidad funciona en definitiva como la única significación imginaria explícita que puede cimentar la institución, legitimarla, m antene r unidsociedad" (1988: 214). Se ha cumplido el ideal positivo de Cam te. Por eso, rom

el monopolio que las matemáticas han obtenido en la urdimbre de representacio

1 Véase D. Bloor ( 1973).

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que configuran el im aginario social se le muestra como una tarea política urgoara el logro de una sociedad autónom a, no enajenada en una sola dime nsión —que consagralo que es — de su im aginar radical.

Pero su crítica de las matemáticas, no la de su función social sino la demisma institución como un discurso entre otros (al margen del rango jerárqu

que haya llegado a alcanzar entre ellos), no pasa de vagas afirmaciones generque luego no concreta, o bien contradice, o incluso niega cuando, puesto a contar, le puede más la fascinación por el formalismo matemático que por la crítAsí, por un lado:

"Las operaciones ‘lógicas y físicas’ por las cuales toda sociedad se remit primer estado natural, lo organiza y lo utiliza, están siempre sujetas a significacimaginarias sociales que son ‘arbitrarias’ y radicalmente diferentes en las difersociedades”(1988: 71).

y, sin embargo, "es necesario lo determinado y lo necesario para que cualqusociedad funcione y hasta para que ella pueda presentarse a sí misma sus sigcaciones propiamente imaginarias" (p. 209). Será la propia institución de la sodad la que al cabo ech a sus raíces en la lógica conjuntista-identitaria, que quedin-determinada de puro determinante. Si para Bachelard, como veremos, es la mética la que funda la razón, para Castoriadis fundará hasta la mism a imaginacLa ‘arbitrariedad’ y ‘diferencia radical’ de los imaginarios sociales, que pormom ento parecieron ir a determinar la necesidad identitaria, acaban hilvanánen torno a una lógica com ún y ‘necesariamente necesaria’(!), realizada ejempmente en las matemáticas e indispensable hasta para la misma representaciólas significaciones imaginarias. Más aún, si lo magmàtico era siempre ‘densola dimensión conjuntista-identitaria, con lo que la m atemática quedabamagmati-

zada, Castoriadis tam bién postula la inmersión inversa: la lógica conjuntista-idtitaria es siempre ‘den sa’ en cualquier magm a de trama s imaginarias. Por sumgido que se esté en cualquier punto (pero ¿hay ‘puntos’ en los magmas?) decualquiera de los magm as donde enraizan las significaciones imaginarias, siem

se encontrarán elementos de tipo conjuntista-identitario. Nos encontramos a"una esencial e inexpugnable dimensión no sólo del lenguaje sino de toda vitoda actividad soc ial" (p. 221)..

Si no había aritmética sin mito, lo que a Castoriadis parece fascinarle decismente es que, "más importante aún, no hay mito (o poem a, o música) sin aritmé(p. 205). Y si bien declara ‘indecidib le’ la cuestión sobre si esadensidad existe realmente o tan sólo la pone él, lo cierto es que no cesa de recrearse en m atematiz¡y en términos bourbakistas!— sin que ello aporte mayor precisión o rigor. Aaplica conceptostopológicos — como el dedenso — a lo im aginario radical, inter preta la metafísica kantiana en térm inos deultrafiltros (p. 199)... y hasta ensaya undesarrollo bien detallado de ¡una teoría axiomática de magmas!, a imitación daxiomáticas más formalizadas de lateoría de conjuntos (p. 200-2). En lugar defijarse en el momento en que se instituye (o se destituye, según el caso) cada m

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de d iscurso matem ático, que es cuando focaliza sobre él el entramado d e imáginconscientes que pueblan esehumus del que nacen las significaciones imaginarias,Castoriadis pa rece contentarse con haberlo m encionadoen pass'ant y centrarse, encambio, en el mom ento hipostasiado en que "todas las entidades m atemáticas e perfectamente determ inadas" (p. 195). Y desde ahí proyectar re troactivamsobre la historia toda el mito moderno de la matemática como "un código senen el purolegein" (p. 231). No será entonces de extrañar que las más diferentes htorias de las m atemáticas se narren como historias del cumplimiento de un desel destino de una razón pura universal que, como no podía ser de otro modo, va coincidir con la del Occidente moderno.

1.2. U na histo ria de esencias y cum plim ientos

Cua ndo ya la historia, que de tantas verdades definitivas ha dado cuenta, dmoronaba esa imagen de edificio de una sola pieza que con la Ilustración hcobrado la ciencia; cuando — tras las huellas de Bachelard, Kuhn o Feye rabenya la ciencia se m ostraba como reconstruccióna posteriori de conjeturas y p rácticas que no tenían por costumbre obedecer a ningún método ni escapar a las dminaciones irracionales e inconscientes que moldean cualquier otro aspectosaber y del hacer hum anos... tan sólo la historia de la matemática, com o señaLakatos (1981: 67-8), se mantenía aún como h istoria sagrada:

"La historia de la matemática ha sido distorsionada por filosofías falsas amás de lo que lo ha sido la historia de la ciencia. Dicha historia todavía es consrada por muchos com o una acumulación de verdades eternas; las teorías o los temas falsos son desterrados al oscuro limbo de la prehistoria o se los archiva colamentables errores que sólo tienen interés para los coleccionistas de curiosidadDe acu erdo con ciertos historiadores de la matemática, la historia de las matem áten sentido propio empieza con aquellas obras que se conforman a los estándaresellos consideran definitivos. Otros descienden hasta las edades prehistóricas s para entresacar de la basura fragm entos luminosos de la verdad ete rna”.

Un significativo botón de m uestra, extraído de la sin embargo formidable H istoria genera l de las ciencias, dirigida por R. Taton: "Siendo el esquema babilonio[para resolver ecuaciones de 2o grado] idéntico a la fórmula de hoy, tenemosfuerza que adm itir que es el resultado de un esfuerzo racional"1. También en ctiones matemáticas, al extranjero no se le concede otra posibilidad de racionalque la que, en su espejo, es reflejo de lanuestra. G. Sarton, uno de los principimpulsores de la historia de la ciencia como disciplina de pleno derecho, lincluso a estab lecer un "teorem a de la historia de la ciencia" ( sic) que m arcará todala historiografía matem ática posterior:

1 R. Labal y E.M. Bruins en R. Talón (1 988:1: 127).

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"Definición. La ciencia es conocimiento positivo sistematizado, o lo que sido tenido por tal en las diferentes épocas y en los diferentes lugares. Teorem a.adquisición y sistematización del conocimiento positivo son las únicas actividahumanas que son verdaderam ente acumulativas y progresivas. Corolario. La histde la ciencia es la única h istoria que puede ilustrar el progreso de la humanidad"

Aún más claro: "L a historia de la ciencia es la historia de la unidad del génhumano, de su sublim e designio, de su gradual redención”1. Lugar de m anifestade unas verdades — las verdades m atemáticas— que lo son desde siempre, la hria lo es de su revelación progresiva. No le falta a Sartén ni el inevitable santcientífico al modo comtiano: comparados con los conquistadores de territormovidos por ‘viles intereses’, "los matemáticos no son ángeles ni santos — algude ellos fueron bribones— pero por lo menos no trataron de asesinar, explotesclavizar a sus sem ejantes; sus transgresiones fueron sin importancia, mientrassus propósitos fundam entales fueron nobles y sagrados: sus conquistas fueron erituales, conquistas de la razón pura con un alcance infinito" (1960: 6).

Unicamente parece desentonar en este cuadro esa admisión, en la ‘Defción’ anterior, de "lo que ha sido tenido por tal [por conocimiento positivo simatizado] en las diferentes épocas y en los diferentes lugares". Pero debe enderse bien, no como una puerta abierta a otras matemáticas (que se supoimposibles) sino com o untic liberal. Cuando de verdad se pone a historiar la matemática, esasotredades ya pasan a ser "adulteraciones y desviaciones" — ¿respectde qué norma?— que llegaron a dom inar "la mente no sólo de la gente vulginculta sino también la de los astrónom os, incluso Brahe y Kepler" (p. 78). O los mejores m atemáticos del mom ento, qué, como Stifel, de sus cálculos deduel fin del mundo: "es posible que su mente se alterara por excesiva beatería, muchos otros hombres del periodo fueron tan locos como él" (p. 81). Adulteranes mentales o dem enc ia colectiva, cualquier hipótesis vale para explicar los ‘res’ de cada época, mientras que ninguna es necesaria para los ‘aciertos’, quimponen como dotados de un dinamismo propio e intemporal. La historia dmatemática resulta así doblemente edificante. Es historia de la edificaciónde laverdad y también historia de la edificaciónen la verdad, al ir mostrando, por con

traste, lo que no es sino error y superstición, la sombra de "la imbecilidad dme nte humana" que gracias a ella se revela com o tal.La denuncia de Lakatos no iba, pues, desencaminada. Pero cuando pudi

esperarse que de ella se siguiera una cierta desacralización, nos encontramosque la denuncia apuntaba más bien a ciertos elementos exteriores que pudiecorromper esa historia sagrada. Es necesario volver al interior, sin referenciasturales exteriores; tan sólo basarse en el propio diálogo interno del discurso mmático. "Al considerar la historia de la ciencia, si nos ponem os a ver cóm o se producido algunas de las refu taciones [de hipótesis] más célebres, tenemos

concluir bien que algunas de ellas son m anifiestamente irracionales, bien que

1 Citado por Dictionary o f Scienlific Biographies(1981: 11 & 12: 109).

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cansan en principios de racionalidad radicalmente dife rentes"1. Pero com o tauna posible fundamentación irracional de la ciencia como una proliferación racionalidades parecen ser meros impensables, la historia de la matem ática hade ser entonces ‘racionalm ente reconstruible’ desde criterios exclusivam ente innos, según patrones propios de objetividad. Y si "...historiadores respetables hdicho alguna vez que la suerte de reconstrucción racional intentada aquí es u

caricatura de la historia real.—del modo en que las cosas ocurrieron realme(...)— igualmente podría decirse que tanto la historia como el modo en que cosas ocurrieron realmente sólo son caricaturas de la reconstrucción raciona(Lakatos, 1981: 16).

Que sociólogos, psicólogos e historiadores se entretengan, si les place , en añar la superficie del pulido discurso matemático; no podrán entrar en él, pues basta a sí mismo para proporc ionarse un "lecho de roca firme" (1981: 17). lúcida crítica lakatosiana al formalismo — por necrófilo, amigo de tratar sólo ccadáveres ya fríos— y a la "imagen autoritaria, infalible e irrefutable de las mamáticas", que ha "constituido la orgullosa fortaleza del dogmatismo" (1978: 20), le conduce, al cabo, a una reescritura incesante de su historia que, comoneolengua orwelliana, borra toda huella ‘externa’* toda contaminación de elemtos profanos. Lo cual tiene, entre otras ventajas, la de que allí donde a los mateticos que en la historia han sido se les presentan auténticos m onstruos (magnitui-racionales o imaginarias, series insumables o funciones sin derivada) sobre que proyectan sus demonios particulares y colectivos, a Lakatos sólo le asalmonstruos alegres y confiados, edificantes ejercicios de estilo: erizos po liédrico

mujeres embarazadas que no por ello tienen dos cabezas, aberraciones de sasobre las que afinar su muy racional "método de ajuste de monstruos".Las sugerencias de Spengler para una historia relativista de las m atemátic

han tenido sus posteriores cultivadores, aunque por lo general la m erma en la llantez del m aestro no se ha visto compensada con el deseab le aum ento de rigUn desarrollo sistemático de las hipótesis de Spengler sobre las matemáticasintenta Colerus (1972-73), pero su Breve Histo ria de las matemáticas sólo añadea las vulgatas al uso las salpicaduras de cierta fraseolog ía spengleriana y la cartura de alguno de sus tópicos más célebres (biologismo, almas epocales...); a c bio, pie rde de vista el rico entramado que despliega la vasta erudic ión exhib id a La decadencia de Occid ente , para acabar traicionando a su autor en lo más íntimo:sus mónadas culturales se acaban resolviendo en "la mónada de las mónadDios", y el lúcido escep ticism o de aquel maestro de escuela desem boca en su cípulo en el habitual paseo heroico por la historia de "la gloriosa y auténticam esoberana ciencia de la matemática" (vol. II; 197). Otra vez nos sale al paso aqnuevo monoteísmo y aquella historia sagrada con que soñara Comte y que advtiera Serres.

1 I. Lakatos, "Falsificalion and the Melodology of Scientific Research Programmes", en I. Laka-tos y A. Musgrave (eds.) (1970: 114).

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por una cla se intelectual dom inante em peñada en m antener la notación m atetica ligada a la escritura ideográfica, cuya dificultad la hacía inaccesible a m asas’. Cabría, sin em bargo, ob jetar que en al caso chino la tal ‘incapacidad la abstracción’ bien pudiera verse —con algo menos de etnocentrismo— co‘capacidad para no abstraer’ y que emergencias como la de los ‘números negvos’ (en la que ni repara) surgen p recisam ente ligadas a modos populares de

culo y adivinación. P or análogo método de e xplicaciones externas un iversaledivorcio mano/cerebro, que impone la división del trabajo en las oligarqugriegas, y la expansión comercial ‘dan cuenta’ del tópico ‘milagro matemágriego’: al parecer, todas las restantes civilizaciones desconocían la divisióntrabajo.

Las ‘necesidad es práctica s’ — cálculos com erciales, agrim ensura, admnistración, etc.— son el pen últim o refugio explicativo de este m aterialism oextendido como grosero. Poco im porta que para ello los conceptos de ‘necda d ’ y de ‘pr ác tica’ hayan de e stirarse hasta el punto de alojar laarbitrariedad y la inutilidad más flagrantes. Con tal de que se sigan llamando ‘necesidade p rácticas’, caben desde la s especulaciones m ís ticas hasta los usos — ¿de efretroactivo?— que sólo generaciones posteriores sabrán dar a lo que naciónecesidades estrictamente formales (p.e., la teoría de grupos). El último rgio metodológico lo procurará el recurso a la dialéctica. Acaso así pudecirse que "los infinitesim ales, engendrados primeram ente en los debatesteólogos y escolásticos, se introdujeron [con Newton y Leibniz] en el proc

productivo" sin v iolar no obstante ningún principio del m ate ria lism o his tór

Cuando hace falta para que el prejuicio m arxista funcioné, se pone a la suestructura determinando a la infraestructura y se recurre a la negación denegación.

Este singular método permite construir historias de las matemáticas cola de Ribnikov, donde puede asistirse al despliegue de "las leyes objetivas desa rrollo de las m atem áticas". En tan sólo diez páginas (1987: 9-19) se prestodo un catecismo sobre necesidades prácticas retroactivas, luchas de cladonde "lo nuevo irresistiblemente vence" (bastando con entender por ‘lo nuelo que acabará venciendo), o el "heroísmo de los científicos" (de nuevo el versal santoral com tiano) y "ante todo de los científicos naciona les". En su tensión de verdad exclusiva para "la ciencia m arxista-leninista con la aplicadel m aterialism o dialéctico", caben enunciados tan poco idealistas com o ”lagada de la Edad Media" (p. 118) o que las teorías matemáticas precedenm étodo m atem ático (p. 9). Tras sem ejante declaración de p rincipios, el restla obra ya puede entregarse a reproducir sin mayor obstáculo las habitualeespontáneas ‘descripciones’ positivistas. Como señala Clastres (1981: 1estas m etodologías "bailan una robusta danza cuyos grandes zuecos clavete

golpean con rudeza el suelo de la investigación”. Ese "penoso lenguajemadera", articulado por auténticas categoríasbulldozer, no es, sin embargo, privativo del marxismo, y se extiende en particular a otros intentos de empreuna antropología de las ma temáticas.

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Una disciplina que, en principio, parece poder ofrecer enfoques y m etodogías especialmente adecuadas a un a arqueología de las matemáticas es la antrología; en especial, a partir de los estudios de Lévy-Bruhl y de Lévi Strauss.

matemática occidental m oderna se rige — o, al menos, así supone hacerlo— po principios de identidad, no contradicción ytertio excluso, que sirven de criterio ya para la definición de sus conceptos, ya para la construcción de sus demostracioPara nuestro propósito no es tan interesante que últimamente se hayan construotras lógicasde laboratorio, que suspenden o matizan alguno de esos principios,cuanto que esasdesviaciones hayan podido da r lugar a otras lógicas — y a otrasmatemáticas— culturalmente enraizadas y compartidas por poblaciones enterépocas históricas concretas.

Para Lévy-Bruhl, el pensam iento primitivo se basa en el ‘principio de pticipación’, según el cual un ser puede sera la vez él mismo y otro (un hom brey su animal totèmico, p.e.) o estar sin contradicción en dos lugares (p.e., doduerme y allí donde transcurre su sueño). Lo que no implica que se trate de pensamiento alógico ni anti lógico, sino que no se re stringe, como el nuestrevitar la con tradicción: "lo que es pa ra nosotros im posible o absurdo, es admia veces por la mentalidad prim itiva sin percibir en ello la me nor dificultad". en la medida en que las distinciones posible/imposible o admisible/absurdeterminan los modos y contenidos matemáticos, se entronca el discurso m

mático en el imaginario cultural, cuyas vicisitudes iría compartiendo. No sdiferenciando unimaginario prim itivo y otro civilizado, sino asumiendo, comoya hiciera Bergson, que la lógica del primero subsiste en los pliegues de la segundo. La antropología parece ponernos de esta manera en condiciones pensar no sólo otras mate mátic as — com o ya hic ie ra con otras mora les u orazones— , unas m atemáticas que ya no fueran me ros tanteos em píricos o ‘innuas desviaciones’ de la nuestra, sino también elabsurdo de tantasevidencias que se tuvieron por tales o laevidencia de tantosabsurdos que fueron dejandode serlo al correr de las épocas.

Esta imbricación de lógicas también es patente para Lévi-Strauss. Inclusocomparación de la actividad científica con la mágico-mítica delbricoleur (1964:24-43) (obligado como está a trabajar con residuos lingüísticos ya elaborados él va articulando a su manera para dotarlos de significaciones nuevas) deberíaaún más relevante para la m atemática, pues ésta — al mane jar un material estrmente lingüístico— no ha de someterse, como sí las ciencias empíricas, a laquedad de unos hechos supuestamente exteriores. En lo que tiene de mitolofósil, de imaginario congelado, el discurso matemático es campo bien abon

para el análisis antropológico. De él puede decirse, y con mayor razón, lo Schelling afirma del lenguaje en general:

"Estamos casi tentados de decir que el lenguaje [matemático] es una mitolo privada de su vitalidad, una mitología, por así decirlo, exangüe, y que sólo ha c

13. Dificultades pa ra una antropología de las matemáticas

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servado en estado abstracto y formal lo que la mitología contiene en estado vivconcreto"1.

Y también Nietzsche (1990: 27) intuye en las matemáticas el precipitadouna actividad poética desecada, el residuo acartonado de las metáforas que evieron en su origen y luego cayeron en el olvido para dejar a la vista tan sól

esqueleto desencarnado:"El gran edificio de los conceptos ostenta la rígida regularidad de un colum

rium romano e insufla en la lógica el rigor y la frialdad peculiares de la matemátAquél a quien envuelve el hálito de esta frialdad, se resiste a creer que tambiénconcepto, óseo y octogonal como un dado y, como tal, versátil, no sea mas queresiduo de una metáfora".

Pero el hombre olvida esa metáfora que "si no (es) la madre, sí (es)

embargo, la abu ela'1de cualqu ier concepto, y en particular de los conceptos mmáticos. R esca tar del olvido a la abuela sólo es una operación desmitologizanla medida en que su descendencia — los fríos conceptos matemáticos— ha hde ese olvido un mito: el mito de la verdad sin tiempo ni lugar de las matemátel mito de su independencia de los orígenes. Pero tal rescate sería mas bienoperación propiamente mitologizanie, pues restituiría a las matemáticas la s poética, art ís tica, popular, de ese "fogoso to rrente primordial" que está en losgenes de sus conceptos y operaciones. Y, efectivamente, el desafío de una antrlogía de las ma temáticas también ha sido aceptado recientemente, aunque tanen casos bien excepcionales. Sobre los esperanzadores comienzos de esa nudisciplina que es laetnomatemática sobrevuela, no obstante, esa sombra etnocén-trica que hace primar el saber moderno sobre ‘la velocidad del concepto’ (segdisyuntiva del ‘principio de indeterminación matemática’ de Serres) por encdel análisis interior de su emergencia. El acercamiento del matemático-antrlogo R.L. W ilder es, ciertamente, un caso extremo, pero significativo. Su propinicial es bien cercano al nuestro:

"Los propios matemáticos parecen inclinados a ignorar u olvidar la naturalcultural de su trabajo y aem pap arsc de la sensación de que losconceptos con lostratan tienen una ‘realidad’ exterior al medio cultural, en una suerte de m undo plnico de las ideas. Así, a algunos m atemáticos parece faltarles el atisbo que los físmodernos sí han alcanzado: reconocer que incluso sus observaciones, tanto comoconceptos, están teñidos por el observador. ¿Cuánto m ás no será éste el caso dematemáticas, donde lo conceptual ha ido ganando primacía sobre lo observable?Me he propuesto estudiar la subcultura matemática desde el punto de vista del an pólogo más que del matem ático'1(1987: XII y XIV).

1 F. W. Schelling, Iniroduciion à la philosophie de la mythologie, citado por G. Ba chelard (1982: 62). El corchete es nuestro.

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Así, si los antropólogos parecen retroceder ante el ‘mito matemático’ ¿pqué no avanzar los propios matemáticos pertrechados de una metodología an pológica como la de aquéllos?. Pero aquí es donde el matemático evidencia carencias y, sobre todo, esa falta de sensibilidad que sí ha ido superando la an pología. ¿Cómo puede em prenderse un análisis antropológico de las matemáta partir de un m odelo teórico que incorpora una parte de d ía s com o elemento fijo incorporado al modelo de análisis? La matemática, que se queríaculturizar, quedaasí, por hipótesis,naturalizada, ya antes de empezar siquiera a pensarla. La herramienta analítica de W ilder — que, con todo, al menos la tiene— es una fantásmezcla de álgebra vectorial y darwinismo. El sistema cultural se concibe comosistema de vectores1, cada uno de los cuales (agricultura, religión, intereses pelíferos,...) está dotado de magnitud (número de personas concernidas, dinero adisposición, etc.) y sentido (!). El subsistema cultural que constituyen las mateticas se representa por un subsistem a de vectores (geometría, algebra, topologídel anterior, y su evoluc ión da lugar a una serie ordenada de sistemas vectorien la que los vectores crecen en magnitud en distintas proporciones: en una épel vector geom étrico crece ráp idamente m ientras que los otros permanecen virtmente estáticos, en otra época el vector del análisis empieza a acelerar su crmiento..." (1981: 16). El c riterio para seleccionar tales vectores corta por lo saestán determinados por la relación de disciplinas incluidas en la clasificación dciencias matemáticas de la M athematical Review. Pertrechado de un modelo matemático tan particular para sondear el sustrato no-m atemático de las matemátiy apostado en una perspectiva tan transcultural como ésa, no es de extrañar

sólo se llegue a ver lo que se veía venir. Basta "pasar por alto pequeños detall(sic), como todas las matemáticas que en el globo y la historia han sido, salvo occiden tales más m odernas (es decir, pasar por alto todas las matemáticas que citarían el interés de cualquier antropólogo si supiera cómo poder pensarlas desu disciplina), para que el modelo funcione.

Por si no fuera ya bastante el sesgo del modelo, la fuerza que Wilder supodinamizando a los pocos vectores que ya quedan tras semejante reducción resser la tan ‘universal’ struggle fo r life: la lucha entre las especies matemáticasseñala la suma y resta de vectores — "justo como en la evolución biológica"cuyo catálogo de supervivientes podemos ojear en la Mathematical Review. Alcabo, lo que parecía poder dar al traste con la historia de la matemática como toria sagrada, mediante una hábil conjunción con la biología consigue preseesa historia sagrada com o auténtica historia natural. Las "diez leyes que — pWilder— gobiernan la evolución(sic) de las matemáticas" (pp. 126-148) podríafirmarlas el intemalismo más estricto: la ‘cultura exterior’ no cumple más paque el de retardar/acelerar el progreso de unos conceptos, métodos y teorías desde siempre estuvieron ya ahí, más o menos larvados, y que a la postre hab

de terminar triunfando. Tras un viaje de recorrido nulo, la que empezó como

1 Al modo del sistema de análisis concebido por L.A. While (1975).

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zada contra "el platonismo típico de los m atemáticos" termina po r otear un pamatemático que, lejos de de berse a las culturas que lo levantaron, pre-existe ay, atravesándolas, se les impone desde fuera:

"Por ejem plo, cuando los números complejos ‘levantaron sus feas cabezasfueron considerados respetables pero, com o insistieron a lo largo del tiempo en inducirse en las matem áticas respetables, finalmente se les encontró alojamiento: elo forzaron literalmente” (p. 17).

¿Cómo iba a verse desde esa perspectiva que los ‘números complejos’nacieron ya siendonúmeros, sino operaciones (y, por tanto, sin cabeza que levantar), y m enos aúnnúmeros complejos, concepto que no aparece sino al final de unaserie de transformaciones, fusiones y abdicaciones conceptuales de raíz netamcultural? ¿Cómo ese teleologismo matemático puede admitir que la ‘respetadad ’, y más la de un concepto, no es algo que éste conquista si lucha lo bastsino un valor que tan pronto se le otorga como se le niega en función de los vnes axiológicos? Porque los supuestoscomplejos fueron bien respetables, aúncuando ‘feos y descabezados’, para la estética manierista a cuyo calor se conraron. Y sólo les perdió el respeto, antes de recuperarlo de nuevo, pero ya siotra cosa, el posterior racionalismo burgués, para el quetan sólo eran ‘imaginarios’.

Ante la seguridad que aportan modelos tan fuertes, como éste platònidarwiniano, ¿para qué molestarse siquiera en ir a los textos donde los presu

hechos ocurrieron?. S iendo los hechos matemáticos puroshechos textuales, acontecimientos que transcurren en los textos, asombra constatar cómo historiadosociólogos o antropólogos de las matemáticas suelen recurrir a versiones monas, cuando no a meras descripciones generales, en vez de ir a leerlos allí dtodavía están emergiendo: en los propios textos donde se han ido dicienhaciendo.

Aunque la antropología de Cassirer sea más filosófica que, ciertamentede campo, de su excepcional erudición, de la amplitud de sus conocimientos m ateticos, de su sensibilidad hacia el hombre como ‘animal simbólico’, y de su vtad de poner en relación todos los elementos — artísticos, científicos, lingüístmitológicos... ¡y matemáticos!— de la trama de simbolizaciones que le consyen como tal, no parecería mucho esperar que el discurso matemático saliertanto relativizado. Sin embargo, del encuentro entre su fascinación por ‘la’ mmática y los tópicos del idealismo alemán no saldrá sino una matemática quconcluye como "la verdad,a secas", voz privilegiada del espíritu que penosa peroirrefrenablem ente se despliega en el curso de la historia. Com o sue le ocurrir, bién en Cassirer los fines están ya escritos en los medios, el método de búsq

prefigura los ra sgos del hallazgo, si es que éste no se va construyendo al mismo de la aplicación del método. Como en aquel cuadro de Magritte, el paesta pintado en los añicos del cristal de la ventana conceptual: categorías tradentales, entendimiento puro, concepto "exacto" de número, principio dialé

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máticas sin saber que son dos, o que la una lo es pero la otra no, inmediatamaparece como segunda explicación la deldoble pen sar orwelliano, una suerte deesquizofrenia específica que habría afectado tan sólo a los matemáticos pdurante veintitrés siglos enteros: el mejor algebrista del Renacimiento, "Cardrepresenta del modo m ás particular e históricamente interesante este tipo de d pensamiento" (acaso los números imaginarios, que él trajo al ser comoquantitas vere soph istica, no fueran sino uno más de sus delirios esquizoides y todo el álg bra moderna a la que ellos dan pié — Wessel, Argand, Gauss, Hamilton.. .— dsu origen a la tardía invención del manicomio). Tampoco esta explicación d parecerle de recibo y le fa lta tiempo a Cassire r para acumular una te rcera , ya nitiva: en el estercolero del número m itológico ya palpitaba la ‘larva’ del ‘núm puro’, "esforzándose por escapar a la estrechez y constreñim iento de la cosmsión inmediata, cósico-sensible, para orientarse hacia una concepción total ( sic) universal(sic) más libre(sic)".

Este ‘larvismo’ es luga r común compartido por los ya de por sí escasos esdiosos que se aventuran a rebuscar las raíces de las matemáticas escarbando ehumus cultural del que se nutren. Todo su escrúpulo se aplica a no tirar el niño el agua del baño, dando por supuesto que el niño nació siendo ya niño y que el del baño sólo vale para tirarse. Así, de los dos m omentos propios de cualquier ceso simbolizador, el de focalización (o condensación, en tom o a una cierta resentación, de cierto desajuste concep tual) y el de evocación (de contenidos, ccientes o inconscientes, proyectados sobre el foco), tan sólo se retiene el primy se desprecian del segundo cuantas proyecciones originarias pudieran alterar

actuales del propio estudioso, que así puede ver — allí y entonces— lo que creencias — aquí y ahora— requieren para confirmarse como un iversales y nsarias, para garantizar, en este caso, "que el concepto exacto (sic) de número putomar forma" (I: 197)..

El recorrido de Cassirer por las lenguas más exóticas (I: 195-223), para ctemplar cómo cada una de ellas construye eso que acabará siendo "el núm ero"muestram algré lui una Babel matem ática fascinante: series numéricas diferentesegún el verbo que p ropicia la acción de contar (lenguaklamath) o los rasgos de locontado (lenguatsimshia); imposibilidad literal de num erar sin toca r (losbakairi);números colectivos no desagregables en un idades adicionables (como los que miten a losabipones saber si falta una res en un rebaño de quinientas sin saber cotarlas una por una) y en eso sem ejantes a los de nuestra arimética transfinita; intinciones gramaticales entre singular y plural (lenguasaltaicas) o distincionesgraduales mucho más sutiles que la marcada por aquella simple polaridad ( cla distinción singular/dual/plural-limitado/plural-múltiple); formas verbales cconjugación ignora el número de sujetos que ejecutan la acción pero es sensibde objetos sobre los que recae (lenguanuba) o al carácter múltiple o reiterado de

la acción m isma (lenguatagala)-, o aritméticas basadas en series finitas de núm eros‘naturales’, como la serie "1, 2, 3 ó 4, muchos" de loskiwai.Este caleidoscopio aritmético-lingüístico ciertamente "apunta a todo men

lá homogeneidad", pero a la postre:

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"...la suma d e todas e sas perspectivas particulares, y en cierto mod o unilatera-les, que el lenguaje adopta respecto del concepto de número, viene a constituiren última instancia una totalidad y una relativa unidad" (I: 198).

De esta manera nos las habernos con una suerte de meta-aritmética, capde sumar incluso lo que acaba de reconocer como "todo menos homogéneesas unidades suyas que serían las aritméticas históricas concretas. Que tal supe- raritmética no sólo no sea contradictoria sino que tampoco sea otra aritmétientre las demás debe de contarse entre las ventajas de hablar ‘en última instcia’. Aunque la tal ‘últim a instancia’ no pase de ser la mera universalizaciónuna forma bien concreta de razón, y en particular de una bien c oncreta aritmtica, que ha declarado im pensables, po r borrosas, a las restantes. Veamos un nificativo ejemplo. En las lenguas m alayo-polinesias la categoría gramaticalnúmero nomarca el plural respecto de un singularno marcado, como ocurre en

las indoeuropeas, sino que la formano marcada del sustantivo indica un núm eroque rebasa nuestro singular pero no alcanza nuestro plural; así, ‘hombre’ designa ni a un hom bre concreto ni al conjunto de todos los homhres, al homen abstracto sino, como el mismo Cassirer traduce, a "hombres a quienes sevisto y se eenoce"; los equivalentes a nuestros singular y plural se formanmarcando eso que él considera ‘multiplicidad indiferenciada’ m ediante adición, bde partículas individualizantes bien de nombres colectivos. Pero el refereempírico de esa forma no marcada, que la percepción burguesa no sabe ‘difeciar’, es hien cenereto para el hablante de estas lenguas, es más, ese refere

funda los mismísimos criterios de unidad y de diferencia: se trata del hechola comunidad. Donde ciertas lenguas, y sus aritméticas, pre-su-ponen la comnidad, y no el individuo, com o elemento social y conceptual básico, otras, sí han tomado la Ba stilla, lo que ponen bajo su pensamiento y su aritmética, so portándolos, es un plu ral integrado por agregación de singula res indiv iduaindivisibles, homogéneos, intercambiables y sumables. Se trata de pre-juicio pre-conceptos diferentes, en absolu to de que aquellas lenguas "aún no han ddido entre ambos" (singular o plural), como si alguna necesidad les hubieracom pelir a hacerlo1.

El recorrido de Cassirer, en un tercer momento (III; 331-471), por la mamática moderna puede ya así ser un apacible paseo por el jardín de las ‘form

1 Una consideración semejante de locolec tivo como unidad, social y aritmética, se da en la len-gua yoruba, hablada por unos treinta millones de habilanles entre Nigeria y Togo. Según H. Watson (1990), esas construcciones verbales — no adjetivas — que son los números yoruba proyectan la di-mensión comunitaria sobre los objetos. D e modo que su sistema numeral no comienza con el ‘uno’ sino con agregados, de los que sólo después, por un proceso de desagregación o sustracción, se van pro-

duciendo fracturas, mediante el uso concurrente de las bases veinte, diez y cinco. Quedan así desautor-izadas generalizaciones ap resuradas com o las de Cassirer o las de M. Ascher y R. Ascher (1986),quienes "todas las palabras números son nombres dados a 1, 1+1, 1+1+1, etc." (p.126). Sólo el incon-sciente democrático de la burguesía ilustrada dará carta de naturaleza a una construcción de lo numérico tan ideológicamente sesgada.

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matemáticas puras’, al abrigo de la exuberante jungla simbólica primitiva las am enazadoras resonancias de la m atemática m ítico-mágica. A quí ya no hni determinaciones lingüísticas ni proceso simbolizador propiamente dichorepente ha desaparecido todo el caudal de evocaciones magmáticas inconstes y se ha accedido "al campo de la significación y validez puras" (III: 3Aunque se siga em pleando, por inercia, el término'símbolo m atem ático’, en realidad nos hemos asentado en el plácido ámbito del sig no, donde el sentido yatransita sin zozobras por las amplias autopistas de lo arbitrario, linea l, sintáy codificado sin ambigüedad. El programa formalista de Hilbert será el quelice este ideal, pues permite "asegurar para siempre el poder estatal de la mm ática frente a todos los golpes de estado que se han inten tado co ntra el anclásico" (III: 450).

Que, en el m ejor de los casos, tal programa sólo funcione conlo encontrado, como el m ismo Cassirer reconoce, pero sea incapaz de dec ir nada sobreel encon

trar matem ático, podría ser una seria objeción para este tipo de idealismos tlógicos si pa ra ellos la construcción no se redujera a mero encuentro, simplecubrimiento de lo que siempre estuvo ahí previamente cubierto. Desde el prehipostasiado, toda indagación sobre el subsuelo matemático está definitivamcondenada al fracaso, pues "en las matemáticas los nuevos hechos no aparsimplemente junto a los viejos, sino que alteran y transformaninteriormente elaspecto de éstos, im primiéndoles otra forma de conocimiento" (III: 464), al "ecitar su esencia" (III: 459). Como prueba la sucesiva aparición de ‘elementos les’ (números irracionales, magnitudes imaginarias, elementos impropios...),nuevo concepto redistribuye significados y reorganiza sentidos, rem ueve el que alimentó a cuantos aparecen ahora relacionados con él y borra así cualrastro suyo. No dis-curso , sino re-curso, la matemática no tiene o tra génesis qgénesis lógica. El símbolo matemático es justo el anti-símbolo: congela el fluevocaciones que despertó un problema abierto, petrifica la reverberación de sficados que se movilizaron en su solución y obtura todo el trasiego de sentidque consiste propiamente la actividad simbólica. La actividad matemática sacaba revelando "com o una y la misma, com o totalidad indestructible" (III:

y en consecuencia inanalizable. Es al final de tan extenso viaje cuando descmos que la inclusión de las formas matem áticas en una Filosofía de las fo rm as s imbólicas no tenía otra función que la de m ostrar que no era ése su sitio. No es posu crítica ni su interpretación ; más aún, no tienen sentido1.

'..JJna.actualización de los dalos, y también de las tesis, de Cassirer puede verse en T. Crump (1990)„.Aquf ela priori universalista neokantiano se ve remozado con sus versiones piagetiana y chomskiana. U na sensibilidad mas atenta a las diferencias que a este tipo de reducciones a una últim instancia, que se postula comoapriori. es propia de las recientemente llamadas etnociencias. Pero, una vez más, como señala d'Ambrosio, apenas se hecho nada en el campo de las etnomatemáticas; y, po desgracia,lo pocoque se hecho se orienta preferentemente — y paternalmente—a m ostrarcómo los pueblos primitivos son capaces también de unos grados de abstracción matemática que, por su seme

janza con los nuestros, son ‘dignos' de homologación.

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Una aproximación lingüística, semiótica o incluso hermenéutica al discumatemático acaso pud iera — como antes sugerimos— aportar un análisis privgiado capaz de vencer tantas resistencias como ha venido ofreciendo a otras d

plinas. De hecho, ya se vienen haciendo con fo rtuna aproxim aciones de este hacia los discursos de las ciencias tenidas por más duras. Veíamos cómo análcomo los de Latour, Fabbri y Bastide muestran cómo los recursos retóricos conque se elabora el discurso científico en poco diferencian sus argumentos de losdiscurso político, cómo su consideración retórica revela, en lo que pareceríanobjetos m ás específicos, todo un trabajo de construcción literaria que rebosa tidos prestados de otros discursos, cómo — en fin— se trata nada más, y nmenos, que de obras literarias, de textos de ficción pletóricos de artificios verbSi esto es así para unas ciencias que se suponen hablan de algo exterior a su prdiscurso, a lo cual se deben, cuánto más no habrá de serlo para un discurso qcomo el ma temático, no nace con esa deuda y goza de mucha m ayor libertad ir construyendo, en el propio acontecer discursivo, sus personajes/objetos ytrama argumental de sus interacciones. Lo cual no quiere decir que, como quCantor, su libertad sea abso luta, pues esa m isma indeterminación de sus referenesa vaciedad referencial de sus formas, lo atan de un modo singu lar al trasiego bólico que teje el im aginario social que lo va alumbrando, haciéndolo mucho perm eable a sus flujos inconscientes.

Sin embargo no es ésta la orientación dom inante en las relaciones entre saberes del lenguaje y ese lenguaje que es el matemático. Salvo, una vez mestimulantes excepciones, en lugar de aplicarse a su análisis suelen sumars proceso de su edif ic ación como pala bra sagra da. El suyo parece ser un m atrinio de conveniencia, en el que esos saberes inhiben su probada capacidad penetración, y se com prom eten a guardar la im penetrabil idad m ate m áticacambio de que ésta les preste la matriz que los alumbre como saberes científ(teoría de conjuntos y teoría de grafos para las gramáticas formales, lógimodales para el análisis textual demundos p osibles, fórmulas estadísticas para

recuentos sin cuento,...). A fin de que no parezca dejación, a lo que sí contrirán tales disciplinas es a perfilar unos análisis lingüísticosad hoc —asépticamente formalizados para esta ocasión— que permitan desplazar la cuestiónlos fundamentos al interior del mismo discurso que, tras las últimas crisis, bufundam entación. Bien enten dido que, en el curso de estos trabajos, menos de pección que de rehabili tació n, será el propio tratamiento lin güís tico el encargde borrar toda huella (retórica, etimológica, semántica, heurística ...) que deen él el magmàtico origen y la temblorosa vida de los materiales, métodoargumentos originales, hasta que todo el edificio produzca la impresión de eso-portado por su propia azotea. Para Wittgenstein, estos acercamientos funmentan las matemáticas "tanto como la roca pintada sostiene al castillo pinta(1987: 319). Según él, ‘la irrupción’ —por ejemplo— de esa ‘maldición’ qula lógica matemática no sólo no acierta a fundar las matemáticas sino que, c

1.4. Laimposible hermenéutica de las matemáticas

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efecto perverso, "ha instaurado una interpetación superficial de nuestras forde lenguaje corriente" (1987: 251).

Estudios como el que describíam os de Schuster no pueden ir más allá del alisis estructural de los deslizam ientos entre los distintos niveles del discu rso (mmático, extra-matemático ymás o menos matemático) pues renuncian a otros instrumentos teóricos más potentes — semióticos, hermenéuticos o simbólicos—acaso sí permitan hacerlo. ¿Dónde está ese ‘discurso vivo’ del segundo nivelSchuster distingue, en el cual se transparenta la práctica efectiva del hacer mmático,antes de que el propio matem ático, o su posteridad, hayan tenido tiempde reescribirlo? Ciertam ente ese discurso apenas ha sobrevivido, sepultado toneladas de reelaboraciones. Cualquier ciencia emplea no pocos de sus esfueen la orwe lliana tarea de reescribir la historia de suhacerse en términos dehechos ya cerrados y afirmaciones limpias, borrando cualquier huella desde la que purastrearse el tem blor de su construcción1. Pero esa excursión arqueológica —ha des-cubierto tantos rastros en las ciencias naturales, siguiendo a pioneros cFoucault o Bachelard— se enm araña hasta casi la opacidad cuando las señalesse persiguen son las del discurso matemático, pues en él el trabajo de reescrno es sólo una operación añad ida sino que em papa también el efectivo hacersla matemática misma. Cada nuevo objeto matemático crea, como apuntaba Se(1967), inmediatamente una perspectiva desde la que ya no es posible ver eirreductibilidad a los que, en su entorno, le precedían, reducidos ahora ya a mcasos particulares de la extensión que aquella irrupción ha hecho posible. El t‘original’ nos llega a través de una triple mixtificación: la(s) del propio autor;

análoga que, desde sus actuales categorías, pone en marcha el lector que ya sabe;y toda la serie de sucesivas reelaboraciones formales que nos han llevado a saber que lo allí expuestoen realidad no es más que... Por eso, en cierto sentido, unaarqueología de las matemáticas exigiríano saber más matemáticas que aquéllasque se focalizan en un momento dado, pero sí saber, en cambio, todo lo que eignoran que está concurriendo en ese mom ento.

La savia vital del discurso m atemático, por la que fluye todo el caudal imnario de suir haciéndose, late entre los pligues de lo no-dicho, lo por-supuesto lo dicho-como-sin-querer, lo aún no sometido a la reelaboración del tercer nque distingue Schuster: desde los errores ‘ingenuos’ hasta la ‘arbitraria’ elecde los nom bres, pasando p or los comentarios ‘superfluos’ j^toda la colecció‘nimiedades’ que tanto suelen despreciar los m atemáticos como nerviosos les

pararse a habla r de ellas. Al igual que en la propia evolución del sentido deadjetivo — ‘nim io’— , hoy pasa por in-significante lo que en su momento escargado de un significado ‘excesivo ’(jiimius), lo que decíademasiado. Este excesode significado — que com pensa el defecto de rigor, imposible en el mom ento emergencia— de las m atemáticas en statu s.nascendi es, sin embargo, terreno bien

abonado pa ra su tratamiento simbólico po r las llamadas ciencias de la interp

1 Véase, p.e., B. Lalour (1987) y S. Woolgar (1991).

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ción. Lo que la formalización posterior desechará como sobras, una vez que hacotado el sentido en términos de estricta sintaxis formal, es precisamente la gangcultural en la que precipita su sentido originario. Es ahí donde las fo rm as matemáticas revelan (en su propio interior y no por condicionamientos meram ente exnos, a menudo tan superficiales) su carácter de productos culturales concretostiempo que son testigos privilegiados de la mentalidad —epocal e individual—

está en su origen. Tanto el vacío que aspiran a colma r (el del problem a que lasa ser) como la in-determinación e in-materialidad de los materiales con que tenden hacerlo, son recep táculos tan vigorosos al menos como los del arte omitos para focalizar sobre ellos todo tipo de elaboraciones simbólicas inc onsctes. El simbolismo matemático, así considerado, refleja insólitas resonancias dcontexto cultural, al que contribuye a interpretar/construir tanto como de él reinterpretación/ constitución.

Ello no obstante, los tratamientos al uso del simbolismo matemático sigla extravante norm a de mantenerse po r entero ajenos al caudal de estudios sobsimbolismo en general. Aquí, una vez m ás, se creará para el discurso m atem áuna herm enéutica específica que, entreverada de logicismo, aleje cualqu ier ride agrietamiento para su carácter monolítico y, a ser posible, lo confirme aún Sin embargo, cualquier concepción del simbolismo puede alojar con holguraformas m atemáticas entre las formas simbólicas; aunque después — com o vmos— las pocas que así lo hacen retrocedan de nuevo ante ellas.

Para Dan Sperber, cuya concepción se encuentra ciertamente entre las mcomprensivas, la función simbólica no es sólo interpretativa sino también co

tiva; viene a complem entar — que no a oponerse— al dispositivo concep tualizcuando éste resulta insuficiente. Y esta es precisamente la situación del matetico cuando tantea la formulación de una nueva idea o la solución a un p robleEn el origen del desencadenarse de la actividad sim bólica siempre hay, para S ber, un problem a cuya so lución conceptual es — ¿por el momento?— deficieEl dispositivo sim bólico no opera, pues, con unos objetos específicos — los ‘ bolos7— ni se limita a una mera descodificación semio lógica, pues actú a "másy más acá de una comunicación codificada" (1978: 148), sino que disparauna derla manera de responder cuando no se dispone de conceptosad hoc. Así, p.e„el problem a de evocar directamen te el recuerdo de un olor, imposible de resocon un concepto adecuado puesno hay campo semántico para los olores, desatatodo un com plejo de evocaciones que se representan en él: es su papel focalizde evocaciones y representaciones el que le hace cumplir una función simbó Focalización y evocación son así los dos mom entos carácterísticos de la actividasimbólica, mom entos que en Sperber se corresponden m ás o menos con los decondensación y desplazamiento en Freud, que a su vez Lacan asocia con las actividades metonímica y metafórica que para Jakobson estructuran todo lenguaje. En el próxim o capítulo tendremos ocasión de observar en deta lle cómo am bos m omtos del proceso sim bolizador operan en un ámbito para el que tampoco hay premente un campo semántico específico: el de lanegatividad m atemática en C hina.Aquí será el complejo sim bólico que denominamos como yin /y ang/d ao el que se

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evoque al focalizar la construcción denegatividades formales como la zheng/fu/w u o la de las congruencias en los cuadrados mágicos.

Pues no sólo la matemática china, sino la historia entera dé las matemátestá a travesada por nuevas emergencias o por problemas cuya solución conceva fracasando — y fracasandode manera distinta — en distintas épocas, culturas,escuelas e individuos. Cada una de estas situaciones sería perfectamente susc ble de un análisis simbòlici» en el sentido general antes aludido. Incluso cuancabo, se acierta con una determinada conceptualización que por el m omento cel problema, ésta suele permanecer en estado insatisfactorio durante cierto tiehasta su cabal formalización, momento en el que, ya sí, estrictamente codificel sím bolo matemático se toma signo (por más que lamarca simbólica suela dejarcasi siem pre en él una huella rastreable). No es, pues, de extrañar que para mude los problem as que Sperber considera típicos desencadenantes de actividad bólica pueda encontrarse sin dificultad un correla to matemático: a) la ausenc

carácterización enciclopédica de los olores es análoga a la sufrida en su mom por los ‘irracionale s’, los ‘negativos’ o los ‘infinitamente pequeños’; b) la codicción entre principios lógicos elementales activa el mismo tipo de elaboracsimbólicas ante la paradoja de los leopardos-cristianos de losd o n é y ante las paradojas de la teoría de conjuntos; c) las interpretaciones simbólicas que siempre desata la mala inteligencia de un concepto no se inhiben cuando el concepto es mmático ni cuando son matem áticos quienes lo malentienden, como ha ocurridlos números negativos, p.e., desde Chuquet hasta el Ensayo para in troducir en la

filosofía el concepto de magnitud negativa de Kant; d) aberraciones sintácticasgeneradoras de ‘expresiones referenciales sin referencia’ están en el origemonstruos mitológicos, como el centauro, igual que en el de monstruos matecos, como aquel ‘centauro ontològico’ que eran para Leibniz las magnitudesginarias: el significante cuyo referente medieval era la operación ‘raíz cuad("lado criando cuadrado" para nuestro matemático Pedro Núñez) eraentonces inconcatenable sintácticamente con un término negativo (¿un cuadrado cuyofueramenos que nada?). Los ejemplos podrían multiplicarse, pero todos ellos tnen en común que:

"...las manifestaciones del simbolismo cultural violan sistemáticamentmismos principios universales del saber enciclopédico, hasta el punto de que c parecen oponerse y contradecirse focalizan todavía mejor en la misma direesclarecen mediante las mismas paradojas campos de evocación de contornos

jantes, campos en que cadacultura pone lo que sabe; campos que cada indirecorre según su temor y su deseo” (1978: 171).

La actividad matemática parece instalarse así plenamente en el ámbito

actividad simbólica en general, por lo que podría sorprender que, tras un mcioso recorrido por los estudios sobre el tema, aquél la resulte omitida tan esclosa como sistemáticamente. Aunque la sorpresa ya no es tanta cuando h istorres, sociólogos y antropólogos nos han habituado ya a parecidas defecciones.

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más significativo, si cabe, es que los escasísimos autores que sí ensayan una hmeneútica simbólica de las matemáticas emprendan ésta para acabar neganimplícita o explícitamente, la posibilidad de esa tarea. Parecería que el discumatem ático es ininterpretable hasta para los profesionales de la interpretación, es el discurso separado por excelencia, lo que ni siquiera para sus textos sagra

llegó a dec larar la exégesis bíblica. Los casos de René A lleau y Gastón Bachelen los que a continuación nos detendremos, son de especial relevancia por la han adqu irido sus nom bres y po r la diversidad de lasrazones que cada uno de ellosaduce.

La ‘sim bólica genera l’ de R ené Alleau, em inente discípulo de G. Durand propone reabrir el estudio de los símbolos allí donde Cassire r lo había cerradodefinitivamente, y lo hace con el manifiesto propósito de volver a someter a su disc plina el quehacer matemático. El hecho de que los sím bolos sufran un procesodesecación del flujo polisémico que les da vida (un proceso de progresivoenfriamiento que también ha llevado a su análisis hermenéutico a congelarse en semlogía) no es, según Alleau (1982: 18), razón suficiente para olvidar el curso dformación desde ‘orígenes experimentales arcaicos’ y limitamos a "concenttodos nuestros medios analíticos en las consecuencias y los resultados, en las mas y los productos": E sta autolimitación crítica habría afectado especialmenlos simbolismos científico y m atemático, que si bien obedecen a una lógica didentidad, no se acaban remitiendo menos a una lógica de la analogía, de la qu prim era es tan sólo un caso límite:

"Cuando la matemática aparece como un inmenso depósito de estructuras abtractas, o bien la simbólica como una fuente inagotable de estructuras analógicasdebe olvidarse que estas formas no existen en s í mismas ni por sí mismas indepdientem ente del proceso lógico que las constituye en la lengua de la matemática yla de la simbólica, ni sin ciertos contenidos experimentales e intuitivos iniciale(1982: 20).

Pero la reivindicación de un mismo tipo de análisis para cualquier discu

simbó lico, inclu ido el ma temático, basada en su com ún hacerse desde un ‘incciente infra-humano’ a través de una misma lógica analógica, se acabará relando un mero pretexto para conseguir que a las ciencias de la interpretaciónles recono zca igual ‘dignidad epistemológica’ — o sea, prestigio académicque a las m atem áticas. La lógica de la identidad podrá ser un caso límite de la lógica y responder, por tanto, a las mismas operaciones; pero la matemática, ducto de la primera , escapa rá al alcance de ‘la sim bólica’, que es la denom inade A lleáít para la ciencia sobre la segunda. Las artes que pe rmiten a la simbódesentrañar "las diversas modificaciones del sentido y de sus alteraciones a tradel tiempo" no alcanz arán a aquélla. Una cop iosa literatura seguirá llamando símbolo a ese símbolo m atem ático que, para ella, ya no simboliza nada, y Alleau gará hasta pergeñar un término especial, el de ‘sintema’, con el que poder acarle al margen del tráfico de las resonancias simbólicas: el sintema matemá

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es un "signo ‘arbitrario’ y ‘convencional’ cuyo sentidounívoco y constante estáfijadovoluntariamente" (p. 49). Cada sintema matemático no está ya al final deun proceso de degradación significativa, en cuyo curso ha ido perdiendo signcados para acabar con sólo uno, com o apunta Durand que ocurre con los símbocristalizados en meras alegorías, sino que obedece a una lógica que inesperamente nada tiene que ver con la simbólica ‘general’. El ámbito de aplicaciónésta se define precisamente por la exclusión de los símbolos matemáticos pcentrarse en los que sí son "foco de acum ulación y de concentración de im ágey de sus ‘cargas’ afectivas y emocionales, vector de orientación analógica deintuición, campo de imantación de similitudes antropológicas, cosmológicateológicas evocadas" (p. 27). Los simbolismos matemáticosmerecen, po r el contrario, una cienciaad hoc, la ‘sintemática’, cuya ortopédica denominación ya pare ce basta rse por sí sola paradescargarlos de afectos y emociones ydesimantarlos de la meno r adherencia evocadora. El mismo Alleau no esconde el prop

sito del nombre: "desem barazarlos, por una abstracción específica, de ciertas cfusiones ( sic) de tipo lingüístico" (p. 103), de "todo residuo conceptual ointuitivo". ¿A quién podrá ya extraña r su alianzacontra natura con B ourbaki (p.103), precisamente en el m om ento fundador de esta nueva rama de la ‘cienciala interpretación’ que se define por su renuncia a interpretar? Esta curiosa rade la herm enéutica es toda una anti-hermenéutica, dedicada a borrar los rastcuyo seguim iento es profesión del hermenéuta: la co-fusión de evocac iones en"con-fusiones de tipo lingüístico", la ‘preñez’ de sentidos que c arácteriza al s

bolo y de la que Alleau quiere ‘desem barazarle’, el exámen de "los re siduos cceptuales e intuitivos" donde late el imaginario colectivo. Toda la capacidad penetració n herm enéutica en los textos sagrados pareciera valer sólo para aqllos textos que ya no son sagrados, para aquéllos en los que ya no cree el hermeneuta. Declarar, en cambio, im pene trable el texto matemático ¿no es el reconmiento más manifiesto de su sacralidadefectiva'}

El azar — o el inconsciente herm enéutico traicionado— le jue ga una m pasada a Alleau al seleccionar, como ejemplo pionero de ‘sintem atización’, laquím ico sueco T.O. Bergmann para las sustancias fisico-químicas. Éste habría gido "voluntaria y arbitrariamente", según Alleau, ciertos carác teres :—sintema para los ácidos (una cruz), los álcalis (un círculorajado por un diám etro) y las sales(un círculovacío) que por prim era vez perm itirían a la química em pezar a liberarsde losresiduos de las teorías alquím icas y de toda su carga simbólica. Lástima qua Bachelard, del que Alleau se reclam a discípulo, le hubiera dado ya por soma psicoanálisis justo a esos símbolos, haciéndoles confesar un origen sexuinconsciente casi evidente: el ácido-mascu lino penetra en la base/álcali-femen para dar lugar a una sal neutra, que todavía se conocía como ‘herm afrodita’ es. XVII. Para descubrir la carga simbólica de los supuestos sintemas no hace f

buscarle los tres pies freudianos al gato de la racionalidad pura, basta con irse a directamente los textos , como éste del s. XVII que Bachelard trae a colación, eel que se diluyen las fronteras entre la química y las evocaciones, entre el sinty el símbolo:

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"El ácido se fermenta con el álcali, ya que una vez ha introducido su peque punta [la cruz] en alguno de sus poros [el c írcu lo rajado], y sin haber perdido todasu movimiento, hace esfuerzos por empujar más allá. Po r este medio amplía las ptes, de modo que el poco ácido que hay en el álcali, al no encontrarse ya tan apretase une a su liberador, para sacudir conjuntamente el yugo [círculo vacío] que le haimpuesto la naturaleza"1

Mas tam bién el psicoanálisis del pensamiento científico que propone Baclard, y que con tan ta fortuna aplica a las ciencias de la naturaleza, viene a esllarse contra el pensam iento m atemático. Pese a testimonios tan explícitos comde Poincaré2, que llega a hablar de "dos egos" (consciente e inconsciente) pexplicar cómo construye/se-le-construyen las matématicas en la cabeza, tampal racionalismo bachelardianole cabe la menor duda sobre el alojamiento del discurso matem ático en el olim po de la razón pura, en el que ni al propio psicoaná parece esta rle perm itido bucear. Más aún, es justam ente la absoluta inmutabil i

de la m atemática la que, para el análisis bachelardiano (1981: 144), funda la mmísima posibilidad de la razón:

"No dudamos en exponer nuestra tesis del modo más extremado a fin de qquede bien clara (...) La aritmética no es, com o tampoco la geometría, la promocnatural de una razón inmutable. La aritmética no está fundada en la razón. Es la dtrina de la razón la que está fundada en la aritmética elemental".

La m atem ática es, pues, el inconsciente del inconsciente. Ella es la que perm ite pensarantes de ponernos a pensar (que es lo que, para Ortega, define lacreencia). Su discurso, fundam ento de cualquier otro, escapa, por necesidadela prop ia razón, a toda crítica. Y si la razón se funda enla arimética, cualquier violación de ésta será necesariamente desvarío de aquélla, por lo que habrá de se propia razón la que haya de corregirse: "Si la aritm ética, en remotos desarro lllegara a revelarse contradictoria, habría que reform ar la razón para borrar la ctradicción".

De este modo queda negada cualquier posibilidad de acceso ‘racional’

subsuelo m atemático. Acaso uno de los ejemplos más extremos de esa interción fundamental que parece resguardar a la matemática de cualquier análque, sin ser estrictam ente interno, quiera seguir siendo racional pueda encontren la ‘herme neú tica cibernética’ de Leo Apostel. En lugar de em plear el form ble arsenal herm enéutico elaborado por G. Durand (1984) para sumerg irse e‘régimen nocturno’ de la imaginación matemática, Apostel (1964: 8) se mfiesta literalmente ‘entusiasmado’ al descubrir, en todas las familias de símbo

1 Citado por G. Bachelard (1988: 195 6).2 El papel delerm inam e del momento de elaboración inconscienle (olvidos, asociaciones lib

transferencias...) en la génesis del discurso malemálico está ampliamente considerado, a partir sobre todo de los testimonios de H. Poincaré, en la ya clásica obra de J. Hadamard (1949).

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que aquél distingue, una m isma estructura algebraica con la que pretende po"integrar las perspectivas de un Ricoeur y las de un Lévi-Strauss dentro de

bourbakism o am pliado" . Con ello no hace sino cabalgar sobre el sueño de LéStrauss (1958: 242), cuando éste se lam enta de que "hay poca esperanza de qla m itología com parada pueda desarrollarse sin recurrir a un simbolismo de i piración matemática".

La definitiva mitificatión del álgebra que sugiriera Serres había de pasefectivamente, po r la algebraización de los m itos. El fracaso de este proy ectolo ha sido, sin embargo, del ideal reductor que lo sopona,y el estatismo de losmodelos algebraicos se ha visto recientemente sustituido po r el falso dinamismde la teoría de catátrofes3.

No podemos deja r de indicar, sin embargo, que si hemos podido llevar a cauna crítica, más o m enos acertada, de las resistencias que a estos autores pareoponer las matemáticas, ello se ha debido a que al menos ellos s í han afrontado la posibil idad de su análisis, habitualm ente evitada. Y no es menos cie rto, por o parte, que si nos hemos detenido en su lectu ra no ha sido só lo por un mero acrítico, sino porque en ellos hemos encontrado también numerosas sugerencque nos han orientado en los estudios que integran los próximos capítulos.

1 Véase M. Selz Lauriére (1988).2 Sobre el estat ismo platónico subyacente a la teoría de catástrofes puede verse I. Ekeland

(1984), p p . 95 130.3 Véase, p.c ., M. Perrin (1986) .



Capítulo II

Algebra y numerología chinas: manerade negatividad radical

La distancia que separa los modos de pensar chino y occidental, o indoeu peo, a menudo se perc ibe como abrumadora. Los pre-supuestos y pre-conceplos caracteres gráficos de su lengua y los instrumentos m anejados por sus m ateticos, lo que se entiende por saber y los procesos de conocimiento, la espec ificide sus formas de discurso, los modos de definición y argumentación, su cosmosión, lo que se entiende por matemáticas y la manera de construirlas... parecenalejados de los nuestros que acaso fuera necesario proceder a un ensayo de co prensión general de todos estos aspectos para, sólo después, poder acercam os sus matemáticas y acabar, por fin, centrándonos en aquellos problemas y desa

llos en los que emerja algún m odo denegatividad formal.Hemos optado, sin embargo, por una disposición inversa. En primer lugcualquier intento de comprensión global de la cultura china — incluida su m atetica— se nos antoja ambicioso en exceso y corre fácilmente el riesgo de exviarse. Segundo, ese camino que va de lo general-abstracto a lo singular-concrtraicionaría el proceder habitual de la sensibilidad y el pensamiento chinos. Tcero, cualqu ier lectura de lanegatividad matemática que se siguiera de un análisisgeneral previo no podría ya traer sino una lectura sesgada desde un princip

Arrancarem os, pues, deldictum concreto de ciertos textos matemáticos en los quese construyen las primeras maneras denegatividad. Sólo al hilo de su propio discurso iremos aportando las que nos parezcan claves (lingüísticas, matemáticsimbólicas...) para su cabal comprensión/interpretación. Diferentes singularidade la episteme china irán surgiendo así, no comodatos fijos ya priori desde losque descende r indistintamente sobre unas situaciones u otras, sino com o resputas o contextos posibles desde los que dar sentido a los problemas y soluciones ofrecen los propios textos, con los que se entreveran para recuperarse en sucesocasiones desde una perspectiva cada vez más amplia y compleja. En este ánilos contrastes con circunstancias análogas en la matemática y el pensamiento ggos — o de tradición suya— que aquí se vayan sugiriendo tampoco son objetouna consideración separada, sino que se van apuntando al hilo de su oportunid

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El capítulo octavo de los "Nueve capítulos del arte matemático"(Jiu zhang suanshu)' es el prim er texto propiam ente m atem ático (con todas las reservas quuna restricción así conlleva) en construir cierta forma denegatividad : la que llamaremos zhenglfu lw u. Este texto, y los comentarios de Liu Hui, son nuestro punto de arranque (II. 1.). Pero ta les textos dis tan m ucho ser transparentes pael lector occidental, y una traducción apresurada e inm ediata puede — y suele

llevar a errar de lleno en su interpre tación. En pa rticu lar (11.2.), el uso en los cculos de unos palillos importados de saberes no ma tem áticos, com o las artes avinatorias, incorporan a su manipulación matemática unos presupuestos y un posibilidades opera toria s bien distin to s de los que transporta n los numera lalfabé ticos o los segmentos num éricos de la m atem ática griega; y otro tanto ocrre con la construcc ión del espacio físico — el tablero de cálculo— sobre el qse despliegan esas operaciones, que quedan condicionadas por él. El métod

fa n g cheng (II.3.), en cuyo curso aparecen esos palillos negros(fu) a los queapresuradamente se llama ‘números negativos’, tiene ya él mismo por objeto

que sería toda una aberración para la episteme griega: hacer desaparecer(jin) palil los para poder contruirvacíos (wu), lugares singulares marcados por unaausencia de marca. Al basarse este método en un álgebra que distingue los lugres por la carga simbólica que cr,da uno incorpora, lo propio sería hablar de u‘álgebra simbólica’; no obstante, este término ya se ha acuñado para el álgebque, en Occidente, sustituye al ‘álgebra retórica’, aunque tal denominación pueda ser mas desafortunada pues se otorga a unos sím bolos que, convertidos meros signos, ya nada simbolizan. Po r ello hablarem os, para la china, de ‘álgebinstrumental’. Pues bien, la originalidad de tal álgebra se muestra (II.4.) íntimmente so lidaria de la disposición espacial y la configuración estructural de la lgua china.

Estab lecida esta serie de contextos, podemos re tom ar los textos un tanto irre ponsablem ente traducidos en II. 1. y ensayar una prim era lectura crítica (II.5.) la que se plantean los problemas centrales de este capítulo. La observación dellada de cóm o operan efectivamente las reglas zheng/fu (positivo/negativo’) (II.6.)nos mueve a desechar (11.7.) alguna de las ‘explicac iones’ — como la que recual m odelo ganancias/pérdidas — mediante las que se ha pretendido dar cuenta

la ‘asombrosa precocidad’ con que aparecen los números negativos en la matemtica china. El insólito papel que cumple el hueco que queda (o, mejor, se hace) el tablero de cálculo con ocasión del álgebra fang cheng nos lleva a replantear lashabituales consideraciones sobre el ‘cero’ en la matemática china (II.8.). Su extencia se mostrará indisociablemente ligada a aquella concepción del espacio términos de lugares cargados de significado, así como su inexistencia en Greciaemparenta con la pre-concepción de un espacio homogéneo y extenso. El no-schino, como ese puro hueco(wu) que es su ce ro.es una form a de ser de pleno derecho para su modo de pensar, hasta el punto de que ese vacío significante es el q

1 En adelante, los "Nueve capítulos".

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vertebra todo su campo numérico (II.9.) aportando a la mera colección de palil zheng/fu lo que hoy y aquí llamaríamos una estructura de grupo.

El por qué de que los matemáticos de los Han hubieran elegido precismente esos nombres, y no otros, de cuantos ofrecía el amplio repertorio léxichino antiguo, no puede dejar decargar significativamente esos nuevos objetosmatem áticos, proye ctando sobre ellos significados y articulacione s propios deimag inario cultural. Desde ah í accedem os a otro nivel de com prensión (11.10.)este modo denegatividad radicalm ente distinto de su (in)comprensión en el pensamiento griego, como muestra una exégesis comparada de estos términos clos incluidos en la tabla de los opuestos pitagóricos. Con ello, no se revela ya insólita la profusión de maneras denegatividad en diferentes contextos de lamatem ática china (II. 11.). Los orígenes de esta diversidad , en vivo contraste su total ausencia en la matemática griega clásica, se indagan en las fuentes mmas de la episteme ch ina, en los nudos sim bólicos desde cuya trama se van p

filando las categorías matrices del modo de pensar chino: en ese texto sin pa bras que es el "Libro de las mutaciones" (Yijing ) (11.12.) y en el complejosimbólico yin/y ang (11.13.). Desde ahí, todo —incluidos los números— se aprecia a la ma nera de escindido/com -puesto por oposiciones en su mism a raíz (racales), oposiciones cuya articulación tiene como gozne o quicio ese modo d eminado de no-ser que es eldao [tao] (11.16.). En el horizonte que abre esta perspectiva herm enéutica, desde la matriz del com plejo sim bólico yin /y ang/dao, ni el modo denega tividad zhenglfu/wu ni los otros considerados en ciertos ám bi

tos específicamente matemáticos resultan ser los únicos bien formalizadAhora se revelan como tales otras formas denegatividad formal que suelenverse ignoradas en las ‘historias de la matemática china’, acaso por emergerciertos tipos de discurso (mágico, cosmogónico, ritual, adivinatorio...) tenid por seudo-científicos. Es el caso de las disposic io nes num éricas en cruz o en cdrado (11.14.), articuladas (internamente) por congruencias numéricas y (ensí) por isom orfismos (11.15.). En ellas se m uestra de m ane ra ejemplar la activide unoscriterios ‘de oposición’ y ‘de equivalencia’ que cumplen para la racio

nalidad china el papel que juegan en Grecia los princip ios ‘de identidad’ y ‘deno-c on tradicc ión’ (11.16.). Por último, estas cons ideracion es se prolongan endivertimento en torno alYijing (HJ7.) sugerido por uno semejante que en su díaimaginara L eibniz.

II. 1. El ca pítu lo oc tavo del J iu zhang suanshu

El texto clave para la comprensión de lanegatividad en la matemática chinase encuen tra en los com entarios de Liu Hui al capítulo octavo — llam ado fan g cheng — de los "Nueve capítulos". Allí, en el contexto del m étodo de ‘cálculoel tablero’, Liu Hui (fl. s. III d.C.) hace observar que:

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"Cuando se consideran dos expresiones, podemos obtener resultados opuest para los que hemos de usar los nombres zheng y fu como designaciones1. Para los números zheng usam os palillos de cálculo rojos, mientras que los números fu se representan por palillos negros. De m anera alternativa, un número zheng puede cambiarse en uno fu cuando se coloca un palillo inclinado sobre él. En el cálculo en el tablero, donde eimplicados palillos tanto rojos como negros, hay un método para manipular númerolas columnas de la izquierda y de la derecha. Este método no es del todo el mismo

el procedimiento normal dé adición y sustracción. Si un numeral es rojo o negro determinado en realidad por reducciones mutuas(xiang xiao). Para llevar a cabo la adición o sustracción de números que ocupan las correspondientes posiciones en diferecolumnas, hay dos reglas sobre tipos diferentes de adición y sustracción."2

Estas reglas — las zheng f u sh u — , de cu yo co m en tario p o r L iu H ui nos o cu p arem os m ás ad elan te , ind ican cóm o sum ar y re s ta r núm eros zheng y n ú m e ro s /u ,tanto entre s í com o dewu1. L a ‘regla de su stracc ión ’ dice:

"Cuando los nom bres son el mismo'1, efec tuar la sustracción; cuando los no bres son diferentes, efectuar la suma.Un número5 zheng emparejado conwu se hace /« y un número fu emparejado

con wu se hace zheng."

Y, sim étricam ente, la ‘regla de adición ’ prescribe:

"Cuando los nombres son diferentes, efectuar la sustracción; cuando los no bres son el mismo, efectuar la suma.

1 Los términos zheng y fu pueden traducirse, en una primera y grosera aproximación, por 'posi-tivo' y 'negativo', respectivamente. Pero todo lo que así se gana en capacidad de comprensión, se pierde también en capacidad de comprensión; pues se corre el riesgo de comprenderlos en el mismo sentido que tuvo que entenderlo Diofanto —como ‘esencia ausente’ o ‘forma fallante'— y toda la episteme de herencia griega. Comoquiera que aquí no tenemos otro propósito que el de intentar enten-der la forma denegalividad que les es propia a esos términosdesde dentro del singular contexto cultu-ral que les presta sentido, optamos por mantener los términos chinos originales (y ya bastante se pierde con sumera transcripción alfabética), en la confianza de que posteriores análisis sean los que

les vayan atribuyendo el significado y la función queallí y entonces debieron tener.2 Qian Baocong (1963: 225 6). Esta edición de los "Diez clásicos matemáticos”(Suanjing slii shu) contiene los "Nueve capítulos del arte matemático"(Jiu zhang suansliu), con inclusión de los comentarios de Liu Hui y los de Li Chungfeng. Bai Shangshu (1983) llevó posteriormente a cabo un edición crítica exhaustiva de los "Nueve capítulos". Nuestra versión lo es — mientras no se indique otra cosa— a partir de los fragmentos de la traducción al inglés que, desde esas ediciones, han hecho Lam Lay Yong y Ang Tian Sc (1987).

3 La traducción de h u por ‘cero’ está sujeta, mientras no la analicemos en detalle, a las mismas restricciones que acabamos de establecer. Aunque no sólo los términos zheng, fu y wu merecen una consideración especial, sí mantendremos sólo para ellos la transcripción original, por no hacer de la lectura una auténtica carrera de obstáculos.

4 Esto es, ambos zheng o ambos fu.5 El ideograma que Lam Lay-Yong (1987: 237) traduce por 'nú m ero ', para J.-C. Martz

(1988: 188), y refiriéndose a estas mismas reglas, son las 'varillas' o ‘palillos' de cálculo. Para una detallada discusión semántica de lo que se entiende por ‘número’ véanse nuestros epígrafes II.6. y ss

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Un número zheng emparejado conwu se hace zh en g y un número fu empare jado conwu se hace fu .”

La interpretación de estos textos-clave será el objeto de los próximos epígrfes, pues ninguno de los términos que acabamos de utilizar tiene'un significaevidente. No lo tienen, por supuesto, los términos técnicos zheng, fu y wu, perotampoco aquellos otros de uso más común, como la distinción entre ‘nombre‘núm ero’ — que veremos que no es tal— o el propio concepto de ‘método’.

Los "Nueve capítulos", de los que se desconoce tanto el autor como la fecde composición, se consideran el texto fundacional de la matemática china, aunqlos conceptos y técnicas que incluye parecen constituir más bien el punto culmnante de desarrollos y prácticas anteriores a nuestra era. En la introducción quededica Liu Hui (ca. 263 d.C.) advierte que Zhang Cang y Geng Shoucang, en tiem pos de la dinastía de los Primeros Han (202 a.C. a 9 d.C .)', ya habían hecho u

revisión aumentada de la versión original. Li Yan y Du Shiran (1987: 35) sitúanredacción definitiva en tomo a los comienzos de nuestra era. Los posteriorcomentarios de Liu Hui incluyen clasificaciones, apoyos teóricos, precisiones lenguaje, procedim ientos alternativos a aquéllos que le parecen farragosos, ajusde soluciones sólo aproximadas, así como diagramas que ilustren — en su casolas consideraciones espaciales. Por todo ello sus comentarios han pasado a form parte del texto clásico de los "Nueve capítulos", del que constituyen la princifuente de estudio. Posteriormente los "Nueve capítulos" fueron incorporados couno de los "Diez clásicos m atemáticos"(Suanjing shi shu) que se estudiaban ofi

cialmente en el Departam ento de Matemáticas que en el año 656 se constituyóel seno de la Academ ia Nacional. Los com entarios que Li Chunfeng añadió en e

1 Es habitual que las referencias cronológicas chinas lo sean respecto de sus distintas dinastías políticas; hábito que aquí respetaremos pues tiene más sentido atenemos al tiempo interior que a una cronología ajena que, como la nuestra, no puede dejar de proyectar paralelismos del todo impertinen-tes. La siguiente es una sucinta periodización. Dinastía de los XIA (2205 1767? ó 1989 1558, según las fuentes). Los SHANG, depués YIN (1766 1112? ó 1558 1051). Los ZHOU occidentales ( t i l l ó 1050 771); a esta época se remonta el "Libro de las mutaciones"(Yijing). Los ZHOU orientales (770

256). Al final de esta época se desarrollan unos elementos de dialéctica, sofística y lógica formal. Los Reinos Guerreros (453 221). Los QIN (221 206) integran el primer imperio unitario; predominio taoísta de corte anti intelectual. Los primeros HAN o Han occidentales (206 a.C. 9 d.C.). Los HAN posteriores o Han orientales (23 220). El confucianismo sustituye al taoísmo, aunque éste se mantiene latente; época de libre crítica y, en sus postrimerías, de valoración de la originalidad y la belleza for-mal; de los primeros Han datan los "Nueve capítulos..." Los Tres Reinos (220 280). Los JIN occiden-tales (265 316). Las Seis Dinastías (316 5^9); época de Invasiones y desmembramientos que se ha asimilado a nuestra Edad Media; predominio de un taoísmo religioso y de trabajos exegéticos; en matemáticas es un periodo fundamentalmente teórico. Los SUI (589 618); reunificación del imperio. Los TANG (618 907); preponderancia budista. Las Cinco Dinastías (907 960). Los SONG del Norte (960 1126) y los SONG del Sur (1127 1279). Dinastía mongola de los YUAN (1280 1368). Durante estas dos dinastías se da una reacción antibúdica de signo neo confuciano; se tiene por el periodo de mayor esplendor de la matemática china. Los M1NG (1368 1644); periodo escolástico que en su final ve la llegada de los misioneros jesuítas. Dinastía manchú de los QING (1644 1911), que contempla varios renacimientos.

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ocasión son de poca importancia y, en cualquier caso, no creyó necesario haninguno al capítulo 8o(fang cheng) que aquí nos ocupa, seguramente por considerar los comentarios de Liu Hui lo bastante completos.

En este cap ítulo se ha querido encontrar el prim er ‘precedente’ de ‘númenegativos’ de entre todas las culturas. Su contenido no sólo daría testimonioque "China es seguram ente la primera civilización que usa cantidades negativ

sino tam bién de que "los aniiguos chinos tenían un claro concepto de los númnegativos y eran capaces de aplicarlos a consideraciones matemáticas tal y cnosotros lo haríamos hoy en día"1. Con todo lo cierta que es esa afirmaciónen cierto sentido , no lo acaba de tener — o lo tiente en exceso— el discutir la cuestide prioridad en el ‘des-cubrimiento’ de los ‘números negativos’ en términos‘claro co nce pto’ que de ellos pudiera tener una cultura u otra según su gradosemejanza con el uso que ‘nosotros haríamos’ de ellos ‘hoy en día’._Es_eipro

juicio de valo r que ahí queda im plícito el que construye, además, el hecho micuya originalidad se pretende investigar. Presupone la existencia de unos ‘nú

ros negativos’ trascenden tes, cuyo ‘claro concepto’ sería percibido con ma ym enor nitidez por unas ma temáticas u otras; y presupone, no menos, que todamatemáticas posibles orientan necesariamente sus distintos puntos de partidaun m ismo sentido, lineal y universal, que ha de acabar convergiendo antes o pués, anticipándose o re trasándose, hacia ‘lo que nosotros haríamos hoy en d No por habituale s estas suposic iones dejan de serlo ni de actuar como hipótlatentes, que no pueden sino cargar de elementos exteriores unanegatividad tandistante de la nuestra como la china. Con el objeto de poner en suspenso cua lq pre-juic io de ese tipo, nos centraremos en el estudio deta llado de cie rtos text

prácticas, y especia lm ente en la manera concre ta en que el capítulo fan g cheng construye 'y m aneja sunegatividad, en cómo puede ésta entenderse en el precisocontexto de otras formas chinas denegatividad, y en su comparación con aquellas otras formas denegatividad que nos son más próximas, particularmente lagriega.

El capítulo fa n g cheng consta de 18 problem as, que ‘correspo nden a ’otros siete sistemas de ecuaciones lineales. En todos ellos el número de ‘ecciones’ coincide con el de ‘incógnitas’ (hay ocho de 2x2, seis de 3x3, dos4x4, y uno de 5x5) salvo el problema número 13, que consta de 5 ecuacio

con 6 incógnitas. El método ( sh u ) general utilizado para resolver estos sistemas es el llamado ‘método fa n g cheng' (fang cheng shu), que da nombre alcapítulo. Como ocurre con tantos términos chinos, y más aún con los más aguos, la traducción de los términos fa n g y cheng no es fácil de precisar. Segúnla discusión filológica que recoge Martzloff (1988; 233), el término' fang ' seha interpretado como ‘a derecha y a izquierda’ (por el filólogo del s. XI S

1 L. Lay Yong y A. Tian Se (1987: 223). También para J. Necdham (1959: 111: 26) "ésta es la

más temprana aparición de las cantidades negativas en cualquier civilización"; su uso se extenderíadespués, desde los sistemas de ecuaciones lineales a las ecuaciones cuadráticas, probablemente en tiempos de Zu Kenzhi (tsu Chhung Chih](fl. ca. 500 d.C.), y desde luego en los de Liu Yi [Liu I] (s. XI/XII).

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otro decimal, ninguno de los cuales es posicional. El primero de ellos está c puesto por dos series de signos, una con diez y otra con doce, que asociados deen dos dan lugar a una serie de sesenta parejas; este sistema se usaba para mlos tiempos y aún se mantiene vigente. El segundo, conocido como jiaguwen, seconstruye a partir de catorce signos: uno para cada uno de los nueve dígitos yotros cinco para marcar las decenas, centenas, millares, miríadas y la conjunc

‘y’. Los signos para estos números presentan m uchas variantes y evoluciones, ha querido ver su origen ya en las correlaciones mágico-sapienciales del yin /yang (así Xu Shen en el s. X) ya en las distintas configuraciones de los trigramas adnatorios delYijingK Otros estudios más recientes resaltan su origen ideográficoasí, el signo de la miríada es el pictograma del escorpión, cuyas hembras luceel caparazón una profusión de grumos cuya multitud evocaría un número mgrande.

El sistema de numeración jia guw en no es propiamente decimal, pues lacantidad de que consta cada clase viene indicada por un par de signos: el núm ero de un idades de esa clase y el específico de la misma. Así, p.e., la exsión de nuestro ‘7.500’ equivaldría a la serie: ‘signo del 7’ ‘signo del mil’ ‘sidel 5’‘signo del cien’. Con ello no ha lugar, como tampoco lo había en Grea la cuestión de la posición ausen te, y de hecho el ‘ce ro’2 no aparecerá — cotal signo escrito — en la numeración china hasta la época de los Ming. Collegada de los jesuítas en el s. XVII se introducirá en China el sistema de nuración y las cifras árabes. No obstante, un sistema también decimal y posicioya estaba en uso en Ch ina desde m ucho antes; sus eleme ntos constituyente

son caracteres propiamente gráficos sino unos palillos o varillas que son, seLi Yan y Du Shiran (1987: 14) "la clave para entender las matemáticas deantigua C hina". Es un sistema utilizado en num erosas actividades de cálculespec ialme nte en procesos que equivaldrían a lo que pa ra nosotros son técnalgebraicas, tales como el método fan g cheng de los "Nueve capítulos", dondees con palillos como se construye lanega tividad zheng /fu, o los ‘métodos delarte de la primordialidad celeste’ (tianyuan shu) de los algebristas de la épocafinal de los Song.

Ya desde la época de los Reinos Guerreros se han encontrado rastros de esistema de numeración, que parece tener su origen en unas prácticas de conta

1 Tal es, p.e., la interpretación filológica de Yan Shigu (581 645). Véase Cheng Te K’un (1983: 169). ElYijing es más conocido entre nosotros por su nombre en el sistema de transcripción anglo-sajona Wade, /Ching, o en su trancripción en el sistema E.F.E.O.,Yi King, que en el sistema pinyin que es el que habitualmeme utilizamos en el presente estudio (sa lvo para los nombres de ciertos auto-res que suelen aparecer en las bibliografías más comunes en algún otro sistema de transcripción). Este libro, en el que Leibniz creyó ver los indicios para la construcción de unamatliesis universalis, será

objeto de un detallado análisis en el epígrafe 11.12. con motivo de las potentes formas denegatividad que desarrolla y su posible conexión no sólo con ciertos símbolos numéricos primitivos sino, y especialmente, con las diversas formas denegatividad matemática que aquf estamos considerando.

2 Para una discusión detallada sobre los posibles distintos ‘ceros’ en China, véase mas ade-lante.

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dad y adivinación basadas en el manejo de palillos. Frente al carácter ideográde los signos num éricos jiaguw en, estos otros tendrían una mayor independenciaformal, asemejándose a sistemas como el maya o el romano. Los criterios regulan este sistema de numeración se describen así en el "Manual matemátidel maestro Xiahou Yang(Xiahou Yang Suanjing):

"Las unidades se m antienen verticales, las decenas horizontales,las centenas de pie, los millares tumbados.Millares y decenas parecen los mismos,miríadas y centenas parecen los mismos.Una vez sobrepasado el seis,cinco está arriba;seis no acumula,cinco no permanece solo."

Es decir, los nueve signos elementales son los representados, p.e., en la pmera serie de las dos siguientes:

1 II III lili mu ~r ir i r mr

__ _ = = ¡¡ _L i X ±

1 2 3 4 5 6 7 . 8 9La segunda serie no es más que la primera, en la que se han invertido las

posiciones horizonta les y verticales de las barras o palillos. Los símbolos de lamera se usan para designar las unidades, centenas y, en general, las posicioimpares, mientras que los de la segunda serie designan las decenas, millares ytantes posiciones pares. Tal alternancia de símbolos de una y otra serie parece t por objeto que no se confundan los palillos pertenecientes al díg ito que ocupa posición con los de las posic iones ante rior y posterior. Así, p.e., los números27 y 378 se escriben respectivam ente —UT, = "TT, III — "HT

Las cifras chinas basadas en barras numerales parecen tener su origen unos palillos que se disponían sobre un tablero de cálculo, ya mucho tiemantes de los primeros Hany/Se ignora la relación precisa que hubiera podhaber en un principio entre numerales y palillos, si bien en torno al comienzlas Seis Dinastías am bos sistem as estaban ya perfectamente correlacionados particula r, todo el cálculo — y el sim bolism o im plícito que estos in strum en perm iten— del capítulo fan g cheng se lleva a cabo mediante palillos en el

tablero. M artzloff destaca que no hay tampoco constancia documental de qu‘tablero de cálculo’ fuera un utensilio particular "que sería a los palillos lo el marco y las barras son al ábaco”; más bien parece que cualquier superf pla na horizontal puede cum plir el papel de ta ble ro de cálculo , cuya condic ió

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tal le vendría de ser suscep tible de acoger sobre ella los palillos co locados seuna disposición particular. Liu Hui, en sus comentarios a los "Nueve capítulrecomienda simplemente extender una alfombra de fieltro, sobre la cual ponen’ los números.

Los palillos que constituyen estos números no son en absoluto un instrume

exclusivamente matem ático. Ni el nombre ( suan o chousuan, en los "Nueve capítulos", pero tambiénce, chou, chouce, suance, suanzi,...), ni la forma (cilindrica o prism ática, de sección cuadrada o triangular), ni el material (m adera, hueso, bammarfil, hierro o jade), ni las dimensiones, ni los usos (culinarios, adivinatormonetarios, matem áticos...) son unívocos (Martzloff, 1988: 195)fPor medio de palillos, la actividad matemática se confunde con multitud de otras actividades dianas. Así, el simbolismo implícito en las reglas del juego de palillos y tablersólo hace innecesario un simbolismo ‘algebraico’ explícito1sino que carga a la vidad m atem ática con las resonancias simbólicas que sobre los usos de tales pal

proyecta el modo de pensar chino/Com o M artzloff (1988: 242) ha sugerido toda plasticidad, "si tuviéramos ante los ojos a un algebrista chino en plena acdad, venamos a alguien atareado en manipular palillos colocados sobre el misuelo; de entrada, le tomaríamos por algún aficionado al juego del go, pero nuimaginaríamos que era álgebra lo que estaba haciendo". La im agen que así se e para describ ir a nuestro algebrista es la de un "matemanipulador" que orqusabios ballets matemáticos de palillos. Esta forma de operar, y el laconismo deinstrucciones — que no ‘dem ostraciones’ en el sentido griego— para hacerlo dmodo u otro según los diferentes métodos, han llevado a decir a Lay-Yong y TSe (1987: 223) que "quizá le es más fácil a un especialista en o rdenadores enteeste modo de lenguaje que, por ejemplo, a un historiador que se haya em papadel estudio de la geom etría deductiva de la antigua Grecia".

Aunque no se sabe con precisión cuando empezaron a usarse estos palilcomo objetos de cálculo, sí se supone que ya en la época de los Reinos Guerreste uso era habitual entre las gentes. La utilización de este instrumento puhacerse equivaler a la del ábaco en Occidente, que en China no se generalihasta muy tarde (finales de la dinastía Yuan) y siempre como mecanismo deriv

de las técnicas de cálculo con palillos. Las operaciones aritméticas con éstossimples y saltan a la vista. Para sumar, p.e., 7 ( T ) y 8 ( T _) se reúnen horizontalmente los palillos horizontales (cada dos hacen uno, también tumbado, e posición siguiente ) y verticalm ente los verticales para hacer 15 (— lllll)2.

Es mediante estos palillos como encontramos la primera emergencia denegatividaden las m atemáticas chinas. Li Yan y Du Shiran (198 7:50) p recisan q"en los cálculos con palillos, la gente usaba palillos de sección cuadrada o ne

para re fe rirse anúmeros negativos y palillos de sección triangular o rojos pa ra los

1 Sobre la pretendida ‘ausencia de simbolismo’ en la matemática china, véase más adelante.* Sobre ejemplos de distintas operaciones aritméticas con palillos, véase Li Yan y Du Shiran

(1987: 11 19) para suma, resta, multiplicación y división, y pp. 50 56 para rafees cuadradas y cúbicas.

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números po sitivos; algunos pudieron haber usado disposiciones diagonales de lo pali llos para indicarnúmeros negativos y disposiciones erectas [horizontales overticales] para losnúm eros positivos". Estos ‘palillos positivos’ y ‘palillos negativos.’ son los empleados en el método zheng fu de los "Nueve capítulos”, si bienno podemos precisar desde cuándo venían siendo ya utilizados. Liu Hui, en comentarios al capítulo 8o, describe cómo hacer operativos los conceptos zlieng y

fu a través de su manipulación con palillos: si se dispone de palillos de colores,rojos representan zheng y los negros /«; y si todos los palillos son de un mismocolor, entonces los números fu se indican colocando una varilla de más cruzandodiagonalmente el último dígito no nulo.

Re sultan, pues, de Pero grullo afirmaciones como la de C. B. Boye r (196223), para quien "la idea de los números negativos no parece haber ocasionamuchas dificultades a los chinos, puesto que estaban acostumbrados a calcuutilizando dos co njuntos de varillas, uno de color rojo para representar núm

ros o coeficientes positivos y el otro de color negro para los negativos". Si idea de los núm eros ne ga tivos ’ estuv iera ya en algún lugar desde el que pu dio no ‘ocasionar dificultades’, esa idea no sería otra cosa que uno de los dconjuntos de varillas; y si no estaba en ningún lugar ideal previo, la cuestisigue siendo la misma aunque ahora en términos de palillos y no de númer¿po r qué los chinos, y só lo ellos, disponían de dos conjuntos de palillos de drentes colores que noso tros pode m os asoc iar con los ‘números ne gativos’ y ‘positivos’?

Para que este sistema fuera estrictamente posicional faltaría un signo qmarcara las posiciones vacantes, pues un número como el —'T p u e d e expretanto 18 com o 1800, 1080, etc. Needham y otros estudiosos de la matem ática csuponen que se dejaba un espac io en blanco com o m arca de las posiciones vacaunque M artzloff niega cualqu ier evidencia documental en que apoyar esa cotura. No obstante, la particularidad de los instrumentos materiales de contabilien China no sólo hacen bien p lausible esa suposición sino que, como veremos, dejan sin sentido a nuestro ‘cero posicional’.

II.3. El m étodo fa n g cheng y el ‘álgeb ra instru m en tal’.El a r te de pro du ci r nada

Elijam os como traducción la de ‘asignaciones a derecha e izquierda’ o balguna de las próximas a la que se atribuye al propio Liu Hui — ‘disposiciónuna serie de cosas en colum nas con el fin de verificación mutua’— , este m étotiene p or objeto el mism o que, p ara nosotros, resolver un sistema de ecuacio

1 Tanto en la descripción de este m étodo como en la de las reglas zheng fu. que expondremos a continuación, seguimos las indicaciones de L. Lay Yong y A. Tian Se (1987: 226 ss.)

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lineales. Dadas m cantidades a., (j = 1,2,... m) de cada una de m ‘cosas’(wu) x.(j = 1 ,2 ,... m ) y dadas n relaciones lineales entre tales cosas en func ión de tcantidades (a. + a.^ + + a. = b. , i = 1, ... n), se trata de calcu lar el núm erocada cosa. Es'de cir' se trata de resolver un sistema de n ecuaciones con m innitas del tipo:

a x + a x + ... + a x = bI I I* 12 2 In i m I

a x + a x + ... + a x = b21 .1 22 2 2m ni 2

a x + a x + ...n i 1 n2 2

+ a Xnm ni

= b

Para ello, se fijan en el tablero tantas columnas como relaciones linealesy tantas filas com o cosas (m). Se divide cada colum na en dos zonas: en la supse disponen — de arriba hacia abajo— las cantidades de las cosas que intervien una cierta relación i (a.., j = 1, ... m), y en la inferior el término absoluto(shi) correspondiente b.. Las distintas colum nas se van disponiendo a su vez de dera izquierda. Así, el sistema anterior ofrecerá la siguiente disposición en el tab

cosa 1 a . . . a ani 21 II

cosa 2 a . . . a an2 22 12

cosa m a . . . a anm 2m 1ni

shi b . . b bn 2 1

Es de destacar la fundamental diferencia, en lo que al simbolismo se refientre la expresión del problem a en términos de ecuaciones algebraicas y esta

en función de la disposición de los datos (palillos) en el tablero de cá lculo. Tosimbolismo que allí era necesario —o, en su defecto, toda la exposición retóque lo supliera— aquí queda obviado por la inequívoca colocación de cada núm(disposición de palillos) en el tablero. El álgebra instrumental china hace queinstrumentos signifiq uen. El color o grado de inclinación de los palillos, un luga preciso en el tablero.. . cum plen las funciones de los sím bolos (de la suma, rmultiplicación,... incógnita, igualdad, etc.) en el álgebra simbólica occidental.instrumentos, su forma de distribuirse en el espacio — y, distribuyéndose, orgzado— , la disposición relativa de los lugares que albergan — ya antes inclusque vengan a ser llenados por una u otra (o ninguna!) cantidad— son símbolossí mismos. El símbolo, al contrario que en la tradición de herencia griega, no resultado de un proceso deabstracción sino una cualidad de los lugares concretos

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en función de unos sistemas de referencia implícitos. El espacio algebraico chno es el espacio extensional aristotélico-euclídeo sino espacio simbólico, un escio que carga de significados d iferentes a sus diferenteslugares que, a su vez, vienen determinados por su mutua relación interna1.

A esta expresividad simbólica, inherente al propio espacio de representac i

se añade, como señala Martzloff, la de los ideogram as del chino clásico. Los enciados o instrucciones que mediante ellos se expresan son mucho más breves, en su formulación literal completa, que sus correspondientes mediante el álgeformal occidental. Por segu ir el ejemplo expuesto po r este autor, un enunciadotipo 'xian jiao he', que literalmente traduciríamos por "hipotenusa-diferenciasuma", en la llamada álgebra retórica se formularía como "suma de la hipoteny de la diferencia (de los catetos de un triángulo rectángulo)", y en la llamada á bra sim bólica2 se diría ‘x + (y - z)’. Pero mientras que así hemos necesitado ssímbolos (3 letras, 2 símbolos de operación, y 2 paréntesis) en chino clásico huran bastado tres caracteres ideográficos. Con toda razón puede decirse que chino es hasta tal punto conciso que algebrizar llevaría paradójicamente a comcarlo todo" (Martzloff, 1988: 249).

Otra diferencia significativa, aunque de menos ca lado, está en la significacde los números dispuestos en el tablero. No se trata de números absolutos (‘determinada multitud de unidades’ de la aritmética griega) sino relativos: números comprendidos en cada columna se ven como una colección ordenadarazones o relaciones entre núm eros. Lo cual permitirá, a lo largo de toda la apción del método, multiplicar todos los números de una misma columna pormismo núm ero sin que se altere el significado de aquélla. La clave del método fang cheng está en ir obteniendo lugaresvacíos en el tablero, pa ra lo cual se procede amultiplicar todos los elem entos de una columna por un cierto núm ero y a efeca continuación ‘sustracciones sucesivas’ entre esta columna y la precedente hlograrvaciar un espacio. Com o explica Liu Hui en sus comentarios, los términode una co lumna quedan así ‘equilibrados’(qi tong) y los números restantes siguensiendo una colección de razones. Este proceso devaciamiento del tablero se reiterahasta conseguir triangular (con huecos) la parte superior del tablero, de modo en una columna quede tan sólo una ‘cosa’ arriba y el shi abajo, con lo que ya seesta en condiciones de ir obteniendo el núm ero buscado de cada una de las ‘co

1 Véase más adelante sobre las relaciones entre esta estructuración simbólica del espacio como soporte de la representación, las características de la lengua china y la función ‘protocolaria' de los números como etiquetas o marcas de lugares simbólicamente cargados.

2 Estas denominaciones habituales para las ‘sucesivas fases’ del álgebra, aunque aparentemente

asépticas, no dejan de llevar sucarga. ¿Por qué esa inversión total del significado — etimológico y her mcnéutico— del término ‘simbólico'cuando se usa para unos símbolos (las letras del álgebra) que se pretende queno simbolicennada? ¿Dejael álgebra ‘simbólica’ de activar sus propios recursos retóricos, o depersuasión, por definirse en oposición al álgebra ‘retórica'? ¿No pretende esa propia denominación un efi-caz efecto retórico?

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El problem a 1 del capítulo 8o de los "Nueve capítulos" ilustra, a la vez qexpone, el método:

Problema 1

"Hay 3 manojos de cereal de calidad superior, 2 manojos de calidad media ymanojo de calidad inferior, resultando 39dou [de grano] como sh i; 2 manojos decalidad superior, 3 manojos de calidad media y 1 manojo de calidad inferior dandou como shi; mientras que 1 manojo de calidad superior, 2 manojos de calidadmedia y 3 manojos de calidad inferior dan 26dou como shi. Encontrar la medida [degrano] endou contenida en un manojo de cada una de las tres calidades de cereal."

L. Lay-Yong y A. Tian-Se distinguen nueve pasos en la explicación dmétodo:

Paso 1:

"Poner 3 manojos de cereal de calidad superior, 2 de calidad media y 1 de cadad inferior con su resultado, 39dou, como shi en la columna de la derecha. Disponer las colum nas cen tral e izquierda del mismo modo que la derecha."

La d isposición de palillos en el tablero será por tanto:

calidad superior 1 Il III

calidad media II III II

calidad inferior III 1 1 '

sh i = T = mi = i r

que nosotros, por razones de comodidad, representaremos con cifras árabes:

calidad superior 1 2 3

calidad media 2 3 2

calidad inferior 3 1 1

sh i 26 34 39

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y que ‘corresponde’ al sistema de ecuaciones:

3x + 2 y + z = 39

2x + 3y + z = 34

x + 2y + 3z = 26

Conviene no obstante observar que la misma materialidad de los palillsobre el tablero refleja más adecuadamente el espíritu de concreción de este tde álgebra. La instrucción del Paso 1 no dice ‘escribir el número 3’ sino ‘poner 3manojos’: se pone — que no se escribe— y se ponen manojos —que no númerocuya materialidad se corresponde con la de los palillos. El mismo ánimo de apa la plasticidad de lo representado se expresa en la primera instrucción dsiguiente paso': "tómense los cereales de lo alto de la columna derecha...". Trasladando palillos de lugar diríase quecasi se están acarreando los manojos de losque trata el problema. E ste es otro aspecto donde se evidencia cómo la abstraccchina sigue un camino bien distinto de laaphairesis griega.

Paso 2:

"Tomar los cereales de lo alto de la columna derecha para multiplicar por tod partes (bian cheng) la columna central y proceder a [el método de] sustraccionesdirectas(zi chu)."

La operación ‘multiplicar por todas partes’(bian chen g) consiste en m ultiplicar todos los elementos de una columna por un número dado. La ‘sustraccdirecta ’, a su vez, es la operación consistente en restar, elemento a elemento, dcolumna central la de la derecha tantas veces como sea necesario para consegudesaparición(jin) de los palillos situados en lo alto de esa columna central. Est propósito explícito de ‘hacer desaparecer’ los números, tannatural para el lectormoderno (y más para el que conozca los procedimientos del álgebra matricia

la resolución de sistemas de ecuaciones), sería sin em bargo puro despropósitola matemática aristotélico-euclídea. Liu Hui lo formula así:

"El propósito del método es sustraer repetidamente los números menores una columna de los mayores de otra columna, de manera que el número de la poción superior desaparezca(jin). Cuando la posición superior se queda vacía, eso significa que a la colum na le falta una cosa. Este m odo de sustracción mutua no afeal cálculo de los números restantes, porque eliminando el número de la posicisuperior la cantidad de cosa afectada también es sustraída del shi. Por tanto,mediante la sustracción directa [de números] en las columnas de izquierda y dere

1 Según ahora la versión de J. C. MartzlofT (1988: 236).

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y mediante el exam en de los [números] positivos(zheng) y de los negativos(fu). llegamos a los resultados deseados. El propósito de primero multiplicar por tod partes(bian cheng) la columna central por el [número de] cereal de calidad superiorde la columna de la derecha es equilibrar los términos(qi tong). Este equilibra-miento de términos es para hacer posibles las sustracciones directas entre la columde la derecha y la columna central."

Así, la colum na central Cv multiplicada por a^ = 3 , y restando de ella columna de la derecha C ( las veces necesarias (dos en este caso) para que a^ ‘daparezca’, se convierte en:

2 •3 6 -c, 6 - 3 -c, ( 6 - 3 ) - í3 —> 9 —> 9 - 2 —> ( 9 - 2) - 2 — 51 3 3 - 1 ( 3 - 1 ) - 1 2

_34 102 102 - 39_ (10 2-3 9) - 39_ 24

que sim bolizaremos por:

C -> 3C - C - C2 2 1 1

con lo que en el tablero quedará:

1 3

2 5 2

3 1 1

26 24 39

donde es de resaltar que han desaparecido(jin) los palillos de la posición superior, pero también cómo han llegado a desaparecer: por un juego de equilibramientcom pensaciones de térm inos que, con la entrada en escena de las parejas de optos zheng/fu (que aquí todavía Liu Hui sólo menciona), encontrará su expresiómás refinada. Un proceso así, de meticulososequilibramientos para llegar a o btener nada, no sólo es ajeno a la episteme griega sino que está expresa y tajantemeimpedido por ella. Es el ‘sendero inescrutable’ por el que Parménides conminno transitar, es el absurdo del que Aristóteles abomina cuando se enfrenta a cquier posible razón que encadene un número a na da 1. Pues bien, en el álgebra fang

1 Véase epígrafe I1I.3.

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Aunque en ningún momento se ofrezca una exposición general de esmétodo fan g cheng, el tipo de instrucciones que acompañan a la resolución de estProblem a 1 sí perm iten extraer los criterios para resolver del mismo modo cuquier otro problema semejante. El mismo Liu Hui entiende el método de umanera bastante flexible, pues ofrece combinaciones alternativas en las operacnes entre columnas para el caso en que una triangulación como la anterior cduz ca a cálculos "dem asiado com plicados de llevar a cabo".

Formalm ente , el método no es otro que el se conocerá a partir de nuestro s. Xcom o ‘método de Gauss’, debido a que éste matem ático lo desarrolló en el curssus estudios sobre el movimiento de los cuerpos celestes1. Pero material y genétmente ambos métodos difieren considerablemente. No puede dejar de sorprenque entre las emergencias de uno y otro pasen m ás de veinte siglos, tratándose más de un método aparentemente tan simple. Basándose en los reiterados consde los sucesivos com entaristas de los "Nueve capítulos", en el sentido de elegir s pre la técnica que perm ita la máxim a sim plicidad en los cálculos, Martzloff (19238) conjetura que "no es excesivamente sorprendente que los calculistas de los hayan descubierto tal técnica porque se dejaron guiar por un ‘principio del mínesfuerzo’". Al margen de que la rigurosa aplicación de tal principio a lo que segmente conduzca sea a no calcular nada — y menos con el engorro de los palilloo bien hemos de admitir que ese-principio actúa en China desde los comienzonuestra era pero no empieza a ser operativo en Occidente hasta veinte siglos tarde (lo que no es de fácil demostración) o bien hemos de suponer quetambién el‘principio del mínimo esfuerzo’ —como las ubicuas ‘necesidades prácticas’ o

‘auge del comercio’, tan aducidosad hoc por ciertas sociologías de las matem áticas— difiere de unos modos de pensar a otros, con lo que la explicación reclam punto ser a su vez explicada. ¿Qué impide a la potente matemática occidentaencontrar hasta el s. XIX el ‘método más simple’ para resolver unos sistemasecuaciones que, no obstante, ya venían planteándose desde casi veinte siglos an No parece demasiado aventurado suponer sencillamente que el ‘método de Gano era tal ‘método más simple’ para una matemática como la euclídea, que remsu forma paradigmática sin pensar el ‘cero’ (clave del método fang cheng) y quetodavía en tiempos del propio Gauss discute — en boca de Kant, p.e.— la respetlidad filosófica de las ‘magnitudes negativas’ (clave de la prolongación del fang cheng en la reglas zheng fu).

II.4. Arraigo del álgebra instrumental en la lengua natu ral

La naturalidad del método habrá pues que busca rla más bien en la particularidad de las formas de razón dominantes en la China de los Han. Y más concr

mente en ciertos rasgos específicos de su lengua, de su manera de entender las

1 Véase Hcrmann H. Goldsiine (1977: 212 ss.).

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ciones simbólica y abstractiva, y de los instrumentos materiales con los queallí y entonces se operaba de modonatural. Al margen de consideraciones culturalesmás amplias, de las que nos ocuparemos a propósito de lanegatlvldad yin yan g, yal margen también de la específicanegatlvidad zheng fu , que trataremos con detalle a continuación, el propio M artzloff aporta una sugerencia1que parece más cvincente que aquel sospechoso principio del mínimo esfuerzo. La disposiciónlos palillos en el tablero para la ejecución del método fan g cheng progresa dearriba hacia abajo y, una vez com pletada la correspondiente colum na, de la derehacia la izquierda. Y esa es precisamente la disposición que en su progresiónadoptando la escritura china; columnas paralelas que avanzan de arriba a abajde izquierda a derecha. De hecho, las matrices resultantes del ‘método de Gau(C. F. Gauss, 1809) son las traspuestas de las reflejadas en el fa n g cheng, comocorresponde al modo occidental de expresar las ecuaciones que, a su vez, repduce el orden en que p rogresa el texto en que los correspondientes enunc iadosdicen en las lenguas del continente europeo: en filas que avanzan de izquierdderecha y de arriba a abajo3. Pero esta diferencia sólo explicaría la trasposicióncolumnas y filas en uno y otro caso, no el hecho mismo de que en un caso se pceda espontáneamente aexpresiones —literales (álgebra ‘retórica’) o formales(álgebra ‘simbólica’)— mientras que en el otro se haga condisposiciones simbólicas (álgebra ‘instrumental’ china).

Com o observara W ittgenstein, "es esencial a la matemática que sus signosusen también enlo civil". De ‘lo civil’ extraen su organización y sentido, y a ‘locivil’ recurren después para ser explicados, esto es, para recuperar sunarratividad original. El paso del álgebra retó rica al álgebra formal en Occiden te se lleva a ctraduciendouno por uno los elementos constitutivos de la frase por signos formales (incógnitas, operadores, paréntesis, etc.), que se mantienen conectados entrde modo isomorfo a como lo estaban sus correlatos lingüísticos en la frase naral; el signo *+’, p.e., conec ta los términos 2x y 3xJ — en la expresión a lgeb ra2x + 3x3— como el verbo ‘aña dir ’ enlaza los sintagm as no m inales ‘dos c osay ‘tres cuadrados’ en la frase ‘añadir dos cosas a tres cuadrados’. Análogmente, los parén tesis algebra icos traducen pausas del enun ciado literal, vengéstas m arcadas por com as o estén tan sólo im plícitas en el ritmo de la frase, Este considerable isomorfismo entre expresión algebraica y enunciado literasé mantiene en el álgeb ra fa n g clieng, pero ahora las carac terísticas de la lenguanatural traslada n al lengu aje alge braico una estructura y sentido bien diferent

En la lengua china clásica4, sílaba, palabra y carácter gráfico tienden a cfundirse. L a sílaba es, a diferencia de las lenguas indoeuropeas — donde no ju

1 Mantenida también, p.e., por L. Lay Yong y A. Tian Se (1987: 260).* Sobre la influencia de la estructura del lenguaje natural en el ordenamiento de las expresiones

algebraicas que aquél pueda soportar, véase J. Ciernen!, J. Lochhead y E. Soloway (1979); K.M. Fisher y J.I. Lipson (1985: 66 69).

3 Por utilizar la expresión delos cosisias. que subraya la sustantividad de estaseidl diofánti-cas.

4 Véase, p.e., P. Demiéville (1948) o R.A.O. Forres! (1948).

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más que un papel marginal— , la unidad fonética y semántica por excelencAhora bien, una misma sílaba puede corresponder a caracteres ideográficos mdiferentes, que a su vez pueden tener distintos significados. Así, la frase, o párrafo , como yuxtaposic ión de ideogramas que a menudo tampoco incluyen ptículas gramáticales entre ellos, sólo adquieren un sentido preciso en función contexto, el ritmo, la disposición recíproca de los caracteres y la estructura gloque adoptan las agrupaciones de éstos (en paralelo, por inversión, etc.). Al conrio que en las lenguas indoeuropeas, donde la palabra es vehículo de un concesemánticamente autónomo, la idea que transmite el ideogram a no es independide su expresión en el lenguaje, sino una idea directamente lingüística', que sólcontexto y la estructura total del párrafo pueden precisar. Es necesario captar mero el sentido global, para poder después — y sólo después— decidir el signcado y la función concreta de un sonido o carácter particular. Y ese sentido edeterminado po r factores no estrictamente semánticos ni gramaticales sino gloles, como los antes apuntados: ritmo, contexto, estructura, ordenam iento... Sólo puede aportarse la precis ión de la que carece una lengua que no posee una mología propia, al ser cada ideograma invariable: no es necesario, ni habitual, qunombre haya de aparecer en singular o plural, o que un verbo se enuncie entiempo determ inado o con un sujeto que lo determine.

La íntima conexión entre ritmo y sentido queda expresada en el uso del mistérmino — yan-— para designar la unidad léxica y la unidad rítmica. Es el ritmo que aporta el sentido al m arcar en el texto frase y periodos, hasta el punto de quha afirmado que "el análisis rítmico ocupa, en chino, el lugar que en nuestras

guas ocupan el análisis gramatical y lógico"2. Así, una expresión como"shang tian wu lu ru di wu merí' (literalmente "subir-cielo-ningún-camino-bajar-tierra-ningún puerta ) se reorganiza rítm icamente en dos grupos de cuatro elementos cada usimétricos dos a dos: subir/entrar, cielo/tierra, ningún/ningún, camino/puerta. ello, el ritmo pautado por la simetría es el que ofrece el sentido: "ningún cam para subir al cie lo , ninguna puerta para entrar en la tierra", es decir, "no hay saliDe ahí la importancia que en chino tienen las construcciones paralelas, sea por stría, antítesis o inversión. Este último recurso es posible porque el orden en qusiguen dos ideogramas puede alterar su significación respectiva o su función efrase: las distintas combinaciones permitidas de un mismo grupo de ideogram pueden dar lugar a expresiones bien diferentes. Lo cual está en la base tanto de tos artificios m atemáticos , capaces — como el tablero de calculo en el método fang ctieng — de hacer sim bolizar a los caracteres según su situación recíproca, comohabituales recursos poéticos; hasta el punto de que, en un poema de la época deTang como el siguiente —que traducimos literalmente—, los dos últimos ver puedan reflejar, como en un espejo, los dos primeros:

1 Asf, p.e., no existe una palabra 'diez' que represente el concepto de 'decena' y lo transcriba como '10', sinotan sólo el signo ‘—

* P. Demiéville y Y. Hervouet (1980: IV: 309). De e llos recogemos estas observaciones sobre e papel estructurante del ritmo.

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"Perfume loto esmeralda agua ag itar viento frescoAgua agitar viento fresco verano jornada largaLarga jornada verano fresco viento agitar aguaFresco v iento agitar agua esmera lda loto perfum e"1.

La lectura eri un sentido (desde la primera palabra hasta la última) y eninverso (desde la última hasta la primera) son idénticas, no obstante lo cual el tido de los dos prim eros versos es del todo diferente al de los dos últimos, quesus inversos. Estas inversiones se dan incluso en el interior de cada pareja de ve(p.e. agua-agitar/agitar-agua), alterando así la función sintáctica de los ideograimplicados y distribuyendo de manera distinta las asociaciones con los otros igramas adyacen tes. Cheng Chi-hsien traduce así los dos primeros versos: "Soel agua de esmeralda, entre los lotos perfumados, se levanta un viento fresco agua se agita, el viento trae frescor, la jom ada de verano es larga". Según este logo (1972: 42), estos paralelismos e inversiones son "una tentativa para favoruna disposición espacial enfrentada al desarrollo temporal; ofrecen al poeta posib ilidad de romper el discurso lineal y escapar así a la coerción del tiempoEstos dos versos, que se responden de tal modo, crean un espacio estable, anomo y que se basta a sí mismo. (...) Introduciendo en el discurso la dimens paradigmática2, el poeta intenta libera r a las palabras de la sujeción a las opcilineales, rom per por un instante la cadena de la palabra y organizar un universcerteza que permanezca fuera del tiempo".

Esta misma estructura formal de versos que se responden y co-respond

mediante sim etrías e inversiones sintácticas es la que encontraremos en los eciados de las reglas zh en g fu . En ellas, el estilo (sintáctico) viene así a reforzar — y a re producir en otro nivel— adm ira blem ente el contenido (sem ántidiciendo me diante paralelism os, simetrías y oposiciones (simbó licas, ideogcas) cómo operan las simetrías y oposiciones (conceptuales, matemáticas) articulan el álgebra zheng fu .

Imposible no ceder también a la asociación entre la contraposición expu por Cheng Chi-hsien (tem pora lidad/espacialidad narrativas) y la que enfren

linealidad, secuencial y sintagm ática, de las ecuaciones lineales en el contex

1 Citado por Cheng Chi hsien (1972: 38), a quien seguim os también en las observaciones sub-siguientes . En el m ismo número 48/49 de la revistaTel Quel, dedicado íntegro a China, véanse tam-bién: Ion Banu, "Philosophie social, magie et langage graphique dans le Hong-fan"', Viviane Aileton, "Écriture chinoise"; y Julia Kristeva, "La contradiclion et ses aspecls chez un auteur des Tang".^

~ El término 'paradimático' está aquí empleado en el sentido que le da la lingüística pos saus suriana. Un término está relacionado paradigmáticamente con aquellos otros con los que comparte un determinado radical, un cierto sufijo, una asociación fonética o un cierto campo semántico; la dimensión paradigmática abre así varias series de relaciones virtuales, a diferencia de la relación sintag-mática, que asocia cada término conlos que le acompañan en lasecuenciatemporalcerrada del enunciado al que pertenece.

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las lenguas indoeuropeas, con la espacialidad, holista y paradigmática, derepresentación en el método fang cheng. En aquéllas, la secuencia temporal delos signos reproduce la de la frase, y otro tanto ocurre con los vínculos s intácty gramaticales. En el tablero de cálculo, la disposición espac ial despliega relanes paradigmáticas (ñlas = cualidades semejantes) junto a las sintagmáti(columnas = frases), al tiem po que cada unidad (grupo de palillos / ideogram

significa en función de su disposición en el conjun to (su luga r en el tab lero) yde su contenido semántico estricto o de una marca gramatical que la determTam poco puede de jar de percibirse una notable analogía entre el diálogo intedel párrafo literario chino, a través de paralelismos e inversiones, y el modooperar fang cheng por medio de equilibramientos y com pensaciones de los tém inos de unas columnas que, en paralelo, se determ inan m utuam ente. (La in poración de la s reglas zheng fu o ’positivo/negativo’ añadirá a esta dialécticainterna un nuevo juego de oposiciones, que ahora resulta bastante menos c

cante). No es, por tanto, sólo una cuestión de ec onom ía gráfica la que ha ce incesario, como apuntaba Martzloff, el simbolismo algebraico en la matemáchina, sino que tal falta de necesidad arraiga más bien en la manera de distrisignificados implícita en la prop ia estructura de su lengua y en la singu larizade los lugares de su espacio.

^Desde esta perspectiva, lo que ahora parece sorprendente no es tanto queálgebra matricial china haya precedido en veinte siglos a la indoeuropea com oésta haya llegado a aparecer alguna vez, en tan claro an tagonismo con las conf

raciones a que parecen conducir sus disposiciones lingüísticas y sus concepcioespaciales^La teoría de ma trices, em pezada a desarrollar en Europa a mediados. XIX por Cayley y Sylvester1, tiene su origen en los cálculos con determina

— form ados por los coeficientes de sistemas de ecuaciones— llevados a caboCramer, Bézout, Vandermonde, Lagrange, Laplace y otros. Entre los trabajos neros sobre determinantes suelen citarse ios de Leibniz y el japonés Seki Takak(1642-1708), más conocido como Seki Kowa5; el primero de ellos se mostró vmente interesado en los procedimientos chinos de representación simbó lica, c

demuestra su uso delYijing para la construcción de unamathesis universalis, mientras que el segundo era un profundo conocedor del método fang cheng. SekiKowa, llamado elsansei o ‘ma temático sagrado’, es tenido por el creador de lamatémáticaswasan, basadas a su vez en las técnicas del álgebratengen, que operaban con palillos y que en tiempos de Seki Kowa ponían el énfasis en resoecuaciones de elevados grados mediante este artificio. Las innovaciones introddas por él llevarán al álgebrawasan a enfrentarse con el problema del modo de

1 Véase, p.e., L. Novy (1973: 165 172), donde se .alude a los trabajos en ruso de A.P. Juskevicen los que se destaca el uso de matricesen lugar de ecuaciones en el álgebra china.

2 Véase Th. Muir (1906).

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existencia de las rafees negativas e im aginarías1. Bien pudiera ser éste el lazoune, com o sugiere M ikami (1914: 29), el método fan g cher.g con la ‘tardía’ teoríade matrices europea: "nos sentimos inclinados a creer en el origen japonés dteoría de determinantes como seguramente derivada del método de soluciónecuaciones lineales simultáneas, que los japoneses aprendieron de sus maes

chinos".

U.S. Las reglas zheng/fu (‘positivo/negativo’)

El método fan g cheng tiene ciertamente sus limitaciones. Una, cuando notodas las ecuaciones sonlinealm ente independientes2', entonces la división queaparece al final de los cálculos ‘no es posible’, al ser el divisor nulo. Otra, cuaintervienen grandes números, pues el método de sustracciones sucesivas pudesencadena r entonces varios m iles de operaciones. Y, una tercera, cuando la cación del mé todo obligue a sustraer un número de otro m enor o de una posivacía. La primera restricción, com o observa M artzloff (1988: 239), no estabacondiciones de reso lverla ni los matemáticos chinos de los Han ni siquiera lolos Yuan. Para la segunda, el mismo Liu Hui ofrece aplicaciones alternativasmétodo. A sí, en el prob lem a 7 del capítulo 8o, en lugar de una engorrosa iterade sustracciones establece una simetría de operaciones entre columnas que emtan sólo dos multiplicaciones y una resta:

mediante las combinaciones lineales:

C -» 21C -4 C _ l I 2C —>4C

se produce la transformación:

1 Véase Shigeru Nakayama (1980 : 15 & 16: 749 75). El autor señala que, "de la tradición pragmática china, elwasan habfa heredado la idea de que una ecuación sólo podía tener una raíz. Seki, sin embargo, introdujo la discusión en torno a las rafees negativas e imaginarias, intentando interpretar su significado. A partir de un enfoque característico delwasan. trans-formó y 'corrigió' tales problemas para obtener soluciones reales positivas, rechazando las implicaciones del problema original. Asi, su teoría de las ecuaciones desecha posteriores desar-rollos hacia una teoría de los números negativos e imaginarios en el interior delwasan". Una reacción a sí no es 'característica delwasan', pues la encontraremos muy parecida en la Encyclo-

pidie de D’Alembcn y Diderot. No obstante, la disponibilidad de estos trabajos de Seki Kowa — su "Discusión sobre la esp ecif icación de problemas"(Daijutsu bengi) y su "Clarificación de problemas imposibles"(Byodai meichi )— tan sólo en japonés, nos impide precisar más esta cuestión.

2 Es decir, cuando una de ellas puede obtenerse como producto de otra por un cierto número.

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10 210

21 4 — > 84

20 20 80 340c c2 1

Pese a la evidente superioridad de este p rocedimiento, su uso no se generazará en China hasta mil años después, lo que M artzloff atribuye a la dificultad inrente a la idea de multiplicación de cantidades negativas que el procedimienimplicaría al extenderse m ediante las reglas zheng fu qué regulan las operacionescon estas cantidades. Estas reglas se introducen para negociar la tercera dificulmencionada, lo que los autores de los "Nueve Capítulos" consiguen "de manesorprendente para su tiempo". Es para poder restar, en el curso del método fan g cheng, un núm ero de otro m enor o de un hueco en el tablero para lo que los matmáticos Han construyen una forma denegatividad que se tiene por la primera ‘aparición’ de los ‘núm eros negativos’. La m anera tan rotundá y acabada de esta cotrucción, en contraste con su penosa y emergencia en Occidente, arroja ciertreservas sobre la ‘dificultad’ — supuesta por M artzloff— de extender las ope racnes de suma y resta (para las que inicialmente se define) a la multiplicación. Maún cuando se considera que Diofanto, cuyas construcciones son más tímidas balbucientes, lo que enuncia de fo rm a primera y explícita es precisamente la mtiplicación de ‘términos negativos’ . Pero esta discusión sólo puede hacerse desuna preciso conocim iento de las reglas zheng fu .

Conviene antes destacar el carácter eminentemente práctico —y, por tantdúctil— de lo que en Ch ina se entiende po r un método o una doctrina, frente a connotaciones de rigor y abstracción que suele evocar para una mentalidad ocdental, pues ahí está uno de los motivos que permitirán bordear operaciones qcualquier método rígido descartaría por imposibles o faltas de sentido. Marcel Gnet (1968: 18), más atento al estudio de la m entalidad china profunda que a las e boraciones eruditas, desta ca que "nunca se debe olv id ar que una ‘doctrina chi

debe ser definida, no en tanto intenta determinar las articulaciones de un sistedogm ático, sino en cuanto apunta a extraer una especie de fórmula maestra o reccentral". La ‘receta central’ del método fan g cheng está en conseguir triangular a base de huecos la matriz que define la disposic ión de los coeficientes en el tablde cálculo. Y a ello se va a subordinar hasta la prop ia consideración de los objeque se tendrán por ‘números’. A lo cual favorecerá, sin duda, la no construcci por la matemática ni por la filosofía chinas de una meta física explícita del númque, como en Grecia, delimite las fronteras de lo que puede pensarse como t

1 La ausencia de csla metafísica del número no es evidentemente exclusiva de la cultura china. Pero tal ausencia, junto al tipo de problemas que la matemática china se plantea, el modo de enfocar su resolución, y las categorías conceptuales que, al dominar su manera de pensar, orientan la construc-ción de esa solución, sí parecen determinar la ‘Insólita aparición’ en China de los ‘números negativos’.

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Para Granet (1968: 26), el modo clásico de pensar chino "ha desdeñado los resos de claridad que aportan al espíritu una lógica de la extensión y una física dcantidad. No ha querido considerar los Números, el Espac io y el Tiempo comfueran abstracciones. Com o tam poco ha considerado útil constituir categorías tractas com o nuestras categorías de Género, de Sustancia y de Fuerza".

En este espíritu se construyen las reglas zheng fu, y en este espíritu Liu Hui

ofrece asimismo otra variante del método fang cheng , que él llama "nuevométodo" por oposición al "viejo método". En el problema 18, frente a quieninseguros ante los principios del fang cheng, se refugian en "seguir rígidam ente el[viejo] método de cálculo en el tapete [o tablero]” por más que "se enreden esivamente con él", Liu Hui llam a a "mirar el mé todo globalcon perspectiva ", atendiendo derechamente a su esencia. Pero lo que aquí queremos destacar no edetalle del ‘nuevo m étodo’ sino el espíritu de esa ‘perspectiva’ que el matem áchino expone a p ropósito de él:

"Podemos comparar tal técnica con la de un buen cocinero. Cuando un cnero habilidoso corta la carne de una vaca, mueve con libertad el cuchillo por elrior de la pieza de modo que el cuchillo permanezca añlado por mucho tiempomatemáticas son como el cuchillo que actúa con eficacia y soltura en manos delnero habilidoso. De este modo no sólo se hace el trabajo rápido y sin esfuerzoque el cuchillo está siempre afilado como al principio"1.

Así también el m étodo ha de ser dúctil y moverse ‘con libertad’, adap tánda los recovecos de ca da problem a en el que penetra. El

fang cheng y, en general,

toda la matem ática china parecen atender a la sugerencia de W ittgenstein (1138) de adoptar instrumentos de medidablandos, dotados deuna cierta elasticidad. No envarados por una meta física explícita del número y orientados por ucategorías latentes bien d istantes del sustancialismo griego, la libertad con qumatem áticos Han van a m over el cuchillo para atajar la tercera de las limitacimencionadas les llevará.a construir la negatividad zheng fu.

Las zheng fu shu (o ‘reglas zheng fu ’) aparecen form uladas en cuatro sucintosenunciados al final del p roblem a 3 del 8o capítulo del Jiu zhang suanshu. El propiotexto dice que se aplican a 12 de los 18 problemas que integran este capítulo saber, a los problem as que van del 3 al 6, al 8, y del 12 al 18. No conviene pede vista que estas reglas tienen por objeto ‘mantener el cuchillo afilado’ de mque pueda hace r su trabajo ‘sin esfuerzo’, y este trabajo — com o veíamos — notro que el de conseguir vaciar espacios en el tablero, hacer ‘desaparecer’(jin) palillos numera les mediante el ‘equilib ramiento ’(q¡ tong) de términos en columnas paralelas; un trabajo que parece quedar bloqueado en el mom ento en que‘sustracciones directas’ (zíchu) conduzcan a tener que restar un número de otro

menor o de una posición vacía. La introducción de los términos opuestos zheng y

1 Citado por L. Lay-Yong & A. Tian-Se (1987:246).

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f u se orienta, pues, directamente a poder seguir adelante con el proceso de elinación por equilibramiento. Recordemos cóm o Liu Hui expresa este propósito

"Cuando se consideran dos expresiones [según el método de cálculo entablero] podemos obtenerresultados opuestos, para los que tenemos que usar losnombres zheng y fu al referirnos a ellos. Para los [nombres/números] zheng usamos

palillos rojos, mientras que los [nombres/números] fu se representan por palillosnegros. Como alternativa, un [nombre/número] zheng puede transformarse en uno fu cuando se coloca un palillo cruzado sobre él. En el cálculo en el tablero, cuaintervienen [nombres/números] rojos y negros, hay un método para manipularllas columnas de izquierda y derecha. Este métodono es del todo el mismo que el procedimiento normal de suma y resta. El que [un nombre/número] sea rojo o negdetermina realmente por reducciones [o destrucciones] mutuas(xiang xiao). Parallevar a cabo la suma o resta de los [nombres/números] que ocupan posiciocorrespondientes en columnas diferentes, hay dos reglas sobre tipos diferentesuma y resta"1.

En esta introducción a las reglas, observamos que:

a) Zheng y f u son ‘nombres’ (de ciertos resultados obtenidos al operar co pali llos); como todos los nombres chinos no rem iten, por tanto , a conceptos o iabstractas previos, sino que son más bien, com o veíam os, ‘ideas lingüísticas’, nidas antes por su función y posición en la frase y en el texto (contexto que proporc ionan las columnas en el tablero) que por el acotamiento de un cam

sem ántico propio y cerrado. b) No puede, pues, decirse , en particular, que remitan a una idea previanúm ero, de la que serían meras especificaciones — com o, p.e., lo par y lo imparmenos aún, pese a la opinión de Martzloff, a ninguna idea semejante a la grieg‘multiplicidad de unidades’; en consecuencia, en la traducción optamos por obel término ‘número’, asociándolo al de ‘nombre’ en el suspenso de los corchete

En sus traducciones, Martzloff y Lay-Yong / Tian-Se suelen introducir sustantivos ‘núm ero’ o ‘palillos’ a los que zh eng y f u vendrían a determinar comoadjetivos. Sin embargo, en las versiones ideográficas que reproduce Qian Baocno hay tales sustantivos a los que los adjetivos determinarían como la especihace con el género. La ausencia de esas categorías metafísicas en el pensamichino tradicional tiene como correlato lingüístico la ausencia de jerarquizacgram atical entre nom bres y adjetivos, que — por otra parte— siempre m antieun sustrato verbal3. Así, nada tiene de ex trañar que en las expresiones ideográoriginales del Jiu zhang suanshu no aparezca nada parecido a ‘números positivos

1 Cilado por L. Lay Yong & A. Tian Sc (1987:237 ). Las cursivas son nuestras, asf como la tra-ducción de‘xiang xiao' por 'reducciones (o destrucciones) mutuas’, también habitual y mucho más expresiva que la de ’sustracciones mutuas’.

2 Q. Baocong (1963: 225 6). Véase su reproducción mas adelante.3 Véase, p.e., M. Granel (1968:38), o más profusamente E. Fenollosa y E. Pound (1977: 36 48)

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o ‘palillos negativos’ sino, simplem ente, los ideogram as correspondientes a zheng y a fu , en los cuales quedan subsum idas las funciones sustantiva, adjetiva y verb

c) Tanto zheng como fu son nombres, nombres no de ideas sino de unos‘resultados’ que se obtienen en el curso de las operaciones en el tablero: son destrucciones sucesivas las que determinan que ese ‘resultado’ se nombre de modo u otro; su ser ‘producto’ (y no mero ‘proceso ’ que se desvanece en su prodiscurrir, como le ocurrirá a Diofanto) es la primera determinación que Liu Hestablece para zh eng y fu .

d) La segunda determinación se cifra en que estos nombres aparecen inmdiatamente como resultados ‘simétricos’. Ninguno tiene, de entrada, un estatutovilegiado respecto al otro; el tratamiento que uno y otro reciben, tanto en esta inducción como en el resto del capítulo, es exquisitamente simétrico, salvo diferencia notacional que advierte cómo pueden distinguirse entre sí, bien pocolor bien por la manera de disponer uno de los palillos en que consiste el nomnúmero fu , que así, y sólo a estos efectos, aparece marcado respecto de zheng1

hecho, la única determinación que decide si un nom bre/número es de un tipo u es la que resulta de proceder a ‘destrucciones (o reducciones) mutuas’ixiang xiad).

Las reglas que ahí anuncia Liu Hui son las zheng fu shu. Se presentan divididas en dos grupos: las reglas de sustracción y las reglas de adición. Para facilsu comentario nosotros subdividiremos cada una en dos subgrupos, formado cuno, a su vez, por un par de reglas. Como las divergencias entre Lam Lay-YoAng Tian-Se y J.-C. M artzloff en las versiones del texto original son significatihemos optado por incluir ambas, indicando la de los primeros como (a) y la segundo com o (b). La versión (c) ‘correspondería’ a su transcripción en símbaritméticos occidentales modernos, lo cual facilita la comprensión en la mimedida en que la distorsiona (al incorporar inconscientemente presupuestos aja las matemáticas Han).

Regla 1: De sustracción:

1.1.1. (a) Cuando los nombres son los mismos, restar.

(b) Los [palillos] del mism o nombre se contraen ( se réduissent) mutuamente.(c) (+ n) - (+ m) = + (n - m) y (-n) - (- m) = - (n -m )

1.1.2. (a) Cuando los nom bres son diferentes, sumar.(b) Los [palillos] de nombre diferente se acrecientan ( j’acroissent)

mutuamente.(c) (+ n) - (- m) = + (n + m) y (- n) - (+m) = - (n + m)

1 El sentido preciso de este carácter marcado (y, por tanto, derivado) de/u respecto de un zhengno marcado (y, por tanto, anterior) lo matizaremos en un análisis posterior del significado de ambos términos en el lenguaje ordinario.

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1.2.1. (a) Un número positivo(zheng) emparejado con(ru) nada (wu) sehace negativo(fu)1.

(b) Si un [palillo] positivo no tiene a qué enfrentarse(wu ru), se lenegativiza.

(c) 0 - (+n) = - n*

1.2.2 .(a) Un número negativo(fu) empa rejado con(ru) nada(wu) se hace posit ivo(zheng).

(b) Si un [palillo] negativo no tiene a qué enfrentarse(wu ru), se le posit iv iza.

(c) 0 - ( - n) = + n

Regla 2: De adición:

2.1.1. (a) Cuando los nombres son diferentes, restar.(b) Los [palillos] de nombres diferentes se contraen m utuamente.(c) (+ n) + (- m) = + (n - m) y (- n) + (+ m) = (n - m)

2.1.2. (a) Cuando los nombres son los mism os, sumar.(b) Los [palillos] del mismo nom bre se acrecientan mutuam ente.(c) (+ n) + (+ m) = + (n + m) y (- n) + ( - m) = - (n + m)

2.2.1. (a) Un núm ero positivo ( zheng) emparejado con (ru) nada (wu) sehace positivo(zheng).

(b) Si un [palillo] positivo no tiene a qué enfrentarse(wu ru), se le positiviza.

(c) 0 + (+ n) = + n

2.2.2. (a) Un núm ero negativo(fu) emparejado con (ru) nada (wu) se hacenegativo(fu).

(b) Si un [palillo] negativo no tiene a qué enfrentarse(wu ru), senegativiza.

(c) 0 + ( - n) = - n

Estas reglas, en su versión original, aunque numeradas según los mismos terios anteriores, se formulaban así2:

1 La inclusión de los términos chinos entre paréntesis es nuestra.2 Los ideogramas empleados por Lay Yong/Tian Se son los caracteres simplificados, posterio-

res a la ‘revolución cultural’. Aquí reproducimos los originales.

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Regla 1

1.1.1. t e f l f c

1.1.2. 35.

1.2.1. A1.2.2. i # A .Regla 2

2.1.1. te] F &

2.1.2.% ¿ a M .

2.2.1. A JE < .

2.2.2. A £

Antes de a tender a los comentarios de Liu Hui sobre estas reglas de au tor animo, es de interés destacar algunas observaciones:

i) Las letras n y m de la versión (c) son ‘enteros positivos’ para los quesupone que n > m. Los ‘nom bres’ a los que se refieren las reglas zh en g fu se traducen aquí por los signos + y - d e + n y - n . Hemos mantenido la redundanciatérminos com o + n o + m, en lugar de simplemente n o m , para reproducir el cater marcado que tienen en China tanto zheng com o/u ?L a simetría del tratamientochino se traiciona en la habitual grafía occidental que establece un núm eronatural no marcado, n, al que se supone positivo, respecto del cual el neg ativo,- n, apanecesariamente marcadoVEs precisamente esanaturalidad, tan sólo concedida a lo

positivo, la que en Occidente planteará lo negativo, antes que nada, como probo como aberración, com o algono n atural que reclama, por tanto, un exp licaciónespecial. Además, la marca ‘— ’ que entre nosotros especifica al núm ero negarespecto del positivo o natural no marcado, indica una cierta especificidad respde un género que son del todo ajenos — género y especie— al juego de simetrinversiones, no sub-ordinadas sino co-ordinadas, que orientan las formas chinanegatividad.

ii) Los enunciados ideográficos en lengua china son bastante más concique la propia expresión arim ética de la versión (c), pues cada uno no utiliza cuatro o cinco caracteres en lugar de los dieciséis, o treintaidós, que llegem plear esa última. Este lacon ismo de la frase china queda m ejor recogido eversiones (a).

89



iii) Las versiones (b) reflejan con mayor fidelidad el espíritu original en que se refiere a evitar el carácter adjetivo de zheng y de fu respecto de un (inexistente) concepto de número que, sin embargo, sí se sustantiva en las versiones (

iv) Las versiones (b), sin embargo, transm iten con mayor vigor dos rasgcentrales, a nuestro juicio, de la negatividad china: los de simetría y de constrción mutua, o dialéctica, de elementos opuestos. El ‘reducir-se mutuamente’ y

‘acrecentar-se mutuamente’ (reglas 1 . 1 y 2.1.-.) reflejan mejor esa interacciónopuestos que se contraen/expanden por efecto de su acción recíproca que la ide ex-tracción, o sustracción a partir de un sustrato (positivo) que se supone puesto ah í previamente: idea que es la que subyace al concepto de ‘resta’ con el que versiones (a) evocan — implícita y anacrónicam ente — la tradición aristotélieuclídea.

v) Así, las versiones (b) permiten aflorar lo sobreentendido en las regl1.1.-. y 2.1.-., a saber, que el resultado de las operac iones tiene el nom bre —color— del nombre/número mayor, cuando los nombres son distintos (1.1.22.1.1.), y el nombre —o el color— común cuando los nombres son el mism(1.1.1. y 2.1.2.).

En su formulación (b), estas reglas pueden inc luso levantar cierta perplejidcuando se o rdena "restar" ¿qué debe restarse de qué?, ¿en virtud de qué debe tarse, en ciertos casos, el mayor del menor, cuando lo natural parece ser — si nindica otra cosa, como es el caso— lo con trario? El ‘reducirse m utuamente’ dformulación (b) sí parece, en cam bio, sugerir esa anulación recíproca de tantas dades/palillos zheng como fu de modo que, una vez reducidas todas las unidadescorespondientes, el nombre/color del residuo sea el que dé nombre/color al retado.

vi) El términowu (reglas 1.2.-. y 2.2.-.), que en (c) transcribimos po r nuestro‘cero’ aritmético, resulta sustancializado en las versiones (a), que lo toman ‘nada’. En (b), sin embargo, mantiene una función verbal, activa, en su acepcde ‘no tener’. Este término, para el que Martzloff y Lay-Yong / Tian-Se empleideogramas diferentes aunque gramaticalmente equivalentes, es una partícnegativa que puede traducirse por ‘no’, ‘sin ’, ‘no haber’, ‘no tene r’... o por los s

jos privativos/negativos ‘a -’, ‘in -’,... (asíwu jian g significa ‘i-limitado’). Comoveremos, tanto su acepción sustantivada, inerte, como la que le presta tensióactividad, se justifican en la función matemática quede hecho cumple ese cero-hueco que se dice comowu.

vii) Las versiones (a) traducen la expresión‘wu ru' por ‘emparejado connada’, en el sentido de ‘operado con nada’, sobreentendiéndose que esta operaces la resta en las reglas 1.2.-. (reglas de sustracción) y es la suma en las reglas 2. (reglas de adición). De ahí se siguen las versiones (c) correspondientes. La vsión (b), de Martzloff, intenta primero expresar'wu ru' como ‘ne pas avoir áen trer’ y, ante la oscuridad de la versión, adopta después la sugerencia de Liu que la hace equivaler a'wu du¡', que M artzloff asoc ia con ‘ne pas avoir de vis-a-vis ’, que podem os traducir por ‘no tener a qué enfren tarse’ o ‘sin co rrelato’.

90



viii) Por lo apuntado en los dos últimos apartados, estewu puede recordar,en una primera y g rosera aproximación, aloudén o almSdén griegos. Tanto el término chino como los griegos son términos no técnicos, tomados en préstamolenguaje natural, donde cumplen una función gramatical de negación (los térmgriegos están construidos a partir de las partículas negativasou y me, en tanto queel chino es por sí mismo una partícula de ese tipo). Y tanto el uno como los ot parecen señalar, en su incorporación al discurso ari tm ético, una ausencia de rao relación entre aquello que significan y el número: zh eng (o fu ) "‘no tiene’ a quéenfrentarse", en el contexto de los "Nueve capítulos", del m ismo modo en que hay’ razón (lógon) entre el exceso y ‘nada’ (hyperéchei kai oudén)" en la Physica aristotélica1.

Pero ambas sin razones actúande facto de m anera muy distinta. La aristotélica actúa como un dato, una priori incontrovertible. Para demostrar que no hayrazón entre el vacío (kénón) y el cuerpo ( somato s), Aristóteles parte de laevidencia

aritmética de que tampoco la hay entre nada(médén) y el número (arithmós), dedonde, por analogía, concluye la falta de razón que se proponía demostrar enámbito físico. La imposibilidad de una nada aritmética es el fundamento infundde su —también, por tanto, im posible— correlato físico. En las reglas 1.2.-. y ., por el contrario, la aparente ausencia de razón o de posibilidad de emparmiento(ru) entre el número/nom bre ( zheng o fu ) y nada(wu) es una ausencia que actúa, quede hecho sí empareja, sí establece co-relación o relación entre lo uno lo otro, y lo hace ‘negativizando’ el zheng (1.2.1.) y ‘positivizando’ el fu (1.2.2.),

o bien ‘positivizando’ el zh eng (2.2.1.) y ‘negativizando’ el fu (2.2.2.). En los dos primeros casos invierte los nombres o cualidades (de los números), mientras en los dos últimos los mantiene. Es sigificativo que hasta cuandowu no hace nada — como en estos dos últim os casos — sí lo hace: positiv iza lo positivo y negatilo negativo; estas dos reglas, que presentan como convención lo que deberíaevidente, tienen sin embargo el mismo estatuto codificador de unatransformación que cualquiera de las otras donde la transformación no es ni mucho menos dente.

La nada aritmética china (wu) es, por así decirlo, activa, homogénea concantidad (con la que puede entrar en relación) y determinante, es decir, capaz producir una orientación dete rm inada sobre aquello con lo que in teractúa, bien preservando su orientación inic ia l, bien invirtiéndola . La nada griega, por el trario, es pasiva, heterogénea con el número —con el que no tiene soporte o tancia com ún— y, por tanto, incapaz de inducir en él ningún tipo de determinacella es la in-determinación misma:ápeiron1.

1 Pliysica, IV.8.215^12 20. Para un análisis en detalle de este pasaje, véase el epígrafe III.3.• Dejamos para los epígrafes II.8, 11.9, y 11.15 la discusión sobre: a) el sentido preciso dewu

como ‘ccro\ b) su comparación con oirás formas de ‘cero’ en China, y c) su función en la metafísica china y, en particular, en el taoísmo.

91



ix) La estruc tura global del conjunto de enunciados que constituyreglas zheng fu ofrece una notable similitud con la de las formas poéticas chinaantes consideradas. También aquí los juegos de paralelismos, simetrías e inversnes contribuyen de m anera esencial a construir el sentido de unas nociones y oraciones que no se han definido previamente. El significado de los ideogram principales ( zh e n g ,fu, wu, ru) no está tanto dado en su (im)precisión semántica

cuanto en su reiteración en construcciones sintácticas paralelas, simétricas, invsas... En el paralelismo ap recia ChengChi-hsien (1972 :42) uno délo s rasgos esciales y originales de la poesía china, hasta el punto de que para ciertasuformaobligatorio. Y si ese "paralelismo es reflejo de una concepción esencialm ente dlista de la vida", n inguna otra estructura discursiva hubiera resultado más adecu para la enuncia ción de esa noción esencia lm ente dual que es la zheng/fu.

Efectivamente, paralelos, y simétricos, son entre sí, p.e., los enunciados 1.1y 1.1.2., así como los 1.2.1. y 1.2.2. (y también los paralelos, a su vez, de la re2). Pero esas simetrías ocurren gracias a una doble inversión ; así, el paralelisentre 1.1.1. y 1.1.2. resulta de la inversión ‘mismos/diferentes’ seguida de la ‘rtar/sum ar’. Por el contrario, hay una aparente asimetría entre enunciados no otante correlacionados, como el 1.1.1. y el 2.1.1., pues a la invariancia en am bos del‘restar/restar’ acompaña la inversión ‘mismos/diferentes’; sin embargo, aquísegunda inversión está ausente del enunciado pues se ha operado elípticament pasar de la regla 1 a la 2, con lo que de manera im plícita ‘sustracción’ se ha intido en ‘adición ’. Más claro queda esto en, p.e., el paralelism o entre 1.2.1. y 2.2

donde el emparejamiento conwu invierte asimétricamente sus efectos en fu (1.2.1.) y en zheng (2.2.1.); en este caso es la inversión implícita — ‘sustracciónad ición’ — en la oposición ‘regla 1 / regla 2’ la que atribuye sen tidos opuestoun mismo término(ru, ‘emparejado con’) que parecía romper la simetría.

Con todo, Liu Hui juzga que "la gente en general piensa que el método fang cheng es difícil; algunos son incapaces de ir más allá de la tabulación de términque incluyen [nombres/números] zheng y fu" . Por ello ofrece la siguiente explicación sobre la regla 1.1.1.:

"Esto [la regla 1.1.1.] significa que [nombres/números] rojos se restan de rojy [nom bres/números] negros se restan de negros. El objeto de llevar a cabo sustrciones mutuas entre columnas de números es eliminar los [números] que ocupan posiciones superiores. Por tanto, usad esta regla só lo cuando los [números] de posiciones superiores tienen el mismo nom bre. Si tienen nombres diferentes, entces usad la regla siguiente [1.1.2.]" (1987: 238).

En esta sucinta explicación, Liu Hui dedica tanto aldictum de la regla como

a recordar de nuevo el objetivo último que se está persiguiendo, que es "elimlos [números] que ocupan posiciones superiores", obtenerhuecos en el tablero decálculo, pues es en torno a estos huecos donde encuentra sentido todo el juegooperaciones entre colores opuestos.

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"La sustracción [de números] entre columnas se lleva a cabo cuando [losnúmeros] son de la misma clase. Si sus nombres son diferentes, [los números] n pertenecen a la m isma clase. Si no son de la m isma clase, [los núm eros] son desem jantes y no pueden restarse tal cual. Así, cuando un [número] rojo se empare ja co

(dui ze) uno negro, el resultado es un negro; y si un [número] negro se empareja couno rojo, el resultado es un rojo."

Y apostilla con un recordatorio semejante al anterior:

"Los [números] rojos y negros de hecho se acrecientan mutuamente con el fide su eliminación. Esta eliminación a través de sustracción y adición es para consguir el shi que corresponda con un sólo item. El propósito del método es eliminar lonúmeros superiores de las columnas. No importa cuántos términos haya en la

columnas; de lo que se trata es de llevar a cabo sustracciones y adiciones muturepetidamente. El principio es siempre el mism o.”

En su comentario a esta regla, vemos que para Liu Hui la división en clas(una para zheng y otra para fu ) no conlleva heterogeneidad de los elementos a losque se les atribuyen clases distintas. Esa clasificaciín indica simplemente que,ese caso, las operaciones entre elementos o nombres de diferentes clases no pden rea lizarse al modo hab itual, prescindiendo del color, sino que sufren alteracnes, precisamente las que establece la regla.

La expresióndui ze (‘se empareja con’), al igual que ocurría con la dewu ru, debe contextualizarse para evitar su ambigüedad, de modo que se entienda ‘se rde’ en las reglas 1.2.- y ‘sum ar a’ en las 2.2.-. Con esto, Liu Hui establece que n bres diferentes "no pueden restarse tal cual" [p.e., ( - 3) - (+ 4) no puede entendecomo 4-3 ni como 3-4] sino que "se acrecientan mutuamente" [i.e., 3 + 4 = 7]. Yse trata de un rojo [+ 4] emparejado con — restado de— un negro [-3] el resultaha de ser negro [i.e. -7]. Otros comentarios, en fin, ayudan a interpretar las restanreglas en el mismo sentido.

II.6. El uso de las reglas zheng fu en el contexto fang cheng.

El primer problema del capítulo 8o de los "Nueve capítulos" donde aparecnombres/números fu es el problema 3. A propósito de él se establecen las reglas

zheng fu y se insta a aplicarlas, aunque el propio problema no se usa como ilustrción de las reglas. Un problem a típico donde sí se recurre a ellas es el siguient

Problema 8

"Al vender 2 vacas y 5 cabras para comprar 13 cerdos, hay un superávit d1000 monedas. El dinero obtenido de vender 3 vacas y 3 cerdos da justo para com

El comentario de Liu Hui a la regla 1.1.2. es el siguiente:

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prar 9 cabras. Al vender 6 cabras y 8 cerd os para co mprar 5 vacas, hay un défici600 monedas. ¿Cuál es el precio de una vaca, de una cabra y de un cerdo?”

La disposición de los datos del p roblema en el tablero de cálculo es:

- 5 3 2 vacas

6 - 9 5 cabras

8 3 - 13 cerdos

-6 0 0 0 1000 shi

que corresponden al sistem a de ecuaciones:

2x + 5y - 13z = 1000

3x - 9y + 3z = 0

- 5x + 6y + 8 = - 600

Se observa que el número de animales vendidos, al igual que la cantidtenida como superávit, se toma como zh eng (en tanto que ingresos), mientras que

los animales comprados (pagos) y el déficit en la transacción se toman como fu . Esto ha llevado a varios estudiosos a dar por descontado, acaso un tanto precipdamente, que los conceptos de zheng y d e /u se fundan en los de superávit/déficit,ganancia/pérdida, etc.

Aplazando por un momento la discusión de ese punto, en el Problema 8 pden apreciarse — ya desde su primera formalización en el tablero— dos signiftivas diferencias respecto del que hubiera sido su establecimiento en G recia, y ticularmente en Diofanto:

a) La primera está en la puesta de una ‘magnitud negativa’ (en la terccolumna, desde la derecha) como término independiente{shi en los "Nueve capítulos",arithmós en Diofanto), es decir, como dato oresultado parcial previo, delcual arrancad problema. La matematización de la falta o déficit no acontece e pura transitoriedad de las operaciones interm edias, como ocurrirá en la Arithme- tica, sino que se asienta, de manera estable, como hecho autónom o, con capaci para afirm arse por sí mismo como un hecho que se determ in anegativamente. Aque llo que Diofanto trata continuamente de evitar aquí se m uestra de entrad

b) La segunda diferencia se refleja en la columna central. Elresultado de lastransacciones en la segunda relación es de suma cero: ‘da justo’, no queda nada(wu) en el lugar donde debería esta r su shi. El vacío resultante es efecto de la com-

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«ensación de fuerzas opuestas (compras/ventas, en este caso): 6 cabras y 8 cerdvenderse, equilibran 5 vacas que se com pran. La transcripción autom ática de

e0lumna en términos de ecuaciones sería 3x-9y+3z = 0. Esta forma de expresique concede al cero suficiente entidad com o para llenar uno de los espacios — aque sean simbólicos— de la igualdad algebraica, no se utilizará en Occidente hael s. XV II1. No es casua l que tanto para los algebristas árabes com o para los re

centistasla expresiónnatural de una relación así hubiera sido del tipo 3x+3z = 9y.Tan evidente es para éstos que ‘algo ha de ser igual a algo’, tannatural que la relación fundamental de igualdad ha de vincular dos ‘algos’ (positivos, evidenmente), como para el m atemático Han resulta inmediato que ‘algo emparejado su opuesto es igual a nada’. Y el lenguaje formal em pleado por cada uno —álgebra retórica, simbólica o instrumental— así lo expresa.

Establecido así el problema, el capítulo 8o procede a resolverlo mediante l

reglas zhengfu . Liu Hui precisa que, aplicando las reglas 1.2.- y procediendo a ltransformación CS-» 2C2 - C ( - C ( - C ( , resulta:

- 5 3 2

6 - 9 5

8 3 - 13

-6 0 0 0 1000

- 5 2

6 -3 3 5

8 45 - 13

-6 0 0 -3 0 0 0 1000

donde, para calcular 2C^ - C , se ha debido considerar una operación del ti‘2 - 0 = 0’; así com o que, por la regla 1.2.1., 0 - 1000 = -10 00 .

En otras ocasiones, el autor percibe que no es necesario proceder a sustraciones sucesivas, pues por la propia disposición de elementos opuestos (de codiferente) en las columnas basta con sumar dos columnas adecuadas. Así, enProblem a 15, mediante C —>2C + C , se tiene:

3 3 1

- 1 2

3 - 1

4 - 1

1 1 1

2

- 1 3 - 1

8 - 1

3 1 1

1 En particular, con Napier (1594), Bürgi (1619) y Harriot (1621). Véase, p.e., D.E. Smith (1958:11:431).

95



El Problem a 6 es un ejemplo de cómo la negatividad zhenglfu se mueve en unnivel formal que desborda su restringida interpretación en términos de un moconcreto com o el de ‘gananc ia/pérdida’ ; si bien es cierto que, com o en todo elcurso chino, esa formalidad no es abstracta sino que es tá siempre al servicio deu otra interpretación concreta.

Problema 6

"Si 6dou de grano como shi se añaden a 3 manojos de cereal de calidad superior, esto equivale a lo. que dan 10 mano jos de cereal de calidad inferior. Si 1dou degrano como shi se añade a 5 manojos de cereal de calidad inferior, esto equivale a que dan 2 manojos dé calidad superior. Encontrar la medida de grano contenidacada manojo de cereal, superior e inferior.

Respuesta: 1 manojo de cereal superior contiene 8dou y 1 manojo de cerealinferior contiene 3dou."

El sistema de ecuaciones que parece plantearse en una transcripcióninmediata sería:

y sólo después, siguiendo las instrucciones de Diofanto, que luego prolongaránalgebristas árabes, se transformaría en algo como:

si bien ni ese - 6 ni el -1 cabe pensarlos, como términos independientes, en guna de am bas tradiciones. No obstante, Liu Hui p recisa, desde un comienzo,

en la primera columna se tome el 3 como zheng para representar el cereal superior,y el 10 como fu para representar el cereal inferior; y que asim ismo 6 se tome com fu para el shi. Tras instrucciones análogas para la segunda columna, el problemqueda dispuestodirectamente en el tablero de la siguiente manera:

6 + 3x = lOy

1 + 5y = 2x

3x - lOy = - 6

- 2x + 5y = —1

2 cereal superior

5 - 10 cereal inferior

- 1 - 6 shi

C. C

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funda que el modelo ‘ganancias/pérdidas’; arraigan, como intentaremos m enta r más adelante, en la dinám ica desatada por las ancestrales categorías yin y de yang , que m ás que un modelo constituyen una ma triz de m odelos — astrmicos, físicos, éticos, estéticos, dietéticos, m atemáticos...— , entre los cuamodelo económico/ético de ganancias/pérdidas no pasa de ser uno más otros muchos.

Pero, no siendo necesaria, tampoco parece ser la anterior razón sufici pues habla r de ese modelo como algo unívoco y universal sólo es posibsegún analizó en detalle Karl Polanyi1— desde una engaño sa proyección r pectiva de cierta noción abstracta de mercado que sólo se consti tuirá en el sDesde los estudios pioneros de Marcel Mauss (1923-4), es cosa bien sabidlas relaciones de intercambio pueden ajustarse a estructuras notablementtantes del modelo de equilibramiento entre pérdidas y ganancias, como ocon la estructura del potlach. En particular, en el m undo g riego, ¿no ex istía alganálogo a ese m odelo de ganancias/pérdidas que hu biera podido sugerir un bra semejante a la zhenglfu? ¿o no será, más bien, que los procesos de equ ilibrm iento y compensación se ajustaban allí a otros m odelos de referencia? Temos ocasión de analizar en detalle las dificultades del pensamiento griego pensar en té rm inos de opuesto s que se reduzcan o com penetren m utuamen particula r, re specto del modelo que art icule lo que se debe con lo quees debido,Paul Ricoeur (1989: 35-6) ha señalado cómo Aristóteles construye el conde justicia sobre el modelo de la teoría matemática de proporciones, con lel papel mediador entre los extremos (que en el álgebra zheng fu cumple esewu en el que los opuestos se compensan) lo cum ple el término me dio de una pción o igualdad de dos razones. Y por ese camino no puede llegarse a ninforma denegatividad1.

Ciertam ente, algunas concepc iones primitivas de la jus ticia en términcom pensación de daños — como la del "ojo por ojo y diente po r diente"—den asociarse con el equilibramiento de opuestos implícito en el modelo gcias/pérdidas. En el ámbito griego, un cabal ejemplo de ello es esajusticiamica expuesta por Anaximandro mediante la cual los excesos de un signosu opuesto "se pagan mutua pena y retribución". Pero las teorizaciones q

irán imponiendo , de la mano de Platón y de A ristóteles principalm ente, divnotablemente de ese modelo. El confinarse cada cosa en el ser que le es prel mantenerse cada parte (del alma, de la ciudad) en el lugar que le correspserá el rasgo esencial de la justicia platónica; en la estructura subyace nte estructu ra de orden, como lo es una clasificación— ya no hay luga r para latría y reversibilidad propias de la concepción de Anaximandro. Profundiz

— y contrayendo— el modelo pla tónico, Aristó te le s dis tingue en la "Ét

1 K. Polanyi (1976, 1989). Para un análisis de la evolución histórica y de los diferentes psupuestos en distintos modelos 'ganancia/pérdida ' véase también J.M. Narcdo (1987).

■Véase en II. 15. la diferencia entre pensar unmismocuadrado mágico al modo chino de oposi-ciones y equivalencias y al modo griego de razones y proporciones.

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Nicómaco" (V. 5-V.7) entre justicia distributiva y ju stic ia correctiva, que a su pone en rela ción con una te oría del in te rcambio económ ic o en térm inos m onrios (V. 8). La definición y análisis de la justicia distributiva, que es la más vada de am bas, se construye sobre el m odelo multiplicativo de la teoría m atetica de proporciones, que se soporta en el grupo multiplicativo de los raciona posit ivos pero de ningún m odo en el grupo aditivo de los enteros (positivo

negativos). La original introducción aristotélica de lamediedad también aquírecoge la idea deltérmino medio de una proporción entre dos razones. Segúnobserva Ricoeur (1989: 35), "el mérito excluye la igualdad aritmética e impuna forma más compleja de igualdad, la igualdad proporcional (...) El plfuerte es la puesta en relac ión de cuatro términos: dos partidarios y dos p artesu vez permite definir ellogos de laisotés com o identidad o similitud de relac iones: tal parte es a tal otra parte com o el mérito del prime r pa rtidario es al médel otro; la operación tiene además la ventaja de dar paso a las permutacio(persona A más parte C es a persona B más parte D lo que A es a B)"‘.

Po r otra parte, la jus ticia correctiva (de rango inferior), si bien se construa diferencia de la distributiva, según una estructura aditiva, todo hace suponerincorpora las restricciones respecto de lanegatividad que para esta estructuraestablecía, como veremos, la matemática griega. También para la justicia cortiva, que la escolástica medieval llamará conmutativa, "podemos hablar de porción, pero solamente aritm ética, en el sentido de que se sustrae el excesuno para com pensar la deficiencia del otro" (Ricoeur, 1989: 36). Pero ¿qué hsi la deficiencia del otro es m ayor que el exceso del uno? Aristóteles no pa rec

planteárselo : el defecto lo es necesariamente re specto de un exceso, sólo puquitarse de donde previam ente había: . Ya en la Physica (V. 215 b12-l 8) Aristóteleshabía establecido, como veremos, el pre-requisito de un sustrato o sustancomún a exceso y defecto que permita poner en relación, para equilibrarlosuno con el otro. Y ese punto de equ ilibramiento está fuera de toda relación/ra(aritmética) posible: ese punto seríaoudén, que, a diferencia del hueco en eltablero, queda fuera del campo numérico. Basten estas apresuradas consideranes para, al menos, justificar cierta reserva ante el recurso inmediato a ciemodelos supuestamente universales, como el de ‘ganancias/ pérdidas’ o ‘excdefecto’, que, sin embargo, sólo se utilizanad hoc. Sólo cuando esos modelos se piensan desde la mediación que suponen las diferentes culturas pueden, siexplicar, sí al menos presentarse entreverados con ciertas construcciones mmáticas o con su ausencia.

1 La ‘permutación' rilada se refiere a que, dada la proporción — = —.e n to n c e s = — B D B + D B

' La media geométrica, B, entre dos magitudes A y C, ha de verificar que A/B = B/C, de donde A • C = B2: la frontera de la justicia distributiva es la irracionalidad. Es decir, en caso de que V A . c sea inconmensurable (o irracional) la 'distribución' es imposible. Por otra parte, se dice que B es la media aritmética entre A y C si satisface que (A B)/(B C) = A/A, es decir, A B = B C y, en consecuencia, A = 2B C. Si el defecto de una de las partes (C) es mayor que dos veces la media de amba (2B), es la ‘corrección’ (A) la que ahora es indecible: la frontera de la justicia correctiva es lanegali- vidad.

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Para discutir las circunstancias en que pudo tener lugar el origen del ‘cero’ la matemática China, Martzloff (1988: 189-93) distingue tres posibles niveles los que puede hab larse de un ‘cero’:

Io) El cero en tanto que número con un sta tu s idéntico al de cualquier otronúmero.

2o) El símbolo que , escrito justam ente detrás de las unidades terminales un número, permite multiplicar este número por la base (i.e. el ‘cero’ de 10 en sistema de num eración de base 10).

3o) El símbolo pa rticular que permite identificar la ausencia de cierto ordde unidades (p.e. el ‘cero’ de 103).

El conocimiento en la China antigua de un cero en el prime r sentido lo decarta M atzloff, de entrada, aduciendo dos argum entos: a) nunca aparecen solucnes nulas en los problemas chinos, y b) "las matemáticas chinas no tienen cuenta un número cero que esté libremente sometido a operaciones como lotros números". A nuestro juicio, sin embargo, sí hay un ‘cero’ implícito en lreglas zheng fu . Un ‘cero’ que no sólo tiene "un sta tu s idéntico al de cualquierotro núm ero" sino que tiene una función estructural esencial: la de dotar a la mcolección de palillos zheng y fu de ese ‘status’ de número que al propio cero se leniega. Sin él, efectivam ente, el conjunto de esos caracteres ca recería de estructal no alcanzar la adición y la sustracción entre ellos el rango de ‘operacióinterna’. Ese hueco en el tablero al que aludewu funcionade hecho, com o veremos, com o ‘elem ento n eutro’ para la adición, dotando al conjunto de los núme zheng fu de lo que hoy llamam os ‘estruc tura de g rup o’ : {Z,+ }. No obstante, sentido del rechazo de Martzloff puede encontrarse en su discusión sobre lotros tipos de cero.

Tampoco habría, para este autor, rastro alguno de un cero de los otros doniveles, pues, aduce, hasta los ss. VII-VIII no hay constancia de ningún grafism

espec ial que pueda interpretarse en ninguno de los dos sentidos (salvo términos lenguaje ordinario, comokong, chu, ben, duan... que indican ‘vacío’, ‘ausencia’,‘com ienzo’...). En el capítulo 104 del "Tratado de astronom ía astrológica de la Kaiyuan" (713-742 d.C.), que es traducción de otros textos astrológicos de orighindú, se menciona el uso de un punto para marcar el orden vacío en la expresde un número. Y no aparece un cero circular, semejante en forma al occidentaal hindú, hasta el s. XIII. De lo cual concluye Martzloff el origen hindú del cecírculo chino, frente a quienes defienden su origen autóctono como deformaci

caligráfica de un cero-cuadrado que aparece en el s. XIII. Sólo a partir de los M(ss. XIV-XVII d.C.) se utilizará un ideograma especial para el cero: el caráctling, que significa ‘gota de rocío’ en el lenguaje ordinario que y aún se usa hcomo cero.

II.8. La cuestión del ‘cero’ en la matem ática china. Lugares que significan

100



Pero esta aparición tan tardía (tardía, no ya respecto de otras civilizaciones¡n0 —lo que es más relevante— respecto del propio desarrollo de la m atem átchina) de un carácter espec ífico para el cero acaso no se deba tanto a un retrasoel logro de su designación como a que tal designación fuera superflua, dadas lcarecterísticas de los num erales chinos y las de sus formas de cálculo. M artz loffsensible a esta posibilidad y acierta a reconsiderar los tres niveles apresuradam edescartados, por si acaso en alguno de ellos hubiera podido da rse un cero en forvirtual, esto es, como representación desprovista del carácter gráfico correspondiente. Sorprenden temente, ni siquiera menciona el hueco en el tablero para el cculo fartg cheng como un posible cero virtual, cuando, de todos los huecos, es eque mayor entidad y eficacia pose e1. Po r el contrario, sí aprecia el segundo tipocero, bajo forma virtual, en el "Clásico aritmético de Xiaou Yang ( Xiahou Yang

suanjing), escrito en torno al final de las Seis Dinastías (s. VI d.C.). En él se exp lique para multiplicar o dividir un número por 10, 100, 1000, ó 10000 basta chacer avanzar(jin) o hace r retroceder (fui) los palillos que representan ese núm erouna, dos, tres o cuatro posiciones en el tablero de cálculo. Si el número de ce(uno, dos, tres ...) que siguen a un dígito en la numeración indo-arábiga indicindirectamente el valor de éste (como decena, centena, millar...), en el cálculochino en el tablero ese valor posicional viene indicadodirectamente por el lugarque el dígito ocupa en d icho tablero. Por esta razón, este segundo tipo de ceroen China del todo superfluo.

El terce r tipo de cero, el que marca la ausencia de cifra en cierta posición inrior, también habría existido, siempre en forma virtual, desde tiempos remoto

Para Needham (1959: III: 9), "antes del s. VIII, el lugar donde se necesitaba cero se dejaba siempre vacante". Y pone los ejemplos de los procedimientos extracción de raíces y de los números representados en el "Clásico aritmético clos cálculos listos para su uso" ( Licheng suanjing), donde un número como 405, p.e., se escribe lili lllll. Martzloff, sin embargo, es escéptico también en este punel lugar vacío pudiera haberse dejado para que no se mezclen los palillos de órnes distintos, y sólo el contexto perm ite decidirse, en ese ejemplo, por 405 en lude hacerlo por 45. Pa rece, no obstante, que un aspecto como éste, que afecta aestructura mism a del sistem a de representación , no puede dejarse al albur del grde discriminación visual del copista o del lector. En el mismo manuscrito, lnúmeros 108 y 81 se representan , respectivamente, por I"fTTy por =k I .. Lo cu para M artz lo ff , contradic e la conje tu ra de Needham del cero-espacio, pueshueco que en el original queda entre el 8 de las decenas y el 1 de las unidad

1 Menos sorprendente es el total olvido de ese ‘cero' que veremos aparecer com o 5 6 como 10 (bajo congruencias módulo 5) en numerosos ‘cuadrados mágicos’. Como es bien sabido, la magia — y las equivalencias cosmogónicas, protocolarias, adivinatorias... a que esas congruencias dan forma numérica— y las matemáticas son disciplinas ajenas entre sf. Ya bastante tienen las historias dematemáticasexóticas con intentar homologarlas con las occidentales, como para andarse perdie ndo en ámbitos que — una vez etiquetados como supersticiones— pueden considerarse felizmente ‘superados’.

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— en el segundo número— es mucho mayor que el que hay — en el primer nmero— entre el 1 de las centenas y el 8 de las unidades. No obstante, a nuestro jucio, aquf es otra característica —y también de tipo posicional— del sistema drepresen tación chino la que viene a salvar esas ambigüedades. Si antes era la poción de un número en el tablero la que decidía su valor, ahora es la posición re pectiva de los palillos la que im pide ciertas confusiones. Al disponerse verticamente los palillos de unidades, centenas, etc. y horizontalmente los de decenamillares, etc. el 45 se representa como ^ lllll y nunca podrá confundirse con u405 representado por lili lllll, que en todo caso sí podría entenderse como 4000aunque el con texto seguram ente orientaría al copista o lector a decidir entre int pre taciones tan ale jadas entre sí. Asim ismo, J= I será 81 (o, si no, ya pasaría a s8001) sea cual sea el tamaño del hueco entre A y I; así como, por mucho que aproximen el I y el TJT, H ín o puede ser 18, que se representa por — UT.

La posición — de los palillos entre sí, de éstos en el tablero, etc.— respe c

tiva de los carac teres, sea n escritúrales o num erales, es determinan te en los sitemas gráficos de representación en Ch ina. Lo cual hace que m uchos de los crterios occidentales para juzgar el grado de ‘evolución’ de una técnica o um étodo resu lten aquí fuera de lugar, com o ocu rre con el caso del ‘ce ro’. Neeham subraya que concep tos como el dewei (usado pa ra las disposiciones de los palil los en el tablero, desde los Han hasta los algebristas Song) o el dedeng (‘rango’ u ‘orden’) eran fundamentales en China. Ellugar —y no el lugargenérico, el Espacio, sino el lugar concreto— tiene en China una funcióemblemática, está cargado simbólicamente, significa. Marcel Granet (196878-9)lo describe con entera precisión:

"Los chinos no tenían la menor inclinación a concebir, como dos mediosindependientesy neutros, un Tiem po ab stracto, un Espacio abstracto. Para alo

jar sus juegos de sím bolo s, prefe rían por el contrario conserv ar para las representaciones ligadas del Espacioy del Tiempo, con un m áximo de atributos concretos, una solidaridad favorable a la interacción de emblemas. (...) El Tiempoy el Espacio jamás se conciben independientemente de las acciones concretasque ejercen en tanto que complejos de emblem as solidarios, jam ás indepen dien

temente de las acciones que pueden ejercerse sobre ellos por medio de emblemas destinad os a singularizarlos. (...) Estos términos[zhe y fang] no evocan niel Esp acio en s í ni el Tiem po en sí. Zhe rem ite a la idea de circun stanc ia, de ocasión (propicia o no para una cierta acción); fang a la idea de orientación, delugar (favorable o no para tal caso particular). (...) Tiempoy Espacio se imaginan siemp re com o un conjunto de agrupam ientos, concretosy diversos, delugares y de ocasiones".

Un lugar vacío, como el de una cierta posición sin ocupar en el tablero, no e

pues, un no-lugar, una pura indistinción, como en Grecia , sino un hueco cualicado, un emblema, una cifra como cualquier otra. Es más, ese hueco es singulamente operativo si, como ocurre en el álgebra zheng fu , se le designa porwu, unwu del que dice Laozi (4. a-b):

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"Oquedad(wu) es elToo y en esa oquedad está sueficiencia o utilidad. Nuncase llega a colmar. Su profundidad parece serorigen de los diez mil seres”.

De su particular virtualidad operativa en el marco zheng fu , o en otros nomenos estrictamente m atemáticos, como es la extracción de raíces, nos ocupareen el próximo epígrafe. Sólo una valoración implícita del álgebra moderna occ ital como destino universal de todos los cálculos posibles puede llevar a afirmar"el dom inio por los algebristas Song de la notación tipo tablero de dam as era, cde hecho fué, un residuo aritmético que lastróel libre vuelo del simbolismo (...) Demanera que el auténtico éxito de los matemáticos Han al encontrar un m étodo gral para resolver ecuaciones numéricas puede explicar la ausencia posterior deteoría de ecuaciones. El sistem a posicional, ese gran método aritmético,entorpeció el simbolismo algebraico" (Needham, 1959: III: 9). Pero tal vez, como aquí venimos proponiendo argumentar, el simbolismo no ‘vuele libre’ — com o soñab paloma kantiana— por un cie lo algebraico neutro y universal, sino que ese ‘en pecim iento’ es condic ión necesaria de todo simbolism o: arraigo de lo sim bóliccada imaginario social, por el que se encuentra determinado y, a su vez, contriba determinar. El primer nivel de ‘cero virtual’, en el que Martzloff ni siquiera rees un buen ejemplo de ello. Desde los presupuestos de los matemáticos Han, cdesde los del taoísmo de Liu Hui, no es necesario ningún símbolo gráfico parael vacío signifique, para que lo que significa tenga "un sta tu s idéntico al de cualquierotro número", y para que ese significar induzca una estructuración cerrada y c pleta de lanegativ'tdad. La función dewu como ‘elemento neutro’ del grupo aditivo zhenglfu/w u es buen ejemplo de ello.

II.9. E stru ctu ra de ‘g ru p o ’ en el con junto zheng/fu /w u .El ser del no -ser(h>u ) chino

El ‘cero virtual’ del álgebra fan g cheng, ese hueco significante en el tablero,es, con toda propiedad, un núm ero como cua lquier otro. No po r atenerse a unavia definición de número, que no la hay en la matemática china, sino por su m aefectiva de actuar, de operar, de entrar en relación con los otros números.manera de concebir los matemáticos Han este número singular es relacionalsustancial, como, por otra parte, lo es la manera en que conciben todos los núros. Su cero-hueco podría definirse (a partir de las reglas 1.2.-. y 2.2.-. del cap8o de los "Nueve cap ítulos" y de su interpretación concreta en la resolución de blemas como los antes considerados) como ‘el no tener con que enfrentarse (rar: sumar/restar) los otros números/nombres’ cuando, no obstante, sí hanenfrentarse/operar con ‘algo’. La contradicciónevidente que este concepto encierra no será, sin embargo, obstáculo para un modo de pensar que no incluye esus a priori el principio de no-contradicción ni entiende los conceptos de un m oabstracto, separado del modo concreto en que actúan los objetos conceb idos1

1 Sobre la contradicción y la abstracción en la episieme china, véase más adelante.

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reglas 1.2-. y 2.2.-. salvarán esa contradicción teórica mediante una articula práctica que re sulta no sólo no contradictoria, sino clave para el cie rre coherde la que — sin este nuevo núm ero/nombre— no pasaría de ser una m era colecinarticulada de núm eros/nom bres zheng y fu .

Ciertamente, las reglas más generales (las 1.1.-. y las 2.1.-.) se refieren sólo a [números/palillos de] ‘nombres diferentes’ o ‘nombres iguales’, en cqu ier caso a ‘nom bres’, sean éstos zh eng o fu . Lo cual parece excluir un ‘ce ro’ quesi por algo se carac teriza es por no tener nombre(wu ru), como sin nombre es eldao [taoj. No hay signo num érico o colección de palillos que ocupen el huecoel tablero en que él consiste. Y la propia expresión literal con quealuden — que nole nombran— a él las reglas 1.2.-. y 2.2.-. recurre al términowu, que es una partícula estrictam ente negativa. El carácter , recogido por Lay-Yong y Tian-Secom o el carácter , que es el que reproduce Marztloff, son caracteres gramcalmente equivalentes (F. Mateos et al., 1977: 1062). Ambos se emplean, coveíamos, con un cierto con tenido semántico propio, en el sentido de ‘no ha y’ oex iste’ , o bien com o m eras partículas negativas equivalentes a nuestros ‘no ’ o o bien como sufijos privativos del tipo de nuestros ‘a-’ o ‘in-’ (asíwu jiang , ‘sinlímites’, ‘ilimitado’;wu xing, ‘no visible’, ‘invisible’).

La expresiónwu ru que u tilizan las citadas reglas alude, po r tanto, a la situación en que los palilllos/nombres/númerosno tienen a qué enfrentarse o con quéemparejarse; situación que Lay-Yong y Tian-Se sustancializan dando a esa m partíc ula gramatical la función sustantiva de una ‘nada’. Esta cierta sustantivasí atribuida awu, si bien fue rza su traducción en el aspecto estrictamen te lingüí

tico, trayendo awu a asemejarse a nuestro ‘vacío’ o aloudén griego, vierte fielmente sin embargo la sustantividad form al que esewu tienede hecho en las operaciones en el tablero.

Efectivamente, al carecer de nombre (wu no es nombre de nada, ni siqude ‘nada’), aquello a lo quewu alude parece quedar excluido no sólo del camponumérico sino del ámbito mismo de lo conceptual o concebible (recordemcóm o, para el m odo de pensar chino, el concepto tiene un carácter fundam enmente lingüístico). Por ello no le son aplicables las reglas generales que reglas operaciones entre [núm eros/palillos que sí tienen] nom bres, esto es, las re1.1.-. y 2.1.-. No obstante, esta omisión se repara inmediatamente con el enciado de las respectivas reglas 1.2.-. y 2.2.-. Estas enuncian cómo operar cohueco , o — más p ropiam ente — cómo operar cuando no hay con qué operar.reglas 1.2.1. y 1.2.2. dicen cómo sustraer de ‘nada’, cómo sustraer de dondno hay de qué sustraer. Las reglas 2.2.1. y 2.2.2. dicen cómo agrega r a ‘na da ’, cóañadir cuandono hay a qué añadir. Esta aparente parado ja se refleja en la propestructuración del conjunto de reglas zh eng fu , cuya perfecta simetría se rompe precisam ente al enuncia r unas reglas especia les para un caso particula r. Tan

en este sentido cabe decir que el status del cero-hueco es distinto al de los onúmeros, pues al carecer de nombre se hace necesario añadir las especificacique le permitan poder conjugarse con los otros nombres/números. El tablerocálculo funcionará de hechocom o un texto de cuyo sentido global ex traen el suyo

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zheng) se definen — a] igual que lo hacíawu — en las reglas que establecen su m odode operar con los demás: zheng (o fu ) y wu. La existencia, para cada elem ento deeste conjunto zhenglfulw u, de unelemento opuesto (i.e., que operado con él déwu) no sería sino un corolario de la regla 2.1.1.: "cuando los nombres son diferentes, tar", esto es, (+ n) + ( - m ) = + (n-m) [o bien, - n) + (+ m) = - (n - m)], de donen particular, (+ n) + (- n) = + (n - n) [o bien, ( - n) + (+ n) = - (n - n)]. Y sicierto que las reglas zheng fu no establecen explícitamente que el resultado de estaúltima operación [± (n — n) ] eswu, no lo es menos que resulta evidente para elmatemático Han, pues esa es precisamente la situación a la que, como de contirecuerda Liu Hui, se encamina todo el método: obtener huecos(wu) mediante sustracciones sucesivas.

Las reglas 2.1.1. y 1.1.2. son simétricas desde la perspectiva de que entambas sientan que sustracción y adición no son, en este caso, sino dos caras deuna misma ‘ley de composición interna’: la que literalmente se denomina en el texcomo‘ru' o ‘em parejarse con ’, pese a que la división del conjunto de reglas en dcategorías — una para cada ‘operación’— pudiera llevar a pensar otra cosa. regla 2.1.1. muestra que la resta es el otro nom bre de la suma "cuando los nomb[de los núm eros/pa lillos] son diferentes", pues en este caso, para efec tuar la suse ordena "restar". Simétricamente, la regla 1.1.2. establece que la resta, cuanlos nom bres son diferentes, no consiste sino en sumar. Por tanto, el conjunto denombres/números zheng y fu , junto al huecowu, dotado de la operaciónru, tieneestructura de grupo aditivo conwu como ‘elem ento neutro’1.

Wu, en la actividad de que le dotan las reglas 1.2.-. y 2.2.-., es com parab leun vidrio que actúa com o cristal o como espejo según se enfrente a una o otra cde la operaciónru. Si se enfrenta a la adición,wu es un cristal que re-produce lamisma imagen que recibe; si la cara que se le enfrenta es la de la sustracción,wu es un espejo que re-produce la imagen simétrica de la original. Los operadores para le lismo, sim etría e inversión, que vim os tan ligados a la propia estructura dlengua china y que veremos presidiendo todo este modo de pensar a través de categorías matrices del yin y el yang, rigen asimismo toda la concepción zheng!fu .

Presidían toda la articulación sintáctico-visual de la enunciación de las reglas, pueden verse unas en otras con tan sólo im aginar crista les/espejos colocados enellas de distintas maneras. Presidían la estructura formal que esas reglas engendconsideradas como axiom as, unos axiomas que han resultado ser los de un gruaditivo. Presidirán, como veremos, otras formas matemáticas de oposición, colas cong/yi, duo/shao, o los opuestos de Z/5 en los cuadrados mágicos. Y presiden

1 Esla interpretación de los objetos matemáticoswu. zheng y fu no fuerza su sentido primero, pretendiendo mostrar su 'modernidad' como ‘precursores’ del actual grupo aditivo de los enteros. Sencillamente, y al margen de toda interpretación progresista de la historia de las matemáticas, es la interpretación que se siguenaturalmente de situar tales objetos matemáticos como objetos lingüísticos enraizados en el contexto cultural chino.

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como presentamos a continuación, el modo de significar que esos términos téccos así acuñados tenían ya en el lenguaje ordinario.

11.10. Zheng y fu en el lenguaje ordinarioy en el imaginario cultura l chino

La importancia de atribuir el nombre correcto es capital para la epistemchina. Ya Confucio enseñaba que "para gobernar un Estado lo que se necesita, primer lugar, es hacer correctas las denominaciones". Como observa L. Vandmeersch (1980: II: 270), a diferencia del modo de pensar occidental, para el chi

"Los fenóm enos no se representan al espíritu por conceptos en los que estaríaimplicados sus carac teres esenciales, sino sólo por signos artificiales que son el no bre de las cosas (ming), por lo que la ciencia normativa del juicio se define como elmétodo de rectificación de los nombres(zheng ming)".

El análisis de los nom bres seleccionados por los matemáticos de los Han pexpresar esta forma denegatividad es pues, lejos de un excurso filológico, unasunto central desde el propio m odo de pensar chino.

Los conceptos sim étricos de ganancia/pérdida — apuntábamos — constiyen tan sólo una de las posibles parejas de opuestos que pudieran yacer bajoconcepción zheng/fu. Según el "Diccionario español de la lengua china", de F.

Mateos, el carácter ‘ f u’ ^1¡, (n° 1654), que tiene com o 7* acepc ión la de ‘negativo’ en física y en matem áticas (m odernas), sólo aparece en 6o lugar en su acción de ‘deber, adeudar, de ud a’. Otros significados suyos de m ayor rango son siguientes:

1° Llevar una carga a la espalda, soportar.2.° Ser derrotado, vencido.3.° Apoyarse, confiar en.4.° Contiguo, cercano.5.° Volver la espalda, violar, ofender.6.° Deber, deuda, adeudar.

Com ún a todos estos significados es el ser re-acción a una acción, cuya fuey orientación com pensan; el rem itir a una cierta positividad de la que fu es reflejo,sombra, contra-imagen o complemento derivado. Fu obtiene sentido propio comosentido inducido por el de esa presencia que, al invertirla, reproduce: el peso dcarga se dibuja negativamente en la espalda que la so-porta, como la victoria se templa invertida en la derrota, la fuerza de apoyo en la que ejerce aquello queapoya, el confidente en la confianza que acoge, el ofendido en la ofensa, o lo adado en la deuda. En todos los casos se da un juego de tensiones opuestas que, remándose, se compensan. Pero el sentido que fu parece encontrar, en un primermomento, fuera de sí, tampoco puede decirse que esté ‘ahí fuera’, asentado con

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meza en una positividad que encierra su propio sentido, del cual el de fu sólo senaun reflejo invertido. También esa positividad que en fu se refleja es, no menos, reflejoa su vez de la negatividad de fu . La carga no empieza a ser propiamente tal hasta queno dobla la espalda que la soporte, como la victoria tampoco lo es sin la correlat

— y necesaria— derrota. Aquí, el referente formal positivo exterior a fu también hade acud ir a su sombra para obtener sentido: sin suficiente sustancia propia él mismo,

también él reclam a a su exterior negativo para poder construirse ente ro1.Ese va-y-ven de remisiones de significado se expresa con perfecta simetría

la acepción d e /u com o ‘con tiguo’ o ‘cercano’. La relación de cercanía es del tosimétrica, en ellalos elementos en relación son del todo indiscernibles: A es tcercano a B com o B lo es a A, y viceversa. Bajo esta acepc ión, positividad y netividad son, exacta e indiferentemente, dos caras de lo mismo: la negatividad qmarca a A en su relación de cercanía a un B, tomado com o presencia previa y potiva, no es otra cosa que la propia positividad de A cuando, tom ado (lógicam en primero , actúa como referente form al respecto del cual es B quien resulta (lógimente) después cercano a A.

Pero la simetría de este primer momento dialéctico se quiebra, en usegundo m om ento (aunque sólo en un segundo mom ento), con una cierta asimtría formal que acusan las restantes acepciones: ‘A es derro tado por B ’ no es eqvalente — sino precisam ente opuesto— a ‘B es derrotado por A’. Y aqu í fu sím uestra un rango secundario, derivado de su referente dialéctico, el cual — si bnecesita de /u para cerrar su sentido— en cierto modo puede decirse que es anrior a él. La carga, ciertamente, sólo em pieza a ser carga cuando.un peso dob

una espalda, peroen cierta manera (decisiva en Occidente, sólo adjetiva enChina) ese peso es anterior a la espalda doblada. Esta asimetría secundarilatente tras la relatividad fundamental en que consiste fu , se confirma en el examen de su carácter complementario, el zheng, que en el contexto estrictamentematemático del fan g cheng es el que actúa como referente exterior a cuyo través

fu puede asociarse con ‘número negativo’.Antes de proceder a analizar el término zheng, es interesante observa r que las

dos formas gráficas con que se representan los núm eros/pa lillos/u en el tablerocálculo reproducen para la vista una imagen que evoca el sentido com partido pla mayoría de las acepciones coloquiales del término. Un palillo [de los númer

fu se dispone inclinado, como inclinado está quien lleva una carga a la espaldquien resulta vencido o se apoya en algo. Paralelam ente, los palillos zheng se colocan derechos, como ‘derecho’ es la acepción principal del término zheng en lenguaje ordinario. La otra posible distinción para esos palillos [de los números] fu está en su color negro, como sombra de e sa cierta anterioridad de que d isfruta sucorrelato semántico positivo, opaco en ese segundo momento en que es capaz guardar cierto sentido dentro de sí mismo.

1 El mismo lipo de dialéctica encontraremos en la pareja simbólica de opuestos yin/yang, de la cual — com o intentaremos mostrar — la pareja zlieng/fu no sería sino uno de sus posibles modelos.

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Efectivamente, el ca rácter utilizado para el nom bre/número zheng en el álge- bra fan g cheng es el (n° 319), del que el mencionado Diccionario ofrece lasiguientes acepciones:

1.° Derecho (ni curvo , ni inclinado), recto.

2.° Exacto, justo , preciso, correcto, recto, imparcial.3.° Tomar por norma.4.° Rectificar, enderezar, corregir.5.° Regular, normal, legítimo.6.° Principa l (la esposa , p.e.), titular.7.° Justamente, precisamente.8.° Puro (sin mezcla).9.° Anverso.

10.° Presidir, gobernar, jefe .

11.° Ejecutar (una sentenc ia); castigar.

Todas estas acepciones no parecen, en un primer momento, menos necesidas que las de /u de un correlato dialéctico del que extraigan sentido: lo derechse concibe sin referencia a lo curvo* (o inclinado), ni lo exacto sin lo inexactorectificar sin el errar, etc. Pero, por otro lado, destaca no menos el rango (lógicaxiológicamente) primero o superior de estos significados respec to de sus corrtos dialécticos, que así aparecen como derivados, subordinados o segundos:curvo (o inclinado) se subordina a — y deriva de— lo recto (o derecho) com oexcepcional a lo normal, lo híbrido a lo puro, o el gobernado al gobernante.

En la medida en que fu , en su contexto algebraico, actúa como opuesto osimétrico de zheng, recibiría entonces como connotaciones derivadas (respecto dlas acepciones de zheng antes enum eradas) las de: 1. inclinado, curvo; 2. inexactoincorrecto; 3. excepciona l; 4. erróneo ; 5. irregular, anorm al; 6. secundario; 7. intamente; 8. impuro (con mezcla); 9. reverso; 10. ser gobernado, dirigido; 11. r bir un castigo. Y, en efecto, alguna de estas connotaciones derivadas coincidenhecho con acepciones directas de /u ; así ‘inclinado’ (derivada) y ‘llevar una caa la espalda’ (directa), ‘ser derrotado’ y ‘ser gobernado’, ‘reverso’ y ‘volverespa lda’, etc.

En este sentido, los valores — lógicos, morales, jurídicos ... — atribuido zheng ofrecen notables semejanzas con buena parte del lado positiv o de la tabla pitagórica de los opuestos. Según Aristóteles ( M eta physic a: I. 5, 986*22-26), allíse oponen, como veremos, curvo (kampylon) y recto (eythy), múltiple(plithos) y

1 Sobre la carga cultural que determina lanaturalidad del orden de prioridad entre ‘lo derecho’ y ‘lo curvo', o entre el ‘rectificar' y el 'curvar', véase nuestro "Del recto decir y del decir ‘recio’" (E.Lizcano, 1991a), donde se comparan la razónsioux y la razón académica moderna en sus intentos por

justificar la prioridad de uno sobre otro. La razón china parece estar, en este punto, más próxima a la occidental que a la sioux, salvo en los matices que se precisan más adelante.

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uno (hén), malo (kakón) y bueno (agathón), izquierdo (aristerón) y derecho(déxion), oscuridad (s&o/oj) y luz(phds), femenino(thély) y masculino(árren), móvil(kinoúmenon) y estático (Sremoüi), par(ártion) e impar(perittón), indeterminado (ápeiron) y determinado(peras), oblongo(heteromékes) y cuadrado(tetrá-

gonon). Tanto para la razón pitagórica como para la china de los Han, la polarid

recto/curvo pa rece regir una serie de oposiciones en las que los términos asociaal primer polo se cargan positivamente y negativamente los que se vinculansegundo. Pero, observado esto, inmediatamente es necesario prevenir contra simple trasposición de valores (lógicos, ontológicos o culturales) basada en mesemejanzas semánticas — como las que pueda haber entre ‘derecho(zheng)l doblado(fu)’ y ‘recto(eythy) / curvo (kampylon)’— o en suposiciones axiológicasque den por universales lo que tan sólo son valores locales.

Así, veremos cóm o las oposiciones pitagóricas condenan, salvo excepcional no ser de la in-determinación a todas las asociaciones negativas: laoscuridad

impide el discernimiento y definición que la luz, al dibujar perfiles y límitesaportará, trayendo las cosas a ser: alumbrándolas1; elmal llega, con Sócrates, aidentificarse con ignorancia o incapacidad de discernir y distinguir, al tiempo toda la obsesión socràtico-platònica por perfilar los contornos de la definicióntiene otro objetivo que el de alcanzar el bien; loaristón es lo que se sitúa a laizquierda, y también tanto lo absurdo o fuera de razón (Sófocles, Ayante, 183)como lo siniestro o de mal agüero; lo femenin o, tras la progresiva sustitución enGrecia y Creta de las primitivas teocracias matriarcales por aristocracias militma sculinas, se percibe asim ismo com o amenaza de indistinción para los contoraún im precisos de una recién conquistada identidad m asculina2.

En cada caso, al permanecer implícito el carácter positivo de la determición, no cabe oponerle una determinación negativa, sino la falta de toda de ternación, el abism o ind istinto de la maldad, la oscuridad y el no ser. Por el contrala determ inación también positiva que caracteriza al polo zheng en el sistem a chinode oposiciones se com plem enta —que no se anula como tal determinación— eopuesto fu . En fu no se bo rra la de term inac ión , sino que se mantiene, aunque invetida, como determinación negativa, como re-acción a la acción que ejerce zheng.

Por decirlo m etafóricamente, el negro de los palillos fu no confunde los palillos enuna oscura indistinción sino que introduce distinción y número en la oscuridadel otro lado. La espalda doblada no está menos determinada que la carga que dobla, es más, está precisamente determinada por la magnitud de esa carga. Aligual que la deuda no es sino determinación negativa del crédito otorgado, o lo a

1 Véase, p.e., Aristóteles, De Anima. III, 5. 430 a 10 y ss. sobre la analogía en ire la luz y el nous ‘que se hace todas las cosas’. O la contraposición plátónica entre conocimiento y opinión en

términos de visión y ceguera, en República, 508d 518a. La metáfora de la luz será para Heidegger la que presida toda la metafísica occidental [véase L. Amoroso, "La ’Lichtung’ de Heidegger como lucus a (non) lucendo", en G. Vattimo y P.A. Rovatti (cds.) (1988)].

* Véase la interpretación en este sentido de buena parte de la mitología griega en R. Graves (1967), en especial pp. 11 26.

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yado lo es del apoyo. La oposición zhenglfu no lo es, pues, de una positividad quese resuelve en una nada (oscuridad, vacío, mal) contra la que, al oponérsele, define, sino de una positividad que se determina en su negac ión, en la que encutra no sólo sentido sino también medida. No menos de lo que esa negatividviene,a su vez, a determinarse también en su negación, que es la co-relativa po

tividad.Por esta razón —y esto es capital— se confunden en Grecia dos formas negatividad que en C hina aparecen bien diferenciadas, y aqu í parece estar una dlas principales claves de la em ergencia de unanegatividad formal en este m odo de pensar. Para la episteme china/u es determ inación negativa (tan dete rm inada co¡a determinación positiva de zheng) mientras que es enwu donde se concentralocalmente toda indeterminación. Pa ra el imaginario griego ambas formas — deminación negativa e indeterminación local— se resuelven en lo informe de umisma indeterminación, ya sea la indefinición de loápeiron, la nada indistinta demédén o deoudén, o lo amorfo de lasleiponía eide (‘formas ausentes’) diofánticas.Por esowu, en China, al encontrarse acotado o localizado entre dos formas ddeterminación — positiva y negativa— , puede perm anecer indeterminado de umanera bien determinada.Wu es aquí eleje o centro sobre el que pivotan las dosformas fundam entales, negativa y positiva, de determ inación (que enwu se anulanrecíprocamente y desde él se engendran también la una a la otra) en lugar de pcibirse como esa indistinción que, en Grecia, continuam ente amenaza al ser co pérd ida de las determ inaciones (positivas) en que el propio ser griego consiste

por eso también, habiendo distinguido — dentro de la indis tinción— entre determinada negación que eswu y la determinación negativa que establece fu , pueden ahora ambas actuar e incluso interactuar. Si Aristóteles no podía concerazón alguna que pudiera poner en relaciónoudén con arithmós, la matemática

fang cheng, en cam bio, no sólo está en condiciones de poner en razón los ‘respetivos’wu y zheng, sino de ponerla también entrewu y fu .

Para el álgebra instrum ental china, ni ‘ce ro’ es una pura indiferencia inma ja ble ni la ‘magnitud negativa’ es ese "aún menos que nada" que, para Pas(1976: 68), no otra cosa sino ‘nada’ puede ser:

"Trop de vérité nous étonne (j’en sais qui ne peuvent comprendre quequi de zéro ote quatre reste zém); les premiers principes ont trop d ’evidence pour nous."

El recurso a los ‘primeros principios’ permite resguardar en ellos postuladtan ‘dem asiado ev identes’ que resultan falsos con sólo alterar las referencias esciales o temporales. El ‘cero’ zheng fu no es esa especie de mínimo absoluto, acuyo contacto todo se desdibuja, y por debajo — o a la izquierda— del cual nes ya pensable com o algo porque ahí ya toda identidad se diluye: "si de cero se tan cuatro, lo que queda es cero". Más bien se asem eja esewu a la barra que une ysepara, equipara y distingue, a la propia pareja zhenglfu; es com o el eje de simetríaque, indeterminado, distribuye las determinaciones a derecha y a izquierda, e

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anverso ( zheng) y el reverso(fu) de lo m ismo: ese eje de simetría que la matemáticaoccidental e stablecerá cuando, separando espacio de representación y objeto repsentado, construya las ‘coordenadas cartesianas’.

Otro punto en el que se rompe la aparente semejanza entre las oposicione zheng/fu y las pitagóricas está en las muy distantes valoraciones que una culturaotra atribuyen a los términos enfrentados. La preem inencia en Grecia de lo estáto perm anente frente a lo m óvil o m udable, no encuentra eco en el imaginario ctural chino. El hombre chino cree en el movimiento tanto como el griego en reposo. La naturalidad del movimiento que expresa el principio de inercia es tevidente en China1como penoso fue el proceso para su formulación por la físide tradición griega; así como las curvas cuya definición exige el recurso a conderaciones dinámicas son de difícil aceptación en la comunidad matemátigriega. Tan prob lem a central es para la razón griega dar cuenta de la mutación ycambio como para la china explicarse la estaticidad y la permanencia: "lo úninm utable es la mutación", reza una vieja m áxima china, y hasta el clásico de clásicos, elYijing, tiene por título el de "Libro de las mutaciones".

En consonancia, la va loración positiva de la norma, la regularidad, y la rectud sobre la anomalía, la excepción o la desviación — movimientos todos ellos r pecto de la estaticidad de la norm a— tampoco encuentra correlato en China. Aqla atención a lo singular y excepcional prima sobre la búsqueda (que se revelcomo construcción) de constancias y regularidades. Para Needham (1956: sec. 18), esta ‘escasa m otivac ión’ del espíritu chino para indagar las leyes denatura leza se debe a la ausencia de culto a un dios antropomórfico que previame

hubiera legislado su funcionamiento. El sentido de la inferencia podría sin duinvertirse, y dar en cifrar en la falta de interés hacia las leyes y regularidades dnaturaleza la ausencia de motivación hacia un dios regulador. Pero en cualqucaso, como concluye Nakayama (1981: 730), "la orientación hacia lo regular yorientación hacia lo extraordinario" caracterizan las respectivas investigaciontradicionales, europea y china, en los ámbitos de la alquimia o de la astrologComo tam bién distinguen, de un m odo más general, los objetivos de ambas maras de pensar: "en la tradición clásica occidental hay un vivo deseo de encajar cfenómeno en una sola caja; aquéllas no asimilables al modelo así formado rechazan. En la tradición oriental, jun to a la caja en que se agrupan todas las pieregulares, hay muchas otras en las que pueden irse clasificando las irregularides." Así, las matemáticaswasan japonesas, por ejemplo, exacebarán esta tendencia sobrevalorando aquelllas resoluciones de problemas que lo seanad hoc, nogeneralizares. Acaso exagere Marcel Granet (1968: 476) cuando declara que "me limitaría a caracterizar el espíritu de las costumbres chinas por la fórmula:Dios, ni Ley", pe ro ese espíritu sí muestra una sensibilidad bien alejada de las cnotaciones que las otras acepciones citadas de zheng pudieran evocar a través de la

dualidad pitagórica: la asociaciación, intrínsecamente positiva en O ccidente, d

1 Véase J. Piaget y R. García (1982: 232).

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recto con lo co-recto (sea en el ámbito delderecho, de la moral o del conocimiento), con el di-rigente o las di-rectrices ( en política o metodología), conregularidad, la destreza, la regencia, etc.

Otro tanto puede decirse de la oposición masculino/femenino, como apunE. M. Chen (1969: 401):

"Tanto elTao Te Ching como los pitagóricos identifican lo femenino con loindeterminado, vacío, oscuro, ilimitado, y sin forma. Pero en elTao Te Ching lofemenino es el origen del movimiento, la vida y la unidad de las cosas, mientrque para los pitagóricos era la fuente del mal, la corrupción y la multiplicidad.Los pitagóricos identifican lo masculino como la causa de la forma y del ser (el sviene del ser); elTao Te Ching atribuye la causa del ser a lo femenino (el ser vienedel no-ser)".

En resum en, frente al m odo de pitagórico de oposición — que, con todo, esmás próximo al m odo de pensar chino en toda la tradición griega (como lo es ta bién su numerología)— , la polaridad zheng/fu se distingue radicalmente de él enque: Io) opone determinaciones (positivas) a determinaciones (negativas) en toal juego de simetrías/inversiones que hace posible la concepción de una nada (operativa; 2o) distingue entre negación de determinación (wu) y determinacinegativa{fu), que la epistem e griega, a nuestro juic io, no discierne; y 3°) no arrastla asime tría con que el imaginario social occidental carga las valoraciones —cas, políticas, gnoseológicas, ontológicas,...— de cada uno de los términos en o

sición, con lo que la simetría formal viene así a verse reforzada por una simede honda raíz cultural.

II. 11. O tros m odos denegaíividad form al

Aunque nos hemos detenido especialmente en el modo zheng/fu de negatividad, por ser el más completo y significativo, no es sin embargo una formulaciaislada en la antigua matemática china. Ni siquiera es propiamente la primemergencia de estas formalidades negativas, que aquí proliferan ciñéndose en ccaso a un tipo de problem as o de técnicas particulares. El primer testimonio deempleo del término fu en un sentido estrictamente matemático se encuentra en latablillas de bambú descubiertas en Ju Yan1. En una de ellas se registran los castiaplicados a un soldado por su negligencia en el servicio en la frontera a que estdestinado. Cada castigo corresponde a una falta, que se de talla y pondera, segúngravedad, desde uno hasta tres:'fu yi su an' (‘un cargo’, ‘menos una cuenta’ o ‘unacuenta f u ’) expresa el valor de una falta normal. La lista de cargos que se le imp

tan es la siguiente:

1 Véase L. Lay-Yong y A. Tian-Se (1987: 235-6).

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negativo", esto no se refleja así en las reproducciones del tablero donde se resueste problema.

En cualquier caso, la pareja de nombrescong/yi parece reservarse pa ra referirse a los datos del problema. U na vez que em pieza a desencadenarse el algori‘de Homer’, las referencias a esos mismos ‘coeficientes’ o ‘lados’(lian) ya seránen términos de la pa reja de nom bres clásicos zhenglfu: el ‘coeficiente negativo dex3’ o ‘borde superior negativo’ se llama fu shang lian, el ‘borde positivo’ zheng lian, etc. Y son estos bordes, ahora marcados como zh eng o como fu , los que — yaen el curso de las operaciones numéricas— operan entre sí con vistas a ‘destrumutuamente’(xiang xiao ), en el mismo sentido en que lo hacían en el álgeb ra/an#cheng. Ocurre, pues, como si los diferentes nombres —que nosotros traducimunívocamente por ‘positivo/negativo’— se ciñeran de tal modo a la situación ccreta que quieren significar que , al variar ésta, hubieran de cam biar también e para poder designar apropia damente la nueva situación.

Esta conjetura parece abonarse con la aparición de otra nueva pareja de no bres — duo/shao — en la época del em perador Kangxi (nuestro s. XVII). Los intetos de los misioneros de introducir el álgebra europea en China tropezaban dificultades no sólo terminológicas sino también simbólicas e instrumentales. para el cálculo con polinomios idearon un sistema, al que llamaron jiegenfang (de gen — raíz — y fan g — cuadrado), que recuerda al álgebra de loscosistas del renacimiento europeo y es notablemente inferior a los procedimientos utilizados los algebristas de los Song (sólo permitía tratar con polinomios de grado reduy con una sola variable). En la gran enciclopedia matemática, elShuli jingyu n, quese redactó a finales del reinado de Kangxi (en nuestro 1.723), las parejas de optos zheng/fis y duo/shao se utilizan con independencia la una de la otra, según econtexto del método en el que aparecen. La primera se usa tan sólo en el contdel clásico fangcheng, m ientras que la segunda se reserva para el recién construid

jiegenfang. C omo observa M artzloff (p. 65), no hay la menor "perspectiva globlizante que venga a unificar el concep to común del que unos y otros eran portares". En la matemática china emergen diversasnegatividades, como si el pensarcada situación concreta bajo una categoría pre-conceptual denegatividad fueraalgonatural.

Por otra parte, si el análisis semántico de la pareja zhenglfu permitía establecer una neta correspondencia entre su uso en el lenguaje o rdinario y en el estrmente matemático, sin em bargo no parece ocurrir otro tanto con la parejacong/yi. El término'cong', que Qin Jiushao em plea para los ‘números positivos’, en su ushabitual tiene el significado principal de ‘partir de’, ‘originarse’, etc., por lo puede traducirse también por la preposición ‘desde’. Aunque en la lengua chactual este significado se ha desplazado hacia la sustantivación del punto de tida, el chino clásico le reservaba un significado activo, indicando con él la ac

misma de partir, de deja r atrás ese punto de partida. Esta cierta positividad, a lase opondría bien la idea del regreso o bien la de llegada, se confirma en la seguacepción del término: ‘dirigir’, ‘gobernar’. En esta acepción,cong es sinónimo de zheng, que también significa ‘presidir’, ‘gobernar’, ‘jefe’. Cabría, pues, espe

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que la negatividad del ‘ser gobernado’ — mediante la qu e/« invierte la orienta positiva del ‘gobernar’ de zheng — se alojara también de algún modo en y i, en tantoque opuesto acong. N o obstante, aquí se nos escapa qué tipo de evocación hubie podido mover a Qin Jiu shao para seleccionar >7 como nombre opuesto acong, puesen lenguaje ordinario y i se em plea com o los verbos ‘añadir’, ‘aum enta r’, ‘acrecentar’, o como los adverbios ‘más’, ‘aún más’. Y tanto estas acepciones comosecundarias — ‘utilidad’, ‘enriquece rse’— no sólo no parecen oponerse a n ingde las decong sino que a lo que sí se oponen es a las evocaciones más — occidetalm ente— inmediatas denegatividad, como serían ‘quitar’, ‘disminuir’, ‘menos’,etc. Quede siqu iera señalada esta perplejidad.

Con todo, lo que im porta resaltar es que en la matemática china no sólo afuna forma denegatividad sino varias. Una proliferación tal denegatividades formales no puede ex trañar si se tiene en cuenta que el modo de pensar chino proccom o señala Granet, por correspondencias y analogías entre campos diversos no'Dbstante, mantienen su irreductible singularidad, en lugar de llevar a cabo ssivas reducciones de elementos comunes en un proceso de abstracc ión que des boca enel concepto com o algo sepa rado e independiente delo concebido. El hom bre chino no actúa de otra manera cuando hace matemáticas. M artzlo ff (pp. 69no atribuye esta actitud alhumus cultural en el que indaga Granet sino a motivosestrictamente didácticos. A la retórica imperativa propia de la argumentaceuclídea (modelos fijos y universales de demostración quehay que respetaren cada caso) el matemático chinó opone una retórica persuasiva, que arraiga enconcreto y se desarrolla a partirde cada caso. Así, se distinguen los siguientes

m odos típicos de argumentación en m atemáticas: a) por comparación (de un ble m a con otro), b) por analogía (para calcular la ra íz cúbica se evoca el cálcula raíz cuadrada), c) paso de lo particular a lo general a través de un prob lema e plar, d) uso de procedim ientos empíricos (determ inación del volumen de la esmediante pesadas sucesivas), e) procedimientos heurísticos (como disecciogeom étricas), f) recurso a medios de com unicación no lingüísticos (manipularzas de un puzzle, mirar una figura, etc.). Allí donde el pensamiento axiomátdeductivo tiende a la unificación por vía de abstracción, el pensam iento analógheurístico propende a la dispersión por medio de co-relatos y co-relaciones. textos clásicos de la ma temática china son ricos en metáforas, evocaciones ysiones a otros textos literarios. Tanto la emergencia de varias negatividades entintos contextos como la ausencia de un formalismo unificador de todas ellas ponde a esta tendencia general de la episteme china, al tiempo que manifiestaclara inclinación a pensar — también en m atemáticas— bajo criterios de oposi

El sustrato pre-matemático del que emerge esta profusión denegatividades debe buscarse en las primeras manifestaciones de la cultura china. Los propiostos matem áticos, y en particular aquéllos donde se formulan los modos denegati

vidad considerados, no cesan de dirigir explícitamente la atención hacia ellMartzloff (pp. 246-7), aunque poco amigo de excursiones al exterior del discmatem ático, señala el origen taoísta y neoconfuciano de los términos básicosTianyuan shu, el ‘arte de la primordialidad celeste’, que puede traducirse com

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‘arte de la incógnita’ y ‘equivaldría a’ nuestro álgebra. En los textos de los al bristas de los Song y los Yuan no hay ningún cará cte r especial (abreviatura , s bolo) para las distintas incógnitas ni sus potencias, que se suponen im plícitas e posición que ocupan sus respectivos coeficientes en el tablero de cálculo. Un pnomio del tipo ao+a,x+a2x2+ ... +a„x” se asemeja más bien, en notacióntianyuan, a nuestra expresión moderna: (ao, a^ a2, . . . , a„). La incógnita{yuan) está así siem pre ausente aunque presente en todas panes, es como el ‘gran uno’ o la ‘unidad mordial’(yuan yi) con que suele hacerse referencia aldao [tao]. La incógnita,como para Laozi (21b) eldao, es algo "oscuro y luminoso; en su oscuridad es lum inoso porque en su interior están las formas" aunque él es "sin forma". El otro mino de la expresiónTianyuan — eltian — se usa para el térm ino independiente yevocaría asimismo otra noción del pensamiento clásico que podría traducirse co‘masa de energía que contiene en sí misma un principio de o rganización’.

El Yijing [I Ching] es —como veremos—• uno de los más potentes focos sim

bólicos para la construcción de lanegatividad, en cualquiera de sus formas. Lasreferencias a él son también constantes en los textos donde se construye lanegatividad matemática. Liu Hui, en su introducción al Jiu zhng suanshu, donde seexpone por primera vez la estructura zheng/fu, se propone"analizar los principios (xi li) por m edio de form ulaciones verbales, (...) de m anera que quien lo lea puentendermá s de la mitad (si guo han)". Pues bien, en tan sólo cuatro líneas hay dosreferencias literales a los clásicos. Como observa Martzloff, la primera expreses de Zhuangzi [Chuang Tzu], uno de los padres del taoísmo, y la otra pertenecYijing. A simismo Liu Hui acusa notables influencias del neo-taoísmo de la épode los Tres Reinos.

El primer capítulo delShushu jiuzhang , donde encontram os la parejacong/yi, lleva el nombre dedayan, que significa ‘el gran desarro llo’, y hace referencia a unmétodo de adivinización delYijing. Para Martzloff, preocupado habitualmente pormarcar distancias entre una supuesta específica racionalidad matemática y oformas de razón (que así pasan a serlo de sinrazón), "se constata con facilidad pese a su nombre , es'te métododayan no tiene nada de irracional"1. Ciertam ente,la única relación quea primera vista se observa entre tal capítulo y el método adivinatorio del mismo nombre está en que el primer problema que propone aq plantea una cuestión de adivinación análoga a las tratadas por elYijing. Pero razones de carácter sociológico y, más am pliamente, cultural permiten sospechar detajante escisión entre ‘ciencias exactas’ y ‘falsas ciencias’, entre una racionali pura, que vendría a alo ja rse ejemplarm ente en las matemáticas, y una serie de cionalidades circundantes, como las que se encontrarían en las artes adivinator

Po r un lado, como el mism o M artzloff (p. 21) apunta, todavía en la épocalos Song es indiscernible el hacer matemático y el de otros saberes que —sdespués, y desde Occidente— serán tenidos por irracionales: "en la China de

1 J. C. Martzlofl (1988: 145). Sobre la'irracionalidad 'delYijingvéase más adelante, en partic-ular el diagnóstico de C.G. Jung sobre su inequívoca ‘salud mental'.

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Song, quienes estudian astronomía y matemáticas no podían no ocuparse t bién, al mismo tiempo, de técnicas esotéric as". Efectivamente , los reglam esobre la enseñanza de las ciencias del cálculo en la Universidad del Estadredactados entre los años 1.102 y 1.106— establec ían que «todos los alumdeben estudiar los problemas de los "Nueve capítulos", el "Gnomon" de los Z(...) así como las obras d^ cálculo de calendario, de adivinación y de astrolastronómica». No es fácil imaginar a una misma persona, pensando desde mismas categorías, con un sólo cuerpo de conceptos, procediendo a unas m iactividades operatorias (m anipulación de palillos)... pero distinguiendo cuánhace racionalmente y cuándo irracionalm ente. M ás allá de una mera ‘transfecia de vocabulario’ (que ya de por sí conlleva un inev itable transporte de sent pare ce ra zonable conje tu ra r un mismo m odo de pensar que proyecta una mcarga de racionalidad/irracionalidad cuando se aplica a actividades y estuasociados entre sí.

Po r otro lado, como también observa M artzloff (p. 63), la ausencia de ténos técnicos en la matemática china obliga a ésta a recurrir sin cesar al lengnatural, cuyos términos y estructura importa el discurso matemático con todcarga de ambigüedad, de particularidades y de presupuestos implícitos. Los tnos m atemáticos chinos son, efectivamente:

"...términos de uso general cuya multiplicidad de empleos y connotaciosobrepasa de largo un marco que uno de buena gana imaginaría rigurosamente mitado, antipolisémico, como corresponde a una matemática constituida. Liu H

sus sucesores rechazaban establecer compartimentos, como si la realidad pudacotarse mejor mediante conceptos intuitivos, ambivalentes, multiformes, variaaparentemente más portadores de sentido y de posibilidades de acción. La actchina se acerca en esto al vitalismo bergson iano” .

El trasvase de sentidos entre la lengua natural y el discurso matem ático, fmeno común a todas las culturas, tiene especial incidencia en unas matemáque, como las chinas, eluden las definiciones técnicas, los conceptos abstraCarencia (o propiedad) que acusan los propios matemáticos, como Liu Hui cuconfiesa la dificultad de em itir un juicio sobre elméXoáo fangc hen g por carecer de‘palabras vacías’(kong yan), es decir, de térm inos abstractos. De ahí la importancia de los contextos para ceñir el sentido, en lugar de la precisión conceptualen la tradición occidental, dibuja los contornos del significado como queriencerrarle, al igual que encerradas en sí mismas se supone que están las esenclas que ese concepto remite. De ahí también la tarea de exégesis y com entariomanentes propia de los pensadores y matemáticos chinos, que a una mirada dental poco avisada se le pudieran antojar enzarzados en una escolástica em p

nada en un mero trasiego de nombres.De esta radical permeabilidad de la matemática china a la lengua y, a suvés, a toda la carga simbólica del imaginario cultural chino, no vamos a desaquí sino aquellos núcleos que hubieran podido alentar más directam ente la e

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gencia de los distintos modos denegatividad en m atemáticas. En particular, el formalismo simbólico delYijing y las elaboraciones taoístas en tomo a la tema y in /

yang/dao.

JI.12. La oposición, categoría central del "Libro de las mutaciones"

El Yijing [/ Ching, Yi King]' o "Libro de las mutaciones", en ocasiones tenidocomo el texto más antiguo de la humanidad2, en su versión más primitiva estexto sin palabras, un texto de puros signos. Sólo dos rasgos elementales desendenarán toda una gramática desde la cual, con el tiempo y las distintas interprciones, se irán diciendo y haciendo los más variados ámbitos del mundo chiEstos rasgos(gua [kua]) son una línea continu a y otra pa rtida , que dis puestas en grupos de tres dan lugar a los 23 = 8 trigramas:

Nombre Cualidad Imagen Familia

-------- qian [ch’ien], lo Creativo Fuerte Cielo Padre

------ kun [k’un], lo Receptivo Abnegado Tierra Madre

= = zhen [chen], lo Suscitativo Movilizante Trueno1er hijo

-- ------ gan [k’an], lo Abisal Peligroso Agua 2o hijo

— — gen [ken], el Aquietarse Quieto Montaña 3" hijo

--------sun [sun], lo Suave Penetrante

MaderaViento, Ia hija

-------- li [H], lo Adherente Luminoso Fuego 2* hija

-- --------- dui [tui], lo Sereno Regocijante Lago 3a hija

Estos 8 trigram as elem entales son los que, agrupados ordenadamente de 22, dan origen a los 82 = 64 hexagram as que propiam ente constituyen el texto

1 Se incluyen entre corchetes las romanizaciones con las que suelen ser más conocidos los títu-los o los términos. De sólo haber una, se trata de la romanización Wade Giles. Como de costumbre, la que mantenemos es laPinyin.

3 La elaboración de los trigram as parece proceder de los ss. IX a! VII a.C., aunque el sisteadivinatorio del que derivan acaso sea de antigüedad mayor. Las más tempranas glosas a los hexagra-mas que han llegado hasta nosotros se remontan a los ss. VII y VI a.C.

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Yijing. "En su origen, el I Ching es un libro sin palabras; es una sucesión finita designos no idiomáticos con significados infinitos: un perfecto sistema algebraidice D. J. Vogelmann en R. Wilhelm (1982: 12). Se trata, por tanto, de un teradicalmente polisémico, abierto a una infinidad de interpretaciones, la primde las cuales parece que tenía una función adivinatoria. Posteriores lecturas ido precipitando en las versiones y comentarios que constituyen lo que habimente se conoce como elYijing. "Sesenta y cuatro dibujos, los hexagramas, com ponen por sí so los el verdadero texto delYi King; todo lo demás no es más quecomentario, amplificación, leyenda para ayudar al desciframiento de los emmas adivinatorios" (Granet, 1968: 145).

El significado de cada trigram a1deriva del carácter — continuo o partido—las líneas que lo componen así como de su disposición respectiva. El de chexagrama, a su vez, está inducido por el de los dos trigramas que integra, poordenación, por el de ciertos trigramas interiores y por el de' aquel hexagramque éstemuda por inversión de sus líneas ‘viejas’. Estas transformaciones de citas líneas en sus opuestas (las continuas en partidas y viceversa) tienen lugar determinadas circunstancias en las que su carácter está excesivamente acentuo — como dice R. W ilhelm (1982: 64)— están tan "poderosamente cargadoenergía positiva o negativa" que se ponen en movimiento hacia su opuesto. confiere al hexagrama una tensión capaz de hacerlo mudar en otro, expresandel tránsito de una situación a otra, la evolución de un cierto estado de cosa‘mutación’ (vi[i]). "Al suplantarse mutuamente los trazos firmes y los blandosurge la modificación y la transformación"2.

Es de destacar que, al margen'de cualquier interpretación, y —en cierto tido— antes que todas ellas, elYijing lo que articula es un com plejo sistema formalde puros significantes. Si por algo no cabe calificarlo, como hace Vogelmann‘perfecto sistema algebraico’ no es tanto por su imperfección formal cuanto poexcesiva complejidad, que lo hace difícilmente inscribible en ninguna de las eturas algebraicas occidentales modernas. En cualquier caso, se trata de un sis pre-literario y pre-conceptual3, capaz por tanto de generar y articular distintocursos según los significados que se atribuyan a sus significantes y el sentido qconfiera a su dinámica; un sistema que dará origen a las imágenes, símbolos, ceptos’ y relaciones fundamentales que instituyen la episteme china clásica.

La primitiva exégesis china, al atribuir la redacción delYijing a personajes míticos como Fu Hi, enfatiza su virtud fundacional del modo de pensar chino. Efecmente, no sólo es la matriz de saberes hoy tenidos por seudociencias — como e

1 Las interpretaciones que se distribuyen en la página anterior son posteriores al ‘texto origi-nal’, integrado por tan sólo los signos de los trigramas de la primera columna. Estas interpretaciones son las recogidas por Richard Wilhelm (1982: 63).

2 Ta Chuan, El Gran Tratado. 11.2, en R. Wilhelm (1982: 375).3 R. Wilhelm (1982:71) constata que los ocho trigramas llevan nombres que no se usan en

ningún otro contexto en la lengua china antigua, descartando la posibilidad de que tales nombres cor-respondieran a ideogramas o criptogramas antiguos.

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vinatorio, el mágico o el moral— sino también de las formas más ‘homologablefacionalidad china. En particular, es el crisol donde se firaguá su pensamiento culativo, ajuicio de buena parte de sus estudiosos. Para P. Demiéville e Y. Herv(1980: IV: 313), "con estos textos oscuros y casi intraducibies —hasta tal puntovocabulario técnico en nuestras lenguas— estamos ante las fuentes vivas de lasofía china (...) Casi todo el vocabulario filosófico chino se remonta al ‘Libro dMutaciones’". "ElYi-king, con sus comentarios y sus apéndices, constituye la infrestructura de la metafísica china", según N. Vandier-Nicolas (1978: 240). Esta iestructura se edifica sobre tres categorías básicas: la de oposición, la de mutuao reciprocidad de los opuestos, y la del tránsito o mutación entre ellos.

En el escueto cifrado delYijing ya está implícito el nudo de la dialéc tica ‘positivo/negativo’ que ahormará la episteme china y permitirá aflorar, con todanaturalidad, las variadas formas de negatividad matemática. En su versión ancestraYijing era un libro-oráculo que contestaba a las preguntas previamente formula

La disposición en que quedan unos palillos de aquilea (los mismos que manlos matem áticos) lanzados por el consultante se traduce en la figura prec isa dede los 64 hexagramas, cuyo com entario sugiere una respuesta al interrogantecia l1. Esta respuesta era, en su formulación más primitiva, un mero ‘sí’, reprtado por un trazo largo, o un ‘no ’, que se representaba por un trazo partido enProgresivamente se habrían ido com binando entre sí estas respuestas elemental tiempo que las interpretaciones y los usos se van extendiendo hasta artictodo un sistema para la comprensión del m undo. El rasgo característico que rencia a este sistema tanto del occidental como del hindú lo expresa R. Wil(1977: 41) con una concisión que ahorra mayor abundamiento:

"Detalle característico y diferencial del p ensam iento chino es que, en tanto que en Europa se toma co m o pu nto de partida el ser puro, en C hina éste e s aprendido en su m utación. Se trata de una actitud intermedia entre el budismo y la filosofía o cc i-dental del ser. El budismo, que reduce toda existencia a mera forma fenoménica, y la filosofía del ser, que en tiende éste c om o la auténtica realidad oculta tras la aparien-cia del devenir, constituy en , por así decir, dos con cep cion es antitéticas."

Para el esencialismo griego, como veremos en detalle, la oposición (aunla de oposición tam poco es categoría principal en su modo de pensar) se da el ser y el no-ser, sea éste como — impensable— ausencia de ser o com o difciación posit iv a del ser (‘ser esto y no lo otro’ o ‘ser estomenos una parte su ya’).Desde tales pre-concepciones se hace muy difícil pensar algunanegatividad que pueda asociarse al ‘cero’ o los ‘números negativos’. El fenomenismo hindú, p

1 Es digna de mención la exploración a que C.G. Jung sometió alYijing. Instado el libro a responder com o si de un paciente se tratara, sus respuestas llevaron al discípulo de Freud a diagnosticar que "si un ser humano hubiese dado tales respuestas, yo, como psiquiatra, habría tenido que declmentalmente sano (...); no hubiera sido capaz de descubrir ningún elemento de delirio, idiotez o esquizofrenia en las cuatro respuestas"[véase elPrólogo de Jung en R. Wilhelm (1982: 21 42)].

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contrario, niega cualquier esencia tras el engaño de la apariencia, su ámbito edel no-se r1. La episteme subyacen te en elYijing se sitúa entre ambas, afirmando louno y lo otro, más aún, lo unoen lo otro, lo que Juan de M airena llam aría la ‘esencial heterogeneidad del ser’. Desde aquí, una dialéctica como la zheng/fu no serásino uno más de los m odelos en que se expresa esa categorización primordial.

La conciliación de contrarios que postula elYijing se da, según R. Wilhelm, enel transcurso del tiempo: "la idea fundamental del ‘Libro de las Mutaciones’ es antítesis y síntesis son generadas en y por el tiempo". Sucesión y alternancia sonformas de dinamismo. No es necesario, sin embargo, entender que esta conciliacocurra en el tiempo. Num erosos análisis la consideran más bien com o constitutivtodo un sistema de correlaciones y convergencias sincrónicas. En el extremo, CJung llega a interpretarla incluso como una negación del principio de causalidcomo un modo de pensar bien diferente del que en Occidente liga entre sí el ‘entonlógico, con el ‘entonces’ empírico y con el ‘entonces’ temporal2. Cada hexagram

diría así del sucederse de los momentos sino del entramado en que se teje el mom(en el que se obtiene tal hexagrama) y que hace de él algo único. No es la con-seccia la que otorga sentido sino la co-incidencia, no el trans-currir sino el con-currirla causalidad sino la casualidad: "exactamente como la causalidad describe la seccia de los hechos, para la mentalidad china la sincronicidad trata la coincidencia dhechos"3. Seguramente lo más ajustado sea entender en ambos sentidos el juegooposiciones que despliega elYijing, un juego de modulaciones sincrónicas y diacróni-cas que, en su alternancia y convergencia, disponen una manera de entender el ecio, el tiempo y las situaciones, un modo de pensar cuya expresión teórica más elrada se formula en términos de la dialéctica yin/yang/dao.

11.13. El complejo simbólico yin/yang como matriz preconceptual.Su huella en el campo numérico

Aunque en ninguno de los comentarios canónicos que engrasan elYijing aparecen exp lícitamente los términos yin /y ang 4, éstos se fundieron pronto con la opo

1 Un análisis del singular tratamiento del ‘cero' y de los ‘números negativos’ en la obra de Bra magupta(fl. 628 d.C.) y de Bhaskara (1114 —ca. 1185) desborda el marco de este estudio, si se pre-tende contextualizado y riguroso. La mejor fuente accesible para ello es H.T. Colebrooke (1817), que contiene versiones críticas a partir del sánscrito de la obra de ambos autores.

‘ La expresión catalana ‘a les hores' es una elocuente manifestación de tal asociación.3 C.G. Jung en R. Wilhelm (1982: 25). Véase también al respecto R. Wilhelm y C.G. Jung

(1961) y C.G. Jung Y J. Pauli (1969). Sobre los conceptos próximos de 'causalidad reticulada' y ‘cau-salidad sincrónica' en el modo de pensar chino, véase asimismo J. Needham (1959: II: 288).

4 Véase R. Wilhelm (1982: 68). Para este autor, el origen de ambos términos estaría en la denominación común de cada una de las dos laderas de una montaña o de las dos vertientes de un río; la una — yin — oscura y fría, y la otra — yang — luminosa y cálida. En el "Comentario para la Decisión" (Tuan zliuan) se habla de ‘lo firme' y ‘lo blando' en lugar de ‘el yin' y ‘el yang'. Y sólo aparece ya un uso formal de estos términos en el "Gran Tratado"(De zliuan). de marcada influencia taoísta.

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sición formulada en los trazos de aquel texto. Las claves de interpretación r proca que entre ambos se aportan parten de la equivalencia entre, por un ladotrazo co ntin uo y el yang, y, por otro lado, el trazo partido y el yin .Como origen de ambos conceptos se han sugerido elaboraciones teóricas prodentes, según unos u otros estudiosos, de los más diversos ámbitos técnicos. propia tradición china rem onta su construcción al discurso astronómico, apoydose en su mención en un calendario de la época de los Reinos Guerreros (s.a.C.); la oposición/alternancia de los días y las noches, las estaciones del año (cálido, húm edo/seco), los puntos cardinales, etc. estarían entonces .en el origela concepción yin /yang. Para otros, este origen habría de buscarse en la teoríamusical, basada en la acción concertante (diao) de sonidos disonantes y sordos (o bien, de notas graves y bajas) con sonidos limpios y puros (o bien, notas agudaltas); éste es, p.e., uno de los temas preferidos de Zhuangzi [Chuang tzuTchouang-tseu] (ca. 369-286 a.C.), uno —junto a Laozi [Lao Tse] (s. VI o s. V

a.C.)— de los dos grandes maestros taoístas. La hipótesis que sitúa la génesiestos términos en el discurso adivinatorio los emparenta directamente conYijing, pues am bos aparecen repetidamente en el Xic i [Hsi t ’zu, Hi t'seu], pequeñoglosario adjunto alYijing que, por su profundidad filosófica, se atribuía habitualmente a Kongzi [K’ung tse, K’ong-tseu o Confucio] (¿551-479 a.C.?). Un insmento habitual entre estos adivinos constaba de unas fichas que tenían una cconvexa{yang , masculino, sa liente) y la otra cóncava(yin, femenino, hueco). Asimismo se encuentran referencias a la pareja yin /y ang en otros ámbitos, como enantiguos topónimos, en fórmulas rituales, etc.

La propia diversidad de los lenguajes especializados a los que se quiere a buir su acuñación, junto a la proliferación de dichos y proverbios antiguos dose mencionan, parece abonar la tesis de Granet de que los ‘conceptos’ yin /y ang forman parte esencial de la sabiduría popular; que, forjados por la razón común chhan venido a instalarse en el centro de su episteme, desde donde pasan a vertetodas las ramas del saber. A semejanza de lostopoi griegos, en tom o al complejosimbólico y inl yang se teje la urdimbre de preconceptos desde los que la razóchina se desencadena, pero — precisamente por ello— sobre los no sabe dar raz

En el Xic i, una de las más antiguas formulaciones de la dialéctica yin /yang reza así:

"yi yin yi yang zhe wei dao"

lo que suele traducirse como:

"Una vez yin, una vez yang , eso es el Dao [Tao]"

o bien:

"PrimeroYin, despuésYang, eso es el Dao"

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Estas versiones prim an la dim ensión temporal, el carácter cíclico y alternandel yin /yang. Grane t (pp. 104 ss.), sin embargo, considera no menos legítimas traducciones como:

"Aquí yin, all(yang, eso es elciao”

o bien:

"Un lado yin, una lado yang, eso es eldao"

En éstas últimas, por una parte, la supresión de las mayúsculas intenta resténfasis a las interpretac iones occidentalizantes del yin /yang en términos de Sustancias, Fuerzas o P rincipios, para acentuar más bien su carácter deaspectos o lados de lo mismo. Al m ismo tiempo que, por otra parte, pone el acento en una interptación espac ial o sincrónica exp resada en las oposiciones ‘aqu í/allí’ y ‘por un la/ por el otro lado’. La concurrencia de estos opuestos se articula sobre undao queentonces se asimila a la sincronía detong [t’ong] (‘interpenetración mutua’),mientras que eldao sobre el que pivotan los opuestos ‘una vez / otra vez’ y ‘primero/ después’ evoca más bien la idea diacrònica debian [pien] (‘alternancia’).Ambas lecturas, no obstante, bien pueden tenerse por modos de una tercera mlacónica y radical:

"Un yin, un yang, eso esdao"

Esta ambivalencia (o, más bien, solidaridad) espacio-temporal1puede aprciarse en cuantos aforismos antiguos ponen enjuego ambos términos, como p.e.los temas musicales de Zhuangzi: "primero/aquí agudo, después/ allí grave". Amaspectos se integran y complementan en otro párrafo del Xici, donde la puertacerrada se asocia a lo femenino com o yin (la mujer —interpreta Granet— se mantiene en el interior de la casa y es en el interior de su cuerpo donde aloja al embriy la puerta abierta evoca lo masculino como yang (el hombre se expande y produce,se exterioriza): "una (vez) cerrada, una (vez) abierta; es el ciclo de la evoluc

[pien]: un va-y-ven [wa/i£lai] sin término, es la interpenetración mutua[t’ong]". Aquí la puerta es la imagen de un objeto único capaz de presentar dos aspectodisposiciones en el espacio, pero también dos estados de movimiento que se d pliegan en el tiempo. Fijado el tiempo, los dos opuestos concurren en ‘interpeneción mutua’; fijado el espacio, discurren en un vaivén o alternancia. No se tra pues, de decid ir entre una lectura espacial o una temporal, como tampoco result pertinente para elYijing. La dialéctica yin /yang se dispone en un espacio-tiemposolidario, es sucesión y contraste, recurrencia y concurrencia3. Como gusta de re

1 Véase E. Lizcano (1992b).La imagen de la puerta abierta/cerrada no menciona, pero presupone, el gozne que permite

esa oposición , al tiempo que la articula: eldao.

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tarse últimam ente, y ya Needham (1972: 10) había apuntado, es posible que el psamiento chino antiguo m antuviera una concepción del espacio y del tiempo se

jante a la que proporc iona la teoría de la relatividad, que "hayan captado algo que nosotros llamaríamos uncontinuum espacio-tiempo universal, en cuyo interiorcoexistirían un núm ero infinito de espacios-tiempos particulares, y que hayan crque el universo debía presentarse de modo bien distinto a diversos espectado

según la posición de cada uno respecto a la totalidad".Ante esta polisem ia manantial de lo yin ly ang, Granet opta por tomarlos como

emblemas o rúbricas cuya cifra m arca todo el modo de pensar chino. Su interpretación en términos de ‘fuerzas’1, ‘principios’, ‘sustancias’ o modos de la ‘materaunque se trate de concep tos ajenos a la especulación china, son posibles perolo agotan. Lo yin ly ang abarca éstos y otros modelos posibles, si bien es a su vezmás concreto que estas abstracciones. No se trata de un concepto abstracto y mal, sino de un m anantial simbólico capaz de suscitar en cada caso imágenes cisas que evocan aspectos antitéticos, contrastantes. Para los sabios pueden serentidades antagónicas; para los adivinos, los dos principios de toda mutación; plos astrónomos, dos categorías cosmogónicas; para la sociedad china, en genedos complejos simbólicos altamente eficaces y siempre concretos que gobiertanto el pensamiento como las más diversas costumbres de la vida social2.

Uno de los ámbitos donde esta pre-concepción tiene implicaciones decisi — y, en particular, en lo que a la em ergencia de lanegatividad matemática serefiere— es en el ámbito lógico (o mejor, pre-lógico) donde se asientan los criteque deciden qué se va a tener por una ‘clasificación’. La divergencia entre Gry China en tom o a ello ma rca sus diferencias sobrela diferencia (y, en particular,sobre la resta)', determina por qué en un caso el ámbito de lo numérico se va movernecesariamente dentro de la posit iv id ad, en tanto que en el otro caso va adisponerse, simétrica y simultáneamente, en categorías opuestas. Para el penmiento occidental el criterio que rige toda clasificación descansa, como vereen detalle, en un encajonam iento jerárquico de géneros y especies. Lasdiferencias específicas van marcando la gradación de sucesivas especificaciones que defilas clases y subclases en que consiste la clasificación. Esta cadena de ida y vu

1 Esta interpretación del par yin/yang como fuerzas opuestas conduciría ‘inmediatamente’ al álgebra vectorial, la cual — para el caso de la recta real — llevaría a su vez a la oposición entre ‘números positivos’ y ‘números negativos’. El ‘cero’ de la recta real sería el origen de los vectores, gozne que articula vectores opuestos y punto en el que éstos se compensan. No obstante, aunque el vectorial es sin duda un modelo del 'sistema yin/yang', no se construye como tal en el pensamiento chino, ni hay razones para conjeturar que fuera a través de una interpretación de este tipo como cons-truyeran los matemáticos de los Han el álgebra zheng fu. No forzaremos aquí, por tanto, este camino.

2 Véase la exce lente descripción de Granet (1968: 119 122) sobre los rituales de las fiestas campesinas en la China antigua, donde los criterios para la división/encuentro entre los grupos de sexos, la caracterización de los lugares, los mitos y refranes evocados, los tiempos elegidos, y multitu de otros determinantes manifiestan la operatividad de esta oposición/concurrencia de contrarios/soli-darios anclada en lo más profundo del imaginario simbólico chino. La razón última deelloestaría, asu juicio, en que "en los tiempos en que se formó la concepción delYin y del Yang (...) el orden social descansaba, no en un ideal de autoridad, sino en un principio de rotación".

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de progresiva especificación descendente (de los géneros a las especies) y corre pondiente abstracción ascendente (de las especies a los géneros), es del todextraña a la ep isteme china. Aquf es la polaridad de los emblemas yin y yang la que preside y mueve cualquie r disposición clasificatoría. El principio que rige cuqu ier clasificación de un todo se funda en la distinción inmediata de dos aspecsimétricos que, oponiéndose, concurren y, concurriendo, se oponen. Ladiferencia

no ex-trae (o sus-trae, o abs-trae) el género del interior de la especie1sino quemarca la distinción entre opuestos: no se m ueve en el espacio posit ivo de una sustancia que se especifica sino — como indica Granet (1968: 117-8)— en un espadual de simetrías que se reclaman:

"[los términos yin y yang] forman a la vez una pareja deactividades alternantesy un agrupamiento bipartito de formas alternadas. Presiden la clasificación de todaslas cosas. Los chinos, en efecto, han conseguido organizar su pensamiento sin pocuparse verdaderamente por construirespecies y géneros. Se contentan con varias

reparticiones de base numérica2 y dotan, si así puede decirse, a la simple biparticde un poder soberano en materia de clasificación".

La razón de este proceder está tanto en la eficacia de la dualidad con quopera el complejo yinly ang, que alcanza también a operaciones formales elementales com o la de clasificación, como en la aversión china a construir conceptos atractos, a los que ne cesariamente ha de recurrir cua lquier criterio clasificatorío qactúe en términos de géneros y especies:

"Los chinos no encuentran el menor placer en clasificar por géneros y especiEvitan pensar con ayuda de conceptos que, alojados en un Tiempo y un Espacio atractos, definen la idea sin evocar lo real. Frente a los conceptos definidos, prefielos símbolos ricos en afinidades" (Granel. 1968: 125).

Esta actitud mental expresa — y se expresa en— las propias características la lengua china: "Leyendo chino — sugieren E. Fenollosa y E. Pound (1977: 34)no parece que estemos haciendo malabarismos con fichas mentales, sino q

vemos lascosas llevando a cabo su propio destino". Frente alcierTe

y al límite queimpone toda de-fin-ición, el modo de pensar chino dispara el juego de las a-fin-ides. Frente a la linea lidad axiomático-deductiva, prefiere la concurrencia de sem

janzas, sim etría s y oposic iones. Frente a la univocidad de los conceptos clarodistintos, la po lisemia y las resonancias. Frente a la autoconsistencia de las sustcias, la interdependencia de los aspectos antitéticos. Frente a la estaticidad aucontenida de los sustantivos, la transitoríedad evanescente del sustrato verbal q

1 Véase epígrafe III.6.* La distinción occidental entre los usos de los números como cardinales, ordinales o meras

marcas distributivas es de importancia muy secundaría en China. La función del número es, siguiendo a Granet (1968:1 27 248), eminentemente ‘protocolaria’.

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se haya presente hasta en las partículas gramaticales más in-significantes. Paracitados autores, en la lengua china, "las relaciones son más reales e importanque las cosas que por ellas se relacionan" (p. 50); por ello, "dos cosas unidas producen una tercera cosa sino que sugieren una relación fundamental entre el por ejemplo , el ideograma para ‘comensal’ es un hombre y un fuego" (p. 35).

Com o observa Feno llosa (p. 42), es notable que toda la precisión que la cicia occidental busca en los sustantivos se vuelva absoluta imprecisión en el acmiento del significado de los verbos. La capacidad de significación de éstos haa alojarse casi por completo en unos sustantivos inertes. Hasta el punto de quverbo central del pensamiento occidental, el verbo ‘ser’, se convierte en el sustivo por excelencia, el ‘ser’. En chino, el verbo principal que correspondería‘ser’ tiene el significado activo de ‘tener’, y un análisis de los rasgos de su idgrama remite a "coger con la mano algo que está en la luna".

Al entenderse la dialéctica yinlyang en un sentido tan distinto tanto de la dialéctica de esencias como de la oposición entre ser/no-ser, el ámbito del núm podrá desplegarse en China a ambos lados de la barra en lugar de verse constrea uno sólo: el del ser y sus especificaciones. La ‘determ inada multitud de un idaque define al número griego nace ya en China con la marca de la oposición ade em pezar a desencadenarse en ‘los diez mil seres’. Así, según Laozi (42a):

"El Tao engendra al Uno, el Uno engendra al Dos, el Dos engendra al Tres, el Tres engendra los diez mil seres. Los diez mil seres llevan a sus espaldas elYin yen sus brazos alY a n g y el vapor de la oquedad2 queda armonizado".

Al desencadenarse del número, de lo múltiple, no le es extraña, por tantooposición, sino que incluso le es propia, pues ella marca emblemáticamente tforma de número, de multiplicidad, que así se encuentra llevando ‘a sus espaal yin y en sus brazos al yang '. El número que suscita el complejo simbólico y in / yang es naturalmente un número/nombre zheng/fuJ, un número/nombre yi/cong, un número/nombreduo/shao... Y esta misma variedad de denom inaciones — según la actividad m atemática concreta en que cada uno de estos modos de nega

1 En esta imagen, la contraposición 'espaldas/brazos' manifiesta netamente el carácter sincrónico con que en este caso se considera la oposición yin/yang que viene a reforzar; enfatiza el carácter de ‘lados’ o ‘aspectos’ opuestos en que in mediatamente se reparte cualquier forma de multitud o número.

2 El carácterqi [ch'ij, que C. Elorduy traduce por ‘vapor’, está compuesto por los caracteres elementales del arroz y del vapor (que se supone despide aquél al cocerlo). La evanescencia de la imagen qi se refuerza con la dechong [ch'ung] ( ‘oquedad’), para venir a sugerir aquello — ¿el ‘cero’?— en que se resuelven los opuestos. La identificación que lleva a cabo este autor (en Lao tse / Chuang tzu, 1977: 130) con el pneunia de los es toicos no puede dejar de parecer forzada, sobre todo cuando lo que viene a armonizar el ‘vapor de la oquedad es la acción concertame de los opuestos yin y yang.

3 Es de notar la proximidad semántica entre esta caracterización de yin com o algo que los diez mil seres ‘llevan a la espalda' y la principal acepción de fu en el lenguaje ordinario: 'llevar una carga a la espalda’. A lo que se añade la correspondencia entre las respectivas subordinaciones jerárquicas: el rango secundario, derivado o inducido que apreciábamos en fu respecto a ziieng, es el mismo que tiene

yin respecto a yang: "El yang llama, el yin responde".

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dad emerge (álgebra fangcheng, extracción de raíces, técnicas jiegenfang ...)— es buena muestra de esa eficacia concre ta y polisémica del comple jo sim bólico yin / yang. Éste, al actuar com o paradigm a generador de m odelos formales particulareno actúa a modo de un principio rector abstracto, en el que se reducen las diferecias, sino como actividad sim bólica concreta. No ordena el Tiempo y el Espacsino los m om entos y los lugares. No se aplica com o concepto — delimitado y uvoco— a los agrupam ientos. numéricos, sino a las singulares m anipulacionesad hoc con que los matemáticos hacen frente a ciertos problemas.

La pu janza de este complejo simbólico salva las fronteras que en Occidenirá levantando una compulsión sui generis por la compartimentación de los saberes. El rigor que proyecta sobre las prácticas matemáticas se extiende tambiénotras configuraciones formales que no se tienen por tales: conocimientos míticocosmogónicos, alquímicos o adivinatorios. También imbuirá en estos ámbitestructuras formales, com o la de grupo, que la episteme griega no podrá con strni siquiera en el ám bito del saber que mas llega a formalizar, el del álgebra geom

trica. En ésta, la percepción espacial del número com o extensión no puede ser s positiva, no negativa ni nula . Lo cual hace im posible la construcción de númeopuestos en torno a un elemento neutro que caracteriza a la estructura de grupcomo será la que vertebre el espacio simbólico que definen los llamados ‘cuaddos mágicos’ que habitualmente m aneja la sabiduría popular china.

11.14. C ua dra do s m ágicos, pensam iento analógicoy congruencias algebraicas

Incluso los que pudiéramos tener por números ‘positivos’ están afectados eChina po r disposiciones alternantes, por oposiciones recíprocas, por o rientacioncontrapuestas. La disposición lineal abstracta, progresiva, de orientación úni(1,2,3,4,5,...), que es la imagen que preside en Occidente la concepción de la senumérica, se sustituye en el modo de pensar chino por una disposición cíclicconstituida por parejas contrapuestas que se hacen presentes en un espacio-tiemconcreto. Granet (1958: 151), tras el análisis de tres antiguos usos de la serie numrica en tres contextos diferentes, ofrece el siguiente cuadro comparativo:

VERANO

P IR 7 N1 8 5 9 VM 6 IA EV. R.

OTOÑO

FUEGO

M MA 2 ED 3 5 4 TE 1 AR LA

AGUA

SUR

7 0E 2 ES 8 3 5 4 9 ST 1 TE 6 E

NORTE

Yue ling H ongfa n Ho t ’ou

de los Song

128



La analogía entre los distintos contextos (estaciones, elementos físicosorientaciones) se basa en la congrue ncia m ódulo 5 dé los números que etiquelos objetos asociados. Por ejemplo, la asociación entre agua, otoño y norte,exp resa en la cong ruencia entre sus cifras respectivas (1 = 6 (5), es decir, _ 5 = 1). M ediante este expediente, la serie num érica podría contin uar despgándose indefinidam ente, pero no en línea sino en cruz (com o lo hace en el cdrado Ho t ’ou). En esta disposición, 7 (ó 2) y 6 (ó 1) se oponen entre sí, comtambién se oponen 8 (ó 3) y 9 (ó 4), y como lo hacen los ‘aspectos’ de los son emblem as.

También en el Xic i encontramos una oposición de este tipo. Gracias a la distinción entre líneas fijas y móviles, las líneas fundamentales(yin, par) y ------

(yang, impar) se desdoblan cada una en otras dos: elviejo yin y el joven yin , que tienen por números respectivos el 6 y el 8 (ambos pares), y elviejo yang y el jo ven

yang, a los que corresponden respectivamente el 9 y el 7 (ambos impares). Las o

siciones cruzadas de la figura anterior enfrentan así alviejo yang (9) con el joven yin (8), y al joven yang (7) con elviejo yin (6). En la práctica adivinatoria antigua seconsideraba que las líneasviejas, cargadas en exceso, eran mudables pues tendían atransformarse en sus opuestas. Para interpretar estas líneas debía recurrirse acomentarios del duque de Zhou y considerar el hexagrama resultante de con-vel 9 en 8 y el 6 en 7. Una vez más, la oposición es in-versión y con-versión de trarios, interpenetración de facetas o aspectos encontrados pero reversibles.

En esta disposición en cruz de nom bres/números opuestos, el 5 juega un pasingular. Situado en la encrucijada, separa a los opuestos al tiem po que es a trsuyo como éstos mudan entre sí. El 5 hace posible la distinción al establecesimetría, pero también perm ite el tránsito, la operación e interacción entre losnos alternantes/enfrentados. Él, por su parte, eje de simetría, carece de simét(o, lo que es lo mismo, es su propio elemento simétrico); dispone un juego delno participa. No puede de jar de asociarse ese 5 con lo que — hoy y aquí— llaríam os el ‘elem ento neutro ’ o ‘ce ro’ del grupo aditivo Z/51. Las clases de cgruencia (distintas del ‘cero ’) de Z/5 están representadas en cada una de las rade la cruz; la clase [0] se representa en su encrucijada3.

La semejanza parece acabarse aquí, pues las clases opuestas en Z/5 nocorresponden con las ramas que se enfrentan en el espacio simbólico de la cPero esto sí ocurre en otras disposiciones simbólicas no menos clásicas, que su presentarse bajo la fo rm a de cuadrados mágicos del tipo:

1 Z/5 = ([IJ ,[2],[3],[4],[5] ). Cada uno de los cinco elementos o clases del conjunto Z/5 est formado por todos los números congruentes módulo 5 con el que da nombre a la clase; asf [1] = = {1,6,11,...) , [2] = (2,7.12,...) , etc. Y [5] = [0] = {0,5,10,...).

2 El diagrama Ho t'ou de los Song se ofrece, en su versión más antigua, no con caracteres numéricos sino con cuentas redondas. En su centro está el 5 rodeado por el 10 [10 E5 5 EE 0 (5)] . Y los redondeles que constituyen cada número son negros o blancos según ese número sea, respectiva-mente, yin (par) o yang (impar). Aquí, como ya ocurriera también con la pareja zheng/fu, los colores sirven para marcar ambos opuestos.

129



SUR SUR

NORTE NORTE

(a) (b)

El cuadrado (a) pasa por ser1el más antiguo de cuantos se conocen. Segúntradición, habría sido com unicado a los hom bres por una tortuga del río Lo qulo dió al mítico Yu el Grande, fundador de la dinastía de los Hia. Yu, para organel mundo, lo fué recorriendo, y la etapa que nom bra/numera cada número cor ponde así también a las orientaciones y a las estaciones2. En este cuadrado Lo zhou, los cuatro enfrentam ientos posibles (dos en la cruz principal y otros dos en la cformada por las diagonales) sí se corresponden con las oposiciones enZ/5. Esdecir, - [7] = [3], puesto que [3]+[7] =[5] = [0]; y análogamente - [9] = [ 1 ], -[6] -= [4] y -[8] = [2]. Otro tanto ocurre con el cuadrado mágico (b) si sus emblemnuméricos se asocian ahora a clases deZ/63.Ambos cuadrados son pues ‘equivalentes ’ a los que podríamos escribir como:

SUR SUR

ESTE

+ 4 - 1 + 2 0E - 5 + 2 - 3

+ 3 0 - 3ES S

- 4 0 + 4

- 2 + 1 - 4TE

TE + 3 - 2 + 5

OESTE

NORTE

(a)

NORTE

(b)

1 D. J. Struik (1963). Para mayor información sobre distintas interpretaciones y usos de estoscuadrados simbólicos véase también M. Granel (1968: 127 248).

' El complejo espacio tiempo aparece míticamente con fundido desde los com ienzos, y a él

remitirá también la con fusión china de los caracteres nominal, cardinal y ordinal de los números con que ese complejo se nombra, numera y enumera.5 Con la salvedad de que aquí no estaría representado el grupo completo, por la ausencia de una

c lase .

130



Ya en la época de los Han, Zheng Xuan lleva a cabo una exégesis rac ionaldel cuadrado (a) en términos de ciertas asignaciones num éricas con las que sequetan los distintos trigramas. El criterio será ahora genético, según el ordenque los trigramas se suceden unos a otros. El punto de partida es la clasificac o, mejor, bipartición— del conjunto de los trigramas atribuida al legendarioWen, fundador de la dinastía Zhou. Esta bipartición se basa en la interpretac

num érica más exten dida en C hina para las líneas delYijing, que acude a la oposición elem ental par/impar. El núm ero 2 (primer par) se asocia a la barra disconua, la Tierra, lo fem enino, lo v/n; el 3 (primer impar) a la barra con tinua, el Clo masculino, lo yang '. Como caracteres elementales y primeros números, refle

jan la inm ediata escisión de la unidad en la pare ja fundamenta l de opuestos ‘Mediante la suma de los números asociados a cada línea se obtiene otro númcuyo ‘aspecto ’ — par o im par— le asigna una u otra de las dos clases opuestala bipartición fundamental:

YIN (par) YANG(impar)

Kun Quian------ (2) Madre o ------- (3) Padre--------- (2) Gran Yin (6) ------- (3) Gran Yang; (9)------ (2) ------- (3)

Hi ------- (3) (3) - - (2) - - (2) ------- (2) ------- (3) Hi

jas ------- (3) ------ (2) ------ (3) - - (2) ------- (3) - - ( 2 ) jos(8) ------- (2) (3) ------ (3) ------- (3) - - ( 2 ) ------- (2) (7)Sun Li Dui Zhen Gan Gen

Zheng Xuan va disponiendo los trigramas según el orden en que se suceunos a otros. Empezando porGan (1), el ciclo sigue por Kun (2), por Zhen (3) y porSun (4), para rem ansa rse en el centro en un 5o mom ento — al que no se asitrigrama— y proseguir porQian (6), Dui (7), Gen (8) y llegar a Li (9), donde

vuelve a reposar en un 10o mom ento en el centro para reanudar el ciclo de nueindefinidamente.Este orden de su cesión co rresponde a una alternanc ia de yang (los trigra

mas de ordinales 1,3,6,8) y de y in (los trigramas 2,4,7,9). Tras cada trigrama yang (cuya suma de líneas es impar) viene uno y in (cuya suma de líneas es par) y vic eversa. Esta a lternancia (te m poral) es la que se dispone (espacmente) en el cuadrado mágico (a), cuya espacialidad antes que merameextensional es simbólica. En el cuadrado, como veíamos, se enfrentan

opuestos en Z/5 (9 y 1, 7 y 3, 8 y 2, 6 y 4), que se corresponden con los

1 Véase M. Granel (1968: 131, 154 ss.).

131



gramas que se co nsideran opue stos entre sí 1. Adem ás, en el espacio sim bóldel cuadrado, puede observarse una bipartición de los trigramas:

4 9 2

3 5 7

8 1 6

mediante la cual los que quedan por encima de la ‘diagonal principal’ son los yin (2,4,7,9), mientras que los que quedan por debajo son los yang (1,3,6,8).

En este espacio simbólico el 5 vuelve a jugar un papel singular. En el simblismo aritmético chino, el 5 marca el papel central o una prioridad jerárquica

el cuadrado de Zheng Xuan cumple, en un contexto formal, exactamente las fciones que se atribuyen aldao en general. Diacrónicamente, según la presentaciónsucesiva expuesta por Zheng Xuan, m arca el m om ento en que la tensión en la anancia de opuestos se remansa: "primero yin , después yang; eso es dao". Elnúmero de su(s) momento(s) no es número de ningún trigrama, pues siendoquien gobierna — y quien re-sume— la sucesión de los contrarios no adm ite contrariedad que la identidad. Pero esta identidad no es estática sino dinám ica:descansar en el 5, se relanza el sucederse de las oposiciones hasta reposar de nuen el 10, en el 15, etc. Siendo distintos cada uno de estos aquietam ientos oanulaciones de la tensión ilimitada de los opuestos, sin embargo son siempre el mismtodos son congruentes entre sí: 5 = 10 (5 ), 10 = 15 (5 ), etc. Todos ellos sonmism a clase de equivalenc ia en 275: [0], lac lase ‘cero’, el ‘elem ento neutro’, aque determina las oposiciones y cuyo opuesto no es sino él mismo2. De él parhablar Zhuangz i (XXII. 8) cuando dice: "Un hombre vive en el Estado Centrales ni yin ni yang. Vive entre el Cielo y la Tierra. Ahora es hombre, luego tendrque volver a su origen". A través del 5 y por intermedio suyo, el ciclo puede plongarse sin límite, siempre distinto y siempre el mismo.

El cuadrado representa también la dimensión sincrónica del complejo simlico yinlyang/dao: "aquí yin, allí yan g \eso esdao". De forma individual, determinacuatro ejes (horizontal, vertical y las dos diagonales) cada uno de los cuales usepara una pareja de opuestos, cada yin y su yang, tanto en Z/5 com o en la inter pretación de los trigramas. De manera global, su diagonal define una biparticdel espacio simbólico: arriba y a la derecha, lo y in; abajo y a la izquierda, lo yang.

1 La aparente impropiedad de sumar unos números, los del orden de presentación de los trigra mas, que sólo son ordinales — p.e. [1]+[9J=[5] — no lo es desde la concepción china, donde el empleo cardinal, ordinal o protocolario de los números veíamos que es a menudo indistinto.

* Por definición, en una estructura algebraica, el 'opuesto' de un número es aquél que sumado con él da como resultado el ‘elemento neutro’.

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En uno y otro caso, el centro del cuadrado cumple una función singular: cen(geométrico) de simetría, punto de convergencia y anulación (algebraica) de opuestos1, gozne (topològ ico) en el que se anudan/desenlazan los caminos (aspectos encontrados y las inversiones), lugar privilegiado donde "el vapor deoquedad queda armonizado".

11.15. ¿O pon er o re star? Espacio simbólico vs. espacio extenso

Pero como cobra toda su virtud esta concepción de lanegatividad por el pensamiento chino es en contraste con construcciones de la racionalidad occidentala primera vista resultan aparentem ente análogas2. Así, p.e., el pensam iento pitarico, donde también el juego de las oposiciones ocupa un papel central, donde t bién estas oposiciones encuentran su expresión formal primera en la oposic ión impar, donde también se somete a los cuadrados mágicos a una interpretación s bólica (aritm ológica)... atribuirá, sin embargo, a todo ello un sentido bien difereun sentido del que no puede emerger forma alguna denegatividad.

Com o piedra de toque bien puede valer ‘el mism o’ cuadrado mágico Lo zhou, que sorprendentem ente encontramos analizado con todo pormenor, y al modo pgórico, por el jesuíta Athanasius Kircher (1601-1680). Acaso Kircher conociercuadrado a través de sus correligionarios, que por entonces volvían de sus primviajes a China y con los que mantenía frecuentes entrevistas en Roma, o tal hubiera tenido conocimiento de él movido por su profundo interés en el pita

rismo cabalístico y en. la figura de Pitágoras, a quien tenía por m aestro de los mmísimos sabios egipcios.

4 9 2

3 5 7

8 1 6

1 Tal y como también los opuestos zheng/fu ‘se destruyen (o reducen) mutuamente'(xiang xiao) en la formulación de Liu Hui.

* Una analogía que es sólo aparente, y no estructural, lo que no quita para que se agite como un argumento mas en favor de un matematismo indiferente y proteico, supuestamente universal ynatural, para el que úna fantástica naturaleza de lo numérico se iría adaptando, como la de un ser vivo, a las distintas culturas.

3 Sobre los modos de pensar por oposición y por analogía en la episteme griega véase el mag-nífico estudio de G.E.R. LLoyd (1987). Pero, como veremos, ni la oposición tiene aquí el mismo sentido que en China, ni la analogía llegará a conseguir otro rango que el meramente retórico o persuasivo, cuando no directamente engañoso (sobre la condena de la metáfora y el razonamiento analógico por Aristóteles véase LLoyd, pp. 372 381), ni — por supuesto — ninguna de estas dos for-mas de pensar tendrá otra proyección en la matemática griega que la de excluir precisamente esos ‘ceros' y esos ‘números negativos' que en China sí resultan de pensar por oposición y por analogía hasta sus últimas consecuencias.

133



El caso es que nuestro jesu ita afronta este cuadrado con el propósito de invetigar "sobre los misterios de estos números". Lo denomina ‘sello de Saturno’ pser su número (de casillas) el 9. Aquí aparece una primera y notable diferencia. númerocaracterístico de un cuadrado lo entiende Kircher como agregación deunidades (casillas), indistintas y por tanto sumables. Así, el número del sello dSaturno es el 9 porque 9 es el número total de sus lugares interiores. Pero para qestos lugares hayan podido ser sumables han debido concebirse como homogneos, es decir, no como lugares propios o moradas singularizadas sino como zonde un solo territorio, apartamentos de un mismo edificio.

Frente a esta espacialidad barroca, en esto aún euclídea, si algún núm ero carateriza al cuadrado Lo zhou en la exégesis china no podría ser otro que el 5, por el papel estructural — y estructurante— que juega en el complejo de relaciones queestablecen. En un caso, lo determinante son losobjetos — y objetosabstractos (casillas)— ; en el otro, lasrelaciones —y relaciones en tomo a uncentro — . Laexplicación de la génesis de ese 9 característico explícita aún más el carácter abtracto de esa espacialidad. Pa ra el pensamiento visual-euclídeo de Kircher1, el 9 qcaracteriza al sello de S aturno "se produce aplicando la fuerza del 3 sobre sí m ism(1984: 71). Se trata de ladynamis: ‘potencia’ en el sentido energético pero también‘potencia cuadrada’ o ‘elevar al cuadrado’ en la traducción que solía hacerse del tmino y de su uso por la matem ática griega. El 9 es ladynamis de 3 porque 32 = 9. El3 se despliega, se expande en el espacio para alum brar el cuadrado de superficieque lo tiene por lado (‘lado criando cuadrado’, como escribía expresivamente ma temático portugués Pero Nunes poco antes que nuestro jesuita):

O O O

o o o

o o o

El espacio que delimita el cuadrado surge así como extensión homogéneadescualificada, de la potencia del número. Son las unidades indistintas que intgran esa ‘multitud’ en número de 3 las que se expanden hasta alcanzar una ‘multud’ de nueve. Elarithmós que los griegos definen como ‘determinada multitud deunidades’ es esencialmente extensión, y en esa mera extensión es donde se va

jugar el sentido de los números. Una interpretación bien distin ta es la que veíamque hacía Zheng Xuan sobre la génesis del cuadrado Lo zhou. Ahora éste se des pliega por a iram iento sim bólico; no en un sólo gesto ( ‘la fuerza del 3’) sino pordisposición sucesiva de lugares concretos y singulares, cargados de cualidadeemblemáticas, que van adquiriendo número/nombre en la progresión, alternante

cíclica, de la serie num érica en tom o a un centro.

1 Véase I. Gómez de Liaño (1986).

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Una vez generado el espacio1cuadrado — sea com o extensión de-fin-ida como trama sim bólica— , la siguiente diferencia surge en el modo de articularestructuración interna. Toda la ‘misteriosa disposición de los núm eros’ que de bre Kircher se escondía tras el hecho de que, agrupados por filas o por columnen diagonal, al sum ar cada tripleta de números s iempre se obtiene 15. Siendo cadnúmero extensión (de la m ultitud concreta de unidades indistintas que contie

la operación /relación ‘na tura l’ entre ellos no puede ser sino la ‘sum a’, la extentotal de sus extensiones. En la exégesis china, en cambio, cada número del drado es em blema o signo, se refiere — en la interpretación de Zheng Xuan— trigrama y al complejo de significados que éste evoca, o bien —en el mito de Lo

zhou — a los lugares-momentos que ordenan el mundo. En consecuencia , la oración/relación que entre ellos se establece es manifestación de un orden: espamente, refleja la división del mundo en nueve regiones; temporalmente, expreemergencia sucesiva y alternante de las estaciones, de lo yin y de lo yang. Por esola relación interna fundamental entre los números no es de suma sino de oposi¿cómo sumar lugares singulares o situaciones d iferentes?1 El espacio chino —la casa, el universo, el lugar de la fiesta o el cuadrado mágico— está m arcado bólicamente y, muy en especia l, está marcado por lugares que se oponen/intenetran en tom o a un centro. Todos estos espacios concretos, que son articulade lugares distintos, son a su vez isomorfos: sus lugares se co-responden y su n bre es el número común — mediante congruencias— a todos los lugares así asdos. Y también se conservan, mediante esos isomorfismos, sus relaciones inte principales, cuales son las de oposición.

La propia ‘sum a’ implícita en el cuadrado chino só lo se parece a la de K iren el nombre. La primera es una relación entre opuestos, la segunda lo es e‘multitudes’. La primera es una ‘ley de composición interna’, pues al operarclases de congruencia mantiene siempre el resultado de la operación en el intde Z/5; la segunda es una ‘operación externa’, pues actúa sobre el conju{1,2,...,9} y tom a valores ‘naturales’ exteriores a él. La primera repite sus resdos cíclicam ente, viniendo a remansarse en un centro; la segunda dispara indedamente la serie numérica.

Para disponer los números en el cuadrado, Kircher sigue ciertamente orden, pero — a diferencia del seguido por Zheng X uan— es del todo in-sigcante, meramente mnemotécnico. Según sus indicaciones, se deben ir coloclos números de tres en tres, en orden ascendente, en las sucesivas líneas oblidel siguiente rombo:

1 Con lodo, ésta de 'ser generado' es una característica común al espacio chino y al griego. A diferencia del espacio 'moderno', cartesiano (que es algo dado, estático, receptáculo al que irán luego a alojarse números y figuras, y por tanto anterior a ellos), aquellos dos van brotando como resultado de una tensión, de un dinamismo interno a los números: sea ‘la fuerza dél 3’ sea la concurrencia/alterancia yiii/yang.

2 "Por muchas vueltas que le doy — decía Mairena— no hallo manera de sumar individuos" (A. Machado, 1973: 10).

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1

4 2

7 5 3

8 6

9

y después los cuatro números de las esquinas "se transfieren al lugar vacopuesto" (p. 82), con lo que se obtiene el cuadrado al que él llama ‘ternario’.

El criterio de disposición seguido no pasa, pues, de ser un artificio para

recuerdo, sin ningún significado propio. Com o tam poco tienen otro significado mallá del estrictamente espacial los citados términos ‘vac ío’ y ‘opuesto’. Ese vacíocum ple una función s imbólica ni estructural (ambas satisfechas por el vacío(wu) enel tablero de cálculo del fangcheng), es un mero espacio no ocupado al que, portanto, puede ‘transferirse’ odesplazarse un número. El uso del término ‘opuesto’ es

— además de tan falto de significado como el de ‘vacío’— impropio: el ‘lugar vopuesto’ es propiam ente el ‘lugar vacío más distante en línea recta’, una pura rrencia extensional. Un segundo uso que hace Kircher de la oposición no es mexpresivo (aunque sí lo sea precisamente por ello): el 5 es ‘término medio’ porlos ‘opue stos’ (1 y 9, 2 y 8, 3 y 7,4 y 6) ‘equidistan’ de él, es decir:

1 + 9 _ 2 + 8 _ 3 + 7 _ 4 + 62 2 2 2 '

De modo que los ‘opuestos’ no son sino los extremos de un segmento de longi10 que tiene en el 5 su punto medio: extensión indistinta, un vez más, donde la osición no es tal sino mero límite o borde del espacio considerado. La terceraúltima forma de oposición a la que Kircher pudiera haber atendido, la de lo pa

lo impar, también se desvanece en su consideración del número como agregaextenso de un idades positivas: "puede observarse cómo siempre entre dos núme pares hay un im par, que sumado a ellos da 15". Todo el arcano del temario, todmisteriosa ‘razón de la construcción’ se jugaba, al cabo, en la pura extensión: smentos, sumas, distancias...

El papelcentralque juegael 5 en latopologíay en el álgebra delcuadrado Lo zhou traduce, en cambio, una centralidad simbólica. Situado en el centro de la década, ridisposición y la estructura de ésta. La disposición circular que obliga a adoptar a los

tantes números les fuerza a abandonar la disposición lineal para adoptar otra que expsimultáneamente circularidad (alternancia) y oposición ( contraste). En otras ocasies eluno el que cumple este papel axial. A partir de la asociaciación de lo yin con lo pary lo yang con lo impar, ciertosdesaiTollosexcluyen al unode la categoríade número,

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pgto por razones bien distintas a las griegas. Para éstas, el uno no puede ser número¡g contradicción que implica ser unidad a la vez que multiplicidad de unidadesChina, como observa Granet (1968:232) la razón está en que el uno:

"...es el pivote, que no es ni yin ni yang, sino aquello por lo que se encuentraordenada la alternancia del yin y del yang ; es el cuadrado central queno cuenta, peroque (como el medio del que los autores taofstas dicen que, gracias a su vacío, puedehacer girar la rueda) gobierna el giro".

Eso es exactamente lo que hace el 5 (que no es sino el ‘cero’ de Z/5) en la gesis de Zheng Xuan del Lo zhou. Por la misma razón, los enfoques que excluyen aluno excluyen también al dos del cam po numérico: el dos es la pareja, caracteri por la alternancia y la simetría, y también por la interacción o comunión de opue¡o que no quiere dec ir su sum a. El dos es la dualidad que el ‘vacío’ del uno hace

ble. La función efectiva de eseuno se entiende así mejor desde nuestra categoría de‘cero’, sea el ‘cero’ que en la disposición espacial de los números los separa/uderecha y a izquierda, sea el ‘cero’ de Z/5, sea el ‘cero’ que —elemento neutrlos enteros— define las oposiciones al tiempo que gobierna la operación entropuestos. Ese 5 ó eseuno que, en el límite del campo numérico, actúan com o ‘cero(algebraicos) o ejes de simetría (geométricos) en cuyo tomo pivotan los opuecumplen a su vez la misma función que el hueco o espacio vacío que sirve de g para todas las operaciones del álgebra fangeheng. Este hueco activo que es el ‘notener a qué em pare jarse’ (wu ru) ya sí induce una bipartición explícita de los núm eros — zlieng/fu — que evoca inmediatamente la tardía bipartición occidental de enteros en ‘positivos/negativos’. Eseuno que tanto Grecia como China singularizan,no es sin embargo el mismouno: el chino actúa como ‘cero’, y se abre in-mediata-mente a la oposición yin /yang, el griego dice del límite de lo que es (monadas), y loque de él brota es la multitud positiva en que intrínsecamente consiste el númer

Tenemos, pues, toda una constelación de modos denegatividad m atemáticaque reflejan, en distintos contextos formales, la actividad del complejo simbó

yin /yang/dao. Si la polaridad yin /y ang se proyecta en las diversas formas de oposición consideradas, su articulación — espacial, temporal y algebraica — sól posible mediante el papel de gozne que, a semejanza de aquellos ‘ceros’, juetercer término: eldao. La a sociación que hacía G ranet entre elvacío de los taoístasy ese elemento central en cualquier concepción china de lo numérico m erece, puna mayor atención.

11.16. Eldao [tao] y el cero, goznes de opuestos.La construcción im agin aria de lo imposible

El taoísmo desarrolla exhaustivamente la reflexión sobre lo que hace posla articulación de la dialéctica yin /yang: esa dialéctica sólo adquiere sentido entomo aldao. Suele traducirse el término'dao' por ‘vac ío’, ‘oquedad’, ‘ausenc ia’...

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lo que puede llevar engañosam ente bien a atribuirle significados de ciertos térnos griegos próxim os, bien algún otro contenido semántico propio. Sin embarla reflexión taoísta sobre eldao desarrolla un pensamiento radicalmente negativo,dice lo que eldao no es. O, en caso de aludirlo positivamente, lo hace mediantcontradicciones y parado jas. De sus múltiples usos o posibles interpretaciones anos ceñirem os a a quéllos que puedan haber influido en la concepción china dnegatividad, sea ofreciendo* un soporte sim bólico para articular el ‘cero’ y lo‘núm eros opuestos’ sea abriendo una forma de razón que no se somete al princide no-contradicción.

Si el complejo simbólico yin /yang fecunda las más variadas escuelas de pensam iento y los más diversos saberes y prácticas, otro tanto ocurre con eldao, aunquees el taoísmo la corriente de pensamiento que lo sitúa en el centro de su reflexFrente al confuc ianismo, m oralizador y reglamentista, racionalista y respetuoso las jerarquías sociales, el taoísmo "ilustra la tendencia anárquica y libertaria

espíritu chino]: es la poesía, la m ística, la paradoja y el cinism o"1. Los tenidossus grandes maestros son Laozi [Lao tse] y Zhuangzi [Chuang tzu], cuyos lib(seguramente reelaboraciones de textos anteriores) se conocen bien por el misnom bre que el de sus autores, bien, respectivamente, por los títulos Daodajing [Tao te ching] y Nanhuajing [Nan hua ching], El pensamiento de estos clásicos de laépoca de los Reinos Guerreros (453-221 a.C.)2 verá un renacimiento en tiempolos Tres Reinos (220-280 d .C.), a través de autores como Xi Kang, Wang Pi, He o Guo Xian. Matemáticos como Liu Hui — el teorizador por excelencia de lanegatividad zhenglfu/ru — sufrieron, según Wing-tsit Chan (1969: 314 ss.), una notablinfluencia de este neo-taoísm o, así como de los primeros clásicos taoístas. La abdancia de referencias a Zhuangzi por parte de Liu Hui ha llevado a Martzloff (1963) a suponer una com unidad de puntos de vista entre el matemático y "el filóantiracionalista de la China antigua que se distinguió por su inclinación a la inción y a la espontaneidad, por su desconfianza frente a las palabras y la lógica"

De las dificultades para ceñir la noción dedao desde conceptualizacionesoccidentales — seguram ente no menores que las tenidas para construir el ‘ceroda una idea el habitual recurso a términos que sólo significan en el contexto

metafísicas o religiones occiden tales. Pa raFerra ter Mora (1979: IV: 3190), "el parece ser a la vez el ser y el no ser: el no ser se refiere a la esencia , y el ser función". C. E lorduy (1977: 13), por su parte, juzga que "al Tao se le puede trad

por logos (...); no ellogos de S. Juan, palabra del Padre, sino más bien ellogos estoico,Ser Supremo y autor de los seres, su razón, su verdad y su vida". Las ‘definiciones’ por esta forzada vía analógica podrían multiplicarse.

Para Granet se trata de una concepción foijada por la razón común china,donde la tomarán las diferentes escuelas. Antes de que éstas, y en especial el co

1 P. Dcnúévillc c Y. Hcrvouct (1980: 314).O* Laozi, caso de haber vivido, se supone contem poráneo de Confucio (s. VI a.C.); a Zhuang

se le sitúa aproximad amente entre los años 369 y 286 a.C.

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pjanism o,le incorporen esa carga moral y política que es la que m ayor eco ha tencn su acepción más primitiva eldao habría tenido una función cosmogónica y lógicaque a su vez Granet deriva de la organización social. Esta función es la deeje, centro, quicio o gozn e que distribuye, articula y concilia los aspectos contrastantes a qaludeel complejo yinlyang. Si éste evoca la imagen de dos ám bitos dispuestos simé

jncamente a ambos lados de un eje central, eldao es ese eje: "el medio y el centro delas equivalencias y los contrastes, de las atracciones y las repulsiones, de las hgamias alternantes que constituyen la evolución giratoria del universo" (1968: 2La ya mencionada sentencia del Xic i — ‘un yin , un yang; eso esdao' — recoge la másantigua de sus ‘definiciones’ conceptuales. Sus antecedentes pre-conceptualesdenrastrearse en la imagen del centro ‘neutro’ sobre el que pivotan los brazos dcruces numéricas, simples o gamadas, o en la de ese otro centro de los cuadrmágicos que dispone el juego de las oposiciones, o en la imagen de la bisagraarticulaba un instrumento de adivinación formado por una tablilla cuadrada (Ti

y otra redonda (Cielo), o también — ya en el lenguaje técnico de los adivinos—expresión de la mutación a que se ven sometidas las líneas fuertes de los hexagrcuando se invierten en sus opuestas. Una vez que ya se va construyendo el pemiento erudito de las escuelas, es la taoísta la que con más énfasis subraya estas ciones originales de carácter predomiantem ente físico y lógico. Para Laozi (1 Ia

"Treinta radios convergen en elcentro de una rueda, pero es suhueco lo útil para el carro.

De la arcilla se fabrican las vasijas, pero es suvacio lo que hace posible su uso.

Se agujerean muros y ventanas en los muros de una casa, pero es suvano loque permite habitarla.Así, pues, enel ser centramos nuestra atención, pero es enel no ser [wu] donde

reside la utilidad".

Dos son las figuras retóricas a que recurren tanto Laozi como Zhuangzi parasentar eldao: la negación y la paradoja o la contradicción1. Por vía negativa, la caterización deldao recorre toda la escala de negaciones posibles: eldao no es pensable,no es decible, no es perceptible, no es una cosa. Si algo es, eldao es ‘no’ (wu)2. Efec

tivamente, es ininteligible: "entender eldao es penetrar en la oscuridad" (Laozi, 41b);es incognoscible: "conocerle es como no conocerle, no conocerle es ya conoc(Zhuangzi, XXIV. 18). Tampoco es decible; ya en la primera sentencia del Daodejing: "el dao que puede ser expresado, no es eldao perpetuo; el nombre que puede ser nom

brado no es el nombre perpetuo" ( I a); "quien al ser preguntado por eldao, intenta res

1 La distinción entre paradoja y contradicción se ajusta más al modo de pensar occidental que al chino. La contradicción se juega en un mismo nivel de discurso, afirmando de un mismo sujeto un

predicado y su negación. Lo paradójico ('contrario a la opinión com ún', ‘parecer lo que no es y ser lo que no parece’) pone en contradicción dos niveles de discurso, el del ser y el del parecer/aparecer, qu la cpisleme china no distingue m ayormente (a! menos, la que no acusa influencias budistas).

2 Sobre el valor gramatical del términowu. véase su consideración a propósito de su uso en la oposición zJieng/fu del álgebra fangclieng [epígrafes U.S. y 11.10.].

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ponder, ignora lo que es eldao" (Zhuangzi, XXII. 12); eldao es sin nombre, anónim o1.Tampoco los sentidos dan noticia suya: "invisible porque los ojos no le pueden vimperceptible porque los oídos no le pueden oír; porque no se le puede atrapar sllama impalpable" (Laozi, 14a). Pero tampoco se trata de unalgo que no pueda pensarse, ni decirse, ni percibirse: eldao, como reitera Laozi (2a, 14b, 40b) es ‘no cosa’ (wuwu)2. Por eso las imágenes no explícitamente negativas con que en otras ocasioneevoca eldao sí lo son de modo implícito: caos, silencio, soledad, vacío, oquedad.

El recurso a la parado ja en los textos taoístas para referirse aldao es, si cabe,aún más frecuente que el camino de la negación simple. Toda la obra de Laozde Zhuangzi es casi un homenaje a la contradicción, un despliegue de paradojEl dao es así "la forma sin forma, la figura sin figura; es claro-oscuro y, de frenno le ves la cara, y, por detrás, no le ves las espaldas" (Laozi, 14b); "progresarél es retroceder; subir a su altura, vulgarizarse; abismo profundo de la verdad malta" (Laozi, 41b). Todo el capítulo II de Zhuangzi se dedica a pensar sobre/con

la identidad, y se cierra con un pasaje célebre:"Hace tiempo Zhuangzi soñó que era mariposa. Revoloteaba gozosa; era un

mariposa y estaba muy contenta de serlo. No sabía que era Zhuangzi. De pronto, se d pierta. Era Zhuangzi, y se asom braba de serlo. Ya no le era posible averiguar si Zhuangzi, que soñaba ser mariposa, o era la mariposa, que soñaba ser Zhuangzi” (II.

Una de las diferencias básicas entre la episteme china y la griega radica enmuy distinto papel que en cada una juega el principio de no-contradicción. Este p

cipio, primero para el modo de pensar griego, dará un sesgo característico a toda matemática de tradición helénica y, en particular, se utilizará en ella como recuargumentativo que ‘dem uestra’ lo absurdo de los ‘números negativos’ o de los ‘iginarios’. Acaso, incluso, la admisión o no de un principio tan capital como éste mita hablar de matemáticas inconmensurables o irreductibles en el sentido kuhniSi las formulaciones abstractas y el recurso a prim ero s princip ios no fueran tan ajenos al modo de pensar chino, podría decirse que el ‘principio yin /yang’ niega, si noinvierte, el principio de no-contradicción. En cierto sentido, de la dia léc tica yinlyang se deriva una tajante negación de la afirmación parm enidea — ‘lo que es es, y lono es no es’— que sienta el principio de no-contradicción. Desde aquella dialéc puede decirse — en esecierto sentido — que ‘lo que es, no es’ y que ‘lo que no es,es’. De manera que lo que en Grecia es condición imperativa, que instaura la fronmas allá de la cual es imposible realidad y pensamiento, en China, por el contraes mas bien invitación a seguir pensando, a poner mas realidad. Aquí, realidad y samiento extraen su energía de la tensión que late en el nudo de la contradicción

1 Esta caracterización se repite en Laozi 14b, 25b, 32b, 41c...‘ Aunque la romanización es la misma, no deben confundirse el carácter V u ’ que viene a sig-nificar ‘cosa’, ‘objeto’, con el carácter de igual transcripción que se usa como partícula negativa ('no', ‘sin’, ’a ', ‘in ’). Este último es e l que considerábamos a propósito del hueco en el tablero fangeheng ytambién el que se repite de continuo en todas estas caracterizaciones negativas deldao.

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La asunción o no del principio de no-contradicción traza rumbos bien difrentes para los modos de pensar chino y europeo, permitiéndoles o impidiéndoalojar como bien construidos ciertos conceptos, enunc iados o formas de argumtación. En China, ciertamente, tam poco cabe hab lar de unos principios ‘de condicción’ y ‘de no-identidad’ contrarios a los ‘de no-contradicción’ y ‘de identid

propios del pensamiento aristo té lico-euclídeo, como tampoco se sienta un ‘prin pio de sim ultaneidad’ (que Jung opone al ‘de causalidad’), siquiera sea porqueexiste la categoría de ‘principio’ ni en el ámbito lógico ni en el ontològico. asunción de la contradicción o la violación del principio de identidad no sonChina disposiciones mentales sistemáticas pero tampoco bloquean el curso derazón. En cualquier caso, su uso siempre está subordinado al paradigma de alnancia/convergencia de los opuestos.

Algunos autores modernos, como X. Jiang (1992), han querido conciliar principio de no-contradicción, en los térm inos en que lo form ula Aristóteles, las paradojas taoístas, sobre todo a partir de su elaboración por la Escuela de Nombres o Escuela de los Lógicos, que se ha comparado a la sofística griega. Pello señalan que los filósofos chinos distinguen tres suertes de contrarios (seggrados, contextos y tiempos) que Aristóteles confunde. Esta matización les pmite discernir sentidos en los que la contradicción no es necesariamente fal pudiendo incluso llegar a ser tautológica. Pero mas bien nos parece que no se ttan sólo de una diferencia de m atiz, de una m ayor sensibilidad de la episteme chhacia los modos de la contradicción, sino que bajo cada una de ambas concepnes alienta una voluntad diferente. Para el imaginario chino la contradicción esestímulo dirigido al pensamiento, un acicate para segu ir pensando, una llamadaatención hacia lo que Machado llamaba laesencial h eterogeneidad del ser , mientras que pa ra el paradigma aristotélico-euclídeo la contradicción expresa — a laque ocu lta so pretexto de imperativo lógico— una decidida voluntad de zanjacuestión, de eliminar una de las alternativas, de hacer luz por el sencillo expedide condenar a la som bra de lo imposible la posib ilidad opuesta1. En Grecia, el pcipio de no-contradicción es voluntad de aniquilamiento-,

1 Como lo muestra explícitamente el que los razonamientos por 'reducción al absurdo’, deriva-dos del principio de no contradicción, tengan su origen en Grecia en la voluntad de acallar al adversa-rio en las disputas mantenidas en la polis. Véanse epígrafes III.1 y III.6.

2 Aunque pertenecientes a otra geografía y otro tiempo, las reflexiones de K. Nishida (1958,1987) y K. Nishitani (1982) sobre la nada y la contradicción en el pensamiento y la pintura japonesas ilustran con toda plasticidad estas consideraciones. El fuego, a cuya esencia pertenece el quemar, no se quema a sí mismo consiste, pues, en su propia contradicción, en no ser lo que es. De igual modo, la técnica de ‘lanzar la tinta’, típica de la pintura Ch'an, esparce eleidos de lo representado ‘a los cuatro vientos’. N. Bryson ("The Gaze in thè expanded field", en H. Foster (ed.), 1988: 87 109) compara esta disolución del sujeto y del objeto que se opera bajo la categoría de

sùnyatà (‘vacío’, ‘radical no permanencia’, ‘oscuridad’ o ‘nada’) con los intentos

de dcscentramiento de Sartre y Lacan. En el primero, el ser no se construye contra el no ser sino que se hace con lo que no es (él), y de esta construcción resulta armonía. En los segundos, la dispersión de sujeto y objeto se percibe como amenaza de desastre. Observa en ellos el mismo terror que el que veremos en Grecia ante la sola conjetura de la violación de los principios de identidad y no contradicción.

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tes; aquí, las distinciones — concretas, no abstractas— yin /yang articuladas sobreel no ser de sudao. Cuando de a quí se pasa a allí, todo un aspecto de la realida — de los dos en que aquí consis te— se desvanece en el im posible no ser. Y lalidad que eldao cifraba en su bien determinado no ser se desdibuja en el abismde indeterm inación de toda esa mitad aniquilada: de ‘figura sin figura’ pasa a m‘sin figura’, de ‘forma sin forma’ a sólo ‘sin forma’: ese caos amorfo e indistque para el griego amenaza la coraza de toda identidad. El propio Zhuangzi (I pareció apreciarlo así: "El esple ndor y prosperidad de la distinción deles y delno es vino con la decadencia del Tao”.

El mencionado capítulo II de su obra, titulado ‘La identidad de los seres’todo él una refutación de la distinción entre ser y no ser. Su párrafo 4 arranclas habituales disputas entre los letrados ju (confucianos) y los discípu los de M ozi:"Hacenes el no es del otro yno es el es del otro (...) Mejor les fuera acabar deentenderlo claramente de una vez. En las cosas mismas no existe elaquello no es;

en las cosas no existeesto no es." Por eso el sabio sigue otro camino; para él:"(...) todo eses. Esto es tambiénaquello, y aquello es tambiénesto. En esto

unifica ales y alno es. Enaquello unifica ales y alno es (...) El punto en que elesto y elaquello no tienen su pareja es elquicio delTao. El quicio está, desde el principio,en elcentro del círculo y desde allí puede corresponder a todo sin deficiencia. Eles. en aquella unidad, no es deficiente. Elno es, en aquella unidad, también es sin deficiencia." (II. 4-5).

En este texto, de una sorprendente concisión metafísica, resaltan dos motiuno, la crítica de la abstracción, el otro, la imagen deldao como ‘quicio’. En primer lugar, la distinción ‘es/no es’ es abstracta y, por tanto, falaz; se disuelve ecosas, en lo concreto. L a profusión de deícticos mueve continuamente la atenhacia lo concreto. Es en lo concreto, enesto y enaquello, allí donde los opuestosse encuentran , donde tam bién reside el ‘qu icio’ deldao. Porque tampoco eldao esuna abstracción, ni lo que conjuga son abstracciones como el ser y elno ser. Cadacosa, cada situación, cada contexto tiene sudao. En el Xici, como apun ta Granet(1968: 269), el conocimiento deldao se considera como la ciencia de las ocasiones

y de los lugares concretos. O también, en imagen de Zhuangzi (II. 5), "eldao sehace andando por é l"1.En segundo lugar, las imágenes deldao que ofrece Zhuangzi son exactam ente

las mismas que hemos encontrado en distintos modos de emergencia en las mmáticas chinas de lo que que hemos llamadonegatividad. Son imágenes equivalentes a otras habituales en el primitivo taoísmo: la ‘gota de rocío’, el ‘centro dconvergen los radios de la rueda’, el ‘hueco de la vasija’ o el ‘río que dividea derecha y a izquierda para volver luego a junta rse’ (Laozi, 3 4 a). Estas imágenes se irconcentrando en el m ismísimo eje del complejo yin /yang al hilo del desarrollo de la

escuela taoísta y sus distintos renac imientos, pero ya en Zhuangzi tienen un car

1 Curiosa versión taoísta del machadiano "caminante no hay camino...".

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manantial que parece alcanzar a contextos tan distantes como el matemático. ‘quicio deldao' en el queesto o aquello —siempre com puestos por aspecto opuestos— ‘no tienen su pa reja’ ¿no lo volvemos a encontrar en el hueco del tablero fan-

gcheng, donde losnombres/númervs opuestos zhenglfu ‘no tienen su pareja’(wu ru)1 Ese ‘centro del círculo’ que ‘corresponde a todo ’ y donde hasta elno-es lo es‘sin deficiencia’ (a diferencia del pensamiento griego, que no lo imaginará s

com o ‘care ncia’ o ‘ausencia’) ¿no es el centro del ciclo que va trazando Zheng X para construir el cuadrado numérico Lo zhoul ¿no es ese ‘cero’ de Z/5 que ‘no tiene pareja ’, que pese a su ‘no ser’ es ‘sin deficiencia’, y que ‘co-responde’ desde el tro*-a los opuestos que desde todas las direcciones le reclam an?1

Estas imágenes arquetípicas, incluso cuando se proyectan en modelos formles, no se gobiernan por los principios de identidad y no-contradicción, sino po principios — o, más propiamente , criterios— de equivalencia y de oposición. SGrecia aquellos principios van a determinar la construcción de los conceptos mmáticos y qué resultados sean admisibles o desechables, en China los criteriosequivalenc ia’ y ‘de oposición’ no lo determinan m enos (si no como tales princip ios, sí como matrices pre-conceptua les). En las disposiciones simbólicas de los númen cruz, el criterio de equivalencia rige el emplazamiento de números congrueen un mismo brazo de la cruz, y el criterio de oposición los distribuye en los brenfrentados de los cuadrados mágicos. Y toda la figura pivota en tomo a esa ‘gde rocío’ o ‘centro’ que es el ‘cero’ del ‘grupo cociente’ definido por la relacióequivalencia simbólica. En el álgebra fangclieng, el criterio de equivalencia presidetanto las sustituciones de unas columnas por otras como las resonancias entr

pare ja zhenglfu y cualesquiera de las formulaciones análogas; y el criterio de opoción distingue esos nombres/números en opuestos, articulándolos en torno ahueco en e l que los opuestos ‘no tienen su pareja’ pero que — lejos de trascendeaunque lejos también de anonadarse — es un hueco ‘sin deficiencia’, un huecose afirma en su negación (wu) y opera de gozne entre ellos.

11.17 A péndice: L eibniz en Ch ina. Ex cursiones etnocé nticas

La organización de los 64 hexagramas delYijing po r combinación de dos signos elementales, su carácter de sistema dinámico (unos mudan en otros, rerriendo ciclos completos) y su pretensión de validez para interpretar cualqusituación posible sugirió a Leibniz (1961: 176) un método bien simple para e

1 Asimismo es también isomorfo aldao y a estos distintos ’ceros’ (centros o huecos) el término liun-tun, que suele traducirse por ’caos’. Si, como veremos, en Grecia — y en casi toda la tradición occidental— se asociará al vacío y es percibido como amenaza (de indeterminación y pérdida de iden-tidad, o sea. de muerte), en los clásicos taofstas se concibe, por el contrario, como fuente de otros órdenes posibles, como manantial de posibilidades, en total sintonía con las modernas teorías físicas, biológicas, etc. sobre sistemas alejados del equilibrio [véase E. Eoyang (1989)]. Véanse también N. J Girardot (1983), D. L. Hall (1978) y E. Lizcano (1993c).

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blecer esears characteristica que, a modo demathesis unlversalis, pe rmitiera que,"cuando haya disputa entre las gentes, podamos decir: «Calculemos, para quién tiene razón»".

Al sustituir el trazo continuo ( yang ) por 1 y el discontinuo(yin) por 0, yexpresar entonces los números en sistema binario, Leibniz se asombra de q"quedando los números reducidos a sus más simples principios, como el0 y el 1,aparezca por doquier un orden maravilloso, (...) periodos que siempre vuelvecomenzar". Comoquiera que el texto (1971: 226-7) donde Leibniz comunica circunstancias de su hallazgo es apenas conocido, vale la pena traducirlo en párrafos más significativos:

"Lo que hay de sorprendente en este cálculo es que esta aritmé tica med ian0 y 1 viene a contener el misterio de las líneas de un antiguo Rey y Filósofo llmado Fohy [FuXi],que se cree que vivió hace más de cuatro mil años y al quelos chino s con sidera n com o el Fundado r de su Im perio y de sus ciencias. (...) Lchinos han perdido la significación de los Kova[kua o trigramas] o Alineam ientos de Fohy, acaso desde hace más de mil años, y han hecho comentarios debade ellos, donde h an buscado no sé qué sentidos alejados, de manera que ha hecfalta que la verdadera explicación les viniera ahora de los europeos. Así fuApenas hace algo más de dos años que envié al R. R Bouvet, Jesuíta Franccélebre que perm anece en Pekín, mi manera de contar por 0 y1,y no le hizo faltamás para reconocer ahí la clave de las figuras de Fohy. Así, al escribirme el de noviem bre de 1701, me envió la gran figura de este Príncipe Filósofo que cotiene hasta 64, y ya no queda lugar a dudas sobre la verdad de nuestra interp

tación, de modo que puede decirse que este Padre ha descifrado el enigma Fohy, con ayuda de lo que yo le había comunicado. Y como estas figuras acasean el más antiguo monumento científico que haya en el mundo, esta restitucide su sentido, tras un intervalo de tiempo tan grande, parecerá tanto mácuriosa".

Nada más lejos, pues, de nuestra intención que in tenta r aquí otra ‘restitucde sentido’ que acaso lo extravíe aún más que la leibniziana. Conviene sospede las ‘verdaderas explicaciones’ cuando ‘hace falta que vengan los europeoaportarlas. Y más aún si vienen a reforzar las propias obsesiones. El ámbito dnegatividad parece espec ialmente abonado para estos dislates. Valga como e jem plo ilustre, por no salim os del mundo del + y el -, el argumento aducido por GGrandi (1671-1742) — y com partido en parte por el propio Leibniz— en favola creaciónex nihilo'. Este profeso r de matemáticas de la universidad de Pisa obtnía por dos cam inos distintos la suma de la serie 1 - 1 + 1 - 1 + ... Por una lade la igualdad:

- 5 1l - x + x - - x 3 + . . . = ------

1 + X

1 Véase M. Kline (1972: 445-6). .

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resulta, para x = 1:

1 — 1 + 1 — 1 + . . . = 1/2

Pero, por otro lado:

(I - 1) + (1 - 1) + ... = 0

de donde

(1 — 1) + (1 — 1) + . . . = 1/2

es decir, la sum a de nadas produce algo, a saber 1/2. El mundo, por tanto, pudo creado de la nada.

Si Leibniz hubiera observado una mínima cautela en su interpretación dYijing, en luga r de indagar en C hina la mítica búsqueda de un lenguaje universal p

babélico (Steiner, 1980), no habría dejado de preguntarse ciertas cuestiones: ¿a operación entre los trazos chinos corresponden sumas como 1 + 0 = 1 6 1 + 1 = 0¿qué significa el *+’ en------- + --------- = ------- ? ¿qué relación guarda el número decada línea con el número total del hexagrama? ¿cómo puede compaginarse la conm utatividad original de las líneas de los hexagramas con la conmutatividad álgebra (0,1} ? ¿dónde queda la distinción entre líneas jóvenes y viejas, y la invsión de éstas últimas en sus contrarias? El álgebra que pueda albergar elYijing en suinterior es seguramente demasiado com pleja para que ni la formalización de Leibni tampoco ninguna otra de entre las estructuras algebraicas actuales pueda venalojarla. Ya Granet (1968: 269) advertía sobre la inadecuación de tom ar eldao pormera suma aritmética de dos signos opuestos simbolizados por el par yin /yang, asícomo contra el excesivo espíritu combinatorio de Leibniz al buscar en la compoción de los ideogramas chinos un álgebra de caracteres básicos1.

Hechas estas necesarias precisiones, vamos sin embargo a dejarlas por umom ento de lado y ensayar otra lectura algebraica delYijing que, sin la menor pretensión de cálculo universal al modo leibniziano, sí tiene al menos a su favor

conservar algo del sentido del texto original, pues no pone en jue go una oposicabstracta y ajena como la 0/1 sino las oposiciones par/impar, yin /yang, fu lzheng, negro/rojo, — /+ ... que sí pertenecen al propio acervo cultural y ma temático chi

Tras su llegada a China, los jesuítas intentaron transcribir las matemáticeuropeas de la época a las formas de simbolización que allí eran habituales (p¿debían escribirse las ecuac iones vertical u horizontalemente?). Para las ecuacioalgebraicas, en lugar de adaptarlas a la potente forma de cálculo en el tablero, enyaron diversas versiones literales. La que se conserva en el "Nuevo método de ál

1 Esc espfriru, sin embargo, no parece haberse perdido. Thomas Crump (1990: 10), p.e., no vacila en delectar en el 'sistema binario' delYijing un antecedenle de los trabajos de von Newman sobre ordenadores.

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bra" (A’embala xinfa) , escrito hacia 1710, traduce los signos europeos + y - pouna barra entera y una barra partida, respectivamente1. Buscando el mejor motraducir la oposición entre elmás y elmenos al modo de pensar de chino, dieron conla oposición yin lyang tal y como se expresa formalmente en los trazos delYijing: enlas ecuaciones, el lo transcribían como ‘-------- ’ y el *+’ como *------- ’.

Recogiendo esta sugerencia, podemos recordar ahora la clasificación bi

tita de los trigramas que se atribuye al rey Wen:YIN (par) YANG(impar)

Kun Quian- - ( 2 ) Madre o ------ (3) Padre- - ( 2 ) Gran Yin (6) ------ (3) Gran Yang; (9)- - ( 2 ) ------ (3)

H i ------- (3) ------- (3) — —(2) - - (2) - - ( 2 ) ------ (3) Hi ja s ------- (3) - - ( 2 ) ------- (3) - - (2) ------ (3) ------- (2) jos

(8) - - ( 2 ) ------ (3) ------ (3) ------- <3) - - ( 2 ) - - ( 2 ) (7)Sun Li Dui Zhen Gan Gen

En la exégesis china clásica, la atribución de los signos par e impar a loszos elementales permitía, mediante la atribución al trigrama del signo (par o imresultante de la sum a de los signos de sus líneas, caracterizar a su vez cada trigcomo par (femenino, yin) o impar (masculino, yang) según muestra la figura anterior.

Pues bien, si en lugar de marcar las líneas y con los signos 3 lo hacemos con los signos + y - (o zheng y fu ) , respectivamente, y si en lugar detomar la suma com o ley de composición de signos (par e impar) tomam os elducto de los signos + y - según el criterio habitual

entonces el signo (+ ó -) asociado a cada trigrama induce en ellos una bipartque coincide con la del rey Wen: m ultiplicando los tres signos de las líneas detrigrama, los trigramas yin son ahora ‘negativos’ y los yang son ‘positivos’.

Ciertamente, en ningún documento hemos encontrado mencionado modo de asignación y operación, ni las reglas de multiplicación de signos se

Véase J. C. Martzloff (1988: 107) y C. Jami (1986).

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muían en China hasta mucho después del rey Wen. No obstante, de tantas simtudes como se dan entre la tem a sim bólica yin ly ang/d ao y la ma temática zheng/ful wu parece seguirse que la trama de modelos isomorfos (emblematizados por númros y regidos por equivalencias y oposiciones) sobre la que descansa el modo pensar chino bien podría alo ja r otro modelo equivalente , como el aquí ensayaAcaso, entonces, las reglas de m ultiplicación de los signos no sean una adquisictan tardía de la matemática ch ina, pues ya e starían implícitas en el propioYijing. Acaso, entonces, tampoco la imaginaria pre-visión de esas reglas que aqu í hemconjeturado en los trigramas del rey Wen sea un merodivertimento, sino más bienotra m anera de decir lo mismo: una vuelta de tuerca más en ese arte de ir ajustalas ‘denominaciones correctas’ al hilo del eterno va-y-ven de lo mismo.

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Capítulo III

La episteme griega o los límitesde la abstracción

El modo de pensar griego, al tiempo que funda lo que la posterioridad ocdental, y progresivamente universal, entenderá por ‘ma temáticas’, erige tambcomo sombra del edificio cuyos cimientos instaura, una frontera de interdiccione impensables con tra/desde los que habrá de levantarse el pensam iento postey en particular el pensam iento matemático.

Veremos cóm o, en p rimer lugar (III.l), la posición central que en el imag irio simbólico chino ocupa la oposición yin /yang (que escinde inme diatamente todarealidad, incluida la numérica, en parejas de opuestos), en el griego lo ocuparoposición ser/no-ser. E ste punto de arranque, que queda sentado en Parm énidasum irá en lo esencial el pensam iento clásico, fuerza al ám bito num érico a algarse en sólo uno de ambos lados de la barra, en el del ser; con ello, los númy m agnitudes vendrán a com partir la sustanciaüdad, estaticidad, plenitud y exsionalidad que carácterizan la concepción griega del ser, es decir, no podránsino posit iv os, sea com o ‘multitud de unidades’ sea com o ‘medida de ’ un algo. Potro lado, aquí tienen su origen principios apenas vigentes en la racionalidad chcomo es el principio de no-contradicción, cuya ambigüedad pero firme asemiento será decisivo en el b loqueo de lanegatividad, tanto po r lo que o rienta este

modo de pensar como por los argumentos que permitirá sustentar. El imaginagriego cree en los nítidos contornos delejdos con la misma firmeza que el chino lodesdibuja sin cesare n su negación.

Tras sólo seña lar estos a spectos, en los que irán abundando sucesivos epígfes, se rastrean aquellos ám bitos donde hubiera podido esperarse la emergenc ialguna forma denegatividad. Por un lado, ámbitos en los que la m atem ática chinasí construye efectivamente negatividades. Así, el presidido por la categoría oposición ’, represen tado singularmente por el pitagorismo (III.2), y el que g irtomo al ‘no’ (‘nada’, ‘vacío’, ‘no-ser’), donde prima la reflexión de los atomiy, sobre todo, los argumentos en contra esgrimidos por Aristóteles (III.3). Cuno a su manera, ni un camino ni el otro conducen en Grecia a forma algunanegatividad, si no es que la bloquean implícitamente.

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Por otro lado, se exploran otros dos ámbitos en cuyo interior se construirá posteriorm ente, aunque ahora desde la propia tradición griega, ciertas formas negatividad. Uno es el de la logística (III.4), cuya concepción pragmática de lnum érico pudiera haber liberado a los cálculos de toda carga metafísica y permitla manipulación práctica de entidades asemejables al ‘cero’ o a los ‘números netivos’. Pero incluso lo que, a primera vista, pudieran parecermeros cálculos resultanculturalmente cargados: no hay cálculos que seanmeros, cada cálculo —por práctico que se quiera— lleva la huella del imaginario social que lo desencadena. El ámbito es el del ‘álgebra geométrica’ (1II.5), donde el método deaplicación de áreas plantea problemas ‘equivalentes a’ ecuaciones de segundo y tercer grado las que la tradición posterior observará —ya desde otra sensibilidad— modos negatividad sobre los que construirán las ‘magnitudes imaginarias’. Pero tampocel espacio en que se construye este álgebra es un espacio libre, indeterminado, sque es un espacio construido por los presupuestos de tal álgebra, un espacio que

aloja a los segmentos y a los cuerpos sino que bro ta de ellos, dibujando sus connos, impidiéndoles vaciarse en su negación. La considerac iónpor otra parte, de diorismoi, o investigación de las condiciones en que un problema tiene o no solución, alcanza una cima de la racionalidad matemática griega al volverla sobremisma para explorar sus propios límites. Pero esa cim a es también un techo, pual investigar las condiciones de posibilidad en que pueden encontrar respuesta ctos problemas, instaura — o descubre— también una frontera más allá de la cuaepisteme no puede pensar, pone límites al territorio de lo que tendrá como posiy, a la vez, instituye la región de su propia imposibilidad (la cual incluye, ciermente, una imposiblenegatividad).

Por último, se señalan (11.6.) ciertos rasgos de la epistem e griega que se mafiestan bajo estos ámbitos y determinan, a nuestro juicio, la imposible emergende lanegatividad. Se trata de: a) una cierta concepción del espacio de representación como espacio extenso, con el consiguiente pre-requisito de perceptibilidsensible para objetos, procedimientos y determinación de las condiciones en qla solución a un problema se tiene por existente o representable; y b) un modo pensar que procede por abstracción, a partir de lo que de común se muestra a sentidos; es decir, un proceso de ordenación del mundo, y de los saberes, gobnado por la determ inación progresiva de géneros y especies. Frente al pensamie por analogía y por oposic ión, propios de la episteme china, e l pensamiento por atracción (aphairesis) carga definitivamente el alcance de la sustracción (aphaire-

sis ). La operación de la resta no puede llegar adonde tam poco puede hacerlo laabstracción. Y toda esa parte de realidad que así resulta inalcanzable, se decidinexistente en virtud del principio de no-contradicción. Con todo, ninguna de eindagaciones se agota en el presente capítulo; será en el siguiente, ya ceñido acondiciones conc retas en que sí tiene lugar de modo efectivo la primera emegen

de ciertanegatividad formal en Occidente, cuando buena parte de lo que ahora seesboza tenga ocasión de profundizarse gracias a la mayor concreción del objet

* * *

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Tal vez sea el acontecimiento de los Hamacas ‘irracionales’ el que con mnitidez haya puesto de manifiesto estos problemas. Y tal vez a ello se deba la prosión de estudios que ha suscitado. Su escandalosa irrupción en el seno de la cultgriega obliga a ésta a la prodigiosa tarea de repensar los límites de su p ropia fordé racionalidad en el preciso momento de empezar a consolidarla. Sus intentossometer a razón lo que no se sujeta a razón ni proporción alguna — álogos — , asícomo la búsqueda de caminos alternativos que permitan evitar hablar de aque para lo que no hay palabras — álogos — , exhiben con precisión toda la potencia deeste modo de pensar, pero también alguno de sus límites más significativos.

En cualquier caso, la propia condición de p roblema que para la razón grieadquiere la cuestión de los irracionales es signo de su perceptibilidad parai forma de razón. Se trata de un obstáculo que es capaz de percibir, siquiera scortio contradicción con sus pre-supuestos, y al que intenta hacer frente con los trumentos m atemáticos que puede construir, dentro — claro está— de lo que

propio cerco cultura l perm ite pensar. Buen ejem plo de ello es el abandono de potente teoría pitagórica de proporc iones cuando se observa que el procedim iede antaphairesis que conlleva puede desembocar, como en el caso de m agnitudeinconmensurables, en un proceso indefinido. Y, pese a que la nueva definición proporcionalidad aportada por Eudoxo perm ite evitarlo, Euclides re trasará introducción todo lo posible (no lo hará hasta el Libro V de los "ElementosHasta entonces, interpreta una proporción numérica del tipo x/a = b/c como uigualdad de superficies: x • c = a • b. Lo cual, si salva un obstáculo técnico (aunciertamente anclado en uno más profundo: la aversión griega a lo falto de límiconsolidará otro que actuará como auténtico obstáculo epistemológico paraemergencia de lanegatividad: la presunción de extensionalidad (longitudes, áreas,volúmenes...) de los datos, procedimientos y soluciones aceptables en un p blema, es decir, su geometrización.

La cuestión de lanegatividad se sitúa así en un ám bito bien diferente. De ellaveremos que ni siquiera se hará cuestión, pues — si en algún sentido puede decque estéah í — pasa inadvertida. La racionalidad griega clásica no choca con negatividad, como sí topó con lairracionalidad, porque no tiene modo de advertirla, siquiera fuera como contradicción o sinsentido. Su pensamiento visual puedeni verla. Lo que otras formas de razón, herederas de laóptica griega, habránde afrontar como el obstáculo de la ausencia, aquí tan sólo es ausencia de obculo. Se trata de un problem a que — literalmente— no tiene lugar. No que atecontra la razón, la percepción o el discurso, sino que es impensable desde forma de razón, imperceptible para esa sensibilidad, indecible desde ese discu

Acaso por ello los aná lisis de las dificultades griegas para pensar lanegatividad sean tan escasos, y más aún en el ámbito de su matemática. Aquí no casiquiera rastrear esos ‘gérmenes’ o ‘intuiciones embrionarias’ que tanto apete

las historias ‘progresistas’ y que tan abonado sue lo encuentran, por ejemplo, eninconmensurables com o ‘anteceden te’ del cálculo infinitesimal. Loá-logon des borda el discurso pero encuentra en éste no sólo nombre sino modos de hablaello y perífrasis desde las que abordarlo (no otra cosa que una gran perífrasis

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toda la teoría de proporciones de Eudoxo). Lanegatividad no sólo supone unaausencia en el discurso sino tambiénausencia de discurso, com o ponen de relievelas piruetas semánticas a las que — como consideraremos en detalle— Diofantoverá obligado para conseguir nombrar lo innombrable (‘lo que falta’:leipsis), queél mismo opone a la existencia (‘lo positivo’:hyparx is ).

Si las construcciones efectivas de las matemáticas de tradición griega, desla árabe hasta la europea, no sfe entienden sin aquélla1, no menos cierto es que t poco pueden entenderse sus modos de afrontar, rechazar o construir lanegatividad sin considerar las dificultades heredadas de la tradición clásica. Éste es el casolos hab ituales análisis — sean más o menos positivistas, idealistas o ma teriatas— , para los que se trata de una m era ‘laguna’ del gènio griego, de un ‘estaden el ‘desarrollo’ de las matemáticas que ‘aún no’ ha alcanzado a alumbrar ‘números negativos’, como si éstos formaran parte de algún continente remotoel que las expediciones helénicas no consiguieron desembarcar.

Así, para Bourbaki (1972: 102-3), "Euclides, en sus Elemento s, se limitaexclusivamente a tratar problemas [algebraicos] que pueden resolverse de emanera [i.e. con regla y compás]”, por lo que puede decirse que "la teoría deecuación de segundo grado (...) se perfecciona durante toda la Edad Med(núm ero de raíces, raíces negativas, caso imposible, raíz doble)". Pero ¿es Eucliquien ‘ se limita a’ o más bien se encuentra él mismo limitado por un cerco cultuque le impone restricciones como la menc ionada? Más aún ¿cómo puede ‘perfcionarse’ una ‘teoría de la ecuación de segundo grado’ que no existe como talla Grecia clásica? ¿Puede llamarse ‘perfeccionamiento’ a la construcción de uobjetos teóricos que, como Tos ‘números negativos’, carecen de todo sentido delos presupuestos de esa racionalidad supuestamente perfeccionada? Más bi parece que, en lo que a lanegatividad se refiere, la ma temática griega está pe rfectamente rematada, pues no deja abierto ningún problema que — como sí ocurre los irracionales— la posterioridad pueda venir a resolver. ¿Cóm o, si no, una mam ática unánim emente tenida por mediocre y falta de rigor, como la del medioeuropeo, habría sido capaz de ‘perfecc ionar’ los logros del ‘genio griego’?.

A la misma ausencia de respuesta aboca el otro extremo de la ‘explicació

historicista —el materialista—, cuyo idealismo corre parejo, en este punto, conformalismo bourbakista. Según Aleksandrov y otros (19 73 :1:59), "los griegos e ban ya en posesión de gran parte del material del álgebra elemental contemporá pero no, en cambio, de los siguientes elementos esenciales: los números negvos...". Elmaterial de estos materialismos no parece tener otra función que la darrasar cualqu ier diferencia entre los distintos m ateriales para poder así integraen un todo ideal, y necesariamente transhistórico, del cual cada época — unas ‘

1 Más aún: "Nunca ha habido, y hasta que no lo veamos nunca creeremos que pueda haber, un sistema de geometría merecedor de tal nombre, quesuponganinguna desviación materia! (no hablamos de correc-ciones o extensiones o desarrollos) del plan establecido por Euclidcs", escribía De Morgan en 1848 y asume Sir Thonias L. Hcath (1956) en el Prefacio de la mas prestigiosa versión actual de los "Elementos".

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otras ‘aún no’— iría tomando ‘posesión’ progresivamente. Pero ¿cómo va a pola matemática griega ninguna parte, por material que se quiera, de un álgebracontemporánea- de la que le son ajenos desde los métodos hasta los propios pre puestos? ¿Para qué matemática olímpica resultan ‘esencia le s’ los números negvos? No, desde luego, para la matemática griega, para la que no só lo hubieran inesenciales sino perfectam ente innecesarios.

Es, pues, un flagrante anacronismo limitarse a señalar lo que la matemátgriega no ‘des-cubrió’, como si ya estuviera oculto en algún lugar del tiempdel espacio. Buscarem os m ás bien en aquello que sí hizo positivamente, en el ficio conceptual y metodológico que ella levantó, los rasgos del material coc u a l— y contra el cual— las m atemáticas que le son deudoras se verán forzaa construir sus formas denegatividad ; tantearemos los perfiles de la sombra decuyo seno emergerá. Pues en la medida en que ese edificio se constituye potros modos de pensar posteriores en modelo de lo que habrá de ser tenido ma temáticas, en paradigm a de¡a matemática, será p recisamente su insólito nivelde perfección y rigor el que actúe com o poderoso obstáculo epistem ológico pla construcción de sus formas denegatividad. Salvo matemáticas arraigadas enimag inarios sociales del todo ajenos al griego clásico — como las chinas, las janesas o las hindúes— , las matem áticas de Diofanto, las árabes, las de la Eurmedieval, las renacentistas o las ilustradas habrán de hacerse en esa encrucijde su propio imaginario colectivo y el super-yo del ideal clásico.

En ocasiones este conflicto entre el legado clásico y las nuevas significacioemergentes, que aún no se han constituido —o no llegarán nunca a constituirs

coherentemente com o paradigma alternativo, pero que en cualquier caso ya ncorresponden con unas significaciones ideales que han quedado congeladas, atece de forma singular en la obra de ciertos matemáticos. En Diofanto o Card por ejemplo , la tensión entre significaciones la tentes y construcciones explícitallevará a permitirse, en un nivel de conciencia residual o instrumental, operacie incluso formulaciones que, sin embargo, a un nivel consciente se censuran mmenos abiertamente. Serán necesarios ciertamente los que Perménides (B.6llama "hombres de dos cabezas" para poder pensar lanegatividad después de laexclusión eleática del no-ser del ám bito de lo pensable.

Sólo así podrán entenderse (tal es, al menos, una de las principales tesis aquí proponemos) ciertos rasgos comunes a las emergencias en Occidente dediferentes modos denegatividad. Como es, por ejemplo, su coincidencia conmomentos de debilitam iento del ideal euclídeo, en particular, y clásico, en genmomentos en que nuevas significaciones imaginarias se abren camino por entrgrietas del paradigma heredado, sorteando eldeber ser que éste imponía a su hacermatemático. En esos momentos se desdibuja la frontera entre lo que se tiene posible e im posible , real e im aginario, verdadero y falso, que es y que no es, nay artificio, evidente y necesitado de argumentación, racional y absurdo, positinegativo... y en esa tierra de nadie se van abriendo paso nuevas significaciondesbloqueando sentidos obstruidos. Razón por la cual lonegativo se formula enestas coyunturas siempre de forma balbuciente, a menudo contradictoria, com o

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tido casi sinsentido, fruto frágil de una negociación — inconsciente en sus inicioentre significaciones imaginarias heterogéneas, cuando no irreductibles o antagócas. Razón a simism o por la cual a la forma de racionalidad — y, en particular,racionalidad matemática— dominante se le aparece lanegatividad, en cada una deesas encrucijadas, com o amenaza, como el presentarse de una sombra hasta entonces indiscernible, ante la que no podrá reaccionar sino tambiénnegativamente.

Así, po r ejem plo, esos entes imposibles para la m atemática euclidea que sono-son las raíces cuadradas de números negativos serán recibidos —una vez lirados por la fantasía manierista de finales del siglo XVI— como si se tratase meros delirios, núm eros ‘imaginarios’ para Descartes, ‘anfibios entre el ser y el se r’ para Leibniz, ‘fantásticos, porque sólo existen en la imaginación’ para Eu‘absurdos’ para Carnot, ‘ininterpretables’ para Boole, ‘sin sentido’ para Cauc‘una impensable no-cosa’ para Lambert...

No puede ser casual un despliegue tal de valoraciones negativas de lanegatividad, una vez que la tradición occidental ha de hacer frente a su emergencia. Como tampes insignificante que, para calificar a lo que parecerían ser unos meros objetos mateticos, se recurra a una gama de adjetivos que barre tan diversos ámbitos semántico psicológico (‘imaginarios’), el lógico (‘absurdos’), el ontològico ( ‘no-ser’, ‘no-cosaestético (‘fantásticos’), el hermenéutico (‘ininterpretables’, ‘sin sentido’), el gnosegico (‘impensables’) y hasta el biológico (‘anfibios’). ¿Qué especie de obstáculo otabú en tomo a lanegatividad deja en herencia el modo de pensar griego, que su transgresión afecta tan profundamente a su forma misma de racionalidad?.

Buscaremos, ciertamente, la respuesta en sus matemáticas, unas matemáticque así se nos van revelelando entreveradas —desde esta singular perspectivatanto con el núcleo de la reflexión filosófica explícita como con los presupuesimplícitos en que am bas — filosofía y m atemáticas— descansan, con aquelcreencias que, desde el fondo de la episteme griega, bloquean la emergenciacualquier modo denegatividad.

III. 1. La oposición pa rm en íde a ‘no-se r/ser ’y la creenc ia en el principio de no-contradicción

Si en China la pareja'yin/yang' proporciona el sustrato simbólico desde elque construir diferentes modos de oposiciones num éricas, y la categoría vacía‘wu’ (sobre la que pivota la oposición yin /yang) determina un ‘no’, ‘hueco’ o ‘centro’que da sentido a los respectivos ‘ceros’ que permiten hacer operativas esas opeciones, en G recia será otro tipo de distinción el que oriente de raíz su modo de psar: la distinción ser/no-ser. Por decirlo brevemente, y en un evidente abuso de guaje, podría decirse que, en esta transición — ciertamente ideal— de un modo

pensar a otro, tanto la determ inación yin (de la oposición yin/y ang) como la determinaciónwu van a caer ambas del lado izquierdo de la oposición griega no-ser/seEsto es, tanto yin comowu van a perder su carácter determinado (que les hace dis-cemibles entre sí) y determinante (de oposiciones formales, p.e.) para ingresar

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el ámbito de la indeterminación, por cuyo sum idero el m odo de pensar griego cúa todo cuan to se opone al lado derecho de la barra, que es el del ‘se r’. Com oser,/« ywu se fundirán aquí en una y la misma indistinción, donde el ‘vacío’ físila ‘nada’ aritmética o la mera posibilidad de 'me nos que nada’ (a que ahora quereducidos los nom bres/ números que descansaban sobre el lado yin y que losdiorismoi griegos rechazarán — con toda ‘razón’— por impensab les) se confundenla indefinición del no-ser.

Del o tro lado de la barra (manteniendo este paralelismo abusivo), el ám bitoser se solapa con el del yang. Y el juego de biparticiones (‘positivo’/'nega tivo’) que

yang proyectaba en su interacción con yin pierde su sentido, toda vez que la barra del par no-ser/ser sólo separa y no comunica ambos lados, como sí ocurre con la bdel yin /yang. Así, la bipartición pre-conceptual de la que arranca toda conceptuazación china se sustituye en Grecia por la única distinción posible: el juego de cficaciones a que dan pié las determinaciones sucesivas del ser (pues del otro ladodel no-ser, no cabe determinación), es decir, la procesión de géneros y especies (almodo aristotélico) o de hipóstasis del uno (al modo platónico); una procesión qucaenecesariamente del único lado de la barra en el que aquí cabe la determinacióy, por tanto, el pensamiento y el número: el lado de la positiv idad del ser.

La simetría que preside el paradigm a chino es ahora asimetría radical. Bu parte del mejor pensam iento griego se entregará a negar, no sólo la im posibilde tránsito entre un lado y otro de la barra que separa el par ‘no-ser/se r’, sino bién entre las sucesivasdiferencias que van especificando el ser (ley de ‘incomunicabilidad de los géneros’, p.e.). La barra griega es intransitiva e intransita pues ni une/separa ám bitos homogéneos (es más, de un lado hay indeterm inay del otro determinación, en lugar de dos modos de determinación opuestosexiste elem ento identificable alguno que pudiera ejercer dequicio que articulara lainteracción de no-ser y ser, comowu articulaba la acción recíproca de yin y yang.

Si el texto clave que condensa el soporte pre-conceptual de la episteme chlo fijábamos en la sentencia del Xici:

"Un [aspecto] yin, un [aspecto] yang: eso es dao"

el que ahora constituirá la columna vertebral del modo de pensar griego sercélebre pasaje de Parménides:

"Ea, y yo te diré (guarda tú la palabra que oigas)las vías que solas ver como vías de búsqueda cabe:la una, la de que es y que no puede ser que no sea.es ruta de fe y de fiar (pues la verdad la acompaña);la otra, la de que no es y que ha de ser que no sea,ésa — te aviso— es senda de toda fe desviada:que lo que no es ni podrás conocerlo (eso nunca se alcanza)

ni en ello pensar."1

1 Las citas de Parménides lo son de la versión de A. G" Calvo (1981).

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Tal es "el corazón sin temblor de la bienredonda verdad" que revela la dioComo tampoco en China el complejo simbólico yin/y ang/d ao, no se trata aquí deun mero pensam iento sino de algo que funda la posibilidad del pensam iento misy que, por tanto, lo excede. Se trata de unacreencia, en su sentido más profundo:algo que no es pensable porque es aquello que permite ponerse a pensar.

Que "[ser] es y que no puede ser que no sea" no es algo que ponga ahí Par-ménides ni ningún otro griego: es algo que seimpone desde el m agm a de significaciones pre-racionales sobre el que se erige la racionalidad clásica, determinandecididam ente sus fronteras. Se trata de unarevelación de la diosa, de la que Par-ménides se limita a hacerse eco. Es una convicción que le viene de fuera, con tla carga de mandatos e interdicciones propias de la pa labra sagrada:

"Debe ser cosa el decir y el saber: pues cabe ser algo;mas no ser nada no cabe; en lo cual meditar te aconsejo;

pues de esa vía de busca te rechacé la primera .’’

La primera gran formulación de la metafísica del ser, que fundamentará cuerpo principal de la racionalidad griega, brota de la tajante distinción entreque ‘cabe ’ y lo que ‘no cabe ’, lo que ‘es posible’ y lo que ‘no se puede’. El ám bde posibilidad que cubre lo decible y lo pensable dibuja los dominios del ser. Mallá, en la imposible región donde ni el discurso ni el pensam iento tienen sobre descansar, lo que se aloja es precisamente lanegatividad.

La ‘imposibilidad’ delo negativo no es, sin em bargo, una conclusión racional de ese monumento a la razón que es el poema parmenídeo, sino un pre-s puesto de la racionalidad que en él se va a desplegar: se pone previamente debdel acto de pensar y, por tanto, de sus consecuencias. Y se pone imperativamen‘debe ser’, ‘te ordeno’, ‘no te perm ito1... No es fácil reconocer aquí a ese "pendor que no conoce otro deseo que el de conocer, ni siente otra fuerza que la delógica" (K. Reinhardt, 1916: 256). Sino más bien a alguien que, sobrecogido "una auténtica experiencia religiosa", como apunta Jaeger (1952: 99), se siente zado a dar testim onio del misterio que le ha sido revelado: el misterio de la idedad del ‘ser’ y el tabú del ‘no ser’, tabú de influencia decisiva en la ausenciatratamiento de la negatividad también en el pensam iento m atemático2.

1 Estas variantes mas explícitamente imperativas son las recogidas en otras versiones, com o las consideradas en C. Eggcrs y V.E. Juliá (1978).

■El principio de identidad que aquí se le impone como evidencia a Parménides, y que ahormará toda la episteme occidental (aunque no, como hemos visto, la china), será el que habrá de verse soca-vado para que entidades como el ‘cero’ puedan, aunque penosamente, llegar a construirse. Para definir el ‘cero', Frege (1974: 87), padre de la fundamentación lógica de la aritmética en términos modernos, se verá obligado a violentar el principio de identidad con un escorzo que sólo puede entenderse desde la tradición parmenídea: "Como no hay nada que caiga bajo el concepto ‘no idéntico cons igo mismo’, defino el cero como sigue: 0 es el número que pertenece al concepto ‘no idéntico consigo mismo’".

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"Nosotros acabamos de asumir(nyn eiléphamen) como imposible que el entesea y juntamente no sea. y mediante esto(diá touto) hemos mostrado(edeíxamen) que es el principio más seguro de todos” (IV, 3, 1006*3-5).

No se trata , es cla ro , de una prueba (apódeixis) sino de una ‘mostración’, deun ‘hacer ver’ (deíxis). Aristóteles sabe que no tiene sentido inten tar siquiera pro bar un principio , por lo que südeíxis, observa Ortega (p. 179), es "una prueba queno acaba de ser prueba, pero que es una prueba". De hecho, el párrafo anterma nifiesta que tal principiotambién se le aparece a Aristóteles como conclusiónde una demostración que, si no hace explícitamente, sí se le hace implícitamente a partir de la propia definición de principio , que cumple cabalm ente el enunciadode. no-contradicción :

"El principio más firme de lodos será aquél con respecto al cual es imposib

padecer error. Tendrá que ser el mejor conocido, necesario y no-hipotético . Aho bien; un principio que es necesario aceptar para comprender cualquier en te, nohipotético. Y lo que es necesario para conocer cualquier ente es necesario que tenga conocido de antemano" ( Metaphysica, IV, 3, 1005b14 ss.).

Pero, con todo, aún am enaza con la posibilidad de problarlo:

"... y, si de algunas cosas no se debe buscar dem ostración, ¿acaso pueden decnos qué principio la necesita menos que ésie?

Pero se puede dem ostrar por refutación también la posibilidad de esto [que umism a cosa sea y no sea al mismo tiempo], con sólo que d iga algo el adversariosi no dice nada, es ridículo tratar de discutir con quien no puede decir nada, en taque no puede decirlo" (IV, 4, 1006*10-14).

Lo más sorprendente, com o observa Ortega, no es ya la ‘prue ba ’ implícita princip io de no-contradicción, sino que se ‘pruebe’ también el principio de tolas pruebas. Y, más aún, que así resulte como principio del conocer lo que em pqueriendo sentarse como principio del ser.

Pero acaso sea más significativa aún la reacción inmmediata de Aristóteltras su forcejeo con el principio de no-contradicción: la agresividad<jue se le ata a alguien tan comedido com o él ante quienes, com o H eráclito, ponen en ctión su evidencia. "Aristóteles no se limita a declarar que, a su juicio, Heráclit padecía un error, sino que le acusa de decir lo que no piensa, esto es, que mieY llama a los demás que duden de ese principio o reclamen claridades sobre«incultos» (apaideusía). Y dice que si no lo admiten, no pueden ni hablar, que sonunas hortalizas, unos melones ( phytó n)" (p. 183)'. Tras esta respuesta emocionalOrtega no duda en advertir el ‘fanático apasionamiento’ con que se reacciona a

1 En realidad Arislólles se limita a compararle con una planta(hómoios y pliylOi), aunque la intención es claramente despectiva.

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una creencia amenazada, la ‘protesta religiosa’ de un ‘fondo colectivo’ que puesta en tela de ju icio una de sus más arraigadas evidencias. El mismo Aristóteasí parece asum irlo en algún momento:

"Todos los que demuestran reducen [sus demostraciones] a este [principio

como a creencia última(eschálen dóxan); pues es ésta, por naturaleza(physei), princip io(arché) también de todos los demás axiomas."(Metaphysica, IV, 3,1005b32-34).

Los órdenes religioso (‘creencia última’), fisico (‘por naturaleza’) y lógi(‘principio’) se encuentran aquí profundamente entrelazados. Algunos1han qrido ver en esta confusión la inmadurez de un ‘Aristóteles joven’ para el qdemostrar significaba, ante todo, refutar; inmadurez que superaría una vez cotruida su propia silogística. Bochenski aduce ciertos pasajes de los Analí ticos- en

los que puede formarse un silogismo tanto con premisas contradictorias com o ctrarias (p.e. partir de que toda ciencia y ninguna ciencia es m oralmente buena, pconcluir que, por tanto, ninguna ciencia es ciencia), es decir, pasajes donde Atóteles m ismo viola el principio de no-contradicción3. Por m ucho que estos casean excepc ionales (en uno de los silogismos aducidos incluso se encuentra un mino medio que es un nombre individual), no parece arrojar mucha luz sobreasunto el hecho de que el propio Aristóteles pase, con esto, a engrosar las filaslos vegetales a los que antes había condenado al silencio.

Con todo, Aristóteles no hace sino inauguar, también en esto, una larga tración de desconcierto y confusión (entre la dimensión ontològica y la lógica) tomo a uno de los aspectos de lo que hemos llamado el tabú de lanegatividad. Baste citar la retahila de improperios que dedica el propio Parm énides a quietransitan el camino del no ser, donde los "mortales que no saben nada se tuerccabezas de a dos: que falta de tino en sus pechos les traza derecha la idea torciy van arrastrados, sordos y ciegos al par, pasmados, tropa indistinta...”.

No será de extrañar que los razonamientos porreductio ad absurdum, basados en este principo, se cuenten entre los preferidos por la tradición de hereneuclídeo-aristotélica para dem ostrar laevidente imposibilidad de ‘algo m enor quenada’. No cabe mejor modo de argumentación para ir encontrando conclusio‘absurdas’ o ‘imposibles’ que reafirmen el pre-juicio que provisionalmente, ysin paten te malestar, se hab ía supuesto negado. Será en nom bre de su obsesiva ‘gencia de claridad’ como Lazare Camot, p.e., se apreste a demostrar que "pobtener realmente una cantidad negativa aislada, habría que quitar (retrancher ) de

1 Véase, p.e., 1. M. Bochenski (1976: 73 75),2 Analyticaposteriora, A 11,77*10 18, y Analyticapriora, B 15,3 Com o también lo viola, según observa A. Escohotado, la misma construcciónousía-morphé,

aunque ésta sf es central en su pensamiento.

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cero una cantidad efectiva, sacar (óter) algo de nada: operación imposible". Elargumento, que toma de d’Alembert y le parece ‘sin réplica’, es el siguiente:

"Sea, dice, esta proporción 1 :- 1 ; si la notación combatida fuera cierta,es dec ir si -1 fucra menor que 0, con más razón sería menor que 1, luego el segundtérmino de esta proporción debería ser menor que el tercero; es decir, que 1 deber

ser menor que - 1; de donde - 1 sería a la vez menor y mayor que 1; lo que es contradicto rio"1.

Ciertam ente puede objetarse que lo que C arnot usa mal no es el principio no-contradicción sino la teoría de proporciones, pe ro esa objeción sólo es taldes

pués de saber lo que ‘realmente’ son los números negativos. Mientras que el pr ble m a es en verdad problema, es decir, en el momento mismo en que se está inttando determinar la posibilidad o no de algo, el principio de no-contradicció puede convertirse en el método ideal para legit im arlógicamente todo tipo de pre juic ios.

El m ismo d ’Alem bert juga rá con la irresponsab ilidad de ese ‘imposible’ quse acaba concluyendo, para rehacer a su gusto el enunciado de partida. Si el restado ‘imposible’ de una ecuación es un número negativo o fa lso , será señal de queen el enunciado que da origen a la ecuación debemos sustituir ‘añadir’ (o sus alogos) por ‘sustraer’ (o sus análogos), y viceversa. Pero si el ‘imposible’ es número imaginario (una especie de imposible de segundo orden, pues hay "direntes especies de imposibilidad"2) el enunciado de partida no tendrá enm iendhabrá de declararse directamenteabsurdo: no es la conclusión lo ‘imposible’ sino¡el propio prob lem a planteado! A estos callejones sin salida llevan los únicos camnos por los que, tras la huella de Parménides, permitirá la diosa transitar al penmiento griego. No obstante, también se esbozaron otras vías alternativas, comoensayada por el pitagorismo.

III.2. El jue go de las oposiciones.Su p osibil idad y ano nad anien to en el pitagorism o

Pueden distinguirse dos modos griegos de acceso al ser, que se ejemplificrían en Pármenides y Aristóteles. El primero procede dialécticamente, por negción del no-ser y, al tiempo, de las cosas sensibles. El segundo, abstractivamena partir precisam ente de la atribución de sustanc ialidad a las cosas sensibles qu primero negaba; a este part ir de lo sensible en el proceso del conocim iento — qanalizaremos en su deta lle en III.6— es a lo que llamarem os, siguiendo a Orte‘sensualismo’ griego. En ambos casos, sea por anonadamiento explícito del no-

1 L. Camot (1803); cit. por G. Glacscr (1981: 325 6).2 Véase la voz "Equaiion” en la edición de 1756 de la Encyclopédie.

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sea por imposibilidad implícita en la superabundancia del ser, es el propio nervdel pensamiento, no sudictum, el que excluye categóricamente toda posible alusión a cualquier forma denegatividad que no sea para, negándola, afirmarse a símismo.

La falta de un pensamiento de la falta no es así, en Grecia, una fa lta de pensamiento ni una fa lta del pensamiento: ni esa ‘laguna a colm ar’ ni ese ‘erro r excusable’ con que suelen ‘explicar’ las historias de la matemática la ausencia ‘números negativos’ en la ma temática griega. La ausencia de la ausencia más bha de buscarse en la sombra imposible de una sobredeterminación de la presencia.

En este punto el modo de pensar griego no es incorrecto, lo cual no quiedecir — en la línea de una sociología fuerte del conocimiento— que como pensamiento ‘correcto ’ no esté m enos necesitado de explicac ión que el ‘falso’. Más cuando ciertas ‘incorrecciones’ suyas han de revelarse extraordinariamente fruferas y es, en cam bio, su ‘correción’ la que está precisamente en el origen de ctos obstáculos epistemológicos con los que habrá de vérselas la construcción mmática de lanegatividad. Pues ésta habrá de levantarse, ciertamente,contra ambos pre-juic ios — el de ‘sensualism o’ y el de ‘no ser del no-ser’— qué, como hemvisto, fundamentan, a través del modo de pensar griego, también su matemátiPero habrá de levantarse, y no menos,a partir de ambos prejuicios, asumiéndolos, pues form an parte de la única matemática, tenida por tal, en la que la tradicaceptará moverse. El dilema en el que veremos debatirse a cuantos matemátiafronten lanegatividad será el de cómo negociar la erradicación de aquellos pre

juic io s, ya erosionados por su recepción en un medio cultural diferente , sin der

con ello todo el edificio formal que so-portan. De hecho, el propio pensamiegriego no dejó de aportar una potente reflexión en este sentido, si bien es cieque, a nuestro juicio, de una forma residual, cuando no a contrapelo, respectosu corriente principal.

Nos refe rimos a la cadena de pensamiento que une a Anaxim andro con l pitagóricos, Herácli to , un cie rto Platón y los atomistas; una cadena a cuyos e bones se les han atribuido, significativamente, fuertes influencias orientales. categorías de ‘oposición’ o de ‘vacío’, que se mostraron decisivas para las cotrucciones chinas de m odos formalizados denegatividad, juegan un papel centraltambién en esta cadena de pensamiento. En particular, les son comunes una sede rasgos de especial relevancia para nuestro propósito: a) lanegatividad — seacomo privación, oposición, contrariedad o puro no-ser— es elemento fundantesu concepción del cosmos, frente al culto a la positividad, completitud, reposde-terminación que com parte el grueso de la concepción clásica; b) frente a la eticidad y consecuente espacialización (que, en m atemáticas será geometrizacidel cosmos clásico, el suyo es un cosmos hecho de tiempo y sucesión alternanteopuestos (Ham ilton hará una lectura temporal, en clave neokantiana, de los núm

ros complejos, cuando todos los esfuerzos estaban dirigidos a su representacespacial); c) sus conceptos fundamentales están concebidos, y a menudo e xplícmente definidos,negativamente, lo que para el griego no orientalizado es signo deimperfección e insuficiencia; d) todos ellos parecen haber sufrido, de un mod

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otro, un poderoso influjo de formas orientales de pensamiento, formas en las qsí tuvo cabida una cierta formulación de lanegatividad matemática. Cada uno deestos rasgos aparece ya en el célebre fragmento de Anaximandro:

"Principio y elemento de todas las cosas es loápeiron (...) El nacimiento a losseres existentes les viene de aquello en lo que convierten al perecer, según la nec

dad; pues se pagan mutua pena y retribución por su injusticia según el orden tiempo"

Según D iógenes Laercio, Anaximandro inventó el gnomon (para conocer solsticios, las horas, las estaciones y los equinoccios) y también construyó difertes relojes. Su imagen de contrarios brotando de la pura in-determinación, en la al cabo se resuelven y de la que adquieren sentido, es una imagen que, de haalimentado una matemática, bien podría haber albergado unanegatividad formalaná loga a la china. En Anaximadro, el ausentarse (como laleipsis en Diofanto, quedespués se traducirá por‘minus’) es un proceso tan operativo como el presentarse(aunque éste segundo aparecerá sobrevalorado en Diofanto, ya bajo influencia atotélico-euclídea, comohyparxis: existencia positiva, entendida como forma deatribución que le corresponde al 'se r’). La potencia generadora de la negativies simétrica, y de signo opuesto, a la de la positividad, ambas se co-relacionadefinen — más aún, se generan— mutuamente. La una no es sino la sobreadundcia de la otra. El ‘exceso’ y el ‘de fec to’ de la una sobre la otra no privilegia ningde los dos posibles sentidos: la ‘injusticia’ o predominio de lo positivo es tan p

ble — y ‘necesario’— como su inverso. Ambos tienen sentido en la doble acepcdel término: ambos significan en igual medida y ambos estánorientados, en direcciones opuestas. Mejor dicho, no tantotienen sentido cuanto son ellos, a travésdel juego de su ‘mutua retribución’, los quedan sentido: es precisamente de esatensión entre ambos de donde adviene el sentido. Por último, ese ‘pagarse mu pena’ se resuelve en anulación recíproca, en pérdida de la determ inación — ptiva o negativa, por exceso o por defecto — que, orientándoles, les daba el serde jus ticia que se equilibren mediante su disolución en loápeiron. Unápeiron que, por ser principio , re lanza incesantemente el juego de los excesos, defectos y alaciones que también sin cesar en él se resuelven.

Dos rasgos carácterísticos del pitagorismo hubieran tal vez podido orienesta dialéctica hacia algún modo denegatividad formal, com o de hecho sí lo hicieron en China unos rasgos bien sem ejantes. Po r un lado, la primacía concedida aritmética sobre la geometría, frente a la geometrización que carácterizará am atem ática aristotélico-euclídea. P or otro, el ‘libre’ juego de oposiciones en el se articula y define su concepto de número. Detengámonos en uno y en otro.

Pa ra Arquitas de Tarento (428-365 a.C .) sólo la aritmética, y no la geometr

puede sumin istrar demostraciones satisfactorias. Si éste era el enfoque pre donante entre los matemáticos de sólo una generación antes del nacimiento dmétodo axiomático, para Neugebauer no cabe duda de que las matemáticas haaquí desarrolladas, de clara influencia mesopotám ica, no podían ser muy diferen

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de las que después encontrarem os en los alejandrinos, como Herón y D iofantono conviene olvidar que será en éstos donde em ergerá la primera articulación fmal de lanegatividad en Occidente. El evitamiento de los inconm ensurables, y laaversión a tratarlos m ediante un procedimiento atomista, habrá de ser lo que trque el ejercicio de esta matemática hasta su recuperación casi cinco siglos mtarde.

En el contexto de esta supremacía del dominio del número sobre el de extensión abstracta, la escuela pitagórica más próxima a lo que despué s se cocerá como aritmología1desarrolla una desenfrenada especulación numérica, puro juego form al donde los números no se someten al freno de ser ‘número de‘medida de’ unalgo, cuyo m odo de sòr le condiciona, sino que, por el contrarioson los números en su esencia, definida por sus solas relaciones recíprocas, los imponen su modo de se r a las cosas. Hasta el punto de que, para esta escuela, codiferentes "serán las mismas entre sí, puesto que la misma especie.(eidos) denúm ero les pertenece"2. Compartir, por ejemplo, eleidos de la ‘dualidad ’ asem ejamás entre sí a dos parejas heterogéneas de objetos— como { a ^ a j y {b , , b j — qla semejanza derivada de su hom ogeneidad en tanto que objetos — com o {a ,, a{a ,, a2, a3)— pero escind idida por el abismo que separa a quienes pa rticipan d‘dualidad’ de quienes lo hacen de uneidos distinto, com o sería la ‘trialidad’. Otrotanto puede decirse de los números ‘pares’ e ‘impares’, ‘amigos’ y ‘enemigoscualesquiera de las muchas divisiones de los números habituales en sus escuelaque se fundaban en su prop ia estructura interna o en sus relaciones recíprocas,vez de hacerlo en su ser ‘número de algo’. Para el pitagorismo, como apun

: K lein3, "la secuencia de los núm eros representa no una cadena lineal cuyos lason todos ‘de la misma esp ec ie’ sino un ‘ordenam iento’, en el sentido de que cnúm ero precede o sigue según el ordende su ser, i.e., está relacionado com o an terior o posterior".

Este número responde antes al criterio ‘de equivalencia’, que veíamos predminar en China, que al ‘de abstracción’, que en Grecia fuerza al número a núm ero de algo; es más etique ta de una clase que multitud de unidades. Se asemal número ‘protocolario’ que en C hina engendra clases de congruencias en los cdrados mágicos, donde sí tiene sentido pensar úna clase como ‘opuesta de’ o

respecto de un ‘centro’. Este número, que no tiene un referente empíricoinmediato, será también el que veremos em erger de nuevo en distintas épocas ‘cr puscula res’ de Occidente : en la Ale jandría de Diofanto, en el ‘otoño de la E

1 Ver A. Delatte (1915 :139 ). Una formulación elaborada de la 'aritmología' (que, por otra parte, no recibirá tal nombre hasta el siglo XVII) no se desarrollará sino más tarde.de la mano de neopitagóri cos y ncoplatónicos. Aunque tampoco dejará de ejercer su influjo en el seno de la tenida porciencia respetable [véase, p.e., su decisivo papel en Kcplcr en A. Kocsllcr (1985)).

2 Aristóteles, Metaphysica, X1V.6.1093*11 12.3 J. Klein (1968: 66). Su exce lente análisis de la suposición, en toda la matemática griega, del

número como 'número de algo' parece, sin embargo, eludir importantes diferencias, como ésta del número pitagórico.

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Media’ de Chuquet, en el ‘amaneramiento’ del vigor renacentista... Momentodos ellos de emergencia de diferentes especies de ‘números negativos’ y ‘cadades sofisticadas’ o ‘números imaginarios’. Momentos todos ellos, también,fervoroso cultivo de especulaciones tan ‘poco científicas’ com o las aritmológi

Sin embargo, a diferencia de un Diofanto, un Chu quet o un Cardano, eciertodesentendimiento de quécosa deba ser el contenido em pírico del núm erono conduce al pitagorismo, ni en sus variantes más elucubrativas, a la formlación de nada que pudiera asemejarse a las construccionesnegativas chinasni a las de cualquiera de los autores mencionados. Y ello no porque aquél dconociera desarrollos algebraicos semejantes a los que a éstos condujeroconjeturarlas, pues entre los problemas que investiga se cuentan algunos q‘se corresponden’ cabalmente con ecuaciones algebraicas (como la "divisde un segmento en media y extrema razón" que ‘equivale a’ resolver la ección x2 = a2 - ax ) que ya resolvieran los babilonios. P ese a todo, tam bién

pensam iento pitagórico se le im pone el m odo dom inante en G recia de penlo num érico.El segundo rasgo a ludido como una posible vía de adentramien to pitagór

en la negatividad lo perfila la potencia que otorgan al libre jueg o formal de la opsición. Así lo muestra, por ejemplo, su postulación de la existenc ia de algo tan empírico (para la empiria griega) como una contra-tierra (antichthon); conjeturaque se sigue rigurosam ente de una estricta especulación numérica (que el númde cuerpos celestes coincidiera con el de la sagrada ‘tetractis’):

"Y, si en algún punto faltaba algo, se apresuraban a añadirlo, para que toda sudoctrina fuesecoherente. Así, por ejemplo, puesto que la Década parece ser algo pefecto y abarcar toda la naturaleza de los números, dicen que también son diezcuerpos que se mueven por el cielo y, siendo sólo nueve losvisibles, ponen comodécimo la anti-tierra.”1

La cara de la tierra en la que vivimos se mantiene siempre de espaldasfuego central y a la contra-tierra, en su m ovimiento alrededor del centro. Elantichthon no sólo se construye por inferencia deductiva de una exigencia de complety coherencia de una estructura numérica, sino que el resultado de tal construces fundamentalmente negativo, en un doble sentido: primero, atenta contra tevidencia sensorial, pues añade al no verse el no pode r verse, dada su necesaria posición en el espacio; segundo, e sta disposición se define por su sim etr ía respectode la positivid ad de la tierra y su orientación en sentidoopuesto a ésta respecto deun centro teórico3. La semejanza con posteriores construcciones occidentales

1 Aristóteles, Metaphysica, 986*6 12. (La cursiva es nuestra).2 El tal ‘fuego ccntral'(pyr ; también Mamado 'hogar',hest ia , 'hogar del todo',lieslia loO

pantós. y 'guardián de Zeus', Diós fhylaké) también parece ser un constructo teórico distinto del Solvisible, pues, como afirma Filolao (Aristóteles, De Cáelo, II, 13), también éste debía girar en tomo a aquél.

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los ‘números negativos’, o con la propia de los cuadrados mágicos chinos, puede dejar de destacar. La inexis tencia de tal artefacto negativo no resta un áde rigor a su deducción formal, como tampoco lo harán más tarde las múltideclaraciones de inexistencia de los distintos ‘números imposibles’. Pero será otro el cam ino que siga entre los pitagóricos la especulación numérica.

Efectivamente, en ellos volvemos a encontrar un tratamiento del dinamioposicional de Anaximandro, articulado, en diversos modos, con el no-ser, si ahora ya integrado en un sistema formal que permite esquemas deductivos. T bién para ellos es la tensión entre lo de-term inado (o limitado o de-fin ido[peras]) y su opuesto (lo in-de-terminado, i-limitado o in-de-finido [ápeiron]), el principio,tanto del pen sar como del ser. La puesta en límites de lo que carecía de ellos tlas cosas a ser, com o la puesta en términos (de-terminación) de aque llo para lono los había permite el pensamiento. Loápeiron es así condición de posibilidadtanto del ser de las cosas como del pensar y, por lo tanto, en sí mismo es tantonada como m eroimpensable: el vacío. Un vacío que sirve para "d istingu ir las naturalezas, de modo que es una separación y división de las cosas que están unas ja otras"1.

La arm onía que así surge de la tensión de los opuestos se cons igue al prde una drástica ruptura de la sim etría entre ellos: m ediante cierta forma de nadam iento literal (es de cir de reducción a una ‘na da’) de los elem entos del negativo de la tab la3 (ápeiron, múltiple, izquierdo, femenino, par, móvil, oscurocurvo, malo, oblongo). Este ano nadam iento será el que haga posible la emercia, en el resplandor de toda su positiv id ad, de sus respectivos opuestos: péras,

Uno, derecho, masculino, impar, estático, luminoso, recto, bueno, cuadraOposiciones que Platón aún com pletará, significativam ente, con las parejas irancia/conocimiento (epistéme) (Cármides, 166e) e injusto/justo (Gorgias, 454b, 460e).

Esa precisa distribución, en la célebre ‘tabla de opuestos’, de elem entoscos, culturales, antropológicos, físicos y simbólicos, ligados entre sí de esa my no de otra, así como el hecho de que sus correlativas formas m atemáticas asdas sean también precisam ente ésas y no otras, es una fuente inapreciable de gación sobre las connotaciones socio-culturales de la m atemática pitagórica qcreemos lo bastante explorada, pero que nos alejaría ahora demasiado de nuobjeto inmediato. Dos observaciones, en otro sentido del mencionado, son laaquí conviene apuntar. La una, sobre el carácter intínsecamente positivo delcepto de número que de esta concepción se deduce. La otra, en tomo a la radiferencia que separa esta tabla de las análogas que elabora un pensam iento cel chino, cuya armonía ocurre, no anonadando, sino precisamente operativizel lado izquierdo, la negatividad.

1 Aristóteles,Physica, 1V.6, 2l3b22 6.2 Véase Aristóteles, Metaphysica, I.5 ,986 a22 y ss. Véase asimismo, en nuestro epígrafe 11.10.,

la comparación del sentido de estas oposiciones en Grecia y en China.

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La ‘determinación’ pitagórica, como ‘puesta en límites’, no puede ser ocosa que determinación positiva, pues para este pensamiento lo opuesto a ella noes una determinaciónnegativa sino su falta, la in-determinación. ‘Determinaciónnegativa’ e ‘inde term inac ión’ vienen as í a confundirse, com o bien hace patentmodo implícito, Aristóteles en el pasaje antes parcialmente citado:

"También los pitagóricos han dicho que el vacío existe y que ingresa en el cimism o desde el aire infinito, com o si [el cielo] inspirara también al vacío, el cual tingue las na turalezas [de las cosas]; de modo que el vacío es una cierta separacy división entre las cosas que están unas junto a otras. Y esto sucede primeramente con los números, pues el vacío divide la naturaleza de ellos"1.

El vacío es así condición de posibilidad de la separación y consecuente dtinción, es decir, de la numeración misma. A la positividad del núm ero sólo coponerse, com o negatividad, la in-distinción: el vacío, nada. Sólo en el camp

lo positivo es posible la determinación y separación, sólo en el cam po de lo ptivo tiene sentido el número, un número que en consecuencia es, por su pro proceso de construcción, ‘número posit ivo’. L a positiv idad agota el campo nurico. Sólo de ella puede haberepistéme. El ámbito de la negatividad se sumergeasí en el pozo de lo in-distinto, lo fuera de toda medida: el vacío in-menso, región des-m esurada y, por tanto, impensable. De quien se hubiera acercado a podría , con mayor razón, haber afirm ado Pappus ( Elemento s, X, 63-64) lo quedice de quien se adentró en la ‘irracionalidad’ y a quien la leyenda ahogó ennaufragio:

"Emigra de acá para allá en el mar de la no-identidad (careciendo toda simtud de cualidad o accidente), inm erso en la corriente de la generación y la destrción, donde no hay patrón de medida".

Si no pudo llegar a decirlo es porque, así como la ‘irracionalidad’ sí llegser pensable para la episteme griega, aunque no diera con los medios adecua para resolver sus aporías, lanegatividad, por el contrario, era in-mediatamente

impensable. No tendría el me nor sentido, desde este planteamiento, que en la pitagórica de los opuestos apareciera ninguna form a denegatividad jugando un papel sim étrico al del ‘número (positivo)’. La distinción, el pensamiento , só l posible en el seno de lo distinguib le : en el in te rior del campo numérico (posi por tanto). Y así la form a prim aria de oposición numérica es la que se da entr par’ (ártion) y ‘lo impar’(perittón), las dos clases elementales cuyo estudio determinará todo lo que cabe, en el cerco cultural de la episteme griega, bajo la etiq

1 Physicn, IV.6, 2I3b (la cursiva es nuestra). No tiene aquí relevancia la discusión en lomo asi tal 'vacío' es o no identificado con el 'aire', para lo que pueden consultarse J. Bumet (1945: 51); W. Burkert (1962 :33), y H.F. Chemiss (196 4:39 ss.). Sobre la proyección aritmética del vacfo, véase nuestro epígrafe siguiente.

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de aritmética. Lo par irá así a colm ar el lado izquierdo de la tabla, com oalgo aúnsusceptible de división, mientras que lo impar lo hará en el derecho1.

Podría aducirse que no hacía falta ir a bucear tan abajo, al fondo mismo dápeiron, pa ra dar con el sesgo decididam ente positivo del concepto pitagóriconúmero. Es de sobra conocido el carácter material, físico, que los pitagórico

atribuyen. Según Aristóteles ( M eta physica, 1.6,987b), mientras Platón m antiene suexistencia aparte de las cosas sensibles, "ellos afirman que las cosas mismasnúmeros". Y más explícitamente ( Metaphysica, XII.6, 1080b):

"Los pitagóricos (dicen que el número es) uno, el matemático, pero afirmque no está separado sino que las sustancias sensibles están com puestas de él. Stienen, en efecto, que el cielo íntegro está fabricado de números, aunque no de dades abstractas, ya que piensan que las unidades tienen magnitudes".

Pero cifrar en esa sustan cialida d del núm ero la dificultad griega para psar lanegatividad sería tanto co m o no considerarla m ás que eso, una dificultay, como tal dificultad, algo superable desde esa misma forma de pensamienDe hecho, el núm ero platónico, sí estará decididam ente separado d é la s su scias sensibles, sin que por ello sea más capaz de com prender lanegatividad. Esmás bien la necesidad lógica — para esa forma de pensar— implícita en la pia concepción del núm ero y del ser la que obliga a que, cualquiera que semodalidad de número que desde ella se piense, éste no pueda ser sino ‘núm positiv o’, expresión que aquí resulta obviam ente re dundante . Y esa m isnecesidad es la que fuerza a la epistem e griega a excluir de su ám bito cualqacercaniento racional a lo que para otras epistemes es ‘el cero’ o ‘el vaccom o objeto teórico discernible y, en consecuencia, susceptible de ser somea operaciones formales2.

La aritmética p itagórica verá así sobreponerse, a un cierto carácter dimico y tempo ral que pudiera sub yac er en su metafísica, un marcado sesgo etico y de espacialidad extensa. Sus números se desplegarán espacialmenteun modonatural, aún antes de que la crisis de los inconm ensurab les otorgue

dom inio de lo num érico al imperio de la geom etría. Los ‘núm eros figurad por ejem plo, explicitan nítidam ente esa extensionalid ad im plícita en el núm pitagórico:

1 C. Eggers Lan y V.E. Juliá (1978: 22 9 30), observan que en textos anteriores, de Homero y Hesíodo principalmente, las connotaciones de 'par' e 'impar' son opuestas a alguno de los valores que les atribuye la recopilación aristotélica. También Burkert (1962: 413), observa cóm o "claramenteár- tion lleva consigo la connotación positiva en el uso normal de la lengua, mientras que perittón arrastra la connotación negativa, la transgresión de la norma". Nada de lo cual afecta a lo aquí mantenido de la pertenencia de ambos a un ámbito m is profundo de positividad.

2 Sobre el abismo que media entre construir una aritmética desde el ‘uno’ o desde el ‘ser’ , al modo griego, o desde el 'cero' o el 'vacío' tomado como conjunto discernible, según una forma de racionalidad que alcanzará su cénit a ñnales del s. XIX y principios del s. XX. véase A. Badiou (1990)

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o oo o

o o oo o oo o o

o o o oo o o oo o o oo o o o

o oo o o

o oo o o

o o o o

1 4=2x2 9 = 3x3 16 = 4x4 1 3=1+2 6= l+2+ 3 10=1+2+3+4

(Fig. 1) (Fig. 2)

Los ‘números cuadrados’ — 4, 9, 16, ... (Fig. 1)— reciben el nom bre deforma de distribución espacial. Y otro tanto sucede con los ‘números triangula(Fig. 2), ‘oblongos’, ‘pentagonales’, etc. La presuposición de un espacio de resentación extenso, y no simbólico como el chino, ahoga así la posible formación de esanegatividad que pudiera latir en el pitagorism o, tanto en su concepciódel núm ero com o en el juego de sus oposiciones1.

III.3. D onde A ristótele s tropie za con el ‘c e ro ’y asu m e (que no decide) su im posibilidad

La presencia de lanegatividad , tan sólo latente en el pitagorismo, será en lasingu lar razón heraclítea donde encuentre su expresión m ás rotunda. En ella conceb ible la presencia sin la ausencia, la identidad sin la alteración, el sucedel sucederse, la determinación sin su falta: el ser sin el no-ser. Para Heráclitcabe realidad ni pensamiento que no descanse sin reposo en la íntima cone

entre positividad y negatividad. Con él, como apunta Éscohotado (1975:70) produce una compre nsión acabada del poner y el suprimir, de lo positivo y lo ntivo". Lanegatividad no es aquí mera falta, carenc ia o defecto (de esa determinción de la que surge la distinción como presencia necesariamente positiva) sinfundamento mismo del presentarse, la propia fuente de la positividad, con lacomparte idéntico dinamismo y cualidades. Para Heráclito, según Aristót(Ethica Nicomachea, VIII.2, 1155b):

"Lo contrapuesto concuerda y de los discordantes se forma la más bella anía, y todo se engendra por la discordia."

Es sorprendente el paralelismo entre alguna de las imágenes empleadas Heráclito para sugerir la completa correlación y obediencia a las mismas leyeuna positividad/negatividad que sólo en apa riencia son dos, y aquellas otras genes que veíamos en Laozi y en Zhuangzi, o las que pondrá en jue go Kant presenta r lanegatividad como algo del todo razonable para la razón ilustrada. Esu "Ensayo para introducir en filosofía el concepto de magnitud negativa", p

1 Véase en 11.15 el estudio comparativo de los distintos tratamientos, al modo chino y al pitagórico. de un ‘mismo’ cuadrado mágico.

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cado originalmente en 1763, Kant cifra la auténtica dimensión filosófica dnegatividad matem ática en su ca rácter no sólo determinante de la positividad stambién determinado, tan determinado com o lo es ésta. La ‘magnitud negativase carácteriza por su carenc ia o defecto de determinación sino por su determción en otro sentido. Esa eficacia de la oposición, que permite discernir con lmisma precisión en ambos lados de lo que la oposición separa/une, es precmente la ‘magnitud negativa’. La sombra, dirá Kant, no está hecha del defectluz, sino de la posición de un obstáculo en la transmisión de la luz. La oposiclejos de sumirse en la indistinción, contiene posición. Lanegatividad no sólo nonaufraga en el m ar de la no identidad sino que está sujeta a igual razón y m eque la positividad a la que se opone. Según Kant (1949:83), "una magnitunegativa respecto de otra magnitud en tanto que no puede unirse a ella más quuna oposición, es decir, en tanto que una hace desaparecer en la otra una m agnigual a ella misma".

Si tal planteam iento con tiene evidentes resonancias heraclíteas, el filósofÉfeso resuena aún más en las imágenes poéticas con las que el de Königsberg84-85) evoca la negatividad:

"Diremos, siguiendo el método de las matemáticas, que la muerte es un nmiento negativo, la caída una ascensión negativa, la vuelta una marcha negat(pero también) el nacimiento (es) una muerte negativa."

Son las mismas metáforas que encontramos, casi literalmente expresad

en Heráclito, aunque en Kant- es la oposición matemática positivo/negativque da sentid o a las oposiciones concretas. Ese ser ‘la caída una ascensión negtiva’ ¿no es la "arm onía prop ia del tender en direcciones opuestas, com o laarco y la lira", que evoca Heráclito (B.51)? Y la identificación, por oposicde nacimiento y muerte ¿no es la misma que se opera en "inmortales mortamortales inm ortales, viviendo éstos la muerte de aquéllos, muriendo aquéllovida de éstos" (B .62)? Po drían m ultiplicarse los fragmen tos, por otra parte conocidos, en que los opuestos participan de un mismo y sólo dinamism ediante el cual se prestan m utua determ inación por contraposición de fuerFragmentos en los que Kant bien podría encontrar un fundamento común es el que, para él (p. 88), da razón filosófica de las ‘magnitudes negativ"existe una fuerza m otriz, pero el movim iento consecuente es destruido p orfuerza opuesta".

Pero nada habrá más contrario a la orientación principal del pensamiegriego, que se constituirá en torno a la influencia de Platón y Aristóteles (y conjunción m atem ática en Euclides), que esta afirmación kantiana de lanegatividad com o princ ipio activo y simé trico respec to de la positividad, unanegatividad do tada de su propia energ ía, que va más allá de la m era privación de sersustancia o de determinación. Para Platón ( Banquete, 187a), "es unabsurdo inmenso decir que la armonía diverja o que se dé a partir de cosas divergenlo que [Heráclito] probab leme nte quiso decir es que...". Análoga considera

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de ‘absurd o’ y análogos ensayos de corrección se repetirán sin cesa r a propósde lanegatividad matemática un vez que ésta emerja en Occidente. Como análoga es tamb ién, com o vim os, la reacción de Aristóteles ante los que piensan dos cabezas.

Con dos cabezas, como Heráclito, parece pensar también la episteme chicuando, p .e., piensa el movimiento como resultado de la acción de fuerzas opu

tas. J. Piaget y R. García señalan que mientras que para la epistem e griega lonatural es el reposo, la perseverancia en el ser y la permanencia, y su gran probleserá explicar el movimiento, la alteración y el cambio, para la china los supuese invierten. Dando por supuesto el deven ir bajo la constante acción de contrarsu pregunta girará en tom o a la posibilidad del reposo, entendido como detencdel m ovimiento. L a ‘violencia’ que el griego reclama para dar razón de cualqalteración de l estado de reposo que corresponde a un cuerpo en su ‘lugar na tures invocada por el chino para intentar explicar esa insólita interrupción de la acde los contrarios que es capaz de fijar estancias y congelar identidades. Los mcionados autores destacan cóm o el principio de inercia, impensable para la trción griega hasta que Galileo la violenta en su misma médula (aunque no tacomo para superar laevidencia del movimiento circular por su proximidad con elreposo), es mera cuestión de sentido común para el modo de pensar chino, cincosiglos antes del comienzo de nuestra era:

"La cesación del movimiento se debe a una fuerza opuesta. Si no hay fueropuesta, el movimiento nunca se detendrá. Esto es tan cierto como que una vacaes un caballo."1

Con Platón Y Aristóteles esta orientación, de algún modo subyacente a lorientalizados Anaximandro, Heráclito y pitagóricos, se trunca definitivamenEl juego del hacerse/deshacerse de los opuestos el uno en el otro —y desdeotro— se sustituye por ese otro juego del llegar al ser de unas formas pletóride determ inación, inm utables e idénticas a sí mismas. Sólo de ellas cabeepistéme propiam ente , fuera de ellas nos adentramos en el engañoso terreno de laopinión, cuyo conten ido es algo interm edio entre el ser y el no-ser. Platón distingue en El

sofista entre un ‘no-ser’ que es lo opuesto o contrario del ‘ser’, la pura ‘nadsobre la que es imposible pensar, y un ‘no-ser’ que es diferente del ‘ser’ en taen que es un ‘ser esto’ y ‘no-ser lo otro ’. Así, cada ser se con trapone de dos maras con el no-ser, pues, por un lado, no es una nada y, por otro, no es otro queLa genial aportación de Aristóteles al introducir lamediación permite salvar lacontrad icción que surge en la dialéctica platónica frente al problem a del trány el devenir. El paso de la privación a la forma sólo evita ser paso tam bién delser al ser si en el tránsito está presente un tercero que, como sustrato, permanen el cam bio y lo hace posible sin contradicción. La otra cara de la moneda m

1 Citado por J. Piaget y R. García (1982: 232).

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calificado (Furley, 1987:189) como "un extremista en su rechazo de la aceptacde la existencia del vacío en el universo". Estos argumentos son todos ellos tanto estrictamente lógicos cuanto de corte sensualista, basados ya en el preccepto delugar ya en las dificultades del movimiento. De tales argumentos cabdestacar dos, el uno po r vincular analógicamente el vacío con lo que pudiera se‘cero ’ — que consideraremos más adelante— y el otro por ejemplificar redon

mente cómo el modo de proceder porreductio ad absurdum permite rechazarcom o lógicam ente imposible cualquier atentado a los pre-juicios compartidos la sociedad de quien lo utiliza. Em pecemos por este último. Trasobservar Aristóteles ( Physica, IV.8.216‘11-21) que un cuerpo de mayor peso que otro se muevcon mayor rapidez, induce que otro tanto debería ocurrir al moverse a través vacío. "Pero esto es imposible; pues ¿qué motivo tiene el uno para moverse mrápido que el otro?". Efectivamente, argumenta, el cuerpo m ayor puede dividimedio lleno a causa de su forma o de su fuerza; en el vacío "por lo tanto, todoscuerpos tendrían la misma velocidad: lo cual es imposible". No es de extrañar

Heath (1949:119) se haga eco de la ironía de W icksteed a este respecto: "Es amentador encontrar a Aristóteles llegando realmente al hecho, familiar en modernos laboratorios, de que una pluma y una moneda, por tomar el ejemplo sico, caerán al mism o paso a través del vacío, pero tratándolo com o unareductio ad absurdum".

Esa forma denegatividad que es el vacío parece repugnar de m anera especiala la episteme griega. Aristóteles afirma en De g eneraticne el corruptione (315*35)que Demócrito se ha "distinguido de todos los demás por su método" y, de hecsu obra se recibe entre las acusaciones de plagio (de Anaxágoras y Pitágor'as, pcipalmente) y la indiferencia o el desprecio. El mismo Lucrecio (Denatura rerum, IV, 20) confesará que la mayoría se aparta del vacío ‘con horror’. Aunque nollegado a nosotros ninguna versión de la que debió ser extensa obra m atemáticDemócrito ("Sobre los números", "Sobre la geometría”, "Sobre tangencia"Sobre proyecciones" y "Sobre los irracionales"), la influencia en ella de su ccepción atomista debió ser decisiva. Su heterodoxo recurso a ‘técnicas infinitm ales’ justifica tanto el juic io aristotélico que le distingue del resto po r su métcom o la impopularidad de una m atemática que no retrocede ante algoritmos il

tados. Arquímedes le atribuye el cálculo del volumen de la pirámide si bien, dno consiguió dem ostrarlo rigurosamente, invalidación que Boyer (1986:115-6atribuido a su empeño en seguir utilizando razonamientos basados en la ‘infinide infinitésimos’ cuando, tras las paradójas eleáticas y la crisis de los inconm enrables, ya habían caído en pleno descrédito. Con todo, tampoco esta otra concorriente intelectual abocará a ninguna articulación formal de lanegatividad.

Pese a que la reformulación ep icúrea del atomism o sea ya abiertamente ssualista (con la paradoja añadida de que para salvar la experiencia de los sentise afirme la existencia de algo —el vacío— inexperimentable para ningún sentisu postulación original es estrictamente lógica: se limitaa desarrollar una de las posib ilidades que deja abiertas el dilema parm enídeo. Y, aunque tenga la osadí prolongar precisamente esa posib ilidad que el modo de pensar griego declar

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jnipensable , no por ello deja así de echar sus ra íces en el corazón mismo demodo de pensar. Por ello elkenón de L eucipo y Dem ócrito es formal, pero no for- jnalizable; art icula (las posib les combinaciones de los átomos) pero no es artic ble; perm ite la distinción y el discern im iento , pero él mismo es indistinto e incernible.Su postulación d ialéctica como negación del ser proyectará sobre el va

Jo que inconscientem ente se atribuía al ser, para negar sólo lo que de manera ecita eran atributos de ese ser. En particular, el vacío descansa rá — pese a su presión de carecer de otro fundamento que el estrictamente lógico— en dos precios que bloquean su posible ma nipulación comonegatividad formal: por un lado,un cierto modo de soterrada extensionalidad de origen sensual, por otro, tajante estanqueidad respecto del ser. El primero parece poder asimilarse arazones por las que ‘el cero ’ está ausente de la matemática griega; el segundo,que darían cuenta de la imposibilidad de ‘números negativos’ para esta form pensar.

Respec to del primer rasgo, frente al ser com o extensión plena, com o p ié res, lo kenón no se construirá como inextenso sino como extensión no colmada, coespacialidad vacía. Por eso puede Aristóteles construir sus argumentos sobr base de la fo rm a de espacialidad que cabría suponérsele . Y por eso podrá desEpicuro identificarlo, ya sin trabas, a la vaciedad de la pura extensión, hacieoponerse a los cuerpos(somata), ya no lokenón, que Demócrito equiparaba al no-ser (me ón), sino el espacio sin más:topos. M erece la pena destacar el pasaje, antesmencionado, donde Aristóteles(Physica, IV.8.215b12-19) argum enta la.imposibi-lidad del vacío basándose precisamente en laevidente imposibilidad de unanada que bien pudiera ser ‘el cero’, si tal cosa tuviera alguna cabida en la aritmgriega1:

"Pero no hay ninguna razón en la que el vacío(kenón) sea excedido por loscuerpos, igual que nada(médérí) no está en razón alguna con un número. Pues 4excede a 3 en 1. y a 2 en más [que 1], y a 1 en todavía más de lo que excede a 2; cuando llegamos a nada-(mídenos) no hay razón alguna en la que 4 lo exceda, puesel número que excede debe dividirse en el exceso y el número que es excedidoque 4 debería ser la suma del exceso y nada(oudén). Por esto, tampoco una líneaexcede a un punto (en ninguna razón), porque no está hecha de puntos. Similarmel vacío no puede estar en razón alguna con lo lleno.”

El tipo de razonam iento que em plea Aristóteles es analógico: no hay razóla que los cuerpos excedan al vacío, de ‘igual modo que’(hósper) nada no está enrazón alguna con el número. Los cuerpos(somata) o lo lleno(pleres) son alnúmero(aríthmós) como el vacío(kenón) es a nada(medén, oudén). Y de la faltade razón entre nada y número, que se propone demostrar, concluirá analóg

1 Lo que no quiere decir que fuera desconocido para los griegos, pues parece improbable que Pilágoras ignorara su uso entre los babilonios.

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mente igual falta de razón entre el vacío y los cuerpos. Para probar la tesis fís basta, pues, probar la análoga tesis matemática, lo cual hace Aristó te les por suerte*de inducción frustrada. Toma un ciertoa r i t h mó s (una cierta ‘multitud determinada de u nida des’), como el 4, y hace observar que 4 es tá en razón (aditiva) 3 pues lo excede en 1 (4 = 3+1). También está 4 en razón con 2 pues lo excedemás (lo excede en 2, ya que 4 = 2+2). Y, si seguim os descendiendo , 4 está tamben razón con 1, pues lo excede en todavía más (lo excede en 3, ya que 4 = 1+Llegados a este punto, si siguiéramos descendiendo, parecería debe r plantearsemenos como problema, si también 4 está en razón con nada (m e d é n), pues loexcede en todav ía más aún (lo excede en 4, ya que 4 =‘ m e d é n ’ + 4, según la progresión que veníam os llevando). Pero aquí Aristotéles no se plantea un problesino que topa con unaevidencia: no hay razón alguna en la que 4 exceda a nada.Para él no tiene el menor sentido nuestro 4+0 o el 4+‘hueco’ del álgebra fa n g - cheng. En esa progresión heurística (que no demostrativa), el descenso progreside los excesos o residuos (3,2,1,...) encuen tra un límite que lo es de todo el camnum érico y, en general, de toda la episteme griega. ‘Nada’ ya no es algo hom oneo con el número, pues "el número que excede debe dividirse en el exceso ynúmero que es excedido", es decir, debe poder obtenerse como suma de ambEntre 4 y 3 (ó 4 y 2, ó 4 y 1) sí hay razón porque, al compartir ambos un sustrcomún, puede hablarse de un exceso (hyperochen) o diferencia de uno respecto alotro; ese sustrato es el que permite ponerlos en razón o relación: agregarlos, exderse entre sí, sustraerse el uno de! otro. La imposibilidad (que Aristótelessiquiera concluye , pues la da por sentada: la asume , se le im pone desde ese exte

que es la creencia objetivada) de poner también en razón 4 y ‘nada’ revela as presuposic ión de que entre am bos no cabe mediación, que no comparten ninsustrato que haga posible pensar ladiferencia o el exceso de uno respec to del otro.Sin un su s tra to común, la sustracció n carece de todo sentido; con lo que damoscon uno de los principales obstáculos —el sustancialista— que el m odo de pengriego opone a lanegat iv idad. Sin perjuicio de un estudio más detenido, queemprendemos a propósito de la concepción del número en Diofanto, observamya que los límites a lanega t iv idad en la aritmética griega se imponen por esa suposición de ma terialidad o sustancialidad del número, como también tendrem os osión de ver (III.5.) que — en lo que a lanegat iv idad también se refiere— los límitesde su ‘álgebra geom étrica’ están marcados por ese m odo de sustancialidad qula extensionalidad del espacio griego de representación: tampoco tiene ahí ninsentido su s tra e r un segmento de nada o de otro segmento menos extenso que élcomo dejarán de manifiesto los más variadosd i o r i s mo i .

Volviendo de nuevo al argumento aristotélico, es de señalar que la cuestifísica del vacío, que era la que allí se planteaba (y que, con todo, sí era un p blema), re sulta rechazada no mediante el rechazo de su análogo matemát

(,m é d é n) sino rechazando la situación m isma en que éste pudiera darse, una sitción de la que ni se hace problem a pues no tienerazón de ser. La fa l ta de razón queafecta a este imposible ‘cero’ se manifiesta así, para la episteme griega, siendoun orden distinto al de la irracionalidad de los inconmensurables: éstos son un

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blema, aquél no alcanza ni a serlo. Esa ‘nada’ noresulta excluida del cam po num érico, como se intentó hacer con los inconm ensurables, sino que se supone exclude antemano, como evidencia incuestionable. Es esa exclusión la que, asumidcomo creencia, funda argumentos como el anterior contra el vacío, pero nuncella conclusión de argumento alguno.

La habituales traducciones deoudén o medén por ‘cero’1bloquean una consideración com o la anterior, que sin embargo se nos an toja decisiva. Aristóteleestá hablando de unalgo (y mucho menos de ‘cero’) que no pueda ponerse enrazón con el núm ero, pues su sólo tener nombre, su ser sustantivo, ya podría ser unindicio para la existencia de ese sustrato o susta ncia com ún que se da por supuestoque no existe. Incluso la traducción por ‘nada’, que aquí hemos propuesto, actambién sea excesiva. Tantooudén comomedén no pasan de ser meras partículasgramaticales negativas o privativas, sin referente alguno,insustanciales, que elmismo Aristóteles u tiliza — incluso en el propio pasaje citado, entremezcladas

su acepción de ‘nada’— com o el ‘no’ de ‘no hay’ o com o ‘tam poco’. Lo quese supone sin razón tiene su correlato lingüístico en apenas merecer nombre; tan falto de la sustancia que pudiera quedarle como residuo de una diferencomo lo está de sustantivo que lo albergue y del que pudiera predicarse algo sentido.

Esta heterogeneidad o sin-razón radical entre el número y nada estaba implícita en la Definición V.4. de Euclides: "Dos magnitudes se dice que estánrazón la una a la otra cuando pueden, al multiplicarse [o tomar múltiplos], excuna a otra"2. Esta razón es la que no es posible establecer, p.e., entre un segmy una superficie, dado que nunca un segmento, sumado a sí mismo un cienúm ero n de veces (o sea, multiplicado por un cierto número n), dará como retado superficie alguna: se trata de magnitudes heterogéneas. Por eso dice tamAristóteles que "tampoco una línea excede a un punto, porque no está hecha puntos". Y a esa razón es a la que se refiere Aristó te le s en el comienzo de su amento contra el vacío: "igual que nada(medén) no está en razón alguna con ningúnnúmero". Lo que sienta Euclides es la heterogeneidad de puntos, líneas y supcies, la imposibilidad de que operen entre sí; lo que supone Aristóteles es la h

rogeneidad de ‘nada’ y núm ero, la imposibilidad, por tanto, de que operen en trde que puedan sumarse o restarse, de que ‘nada’ pueda ser el exceso o la diferede un número respecto de otro. Así, pese a la seme janza gramatical con que tLiu Huí como Aristóteles aluden a cierta ‘nada’ aritmética (wu para el primero,oudén o mSdén para el segundo), la función efectiva de ambas es del todo difrente: elwu de Liu Hui opera con los números y resulta también de operacion

1 Por ejemplo, la de Les Belles Lettres o ladeT.H. Heath (1949:116 7). Este último llega incluso

a traduciroudén por el símbolo 'o', que no aparecerá hasta la matemática helenística.2 AquíT. Heath (1949:117) parece tener otrolapsus al incluir el corolario "pues ningún múltiplo

de cero puede exceder a 1 ni a ningún número" en la mención que, a propósito del pasaje aristotélico, hace de la deñnición 4' de Euclides.

175



entre números. Esewu no necesita del pre-requisito sustancialista griego que leexigiría un sustrato com ún con el número. O bien, visto desde los respectivos escios de representación,wu sí tiene cabida (como hueco) en elespacio simbólico del tablero de cálculo, en el que son los lugares los que significan, mientras q paraoudén no hay lugar en elespacio extenso donde — al igual que los segmentoso las superficies— se despliega el núm ero griego.

El otro pre-juic io atomis’ta subyacente al no-ser, al cual hacíam os referencafecta a su total asimetría respecto de lo que son atributos explícitos del ser. Látomos que constituyen a éste se distinguen en razón de su figura, orden y posicsu infinitud está sujeta al núm ero de sus combinaciones que generan los cuerpEn el vacío, por el contrario, no cabe figura, orden posición ni número, tan sfalta de distinción. "Com o no hay ninguna diferencia en lo que es nada, no hay guna en el vacío", dice Aristóteles ( Physica, IV.8, 215*9-10). El dominio delnúm ero habrá de caer, pues, del otro lado, porque es allí donde están los cuerp

lo numerable. No hay o tra comunidad ni otro m odo de tránsito entre uno y otro esa vaga extensionalidad estática e inoperante que, sin querer, se les suponambos desde el fondo de la episteme griega. El precio que paga el atomismo dar cierta positividad al no -ser es el de desanimarlo por com pleto, haciéndolo etico y pasivo, mera condición de posibilidad de lo otro que él, con el que no mtiene ningún intercambio ni tensión. El atomismo, al cabo, cumple de modo e j pla r esa operación griega mediante la cual "se constituye una región del ser ymismo tiempo, se decide ya que esta región agota el ser (...) pues e lla represent paradigm a de lo que verdaderamente es(óntós ón) en tanto que todo lo demás esacc idente, ilusión y error o imitación deficiente o ‘materia’ am orfa y esencialm e‘pasiva’" (Castoriadis, 1988:198-9). Y también se calificarán como ‘acciden‘ilusión’ o ‘error’ los planteam ientos que lleven a ‘números negativos’ cuando , vez construido para ellos un cierto modo de ser, la matemática de tradición gri procure integrarlos racionalm ente.

Hasta el vacío está por tanto, en G recia, contam inado de sustanc ia, pero lo suficiente com o para conc ede rle com partir ese mínimo sustrato con el ser qle permitiera tener algo en común con él (y, en consecuencia, también el ce

con el núm ero) ni, menos a ún, para conced erle el dinam ismo que pe rm itiera interacción. Pero acaso pudieran enco ntrarse en el mundo griego ciertos rastde una matemática común o universal, ciertas regiones no cargadas por es presupuestos que orienta n su especulación teórica, cierta m atem ática popudonde la mera práctica, las desnudas exigencias de los cálculos empíric pudieran alum brar otro tipo de número y operaciones que la te oría pro scribSin embargo, ni siquiera en los meros cálculos de la logística, abandonados manos de esclavos y mercaderes, pueden encontrarse esas puras prácticas c

tables que liberaran a los números griegos de los mismos presupuestos qarrastran sus cabezas pensantes. Estas no hacen sino asumir y teorizar a parde unos p rejuicios que encu entran ya ahí, sustentando un cierto m odo colectde pensamiento.

176



Otra vía posible de acceso a lanegatividad podría haberse abierto camino enGrecia, efectivamente, a través de lo que se denom inabalogística o cálculo práctico. De hecho, son ciertas formas vulgares de contabilidad las que conduceotras culturas, como la china o la medieval, a algún m odo de formulaciónnegativa en m atemáticas. Pero en Grecia la gravedad alcanzada por la especu lación filfica relega al rango de simples nim iedades las cuestiones técnicas sobre el mde calcular. La misma autonomía respecto de los problemas prácticos que h posib le la ari tm ética y la geometría como ciencias, mantiene a éstas a dis tancicálculo ordinario. O bien, cuando se intenta pensar la logística racionalmente proyectan sobre ella los mismosa priori que fundamentan a aquellas ciencias,incorporando — como apunta Klein (1968:119)— todo ese "complejo deconocimientos 'naturales' que están implicados en una actividad precientífica pertene

ciente al ámbito de la opinión y vienen soportados por una comprensión precceptual del mundo". Así se obturan las posibilidades que a la emergencia dnegatividad pudiera ofrecer precisamente el proceder informal de una logístiincontrolada.

La finalidad estrictam ente p ráctica de la logística y su falta de fundamención teórica concreta parecen perm itirle, en efecto, una libertad en la m anipulanumérica que es inaceptable para la episteme griega, llegando a atentar coalguno de sus principios básicos, com o el de la esencia indivisible de la unidaduno, excluido de la serie num érica por el pitagorismo y el platonismo, no sólotenido como un número más por la logística sino que ésta lo hace susceptibldivisión, obteniendo de él fracciones unitarias al modo egipcio. Este fracciomiento de la unidad de cálculo choca tan frontalmente con la pura e indivismónada noética que a Platón sólo le merece burla quien opera tal desatino:

"Cuantos tienen conocimiento de esas cosas [del número y de su esencia] burlan de quientrata de dividir la unidad en sí. yno lo permiten. Y si tú la divides,ellos la multiplican, temerosos de que el uno no parezca el uno sino una multipldad de partes."1

Esa división del uno que efectúa la logística lleva a la paradoja de que, ddiéndolo, se m ultiplica, pues cadauna de las partes en que resulta dividido es otrouno igual al original, lo cual — como es bien sabido— es imposible. Para el mde pensar griego, la facilidad con la que actúa la logística no deja de ser sochosa, ha sta el punto de que — como denunciará Arquitas— las cosas sobre lastrata parece dejarlas más claras que la geometría e incluso llega a tener éxito adonde hasta la geometría fracasa2.

1 República, 525e (la cursiva es nuestra). Véase tambiénParménides 143a y El Sofista 245a.- Citado por T. Heath (1981:1:14).

III.4. Los ‘números tazones’ de la logística. Los lugares y los cuerpos

177



Tratando am bas del número, hay sin embargo todo un abismo entre el arte cálculo con núm eros (logistiké ) y la aritmética (aríthmetiké ) o estudio teórico delas propiedades del número. Se ha mantenido incluso que aquélla estaba abannada en manos de los esclavos, como corresponde a un mero cómputo mecánrutinario, viniendo la división entre ambas d isciplinas a reflejar la correspondiedivisión de clases sociales. Boyer (1968:38), p.e., justifica el que Arquímed

como caso excepcional, "se rebajara a contribuir a la logística" por el hecho deqen aquel m om ento se estaba produciendo la transición del sistem a jónico de numración al ático, lo cual habría atraído su interés. De su ínfimo rango respecto aaritm ética da una" idea el conocidoScholium al Cármides:

"La logística es la ciencia que trata con las cosas numeradas, no con númerono toma el número en su esencia, sino que presupone el uno como unidad y el objnumerado como número (...) [La logística investiga] el númeromélités [de melón, oveja] y el núm ero phia li te s [de phiá lé , tazón], (...) Su asunto es todo lo que se puedenumerar. Sus ramas incluyen los llamados métodos griego y egipcio de multiplicciones y divisiones, de sumas y descomposiciones de fracciones..." (165e)

La práctica del cálculo sólo tiene interés para Platón ( República, 525b ss.) enla medida en que se transcienda su uso vulgar y se "utilice para adquirir conomiento y no para traficar con ella". Sólo si "no es de uso exclusivo de com erciany chamarileros, ni se ciñe tan sólo a las compras y a las ventas", si no se perm"de ningún modo que nadie presente el ejemplo de números corpóreos y sen bles", sólo entonces "puede conducir el alm a hacia lo alto y obligar a ra zonar solos números".

J. Klein dedica m ás de un centenar de excelentes páginas (1968:1 -113) a pcisar los vínculos teóricos que unen/separan a la logística de la aritmética. Segél, en Platón se daría un proyecto de doble división entre una logística teórica y logística práctica, encabalgadas sobre una aritmética teórica y otra prácticAmbas disciplinas teóricas tendrían por objeto, frente a sus respectivamenopuestas artes prácticas, no las cosas en tanto que percibidas por los sentidos slas puras e indivisibles unidades a las que sólo se puede acceder por el pen

miento. Tal proyecto sería abandonado por el neoplatonismo para quedar ‘redcido’ a la distinción, más sobria y tajante, entre una aritmética teórica, referidlas especies o ideas(ei dé) de los números, y una logística práctica, ceñida estrictamente a su materia (hylé ). Con ello, se trataba de evitar la paradoja, antes enunciada, derivada del inevitable uso práctico de fracciones de la unidad, que as í poconsiderarse divisible sólo en su materialidad; y al mismo tiempo se procuraba,menos insatisfactoriamente, adjudicar una posición no am bigua a la teoría de p porc iones, que in terfería con las operaciones de división y multip licación. Lfuentes claves para la comprensión de esta escisión están en los comentarios Proclo a Euclides, en el citado scholium al Cármides de Platón y en los scliolia deOlimpodoro alGorgias platónico. En este último se marcan las distancias con todanitidez:

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"Debe entenderse que ex iste la siguiente diferencia: la aritmética trata sobre lespecies de los números, m ientras que la logística lo hace sobre sumateria. Hay dosespecies de números: lo par y lo impar (...) La materia de los números, por otro laes la multitud de las unidades [que deben en cada caso ser contadas o calculadaPor ejemplo, la multiplicación , tal com o cuatro veces cuatro, cinco veces cinco, e[afecta a este m aterial]."1

La logística — y con e lla buena parte de lo que hoy consideramos m atemácas elementales, com o la multiplicación, la división, las fracciones y los probleverbales que ‘conducirían’ a ecuac iones— es así arrojada al infierno de la matea ese mundo miserable de esclavos y com erciantes, donde sólo cabe opinión e ireses y no ciencia verdadera. Esa abso luta marginación, social e intelectual, eque le permite a la logística llevar adelante operaciones severamente proscritasel nuevo mito de la razón que está construyendo esa nueva estirpe de sabios aspiraciones de gobierno y de refundamentación de las nuevas formas de orgzación política. Pero e llo no le libra de mantenerse atenida a esas otras creen profundas que la ten bajo todo el modo de pensar griego, sea erudito o popuRelegada al engañoso mundo de los sentidos, la logística no es, ciertamente, ceptible de elaboración teórica en sus operaciones concretas, lo cual, si bien le de ciertas pre-concepciones que condicionan a aquélla, la condena al desnudo sualismo del contar ‘cosas’ y operar con ‘cosas’, a moverse con unos ‘númetazones’ de los que difícilmente cabría esperar ninguna forma de negativimientras tales ‘cosas’ sigan construyéndose desde una forma de percepción funmentalmente visual y táctil, con la rotunda positividad de los tazones. Porquetazón no es un tazón, al menos inmediatamente. Para el taoísmo, por ejemplotazón o vasija, no es su m ateria visible o tangible, sino el vacíodeterminado por lamaterialidad del continente, la posibilidad de contener que éste inaugura; un vque no es informidad sino la forma de todos los contenidos posibles. "Con arc — dice Laozi (1 l b y 1 l c)— se moldean las vasijas, pero es de su oquedad de lodepende su uso. (...) En el ser centramos nuestro interés, pero del no ser depela utilidad". Lo que define al tazón , su esencia (si tal concepto tuviera algún sen para este modo de pensar) es el hueco. El interés que centra la atención de los tidos no agota ni define la cosa, sino — como m ucho— sólo una mitad de ellotra mitad, la fundam ental, no es perceptible, y significativamente el taoísmo hsiempre de ella en términos de vacío, oquedad, abismo... esa forma de determción que para el griego no lo es, que es no ser.

A Aristóteles, acaso el más próximo de todos los pensadores griegos a conocim iento común que Platón desprecia por ser propio de cham arileros y comciantes, ese vacío le repugna hasta el punto de necesitarlo perm anentem ente ll"Así como todo cuerpo está en algún sitio, así en cua lquier sitio hay algún cuerhasta el extremo de que "si ese cuerpo crece, el sitio debe crecer solidariam ente

1 Citado por J. Klein (1968:13).

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él"1. No ya el vacío (ai que no sólo no se le concede la virtualidad de su funcsino que además es directamente impensable), sinoel lugar no es concebible sinel cuerpo que lo ocupa. A unque "el lugar debe ser algo aparte de los cuerpos", pes evidente que dos cuerpos distintos no pueden ocupar el mismo lugar, "el luno es algo algo aparte de cada cosa individual"2. El lugar se define por la cosa lo habita, y se agota en ella. Lo cual no es sólo opinión suya sino "de la mayo

de la gente". Incluso los objetos matem áticos necesitan de un lugar, que es el lde algún cuerpo. Las tres dimensiones del espacio —longitud, anchura y profdidad— son los bordes "por los que cada cuerpo está limitado". Y cuando codera que esas dimensiones son seis (izquierda y derecha, arriba y abajo, delandetrás), no son dimensiones de un espacio ajeno al objeto, como el cartesianoatribuidas por el sujeto, según se sitúe éste respecto al objeto, sino que son dimsiones objetivas, propias del ob jeto mismo, pues "arriba no es lo que uno consisino allí donde el fuego y los objetos ligeros son llevados". Del mismo-modo, ematemáticos como los puntos, las líneas o las superficies son siempre algos qusu vez son los bordes de algo, aquello que pone término a ese algo y, de-termindolo, le perm ite no ser mera nada, pura indeterminación. "Si debe haber un lu para el cuerpo, también debe haberlo para la superfic ie y para todos los otros ltes del cuerpo (...); donde antes había superficies planas de agua, ahora debe hsuperficies de aire". Pero tan significativas como las afirmaciones y razonamieexpresos del estagirita lo son sus esfuerzos por distinguir el lugar del cuerpo lo ocupa, señal aún más eviden te de que ambos se le confunden de con tinuo, ddificultad de pensar el lugar sin el cuerpo. Para el sentido común griego, el taes el tazón y el aire de dentro, el aire de dentro; cada uno ocupa el lugar que, ltándolo, lo define y no ha lugar a andar mezclando las cosas. Esa solidaridad eel lugar y el cuerpo, entend ido como lo realmente existente, llega al punto de lo que se tiene por absurdo o imposible a menudo se adjetiva, incluso en el discma temático griego, comoátopon, sin lugar. Pre-juicio que ha llegado íntegro hastanosotros cuando descartamos la posibilidad de algo o la improcedencia de un rnamiento con un tajante "¡no ha lugar!".

No es que la mate rialidad de los números tazones de la logística griega más material que la madera o el hueso de los números palillos del álgebra ch

Pero sí es bien distinta la carga imaginaria que soporta una materia y otra. Promente, se trata de dos m aterias. La una, hospitalaria con la negatividad; la otra,tóricamente positiva. La materialidad de losmeros cálculos es así diferente porentero en cada uno de ambos modos de pensar. No sólo la matemática mas sof

1 Las siguientes citas lo son dePhysica. IV.I.208a27 209a30.2 Por otra parte, aquí emparenta Aristóteles con esa tradición china que carga a los distintos

lugares de una fuerza inmanente que los singulariza. Si bien en China esa singularidad del lugar es mas bien protocolaria, simbólica,y en Aristóteleses la pujanzafísicaque al lugarle confiereel vigor delelem ento que le es propio, que le tiene comolugarnatural. "El movimiento de los cuerpos simples na-turales, como el fuego o el agua, muestra no sólo que el lugar es algo sino que también tiene poder o fuerza (...) El poder del lugar debe ser maravilloso".

180



cada, sino la de ‘la cuen ta de la vieja’ (sea logística o cálculo con palillos) son drentes en sociedades diferentes. El sentido común es común a una sociedad, nesa abstracción que es la humanidad, en la que habitan ideas pero no viejas.

Puede uno preguntarse, con Boyer (1968:66), "si una separación tan níti[entre logística y aritmética en Grecia] fue una desventaja o no para el desarr

histórico de la matemática" en su conjunto, pero la respuesta es claramente netiva en lo que afec ta a la posible emergencia de alguna forma denegatividad m atemática. Será con Diofanto donde ésta surja, al aplicar un nuevo modo de reflexteórica a la logística práctica. No porque tal logística viniera a presentarse entonen una imposible desnudez, sino porque los pre-juicios griegos que la cubríanmejor, la constituían) llegarán muy debilitados a los días de Diofanto, al tiemque esos días habrán aprend ido a convivir con otros pre-juicios extraños — y contradictorios entre sí— cuya amalgama proporcionará suelo cultural abon para otras form as de im aginación matemática.

Otro cam ino posible desde el que evitar (hipotéticamente) la paradoja inetable (prácticamente) del fraccionamiento por la logística de unas m ónadas indsibles, es el emprendido por Aristóteles y retomado por Euclides: sum ergir el ‘separado’ de Platón en las cosas mismas, haciendo ahora de él una simple unide medida que puede ‘abstraerse’ de esas mismas cosas. Como unidad de m edes, por una lado, indivisible, pero puede sin embargo tomarse, por otro lado, tamaño que convenga para poder medir un número exacto de veces el objeto se desee medir. Con ello, observa Klein (1968:122), "nada impide ahora camde unidad de medida en mitad de un cálculo y transformar todas la partes fracnales de la unidad original en números‘enteros’ consistentes en nuevas unidade medida; de este modo incluso las fracciones pueden tratarse ahora ‘de manera científica’". R esulta claro que la imagen subyacente a esta posibilidafraccionamiento ya no es la del punto monàdico sino la del segmento rectilínsiempre divisible y por lo tanto de tamaño arbitrario, que se toma ahora com o dad de medida. Por lo que la ‘solución’ aristotélico-euclídea llevará, junto al blema de los ‘inconm ensurables’, a una decisiva geometrización de la aritm éuna geometrización que, como a continuación veremos, conlleva su obstác

específico para unas formas denegatividad que no sólo hubieran podido encontrarahí su fuente (como, de hecho, la encontraron en otras aritméticas no geometrdas) sino que, bien al contrario, una vez intuidas, se resistirían a los intentosgeom etrización po r medio de los cuales se quería darles carta de naturaleza ‘auticam ente’- matem ática.

III.5. El ‘álg eb ra geo m étrica’: un espacio inhóspito p ara lanegatividad.Losdiorismoi o la imposibilidad de construir

La conmoción producida por las magnitudes que no se someten a razón y paradojas implicadas en las operaciones de la logís tica quiebran el modo pitrico-platònico de representación mental e inauguran otra manera bien distinta

181



des dadas, a y 2a, esto es, que verifiquen la proporción con tinua a:x = x:y = y(que ‘es equivalente’ a la ecuación x3 = 2a1). Bajo el nuevo estilo geométriceste mismo problema llevará a M enecm o a construir por primera vez las seccnes cónicas, de las que es la paráb ola la que satisaface la anterior proporción (magnitudes x e y buscadas ‘corresponden’1al punto (x.y) de intersección de ldos parábolas x2 = ay e y2 = 2ax , que evidentem ente se expresarán en términde relaciones entre segm entos).

La constructibilidad e interpretabilidad geom étrica es así pre-condición de método que se heredará no obstante como universal, un método que somete taa los objetos como a las operaciones entre ellos a la lógica de la extensionalideuclídea. El dominio de la visión se impone a cualesquiera otras consideracionde tipo especulativo u operativo, aunque en un segundo momento, como vim procure ocultarse bajo razonam ientos no constructivos como el que procede preducción al absurdo (un absurdo que lo será,evidentemente, para el punto devista geométrico). La ausencia en que, desde la positividad de la extensión, consistenegatividad no puede por tanto — y literalmente—ni verse, lo que en este caso serátanto como no poder pensarse.

En particular, la resolución algorítm ica de la ‘form a norm al’ de la ecuacicuadrática (x2 + q = px), a la que los bab ilonios solían reducir los problem as qimplicaban sumas y productos de dos ma gnitudes, dará lugar a una de las cotrucciones más clásicas del ‘algebra geométrica’: el método canónico de resoción ‘por aplicación de áreas’. Este método tiene para nosotros un especial in

rés por contener imp lícitam ente — y, claro es, desde otros presupuestos— posibilidad de las que después se conocerán como ‘m agnitudes im aginariaVeamos cóm o esa posibilidad no lo es en realidad para los presupuestos del ál bra geométrica.

En una formulación bastante general, se trata de ‘aplicar’ a un segm ento daAB un rectángulo AH que sea igual a un cuadrado dado y que ‘exceda’ a (fig. 1

‘difiera’ de (fig. 1.2.)— el rectángulo AH en un cuadrado DM.

B

K M

(ax + x2 = b2)

Fig. 1.1.

D

H

A

K

D XX

H(ax - x2 = b2)

. Fis. 1.2.

B

M

1 La decisión de entrecomillar expresiones del tipo ‘se corresponde con’, ‘equivale a’, 'es lo m is-mo que’, ‘es decir’, etc. pretende resaltar la ilegitimidad —en cierto sentido— de establecer esos cor-relatosentre lenguajes matemáticos que no comparten los mismos presupuestos. Es esecierto sentido el que precisamente queremos destacar.

183



Este problema ‘equivale’ al siguiente: dado un segmento AB (= a), enconotro segmento DB (= x) tal que el rectángulo AH (= ax + x2 en el caso del ‘excó = ax - x2 en el del ‘defecto ’) sea igual a un cuadrado dado (b2). Es decir, dados magnitudes, a y b, encontrar una tercera, x, tal que (1) ax + x2 = b2, o bienax — x2 = b2. Veamos cómo se solía resolver el caso (2) (Fig. 1.2.) o caso ‘defec to’, pues en el otro no cabe la posibilidad de ningún forma denegat iv idad.

Para ello se requie re el teorema de la proposición II.5 de los "Elementos":una línea recta [AB] se corta [ en G y en D] en segmentos iguales [AC = CB y desiguales [AD = p+q, DB = p-q], entonces el rectángulo contenido po r los mentos desiguales [AH = (p+q)(p-q)], junto con el cuadrado [LG = q2] sobrlínea recta que une los puntos de corte [C y D], es igual al cuadrado [p2] de la m[AB/2 = CB = p]" (Fig. 2).

C D

K p q p—qH

L q2

B

M

FE G

Fig. 2

Es decir, se trata de demostrar que

AH + LG = CF

O, lo que es ‘lo mismo’, que

(p+q)(p-q) + q2 = p2

Y, en efecto:

AH = AL + CH = CM + CH = (CH + DM) + HF = CF - LG

Así, la ‘aplicación de áreas por defecto’ (caso (2)) se resuelve como muela Fig. 3:

C D

K

a/2

L

XX

H

PE G

M

F

Fig. 3

184



Sea C el punto medio del segmento AB (= a) y sea CP, de longitud b, pe pendicular a AB en C. La circunferencia con centro en 'P y radio a/2 corta rá a

evidentemente sólo si b < a/2!— en un punto D. Pues bien, las magn itudes ADy DB son las buscadas como lados del rectángulo que se quería ‘aplicar’. efecto, basta trazar el rectángulo A BM K de ancho BM = BD y com pletar el cdrado DBMH. Entonces:

por la proposic ión 11.5:

A D • DH + CD2 = CB2

y como

CB2 = (a/2)1 = PD-

y por el ‘teorema de Pitágoras’

PD 5 = PC2 + CD2

será

A D • D H = P C2

‘es decir’

ax - x2 = b2

Es de resaltar que para poder encontrar el punto D que permite aplicar la p posición II.5 de los "Elementos" es necesario que la distancia PC (=b) sea meque el radio, a/2, de la circunferencia con centro en P, pues en caso contrario dicircunferencia no corta a la recta AB. Como observa Heath (19 81:1: 152), "de modo la solución es imposible". Es así el propio método de ‘aplicación de áre

que carga su evidencia en la percepción visual, el que excluyenaturalmente ciertassituaciones. En particular, la posibilidad de que b sea mayor que a/2. Pero es prsamente esta posibilidad la que , para nosotros, haría que la ecuación ax - xJ =tuviera un discriminante (a/2)2 - b2 = [(a/2) - b] • [(a/2) + b] negativo y, en concuencia, ambas ‘soluc iones’ (x = a/2 ± [(a/2)2 - b2]l/2) fueran ‘imaginarias’.

Pero no es sólo el modovisual de resolución de estos problemas el que cierrael camino hacia ciertas soluciones. Es la propia manera de plantear el problemque deja de antemano sin sentido a las que, desde otro planteamiento, postermente, también se tendrán com o soluciones posibles. Como hemos visto, los promas de ‘aplicación de áreas’ tratan de buscar los lados de un rectángulo que satisciertas condiciones. Y nada, por tanto, másnatural que el encontrar lo que se busca:ciertas magnitudes extensas susceptibles de ser tomadas como lados de un rec

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guio, es decir, ‘positivas’. La pre-suposición de las carácterísticas de lo buscado método de búsqueda determinan así positivamente los rasgos de la solución, bqueando cualquier posible emergencia de lanegatividad. No obstante, no se trata deun tipo de problema ni de un método, éste de ‘aplicación de áreas’, original dnueva ‘álgebra geométrica’, sino que ya Eudem o, según Proclo, lo data de antigu

"Estas cosas, dice Eudemo, son antiguas, habiendo sido descubiertas por Musa de los pitagóricos, me refiero a la aplicación de áreas(parabolé ton jórión), asu exceso(hyperbolé) y a su defecto(élleipsis). Fué de los pitagóricos de quienes los posteriores geómetras [i.e. Apolonio de Perga] tomaron los nombres, que en tontransfirieron a las así llamadas líneascónicas, llamando a una de ellas parábola (aplicación), a otrahipérbola (exceso), y a la terceraelipse (defecto), en tanto queaquellos divinos hombres de antaño vieron las cosas significadas por estos nombal construir, en un plano, áreas sobre una línea recta finita dada."1

No se trata, por tanto, de un método nuevo de la matemática geometrizaque se convertirá en clásica, sino de una sensibilidad p rofundamente arraigada,ahora se consolida en la matemática griega. El texto tiene el interés adicionavincular este m étodo con la resolución por secciones cónicas que, bajo los mis presupuestos, se desarrolla rá posteriorm ente.

El papel central del método de ‘aplicación de áreas’ en el ‘álgebra geomtrica’ le viene de su capacidad para efectuar operaciones que, en sus versiologística y aritmética, habían quedado faltas de fundam ento. Y en hacerlo sin inrrir con ello en nuevas paradojas. Como observa Heath, era "un sustituto efectdel álgebra moderna". Permitemultiplicar un núm ero cua lquiera de factores lineales reduciendo el resultado al produc to de tan sólo dos, es decir, a un rectángulno violar así el principio de dimensionalidad. Permite asimismodividir c 1productode dos factores lineales por un tercero. Y, al transform ar cualquier superficie enrectángulo ("Elementos" 1.45), y a este rectángulo en un cuadrado ("Element11.14), hace posible el ‘equivalen te a ’ extraer laraíz cuadrada. Y pe rmite también‘resolver’ ecuaciones con ‘raíces negativas’ mediante el expediente que Heathun evidente abuso de lenguaje y de conceptos, resum e del siguiente modo: "En

casos en que una ecuación cuadrática tiene una raíz negativa — o ambas— los ggos la transforman en o tra que tenga una raíz positiva —o ambas— (mediantequivalente de sustituir -x por x); así cuando una raíz es positiva y otra negatiresuelven el problema en dos partes, distinguiendo los dos casos".

En el libro VI de los "Elementos" Euclides amplía el ámbito de los problemde aplicación de áreas a cualquier paralelogramo. Las proposiciones 28 y 29 ptean: "Aplicar a una línea recta dada un paralelogram o igual a una figura rectildada ydeficiente (o excedente) en una figura paralelográmica similar a un paralelogramo dado". Y en VI.27 plantea elquid de la cuestión, haciendo explícita la exi

1 Citado por T. Heath (1981: I: 150).

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gencia de undiorismós, o determinación de lascondiciones de po sibilidad de unasolución en el caso dedeficiencia: "La figura rectilínea dada debe (en ese caso)no ser m ayor que el paralelogramo trazado sobre la m itad de la línea recta y simial defecto." Sin entrar aquí a dem ostrarlo1, esbocem os la situación (fig. 4):

Sea AB el segmento dado y D el paralelogramo al que eldefecto debe ser similar. Sobre la mitad EB de AB se levanta el paralelogramo GEBF, similar a Dtraza la diagonal GB y se com pleta el paralelogramo HABF. Por cualquier punde HA se traza una paralela a AB que cortará a la diagonal GB en un punto Q,traza la recta PQS paralela a TA. El paralelogramo AQ es un paralelogramo apli

a AB y quedifiere en un paralelogramo similar a D. Este último paralelogramo igual al gnomon OQPFBE, que habrá de construirse de modo que sea igual figura rectilínea dada C. Com o advierte Heath, "el gnomonevidentemente no p uede ser mayor que el paralelogram o EF, y por tanto la figura rectilínea dada Cno debe ser mayor que el paralelogramo", que es lo que garantiza eldiorismós de VI.27.

Si hacemos, ahora fuera del modo de pensar euclídeo, AB = a, QS = x, y b:c la razón de los lados de D, entonces SB = (b/c) • x. Y si m es una cie rta ctante, la ecuación ‘correspondiente ’ es m • [ax - (b/c)x2] = c; cuyas soluciones

H

i

Fig. 4

r c cx = (c /b ) ■(a /2 ) ± (c /b )L b 4 m J

Pa ra que éstas sean ‘reales’ es necesario que

Véase T. Healh ( 19 81 :1: 394 ss.).

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que es precisame nte la condición de posibildad asegurada por eldiorismós VI.27.De nuevo encontramos aquí la imposibilidad de v isualizar una cierta situación cvertida en condición de posibilidad de ex istencia; ex istencia que, en consecuenle es negada a lanegatividad.

En otras ocasiones Euclides no hace explícito eldiorismós requerido. Así, enel libro "Sobre las divisiones .(de las figuras)" las proposiciones 19 y 20 ofrecesolución geométrica de un problema de aplicación de áreas por defecto q‘correspondería’ a la ecuac ión kx - x2 = k. La om isión deldiorismós revela lo evidente que es para Euclides, que lo da por supuesto. Pues, como advierte He(1 98 1 :1: 428), tal omisión "se subsana fácilmente". Lo que aquí también exclla evidencia es la posibilidad de ‘raíces imaginarias’.

Proclo, en suComentario sobre Euclides, atribuye el origen del uso del términodiorismós en m atem áticas a León, discípulo de Neoclides, que debió ser almás joven que Euclides: "Él inventó losdiorismoi (cuyo objeto es determinar)cuándo el problema que se investiga es de posible solución y cuándo es imposi(66.20-2). Más adelante lo define como criterio para saber "si lo que se buscimposible o posible y hasta dónde es realizable y de cuántos modos" (202.3). Heath (1981:1: 319) la necesidad de determinar, previamente al intento de cotrucción de la solución de un problem a, las condiciones de posibilidad de tal ctrucción debía haberse advertido ya con bastante anterioridad. Hem os visto cóaparecíandiorismoi en los libros 1 y 11 de los "E lem entos" , que son de clara inspración pitagórica, y también hace referencia a ellos Sócrates en su diálogo

Menon ( M enon, 87a ss.) en tom o a las condiciones de posibilidad de una invesgación sobre la naturaleza de la virtud:

"Te pido, al menos, que tu omnímoda autoridad me conceda examinar phipótesis si la viitud se puede enseñar o no. Y tomo estas palabras ‘por hipótesisel sentido de los geóm etras. Cuando se les pregunta, por ejem plo, a propósito de superficie, si tal triángulo puede inscribirse en tal círculo, un geóm etra respond«No sé aún si esta superficie se presta a ello; pero creo oportuno, para determinarazonar por hipótesis de la manera siguiente: si se dan tales condiciones, el result

será éste, y en determ inadas otras condiciones, será tal otro. Así, pues, por hipót puedo decirte lo que ocurrirá respecto de la inscripción del triángulo en el círculoserá posible o no»".

El m encionado prob lem a de inscribir un triángulo en un círculo remite, vez más, a una aplicación de áreas por defecto, y su consideración ‘por hipótehace referencia a losdiorismoi que determinan la posibilidad de solución, ‘esdecir’ a las condiciones que aseguren el signo positivo del discriminante deecuación ‘correspondiente’, impidiendo raíces ‘imaginarias’.

Volvemos a encon trar la exigencia de undiorismós, com o investigación de loslímites de posibilidad, en la proposición 4 del libro II de Arquímedes "Sobresfera y el cilindro". Pero ahora en torno a la posible solución de una ‘ecuaccúb ica’. El problem a trata de "cortar una esfera dada por un plano de manera

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Jos volúmenes de los segmentos estén en una proporción dada". Sigam os a Hey9 81 : II: 43-467) en su discusión. Si m :n es esa proporción, h la altura de uno los segmentos, y r el radio de la circunferencia, el problem a ‘corresponde a ’ resyer la ecuación cúbica en h:

hJ - 3 r h 2+ - ^ - r 3 = 0 (1)m + n

jJ bien Arquím edes ‘la ’ trata como un caso particular de la ecuación más gener

x2(a - x) = be2 (2)

‘o sea’

x3 - ax2 + be2 = 0 (3)

Para la situación correspondiente a (2) plantea Arquímedes eldiorismós siguiente: "si el problem a se plantea de esta forma general, requiere undiorismós, pero si se añaden las condic iones que concurren en este caso [i.e. en la proposic4] no se necesita ningúndiorismós" (porque entonces la solución siempre es po si ble). La discusión, que Arquím edes deja "para el final” , se ha perd ido del texto

y como ha llegado a nuestros días, pero parece ser la misma que Eutocio recodespués y que aquí exponemos.La ecuación (2) se resuelve por intersección de la parábola de ‘ecuación’ y

= (c2/a)2 y con la hipérbola rectangula r (a - x)y = ab. Eldiorismós se plantea entérminos de hallar el m áximo valor de x2(a - x) para que (2) tenga solución (edentemente ‘rea l’), concluyéndose que ese valor se alcanza para x = (2/3)a. Pello demuestra que (a) si be2. = (4/27)a3 las curvas se tocan en x = (2/3)a, y (b be2 < (4 /27)a3 hay dos soluciones ( ‘reales’). Pero esto siempre sucede en (1) pen ese caso, comparando (1) y (3), be2 = (m /m+n)4r3, y basta con que esa m agni

no sea mayor que (4/27)a3, lo que en (1) equivale a (4/27)(3r)3 = 4 r3. Y evide nmente siempre será (m /m+n)4r3 < 4 r3.Lo que estediorismós excluye es la situación en la que po dría darse be2 >

> (4/27)a3. Pero del ‘significado’ de esta exclusión sólo nos puede dar una id

1 Ecuación que, claro está, Arquímedes plantea en términos de proporciones. Se trata de dividir un segmento AD en dos partes, AM y MD, de manera que MD : (una longitud dada) = (una superficie dada): AM2.

2 Es de destacar que, así com o los problemas ‘correspondientes a' ecuaciones cuadráticas sere-suelven por el método de 'aplicación de áreas', los que ’corresponderían a' ecuaciones cúbicas no re-curren a la que sería una extensiónnatural del método anterior (una cierta ‘aplicación de volúm enes’)sino a la intersección de secciones cónicas.

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cabal el análisis general de la ecuación cúbica que se hará a partir de las discsiones de los algebristas italianos del s. XVI. Desde esa perspectiva extemponea, dada la ecuación cúbica general (con coeficientes ‘reales’):

ax3 + bxJ + ex +d = 0 (4)

m ediante el cam bio de variable

x = y + a , con a = - b/3a,

la ecuac ión queda de la forma:

y3 + py + q = 0 (5)

a la que siem pre puede reducirse la ecuación (4).

Las carácterísticas de las tres raíces de esta ecuación, como hoy sabemos, dependen de los valores de la magnitud

de manera que:

(i) si R > 0 : (5) tieneuna raíz real y dos complejas conjugadas.(ii) si R = 0 : (5) tiene lastres raícesreales, una de ellas doble.(iii) si R < 0 : (5) tiene lastres raícesreales y distintas.

Este ú ltimo caso es el que se conocerá com o ‘caso irreducible’. Aunque enlas tres raíces son reales, su cálculo mediante la expresión:

pasa por la consideración de la ra íz cúbica de números complejos.Consideremos ahora la ecuación (3), a que ‘correspondía’ el problema d

Arquímedes, como una ecuación del tipo (4) y ‘traslademos’ a ella la discusianterior. Mediante el cambio de variable x = y + a/3 la ecuac ión (3) quedará,forma análoga a la (5):

(6)

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con lo que, operando:

2 3

R = i - + | ^ = (27bc2 -4 a 3)bc J

de donde:

R > 0 si be2 > (4/27) a3R = 0 si be2 = (4/27)a3R < 0 si be2 < (4/27)a3

Pues bien, eldiorismós que Arquímedes presenta en términos geom étricos ‘secorresponde’ pun tualm ente con las situaciones numéricas que ofrece esta discu

algebraica. En el caso (a), donde e ra be3 = (4/27)a3, e l punto en que se tocan lasvas corresponde a la raíz doble de (ii). En el caso (b), donde era be < (4 /27)a \soluciones de Arquímedes son dos de las tres de (iii); aquí el método geométricArquím edes le permite hacer frente al ‘caso irreductible’ evitando la que despuéverá como inexplicable paradoja de llegar a números ‘reales’ pasando por ot‘imaginarios’. Por último, el caso excluido por eldiorismós arquimediano, aquél enque be2 > (4 /27 )a \ se corresponde con el (i), que es el único en que la ecuacióntendría dos raíces complejas.

Observamos así en Arquímedes uno de los más vigorosos esfuerzos de razón griega por pensar los propios límites de su epistem e, aunque esta empresla acomete sólo en la investigación de los límites de posibilidad de solución de blemas odiorismoi. La m atemática griega clásica es esencialmente estática, ceñida la figura/imagen/idea (eidos) de contornos fijos y nítidamente definidos, del todosolidaria con las precisas determinaciones que perfila la percepción visual(edon == ‘yo v i’)1, una matem ática que evita cualquier consideración que suponga mmiento o indefinición. Pero las consideraciones cinéticas de Arquímedes (comoque le permiten, en "S obre la espiral", encontrar la tangente a una curva — c‘parentesco’ con el cálculo diferencial suele subrayarse— o la mism a definicióla ‘espiral’ como el lugar plano de un punto que, partiendo del punto final derayo o semirrecta, se mueve uniformemente sobre su punto final) parecen quererrebasar ya, ahora en otro aspecto, su propio cerco cultural. El descubrimiento"El Método", perdido durante siglos, en 1906 ha permitido conocer el enfo‘m ecán ico’ que subyace a m uchas de sus construcciones. Tal ocurre, p.e., en elculo de un área por suma de segmentos rectilíneos o en el recurso al equilibmiento de líneas, como pueden equilibrarse pesos en una balanza, para el cál

de un segmento parabólico. Como el mismo Arquímedes reconoce en esa o

1 Véase epígrafe 1II.4.

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tales procedimientos infringen claramente los requisitos clásicos de rigor. Cierdinámicas y cierta ‘falta de rigor’ serán también dos factores clave que converrán en intentos posteriores para dar razón de lanegatividad matemática, pero enArquímedes, como hemos visto, ésta queda obturada de raíz por los mismosdio- rísmoi que, al tiempo que indagan las fronteras de lo impensable y lo imposibltrazan sus confines — en lo que a lanegatividad se refiere— con aún m ayor deter

minación.La exploración de distintosdiorismoi irá juga ndo un papel cada vez mayor

en la matem ática griega. Así, de la importancia que les concede A polonio (26190? a.C.) da una idea la mención explícita que va haciendo de ellos en los breresúmenes con que, a modo de prefacio, comienza cada uno de los libros de s"Cónicas". No se trata ya de requerimientosad hoc, insertados circunstancialmente jun to a un problem a concreto, para determinar, al hilo de la construcciónsu solución, las condiciones de posibilidad de ésta; ahora se trata de un plan sis

mático de investigación que incluye, desde un principio, la indagación de los lítes de su posibilidad de solución y del número de soluciones posibles, en su caEn el «Prefacio General» que precede al Libro I de las "Cónicas" anuncia:

"El segundo libro contiene las propiedades de los diámetrosy de los ejes de lassecciones [cónicas] así como de las asíntotas, con otras cosas generaly necesariamente usadas para de terminar los límites de posibilidad(diorismoi)"

Y en el «Prefacio» al Libro IV:

"Contiene [este libro] una discusión de la cuestión: en Cuántos puntos como máxim pueden las secciones cónicas cortarse en tre síy a la circunferencia de un círculo, en elsupuesto de que no coincidan por completo, (...) Estos teoremas son de considerable utilitanto para la síntesis de problemas como para losdiorismoi. Nicoteles, en efecto, a propósito de su discusión con Conon, no ve qué utilidad puedan tener los descubrimientos Conon de cara a losdiorismoi; sin embargo, está equivocado en es to, pues aunque sea posi ble. sin usar de ellos en abso luto , llegar a resultados concern ientes a los límites de posibdad, en cua lquier caso suministran al lector medios para observar ciertas cosas, p.e., que posibles varias o tántas soluciones , o que no es posible ninguna solución;y conocer eso conantelación asegura una base satisfactoria a las investigaciones."1

La investigación sistemática de Apolonio le permite conocerde antemano, nosólo cuándo un cierto problema tendráuna solución(la solución), sino si puedehaber varias y cuántas serán, lo que se le escapará a Diofanto pese a disponer un sim bolismo formalm ente ‘más potente’. Pero esa m isma sistematicidad dibcon mayor nitidez los límites de la episteme griega en lo tocante a lanegatividad. El antiguo método de ‘aplicación de áreas’, con sudiorismós establecidoad hoc

paracada prob lem a particular, podía excusar la consideración de otras solucion

1 Citado por T. H ca lh(1 98 l: II: 130-1).

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— y, entre ellas, las ‘im posib le s’— toda vez que, encontrada una, se tenía yala solución. Pero la exploración exhaustiva detodas las soluciones posibles ya no puede dejar lugar a duda re specto a lanecesaria imposibilidad de las soluciones‘imposibles’. No hay más soluciones que las ‘posibles’ y de suexistencia da cuentala posibilidad de suconstrucción efectiva en términos decontactos entre las distintas curvas.

No nos detendrem os en el estudio de alguno de los muchos problemas en que Apolonio recurre adiorismoi que explícitamente ‘excluyen’ soluciones‘imposibles’ (mejor dicho, que aseguran que ‘no hay’ solución o que ‘no hay mque’ tantas), pues los límites de posibilidad se siguen estableciendo en los térmiya conocidos de comparación de áreas o longitudes, posición relativa de var puntos, etc . es decir, en térm inos de construcciones capaces de visualización.hecho, la clasificación y estudio por Apolonio de las cónicas tiene su origen emétodo de ‘aplicación de área s’, que ya expusimos con cierto detalle. Los mism

nombres de las distintas secciones cónicas, que seguramente se remontan a pitagóricos, así lo manifiestan: la ‘elipse’ ( deélleipsis o ‘deficiencia’, ‘falta’)corresponde a la aplicación ‘por defec to’, la ‘hipérbola’ (dehyperbole o ‘exceso’,‘exageración’) a la aplicación ‘por exceso’, y la ‘parábola’ (de parabole o ‘com

paración’) para la aplicación ‘exacta ’.Para desb orda r el cerco perceptual de la razón griega no bastará siquie

el tratamiento ‘moderno’ que da Apolonio a las secciones cónicas, utilizanlos que suelen considerarse ‘antecedentes’ claros de la geometría analítcartesiana: ejes coordenados (aunque solidarios a las figuras y no indepe

dientes de ellas), ‘ecuaciones’ (en términos de magnitudes) referidas a lejes, la consideración deopuestas para referirse a la doble rama de la hipér bola , etc. El espacio , com o bie n fundam entó A ristóteles, lo esde los cuerposcomo las coordenadas de Apolonio lo son asimismode las figuras, inherentesa ellas y solidarias con ellas, incapaces, por tanto, deorientar ninguna form ade negatividad.

Con losdiorismoi, efectivam ente, el modo griego de razón alcanza en m atemáticas un techo, en el doble sentido de la expresión. Se alza hasta la m ayor al posib le al explora r de manera sistemática los límites del ámbito de lo pensablconvertir en objeto de considerac ión la posibilidad misma de la exploración: "que se busca es imposible o posible y hasta dónde y de cuántos modos". Peromismo movimiento de búsqueda naturaliza, como seguramente no podía serotro modo, esos límites, sentando como imposible cuanto no cae bajo el domide su específica form a de racionalidad. Y estosdiorismoi bloquean implícitamentecualquier forma denegatividad, pues imposible es, como hemos visto en los ejem plos desarrollados, determ inar ciertos puntos cuando ciertas construcciongeométricas lo impidenevidentemente (una circunferencia cuyo radio no alcanza

una longitud dada, dos curvas que no llegan a cortarse...). No debe o lvidarse una de las expresiones mas habituales mediante la que se asume la imposibilide algo es la de calificarlo com oátopon, sin lugar, sin posibilidad de visualizarse.El se r procede de su e-v idencia, de su ser para la vista. Y el que una solución lo

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depende de su capacidad de m ostrarse, de saltar a la vista. No es que el ‘álgegeométrica’ griega excluya o evite las ‘raíces imaginarias’ o los ‘números negvos’, como en ocasiones se afirma; lo que se excluye o evita son las condicionmismas en las que tales formas denegatividad podrían haberse suscitado. Algarantizar las condiciones bajo las que es posible unaconstrucción geométricaefectiva,el diorismó s no declara imposibles ciertas soluciones sino ciertos proble

mas, cuyo planteamiento mismo carece de sentido. Situación del todo diferentla que se verán abocados los m atemáticos de la Ilustración cuando, al obtener ces negativas, declaren el sinsentido que se ocultaba en el problem a y alteren términos en que éste se enunciaba para — ahora sí— evitar esas soluciones ‘imsibles’. Son dos formas de ‘imposibilidad’ bien distintas: la una, por el carácconstructivo de su mé todo, no puede siquiera abocar a ciertas situaciones, no puver ciertos caminos, excluidosnecesariamente y de antemano en su posibilidadmisma; la otra, por el carácter ‘sim bólico’ de su método, sí aboca a esas situacioantes oc luidas, y será la dificultad para ‘interpre tar’ las soluciones (a las que ahnecesariamente lleva un cálculo estrictamente formal) la que mueva a concluir limposibilidad de algo que, sin embargo, en cierta manera — formal— sí ha s posible .

III.6. Aphairesis : pensar ‘por abstracción’ y o perar ‘por sustracción’.Los prim eros principios o los límites del sentido común griego

Cuantos obstáculos a la emergencia de lanegatividad hemos consideradohasta aquí, acaso descansen en sólo dos carácterísticas, aunque íntimam ente lidas, que marcan de raíz la episteme griega. Se trata de un modo de pensar que procede ‘por abstracción’ y b) lo hace a partir de las cosas sensibles (lo que Ortllama el ‘sensualismo’ griego); un modo de pensar que opera clasificando la redad y los saberes sobre ella en una sucesión de géneros y especies. De un mogeneral, quedan así incomunicadas la.aritmética y la geometría, como sabesobre la ma gnitud discreta y la continua, respectivamente; y en particular, se extanto de una como de otra un carácter sustancial que, aportando un sustrato com

perm ita tanto sustraer el género de la especie como una magnitud de otra. Enmodo de pensar aristotélico-euclídeo es la misma acción, expresada por el misverbo (aphairéó), la que da lugar a ladiferencia específica y a ladiferencia de magnitudes. Se sustraen magnitudes como se abstrae el género de la especie: separando algo de donde, necesariamente, habíamás. Para el griego, sustraer es abstraer, dos modos de una misma actividad extractiva. Se trata, pues, de uoperación intrínsecamente posi tiva. No puede sustraerse de donde ‘no hay’, comotampoco puede sustraersemás de lo que ‘ya hay’. Y la herencia de este paradigmaencam inará la indagación occidental sobre lanegatividad en térm inos de posibili-’dad/imposibilidad de sustracción.

Si comparamos estos procesos de ordenación del pensamiento y larealidadcon los que en C hina cumplen funciones análogas, podrían correlacionarse el p

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ceder ‘por abstracción ’ con el hacerlo ‘por analogía’ o ‘por equivalencia’. El dencadenamiento de génem s y especies (soportadas por un sustrato com ún) a que el primero da lugar se correspondería, en el segundo, con lasbiparticiones (articuladas por un gozne interpuesto) inducidas por un criterio general ‘de oposición’. primero obliga a lanegatividad a moverse en el terreno del ‘sustraer’, de lo que

‘falta’, la ‘ausencia’, la ‘nada’ y el ‘menos que nada’ ; el segundo, presc inde de tratos y separacio nes, y lleva a lanegatividad a moverse en términos de oposiciones, analogías (congruencias), simetrías y ejes o ‘goznes’ que las articulen.

En la base de ese m odo de pensar por abstracción e imbricación en géneroespecies está — y volvemos aquí a seguir a Ortega— ése su carácter ‘sensualiy ‘cosista’, que, a partir de la percepción sensible de unas supuestas ‘cosas ahva extrayendo de ellas los conceptos, construidos por lo quehay de común en ellas.Un proceso que O rtega llama, no sin malicia, ‘por abstracción com unista’. Temos ahí un primer m omento del papel determinante jugado por la sensación. P

¿cómo determ inar que lo com ún a una colección de triángulos es su ‘trianguldad’ y no, por ejemplo, su color? Porque ésa es su comunidad respecto de ‘punto de vista ’, el de la figura, que los distingue de los cuadrados y no de los trgulos de otro color. Otro tanto ocurre con la primera definición de Euclides: "Pues lo que no tiene partes o lo que no tiene magnitud". Ninguna de esas dos defciones perm ite distinguir el punto de cualesquiera otras cosas que no tengan pao magnitud, como el alma. Dios o ‘lo que no hay’. Ambas, observa Ortega (1993), "dan por supuesto, y de puro suponerlo no lo expresan, que vamos a hablalo extenso (...) y más concretamente que lo tenemos delante, que lovemos', suponen además que eso que vemos lo vemos como un todo, y que lo dividimos en tes; suponen que con una de esas partes medimos el todo, y nos proponen que bquemos una parte tan pequeña que ya no tenga partes y que no pueda ser medcon ninguna otra porque es menor que cualquier otra", lo cual implica buena pde la geometría antes de empezar siquiera. Análogo anclaje en la visión tieneaxioma VIII de Euclides: "Magnitudes que coinciden entre sí, esto es, que lleexactam ente el mismo espacio, son iguales". Y también remite igualmente a la suposición deevidencia de un concepto, el de magnitud, que no ha sido definidoantes. Los ejemplos podrían multiplicarse.

El requ isito devisibilidad no es tan sólo un presupuesto implícito en el quedescansa esta forma de pensar. Tal condición se pone explícitamente, inclusomatemáticas. Así, Aristóteles, en su Physica (II.9. 200*16-19):

"Si la línea es lo que reconocemos que es a partir de nuestra intuición visu• entonces el ángulo suma de un triángulo es dos ángulos rectos".

Aristóteles, como subraya Heath (1949: 45), no cesa de referirse al carác

sensual de la magnitud, asociándola directamente con la imagen del cuerpo qu

1 Sobre el carácter siempre construido de cualesquiera ‘cosas ahí' víase E. Lizcano (1993b).

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ofrecea la vista y se manifiesta dimensionalmente: la magnitud "es continua duna, o dos, o tres maneras" ( Metaphysica, A. 13.1020*11); "todo cuerpo tiene profundidad, que es la tercera [clase de] magnitud" ( De Anim a, 11.11.423*21). Los"Elementos” de Euclides recogen este mismo espíritu, viniendo también a funmentarse, según J. J. Gray (1990: 651) "en asunciones, a menudo bajo forma deducciones, que reflejan creencias sobre el espacio físico".

Desde esta concepción ‘sensualista’ no tiene ningún sentido nada que pudieevocar unamagnitud negativa. En De Sensu et Sensib ili (3.400*26-8) se afirma:

"No es posible que ninguna magnitud pueda serinvisible, sino quetoda magnitud esvisible a una cierta distancia".

Así, la manera aristotélica de entender el proceso de abstracción tendrá —diferencia, en este respecto, del modo platónico— repercusiones bien directasel tratamiento posterior de lanegatividad :

"Fuera de las magnitudes sensibles, nada existe separadamente: es en las fomas sensibles donde se encuentran los inteligibles, lo que se dice en abstracciótodos los estados y propiedades de las cosas sensibles"{De Anima, II. 11.432*3-6).

O bien, con un ejem plo especialmente plástico:

"Lo que se dice enabstracción se dice como lo chato: si se toma la nariz chataen tanto que tal, no hay ninguna separación; pero si se piensa en acto su concavidentonces se la piensa separadamente sin la carne en la que se encuentra. A sí los obtos matemáticos, aunque no tengan existencia separada, se piensan como separadcuando se los piensa en tanto que tales”{De Anima, II. 11.43la l2 -17).

En estos y otros textos semejantes, el término utilizado por Aristóles —qtraducimos porabstración — es el deaphairesis, y es el mismo que Euclides usarátambién para referirse a la operación de sustracción, ya sea de números ya de magnitudes. Así, en las proposiciones 6 y 7 del libro VII de los "Elementos":

"Si un número es la misma parte (o las mismas partes) de un número que enúmerosustraído lo es del númerosustraído, el resto será la misma parte (o las mismas partes) del resto que el todo lo es del todo".

Y, para magnitudes ahora, al desarrollar la concepción de Eudoxo, la propsición 19 del libro V dice:

"Si una magnitud entera es a una magnitud entera cómo la magnitud sustraída

es a la magnitudsustraída, el resto será al resto como el todo es al todo".

El sustantivoaphairesis proviene del verboaphairéó, que se usaba en lenguaje ordinario en las acepciones de ‘sacar’ o ‘extraer’ algo de algo, ‘separar’ a

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de una cosa, ‘arrancar’, ‘privar’, etc. Lo que el matemático griego puede sus — y, por tanto , también lo que le es im posible sustraer— se revela así, a travélenguaje, anclado en el imaginario social de su cultura, un imaginario que Arteles sistematiza ejemplarmen te. J.-L. Gardies (1989: 66), indagando las impciones que para la construcción del número tienen las diferencias entre el senmoderno y el aristotélico-euclídeo de la abstracción, observa este origen com úla abstracción aristotélica y la sustracción euclídea, y señala cómo en uno ycaso se requieren dos condiciones. Así, la abstracción:

"...permite pasar del concepto de-‘león’ al de ‘cuadrúpedo vivíparo’, de ésde ‘animal sanguíneo’, y de éste al de ‘animal’, por la doble razón de que estoceptos son homogéneos (pues, como diríamos hoy, todos ellos corresponden a

juntos de individuos o a predicados de individuos) y que, al tener los primerocomprensión más rica que los siguientes, el paso de los unos a los otros resultavez de una suerte deextracción''.

Del mismo modo, para pode r sustraer un núm ero (o una magnitud) de otrde otra) hace falta, en primer lugar, que ambos sean homogéneos, y, en segulugar, que aquél del que se sustrae tenga ‘una com prensión más rica’ que aquées sustraído, es decir, que el primero sea mayor (que comprenda mas unidadmayor extensión) que el segundo. Si de la especie ‘hombre’ ( = ‘animal racioabstraigo/sustraigo el género ‘anim al’ queda com oresiduo o exceso la diferencia específica: el ser ‘racional’. De igual modo que si de 4 sustraigo/abstraigo 3 qu

como residuo o exceso la diferencia: 1. Esquemáticamente, la analogía podríarepresentarse así:

m i n u e n d o s u s t ra e n d o d i f e r e n c i a

‘ c u a t r o ’ -‘ t r e s ’ = ‘ u n o ’ o s e a ' c u a t r o ’ = ‘ t r e s ’+ ‘ u n o ’

‘ h o m b r e ’ -‘a n im a l ’ = ‘ ra c i o n a l’ o sea ‘h o m b r e ’ = ‘a n i m a l ’ + ‘r a c i o n a l’

e s p e c i e g é n e r o d i f e r e n c i a e s p e c í f i c a

Por eso, en el pasaje comentado en III.3 de la Physica aristotélica era imposible que se obtuviera ‘nada’ comoexceso resultante de una operación de sustracción. Sustraer un núm ero (o una magnitud) de otro (o de otra) es así una operen todo semejante a la de extraer/abstraer el género de la especie. Y será, por

el mismo tipo de imposibilidad el que prive de sentido tanto a la operación de sustraer un núm ero (o magnitud) mayor de uno (o de una) m enor como a la operde abstraer la especie ‘hombre’ del género ‘animal’, y no al revés. Pues, encaso, el anterior esquem a analógico sería:

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‘tres’ - ‘cu at ro’ = ? o sea ‘tres’ = ‘cua tro’ + ?

‘an im al’ - ‘hom bre’ = ?? o sea ‘animal’ = ‘hom bre’ + ??

Restar, por tanto, 4 de_3, que tannatural resulta para la antigua episteme

china, es para un modo de p ensar que, como el griego, clasifica en géneros y ecies, tan absurdo como intentar obtener el concepto de animal a base de agrotro concepto al concepto de hombre. Pues está claro que el ‘hom bre’ (especieun ‘animal racional’ (género + diferencia específica), pero el ‘animal’ es un ‘h bre ¿qué?’. N o hay modo. Ambas operaciones son puros disparates, tanto ‘lógcomo de ‘sentido común’. No en vano Diofanto, como veremos, intentará ev pensar en térm inos deaphairesis para articular algún tipo deleipsis o ‘falta’,intentando con ello da r alguna ca bida a la posibilidad de ciertanegatividad que sutradición le niega.

Para Aristóteles (Tópica, XI.6.143b8), la especie se constituye cuando algénero se añade la diferencia (específica), el residuo que había quedado cuaoperábamos por abstracción/sustracción. Por eso el movimiento inverso alaph ai resis (abstracción) es el de prosthesis', si el primero va de la especie algénero, o del concepto más rico al más pobre, el segundo procede del géneroespecie, del concepto más pobre al más rico en determinaciones (la prosth esis añade al sustrato genérico la diferencia de la que resulta la especie). Y por esanálogamente, la operación inversa a laaphai resis (resta o sustracc ión) es la p ros

thesis (suma o ad ición)1(la prosth esis añade al sustraendo la diferencia de la queresulta el m inuendo). En este sentido también, A ristóteles dice que en m atemáse habla porap hai resis mientras que en física se hace por prosth esis .

Esta forma de clasificación por géneros y especies está estrechamente unal decisivo papel que señalábam os para la percepción visual en la construccióla m atem ática griega. Conviene ahora añadir que ese papel no se agota en la ctrucción de conceptos, sino que se extiende a todo el proceso de demostració prueba, com o ha señalado A. Szabó (1960, 1965, 1977). Para éste (1960: 34origen de lo que se entiende por ‘de-mostración’ es una ‘mostración’, una ‘exhción’ o ‘poner a la vista’:

"Uno de los términos técnicos más comunes en el lenguaje matemático gres el verbodeíknymi, que aparece como frase final en cada demostración de Euclide(...) Sabemos que los griegos conocían el ‘antiguo’ significado del verbodeíknymi

1 J. L. Gardies (1989: 67, n. 4), aclara que Euclides suele preferir el términosynthesis, por

cuanto el 'poner juntas' dos cantidades hace más patente la conmutatividad de la suma que el ‘añadir’ la una a la otra. El uso de prósthesis como 'adición' o 'suma', y el de prostithémi como'sumar’,essin embargo no menos habitual; así, p.e., cuando Sócrates se pregunta en elFedon (96e 7 10) pore¡sentido que pudiera tenersumar uno y uno.

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como 'visualizar de modo concreto’ ya desde tiempos de Platón. Por otro lado,sabido que los primeros pitagóricos consideraban la geometría comoistorie, i.e.,como una ciencia inseparable de lavisión".

Un claro ejemplo lo encontramos en el célebre pasaje del M enón platónico(82b-85e), donde Sócrates plantea cómo el esclavo sabe geometría sin saber

Más explícito, si cabe, lo es aún en elCratilo (430e), cuando Sócrates se ve en lanecesidad de ac larar que al mostrar un retrato no está utilizando el términodeixai en el sentido de ‘dem ostración ’ sino en el de ‘mostración’: "Y entiendo po rdeixai hacer entrar por el sentido de la vista”.

Ciertamente los m odos de demostración fueron evolucionando, como estudSzabó, en el sentido de un abandono de este carácter empírico-ilustrativo, perotanto para sustituirlo po r otro cuanto para ‘ocu ltar’ su origen directame nte pe rctivo, reconstruyendoa posteriori, con procedimientos indirectos, teoremas que previamente habían sido enunciados y (de-)mostrados con apoyo visual. Caincluso pensar que, en cierto sentido que precisaremos más adelante, esta evoción refuerza aún más el crucial papel de la visión en lo que se tendrá por pensa por decib le y por d emostrable en la matemática euclídea.

Procediendo así a partir de extractos sensuales, cuyo carácter común decisu consideración desde un cierto punto de vista, se van construyendo formas superiores de comunidad — los géneros— respecto de los que las otras — especies—determinan por especificación. Es carácterístico, pues, de esta forma de p ensahacerlo en géneros y especies que, en relación m utua de continente a contenido

van imbricando jerárquicam ente. Lo cual tendrá — como advierte Ortega— soel modo euclídeo de hace r matemáticas, y en especial sobre el obstáculo que enñará para la emergencia de lanegatividad, "un influjo sustancial; a saber: un influjonegativo: el de im pedir (...) la expansión de la matem ática, obligándole a fingir pensaba ‘cosas’ y que las pensaba por abstacción comunis ta , en géneros y escies". En lugar de defin ir ‘la cosa ’, y al definirla crearla, este proceder apunta aconocer la supuesta ‘cosa’ como proviniente de un afuera en el que se suponeexistencia y al que tenemos acceso por información sensorial. Aquí radicará

diferencia decisiva entre este modo de pensar y el modo moderno: "los antig piensan desde el ser, al paso que los modernos, comenzando por Descartes, psan desde el pensar, desde las «ideas»" (1979: 109).

Pero cada especie no puede ser pensada desde el género, pues a éste siemle añade algo nuevo: su especificidad, por lo que que necesita sus conceptos — dniciones y axiom as— específicos. Cada ciencia, por tanto, en luga r de arranca princip ios genera les, que lo son del género, habrá de hacerlo desde sus principespecíficos, que así la cierran sobre sí misma y la incomunican de todas las demEs la ‘ley de incomunicabilidad de los géneros’, que establece la estanqueidad pectiva de aritmética y geometría .El abismoentre el lugar del núme roy e l númerodel luga r que así se abre determinará también decisivamente la oclusión de lanegatividad. Incluso relaciones cuyo nombre es el mismo —como las de ‘igua

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‘mayor’ o ‘menor’— tendrán significados irreductibles en aritmética y en geomtría. La prohibición aristotélica es rotunda:

"No puedes, por lo tanto, cuando se trate de probar algo, pasar de un génerootro; e.g. no puedes probar una proposición geométrica mediante aritmética. Ptres cosas se requieren en una demostración: (1) la conclusión que va a demostra

(2) los axiomas, esto es, ios axiomas de los que [parte la prueba], (3) el géneasunto subyacente, cuyas propiedades y atributos esenciales se clarifican pordemostración. Ahora bien, las cosas de las que parte la prueba (los axiomas) pueser las mismas (cualquiera que sea el asunto); pero donde el género es diferencomo en aritmética y geometría, no es posible aplicar la demostración aritmétic propiedades de magnitudes, salvo si las magnitudes son números. Hay, sin embarcasos en los que tal transferencia sí es posible, como se explicará más adelanAhora bien, la demostración aritmética tiene su propio género, al que se refiere, ymismo lo tienen las demás ciencias. Por tanto es necesario que el género sea

mismo, bien absolutaménte, bien en algún respecto, si quiere transferirse la demtración; de otro modo la transferencia es imposible, pues los términos extremmedio deben tomarse del mismo género" ( Analy ticaposteriora. I. 6-7.75*35-b17).

La extensión de la cita permite atender a las razones por las que aritméticageometría son incomunicables, pero también al enunciado, como de pasada, de curiosa salvedad: la demostración arimética no puede aplicarse a las magnitud(evidentemente geométricas) salvo que las magnitudes sean números. Si cabe la posibil idad de que las magnitudes sean números, por ahí se comunicarían amb

géneros. Heath (1949: 45) ño cree que Aristóteles se plantee la posibilidad de qlas magnitudes puedan ser números y destaca cómo lacantidad (posón) se dividetajantemente(Categoriae, c. 6) en continua (o magnitud) y discreta (o número).¿Podría ser entonces ese posón el elem ento super-genérico que sirviera de llave de paso entre los géneros estancos? La cuestión no es baladí pues la emergencia recentista dehnegat iv idad va a pasar precisamente por la exclusa que esa llave cierra, como también lo hará — aunque por otro camino— la geometría analíticaVieta o Descartes.

En ocasiones Aristóteles(Metaphysica, E. 1. 1026*23-7) apunta un puentedonde acaba de prohibirlo:

"Puede plantearse la cuestión de si la filosofía primera es universal o trata calgún género particular o alguna clase de cosas. Pues ni siquiera en las ciencias mmáticas es el método uno y él mismo; geometría y astronomía, p.e., tratan con ciclase de cosas, pero la ciencia universal de las matemáticas es común a todas ramas".

O también(Metaphysica, K. 7. 1064b8-9):"Pues cada una de las ciencias matemáticas se refiere a unos géneros distint

pero la matemática universal es común a todos".

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Aquí Heath (1949: 223) sí sugiere que la analogía que m ejor se ajusta a e‘matemática universal’ que "Aristóteles parece tener en la cabeza es nuestro á

bra". Pero ése es precisam ente un paso que no puede darse desde este modo de psar. "Existe un concepto de cantidad, y Aristóteles lo define en el libro de la M eta

fís ica", observa Ortega (1979; 118), "pero este concepto es de por sí inoperante. geometría empieza con el concepto de «magnitud — mégethos — o cantidad continua; por tanto, con una especie, lógicamente hablando. ¿P or qué sólo ésta es h para obtener proposic iones verdaderas? Porque es loúltimo común en este ordenque en las cosas sensibles puede encontrar la abstracción ‘comunista’. La purgenérica cantidad escapa ya a la sensación:la pu ra cantidad ya no es una «cosa»". Pero el pásaje más significativo de Aristóteles a este respecto no es el aduc idoOrtega sino el siguiente de los Analí ticos p osterio res (I. 5. 74*16-b4):

"Otro caso es el teorema sobre proporciones, donde se pueden tomar los térnos alternativamente; este teorema solía probarse en tiempos de forma separadanúmeros, para líneas, para sólidos y para tiempos. Pero como no había ningún n bre que comprendiese todas esas cosas como una, me refiero a números, longitutiempos y sólidos, que difieren en especie unos de otros, eran tratados por separAhora, sin embargó, la proposición se prueba de modo universal; pues la propino pertenece a los objetos en tanto que líneas o en tanto que números, sino en tque teniendo un carácter particular que se supone poseen de modo universal".

En este punto roza Aristóteles el límite del cerco de este modo de pensar. duda se está refiriendo a la nueva teoría de proporciones desarrollada po r Eud para salvar las aporías a que, tras la irrupción de los inconmensurables, condla tradicional teoría de proporciones pitagórica. Ya vimos cómo Euclides presambas por separado, con diferentes colecciones de definiciones y sin estableninguna conexión entre ellas, ni siquiera cuando — como en X.5— se enfrenuna proporción en la que la razón de dos magnitudes es la misma que la que entre dos números.

Aristóteles pone el dedo en la llaga al referirse a cierto ‘carácter particulque de ‘modo universal’ poseen tanto magnitudes como números. Pero si lanega-

tividad pertenecía al ám bito de lo innombrable, ahora estamos ante lo innomina‘no había ningún n om bre’ capaz de alojar sem ejante he terogene idad1. Tam pacierta a da r con uno tras la relativa unificación que proporciona la nueva teor proporciones. Heath observa que "Aristóteles no dice qué térm ino genera l se uen su tiempo para cubrir las cuatro categorías de cosas; posiblemente ningún mino habría obtenido un acuerdo definitivo (...); si él hubiera sugerido uno prmiblemente habría sido posón, cantidad,cuanto". Lo cual no deja de parecerdem asiado aventurado, cuando acaba de rechaz ar la posibilidad de que Aristóhubiera podido pensa r las magnitudes como núm eros. No, ese posón transgenérico

1 No deja de ser chocante que aquí deríve Aristóteles la distinción de géneros de la ausencia de un nombre común , y no a la inversa.

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marca un borde cultural que no se reconstruirá hasta finales del siglo XVI. Y, entonces, alguien tan buen concedor de Aristóteles como Suárez seguirá negdose a tratar el concepto genérico de ‘cantidad’, arropándose en que tambiénmaestro lo evita y nada más mencionarla corre a subdividirla en continua y cre ta1.

Junto al decisivo papel de la percepción sensible en el origen del procesoconceptualización y en el de-imbricación en géneros y especies, hay un termomento que sobredetermina este modo de pensar no menos profundamente.el del establecimiento de los principios, tanto los específicos como los prime principios, que soportan todo encadenamiento deductivo y que esta form a de ranalidad va a justificar por su carácterevidente.

En efecto, cada ciencia, cada especie, ha de partir necesariamente de uintuición básica, que la determina en su especificidad: la intuición de la magnextensa, en geometría, o la del número discreto, en aritmética. Esta intuición

situarse al principio de cada especificidad, que arranca de ella, no podrá defin‘en general’ sino que habrá de presentarse como ‘evidencia espec ífica’: ésa suginalidad será la que dé origen a la especificidad correspondiente; de ahí la prferación de cienc ias. Los principos específicos, definiciones y axiomas, que funcada ciencia quedan así sin otro fundamento que el de suevidencia.

El encadenamiento progresivo en la jerarquía de géneros y especies de definiciones y axiom as les rem ite de continuo, por otra parte, a elem entos prevcada vez más generales, hasta llegar a los ‘primeros principios’, donde se truncanterior cadena regresiva y de donde descenderá, ahora en sentido inversomecanismo deductivo en que consiste la prueba. No encajadas ya en ninggénero, estas proposiciones primeras no necesitan —ni, en rigor, pueden— probadas, lo cual no es obstáculo para que paradójicamente, como apunta Or(p. 85), sean "más verdad que las a ellas subsecuentes y en ellas fundadas, puque éstas tienen sólo una verdad derivada de aquélla, que es primitiva e ingénilas proposiciones primeras". No es exagerado, pues, concluir que "el pensamiecon que se piensan las proposiciones primeras [de las que penderá toda verobtenida por m edio de prueba] no razona, es irracional por tanto y cuando me

ilógico" (p. 894).Pero esto, que — desde Godel— sabemos que es carácteristico de cualqusistema lógico, en el caso griego nos permite una nueva vía de acceso a sus psupuestos culturales — literalmente, sus pre-juicios— en el mom ento mismoque se proyectan sobre sus saberes más formales, como lo son sus matemáticque quedan así impregnadas de significaciones inconscientes. Razón por la cuesqueleto formal de sus m atemáticas, cuando es heredado por sociedades con supuestos diferentes, se verá imbuido de significaciones distintas que pugnan emerger tras las significaciones latentes conservadas. Pues, mientras para el m

de pensarmoderno la justificación de la elección de unos principios primeros e

1 "Statim illam divisit in continuam et discretam ”, citado por J. Ortega (19 79 :1Í

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lugar de otros se basa en su capacidad generativa puram ente form al1, en su fecdidad lógica, el pensamiento euclídeo-aristotélico buscará tal justificación enevidencia, en su ser de sentido común, que es una variable cultural de prim er orden.

Venir avalados por la ‘opinión pública’, ser estimados comoéndoxoi u ‘opiniones reinantes’, contarse, pues,entre las creencias, será decisivo para constituen principio: "la validez del principio es un hecho social", concluye Ortega 165), quien conjetura que Aristóteles tuvo su primer encuentro ‘enérgico y vivcon los axiomas cuando estaba reuniendo sus ‘lugares com unes’, con los que s presenta ron confundidos3. De ahí que no dedique a la cuestión de cómo se obtiesino una página escasa, y que apenas preste atención a la cuestión crucial decategorización: tan pronto los denominaarché, como proto n, o comohóthen (‘dedónde’). ¿Para qué detenerse en lo evidente? A hí sólo se para algún ser ‘bicéfacom o Heráclito con el principio de no-contradicción, y ante ésos ya no caben armentos — ¿desde dónde?— sino descalificacionesad hominem.

El otro gran principio que, junto al de no-contradicción (cuyas raíces en imaginario griego considerábamos en III. 1), dom inará este modo de pensar esuposición de que en los fenómenos sensibles encontramos la auténtica realidque así viene a identificarse con la presencia , circunstancia a la que hemos venidollamando posit iv id ad. Es tal el grado deevidencia de este principio que A ristótelesno lo form ula explícitam ente en ninguna parte ni, por supuesto, se para a discut pero — o precisamente por eso— im pregna tanto su obra como la matemáticasu tiempo, y lastra terminantemente el pensamiento de laausencia, sobre el quehabrá de construirse lanegatividad matemática. Este necesario sustrato ‘cósico’

para lo pensable se arrastra rá , al menos, hasta el Renacim iento , donde la incógde las ecuaciones algebraicas seguirá conociéndose como ‘la cosa’, por lo qotras soluciones distintas de las ‘positivas’a fortiori habrán de rozar lo impensa ble . ¿No es inherente a ‘la cosa’ su positividad?, ¿qué sentido tiene que ‘la cosea ‘negativa’, aún en el supuesto de que ‘lo negativo’ mismo pueda tener alguSi —como tan bien vió Aristóteles— el ser les viene a las cosas de su capaci para presenta rse ¿de dónde habrán de sacarla las ausencias para hacerse un hue¿y qué otra cosa sino nada podrá ser un hueco para un hueco?

Parece que la propia matemática griega ya habría percibido su excesidependencia de una visión ‘cosista’ de la realidad, iniciando un movimientoocultación de esa particular génesis que la llevará a instalarse en un olimpomeras formas separadas de las determinaciones sociales y sensibles que la hicie posible . Los pre -juic ios, así recubie rtos y pro tegidos, resultan mucho mas re sistes, menos expuestos a cualquier posible crítica. Esta voluntad de negación d

1 Aquí la perspicacia de Ortega para discernir las particularidades culturales implícitas en las

matemáticas griegas se nubla en el punto de hacer otro tanto con lasmodernas. (Véase nuestro cap. I).2 Ibid., p. 147. Sobre las ralees sociales de la lógica aristotélica puede verse también C. W. Mills

(1939, 1940). donde hace referencia a los estudios de Dewey sobre la impronta que esta lógica arrastra de las categorías lingüísticas y estéticas dominantes en la sociedad griega.

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subjetividad social que está en su origen, este esfuerzo por enm ascarar el caráconstruido de sus enunciaciones para presentarlas como descubrimientos, estel núcleo de lo que Woolgar (1991) llama laideología de la representación quecarácterizaría a todo el proyecto científico occidental.

Ya antes de Euclides, según Szabó, se habría iniciado cierto tránsito de matem ática em pírico-ilustrativa a otra estrictam ente teórica, donde la visión ha

perd ido su papel preponderante . Los ejem plos que aduce (p.e. teoremas de"Elementos" relativos a números pares e impares) muestran cómo Euclides sutuye los guijarros(psephoi) usados para el cálculo entre los pitagóricos por segmentos de línea, lo que si ciertamente da a los números así representados un cater más abstracto (al no tener que contener una cierta cantidad de unidades)evita en abso luto su representación espacial y, po r tanto, visual. Sin duda, "ladencia era privar de su ca rácter ilustrativo incluso a los teoremas m ás obviamilustrativos y verificarlos como correctos mediante pura teoría, sin usar medilustrativos" (Szabó, 1960: 400). Lo cual no perm ite ir más allá de ‘verificar’ teoremas ya antes form ulados y ‘probados’ por el antiguo procedimiento, al quha ‘privado’ de sus rasgos inm ediatamente empíricos. De hecho, Szabó no apningún ejemplo de teorema nuevo que se hubiera probado según criterios ‘ailustrativos’ y no pudiera haberlo sido ilustrativamente. No pasa de ser una opción de maquillaje u ocultamiento de una forma de posit iv id ad es pacial bajo otraforma de positividad no menos espacializada (si bien ahora al modo geom étrico dlas magnitudes continuas), sin debilitar en absoluto lo que A. Upinski (185: llama la ‘manía de la localización’.

' Más relevante parece el caso en que las antiguas de-mostraciones se sustyen por otras que siguen el método indirecto o de reducción al absurdo. Aunqulos objetos matemáticos ni las manipulaciones a que se les somete pierden t poco nada de su índole perceptual, sí desaparece lo que de tal había en el cará positivamente constructivo de la demostración directa . Suponer negado lo ququiere probar, deducir de ah í un resultado contrario a alguna de las condicionesciales y concluir ‘por tan to’ la ‘imposibilidad’ de lo que se había negado provnalmente, no es ciertamente un procedimiento visualizable. Szabó (1965) cotura dos posibles orígenes a la incorporación de este método en matemáticas: político; el otro, filosófico. Para este matemático húngaro , son los procedim ieretóricos de la dialéctica al uso en la democracia g riega los que reproduce Eucal construir lo que, a partir de él, se tendrá como el m étodo matem ático. Los postulados de los "Elem entos" corresponden a los presupuestos comunes que com pten quienes se enfrentan en una discusión, aquéllos a partir de los cuales ya es ble la controversia . Losaxiomas ocupan el lugar de las concesiones que eliniciador de la disputa reclama de su antagonista. Y la argumentación porreducción al absurdo es un típico recurso retórico consistente en darle, por un mom en

la razón al adversario, haciendocomo si negáramos la nuestra, para derivar de ahíconclusiones que contradigan alguno de los axiomas o postulados previamenasumidos com o razón com ún. El método m atemático se habría engendrado asimitación de las reglas de un discurso no sólo exterior a él sino dotado de una v

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ción bien singular: la de anonadar las razones del adversario al mostrarlas ajenlas razones de la polis. Y, ya incorporado este procedimiento a los admitidos enmatemáticas, serán los supuestos compartidos, lo que la colectividad poneantes de ponerse a razonar, lo que decida sobre qué ha de tenerse como matemáticameverdadero o posible.

La otra génesis posible que Szabó (1960: 46) conjetura para este modo prueba en matemáticas remite a cie rtas maneras eleáticas. Su origen esta ría encomienzos del poema de Parménides antes citados: la imposibilidad de trans por la te rc era vía (la de los bicéfa los), que im plica ser y no-ser conjuntamenobliga a negar lo supuesto en la segunda, el no-ser, de donde resulta afirmadoser. La conclusión ‘imposible’ a que llegan las demostraciones por reducciónabsurdo es el ‘indecible’ e ‘impensable’ de Parménides:

"Lo que Parménides describe perifrásticamente en su arcaico lenguaje comoou

phatón oudé noétón [‘ni decible ni pensable’] aparece algo después en la más elemental terminología matemática comoátopon o ady'naton."

No deja de ser significativo que el tránsito del ‘arcaico lenguaje ’ parm enídal ‘más elem ental’ de las matem áticas lo sea en el sentido de un reforzam ientolas categorías sensuales aristotélicas de visibilidad y capacidad de hacerse preso actualizarse lo que estaba en potencia. En efecto, aunque ya elnoéó del eleatatiene, junto a las acepciones más intelectuales de ‘entender’ o ‘pensar^, las bsensibles de ‘observar’ y ‘percibir’, las connotaciones de la versión ma temátic

su negación son aún más físicas. Descartar algo como ‘imposible’ o ‘absurdo’ cficándolo deátopon es tanto como no conceder realidad ni sentido mas que a loque ocupa un lugar (descalificación que ha llegado a nuestros días como ‘nolugar’). Y análogo sensualismo traduce la consideración de lo ‘imposible’ coadynaton, es decir, demasiado ‘débil’ o ‘falto de fuerzas(dynamis)' para hacerse presente . Así, por ejem plo , en De Cáelo (I. 11.281*4-7) leemos:

"El término ‘imposible’ se aplica a lo ‘no generado’ cuando se dice de lo no puede generarse, en el sentido de que no estaba antes pero sí despues, e.g., la posición de que la diagonal es inconmensurable (con el lado)".

Esta concepción acarreará notables dificultades para los posteriores intende ‘interpretac ión’ de las raíces cuadradas de ‘núm eros negativos’, pues — cose reconoce en la M etaphysica (IV. 12. 1019b33-4)— "en virtud de un cam bio designificado, una ‘potencia’ en geometría se llamará de ese modo". Lo que hoy m aríamos ‘cuadrado de la incógnita’ se recibirá comodynamis: hallar, pues, la raízcuad rada de una m agnitud será hallar el ladocapaz de engendrar un cuadrado deesa ma gnitud. O, en expresión tan plástica como la de Pero Nunes en el siglo Xse tratará de hallar el "ladocriando cuadrado". El significado dedynamis cambia,efec tivamente, respec to a los de la ‘potencia’ física o la ‘posibilidad’ lógica, pse mantiene la m isma intencionalidad, como bien hace ver Heath: "una línea rse dice quedynasthai una cierta superficie cuando tiene la potencia de produc ir un

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cierta superficie al hacersecuadrada"1. Parece significativo que Euclides no useese térm ino hasta el libro X , utilizando hasta entonces el detetrágffnon, cuadradocuyo proceder generativo está ausente.

No será entonces de extrañar que veintitantos siglos más tarde Kant (19487, n. a) tenga que seguir discutiendo con sus contemporáneos en términos q perm anecen deudores de la menta lidad euclídea:

"Podría pensarse que 0-A es un caso que hemos omitido aquí. Este caso imposible en el sentido filosófico; pues algo positivo nunca puede ser sustraído denada. Si, en matemáticas, esta expresión es prácticamente exacta, se debe a que elcero no modifica en nada el aumento ni la disminución por otras cantidades: A+Oequivale a A-A; el cero es perfectamente inútil. La idea que de ahí se ha sacado sela cual las magnitudes negativas serían ‘menos que nada’ es, pues, vana y absur

No puede dejar de chocar que la expresión ‘0 - A’ sea ‘im posib le en el setido filosófico’ mientras que, en elmatemático, sea ‘prácticamente exacta’. ¿Porqué esa distinción y esa distancia que m edia entre la exactitud y la im posibilidde lo mismo, según la disciplina desde la que se considere? ¿Q ué quita ese ‘prticamente’ a lo exacto de la acepción matemática? En cualquier caso, si Kantve obligado a argum entar lo absurdo de ‘la idea que de ahí se ha sac ado’ es poresa idea ma ntiene su vigencia. Y tampoco puede dejar de chocar este tipo de ranes en torno a la posibilidad o im posibilidad de ‘0 - A’ cuando se com paran cla inequívoca rotundidad de la que hemos designado como regla 1.2.1. del catulo 8o de los "Nueve capítulos" de los matemáticos Han: "Un número zheng. [‘positivo’] em parejado con [‘restado de ’]wu [‘nada ’] se hace /u [‘negativo’]". Osea, ‘0 - A = -A’. En China esto es evidente en el sentido ma temático (sin reservas de ningún ‘prácticam ente’), en el filófico y en cualquier otro. Lo posit iv o como un ‘algo’, su ‘imposible’ sustracción de ‘nada’, lonegativo como ‘menosque n ada’ y otras suposiciones semejantes presidirán, sin embargo, en la tradicmatemática occidental, los argumentos a favor y en contra de admitir los númros/magnitudes negativos y los imaginarios. Kant publica su Essai pour introduire en philosophie le concept de grandeu r négative en 17632, y en aún en 1796el matemático inglés William Frend sigue argumentando:

"Las ideas de número son las mas claras y distintas de la mente humana (...). Aunel mundo entero sea destruido, uno seguirá siendo uno y tres seguirá siendo tres; y nin

1 T. H. Heat (1949: 207). Es en este sentido en el que Kircher interpreta el cuadrado mágico chino de Lo zhou, extrañándose por completo de la episteme china (epígrafe 11.15).

2 En este Ensayo de Kant, junto a sus Historia general de la naturaleza y teoría del cielo (1755) y los Primeros Principios metafísicos de una ciencia de la naturaleza (1786), cifra E. Jallcy (1990) el origen de toda la reflexión occidental sobre el concepto de oposición polar como tema filosófico explícito. En su original trabajo, Jallcy rastrea las huellas del trabajo kantiano en autores y disciplinas tan dispares como las filosofías de Fichte, Schelling y Hegel, el psicoanálisis de Freud, 1®lógica de Blanché, la fonología de Jakobson, la antropología de Lévi Strauss o la psicología de PiageL

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arte podrá cambiar su naturaleza. Puede ponerse una marca delante de un número, y ocerá a ella: se someterá a ser sustraído de otro mayor que él, pero tratar de sustraerlonúmero menor que él mismoes ridículo. Y eso es lo que intentan los algebristas, que hablande un número menor que nada (...). Eso no es sino jerigonza, querepugna al sentidocomún"1

Ese sentidocomún no lo es, com o vem os, por su universalidad, sino p recisamente por todo lo contrario: por su particularidad, por su atenerse a creencias com partidas por unacomunidad con creta. Y el sentido del ‘rid ícu lo’que despierta lo proyecta por igual en el pensamiento de la vida ordinariaesa colectividad y en sus construcciones m atemáticas. El principio de no -ctradicción y los razonam ientos por reducción al absurdo no son sino la racnalización de esa repugn ancia en los términos de la lógica y la matem áticaherencia griega. Tal principio y tales razonamientos han merecido en el psente siglo notables puntualizaciones, cuando no rechazos, sea desde las p pia s m atem áticas (intuicionism o) o la lógica (lógicas modales y vagas), desde la antropología (p.e. Lévy Bruhl) o la filosofía (Wittgenstein). Para eúltimo (1987: 182), supo nen un a incapacidad de raíz cultural para convivir la contradicción:

"Veremos la contradicción a otra luz completamente diferente si considerasu aparición y sus consecuencias antropológicamente, por así decirlo, que si la mos desde la exasperación matemática. Es decir, la veremos de otro modo si itamos nada másdescribir cómo la contradicción influye en los juegos de lenguajeque si la miramos desde el punto de vista del legislador matemático”.

No es casual que sea pensando en tom o a la posibilidad de vio lar este pcipo, no sólo inviolable sino también impensable pa ra la matemática eleático-totélica, como Wittgenstein (p. 219) se topa con los números imaginarios:

"Imagínate que el operar conJ - 7 hubiera sido inventado por un loco que,atraído nada más que lo por paradójico de la idea, se dedica al cálculo como si una especie de oficio religioso o ritual del absurdo. El imagina que pone por eslo imposible y opera con ello."

Pa ra el loco de W ittgenstein, J - i no es menos ‘absurdo’ o ‘imposible’ que para tantos matemáticos de los siglos XVII y XVIII, pero los supuestos pre-ranales son distintos. Mientras que en éstos el tabú de la negatividad dice que ‘tradicción implicaautomáticamente rechazo’, para aquél esa contradicción desatala ejecución de un ritual (de origen no menos falto de fundamento racional qutabú), de un juego de lenguaje... y se pone a operar con ello.

1 W. Frend (1796: x xi) (las cursivas son nuestras). Pueden verse otros ejemplos de repugnancia en Nagel (1935) , Itard (1969), Glaeser (1881), Sherry (1991).

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"Quien cree que los matemáticos han descubierto una curiosa entidad, que elevada al cuadrado da -1, ¿no puede operar perfectamente con númer

complejos y aplicar tales cálculos a la física? ¿Y son por eso menoscálculos ?En un sentido, ciertamente, su inteligencia se apoya en pies de barro; per

sacará con seguridad sus conclusiones y su cálculo se apoyará en pies firmes" (pp.219-20).

El barro lo es delhum us semántico de las significaciones sensualistas latentes: nada menos que una magnitud negativa tomada como lado de un cuadradPero si no miramos desde la ‘exasperación matemática’ del modo de pensar eucdeo, sí tienen sentido, efectivamente, otras opciones que también apunta Wigenstein (p. 211):

"¿Por qué una operación de cálculo, hecha con un fin práctico, de la que resu

una contradicción, no ha de decir simplemente: «Haz lo que quieras, yo, la opeción, no decido en esto?»".

Hindúes y chinos parec ieron tomarse en serio las sugerencias del vienés y sdificultades con lanegatividad fueron bastante menores, y de índole bien distinta,que las occ identales . Pues, y ésta es la segunda suposición de la tradición occidtal implícita bajo el método dereductio ad absurdum, de la contradicción de ser yno-ser, bajo el mismo respecto, tanto puede seguirse la negación del no-ser, modo griego, como la del ser, al modo hindú, como ninguna de ambas, al mo

chino. Pero Diofanto no nace en la India ni en China, y su desgarro por penscierto modo matemático de no-ser lo será por tener que hacerlo desde/contratajante exclusión que para la posteridad había dejado establecido el imaginarsocial del clasicism o griego. N egociar sentidos, imbuir de significados nuevos v

jos significantes vacíos, borrar con una mano lo que se escribe con la otra, esdrama en que se hace una matemática que, como la suya, suele calificarse de ctica y huérfana de todo método.

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Capítulo IV

Conflicto de imaginarios en Diofanto:el decirse de lo indecible

El periodo alejandrino tardío, que se extiende aproximadam ente entre los a250 y 350, asiste a la quiebra definitiva de la racionalidad griega, por lo que desde ésta — o desde su añoranza— puede juzgarse, como es habitual, mediaadjetivacionesnegativas, como un periodo de decadencia de la razón y de em ergencia de irracionalismos y sinsentidos: en las costumbres, en las creencias... y tamen las matemáticas. Es precisamente en un momento que a los espíritus clásicoles presenta como mom ento denegación de la razón cuando tiene ocasión de em erger una razónnegativa, tanto en la teología y metafísica neoplatónicas como en lmatemática de Diofanto. Bajo las ruinas del apolíneo edificio de la m atemáticasica afloran ahora otras matemáticas reprimidas (logística, misticismo aritméticlas que se incorporan eclécticamente otras tradiciones (egipcia, babilónica); ptanto unas como otras no pueden albergarse sino en una lengua, el griego, y baj paradigma, el aristotélico-euclídeo, que aún no han sido sustituidos (IV.l.).

De esta ‘oscuridad’ sincrética surge un Diofanto no menos oscuro, cufigura histórica y cuya obra, la Arihmetica, son un puro palimpsesto, sin cesar perdidos y sin cesar reconstruidos (I V.2.). La suya es una matemática típica de encijada (IV.3.), en la que confluyen tradicones bien dispares, pero entre ellas

griega clásica:contra ella construirá Diofanto un singular modo denegatividad, que sin embargo sólo puede construir tambiéndesde ella. Cuestiones com o el fraccionamiento de la unidad, la representación ya no necesariamente extensa demagnitudes, o los límitesinferiores del campo num érico no se abordan exp lícitamente en su Arithmetica, pero pueden rastrearse en lo que queda implícito en susdefiniciones, reglas, modos de operar y expedientes mediante los que otorgquita validez a ciertos resultados. En Diofanto se construyenefectivamente ciertasformas denegatividad por primera vez en la historia de la m atemática occidenta por lo que no deja de sorp render tanto la escasez de estudios sobre ello com

silencio de buena parte de las historias de las matemáticas. Y en esa construcintervienen todas la tensiones antes apuntadas: lanegatividad diofántica semodela, se asume o se recha za por el mismo Diofánto según en qué condicion bajo qué form as (IV:4.). Pero no es lo menos significativo el hecho de que ah

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ya sí pueda rechazarse, pues para ello ha sido necesario que previamente se hhecho pe rceptible, esto es, que ciertos cam bios en la manera de concebir el espde representac ión, cierta relajac ión en los criterios de rigor, y cierta em ancipade los cálculos respecto de la exigencia deabstracción o aphairesis (y no, comosuele decirse, una mayor ‘abstracción’) hayan podido hacer de lanegatividad algodiscemible.

La ambigüedad de Diofanto en este asunto presenta dos caras, que hemdesignado comonegatividad ‘en proceso’ (IV.5.) ynegatividad ‘como producto’(IV.6.). La primera emerge en el momento, ciertamente efímero, del proceso decálculo, pero también, como de pasada, en el escueto enunciado de la ‘regla designos’ , que se pierde en el ‘Prefacio’ a la Arih metica entre un m ar de definiciones.Esta cara de lanegatividad transita por el texto com o si no llegara a alcanzar nuncla entidad suficiente que le permitiera sostenerse como unhecho m atemático, sea por construcción explícita sea por su obtención como un cierto producto . Los mismos nombres que recibe (leipsis, leiponta eide) hablan de la insustancialidad deuna mera ‘falta’ o de su indecisa existencia como ‘forma ausente’. Y su incontencia aún se acentúa más cuando resulta oponerse a la rotunda positividadhyparxis, que lo mismo vale como ‘existencia’ que como los ‘términos positivode las ‘ecuaciones’. Esta localización de lanegatividad en la frontera m isma de uncierto cerco cultural, que la hace posible con el mismo gesto que la excluye puede, a nuestro juicio, conferirle la densidad suficiente como para consolidcomo un producto , con entidad en sí mismo. Esanegatividad ‘como producto’acaso cabría esperarla, bien form ando parte de las soluciones de ciertos problem

bien en la form alización de los datos de partida o en ciertos resultados provisiles de operaciones intermedias (situaciones, ambas, en las que sí aparece, p.e.el álgebra fangcheng). Pero el carácter adjetivo de loleiponta no llegará en Diofanto a conseguir rem ansarse en esa cierta sustantividad de laleipsis. Estanegatividad producida, construida, es rechazada de un modo u otro en los distintos p blemas de la Arithmetica que estudiamos en detalle. Cabe señalar, por último, elnotable paralelismo entre esa cierta cumbre que lanegatividad m atemática alcanzaen Diofanto y esa otra cima de lanegatividad metafísica que construye el pensamiento neo-platónico (IV.7.); cada una de ellas, a su manera, parece dibujartecho de la episteme griega, pero es precisamente cuando más se asemejan aconstrucciones chinas de lanegatividad cuando más se explicitan sus radicalesdiferencias.

* * *

En la obra de Diofanto tenem os ocasión de contemplar, por vez primera,qué manera concreta los obstáculos epistem ológicos implícitos en el modo de

sar aristotélico-euclídeo actúan como determinantes de la emergencia decierta form a de negatividad matem ática. Esto ocurre en su Arihmetica en dos contextos bien precisos. Uno, al enuncia r in tempestivamente la ‘regla de los signos’ (queenunciaríamos como ‘— x - = +’, ‘+x - = - ’ , ‘-x + = y ‘+x + = +’). El otro, al!

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descartarexplícitamente ciertas soluciones (que hoy diríamos ‘negativas’) de cie rtas ‘ecuaciones’, que la tradición clásica no podía descartar (sinoimplícitamente) por exclu ir susdiorismoi de antem ano la posibilidad siquiera de afrontar su presencia.

A partir de un conglom erado de pre-supuestos,en parte radicalmen te diferentes de los de la matem ática clásica, Diofanto puede hacer otra matemática. No tante, al tener que ha cerlo con buena parte del instrumental (concep tual, lingtico,...) heredado de la tradición clásica, y aun con cierta inercia que todaarrastran sus presupuestos, lo nuevo se dirá a menudo en él bajo las formas dviejo, con una expresión a veces balbuciente, ambigua otras, contradictoria incen ciertos momentos^ y siempre con apariencia negativa para la perspectiva ddiferentes tradiciones, tanto anteriores como posteriores: fa lta de rigor,ausencia de sistematicidad,inexistencia de método,inconstancia de procedimiento, p r ivación de fundam entos...

El periodo de construcción y consolidación de la forma clásica de raciondad en G recia suele carácterizarse p or una serie de rasgos que lo definen positiv amente: nacimiento del ‘espíritu científico’, rigor y sistem a en la observación, boración del método axiomático-deductivo como propio de las matemátiemancipación del pensam iento racional respecto de la tradición y elmythos... Elllamado periodo helenístico y, en particular, el que transcurre en tomo a comienzos de nuestra era, se viene definiendo, por el contrario,negativamente, enun doble sentido. Por un lado, por la progresión de crisis, quiebra, decadenc pérd ida del ideal clásico. Por otro, por la em ergencia de fuerzas que,desde ese ideal, se perciben comonegativas: fuerzas que estimulan el auge de lai-racionalidad a través del cultivo de pseudociencias y el resurgimiento de formas mítmágicas de pensam iento que parecían ‘superadas’.

No puede dejar de llamar la atención la inmedia ta correspondencia entrtipo de calificación — posit iv a o negativa — de cada uno de ambos periodos por lahistoriografía al uso y los tratamientos de lanegatividad en sus respectivas m atemáticas. El periodo, clásico, de racionalidad positiva, levanta, como hemos vuna barrera perfectamenterazonable al pensamientonegativo. Una barrera que

Bourbaki (1972:75 ), en clave progresista, resume con toda claridad, haciendocapié en el carácter externo de las leyes de composición del ‘álgebra geométry en la imposibilidad que de ahí se sigue para construir un álgebra propiamdicha, que ha de pivotar sobre leyes de composición internas:

"El predominio avasallador de la Geometría (para la que está evidentemconcebida toda la teoría de magnitudes) paraliza todo desarrollo autónomo

-notación algebraica, los elementos que aparecen en los cálculos deben siempr«representados geométricamente»; y, por otra parte, las dos leyes de composque intervienen no están definidas sobre el mismo conjunto (la suma de dos raznosiempre está definida,yel producto de dos longitudes no es otra longitud sino unárea), todo lo cual origina una complicación que hace casi imposible el manerelaciones algebraicas de grado superior al segundo".

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Ese ‘estancamiento’, ‘retroceso’ o ‘parálisis’ que—para una visiónirresistiblemente ascendente de la historia como la de Bourbaki y tantas otras— sufren ltécnicas algebraicas será el que se invierta, siguiendo con la misma metáfora,el declinar del espíritu geométrico y del criterio de rigor que se había ido condando. La ‘fluidificación’ de la nueva fo rm a lid a d algebraica (si algún sentido tienehaberla supuesto ‘estancada’), y la apertura a la negatividad que de ella se v

seguir, corre pareja con el periodo de avance de las nuevas formas deirracionalidad, que así resulta ser un tiempo deracionalidad negativa : un tiem po que se abrea otras formas de razón — bien diferentes, biensombras de la razón clásica— y quees capaz, mediante ellas, de dar razón —y razón matemática— de la negativ por primera vez en Occidente .

No obstante , la metá fora del ‘rio de la his to ria ’, con sus represas, aceleranes, bifurcaciones y nacimientos, por más que haya olvidado su condiciónmetáfora hasta haber llegado a tenerse como lanaturaleza m isma de la historia, noes capaz de dar cuenta de esta emergencia de lanegatividad. Ni, en general, como bien ha visto Michel Serres (1967), de ninguno de los momentos crí ticos en latoria de las m atemáticas. No hay ningún cálculo algebraico que — com o pretBourbaki (1972: 76)— hubiera permanecido estancado, ‘avasallado’ por la Gmetría, para ser luego liberado en estado puro por un Diofanto que "no complidose con representaciones geométricas de los «números» que considera, se vevadode modo n atural a desarrollar las reglas del cálculo algebraico abstracto (..[como, p.e.] la «regla de los signos», primera aparición del cálculo con númnegativos". ¿Quénaturalidad suprahistórica es ésa que permite a una mente en

blanco capta r de súbito la esencia de unas reglas puras? ¿Cómo se explica entola pa rti cu la r lucha de Diofanto con la negatividad, que empieza con su dificult para encontrarle nombre y llega hasta pasar por alto form as denegatividad que elálgebra, en su puridad, no podría dejar dever ?

El modo de pensar aristotélico-euclídeo ciertam ente constituye un obstác para la construcción alejandrina de lanegatividad, como lo será para otras construcciones posteriores. Pero ese obstáculo no lo es al m odo fluvial sino más al bachelardiano; no es un obstáculoexterno, acarreado por la ‘complejidad’ delenmarañamiento geométrico, sinointerno, incorporado al propio proceso íntimo

de hacer matemáticas. Diofanto, efectivamente, hace su matemáticaa distancia de la griega, g racias a un m arco cultural definidonegativamente respec to de ésta,lo que le permite abordar ciertos aspectos de otra manera, que después se cocerá como algebraica. Sin embargo, no puede dejar de construir su matemátambiéna par t i r de la griega, de la que incorpora buena parte de pre-supuestoSu nueva técn ica puede decirse, parafraseando a Bachelard (1988: 16), que nonueva, "hasta es muy vieja, pues tiene la edad de los prejuicios". No en vandías en que trabaja Diofanto se han conocido como ‘edad de plata’ (segumitad del s. III y prim era del s. IV) de la matem ática griega, pues con él y Pase aprecia un cierto renacer del vigor del ideal clásico.

Desde los comienzos de la era cristiana la crisis que afecta al mundo grisocava también el carácter hegemónico que en matem áticas ma ntenía el parad

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euclídeo. Por las fallas de su quiebra van emergiendo otras tradiciones, unas ajey otras soterradas. Así, la aritmé tica neopitagórica, con una carga de renovado ticismo, o las ‘álgebras’ egipc ia y mesopotámica, o un cierto grado de sim boliabstracto (en un sentido del térm ino ‘abstracto’ distinto del aristotélico, lo que mite a ese simbolismo escapar a la necesidad de verse interpretado en el mod

euclídeo), o una logística que, recuperada para la especulación teórica por las odisciplinas em ergentes, se abrirá a la posibilidad de un juego más libre con núros y operaciones. Todos estos factores contribuirán positivamente a perfilarmodo en ^ ue Diofanto construye lanegatividad.

IV. 1. L a q u ieb ra del idea l clásico.De la creenc ia en la razó n a la razón de las creencias

Antes de pasar a considerar los rasgos positivos de este momento, conviapreciar los negativos que, com o antes apuntamos, resultan no m enos esclarecres. Además, serán estos mismos rasgos, más que los positivos, los que se reduzcan, con asombrosa fidelidad, en esa otra decadencia del renace r griego en postrim erías del s. XVI bajo la cual podrá emerger esa otra fo rm a de lanegatividad que es la ‘imag inaria’. Acaso m ayor interés que una descripción forzadaad hoc dela decadencia alejandrina lo tenga la ofrecida por una cualquiera de las muchastorias de la ciencia en este periodo:

"El esfuerzo racionalista que alimenta el pensamiento científico tiene dos migos perpetuos: la credulidad y el misticismo, más o menos poderosos y peligsegún las épocas. Ahora bien, desde el s. III a.C. y, sobre lodo, desde principios Era cristiana, las fuerzasirracionales se despliegan por todo el mundo griego en lasmás variadas formas. Mientras el espíritu de investigaciónmetódica se veía amenazado por los progresos delescepticismo (...) las cualidades requeridas para llegar al«saber» [serán ahora] un.corazón puro, una feciega y, por lo menos en los animadoresde esas sectas, unaimaginación delirante (...). La magia conquistó los medios ilustrados y dejó de esconderse (...), la astrología compitió con la Astronomía, la alquahogó los balbuceos de la Química, la Botánica degeneró en una farmacología de recetas ridiculas, la Zoología se convirtió en colección de «maravillas» que porf ban en lo fantasioso (...), se percibe un esfuerzo por sustituir las leyesnaturales, esdecir, las relacionesconstantes entre los fenómenos, por la búsqueda de una «causa»misteriosa y universal que actúa a distancia y engendra los fenómenos."1

Al margen del evidente anacronism o que supone esgrimir el prestigio acde unas disciplinas entonces aún no constituidas (en el sentido que quieren ferirles esas mayúsculas de ‘Q uím ica’, ‘Biolog ía’, etc.), en menoscabo de las

1 J. Beaujeu, "El fin de la cicncia antigua", pp. 451 452, en R. Talón (1988: II: 451 4). (La cur-siva es nuestra).

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— sólo en el texto— se le oponen, y prescindiendo del tono de indignación mque suele acom pañar a quienes ven su fe en la Cienc ia"1sacudida por la fracde un cierto tipo de racionalidad, la descripción acierta — convenientem einvertida— con los rasgos que carácterizan este mom ento (y que carácterizano menos el declinar del Renacimiento del s. XVI):

a) la irrupción de ‘fuerzas irracionales’, esto es, de otras formas de raciolidad que, presentándose como caóticas para la matriz de racionalidad en quie perm iten pensar desde otros pre-supuestos. Esa ‘causa m isteriosa y universal actúa a distanc ia’ que nuestro moderno lam enta ver sustituyendo a ‘las leyes nrales’ será, p.e., la que moverá a Kepler a formular sus tres leyes sobre el mmiento de los planetas.

b) el trabajo negativo del ‘escepticism o’, que agudiza las grietas de ucierta concepción del ‘método’ por las que emergerán nuevas significaciones

ginarias ‘faltas de rigor’, como son las que llevarán a nuevas manipulacionuméricas.c) la ‘ceguera’ ante el sentido único impuesto por el paradigm a hasta ent

ces dom inante, que así se abre a otros sentidos ob turados (como es el caso del pdigm a euclídeo, cuyas de-m ostraciones descansaban en el sentido aportado pde la visión).

d) la em ergencia de una ‘imaginación delirante’ que saca a la luz otras p bilidades de construcción sim bólica que, en un primer momento, no parecen delirios, como aquel imposible ‘cero’ aristotélico o esanegatividad que Diofantono sabrá concebir sino com o una forma de ser que consiste en su falta(lefosis) y sedefine por oposición al ser (hyparxis).

e) la sustitución del saber razonado por ‘recetas ridiculas’, en las cualescree tan só lo porque funcionan-, argumento sorprendentemente ‘moderno’ que parece, p.e., basta r a Diofanto para presentar, por primera vez en Occidente‘regla de los signos’ como una simple ‘receta’ operatoria sin más justificac‘racio nal’ que la de su funcionalidad. Pero no puede hablarse de una funcional

pura , pues ¿por qué creía el pensamiento aristo té lico-euclídeo en sus form ulanes si no era porque también fu ncionaban? El caso es que lo que funciona paraunos no funciona para otros2. Pragmáticos y positivistas proyectan-el criteriofuncionalidad de su particular cultura com o regla universal, con lo que los distimodos de conocimiento les resultan clasificados en ‘racionales’, los unos, y, otros, en mera colección de ‘recetas ridiculas’.

1 J. Beaujeu, "La ciencia helenística y romana. Visión de conjunto", p. 345, en R. Taton (1988: II: 333 4). Esta indignación ante la pureza amenazada es la que Mary Douglas (1975) observa comocaracterística de la actitud ame lo sagrado. Y sagrado es, para la tradición occidental moderna, el pen-samiento científico.

2 Sobre la carga simbólica que empapa a toda funcionalidad supuestamente neutra, véase M. Sahlins (188).

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0 la pérdida de ‘fe en la Ciencia ’, es decir, en las creencias profundas qcomo hemos visto— soportan determ inada manera de hacer ‘ciencia’ y q

sustituidas por otras o p or la simple falla que ellas dejan, alumbrarán lo que mtarde se tendrán po r otras ‘cienc ias’, como es el caso del ‘álgeb ra’.

g) el cuestionam iento de lanaturalidad de las tenidas por ‘leyes naturales’,manifestada en una nueva sensibilidad hacia lo que — desde aquéllas— no pudejar de presentarse como ‘maravilloso’, excepcional o prohibido, cuando absurdo o erróneo, pa ra la legalidad anterior. El modo ‘tan natural’ con que a B baki se le presenta el renacim iento (cual ave Fénix de las formas puras) de los cedimientos algebraicos es de una flagrante anti-naturalidad plagada de erro para la naturalidad euclídea. Diofanto podría haberse dirigido a Euclides en mismos términos que el Diablo de Dante, príncipe del Error, lo haría al papa vestre: "Forse tu non pensari ch’io loico fossi”1.

Para las nuevas formas de pensar, la razón g riega clásica debió percib irsesu arbitraria parcialidad de modo muy semejante al que refleja Morris Kl(1972: 171):

"Los griegos insistieron en la prueba deductiva (...) Sin embargo, ninguna clización más que la griega concibió la idea de establecer conclusiones exclusmente por razonamiento deductivo. La decisión de exigir una prueba deductiva etodo opuesta a los métodos que la humanidad ha utilizado en cualquier otro ámes, de hecho, casi irracional, pues no es menos digno de confianza el conocimiadquirido por experiencia, inducción, razonamiento por analogía o experimeción.”

Para este autor, los lím ites de la matem ática griega que, con la ruptura decerco cultural, ahora comienzan a verse rebasados, son principalmente (19172 ss.): a) la imposibilidad de concebir lo irracional como número, cuya csecuente distinción entre núm ero y ma gnitud (álgebra y geometría) llevará si

— pese a cie rta m anipula ció n num érica de los irra cionale s por Arquím edHerón y Ptolom eo— llegar a saber con-fundir; b) la exigencia de constructib

dad mediante ‘regla y compás’ para el establecimiento de la existencia de objetos matemáticos; c) la obsesión por la precisa y exacta determinaciónconcep tos y pruebas, que hizo de su mayor virtud un serio defecto para una mmática creativa; d) la progresiva complicación en las demostraciones a que vaba su exigenc ia de mé todos geom étricos; e) la impregnación de sus concem atem áticos de presupuestos metafísicos, en tanto que no se tenían por constdos sino pre-existentes; y 0 su incomprensión de lo infinitamente grande, aciado con la ausenc ia de forma y determinación frente a la delimitación y deminación que tan sólo corresponde a las cosas. No puede sorprender que

1 "Acaso no hayas tenido en cuenta que yo también soy lógico". Infierno, Canto XXVII, 122 123.

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desbordamiento de estos lím ites pueda dar paso a alguna concepción denegatividad aunque sí sorprende mas que tampoco Kline, como tantos otros historidores de las matemáticas, se pare en ello.

Que la emergencia de creencias populares y de formas ‘supersticiosas’ religiosidad pueda agrietar de tal modo un edificio tan compacto como el dematem ática griega no puede entenderse desde las habituales explicaciones que

sentan a la razón derrotada por los embites de la ciega irracionalidad. Unas crecias sólo derrotan, por así dec irlo, a otras. Y las que soportan la racionalidad grimuestran ahora ser no menos irracionales que las que vienen a sustituirlas. Acnada lo exprese mejor que las ‘razones’ que Platón presta al joven Protarco pcom batir la sinrazón que Sócrates — por supuesto, com o m era conjetura retóricle propone a consideración:

"SOCRATES: ¿Creemos nosotros que esto que llaman universo ha sido dejadoal poder de la sinrazón, del azar y del acaecer ciego, odiremos, como nuestros padreshan dicho, que está ordenado y gobernado por un entendimiento y una sabiduadmirables?

PROTARCO: La primera afirmación es del todo inadmisible y sorprendenSócrates. Me parece unablasfemia. Mientras que la segunda, la de que una menteordena todas las cosas, esconforme al aspecto que ofrecen el mundo, el sol, la luna,los astros y todas las revoluciones celestes; y yo, por mi parte,no me atrevería nunca a decir ni a pensar de otra manera."1

Para orientar a Protarco, ya de entrada Sócrates plantea la situación demanera que la ‘hipótesis’ de la sinrazón caiga del lado de la creencia: ‘¿creemos nosotros que...?’. La hipótesis alternativa no se presenta como una creencia scom o un ‘hecho’, el ‘hecho’ del orden, que adem ás resulta predicado del log‘¿odiremos, por el contrario...?’. Pero más allá del sospechoso recurso a la retóricomo principio de racionalidad de lo racional, son aún más significativos los ttipos de argumentos, que más bien son reacciones primarias, esgrimidos anteefímera puesta entre paréntesis de la necesidad del orden y del gobierno: a)reli gioso: la hipótesis contraria es una ‘blasfemia’ a cuyo sostenimiento uno ‘no atrevería nunca’, pues en ella no cabe ‘ni pensar’; b) de apelación ala tradición yla costumbre: lo que ‘nuestros padres han dicho’; y c) de sentido común: ‘elaspecto que ofrecen’ las cosas no deja lugar a la menor duda. Toda la impresnante reflexión sobre el orden cósmico y la razón autónoma que erige la epistegriega reposa sobre la sinrazón de sus particulares creencias (religión, tradicisentido com ún) no menos que cua lquier otra a la que se tache directame nte de ‘arosa, ciega e irracional’. El mismo concepto decosmos se construye según el particular modelo de la polis griega: "elcosmein, el organizar la gente de armas, es

1 Filebo, 28c e. (La cursiva es nuestra).

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res y otros, para decantar de un lado todo el ‘delirio’ y del otro toda la ‘raciondad’. Es cierto que determinadas épocas, en su conjunto, presentan efectivamesíntomas esquizoides, como consecuencia del derrumbamiento de un ‘ideal sabe r’ y la irrupción de otros saberes no sabidos. Pero lo que procede en tales caes aplicar el ‘criterio de simetría’ de una sociología fuerte y rastrear — en unmismo autor, en una m isma obra, en una misma construcción singular — tantodelirios a que se aferran los restos del ideal racional truncado (los del Alm agesto , por seguir con el ejemplo) como las razones de los nuevos saberes que emercomo delirantes (como elTetrabiblos), en lugar de escindir en dos a un mismoautor y aplicarle a cada una de las mitades un análisis diferente. .

No otra cosa que delirio se les antojaría a Euclides o Apolonio la preguntaHerón de Alejandría por las magnitudes del d iám etro , el perímetro y el área decírculo, conociendo la ‘suma’ de las tres. Como observa el propio Boyer (19191), "el axioma de Eudoxo hubiera excluido un problema tal de la consideracteórica, pues las tres magnitudes son de distintas dimensiones, pero desde un punuméricoacrítico el problema tiene sentido." Paradójicamente, la otra cara deldelirio es la ampliación del ám bito del sentido, donde un pensam iento ‘acríticomás libre de la presión del ‘ideal del saber’, mirado desde esa otra cara) desata vos sentidos, com o serán en este caso los que permitan ir construyendo una ‘raalgebraica’ en oposición a la que, para Kline, había llegado a ser ‘sinrazón geotrica’. Ese sacudirse un sentido común que, como la geometría, ataba opresivamente ala tierra encuentra su expresión en el mismo Ptolomeo:

"Cuando trazo a mi gusto las tortuosas idas y venidas de los cuerpos celesya no toco la tierra con mis pies: estoy en presencia del mismísimo Zeus y me hde ambrosía, alimento de los dioses."1

El arrebato extático que experimenta Ptolomeo al perder contacto con la rra, poniéndose a trazar ‘a su gusto’ las revoluciones celestes, es una precisa mfora de la pérdida de la primacía geométrica, de la liberación de la sujeción forma/imagen como criterio de racionalidad. Herón, Nicómaco y Diofanto i perfilando — pese a sus diferencias— esa autonomía del campo numérico,

apuntada en ciertos rasgos de Arquímedes y Apolonio. Para Kline (1972: 14esta "emergencia de una aritmética y de un álgebra independientes, sin ningestruc tura lógica propia, plantea lo que ha llegado a ser uno de los grandes p romas de la historia de las matemáticas".

La aritmética, paradójicam ente, al tiempo que se entrega a una especulacmetafísica desenfrenada, irá salvando el foso que la separaba del mero cálcutilitario, o logística, con lo que se irá sustrayendo de su servidum bre a las mnitudes geométricas y encontrando un cierto sentido en sí misma. La indagacsobre las posibilidades operatorias abiertas en ese campo numérico emancip

1 Citado por C.B. Boycr (1968), p. 176, aunque con una intención bien distinta.

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[emancipado del ideal griego, pero arraigado en un imaginario mestizo (egipcmesopotámico, cristiano...)] irá constituyendo lo que — sólo retrospectivmente— podrá llamarse un álgebra. El precio que habrá de pagar será el abadono del afán dem ostrativo a partir de axiom as, definiciones rigurosas y ‘nocnes comunes’, aunque, por otro lado, con ellos podrá abandonar también los psupuestos en los que, como hemos analizado, éstos se fundaban. En consecuecia, habrá de guiarse tan sólo por una heurística aparentemente infundada y dconcertante, que realmente lo será en cuanto pérdida de los fundamentos en qse apoya la matemática clásica y falta de concertación de los conceptos y prodimientos que ésta había llegado a concertar con tanta coherencia. Así, Herresuelve problemas de enunciado geométrico por m étodos exclusivamente numricos, sin aportar la menor prueba y limitándose a narrar los pasos que vsiguiendo, que era el procedim iento ‘de rece tas’ habitual entre egipcios y bab inios; ya vimos cómo, p,e., no tiene el menor inconveniente en sumar longitud

y áreas, por más que ello carezca de sentido.La rup tura del paradigma euclídeo se manifiesta en el pitagórico NicómacoGerasa en una dirección bien distinta. Éste, a diferencia de Herón, no muestramenor interés por las aplicaciones prácticas. Nicómaco en ningún momento visliza los números com o extensión, designándolos m ediante palabras en lugar de pares de letras (del tipo AB, CD, etc.) con que se habían venido denominando segmentos correspondientes. En su In troductio aritmeticae mantendrá que la serienum érica empieza con el tres, excluyendo de ella al uno y al dos, que tienen funnes generadoras y, por lo tanto, pertenecen a un orden de realidad diferente. ‘regresión’ a la aritmética supone una clara alternativa al método axiomático-dedtivo, que había alcanzado su expresión más acabada y su función ejemplar en la gm etría euclídea. La ‘natura lidad’ que había llegado a adquirir ésta la reclama ah Nicómaco para la aritm ética, para lo cual no duda en situarla en un origen quetiempo que garantiza su independencia, le confiere toda una capacidad generadde las dem ás ciencias, a las que aporta universalidad y fundamento:

"...no sólo porque hayamos dicho queexiste antes que todas las otrasen la mente del Dios creador, como plan universal y ejemplar, en función de cuyo esquemy ejemplo arquctfpico el creador del universo ordena sus creaciones materiales y hace alcanzar sus propios fines; sino también porque esnaturalmente anterior ennacimiento. . . " 1

En este contexto de quiebra del paradigma dominan te, no sólo en m uchos sus aspectos fundamentales sino también en su mismo carácter fundamentadoejemplar, es en el que puede constatarse la primera emergencia explícita denegatividad en el seno de una tradición griega que seguirá alimentando, no ob

tante, toda la matemática occidental durante siglos.

1 Citado por M. Klinc (1972: 137). (La cursiva es nuestra).

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Contra ese fondo de mestizaje de imaginarios colectivos, la misma personlidad de Diofanto se difum ina en un m ar de imprecisiones históricas. Apenas samos nada de su vida ni del tiempo en que trancurrió. Según un epigrama de\z An tología Palatina atribuido a M etrodoro de Bizancio, contemporáneo de Constantinel Grande, sobre la tumba de Diofanto se habría grabado el enunciado de un p blema a ri tm étic o en cuya solución quedaba cifrada la duración de su vida: 84 añPero ese lapso de tiem po es el que ya no se sabe dónde situar. Paul ve r Eeke (19 primer traductor moderno de los seis libros de su Arithmetica al francés, lo precisaentre finales del s. II a.C. y la mitad del s. IV d.C., lo que deja un margen de ccinco siglos en los que podría haber vivido. A esta imprecisión se añade la procada por haber sido confundido repetidamente con otros autores por distintos ediosos: po r Ram us con el au tor de las Harmónicas (s. II d.C.), por Bachet de Méri-ziac con un astrónomo de tiempos de Nerón (s. I d.C.), por Montucla con un sofdel s. IV d.C.... Tannery se decide a conjeturar el tiempo de su florecimientomediados del s. II d.C. y actualmente se viene situando en torno al s. III d.C.

La confusión en torno a la época en que vivió y a su propia identidad se plonga en la que rodea a su obra. De los trece libros que a nuncia en su ‘Prefaciolibro I de la Arih metic a sólo nos han llegado seis, y la pérdida de los otros siete hadado lugar a toda suerte de especulaciones sobre su orden original y su posicontenido. Y aun esos sólo seis libros conocidos han sido estudiados y han ejerc

su influencia en diferentes versiones mas o m enos apócrifas. No ha sido hasta pcipios de este siglo cuando se ha encontrado en la biblioteca de El Escorial manuscrito griego, anotado por Pselus, que al parecer reproduciría el texto aúnalterado de Diofanto (P. Tannery, 1912-24). Y aún hace tan sólo unos años RosRashed (1974, 1975) encontró otros cuatro libros de la Arithmetica, en una traducción árabe del s. IX, cuya versión en griego se ha perdido. Así, de los trece libque Diofan to anuncia en su ‘-Prefacio’ al Libro I, se conocen actualm ente diez: en griego [que son los traducidos sucesivamente desde X ilander (1575) y Bacde Méziriac (1621) hasta las versiones modernas de Paul Tannery (1893-1895)

latín, o de Paul ver Eecke (1959), al francés] y otros cuatro en árabe [que son recientemente traducidos al francés por Rashed (1984)]. Estos cuatro perteneceuna traducc ión que habría incluido siete libros — de los que los tres primeros, t bién perd idos, coincidirían con los tres primeros de la versión griega— y habde situarse, en el proyecto original de Diofanto, como los que ocupan los lugadel IV al VII, lo que ob ligaría a renumerar los seis libros de las habituales versiogriegas o a partir del griego1.

1 En la medida en que aquí queremos centramos en un análisis lo más íntimo posible de la obra de Diofanto, en el contexto y lengua en que se construyó originalmente, nos ceñiremos —salvo indi-cación expresa en contrario— a los libros y a la numeración de las versiones hechas a partir de los lexios griegos conservados, y en especial a las traducciones críticas de P. Ver Eecke (1959) y T. Hcath (1910).

JV.2. Diofanto ‘el oscuro’ y la crispación de los modernos

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La ed ición de R ashed incluye unas introducciones en las que se proponen dlecturas modernas de Diofanto. La primera, en clave de álgebra elemental, ehab itual en los fragmentos que las historias más o menos generales de las mateticas dedican a este autor, y fué la predominante desde finales del s. XVI hasta pcipios del s. XX (hasta el punto de que el cuerpo mism o de la traducción canónde Tannery vierte en símbolos algebraicos numerosas expresiones literales g

gas). La segunda lectura, en clave de la posterior geometría algebraica, "saca luz, tras la aparente diversidad de los problemas, de las soluciones y de los prodimientos, a menudo denunciada por los historiadores, el bien restringido númde hecho de los m étodos em pleados"1. Efectivamente, una lectura de este tihabría evitado no pocas desazones entre los lectores posteriores de la Arithm etica (desazones que, por lo demás, y como veremos, no dejan también de resultar hsignificativas). Pero el 'método oculto’ que así queda revelado, tan oculto qu propio Diofanto hubiera sido el últim o en poder sospechar su existencia , incapade raíz cua lquier otro intento de comprensión de la obra, escrita en el mom entola coyuntura cultural, en el lenguaje y en las ma temáticas en quede hecho se escri bió. Este ‘de hecho’ y el ‘de hecho’ recién citado de Rashed se excluyen mumente. También — y acaso de manera muy especial— los ‘hechos’ matemátison constructos, y en particular,constructos de la teoría en que se encajan. Lo cualno pasa desapercibido al célebre arabista, quien advierte que tanto una interprción como la otra — la algebraica y la algebraico-geométrica— son por igualextrañas a Diofanto, al que sólo podemos encontrar en su propia obra.

Tanto una com o otra, com o —en una apreciación más fina— todas las vernes de una supuesta obra ‘original’ quede hecho no pasa de ser el soporte imaginario de versiones de versiones, son fieles muestras de las que Michel Ser(1974) llamaanamnesis matemáticas, las cuales facilitan el conocimiento (en emomento de su re-construcción) en la precisa medida en que lo impiden (enmomento de su construcción). El dilema insoslayable que, desde esta perspectdebe afrontar cualquier hermenéutica de la Arithm etica se enfrenta al dilema queSerres formulaba como ‘principio de indeterminación de la historia de las mateticas’: cada una de las relecturas de un concepto, un m étodo o un texto matemáencierrasu verdad, o más concretam ente, "o bien conozco la posic ió n del conceptoe ignoro su velocidad, su movimiento propio —que es su vericidad—, o bconozco suvelocidad e ignoro su posición". En la medida en que efectivam ente nquepa una tercera posibilidad, aquí hemos optado decididamente por la primforma de conocimiento, aún sabiendo que tiene porsombra una cierta forma deignorancia.

En el segundo m odo de acercamiento, cabe sin embargo distinguir dos momientos: uno, a partir de la(s) posteridad(es) de Diofanto y, el otro, partiendola(s) tradición(es) que le alimentan. El primer m ovimiento lee la Arithm etica desde

cua lesquiera de las reconstrucciones posteriores, de modo retroactivo y externo

1 R. Rashed (1984),t. III, p. VII. (La cursiva es nuestra.)

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términos del lenguaje algebraico vigente en cada uno de esos momentos; esta tura, que es la habitual, es sin duda ajena por com pleto a Diofanto, y si aquí hecedido a ella en ciertos m omentos — por no hacer su lectura en exceso farragosno lo hem os hecho sin continuas prevenciones y advertencias (com illas, cursietc.). El otro movimiento, por el contrario, lee a Diofanto desde los discu rsos ariores que confluyen en él, es decir, desde aquellos discursos con los que él miha construido sus métodos y conceptos, por lo que su consideración no sóloimpide conocer la posic ió n de esos m étodos y conceptos sino que viene reclam adadesde el interipr mism o de éstos, que se han constituido como precipitado demovimiento. Por esta razón, tanto la ‘posición’ como este segundo tipo de ‘mmiento’ serán los ejes, y los instrumentos, sobre los que descanse nuestra lect

Ese doble palimpsesto (histórico y epistemológico) en que así se ha convtido la Arithmetica dificulta un análisis preciso de cuál hubiera podido ser su concepción de lanegatividad : no ya sólo por cómo pudiera haberse tratado en los pro

blemas de los libros perdidos, sino por los propios térm inos que re sulseleccionados (en las diferentes versiones conservadas) para nom brarla o nom ben su caso, su imposibilidad. Pero ese mismo palimpsesto también ofreceinapreciable material para entender cómo la han reinterpretado épocas sucesivtravés de sus respectivos traductores, a los que nos referiremos más adelante.

La obra de Diofanto parece ser difícil de juzg ar despasionadam ente. Entrehistoriadores de la matemática suele suscitar las mas encontradas reacciondesde la admiración a la irritación, pasando por el olvido o por interpretaciocontrapuestas. Las diferencias en la valoración de sus técnicas pueden, por taser casi tan significativas como el estudio directo de esas técnicas. Hankel (1158), por ejemplo le considera el ‘padre del álgebra’, expresión que despuéhará tópica, lo cual no impide que la lectura de su obra parezca dejarle al bordun ataque nervios:

"Más aún que los problemas, las soluciones [de Diofanto] son de tipos extmadamente variados: es del todo imposible hacer un catálogo siquiera aproximade los rodeos que van adoptando. En el autor no hay ninguna traza del menormétodo general: para cada cuestión recu rre a un método especial que, con frecuencia, siquiera servirá para el problema más"próximo (...) Ño tiene la calma ni la conctración necesarias para entrar en el corazón de un sólo problema importante; y alector pasa de un problema a otro con una prisa febril, como si estuviera ante unaserie deadivinanzas de las que nunca consigue sacarauténtico placer (...) Sus pro blemasno parecen construidos para obedecer a ningunanecesidad científica sinotan sólo para poder encon trar la solución, que, por tanto, se nos muestra fragmentaria y superficial

La crispación en que queda sumido el historiador ante una obraagónica como

ésta, una obra que lucha entrelo que quiere decir yel cómo se ve obligada a

1 Citado por T. Heath (1964: 54). (Las cursivas son nuestras.)

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decirlo, dice mucho de lo que su recepción significa para un espíritu clásicmetódico. El ‘auténtico placer’ que éste suele encontrar en el sosiego propornado por la sujeción a la autoridad de un ‘método general’,.afianzado durasiglos, sa lta ‘febrilmente’ en pedazos ante la continua decisión (krisis) que suponetener que atacar cada problema mediante un ‘método especial’, ante unos juede ‘ad ivinanzas’ que tanto se apartan de la ‘vía regia’ de la geom etría, ante eseextraño p lacer que parece encontrar Diofanto en ‘no obedecer a ninguna necescientífica’ y no atenerse sino al capricho de convencionesad hoc, huérfanas detoda fundamentación geométrica o, cuando menos, metódica. Respecto de la dición, por fuerza sus soluciones han de parecer irritantemente ‘fragmentariasuperficiales’. Como apunta Bloor (1976: 131), "lo que expresa Hankel es pru eba fe nom enológica de que la obra de Diofanto da testimonio de un pemiento m atemático bien diferente del nuestro, tan diferente com o puedan parenos la moral o la religión de otra cultura". De hecho, su ausencia de método puede dejar de recordar a las matemáticaswasan japonesas, para las que la gracia no está tanto en resolver un problema como en hacerlo sin recurrir a ninmé todo general. Respecto de esa gracia, que sólo se manifiesta en lo efímero ygular, el m étodo es una desgracia. No en vano matem áticas como laswasan se hantenido mas (S. Nakayama, 1981) por una obra de arte (como elwaka, el haiku, o la ceremonia del te) que por un trabajo ‘serio’.

Para Morris Kline (1972: 143), uno de los historiadores de las matemátimás sensible a las diferencias y a las fracturas, también en Diofanto la "variede métodos para los distintos problemas deslumbra más que deleita". Parece

el alejandrino encuen tra más placer en considerar en cada problem a lo que tiensingular e irreductible, al estilowasan, que en indagar carácterísticas comunes yarbitrar un m étodo aplicable a cuantos pudieran pertenecer a una mism a categLa "variedad de ardides y artificios que emplea en los diferentes problem as" egrande que Heath (1981: II: 462) casi no encuentra otro modo de dar cuentamétodo de Diofanto que reproducir la totalidad de su obra. En ocasiones , no parhabérselas uno con un matemático sin método sino decididamente antimetódY esta especie de vocación caótica, de placer en el artificio por el artificio, deferenc ia de lo adjetivo frente a lo sustantivo, del ardid sobre el sistem a, de la reheurística sobre la fundamentación razonada, parece acompañar tanto, en gena los momentos de quiebra de un paradigma matemático y cultural dominacom o, en particular, a las diferentes emergencias de lanegatividad. Todos éstos sonrasgos que, efectivamente, volverán a carácterizar la emergencia de los ‘númimaginarios’ en la quiebra manierista del Renacimiento italiano.

El Diofanto de Montucla, por el contrario, no es tanto un pensador desccertantemente original (aunque, según este pionero en la historia de las mateticas, no conozcamos otra obra semejante a la suya) cuanto un exponente

m odo de pensar de toda una época: "no nos es posible determ inar si Diofantoel inventor del á lgebra", observa con precau ción, pero "a part ir de su obra pomos hacernos una idea de lo que el álgebra pudo haber sido en época de Diofa(1968:1: 315). También Nesselman (1842: 248 ss.), Tannery (1912-24: III: 15

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357) y Heath (1964: 111 ss.) ponen en duda la excepcionalidad de su obra, pa que no haya llegado hasta nosotros otra parangon&ble. Klein (1968: 126), su parte, distingue en tre elmaterial y la form a utilizados po r Diofanto, en un sentido próximo al de la tensión entre los contenidos y su expresión a que hacíamreferencia: sumaterial puede rastrearse en el Epanth ema de Tymaridas de Paros,en Platón, en el scholium al Charmides, en los epigramas ‘aritméticos’ de la"Antología Palatina" o en la obra de H erón, si bien de su fo rm a no nos consta ningún documento anterior a él.

Efectivamente, tanto sus predecesores, como Nicóm aco de Gerasa, com o amuchos matemáticos posteriores, como Jámblico, enuncian sus problemas demodo concreto, a menudo al estilo de las narraciones mitológicas típicas de los gramas de la "Antología Palatina". El modo de presentación de los problemtípico de Diofanto, en desnudos términos numéricos y de forma abstracta, es inlito en su tiempo, hasta el punto de que suele dudarse de la correcta atribución

las escasas excepciones (como el último problema del libro IV) que se acercaun modo de enunciación más tradicional. Por ello, su manera de hace r matemátes de un singular interés para un estudio concreto de cóm o a fecta al trabajo mmático la quiebra de un pa radigm a de racionalidad y de cómo operan los obstálos que ese paradigm a, no obstante, ofrece a la emergencia de nuevas form ulanes, de las que nosotros atenderemos en especial las que afectan a lanegatividad.

IV. 3. U na Bab el m atem ática. ¿Nuevos límites p a ra el nú m ero?

En D iofanto y su época convergen tradiciones bien dispares, cuando no angónicas, cuyas influencias respectivas en el autor de la Arih metica enfatizan demodo bien diferente los distintos estudiosos. La infuencia babilónica está prese por doquier, como en el tratamiento numérico — y no geométrico— de casi tosus problemas o en la m anera de resolver las ‘ecuaciones’ de segundo grado, una o dos ‘incógnitas’, cuya solución Euclides construyera al modo geom étricel Libro II de sus "Elementos". Esta influencia ha sido destacada hasta el puntoque J. D. Swift (1956) tiene a Diofanto por el "el más puro exponente del álge babilónica . También Neugebáuer (1969: 146 ss.) le considera el últim o vástde una tradición ‘algebraica’ babilónica que, con los árabes, incorporará tainfluencias griegas como orientales. Desde esta perspectiva, no cabe decir dciertamente, como a menudo se repite, que Diofanto sea ‘el padre del álgebra

Boyer (196 8:20 ), sin embargo, destaca su distancia tanto respecto de la mamática clásica griega com o de la babilónica, de la que a su juicio d ifiere en dosgos fundamentales: a) Diofanto busca soluciones exactas para los 150 problemde su Arithmetica allí donde los babilonios se conformaban con soluciones a prox

madas (en verdad, el mismo Diofanto anuncia resolver algún problema, comV.9, por parisóte s o ‘aprox im ación’); y b) su concepción ‘abstracta’ (aunque m ejdiríam os, y tampoco sin reservas, formal o no-referencial) del núm ero, que suptanto las exigencias de dim ensionalidad sensible de la matem ática euc lídea (

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al sum ar o restar el á rea y los lados de un triángulo, o al considerar hasta la s potencia de la incógnita) pero supera también el requerimiento de ‘ser medida(grano, monedas o extensión de terreno) a las que se somete el núm ero babilón(aunque también aquí cabe una excepción, la del problema V.30 referido a las ctidades de vino de distintas clases empleadas en una mezcla).

Otra tradición presente en la matemática de la época de Diofanto es la egipSu manipulación de las fracciones unitarias o el recurso a las técnicashau (‘amontonam iento’) de cálculo, que Cantor (188 0-1908:1:446 ,74 ss.)po ne de relievelo atestigua. Miguel Psellus, en el s. XI, se refiere a su método como el ‘métegipcio’, calificación al parecer habitual en la escolástica. A pesar de las influcias que puedan haber ejercido estas tradiciones, tan apartadas de las griegas parece haberse hecho, sin embargo, bastante hincapié en una determ inación damental que no puede dejar de filtrar cualquier innovación, sea conceptual o nica: pese a todas sus heterodoxias formales y pese a esa cierta desvinculaciónla lenguanatural que se m anifiesta en el empleo de ‘sím bolos’, tanto ese lengua primario que es el sistema de numeración, como el lenguaje técnico en que se hacen sus matemáticas, como el lenguaje ordinario en que se dicen, son los tresgriegos; lo cual resultará decisivo para su consideración de lanegativiclad.

Su relación con la tradición geométrica griega no es menos compleja, aque sólo sea por las razones lingüísticas apuntadas. Por un lado, su expresiónla misma lengua en que Euclides y Aristóteles habían pulido muchos de sus minoscarga semánticamente alguno de los conceptos claves de Diofanto. Potro, la ya posible concepción de otros objetos teóricos y de otros proced imien

deductivos, debida a la incidencia de otras epistemes, habrán de decirse en élaquellas palabras pero ahoracargadas de un sentido y una intención diferentes.Con todo, la falta de una integración coherente de los distintos caminos que cvergen/divergen en esta encrucijada cultural salpica la Arithmetica de casi tantasexcepciones, cuando no contradicciones, como conclusiones puedan irse estaciendo, com o hemos visto que ocurría, p.e., con los rasgos diferenciales que ccluía Boyer.

Así, las potencias de las cantidades desconocidas toman su nombre de figuras geométricas ‘correspondientes’ en el ‘álgebra geométrica’: ‘x2’ se resenta por Ar y le llama ‘cuadrado’(dynamis), ‘x3’ por Kv y le llama ‘cubo’ (kybos)... pero la serie sigue más allá de toda intuición espacial, y para denominar airrepresentables potencias siguientes se ve obligado a construir una serie de neologismos que no pueden, sin embargo, evitar una connotación espacial ya sin tido: ‘x4’ se representará por Av A y le llama ‘cuadrado-cuadrado’ (dynamo-dynamis), ‘x5’ por AKVy le llama ‘cuadrado-cubo’ y, por último, ‘x6’ por K Kvle llama ‘cubo-cubo’. La intuición espacial sensible, que había limitado a trenúmero de las ‘potencias’ en la tradición clásica, se ve así rebasada, pero si

latente en el lenguaje y en ciertos presupuestos que éste soporta tanto coexpresa. C on frec uen cia las cuestiones de lenguaje más que só lo cuestiones de lenguaje sonnada m enos que cuestiones de lenguaje, y la pervivencia en él de ciertostérminos, hábitos o estructuras refuerza ciertos pre-conceptos con tanto ma

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vigor cuanto más latentes se mantengan1. Desde esta perspectiva, nada más e nñoso, por simple en exceso, que esa habitual consideración de la obra de Diofacomo el primer ejemplo de un ‘álgebra sincopada’ que, mediante la progresconstrucción de ciertas abreviaturas y ‘símbolos’ , iría permitiendo el tránsito sogado y sin fracturas entre un ‘álgebra retórica’, quetodavía sólo usa palabras paraexpresarse (como la de Herón o la babilónica), y un ‘álgebra simbólica’ o esta

final del álgebra, que ya no precisa del lenguaje común, pues sus ‘símb olos’ nadasimbolizan. No debe olvidarse que, en época de Diofanto (como tampoco en los sig

sucesivos, ni seguramente en ningún caso), no cabe hablar de una decadencia lidel modo de pensar geométrico al que iría sustituyendo una progresiva implanción del que Ortega (1979: 45) llama ‘modo de pensar algebraico’. Para una atmirada arqueológica, éste parece un momento especialmente habitado por fraras, solapamientos, rupturas locales, pervivencias de v iejos significados bajo nvas formas de enunciación pero también emergencias de nuevos sentidos bajo mas de expresión ya gastadas; unos sentidos que así se muestran — a los omodernos no menos que a los clásicos— caóticos, fragmentarios, inconexos, saber dar razón de sí mismos o encontrándola en la propia funcionalidad ciegalas operaciones en tomo a las cuáles se anudan.

De la plena vigencia del más puro espíritu de E uclides y Apolonio, en el pciso mom ento en que D iofanto está transgrediendo alguno de sus supuestos funmentales, da testimonio la obra de Pappus, que com pone suSynagoge a finales dels. III d.C. En ella volvemos a encontrar intacto todo el rigor lógico y geométque adornó a los clásicos, distinguiendo con precisión tan sólo entre problem‘planos’, ‘sólidos’ y ‘lineales’, resolubles los primeros con sólo rectas y circurencias, los segundos mediante secciones cónicas y los últimos por medio de otipos de curvas. Pero ahora el clasicismo de Pappus se ve obligado a sacar a laalguno de sus postulados latentes, mostrando así su otra cara en la condena debe hacer de las extra-vagancias de un Herón o un Diofanto: "nada hay que contenido en más de tres dimensiones", aunque "algunos hombres algo anteria nosotros se han permitido interpretar cosas así, queno significan absolutam ente nada com prensible, hablando del producto del contenido de tales y tales líneas po

el cuadrado de éstas o el contenido de aquéllas"2.Por otra parte, la antigua distinción entre logística y aritmética parece haquedado ya abandonada, aunque su fusión diste mucho de haberse articuladotomo a una teoría coherente. Por un lado, consideraciones impensables para‘ciencia del numero en sí’, com o el tratamiento de la unidad o de las fracciocomo números, se incorporan en ocasiones a la especulación aritmética. E in

1 Asf, para Diofanto, la primera potencia de un número se seguirá diciendo como 'lado de un cuadrado' (pleura loü iclrasonfíit), lo que hará de la concepción de ‘raíz cuadrada’ que de ahf se sigue un obstáculo — como veremos— insalvable, aún desde el eclectic ism o diofántico, para cualquier per-cepción de lanegalividael imaginaria.

2 Citado por C. Boyer (1968: 209). (La cursiva es nuestra.)

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"Hay también una marca distintiva [además de las de las potencias y la de lincógnita oarithmós] para el invariante de números determ inados, es decir, para launidad, y esta marca es M que tiene por índice , o sea, M."

Para Klein, esa letra M sería la inicial demonas , y no — como defienden Nesselm ann, Tannery y Heath — un mero signo insignificante , usado para sepael ‘invariante de números determ inados’ (o'núm ero conocido’) del coeficientela incógnita adyacente y evitar así su confusión. Esta concepción del número co‘multitud’ es la que, unid;1al concepto platónico del ‘uno’ como ‘lo que no tie

partes’ (que Euclides recoge en la definición VII. 1: "la unidad es aquello p or lo cada cosa se dice que es una"), excluiría automáticam ente al uno del campo numrico para evitar la contradicción que supondría pensar lo indivisible como m ultitSin embargo, Diofanto no parece tener inconveniente en fractu rare se uno e incor porarlo así al re ino del número , de lo compuesto de partes. No sólo opera sin re m

gos con la fracción (mórion) de la unidad, tan familiar a los cálculos egipcios, sinoque en algunos problemas se plantea explícitamente la manera en que la unid puede partirse: el problema V.31 pide "dividir la unidad (monada) en dos partes(dyo mória) tales que...". Incluso la incógnita y sus potencias aparecen como d enminadores de esas fracciones unitarias, con lo que obtienen sus nombres comderivados de los de aquéllas: así, si el cubo de la incógnita (‘x3’) eskybos, suinverso (‘1/x3’) se llamakybostón. El ‘uno’ ha perdido su carácter dearché hastael punto de que ahora resulta incluso engendrable: "Todo número multiplicado una fracción que tiene ese núm ero como denominador, da la unidad", advierteel ‘Prefacio’, lo que supone decir que la unidad, partida en un cierto número de tes, puede ser reconstruida reagrupando tales partes en la cantidad que indica cierto número. Pero la unidad no sólo se puede dividir y engendrar, sino tambmultiplicar: "Siendo la unidad invariable y siempre constante, su expresión mu plicada por sí misma seguirá siendo la misma expresión".

Pese al atentado que operaciones com o ésas suponen para el modo de pen pla tónico, para Klein (1968: 132) no sólo no hay ahí la menor contradicción sque tampoco resta un.ápice de rigor teórico, apodeíctico, al trabajo de Diofan basta considerar la unidad al modo peripaté tico, como mónada obtenida por atracción y capaz de comportarse como unidad de medida de tamaño arbitrarmente seleccionable (y, en este sentido, pero sólo en éste, divisible). De este moel núm ero entendido com o ‘cierta cantidad de un idades’ no excluiría de su ámbal ‘uno’ ni a las ‘fracciones’(moría), pues aquél siempre podría entenderse com o‘una cierta cantidad de fracciones’, tomadas éstas ahora como nueva unidadmedida. Aunque el argum ento es formalmente correcto y salva a Diofanto de ctrad icción,si bien al precio de enraizarle por completo en la tradición aristotélieuclídea, no parece qu e ese objetivo deba anteponerse al de intentar entender

obra que se hace en el cruce — contradictorio ¿por qué no?— de tradiciones qusolapan sin llegar a articularse en una teoría coherente. La Atihmetica y su épocamás parecen responder a una forma relajada de razón, abierta ahora a la contración y a la no-identidad, que a aquella racionalidad seca e identitaria que abo

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naba de la contradicción, y que aquí se ha secado doblemente al haberse perdel espíritu que la anim aba. D e hecho, hay tan sólo un problema (el V.10) en todcolección delaArilimetica en el que Diofanto represente, al viejo estilo euclídeo,un núm ero por un segmento de línea; en todos los demás la concepción subyaca los enunciados y a los cálculos se emparenta directamente con las otras tradines m encionadas, aunque ello se contradiga abiertamente con ciertas definicioexplícitas de la propia Aríthmetica y con los presupuestos de otras tradiciones,com o la neoplatónica, en las que bebe.

Jámblico (ca. 240-325) recuerda, en su "Introducción a la «Arithmetica» d Nicómaco", que ya los esto icos de la escuela de Crisipo habían definido la uncomo ‘pluralidad una’ en un intento por salvar la contradicción. Y él mismoseguirá esforzando todav ía por conciliar los conceptos de unidad y de núm ero, ló que recurre a una definición indefinida — que atribuye a algunos pitagóricosegún la cual el uno sería ‘lo intermedio entre el núm ero y sus parte s’, una esp

de frontera (methórion) entre la serie (descendente) de los números y la serie(ascenden te, al ir descendiendo los denominadores) de las fracciones:

¿ápeiron?... 4, 3, 2, ¿1? 1/2, 1/3, 1/4 ... ¿ápeironl

De las dificultades para que ambas series se cierren incorporando así a la ftera (el ‘uno’) de la que emanan y a la que abocan, da buena idea la com plejacesión de hipóstasis, genios, dioses y demonios, tanto de las religiones populgriegas como de otros misterios orientales, con que se irán densificando las e

nac iones p lotinianas (véase epígrafe 1V.7).Otra ‘frontera’ problemática se perfila po r abajo , al ir aum entando los deno

minadores, y a ella alude el scholium anónimo de Jámblico, en referencia a Diofanto precisam ente : "Así Diofanto en sus ‘partes fraccionarias’ , pues las fracci progresan en su dism inución avanzando hacia el infinito(áp eiro n)"1. Nuestro‘cero’, ahora apuntado comoápeiron, y no comomedén ni comooudén, perfilaotro límite del campo numérico, que difícilmente puede, por tanto, identificacomo quiere Klein, con el de los ‘racionales positivos’. No obstante, no dejachocar la ausencia en Diofanto, pese a la innegable influencia babilónica, de marca para la ausencia, que sin embargo ya había hecho en ocasiones su aparien el m undo alejandrino tardío. En este punto, la potencia condenatoria de loápeiron y lo medén de la tradición clásica encontrará un inesperado refuerzo en modo de num eración utilizado po r la logística, no obstante haberla excluido dreflexión teórica.

Com o vimos a propósito de las dificultades de Aristóteles con el ‘cero’ (IIIen la m atem ática griega clásica no hay lugar para un cero aritmético. Tampochabrá en la logística para un cero posicional. La m atemática babilónica, pa ra

car la ausencia de una cifra, o bien deja su lugar en blanco o bien lo marca co

1 Citado por J. Klein (1968: 137).

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signo específico. Pero ni el sistema de numeración ático, ni el jón ico o alejand(de carácteres alfabéticos) qué le iría sucediendo, son sistemas propiamente pocionales de numeración (salvo en la repetición de ciertas letras para númemayores que mil). Lo cual tam bién excluye la posibilidad de un ‘cero’ en ese s

tido, siquiera meramente notacional, que podría darle el marcar una posiciónocupada. Heath (1981:1:39 ), en su defensa frente a Tannery y a Cantor de la mautilidad del segundo sistema respecto del primero, advierte que:

"El único inconveniente real de l sistema alfabético era la ausencia de un sign para 0 (cero); pues el 0 paraoudemia o oudén que encontramos en Ptolomeo sólo seutilizaba en la notación de fracciones sexagesimales y no como parte de un sistemde num eración. Si hubiera habido un signo, o signos, para indicar la ausencia de número de una denominación particular (p.e. unidades o decenas o centenas) l

símbolos griegos podrían haber servido como sistema posicional apenas menos efetivo que el nuestro".

Lo que para Heath es ‘el único inconveniente’, desde una valoración de su ulidad para el cálculo, adquiere sin embargo una relevancia especial cuando lo qse valora es la posibilidad, para un modo de pensar, ya sea de identificar la auscia, ya sea de operar con ella de alguna manera. Es la influencia babilónica la qya en plena decadencia alejandrina, introduce esa aberración para la percepcigeom étrica, tan cargada de plenitud y significaciones espaciales. Kline (1972: 1

remonta al s. III a.C. los primeros papiros griegos donde aparecen ciertos sign para el ‘cero’ — como ÜO, 0 ó ü — , que servirían, como en el periodo seléucidalos babilonios, para designar cifras ausentes. A diferencia de Heath, este autor a buye a Pto lomeo el uso del signo 0 para marcar la ausencia de una c iña tantomitad com o al final de una expresión numérica. En cualquier caso, son de destatanto la emergencia de una nueva forma de percepción, que permite identificarmarcar la ausencia de cifra, com o la imposibilidad, incluso para esa nueva mande mirar, de pensar esa marca como número y, en consecuencia, someterla a loperaciones habituales entre números. El número, pese a todo, sigue siend‘número de’, una ‘cierta cantidad de unidades’, por mucho que el rigor en la cocepción de tales unidades se hubiera relajado hasta el punto de llegar a incluir enellas sus propias partes o fracciones. El ‘progreso en la disminución’ del nuevcampo numérico extendido parece encontrar en el cero unmínimo absoluto, másallá de toda posible reflexión teórica pero más allá también de toda manipulacioperatoria en el interior de una quimérica logística que no consistiera sino emeros cálculos.

En D iofanto se expresa de m odo privilegiado el mito babélico de la confuside lenguas, en su versión matemática. Los lenguajes matemáticos de las distintradiciones que convergen en su obra son a menudo incompatibles o intraduciblos unos a los otros. Incluso la posibilidad misma de una tal traducción supondla existencia latente de un lenguaje matemático com ún que permitiera el trasiede unos significados a otros, de lo que no hay la menor evidencia. Ver, por tan

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en D iofanto, com o suele hacerse, al padre de un álgebra universal que, a través arte llulliana o lamathesis universalis leibniziana, llegaría hasta las formalidadesuniversales de un Bourbaki o un Chomsky, sólo puede hacerse —como denunSteiner (1988: 77 ss .)— desde la previa creencia mítica en un único lenguaje pmigenio que, perdido tras el caos babélico, encontrara en la matemática su poslidad de reconstrucción ejemplar.

IV.4. Diofanto o la prim era emergencia occidental' de lanegatividad matemática. Una incursión en lo impensable

Por muchas distinciones que hayamos de hacer en cuanto al modo concreen que D iofanto trata lanegatividad , se imponen de entrada una serie de observaciones que, a modo de anticipación de algunas de las principales conclusion

harán innecesaria la posterior insistencia en ciertas precisiones y matizaciones(a) En Diofanto, por primera vez en la historia de la matemática esc

lengua griega, acontecen c iertas formas denegatividad. Esta primera em ergencia esen sí misma lo bastante significativa y desconcertante como para no quedar en aluto ensom brecida por el rechazo a que Diofanto mismo la somete, aunque tan sea en ciertas ocasiones bien precisas. Lo relevante es que si Diofanto puede rezarla bajo cierto aspecto — y aceptarla bajo otro— es porque previamente ha podtenerla como objeto de consideración. La tradición griega clásica ni siquiera h podido iniciar el gesto que la apartara , pues había establecido previamente con precaución las condic iones que hacían imposible su emergencia. Para que aho pueda presentarse, y sólo secundariamente asumirse o negarse (según el aspectoque se presente), habrá hecho falta que la crisis que tiene lugar durante los siglos periodo ale jandrino altere dos marcos fundamentales.

Por un lado, el m arco de representación y operación simbólicos, que — encaso de las ma temáticas— supondrá una cierta sustitución de la figura geomét por el número, del aspecto visual de la representación por uno más interiorizad

menos sensible, del seguimiento continuo — interpretable paso a paso — de laconstrucción de la solución a un problema (dondecada paso ha de ser visualizable) por la separació n y autonomía del procedimiento operativo, cuyos pasos parciale — ahora dentro del campo numérico— no reclaman ser interpre tablesuno a uno enningún modelo concreto: con tal de que el resultado tenga sentido no hay por qué pedirle otro tanto a cada operación de las que conducen a él, pues éstas no tieotro motor que su propia lógica y dinámica internas. Paía ello, evidentementesido necesaria una fractura — o, al menos, un debilitamiento— de los lazos vinculan al significante con el significado, de modo que esa cierta autonomíasigno no prive de sentido a su interacción con otros signos tambiénseparadosahora del proceso abstractivo que los mantenía referencialmente ligados.

Por otro lado, aunque en íntima conexión con lo anterior, se altera el ma perceptual. La cadena de mediaciones inmediatamente aprensibles, a cuya exh

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tiva construcción se dedica toda la impresionante obra aristotélica, pasa a admlagunas, huecos de sentido. El mismorelajamiento del pensamiento ‘racional’ que perm ite volver a admitir, tanto en el proceso del ser como en el del pensar, medciones ‘irracionales’ (como la profusión de emanaciones neoplatónicas o uacción a distancia que no necesita que la causa del movimiento actúe contin

mente sobre su objeto) parece permitir también que los lazos intermedios que liel planteam iento de un problema con su solución (las operaciones de cálculo) pdan asim ismo mantenerse sin necesidad de ‘dar razón’ de ellos. Ciertamente hen esto un notable pragmatismo: no importa dem asiado la coherencia teórica de pasos que se den para obtener un resultado, si éste re sulta ser válido; pero nomenos cierto que la exigencia de continua interpretabilidad geométrica de es pasos no era menos pragmática por el hecho de que la utilidad, o incluso la nesidad, viniera decidida en términos del mode lo aristotélico-euclídeo. El fácil exdiente explicativo que distingue entre épocas de predominancia teórica y otras prioridades utilitarias es demasiado simple: lo re levante es el modo de pensar qdecidequé es práctico en ese mom ento, el m odo de pensar que determina, en unasépocas pero también en las otras, tanto la reflexión teórica como lo que se tiene útil, válido o práctico.

(b) Da toda la impresión de que Diofanto no procede a una construccióefectiva y explícita de ciertanegatividad, en ninguna de sus formas. Mas bien parece que ésta se le im pone, le viene de un ciertoafuera que él se lim ita a asumir,negociar y dar cauce operativo.

Com o veremos a continuación, Diofanto no ofrece definición alguna de qcosa vaya a entender por esaleipsis de la que, sin embargo, formula las reglas paraoperar con ella, ni argumenta en ningún m omento por qué opera con ella del men que lo hace y no de otro; como tampoco da mayores razones en que fundarsiquiera justificar, la exclusión de otras particulares formas denegatividad, cuandoasí lo hace. Ni siquiera los distintos contextos en que aparece bajo una u otra foraportan apenas información adicional. Lanegatividad es para él unhecho — aunque m ejor sería decir unaacción — ya construido, que se encuentraahí dado, y queél se limita a incorporar operativamente a su trabajo matemático.

(c) Es sorprendente el frecuente silencio — sea por ignorancia, olvido o fade apreciación— de la historiografía más com ún sobre esta primera em ergenciala negatividad en la matemática occidental. Sobre todo si se compara con los ríode tinta que se han vertido ante la em ergencia de otras cuestiones fronterizas, cola de los inconmensurables o la de las reformulaciones del ‘postulado de las palelas’. La mayor parte de las historias de las matemáticas, e incluso las del álgesuelen pasar aquélla por alto, y aún numerosos estudios centrados en la obra Diofanto no hacen referencia a ella sino de pasada, sin pararse a considerar asunto tan — literalmente— extraordinario con un mínimo detenimiento.

Acaso talolvido no sea sino consecuencia de ese o tro más general que sufrela obra entera de Diofanto. Paul ver Eeke, prim er traductor suyo al francés, dencia que, efectivamente, "la doctrina diofántica está com pletamente ignorada pomayor parte de los m atemáticos de nuestro tiem po, incluso por los más instruido

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lo que no le impide a él mismo cifrar su admiración en algo tan exterior a su ocom o "haber alumbrado el genio de Fermat (...) e inspirado a Vieta y Euler" (19 Prefacio ). B oyer (1968: 204) explica tal ignorancia por haber quedado al margede la corriente central de la m atem ática griega, lo que más bien parece que debser un acicate para su estudio. Pero, fuera por lo que fuere, no parece ser tampajeno a ello tanto lo ferragoso de la Arih metica com o su resistencia a ser analizadasegún los estereotipos ya acuñados para la ma temática clásica.

(d) Por último, y anticipando la que acaso fuera conclusión más podemos distinguir grosso modo en la Aritlu netica dos formas fundamentales denegatividad, en conexión con lo apuntado en (a): una negatividad dinámica, trasitiva oen proceso, y una negatividad estática, sustantiva o como producto .

Hem os calificado de negatividad ‘en proceso’ a la que se presen ta en el ‘Pfacio’ a la Arithmetica, al enunciarse la que después se conocerá como ‘regla de

los signos’. Su condición de proceso, frente a la de producto , se dice aquí en undoble sentido. Por un lado, se trata de una negatividad que no reflexiona sobremisma, que no se detiene a decirse, ni para construirse ni siquiera para enunciaes unanegatividad que se ‘usa’ pero no se ‘menciona’; en este sentido, es irreflexiva por cuanto irresponsable, no d a razón alguna de sí misma ni de su forma proceder: ella es precisamente su fo rm a de proceder, nada más que eso , el mtrascurrir en toda su fluidez; no se encierra en ningún concepto o definición, sque se dice en el hacerse/deshacerse de las operaciones a las que se la somete ylas que apenas puede distinguirse. Este ‘apenas’ se justifica en que estanegatividad

tiene al menos un nombre, lo que ya le presta una cierta sustantividad. Si bienrecibir el nombre que recibe (leipsis) y no otro, parece venir a querer sustraerle esamínim a entidad que el m erecer nombre parecía otorgarle.

Esta forma denegatividad lo es ‘en proceso’ también en un segundo sentido:en tanto que sólo se muestra cuando Diofanto procede a efectuar operaciones. Noaparece nunca al final de un proceso operatorio, como producto producid o, po r asídecirlo, ni al principio, como producto su-puesto o dato del problema. Tan sóloaflora, para volver a sumergirse, en el hacerse de los cálculos, pero nunca enresultado o producto, en aquello a que el proceso de operar aboca: en la solucdel problema planteado.

La segunda forma denegatividad diofántica a que hacíamos referencia aparecería en este mom ento conclusivo, donde se detiene el irreflexivo fluir de los culos y el proceso se rem ansa y cierra en su producto . Un producto que es el resultado de la actividad, entre otras, de la anterior forma denegatividad. Un producto,sin embargo, sobre el que, ahora sí, ya tiene tiempo de detenerse el pensreflexivo. Y, tras pensarlo, lo rechaza. Lo que se p one ahí, ya sea como so lución yacomo dato del problema, ya no es la actividadciega (no olvidemos que ahora los

númerosno se ven, ni com o números figurados ni como segm entos de línea) de laoperaciones numéricas sino un ‘hecho’, que —como todo ‘hecho’— debe poser tenido com o tal, o — lo que es lo mismo— debe poder ser construido, tener stido. Y aquí, de nuevo, ante el hechoconsumado, vuelve a tener ocasión de mani

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festarse y actuar todo el filtro cultural —racional y a-racional— que determinamodo de pensar de Diofanto.

Efectivamente, Diofanto no tiene el menor inconveniente en admitir lanegatividad en proceso, más aún, como adelantábam os en (b), no tiene siquiera ocaside admitirla o no, pues ni se lo plantea: se le impone laevidencia de su funcionalidad. Ni siquiera es unanegatividad que ya supone, sino que se pone a sí mismaen el mero enunciarse de unas reglas que, al decir cóm o opera, dicen todo lo q puede decirse de ella. Por el contrario, la segunda fo rm a denegatividad, la negatividad producid a, aquélla a laq ue ‘pod ría’1llevar el curso de las operaciones num éricas, es rechazada explícitam ente por Diofanto. Y, en ese rechazo, tan significaes el que lo haga —y el modo y los términos en que lo hace— como el que estécondiciones de hacerlo: poder declarar como ‘imposible’ o ‘absurdo’ un resultarequiere la posibilidad previa, bloqueada por el modo de pensar clásico, de su csideración, de esa identidad mínim a que le permita sostenerse — al menos por

mom ento y aunque sea para declarar inmediatamente su sinsentido—- como objde atención.Es precisamente en e sta dob le tensión entre la asunción y el rechazo, por

lado, y el proceso y su producto (o, en cierto sentido, la operación y el númer por otro, donde convergen las dete rm inaciones cultura le s que modelan lanegatividad en época de Diofanto. Ahí se perfilan los obstáculos epistemológicos que utradición matemática, com o la griega clásica, opone a la asunción de unanegatividad que se presenta ahora como producto, no de un proceso de abstracción de urealidad em pírica supuestamente exterior al sujeto, sino del propio acontecer decálculo autónomo. Pero también son obstáculos de la mism a índole los que apoel material con el que se construye esa forma precisa denegatividad que sí seadmite, si bien esta admisión será ahora posible gracias a la interferencia con omodos de pensar. Lo que en la epistem e aristotélico-euclídea hay de obstáculo pla construccción de lanegatividad está tan presente en una como en otra forma denegatividad, aunque —a nuestro juicio— la ‘irreflexión’ de la primera, su ‘instancialidad’ le permite ofrecer menos superficie para ser moldeada por esa epteme, aún dominante. Y en este pasar desapercibida para esta forma de razón p

den injertarse otras razones que potencian su emergencia, sea porque valoran forma de transitoriedad insustancial en que ella consiste (la fe en las meras ‘rec prácticas’ o la autonomía que llega a alcanzar la proliferación de hipóstasis inmedias en el neoplatonismo m ás barroco, por poner sólo dos ejemplos de los gos culturales de este mom ento antes citados) y que no podía ser sino impensa para el realismo sustancia lista clá sico, sea porque sim plemente han socavadofundamentos que le prestaban a este sustancialismo una supuestanaturalidad.

1 Este ‘podría hace referencia, evidentemente, al ámbito de posibilidad que se abre a cierto modo de pensar 'moderno', bien distintodel modo enque 'loposible’ seofrece a laconsideracióndeDiofanto, para quien, como veremos, los cálculos ‘no pueden', literalmente, llevar a ciertos resultados ‘imposibles’.

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Aunque aquí conviene hacer una precisión importante: la quiebra de un paradide raciona lidad lo que perm ite emerger son los sentidos que podían aportar o paradigmas y que la hegemonía del primero obturaba, pero nunca ninguna espde ‘realidad en s í’ o ‘natural’ (que, en nuestro caso, serían los ‘núm eros negatividealmente pre-existentes) y tan sólo necesitada de la caída de un cierto velo tural para poder mostrarse tal cual era. Los m atices y torsiones con que se va a

brando esa nueva frontera de sentido que es lanegatividad, algunos de los cualesse perderán e irán siendo sustituidos por otros, para sólo recientemente queencerrados bajo un cierto perfil — de los varios que adoptaron— com o ‘númnegativos’, es un buen ejemplo de ello.

IV.5. La negatividad ‘en proceso’: el presentarse de la ausencia...

En el ‘Prefacio’ a la Arithmetica1aparece el texto clave de Diofanto sobre laque aquí hemos llamadonegatividad ‘en proceso’. Este párrafo irrumpe intempestivamente en el curso del ‘Prefac io’, intercalado tras una exhaustiva enumerade los resultados de los productos de las distintas potencias (hasta la sexta) yinversos, y antes de una serie de recomendaciones prácticas. No viene preced por ninguna definición ni mención explícita sobre qué cosa deba entenderseesa forma denegatividad que es laleTpsis, que aquí traduciremos por ‘falta’, de lacual el texto pasa a formular las reglas de su funcionamiento:

"Falta(leipsis)

multiplicada por falta hace(poiei)

presencia(hyparxin),

faltamultiplicada por presencia hace falta, y la marca de la falta es una 4* truncada e tida, esto es.A."

Para saber de qué se habla, es capital intentar un análisis filológico de losminos que Diofanto elige (o, mejor dicho, recoge del lenguaje heredado, sea ‘a braico’, sea filosófico, sea natural, si bien aquél no puede cote ja rse con ningúntexto m atemático sem ejante de la época) para nombrar esas formas denegatividad y de posit iv idad. Ante la ausencia de traducciones al castellano, reproducimos u

al francés y otra al inglés que ¡lustran tanto los problemas de traducción (y, tanto, de comprensión de los términos claves del texto) como la pérdida de senoriginal que acarrea el recurso a ciertos términos técnicos que sólo llegará a acuna matemática posterior, y ciertamente desde otros filtros lingüísticos y contuales bien diferentes. Thom as Ivor vierte al inglés el inicio del párrafo anteriosiguiente modo:

1 Véase P. Tannery (1893 1895, i. 12.19 21). Reproducido en griego por T. Ivor (1968: II: 524 5). La edición de Tannery contiene el texto griego de los seis libros de la Arithmetica y del Libro de los

Números Polígonos, acompañados de una nueva traducción latina que incluye notación algebraicmoderna. Está elaborado a partir de los textos de los manuscritos de París, los del Vaticano, los de El Escorial y el de la Biblioteca Real de Madrid, que es el más antiguo y correcto de todos.

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"A minus mulliplicd by aminus makes a plus, a minus multiplicd by a plu smakes aminus..."

Com o, evidentem ente, no puede ser intención de Diofanto incorporar los sinificados de unminus y de un p lu s que no se usarán hasta la posterioridad renan-centista y barroca, Ivor se ve obligado a precisar que lo que ‘literalmente’ dice

"A deficiency m ultiplied by a deficiency makes a fo rthcoming..."

La traducción francesa del m ismo párrafo por Paul ver Eeke es:

"Ce qui estde manque, multiplié par ce qui est de manque, donne ce qui est positif...''

Salvando el evidente anacronism o del ‘m inus’ porleipsis, destaca en primerlugar lo que es un m ayor acuerdo sobre cómo traducirleipsis que ese opuesto suyoque eshÿparxis. Leipsis es ‘deficiency’, ‘ce qui manque’: deficiencia, ausencia,falta, algo que pudiendo estar presente no lo está. Klein (1968: 146) lo tradudirectamente como ‘no present’. Y Heath (1981: II: 459) como ‘a wanting’, stantivando lo que en inglés es un adjetivo, que viene a significar ‘deficiente’, taen el sentido de ‘que falta’ com o en el de que ‘es inadecuado’ (su aclarac ión de ‘en rea lidad’ significa un ‘minus’ no puede sino oculta r su significación emergetras un concep to moderno retroproyectado).

En lenguaje común, el verboleipó significa, en su acepción transitiva,

‘dejar’, ‘abandonar’, y como intransitivo ‘irse’ y también ‘faltar’, ‘ser insuciente’, ‘om itir’ o ‘es tar incom ple to’ '. De la materialidad de ‘ese sustaerse a la psencia que indicaleipó da una una idea su uso por Plotino pa ra referirse al ‘hacerseinvisible’ de la luna. Aristóteles no acuñaleipó — ni su equivalenteleipetai —como término técnico; en diversos pasajes de su Metaphysica? se usa de unamanera imprecisa para hacer referencia, precisamente, a lo que aún falta por pcisar: ‘resta’ (la posibilidad de que...), ‘no tiene’ (la potencia...), ‘queda’ (una dcultad)... Desde este fondo de significaciones naturales se van perfilando sus umás ceñidam ente m atem áticos. Polibio acude a él pára referirse a la acción de

tar números que indican años: "treinta años menos dos". A polonio lo utiliza psustraer un área de otra. Y éste era también el término em pleado pa ra para la ‘acación de áreas po r defecto ', m étodo bajo el cual — como vimos— se bloquebadesde la matemática clásica la emergencia de una forma denegatividad que ahora,desde otros presupuestos y con otros instrumentos, sí puede irse contruyendo. un sentido semejante al de Diofanto, Ptolomeo usa en dos ocasiones5 las expres

1 Sobre alguno de los usos y significados de estos términos pueden verse el Dictionnaire Grec-

Français de A. Bailly, Hachette,1950, y el Greek-Englisli Lexicón de Stuart Jones & McKenzie, Oxford Universily Press, Oxford, 1968.

2 Metaphysica. 1056a15, 1066b30, 1075a5,...3 Véase T.H. Healh (1981 : II: 459).

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nés leipsan y leipoysan, seguidas de acusativo, y en otraleiphten para significar laexpres ión Z r 2 — TA2. Pero sólo en Diofanto, y sólo en ese párrafo (pues encurso de la resolución de problemas usa nada más que formas adjetivas o verbde leipd ), parece darse este uso sustantivado, donde laleipsis aparece en sí misma,sin reclam ar que la falta lo sea de ‘algo’ o que sea ‘algo’ lo que falte.

En D iofanto, efectivamente, la acción del verboleipó se rem ansa en el parti

cipio sustantivadoleipsis, aunque la sustanc ia de este sustantivo consista precisam ente en su falta de ella, en su insustancialidad. Leipsis es lo que queda cuando la pre sencia consum a su ausenta rse, el modo de ser más inesencial posible . (N o casual, por tanto, que para su opuesto emplee, en el párrafo citado, el térmhyparxis, que suele traduc irse tanto por ‘presenc ia’ como por ‘existencia’). Comadjetivo lo utilizará en expresiones del tipoleiponta eide o, literalmente, ‘formafaltante’, que en el lenguaje moderno de ecuacione s se corresponderían con lollamamos ‘término negativo’.

Sobre la última parte del párrafo, la referente a una marca especial para‘falta’, A no pa rece haber acuerdo sobre su au tenticidad. Ver Eecke y Heath, popinan que fue añadida posteriormente por algún comentarista griego, lo que embargo no comparte Ivor. En cualquier caso, aunque tal marca no se introduaquí por Diofanto mismo, de hecho sí la utiliza en sus expresiones ‘algebraic para m arcar los ‘térm inos’ o ‘form as’{eide) de las ecuac iones que están afectados por un ‘signo m enos’, dando lugar a expresiones del tipo ‘AT8 A AT(3’ que cor pondería a 4x2 — 2x2. S í hay acuerdo, en cambio , en tom o a la conje tu ra de Hde que el origen de este signo nada tiene que ver con la letra 4* invertida, sino

está en la letra griegalambda. A, inicial deleipsis, a la que se añade unaiota, I , enmedio. El uso de una marca así tampoco se reduce, según este autor, a Diofa pues Herón em plea en su M étr ica una m arca m uy parecida para indicar la sustracción de números.

Por otra parte, Rodet (1981: 99 ss.) sostuvo la posibilidad de que la marcatenga su origen en un carácter de la escritura hierática egipcia que describe pie rnas avanzando en el sentido contrario al del acto de la escritura . En el pamatemático publicado, por Eisenlohr en 1877, fechado en tiempos del farRa.a.us, los carácteres empleados para el ‘más’ y el ‘menos’ en las ‘ecuacionrepresentan, respectivamente, dos piernas que se desplazan en el mismo sentidla esc ritura o en el opuesto. Esta idea de direcc iones opuestas sí es común a lasmas denegatividad que veíamos en China. Y se rá también la imagen a la que recurra Albert Girard en su Invention Nouvelle en l'A lgèbre (1629): "Lemoins reculelà où le p lu s avance". La hipótesis de Rodet introduciría así un elemento direccinal que choca firontalmente con la carga sustancialista con la que se debate Dfanto. De ser éste el contenido que un espíritu g riego está tratando de transmitirmedio de su propia matriz conceptual y lingüística, estaríamos ante un ejem

singular de la actuación de un obstáculo epistemológico en la emergencia deconcepto ma temático. Pero, al parecer, la conjetura de Rodet está actualmente cartada, lo que nos lleva a asumir que Diofanto construye sunegatividad lejos deun pensam iento en términos de orientaciones opuestas.

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El carác ter delicuescente, efímero, que revela este somero análisis del conido semántico directo de laleipsis diofántica se ve confirmado por el papel quede hecho jue ga en el curso de las operaciones matem áticas en las que intervimarcando una cantidad como ‘faltante’. Este es el modo denegatividad que denominábamos ‘en p roceso ’ pues Diofanto lo usará exclusivamente para operacio

intermedias que, también ellas, se van ausentando en el transcurso del cálculoconduce a un resultado. Pero nunca unaleipsis aparecerá como resultado (el ser‘resultado* es propio, como verem os, dehyparxis, que es lo opuesto, por construcción, aleipsis). Como si su sustantividad gramatical no tuviera la bástante fuercom o para densificar su insustancialidad semántica, no encontramos unaleipsis nisiquiera en los resultados parciales, donde el curso del cálculo se remansa de tenlanto.

Ese sesgo inesencial, transitivo pese a su frustrada sustantivación, se ve re

zado aún más por la carga indirecta de significado que añade aleipsis el hecho deusarse como contrapuesta ahyparxis. Pero aquí las traducciones habituales no sólono m uestran el acuerdo que sí reunían en torno aleipsis sino que los términos a quevierten esehyparxis no ayudan en nada a — e incluso impiden— com prender tensión conceptual latente bajo la denominación de Diofanto. La versión frande hyparxis por ‘positif ’ está a todas luces fuera de lugar. Respecto de la ingle por ‘plu s’, si se entiende como ‘plus number’ o ‘número positivo’, proyecta igual falta de sentido un concepto moderno sobre un contenido que no respon

él en absoluto. Pe ro si ese ‘plus’ se entiende como la preposición ‘más’ que se p.e ., en ‘3 más 4 igual a 7 ’, no traic iona menos la in tención de Diofanto , aunahora lo haga en términos al menos comprensibles desde la matriz lingüísticultural griega.

Diofanto podía haber recurrido, sin la menor dificultad, a la partícula grikai que, bien com o conjunción ("tres ‘junto a’ cuatro") bien como adverbio ("‘y además’ cuatro" o "tres ‘y también’ cuatro"), era habitual en la matemágriega clásica, ya para añadir números (treis kai téssares) ya para agregar figuras.Tanto el propio términoka\ com o cualquier variante suya sustantivada podríanhaber dado cumplida réplica aleipsis, tal y como hoy decimos "menos por menosda ‘m ás’”. También podía haber recogido el sustantivo prósth esis o el verbo pros- themi, con los que también solían designarse, respectivamente, la suma y el ade sumar. Sin em bargo, D iofanto evita una prósthesis cargada de resonancias filosóficas que la oponían aaphairesis'. Si ésta indicaba (adem ás de la sustr acció n) él paso de la especie al género , el movim iento de abstracción o genera lizaciónopuesta p rósth esis alude al paso inverso, al movimiento de concreción o especicación (mediante laadición de la diferencia específica). Eludiendo uno y otro tér

mino, D iofanto abandona la médula del modo de pensar aristotélico-euclídeo

1 Véase epígrafe III.6.

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enca jonam iento de géneros y especies1y abandona, por consiguiente, la neceside pensar lo negativo como una operación de sustracción de donde previamehubiera ‘algo’. En lugar de cualquiera de esos téminos que venían usándose pla suma en la ma temática anterior, Diofanto recurre precisamente ahyparxis, unode los términos más poten tes y más cargados de sentido de toda la lengua grie(Lo que p arece sugerir, de paso, que si problem ática era ya la consideración

la ‘falta’, no lo es menos la de aque llo que se pone en oposición a ella: ¿la ‘psencia’?). Hyparxis se viene traduciendo por expresiones como ‘existencia’ (o ‘medi

para existir’: ‘fortuna’, ‘riquezas’) pero también como ‘realidad’ y ‘sustancia ’este último sentido lo usa, p.e., Sexto Empírico). Las acepciones del verbo del procede,hypárchd , hacen todas ellas referencia a la capac idad del ser para hacers pre sente , para presentarse o acceder a algún modo de presencia: ‘com enz‘nacer’, ‘salir’, ‘resultar’...; y también ‘ser posible’ o ‘estar permitido’; así co‘ser’, ‘es tar’ o ‘haber’. El ‘forthcom ing’ inglés puede ser, pues, una buena veren lo que tiene de algo ‘por ven ir’, que ‘va a llega r’ o está ‘por hacerse presen‘disponible’. Aristóteles, en la Metaphysica2, lo usa en el sen tido de ‘pertenecer a ’o ‘ser’ (de un cierto modo), ‘ser causa de’, ‘existir’ o ‘haber’ (las cosas), (al‘que es’,... Y, en su obra sobre lógica,hypárchd es el verbo que conecta en tre sí lostérminos (sujeto y predicado) de un enunciado que interviene en un silogismoeste contexto se ha traducido com o ‘es predicado de’, ‘es verdadero de’, ‘pertena ’, o simplem ente ‘es ’. El propio Diofanto le atribuye esa significación existenen la Arithm etica cuando no lo usa de modo estrictamente técnico, matemáticoAsí, en el ‘Pre fac io’, es m ediante el verbohypárchd como atribuye a la m ultitud delos números el ‘ser’ ilimitada.

En la medida en queleipsis se define —aunque siempre implícita, elípticam ente— no sólo por su cam po semántico directo, ni sólo por su modo de procesegún la regla cuando es sometida a multiplicación, sino tam bién por su oposia hyparxis, ocurre que, de un modo derivado,leipsis viene a asociarse semánticamente con las correspondientes negaciones de las acepciones dehyparxis antesmencionadas, con lo que su casi inaprensible concepción directa se hace, si caaún más evanescente. Leipsis denotaría entonces una reforzada incapacidad para

venir a ser de algún modo determinado, para hacerse presente; una oposicióncumplimiento de las acciones designadas por ‘comenzar’, ‘salir’, ‘nacer’ o ‘retar’. No podrá, pues, producir tanta extrañeza que Diofanto no la acepte nucomo ‘resultado’ de un problema; aunque como, pese a todo, sí es algo, sí pusostenerse en su problemático ser durante el tiem po sin tiempo de un cálculo, y por un momento ‘resultado’ o ‘producto’ de una multip licación (la suya phyparxis), pues ese ‘resultado’ se desvanecerá casi inmediatamente en la oper

1 Por eso, nada mas impropio que calificar de ‘abstracta’ su álgebra, como suele hacerse. No; Diofaiilo no abstrac/sustrae/cxtrae a partir de sustratos sensibles, y ahí está elquid de que en su Ariih- melica pueda ahora construirse cierta manera denegalividad.

2 Metaphysica, 984*75,984b30,982b22,996b20...

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ción siguiente. Tam poco podrá ahora extrañar que cuando se muestre com o ‘retado’ se rechace poradynaton, es decir, por ‘imposible’b ‘absurdo’, pues comoopuesta al ‘ser posible’ o ‘estar permitido’ que denotahyparxis, ella mism a es ensí ‘imposible’, algo ‘prohibido’. Asimismo, por este camino indirecto,leipsis es‘irreal’, ‘insustancial’, ‘inexistente’, un ‘no hay’ (que también se verá rechaz

explícitamente porátopos, lo que implícitamente ya estaba en su propia concepción directa como lo que se sustrae al lugar, lo que ‘no hay’ o ‘falta’). Su oposical uso fuerte delhypárchein en la lógica aristotélica, la condena, por su parte, a ‘no pertenecer a ’ nada,‘no ser predicable de’ nada, ‘no ser verdadero de’ nada. Lo tras todo esto, sí resulta realm ente asom broso es que, situada en el filo mismono-ser cuya im posiblidad hem os rastreado en la tradición clásica, sin em bargodistingue del puro caos y la m era indeterminación para emerger activa, y condsu actividad de una manera bien determinada, según reglas. Es más, su activies de tal condición que interactuando consigo misma (‘falta’ multiplicada

‘falta’: leipsis epi leipsin pollaplasiastheisá) produce(poiei) nada menos quehyparxis, la determ inación misma , ese modo preciso de ser que da acceso a la psencia! ¿Cómo va a extrañar que todavía Stendhal1se sintiera escandalizado ello?

Estas observaciones se ven reforzadas si atendemos al modo en que Diofamarca — en el sentido que a este concep to da la lingüística— o deja de ma rcar cuno de am bos términos. En efecto, D iofanto (o su comentador, si dam os crédi precis iones como las de Heath o ver Eeke, lo que tampoco es demasiado im p

tante a este respecto) tan sólo define una marca paraleipsis. A , mientras que parahyparxis no le parece necesario singularizar ninguna marca. De hecho, la súm ados térm inos se indica por su sim ple yuxtaposición, mientras que para su sustción el sustraendo se hace preceder de la marca que lo identifica como ‘térmfaltante’. Como han apuntado los análisis fonológicos, morfológicos y léxicoscaso marcado presenta el conjunto de las carácterísticas de la forma no marcmás una, que es la que carácteriza a aquél com o una forma no particular del cano m arcado, que así aparece com o genérico. En castellano, p.e., el femenino sven ir marcado — con una ‘a’— respecto del masculino no marcado, o el pluram arca — con una ‘s’— respecto del singular no marcado. La ausencia de madice delo dado po r supuesto, del género, respecto de lo cual la marca añadealgo, especifica. En la Arithmetica, el caso no marcado eshyparxis, nombre con el quese designan los ‘términos positivos ', que po r supuesto no necesitan marca. Al m arcar uno de estos ‘términos’ (eidS ) mediante la marcaA ¿qué es entonces lo que sele añade a esehyparxis que denota una ‘presencia’ genérica? ¿qué modo determ inado de ‘presen tarse’ design a esa presencia marcada? Ninguno; paradójicamela determinación que añade la marca a la presencia es su falta, la incapacidad d presencia para hacerse plenamente presente .

1 Véase nuestro Epílogo.

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Para nosotros, herederos de la tradición griega, acaso no haya en elm otivo alguno de sorpresa, habituados como estamos a considerar, por ejempun 3 (no marcado) como +3,naturalmente; y sólo marcamos el 3 con un signo

cuand o querem os especificar que se trata de -3 . Pero estanaturalidad se desvanece cuan do en o tras m atemáticas, como la china, la oposición negativo/ptivo (o mejorleipsis/hyparxis) no se asocia con la oposición marcado/no-marcado. En la matemática china veíamos cómo ambos extremos ofrecen u perfecta sim etría, defin iéndosecada uno de los dos por su oposición al otro. Nien la oposición zheng/fu (en el contexto de la técnica fangcheng), ni en ladúo/ shao (de la técnica jie genfang), ni en lanegro/rojo (de las varillas usadas en eltablero de cálculo), ni tampoco en l a , (en el contexto delYijing )aparece un término no marcado —con toda la connotación de naturalidad qello conlleva— respecto del cual una ma rca específica determ inaría al otro cosu falta. En las oposiciones de los cuadrados mágicos, cada uno de los opuestampo co se distingue del otro por un rasgo especial: la oposición se dice en loslugares que c ada uno ocupa respecto del centro del cuadrado (m ódulo de la cgruencia) y los opuestos se identifican por las relaciones de equivalencia queasocian con otras parejas de opuestos: en el cuadrado Lo zhou tan opuesto es 4 de6 (respecto del m ódulo 5) com o 6 de 4. Para la m atemática china, a diferencila griega, la presencia de una ausencia —por decirlo en términos griegos, si bno se corresponden p recisamente con los chinos— no supone ni mayor ni medeterminación, sustantividad o naturalidad que la ausencia de una presencia.

El párrafo del ‘Prefacio’ con que Diofanto prolonga el que enuncia la ‘rede los signos’ dice:

"Tras haberte explicado las multiplicaciones de estas formas(ei'de) que hemosexpuesto más arriba, sus divisiones están claras. Es útil, pues, que quien abordetratado se haya ejercitado en la suma, la sustracción y la multiplicación de formasí como en la manera de sumar formas ausentes(leiponta ei'dé ) y presentes(hypár- chonta) no equipolentes1con otras formas que sean ellas mismas presentes, o incl presentes y ausentes; en fin, en la manera de sustraer, a partir de formas presende otras ausentes otras formas, ya sean presentes ya sean también presentes y autes. A continuación, si resulta de un problema que ciertas formas son iguales a mas idénticas pero no equipolentes(m i homoplüthé), habrá que sustraer de una partey de otra2 las semejantes de las semejantes, hasta que se obtenga una sóla forma

1 Para respetar sus resonancias originales heñios traducidoeidos por ‘forma’, cuando suele hacerse por ‘expresión’ (algebraica) o por ‘término’ (de una ecuación). Heath precisa que, en su acepción primaria,eidos se refiere a una potencia particular de la incógnita sin coeficiente, si bien Diofanto lo utiliza para referirse a dichas potencias afectadas de un coeficiente o para el ‘término inde-pendiente'. Esta lectura modernizada vertiríaeidl niü homoptlthl no por ‘formas equipolentes’ sino, com o hace ver Eeke, por 'expresiones que contienen términos positivos y negativos afectados por coe -ficientes diferentes'.

2 ‘Es decir’, en cada uno de los miembros de la ecuación.

242



a una sola form a1. Si se presentan formas ausentes de alguna manera, sea de u parte sea de ambas, habrá que sumar estas formas ausentes de una parte y de othasta que las formas se hagan presentes de una parte y de otra, y después sustraernuevo las sem ejantes de las semejantes hasta que quede una sola forma de una pay de otra2.

Aplica esto con destreza a los datos de las proposiciones y, en la medida de

posible, hasta que tan sólo quede una única forma igual a una única form a. Yamostraré más tarde cóm o se resuelve el caso en que quedan dos expresiones iguaa una sola.”

Esto es todo cuan to en Diofanto se refiere al modo de operar con las ‘formausentes’ y ‘presentes’; el párrafo siguiente ya es para introducir la colección problemas en que va a consis tir el resto de la obra. Es de señalar también quelo que al tratamiento de lanegatividad se refiere, ya no vuelve a aparecer la formasustantivaleipsis sino la variante adjetivaleiponta, que así viene a calificar un

estado representado por eleidos cuya presencia o ausencia se postula. La ‘falta’,que en su primera utilización formal (en la ‘regla de los signos’ del párrafo indiatamente anterior a éste) pareciera tener una cierta entidad en sí misma cooperación — l e i p d — objetivada, se decanta en su uso concreto como ‘falta dealgo, como determinación negativa de uneidos. Lo que Bachelard calificaría de‘obstáculo sustancialista ’ carga así la concepción diofántica de lanegatividad. Nole faltarárazón al m onje griego Máximo Planudio (¿12557-1310), cuando, enfa tzando el sustanc ialismo implícito en Diofanto, advierte que éste "no dice simmente ‘falta’ (leipsin), como si no hubiera una presencia, sino ‘una presencia qutiene una falta’(hyparxin échousan leipsin)"*. A sus ojos, la operación sustantivada en la ‘falta’ del p rimer párrafo citado del ‘Pre facio ’ sólo se entiende a lade este segundo párrafo, desde el cual aquélla debe entenderse como determción de una ‘presencia’ que se hace inexcusable, y nunca como operación capaconsistir en sí misma o siquiera como ‘forma ausen te’.

No es otra la pre -concepción desde la que razonará Sim ón Stevin en ‘dem ostrac ión’ de la ‘regla de los signos’. En 1625 publica L'A rithmétique, dondelleva a cabo la primera versión francesa de los cuatro primeros libros de la Arith-

metica de Diofanto, a los que añade sus propias reelaboraciones. Ahí presencomo ‘teorema’ lo que para Diofanto era tan sólo una regla o conjunto de instciones:

1 'Es decir', una ecuación del lipo ax" = b. Aunque al final de este párrafo anuncia que expli-cará cóm o proceder en el caso de que la ecuación resultante conlcnga varias potencias de la incógnita, suele suponerse que tal explicación — para las ecuaciones de segundo grado— se daría en un porisniós hoy perdido. De hecho, estas ecuaciones intenta reducirlas bien a una ecuación simple bien a una cuadrática pura; aunque en varios lugares se supone conocida la forma de resolver ecuaciones cuadráticas mixtas, esto es, de los tipos ax2 + bx = c, ax2 = bx + c, y ax2 + c = bx.

* Estas instrucciones tienen por objeto hacer desaparecer los ‘términos negativos' de ambos miembros de la ecuación.

3 Véase P. Tannery (1893 1895: II: 139).

243



"Plus multiplié par plus, donne produict plus, & moins multiplie par moinsdonne produict plus, & plus multiplié par moins, ou moins m ultiplié par plus, donn produict moins".

El enunciado es tan formal como el alejandrino; ni p lus ni moins calificano determinan ningún ‘algo’. La primera'démonstration' que ofrece no es sinouna justificación , construida sobre un ejemplo num érico. Para que el producto ‘8 - 5 ’ por ‘9 - 7 ’ dé ‘6 ’ (que es el produc to de esas d iferencias: ‘3’ y ‘2 ’), enecesario dispone r la multiplicación de esta m anera:

8 - 59 - 7

-5 6 + 357 2 - 4 56

"donques le theoreme est veritable"! Aunque ciertamente no demuestre nada, relevante es que Stevin se hace problema de lo que para Diofanto, y después pala modernidad, parece ser una m era convención que no necesita de otra ‘dem ostción’ que la de su utilidad operatoria.

La ‘dem ostrac ión’ que sí expresa todo el sustanc ialismo latente en la interpr

tación ‘clásica’ del que ahora aparece como ‘teorem a’ es la que Stevin llama"autre demonstration geometrique":

"Soit AB 8-5 (á f?avoir AD8 - DB5). Puis AC 9 -7 (á f?avoir AE9 - EC7) leu produict fera CB: ou bien felón la multiplication precedante ED72 - EF56 -DG45 + GF35, lefquelles nous dem onftrerons eftre egales á CB en cefte forte.

F 7

10 35

6 21

2 C 7

De tout le ED + GF, soubftraict EF, & DG, refte CB.Conclusion. Plus doncques multiplié par plus, donne produict plus. & moins

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multiplié par moins, donne produ ict plus, & plus multiplié par moins, ou m oins mtiplié par plus, donne produict moins; ce qu’il falloit demonftrer." 1

La demostración ahora sí es general, pero al precio de ‘retroceder’ al m puro esti lo euclídeo, donde lanegatividad sólo se entiende como sustracción deuna cantidad m enor de una m ayor y, además, se piensa en términos de figuras e

cialmente ex tensas. Tal demostración, en efecto, corresponde a la s iguiente igdad entre rectángulos:

(AD - AB) • (AE - AC) = AD • AE - AB • AE - AD • AC + AC • AB

Con todo, esta interpretación está bastante m ás cargada de sustanc ia exteque la que pudiera estar latente en las formulaciones de Diofanto. Lo marccomo ‘ausente’ por Diofanto no son números asimilados a segmentos o supecies, a la manera que Stevin recoge del estilo aristotélico-euclídeo, sino ‘form( e id é ); unaseidé que ya están también bien alejadas de laseidé de Apolonio.Mientras que éstas son las ‘figuras’ geom étricas de las cónicas, las de Diofantrefieren a las potencias de la incógnita afectadas de un coeficiente, de manera para él son diferenteseidé M o (doscientas unidades como ‘término independiente’), s 6 ( ‘2x’), AYB (‘2x2’), Kv 8 (‘4x3’) , ... s* ( ‘1/x’), AT̂ ( ‘40/x2’), etcla ‘figuratividad’ de esas potencias de la incógnita que alcanzan hasta el segrado3, o la de sus respectivas inversas, está tan lejos de la figuratividad deleidos geom étrico de Apolonio como de aquel otroeidos pitagórico, tam bién desplegableespacialm ente, que agrupando a los números por ‘especies’ o ‘clases’ hac ía posque fueran. Lasleiponta eidé , por tanto, tal y como Diofanto las concibe no seríanrepresentables al modo geométrico ni, en consecuencia, lá de Stevin sería dem ostración mas que — en todo caso— para algunas de laseidé implicadas, pues‘la regla de los signos’ se supone definida para todas ellas, incluso las irrepretables al modo euclídeo.

Parece, pues, pertinen te la precisión de Klein (1968: 144) en el sentido de "debemos distinguir estrictamente entre el procedim iento y el objeto4; mientrasque el procedimiento se aplica a laseidé que como tales son independientes de

1 Citado por G. Glaeser (1981: 312), que lo reproduce de Les Oeuvres Mathématiques, aug- mentez par Albert Girará, de Simón Stevin, en su edición de 1634 en Elzevier, Leyde. En la primera edición, de 1625, citada en la 'Bibliografía', que figura en la Biblioteca Nacional de Madrid no hemos podido encontrar esa demostración.

2 Conviene, sin embargo, precisar — como bien hace resaltar Klein (1981: 143 6)— que nin-guna de estaseidt se corresponde con nuestro concepto de ‘variable’ sino que se refieren cada una de ellas a un número determinado, tanto en la cantidad de unidades(monás). como en la incógnita o número buscado(arilhmós). como en cualquiera de las potencias de ésta.

3 Conviene también aclarar aquf que, aunque Diofanto define signos diferentes hasta la sexta potencia, en la práctica sólo aparecen potencias mayores que la segunda en el curso de la re so luciólos problemas pero nunca en los datos de partida.

4 Distinción paralela, en cierto modo, a la que aquf hemos hecho respecto de lanegatividad ‘como proceso’ y ‘como producto’.

245



cada ‘multitud de mónadas’(pléthos monádón), y en este sentido ‘generales’(kathólou), el objeto buscado es en cada caso un determinado número de móndas". Siguiendo esta distinción, sería bajo esa acepción instrumental de laseide como se podría hablar de ‘formas ausentes’ (leiponta e id e), pues —como veremos— nunca se adm itirá la ‘falta’ como ob jeto, ya sea éste el buscado ya cualqotra ‘multitud de m ónada s’ q u e — como ‘multitud ausente’— hubiera de interve

objetivada en el curso de las operaciones. En este sentido puede decirse con K(1968: 145) que el rasgo distintivo de laseide diofánticas está en que tan sólo tienen "un significado puramente ‘instrumental’", siempre que a tal instrumentalino se le dé un carácter ‘puro’ y transhistórico que ponga a salvo los instrumenmatemáticos de toda determinación simbólica (en el sentido cultural) para preder presentarlos como meros símbolos (ahora en el sentido matemático moderdiam etralmente opuesto al anterior), como si pudieran pensarse desnudos de cuquier carga imaginaria. En\aArithmetica no existe un supuesto cálculo puro al queel derrumbe de un cierto paradigma, com o el aristotélico-euclídeo, perm itiera a

rar, ya limpio de toda ganga simbólica. Ni existen, latentes en ese cálculo, unos‘números negativos’ cuya rotunda estructura de grupo aditivo estuviera esperanser des-cubierta tras elhumus de significaciones geom étricas donde se m anteníanlarvados. Precisamente en Diofanto, en quien se quiere ver —enfatizandoinfluencia de una ‘logística’ supuestamente intem poral— al padre de estas cadades neutras, se m uestra de modo privilegiado la tensión latente entre las distideterminac iones culturales que orientanuna particular construcción de lanegatividad.

Otro aspecto que destaca en este segundo párrafo de Diofanto es la falta

instrucciones precisas sobre cómo operan entre sí las ‘formas faltantes’ y las ‘mas presentes’. Tan sólo el consejo de que "es útil que quien aborde este tratadhaya ejercitado en la suma, la sustracción y multiplicación de las mismas". Pardarse por sabido, o considerarse obvio, lo que Liu Hui, en los Nueve capítulos del arte matemático, conside ra inexcusable precisar: los criterios para sum ar y restaentre sí ‘números positivos’ y ‘negativos’. Además, el tratamiento exquisitamesimétrico que el texto chino da a unos y otros (distinguiendo tan sólo los casosque los ‘nom bres’ — o ‘signos’— sean los mismos o distintos), contrasta con cierta prevención en Diofanto hacia las presumibles dificultades que sus lecto pueden encontrar al ‘ejercita rse’ en particular con las ‘form as ausente s’: "así co[habrán de ejercitarse] en la m anera de sum ar formas presentes y ausentes no e

polentes con otras form as que sean ellas mismas presentes, oincluso presentes yausentes".

La última parte del párrafo es ya toda una exhortación al evitamiento denegatividad ‘com o produc to’, que aquí habíamos d istinguido de lanegatividad ‘en proceso’. Tras instruir sobre cómo multip licar e ntre sí las distinta s combinaciode ‘presencias’ y ‘faltas’, y recomendar a continuación los ejercicios de suma

restas de ‘formas presentes’ y ‘ausentes’, las instrucciones inmediatamensiguientes lo son sobre cómo eliminar las ‘formas ausentes’ que pudieran haresultado como residuos de tales operaciones: "si se presentan formas ausentesalguna m anera, (...) habrá que sumarlas de una parte y de otra, hasta que las for

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se hagan presentes de una parte y de otra". La presencia de una ausencia es, lralmente, insostenible. Tanto Diofanto como el fang cheng van equilibrando términos para simplificar las ecuaciones pero, allí donde el objetivo del método chera hacer desaparecer(jin) una presencia (la de palillos en las posiciones supe riores del tablero) y así producir una ausencia o hueco, el propósito de Diofantoconvocar una presencia que venga a llenar la ausencia que se nombra comolei -

ponta e id S . Así, no será hasta pasados muchos siglos que una expresión del tipax2 + bx = c pueda llegar a escribirse en Occidente com o la expresión ax2 + bx = 0 hoy habitual1.

IV.6. ... y el ausentarse de la presencia:la imposiblenegatividad como ‘producto’

Pese a las instrucciones generales para eliminar las ‘formas ausentes’ eninicial planteam iento num érico de los problemas, D iofanto se encontrará con eentre las manos en el curso de ciertas operaciones encaminadas a obtener su sción. Seguiremos con detalle el planteamiento y resolución de algunos — los significativos, a nuestro juicio— de tales problemas, para ver en concreto cóDiofanto afronta las distintas situaciones en que debe hacer frente a tales em ergcias. Destaca, en p rimer lugar, cómo, a diferencia de otros prob lemas ‘sem ejanen China, nunca aparece entre los datos iniciales ningún tipo de ‘falta’ objetivcom o tal dato, sino — todo lo más— como la operación de sustraer. La falta

rece siempre por primera vez en la manipulación inicial de tales datos. Un cejemplo de ello es el problema 1.9, que reproducimos en su totalidad2.

Prob lem a 1.9

"Quitar un mismo número [x] de dos números dados [a y b], y hacerlo d

manera que los restos tengan entre sí una razón dada ^ _ - = m j .

Es necesario en cualquier caso que la razón dada sea mayor que la razón d

mayor al m enor de los núm eros dados [m > a/b].Proponem os pues quitar un mismo número de 20 y de 100 y hacerlo de manque el m ayor resto sea el séxtuplo del más pequeño.

Que el número a quitar de cada número sea 1 aritmo3. Si se le quita de 10quedan 100 unidades m enos 1 aritmo; y si se le quila de 20, quedan 20 unida

1 Aunque los numerales hindúes, salvo el cero, ya aparecen mencionados por Gerberto en el s. X, y aunque Máximo Planudio ya hace referencia también al cero hindú a ñnales del s. XIII, a una expresión algebraica que iguale 'algo' a ‘cero’ no se le verá sentido hasta el s. XVII.

2 Las ‘transc ripcio nes’ entre corchetes son nuestras. En éste y en los restan tes problemas anzados se siguen las indicaciones de Paul ver Eeke, salvo precisión explícita.

3 Traducimos por ‘aritmo’ el términoarilhmós, referente aleidos del número buscado o incóg-nita; así, ‘1 aritmo' se corresponde a ‘x \

247



a + y= a ■>

H =b b n

de donde

x a - x — + ------

m nluego

x = ^ ( b n - a ) y = a - x = —- — ( a -b m )n - m n - m

y, para que tanto x com o y sean ‘presentes’, ha de ser

bn > a y a > bm

es decir

a/m > b > a/n

que es eldiorísmós aducido.Estos problemas indican que Diofanto había emprendido su solución antes

transcribirlos y, habiendo tropezado con la dificultad de alguna ‘falta’, inserta posteriori tras el enunciado las condiciones que hacen posib le su solución. Tansólo unos pocos problemas no están así orientados previamente pa ra la elusión‘faltas’, y éstas irrumpen de improvisto en el curso de la resolución, sin que el ase preocupe en e llos de ocultar al lector los pasos que le han llevado a esecallejón sin salida, ni de reintroducir eldiorísmós que evite andar ese camino y prestemayor elegancia a la presentación del problema. Es en estos problemas don podemos seguir con mayor fidelidad el curso de las ‘razones’ que hubiera poddarse Diofanto para reemprender de otro modo su resolución. Llegado al puntoque la ‘falta’ se hace ineludible, D iofanto da marcha atrás, y rehace las de termciones iniciales que había supuesto, de modo que — ya con las nuevas precisiolos cálculos— no encuentren ninguna ‘falta’ en su camino. Así procede, en pacular, en aquellos problem as para cuya resolución emplea el ‘método de falsa pción’, como es el siguiente.

Problem a V.2"Encontrar tres números en proporción geométrica, y tales que cada uno

ellos, aumentado en un número dado, forme un cuadrado."

249



Tras poner Diofanto 20 como el núm ero en que se aumenta, las condiciondel problema son

^ ^ (I); X + 20 = a 2(II );Y + 20= p 2(III); Z + 20 = 52(IV)X / - i

Sea X un número cuadrado que satisface la condiciónII. Y supongamos —según la regla de falsa posición — que es X = 16. Sea Z = x2. Por (I) será Y = Sustituyendo en(III)y (IV)se llega a:

4x + 20 = 4

y advierte Diofanto:

"...lo que es absurdo , pues haría falta que 4 unidades no sean más pequeñas qu20 unidades.”

Lo cual obliga a replantear aquel 16 que se había puesto en ‘falsa posiciónAsí, como 16 ■1/4 = 4, y habíamos cogido 16 = X para satisfacer(II),hemos desustituir 16 por otro cuadrado cuyo 1/4 sea > 20; es decir por un cuadrado > 8sea éste 81. Y, así reconducidos, los cálculos evitan enfrentar el ‘absurdo’ de q‘4 unidades no sean más pequeñas que 20 unidades".

Pues bien, la diferencia clave entre losdiorismós que establecieran Euclides,

Arquímedes o Apolonio y estosdiorismós diofánticos es que ahora lo que se descarta con ellos es unanegatividad que previamente se ha hecho presente como‘ausencia’ (leipsis). Entonces se constataba la imposibilidad sensib le de una construcción determinada, lo que impedía la emergencia de ninguna forma denegatividad, siquiera fuera para excuirla como ‘absurda’, mientras que ahora lanegatividad emerge e fectivamente, se hace ‘presente’, y — ya una vez perceptible — decreta su sinsentido. Para ello ha sido necesaria la colisión de dos imaginariculturales. U no, el imaginario ecléctico de la decadencia alejandrina, que aportainstrumental (num érico y ‘algebraico’) y unas formas de percepción que alterancondiciones de posibilidad en que una ‘form a’ (eidos) puede ser pensada. Otro, elimaginario clásico aún activo, que inmediatamente arroja sobre la nueva emergcia todo el caudal de interdicciones que, en tomo a lanegatividad, había acumulado y racionaliza do duran te los siglos en que se había m antenido com o paradigdominante.

Suele afirmarse, entre los escasos autores que se han parado siquiera unalíneas en estos asuntos, que Diofanto admite los números negativos pero no comsolución final del problema. Lo cual no tiene mucho sentido pues ya advierte n

más comenzar el Libro I de su Aritlvnetica que:

"Como tu sabes, entre otras cosas, que los números están formados por uncierta cantidad de unidades..."

250



El número de Diofanto sigue siendo, pues, intrínsecamente positivo. Lleipsis no puede, en consecuencia, ser nunca un núm ero, al menos en el sentidoque Diofanto pueda entende r éste, sino una carácterística o atributo que les actece a laseidé en el curso de la actividad operatoria que se ejerce sobre ellas. Yhasta no siendo sino m era actividad, aún ésta se tiene po r imposible en cuantoremansa un m ínimo en el acto en que habría de cumplirse. Tal hem os visto eProblem a V.2, donde el ‘absurdo’ se refería estrictamente a núm eros, pues en éentraban explícitamente en consideración elementos geométricos como sí ocuen el siguiente, donde tampoco haydiorismós previo que evite el tropiezo con lanegatividad.

Problem a VI.21

"Encontrar un triángulo rectángulo tal que su perímetro sea un cuadrado, y qeste perímetro añadido a su superficie forme un cubo."

La cuestión planteada es ciertamente poco ortodoxa: segmentos que son cdrados y que, además, añadidos a triángulos formen cubos. Para resolverla, estabcom o lados del triángulo 2x y x2 1, y com o hipotenusa x2 + 1; tras lo cual, coes habitual, fija una serie de determinaciones numéricas con las que em prendecálculos. Estos le conducen a que el aritmos (V ) vale 1/7, con lo que su cuadrserá 1/49, "del cual hay que sustraer la unidad, puesto que una de las perpendicues 1 cuadrado menos 1 unidad" (x2 - 1 = 1/49 - 1). Y sin más explicación1proca alterar las determinaciones numéricas iniciales para llegar a otro va lor del aritque esta vez es x = 512/217 y ya "podem os sustraer 1 unidad de este cuadrado"

Los elementos geom étricos de este problema hacenevidentemente imposibleque pueda restarse 1 de 1/49, pues el resultado habría de ser uno de los ladostriángulo; aunque ahora, al haber operado con números en lugar de trazar línefiguras, haya podido llegar a una situación que antes no hubiera pod ido planteaLa situación no era la misma en V.2, donde los números no lo eran de objetos eciales, pero sí se les suponía allí también ese mismo soporte sustancial que habsurda su posiblenegatividad. El número sigue siendo, como para Euclides,"multitud integrada por unidades" (monádon synkeimenon pléthos). Y ya seentienda la "multitud" en que consiste el número como compuesta de unidaarbitrarias de medida, al modo aristotélico-euclídeo, ya como com puesta de mdas indivisibles, a la manera pitagòrico-platònica, la exhuberancia de su plense impone drásticamente a cualquier posible sustantivación de unaleipsis queemerge con mucha menor potencia. La densidad de p lé th os es tan incompatiblecon la Vacuidad deleipsis como su muchedum bre lo fuera también, en la tradición pla tónica, con la unidad(monas). Si ésta no podía ser número, pues lo uno no

1 Sin explicitar en ningún momento nada parecido a "no podemos restar 1 de 1/49" — como pretenden J. Fauvel y J. Gray (19 87 :222 )— , lo cual da como por supuesto.

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puede ser muchos, tam poco puede serloleipsis, pues la ‘ausencia’ no puede estarllena. La misma interdicción se levanta para ambas,monás y leipsis. Y si la primera consigue salvarla mediante la argucia aristotélico-euclídea que consiste pensarla como unidad de medida (d ivisible en tanto que medida, aunque permnezca una en tanto se tom a com o patrón), la segunda no conseguirá encontrar osolución de compromiso que la articulada implícitamente por Diofanto: ser u

forma de es tar pero no un estado, una actividad pero no un acto, un modo de pducirse pero no un producto. No es casual que el té rm ino con que Diofanto rechaza esaleipsis sustanti

vada1— y con el que rechaza también los resultados ‘irracionales’— sea precimente el de'adynatos', qu e al tiempo que ‘imposible’ significa ‘falto de fuerzas’,‘dé bil’ o ‘impotente’. La insustancialidad de la ‘ausencia’ en que laleipsis consistees im potente ante toda la gravedad sustancial de p lé th os y dehyparxis. Tan impotente que tan pronto se tacha de ‘imposible’ (adynatos) como de ‘no decible’(ou re té) o 'ab surda ’ (átopon: ‘no ha lugar’). Aún en Diofanto, pese a su abandono dela representación espacial como condición de posibilidad, la debilidad de ‘ausencia’ para hacerse un sitio entre las ‘formas’ se corresponde con una m enor debilidad para en contrar alojamiento en el lenguaje: mal podría llegar adecible (re te) lo que em pezó form ulándose como opuesto a la misma predicabildad (hyparxis).

Los problemas de Diofanto con lo irracional(álogos) no son m enores que conlo negativo(leipsis), y el tratamiento que concede a ambos es de hecho muy seme

ja nte . También los irracionales se rechazarán como resultados, aunque sean inmedios2. Para su evitamiento avanzará análogos prosdio rismoi o, en caso dehaberlos om itido, rehará — una vez surgidos— las determinaciones iniciales. Y calificativos con que se descartan son análogos a los que usa para lanegatividad (átopon, adynatos, ou re te ). Aunque Herón no había tenido mayor inconvenienteen aceptarlos, e incluso en ensayar aproximaciones, el p le th os diofántico en queconsiste el núm ero ha de ser tan determinado (o no indefinido) como hab ía de pleno (o no negativo)3.

El rechazo de lairracionalidad-álogos se solapa así con el de lanegatividad- leipsis para constituir una segunda forma denegatividad, que podríamos llamar

negatividad imaginaria, la cual ‘se correspondería’ con las ‘raíces cuadradas denúmeros negativos’ ( aunque en la conceptualización diofántica habría de deci

1 Véanse las páginas recopilados por J. Klein (1968: 138 312,17 19; 25 0,1 4; 251, nota; 424, 12 ss.; 204,1 9 ss.; 208 ,7; 210, 1 ss.; 21 2,6 ss.; 26 4,1 2 ss., 270 ,4 6 ), de la edición de Tannery (1893 1895).

2 El problema 1V.31 parece constituir una relativa excepción. Conducido a la ecuación auxiliar 3x+l 8 = 5x2, aunque su solución es irracional la utiliza para tantear la solución de la ecuación indeter-minada de la que aquélla era una conjetura particular.

3 Concepción que dominaráhasta el Renacimiento. Asf Frater Federicus(ca. 1460): "surdusnumerus non esl num erus; nam num erus cst, quem unitas mensural" (un número sordo [i.e. irracionno es un número; pues número es aquello que la unidad mide”). O Stifel en su Arithmetica integra: "irrationalis numerus non e st uerus numerus" (el número irracional no es un verdadero número).

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propiamente ‘lado de cuadrado ausente’). Eso es lo que ocurre, p.e., en el problesiguiente.

Problema 1.27

"Encontrar dos números tales que su suma y su producto formen dos númerdados.

Es necesario en cualquier caso que el cuadrado de la semi-sum a de los númer buscados exceda en un cuadrado al producto de esos núm eros; cosa que por lo demes figurativa."

Si a y b son esos núm eros dados, y x e y los buscados, el problema planteasiguiente sistema:

x + y = a

xy = b

y eldiorismós será

[(x + y)/2]= — xy = número cuadrado

es decir

(a/2)2 — b = núm ero cuadrado •

Como las soluciones del sistema son a /2 ± 7 ( a /2 ) 2-b , la exigencia deldiorismós ga rantiza tan to que esas soluciones no sean irracionales como que no se‘imaginarias’. ,---------

Otro tanto ocurre en el Problema 1.28, que obliga a v 2 b - a a ser un númecuadrado, eludiendo simu ltáneamen te las raíces imaginarias y las irracionales.otros casos, como en los problemas 1.30, IV.9 ó 1V.31 lo que se eluden son sósoluciones irracionales.

El prob lema siguiente es el único en el que Diofanto ofrece la solución de uecuación com pleta de 3“ grado, y acaso uno de los dos únicos —jun to conVI.22— en que se elimina (aunque aquí no explícitamente) la posibilidad de raíz ‘imaginaria’:

Problem a VI. 17

"Encontrar un triángulo rectángulo cuya superficie, añadida a la hipotenusforme un cuadrado, y cuyo perímetro sea un cubo."

Tras fijar, com o de costumbre, ciertas determinaciones iniciales, llega a la ecuac

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diente de la ecuación, con el mismo término — ar i thmós — parece refo rzar estainterpretación. Su rechazo, pues, de las ‘soluciones negativas’ no puede impedienc ontrar lo que sólo tendría sentido desde una interpretación delar i thmós como‘variable’ que le es del todo ajena.

Por otra parte, eldior i smós de 1.27 termina con una expresión que puede serreveladora:"ést i dé toü to p lasm at icón", que hemos traducido — siguiendo a verEeke— por "cosa que por lo demás es figurativa". Distanciándose de Heath (19140), que lo traduce por "esto es de la naturaleza de una fórmula”, y de Tanne(1893-1895: 62), que lo hace por "esto es formativo", ver Eeke elige el térmi‘figurativo’ en el sentido de hacerse evidente mediante una ‘figura’ geométricEfectivamente, la condición que impone eldior i smós se reduce a la identidad[(x + y)/2]2 - xy = [(x-y)/2p, que equivale al enunc iado geom étrico: ‘el cuadraconstruido sobre la sem isuma de dos segm entos, menos el rectángulo que los tie por lados, es igual al cuadrado construido sobre la semid iferencia de am bos s

mentos’. Según esto, el motivo latente que excluiría la consideración de ‘raícimaginarias’ sería la interpretación geométrica que estaría Diofanto hacienimplícitamente del problema, pese a que su enunciado fuera estrictamente numrico y el modo de resolución ‘algebraico’.

Esta tensión entre un modo de pensar sustancialista, heredero de la epistemclásica griega, y otro ecléctico, quedescarga en ciertos momentos al primero(com o en la adm isión de ‘potencias’ no tridime nsionales o en la consideración fma l de la ‘falta’) de su com pulsión por lo pleno, es la que carácteriza el trabajoDiofanto. Suruptura con la tradición clásica lo esd es d e la tradición clásica, a lacual incorpora comoobstáculo en el momento mismo en que también lo supera. Eldinamismo propio de ese conservarse el obstáculo en su misma superación hem os intentado seguir en esa dimensión de lanegat iv idad que es laleipsis de Diofanto. Otras dimensiones suyas, sin embargo, permanecen tan cargadas por el padigm a clásico que se conservan en toda la plenitud que éste les legó. Tal es el cde la que hemos llamado ‘negatividad imaginaria’, con la que — como hemvisto— Diofanto ni siquiera tiene oportunidad de enfrentarse, pues — ésta sí—mantiene del todo bloqueda, sin que la incorporación de nuevos presupuestos procedimientos aporte elementos para su percepción/construcción.

Si Diofanto no tiene inconveniente en acuñar neologismos cuando el vocablario heredado no es capaz de albergar los nuevos conceptos (así,ar i thmostón para,la un idad dividida por elar i thmós o d y n amó k y b o s para la 5* ‘potencia ’), por más.que también éstos revelen su carga geom étrica, en otros casos la connotación oginal determina por completo su significado. Ese es el caso de la ‘raíz cuadradque Diofan to define — y piensa— como "lado del tetrágono [i.e. del cuadrad(p leura toü t e tragón ou) , tal y como lo define en el ‘Prefacio ’ al Libro I de\ aAr i th -

metica:

"Entre los números se encuentran especialmente: los cuadrados, formados un número multiplicado por sí mismo, el cual se llama lado del cuadrado..."

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Si la insustancialidad de lale ips is le había permitido ese efímero grado deobjetivación que la fijara por un momento en la actividad de su sustraerse, y poder pensarla como operación sometida a reglas, la ‘raíz cuadrada’ — por el trario— no es una operación a la que se somete a un núm ero sino un obrotundo: "lado del cuadrado". Así, aunque nuestra expresión V - í ya sí tiene terminología de Diofanto un significante capaz de alojarla (como ‘lado de

forma ausente cuadrada ’), se trata sin em bargo de un s ig n ifica n te vacío de sig n ificado: una forma puede ser cuadrada, una forma puede se r ausen te (le ipo nta e ide) , aunque tan sólo sea por unos breves momentos (lo que se tarda en eliminar pla ntear in ic ia lm ente un problema), una fo rm a puede ser, por tanto , cuadraausente, pero ¿qué podría ser su lado? ¿qué lado puede ser ése sobre el que vlevantarse un cuadrado que falta? Este será el nuevo obstácu lo — y ahora delimpensado por Diofanto— que la tradición clásica legue en tomo a lanegatividad. Un obstáculo que no podrá enfrentar el renacim iento de la razón griega clásilos ss. XV y XVI, pero que sí identificará y resolverá,a s u man e ra , el juego deescorzos, trampantojos y s in sen tid os que permitirá el imaginariomanier is ta definales del s. XVI. De nuevo aquí, el libre jue go de unos significantes que se libdel significado que les impone una cierta episteme será el que permita emenuevos significados y abra nuevos campo de sentido.

Sí hay un problema —el VI.22— en que, a diferencia del VI.27, Diofantve abocado a enfrentarse con raíces ‘imaginarias’. Lo sorprendente aquí es quve en ellas ninguna particularidad que las distinga de las irracionales, tratándcomo tales.

Problema V I.22

"Encontrar un triángulo rectángulo tal que su perímetro sea un cubo, y que perímetro, aumentado en la superficie del triángulo, forme un cuadrado."

Para ello, observa que:

"Antes hay que examinar el asunto de encontrar un triángulo rectángul

que, dados dos números, el perímetro del triángulo sea igual a uno de los númdados, y su superficie igual al otro número.Que los dos números sean 12 y 7, y propongamos que 12 sea el perímetro

triángulo y 7 la superficie..."

Tal y como procede el texto, una vez puestos 7 y 12, si x e y son los ladoese triángulo, será:

xy = 72

x2+ y2 = ( 1 2 -x - y ) 2

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de donde, sustituyendo y = 14/x, queda

172x = 336xJ + 24

y resolviendo esta ecuación al modo de Diofanto, resultaría

336x = 172/2 ± 7 (1 7 2 / 2 ) -2 4 -336

por lo que, a continuación, añade:

"lo que no es siempre posible si la mitad de los aritmos [172/2], m ultiplicad por s í misma,y disminuida en el número de cuadrados multiplicado por las unidade[24 • 336] no fuera un cuadrado."

y por tanto procede, com o es habitual, a revisar las determinaciones iniciales había fijado en 7 y 12.Diofanto, pues, frente al lado de un cuadrado cuya ‘superficie’ sería - 1

[=(172V/2)2 - 24 • 336] no reacc iona de m odo diferente a como lo hub iera heante uno de superficie + 167. Según manifiesta en este problema, lanegatividad ‘imaginaria’ pertenece al mismo orden de imposibilidad que la irracionalidTanto en un caso como en otro se ha visto enfrentado a lados que no pueden engdrar un cuadrado, y el que ese cuadrado sea ‘ausente’ o ‘presente’ no añade pél ninguna dificultad adicional.

Ya Herón había llegado a una situación parecida, por primera vez — al pacer— en la historia de la matem ática occidental (D. R. Green, 1976: 99). En suSte- reometrica (ca. 75 d.C.), tratando de construir una pirámide, se encuentra con lnecesidad de calcular la longitud 781 - 144 . Com o en él no se da esa resistende Diofanto a las soluciones irracionales, no cabe esperar que, como Diofahubiera hecho, rechace esa raíz por irracional. ¿Qué o tra salida podía entoncesticular? Pues no duda en in tercambiar entre sí minuendo y sustraendo y proceasí al cálculo de 7 l4 4 - 81, que aproxima mediante 7 + 15/16. Ante lanegatividad

‘imaginaria’ la epistem e clásica no parece ofrecer, por tanto, otra alternativa quirracionalidad (Diofanto) o el error (Herón); si bien éste, como enseñó a apreBachelard, siguiendo a Freud, no deja ser también significativo.

Precisar que Herón procede así porque es "antinatural e irreal restar 144 81", com o suele suponerse en estos casos (S. Lal, 1986: 35), es confinar la natlidad y la realidad a la construcción que de ellas hace un cierto modo de pensareste caso, el moderno). Y, de paso, condenar implícitamente a la irrealidad a oepistemes — como la que soporta la matemática fa ngcheng — cuya form a de racionalidad no duda en restar 144 de 81 con la misma ‘naturalidad’ con que restade 144. Sí parece significativo, por el contrario, en el intento fallido de Herón, en primer lugar, estuviera en condiciones de poder resolver ‘mal’ el problemadecir, de ver que ahí había un p roblema (lo que no podía ver la matem ática clás

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cluir— como ‘formas faltantes’ o ‘formas ausentes’( le ípom a e ide) . La reflexiónen tomo a lanegat iv idad deriva así, en diferentes ámbitos intelectuales, de unamisma presión que unos nuevos objetos de reflexión (procedentes de tradicionorientales en las que ellógos no decidía el criterio último de existencia) ejercensobre una episteme ajena a ellos pero que intenta incorporarlos a su específforma de razón.

En una última vuelta de tuerca a aquel dilema parm enídeo del que arrancanuestro estudio de lanegat iv idad griega, Plotino ( E n n ea das. VI, 9, 3 [9]) carácte-riza al Uno po r su carencia, por su puro no ser, por la ausencia en él de toda foro esencia, es la ‘forma ausente’ por excelencia:

"La maravilla, anterior a la inteligencia, es el Uno, que es no ser(me ón)'.

Si del Uno pudiera decirse ‘es esto’ o ‘es aquello’, el Uno quedaría "prisnero" de las determ inaciones que al sujeto aportan los predicados; por lo que "dser de manera que el Uno no sea aquí el predicado de otra cosa; no tiene, a deverdad, ningún nombre verdadero"1. El Uno, de la misma manera que el resultde la acción delleipd diofántico (laleipsis ‘com o producto’), rebasa el ám bito dellógos para adentrarse en el re ino de lo indecible , de loou rete , ante el cual tam biénDiofanto se sentía imposibilitado para seguir hablando — es decir, haciendo mamáticas, en particular— y se veía forzado a volver sobre sus pasos para orientade nuevo hacia una ‘solución positiva’ o ‘decible’, esto es, hacia una soluciósecas. A diferencia del discurso clásico, que no podía niverla, tanto los ma temá

ticos como los filósofos de este periodo s í topan con lanegat iv idad, y hacen de ellaobjeto — y ob jeto central — de su discurso. A unque ciertamente, herederos ta bién ambos discursos de los presupuesto s de aquel otro, una vez que la entrevreaccionan con el mismo gesto: expulsándola de todo discurso posible.

Sólo fuera del lenguaje puede Plotino garantizar que algo se libre de qued su je to a los límites que en su tom o inmediatam ente vienen a poner los pred icadoSólo m ás allá de lo decible puede asegurarse la ausencia — en el Uno — de foo esencia, esto es, de determinación, sin que por ello quede excluida su ex isten

1 E. Bréhier (1919: 450). Seguimos aquí su excelente análisis que, aún prescindiendo por com -pleto del discurso matemático, se centra precisamente en aquellos temas y procedimientos nuevos incorporados por el pensamiento neoplatónico que son también los que perfilan la novedad —y los límites— de la matemática diofántica: la negación como ausencia de determinación pero no por ello determinante de inexistencia, la posible idea de la nada, o la suposición de direccionalidad y revers-ibilidad en la procesión de las hipósiasis del uno (y, paralelamente, en la procesión de la serie numérica).

‘ Habría que precisar que esto es rigurosamente cierto para una lengua que — como la griega— se construye sobre la estructura fundamental determinada por la cadena sujeto verbo predicado, lo

que no ocurre necesariamente en toda lengua ni, por tanto, en toda matemática. Tal es el caso de la china, que no comparte, como vimos, este tipo de dificultades con la dccibitidad de lanegatividad. Pero, como no puede ser de otro modo, esen griego como P lotino hace teología y Diofanto matemáti-cas.

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y pueda incluso ponerse como principio radical. Plotino inaugura así una ‘teolonegativa’ que recogerán tanto las vertientes paganas como cristianas del neoplanismo: "Del Uno, decimos lo que no es, no decimos lo que es" ( E nn ead as, V, 3 ,1 4[48]). Pero este ‘no-ser’ es también carácterístico de la materia, también ella pvada de cualquier determinación concreta, lo cual define otra orientación encadena de abstracciones que conducen al no-ser: el Uno estám ás a l lá del ser, así

com o la nada estámás acá del ser. Por eso su no-ser está preñado de necesidad dedeterminación, de anhelo por acceder al ser. Así, sólo entre dos nadas, es todoque es: con-vergiendo desde la nada insostenible de la materia sin forma hacianada del Uno, y pro-cediendo en tonces de ésta todo cuanto va accediendo a serdeterminación progresiva. Con lo cual, observa Bréhier (p. 553), "llegamos a noción extraña al intelectualism o estático de los idealistas helenos; es la nocióndirección, lo que el neoplatonismo ha llamado procesión y conversión".

A diferencia de la direccionalidad peripatética (teleológica, orientada a cocluir en lo que ya estaba dado desde el principio), la direccionalidad plotinianareversible: la multitud se des-pliega desde el origen y vuelve a re-plegarse en éDe modo en todo análogo a como la multitud en que consiste el número se d pliega indefinidamente a part ir del uno (su form ación se extiende al infinito, dDiofanto al comienzo del ‘Prefacio’ al Libro I de la A rith m etica ), y se repliega enél de nuevo al ir dism inuyendo los denom inadores de las fracciones en que el se había partido.

Nada

Los dos sentidos marcados por una direccionalidad reversible son la clave otras interpretaciones de lanegat iv idad, bien sea bajo la form a de una doble orientación geom étrica en tom o a un origen (que se hará posible por el cam bio en la cepción del e spacio que se m anifestará en los ejes coordenados a partir del s. Xeuropeo), bien bajo las formas aritméticas o simbólicas que hemos observadoChina, o bien — sencillamente— bajo la mera composición escrita egipcia, dola orientación de las dos piernas andantes (que significan la suma y la resta de ctidades) es opuesta según se quiera indicar una operación u otra. El neoplatonis

introduce un elemento de reversibilidad direccional que ciertamente es extrañmodo de pensar griego, pero de ah í tampoco llega a emerger una forma propianega t iv idad porque la nueva inserc ión se ve fo rzada a mantenerse dentro del cercde ese modo de pensar tanto como le fuerza a éste a acogerla en su seno.

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Efectivam ente, la identificación neoplatónica de la ‘na da’ o el ‘no -ser’ conUno obliga a que el doble movimiento de despliegue/repliegue ocurra todo él dtro del ámbito de la positividad. Sea po r descenso positivo (progresiva determción), sea por ascenso negativo (sucesión de residuos o abstractos), es el se r ptivo el que gana o pierde atributos en su extenderse/contraerse entre la nada ynada. El uno — y no un ‘cero’ impensable — es el elem ento fronterizo sobrque pivota toda posible contracción/distensión de lo múltiple, que así flotamedio de una nada que, com o frontera, lo circunda por doquier. Por decirlo enminos algebraicos modernos, es el grupo multiplicativo de los racionales positicon el uno como elem ento neutro, la estructura formal que subyace a — y refen las matemáticas de su tiempo — la especulación neoplatónica:

. . . 4 3 2 1 1/2 1/3 1 /4 . ..

Una especulación que está bien lejos de poder reflejarse en una estructuraalgún modo análoga al grupo aditivo de los enteros, con el cero como elemeneutro:

... + 4 + 3 + 2 + 1 0 - 1 - 2 - 3 - 4 . . .

que es la estructura propia del álgebra zh eng/fu.Para acercarse a ésta, hab ría sido necesaria una concepción del ‘nó ser’

lo situase como gozne de determinacionesopuestas, y no en el vértice de un projceso de abstracción(aphai resis) progresiva al que se llega por sustracción (aphairesis) sucesiva de determinaciones, como ocurre en un neoplatonismo que, inclen su teología negativa más radical, sigue siendo deudor de la plenitud de lasmas, por más que, com o en D iofanto, tales formas se piensen ausentes.

Con Proclo la potencia de la negatividad alcanza el m áximo punto con q perm ite pensarla la tradic ión helena. A diferencia de la preocupación explícmente religiosa que anim aba a P lotino, sus razones son propiam ente metafísy lógicas. En él la negatividad, lejos de esa cierta impotencia a que la conden

el no poder decirse sino como el ‘esto no es aquello’ plotiniano, irrumpe auténtica fuerza generadora. Una vez establecido que "es más bello, como hPlatón, atenerse a las negaciones"(In Parmenides: 1108:19), Proclo se plantea elvalor de conocimiento de las proposiciones negativas. Atendiendo a la cualilógica de la proposición, sin duda "la negación es una privación y la afirmaces la presencia de una forma". Pero si nos centramos en las carácterísticas sujeto de la proposición, éste puede definirse por sus cualidades positivas —cuyo caso la afirmación se impone sobre la negac ión— o bien puede no serle tinente ningúna atribución positiva — caso en el que ni la afirm ación ni la n

ción le convienen— . Así, si el ponerse com o sujeto es quedar prisionero de esencia o forma (la que de él se predica), para éste m encionado sujeto no-posi — que Proclo llamará el Prim ero— la inconveniencia de la afirm ación es rupde la sujección a cualquier esencia; y la predicación negativa respecto de é

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tran, de modo ejemplar, los inmutables matemáticos— , mediante los que aspsosegar el vértigo del aniquilam iento a que todo está abocado. Por eso, la aspción griega a laepistéme, a un saber incontrovertible que ‘está’ (-stéme), quieto,‘sobre’ (epí •) todo lo que sobreviene desde la nada, tiene un propósito terapéutiuna m otivación religiosa: laepistéme es un saber de salvación. Pero esta función

de laepistéme se volverá contra sí misma. Los inm utables libran al hombre deamenaza del devenir en la precisa m edida en que lo niegan, lo que supone "la nción de la evidencia de todas las evidencias" del hom bre griego. La otra cara erección de los inm utable será así la de su necesaria destrucción sistemática, lamanente crítica con que occiden te, negándose, se afirma a sí mismo.

Un segundo m ecanism o de defensa se dispara en la voluntad de poder, eafán de dom inio del hom bre sobre las cosas y su devenir, en el espíritu de prsión. Pero también aquí el remedio es peor que la enfermedad, pues el terrordesp ierta la voluntad de dom inio se hace m ayor que el que alentara el deven i pre tendía aplacar. La evolución de la ciencia expresa a la perfección la im potede la voluntad de poder: el angustioso sosiego que provocan sus rígidos detenismos universales llevarán a la ciencia a abrirse a la m era probabilidad, localrelatividad y transitoriedad de sus propias explicaciones. Hasta aquí, la tesiSeverino parece ser jus to la opuesta a la que hasta aquí hemos mantenido: noel m odo de pensar griego establezca una distancia insalvable entre el ser y la ncero/magnitudes negativas (que haría impensable estos últimos contenidos) que ser y nada coinciden. Pe ro am bas tesis se reconcilian mediante la explicit

del tercer me canismo citado , que el pensador italiano m enciona como de pasaque, sin embargo, se nos antoja decisivo. Este otro mecanismo de defensa sume, negándolos, a los dos anteriores. La insoportable creenc ia en que las cson nada sólo puede sobrellevarse afirmando hasta la exasperación su contrque la distancia entre lo que es (los entes) y nada es absoluta:

"El nihilismo es el inconsciente de Occidente, el inconsciente que se expren forma inversa en los diferentes modos con los que Occidenterechaza la identificación del ente y la nada; y sobre todo se expresa en esa forma de rechazo de la n

dad del ente que se denom ina ‘principio de contradicción ’. (...) Es justam ente emodo con el que la cultura occidental afirma la oposición del ente a la nada, es ju stamente, donde se esconde la extrem a locura, esto es, la persuasión implíinconsciente, de que el ente es nada." (1991:166)

Es precisamente porque el griego está íntimam ente convencido de que eles nada (y, en esto, la creaciónex nihilo del cristianismo no viene sino a reforzaresa creencia) por lo que pone todo su empeño en negarlo. Ahí se cifra la vehecia con que el pensamiento griego abomina de cualquier forma denegatividad,

cuando ésta se le llega a presentar de algún modo, o bien construye todo un de interdicciones que hagan imposible su percepción. Las cosas se piensan erotunda positividad y plenitud, a una distancia insalvab le de loápeiron o lokenón, del mismo modo que el número se piensa en su no menos rotunda positividad y

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ple nitud, a una distancia insalvable de lomédén y looudén. Los entes, como losnúmeros, oscilan entre el Uno y el cero, sin alcanzarlos nunca, sin saber bien qhacer con el primero (C.V. Jones, 1978) y sin posibilidad dé percibir nada qu pueda asem eja rse al segundo. Del Uno diverge — por multip licación— hacia ápeiron la procesión de los enteros positivos', al Uno converge —por fraccionamiento— desde loápeiron — la procesión de las fracciones positivas — . En losextremos el griego oc u lta— y se oculta— lo impensable, lo indecible: el tabú denegatividad. Algo como un cero o unas magnitudes negativas no cabe en suepis- téme porque ello sería tanto como instalar la angustia de la nada en el cie lo de lfortnas inmutables, en ese refugio que se ha construido y donde las matemáticofrecen un abrigo ejemplar. Muchas civilizaciones han prescindido de lo que hllamaríamos un cero, casi ninguna ha construido unos números negativos, pesólo la greco-europea se ha acorazado contra ambos, sólo ella se ha defendido cuñas y dientes — mediante principios primeros com o el de no-contradicción o

del tercero excluido— contra la posibilidad de tránsito o mediación entre el sela nada, entre el número y el cero, entre la positividad y lanegatividad.

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ConclusionesToda conclusión queda determinada por los pre-supuestos de los que pa

una investigación, por lo que — de algún modo— está ya implícita en ellos. Si era una de las principales hipótesis que nos proponíam os contrastar en un ámque se suele suponer tan poco perm eable a presupuestos externos como es el d

investigación matemática, justo es que la reconozcamos satisfecha tambiénnuestra mism a investigación. Así, estas conclusiones no pueden sino prolongahipótesis que en un com ienzo esbozábam os.

a) En cada uno de los tres ámbitos culturales seleccionados (el de la Greclásica, el de la China de los Han y el del último alejandrinismo), los respectimaginarios sociales orientan maneras de hacer matemáticas que son irreductientre sí y llegan a determinar radicalmente los propios contenidos del trabajo mmático. Sólo desde un imaginario como el moderno imaginario ilustrado pue por tanto, habla rse de sucesivos grados de progreso en el descubrimiento o cotrucción de unos objetos m atem áticos — como los supuestos ‘números nega tivel ‘cero’ o el espacio de represen tación— que gozaran de alguna suerte de idedad previa o exterior. H ay tan tas m atemáticas como formas de pensar y de haen las que los diferentes imaginarios sociales se expresan y se comprenden mismos. .

b) En la China ya anterior a los Han, la negatividad emerge en té rm inosoposiciones respecto de un centro o hueco; y encontramos diversas form alizanes suyas proliferando, de un m odonatural, tanto en la práctica m atem ática comoen construcciones cosmogónicas, explicaciones míticas o técnicas adivinatorEstasnegatividades formales (no todas estrictamente m atemáticas) se manifiestadeterminadas por: i) ciertos com plejos simbólicos, como el que se anuda en toa la tem a yinJyang/dao, que dispone a su razón a operar en términos de oposiciones que pivotan sobre un ‘hueco’ que actúa como ‘quicio’ o ‘centro’ en tomcual las oposiciones se equilibran; ii) una concepción cualitativa y simbólicaespacio de representación, que distinguelugares (lugares que así significan) y sehace solidario con el tiem po; iii) ciertos procesos de racionalización asociados

singularidad de su lengua (evocación frente a definición, simetría e inversión fra linealidad...) y las connotaciones que los términos técnicos arrastran de su sificado en el lenguaje ordina rio; iv) un m odo de pensar que descansa en los crite pre-lógicos ‘de oposic ió n’ y ‘de equivalencia’.

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c) En el extremo opuesto, en la Grecia clásica, cuantos cam inos posib para una construcción de lanegatividad hemos escrutado resultan bloquear suemergencia; és ta nunca llega a adquirir la suficienteentidad com o para siquiera sersusceptible de verse rechazada. A quí no es un criterio básico de oposición sino de ‘determ inación ’ el que orienta el pensamiento. En el ámbito de la oposición prim acía de oposic iones del tipo ‘ser/no-ser’ o ‘determ inado/indeterm inado’ s

sum irá lo que en China son determinaciones negativas en el caos indistinto dindeterminación: lo vacío como no-ser dibuja en Grecia la frontera de lo impe ble , mientras que para la episteme — y la matemática— china juega el papegozne que articula las determinaciones opuestas. Otros dos factores que contryen a conduc ir esta matem ática por desarrollos ajenos a una forma propia denegatividad son: uno, una reflexión teórica sobre el número, en términos de ‘multitdeterm inada de unidades’, que exigiránaturalmente un espacio de representaciónconcebido como extensión delimitada; el otro, una manera de pensar fundada procesos de abstracción e im bricación de géneros y especies (diferencia específica). L a exigencia de un sustrato del que sustraer o diferenciar pondrá así en lasustracción o diferencia el límite griego para lanegatividad, com o en China la exigencia de oposición lo que ponía era un punto de arranque.

d) Tanto en un caso como en otro, lo que se decide com o posible o imposigoza de una estabilidad que le viene dada por la estabilidad de sus respectivos pdigm as de conocimiento y estructuras socioculturales. Muy diferente es la situasocial e intelectual del alejandrinismo tardío en que se hacen las matemáticaDiofanto. Aquí nos encontramos con un im aginario m estizo e inestable, en el qu

saber — y, en particular, lanegatividad — se construye a tientas, y se rechaza encierto sentido lo que se asume en otros. La matemática alejandrina —y, en partlar, la de Diofanto— construye la que podríamos llamar propiamente primera fooccidental denegatividad. Y lo hace en un m om ento de decadencia del ideal matemático aristotélico-euclídeo y de incorporación ecléc tica de otras tradiciones mmáticas relegadas (egipcia, babilónica, pitagórica, logística). Su construcción dnegatividad en ese momento singular, tanto le permite emergercontra el anteriormodelo dom inante como le obliga a hacerlodesde él: antes que de la formalización,com o en China, de un juego de oposiciones, surge de tratar de pensar matemámente una ‘ausencia’ (casi impensable en la tradición clásica) que no se deja tantivar ni en los datos ni en los resultados de los problemas, sino tan sólo —como unlapsus — en el efímero discurrir de las operaciones interm edias.

e) Así, las principales diferencias entre las matrices fundam entales de imaginarios griego y chino son: i) pensar por abstracción (aphairesis ) y de-terminación, en términos de géneros y espec ies, vs. pensar por analogía, sim etría o evalencias; ii) asumir principios como el de identidad o no-contradicción co princip io s primeros (tanto del ser como del pensar) vs. una matriz preconcepque pre-dispone (la realidad y el pensamiento) según criterios de alternanciacontrarios y oposiciones en tom o aun un hueco(wu) o centro; iii)suponer unespacio (y, en particular, un espacio de representac ión) que es extensión de-lim itadav j .

un espacio simbólico marcado por la oposición, en el que los lugares signific

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esto es, un espacio extensovs. un espacio tenso; iv) lanegatividad se ve así obligada a pensarse, en una tradición, en términos de sustracción(aphai resis) y del posible sentido de expresiones como ‘nada’, ‘menos que nada’, ‘lado de un cdrado de superficie menor que nada’, ‘sustraer una magnitud mayor de una m enetc., mientras que, desde la otra tradición, se piensa en términos de opuestos aculados en tom o a un qu icio que, rigiendo su enfrentamiento, rige también su alación recíproca(jin).

f) La razón de estas diferencias radicales la encontramos en las que obsvamos entre sus respectivos modos de pensar (construir conceptos, razonamienmétodos y técnicas), que a su vez arraigan en sus respectivos imaginarios sociaese entramado de nudos simbólicos, articulaciones lingüísticas, recursos instmentales y esquemas pre-concep tuales que en cada cultura resultan convocadofocalizar un problema para el que sus saberes instituidos —y, en particular, ma temática— aún no tienen respuesta.

Este anclaje en lo simbó lico de la actividad ma temática actúa — al menoslas emergencias de lanegatividad aquí investigadas— no de un modo ‘externo ’,sino íntimam ente ligado a sus procesos más propios: técnicas de cálculo, estruración del espacio de representación, supuestos de rigor demostrativo y operatoconstrucción lingüística de sus conceptos y expresiones matemáticas, modosargumentación, criterios para la asunción o rechazo de ciertos datos com o datode ciertas soluciones como soluciones, etc.

g) El entrelazam iento de distintos enfoques disciplinarios y metodológic(sean antropológicos, sociológicos, lingüísticos, filosóficos o estrictamente m

máticos), aunque pueda haber sido fuente de algunas imprecisiones, ha permiestablecer vínculos, rupturas o bifurcaciones que sin su concurso hubieran pasdesapercibidos. M ás allá de la renuncia a dar otra razón de las emergencias mmáticas que no sea la de su supuesto universal dinamismo, pero más acá de eexplicaciones externas que apenas alcanzan el interior de las construcciones mmáticas concretas (una y otras consideradas en un primer capítulo), el modoacercamiento que aquí hem os ensayado parece revelarse útil para dar razón simtánea de su íntimo irse haciendo y de cóm o en ese hacerse se entreteje con odiscursos y prácticas sociales.

En particular, la voluntaria imprecisión inicial de la categoría central de eestudio (la que llamábam os ‘negatividad') se ha revelado bien útil pues, al no ceñirestrictamente el campo de investigación a los ‘antececedentes’ de unos idea‘números negativos’, ha permitido establecer conexiones —y fracturas— enobjetos teóricos, campos del saber, niveles de discurso y técnicas matemáticas en un principio, no parecían mantener relación inmediata alguna; unas conexio — y fracturas— que, al cabo, han ido atribuyendo sentidos no evidentes a los mentos así relacionados.

h) La inexistencia de un estudio global, siquiera fuera meramente descrtivo, sobre la historia de los ‘números negativos’ o ‘imaginarios’, si bien nosobligado a empezar por el principio (reconstrucción de los ‘hechos’, indagacioinfructuosas...) también nos ha brindado la ocasión de empezar por el principi

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directamente a los textos, carecer de una elemental pre-visión de lo que pudesperarse de e llos, extraviamos en indagaciones directamente inútiles pero qucabo, daban en aportar otras perspectivas y sentidos... Muchos factores han teque ir quedando al margen o meramente apuntados: sean las conexiones con osaberes co-incidentes con los estudiados (en particular, algunos saberes sobrnaturaleza y ciertos aspectos de las construcciones lógicas respectivas), sea ellisis comparativo con otros ámbitos culturales (en especial, el tratamiento dnegatividad en la India y, dentro de la tradición europea, en el manierismo prenacentista, en el racionalismo y en la Ilustración). De haberse podido extenellos esta investigación, seguramente algunas de estas conclusiones se habvisto reformuladas; ¿ntiéndanse, pues, como unas conclusiones necesariaminconclusas.

El mito de la razón enterró la razón de los m itos. Al cabo, el propio m itola razón ha dado en devorarse a sí mismo destruyendo los ilusorios refugios q

hab ía erigido. En nuestros días, tan sólo las matem áticas parecen resistir al gedescrédito. En su pretendida pureza, necesidad y universalidad se alberga la ú posibil idad de un saber absoluto , digno de fe: saber de sa lvación. Entre nosolas matem áticas son el último nom bre del destino, de lo que necesariamente hser y no puede ser de otra manera. Contra este postrera creencia de la modernse ha levantado este libro. A través del estudio minucioso de las matemáticairreductibles entre sí— de tres culturas distintas (la china an tigua, la griega cláy la del alejandrinism o tardío), hemos querido m ostrar cóm o tampoco las matticas están p or encim a de las gentes concretas, de sus diferentes p rejuicios, tay ensoñaciones. A la postre, las matemáticas hunden sus raíces en los mismagmas simbólicos en que se alimentan los mitos que aspiraba a desplazar. Cm atem ática echa sus raíces en los distintos im aginarios colectivos y se constal hilo de los conflictos que se desatan entre los varios modos de representar/intar esa ilusión qu e cada cu ltura llama realidad. La desm itificación de las matticas que ha animado estas páginas niega así los nuevos nombres del destinotiempo que afirma otros modos posibles de realidad .//

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Epñogo

Mussil y Stendhal:Razones para no entender

Hay dos relatos, ambos significativamente autobiográficos, que narran senencuentros juven iles con la que hemos llamadonegatividad matem ática. Aunqueseparados por casi un siglo de distancia, en ambos se palpa la misma exultadesazón produc ida al topar con una m atemática que, de repente, se muestraviva, precisam ente en dos de sus principales form as denegatividad: los ‘números imaginarios’ , cuya imposibilidad tanto excita al joven Torless/Musil, y las ‘cantidanegativas’, que llenan de desconcierto al bachiller Brulard/Stendhal.

A am bos jóvene s frustró por igual la decepcionante respuesta de sus resptivos maestros y, para ambos, esos ‘entes imposibles’ siguieron vivos en la fo

de deseo de saber no satisfecho. Análogas excitación, desazón y frustración ac pañaron también nuestro encuentro con esos ‘centauros onto lógicos’, como calificó L eibniz. Pero, a diferencia de ellos, acaso por haber sufrido el enconnazo en días menos necesitados de verdades absolutas, nosotros hemos procuraliviar la desazón evitando esmeradamente matar al agente, como intuyendo cualqu ier ‘respuesta verdadera’ a las ficciones ‘«P -I ’ y ‘menos por menos igualm as’ acabaría asimismo con la vivacidad que, gracias a ellas, aquellos dos adocentes hab ían descubierto en ese "helado museo de formas petrificadas” que e para ambos, como también para Sábato, las matemáticas. Intuim os, por el con

rio, en esa singular vitalidad un signo cuyo rastro, a través de las épocas, las curas y los diferentes modos de pensar, tanto podía decir de éstos como de la practividad matem ática. Aunque el precio fuera instalarse en la desazón, en la mtiplicación incluso de las diferentes desazones que lanegatividad matem ática haido provocando. Pues en e sa diferencia en los modos de desazón intelectual se filaba un instrumento privilegiado de conocimiento. No nos interesaba yamuerte del problema enla respuesta, sino su vida en el entramado de preguntas yrespuestas que en su tomo los hombres se han dado y que, presumiblementeseguirán dando.

En los dos relatos, por otra parte, se apuntan algunos de los principales s ínmas de cuyo sentido — sus diversos sentidos— se ha propuesto dar razón este edio, lo que perm ite aprovechar doblemente la longitud de su cita. Así se atribuel joven Tórless:

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' "Duran te la clase de matemáti cas TOrless conci bió un súbit o pensamiento. (...)Al t ermi nar la clase se sentó junt o a Beineberg, porque era el úni co con quien podíahablar de semejante cosa.

— Dime, ¿entendi ste bi en todo eso?- ¿ Q u é ? — Ese asunto de las cant idades imagi nari as. — Sí, no es t an di f ícil . Lo único que hay que tener presente es que la raíz cua

drada de menos uno es la unidad de cálculo. — De eso preci samente se trata. Tal cosa no exi ste. Todo número , ya sea posi

ti vo, ya sea negati vo, da como resultado, si se lo eleva al cuadrado , algo posit ivo. Poreso no puede haber ningún número real que sea la raíz cuadrada de un número negativo.

— Complet amente cierto. Pero, ¿por qué, de t odos modos, no habría de int entarse apl icar también a un número negati vo la operación de la raíz cuadrada? Desdeluego que el resultado no puede tener ningún valor real; por eso el resultado sellama imaginario. Es como cuando uno dice: aquí, antes, siempre se sentaba

alguien; pongámosle entonces también hoy una sill a. Y aun cuando la persona hayamuerto, obramos como si todavía pudiera acudi r a nosotros.

— Pero, ¿cómo puede hacerse t al cosa, cuando se sabe, con toda precisión, quees imposible?

— A pesar de ello se hace precisament e como si fuera posible. Quizá puedaobtenerse algún resultado. ¿Y qué otra cosa ocurre, a fin de cuentas, con las canti dades irracionales? Una división que nunca termina, una fracción cuyo valor nuncapuedes agotar, aun cuando te pases la vida haciendo l a operación. ¿Y qué piensas delas líneas paralelas, que se cort an en el inf init o? Creo que no habría matemáticas si

pretendiésemos saberlo t odo tan a conciencia y exactamente. — En eso tienes razón. Cuan do uno considera las cosas así, todo parece bastante correcto; pero lo curioso está precisamente en que se pueden hacer cálculos reales con semejantes valores imaginarios, que de alguna manera son imposibles.

— Sí, y para el lo los factores imaginari os deben anul arse recíprocamente en elcurso de la operación.

— Sí, sí, todo lo que dices lo sé muy bi en; pero de todos modos, ¿no queda algomuy extraño? ¿Cómo podría decirlo? Imagínate sólo esto: en una de esas operaciones al pr incip io hay números, por decirl o así, completamente sólidos. Una medidade longit ud o de peso, o algo que podamos representamos de manera concreta. Y que

por lo menos son números reales. Al terminar la operación son también números reales; pero esos dos extremos, el comienzo y el final, están ligados por algo que noexiste. ¿No es acaso com o un puente que sólo ti ene pilares a una y ot ra ori ll a, y que,a pesar de ell o, puede uno atravesar como si los tuviera en todo el recorr ido? Operaciones de esa naturaleza me dan vért igo. Son como un t rozo de camino que va Dio ssabe adónde. Pero lo que me parece inquietante es la fuerza que hay en esas operaciones, y el hecho de que uno pueda ll egar con seguridad al ot ro lado.

Beineberg sonrió i rónicamente. — Hablas ya casi como nuestro catequista. (.. .) Por lo demás, me interesan muy

poco todas esas cosas. — Yo pensaba que, por el contrari o, debían interesarte; po r lo menos pensé

inmediatamente en tí porque esto (si verdaderamente es tan inexpl icable ) viene a sercasi una confirmación de tus creencias.

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— ¿Por qué no iba a ser inexplicable? Considero muy posible que aquílos inventores de las matemáticas hayan dado un traspiés. Porque, en efecto, ¿por quéaquello que estámás allá de nuestro entendimiento no podría permitirse gastarle precisam ente semejante broma al en tendim iento? Pero la cuestión no me preocumucho, pues sé que todas esas cosas no conducen a nada.

El mismo día Türless manifestó al profesor de matemáticas su deseo de ir

verle a su casa (...). Sentía ahora un respeto com pletamente nuevo por las matemácas que, habiéndole parecido antes una disciplina muerta, de improviso se le habconvertido en algo vivo.

(...) Advirtió que el profeso r llevaba un par de bastos calcetines blancos de lay que, además, el borde de los pantalones estaba ennegrecido por el betún de los bones. El pañuelo, en cam bio, era de un blanco resplandeciente y la corbata, si bien pfectamente anudada, era de abigarrados colores, como los de una paleta de pint

— Su preocupación demuestra seriedad. Realmente..., pero no es tan sencildarle la explicación que usted desea. (...) No sé cóm o seimagina usted esas cosas;lo que estámás allá de los estrictos límites del entendimiento es algo muy especial.(...) Pero en lo tocante a las matemáticas, (...) es absolutamente seguro que se trde una cuestiónsólo natural y matemática. (...) Además, no tenemos tiempo. Sepausted que me doy cuenta de que, por ejemplo, esos valores numéricosimaginarios, que realmente no existen, son un hueso duro de pelar para cualquier estudiante

joven. (...) Afo rtunadam en te sólo muy pocos sien ten verdadera curiosidad por escosas; pero cuando viene uno, como usted hoy (aunque, como ya le dije, me ha co placido mucho), a plantear estas cuestiones, entonces lo único que puedo decirle Querido amigo,aquí no cabe otra cosa que creer.”1

Menos arrebatado, más pragmático, no por el lo el estudiante Brulard persguía con m enor vehem encia una razón verdadera , una razón que qued ará no m enfrustrada:

"Cuanto más despreciaba a mis maestros, M. Dupuy y M. Chabert, más amalas matemáticas. (...) A mi entender, la hipocresía era imposible en matemáticas pensaba, en mi sim plicidad juvenil, que ocurría lo mismo con todas las c iencias aque había oído decir que se aplicaban las matemáticas. Cuál no sería mi desconcie

cuando vi que nadie podía explicarme que menos por menos da más ( - x - = +). (Ude las bases fundamentales de la ciencia llamada ‘álgebra’).

Había algo peor que no explicarme esta dificultad (que seguramente es expcable, pues conduce a la verdad): me lo explicaban con razones evidentem en poco claras para quienes me lo enseñaban.

M. Chabert, acosado por mí, se embarullaba, repetía su ‘lección’, precisamenaquélla a la cual ponía yo objeciones, y acababa por desentenderse como dicien«Pero sies la costumbre; todo el mundo admite esta explicación. Euler y Lagrange,que creo que valían tanto como usted, la han admitido (...)».

1 R. Musil , Las tribulaciones del estudiante TOrless, Scix Ban al, Barcelona, 1985, pp. 108 114. Las cursivas son nuestras. '

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tracciones textuales... que hace de esas dificultades un instrumento privilegimediante el que ir explorando las movedizas orillas donde nuestra cultura detiene ante el océano de lo que ella misma construye com o su propia imposibdad.

Ni Stendhal ni Musil descollaron por sus aportaciones matemáticas, aunqel francés se interesara por la lógica a través de su lectura de los ‘ideólogos’ yaustríaco iniciara con su súbita pasión por las m atem áticas esa magnífica indación de lo posible que es El hombre sin atributos, al margen de que también selicenciara en ingeniería tras abandonar, como Stendhal, la carrera militar. Perom atemático profesional no es mucho menos ingenuo que nuestros dos aficionacuando, como ellos, se enfrenta a situaciones paradójicas o carentes de una cceptualización inequívoca. En momentos así también él recurre a intuicioextraídas de susentido común, a las analogías que se le antojan más ilustrativas, aexplotar las connotaciones latentes en su lengua materna... Los continuos desl

mientos sem ánticos que, a p ropósito de lanegatividad, ocurren en unos y otros seirán repitiendo , con significativas variantes, en los m ejores m atemáticos de las diversas épocas.

Oposicione s com o ‘real/imag inario’ o ‘positivo/negativo’ tan pronto se rerirán, en su búsqueda analógica de algún tipo de sentido, a objetos matemátitratados más o menos formalmente (‘cantidades reales / cantidades imaginario ‘núm eros positivos / núm eros negativos’, cua lquiera que sea el significado tales concep tos puedan tener en un momento dado) com o a objetos de experiecomún desc ritos literariam ente (‘seres reales / seres im aginarios’ o ‘algo extente / algo inexistente’). Cuando no ocurre que la analogía con-funde ambtipos de discurso, matemático y literario, y cada uno de los polos de cualquide los pares anteriores toma referentes pertenecientes a ámbitos heterogéneosrealidad (‘seres reales /números imaginarios’,‘magnitudes positivastalgo inexistente’, etc.).

Beineberg, el ambiguo compañero de Torless, intenta tranquilizarle, com ienzo del diálogo, asem ejando la pareja matem ática ‘valor real / resultado iginario’ con la oposición literaria ‘aquí-antes-alguien / como si’. La analogía bien precisa. Al prim er té rm ino del p a r— ‘valor real’— se le hace correspondeya con un ob jeto material sino, más aún, con una serie de partículas deícticas o sentativas — ‘aquí’, ‘an tes’, ‘alguien’— con el m arcado fin retórico de cargar un efec to de realidad a los puramente matem áticos ‘valores reales’. Frente a elos ‘resultados imaginarios’ se asocian implícitamente con lo que se opone a t posib ilidad deíc tica o de mostración (deixis), indicando así su imposible referenciaem pírica; y, exp lícitame nte, se hacen corresponder con con un ‘com o si’ ("comtodavía pudiera acudir a nosotros"), partícula que marca, por antonom asia, lacionalidad.

Porque Henry Brulard también lo percibe así es por lo que está plename justif ic ada su atribución de este tipo de ‘razones poco claras’ a ‘diversas com edque él vive com o ‘un eng año’ en el corazón mismo de un discurso, el m atemátdel que esperaba le llevara derechamente a ‘la verdad’. El carácter ficti

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mediante el que se quiere hacer creíble y mostrable lanegatividad se extiende asíal propio proceso de argum entación o demostración (tambiéndeixis para la tradición griega), confiriendo al hacer matemático en su totalidad los rasgos de una obde ficción, de una comedia, en la que la necesidad que parecía seguirse de sus rigrosas dem ostraciones se revela como un mero efecto retórico destinado a persuadal lector oyen te1. Ese em peño en hacerrazonable el discurso m atemático es el que

desliza en él toda una serie de recursos literarios que le impiden asum ir que frasdel tipo *- x - = + ’ o ‘raíz cuadrada de menos uno’, al igual precisam ente que "lfrases de que se compone el discurso literario, no tienen referente: se manifiestacomo expresamente Acciónales y el problema de su «verdad» no tiene sentido" No es de extrañar que el ‘engaño’ de los ‘números im aginarios’ se acepte por pmera vez en pleno auge manierista de lostrompe-l’oeil, monstruososgrutescos yarquitecturas imposibles.

En otras ocasiones, la analogía entre la pareja ma temática y la literaria, no limpia y ex terna, sino h íbrida y supuesta, lo que refuerza aún más el efecto del delizam iento sem ántico. Cuando Torless considera paradójico que "se pueden haccálculos reales con semejantesvalores imaginarios" , el término ‘imaginario’ tieneun preciso sentido ma temático previamente definido (‘aplicar a un número negtivo la opreración raíz cuadrada’) mientras que el término ‘reales’ se usa comsinónim o de ‘efec tivos’ o ‘posibles’: cálculos querealmente pueden hacerse ( ‘cálculos rea les ’ no tiene otro sentido matem ático que el de ‘cálculo con núm eros reles’, lo que no es aquí el caso). Los ‘valores imaginarios’ quedan así afectados esa som bra deirrealidad que les confiere su oposición retórica (verosím il gracias

a su oposic ión form al, en cierto sentido, a los ‘números reales’) a lo querealmente puede calcularse. Y, recíp rocamente , este efecto de irrealidad o comedia carga arealidad en la que se hacen los ‘cálculos reales’ con ese atisbo de sospecha que een el origen del ‘vértigo’ del estudiante Torless. El mismo tipo de desplazamiensemántico como operación retórica tiene lugar en la decepcionante respuesta de profesor de matemáticas: "Esos valores numéricos im aginarios, querealmente noexisten...". O en el consuelo que poco antes él mismo había intentado procurars"Una medida de longitud o de peso por lo menos son números reales"; ¿qué nuevadeterminación añade ese ‘por lo menos’ al ser de unos números reales que ya suponen caba lme nte determinados? Se trata evidentemente de incrustrarles en esólida rea lidad donde las cosas pesan y frente a la cual los ‘valores imaginarios’toman ingrávidos y delicuescentes.

Es precisam ente esa in-definición e in-derminación de lo que acabarán siend — para ese asidero dogm ático que es la te leología en matemáticas— los ‘númernegativos’ e ‘im aginarios’ la que hace posible que sobre ellos vaya precipitandomagm a sem ántico inconsciente que subyace a cada modo de pensar. Las valoraci

1 Véase lo que apuntábamos, en la Introducción, sobre los análisis retóricos de los textos matemáticos.

2 O. Ducrot y T. Todorov (1972: 301).

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nes de lo posible o imposible, lo real y lo ficticio, lo existente o lo inexistenteverdadero o lo engañoso... no sobrevuelan los carácteres individuales, los tiemy las culturas, ajenas a sus determinaciones; po r el contrario, son estas determciones las que veremos revelarse con inusitada precisión al da r esas ‘razones pclaras’ con que, cada una a su manera, intenta ceñir esa desconcertante y pertente indeterminación. En su forcejeceo por hace r significar lo que o tros prefidespachar por insignificante, los Diofanto, Cardano, Descartes, Le ibniz o D ’Al bert no incurrirán en m enos desplazamientos semánticos que los ingenuos Bruo Torless. Pero no po r ello puede decirse — como resuelve el amigo de éste y men acríticamente tantos historiadores— que sean ‘los inventores de las mateticas’ los que así dan un ‘traspiés’; son más bien los modos de p ensa r de sus turas respectivas los que tropiezan con ocasión de tales ‘inventores’. En sus tese desparraman, a la vista del observador atento, los diferentesidola que habían procurado mantenerse ocultos, en ese esfuerzo de toda form ación cultura l m atem ática— por presentarse en sunaturalidad, com o mero trasunto de la naturaleza misma.

El traspiés y el error son fuentes inapreciables de conocimiento, como bapuntó Bachelard. Y esas ‘cantidades negativas* y ‘valores imaginarios’ que, Tories, "de alguna manera son imposibles" resultan ser imposiblesde distinta manera en unos m atemáticos y en otros, según el particular cerco que al ám bitolo posib le y lo pensable ponen sus respectivas creencias. ‘La cos tum bre’ o ‘ladencia’ (Brulard) y ‘la confirmación de tus creencias’ (Torless) parecen ser deminaciones más decisivas que las formales a la hora de aceptar o rechazar u

soluciones u otras, aunque también será contra ellas — en anticipación de lasserán posteriores costumbres, creencias y evidencias — como se irán construyelas nuevas significaciones.

La descripción que hace M usil del joven profesor de matemáticas de Torno puede s imbolizar m ejor el tipo de análisis de las matemáticas que aquí — y bién a propósito de lanegatividad — nos hemos propuesto. Esa m ate m átic a que,com o el tal profesor, se presenta en su m itad superior "perfectamente anudadde un "blanco resplandeciente", es la misma que en sus fundamentos calza "bacalcetines de lana" y tiene "el borde de los pantalones ennegrecido por el betúde los botines", em badurnado por el humus de latentes significaciones imaginaUna m atem ática que cuanto m ás se ofrece como "sólo natural" en sus credencde objetividad transhistórica, con más celo oculta que "querido amigo, aqucabe otra cosa que creer”.

Ambas escenas se cierran con sendas remisiones a autoridades últimas emateria, que resultan tan frustrantes para sus protagonistas como significat para nosotros. El pro fesor del joven Torless le remite, en un desesperado int por e ludir el asunto, a "un célebre libro de Kant (que) contiene un análisis del

de nuestra conversación" a través de "las necesidades del pensar”. El chicoentend ió una palabra, pero de haberlo hecho en nada habría ayudad o a su com psión de los ‘valores im aginarios’ la catalogación kantiana de la geometría eucentre las "necesidades del pensar" (es ese modo de pensar euclídeo el que lle

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Stendhal a intentar pensar los ‘números negativos’ según el modelo de la ‘desgciada’ figura que antes reprodujimos). Y aún se habría sentido más desconcertasi el Kant esgrimido por su profesor hubiera sido el Kant más adecuado, el d

Ensayo para introducir en filosofía el concepto de magnitud negativa, donde lasrazone s'por las que dice desc artar el caso ‘0 - A’ habrían sumido al ávido esdian te en nuevas perp lejidades: "ese caso es imposible en el sentido filosófico, p

algo positivo nunca puede ser sustraído de nada".El bach iller Brulard no pod ía ser más afortunado. En su consulta a los artíclos matemáticos de la Enciclopedia de Diderot y D’Alembert, que su padre y suabuelo tenían en casa , observa que "su tono de fatuidad,-~4a ausencia de culto verdad me chocaron m ucho, y adem ás entendí poco". Más le valió. ¿Cóm o hubi podido ente nder (en el art ículo Négatif, que seguramente ojeó) que, para m ultiplica r *—a ’ po r *—b ’, "estas cantidades - a y - b no se encuentran p reced idas del si — , sino que hay un error tácito en la hipótesis del problem a o de la operaciónel problema hubiera estado bien enunciado, esas cantidades - a y - b deberíencon trarse ca da una con el signo +"? Para la razón ilustrada, "la enunciación s ple ynatural del problem a debe ser, no multiplicar - a por - b, sino + a por + b, lque da el producto + ab”. Todo el problema con lanegatividad, que la epistemeilustrada zanjará de modo tannatural, parece cifra rse en que no se trataba con lasuficientenaturalidad. De cómo esanaturalidad es un constructo cultural y decóm o sus determ inaciones han ido afectando a la — para unos tan'natural como para otrosanti-natural — matemática es de lo que han querido dar razón estas páginas.

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