INSTITUTO Universitario DE Tecnología “ANTONIO JOSE DE SUCRE”

EXTENSION BARCELONA-PUERTO LA CRUZ

LIMITE Y CONTINUIDAD DEFUNCIONES VARIAS VARIABLES

Bachilleres:Hernández Daisy

Puerto La Cruz ;JULIO Del 2014

Límite de una función de dos variables

Definición

Sea función de dos variables definida en un disco abierto centrado en

excepto quizás en el punto y sea L un número real. Entonces,

Si para cada existe un tal que

siempre que

Gráficamente, esta definición de límite implica que para cualquier punto.

en el disco de radio el valor de esta entre y

Para funciones de una sola variable, cuando dejamos que x se aproxime a a, sólo hay dos posibles direcciones de acercamiento, por la izquierda o por la derecha. Que podemos ver por aquí Límite de una función de una variable. Para funciones de dos variables, la situación no es tan sencilla, puesto que podemos dejar que (x, y) se aproxime a desde un número infinito de direcciones y de cualesquiera formas.

Ejemplo # 1

Existe?

Proponemos:

Ahora proponemos:

El limite no existe

Ejemplo # 2

En este caso probamos con la ecuación de la recta, ya que con esta ecuación podemos ver de forma general si existe o no el límite, ya que la ecuación de la recta es todos los puntos por donde pasa la recta en una circunferencia.

Existe?

Proponemos:

Proponemos:

Proponemos:

m puedes ser cualquier numero que pertenece a los reales, por lo tanto

El limite no existe.

Continuidad

Recuerde que la evaluación de límites de funciones continuas de una sola variable es fácil. Se efectúa por sustitución directa porque la propiedad de definición de una función continua es lim x->a f(x) = f(a). Las funciones continuas de dos variables también están definidas por la propiedad de sustitución directa.

Definición:

Una función f de dos variables se denomina continua en (a, b) si

Lim f(x,y) = f (a, b)(x,y) -> (a,b) Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto (a, b) de D

El significado intuitivo de continuidad es que si el punto (x,y) cambia en una pequeña cantidad, entonces el valor de f(x,y) cambia en una pequeña cantidad. Esto significa que si una superficie es la grafica de una función continua entonces no tiene ni huecos ni rupturas.

Con el uso de las propiedades de los limites, es posible ver que las sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones continuas son continuas en sus dominios.

Una función polinomial de dos variables (o, para abreviar, un polinomio), es una suma de términos de la forma cx “y”, donde c es una constante y m y n son enteros no negativos. Una función racional es la razón de dos polinomios. Por ejemplo,

f(x,y) =

Es un polinomio mientras que:

g(x,y) =

Los limites muestran que las funciones f(x,y)=x, g(x,y)= y, y h(x,y) = c son continuas. Como cualquier polinomio puede ser obtenido a parten de las funciones simples f, g y h por multiplicación y suma, llegamos a que todos los polinomios son continuas en R. Del mismo modo, cualquier función racional es continua en su dominio porque es cociente de funciones continuas.

Ejemplo:

Evalué

Solución, Como es un polinomio, es continuo en todas

partes, de modo que podemos hallar el limite por sustitución directa:

BIBLIOGRAFIA

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