Limites (Propiedades y Operaciones)

Transcript of Limites (Propiedades y Operaciones)

Analisis Matematico I

Danessa Chirinos F.

UNIVERSIDAD CATOLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO

20 de marzo de 2013

Danessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 1 / 29
Contenidos

1 LIMITESLmitesPROPIEDADES DE LIMITESOPERACIONES CON INFINITO

Lmites Lmite

Recta Numerica

x0 Recta Numerica

Lmites Lmite

Recta Numerica

x0

x0+ Numeros a la derecha

de x0

Lmites Lmite

Recta Numerica

x0

x0

Numeros a la izquierdade x0

Lmites Lmite

Recta Numerica

Derecha e Izquierda

Senalar cinco numeros a la derecha e izquierda del

numero x0 indicado a una distancia

1 x0 = 3, = 0,5

2 x0 = 2, = 0,63 x0 = 1/2, = 1

Lmites Lmite

Funciones

Se representa

f : A Bx y = f(x)

La variable x se ubica en el eje de las abscisas y la

variable y en el eje de las ordenadas.

Lmites Lmite

Funciones

Se representa

f : A Bx y = f(x)

La variable x se ubica en el eje de las abscisas y la

variable y en el eje de las ordenadas.

DefinicionUna funcion es un conjunto de pares ordenados tal quela primera coordenada del par ordenado se corresponde

una unica vez con la segunda coordenada.

Lmites Lmite

Grafica de una funcion

Graficar f(x) = 2x+ 1

2 1

1 2

3

1

1

3

5

x y

-2 -3

Lmites Lmite



2 1

1 2

3

1

1

3

5

x y

-2 -3

-1 -1

Lmites Lmite



2 1

1 2

3

1

1

3

5

x y

-2 -3

-1 -1

0 1

Lmites Lmite



2 1

1 2

3

1

1

3

5

x y

-2 -3

-1 -1

0 1

1 3

2 5

Lmites Lmite

Funciones

Trazar la grafica de las siguientes funciones1 f(x) = 3x+ 12 f(x) = x 33 f(x) = x 24 f(x) =

{x+ 1, x 2x 1, x < 2

Lmites Lmite

Lmites Laterales

1 Lmite por la derecha

lmxx+0

f(x) = f(x0)

2 Lmite por la izquierda

lmxx0

f(x) = f(x0)

Lmites Lmite

Lmites Laterales

Graficar f(x) = 2x+ 1 y calcular lmx1+

f(x), lmx1

f(x)

2 1

1 2

3

1

1

3

5

f(x) =

{2x+ 1, x 12x 1, x < 1

Lmites Lmite

Lmites laterales

Calcular lmxx+0

f(x), lmxx0

f(x)

1 f(x) = 3x+ 1, x0 = 32 f(x) = x 3, x0 = 13 f(x) = x 2, x0 = 04 f(x) =

{x+ 1, x 2x 1, x < 2 , x0 = 2

Lmites Lmite

Lmites

Decimos que un lmite lateral existe, si al reemplazar x0en la funcion, obtenemos un numero real.

Lmites Lmite

Lmites laterales

Decir si los lmites laterales de f existen en el punto x01 f(x) = x2 + 4x+ 1, x0 = 2

2 f(x) = x2 3x+ 2, x0 = 13 f(x) =

x2 + 4

x3 + 1, x0 = 0

4 f(x) =

{ x+ 1, x 1

x3 + 2, x < 1 , x0 = 1

Lmites Lmite

Lmites

Decimos que el lmite de una funcion existe si loslmites laterales de dicha funcion existen y son iguales

lmxx+0

f(x) = lmxx0

f(x)

Luego, escribimos el lmite de f

lmxx0

f(x)

Lmites Lmite

Lmites laterales

Diga si, el lmite de la funcion f, existe en el punto

indicado

1 f(x) = 3x+ 1, x0 = 32 f(x) = x 3, x0 = 13 f(x) = x 2, x0 = 04 f(x) =

{x+ 1, x 2x 1, x < 2 , x0 = 2

Lmites Lmite

Calcular

lmx5

k

lmx1

x

lmx1

3x 2

lmx2

(x2 + 1)

lmx1

(2x2 + 3x 2)

lmx2+

(x3 + 1)

lmx2

x2 + 1x 1

lmx2

x2 + 1x+ 1

lmx5

2x 1

lmx3

x|2x 1|

Lmites Propiedades

PROPIEDADES

Sean f y g dos funciones, reales de variable real,definidas al menos en un entorno reducido de un punto

x0 esto es: lmxx0

f(x) = L y lmxx0

g(x) = m entonces:

Y si f(x) = k entonces lmxx0

f(x) = k

Y si f(x) = x entonces lmxx0

f(x) = x0

Y si f(x) = kx entonces lmxx0

f(x) = kx0

lmxx0

[f(x) + g(x)] = lmxx0

f(x) + lmxx0

g(x) = L+m

lmxx0

[f(x) g(x)] = lmxx0

f(x) lmxx0

g(x) = Lmlmxx0

[f(x)g(x)] = lmxx0

f(x) lmxx0

g(x) = Lm

Lmites Propiedades

PROPIEDADES


x0 esto es: lmxx0

f(x) = L y lmxx0

g(x) = m entonces:


f(x) = k


f(x) = x0


f(x) = kx0

lmxx0

[f(x) + g(x)] = lmxx0

f(x) + lmxx0

g(x) = L+m

lmxx0

[f(x) g(x)] = lmxx0

f(x) lmxx0

g(x) = Lmlmxx0

[f(x)g(x)] = lmxx0

f(x) lmxx0

g(x) = Lm

Lmites Propiedades

PROPIEDADES


x0 esto es: lmxx0

f(x) = L y lmxx0

g(x) = m entonces:


f(x) = k


f(x) = x0


f(x) = kx0

lmxx0

[f(x) + g(x)] = lmxx0

f(x) + lmxx0

g(x) = L+m

lmxx0

[f(x) g(x)] = lmxx0

f(x) lmxx0

g(x) = Lmlmxx0

[f(x)g(x)] = lmxx0

f(x) lmxx0

g(x) = Lm

Lmites Propiedades

PROPIEDADES


x0 esto es: lmxx0

f(x) = L y lmxx0

g(x) = m entonces:


f(x) = k


f(x) = x0


f(x) = kx0

lmxx0

[f(x) + g(x)] = lmxx0

f(x) + lmxx0

g(x) = L+m

lmxx0

[f(x) g(x)] = lmxx0

f(x) lmxx0

g(x) = Lmlmxx0

[f(x)g(x)] = lmxx0

f(x) lmxx0

g(x) = Lm

Lmites Propiedades

PROPIEDADES


x0 esto es: lmxx0

f(x) = L y lmxx0

g(x) = m entonces:


f(x) = k


f(x) = x0


f(x) = kx0

lmxx0

[f(x) + g(x)] = lmxx0

f(x) + lmxx0

g(x) = L+m

lmxx0

[f(x) g(x)] = lmxx0

f(x) lmxx0

g(x) = Lmlmxx0

[f(x)g(x)] = lmxx0

f(x) lmxx0

g(x) = Lm

Lmites Propiedades

PROPIEDADES


x0 esto es: lmxx0

f(x) = L y lmxx0

g(x) = m entonces:


f(x) = k


f(x) = x0


f(x) = kx0

lmxx0

[f(x) + g(x)] = lmxx0

f(x) + lmxx0

g(x) = L+m

lmxx0

[f(x) g(x)] = lmxx0

f(x) lmxx0

g(x) = Lmlmxx0

[f(x)g(x)] = lmxx0

f(x) lmxx0

g(x) = Lm

Lmites Propiedades

PROPIEDADES

lmxx0

[f(x)

g(x)

]=

lmxx0

f(x)

lmxx0

g(x)= L

m

lmxx0

[logb f(x)] = logb

[lmxx0

f(x)

]= logbL, L, b >

0, b 6= 1

lmxx0

uf(x) = u

[lm

xx0

f(x)

]= uL, u > 0

lmxx0

f(x)g(x) =

[lmxx0

f(x)

] lmxx0

g(x)

= Lm, L > 0

lmxx0

[f(x)]n =

[lmxx0

f(x)

]n= Ln, n Z+

Lmites Operaciones con infinito

Infinito

Sea k R

k =

+ =

= Ind

(k) = , k 6= 0

() =

0() = IndDanessa Chirinos F. (Usat) Mat 20 de marzo de 2013 24 / 29

Infinito

Sea k R

k =

+ =

= Ind

(k) = , k 6= 0

() =


Infinito

Sea k R

k =

+ =

= Ind

(k) = , k 6= 0

() =


Infinito

Sea k R

k =

+ =

= Ind

(k) = , k 6= 0

() =


Infinito

Sea k R

k =

+ =

= Ind

(k) = , k 6= 0

() =


Infinito

Sea k R

k =

+ =

= Ind

(k) = , k 6= 0

() =


Infinito

Sea k R

k =

+ =

= Ind

(k) = , k 6= 0

() =


Infinito

0

k= 0, k 6= 0

k

0=, k 6= 0

k

= 0, k 6=

k

=, k 6=, 0 = 0


Infinito

0

=

0

0= Ind

= Ind

k0 = 1, k R

00 = Ind


Infinito

0 = Ind

1 = Ind

0 = 0

=


Infinito

0k =

{0, k > 0, k < 0

k+ ={ , k > 1

0, 0 < k < 1

k ={

0, k > 1+, 0 < k < 1


Infinito

0k =

{0, k > 0, k < 0

k+ ={ , k > 1

0, 0 < k < 1

k ={

0, k > 1+, 0 < k < 1


Infinito

0k =

{0, k > 0, k < 0

k+ ={ , k > 1

0, 0 < k < 1

k ={

0, k > 1+, 0 < k < 1


Infinito

Calcular el lmite de las siguientes funciones:

lmr

r4 r2 + 1r5 + r3 r

lmx1

1x1x

lmx

(x+x)

lmx1

x7 1x6 1

lmx

ex2


Infinito


lmr

r4 r2 + 1r5 + r3 r

lmx1

1x1x

lmx

(x+x)

lmx1

x7 1x6 1

lmx

ex2


Infinito


lmr

r4 r2 + 1r5 + r3 r

lmx1

1x1x

lmx

(x+x)

lmx1

x7 1x6 1

lmx

ex2


Infinito


lmr

r4 r2 + 1r5 + r3 r

lmx1

1x1x

lmx

(x+x)

lmx1

x7 1x6 1

lmx

ex2


Infinito


lmr

r4 r2 + 1r5 + r3 r

lmx1

1x1x

lmx

(x+x)

lmx1

x7 1x6 1

lmx

ex2


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