Lida Patricia - Semigrupo de Operadores

7/30/2019 Lida Patricia - Semigrupo de Operadores

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departamento de ingenieria matematica

facultad de ciencas fisicas y matematicasUNIVERSIDAD DE CHILE

Introduccion a la Teora deSemigrupos

s, t 0, T(s + t) = T(s)T(t)

Apuntes para la III Escuela de Verano

DIM-MECESUP-CMM

Felipe Alvarez & Juan Peypouquet

Diciembre 2003


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Prefacio

El objetivo de estas notas es proporcionar una breve introduccion a la teora de semigrupos deoperadores acotados en espacios de Banach, donde el unico requisito necesario por parte del lectores un conocimiento elemental de Analisis Funcional.

Hemos dividido el material en tres captulos. En el captulo 1 recordamos la definicion y al-gunas propiedades de los operadores lineales en espacios de Banach. En el captulo 2 tratamoslos semigrupos uniformemente continuos, enfatizando las propiedades de sus generadores infinitesi-males. En el captulo 3 nos concentramos en semigrupos fuertemente continuos y, en el contexto desemigrupos de contracciones, proporcionamos demostraciones detalladas de los celebres teoremasde Hille-Yosida y Lumer-Phillips. Como complemento, el lector encontrara al final de estos apuntesuna pequena lista de ejercicios y de referencias bibliograficas.

Con el fin de mantener el caracter elemental y autocontenido de la exposicion, deliberadamentehemos dejado fuera toda discusion acerca de la aplicacion de la teora abstracta a problemas devalor inicial concretos relacionados con ecuaciones en derivadas parciales.

Estos apuntes describen lo realizado en uno de los 4 cursos de la III Escuela de Verano delDepartamento de Ingeniera Matematica de la Universidad de Chile, la que se desarrollo entre el1 y el 19 diciembre de 2003. Agradecemos a los participantes en esta Escuela de Verano por suscomentarios y sugerencias, los cuales nos permitieron mejorar la presentacion de estos apuntes.Expresamos tambien nuestra gratitud a Regina Mateluna por su trabajo al transcribir en LaTeXbuena parte de las notas manuscritas.

F. Alvarez y J. Peypouquet.

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Indice general

1. Operadores lineales acotados 7

1.1. Definicion y propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Convergencias en B(X, X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Funciones en B(X, X) en serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Operadores acotados invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5. Problema de Cauchy asociado a un operador acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Semigrupos uniformemente continuos 13

2.1. Definiciones: semigrupo y generador infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Integral de Riemann de un SUC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Acotamiento del generador infinitesimal de un SUC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4. Correspondencia entre un SUC y su generador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Semigrupos fuertemente continuos 17

3.1. Definicion y propiedades preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2. Cerradura del generador infinitesimal de un C0-semigrupo . . . . . . . . . . . . . . . 203.3. C0-semigrupos de contracciones y el teorema de Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.1. Demostracion del teorema de Hille-Yosida: necesidad . . . . . . . . . . . . . . 223.3.2. Regularizada de Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.3. Demostracion del teorema de Hille-Yosida: suficiencia . . . . . . . . . . . . . 25

3.4. Operadores disipativos y el teorema de Lumer-Phillips . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Ejercicios 29

Bibliografa 31

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6 INDICE GENERAL


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Captulo 1

Operadores lineales acotados

1.1. Definicion y propiedades generales

En lo sucesivo, X, Y seran espacios de Banach sobre un cuerpo K, el cual puede ser R o C.Denotaremos indistintamente por la norma en X y en Y.

Definicion. Sea D un subespacio vectorial de X. Una funcion A : D Y es un operador lineal, osimplemente operador, de X en Y si D es denso en X y A es lineal; i.e.,i) D = X.ii) K, f , g D, A(f + g) = A(f) + A(g).Al conjunto de los operadores de X en Y con dominio D lo denotaremos por L(D, Y).

Diremos que un operador A L(X, Y) es acotado si

supfXf=1

Af < ,

en cuyo caso escribiremos A := supfXf=1

Af. Al conjunto de los operadores acotados de X en Y

lo denotaremos por B(X, Y).

Se tienen las siguientes propiedades:

a) L(X, Y) es un espacio vectorial y B(X, Y) es subespacio de L(X, Y).

b) es una norma en B(X, Y).

c) x X, Ax Ax.

d) Si D es denso en X y A B(D, Y), entonces A se puede extender a todo X; es decir,A B(X, Y) con Ax = Ax, x D y AB(X,Y) = AB(D,Y).

Demostracion. Para x X, (xn)nN D tal que xn x n

0. Definimos Ax =

lmn

Axn. El lmite existe pues A es acotado e Y es un espacio de Banach. Ademas, A

esta bien definido pues si fn f 0 y gn f 0, entonces

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8 CAPITULO 1. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

Afn Agn Afn gn

A [fn f + f gn] n

0.

Claramente A es lineal y Ax = Ax x D. Ademas,

A = supx=1xD

Ax supx=1xX

Ax = A.

Pero si x = 1, existe (xn)nN D con xn = 1 y xn x 0. As,

Ax = lmn

Axn A lmn

xn = A.

e) Para A L(X, Y), se tiene que

supx=1

Ax = supx


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1.2. CONVERGENCIAS EN B(X, X) 9

g) Principio de Acotacion Uniforme. Sean A B(X, Y) y (An)nN B(X, Y) tal queAnx Ax, x X. Entonces M > 0 tal que An M n N.

La demostracion de este resultado fundamental puede encontrarse en los libros de An alisisFuncional (ver por ejemplo [1]).

h) B(X, Y) es un espacio de Banach.1

Demostracion. Sea (An)nN B(X, Y) una sucesion de Cauchy. Dado > 0, existe N Ntal que m, n N, Am An < .

Para cada x X con x = 1, Anx Amx An Am < m, n N. La sucesion(Anx)nN es de Cauchy en Y, y converge a un elemento de Y que llamamos Ax pues el espacioes completo. Si 0 < x = 1, definimos Ax = xA( xx). Claramente A L(X, Y). Veremos

que A B(X, Y) y que An A en B(X, Y).

Si x = 1, Ax Anx Ax Anx y Ax Anx + Ax Anx.Como (An)nN es de Cauchy, entonces es acotada, i.e., sup

nNAn =: M < . Haciendo tender

n a infinito, tenemos que Ax M, x con x = 1. De all, A B(X, Y). Ademas, existeN tal que m N y x con x = 1, Ax Amx < /2. Finalmente, m N,

A Am = supx=1

Ax Amx

2< ,

de donde An A en B(X, Y).

i) Si A B(Y, Z) y B B(X, Y), entonces AB B(X, Z) y AB AB.

Demostracion.

(AB)x = A(Bx) ABx ABx.

j) B(X, X) es un algebra de Banach con unidad.

Demostracion. h), i), y el hecho que el operador identidad I : X X es acotado.

1.2. Convergencias en B(X, X)A la convergencia en B(X, X) a saber, An A si y solo si An A

n0, se le lla-

ma convergencia en norma o convergencia uniforme . Veremos otra nocion de convergencia. Sean(An)nN B(X, X) y A B(X, X). Si Anx Ax

n0, x X, se dice que An converge

fuertemente a A, y escribimos Ans

A. Notemos que, dado que Anx Ax An Ax, laconvergencia uniforme implica convergencia fuerte al mismo lmite.

1Estamos suponiendo que X e Y son espacios de Banach; sin embargo, para h) no es necesario que X sea completo.


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El recproco, en general, no es cierto, como lo muestra el siguiente ejemplo. Sea

X = 1(N) = {f : N C | n0

|f(n)| < },

dotado de la norma f =n0

|f(n)|. Para cada n N, consideremos el operador

An : 1(N) 1(N), Anf(j) =

f(j) si j = n,0 si j = n.

Claramente, n N, An B(X, X). Ademas Ans

0 pues f X

Anf 0f = Anf =k0

|Anf(x)| = |f(n)|,

y como f 1(N), se tiene que lmn

|f(n)| = 0. Veamos que la convergencia no es uniforme. Sea

n(k) =

1 si k = n,0 si k = n.

Tenemos que n = 1 y que

An Ann =k0

|Ann(k)| = |n(n)| = 1.

As, An 0 1 de modo que no tiende a cero cuando n tiende a infinito.

1.3. Funciones en B(X, X) en serie de potencias

En lo sucesivo, X es un espacio de Banach complejo. Sea f : C C una funcion analtica en un

entorno del origen y con radio de convergencia R para su representacion holomorfa f(z) =

n=0anz

n.

Sea B la bola abierta en B(X, X) centrada en el origen y de radio R (todo B(X, X) si R = ).

Para A B definimos fn(A) =n

k=0

akAk, n N. Para cada n N, el operador fn(A) B(X, X),

por ser este conjunto un algebra. Y dado que f es analtica la sucesion (fn(A))nN B(X, X)es de Cauchy y por ser B(X, X) un espacio de Banach, converge a un elemento de B(X, X) que

denotamos por f(A). As, podemos definir, por ejemplo:

- ewA = exp(wA) :=

n=0

1n!w

nAn, con A B(X, X) y w C.

- Log(I+ A) :=

n=1

(1)n+1

n An, con A < 1.

- IIA :=

n=0

1n+1A

n, con A < ||.


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1.4. OPERADORES ACOTADOS INVERTIBLES 11

Ademas, si n, an 0, entonces f(A) f(A).

Observacion. Para A, B B(X, X), AB = BA eA+B = eAeB.

Ejemplos.

1) Consideremos

X = R2, A =

a bb a

donde a y b son numeros reales. Entonces

exp(tA) = eat

cosh(bt) senh(bt)senh(bt) cosh(bt)

y

exp(itA) = eat

cos(bt) i sen(bt)i sen(bt) cos(bt)

2) A B(X, X), exp(A) eA.

1.4. Operadores acotados invertibles

Definicion. Sean X, Y espacios de Banach y A B(X, Y). Se dice que A es invertible si existeB B(Y, X) tal que x X,BAx = x y y Y,ABy = y. En ese caso, se dice que B es el inversode A y se denota por B = A1.

Una aplicacion muy importante de las funciones en B(X, X) en serie de potencias es la siguiente.

Proposicion. Si A B(X, X) y A < 1, entonces I A es invertible.

Demostracion. La funcion f(z) = 11z es analtica en {z C | |z| < 1}. Como A < 1,

tenemos que f(A) B(X, X) y es facil ver a partir de la serie de potencias f(A) =

n=0An que

(I A)f(A) = f(A)(I A) = I. Concluimos que I A es invertible.

Observacion. Si A es invertible y C \ {0}, entonces A es invertible y (A)1 = 1A1.

1.5. Problema de Cauchy asociado a un operador acotado

Dado un intervalo abierto I R, definimos D(I, X) = {f : I X | t I, lmh0

f(t+h)f(t)h } y

para f D(I, X), ponemos ddtf(t) := lmh0f(t+h)f(t)

h . Para un intervalo I que es cerrado en alguno

de sus extremos, entonces la definicion es la misma si t es un punto en el interior de I, mientrasque si t es un punto extremo entonces consideramos solo lmites por la izquierda o por la derechasegun corresponda.


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Parece natural preguntarse si etAf0 sera solucion de

(P; f0)

ddtf(t) = Af(t)

f D([0, ), X)f(0) = f0.

para A B(X, X). Para ello debemos probar que

e(t+h)Af0 e

tAf0h

AetAf0 n

0.

Claramente (tA)(hA) = (hA)(tA) y AetA = etAA. Luego

e(t+h)Af0 etAf0

h AetAf0 =1

|h| etA(ehA I hA)f0

1

|h|etAehA I hAf0

|h| etAf0A2

2+

n=3

hnAn

n!

|h|etA(A2 + ehA)f0 h0

0.

Lo anterior es valido t R. Concluimos que f(t) = etAf0 D(R, X) y f(t) es solucion de (P; f0).


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Captulo 2

Semigrupos uniformemente continuos

2.1. Definiciones: semigrupo y generador infinitesimal

Definicion. Una familia {T(t)}t0 B(X, X) es un semigrupo uniparametrico de operadores aco-tados (o simplemente semigrupo) si:

i) T(0) = I.

ii) s, t 0, T(s + t) = T(s)T(t).

Si un semigrupo {T(t)}t0 satisface ademas

iii) T(t) I t0+

0,

decimos que es un semigrupo uniformemente continuo, o SUC para abreviar.

Ejercicio. Pruebe que i), ii),iii) t 0, T(t + h) T(t) h0

0.

Ejemplo. Dado A B(X, X), etA definido como en la seccion 1.3 es un SUC. Veremos mas adelanteque todo SUC es de la forma etA para algun A B(X, X).

Definicion. Sea {T(t)}t0 B(X, X) un SUC. El generador infinitesimal de T(t) es el operadorAT : D(AT) X, definido por:

D(AT) = {x X | lmt0

T(t)x x

t}, y

ATx = lmt0

T(t)x x

t=:

d+T(t)x

dt

t=0

, para x D(AT).

En realidad, es un abuso decir que AT es un operador pues no sabemos a priori que D(AT) sea densoen X. Sin embargo, en la seccion 2.3 demostraremos que si T(t) es un SUC entonces D(AT) = Xy AT B(X, X).

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14 CAPITULO 2. SEMIGRUPOS UNIFORMEMENTE CONTINUOS

2.2. Integral de Riemann de un SUC

Consideremos 0 a < b < y denotemos por Pba al conjunto de todas las particiones de [a, b] en

un numero finito de subintervalos. Si P Pba y P = (x0,...,xn), escribimos |P| = maxk=1,...,n{xkxk1}.

Dado un SUC {T(t)}t0 en B(X, X) definimos Rp(T) =n

k=1

(xk xk1)T(xk1). Escribimos la

integral de Riemann de T(t) :ba

T(t)dt = lm|P|0

Rp(T), donde el lmite se toma sobre todas las

P Pba. Dada la continuidad uniforme de {T(t)}t0, es posible probar que el l mite siempre existey tiene las siguientes propiedades:

a)ba

T(t)dt B(X, X).

b) Si U y T son Semigrupos Uniformemente Continuos y A es acotado, entoncesba

[AT(t) +

U(t)]dt = Aba

T(t)dt +ba

U(t)dt.

c) t 0, 1h

t+ht

T(s)ds h0

T(t), es decir, > 0, > 0 tal que si |h| < , entonces

1h

t+ht

T(s)ds T(t) < .

2.3. Acotamiento del generador infinitesimal de un SUCProposicion. Si {T(t)}t0 es un SUC entonces D(AT) = X y AT B(X, X).

Demostracion. Podemos escoger > 0 suficientemente pequeno, de manera que

I 1

0

T(s)ds < 1.

Entonces el operador 1

0T(s)ds es invertible (ver la seccion 1.4), y por lo tanto

0T(s)ds tambien

lo es. As, para h (0, ), tenemos que

1

h[T(h) I]

0

T(s)ds =1

h

0

T(s + h)ds

0

T(s)ds

=1

h

+h

h

T(s)ds

0

T(s)ds


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2.4. CORRESPONDENCIA ENTRE UN SUC Y SU GENERADOR 15

=1

h

h

T(s)ds

+h

T(s)ds

h0

T(s)ds

h

T(s)ds

=

1

h

+h

T(s)ds

h0

T(s)ds

.

Luego,

1

h[T(h) I] =

1

h

+h

T(s)ds

h0

T(s)ds

0

T(s)ds

1

.

As

1

h[T(h) I]

h0[T() I]

0

T(s)ds

1

.

Dado que la convergencia uniforme implica convergencia fuerte, tenemos que para todo x Xexiste lm

h0+

1h [T(h)x x]. Concluimos que D(AT) = X y

AT = [T() I]

0

T(s)ds

1

B(X, X)

por ser B(X, X) un algebra.

2.4. Correspondencia entre un SUC y su generador

Para cada SUC existe un unico generador infinitesimal, el cual es un operador acotado. Por otraparte, todo operador A B(X, X) es el generador infinitesimal del SUC definido por etA como enla seccion 1.3. En seguida probaremos que cada operador acotado genera un unico SUC.

Proposicion. Sean {S1(t)}t0 y {S2(t)}t0 dos Semigrupos Uniformemente Continuos. Supong-

amos que

lmt0

S1(t) I

t= lm

t0

S2(t) I

t.

Entonces S1(t) = S2(t), t 0.

Demostracion. Fijemos t > 0 (para t = 0 es inmediato). Consideremos las funciones f(h) =S1(h) y g(h) = S2(h). Dado que f y g son continuas, existen C1 y C2 positivos y tales queS1(h) C2 y S2(h) C2, h [0, t].


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16 CAPITULO 2. SEMIGRUPOS UNIFORMEMENTE CONTINUOS

Por otra parte, de la hipotesis se tiene que dado > 0, existe > 0 tal que 1hS1(h) S2(h) 0 y M 0 tales que T(t)

M t [0, ]. De lo contrario, existira una sucesion (tn)nN (0, ) con lmn tn = 0 y tal que

T(tn) n n N. El Principio de Acotacion Uniforme, asegura la existencia de un x X talque T(tn)x

n, contradiciendo la continuidad fuerte.

Ahora bien, dado que T(0) = I, tenemos que M 1. Por otra parte, dado t 0 existen m Ny [0, ) tales que t = m + (Lema de Euclides). As,

T(t) = T(m + ) = T()mT()

M Mm M Mt/

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18 CAPITULO 3. SEMIGRUPOS FUERTEMENTE CONTINUOS

pues m t y M 1. Tambien, como M 1, se tiene que w :=1 LogM 0. Entonces e

w = M1/.

As, Mt/ = ewt para todo t 0 y T(t) M ewt.

Proposicion. Si {T(t)}t0 es un C0-semigrupo, entonces para cada x X la funcion x : [0, ) X definida por x(t) = T(t)x es continua.

Demostracion. Sean t 0 y h [0, t]. Tenemos que

T(t + h)x T(t)x T(t)T(h)x x M ewtT(h)x x

h00

Similarmente,

T(t h)x T(t)x T(t h)x T(h)x M ethx T(h)x

M etT(h)x x h0

0.

Notemos que el resultado anterior permite dar sentido a la integral de Riemannba T(s)xds para

todo x X.

La definicion de generador infinitesimal para un C0-semigrupo es la misma que para un SUC:

AT : D(AT) X X.

D(AT) = {x X | lmt0+

T(t)x x

texiste }, y

ATx = lmt0+

T(t)x x

t=

d+

dtT(t)x

t=0

para x D(AT).

Veremos que en este caso, aunque es posible que D(AT) X, se tiene que D(AT) = X. Mas aun,dado que la continuidad fuerte es una condicion mas debil que la continuidad uniforme, esperamosque AT tambien tenga una propiedad un poco mas debil que el ser acotado. El siguiente resultadosera util para confirmar esos dos hechos.

Lema. Sean {T(t)}t0 un C0-semigrupo y AT su generador infinitesimal. Entonces:

a) x X,

lmh0

1

h

t+ht

T(s)xds = T(t)x.


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3.1. DEFINICION Y PROPIEDADES PRELIMINARES 19

b) x X,

t0

T(s)xds D(AT); y

AT

t0

T(s)xds

= T(t)x x

c) x D(AT),

T(t)x D(AT); y

d

dtT(t)x = ATT(t)x = T(t)ATx.

d) x D(AT),

T(t)x T(s)x =

ts

T()ATxd =

ts

ATT()xd.

Demostracion.

a) Es consecuencia de la proposicion anterior.

b) Sean x X y h > 0. Entonces

T(h) I

h

t0

T(s)xds =1

h

t0

[T(s + h)x T(s)x]ds

=1

h

t+ht

T(s)xds 1

h

h0

T(s)xds.

Tomando lmite con h 0, tenemos quet

0 T(s)xds D(AT) y que

AT

t

0

T(s)xds

= T(t)x Ix = T(t)x x.

c) Sean x D(AT) y h > 0. EntoncesT(h) I

h

T(t)x =

T(t + h) T(t)

h

x = T(t)

T(h)x x

h


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Tomando lmite con h 0, tenemos

AT

T(t)x =d+

dtT(t)x = T(t)A

Tx.

Falta ver que pasa con d

dt .

lmh0

T(t)x T(t h)x

h T(t)ATx

= lmh0

T(t h)

T(h)x x

h ATx

+ lm

h0[T(t h)ATx T(t)ATx]

El primer termino del lado derecho es cero pues T(t h) esta acotado para todos h [0, t]y x D(AT). El segundo termino tambien es cero por la continuidad fuerte de T(t).

d) Basta tomar el resultado de la parte c) e integrar de s a t.

3.2. Cerradura del generador infinitesimal de un C0-semigrupo

Proposicion. Si AT es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo, {T(t)}t0, entonces D(AT) =X.

Demostracion. Sea x X. Construiremos una sucesion (xn)nN D(AT) que converge a x.

Para cada n N, definimos xn = n1/n

0

T(s)xds. La parte b) del Lema anterior nos dice que

xn D(AT) y de la parte a) se tiene que lmn

xn = x.

De hecho, se puede probar algo mas fuerte:

Proposicion. Si AT es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo y D(An) es el dominio del

operador An, entonces se tiene que

nN

D(An) es denso en X.

Aunque el generador infinitesimal de un C0-semigrupo no necesariamente es acotado, este s tieneuna propiedad similar, pero un poco mas debil.

Definicion. Sean X, Y espacios de Banach y A : D(A) X Y un operador. Se dice que A es

cerrado si dada una sucesion (xn)nN D(A) que satisface lmnxn = x X y lmnAxn = y Y,se tiene que x D(A) y Ax = y.

Observemos que si A es acotado, entonces tambien es cerrado. El recproco, en general, no escierto. Sin embargo, si D(A) = X, entonces A es acotado si, y solo si, es cerrado. La demostracionse deja como ejercicio.

Indicacion. La primera afirmacion se demuestra de manera inmediata. Para la segunda, busque uncontraejemplo. Para la ultima, demuestre primero que A es cerrado si, y solo si, G(A) := {(x,Ax)


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3.2. CERRADURA DEL GENERADOR INFINITESIMAL DE UN C0-SEMIGRUPO 21

X Y | x D(A)} es cerrado en X Y. Luego utilice el Teorema del Grafo Cerrado tomando encuenta que D(A) = X es un espacio de Banach.

Proposicion. Si AT es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo {T(t)}t0, entonces AT escerrado.

Demostracion. Supongamos que (xn)nN D(AT) es tal que lmn

xn = x X y lmn

ATxn =

y Y. Debemos probar que x D(AT) y ATx = y. De la parte d) del lema anterior tenemos que

T(t)xn =t0

T(s)yds. Pero lmn

t0

T(s)ATxnds =t0

T(s)yds pues

t

0

T(s)ATxnds

t

0

T(s)yds

=

t

0

T(s)[ATxn y]ds

t0

T(s)ATxn yds

t0

M ewsATxn yds

t0

M ewtATxn yds

M tewtAT

xn

y n

0.

Luego T(t)x x =t0

T(s)yds. As, por la parte a) del Lema anterior,

lmt0

T(t)x x

t= lm

t0

1

t

t0

T(s)yds = T(0)y

= y.

Concluimos que x D(AT) y que ATx = y. Es decir, AT es cerrado.

Al igual que en el caso uniformemente continuo, el generador infinitesimal caracteriza al semi-grupo.

Proposicion. Sean {T(t)}t0 y {S(t)}t0 dos C0-semigrupos con generadores infinitesimales A yB respectivamente. Entonces A = B si, y solo si T(t) = S(t) para todo t 0.

Demostracion. De la definicion de generador infinitesimal se tiene inmediatamente que si T(t) =S(t), t 0, entonces A = B. Supongamos ahora que A = B. Sean x X y t 0. Definimos lafuncion t : [0, t] X por t(s) = T(t s)S(s)x. Utilizando la parte c) del lema anterior y la regla


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de la cadena, tenemos que

d

dst(s) = d

dsT(t s)S(s) + T(t s) d

dsS(s)

= AT(t s)S(s) + T(t s)BS(s)

= T(t s)AS(s) + T(t s)AS(s)

= 0

pues A = B. Tenemos entonces que t es constante en [0, t]. En particular t(0) = t(t). Es decir,T(t)x = S(t)x, t 0, x X.

3.3. C0-semigrupos de contracciones y el teorema de Hille-Yosida

Sabemos que todo C0-semigrupo satisface T(t) M ewt, t 0 para ciertas constantes M 1y w 0. Si w = 0, T(t) se dice uniformemente acotado y si ademas M = 1, se llama C0-semigrupode contracciones, en cuyo caso se tiene.

t 0, x, y X, T(t)x T(t)y x y

Esta clase particular de semigrupos es muy interesante por su rol en diversas aplicaciones.

En lo que sigue queremos caracterizar los generadores infinitesimales de C0-semigrupos de con-tracciones. Para esto, recordemos que si A es un operador lineal, no necesariamente acotado, en X,el conjunto resolvente (A) de A se define mediante:

(A) := { C | I A es invertible y (I A)1 es un operador acotado en X}.

La familia de operadores lineales acotados R( : A) := (I A)1, con (A), se llama laresolvente de A.

Teorema [Hille-Yosida, 1948]

Un operador lineal A : D(A) X, no necesariamente acotado, es el operador infinitesimal deun C0-semigrupo de contracciones {T(t)}t0 si y solo si

(i) A es cerrado y D(A) = X.

(ii) El conjunto resolvente (A) de A contiene a R++

y para todo > 0 se tiene R( : A) 1/.

3.3.1. Demostracion del teorema de Hille-Yosida: necesidad

Si A es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo entonces es cerrado y D(A) = X. Dado > 0, postulamos como candidato a la inversa de (I A) al operador definido por

R()x :=

0

etT(t)xdt


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3.3. C0-SEMIGRUPOS DE CONTRACCIONES Y EL TEOREMA DE HILLE-YOSIDA 23

Como t T(t)x es continuo y uniformemente acotado (pues T(t)x x), la integral impropiaexiste en el sentido de Riemann y mas aun define un operador lineal acotado que satisface

R()x

0

etT(t)xdt 1

x.

Luego, para probar la necesidad solo falta verificar que R() es efectivamente la inversa de (IA).Comencemos por considerar, dado h > 0,

T(h) I

hR()x =

1

h

0

et[T(t + h)x T(t)x]dt

=

1

h

eh

h

et

T(t)xdt

0

et

T(t)xdt

=eh 1

h

0

etT(t)xdt eh

h

h0

etT(t)xdt.

Cuando h 0, el lado derecho converge a R()x x. As, x X y > 0, R()x D(A) ymas aun

AR()x = R()x x.

En consecuencia,

(I A)R() = I. (3.1)

Para que R() sea propiamente la inversa de I A, falta ver que pasa cuando opera por laizquierda. Dado x D(A) tenemos

R()Ax =

0

etT(t)Axdt =

0

etAT(t)xdt,

donde en la ultima igualdad usamos que T(t)Ax = AT(t)x, x D(A). Como A es cerrado, de la

convergencia de la ultima integral impropia deducimos que

0

etAT(t)xdt = A

0

etT(t)xdt =

AR()x. Luego R() y A conmutan sobre D(A), lo que junto con (3.1) implica que

R()(I A)x = x, x D(A).

3.3.2. Regularizada de Yosida

Antes de demostrar la suficiencia de las condiciones (i) y (ii), necesitamos algunos resultadospreliminares:


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Lema 1. Sea A un operador que satisface (i) y (ii) del teorema de Hille-Yosida. Si R(; A) =(I A)1 entonces

lmR( : A)x = x, x X.

Demostracion. Sea x D(A). Como, dado > 0, se tiene

R( : A)(I A)x = x,

obtenemos que

R( : A)x x = R( : A)Ax

y luego

R( : A)x x 1

Ax

0.

As, el resultado es cierto para x D(A). Sea ahora (Xn) D(A) con xn x. Tenemos que

R( : A)x x R( : A)(x xn) + R( : A)xn xn + xn x

2x xn + R( : A)xn xn.

Luego

lm sup

R( : A)x x 2x xn.

Haciendo n se deduce que lm sup

R( : A)x x 0 y por lo tanto

lm

R( : A)x = x.

Como D(A) es denso, esto prueba el resultado.

Para cada > 0, el cual esta destinado a diverger a infinito1, definimos ahora la regularizadade Yosida de A mediante

A = AR( : A) = A(I A)1

= 2R( : A) I.

Lema 2. Si A satisface las condiciones (i) y (ii) del teorema de Hille-Yosida, entonces

lm

Ax = Ax, x D(A).

1Cuidado: algunos autores introducen el parametro y lo hacen tender a 0 en lugar de infinito, lo que explicaposibles discrepancias entre sus expresiones y las nuestras cuando aparece explcitamente.


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3.3. C0-SEMIGRUPOS DE CONTRACCIONES Y EL TEOREMA DE HILLE-YOSIDA 25

Demostracion. Para x D(A), del lema anterior se tiene R( : A)Ax Ax cuando ,pero

R( : A)Ax = AR( : A)x = Ax.

Lema 3. Bajo las condiciones anteriores, A, con > 0, es el generador infinitesimal de un SUCde contracciones etA . Mas aun, x X, , > 0, t 0, se tiene que

etAx etAx tAx Ax.

Demostracion. Como A = 2R( : A) I, es claro que se trata de un operador lineal acotado,

y en consecuencia, es el generador infinitesimal del SUC T(t) = etA . Ademas

etA = et(2R(:A)I) = etet

2R(:A)

et

et

= 1,

y por lo tanto etA es un SUC de contracciones. Por otra parte, es claro de las definiciones queA, A, e

tA , etA conmutan entre s. Luego

etAx etAx =

10

etsAet(1s)A [Ax Ax]ds

tAx Ax,

lo que prueba la desigualdad.

3.3.3. Demostracion del teorema de Hille-Yosida: suficiencia

Sea x D(A). Por el lema 3 anterior tenemos que

etAx etAx tAx Ax tAx Ax + tAx Ax.

Por el lema 2 se tiene que (etAx)0 es de Cauchy cuando y por lo tanto converge. Mas aunla convergencia es uniforme sobre intervalos acotados [0, T]. Como D(A) es denso y etA 1,razonando como antes se deduce que (etAx)0 es convergente para todo x X, y este lmite esuniforme sobre intervalos acotados para t. Para cada x X, definamos

T(t)x = lm

etAx.

Es claro que T(t) satisface T(0) = I, T(t) 1 y se tiene la propiedad de semigrupo. Ademas,la funcion t T(t)x es continua en [0, T] por tratarse de lmite uniforme de funciones continuas:t etAx. Por lo tanto, T(t) es un C0-semigrupo de contracciones.

Para concluir la demostracion, basta mostrar que A es el generador infinitesimal de T(t). Seax D(A). Tenemos que

T(t)x x = lm

(etAx x) = lm

t0

esAAxds =

t0

T(t)Axds,


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donde la ultima igualdad se sigue de la convergencia uniforme de esAAx a T(s)Ax en el intervalo[0, t]. Luego, si B es el generador infinitesimal de T(t), se deduce que D(A) D(B) y, mas aun,

Bx = Ax, x D(A).

Pero por hipotesis, 1 (A) y, por la condicion necesaria, 1 (B). En particular (IB)D(B) = X,pero como D(B) D(A), tenemos

X = (I B)D(B) (I B)D(A) = (I A)D(A) = X.

En consecuencia, D(B) = (I B)1X = D(A) y as, B = A en X.

3.4. Operadores disipativos y el teorema de Lumer-Phillips

En esta seccion veremos una caracterizacion alternativa para los generadores infinitesimales deC0-semigrupos de contracciones.

Sean X un espacio de Banach complejo y X su dual topologico. Denotemos por F(x) = {x X | x, x = x2 = x2}. Observemos que, de acuerdo con el Teorema de Hahn-Banach, x Xexiste f X tal que x, f = x y f = 1. Luego x = xf satisface x, x = xx, f = x2

y x = x. De all, x X, F(x) = .

Definicion. Un operador A : D(A) X X es disipativo si para todo x D(A) existe x F(x)tal que ReAx,x 0.

Proposicion. Un operador A : D(A) X X es disipativo si y solo si x D(A), > 0, setiene que (I A)x x.

Demostracion. Supongamos que A es disipativo. Sea x D(A). Si x = 0, la desigualdad se tienede manera inmediata. Si x = 0 y > 0, sea x F(x) tal que ReAx,x 0. Entonces

x Axx |x Ax,x|

Rex Ax,x

= Rex,x ReAx,x

= x2 ReAx,x

x2.

De all, (IA)x x. Recprocamente, sea x D(A) y supongamos que > 0, xAx

x (aqu tambien podemos suponer x = 0). Sean yn F(nx Ax) y zn =

ynyn

. Entonces

zn = 1 para todo n 1 y

nx nx Ax = nx Ax,zn

= nRex, zn ReAx,zn

nx ReAx,zn.


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3.4. OPERADORES DISIPATIVOS Y EL TEOREMA DE LUMER-PHILLIPS 27

Luego

ReAx,zn 0 (3.2)

y

Rex, zn 0x 1

nAx. (3.3)

La sucesion {zn}nN esta contenida en la bola unitaria de x, la cual es compacta para la topologa

debil-*. Luego, tiene una subsucesion (que seguimos denotando por {zn}nN) que converge a uncierto z para esta topologa. Al pasar al lmite, (3.2) y (3.3) se convierten en ReAx,z 0 yRex, z x. Pero Rex, z x. Luego x, z = x y z = 1. Sea x = xz. Tenemosque x, z = x2 = x2 y ReAx,z

0. Concluimos que A es disipativo.

Proposicion. Sea A : D(A) X X un operador disipativo. Si Im(0I A) = X para algun0 > 0, entonces:

a) A es cerrado, y

b) Im(I A) = X > 0.

Demostracion.

a) Como Im(0I A) = X y (0I A)x 0x, x D(A), tenemos que 0 (A). Luego(0I A)

1 es acotado y, por lo tanto, cerrado. De all, 0I A es cerrado y, A tambien loes.

b) Sea = { > 0 | Im(I A) = X}.

= pues 0 .

es abierto en (0, ): En efecto, sea . Como Im(I A) = X y (I A)x x, x D(A), se tiene que (A), el cual es abierto. Luego > 0 tal que( , + ) .

es cerrado en (0, ): Sea (n)nN tal que n > 0. Para cada y X y n Nexiste xn D(A) tal que nxn Axn = y. Luego, n N,

xn 1

nnxn Axn =

y

n C

para algun C > 0. Ademas,

xn xm 1

mm(xn xm) A(xn xm)

=1

m (mxn Axm) + (nxn Axn) + (m n)xn

=1

m y + y + (n m)xn)

=xn

m|n m| C

2|n m|.


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Como (n)nN es de Cauchy, tambien lo es (xn)nN y por lo tanto converge a algun x X.De all, Axn x y cuando n . Como A es cerrado, x D(A) y (I A)x = y.Concluimos que .

Finalmente, dado que (0, ) es conexo tenemos que = (0, ).

Teorema [Lumer-Phillips, 1961]

Sean X un espacio de Banach y A : D(A) X X un operador.

a) Si A es disipativo e Im(0I A) = X para algun 0 > 0, entonces A es el generadorinfinitesimal de un C0-semigrupo de contracciones en X.

b) Si A es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo de contracciones en X, entonces Im(I

A) = X para todo > 0 y A es disipativo. Mas aun, x D(A), x F(x), se tiene queReAx,x 0.

Demostracion.

a) Por la proposicion anterior, A es cerrado, (0, ) (A) y (I A)1x 1(I A)(I

A)1x = x , de donde R( : A) 1 para todo > 0. El resultado se obtiene al aplicar

el teorema de Hille-Yosida.

b) Si A es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo de contracciones {T(t)}t0 en X, elteorema de Hille-Yosida dice que (0, ) (A) y, por lo tanto, Im(I A) = X > 0.

Para todos x D(A) y x F(x) se tendra que |T(t)x, x| T(t)xx x2. Por lotanto, ReT(t)x x, x = ReT(t)x, x x2 0. Dividiendo por t > 0 y pasando al lmitecon t 0 tenemos que

ReAx,x = Re lmt0

T(t)x x

t

, x 0,

lo que prueba el resultado.

Observacion. La version de este resultado en el caso especial en que X es un espacio de Hilbertfue obtenida por R. S. Phillips en 1959.


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Ejercicios

En lo que sigue (X, ) es un espacio de Banach,

1. Pruebe que un operador lineal A : D(A) X X es el generador infinitesimal de unC0-semigrupo {T(t)}t0 tal que t 0, T(t) et para algun 0, si y solo si

(i) D(A) = X y A es cerrado.

(ii) (A) { R | > } y > , R( : A) 1/( ).

2. Sea A : D(A) X X el generador infinitesimal de un C0-semigrupo {T(t)}t0.

(a) Pruebe que x D(A2), t 0, T(t)x x = tAx +t0 (t s)T(s)A

2xds.

(b) Suponga ademas que T(t) M, t 0. Pruebe que x D(A2), Ax2 4M2A2xx.

(c) Sea X el espacio de Banach de las funciones uniformemente continuas y acotadas deR en R, dotado de la norma del supremo f = supxR |f(x)|. Para f X y t 0,definamos T(t)f X mediante [T(t)f](x) = f(t+x). Demuestre que {T(t)}t0 es un C0-semigrupo de contracciones y encuentre su generador infinitesimal A. Es A un operador

acotado?

(d) [Desigualdad de Landau.] Sea f C2(R;R) una funcion tal que f, f y f son acotadasy uniformemente continuas. Pruebe que f2 4f

f.

3. Sea A : D(A) X X un operador cerrado. Pruebe que si A y A son disipativos, entoncesA es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo de contracciones en X.

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Bibliografa

[1] H. Brezis, Analyse Fonctionnelle, Masson, Paris, 1983.

[2] E. Hille, R.S. Phillips, Functional Analysis and Semi-Groups, Amer. Math. Soc. Colloq.Publ. Vol. 31, Providence R. I., 1957.

[3] A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations,Applied Mathematical Sciences 44, Springer-Verlag, New York, 1983.

Lida Patricia - Semigrupo de Operadores

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