Funciones

Continuidad de una función

Tipos de discontinuidad

Funciones definidas por tramos

Continuidad de Funciones 1

Una función f(x) es continua en un punto x = a

si cumple:

Continuidad de Funciones

1. Existe f(a)

Si una función no cumple alguna de estas condiciones, decimos

que la función es discontinua en x = a

limxa

f (x) limxa

f (x) limxa

f (x)2. Existe

limxa

f (x)3. Se cumple que f(a) =

Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función

limx2

x21x2

50

3 Continuidad de Funciones

f (x) x21x2

Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x = 2

será una punto de discontinuidad.

Estudiemos como no se cumple la definición de continuidad y que

tipo de discontinuidad tenemos.

Evidentemente no existe f(2)

No se puede

dividir por 0

limx2

x21x2

50

Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2

Números muy pequeños

pero negativos:

1,90 – 2 = - 0,1

1,99 – 2 = - 0,01

Números muy pequeños

pero positivos:

2,10 - 2 = 0,1

2,01 - 2 = 0,01

Como los límites izquierda y derecha son distintos tenemos una función

discontinua en x = 2 de 1ª especie con salto infinito (diferencia entre los

límites laterales)

4 Continuidad de Funciones

Veamos la gráfica de la función:

f (x) x21x2

Cuando me acerco a 2-

la función va hacia -∞

Cuando me acerco a 2+

la función va hacia +∞

Aquí tendremos

Una Asíntota vertical

De ecuación x=2

5 Continuidad de Funciones

Veamos el siguiente ejemplo con una función

definida por tramos:

f (x)

5 x2

x26x10 2x54x15 x5

Aquí tenemos una recta

horizontal, paralela al eje de

abcisas X. Siempre es

continua en su intervalo de

definición.

Aquí tenemos una parábola.

Siempre es continua en su

intervalo de definición.

Aquí tenemos una recta.

Siempre es continua en su

intervalo de definición.

Así que solo procederemos a estudiar la continuidad en los

casos x = 2 y x = 5 . Que son los puntos donde puede ocurrir

algún cambio respecto a la continuidad

6 Continuidad de Funciones

Si nos fijamos en la gráfica de esta función

veremos que:

7 Continuidad de Funciones

Estudiamos analíticamente el caso de x = 2

limx2

55

f (x)

5 x2

x26x10 2x54x15 x5

limx2

x26x102

f (2)5

Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en

x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua de 1ª especie en x =2,

donde se produce un salto de 3 unidades.

8 Continuidad de Funciones

Estudiamos analíticamente el caso de x = 5

limx5

x26x105

f (x)

5 x2

x26x10 2x54x15 x5

limx5

4x155

f (5)5

Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en

x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5

9 Continuidad de Funciones

Veamos algún caso con una discontinuidad del

tipo “Evitable”

f (x) x23x2x1

Tenemos que Dominio de f = R - { 1 }

Solo tendríamos que estudiar el caso x = 1

1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio

2. limx1

x23x2x1

0

0 lim

x1

x1 x2 x1

limx1

x2 1

limx1

x23x2x1

0

0 lim

x1

x1 x2 x1

limx1

x2 1

limx1f (x) f (1) que no existe

10 Continuidad de Funciones

Veamos ahora la gráfica de la función

Tenemos un agujero para x = 1

11 Continuidad de Funciones

Otro ejemplo de una función con discontinuidad

“de 1ª Especie con salto ∞”

f (x) x23x2x3

Tenemos que Dominio de f = R - { 3 }

Solo tendríamos que estudiar el caso x = 3

1. f (3) no existe ya que x = 3 no está en el dominio

2 23 2lim

3 032. x x

xx

2 23 2lim

3 03

x xxx

3 3lim ( ) lim ( )x x

f x f x unidades

f(x) es discontinua de 1ª especie con

salto de

12 Continuidad de Funciones

Veamos ahora la gráfica de la función

13 Continuidad de Funciones

Otro ejemplo de una función con discontinuidades

Tenemos que Dominio de f = R - { -1, 1 }

Si estudiamos caso x = -1

1. f (-1) no existe ya que x = -1 no está en el dominio

3 98lim

3 2 1 012. x x

x x xx

3 98lim

3 2 1 01

x x

x x xx

f(x) es discontinua evitable en el

infinitode 1ª especie en el infinito

3 8( )

3 2 1

xf x

x x x

Pero el limite no es igual que la imagen en x= -1 ya que no existe f(-1)

14 Continuidad de Funciones

Otro ejemplo de una función con discontinuidades

Tenemos que Dominio de f = R - { -1, 1 }

Si estudiamos caso x = 1

1. f (-1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio

3 78lim

3 2 1 012. x x

x x xx

3 78lim

3 2 1 01

x x

x x xx

3 8( )

3 2 1

xf x

x x x

f(x) es discontinua de 1ª especie con

salto de 3 3

lim ( ) lim ( )x x

f x f x unidades

15 Continuidad de Funciones

A.H. y= -1

A.V. x= 1 A.V. x= -1

Veamos la gráfica de esta función:

16 Continuidad de Funciones

Fin del ejercicio