limites

Departamento de Matemticas Pgina 1/11

Resumen: Lmites , Continuidad y Asntotas )()(lim afxf

ax= siempre que se pueda sustituir x = a sin problemas en la expresin de f(x)

Los casos en los que no se puedan sustituir es: cuando tengamos

00k =

Es indeterminado el signo del y depende de la regla de los signos. Ejemplos:

1)

+==+

==+

=+

+

+

1'3**04

31lim

9'2*04

31lim

?31lim

**3

*3

3ensustituyesesignoelverpara

xx

ensustituyesesignoelverparaxx

xx

x

x

x

2) +== + 01

)1(lim 21 x

xx

porque el denominador es siempre +

Los casos de indeterminacin que son - ,

00 ,

, 0. , 1 , 00 , 0 Indeterminaciones

00 de funciones polinmicas:

== 0

0)()(

)()(lim

aQaP

xQxP

ax=

?)(?)(lim

axax

ax

Se divide por Ruffini numerador y denominador entre x-a y se calcula el lmite en la expresin simplificada. Ejemplos

1) 31

31

1412lim

)14()1()12()1(lim

144132lim 2121*

00

23

2

1=

=++=++

++=++++

xx

xxxx

xxxxx

xxx

* Dividimos numerador y denominador entre x+1 por Ruffini

2)

*

00

2

23

22

23

2*

00

23

34

2 2842lim

)2()2()842()2(lim

4316164lim =

++=++=+

++ xx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

= 030

14lim

)1()2()4()2(lim

2

2

2

2==+

+=++

xx

xxxx

xx

* Dividimos numerador y denominador entre x-2 por Ruffini

2 3 1 -1 -2 -1 2 1 0

-4 -4 1 1 -1 4 0 -1 -4 0 1 0


00 de funciones irracionales: se multiplica numerador y denominador por el conjugado

Ejemplos 1)

122

121lim

)12()1()1()1(lim

)12()1(1lim

)12()1()12(lim

)12()1()12()12(lim

112lim

21212

2

1

2

22

12

22

1

00

2

1

==+=+

=++=

=+=+

+=

xxx

xxxxx

xxxx

xxxxx

xxxxxxx

xxx

xxx

xxx

2)

[ ][ ] 6

103355

93255lim

)93()255(lim

)93()25(25)255()9(9lim

)93()255()255()255()93()93(lim

25593lim

000

0

00

0

=+=++

+=+++=+++

++=

=+++++++++=++

+

xx

xxxx

xxxx

xxxxxx

xx

xxx

xx

Si observis los ejercicios anteriores esta indeterminacin al igual que en las funciones racionales se termina cuando:

?)(?)(lim

)()(lim

00

= ax

axxgxf

axax

Lmites de polinomios en Sea un polinomio p(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0

== ?)(lim)(limn

nxxxaxp El signo del se obtiene con la regla de los signos

Ejemplos

1) ==++ ++ )5(lim)225(lim434 xxxx

xx 2) ==++ )5(lim)225(lim

434 xxxxxx

3) ==++ ++ )2(lim)142(lim727 xxx

xx 4) +==++ )2(lim)142(lim

727 xxxxx

5) +==+ ++ )4(lim)94(lim535 xxxx

xx 6) ==+ )4(lim)94(lim

535 xxxxxx

-1 4 0 -16 16 2 -2 4 8 -16 -1 2 4 -8 0

2 -2 0 8 -1 0 4 0

1 -3 0 4 2 2 -2 -4 1 -1 -2 0

2 2 2 1 1 0


Indeterminacin de funciones racionales e irracionales Se resuelve dividiendo numerador y denominador entre xp siendo p la mayor potencia de numerador y denominador. Se puede obtener la siguiente regla:

> 3: f3 es continua en - 4 f cont. en x > 3 y x 4

Tipo de discontinuidad en x = 4: 44

lim)(lim = xx xf 163

2

xx =

01 = ? x = 4 D.I.S.I.

Continuidad en x = 0? No puesto que: f(0) = 0/0 no f(0) f es discontinua en x = 0 Para ver el tipo de discontinuidad se estudia )(lim

0xf

x

no

=====

=+=

+=

=

+

++

02222lim)(lim

1)1(

1limlim)(lim

)(lim

01

)3(1lim

31

00

0200

002 xxxx

xx

xxx

xxxf

xxx

xx

xxf

xf x = 0 hay D.I.S.F.

Continuidad en x = 3? Si puesto que: 1.- f(3) =

70 = 0

2.-

===

=====

++

0

70

163lim)(lim

0222lim)(lim)(lim

233

01

31

333

2

xxxf

xfxf

xx

xxxx

x

3.- f(3) = )(lim3

xfx = 0

Resumiendo f es continua en --1,0,4 x = -1 , 4: D.I.S.I. ; x = 0: D.I.S.F.

Relacin de ejercicios

1) 21

2 172lim +

+ x

x xx 2)

3

5313lim

2

2 x

x xx

+

+

3) 41

4 6352lim

x

x xx 4) 1

2

2 3

24lim

x

x

x xxxx

5) ( )241

4 6352lim

x

x xx 6) 2

1

20 3732lim x

x xx

++

f1(x) = xx

x+2 f2(x) =

xx 31

22 f3(x) =

163

2

xx


7) xxxxx

x +++

18272lim

24

2 8)

xxxxx

x ++

23

0 4lim

9) 5

25lim2

2

5 +

xxxx

x 10)

+ 542lim

2xxx

11) Sea la funcin

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