Limites

Sección 2.2

StewartCuarta Edición

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Tomado de Miriam Benhayón (UNIMED)

Para el curso de Cálculo diferencial UNIANDES

Marcos Alejo Sandoval

NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA

FUNCIÓN

LÍMITE

ACERCAMIENTO

Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se

aproxima a un valor a, podemos escribir:

Lf(x)limax

LÍMITES

Lf(x)

Lf(x)

f(x)

lim

limlim

ax

ax

ax

Si L es finito y ambos límites laterales

coinciden, se dice que el límite existe y vale L

REGLAS PARA CALCULAR

LÍMITES

n

ax

n

ax

axax

axaxax

axaxax

axaxax

f(x)limf(x)lim

g(x)limKK.g(x)lim

g(x)lim/f(x)limf(x)/g(x)lim

g(x)lim.f(x)limf(x).g(x)lim

g(x)limf(x)limg(x)f(x)lim

EJERCICIO 1

Lim f(x) no existe

x 1

y

x1 5

2

1

¿Qué ocurre con f(x) cerca de

x=1?

EJERCICIO 2


x=1?

Lim f(x) = L =2

x 1

y

x1 5

3

2

EJERCICIO 3


x=1?

Lim f(x) si existe, pero no coincide con f(1)

x 1

x1

y

5

2

1

EJERCICIO 4

Dado el gráfico de f(x) :

3

5

-3

3

-2x

f(x)

3.5

f(x)d)f(x)c)

f(x)b)f(x)a)

limlim

limlim

2x0x

3x3x

Encuentre:

PASOS A SEGUIR PARA EL

CÁLCULO DE LÍMITES

# 1:Evaluar para saber si se trata de un límite directo o estamos en presencia de una forma indeterminada

# 2:INTENTAR desaparecer la indeterminación a través de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica ...si fuera el caso...

PROBLEMA 1

3xsi,1x1/

3 xsi2,xf(x)dondef(x);4)

2

3

2

3:Rpta;

3x4xx

2xx3)

1:Rpta,x

x1x12)

1/4:Rpta,x

24x1)

2

3x

1/31/3

23

2

1x

0x

0x

lim

lim

lim

lim

3

Evalúe los siguientes límites:

PROBLEMA 2

0x1,x

0x4,2xf(x)f(x);lim5)

x2

x4xlim4)

ba,ax

babxlim3)

x-4

2xlim2)

1-x

1xlim1)

0x

2

4x

22ax

22x

4

1x

Utilice las reglas para calcular límites para

determinar:

PROBLEMA 3

Utilice propiedades para hallar los

siguientes límites:

2)(x

2x3)(xlimb.

1x

1)(x2xlima.

2x

1x

LÍMITES INFINITOS

Utilice propiedades para hallar los

siguientes límites:

2)(x

2x3)(xlimb.

1x

1)(x2xlima.

2x

1x

PROBLEMA 4

Con la información que aparece a

continuación, construya el gráfico de

F(x):

12)3;F(F(3)

2F(x)lim4;F(x)lim3x3x

PROBLEMA 5

Con la información que aparece a

continuación, construya el gráfico de

F(x):

indefinida1;F(0)F(2)

0F(x)lim1;F(x)lim

1F(x)lim-1;F(x)lim

2x2x

0x0x

TEOREMA DEL SANDWICH

En caso de que se cumpla la siguiente relación (para toda x perteneciente a algún intervalo abierto que contenga a c):

y además se cumple:

Entonces:

h(x)f(x)g(x)

Lh(x)limg(x)limcxcx

Lf(x)limcx

TEOREMA DEL SANDWICH

h(x)

g(x)

f(x)

c

L

x

y

1. Si

2. Dada la función g(x)=xsen(1/x).

Estime :

(trabaje gráficamente)

f(x)limHalle

xtodapara2cosx,f(x)x2

0x

2

g(x)lim0x

PROBLEMA

A partir de la gráfica de la función:

Estime, haciendo zoom en el origen, el valor de:

*Confirma tu resultado con una demostración

)x

1cos(xf(x) 32

f(x)lim0x

PROBLEMA

PROBLEMA

24)(x

5f(x)

24x

24x

24x

4)(x

5lim

4)(x

5lim

4)(x

5lim

Analice el comportamiento de la función dada

cerca de x = - 4

Esta función muestra un comportamiento

consistente alrededor de x = - 4,

se puede decir que este límite vale

Gráficamente...

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4

0

2

4

6

8

10

12

14

16

x

5/(x+4) 2̂

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