Libro Recopilación Psu

lvaro M. Snchez Vsquez Prof. Matemtica y Fsica

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LIBRO RECOPILACIN PSU EJERCICIOS DEMRE

CONTENIDOS EJERCICIOS PSU RESPUESTAS RECOPILACIONES ENSAYOS


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INDICE

Contenido Pgina

1 Nmeros Enteros, operatoria, propiedades 3

2 Nmeros racionales, operatoria, propiedades 14

3 Potencias, propiedades, aplicaciones 30

4 Operatoria algebraica 38

5 Simbologa 56

6 Razones y proporciones. propiedades 61

7 Tanto por ciento, propiedad, aplicaciones 71

8 Races, propiedades, aplicaciones 84

9 Ecuaciones de primer grado, lineales, sistemas de ecuaciones 94

10 Desigualdades, intervalos, inecuaciones 112

11 Ecuacin de segundo grado, propiedades, aplicaciones 119

12 Logaritmos, propiedades, aplicaciones 122

13 Funciones, operatoria, tipos de funciones, propiedades, aplicaciones 125

14 ngulos y Tringulos, propiedades, Teorema de Pitgoras, teorema de Euclides 150

15 Congruencia de tringulos, criterios, aplicaciones 172

16 Semejanza de tringulos, criterios, aplicaciones 176

17 Cuadrilteros, propiedades, aplicaciones 187

18 Polgonos, propiedades 202

19 ngulos en la circunferencia, propiedades, aplicaciones 204

20 Relaciones mtricas en la circunferencia, crculo, aplicaciones 216

21 Poliedros, volumen, aplicaciones 221

22 Divisin interior y exterior 230

23 Trigonometra, razones, aplicaciones 233

24 Probabilidad, propiedades, aplicaciones 244

25 Estadstica, grficos, aplicaciones 267

26 Transformaciones isomtricas, propiedades, aplicaciones 283

27 Teorema de Tales, propiedad, aplicacin 301

28 Evaluacin de suficiencia de datos 309

29 Respuestas 334

30 Recopilacin 1 340







37 Ensayo 1 459

38 Ensayo 2 481

39 Ensayo 3 505

40 Ensayo 4 531

41 Ensayo 5 552

42 Ensayo 6 577

43 Ensayo Admisin 2011 601

44 Ensayo 8 628

45 Ensayo 9 653

46 Ensayo 10 676


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RESUMEN PSU MATEMATICA

I. NMEROS NATURALES Y CARDINALES (IN, IN0) Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3,} se denominan nmeros naturales. Si a este conjunto le unimos el conjunto formado por el cero, obtenemos lN0 = {0, 1, 2,} llamado conjunto de los nmeros cardinales. NMEROS ENTEROS (Z)

Los elementos del conjunto Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2,} se denominan nmeros enteros Algunos subconjuntos de Z son:

Z+ = {1, 2, 3,} enteros positivos Z 0 = {0, 1, 2,} enteros no negativos

Z- = {-1, -2, -3,} enteros negativos Z 0 = {0, -1, -2, -3,} enteros no positivos

1. Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121,

144, 169, 196, 225, 256, 2. Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, y tambin: -1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, MLTIPLO Y DIVISOR

En la expresin a = b c en que a, b y c son nmeros enteros, a es mltiplo de b y de c o bien b y c son divisores o factores de a.

REGLAS DE DIVISIBILIDAD Un nmero entero es divisible: Por Cuando

2 Termina en cifra par. 3 La suma de sus cifras es mltiplo de tres. 4 Las dos ltimas cifras forman un nmero mltiplo de cuatro o

bien son Ceros. 5 La ltima cifra es cero o cinco. 6 Es divisible por dos y por tres a la vez.

7 La diferencia entre el doble de la ltima cifra y el nmero que forman las Cifras restantes es mltiplo de siete. 8 Las tres ltimas cifras forman un nmero mltiplo de ocho o

bien son Ceros. 9 La suma de sus cifras es mltiplo de nueve. 10 Termina en cero.

11 La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y Las que ocupan los lugares impares es mltiplo de once.


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NMEROS PRIMOS, COMPUESTOS y DESCOMPOSICIN EN FACTORES

Nmeros primos: Son aquellos enteros positivos que tienen slo dos divisores distintos. Los primeros nmeros primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, Nmeros compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos. Los primeros nmeros compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, TEOREMA FUNDAMENTAL Todo nmero compuesto se puede expresar de manera nica como el producto de

aquellos nmeros que cumplen con la propiedad de ser factores de nmeros primos

MNIMO COMN MLTIPLO (m.c.m.) Es el menor mltiplo comn positivo de dos o ms enteros.

MXIMO COMN DIVISOR (M.C.D.) Es el mayor divisor comn entre dos o ms enteros.

CLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIN EN FACTORES PRIMOS

Se descomponen los nmeros en factores primos: 1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.

2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel que posea el exponente menor.

OPERATORIA EN Z ADICIN i. Al sumar nmeros de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos

conservando el signo comn. ii. Al sumar dos nmeros de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta

el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto.

MULTIPLICACIN i. Si se multiplican dos nmeros de igual signo al resultado es siempre positivo.

ii. Si se multiplican dos nmeros de distinto signo el resultado es siempre negativo.

OBSERVACIN: La divisin cumple con las reglas de signos de la multiplicacin. VALOR ABSOLUTO

Es la distancia que existe entre un nmero y el 0


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DEFINICIN: n

0nsin

0nsi,n

ALGORITMO DE LA DIVISIN Si D: d = c, entonces D = d c + r r //

D = dividendo d = divisor c = cuociente o cociente

r = resto OBSERVACIONES:

1. 0 r < d 2. La divisin por cero no est definida.

PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:

1. Resolver los parntesis. 2. Realizar las potencias. 3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.

4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha. RELACIN DE ORDEN EN Z

Si a y b son nmeros enteros, entonces diremos que: i. a > b si y slo si (a - b) es un entero positivo. ii. a < b si y slo si (a - b) es un entero negativo.

iii. a b si y slo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez). iv. a b si y slo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).


6

EJEMPLO PSU-1: Si al entero ( 1) le restamos el entero ( 3), resulta A) 2 B) 2

C) 4 D) 4 E) ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-2: Si a es un nmero de dos dgitos, en que el dgito de las decenas es m y el de las unidades es n, entonces a + 1 =

A) m + n + 1

B) 10m + n + 1 C) 100m + n + 1

D) 100m + 10n + 1 E) 10(m + 1) + n

EJEMPLO PSU-3: Si n = 2 y m = -3, cul es el valor de

nm (n + m)? A) -11

B) -5 C) 5

D) 7 E) -7

EJEMPLO PSU-4: En una fiesta de cumpleaos hay 237 golosinas para repartir entre 31 nios invitados. Cul es el nmero mnimo de

golosinas que se necesita agregar para que cada nio invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna?

A) 11

B) 20

C) 21 D) 0

E) 7


7

EJEMPLO PSU-5: Claudia tena en el banco $ 4p. Retir la mitad y

horas ms tarde deposit el triple de lo que tena al comienzo. Cunto dinero tiene ahora Claudia en el banco?

A) $ 8p B) $ 10p

C) $ 12p D) $ 16p

E) $ 14p

EJEMPLO PSU-6: Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla: el ltimo nmero de cada fila es la suma de los tres

nmeros anteriores y el ltimo nmero de cada columna es la suma de los tres nmeros anteriores. Cul es el valor de x?

A) 5

B) 7 C) 8

D) 9

E) 16

EJEMPLO PSU-7: Con los crculos se ha armado la siguiente secuencia de figuras:

Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La dcima figura de la secuencia est formada por 21 crculos II) De acuerdo a la formacin de la secuencia cualquier figura tendr

un nmero impar de crculos III) La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de crculos entre dos

figuras consecutivas es 2

A) Slo I B) Slo I y II

C) Slo I y III D) Slo II y III

E) I, II y III

x 4 20

4 9

8 13

24 16 55


8

EJEMPLO PSU-8: En un monedero hay doce monedas de $5 y nueve de

$10. Estas 21 monedas representan un cuarto del total de dinero que hay en su interior. Si en el resto de dinero se tiene igual cantidad de

monedas de $50 y de $100, cul(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)?

I) En total hay 27 monedas II) Hay 4 monedas de $50 en el monedero

III) En el monedero hay $600

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) Solo I y III

E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-9: Se define baba b y a # b = 2a - 4b, para a y b

nmeros enteros, el valor de (2 5) # (-2) es:

A) 82 B) 66

C) 60 D) 38

E) 22

EJEMPLO PSU-10: Al sumar el cuarto y el quinto trmino de la secuencia: x - 5, 2(2x + 7), 3(3x - 9), 4(4x + 11),. . ., resulta

A) 41x - 2

B) 61x + 25 C) 41x - 109

D) 41x + 109 E) 41x - 21

EJEMPLO PSU-11: De cuntas formas distintas se puede pagar, en forma exacta, una cuenta de $ 12.000 usando billetes de $ 10.000 o

$ 5.000 o $ 1.000 o combinaciones de ellos?

A) De 1 forma B) De 2 formas

C) De 4 formas D) De 3 formas

E) De 6 formas


9

EJEMPLO PSU-12: Si hoy es mircoles, qu da de la semana ser en 100 das ms, a partir de hoy?

A) Viernes B) Sbado

C) Lunes D) Mircoles

E) Jueves

EJEMPLO PSU-13: Si tuviera $80 ms de los que tengo podra comprar

exactamente 4 pasteles de $ 240 cada uno, cunto dinero me falta si quiero comprar 6 chocolates de $ 180 cada uno?

A) $280

B) $200 C) $120

D) $100

E) $ 40

EJEMPLO PSU-14: El precio de los artculos M, N y T son $(n-1),

$(n-2) y $(n -3), respectivamente. Cuntos pesos se deben pagar por un artculo M, dos artculos N y tres artculos T?

A) 6n - 14

B) 6n 6 C) 5n 14 D) 3n 14 E) 3n - 6

EJEMPLO PSU-15: En las siguientes igualdades los nmeros n. p, q y r

son enteros positivos. Cul de las opciones expresa la afirmacin p es

divisible por q?

A) p = nq + r

B) q = np + r C) q = np

D) p = nq

E) q

11

q

p


10

EJEMPLO PSU-16: Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje

corregido se calcula de la siguiente manera: Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala. Cul es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas?

A) 8

B) 6 C) 9

D) 10 E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-17: Si 16(n + 8) = 16, entonces n - 5 es igual a

A) -12

B) -7 C) -2

D) 4 E) 12

EJEMPLO PSU-18: M, N y P son nmeros enteros mayores que 1. Si ninguno de ellos tiene factores en comn, salvo el 1, cuando M = 9 y

N = 8, cul es el menor valor posible de P?

A) 7 B) 5

C) 4 D) 3

E) 1

EJEMPLO PSU-19: En un tringulo equiltero de lado 1.000 se unen los puntos medios de cada lado y se obtiene un nuevo tringulo equiltero,

como se muestra en la figura. Si repetimos el proceso 6 veces, el lado del tringulo que se obtiene es:

5

6

2

000.1)E

6

000.1)D

2

000.1)C

2

000.16)B

12

000.1)A


11

EJEMPLO PSU-20: La suma de tres nmeros impares consecutivos es

siempre: I) divisible por 3

II) divisible por 6

III) divisible por 9 Es(son) verdadera(s):

A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y III

D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-21: La suma de tres nmeros enteros consecutivos es

0. Con respecto a estos nmeros, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La suma del menor y el mayor es 0

II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor

III) El mayor menos el menor es 0 A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D) Solo I y II E) I, II y III

EJEMPLO PSU-22. Un grupo de amigos tiene dinero para comprar 20

bebidas de $ 200 cada una. Si el precio sube a $ 250 cada una, cuntas bebidas pueden comprar con el mismo dinero?

A) 1

B) 8 C) 16

D) 26

E) 80


12

EJEMPLO PSU-23. Encuentre el valor de (A + B + C), sabiendo que en

el cuadrante slo pueden colocarse los nmeros 1, 2, 3 y 4 de manera tal que en cada fila y columna pueden ir slo una vez cada nmero

A) 8 B) 7

C) 6 D) 5

E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-24. La distancia en la recta numrica entre a y b es c.

esto se expresa como:

anterioreslasdeNinguna)E

cab)D

cba)C

cba)B

cba)A

EJEMPLO PSU-25. Cinco personas P, Q, R, S y T juegan sacando un cartn de una caja en que aparece una operacin, en el cual tienen que

reemplazar la letra X por el nmero que les dictan (para todos el mismo). La persona que tiene el cartn con el menor resultado gana. Si

se sacan los siguientes cartones:

P Q R S T

Quin gana cuando dictan 3?

A) Q B) P

C) R

D) S E) T

X-1 1 - X X + 1 1 (-X) -X


13

EJEMPLO PSU-26. Cul de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) Un nmero entero es divisible por 6 si es par y la suma de sus dgitos

es divisible por 3.

B) Si la suma de dos nmeros es par, entonces ambos son pares o ambos son impares.

C) La suma de todo nmero divisible por 3 con todo nmero divisible por 6, es divisible por 3.

D) El cuadrado de todo nmero divisible por 3 es divisible por 6. E) El producto de todo nmero divisible por 4 con todo nmero divisible

por 6, es divisible por 12.


14

II. NMEROS RACIONALES

Los nmeros racionales son todos aquellos nmeros de la forma b

a con a y b

nmeros enteros y b distinto de cero. El conjunto de los nmeros racionales se representa por la letra Q.

0byZb,a/b

aQ

2. IGUALDAD ENTRE NMEROS RACIONALES

ADICIN Y SUSTRACCIN DE NMEROS RACIONALES

Si d

c,

b

a Q, entonces:

OBSERVACIONES

1. El inverso aditivo (u opuesto) de b

a es -

b

a, el cual se puede escribir tambin

como b

ao

b

a

2. El nmero mixto Ac

b se transforma a fraccin con la siguiente frmula:

MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE NMEROS RACIONALES

Si d

c,

b

a Q, entonces:

MULTIPLICACIN

DIVISIN

OBSERVACIN

El inverso multiplicativo (o recproco) de b

a es 0acon,

a

b

b

a1

bd

bcad

d

c

b

a

bd

bcad

d

c

b

a


15

RELACIN DE ORDEN EN Q

OBSERVACIONES

1. Para comparar nmeros racionales, tambin se pueden utilizar los siguientes procedimientos: a. igualar numeradores.

b. igualar denominadores. c. convertir a nmero decimal. 2. Entre dos nmeros racionales cualesquiera hay infinitos nmeros racionales.

NMEROS DECIMALES

Al efectuar la divisin entre el numerador y el denominador de una fraccin, se obtiene un desarrollo decimal, el cul puede ser finito, infinito peridico o infinito semiperidico.

a. Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales.

Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales b. Desarrollo decimal infinito peridico: Son aquellos que estn formados por

la parte entera y el perodo.

Ejemplo: 0,444.... = 0,4

c. Desarrollo decimal infinito semiperidico: Son aquellos que estn formados por la parte entera, un anteperodo y el perodo.

Ejemplo: 24,42323... = 24,423

OPERATORIA CON NMEROS DECIMALES

1. Adicin o sustraccin de nmeros decimales: Para sumar o restar nmeros decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuacin se realiza la operatoria

respectiva. As por ejemplo: 0,19 3,81

+ 22,2 26,20

2. Multiplicacin de nmeros decimales: Para multiplicar dos o ms nmeros decimales, se multiplican como si fueran nmeros enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales

tengan los nmeros en conjunto.

As por ejemplo: 3,21 2,3 963

642 7,383


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3. Divisin de nmeros decimales: Para dividir nmeros decimales, se puede

transformar el dividendo y el divisor en nmeros enteros amplificando por una potencia en base 10. As por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100

224: 120 y se dividen como nmeros enteros

TRANSFORMACIN DE DECIMAL A FRACCIN 1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dgitos que forman el nmero decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como

cifras decimales tenga dicho nmero.

Por ejemplo: 3,24 = 100

324

2. Decimal infinito peridico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el

nmero decimal completo (sin considerar la coma) y el nmero formado por todas las cifras que anteceden al perodo y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el perodo.

Por ejemplo: 2,15= 99

2215

3. Decimal infinito semiperidico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el nmero completo (sin considerar la coma) y el nmero formado por todas

las cifras que anteceden al perodo y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el perodo, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperodo.

Por ejemplo: 5,34 = 90

53534

APROXIMACIONES Frecuentemente conviene redondear o truncar un nmero, dejando una

aproximacin con menos cifras significativas, de las que tiene originalmente. REDONDEO

Para redondear un nmero decimal finito o infinito se agrega 1 al ltimo dgito que se conserva (redondeo por exceso), si el primero de los dgitos eliminados es mayor o igual a 5; si la primera cifra a eliminar es menor que 5, el ltimo dgito

que se conserva se mantiene (redondeo por defecto). Por lo tanto, como ejemplos, BAJO ESTA REGLA, al redondear a la centsima los nmeros 4,748 y 9,5237 se obtiene 4,75 y 9,52, respectivamente.

TRUNCAMIENTO Para truncar un nmero decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas a

la derecha dela ltima cifra a considerar. De esta manera, como ejemplo, si se trunca a las centsimas el nmero 2,5698 resulta 2,56.

ESTIMACIONES Realizar un clculo estimativo, consiste en efectuarlo con cantidades aproximadas

por redondeo a las dadas, reemplazando dgitos distintos de ceros por ceros, dejando la cantidad de cifras significativas que se indique (lo que habitualmente es una cifra).


17

EJEMPLO PSU-1: 5

5,0

05,0

A) 0,5

B) 0,05 C) 0,005

D) 50

E) 500

EJEMPLO PSU-2: El orden de los nmeros a =3

2, b =

6

5 y c =

8

3de

menor a mayor es

A) a < b < c

B) b < c < a C) b < a < c

D) c < a < b E) c < b < a

EJEMPLO PSU-3: 40 - 20 2,5 + 10 =

A) 0 B) -20

C) 60 D) 75

E) 250

EJEMPLO PSU-4: 5

3

8

9

A) 0,15

B) 0,5 C) 0,52

D) 0,525

E) 2


18

EJEMPLO PSU-5: Si a 6

5se le resta

3

1resulta:

9

2)E

3

4)D

3

2)C

2

1)B

2

1)A

EJEMPLO PSU-6:

25,08

3

1

75,08

3

1

3

8)E

4)D

3

16)C

3

16)B

3

15)A

EJEMPLO PSU-7: Si t = 0,9 y r = 0,01, entonces r

rt =

A) 80,89 B) 80,9

C) 88,9 D) 89

E) Ninguno de los valores anteriores


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EJEMPLO PSU-8: En la igualdad R

1

Q

1

P

1 , si P y R se reducen a la

mitad, entonces para que se mantenga el equilibrio, el valor de Q se debe

A) duplicar.

B) reducir a la mitad. C) mantener igual.

D) cuadruplicar. E) reducir a la cuarta parte.

EJEMPLO PSU-9: Juan dispone de $ 6.000 para gastar en entretencin.

Si se sabe que cobran $1.000 por jugar media hora de pool y $600 por media hora en Internet, entonces cul(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Juan puede jugar a lo ms 3 horas de pool

II) Juan puede conectarse a lo ms 5 horas en Internet III) Juan puede jugar 1,5 horas de pool y conectarse 2,5 horas a

internet

A) Solo III B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-10: x

1

x

1

x

1

3

3

x

3)E

x3

1)D

x

3)C

x

1)B

3)A


20

EJEMPLO PSU-11: Si RH2

1P , entonces H-1 es igual a:

P2

R)E

P

R2)D

R

P2)C

P2

R)B

R

P2)A

EJEMPLO PSU-12: 2

1

6

1

3

1

4

1)E

3

2)D

9

1)C

15

2)B

12

5)A

EJEMPLO PSU-13:

8,366,2

8,326,2

8,9

6,7)E

4,19

28,2)D

4,19

5)C

4,19

5)B

3

1)A


21

EJEMPLO PSU-14:

4

11

2

3

1

3)E

1)D

6

11)C

3

1)B

2

3)A

EJEMPLO PSU-15:

2)5,0(

5,0100

50

A) 10 B) 1

C) 0,1 D) 0,25

E) 0,75

EJEMPLO PSU-16: Una persona debe recorrer 12,3 kilmetros y ha

caminado 7.850 metros. Cunto le falta por recorrer?

A) 4,45 km

B) 4,55 km C) 5,55 km

D) 5,45 km E) 6,62 km

EJEMPLO PSU-17: Si a es un nmero natural mayor que 1, cul es la

relacin correcta entre las fracciones:a

3p

1a

3t

1a

3r

A) p


22

EJEMPLO PSU-18: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un

licor Q. Si 6 litros del licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, cul es el precio de los 5 litros de mezcla?

18

)b2a3(5$)E

18

b2a3$)D

)b3a2$()C

5

ba$)B

3

ba$)A

EJEMPLO PSU-19: Juan tiene un bidn de 5 litros de capacidad,

llenado hasta los 3

12 litros. Cuntos litros le faltan para llenarlo?

3

21)E

3

13)D

2

32)C

3

22)B

3

12)A


23

EJEMPLO PSU-20: 3

2

4

1

3

1

21

4)E

12

1)D

5

1)C

4

1)B

2

1)A

EJEMPLO PSU-21: Se define a b =ab

1, entonces a (b c) es igual

a:

ab

c)E

c

ab)D

a

bc)C

bc

a)B

abc

1)A


24

EJEMPLO PSU-22: Sean a, b, c y d nmeros enteros distintos entre s

y distintos de cero. Si P =b

a + d y Q =

c

a + d, cul(es) de las siguientes

igualdades es (son) siempre verdadera(s)? I) P - Q 0

II) b

c

Q

P

III) P Q = 22

dbc

a

A) Slo I

B) Slo III C) Slo I y III

D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

EJEMPLO PSU-23:

11

11

11

1

2

1)E

5

3)D

1)C

5

2)B

2

5)A


25

EJEMPLO PSU-24: tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier

cronometr 11,3 segundos, Arturo 11,02 segundo y Marcelo 11,2 segundos. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) Javier lleg despus de Marcelo II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centsimas de segundo de

diferencia al llegar a la meta III) Arturo lleg primero

A) Solo I

B) Solo I y II C) Solo I y III


EJEMPLO PSU-25: En una receta de un postre para 6 personas se

necesitan 200 gramos de azcar. Si se desea preparar dicho postre para n personas, por cul nmero se debe multiplicar n para obtener

cuntos gramos de azcar se necesitan?

A) 33,3 B) 200 C) 1.200

D) 6 E) 0,03

EJEMPLO PSU-26: Sean a, b y d nmeros enteros positivos. Si

d

a

b

aS , entonces 1S es:

)db(a

bd)E

a2

db)D

a

db)C

bd

abad)B

a2

bd)A


26

EJEMPLO PSU-27: 2)2,0( =

A) 5 B) 10

C) 25

D) 25

1

E) 5

1

EJEMPLO PSU-28.

3

2

7

33

anterioreslasdeNinguna)E

21

5)D

21

5)C

21

68)B

21

58)A

EJEMPLO PSU-29. Se tienen dos cajas: una con seis botellas de 4

3de

litro, todas llenas y otra con cuatro botellas de 4

11 de litro, todas llenas

tambin. Cul es el nmero de botellas de medio litro con las que se puede envasar todo el lquido?

A) 5

B) 9 C) 10

D) 19 E) 20


27

EJEMPLO PSU-30. Sea n un nmero entero, cul de las afirmaciones

siguientes es (son) siempre verdadera(s)?

2

1

2n

3n)III

impropiafraccinunaes2n

3n)II

racionales2n

3n)I


C) Solo III D) I y II

E) Ninguna de las anteriores.

EJEMPLO PSU-31. Se define la operacin [m, n, r] r2

n8m2 , cul es

el valor de

3

5,

4

3,

2

1?

1)E

5

6)D

5

24)C

3

2)B

2

3)A

EJEMPLO PSU-32. ?n

))n(n(n

A) 2n B) n C) n D) 1

E) 1


28

EJEMPLO PSU-33. Cuntos sptimos son equivalentes a 7

52 ?

A) 19

B) 17 C) 14

D) 10 E) 5

EJEMPLO PSU-34. El nmero racional 7

10es igual a:

10

1:

7

1)E

7

37)D

4

3

3

7)C

7,010,0)B

7,010)A

EJEMPLO PSU-35. Juan tiene a dulces y su hermano tiene la mitad de esta cantidad ms un dulce. Si al hermano de Juan le regalan 3 dulces y

ste, a su vez, regala 2 dulces, con cuntos dulces queda el hermano de Juan?

22

aCon)E

42

aCon)D

32

aCon)C

2aCon)B

12

aCon)A


29

EJEMPLO PSU-36. Dada la fraccin mn

tm , con m > 0 y t > 0.

Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre

verdadera(s)?

I) Si a m y a t se le agrega 1, entonces la fraccin aumenta en 2. II) Si el numerador de la fraccin se duplica y su denominador se

divide por 2, entonces la fraccin queda igual. III) Si el denominador de la fraccin se divide por 3, entonces la

fraccin se triplica.


C) Solo III D) Solo I y II

E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-37. Se define la operacin bab#a en los nmeros

reales. En cul(es) de las siguientes operaciones el resultado es igual a 8?

I) 4 # 2

II) 16 # 2

1

III) 8 # 0

A) Solo en III B) Solo en I y en II

C) Solo en I y en III

D) Solo en II y en III E) En I, en II y en III


30

III. POTENCIAS EN Z

DEFINICIN

PROPIEDADES

1. n0 = 0, si n Z+

2. n1 = 1

3. Si n es par, n)1( = 1

4. Si n es impar, n)1( = -1

Signos de una potencia: na =

imparesny0asiNegativo

paresny0asiPositivo

MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE POTENCIAS Sean a y b Z, m y n Z+

1.- Multiplicacin de potencias de igual base

2.- Divisin de potencias de igual base

3.- Multiplicacin de potencias de distinta base e igual exponente

4.- Divisin de potencias de distinta base e igual exponente

DEFINICIN

OBSERVACIN:

00 no est definido

POTENCIA DE UNA POTENCIA

POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO


31

POTENCIAS DE BASE 10

010 = 1 110 =10

1=0,1

110 = 10 210 =100

1=0,01

210 = 100 310 =1000

1=0,001

310 = 1000

Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un nmero de las siguientes formas:

1. Un nmero est escrito en notacin cientfica si se escribe de la forma k n10 , en que 1 k < 10 y n Z.

2. Un nmero est escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p 10n, en que p es el menor entero y n Z.

3. Un nmero est inscrito en notacin ampliada o desarrollada si se expresa como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dgito de dicho nmero por la potencia de diez correspondiente a su posicin (... centena, decena,

unidad, dcima, centsima...) abcde = a 210 + b 110 + c 100 + d 110 + e 210

EJEMPLO PSU-1:

1

11

5

43

12

5)E

7

5)D

5

7)C

12

35)B

35

12)A

EJEMPLO PSU-2:

0003,06

0000002,00009,0

A) 10-15 B) 10-12

C) 10-7 D) 10-6



32

EJEMPLO PSU-3: El orden de los nmeros: M = 4,51 610 ;

N = 45,1 510 y P = 451 710 , de menor a mayor, es

A) M, N, P

B) P, M, N C) N, M, P

D) P, N, M E) M, P, N

EJEMPLO PSU-4:

3

2a2

1

6

6

5

5

6

a2

1)E

a8

1)D

a2

1)C

a8)B

a8)A

EJEMPLO PSU-5: Si x22 = 8, cuntas veces x es igual a 9? A) 6

B) 2

9

C) 3

D) 2

3


EJEMPLO PSU-6: 432 224

6)E

8)D

6

1)C

4

1)B

8

1)A


33

EJEMPLO PSU-7: 23 )a3()a2( =

A) 72a2 B) 72a5

C) 6a5

D) 36a6 E) 36a5

EJEMPLO PSU-8: Cul es la mitad de 62 ?

A) 25

B) 23 C) 16

D)

3

2

1

E)

6

2

1

EJEMPLO PSU-9: Cul(es) de las siguientes igualdades es(son) siempre verdadera(s)?

n22n

nnn2

n2nn

a2)a2()III

aaa)II

aaa)I

A) Solo I

B) Slo II C) Solo III

D) Solo I y III E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-10: Cules de las siguientes operaciones dan como

resultado 41?

32

00

24

27)III

7676)II

52)I

A) Solo I y II B) Solo I y III

C) Solo II y III D) I, II, III

E) Ninguna de ellas


34

EJEMPLO PSU-11: El valor de la expresin n1n21

n

263

184

es

A) n2

B) 4 n2 C) 2

D) 6 E) 36

EJEMPLO PSU-12:

000.000.20

00006,0106,3 6

15

7

6

5

4

1008,1)E

1008,1)D

1008,1)C

1008,1)B

1008,1)A

EJEMPLO PSU-13: En la igualdad 44nnnn 24444 , el valor de n es:

22)D

21)C

11)B

2

11)A

E) ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-14: (0,2) 2

=

A) 5

B) 10 C) 25

D) 25

1

E) 5


35

EJEMPLO PSU-15:

52

156

ba

ba

9)E

ba)D

ba)C

ba)B

7

9)A

33

204

108

EJEMPLO PSU-16: Si x399 . Entonces x=

A) 2

B) 3 C) 4

D) 6 E) 27

EJEMPLO PSU-17: Si una colonia de bacterias se triplica cada 20

minutos e inicialmente hay 5.000 de ellas, el nmero de bacterias que hay al trmino de 3 horas es:

A) 5.000 33 bacterias

B) 5.000 34 bacterias

C) 5.000 39 bacterias

D) 5.000 360 bacterias

E) 5.000 3180 bacterias

EJEMPLO PSU-18: Cul de las siguientes igualdades es (son) correcta (s) cuando x=-3?

64)4()III

144)II

64

14)I

x1

3x

x

A) Slo III

B) Slo I y II C) Slo I y III

D) Slo II y III E) I, II y III


36

EJEMPLO PSU-19: Si 3102,5p y q = 3102 , cul(es) de las

siguientes igualdades se cumple(n)?

2,3qp)III

1004,1qp)II

102,7qp)I5

3

A) Solo I

B) Solo II


E) Solo I y III

EJEMPLO PSU-20: Si P33 xx , entonces xx 99 es igual a:

A) P2

B) P2 + 2 C) P2 2 D) P2 1 E) 3P

EJEMPLO PSU-21. Ordenados de mayor a menor los nmeros:

:son5R:3Q;2P 222333444

A) Q, R, P

B) Q, P, R C) P, R, Q

D) R, P, Q E) P, Q, R

EJEMPLO PSU-22. Cul es el valor de la expresin ?721 025 A) 5

B) 6 C) 10

D) 12 E) 16


37

EJEMPLO PSU-23. 23)s3t2( =

62

62

5

62

3

st24)E

st6)D

ts6)C

st36)B

ts36)A

EJEMPLO PSU-24. Por qu factor hay que multiplicar 2x para obtener

2x ?

anterioresfactoreslosdeningunoPor)E

xPor)D

xPor)C

1Por)B

xPor)A

4

1

4

EJEMPLO PSU-25. Qu valor tiene x en la ecuacin ?525 33x

2

7)E

8)D

2

9)C

2

15)B

2

17)A


38

IV. ALGEBRA y FUNCIONES EVALUACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una expresin algebraica consiste en sustituir las letras por los valores

numricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitucin va siempre entre parntesis.

TRMINOS SEMEJANTES Son aquellos que tienen idntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los mismos exponentes, slo pueden diferir en el coeficiente numrico.

REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTES

Para reducir trminos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numricos y mantener su factor literal.

USO DE PARNTESIS En lgebra los parntesis se usan para agrupar trminos y separar operaciones.

Los parntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas: Si un parntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los

signos de los trminos que estn dentro del parntesis. Si un parntesis es precedido por un signo , este se puede eliminar cambiando los signos de cada uno de los trminos que estn al interior del parntesis. Si una expresin algebraica tiene trminos agrupados entre parntesis y ellos a su

vez se encuentran dentro de otros parntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los parntesis desde adentro hacia fuera.

OPERATORIA ALGEBRAICA ADICIN DE POLINOMIOS

Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reduccin de trminos semejantes y uso de parntesis.

MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS MONOMIO POR MONOMIO:

Se multiplican los coeficientes numricos entre s y los factores literales entre s, usando propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de monomios se multiplica slo por uno de ellos. Es decir,

a (b c) = (a b) c

MONOMIO POR POLINOMIO:

Se multiplica el monomio por cada trmino del polinomio. Es decir, a (b + c + d) = ab + ac + ad


39

POLINOMIO POR POLINOMIO:

Se multiplica cada trmino del primer polinomio por cada trmino del segundo polinomio y se reducen los trminos semejantes, si los hay.

PRODUCTOS NOTABLES:

Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a b)2 = a2 2ab + b2

Suma por su diferencia: (a + b) (a b) = a2 b2

Producto de binomios: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3

Cuadrado de trinomio: (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac (a b c) 2 = a2 + b2 + c2 2ab 2bc - 2ac

Suma de cubos: (a + b) (a2 ab + b2) = a3 + b3

Diferencia de cubos: (a b) (a2 + ab + b2) = a3 b3


40

EJEMPLO PSU-1: La expresin 44 ba se puede escribir como

A) 4)ba(

B) 22 )ba()ba(

C) )ba)(ba( 33

D) )ba)(ba( 2222

E) )ba)(ba( 33

EJEMPLO PSU-2: Si n = (a + b)2 y p = (a b)2, entonces a b =

)pn(4)E

4

pn)D

4

pn)C

4

pn)B

2

pn)A

22

44

EJEMPLO PSU-3: La expresin 2y

aay:

y

xxy es igual a:

a

xy)E

y

)1y(xa)D

y

ax)C

xy

a)B

0)A

3

2


41

EJEMPLO PSU-4: Cul(es) de las siguientes expresiones al ser simplificada(s) resulta(n) 1?

ab2ba

)ab()III

)ba(

ba)II

a23

3a2)I

22

2

2

22



E) I, II y III

EJEMPLO PSU-5: El doble de ))b(a( A) 2a + 2b

B) a - b + 2 C) a + b + 2

D) a + b E) -2a - 2b

EJEMPLO PSU-6: El largo de un rectngulo mide 3x + 2y. Si su permetro mide 10x + 6y, cunto mide el ancho del rectngulo?

A) 2x + y

B) 4x + 2y C) 7x + 4y

D) x + 2y E) x + 2y

EJEMPLO PSU-7: El rea de un rectngulo es 2x2 + 2x - 24. Si uno de sus lados mide (x - 3), el otro lado mide

A) (x + 8) B) 2(x + 8)

C) 2(x - 4) D) 2(x - 3)

E) 2(x + 4)


42

EJEMPLO PSU-8: Si b

1aentonces,36

b

1bay9

b

1a

2

22

A) -9 B) 6

C) 4 D) 3

E) 1

EJEMPLO PSU-9: Cul(es) de las expresiones siguientes es(son)

divisor(es) de la expresin algebraica 2x2 6x 20 ? I) 2 II) (x 5) III) (x + 2) A) Slo I

B) Slo II C) Slo I y II

D) Slo I y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-10: Si la base de un tringulo mide z y su altura mide

2

z, entonces cunto mide el lado de un cuadrado que tiene igual rea

que el tringulo?

A) 4

z

B) 22

z

C) z

D) 2

z

E) 4

z2

EJEMPLO PSU-11: Si x = 3, entonces (x 2)( 2x2 3) =

A) 45 B) 75 C) 15 D) 75

E) 105


43

EJEMPLO PSU-12: Si x e y son nmeros enteros diferentes de 0,

entonces x

y

y

x

2)E

xy

y2x2)D

1)C

xy

yx)B

xy

yx)A

22

EJEMPLO PSU-13: )3w2)(3w2(2)2w3( 2

A) 2w 12w - 14

B) 2w 12w + 22

C) 2w 12w -5

D) 2w 12w + 13

E) 2w 12w + 14 EJEMPLO PSU-14: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:

A) 9

B) 16 C) 18

D) 10

27


EJEMPLO PSU-15: Cul de las siguientes expresiones es un factor de

k2 + k 6?

A) k + 1 B) k + 2

C) k 6 D) k 3 E) k 2


44

EJEMPLO PSU-16: En la figura, cul(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El rea de ABCD es a2 + 2ab + b2

II) El rea de la regin achurada es (a + b)2

III) El rea de AEFD es b2 + ab


C) Solo III D) Solo I y III

E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-17: Si x es un nmero entero mayor que 1 y el rea de un rectngulo se expresa como (x2 + 5x 6), cul de las siguientes opciones puede representar a sus lados?

A) (x 1) y (x 5) B) (x + 2) y (x 3) C) (x 1) y (x + 6) D) (x + 1) y (x 6) E) (x 2) y (x 3)

EJEMPLO PSU-18: Dada la expresin xxyyxyx 222 , cul(es) de

las siguientes expresiones es (son) factor(es) de ella?

I) xy + 1 II) x + 1

III) y + 1 A) Slo I

B) Slo II C) Slo III

D) Slo I y III

E) Slo II y III


45

EJEMPLO PSU-19: Si n es un nmero natural, una expresin

equivalente a 22n3n 33 es:

)3n(2

)3n(2

)3n(2

)3n(

)3n(2

38)E

316)D

34)C

32)B

32)A

EJEMPLO PSU-20: a:]aa)aa(aa[a

A) a2 B) a C) a D) 2a

E) a - 2

EJEMPLO PSU-21:

4a2

6a2

6a3

4a5

10a

2a3)E

)2a(3

3a2)D

)2a(3

5a2)C

)2a(3

5a2)B

)2a(3

13a2)A


46

EJEMPLO PSU-22: Si mx2 mp2 = 1 y x p = m, entonces (x + p)2=

4

3

2

m

1)E

m

1)D

m

1)C

m

1)B

1)A

EJEMPLO PSU-23: a a(1 a) A) 1 - a

B) a C) 0

D) a2 E) a2

EJEMPLO PSU-24: Si 29bay10ba 22 , entonces el valor de

(a b)2 es:

A) 9

B) 19 C) 29

D) 49 E) No se puede determinar el valor

EJEMPLO PSU-25: Cul de las siguientes expresiones es equivalente a 2)nm( 4mn?

A) (m n)2 B) m2 2 + n2 C) m2 4mn + n2 D) 2m 4mn + 2n E) 2m 2mn + 2n


47

EJEMPLO PSU-26: Sea m 0, al simplificar la expresin

m2

mrm resulta:

2

mr1)E

2

rm)D

2

r1)C

2

r)B

0)A

EJEMPLO PSU-27: Al sumar t

x con m se obtiene

2t

x

, entonces cul

es el valor de de m?

)2t(t

2)E

)2t(t

x2)D

2t

x)C

)2t(t

x2)B

0)A

EJEMPLO PSU-28: (30 + 5)2

(30 + 5)(30 5) =

A) 0 B) 50

C) 300

D) 350 E) 450


48

EJEMPLO PSU-29: Jorge compr tres artculos distintos en $(4a + b).

El primero le costo $a y el segundo $(2a b). Cunto le cost el tercero?

A) $ a B) $ 7a

C) $ (3a b) D) $ (3a + 2b)

E) $ (a + 2b)

EJEMPLO PSU-30: El promedio de un nmero entero positivo y su

antecesor es 6,5 entonces, el sucesor de ese nmero entero es:

A) 6 B) 7

C) 8 D) 14

E) Ninguno de los anteriores

EJEMPLO PSU-31: Si el ancho de un rectngulo es 2

x3 y el largo es el

doble del ancho. Cunto mide su permetro?

x6)E

x9)D

2

x9)C

x3)B

2

x9)A

2


49

EJEMPLO PSU-32: Si x6

1cy

x4

1b,

x2

1a , entonces la expresin

x (a + b + c) equivale a:

x12

7)E

x12

11)D

12

x11)C

x12

7x)B

x12

11x12)A

2

2

EJEMPLO PSU-33: Dada la siguiente figura:

Se sabe que a y b son positivos y a > b. Cul(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. El rea del cuadrado de lado (a + b) es igual al rea achurada. II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las reas del cuadrado de

lado a y el lado de b.

III. a(a + b) > a2 + b

2

A) Slo I


D) Slo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-34: El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinas

cuatro cuadrados de lado x cada uno. Cul es el rea sombreada?

A) 8 x B) 64 4x2 C) 64 x2 D) 8 x2 E) 64 x4


50

EJEMPLO PSU-35: Si )ba(b#ay)ba(ba 222 , a cunto

equivale la expresin )p#m(5)pm(3 ?

A) -2m2 + 8p2 B) -2m2 + 6mp + 8p2

C) 8m2 + 6mp 2p2 D) -2m2 + 3mp + 8p2


EJEMPLO PSU-36: Si m = 2 y b = 5, entonces {m - (m - b)}2 es igual

a:

A) -10

B) 10 C) 13

D) -25 E) 25

EJEMPLO PSU-37: Si se desea construir un cilindro M que sea cuatro veces el volumen de otro cilindro P, entonces

I) la altura del cilindro M debe ser cuatro veces la altura del cilindro P y los radios deben ser iguales.

II) el radio de la base del cilindro M debe ser el doble del radio del cilindro P y las alturas deben ser iguales.

III) el radio de la base del cilindro M debe ser cuatro veces el radio

del cilindro P y las alturas deben ser iguales. Es (son) verdadera(s)

A) slo I.

B) slo II. C) slo III.

D) slo I y II. E) slo I y III

EJEMPLO PSU-38: Si n = 3, entonces n33

nn2 es igual a:

A) 6

B) 9 C) 14

D) 17 E) 18


51

EJEMPLO PSU-39:

yx

3

2yx

3

2

22

22

22

22

yx6

4)D

yx9

2)C

yx9

4)B

yx3

4)A

E) Ninguna de las expresiones anteriores

EJEMPLO PSU-40: En la figura, si ABCD es un rectngulo, entonces el rea de la regin achurada se expresa como:

3

)yz(x)E

2

xy)D

xz)C

)zy(x)B

)yz(x)A

EJEMPLO PSU-41: para que la expresin

yx

yx1

yx

yx1

sea positiva, se

debe cumplir necesariamente que:

A) xy < 0

B) x < 0 C) xy > 0

D) y < 0 E) x > y


52

EJEMPLO PSU-42: Si x = -1, cul es el valor de la expresin 432 xxx ?

A) -9 B) -3

C) -1 D) 1

E) 3

EJEMPLO PSU-43: Cul es el valor de x2

2xy, si x = 2 e y = 1?

A) 8 B) 6

C) 4 D) 2

E) 0

EJEMPLO PSU-44: a [a (a + b c)] =

A) a + b c B) a + b c C) a b + c D) a b c E) a + b + c

EJEMPLO PSU-45: (3m 5p)2

=

A) 6m2

10p2

B) 9m2

25p2

C) 9m2

15mp + 25p2

D) 9m2

30mp 25p2

E) 9m2

30mp + 25p2

EJEMPLO PSU-46. Si p = -2 y q = - 3 entonces 22 qp

A) 13 B) 25 C) 1

D) 5 E) -5


53

EJEMPLO PSU-47. p = q + 1, entonces :espq

p

p)E

)1p()D

)1q()C

p)B

q)A

p

p

q

1p

1q

EJEMPLO PSU-48. En cul de las siguientes alternativas, - 24 mn es

un trmino al desarrollar el cuadrado de un binomio?

2

2

2

2

2

)24m()E

)nm12()D

)n12m()C

)m2n12()B

)n8m3()A

EJEMPLO PSU-49. En el rectngulo de la figura axAD , xDF y

aFC . Adems AD//EF . Cul(es) de las siguientes expresiones

equivale(n) al rea del rectngulo ABCD?

)ax)(ax()III

ax)II

a)ax(x)I22

2

A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y III



54

EJEMPLO PSU-50.

2m

2

3m

m

6m4m)E

)2m)(3m(

6m4m)D

)2m)(3m(

6m)C

)2m)(3m(

6m6m)B

)2m)(3m(

6m)A

2

2

2

2

2

EJEMPLO PSU-51. Si k es un nmero entero positivo, entonces k + 1 es factor de:

1k)E

2k)D

kk)C

kk)B

k2k5)A

3

2

2

2

EJEMPLO PSU-52. 1)]tm()tm[(

0)E

t2)D

t2

1)C

t2

1)B

m2

1)A


55

EJEMPLO PSU-53. Cul de las siguientes expresiones es igual a

49x4 2 :

)7x)(7x4()E

)7x)(7x(4)D

)7x2)(7x2()C

)7x(4)B

)7x2()A2

2

EJEMPLO PSU-54. Si 1t , entonces la expresin1t

1

1t

t2

es igual a

1t)E

2t2

1t)D

t)C

1t)B

1t)A

2

2

EJEMPLO PSU-55. Si en un rectngulo de largo 2a y de ancho a + 2, se aumenta el largo al doble y el ancho en 3a + 6, entonces el rea del

nuevo rectngulo, con respecto al original, aumenta

A) 8 veces. B) 6 veces.

C) en 16 unidades.

D) en 8 unidades. E) 16 veces.


56

V. SIMBOLOGA:

Nmeros natural cualquiera = n

El antecesor de un nmero = n 1

El sucesor de un nmero = n + 1

Nmero natural par = 2n

Nmero natural impar = 2n 1

El cuadrado del sucesor de un nmero = (n + 1) 2

El sucesor del cuadrado de un nmero = n2 + 1

El cuadrado del sucesor del antecesor de un nmero = n2

Dos nmeros naturales impares consecutivos = 2n 1, 2n +1

El inverso aditivo u opuesto de un nmero = n

El inverso multiplicativo o recproco de un nmero = n

1

El triple de un nmero = 3n

Un nmero de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifra de las decenas es d = 10d + u

Un nmero de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra de las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u

La razn o cociente entre p y q = q

p

El valor absoluto de un nmero = | n |

p es directamente proporcional a q = )tetancons(kq

p

p es inversamente proporcional a q = pq = k (constante)

EJEMPLO PSU-1: El doble del cuadrado de (x 3) se expresa por:

A) [2(x-3)]2 B) 2(x2 32) C) (2x 6)2 D) 2(x 3)2 E) (x2 32)2


57

EJEMPLO PSU-2: Cul de las siguientes ecuaciones permite resolver el siguiente problema: Si te regalo la quinta parte de mis camisetas y a Carmen le regalo 5 ms que a ti, me quedo con 4?

A) 455

x2

B) x55

x2

C) x95

x

D) x95

x2

E) 455

x

EJEMPLO PSU-3: El enunciado: A un nmero d se le suma su doble, y este resultado se multiplica por el cuadrado del triple de d, se escribe

2

2

2

2

2

)d3()2d()E

d3)d2d()D

)d3()d2d()C

)d3(d2d)B

d3d2d)A

EJEMPLO PSU-4: Un nmero real n, distinto de cero, sumado con su

recproco, y todo al cuadrado, se expresa como

22

2

2

2

2

2

)n(n)E

)n(n)D

n

1n)C

n

1n)B

n

1n)A


58

EJEMPLO PSU-5: Si el radio r de un crculo aumenta en unidades,

entonces el rea del nuevo crculo se expresa, en unidades cuadradas, como

2

2

22

22

2

)r()E

)r()D

)r()C

r)B

r)A

EJEMPLO PSU-6: Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, todo dividido por t, se escribe

t

m25

m

)E

t

m

5

m)D

t

mm5)C

t

m5

m

)B

t

mm5)A

2

2

2

2


59

EJEMPLO PSU-7: Mara (M) tiene dos aos menos que el 25% de la

edad de Juan (J). Si hace dos aos Juan tena 10 aos, en cul de las siguientes opciones se plantean correctamente las ecuaciones que

permiten calcular las edades de Mara y Juan?

102Jy4

J2M)E

10Jy4

J2M)D

102Jy4

J2M)C

102Jy4

J2M)B

102Jy4

J2M)A

EJEMPLO PSU-8: hace 3 aos Luisa tena 5 aos y Teresa a aos. Cul ser la suma de sus edades en a aos ms?

A) (11 + 3a) aos

B) (11 + 2a) aos C) (11 + a) aos

D) (8 + 3a) aos E) (5 + 3a) aos

EJEMPLO PSU-9: La expresin: El doble del cuadrado de (3 + b) es igual al cuadrado del doble de (3 b) se representa como:

22

22

2

22

22

)b3(2)b3(2)E

)b3(2)b3(2)D

)b3)(b3(2b3(2)C

)b3(4)b3(4)B

)b3(2b3(2)A


60

EJEMPLO PSU-10: El largo de un rectngulo es 8 metros mayor que su

ancho. Si el ancho del rectngulo es x metros, la expresin algebraica que representa su permetro es:

A) (4x + 16) metros B) (2x + 8) metros

C) (2x + 16) metros D) (4x + 8) metros

E) (4x + 32) metros

EJEMPLO PSU-11: La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es igual a 291. Cul de las siguientes expresiones

representa al planteamiento algebraico de este problema?

A) [x + (x + 1) + (x + 2)]2 = 291 B) x2 + (x2 + 1) + (x2 + 2) = 291

C) (x 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 291 D) (x 1)2 x2 (x + 1)2 = 291 E) x2(x2 + 1)(x2 + 2) = 291

EJEMPLO PSU-12: La expresin: para que el doble de (a + c) sea igual a 18, le faltan 4 unidades, se expresa como

A) 2a + c + 4 = 18 B) 2(a + c) 4 = 18 C) 2(a + c) + 4 = 18 D) 4 2(a + c) = 18 E) 2a + c 4 = 18

EJEMPLO PSU-13: Compr x kg de caf en $ 36.000 y compr 40 kg ms de t que de caf en $ 48.000. Cmo se expresa el valor de 1 kg

de caf ms 1 kg de t, en funcin de x?

A) 40x

000.48

x

000.36

B) 40x

000.48

x

000.36

C) 000.48

40x

000.36

x

D) 000.48

40x

000.36

x

E) 40

000.48

x

000.36


61

VI. RAZONES y PROPORCIONES

RAZN es el cociente entre dos cantidades. Se escribe b

ao a: b.

Y se lee a es a b; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente.

PROPORCIN es la igualdad de dos razones. Se escribe b

y

a

x x: a = y: b

Y se lee x es a a como y es a b; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios.

TEOREMA FUNDAMENTAL En toda proporcin, el producto de los extremos es igual al producto de los

medios. (x : a = y : b) (x b = y a)

OBSERVACIN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada

constante de proporcionalidad, tal que: x = ka , y = kb ; k 0 PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante.

OBSERVACIONES: En una proporcin directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta

(disminuye) el mismo nmero de veces. El grfico de una proporcionalidad directa corresponde a una lnea recta que pasa por

el origen PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = ..........= xn yn = k k : constante

OBSERVACIONES: En una proporcionalidad inversa, si una

cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra disminuye (o aumenta) el mismo nmero de veces.

El grfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hiprbola equiltera


62

EJEMPLO PSU-1: Dada la siguiente tabla:

Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?:

I. A y B son directamente proporcionales.

II. El valor de x es 2. III. La constante de proporcionalidad inversa es 30.

A) Slo I


D) Slo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-2: 2 electricistas hacen un trabajo en 6 das, trabajando 8 horas diarias. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I. 4 electricistas harn el trabajo en 3 das, trabajando 8 horas diarias.

II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales.

III. La constante de proporcionalidad es 3.



E) I, II y III

EJEMPLO PSU-3: En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total 300 rboles. Si hay 120 naranjos y la razn entre

los duraznos y manzanos es 7: 3, entonces cuntos duraznos hay en la quinta?

A) 54

B) 77 C) 84

D) 126

E) 210

A 10 15 20

B 3 x 1,5


63

EJEMPLO PSU-4: y es inversamente proporcional al cuadrado de x,

cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y =

9)E

4)D

2)C

4

1)B

2

1)A

EJEMPLO PSU-5: Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres trozos de modo que la razn de sus longitudes sea 8: 6: 4. Cunto

mide cada trozo de alambre, de acuerdo al orden de las razones dadas?

A) 180 mm 120 mm 90 mm

B) 420 mm 180 mm 120 mm C) 320 mm 240 mm 160 mm

D) 510 mm 120 mm 90 mm E) Ninguna de las medidas anteriores

EJEMPLO PSU-6: Se sabe que a es directamente proporcional al

nmero b

1 y cuando a toma el valor 15, el valor de b es 4. Si a toma el

valor 6, entonces el valor de b es:

4

15)E

10

1)D

8

5)C

5

8)B

10)A


64

EJEMPLO PSU-7: En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en l

corresponden a 25 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia real es

A) 50 km B) 65 km

C) 67,5 km D) 62,5 km

E) ninguno de los valores anteriores.

EJEMPLO PSU-8: Dos variables N y M son inversamente proporcionales

entre s. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N

A) aumenta al doble.

B) disminuye a la mitad. C) aumenta en dos unidades.

D) disminuye en dos unidades.

E) se mantiene constante.

EJEMPLO PSU-9: En la tabla adjunta z es directamente proporcional a

y

1, segn los datos registrados, el valor de

c

a , es:

A) 256

B) 16

C) 16

1

D) 64

E) 64

1

EJEMPLO-10: La escala de un mapa es 1: 500.000. Si en el mapa la

distancia entre dos ciudades es 3,5 cm, cul es la distancia real entre

ellas?

A 1,75 km B 17,5 km

C 175 km D 1.750 km

E 17.500 km

z y

8 2

a 4

1 16

4

1 b


65

EJEMPLO PSU-11: Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la

razn entre los pesos de M y S es 3: 4, entonces S: K =

A) 4: 7

B) 4: 3 C) 7: 4

D) 3: 7 E) 3: 4

EJEMPLO PSU-12: La ley combinada que rige el comportamiento ideal

de un gas es T

VP = constante, donde P es la presin del gas, V su

volumen y T su temperatura absoluta. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) A volumen constante la presin es directamente

proporcional a la temperatura II) A temperatura constante la presin es inversamente

proporcional al volumen III) A presin constante el volumen es inversamente

proporcional a la temperatura


C) Solo I y II D) Solo I y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-13: Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta

de modo que sus volmenes estn en la razn 1: 2:3. Si el volumen del

segundo tipo es de 4 litros, cuntos litros tiene la mezcla total?

A 6 litros B 10 litros

C 12 litros D 14 litros

E 16 litros


66

EJEMPLO PSU-14: En un curso de 40 estudiantes, la razn entre

mujeres y hombres es m: h. Cul es la expresin que representa el nmero de mujeres?

h

m40)E

hm

h40)D

h

)hm(40)C

m

)hm(40)B

hm

m40)A

EJEMPLO PSU-15: El grfico de la figura, representa a una proporcionalidad inversa entre las magnitudes m y t. Cul(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La constante de proporcionalidad es 36

II) El valor de t1 es 9 III) El valor de m1 es 36

A) Solo I

B) Solo I y II C) Solo I y III

D) I, II y III E) Ninguna de ellas

EJEMPLO PSU-16: A un evento asistieron 56 personas. Si haba

4 mujeres por cada 3 hombres, cuntas mujeres asistieron al evento?

A) 8 B) 21

C) 24 D) 28

E) 32


67

EJEMPLO PSU-17: Si h hombres pueden fabricar 50 artculos en un

da, cuntos hombres se necesitan para fabricar x artculos en un da?

x50

h)D

h50

x)C

h

x50)B

50

hx)A


EJEMPLO PSU-18: En un balneario, hay 2.500 residentes

permanentes. En el mes de febrero, de cada seis personas solo una es residente permanente, cuntas personas hay en febrero?

A) 416

B) 4.000 C) 12.500

D) 15.000

E) 17.500

EJEMPLO PSU-19: Las variables x, w, u, v son tales que: x es directamente proporcional a u, con constante de proporcionalidad 2, y

w es inversamente proporcional a v, con constante de proporcionalidad 8. Cules de las siguientes relaciones entre dichas variables

representan este hecho?

A) 2u

x y w v = 8

B) x u = 2 y w + v = 8

C) x u = 2 y 8v

w

D) x + u = 2 y w v = 8 E) x + w = 10


68

EJEMPLO PSU-20: Un trabajador X, trabajando solo se demora t das

en hacer un jardn, otro trabajador Y se demora t + 15 das en hacer el mismo jardn, y si ambos trabajan juntos se demoran 10 das. Cuntos

das se demorar Y trabajando solo?

A) 30

B) 28 C) 25

D) 20 E) 15

EJEMPLO PSU-21: Si el ndice de crecimiento C de una poblacin es

inversamente proporcional al ndice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D = 0,25, entonces entre ambos ndices se

cumple:

A) D = 0,5C B) D = C2

C) D = C

5,0

D) D = 0,125C

E) D = C

125,0

EJEMPLO PSU- 22: Para hacer arreglos en un edificio se contratar un

cierto nmero de electricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos se demoraran 6 das, trabajando 8 horas diarias, cul(es) de las

siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

I) Si se contrataran 4 electricistas, se demoraran 3 das, trabajando 8 horas diarias

II) El nmero de electricistas y el nmero de das son variables directamente proporcionales

III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3

A) Solo I B) Solo III

C) Solo I y II D) Solo II y III

E) I, II y III


69

EJEMPLO PSU-23. Un trabajador hace un trabajo en 60 das, mientras

que cinco trabajadores hacen el mismo trabajo en 12 das. Cul de los siguientes grficos representa mejor la relacin trabajadores - das

EJEMPLO PSU-24. n y m son directamente proporcionales y su constante de proporcionalidad es 3. Cul de las siguientes tablas

representa dicha relacin?


70

EJEMPLO PSU-25. Segn el grafico obreros versus el tiempo que

demoran en construir una casa del tipo M se puede afirmar correctamente que:

A) Dos trabajadores construyen una casa del tipo M en un ao

B) Tres trabajadores construyen una casa del tipo M en cinco

meses C) b trabajadores construyen

ms casas del tipo M que c trabajadores en un ao

D) (c b) trabajadores construyen una casa del tipo M

en ocho meses E) d trabajadores construyen dos casas del tipo M en un ao

EJEMPLO PSU-26. La mitad de una parcela de 10.000 m2, est dividida

en dos partes que estn en la razn 1: 4. La parte menor ser utilizada para cultivo, cuntos metros cuadrados sern usados para este fin?

A) 625

B) 2.000 C) 400

D) 1.250 E) 1.000

EJEMPLO PSU-27. Entre tres hermanos compran un nmero de rifa

que cuesta $ 1.000. Juan aporta con $ 240, Luis con $ 360 y Rosa aporta el resto. El premio es de $ 60.000 Deciden, en caso de ganarlo

repartirlo en forma directamente proporcional al aporte de cada uno, Qu cantidad de dinero le correspondera a Rosa?

A) $ 30.000 B) $ 18.000

C) $ 24.000 D) $ 20.000

E) $ 40.000


71

TANTO POR CIENTO

El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los trminos de la proporcin es 100:

P: Es el tanto por ciento C: Es la cantidad de referencia Q: Es el porcentaje

El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fraccin es

P% de C = C100

P

OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS

i) Dos o ms tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar

a% de C b% de C = (a b)% de C

ii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de

los tantos por cientos

INTERS SIMPLE

Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un rgimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo. La cantidad final CF despus de cumplido el periodo n est dada

por la frmula:

OBSERVACIN: Un capital est sometido a un rgimen de inters simple cuando, al finalizar el periodo mnimo de depsito, los intereses son retirados. En este caso el capital permanece inalterable.

El a% del b% de C = C100

b

100

a

100

in1CCF


72

INTERS COMPUESTO

Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un rgimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una

nueva cantidad. La frmula para calcular la cantidad final CF despus de cumplido el periodo n es:

n

F100

i1CC

OBSERVACIN: Un capital est sometido a un rgimen de inters compuesto cuando, al finalizar el periodo mnimo de depsito, los intereses no se retiran y se

aaden al capital para producir nuevos intereses.


73

EJEMPLO PSU-1: En un supermercado hay supervisores, cajeros y

reponedores. Si el 60% de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y stos son un tercio de los cajeros, cul es el total de

trabajadores?

A) 108

B) 72 C) 180

D) 90 E) 54

EJEMPLO PSU-2: Una persona deposita $1.000 y en tres aos gana

$157,5. Calcular el inters simple anual.

A) 5% B) 5,25%

C) 5,5% D) 5,75%

E) 15,75%

EJEMPLO PSU-3: Un par de zapatos ms dos pantalones valen

$ 70.000 en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o ms pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10% en cada par y

por tres o ms pantalones del mismo precio un 15% en cada pantaln. Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos pares de

zapatos. Cunto pag Juan por los dos pares de zapatos?

A) $ 45.000 B) $ 50.000

C) $ 57.150 D) $ 72.000

E) $ 81.900

EJEMPLO PSU-4: Un vendedor recibe $ 215.000 de sueldo, al mes, ms un 8% de las ventas por comisin. Cunto debe vender para ganar

$ 317.000 en el mes?

A) $ 254.625 B) $ 532.000

C) $ 1.275.000 D) $ 1.812.500

E) $ 3.962.500


74

EJEMPLO PSU-5: Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro.

Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitaran

10 vasos para llenar el jarro.

II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se necesitaran 4 vasos para llenar el jarro.

III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro.

A) Slo III B) Slo I y II


E) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: El estadio A de una ciudad tiene capacidad para

40.000 personas sentadas y otro B para 18.000. Se hacen eventos simultneos; l A se ocupa hasta el 25% de su capacidad y el B llena

slo el 50%. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s) ? I) El estadio A registr mayor asistencia de pblico que el B.

II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A, habra quedado en ste, menos del 50% de sus asientos vacos.

III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios superan en 1.000 a la capacidad de B.

A) Slo I

B) Slo II C) Slo III

D) Slo I y II E) Slo I y III

EJEMPLO PSU-7: Un depsito contiene 20 litros que equivalen al 25%

de su capacidad, entonces para que llegue al 30% de su capacidad hay que agregar

A) 4 litros.

B) 24 litros. C) 40 litros.

D) 60 litros. E) ninguno de los valores anteriores.


75

EJEMPLO PSU-8: En una asignatura se toman tres pruebas con las

ponderaciones 30%, 30% y 40%, respectivamente. Un alumno obtiene un 5,0 en la primera y un 4,0 en la segunda. Qu nota debe obtener en

la tercera prueba para que su promedio final sea un 5,1?

A) 5,0

B) 5,1 C) 5,2

D) 6,0 E) 6,3

EJEMPLO PSU-9: Si uno de los catetos de un tringulo rectngulo

issceles aumenta su largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, cul de las siguientes afirmaciones es verdadera para el

rea del tringulo rectngulo resultante, respecto del rea original?

A) Se mantiene igual. B) Aumenta en un 4%.

C) Disminuye en un 4%.

D) Aumenta al doble. E) Disminuye a la mitad.

EJEMPLO PSU-10: Cul(es) de las siguientes expresiones corresponde a calcular el 12,5% del precio de un artculo?

I) 8

1del precio del artculo

II) El precio del artculo multiplicado por 12,5

III) El precio del artculo dividido por 100 y multiplicado por 12,5

A) Solo I


D) Solo I y II E) Solo I y III


76

EJEMPLO PSU-11: En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m2

de cermica y 100 m2 de piso flotante para la sala de computacin. Si el metro cuadrado de cermica cuesta $P y el metro cuadrado de piso

flotante es un 75% ms caro que la cermica, entonces el costo total es

de:

A) $ 145P

B) $ 170P

C) $ 175P

D) $ 245P

E) $ 195P

EJEMPLO PSU-12: Si el 35% de a es 4 y el 12% de b es 6, entonces el

valor de a

bes:

35

8)E

18

35)D

35

18)C

8

35)B

7

400)A

EJEMPLO PSU-13: En un curso cada estudiante puede optar solamente

por una actividad extraprogramtica: las tres cuartas partes de los estudiantes elige deportes y una sexta parte del curso elige teatro.

Cul de las siguientes es la mejor estimacin del porcentaje de estudiantes que participa en alguna de estas dos actividades?

A) Menos del 91%.

B) Entre el 91% y el 93%. C) Entre el 93% y el 95%.

D) Entre el 95% y el 97%. E) Ms del 97%.


77

EJEMPLO PSU-14: En una casa de dos pisos se necesita alfombrar 60

m2 en el primer piso y 40 m2 en el segundo. Si la alfombra que se debe usar en el segundo piso cuesta $ p el metro cuadrado y la otra es un

60% ms cara, cul de las siguientes expresiones representa el costo

total C en alfombras?

A) C = 1,6 p 100 + p 100 B) C = 0,6 p 100 + p 100

C) C = 0,6 p 60 + p 40 D) C = p 60 + 0,6 p 40

E) C = 1,6 p 60 + p40

EJEMPLO PSU-15: El da lunes, en un curso de 36 alumnos, faltaron a clases 9 de ellos. Cul(es) de las siguientes proposiciones es(son)

verdadera(s)? I) Falt la cuarta parte del curso

II) Los alumnos ausentes representan la tercera parte de los presentes

III) La diferencia entre alumnos presentes y ausentes representa

el 25% del curso



E) I, II y III

EJEMPLO PSU-16: Un nio aumenta su peso de 15 kg a 18 kg. El porcentaje de aumento es:

%30)E

%20)D

%3)C

%6

1)B

%5

1)A


78

EJEMPLO PSU-17: Un folleto consta de 40 pginas. De ellas el 20% es

geometra, el 10% es lgebra y el resto astronoma. Luego las pginas dedicadas a la astronoma son:

A) 4 B) 8

C) 10 D) 12

E) 28

EJEMPLO PSU-18: En una casa comercial hacen un descuento de un 15% de la mitad del precio marcado de una mercadera. Si la

mercadera tiene un precio marcado de $ 600, cunto me descuentan?

A) $ 555 B) $ 510

C) $ 255 D) $ 45

E) $ 90

EJEMPLO PSU-19: En una vitrina de un negocio se observa lo

siguiente: Antes $ 400, ahora $ 300. Con respecto al precio original, cul es el porcentaje de rebaja?

A) 3

4%

B) 10% C) 25%

D) 33,3% E) 75%

EJEMPLO PSU-20: En un curso hay 30 alumnos. La relacin entre los

que practican teatro y los que no practican es 1: 5 respectivamente. Qu porcentaje practica teatro en relacin al total del curso?

A) 20%

B) 80%

C) 16,6..% D) 83,3..% E) No se puede determinar


79

EJEMPLO PSU-21: Una tienda paga a sus dos empleados M y P de la

siguiente manera: M recibe el 8% de las ganancias de las ventas del mes y P recibe un sueldo base de $ 100.000 ms un 2% de las

ganancias de las ventas del mes. Si en total el negocio, en un mes,

vende $ 12.000.000 y slo el 30% corresponde a ganancias, cunto recibe como sueldo, ese mes, cada empleado?

M P A) $ 288.000 $ 72.000

B) $ 288.000 $ 172.000 C) $ 388.000 $ 172.000

D) $ 960.000 $ 240.000 E) $ 960.000 $ 340.000

EJEMPLO PSU-22: Un banco paga inters con una tasa anual del

100%. Si se abre una cuenta el 01 de enero con $ 1.000, entonces al 31 de diciembre de ese mismo ao habr en la cuenta, en pesos,

A) 1.000 + 1.000 12

100

B) 1.000 + 1.000

12

12

100

C) 2.000

D) 1.000 12

100

E) 1.000

12

12

1001

EJEMPLO PSU-23: En un corral, p gallinas son blancas, las que

corresponden a la quinta parte del total T de gallinas. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Las gallinas que no son blancas son T5

4

II) El 20% de las gallinas son blancas

III) El nmero total de gallinas que no son blancas es cuatro veces el nmero de gallinas que son blancas

A) Solo II

B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III


80

EJEMPLO PSU-24: En una tienda se decide subir todos los precios en

un 15%. Por cul nmero se deben multiplicar los precios antiguos para obtener el nuevo precio?

A) Por 15% B) Por 0,15

C) Por 1,5 D) Por 1,15

E) depende del precio de cada artculo

EJEMPLO PSU-25: Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de inters compuesto n veces al ao, entonces la cantidad P en

la cuenta al final de t aos est dada por:

nt

n100

11CP

.Al invertir

$50.000 al 6% anual de inters compuesto trimestralmente, al trmino de 1 ao se tendr, en pesos, una cantidad de:

4

3

4

3

4

)015,1(000.50)E

)015,1(000.50)D

)18,1(000.50)C

)06,1(000.50)B

)06,1(000.50)A

EJEMPLO PSU-26: En una liquidacin de invierno un abrigo vale $ 16.500 el cual ya ha sido rebajado en un 70%. Cunto costaba el

abrigo antes de la liquidacin?

A) $ 21.450 B) $ 23.571

C) $ 28.050

D) $ 55.000 E) $ 115.500


81

EJEMPLO PSU-27: En un negocio un cliente recibe, por cada $ 5.000

de compra, una estampilla de descuento equivalente al 4% de esa cantidad. Si el cliente compra un artculo en $ 19.800, a cunto

asciende el valor de las estampillas de descuento?

A) $ 600

B) $ 750 C) $ 792

D) $ 800 E) $ 19.200

EJEMPLO PSU-28: En un curso de 30 alumnos, la razn entre los

alumnos que practican teatro y los que no practican teatro, es de 1: 5. Qu porcentaje de alumnos practica teatro con respecto al total de

alumnos del curso?

A) 83,3% B) 80% C) 20%

D) 16,6%


EJEMPLO PSU-29: A qu inters simple anual debe colocarse un capital de $1.000, durante tres aos, para obtener una ganancia de

$ 157,5?

A) 5,0% B) 5,5%

C) 5,27% D) 5,25%

E) 5,05%

EJEMPLO PSU-30. Si un nmero n se divide por 6 resulta 2, cul es

el 50% de n?

A) 18 B) 12

C) 6 D) 4

E) 2


82

EJEMPLO PSU-31. Qu capital hay que invertir al inters compuesto

del 2% trimestralmente para obtener al cabo de 1 ao $ 1.300.000?

4

4

3

4

)02,1(

000.300.1$)E

)2,1(

000.300.1$)D

)02,1(

000.300.1$)C

02,1

000.300.1$)B

)02,1(000.300.1$)A

EJEMPLO PSU-32. Si el caudal de un ro es de P metros cbicos por segundo, si al recibir un afluente su caudal aumenta en un 15% cul es

su nuevo caudal en metros cbicos por segundo? y aumenta en 15% su nuevo caudal ser.

anterioresresionesexplasdeNinguna)E

100

P15P)D

100

P15)C

15

PP)B

15P)A

EJEMPLO PSU-33. M es el 8% de:

M100

92)E

M100

108)D

M

1008)C

8

M100)B

100

M8)A


83

EJEMPLO PSU-34. Viviana deposita en una financiera $ 100.000 al 2%

de inters compuesto mensual. Cul es el valor ms cercano a lo que ganara al cabo de tres meses, si no hace retiros ni depsitos en ese

perodo?

121.6$)E

000.8$)D

000.6$)C

121.106$)B

000.106$)A

EJEMPLO PSU-35. La tabla adjunta muestra los ahorros que posee

Alicia, despus de gastar semanalmente la misma cantidad de dinero. Cul grfico representa mejor esta situacin?

Semana 0 1 2 3 4 5

Ahorro

en $

20.000 18.000 16.000 14.000 12.000 10.000

Semana

Ahorro

50

)A )B )C

)D )E


84

VII. RACES

Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el nico

real b, no negativo, tal que nb = a

0b,abba nn

Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es el nico

real b, tal que nb =a

Rb,abba nn

OBSERVACIONES

1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a NO ES

REAL

2. La expresin n ka , con a real no negativo, se puede expresar como una

potencia de exponente fraccionario nk

n k aa

3. ,aa2 para todo nmero real

PROPIEDADES

Si nn bya estn definidas en R, se cumplen las siguientes propiedades:

MULTIPLICACIN DE RACES DE IGUAL NDICE

nnn baba

DIVISIN DE RACES DE IGUAL NDICE

0b,b

a

b

an

n

n

POTENCIA DE UNA RAZ

0a,aa mnn m RAZ DE UNA RAZ

nmn m aa

AMPLIFICACIN y SIMPLIFICACIN DEL ORDEN DE UNA RAZ

Ra,Zmaa mn mn

PRODUCTO DE RACES DE DISTINTO NDICE

Rb,a,baba mn nmmn

FACTOR DE UNA RAZ COMO FACTOR SUBRADICAL

Rb,ababn nn


85

RACIONALIZACIN

Racionalizar el denominador de una fraccin consiste en transformarla en una fraccin equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raz

Fracciones de la forma cb

a

Fracciones de la forma cqbp

a


86

EJEMPLO PSU-1: 272125

arminerdetpuedeseNo)E

33)D

32)C

34)B

316)A

EJEMPLO PSU-2: 25

48

16

15

4

16

anterioresvaloreslosdeNinguno)E

20

7856)D

20

151)C

5

2

4

6

2

7)B

20

61)A

EJEMPLO PSU-3: 3 1x3 2x2 aa

1x

3x

x3

6 3x3

3x3

a)E

a)D

a)C

a)B

a)A


87

EJEMPLO PSU-4: Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s) cuando la variable x toma los tres valores 0, 1, 1?

xx)III

xx)II

xx)I

2

2

2

A) Slo I B) Slo II

C) Slo III D) Slo I y III

E) Ninguna de ellas.

EJEMPLO PSU-5: 3443 )22()22()22()22( es un nmero:

A) Racional positivo

B) Racional negativo C) Irracional positivo

D) Irracional negativo E) No real

EJEMPLO PSU-6: 3 2

2=

1)E

2)D

8)C

2)B

4)A

6

6

3

3

EJEMPLO PSU-7: Si a2 , c5yb3 entonces cul(es) de

las expresiones siguientes es(son) equivalentes a 60

I) 2bc

II) 4 224 cba

III) bca2

A) Solo I


D) Solo I y II E) Solo I y III


88

EJEMPLO PSU-8: Al simplificar la expresin 7

1472 resulta

4)E

272)D

22)C

142)B

32)A

EJEMPLO PSU-9: 38212

520)D

510)C

15)B

23)A


EJEMPLO PSU-10: 2:)24251250(

40)E

32)D

58)C

210)B

10)A

EJEMPLO PSU-11:

3 55555

55555

55555

55555

2

3

3

2

6

5

5)E

5)D

1)C

5)B

5)A


89

EJEMPLO PSU-12: Si t3232 , entonces el valor de t2 2

es:

2)E

2)D

32)C

0)B

232)A

EJEMPLO PSU-13: a1)25,0(

a

2

a

2

a

a1

a

2

1)E

2

1)D

2

1)C

2

1)B

2

1)A

EJEMPLO PSU-14: Cul(es) de los siguientes pares ordenados es(son)

solucin(es) de 22 x5xy

I) (2,5) II) (2,-5)

III) (2,-1)


C) Solo III D) I, II y III

E) Ninguno de ellos


90

EJEMPLO PSU-15: Cul(es) de los siguientes nmeros

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