LIBRO RECOPILACIÓN PSU 2012

7/22/2019 LIBRO RECOPILACIN PSU 2012

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LIBRORECOPILACINPSUEJERCICIOSDEMRE

2012

CONTENIDOSEJERCICIOS PSURESPUESTASRECOPILACIONES

ENSAYOS

INDICE

1


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Contenido Pgina1 Nmeros Enteros, operatoria, propiedades 32 Nmeros racionales, operatoria, propiedades 143 Potencias, propiedades, aplicaciones 304 Operatoria algebraica 38

5 Simbologa 566 Razones y proporciones. propiedades 617 Tanto por ciento, propiedad, aplicaciones 718 Races, propiedades, aplicaciones 849 Ecuaciones de primer grado, lineales, sistemas de ecuaciones 9410 Desigualdades, intervalos, inecuaciones 11211 Ecuacin de segundo grado, propiedades, aplicaciones 11912 Logaritmos, propiedades, aplicaciones 12213 Funciones, operatoria, tipos de funciones, propiedades,

aplicaciones125

14 ngulos y Tringulos, propiedades, Teorema de Pitgoras,teorema de Euclides

150

15 Congruencia de tringulos, criterios, aplicaciones 172

16 Semejanza de tringulos, criterios, aplicaciones 17617 Cuadrilteros, propiedades, aplicaciones 18718 Polgonos, propiedades 20219 ngulos en la circunferencia, propiedades, aplicaciones 20420 Relaciones mtricas en la circunferencia, crculo, aplicaciones 21621 Poliedros, volumen, aplicaciones 22122 Divisin interior y exterior 23023 Trigonometra, razones, aplicaciones 23324 Probabilidad, propiedades, aplicaciones 24425 Estadstica, grficos, aplicaciones 26726 Transformaciones isomtricas, propiedades, aplicaciones 28327 Teorema de Tales, propiedad, aplicacin 301

28 Evaluacin de suficiencia de datos 30929 Respuestas 33430 Recopilacin 1 34031 Recopilacin 2 35032 Recopilacin 3 36433 Recopilacin 4 37734 Recopilacin 5 38835 Recopilacin 6 41036 Recopilacin 7 43637 Ensayo 1 45938 Ensayo 2 48139 Ensayo 3 50540 Ensayo 4 531

41 Ensayo 5 55242 Ensayo 6 57743 Ensayo Admisin 2011 60144 Ensayo 8 62845 Ensayo 9 65346 Ensayo 10 676

RESUMEN PSU MATEMATICA

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I. NMEROS NATURALES Y CARDINALES (IN, IN0)Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3,} se denominan nmerosnaturales. Si a este conjunto le unimos el conjunto formado por el cero,

obtenemos lN0= {0, 1, 2,} llamado conjunto de los nmeros cardinales.

NMEROS ENTEROS (Z)Los elementos del conjunto Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2,} se denominannmeros enterosAlgunos subconjuntos de Z son:Z+= {1, 2, 3,} enteros positivos Z +0 = {0, 1, 2,} enteros no negativos

Z- = {-1, -2, -3,} enteros negativos Z0 = {0, -1, -2, -3,} enteros nopositivos

1. Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121,144, 169, 196, 225, 256, 2. Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, y tambin: -1, -8, -27, -64, -125, -216, -343,

MLTIPLO Y DIVISOREn la expresin a = b c en que a, b y c son nmeros enteros, a es mltiplo de by de c o bien b y c son divisores o factores de a.

REGLAS DE DIVISIBILIDADUn nmero entero es divisible:

Por Cuando 2 Termina en cifra par. 3 La suma de sus cifras es mltiplo de tres. 4 Las dos ltimas cifras forman un nmero mltiplo de cuatro o

bien son Ceros.5 La ltima cifra es cero o cinco.

6 Es divisible por dos y por tres a la vez.7 La diferencia entre el doble de la ltima cifra y el nmero que

forman las Cifras restantes es mltiplo de siete. 8 Las tres ltimas cifras forman un nmero mltiplo de ocho o

bien son Ceros. 9 La suma de sus cifras es mltiplo de nueve.

10 Termina en cero. 11 La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares

pares y Las que ocupan los lugares impares es mltiplo de once.

NMEROS PRIMOS, COMPUESTOS y DESCOMPOSICIN EN FACTORES

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Nmeros primos: Son aquellos enteros positivos que tienen slo dos divisoresdistintos. Los primeros nmeros primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,37, Nmeros compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que noson primos. Los primeros nmeros compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16,18, 20, 21,

TEOREMA FUNDAMENTALTodo nmero compuesto se puede expresar de manera nica como el producto deaquellos nmeros que cumplen con la propiedad de ser factores de nmerosprimos

MNIMO COMN MLTIPLO (m.c.m.)Es el menor mltiplo comn positivo de dos o ms enteros.

MXIMO COMN DIVISOR (M.C.D.)Es el mayor divisor comn entre dos o ms enteros.

CLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIN EN FACTORESPRIMOSSe descomponen los nmeros en factores primos:1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso deexistir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunesconsiderando aquel que posea el exponente menor.

OPERATORIA EN ZADICINi. Al sumar nmeros de igual signo, se suman los valores absolutos de ellosconservando el signo comn.

ii. Al sumar dos nmeros de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le restael de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valorabsoluto.

MULTIPLICACINi. Si se multiplican dos nmeros de igual signo al resultado es siempre positivo.

ii. Si se multiplican dos nmeros de distinto signo el resultado es siemprenegativo.

OBSERVACIN: La divisin cumple con las reglas de signos de la multiplicacin.

VALOR ABSOLUTOEs la distancia que existe entre un nmero y el 0

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DEFINICIN: n

b si y slo si (a - b) es un entero positivo.ii. a < b si y slo si (a - b) es un entero negativo.iii. a b si y slo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez).

iv. a b si y slo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).

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EJEMPLO PSU-1: Si al entero ( 1) le restamos el entero ( 3), resulta

A) 2

B) 2C) 4D) 4E) ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-2: Si a es un nmero de dos dgitos, en que el dgito delas decenas es m y el de las unidades es n, entonces a + 1 =

A) m + n + 1B) 10m + n + 1C) 100m + n + 1

D) 100m + 10n + 1E) 10(m + 1) + n

EJEMPLO PSU-3: Si n = 2 y m = -3, cul es el valor denm (n + m)?

A) -11B) -5C) 5D) 7

E) -7

EJEMPLO PSU-4: En una fiesta de cumpleaos hay 237 golosinas pararepartir entre 31 nios invitados. Cul es el nmero mnimo degolosinas que se necesita agregar para que cada nio invitado reciba lamisma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna?

A) 11B) 20C) 21

D) 0E) 7

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EJEMPLO PSU-5: Claudia tena en el banco $ 4p. Retir la mitad yhoras ms tarde deposit el triple de lo que tena al comienzo. Cuntodinero tiene ahora Claudia en el banco?

A) $ 8p

B) $ 10pC) $ 12pD) $ 16pE) $ 14p

EJEMPLO PSU-6: Para completar la tabla adjunta se debe seguir lasiguiente regla: el ltimo nmero de cada fila es la suma de los tresnmeros anteriores y el ltimo nmero de cada columna es la suma delos tres nmeros anteriores. Cul es el valor de x?

A) 5

B) 7C) 8D) 9E) 16

EJEMPLO PSU-7: Con los crculos se ha armado la siguiente secuenciade figuras:

Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La dcima figura de la secuencia est formada por 21 crculosII) De acuerdo a la formacin de la secuencia cualquier figura tendr

un nmero impar de crculosIII) La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de crculos entre dos

figuras consecutivas es 2

A) Slo IB) Slo I y IIC) Slo I y IIID) Slo II y IIIE) I, II y III

x 4 204 98 1324 16 55

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EJEMPLO PSU-8: En un monedero hay doce monedas de $5 y nueve de$10. Estas 21 monedas representan un cuarto del total de dinero que

hay en su interior. Si en el resto de dinero se tiene igual cantidad demonedas de $50 y de $100, cul(es) de las siguientes afirmacioneses(son) verdadera(s)?

I) En total hay 27 monedasII) Hay 4 monedas de $50 en el monederoIII) En el monedero hay $600

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) Solo II y III

EJEMPLO PSU-9: Se define baba b += y a # b = 2a - 4b, para a y bnmeros enteros, el valor de (2 5) # (-2) es:

A) 82B) 66C) 60

D) 38E) 22

EJEMPLO PSU-10: Al sumar el cuarto y el quinto trmino de lasecuencia: x - 5, 2(2x + 7), 3(3x - 9), 4(4x + 11),. . ., resulta

A) 41x - 2B) 61x + 25C) 41x - 109D) 41x + 109

E) 41x - 21EJEMPLO PSU-11: De cuntas formas distintas se puede pagar, enforma exacta, una cuenta de $ 12.000 usando billetes de $ 10.000 o$ 5.000 o $ 1.000 o combinaciones de ellos?

A) De 1 formaB) De 2 formas

8


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C) De 4 formasD) De 3 formasE) De 6 formas

EJEMPLO PSU-12: Si hoy es mircoles, qu da de la semana ser en

100 das ms, a partir de hoy?

A) ViernesB) SbadoC) LunesD) MircolesE) Jueves

EJEMPLO PSU-13: Si tuviera $80 ms de los que tengo podra comprarexactamente 4 pasteles de $ 240 cada uno, cunto dinero me falta siquiero comprar 6 chocolates de $ 180 cada uno?

A) $280B) $200C) $120D) $100E) $ 40

EJEMPLO PSU-14: El precio de los artculos M, N y T son $(n-1), $

(n-2) y $(n -3), respectivamente. Cuntos pesos se deben pagar porun artculo M, dos artculos N y tres artculos T?

A) 6n - 14B) 6n 6C) 5n 14D) 3n 14E) 3n - 6

EJEMPLO PSU-15: En las siguientes igualdades los nmeros n. p, q y rson enteros positivos. Cul de las opciones expresa la afirmacin p esdivisible por q?

A) p = nq + rB) q = np + rC) q = npD) p = nq

9


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E) q1

1qp

+=

EJEMPLO PSU-16: Una prueba tiene 40 preguntas. El puntajecorregido se calcula de la siguiente manera: Cada 3 malas se

descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala. Cul es el puntajecorregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas?

A) 8B) 6C) 9D) 10E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-17: Si 16(n + 8) = 16, entonces n - 5 es igual a

A) -12B) -7C) -2D) 4E) 12

EJEMPLO PSU-18: M, N y P son nmeros enteros mayores que 1. Sininguno de ellos tiene factores en comn, salvo el 1, cuando M = 9 yN = 8, cul es el menor valor posible de P?

A) 7B) 5C) 4D) 3E) 1

EJEMPLO PSU-19: En un tringulo equiltero de lado 1.000 se unen lospuntos medios de cada lado y se obtiene un nuevo tringulo equiltero,como se muestra en la figura. Si repetimos el proceso 6 veces, el ladodel tringulo que se obtiene es:

10


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5

6

2

000.1)E

6

000.1)D

2

000.1)C

2

000.16)B

12

000.1)A

EJEMPLO PSU-20: La suma de tres nmeros impares consecutivos essiempre:

I) divisible por 3II) divisible por 6III) divisible por 9

Es(son) verdadera(s):A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-21: La suma de tres nmeros enteros consecutivos es0. Con respecto a estos nmeros, cul(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La suma del menor y el mayor es 0II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor

III) El mayor menos el menor es 0A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-22. Un grupo de amigos tiene dinero para comprar 20bebidas de $ 200 cada una. Si el precio sube a $ 250 cada una,cuntas bebidas pueden comprar con el mismo dinero?

A) 1B) 8C) 16D) 26

11


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E) 80

EJEMPLO PSU-23. Encuentre el valor de (A + B + C), sabiendo que enel cuadrante slo pueden colocarse los nmeros 1, 2, 3 y 4 de maneratal que en cada fila y columna pueden ir slo una vez cada nmero

A) 8B) 7C) 6D) 5E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-24. La distancia en la recta numrica entre a y b es c.esto se expresa como:

anterioreslasdeNinguna)E

cab)D

cba)C

cba)B

cba)A

=

=+

=

=

EJEMPLO PSU-25. Cinco personas P, Q, R, S y T juegan sacando uncartn de una caja en que aparece una operacin, en el cual tienen quereemplazar la letra X por el nmero que les dictan (para todos elmismo). La persona que tiene el cartn con el menor resultado gana. Sise sacan los siguientes cartones:

P Q R S T

Quin gana cuando dictan 3?

A) QB) PC) RD) S

12

X-1 1 - XX + 1 1 (-X) -X


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E) T

EJEMPLO PSU-26. Cul de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) Un nmero entero es divisible por 6 si es par y la suma de sus dgitoses divisible por 3.B) Si la suma de dos nmeros es par, entonces ambos son pares oambos son impares.C) La suma de todo nmero divisible por 3 con todo nmero divisiblepor 6, es divisible por 3.D) El cuadrado de todo nmero divisible por 3 es divisible por 6.E) El producto de todo nmero divisible por 4 con todo nmero divisiblepor 6, es divisible por 12.

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II. NMEROS RACIONALES

Los nmeros racionales son todos aquellos nmeros de la formab

acon a y b

nmeros enteros y b distinto de cero. El conjunto de los nmeros racionales serepresenta por la letra Q.

= 0byZb,a/b

aQ

2. IGUALDAD ENTRE NMEROS RACIONALES

ADICIN Y SUSTRACCIN DE NMEROS RACIONALES

Sidc

,ba

Q, entonces:

OBSERVACIONES

1. El inverso aditivo (u opuesto) deb

aes -

b

a, el cual se puede escribir tambin

comob

ao

ba

2. El nmero mixto Ac

bse transforma a fraccin con la siguiente frmula:

MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE NMEROS RACIONALES

Sidc

,ba

Q, entonces:

MULTIPLICACIN

DIVISIN

bd

bcad

d

c

b

a +=+

bd

bcad

d

c

b

a =

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OBSERVACIN

El inverso multiplicativo (o recproco) deb

aes 0acon,

ab

ba

1

=

RELACIN DE ORDEN EN Q

OBSERVACIONES1. Para comparar nmeros racionales, tambin se pueden utilizar los siguientesprocedimientos:a. igualar numeradores.b. igualar denominadores.c. convertir a nmero decimal.2. Entre dos nmeros racionales cualesquiera hay infinitos nmeros racionales.

NMEROS DECIMALESAl efectuar la divisin entre el numerador y el denominador de una fraccin, seobtiene un desarrollo decimal, el cul puede ser finito, infinito peridico o infinitosemiperidico.

a.Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada decifras decimales.Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales

b.Desarrollo decimal infinito peridico: Son aquellos que estn formados porla parte entera y el perodo.Ejemplo: 0,444.... = 0,4

c.Desarrollo decimal infinito semiperidico: Son aquellos que estn formadospor la parte entera, un anteperodo y el perodo.Ejemplo: 24,42323... = 24,423

OPERATORIA CON NMEROS DECIMALES1. Adicin o sustraccin de nmeros decimales: Para sumar o restar nmerosdecimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo lascomas, la parte decimal bajo la decimal y a continuacin se realiza la operatoriarespectiva.As por ejemplo: 0,19

3,81+ 22,2

26,20

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2. Multiplicacin de nmeros decimales: Para multiplicar dos o ms nmerosdecimales, se multiplican como si fueran nmeros enteros, ubicando la coma en elresultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimalestengan los nmeros en conjunto.As por ejemplo: 3,21 2,3

963642

7,3833. Divisin de nmeros decimales: Para dividir nmeros decimales, se puedetransformar el dividendo y el divisor en nmeros enteros amplificando por unapotencia en base 10.As por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100

224: 120 y se dividen como nmeros enteros

TRANSFORMACIN DE DECIMAL A FRACCIN1. Decimal finito:Se escribe en el numerador todos los dgitos que forman el

nmero decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros comocifras decimales tenga dicho nmero.

Por ejemplo: 3,24 =100324

2. Decimal infinito peridico:Se escribe en el numerador la diferencia entre elnmero decimal completo (sin considerar la coma) y el nmero formado por todaslas cifras que anteceden al perodo y en el denominador tantos nueves como cifrastenga el perodo.

Por ejemplo: 2,15=99

2215

3. Decimal infinito semiperidico: Se escribe en el numerador la diferencia

entre el nmero completo (sin considerar la coma) y el nmero formado por todaslas cifras que anteceden al perodo y en el denominador se escriben tantos nuevescomo cifras tenga el perodo, seguido de tantos ceros como cifras tenga elanteperodo.

Por ejemplo: 5,34 =90

53534

APROXIMACIONESFrecuentemente conviene redondear o truncar un nmero, dejando unaaproximacin con menos cifras significativas, de las que tiene originalmente.

REDONDEO

Para redondear un nmero decimal finito o infinito se agrega 1 al ltimo dgitoque se conserva (redondeo por exceso), si el primero de los dgitos eliminados esmayor o igual a 5; si la primera cifra a eliminar es menor que 5, el ltimo dgitoque se conserva se mantiene (redondeo por defecto). Por lo tanto, comoejemplos, BAJO ESTA REGLA, al redondear a la centsima los nmeros 4,748 y9,5237 se obtiene 4,75 y 9,52, respectivamente.

TRUNCAMIENTO

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Para truncar un nmero decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas ala derecha dela ltima cifra a considerar.De esta manera, como ejemplo, si se trunca a las centsimas el nmero 2,5698resulta 2,56.

ESTIMACIONES

Realizar un clculo estimativo, consiste en efectuarlo con cantidades aproximadaspor redondeo a las dadas, reemplazando dgitos distintos de ceros por ceros,dejando la cantidad de cifras significativas que se indique (lo que habitualmente esuna cifra).

EJEMPLO PSU-1: 5

5,005,0

A) 0,5B) 0,05C) 0,005D) 50E) 500

EJEMPLO PSU-2: El orden de los nmeros a =3

2, b =

6

5y c =

8

3de

menor a mayor es

A) a < b < cB) b < c < aC) b < a < cD) c < a < bE) c < b < a

EJEMPLO PSU-3: 40 - 20 2,5 + 10 =

A) 0B) -20C) 60D) 75E) 250

EJEMPLO PSU-4: =53

89

A) 0,15B) 0,5C) 0,52D) 0,525E) 2

17


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EJEMPLO PSU-5: Si a6

5se le resta

3

1resulta:

9

2)E

3

4

)D

3

2)C

2

1)B

2

1)A

EJEMPLO PSU-6:25,0

8

3

1

75,08

3

1

+

3

8)E

4)D

3

16)C

316)B

3

15)A

EJEMPLO PSU-7: Si t = 0,9 y r = 0,01, entoncesr

rt =

A) 80,89B) 80,9C) 88,9D) 89E) Ninguno de los valores anteriores

18


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EJEMPLO PSU-8: En la igualdadR

1

Q

1

P

1= , si P y R se reducen a la

mitad, entonces para que se mantenga el equilibrio, el valor de Q sedebe

A) duplicar.B) reducir a la mitad.C) mantener igual.D) cuadruplicar.E) reducir a la cuarta parte.

EJEMPLO PSU-9: Juan dispone de $ 6.000 para gastar en entretencin.Si se sabe que cobran $1.000 por jugar media hora de pool y $600 pormedia hora en Internet, entonces cul(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Juan puede jugar a lo ms 3 horas de poolII) Juan puede conectarse a lo ms 5 horas en InternetIII) Juan puede jugar 1,5 horas de pool y conectarse 2,5 horas a

internet

A) Solo IIIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-10: =++x

1

x

1

x

1

3

3

x3

)E

x31)D

x3

)C

x1

)B

3)A

EJEMPLO PSU-11: Si RH2

1P = , entonces H-1 es igual a:

19


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P2

R)E

P

R2)D

R

P2)C

P2

R)B

R

P2)A

EJEMPLO PSU-12: =+2

1

6

1

3

1

41

)E

32)D

91

)C15

2

)B

125

)A

EJEMPLO PSU-13: =+

8,366,28,326,2

8,9

6,7)E

4,19

28,2)D

4,19

5)C

4,19

5)B

3

1)A

EJEMPLO PSU-14:=

+

41

1

231

20


21/689

3)E

1)D6

11)C

3

1)B

2

3)A

EJEMPLO PSU-15: =

+

2)5,0(

5,0100

50

A) 10B) 1C) 0,1D) 0,25E) 0,75

EJEMPLO PSU-16: Una persona debe recorrer 12,3 kilmetros y hacaminado 7.850 metros. Cunto le falta por recorrer?

A) 4,45 kmB) 4,55 kmC) 5,55 kmD) 5,45 kmE) 6,62 km

EJEMPLO PSU-17: Si a es un nmero natural mayor que 1, cul es la

relacin correcta entre las fracciones:a3

p = 1a

3t

=

1a3

r+

=

A) p


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23/689

21

4)E

12

1)D

5

1)C

4

1)B

2

1)A

EJEMPLO PSU-21: Se define a b =ab

1, entonces a (b c) es igual

a:

abc)E

cab)D

abc)C

bca)Babc

1

)A

EJEMPLO PSU-22: Sean a, b, c y d nmeros enteros distintos entre sy distintos de cero. Si P =

b

a+ d y Q =

c

a+ d, cul(es) de las

siguientes igualdades es (son) siempre verdadera(s)?I) P - Q 0

II)b

c

Q

P=

23


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III) P Q = 22

dbca

+

A) Slo IB) Slo IIIC) Slo I y III

D) I, II y IIIE) Ninguna de ellas.

EJEMPLO PSU-23:=

++

+

11

11

11

1

2

1)E

5

3)D

1)C

5

2

)B

2

5)A

EJEMPLO PSU-24: tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javiercronometr 11,3 segundos, Arturo 11,02 segundo y Marcelo 11,2segundos. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)?

I) Javier lleg despus de MarceloII) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centsimas de segundo de

diferencia al llegar a la metaIII) Arturo lleg primero

24


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A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-25: En una receta de un postre para 6 personas senecesitan 200 gramos de azcar. Si se desea preparar dicho postre paran personas, por cul nmero se debe multiplicar n para obtenercuntos gramos de azcar se necesitan?

A) 33,3B) 200C) 1.200D) 6E) 0,03

EJEMPLO PSU-26: Sean a, b y d nmeros enteros positivos. Si

da

ba

S += , entonces 1S es:

)db(a

bd)E

a2

db)D

adb)C

bd

abad)B

a2

bd)A

+

+

+

+

EJEMPLO PSU-27: 2)2,0( =

A) 5B) 10C) 25

D)25

1

E)5

1

25


26/689

EJEMPLO PSU-28. =

32

73

3

anterioreslasdeNinguna)E215

)D

215

)C

2168)B

2158

)A

EJEMPLO PSU-29. Se tienen dos cajas: una con seis botellas de4

3de

litro, todas llenas y otra con cuatro botellas de4

11 de litro, todas llenas

tambin. Cul es el nmero de botellas de medio litro con las que sepuede envasar todo el lquido?

A) 5B) 9C) 10D) 19E) 20

EJEMPLO PSU-30. Sea n un nmero entero, cul de las afirmacionessiguientes es (son) siempre verdadera(s)?

2

1

2n

3n)III

impropiafraccinunaes2n

3n)II

racionales2n

3n)I

=+++

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I y IIE) Ninguna de las anteriores.

26


27/689

EJEMPLO PSU-31. Se define la operacin [m, n, r]r2

n8m2 = , cul es

el valor de

35

,43

,21

?

1)E

5

6)D

5

24)C

3

2)B

2

3)A

EJEMPLO PSU-32. ?n

))n(n(n =

A) 2nB) nC) nD) 1E) 1

EJEMPLO PSU-33. Cuntos sptimos son equivalentes a752 ?

A) 19B) 17C) 14D) 10E) 5

EJEMPLO PSU-34. El nmero racional7

10es igual a:

101

:71

)E

73

7)D

43

37

)C

7,010,0)B

7,010)A

+

+

+

27


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EJEMPLO PSU-35. Juan tiene a dulces y su hermano tiene la mitad deesta cantidad ms un dulce. Si al hermano de Juan le regalan 3 dulces yste, a su vez, regala 2 dulces, con cuntos dulces queda el hermano

de Juan?

22a

Con)E

42a

Con)D

32a

Con)C

2aCon)B

12a

Con)A

+

+

+

+

+

EJEMPLO PSU-36. Dada la fraccinmn

tm +, con m > 0 y t > 0. Cul(es)

de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Si a m y a t se le agrega 1, entonces la fraccin aumenta en 2.II) Si el numerador de la fraccin se duplica y su denominador sedivide por 2, entonces la fraccin queda igual.

III) Si el denominador de la fraccin se divide por 3, entonces lafraccin se triplica.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo II y III

EJEMPLO PSU-37. Se define la operacin bab#a = en los nmerosreales. En cul(es) de las siguientes operaciones el resultado es igual a8?

I) 4 # 2

28


29/689

II) 16 #2

1

III) 8 # 0A) Solo en IIIB) Solo en I y en II

C) Solo en I y en IIID) Solo en II y en IIIE) En I, en II y en III

29


30/689

III. POTENCIAS EN ZDEFINICIN

PROPIEDADES1. n0 = 0, si n Z+2. n1 = 13. Si n es par, n)1( = 14. Si n es impar, n)1( = -1

Signos de una potencia: na =

b. Cul(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)?

I.El rea del cuadrado de lado (a + b) es igual al rea achurada.II.(a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las reas del cuadrado delado a y el lado de b.III.a(a + b) > a2 + b2

A)Slo IB)Slo I y IIC)Slo I y III

D)Slo II y IIIE)I, II y III

EJEMPLO PSU-34: El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinascuatro cuadrados de lado x cada uno. Cul es el rea sombreada?

A) 8 x

48


49/689

B) 64 4x2

C) 64 x2

D) 8 x2

E) 64 x4

EJEMPLO PSU-35: Si

)ba(b#ay)ba(ba

222

+=+=, a cunto equivale la

expresin )p#m(5)pm(3 ?

A) -2m2 + 8p2

B) -2m2 + 6mp + 8p2

C) 8m2 + 6mp 2p2

D) -2m2 + 3mp + 8p2

E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-36: Si m = 2 y b = 5, entonces {m - (m - b)} 2 es iguala:

A) -10B) 10C) 13D) -25E) 25

EJEMPLO PSU-37: Si se desea construir un cilindro M que sea cuatroveces el volumen de otro cilindro P, entonces

I) la altura del cilindro M debe ser cuatro veces la altura delcilindro P y los radios deben ser iguales.

II) el radio de la base del cilindro M debe ser el doble del radio delcilindro P y las alturas deben ser iguales.

III) el radio de la base del cilindro M debe ser cuatro veces el radiodel cilindro P y las alturas deben ser iguales.

Es (son) verdadera(s)

A) slo I.B) slo II.C) slo III.D) slo I y II.E) slo I y III

EJEMPLO PSU-38: Si n = 3, entonces n33

nn2 + es igual a:

49


50/689

A) 6B) 9C) 14D) 17E) 18

EJEMPLO PSU-39: =

+ yx

32yx

32

22

22

22

22

yx64

)D

yx92

)C

yx94

)B

yx34

)A

E) Ninguna de las expresiones anteriores

EJEMPLO PSU-40: En la figura, si ABCD es un rectngulo, entonces elrea de la regin achurada se expresa como:

3

)yz(x)E

2

xy)D

xz)C

)zy(x)B

)yz(x)A

+

EJEMPLO PSU-41: para que la expresin =

+

+

+

yxyx

1

yxyx1

sea positiva, se

debe cumplir necesariamente que:

A) xy < 0B) x < 0C) xy > 0

D) y < 0E) x > y

50


51/689

EJEMPLO PSU-42: Si x = -1, cul es el valor de la expresin432 xxx + ?

A) -9

B) -3C) -1D) 1E) 3

EJEMPLO PSU-43: Cul es el valor de x2 2xy, si x = 2 e y = 1?

A) 8B) 6C) 4D) 2E) 0

EJEMPLO PSU-44: a [a (a + b c)] =

A) a + b cB) a + b cC) a b + cD) a b cE) a + b + c

EJEMPLO PSU-45: (3m 5p)2 =

A) 6m2 10p2

B) 9m2 25p2

C) 9m2 15mp + 25p2

D) 9m2 30mp 25p2

E) 9m2 30mp + 25p2

EJEMPLO PSU-46. Si p = -2 y q = - 3 entonces = 22 qp

A) 13B) 25C) 1D) 5E) -5

EJEMPLO PSU-47. p = q + 1, entonces :espq

51


52/689

p

p)E

)1p()D

)1q()C

p)B

q)A

p

p

q

1p

1q

+

EJEMPLO PSU-48. En cul de las siguientes alternativas, - 24 mn esun trmino al desarrollar el cuadrado de un binomio?

2

2

2

2

2

)24m()E

)nm12()D

)n12m()C

)m2n12()B

)n8m3()A

+

EJEMPLO PSU-49. En el rectngulo de la figura axAD = , xDF = yaFC = . Adems AD//EF . Cul(es) de las siguientes expresiones

equivale(n) al rea del rectngulo ABCD?

)ax)(ax()IIIax)II

a)ax(x)I22

2

+

+

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-50. =+

+ 2m

2

3m

m

52


53/689

6m4m)E

)2m)(3m(6m4m

)D

)2m)(3m(

6m

)C

)2m)(3m(6m6m

)B

)2m)(3m(6m

)A

2

2

2

2

2

+

+++

++

++

EJEMPLO PSU-51. Si k es un nmero entero positivo, entonces k + 1es factor de:

1k)E

2k)Dkk)C

kk)B

k2k5)A

3

2

2

2

+

+

+

EJEMPLO PSU-52. =+ 1)]tm()tm[(

0)E

t2)D

t2

1)C

t2

1)B

m2

1)A

EJEMPLO PSU-53. Cul de las siguientes expresiones es igual a49x4 2 :

53


54/689

)7x)(7x4()E)7x)(7x(4)D)7x2)(7x2()C

)7x(4)B

)7x2()A2

2

++

+

EJEMPLO PSU-54. Si 1t , entonces la expresin1t

1

1t

t2

es igual a

1t)E

2t2

1t)D

t)C

1t)B

1t)A

2

2

+

EJEMPLO PSU-55. Si en un rectngulo de largo 2a y de ancho a + 2,se aumenta el largo al doble y el ancho en 3a + 6, entonces el rea delnuevo rectngulo, con respecto al original, aumenta

A) 8 veces.B) 6 veces.C) en 16 unidades.D) en 8 unidades.E) 16 veces.

V. SIMBOLOGA:

Nmeros natural cualquiera = n El antecesor de un nmero = n 1El sucesor de un nmero = n + 1

54


55/689

Nmero natural par = 2n Nmero natural impar = 2n 1 El cuadrado del sucesor de un nmero = (n + 1) 2 El sucesor del cuadrado de un nmero = n2 + 1 El cuadrado del sucesor del antecesor de un nmero = n2

Dos nmeros naturales impares consecutivos = 2n 1, 2n +1 El inverso aditivo u opuesto de un nmero = n

El inverso multiplicativo o recproco de un nmero =n

1

El triple de un nmero = 3n Un nmero de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y

la cifra de las decenas es d = 10d + u Un nmero de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u,

la cifra de las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u

La razn o cociente entre p y q =q

p

El valor absoluto de un nmero = | n |

p es directamente proporcional a q = )tetancons(kqp =

p es inversamente proporcional a q = pq = k (constante)

EJEMPLO PSU-1: El doble del cuadrado de (x 3) se expresa por:

A) [2(x-3)]2

B) 2(x2 32)C) (2x 6)2

D) 2(x 3)2

E) (x2 32)2

EJEMPLO PSU-2: Cul de las siguientes ecuaciones permite resolverel siguiente problema: Si te regalo la quinta parte de mis camisetas y aCarmen le regalo 5 ms que a ti, me quedo con 4?

A) 455

x2=+

55


56/689

B) x55

x2=+

C) x95

x=+

D) x95

x2=+

E) 455

x=+

EJEMPLO PSU-3: El enunciado: A un nmero d se le suma su doble, yeste resultado se multiplica por el cuadrado del triple de d, se escribe

2

2

2

2

2

)d3()2d()E

d3)d2d()D

)d3()d2d()C

)d3(d2d)B

d3d2d)A

+ +

+

+

+

EJEMPLO PSU-4: Un nmero real n, distinto de cero, sumado con surecproco, y todo al cuadrado, se expresa como

22

2

2

2

2

2

)n(n)E

)n(n)D

n1n)C

n

1n)B

n

1n)A

+

+

+

+

+

EJEMPLO PSU-5: Si el radio r de un crculo aumenta en unidades,entonces el rea del nuevo crculo se expresa, en unidades cuadradas,como

2

2

22

22

2

)r()E

)r()D

)r()C

r)B

r)A

+

+

+

+

+

56


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EJEMPLO PSU-6: Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, tododividido por t, se escribe

t

m25

m

)E

t

m

5

m)D

t

mm5)C

t

m5m

)B

t

mm5)A

2

2

2

2

+

+

+

+

+

EJEMPLO PSU-7: Mara (M) tiene dos aos menos que el 25% de laedad de Juan (J). Si hace dos aos Juan tena 10 aos, en cul de lassiguientes opciones se plantean correctamente las ecuaciones quepermiten calcular las edades de Mara y Juan?

57


58/689

102Jy4J

2M)E

10Jy4J

2M)D

102Jy

4

J2M)C

102Jy4J

2M)B

102Jy4J

2M)A

=+=+

==

==+

==

=+=

EJEMPLO PSU-8: hace 3 aos Luisa tena 5 aos y Teresa a aos.Cul ser la suma de sus edades en a aos ms?

A) (11 + 3a) aosB) (11 + 2a) aosC) (11 + a) aosD) (8 + 3a) aosE) (5 + 3a) aos

EJEMPLO PSU-9: La expresin: El doble del cuadrado de (3 + b) esigual al cuadrado del doble de (3 b) se representa como:

[ ]

[ ]

[ ]22

22

2

22

22

)b3(2)b3(2)E

)b3(2)b3(2)D

)b3)(b3(2b3(2)C

)b3(4)b3(4)B

)b3(2b3(2)A

=+

=+

+=+

=+

=+

EJEMPLO PSU-10: El largo de un rectngulo es 8 metros mayor que suancho. Si el ancho del rectngulo es x metros, la expresin algebraicaque representa su permetro es:

A) (4x + 16) metrosB) (2x + 8) metrosC) (2x + 16) metrosD) (4x + 8) metros

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E) (4x + 32) metros

EJEMPLO PSU-11: La suma de los cuadrados de tres enterosconsecutivos es igual a 291. Cul de las siguientes expresionesrepresenta al planteamiento algebraico de este problema?

A) [x + (x + 1) + (x + 2)]2 = 291B) x2 + (x2 + 1) + (x2 + 2) = 291C) (x 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 291D) (x 1)2 x2 (x + 1)2 = 291E) x2(x2 + 1)(x2 + 2) = 291

EJEMPLO PSU-12: La expresin: para que el doble de (a + c) seaigual a 18, le faltan 4 unidades, se expresa como

A) 2a + c + 4 = 18B) 2(a + c) 4 = 18C) 2(a + c) + 4 = 18D) 4 2(a + c) = 18E) 2a + c 4 = 18

EJEMPLO PSU-13: Compr x kg de caf en $ 36.000 y compr 40 kgms de t que de caf en $ 48.000. Cmo se expresa el valor de 1 kgde caf ms 1 kg de t, en funcin de x?

A)40x

000.48

x

000.36

++

B)40x

000.48

x

000.36

+

C)000.48

40x

000.36

x ++

D)000.48

40x

000.36

x +

E)40

000.48

x

000.36+

VI. RAZONES y PROPORCIONES

RAZNes el cociente entre dos cantidades. Se escribeb

ao a: b.

Y se lee a es a b; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente.

PROPORCINes la igualdad de dos razones. Se escribeby

ax

= x: a = y: b

Y se lee x es a a como y es a b; x y b se denominan extremos; a e y sedenominan medios.

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TEOREMA FUNDAMENTALEn toda proporcin, el producto de los extremos es igual al producto de losmedios.

(x : a = y : b) (x b = y a)

OBSERVACIN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada

constante de proporcionalidad, tal que: x = ka , y = kb ; k 0

PROPORCIONALIDAD DIRECTADos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entresus valores correspondientes es constante.

OBSERVACIONES:En una proporcin directa, si una cantidadaumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta(disminuye) el mismo nmero de veces.El grfico de una proporcionalidad directa

corresponde a una lnea recta que pasa porel origen

PROPORCIONALIDAD INVERSADos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre susvalores correspondientes es constante

x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = ..........= xn yn = k k : constante

OBSERVACIONES:En una proporcionalidad inversa, si unacantidad aumenta (o disminuye) n veces, laotra disminuye (o aumenta) el mismo

nmero de veces.El grfico de una proporcionalidad inversacorresponde a una hiprbola equiltera

EJEMPLO PSU-1: Dada la siguiente tabla:

Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?:

1I. A y B son directamente proporcionales.2II.El valor de x es 2.

A 10 15 20B 3 x 1,5

60


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3III.La constante de proporcionalidad inversa es 30.A)Slo IB)Slo I y IIC)Slo I y IIID)Slo II y III

E)I, II y III

EJEMPLO PSU-2: 2 electricistas hacen un trabajo en 6 das, trabajando8 horas diarias. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)?

1I. 4 electricistas harn el trabajo en 3 das,trabajando 8 horas diarias.

2II. Los electricistas y las horas son directamenteproporcionales.

3III.La constante de proporcionalidad es 3.A)Slo IB)Slo I y IIC)Slo I y IIID)Slo II y IIIE)I, II y III

EJEMPLO PSU-3: En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznosque suman en total 300 rboles. Si hay 120 naranjos y la razn entrelos duraznos y manzanos es 7: 3, entonces cuntos duraznos hay en la

quinta?

A) 54B) 77C) 84D) 126E) 210

EJEMPLO PSU-4: y es inversamente proporcional al cuadrado de x,cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y =

61


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9)E4)D

2)C

4

1)B

2

1)A

EJEMPLO PSU-5: Se desea cortar un alambre de 720 mm en trestrozos de modo que la razn de sus longitudes sea 8: 6: 4. Cuntomide cada trozo de alambre, de acuerdo al orden de las razones dadas?

A) 180 mm 120 mm 90 mmB) 420 mm 180 mm 120 mmC) 320 mm 240 mm 160 mmD) 510 mm 120 mm 90 mmE) Ninguna de las medidas anteriores

EJEMPLO PSU-6: Se sabe que a es directamente proporcional al

nmerob

1y cuando a toma el valor 15, el valor de b es 4. Si a toma el

valor 6, entonces el valor de b es:

4

15)E

10

1)D

85)C

5

8)B

10)A

EJEMPLO PSU-7: En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en lcorresponden a 25 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entredos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia real es

A) 50 kmB) 65 kmC) 67,5 km

62


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D) 62,5 kmE) ninguno de los valores anteriores.

EJEMPLO PSU-8: Dos variables N y M son inversamente proporcionales

entre s. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, siM aumenta al doble, entonces N

A) aumenta al doble.B) disminuye a la mitad.C) aumenta en dos unidades.D) disminuye en dos unidades.E) se mantiene constante.

EJEMPLO PSU-9: En la tabla adjunta z es directamente proporcional a

y

1

, segn los datos registrados, el valor de ca

, es:

A) 256B) 16

C) 161

D) 64

E)64

1

EJEMPLO-10: La escala de un mapa es 1: 500.000. Si en el mapa ladistancia entre dos ciudades es 3,5 cm, cul es la distancia real entreellas?

A 1,75 km

B 17,5 kmC 175 kmD 1.750 kmE 17.500 km

EJEMPLO PSU-11: Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si larazn entre los pesos de M y S es 3: 4, entonces S: K =

z y8 2a 41 16

4

1 b

63


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A) 4: 7B) 4: 3C) 7: 4D) 3: 7

E) 3: 4

EJEMPLO PSU-12: La ley combinada que rige el comportamiento ideal

de un gas esT

VP = constante, donde P es la presin del gas, V su

volumen y T su temperatura absoluta. Cul(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) A volumen constante la presin es directamenteproporcional a la temperatura

II) A temperatura constante la presin es inversamenteproporcional al volumen

III) A presin constante el volumen es inversamenteproporcional a la temperatura

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-13:Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de frutade modo que sus volmenes estn en la razn 1: 2:3. Si el volumen delsegundo tipo es de 4 litros, cuntos litros tiene la mezcla total?

A 6 litrosB 10 litrosC 12 litrosD 14 litrosE 16 litros

EJEMPLO PSU-14: En un curso de 40 estudiantes, la razn entremujeres y hombres es m: h. Cul es la expresin que representa elnmero de mujeres?

64


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hm40

)E

hmh40

)Dh

)hm(40)C

m)hm(40

)B

hmm40

)A

+

+

++

EJEMPLO PSU-15: El grfico de la figura, representa a unaproporcionalidad inversa entre las magnitudes m y t. Cul(es) de lassiguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La constante de proporcionalidad es 36II) El valor de t1 es 9III) El valor de m1 es 36

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de ellas

EJEMPLO PSU-16: A un evento asistieron 56 personas. Si haba4 mujeres por cada 3 hombres, cuntas mujeres asistieron al evento?

A) 8B) 21C) 24D) 28E) 32

EJEMPLO PSU-17: Si h hombres pueden fabricar 50 artculos en unda, cuntos hombres se necesitan para fabricar x artculos en un da?

65


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x50

h)D

h50

x)C

h

x50)B

50

hx)A

E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-18: En un balneario, hay 2.500 residentespermanentes. En el mes de febrero, de cada seis personas solo una esresidente permanente, cuntas personas hay en febrero?

A) 416B) 4.000C) 12.500D) 15.000E) 17.500

EJEMPLO PSU-19: Las variables x, w, u, v son tales que: x esdirectamente proporcional a u, con constante de proporcionalidad 2, yw es inversamente proporcional a v, con constante de proporcionalidad8. Cules de las siguientes relaciones entre dichas variablesrepresentan este hecho?

A) 2ux = y w v = 8B) x u = 2 y w + v = 8

C) x u = 2 y 8vw

=

D) x + u = 2 y w v = 8E) x + w = 10

EJEMPLO PSU-20:Un trabajador X, trabajando solo se demora t dasen hacer un jardn, otro trabajador Y se demora t + 15 das en hacer elmismo jardn, y si ambos trabajan juntos se demoran 10 das. Cuntosdas se demorar Y trabajando solo?

66


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A) 30B) 28C) 25D) 20E) 15

EJEMPLO PSU-21: Si el ndice de crecimiento C de una poblacin esinversamente proporcional al ndice D de desempleo y en un instante enque C = 0,5 se tiene que D = 0,25, entonces entre ambos ndices secumple:

A) D = 0,5CB) D = C2

C) D =C

5,0

D) D = 0,125C

E) D =C125,0

EJEMPLO PSU- 22:Para hacer arreglos en un edificio se contratar uncierto nmero de electricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos sedemoraran 6 das, trabajando 8 horas diarias, cul(es) de lassiguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

I) Si se contrataran 4 electricistas, se demoraran 3 das,trabajando 8 horas diarias

II) El nmero de electricistas y el nmero de das son variables

directamente proporcionalesIII) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3

A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-23. Un trabajador hace un trabajo en 60 das, mientrasque cinco trabajadores hacen el mismo trabajo en 12 das. Cul de lossiguientes grficos representa mejor la relacin trabajadores - das

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EJEMPLO PSU-24. n y m son directamente proporcionales y suconstante de proporcionalidad es 3. Cul de las siguientes tablasrepresenta dicha relacin?

EJEMPLO PSU-25. Segn el grafico obreros versus el tiempo quedemoran en construir una casa del tipo M se puede afirmarcorrectamente que:

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A) Dos trabajadores construyenuna casa del tipo M en un aoB) Tres trabajadores construyenuna casa del tipo M en cinco

mesesC) b trabajadores construyenms casas del tipo M que ctrabajadores en un aoD) (c b) trabajadoresconstruyen una casa del tipo Men ocho mesesE) d trabajadores construyen dos casas del tipo M en un ao

EJEMPLO PSU-26. La mitad de una parcela de 10.000 m2, est divididaen dos partes que estn en la razn 1: 4. La parte menor ser utilizadapara cultivo, cuntos metros cuadrados sern usados para este fin?

A) 625B) 2.000C) 400D) 1.250E) 1.000

EJEMPLO PSU-27. Entre tres hermanos compran un nmero de rifa

que cuesta $ 1.000. Juan aporta con $ 240, Luis con $ 360 y Rosaaporta el resto. El premio es de $ 60.000 Deciden, en caso de ganarlorepartirlo en forma directamente proporcional al aporte de cada uno,Qu cantidad de dinero le correspondera a Rosa?

A) $ 30.000B) $ 18.000C) $ 24.000D) $ 20.000E) $ 40.000

TANTO POR CIENTO

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El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno delos trminos de la proporcin es 100:

P: Es el tanto por cientoC: Es la cantidad de referenciaQ: Es el porcentaje

El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fraccin es

P% de C = C100P

OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOSi) Dos o ms tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar

a% de C b% de C = (a b)% de C

ii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto delos tantos por cientos

INTERS SIMPLEUna cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de nunidades, en un rgimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidadde tiempo es fijo. La cantidad final CF despus de cumplido el periodo n est dada

por la frmula:

OBSERVACIN: Un capital est sometido a un rgimen de inters simple cuando,al finalizar el periodo mnimo de depsito, los intereses son retirados. En este caso

el capital permanece inalterable.

El a% del b% de C = C100

b

100

a

+=

100

in1CCF

70


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INTERS COMPUESTOUna cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de nunidades, en un rgimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cadaunidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una

nueva cantidad.La frmula para calcular la cantidad final CF despus de cumplido el periodo n es:

n

F100

i1CC

+=

OBSERVACIN: Un capital est sometido a un rgimen de inters compuestocuando, al finalizar el periodo mnimo de depsito, los intereses no se retiran y seaaden al capital para producir nuevos intereses.

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EJEMPLO PSU-1: En un supermercado hay supervisores, cajeros yreponedores. Si el 60% de los trabajadores son reponedores, 18 sonsupervisores y stos son un tercio de los cajeros, cul es el total detrabajadores?

A)108B)72C)180D)90E)54

EJEMPLO PSU-2: Una persona deposita $1.000 y en tres aos gana$157,5. Calcular el inters simple anual.

A)5%B)5,25%C)5,5%D)5,75%E)15,75%

EJEMPLO PSU-3: Un par de zapatos ms dos pantalones valen$ 70.000 en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o mspares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10% en cada par ypor tres o ms pantalones del mismo precio un 15% en cada pantaln.Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos pares dezapatos. Cunto pag Juan por los dos pares de zapatos?

A) $ 45.000B) $ 50.000C) $ 57.150D) $ 72.000E) $ 81.900

EJEMPLO PSU-4: Un vendedor recibe $ 215.000 de sueldo, al mes,ms un 8% de las ventas por comisin. Cunto debe vender para ganar$ 317.000 en el mes?

A) $ 254.625B) $ 532.000C) $ 1.275.000D) $ 1.812.500E) $ 3.962.500

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EJEMPLO PSU-5: Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro.Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitaran10 vasos para llenar el jarro.

II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se

necesitaran 4 vasos para llenar el jarro.III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro.

A) Slo IIIB) Slo I y IIC) Slo I y IIID) Slo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: El estadio A de una ciudad tiene capacidad para40.000 personas sentadas y otro B para 18.000. Se hacen eventossimultneos; l A se ocupa hasta el 25% de su capacidad y el B llenaslo el 50%. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s) ?

I) El estadio A registr mayor asistencia de pblico que el B.II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A,

habra quedado en ste, menos del 50% de sus asientos vacos.III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios

superan en 1.000 a la capacidad de B.

A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) Slo I y IIE) Slo I y III

EJEMPLO PSU-7: Un depsito contiene 20 litros que equivalen al 25%de su capacidad, entonces para que llegue al 30% de su capacidad hayque agregar

A) 4 litros.B) 24 litros.C) 40 litros.D) 60 litros.E) ninguno de los valores anteriores.

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EJEMPLO PSU-11: En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m2

de cermica y 100 m2 de piso flotante para la sala de computacin. Si elmetro cuadrado de cermica cuesta $P y el metro cuadrado de pisoflotante es un 75% ms caro que la cermica, entonces el costo total esde:

A) $ 145PB) $ 170PC) $ 175PD) $ 245PE) $ 195P

EJEMPLO PSU-12: Si el 35% de a es 4 y el 12% de b es 6, entonces el

valor dea

bes:

35

8)E

1835

)D

3518

)C

835

)B

7400

)A

EJEMPLO PSU-13: En un curso cada estudiante puede optar solamentepor una actividad extraprogramtica: las tres cuartas partes de losestudiantes elige deportes y una sexta parte del curso elige teatro.Cul de las siguientes es la mejor estimacin del porcentaje deestudiantes que participa en alguna de estas dos actividades?

A) Menos del 91%.B) Entre el 91% y el 93%.

C) Entre el 93% y el 95%.D) Entre el 95% y el 97%.E) Ms del 97%.

EJEMPLO PSU-14: En una casa de dos pisos se necesita alfombrar 60m2 en el primer piso y 40 m2 en el segundo. Si la alfombra que se debe

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usar en el segundo piso cuesta $ p el metro cuadrado y la otra es un60% ms cara, cul de las siguientes expresiones representa el costototal C en alfombras?

A) C = 1,6 p 100 + p 100B) C = 0,6 p 100 + p 100C) C = 0,6 p 60 + p 40D) C = p 60 + 0,6 p 40E) C = 1,6 p 60 + p 40

EJEMPLO PSU-15: El da lunes, en un curso de 36 alumnos, faltaron aclases 9 de ellos. Cul(es) de las siguientes proposiciones es(son)verdadera(s)?

I) Falt la cuarta parte del cursoII) Los alumnos ausentes representan la tercera parte de los

presentesIII) La diferencia entre alumnos presentes y ausentes representa

el 25% del curso

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-16: Un nio aumenta su peso de 15 kg a 18 kg. El

porcentaje de aumento es:

%30)E

%20)D

%3)C

%6

1)B

%5

1)A

EJEMPLO PSU-17: Un folleto consta de 40 pginas. De ellas el 20% esgeometra, el 10% es lgebra y el resto astronoma. Luego las pginasdedicadas a la astronoma son:

A) 4

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B) 8C) 10D) 12E) 28

EJEMPLO PSU-18: En una casa comercial hacen un descuento de un15% de la mitad del precio marcado de una mercadera. Si lamercadera tiene un precio marcado de $ 600, cunto me descuentan?

A) $ 555B) $ 510C) $ 255D) $ 45E) $ 90

EJEMPLO PSU-19: En una vitrina de un negocio se observa losiguiente: Antes $ 400, ahora $ 300. Con respecto al precio original,cul es el porcentaje de rebaja?

A)3

4%

B) 10%C) 25%D) 33,3%E) 75%

EJEMPLO PSU-20: En un curso hay 30 alumnos. La relacin entre losque practican teatro y los que no practican es 1: 5 respectivamente.Qu porcentaje practica teatro en relacin al total del curso?

A) 20%B) 80%C) 16,6..%D) 83,3..%E) No se puede determinar

EJEMPLO PSU-21: Una tienda paga a sus dos empleados M y P de lasiguiente manera: M recibe el 8% de las ganancias de las ventas delmes y P recibe un sueldo base de $ 100.000 ms un 2% de lasganancias de las ventas del mes. Si en total el negocio, en un mes,vende $ 12.000.000 y slo el 30% corresponde a ganancias, cuntorecibe como sueldo, ese mes, cada empleado?

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M PA) $ 288.000 $ 72.000B) $ 288.000 $ 172.000C) $ 388.000 $ 172.000D) $ 960.000 $ 240.000

E) $ 960.000 $ 340.000

EJEMPLO PSU-22: Un banco paga inters con una tasa anual del100%. Si se abre una cuenta el 01 de enero con $ 1.000, entonces al 31de diciembre de ese mismo ao habr en la cuenta, en pesos,

A) 1.000 + 1.000 12

100

B) 1.000 + 1.00012

12100

C) 2.000

D) 1.000 12100

E) 1.00012

12100

1

+

EJEMPLO PSU-23: En un corral, p gallinas son blancas, las quecorresponden a la quinta parte del total T de gallinas. Cul(es) de lassiguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Las gallinas que no son blancas son T5

4

II) El 20% de las gallinas son blancas

III) El nmero total de gallinas que no son blancas es cuatro vecesel nmero de gallinas que son blancas

A) Solo IIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-24: En una tienda se decide subir todos los precios en

un 15%. Por cul nmero se deben multiplicar los precios antiguospara obtener el nuevo precio?

A) Por 15%B) Por 0,15C) Por 1,5D) Por 1,15E) depende del precio de cada artculo

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EJEMPLO PSU-25: Si un capital C se invierte a una tasa anual de r porciento de inters compuesto n veces al ao, entonces la cantidad P en la

cuenta al final de t aos est dada por:nt

n10011CP

+= .Al invertir

$50.000 al 6% anual de inters compuesto trimestralmente, al trminode 1 ao se tendr, en pesos, una cantidad de:

4

3

4

3

4

)015,1(000.50)E

)015,1(000.50)D

)18,1(000.50)C

)06,1(000.50)B

)06,1(000.50)A

EJEMPLO PSU-26: En una liquidacin de invierno un abrigo vale

$ 16.500 el cual ya ha sido rebajado en un 70%. Cunto costaba elabrigo antes de la liquidacin?

A) $ 21.450B) $ 23.571C) $ 28.050D) $ 55.000E) $ 115.500

EJEMPLO PSU-27: En un negocio un cliente recibe, por cada $ 5.000de compra, una estampilla de descuento equivalente al 4% de esacantidad. Si el cliente compra un artculo en $ 19.800, a cuntoasciende el valor de las estampillas de descuento?

A) $ 600B) $ 750C) $ 792D) $ 800E) $ 19.200

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EJEMPLO PSU-28: En un curso de 30 alumnos, la razn entre losalumnos que practican teatro y los que no practican teatro, es de 1: 5.Qu porcentaje de alumnos practica teatro con respecto al total dealumnos del curso?

A) 83,3%B) 80%C) 20%D) 16,6%E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-29: A qu inters simple anual debe colocarse uncapital de $1.000, durante tres aos, para obtener una ganancia de$ 157,5?

A) 5,0%B) 5,5%C) 5,27%D) 5,25%E) 5,05%

EJEMPLO PSU-30.Si un nmero n se divide por 6 resulta 2, cul esel 50% de n?

A) 18B) 12

C) 6D) 4E) 2

EJEMPLO PSU-31.Qu capital hay que invertir al inters compuestodel 2% trimestralmente para obtener al cabo de 1 ao $ 1.300.000?

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4

4

3

4

)02,1(000.300.1

$)E

)2,1(000.300.1$)D

)02,1(000.300.1

$)C

02,1000.300.1

$)B

)02,1(000.300.1$)A

EJEMPLO PSU-32.Si el caudal de un ro es de P metros cbicos porsegundo, si al recibir un afluente su caudal aumenta en un 15% cul essu nuevo caudal en metros cbicos por segundo? y aumenta en 15% sunuevo caudal ser.

anterioresresionesexplasdeNinguna)E100

P15P)D

100P15

)C

15P

P)B

15P)A

+

+

+

EJEMPLO PSU-33. M es el 8% de:

M

100

92)E

M100108

)D

M1008

)C

8M100

)B

100M8

)A

EJEMPLO PSU-34. Viviana deposita en una financiera $ 100.000 al 2%de inters compuesto mensual. Cul es el valor ms cercano a lo queganara al cabo de tres meses, si no hace retiros ni depsitos en eseperodo?

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121.6$)E

000.8$)D

000.6$)C

121.106$)B

000.106$)A

EJEMPLO PSU-35. La tabla adjunta muestra los ahorros que poseeAlicia, despus de gastar semanalmente la misma cantidad de dinero.Cul grfico representa mejor esta situacin?

Semana 0 1 2 3 4 5Ahorroen $

20.000 18.000 16.000 14.000 12.000 10.000

VII. RACES

Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el nicoreal b, no negativo, tal que nb = a 0b,abba nn ==

82

Seman

Ahorro

50

)A )B )C

)D )E


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Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es elnico real b, tal que nb =a Rb,abba nn ==OBSERVACIONES1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a NO ES

REAL2. La expresin n ka , con a real no negativo, se puede expresar como una

potencia de exponente fraccionario nk

n k aa =

3. ,aa2 = para todo nmero real

PROPIEDADES

Si nn bya estn definidas en R, se cumplen las siguientes propiedades:

MULTIPLICACIN DE RACES DE IGUAL NDICE

nnn baba =

DIVISIN DE RACES DE IGUAL NDICE

0b,b

a

b

an

n

n

=

POTENCIA DE UNA RAZ

( ) 0a,aa mnn m >=

RAZ DE UNA RAZ

nmn m

aa =

AMPLIFICACIN y SIMPLIFICACIN DEL ORDEN DE UNA RAZ ++ = Ra,Zmaa mn mn

PRODUCTO DE RACES DE DISTINTO NDICE += Rb,a,baba mn nmmn

FACTOR DE UNA RAZ COMO FACTOR SUBRADICAL += Rb,abab n nn

RACIONALIZACIN

Racionalizar el denominador de una fraccin consiste en transformarla en unafraccin equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raz

Fracciones de la formacb

a

83


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Fracciones de la formacqbp

a

+

EJEMPLO PSU-1: 272125

84


85/689

arminerdetpuedeseNo)E

33)D

32)C

34)B

316)A

EJEMPLO PSU-2: =+++25

48

16

15

4

16

anterioresvaloreslosdeNinguno)E

207856)D

20

151)C

5

2

4

6

2

7)B

20

61)A

++

+

EJEMPLO PSU-3: = ++ 3 1x3 2x2 aa

1x

3x

x3

6 3x3

3x3

a)E

a)D

a)C

a)B

a)A

+

+

+

+

EJEMPLO PSU-4: Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s) cuando la variable x toma los tres valores 0, 1, 1?

xx)III

xx)II

xx)I

2

2

2

=

=

=

A) Slo IB) Slo II

85


86/689

C) Slo IIID) Slo I y IIIE) Ninguna de ellas.

EJEMPLO PSU-5: 3443 )22()22()22()22( +++ es un nmero:

A) Racional positivoB) Racional negativoC) Irracional positivoD) Irracional negativoE) No real

EJEMPLO PSU-6: 3 22

=

1)E

2)D

8)C

2)B

4)A

6

6

3

3

EJEMPLO PSU-7: Si a2 = , c5yb3 == entonces cul(es) de lasexpresiones siguientes es(son) equivalentes a 60

I) 2bcII) 4 224 cbaIII) bca2

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y III

EJEMPLO PSU-8: Al simplificar la expresin7

1472 +resulta

4)E

272)D

22)C

142)B

32)A

+

+

+

EJEMPLO PSU-9: =+ 38212

86


87/689

520)D

510)C

15)B

23)A

+

+


EJEMPLO PSU-10: =+ 2:)24251250(

40)E

32)D

58)C

210)B

10)A

EJEMPLO PSU-11: =++++++++

3 55555

55555

55555

55555

2

3

3

2

6

5

5)E

5)D

1)C

5)B

5)A

EJEMPLO PSU-12: Si t3232 =+ , entonces el valor de t2 2 es:

2)E

2)D

32)C

0)B

232)A

EJEMPLO PSU-13: =a1)25,0(

87


88/689

a

2

a

2

a

a1

a

2

1)E

2

1)D

2

1)C

2

1)B

2

1)A

EJEMPLO PSU-14: Cul(es) de los siguientes pares ordenados es(son)solucin(es) de 22 x5xy ++=

I) (2,5)II) (2,-5)III) (2,-1)

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I, II y IIIE) Ninguno de ellos

EJEMPLO PSU-15: Cul(es) de los siguientes nmeros es(son)irracional(es)?

24

6)III

333)II

82)I

+

A) Solo IB) Solo IIC) Solo III

D) Solo I y IIIE) Solo II y III

EJEMPLO PSU-16: =

+ 22

3

22

6

88


89/689

2

236)E

2

296

)D

296)C

22

3)B

0)A

EJEMPLO PSU-17: Si 0 < x < 1. Cul de las siguientes opciones esverdadera?

xx)E

1x)Dxx

1)C

xx1

)B

xx)A

>

EJEMPLO PSU-18: = 3 3x 2727

3x

3x

3x

9x3

9x

3)E

9)D

3)C

33)B

2727)A

+

+

EJEMPLO PSU-19: Dados los nmeros reales 23 ,3

11 , 7 , 32 ,

3

1

4 , al ordenarlos de menor a mayor, el trmino que queda en elcentro es:

89


90/689

3

14)E

3

11)D

7)C

23)B

32)A

EJEMPLO PSU-20: =+ )253)(325(

0)E

47)D

7)C

524)B

525)A

EJEMPLO PSU-21: El nmero 162 es igual a:

( )14

4

4

2)D

2)C

32)B

2)A

E) Ninguno de los nmeros anteriores

EJEMPLO PSU-22. Si2

53

35

y

+= Cul es el valor de ?1y15 +

90


91/689

15

4)E

15

34)D

15

64)C

64)B

65)A

EJEMPLO PSU-23. Si 253p = y 35q += , entonces qp =

anterioreslasdeNinguna)E

957)D

153)C

158)B

579)A

+

+

+

EJEMPLO PSU-24. 3 6n6a =

2n6

6n2

1

2n2

1

2n2

6n2

a)E

a)D

a)C

a)B

a)A

EJEMPLO PSU-25. Para todo m > 0 la expresin mmm 3 23 4 es iguala

6 7

5 7

5

8 7

m)E

m)D

m)C

m)B

m)A

EJEMPLO PSU-26. Si 0qp

< , cul(es) de las siguientes afirmaciones

es (son) verdadera(s)?

I) qpqp 22 +=+II) qpqp 22 +=+

91


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III) 0qp 22 >+A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y III

E) Solo II y III

VIII. ECUACIONES:

a. Una ecuacin es una igualdad condicionada en la que aplicando operacionesadecuadas se logra despejar (aislar) la incgnita.

b. Cuando una ecuacin contiene fracciones, puede escribirse en una forma mssencilla si se multiplican ambos miembros de la igualdad por el mnimo comnmltiplo de todos los denominadores de la ecuacin. De esta forma se obtiene unaecuacin que no contenga fracciones.c. Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos:Paso 1: Leer con atencin el problema.Paso 2: Anotar los datos del problema.Paso 3: Distinguir cul es la pregunta del problema y representar ese datodesconocido por un literal (letra).Paso 4: Con los datos del problema escribir una ecuacin.Paso 5: Resolver la ecuacin.Paso 6: Comprobar si el resultado est de acuerdo con los datos.

PROBLEMAS CON FRACCIONESSon problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fraccin

de un nmero. La fraccinb

ade un nmero x se calcula multiplicando

b

apor x.

PROBLEMAS DE DGITOSPara este tipo de problemas debemos recordar que en el sistema decimal unnmero de la forma x y z queda representado por x 102 + 101 + z 100

PROBLEMAS DE EDADES

92


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En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letrasdiferentes indicando en una lnea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas,presentes o futuras, segn corresponda:

Edad pasada(hace b aos)

Edad Actual Edad futura(dentro de c aos)

x - b x x + cy - b y y + c

B. ECUACIONES LINEALES:La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos),A(x1, y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresin:

212

212AB )yy()xx(d +=

Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio delsegmento AB son

PENDIENTE DE UNA RECTAEs la tangente trigonomtrica del ngulo de inclinacin (ngulo que forma la rectacon el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)

RELACIN ENTRE EL NGULO DE INCLINACIN Y LA PENDIENTE DE LARECTA

Sea el ngulo de inclinacin y sea m la pendiente de la recta L. Entonces:

93


94/689

( = 0) si y slo si (m = 0) (0 0)

L es paralela al eje x L tiene pendiente positiva

( = 90), si y slo si (m no est definida) (90


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RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas si y slo si sus pendientes son iguales.Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 1). Entonces:

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares si y slo si el producto de sus pendienteses -1.Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 2). Entonces:

SISTEMAS DE ECUACIONES

Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incgnitas,constituyen un sistema de ecuaciones lineales.La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es:

Ax + By = CDx + Ey = F donde A, B, C, D, E y F son nmeros reales.

Se denomina solucin del sistema a todo par (x, y) que satisfagasimultneamente ambas ecuaciones.OBSERVACIN: Cada ecuacin de un sistema de ecuaciones, representa unalnea recta en un sistema de ejes coordenados.

MTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALESCON DOS INCGNITAS

RESOLUCIN GRFICA: Para resolver grficamente un sistema de dosecuaciones lineales con dos incgnitas, se representan ambas rectas en un sistemade ejes coordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades.

i) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solucindel sistema (figura 1).

ii) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura 2).iii) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solucin(figura 3).

95


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21 LL 2121 LLLL == = 21 LL (Vaco)

RESOLUCIN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema deecuaciones lineales con dos incgnitas existen varios mtodos; utilizaremos slodos de ellos: sustitucin y reduccin.

MTODO DE SUSTITUCIN: Se debe despejar una de las variables en una delas ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuacin, generndose as una

ecuacin con una incgnita.

MTODO DE REDUCCIN: Se deben igualar los coeficientes de una de lasincgnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembrosconvenientemente, obtenindose un sistema equivalente al dado, y luego sesuman o restan ambas ecuaciones, resultando as una ecuacin con una incgnita.

ANLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOSINCGNITAS

Sea el sistema:

=+

=+

222

111cybxa

cybxaEntonces:

* El sistema tiene solucin nicasi2

1

2

1

b

b

a

a

* El sistema tiene infinitas solucionessi2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a==

* El sistema no tiene solucinsi2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a=

96


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EJEMPLO PSU-1:La ecuacin de una recta es x my 2 = 0. Si elpunto (2, 8) pertenece a esta recta, entonces el valor de m es

A) 2B) 3

C) 2

1

D)2

1

E) 2

EJEMPLO PSU-2: Una recta que contiene al punto P1 de coordenadas(1, 3) tiene pendiente 2, otra recta perpendicular con ella contiene alpunto P2 de coordenadas (8, 2). Ambas rectas se cortan en el punto Pcuya abscisa x vale

A) 5B) 2

97


98/689

C) 2D) 5

E) 2

1

EJEMPLO PSU-3: Cul es el valor de x en la ecuacin5

2

15

x1=

?

A) - 5B) 5C) 25D) 25E) 35

EJEMPLO PSU-4: En un supermercado el precio de costo de unkilogramo de pan es de $ 600 y lo venden en $ 820; las conservas demariscos tienen un costo de $ 800 y las vende en $ 1.060. Si la polticade asignacin de precios del supermercado es lineal, cul es el preciode venta de un kilogramo de arroz cuyo costo es de $ 400?

A) $ 600B) $ 580C) $ 547D) $ 537E) $ 530

EJEMPLO PSU-5: En la figura las rectas L1 y L2 son perpendiculares,

entonces cul de las siguientes opciones representa a la ecuacin de larecta L1?

)2x(45y)E

2x54

y)D

)2x(54

y)C

)2x(45

y)B

2x45

y)A

=

=

=

=

=

EJEMPLO PSU-6: La relacin entre las temperaturas Fahrenheit yCelsius es lineal. Si se sabe que 32 F corresponde a 0 C y 212 Fcorresponde a 100 C, entonces cul es la temperatura en gradosCelsius que corresponde a 55 F aproximadamente?

98


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A) 21 CB) 12,7 CC) 12,7 CD) 23 C

E) 25,9 C

EJEMPLO PSU-7:La ecuacin (2 k)x + 3y 4 = 0 representa unarecta perpendicular a la recta cuya ecuacin es 6x + y 9 = 0. Cules el valor de k?

A) 20

B)2

3

C) 8

D) 27

E)6

13

EJEMPLO PSU-8: Si == xentonces,9x

31

8

3)E

3

8)D

2

9)C

92)B

2

9)A

EJEMPLO PSU-9: Cul de las siguientes figuras representa lainterseccin de 3x + y = 4 con y + x = 0?

99

)A )B)C


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EJEMPLO PSU-10:En el sistema,

=+=

11y4nx

9myx3

Qu valores deben tener m y n para que la solucin del sistema sea elpar (1, 3) ?

m n

A) 2 1B) 2 1C) 2 1D) 4 23E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-11: En la figura, la ecuacin de L1 es y + x = 5,cul(es) de las siguientes afirmacioneses(son) verdadera(s)?

I) L1 // L2II) La ecuacin de L2 es y = -x + 3III) Ambas rectas tienen igual

inclinacin respecto del eje x

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y III

100

)D )E


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D) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-12: La interseccin de las rectas y = 5 x e y = x 1es el punto:

A) (2,3)B) (2,1)C) (3,-2)D) (0,2)E) (3,2)

EJEMPLO PSU-13: Juan en 10 aos ms tendr el doble de la edad quetena hace 5 aos. Qu edad tendr Juan en un ao ms?

A) 21 aosB) 20 aosC) 16 aosD) 15 aosE) 11 aosEJEMPLO PSU-14: Un grupo de amigos salen a almorzar a unrestaurante y desean repartir la cuenta en partes iguales. Si cada unopone $ 5.500 faltan $ 3.500 para pagar la cuenta y si cada uno pone$ 6.500 sobran $ 500. Cul es el valor de la cuenta?

A) $ 20.000B) $ 22.000C) $ 25.500D) $ 26.000E) $ 29.500

EJEMPLO PSU-15: La seora Marta compr 3 kilogramos de azcar y2 kilogramos de harina y pag $ s. Si el kilogramo de azcar vale $ p,cunto cuesta el kilogramo de harina?

)p3s$()E2

ps$)D

2p3s

$)C

2p3s

$)B

)p3s$()A

+

+

101


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EJEMPLO PSU-16: Six311x2

3

= , entonces cunto vale x?

4)E

2)D

5

2)C

7

4)B

7

2)A

EJEMPLO PSU-17: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:

A) 9B) 16C) 18

D)10

27


EJEMPLO PSU-18: Cul de las siguientes rectas del plano cartesianoes representada por la ecuacin x = a?

A) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, a).B) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (a, 0).C) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (0, a).D) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (a, 0).E) La recta que pasa por el origen y por el punto (a, a).

EJEMPLO PSU-19: Un padre reparte 12.000 hectreas entre sus tres

hijos. Al menor le da x hectreas, al del medio los3

2de las hectreas

del menor y al mayor la mitad de las hectreas de su segundo hijo. Elhijo mayor recibi

A) 2.000 hectreas

102


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B) 4.000 hectreasC) 5.333,3 hectreasD) 6.000 hectreasE) 8.000 hectreas

EJEMPLO PSU-20: Para qu valor de k el sistema

=+=3y2x3

2kyx5no tiene

solucin?

A) 2B) -2

C) -3

10

D) -34

E) -23

EJEMPLO PSU-21: Cul es el valor de x en la ecuacin 13

2x=

+?

A) -9B) -5C) -1

D)3

1

E) 1

EJEMPLO PSU-22: Cul de las siguientes ecuaciones NO esequivalente a la ecuacin 0,03x = 5,2?

2,5x103)E

2,5x1003)D

51

5x1003

)C

102,5x3)B526

x03,0)A

2

2

=

=

=

=

=

103


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EJEMPLO PSU-23: Si

=+

=+

3

2

b

1

a

1

6ba

, entonces ba =

1)E

3

2)D

3

1)C

9)B

3)A

EJEMPLO PSU-24: Dada la recta de ecuacin y = 2x y (2,1) es elpunto medio del segmento que corta a la recta en P y al eje x en Q. Lascoordenadas del punto P son:

23

,21

)B

1,21)A

C) (4,2)D) (2,4)E) (1,2)

EJEMPLO PSU-25: En un local de flores se venden claveles porunidades. Juan y Luis compran en el local 1 ramo de claveles cada uno.El ramo de Juan tiene 12 claveles y le costo $ a. Cunto pag Luis porsu ramo si tiene 4 claveles ms que el de Juan?

A) 4aB) 16a

C)3

a

D)4

a3

E)3

a4

104


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EJEMPLO PSU-26: La seora Pilar acostumbra a comprar todas lassemanas 3 kilogramos de pltanos y 2 kilogramos de manzanas. Ciertasemana gast $1.850. Como en la semana siguiente los pltanos habansubido $ 50 por kilogramo y las manzanas haban bajado $ 30 por

kilogramo, cambio su costumbre y compr 2 kilogramos de pltanosy 3 kilogramos de manzanas y gast $1.910. Cunto costaba elkilogramo de manzanas esa cierta semana?

A) $450B) $350C) $400D) $346E) $292

EJEMPLO PSU-27: Al ubicar los puntos A (-1,-2), B (5,-2) y C (5,3), enel sistema de ejes coordenados, se puede afirmar que:

BCtrazodelpuntounes)5,0()III

XejealparaleloesAB)II

BCAB)I

Es(son) correcta(s):

A) Solo IIB) Solo I y II

C) Slo I y IIID) Slo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-28: Segn el sistema

=+=+

b3a7yx

b3a7yx, cul es el valor

de y?

A)6bB)3bC)bD)-bE)-3b

EJEMPLO PSU-29: Dada la recta L, donde a y b son positivos, cul(es)de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

105


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I. La pendiente de la recta L es negativa.II. El punto (a, b) pertenece a la recta.

III.La recta L es perpendicular a la recta y =b

ax.

A)Slo IIB)Slo I y IIC)Slo II y IIID)Slo I y IIIE)I, II y III

EJEMPLO PSU-30: Tres nmeros enteros consecutivos suman cero.Entonces es verdadero que:

I) El nmero mayor y el menor suman ceroII) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayorIII) La diferencia entre el mayor y el menor es cero

A) Slo IB) Slo IIC) Slo I y IID) Slo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-31: En la figura se muestra el grfico de la recta deecuacin y = px + q. Cul es el valor de q?

A) 1B) 2C) 0D) -1E) -2

EJEMPLO PSU-32: Si 24)4x2(23 =+ , entonces x es igual a:

A) -4B) 0

106


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C) 3D) 4E) 36

EJEMPLO PSU-33: Si 6 2x = 14, entonces x x2 es igual a:

A) -20B) -10C) -30D) 10E) 30

EJEMPLO PSU-34: Se corta una tabla de 3 metros de largo en dospartes, de modo que una de ellas es 50 cm ms larga que la otra.Cules son las longitudes de cada parte?

A) 250 cm y 50 cmB) 150 cm y 150 cmC) 175 cm y 125 cmD) 200 cm y 100 cmE) Ninguna de las medidas anteriores

EJEMPLO PSU-35: En la figura, cul(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)?I) La pendiente de AD y de BC no es un nmero realII) La pendiente de DC es ceroIII) La pendiente de ABes positiva

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-36: Hace 3 aos Luisa tena 5 aos y Teresa a aos.Cul ser la suma de sus edades en a aos ms?

A) (11 + 3a) aosB) (11 + 2a) aos

107


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C) (11 + a) aosD) (8 + 3a) aosE) (5 + 3a) aos

EJEMPLO PSU-37: Jorge compr tres artculos distintos en $ (4a + b).El primero le cost $ a y el segundo $ (2a b). Cunto le cost eltercero?

A) $ aB) $ 7aC) $ (3a b)D) $ (3a + 2b)E) $ (a + 2b)

EJEMPLO PSU-38: El promedio de un nmero entero positivo y suantecesor es 6,5 entonces, el sucesor de ese nmero entero es

A) 6B) 7C) 8D) 14E) ninguno de los anteriores.

EJEMPLO PSU-39: Si 42

1t2=

, entonces t =

2

7)E

2

9)D

2

3)C

3)B

5)A

EJEMPLO PSU-40: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de unlicor Q. Si 6 litros del licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b,cul es el precio de los 5 litros de mezcla?

108


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18)b2a3(5

$)E

18b2a3$)D

)b3a2$()C5

ba$)B

3ba

$)A

+

+

+

+

+

EJEMPLO PSU-41.La diferencia de un nmero con sus12

5, es igual a

sus4

3partes disminuido en 10. La expresin que resuelve el enunciado

anterior es:

10x43x125x)E

10x43

x125

x)D

10x43

125

x)C

1043

125

x)B

1043

x125

x)A

=+

=

=

=

=

EJEMPLO PSU-42. Si la cuarta parte de la edad de una persona es 8,entonces, la mitad de su edad ms uno ao es:

A) 2 aosB) 5 aosC) 16 aosD) 17 aosE) 33 aos

EJEMPLO PSU-43.Cul debe ser el valor de x para que la expresin

x3

29

sea igual al inverso aditivo de -3?

109


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25

18)E

1)D

15

6)C

15

6)B

2)A

EJEMPLO PSU-44. Dado el sistema

=

=+

1y2x3

17y2x3, el valor de

y

yx es

igual a:

4

1)E

5

8)D

3)C

13

10)B

41)A

EJEMPLO PSU-45. En la recta de la figura, el valor de p es

5

12)E

5)D

7)C4

15)B

4)A

EJEMPLO PSU-46.Cul es el punto medio del trazo ABde la figura?

)0,a()E

)a,0()D

)b,0()C

2

b,

2

a)B

)0,a2()A

110


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VII-2: DESIGUALDADESLlamaremos desigualdades a expresiones de la forma a>b, a < b, a b a b. lasdesigualdades cumplen con las siguientes propiedades:

Propiedad 1: Si a los dos miembros de una desigualdad se suma un mismonmero, el sentido de la desigualdad no cambia

Si a, b, c son nmeros reales y a < b, entonces a + c < b + c

Propiedad 2: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un

mismo nmero positivo, el sentido de la desigualdad no cambia

Si a, b, c son nmeros reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc

Propiedad 3: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por unmismo nmero negativo, el sentido de la desigualdad cambia.

Si a, b, c son nmeros reales tales que a bc

INTERVALOSIntervalo abierto: Se denomina as al conjunto de nmeros reales comprendidosentre a y b. se simboliza por ] [b,aIntervalo cerrado: es el conjunto de nmeros reales comprendidos entre a y b,incluidos ambos. Se simboliza como [a,b]Intervalo semiabierto por derecha: Se llama as al conjunto de nmeros realescomprendidos entre a y b, que incluye al extremo a pero excluye al extremo b. sesimboliza por: [ [b,aIntervalo semiabierto por izquierda: Se denomina as al conjunto de nmerosreales comprendidos entre a y b, que excluye al extremo a pero incluye al extremob. se simboliza por: ] ]b,a

] [ { }bxa/Rxb,a


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En el grfico, los puntos extremos se indican con crculos para sealar, en estecaso, que dichos puntos pertenecen al intervalo

[ [ { }bxa/Rxb,a ), no alcanza (


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EJEMPLO PSU-1 Cul es el conjunto solucin para el sistema de

inecuaciones

>+

>

1, existen dos intersecciones con el eje X.

II. Si a = 1, existe solo una interseccin con el eje X.III. Si a < 1, no hay interseccin con el eje X.

A) Slo IB) I y IIC) II y IIID) Slo IIE) Slo I y III

EJEMPLO PSU-2: Un patio rectangular de 24 m2 de superficie, tiene 2

metros ms de frente que de fondo. Si x es la medida del fondo, culde las siguientes ecuaciones permite calcular las dimensiones del patio?

A) x(x + 2) 24 = 0B) x(x 2) 24 = 0C) x(x 2) + 24 = 0D) x2 - 22 = 0E) 4x - 20 = 0

EJEMPLO PSU-3: Las races (o soluciones) de la ecuacinx(x 1) = 20 son

A) 1 y 20B) 2 y 20C) 4 y 5D) 4 y 5E) 4 y 5

EJEMPLO PSU-4: Si x = 3 es una solucin (raz) de la ecuacinx2 + 5x + c = 0, entonces cul es el valor de c?

A) - 24B) -8C) -2D) 2

E)3

5

118


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EJEMPLO PSU-5: Cul es el menor valor para la expresinx2

x2 +

cuando x satisface la igualdad 16x

15x =+ ?

A) 4

B) 3C) 1D) 0E) -1

EJEMPLO PSU-6: El conjunto solucin (o races) de la ecuacinx2 + 1 = x + 1 es:

A) {0}B) {1}C) {0,1}D) {0,-1}E) Ninguno de los conjuntos anteriores

IX. LOGARITMOS:

119


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mlogn1

mlog)6(

xlogyxlog)5(ylogxlogy

x

log)4(

ylogxlog)yx(log)3(

1alog)2(

01log)1(

an

a

ay

a

aaa

aaa

a

a

=

==

+=

=

=

Cambio de base: alogblog

bloga =

EJEMPLO PSU-1: log (a + b)2 log (a + b) =

A) 2B) a + bC) log a + 3log bD) log a + log bE) log (a + b)

EJEMPLO PSU-2: Si 2x11

log =

entonces x vale:

20

19)E

100

101)D

100

99)C

99)B

100

99)A

EJEMPLO PSU-3: Cul de las siguientes opciones es igual a log 12?

2log6log)E3log2log2log)D

6log2)C2log10log)B

2log6log)A

+

+

120


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EJEMPLO PSU-4: El valor de la expresines

16log

9

1log8log

4

32

4

7)E

4

5)D

3)C

21)B

2

5)A

EJEMPLO PSU-5: log32 = a resulta

A) a3

= 2B) a2 = 3C) 23 = aD) 32 = aE) 3a = 2

EJEMPLO PSU-6: Si a > 1, entonces )a(loglog 2a2 =

A) 0B) 1C) 2D) aE) a2

EJEMPLO PSU-7: Cul de las siguientes expresiones es(son)verdadera(s)?

4log10log4log)III

3030log2

1log)II

20log20log1log)I

=


122/689

7

1xentonces,249logSi)III

3xentonces,2xlogSi)II

29

1log)I

x

3

3

==

==

=

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-9: log 2.0002 =

A) 4 log 1.000B) 6 + 2 log 2C) 2(6 + log 2)D) 2(log 2)(log 1.000)E) 3 + 2 log 2

EJEMPLO PSU-10. Cul es el valor de la expresin ?10log9log8log 32 ++

A) 4B) 5C) 6D) 7E) 8

EJEMPLO PSU-11. Sean x e y nmeros positivos, la expresin)yxlog( 23 es siempre igual a

)ylog2)(xlog3()E

ylog2xlog3

)D

ylog2xlog3)C

)xylog(23

)B

)xylog(6)A

X. FUNCIONES:DEFINICIN: funcinSean A y B conjuntos no vacos. Una funcin de A en B es una relacin que asignaa cada elemento x del conjunto A uno y slo un elemento y del conjunto B.Se expresa como:

f: A B

122

yx y


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x f(x) = y

Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de

f(x) = yDominio:es el conjunto de todos los valores para los cuales est definida lafuncin y se denota Dom f. Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variabledependiente (y), y se denota Rec f. Funcin Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente,tambin aumenta la variable dependiente.Funcin Decreciente:Es aquella que al aumentar la variable independiente, lavariable dependiente disminuye. Funcin Constante: Es aquella que para todos los valores de la variableindependiente, la variable dependiente toma un

LIBRO RECOPILACIÓN PSU 2012

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