Libro Recopilacic3b3n Psu

LIBRO RECOPILACIÓN PSUEJERCICIOS DEMRE

2012

CONTENIDOSEJERCICIOS PSURESPUESTASRECOPILACIONESENSAYOS

Álvaro M. Sánchez VásquezProf. Matemática y Física

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INDICE

Contenido Página1 Números Enteros, operatoria, propiedades 3 2 Números racionales, operatoria, propiedades 143 Potencias, propiedades, aplicaciones 304 Operatoria algebraica 385 Simbología 566 Razones y proporciones. propiedades 617 Tanto por ciento, propiedad, aplicaciones 718 Raíces, propiedades, aplicaciones 849 Ecuaciones de primer grado, lineales, sistemas de ecuaciones 94

10 Desigualdades, intervalos, inecuaciones 11211 Ecuación de segundo grado, propiedades, aplicaciones 11912 Logaritmos, propiedades, aplicaciones 12213 Funciones, operatoria, tipos de funciones, propiedades, aplicaciones 12514 Ángulos y Triángulos, propiedades, Teorema de Pitágoras, teorema de Euclides 15015 Congruencia de triángulos, criterios, aplicaciones 17216 Semejanza de triángulos, criterios, aplicaciones 17617 Cuadriláteros, propiedades, aplicaciones 18718 Polígonos, propiedades 20219 Ángulos en la circunferencia, propiedades, aplicaciones 20420 Relaciones métricas en la circunferencia, círculo, aplicaciones 21621 Poliedros, volumen, aplicaciones 22122 División interior y exterior 23023 Trigonometría, razones, aplicaciones 23324 Probabilidad, propiedades, aplicaciones 24425 Estadística, gráficos, aplicaciones 26726 Transformaciones isométricas, propiedades, aplicaciones 28327 Teorema de Tales, propiedad, aplicación 30128 Evaluación de suficiencia de datos 30929 Respuestas 33430 Recopilación 1 34031 Recopilación 2 35032 Recopilación 3 36433 Recopilación 4 37734 Recopilación 5 38835 Recopilación 6 41036 Recopilación 7 43637 Ensayo 1 45938 Ensayo 2 48139 Ensayo 3 50540 Ensayo 4 53141 Ensayo 5 55242 Ensayo 6 57743 Ensayo Admisión 2011 60144 Ensayo 8 62845 Ensayo 9 653


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46 Ensayo 10 676

RESUMEN PSU MATEMATICA

I. NÚMEROS NATURALES Y CARDINALES (IN, IN0)Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3,…} se denominan “números naturales”. Si a este conjunto le unimos el conjunto formado por el cero, obtenemos lN0 = {0, 1, 2,…} llamado “conjunto de los números cardinales”.

NÚMEROS ENTEROS (Z)Los elementos del conjunto Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2,…} se denominan “números enteros” Algunos subconjuntos de Z son:Z+ = {1, 2, 3,…} enteros positivos Z = {0, 1, 2,…} enteros no negativos

Z- = {-1, -2, -3,…} enteros negativos Z = {0, -1, -2, -3,…} enteros no positivos

1. Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, …2. Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … y también: -1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, …

MÚLTIPLO Y DIVISOREn la expresión a = b ⋅ c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y de c o bien b y c son divisores o factores de a.

REGLAS DE DIVISIBILIDADUn número entero es divisible: Por Cuando 2 Termina en cifra par. 3 La suma de sus cifras es múltiplo de tres. 4 Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o bien son Ceros. 5 La última cifra es cero o cinco. 6 Es divisible por dos y por tres a la vez. 7 La diferencia entre el doble de la última cifra y el número que forman las Cifras restantes es múltiplo de siete. 8 Las tres últimas cifras forman un número múltiplo de ocho o bien son Ceros. 9 La suma de sus cifras es múltiplo de nueve. 10 Termina en cero. 11 La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y Las que ocupan los lugares impares es múltiplo de once.


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NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORESNúmeros primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, …

TEOREMA FUNDAMENTALTodo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de aquellos números que cumplen con la propiedad de ser factores de números primos

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)Es el menor múltiplo común positivo de dos o más enteros.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)Es el mayor divisor común entre dos o más enteros.

CÁLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOSSe descomponen los números en factores primos:1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel que posea el exponente menor.

OPERATORIA EN ZADICIÓNi. Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el signo común.

ii. Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto.

MULTIPLICACIÓNi. Si se multiplican dos números de igual signo al resultado es siempre positivo.

ii. Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo.

OBSERVACIÓN: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación.

VALOR ABSOLUTOEs la distancia que existe entre un número y el 0

DEFINICIÓN:


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ALGORITMO DE LA DIVISIÓNSi D: d = c, entonces D = d • c + r r //D = dividendod = divisorc = cuociente o cocienter = resto

OBSERVACIONES: 1. 0 ≤ r < d2. La división por cero no está definida.

PRIORIDAD DE LAS OPERACIONESAl realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:1. Resolver los paréntesis.2. Realizar las potencias.3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha.

RELACIÓN DE ORDEN EN ZSi a y b son números enteros, entonces diremos que:i. a > b si y sólo si (a - b) es un entero positivo.ii. a < b si y sólo si (a - b) es un entero negativo.iii. a ≥ b si y sólo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez).iv. a ≤ b si y sólo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).

EJEMPLO PSU-1: Si al entero (– 1) le restamos el entero (– 3), resulta

A) – 2B) 2C) 4


5

D) – 4E) ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-2: Si a es un número de dos dígitos, en que el dígito de las decenas es m y el de las unidades es n, entonces a + 1 =

A) m + n + 1B) 10m + n + 1C) 100m + n + 1D) 100m + 10n + 1E) 10(m + 1) + n

EJEMPLO PSU-3: Si n = 2 y m = -3, ¿cuál es el valor de –nm –(n + m)?

A) -11B) -5C) 5D) 7E) -7

EJEMPLO PSU-4: En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31 niños invitados. ¿Cuál es el número mínimo de golosinas que se necesita agregar para que cada niño invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna?

A) 11 B) 20 C) 21 D) 0 E) 7

EJEMPLO PSU-5: Claudia tenía en el banco $ 4p. Retiró la mitad y horas más tarde depositó el triple de lo que tenía al comienzo. ¿Cuánto dinero tiene ahora Claudia en el banco?

A) $ 8p B) $ 10p C) $ 12p D) $ 16p E) $ 14p


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EJEMPLO PSU-6: Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla: el último número de cada fila es la suma de los tres números anteriores y el último número de cada columna es la suma de los tres números anteriores. ¿Cuál es el valor de x?

A) 5 B) 7 C) 8 D) 9 E) 16

EJEMPLO PSU-7: Con los círculos se ha armado la siguiente secuencia de figuras:

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La décima figura de la secuencia está formada por 21 círculos II) De acuerdo a la formación de la secuencia cualquier figura tendrá un número impar de círculos III) La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de círculos entre dos figuras consecutivas es 2

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-8: En un monedero hay doce monedas de $5 y nueve de $10. Estas 21 monedas representan un cuarto del total de dinero que hay en su interior. Si en el resto de dinero se tiene igual cantidad de monedas de $50 y de $100, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) En total hay 27 monedas II) Hay 4 monedas de $50 en el monedero III) En el monedero hay $600

A) Solo I


x 4 204 9

8 1324 16 55

7

B) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) Solo II y III

EJEMPLO PSU-9: Se define y a # b = 2a - 4b, para a y b números enteros, el valor de (2 5) # (-2) es:

A) 82B) 66C) 60D) 38E) 22

EJEMPLO PSU-10: Al sumar el cuarto y el quinto término de la secuencia: x - 5, 2(2x + 7), 3(3x - 9), 4(4x + 11),. . ., resulta

A) 41x - 2B) 61x + 25C) 41x - 109D) 41x + 109E) 41x - 21

EJEMPLO PSU-11: ¿De cuántas formas distintas se puede pagar, en forma exacta, una cuenta de $ 12.000 usando billetes de $ 10.000 o $ 5.000 o $ 1.000 o combinaciones de ellos?

A) De 1 formaB) De 2 formasC) De 4 formasD) De 3 formasE) De 6 formas

EJEMPLO PSU-12: Si hoy es miércoles, ¿qué día de la semana será en 100 días más, a partir de hoy?

A) ViernesB) SábadoC) LunesD) MiércolesE) Jueves


8

EJEMPLO PSU-13: Si tuviera $80 más de los que tengo podría comprar exactamente 4 pasteles de $ 240 cada uno, ¿cuánto dinero me falta si quiero comprar 6 chocolates de $ 180 cada uno?

A) $280B) $200C) $120D) $100E) $ 40

EJEMPLO PSU-14: El precio de los artículos M, N y T son $(n-1), $(n-2) y $(n -3), respectivamente. ¿Cuántos pesos se deben pagar por un artículo M, dos artículos N y tres artículos T?

A) 6n - 14B) 6n – 6C) 5n – 14D) 3n – 14E) 3n - 6

EJEMPLO PSU-15: En las siguientes igualdades los números n. p, q y r son enteros positivos. ¿Cuál de las opciones expresa la afirmación p es divisible por q?

A) p = nq + rB) q = np + rC) q = npD) p = nq

E)

EJEMPLO PSU-16: Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas?

A) 8B) 6C) 9D) 10E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-17: Si 16(n + 8) = 16, entonces n - 5 es igual a


9

A) -12B) -7C) -2D) 4E) 12

EJEMPLO PSU-18: M, N y P son números enteros mayores que 1. Si ninguno de ellos tiene factores en común, salvo el 1, cuando M = 9 y N = 8, ¿cuál es el menor valor posible de P?

A) 7B) 5C) 4D) 3E) 1

EJEMPLO PSU-19: En un triángulo equilátero de lado 1.000 se unen los puntos medios de cada lado y se obtiene un nuevo triángulo equilátero, como se muestra en la figura. Si repetimos el proceso 6 veces, el lado del triángulo que se obtiene es:

EJEMPLO PSU-20: La suma de tres números impares consecutivos es siempre: I) divisible por 3 II) divisible por 6 III) divisible por 9Es(son) verdadera(s):

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III


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EJEMPLO PSU-21: La suma de tres números enteros consecutivos es 0. Con respecto a estos números, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La suma del menor y el mayor es 0 II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor III) El mayor menos el menor es 0A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-22. Un grupo de amigos tiene dinero para comprar 20 bebidas de $ 200 cada una. Si el precio sube a $ 250 cada una, ¿cuántas bebidas pueden comprar con el mismo dinero?

A) 1B) 8C) 16D) 26E) 80

EJEMPLO PSU-23. Encuentre el valor de (A + B + C), sabiendo que en el cuadrante sólo pueden colocarse los números 1, 2, 3 y 4 de manera tal que en cada fila y columna pueden ir sólo una vez cada número


EJEMPLO PSU-24. La distancia en la recta numérica entre a y b es c. esto se expresa como:


11

EJEMPLO PSU-25. Cinco personas P, Q, R, S y T juegan sacando un cartón de una caja en que aparece una operación, en el cual tienen que reemplazar la letra X por el número que les dictan (para todos el mismo). La persona que tiene el cartón con el menor resultado gana. Si se sacan los siguientes cartones:

P Q R S T

¿Quién gana cuando dictan – 3?

A) QB) PC) RD) SE) T

EJEMPLO PSU-26. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) Un número entero es divisible por 6 si es par y la suma de sus dígitos es divisible por 3.B) Si la suma de dos números es par, entonces ambos son pares o ambos son impares.C) La suma de todo número divisible por 3 con todo número divisible por 6, es divisible por 3.D) El cuadrado de todo número divisible por 3 es divisible por 6.E) El producto de todo número divisible por 4 con todo número divisible por 6, es divisible por 12.


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X-1 1 - XX + 1 1 – (-X) -X

II. NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales son todos aquellos números de la forma con a y b

números enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra Q.

2. IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Si Q, entonces:

OBSERVACIONES


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1. El inverso aditivo (u opuesto) de es - , el cual se puede escribir también

como

2. El número mixto A se transforma a fracción con la siguiente fórmula:

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Si Q, entonces:

MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN

OBSERVACIÓN

El inverso multiplicativo (o recíproco) de es

RELACIÓN DE ORDEN EN Q

OBSERVACIONES1. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes procedimientos:a. igualar numeradores.b. igualar denominadores.c. convertir a número decimal.2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.

NÚMEROS DECIMALESAl efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico.

a. Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales.Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales


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b. Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por la parte entera y el período.Ejemplo: 0,444.... = 0,

c. Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados por la parte entera, un anteperíodo y el período.Ejemplo: 24,42323... = 24,4

OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES1. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva.Así por ejemplo: 0,19 3,81 + 22,2 26,20

2. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en conjunto.Así por ejemplo: 3,21 ⋅ 2,3 963 642 7,3833. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10.Así por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100 224: 120 y se dividen como números enteros

TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dicho número.

Por ejemplo: 3,24 =

2. Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período.

Por ejemplo: 2, =

3. Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.


15

Por ejemplo: 5,3 =

APROXIMACIONESFrecuentemente conviene redondear o truncar un número, dejando una aproximación con menos cifras significativas, de las que tiene originalmente.

REDONDEOPara redondear un número decimal finito o infinito se agrega 1 al último dígito que se conserva (redondeo por exceso), si el primero de los dígitos eliminados es mayor o igual a 5; si la primera cifra a eliminar es menor que 5, el último dígito que se conserva se mantiene (redondeo por defecto). Por lo tanto, como ejemplos, BAJO ESTA REGLA, al redondear a la centésima los números 4,748 y 9,5237 se obtiene 4,75 y 9,52, respectivamente.

TRUNCAMIENTOPara truncar un número decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas a la derecha dela última cifra a considerar.De esta manera, como ejemplo, si se trunca a las centésimas el número 2,5698 resulta 2,56.

ESTIMACIONESRealizar un cálculo estimativo, consiste en efectuarlo con cantidades aproximadas por redondeo a las dadas, reemplazando dígitos distintos de ceros por ceros, dejando la cantidad de cifras significativas que se indique (lo que habitualmente es una cifra).

EJEMPLO PSU-1: 5

A) 0,5B) 0,05C) 0,005D) 50E) 500

EJEMPLO PSU-2: El orden de los números a = , b = y c = de

menor a mayor es

A) a < b < cB) b < c < aC) b < a < cD) c < a < bE) c < b < a

EJEMPLO PSU-3: 40 - 20 2,5 + 10 =

A) 0 B) -20C) 60


16

D) 75 E) 250

EJEMPLO PSU-4:

A) 0,15B) 0,5C) 0,52D) 0,525E) 2

EJEMPLO PSU-5: Si a se le resta resulta:

EJEMPLO PSU-6:


17

EJEMPLO PSU-7: Si t = 0,9 y r = 0,01, entonces =

A) 80,89B) 80,9C) 88,9D) 89E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-8: En la igualdad , si P y R se reducen a la

mitad, entonces para que se mantenga el equilibrio, el valor de Q se debe

A) duplicar.B) reducir a la mitad.C) mantener igual.D) cuadruplicar.E) reducir a la cuarta parte.

EJEMPLO PSU-9: Juan dispone de $ 6.000 para gastar en entretención. Si se sabe que cobran $1.000 por jugar media hora de pool y $600 por media hora en Internet, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Juan puede jugar a lo más 3 horas de pool II) Juan puede conectarse a lo más 5 horas en Internet III) Juan puede jugar 1,5 horas de pool y conectarse 2,5 horas a internet

A) Solo IIIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-10:


18

EJEMPLO PSU-11: Si , entonces H-1 es igual a:

EJEMPLO PSU-12:

EJEMPLO PSU-13:


19

EJEMPLO PSU-14:

EJEMPLO PSU-15:

A) 10B) 1C) 0,1D) 0,25E) 0,75

EJEMPLO PSU-16: Una persona debe recorrer 12,3 kilómetros y ha caminado 7.850 metros. ¿Cuánto le falta por recorrer?

A) 4,45 km B) 4,55 km C) 5,55 km D) 5,45 km E) 6,62 km

EJEMPLO PSU-17: Si a es un número natural mayor que 1, ¿cuál es la

relación correcta entre las fracciones:


20

A) p <t < rB) r < p < tC) t < r < pD) r < t < pE) p < r < t

EJEMPLO PSU-18: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un licor Q. Si 6 litros del licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, ¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla?

EJEMPLO PSU-19: Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad, llenado

hasta los litros. ¿Cuántos litros le faltan para llenarlo?


21

EJEMPLO PSU-20:

EJEMPLO PSU-21: Se define a b = , entonces a (b c) es igual a:

EJEMPLO PSU-22: Sean a, b, c y d números enteros distintos entre sí y

distintos de cero. Si P = + d y Q = + d, ¿cuál(es) de las siguientes

igualdades es (son) siempre verdadera(s)? I) P - Q 0


22

II)

III) P · Q =

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de ellas.

EJEMPLO PSU-23:

EJEMPLO PSU-24: tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier cronometró 11,3 segundos, Arturo 11,02 segundo y Marcelo 11,2 segundos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Javier llegó después de Marcelo II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centésimas de segundo de diferencia al llegar a la meta III) Arturo llegó primero


23

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-25: En una receta de un postre para 6 personas se necesitan 200 gramos de azúcar. Si se desea preparar dicho postre para n personas, ¿por cuál número se debe multiplicar n para obtener cuántos gramos de azúcar se necesitan?

A) 33,B) 200C) 1.200D) 6E) 0,03

EJEMPLO PSU-26: Sean a, b y d números enteros positivos. Si ,

entonces es:

EJEMPLO PSU-27: =

A) 5 B) 10 C) 25

D)

E)


24

EJEMPLO PSU-28.

EJEMPLO PSU-29. Se tienen dos cajas: una con seis botellas de de

litro, todas llenas y otra con cuatro botellas de de litro, todas llenas

también. ¿Cuál es el número de botellas de medio litro con las que se puede envasar todo el líquido?

A) 5B) 9C) 10D) 19E) 20

EJEMPLO PSU-30. Sea n un número entero, ¿cuál de las afirmaciones siguientes es (son) siempre verdadera(s)?

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I y IIE) Ninguna de las anteriores.


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EJEMPLO PSU-31. Se define la operación [m, n, r] , ¿cuál es el

valor de ?

EJEMPLO PSU-32.

A) – 2nB) – nC) nD) 1E) – 1

EJEMPLO PSU-33. ¿Cuántos séptimos son equivalentes a ?

A) 19B) 17C) 14D) 10E) 5

EJEMPLO PSU-34. El número racional es igual a:


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EJEMPLO PSU-35. Juan tiene a dulces y su hermano tiene la mitad de esta cantidad más un dulce. Si al hermano de Juan le regalan 3 dulces y éste, a su vez, regala 2 dulces, ¿con cuántos dulces queda el hermano de Juan?

EJEMPLO PSU-36. Dada la fracción , con m > 0 y t > 0. ¿Cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Si a m y a t se le agrega 1, entonces la fracción aumenta en 2. II) Si el numerador de la fracción se duplica y su denominador se divide por 2, entonces la fracción queda igual. III) Si el denominador de la fracción se divide por 3, entonces la fracción se triplica.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo II y III

EJEMPLO PSU-37. Se define la operación en los números reales. ¿En cuál(es) de las siguientes operaciones el resultado es igual a 8? I) 4 # 2

II) 16 #

III) 8 # 0A) Solo en IIIB) Solo en I y en II


27

C) Solo en I y en IIID) Solo en II y en IIIE) En I, en II y en III


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III. POTENCIAS EN ZDEFINICIÓN

PROPIEDADES1. = 0, si n Z+ 2. = 1

3. Si n es par, = 1

4. Si n es impar, = -1

Signos de una potencia: =

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIASSean a y b Z, m y n Z+

1.- Multiplicación de potencias de igual base

2.- División de potencias de igual base

3.- Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente

4.- División de potencias de distinta base e igual exponente

DEFINICIÓN

OBSERVACIÓN: no está definido

POTENCIA DE UNA POTENCIA

POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO

POTENCIAS DE BASE 10

= 1 = =0,1


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= 10 = =0,01

= 100 = =0,001

= 1000

Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un número de las siguientes formas:1. Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k ⋅ , en que 1 ≤ k < 10 y n Z.2. Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p ⋅ 10n, en que p es el menor entero y n Z.3. Un número está inscrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la potencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima, centésima...) abcde = a ⋅ + b ⋅ + c ⋅ 100 + d ⋅ + e ⋅

EJEMPLO PSU-1:

EJEMPLO PSU-2:

A) 10-15

B) 10-12

C) 10-7

D) 10-6

E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-3: El orden de los números: M = 4,51 ; N = 45,1 y P = 451 , de menor a mayor, es

A) M, N, P B) P, M, N C) N, M, P


30

D) P, N, M E) M, P, N

EJEMPLO PSU-4:

EJEMPLO PSU-5: Si = 8, ¿cuántas veces x es igual a 9?

A) 6

B)

C) 3

D)

E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-6:

EJEMPLO PSU-7: =

A) 72a2

B) 72a5

C) 6a5

D) 36a6

E) 36a5

EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál es la mitad de ?


31

A) 25

B) 23

C) 16

D)

E)

EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) siempre verdadera(s)?

A) Solo IB) Sólo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) Solo II y III

EJEMPLO PSU-10: ¿Cuáles de las siguientes operaciones dan como resultado 41?

A) Solo I y IIB) Solo I y IIIC) Solo II y IIID) I, II, IIIE) Ninguna de ellas

EJEMPLO PSU-11: El valor de la expresión es

A) B) 4C) 2D) 6E) 36

EJEMPLO PSU-12:


32

EJEMPLO PSU-13: En la igualdad , el valor de n es:

E) ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-14: (0,2) – 2 =

A) 5 B) 10 C) 25

D)

E) 5

EJEMPLO PSU-15:

EJEMPLO PSU-16: Si . Entonces x=

A) 2B) 3C) 4D) 6E) 27


33

EJEMPLO PSU-17: Si una colonia de bacterias se triplica cada 20 minutos e inicialmente hay 5.000 de ellas, el número de bacterias que hay al término de 3 horas es:

A) 5.000 33 bacteriasB) 5.000 34 bacteriasC) 5.000 39 bacteriasD) 5.000 360 bacteriasE) 5.000 3180 bacterias

EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes igualdades es (son) correcta (s) cuando x=-3?

A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-19: Si y q = , ¿cuál(es) de las siguientes igualdades se cumple(n)?

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y III

EJEMPLO PSU-20: Si , entonces es igual a:

A) P2

B) P2 + 2C) P2 – 2D) P2 – 1E) 3P


34

EJEMPLO PSU-21. Ordenados de mayor a menor los números:

A) Q, R, PB) Q, P, RC) P, R, QD) R, P, QE) P, Q, R

EJEMPLO PSU-22. ¿Cuál es el valor de la expresión

A) 5B) 6C) 10D) 12E) 16

EJEMPLO PSU-23. =

EJEMPLO PSU-24. ¿Por qué factor hay que multiplicar para obtener ?

EJEMPLO PSU-25. ¿Qué valor tiene x en la ecuación


35

IV. ALGEBRA y FUNCIONES

EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICASEvaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre paréntesis.

TÉRMINOS SEMEJANTESSon aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTESPara reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener su factor literal.

USO DE PARÉNTESIS

En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:

Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signos de los términos que están dentro del paréntesis.

Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando los signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis.


36

Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los paréntesis desde adentro hacia fuera.

OPERATORIA ALGEBRAICA

ADICIÓN DE POLINOMIOSPara sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos semejantes y uso de paréntesis.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

MONOMIO POR MONOMIO:Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usando propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de monomios se multiplica sólo por uno de ellos. Es decir, a (b c) = (a b) c

MONOMIO POR POLINOMIO:Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.Es decir, a (b + c + d) = ab + ac + ad

POLINOMIO POR POLINOMIO:

Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay.

PRODUCTOS NOTABLES:

∗ Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

∗ Suma por su diferencia: (a + b) (a – b) = a2 – b2 ∗Producto de binomios: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab∗ Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

∗ Cuadrado de trinomio: (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac(a – b – c) 2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc - 2ac

∗ Suma de cubos: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 ∗ Diferencia de cubos: (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3


37

EJEMPLO PSU-1: La expresión se puede escribir como

A) B) C) D) E)

EJEMPLO PSU-2: Si n = (a + b)2 y p = (a − b)2, entonces a ⋅ b =

EJEMPLO PSU-3: La expresión es igual a:


38

EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones al ser simplificada(s) resulta(n) 1?


EJEMPLO PSU-5: El doble de

A) 2a + 2bB) a - b + 2C) a + b + 2D) a + bE) -2a - 2b

EJEMPLO PSU-6: El largo de un rectángulo mide 3x + 2y. Si su perímetro mide 10x + 6y, ¿cuánto mide el ancho del rectángulo?


39

A) 2x + yB) 4x + 2yC) 7x + 4yD) x + 2yE) x + 2y

EJEMPLO PSU-7: El área de un rectángulo es + 2x - 24. Si uno de sus lados mide (x - 3), el otro lado mide

A) (x + 8)B) 2(x + 8)C) 2(x - 4)D) 2(x - 3)E) 2(x + 4)

EJEMPLO PSU-8: Si

A) -9B) 6C) 4D) 3E) 1

EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) divisor(es) de la expresión algebraica − 6x − 20 ? I) 2 II) (x − 5) III) (x + 2)A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-10: Si la base de un triángulo mide z y su altura mide ,

entonces ¿cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene igual área que el triángulo?

A)

B)

C) z


40

D)

E)

EJEMPLO PSU-11: Si x = −3, entonces (x − 2)( − 3) =

A) − 45B) − 75C) 15D) 75E) 105

EJEMPLO PSU-12: Si x e y son números enteros diferentes de 0,

entonces

EJEMPLO PSU-13:

A) – 12w - 14B) – 12w + 22C) – 12w -5D) – 12w + 13E) – 12w + 14

EJEMPLO PSU-14: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:

A) 9B) 16C) 18

D)



41

EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál de las siguientes expresiones es un factor de k2 + k – 6?

A) k + 1B) k + 2C) k – 6D) k – 3E) k – 2

EJEMPLO PSU-16: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área de ABCD es a2 + 2ab + b2

II) El área de la región achurada es (a + b)2

III) El área de AEFD es b2 + ab

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) Solo II y III

EJEMPLO PSU-17: Si x es un número entero mayor que 1 y el área de un rectángulo se expresa como (x2 + 5x – 6), ¿cuál de las siguientes opciones puede representar a sus lados?

A) (x – 1) y (x – 5) B) (x + 2) y (x – 3) C) (x – 1) y (x + 6) D) (x + 1) y (x – 6) E) (x – 2) y (x – 3)

EJEMPLO PSU-18: Dada la expresión , ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) factor(es) de ella? I) xy + 1 II) x + 1 III) y + 1 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III


42

EJEMPLO PSU-19: Si n es un número natural, una expresión equivalente a es:

EJEMPLO PSU-20:

A) –a2

B) –aC) aD) 2aE) a - 2

EJEMPLO PSU-21:


43

EJEMPLO PSU-22: Si mx2 – mp2 = 1 y x – p = m, entonces (x + p)2=

EJEMPLO PSU-23: a – a(1 –a)

A) 1 - aB) aC) 0D) –a2

E) a2

EJEMPLO PSU-24: Si , entonces el valor de (a – b)2

es:

A) 9B) 19C) 29D) 49E) No se puede determinar el valor

EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a – 4mn?

A) (m – n)2

B) m2 – 2 + n2

C) m2 – 4mn + n2

D) 2m – 4mn + 2nE) 2m – 2mn + 2n

EJEMPLO PSU-26: Sea m 0, al simplificar la expresión resulta:


44

EJEMPLO PSU-27: Al sumar con m se obtiene , entonces ¿cuál es

el valor de de m?

EJEMPLO PSU-28: (30 + 5)2 – (30 + 5)(30 – 5) =

A) 0 B) 50

C) 300 D) 350 E) 450

EJEMPLO PSU-29: Jorge compró tres artículos distintos en $(4a + b). El primero le costo $a y el segundo $(2a – b). ¿Cuánto le costó el tercero?

A) $ aB) $ 7aC) $ (3a – b)D) $ (3a + 2b)E) $ (a + 2b)


45

EJEMPLO PSU-30: El promedio de un número entero positivo y su antecesor es 6,5 entonces, el sucesor de ese número entero es:

A) 6B) 7C) 8D) 14E) Ninguno de los anteriores

EJEMPLO PSU-31: Si el ancho de un rectángulo es y el largo es el

doble del ancho. ¿Cuánto mide su perímetro?

EJEMPLO PSU-32: Si , entonces la expresión

x – (a + b + c) equivale a:


46

EJEMPLO PSU-33: Dada la siguiente figura:

Se sabe que a y b son positivos y a > b. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. El área del cuadrado de lado (a + b) es igual al área achurada. II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las áreas del cuadrado de lado a y el lado de b. III. a(a + b) > a2 + b2

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-34: El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinas cuatro cuadrados de lado x cada uno. ¿Cuál es el área sombreada?

A) 8 – xB) 64 – 4x2

C) 64 – x2

D) 8 – x2

E) 64 – x4

EJEMPLO PSU-35: Si , ¿a cuánto equivale la

expresión ?

A) -2m2 + 8p2

B) -2m2 + 6mp + 8p2

C) 8m2 + 6mp – 2p2

D) -2m2 + 3mp + 8p2


EJEMPLO PSU-36: Si m = 2 y b = 5, entonces {m - (m - b)}2 es igual a:

A) -10B) 10C) 13D) -25E) 25


47

EJEMPLO PSU-37: Si se desea construir un cilindro M que sea cuatro veces el volumen de otro cilindro P, entonces I) la altura del cilindro M debe ser cuatro veces la altura del cilindro P y los radios deben ser iguales. II) el radio de la base del cilindro M debe ser el doble del radio del cilindro P y las alturas deben ser iguales. III) el radio de la base del cilindro M debe ser cuatro veces el radio del cilindro P y las alturas deben ser iguales.Es (son) verdadera(s)

A) sólo I.B) sólo II.C) sólo III.D) sólo I y II.E) sólo I y III

EJEMPLO PSU-38: Si n = 3, entonces es igual a:

A) 6B) 9C) 14D) 17E) 18

EJEMPLO PSU-39:

E) Ninguna de las expresiones anteriores

EJEMPLO PSU-40: En la figura, si ABCD es un rectángulo, entonces el área de la región achurada se expresa como:


48

EJEMPLO PSU-41: para que la expresión sea positiva, se debe

cumplir necesariamente que:

A) xy < 0B) x < 0C) xy > 0D) y < 0E) x > y

EJEMPLO PSU-42: Si x = -1, ¿cuál es el valor de la expresión ?

A) -9B) -3C) -1D) 1E) 3

EJEMPLO PSU-43: ¿Cuál es el valor de x2 – 2xy, si x = 2 e y = – 1?

A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) 0

EJEMPLO PSU-44: a – [–a – (–a + b – c)] =

A) –a + b – c B) a + b – c


49

C) –a – b + c D) a – b – c E) a + b + c

EJEMPLO PSU-45: (3m – 5p)2 =

A) 6m2 – 10p2

B) 9m2 – 25p2

C) 9m2 – 15mp + 25p2

D) 9m2 – 30mp – 25p2

E) 9m2 – 30mp + 25p2

EJEMPLO PSU-46. Si p = -2 y q = - 3 entonces

A) – 13B) 25C) 1D) 5E) -5

EJEMPLO PSU-47. p = q + 1, entonces

EJEMPLO PSU-48. ¿En cuál de las siguientes alternativas, - 24 mn es un término al desarrollar el cuadrado de un binomio?

EJEMPLO PSU-49. En el rectángulo de la figura , y . Además . ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones equivale(n) al área del rectángulo ABCD?


50

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-50.

EJEMPLO PSU-51. Si k es un número entero positivo, entonces k + 1 es factor de:

EJEMPLO PSU-52.


51

EJEMPLO PSU-53. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a :

EJEMPLO PSU-54. Si , entonces la expresión es igual a

EJEMPLO PSU-55. Si en un rectángulo de largo 2a y de ancho a + 2, se aumenta el largo al doble y el ancho en 3a + 6, entonces el área del nuevo rectángulo, con respecto al original, aumenta

A) 8 veces.B) 6 veces.C) en 16 unidades.D) en 8 unidades.E) 16 veces.


52

V. SIMBOLOGÍA:

∗ Números natural cualquiera = n∗ El antecesor de un número = n – 1 ∗ El sucesor de un número = n + 1∗ Número natural par = 2n∗ Número natural impar = 2n – 1 ∗ El cuadrado del sucesor de un número = (n + 1) 2 ∗ El sucesor del cuadrado de un número = n2 + 1∗ El cuadrado del sucesor del antecesor de un número = n2

∗ Dos números naturales impares consecutivos = 2n – 1, 2n +1 ∗ El inverso aditivo u opuesto de un número = – n

∗ El inverso multiplicativo o recíproco de un número =

∗ El triple de un número = 3n∗ Un número de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifra de las decenas es d = 10d + u∗ Un número de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra de las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u

∗ La razón o cociente entre p y q =

∗ El valor absoluto de un número = | n |

∗ p es directamente proporcional a q =

∗ p es inversamente proporcional a q = pq = k (constante)

EJEMPLO PSU-1: El doble del cuadrado de (x – 3) se expresa por:

A) [2(x-3)]2

B) 2(x2 – 32)C) (2x – 6)2

D) 2(x – 3)2

E) (x2 – 32)2


53

EJEMPLO PSU-2: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite resolver el siguiente problema: “Si te regalo la quinta parte de mis camisetas y a Carmen le regalo 5 más que a ti, me quedo con 4”?

A)

B)

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU-3: El enunciado: “A un número d se le suma su doble, y este resultado se multiplica por el cuadrado del triple de d”, se escribe

EJEMPLO PSU-4: Un número real n, distinto de cero, sumado con su recíproco, y todo al cuadrado, se expresa como


54

EJEMPLO PSU-5: Si el radio r de un círculo aumenta en unidades, entonces el área del nuevo círculo se expresa, en unidades cuadradas, como

EJEMPLO PSU-6: “Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, todo dividido por t”, se escribe

EJEMPLO PSU-7: María (M) tiene dos años menos que el 25% de la edad de Juan (J). Si hace dos años Juan tenía 10 años, ¿en cuál de las


55

siguientes opciones se plantean correctamente las ecuaciones que permiten calcular las edades de María y Juan?

EJEMPLO PSU-8: hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. ¿Cuál será la suma de sus edades en a años más?

A) (11 + 3a) añosB) (11 + 2a) añosC) (11 + a) añosD) (8 + 3a) añosE) (5 + 3a) años

EJEMPLO PSU-9: La expresión: “El doble del cuadrado de (3 + b) es igual al cuadrado del doble de (3 – b)” se representa como:

EJEMPLO PSU-10: El largo de un rectángulo es 8 metros mayor que su ancho. Si el ancho del rectángulo es x metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es:

A) (4x + 16) metrosB) (2x + 8) metros


56

C) (2x + 16) metrosD) (4x + 8) metrosE) (4x + 32) metros

EJEMPLO PSU-11: La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es igual a 291. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa al planteamiento algebraico de este problema?

A) [x + (x + 1) + (x + 2)]2 = 291B) x2 + (x2 + 1) + (x2 + 2) = 291C) (x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 291D) (x – 1)2 x2 (x + 1)2 = 291E) x2(x2 + 1)(x2 + 2) = 291

EJEMPLO PSU-12: La expresión: “para que el doble de (a + c) sea igual a 18, le faltan 4 unidades”, se expresa como

A) 2a + c + 4 = 18 B) 2(a + c) – 4 = 18 C) 2(a + c) + 4 = 18 D) 4 – 2(a + c) = 18 E) 2a + c – 4 = 18

EJEMPLO PSU-13: Compré x kg de café en $ 36.000 y compré 40 kg más de té que de café en $ 48.000. ¿Cómo se expresa el valor de 1 kg de café más 1 kg de té, en función de x?

A)

B)

C)

D)

E)

VI. RAZONES y PROPORCIONES

RAZÓN es el cociente entre dos cantidades. Se escribe o a: b.

Y se lee “a es a b”; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente.

PROPORCIÓN es la igualdad de dos razones. Se escribe ó x: a = y: b

Y se lee “x es a a como y es a b”; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios.


57

TEOREMA FUNDAMENTALEn toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. (x : a = y : b) (x · b = y · a)

OBSERVACIÓN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante de proporcionalidad, tal que: x = ka , y = kb ; k ≠ 0

PROPORCIONALIDAD DIRECTADos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante.

OBSERVACIONES:En una proporción directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta (disminuye) el mismo número de veces.El gráfico de una proporcionalidad directa corresponde a una línea recta que pasa por el origen

PROPORCIONALIDAD INVERSADos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante x1 · y1 = x2 · y2 = x3 · y3 = ..........= xn · yn = k k : constante

OBSERVACIONES:En una proporcionalidad inversa, si una cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra disminuye (o aumenta) el mismo número de veces.El gráfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hipérbola equilátera

EJEMPLO PSU-1: Dada la siguiente tabla:

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?:

I. A y B son directamente proporcionales. II. El valor de x es 2. III. La constante de proporcionalidad inversa es 30.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III


A 10 15 20B 3 x 1,5

58

D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-2: 2 electricistas hacen un trabajo en 6 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. 4 electricistas harán el trabajo en 3 días, trabajando 8 horas diarias.

II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales.

III. La constante de proporcionalidad es 3. A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-3: En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total 300 árboles. Si hay 120 naranjos y la razón entre los duraznos y manzanos es 7: 3, entonces ¿cuántos duraznos hay en la quinta?

A) 54B) 77C) 84D) 126E) 210

EJEMPLO PSU-4: y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y =

EJEMPLO PSU-5: Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres trozos de modo que la razón de sus longitudes sea 8: 6: 4. ¿Cuánto mide cada trozo de alambre, de acuerdo al orden de las razones dadas?


59

A) 180 mm 120 mm 90 mmB) 420 mm 180 mm 120 mmC) 320 mm 240 mm 160 mmD) 510 mm 120 mm 90 mmE) Ninguna de las medidas anteriores

EJEMPLO PSU-6: Se sabe que a es directamente proporcional al

número y cuando a toma el valor 15, el valor de b es 4. Si a toma el

valor 6, entonces el valor de b es:

EJEMPLO PSU-7: En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en él corresponden a 25 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia real es A) 50 km B) 65 km C) 67,5 km D) 62,5 km E) ninguno de los valores anteriores.

EJEMPLO PSU-8: Dos variables N y M son inversamente proporcionales entre sí. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N

A) aumenta al doble. B) disminuye a la mitad. C) aumenta en dos unidades. D) disminuye en dos unidades. E) se mantiene constante.


60

EJEMPLO PSU-9: En la tabla adjunta z es directamente proporcional a

, según los datos registrados, el valor de , es:

A) 256 B) 16

C)

D) 64

E)

EJEMPLO-10: La escala de un mapa es 1: 500.000. Si en el mapa la distancia entre dos ciudades es 3,5 cm, ¿cuál es la distancia real entre ellas?

A 1,75 kmB 17,5 kmC 175 kmD 1.750 kmE 17.500 km

EJEMPLO PSU-11: Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la razón entre los pesos de M y S es 3: 4, entonces S: K =

A) 4: 7B) 4: 3C) 7: 4D) 3: 7E) 3: 4

EJEMPLO PSU-12: La ley combinada que rige el comportamiento ideal

de un gas es = constante, donde P es la presión del gas, V su

volumen y T su temperatura absoluta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) A volumen constante la presión es directamente proporcional a la temperatura

II) A temperatura constante la presión es inversamente proporcional al volumen

III) A presión constante el volumen es inversamente proporcional a la temperatura

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y II


z y8 2a 41 16

b

61

D) Solo I y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-13: Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta de modo que sus volúmenes están en la razón 1: 2:3. Si el volumen del segundo tipo es de 4 litros, ¿cuántos litros tiene la mezcla total?

A 6 litrosB 10 litrosC 12 litrosD 14 litrosE 16 litros

EJEMPLO PSU-14: En un curso de 40 estudiantes, la razón entre mujeres y hombres es m: h. ¿Cuál es la expresión que representa el número de mujeres?

EJEMPLO PSU-15: El gráfico de la figura, representa a una proporcionalidad inversa entre las magnitudes m y t. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La constante de proporcionalidad es 36 II) El valor de t1 es 9 III) El valor de m1 es 36

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de ellas


62

EJEMPLO PSU-16: A un evento asistieron 56 personas. Si había 4 mujeres por cada 3 hombres, ¿cuántas mujeres asistieron al evento?

A) 8B) 21C) 24D) 28E) 32

EJEMPLO PSU-17: Si h hombres pueden fabricar 50 artículos en un día, ¿cuántos hombres se necesitan para fabricar x artículos en un día?


EJEMPLO PSU-18: En un balneario, hay 2.500 residentes permanentes. En el mes de febrero, de cada seis personas solo una es residente permanente, ¿cuántas personas hay en febrero?

A) 416 B) 4.000 C) 12.500 D) 15.000 E) 17.500

EJEMPLO PSU-19: Las variables x, w, u, v son tales que: x es directamente proporcional a u, con constante de proporcionalidad 2, y w es inversamente proporcional a v, con constante de proporcionalidad 8. ¿Cuáles de las siguientes relaciones entre dichas variables representan este hecho?

A) y w v = 8

B) x – u = 2 y w + v = 8


63

C) x u = 2 y

D) x + u = 2 y w – v = 8E) x + w = 10

EJEMPLO PSU-20: Un trabajador X, trabajando solo se demora t días en hacer un jardín, otro trabajador Y se demora t + 15 días en hacer el mismo jardín, y si ambos trabajan juntos se demoran 10 días. ¿Cuántos días se demorará Y trabajando solo?

A) 30B) 28C) 25D) 20E) 15

EJEMPLO PSU-21: Si el índice de crecimiento C de una población es inversamente proporcional al índice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D = 0,25, entonces entre ambos índices se cumple:

A) D = 0,5CB) D = C2

C) D =

D) D = 0,125C

E) D =

EJEMPLO PSU- 22: Para hacer arreglos en un edificio se contratará un cierto número de electricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos se demorarían 6 días, trabajando 8 horas diarias, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) Si se contrataran 4 electricistas, se demorarían 3 días, trabajando 8 horas diarias II) El número de electricistas y el número de días son variables directamente proporcionales III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3

A) Solo IB) Solo III


64

C) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-23. Un trabajador hace un trabajo en 60 días, mientras que cinco trabajadores hacen el mismo trabajo en 12 días. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la relación trabajadores - días

EJEMPLO PSU-24. n y m son directamente proporcionales y su constante de proporcionalidad es 3. ¿Cuál de las siguientes tablas representa dicha relación?


65

EJEMPLO PSU-25. Según el grafico obreros versus el tiempo que demoran en construir una casa del tipo M se puede afirmar correctamente que:

A) Dos trabajadores construyen una casa del tipo M en un añoB) Tres trabajadores construyen una casa del tipo M en cinco meses C) b trabajadores construyen más casas del tipo M que c trabajadores en un añoD) (c – b) trabajadores construyen una casa del tipo M en ocho mesesE) d trabajadores construyen dos casas del tipo M en un año

EJEMPLO PSU-26. La mitad de una parcela de 10.000 m2, está dividida en dos partes que están en la razón 1: 4. La parte menor será utilizada para cultivo, ¿cuántos metros cuadrados serán usados para este fin?

A) 625B) 2.000C) 400D) 1.250E) 1.000

EJEMPLO PSU-27. Entre tres hermanos compran un número de rifa que cuesta $ 1.000. Juan aporta con $ 240, Luis con $ 360 y Rosa aporta el resto. El premio es de $ 60.000 Deciden, en caso de ganarlo repartirlo en forma directamente proporcional al aporte de cada uno, ¿Qué cantidad de dinero le correspondería a Rosa?

A) $ 30.000B) $ 18.000C) $ 24.000D) $ 20.000E) $ 40.000


66

TANTO POR CIENTO

El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los términos de la proporción es 100:

P: Es el tanto por cientoC: Es la cantidad de referenciaQ: Es el porcentaje

El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fracción es

P% de C =

OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOSi) Dos o más tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar

a% de C b% de C = (a b)% de C

ii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los tantos por cientos

INTERÉS SIMPLEUna cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo. La cantidad final CF después de cumplido el periodo n está dada por la fórmula:

OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés simple cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses son retirados. En este caso el capital permanece inalterable.

INTERÉS COMPUESTO


El a% del b% de C =

67

Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad.La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el periodo n es:

OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés compuesto cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses no se retiran y se añaden al capital para producir nuevos intereses.

EJEMPLO PSU-1: En un supermercado hay supervisores, cajeros y reponedores. Si el 60% de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y éstos son un tercio de los cajeros, ¿cuál es el total de trabajadores?


68

A) 108 B) 72 C) 180 D) 90 E) 54

EJEMPLO PSU-2: Una persona deposita $1.000 y en tres años gana $157,5. Calcular el interés simple anual. A) 5% B) 5,25% C) 5,5% D) 5,75% E) 15,75%

EJEMPLO PSU-3: Un par de zapatos más dos pantalones valen $ 70.000 en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o más pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10% en cada par y por tres o más pantalones del mismo precio un 15% en cada pantalón. Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos pares de zapatos. ¿Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos?

A) $ 45.000 B) $ 50.000 C) $ 57.150 D) $ 72.000 E) $ 81.900

EJEMPLO PSU-4: Un vendedor recibe $ 215.000 de sueldo, al mes, más un 8% de las ventas por comisión. ¿Cuánto debe vender para ganar $ 317.000 en el mes?

A) $ 254.625B) $ 532.000C) $ 1.275.000D) $ 1.812.500E) $ 3.962.500

EJEMPLO PSU-5: Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitarían 10 vasos para llenar el jarro. II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se necesitarían 4 vasos para llenar el jarro.


69

III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro.

A) Sólo IIIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: El estadio A de una ciudad tiene capacidad para 40.000 personas sentadas y otro B para 18.000. Se hacen eventos simultáneos; él A se ocupa hasta el 25% de su capacidad y el B llena sólo el 50%. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) El estadio A registró mayor asistencia de público que el B. II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A, habría quedado en éste, menos del 50% de sus asientos vacíos. III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios superan en 1.000 a la capacidad de B.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo I y III

EJEMPLO PSU-7: Un depósito contiene 20 litros que equivalen al 25% de su capacidad, entonces para que llegue al 30% de su capacidad hay que agregar

A) 4 litros.B) 24 litros.C) 40 litros.D) 60 litros.E) ninguno de los valores anteriores.

EJEMPLO PSU-8: En una asignatura se toman tres pruebas con las ponderaciones 30%, 30% y 40%, respectivamente. Un alumno obtiene un 5,0 en la primera y un 4,0 en la segunda. ¿Qué nota debe obtener en la tercera prueba para que su promedio final sea un 5,1?

A) 5,0B) 5,1C) 5,2


70

D) 6,0E) 6,3

EJEMPLO PSU-9: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles aumenta su largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para el área del triángulo rectángulo resultante, respecto del área original?

A) Se mantiene igual.B) Aumenta en un 4%.C) Disminuye en un 4%.D) Aumenta al doble.E) Disminuye a la mitad.

EJEMPLO PSU-10: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde a calcular el 12,5% del precio de un artículo?

I) del precio del artículo

II) El precio del artículo multiplicado por 12,5 III) El precio del artículo dividido por 100 y multiplicado por 12,5


EJEMPLO PSU-11: En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m2

de cerámica y 100 m2 de piso flotante para la sala de computación. Si el metro cuadrado de cerámica cuesta $P y el metro cuadrado de piso flotante es un 75% más caro que la cerámica, entonces el costo total es de:

A) $ 145PB) $ 170PC) $ 175PD) $ 245PE) $ 195P


71

EJEMPLO PSU-12: Si el 35% de a es 4 y el 12% de b es 6, entonces el

valor de es:

EJEMPLO PSU-13: En un curso cada estudiante puede optar solamente por una actividad extraprogramática: las tres cuartas partes de los estudiantes elige deportes y una sexta parte del curso elige teatro. ¿Cuál de las siguientes es la mejor estimación del porcentaje de estudiantes que participa en alguna de estas dos actividades?

A) Menos del 91%.B) Entre el 91% y el 93%.C) Entre el 93% y el 95%.D) Entre el 95% y el 97%.E) Más del 97%.

EJEMPLO PSU-14: En una casa de dos pisos se necesita alfombrar 60 m2 en el primer piso y 40 m2 en el segundo. Si la alfombra que se debe usar en el segundo piso cuesta $ p el metro cuadrado y la otra es un 60% más cara, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el costo total C en alfombras?

A) C = 1,6 p 100 + p 100B) C = 0,6 p 100 + p 100C) C = 0,6 p 60 + p 40D) C = p 60 + 0,6 p 40E) C = 1,6 p 60 + p 40

EJEMPLO PSU-15: El día lunes, en un curso de 36 alumnos, faltaron a clases 9 de ellos. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?


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I) Faltó la cuarta parte del curso II) Los alumnos ausentes representan la tercera parte de los presentes III) La diferencia entre alumnos presentes y ausentes representa el 25% del curso

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-16: Un niño aumenta su peso de 15 kg a 18 kg. El porcentaje de aumento es:

EJEMPLO PSU-17: Un folleto consta de 40 páginas. De ellas el 20% es geometría, el 10% es álgebra y el resto astronomía. Luego las páginas dedicadas a la astronomía son:

A) 4B) 8C) 10D) 12E) 28

EJEMPLO PSU-18: En una casa comercial hacen un descuento de un 15% de la mitad del precio marcado de una mercadería. Si la mercadería tiene un precio marcado de $ 600, ¿cuánto me descuentan?

A) $ 555 B) $ 510 C) $ 255 D) $ 45 E) $ 90


73

EJEMPLO PSU-19: En una vitrina de un negocio se observa lo siguiente: “Antes $ 400, ahora $ 300”. Con respecto al precio original, ¿cuál es el porcentaje de rebaja?

A) %

B) 10% C) 25% D) 33, % E) 75%

EJEMPLO PSU-20: En un curso hay 30 alumnos. La relación entre los que practican teatro y los que no practican es 1: 5 respectivamente. ¿Qué porcentaje practica teatro en relación al total del curso?

A) 20%B) 80%C) 16,6…..%D) 83,3…..%E) No se puede determinar

EJEMPLO PSU-21: Una tienda paga a sus dos empleados M y P de la siguiente manera: M recibe el 8% de las ganancias de las ventas del mes y P recibe un sueldo base de $ 100.000 más un 2% de las ganancias de las ventas del mes. Si en total el negocio, en un mes, vende $ 12.000.000 y sólo el 30% corresponde a ganancias, ¿cuánto recibe como sueldo, ese mes, cada empleado? M PA) $ 288.000 $ 72.000B) $ 288.000 $ 172.000C) $ 388.000 $ 172.000D) $ 960.000 $ 240.000E) $ 960.000 $ 340.000

EJEMPLO PSU-22: Un banco paga interés con una tasa anual del 100%. Si se abre una cuenta el 01 de enero con $ 1.000, entonces al 31 de diciembre de ese mismo año habrá en la cuenta, en pesos,

A) 1.000 + 1.000

B) 1.000 + 1.000

C) 2.000

D) 1.000


74

E) 1.000

EJEMPLO PSU-23: En un corral, p gallinas son blancas, las que corresponden a la quinta parte del total T de gallinas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Las gallinas que no son blancas son

II) El 20% de las gallinas son blancas III) El número total de gallinas que no son blancas es cuatro veces el número de gallinas que son blancas

A) Solo IIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-24: En una tienda se decide subir todos los precios en un 15%. ¿Por cuál número se deben multiplicar los precios antiguos para obtener el nuevo precio?

A) Por 15%B) Por 0,15C) Por 1,5D) Por 1,15E) depende del precio de cada artículo

EJEMPLO PSU-25: Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de interés compuesto n veces al año, entonces la cantidad P en

la cuenta al final de t años está dada por: .Al invertir

$50.000 al 6% anual de interés compuesto trimestralmente, al término de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de:

EJEMPLO PSU-26: En una liquidación de invierno un abrigo vale $ 16.500 el cual ya ha sido rebajado en un 70%. ¿Cuánto costaba el abrigo antes de la liquidación?


75

A) $ 21.450B) $ 23.571C) $ 28.050D) $ 55.000E) $ 115.500

EJEMPLO PSU-27: En un negocio un cliente recibe, por cada $ 5.000 de compra, una estampilla de descuento equivalente al 4% de esa cantidad. Si el cliente compra un artículo en $ 19.800, ¿a cuánto asciende el valor de las estampillas de descuento?

A) $ 600B) $ 750C) $ 792D) $ 800E) $ 19.200

EJEMPLO PSU-28: En un curso de 30 alumnos, la razón entre los alumnos que practican teatro y los que no practican teatro, es de 1: 5. ¿Qué porcentaje de alumnos practica teatro con respecto al total de alumnos del curso?

A) 83, %B) 80%C) 20%D) 16, %E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-29: ¿A qué interés simple anual debe colocarse un capital de $1.000, durante tres años, para obtener una ganancia de $ 157,5?

A) 5,0%B) 5,5%C) 5,27%D) 5,25%E) 5,05%


76

EJEMPLO PSU-30. Si un número n se divide por 6 resulta 2, ¿cuál es el 50% de n?

A) 18B) 12C) 6D) 4E) 2

EJEMPLO PSU-31. ¿Qué capital hay que invertir al interés compuesto del 2% trimestralmente para obtener al cabo de 1 año $ 1.300.000?

EJEMPLO PSU-32. Si el caudal de un río es de P metros cúbicos por segundo, si al recibir un afluente su caudal aumenta en un 15% ¿cuál es su nuevo caudal en metros cúbicos por segundo? y aumenta en 15% su nuevo caudal será.

EJEMPLO PSU-33. M es el 8% de:


77

EJEMPLO PSU-34. Viviana deposita en una financiera $ 100.000 al 2% de interés compuesto mensual. ¿Cuál es el valor más cercano a lo que ganara al cabo de tres meses, si no hace retiros ni depósitos en ese período?

EJEMPLO PSU-35. La tabla adjunta muestra los ahorros que posee Alicia, después de gastar semanalmente la misma cantidad de dinero. ¿Cuál gráfico representa mejor esta situación?

Semana 0 1 2 3 4 5Ahorro en $

20.000 18.000 16.000 14.000 12.000 10.000


78

VII. RAÍCES

Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces es el único

real b, no negativo, tal que = a

Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces es el único

real b, tal que =a

OBSERVACIONES1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces NO ES REAL

2. La expresión , con a real no negativo, se puede expresar como una potencia

de exponente fraccionario

3. para todo número real

PROPIEDADES

Si están definidas en R, se cumplen las siguientes propiedades:

MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE

DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE


79

POTENCIA DE UNA RAÍZ

RAÍZ DE UNA RAÍZ

AMPLIFICACIÓN y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ

PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE

FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL

RACIONALIZACIÓN

Racionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una fracción equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz

Fracciones de la forma

Fracciones de la forma


80

EJEMPLO PSU-1:

EJEMPLO PSU-2:

EJEMPLO PSU-3:


81

EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) cuando la variable x toma los tres valores 0, 1, –1?

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Ninguna de ellas.

EJEMPLO PSU-5: es un número:

A) Racional positivoB) Racional negativoC) Irracional positivoD) Irracional negativoE) No real

EJEMPLO PSU-6: =


82

EJEMPLO PSU-7: Si , entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) equivalentes a I) 2bc II) III) A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y III

EJEMPLO PSU-8: Al simplificar la expresión resulta

EJEMPLO PSU-9:


EJEMPLO PSU-10:

EJEMPLO PSU-11:


83

EJEMPLO PSU-12: Si , entonces el valor de t2 – 2 es:

EJEMPLO PSU-13:

EJEMPLO PSU-14: ¿Cuál(es) de los siguientes pares ordenados es(son) solución(es) de

I) (2,5) II) (2,-5) III) (2,-1)

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I, II y IIIE) Ninguno de ellos


84

EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) Solo II y III

EJEMPLO PSU-16:

EJEMPLO PSU-17: Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?

EJEMPLO PSU-18:


85

EJEMPLO PSU-19: Dados los números reales , , , ,

, al ordenarlos de menor a mayor, el término que queda en el

centro es:

EJEMPLO PSU-20:

EJEMPLO PSU-21: El número es igual a:


86

E) Ninguno de los números anteriores

EJEMPLO PSU-22. Si ¿Cuál es el valor de

EJEMPLO PSU-23. Si y , entonces =

EJEMPLO PSU-24. =

EJEMPLO PSU-25. Para todo m > 0 la expresión es igual a

EJEMPLO PSU-26. Si , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

(son) verdadera(s)?


87

I) II) III) A) Solo IB) Solo II C) Solo III D) Solo I y IIIE) Solo II y III

VIII. ECUACIONES:

a. Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones adecuadas se logra despejar (aislar) la incógnita.b. Cuando una ecuación contiene fracciones, puede escribirse en una forma más sencilla si se multiplican ambos miembros de la igualdad por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación. De esta forma se obtiene una ecuación que no contenga fracciones.c. Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos: Paso 1: Leer con atención el problema. Paso 2: Anotar los datos del problema. Paso 3: Distinguir cuál es la pregunta del problema y representar ese dato desconocido por un literal (letra). Paso 4: Con los datos del problema escribir una ecuación. Paso 5: Resolver la ecuación. Paso 6: Comprobar si el resultado está de acuerdo con los datos.

PROBLEMAS CON FRACCIONESSon problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción

de un número. La fracción de un número x se calcula multiplicando por x.

PROBLEMAS DE DÍGITOS


88

Para este tipo de problemas debemos recordar que en el sistema decimal un número de la forma x y z queda representado por x ⋅ 102 + 101 + z ⋅ 100

PROBLEMAS DE EDADESEn estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras, según corresponda:

Edad pasada(hace b años)

Edad Actual Edad futura(dentro de c años)

x - b x x + cy - b y y + c

B. ECUACIONES LINEALES:La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1, y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresión:

Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB son

PENDIENTE DE UNA RECTAEs la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)

RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA


89

Sea el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces:

( = 0º) si y sólo si (m = 0) (0º < < 90º) si y sólo si (m > 0)

L es paralela al eje x L tiene pendiente positiva

( = 90º), si y sólo si (m no está definida) (90º< < 180º) si y sólo si (m < 0)

L es paralela al eje y L tiene pendiente negativa

ECUACIÓN PUNTO Y PENDIENTE

La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) y cuya pendiente es m es

CASO PARTICULAR: Si el punto dado está sobre el eje y, llamando n a su ordenada, la ecuación anterior se escribe:

Ecuación principal de la recta, n: coeficiente de posición

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTAToda ecuación lineal de la forma donde Ax + By + C = 0 son constantes reales y los números A y B no son ambos nulos, representa la ecuación general de la recta. Si se despeja y en función de x se obtiene la ecuación principal:


90

RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 1). Entonces:

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 2). Entonces:

SISTEMAS DE ECUACIONES

Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen un sistema de ecuaciones lineales.La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es: Ax + By = C Dx + Ey = F donde A, B, C, D, E y F son números reales.Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones.OBSERVACIÓN: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una línea recta en un sistema de ejes coordenados.

MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

RESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se representan ambas rectas en un sistema de ejes coordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades.

i) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema (figura 1).

ii) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura 2).


91

iii) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (figura 3).

∅ (Vacío)

RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo dos de ellos: sustitución y reducción.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación con una incógnita.

MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una incógnita.

ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Sea el sistema: Entonces:

* El sistema tiene solución única si

* El sistema tiene infinitas soluciones si

* El sistema no tiene solución si


92

EJEMPLO PSU-1: La ecuación de una recta es x – my – 2 = 0. Si el punto (–2, 8) pertenece a esta recta, entonces el valor de m es

A) –2 B) –3

C) –

D)

E) 2

EJEMPLO PSU-2: Una recta que contiene al punto P1 de coordenadas (1, 3) tiene pendiente 2, otra recta perpendicular con ella contiene al punto P2 de coordenadas (8, 2). Ambas rectas se cortan en el punto P cuya abscisa x vale

A) − 5B) − 2C) 2D) 5

E) −

EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación ?


93

A) - 5B) 5C) – 25D) 25E) – 35

EJEMPLO PSU-4: En un supermercado el precio de costo de un kilogramo de pan es de $ 600 y lo venden en $ 820; las conservas de mariscos tienen un costo de $ 800 y las vende en $ 1.060. Si la política de asignación de precios del supermercado es lineal, ¿cuál es el precio de venta de un kilogramo de arroz cuyo costo es de $ 400?

A) $ 600B) $ 580C) $ 547D) $ 537E) $ 530

EJEMPLO PSU-5: En la figura las rectas L1 y L2 son perpendiculares, entonces ¿cuál de las siguientes opciones representa a la ecuación de la recta L1?

EJEMPLO PSU-6: La relación entre las temperaturas Fahrenheit y Celsius es lineal. Si se sabe que 32º F corresponde a 0º C y 212º F corresponde a 100º C, entonces ¿cuál es la temperatura en grados Celsius que corresponde a 55º F aproximadamente?

A) – 21º CB) – 12,7º CC) 12,7º CD) 23º CE) 25,9º C


94

EJEMPLO PSU-7: La ecuación (2 – k)x + 3y – 4 = 0 representa una recta perpendicular a la recta cuya ecuación es – 6x + y – 9 = 0. ¿Cuál es el valor de k?

A) 20

B)

C) 8

D)

E)

EJEMPLO PSU-8: Si

EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál de las siguientes figuras representa la intersección de 3x + y = 4 con y + x = 0?


95

EJEMPLO PSU-10: En el sistema, ¿Qué valores deben tener m y n para que la solución del sistema sea el par (1, −3) ? m nA) − 2 1B) − 2 − 1C) 2 1D) 4 −23E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-11: En la figura, la ecuación de L1 es y + x = 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) L1 // L2

II) La ecuación de L2 es y = -x + 3 III) Ambas rectas tienen igual inclinación respecto del eje x


EJEMPLO PSU-12: La intersección de las rectas y = 5 – x e y = x – 1 es el punto:

A) (2,3)B) (2,1)


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C) (3,-2)D) (0,2)E) (3,2)

EJEMPLO PSU-13: Juan en 10 años más tendrá el doble de la edad que tenía hace 5 años. ¿Qué edad tendrá Juan en un año más?

A) 21 años B) 20 años C) 16 años D) 15 años E) 11 añosEJEMPLO PSU-14: Un grupo de amigos salen a almorzar a un restaurante y desean repartir la cuenta en partes iguales. Si cada uno pone $ 5.500 faltan $ 3.500 para pagar la cuenta y si cada uno pone $ 6.500 sobran $ 500. ¿Cuál es el valor de la cuenta?

A) $ 20.000B) $ 22.000C) $ 25.500D) $ 26.000E) $ 29.500

EJEMPLO PSU-15: La señora Marta compró 3 kilogramos de azúcar y 2 kilogramos de harina y pagó $ s. Si el kilogramo de azúcar vale $ p, ¿cuánto cuesta el kilogramo de harina?

EJEMPLO PSU-16: Si , entonces ¿cuánto vale x?


97

EJEMPLO PSU-17: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:

A) 9B) 16C) 18

D)


EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes rectas del plano cartesiano es representada por la ecuación x = a?

A) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, a).B) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (a, 0).C) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (0, a).D) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (a, 0).E) La recta que pasa por el origen y por el punto (a, a).

EJEMPLO PSU-19: Un padre reparte 12.000 hectáreas entre sus tres

hijos. Al menor le da x hectáreas, al del medio los de las hectáreas del

menor y al mayor la mitad de las hectáreas de su segundo hijo. El hijo mayor recibió

A) 2.000 hectáreasB) 4.000 hectáreasC) 5.333, hectáreasD) 6.000 hectáreasE) 8.000 hectáreas


98

EJEMPLO PSU-20: ¿Para qué valor de k el sistema no tiene solución?

A) 2B) -2

C) -

D) -

E) -

EJEMPLO PSU-21: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación ?

A) -9B) -5C) -1

D)

E) 1

EJEMPLO PSU-22: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones NO es equivalente a la ecuación 0,03x = 5,2?

EJEMPLO PSU-23: Si , entonces =


99

EJEMPLO PSU-24: Dada la recta de ecuación y = 2x y (2,1) es el punto medio del segmento que corta a la recta en P y al eje x en Q. Las coordenadas del punto P son:

C) (4,2)D) (2,4)E) (1,2)

EJEMPLO PSU-25: En un local de flores se venden claveles por unidades. Juan y Luis compran en el local 1 ramo de claveles cada uno. El ramo de Juan tiene 12 claveles y le costo $ a. ¿Cuánto pagó Luis por su ramo si tiene 4 claveles más que el de Juan?

A) 4aB) 16a

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU-26: La señora Pilar acostumbra a comprar todas las semanas 3 kilogramos de plátanos y 2 kilogramos de manzanas. Cierta semana gastó $1.850. Como en la semana siguiente los plátanos habían subido $ 50 por kilogramo y las manzanas habían bajado $ 30 por kilogramo, cambio su costumbre y compró 2 kilogramos de plátanos y 3 kilogramos de manzanas y gastó $1.910. ¿Cuánto costaba el kilogramo de manzanas esa cierta semana?

A) $450B) $350C) $400D) $346E) $292


100

EJEMPLO PSU-27: Al ubicar los puntos A (-1,-2), B (5,-2) y C (5,3), en el sistema de ejes coordenados, se puede afirmar que:

Es(son) correcta(s):

A) Solo IIB) Solo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-28: Según el sistema , ¿cuál es el valor de y?

A) 6b B) 3b C) b D) -b E) -3b

EJEMPLO PSU-29: Dada la recta L, donde a y b son positivos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La pendiente de la recta L es negativa. II. El punto (a, b) pertenece a la recta.

III. La recta L es perpendicular a la recta y = .

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) Sólo I y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-30: Tres números enteros consecutivos suman cero. Entonces es verdadero que:

I) El número mayor y el menor suman cero II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor


101

III) La diferencia entre el mayor y el menor es ceroA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-31: En la figura se muestra el gráfico de la recta de ecuación y = px + q. ¿Cuál es el valor de q?

A) 1B) 2C) 0D) -1E) -2

EJEMPLO PSU-32: Si , entonces x es igual a:

A) -4B) 0C) 3D) 4E) 36

EJEMPLO PSU-33: Si 6 – 2x = 14, entonces x – x2 es igual a:

A) -20B) -10C) -30D) 10E) 30

EJEMPLO PSU-34: Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de modo que una de ellas es 50 cm más larga que la otra. ¿Cuáles son las longitudes de cada parte?

A) 250 cm y 50 cmB) 150 cm y 150 cmC) 175 cm y 125 cmD) 200 cm y 100 cm


102

E) Ninguna de las medidas anteriores

EJEMPLO PSU-35: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La pendiente de y de no es un número real II) La pendiente de es cero III) La pendiente de es positivaA) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-36: Hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. ¿Cuál será la suma de sus edades en a años más?

A) (11 + 3a) años B) (11 + 2a) años C) (11 + a) años D) (8 + 3a) años E) (5 + 3a) años

EJEMPLO PSU-37: Jorge compró tres artículos distintos en $ (4a + b). El primero le costó $ a y el segundo $ (2a – b). ¿Cuánto le costó el tercero?

A) $ a B) $ 7a C) $ (3a – b) D) $ (3a + 2b) E) $ (a + 2b)

EJEMPLO PSU-38: El promedio de un número entero positivo y su antecesor es 6,5 entonces, el sucesor de ese número entero es

A) 6 B) 7 C) 8 D) 14 E) ninguno de los anteriores.


103

EJEMPLO PSU-39: Si , entonces t =

EJEMPLO PSU-40: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un licor Q. Si 6 litros del licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, ¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla?

EJEMPLO PSU-41. “La diferencia de un número con sus , es igual a

sus partes disminuido en 10”. La expresión que resuelve el enunciado

anterior es:


104

EJEMPLO PSU-42. Si la cuarta parte de la edad de una persona es 8, entonces, la mitad de su edad más uno año es:

A) 2 añosB) 5 añosC) 16 añosD) 17 añosE) 33 años

EJEMPLO PSU-43. ¿Cuál debe ser el valor de x para que la expresión

sea igual al inverso aditivo de -3?

EJEMPLO PSU-44. Dado el sistema , el valor de es

igual a:

EJEMPLO PSU-45. En la recta de la figura, el valor de p es


105

EJEMPLO PSU-46. ¿Cuál es el punto medio del trazo de la figura?

VII-2: DESIGUALDADESLlamaremos desigualdades a expresiones de la forma a>b, a < b, a b ó a b. las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades:

Propiedad 1: Si a los dos miembros de una desigualdad se suma un mismo número, el sentido de la desigualdad no cambia

Si a, b, c son números reales y a < b, entonces a + c < b + c

Propiedad 2: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número positivo, el sentido de la desigualdad no cambia

Si a, b, c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc

Propiedad 3: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número negativo, el sentido de la desigualdad cambia.

Si a, b, c son números reales tales que a<b y c< 0, entonces ac > bc

INTERVALOSIntervalo abierto: Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b. se simboliza por Intervalo cerrado: es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se simboliza como [a,b] Intervalo semiabierto por derecha: Se llama así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b, que incluye al extremo a pero excluye al extremo b. se simboliza por:


106

Intervalo semiabierto por izquierda: Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b, que excluye al extremo a pero incluye al extremo b. se simboliza por:

En el gráfico, los puntos extremos se indican con circunferencias para dar la idea (en este caso) de que dichos puntos no se consideran como parte del intervalo

En el gráfico, los puntos extremos se indican con círculos para señalar, en este caso, que dichos puntos pertenecen al intervalo

Este intervalo también se denomina semicerrado por izquierda

Este intervalo también se denomina semicerrado por derecha

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b 0, ax + b 0, ax + b > 0 ó ax + b < 0, y que son verdaderas para un conjunto de valores de la incógnita x, el cual se llama conjunto solución de la inecuación. Este conjunto se puede representar mediante la notación de conjunto, intervalo o gráfica

SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

Es un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita. El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos de cada inecuación. Si S1, S2,….,Sn son los conjuntos solución de cada inecuación y S es el conjunto solución del sistema, entonces:

PROBLEMAS DE INECUACIONESEn estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos <, >, ó , tales como: “a lo menos” (), “cuando mucho” (), “como mínimo” (), “como máximo (), “sobrepasa” (>), “no alcanza” (<), etc. Una vez planteada la inecuación o sistema de inecuaciones, se determina el conjunto solución, y al igual que en los problemas de ecuaciones hay que fijarse en la pregunta del problema.


107

EJEMPLO PSU-1 ¿Cuál es el conjunto solución para el sistema de inecuaciones ?

EJEMPLO PSU-2: ¿Cuál es el conjunto solución de todos los números que están a una distancia mayor que 6 de 0 y a una distancia menor que 20 de 8?

EJEMPLO PSU-3: 3x – 8 < 5x + 5, ¿cuánto vale x?


108

EJEMPLO PSU-4: Según el siguiente sistema de inecuaciones

, ¿cuál es el gráfico solución?

A) B)

C) D)

E)

EJEMPLO PSU-5: Si 7 veces un número se disminuye en 5 unidades resulta un número menor que 47, entonces el número debe ser menor que:


109

EJEMPLO PSU-6: El gráfico que representa al conjunto solución de la inecuación –6 4x es

EJEMPLO PSU-7: El gráfico que representa al conjunto solución del sistema de inecuaciones es


110

EJEMPLO PSU-8. ¿Cuál es el conjunto de los números impares naturales, tales que su triple aumentado en seis es menor que 57?

EJEMPLO PSU-9. Si a + 15 = b, entonces se puede afirmar que:

A) La suma de a y b es 15B) a es mayor que bC) a es 15 veces bD) a es menor que bE) la diferencia entre a y b, en ese orden, es 15 EJEMPLO PSU-10. Si y ¿qué valor(es) puede tomar (a + b)?

A) Los valores entre – 3 y 3, ambos incluidosB) Solo los valores entre – 3 y 0, ambos incluidosC) Solo los valores entre 0 y 3, ambos incluidosD) Solo el 0E) Ninguno de los anteriores


111

B. ECUACIONES CUADRATICAS:

∗ Ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0

∗ Fórmula cuadrática:

∗ Número de soluciones: (∆: discriminante)

(∆: b2 – 4ac)∆ > 0…. 2 raíces reales y distintas ∆ = 0…. 2 raíces reales e iguales∆ < 0…. No tiene raíces reales

∗ Intersección en el eje x: ∆ > 0…. 2 intersecciones en el eje x ∆ = 0…. 1 intersección en el eje x ∆ < 0…. No hay intersección el eje x

∗ Propiedades de las raíces:


112

EJEMPLO PSU-1: Según la ecuación y = x2 – 2x + a, es correcto afirmar que:

I. Si a > 1, existen dos intersecciones con el eje X.II. Si a = 1, existe solo una intersección con el eje X.III. Si a < 1, no hay intersección con el eje X.

A) Sólo IB) I y IIC) II y IIID) Sólo IIE) Sólo I y III

EJEMPLO PSU-2: Un patio rectangular de 24 m2 de superficie, tiene 2 metros más de frente que de fondo. Si x es la medida del fondo, ¿cuál de las siguientes ecuaciones permite calcular las dimensiones del patio?

A) x(x + 2) – 24 = 0 B) x(x – 2) – 24 = 0 C) x(x – 2) + 24 = 0 D) x2 - 22 = 0 E) 4x - 20 = 0

EJEMPLO PSU-3: Las raíces (o soluciones) de la ecuación x(x − 1) = 20 son

A) 1 y 20B) 2 y 20C) 4 y 5D) 4 y − 5E) −4 y 5

EJEMPLO PSU-4: Si x = 3 es una solución (raíz) de la ecuación x2 + 5x + c = 0, entonces ¿cuál es el valor de c?

A) - 24


113

B) -8C) -2D) 2

E)

EJEMPLO PSU-5: ¿Cuál es el menor valor para la expresión

cuando x satisface la igualdad ?

A) 4B) 3C) 1D) 0E) -1

EJEMPLO PSU-6: El conjunto solución (o raíces) de la ecuación x2 + 1 = x + 1 es:

A) {0}B) {1}C) {0,1}D) {0,-1}E) Ninguno de los conjuntos anteriores


114

IX. LOGARITMOS:

∗ Cambio de base:

EJEMPLO PSU-1: log (a + b)2 – log (a + b) =

A) 2 B) a + b C) log a + 3log b D) log a + log b E) log (a + b)

EJEMPLO PSU-2: Si entonces x vale:

EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a log 12?


115

EJEMPLO PSU-4: El valor de la expresión

EJEMPLO PSU-5: log32 = a resulta

A) a3 = 2B) a2 = 3C) 23 = aD) 32 = aE) 3a = 2

EJEMPLO PSU-6: Si a > 1, entonces =

A) 0B) 1C) 2D) aE) a2

EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y II


116

D) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-8: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?


EJEMPLO PSU-9: log 2.0002 =

A) 4 log 1.000B) 6 + 2 log 2C) 2(6 + log 2)D) 2(log 2)(log 1.000)E) 3 + 2 log 2

EJEMPLO PSU-10. ¿Cuál es el valor de la expresión

A) 4B) 5C) 6D) 7E) 8

EJEMPLO PSU-11. Sean x e y números positivos, la expresión es siempre igual a

X. FUNCIONES:DEFINICIÓN: función


117

Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B.Se expresa como: f: A → B x → f(x) = y

Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y∗ Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom f.∗ Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y), y se denota Rec f.∗ Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente.∗ Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye.∗ Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor.

EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓNPara encontrar los valores de las imágenes de una función definida, se reemplazará la variable independiente por el número o expresión que corresponda.Ejemplo: Si f(x) = 3x – 1, la imagen de -1 sería f(-1) = 3 · (-1) – 1 = - 4.Si la imagen es 29 y la función es f(x) = 2x + 1, la pre-imagen se obtendrá igualando2x + 1 = 29 de aquí x = 14 pre-imagen.∗ Función continua: Es aquella en la que su gráfica se puede recorrer en forma ininterrumpida en toda su extensión (figura 1).∗ Función discontinua: Es aquella que no es continua, es decir, presenta separacionesy/o saltos en su gráfica (figura 2 y 3).∗ Función periódica: Es aquella en la que parte de su gráfica se repite cada cierto intervalo, llamado período (figura 4).

A. FUNCION DE PRIMER GRADO:

∗ f(x) = ax + b


118

y

x

f (x)

a > 0

y

x

f (x)

a < 0positivam

negativam

B. FUNCION LINEAL:

∗ Función de primer grado f (x) = ax + b, con b 0: y a ≠ 0 es denominada función Afín. (a, b R)

∗ Si b = 0, La recta pasa por el origen y es llamada función lineal

C. FUNCION IDENTIDAD:

Función lineal f(x) = ax, con a = 1: f(x) = x

∗ La recta pasa por el origen.∗ Existe una proporcionalidad directa entre x e y.

TRASLACIÓN DE FUNCIONES

Sea y = f(x) una función.La función y = f(x) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y. Si k > 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje y, y si k < 0 el desplazamiento es en el sentido negativo (figura 1 y 2).La función y = f(x – h) es la función f(x) trasladada h unidades en el eje x. Si h > 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h < 0 es en el sentido negativo (figura 3 y 4).La función y = f(x – h) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y, y h unidades en el eje x.

Si f(x) = ax entonces:f(x) = ax + k, k > 0 f(x) = ax + k, k < 0 f(x) = a(x – h), h < 0 f(x) = a(x – h), h > 0

D. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real x, denotado por , es siempre un número real no negativo. f(x) = Representaciones gráficas


119

y

x

f (x) = ax

y

x

f (x) = x

a indica el punto de traslación en el eje b indica el punto de traslación en el eje de las ordenadas de las abscisas.

E. FUNCION CONSTANTE:

∗ Función de grado cero.∗ Su gráfico es una recta horizontal.

F. FUNCION CUADRATICA:

∗ Función de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c∗ Se grafica una curva llamada parábola.

A la función de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, siendo a, b, c lR y a ≠ 0 se le denomina función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola, simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje de simetría.

Concavidad: Es la abertura que tiene la parábola


120

y

xf (x) = 3

3

y

xf (x) = ax2 + bx + c

Si a > 0, la concavidad de la parábola está Si a < 0, la concavidad de la parábola Orientada hacia arriba está orientada hacia abajo

INTERSECCIÓN CON EL EJE YLa parábola asociada a la función y = ax2 + bx + c siempre intersecta al eje de las ordenadas en y = c.

CEROS DE LA FUNCIÓNLos ceros (o raíces) de la función cuadrática son los valores x1 y x2 para los que y = 0

DISCRIMINANTELa expresión b2 – 4ac se denomina discriminante, pues determina la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática asociada a la función y = ax2 + bx + c


121

EJE DE SIMETRÍAEl eje de simetría de una parábola es una recta que divide a esta curva en dos “ramas” congruentes.

VÉRTICE DE LA PARÁBOLAEl vértice de la parábola es el punto de intersección de ésta con su eje de simetría.

G. FUNCION RAIZ CUADRADA:

Si x es un número real no negativo, se define la función raíz cuadrada de x por

OBSERVACIONES:i. La función es creciente.ii. La función raíz cuadrada es considerada como un modelo de crecimiento lento.∗ Su dominio son los IR+ U {0}.

H. FUNCION EXPONENCIAL:


122

La función f definida por se denomina función exponencial. GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

En las gráficas se puede observar que:∗ La gráfica intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 1).∗ Si a > 1, entonces f(x) = es creciente.∗ Si 0 < a < 1, entonces f(x) = es decreciente.∗ La gráfica no corta al eje de las abscisas.

I. FUNCION LOGARITMICA:

Una función f definida por se denomina función logarítmica


123

En los gráficos se puede observar que:∗ La gráfica intersecta al eje x en el punto (1,0)∗ Si a > 1, entonces es creciente

∗ Si 0 < a < 1, entonces es decreciente∗ La curva no intersecta al eje y

J. FUNCIÓN PARTE ENTERA

Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor o igual a x.Dado que todo número real tiene una parte entera y una parte decimal, por ejemplo el número 6,215, esta función persigue que al número real 6,215 se le asocie el número real 6.Su representación gráfica es


124

OBSERVACIÓN: A la gráfica de esta función se le llama “función escalonada”.

APLICACIONES LINEALES

En el quehacer cotidiano hay muchos problemas que se tratan con funciones, y por ende, es necesario saber expresar una situación práctica en términos de una relación funcional. La función que se obtiene produce un modelo matemático de la situación.

EJEMPLO PSU-1: Si , entonces f(7) es igual a:


125

EJEMPLO PSU-2: En el gráfico de la figura, se muestran las tarifas de un estacionamiento por horas. Un automovilista estaciona durante 4 días: el primer día 152 minutos, el segundo día 180 minutos, el tercer día 90 minutos y el cuarto día 210 minutos. ¿Cuánto canceló en total por los días que estacionó?

A) $ 1.900 B) $ 2.300 C) $ 2.400 D) $ 2.000 E) Ninguno de los valores anteriores.

EJEMPLO PSU-3: ¿En cuál de las opciones siguientes se grafican las funciones f(x) = 2x + 1 y g(x) = x2 + 1?


126

EJEMPLO PSU-4: La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y(t) = 100t − 5t2, donde t se mide en segundos y la altura y(t) se mide en metros, entonces ¿en cuál(es) de los siguientes valores de t estará el proyectil a 420 m de altura sobre el nivel del suelo?

I) 6 segundos II) 10 segundos III) 14 segundosA) Sólo en IB) Sólo en IIC) Sólo en IIID) Sólo en I y en IIE) Sólo en I y en III

EJEMPLO PSU-5: Considere la parábola ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?


127

I) La parábola se abre hacia arriba II) Su vértice se encuentra en (1,0) III) Su eje de simetría es x = 1


EJEMPLO PSU-6: ¿Cuál es el dominio de la función en los números reales?

EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) respecto del gráfico de la función f(x), en la figura? I) f(– 2) > f(4) II) f(– 1) + f(3) = f(– 3) III) f(– 6) – f(8) = 2A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y II E) Sólo II y III

EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál es la ecuación de la parábola de la figura?

A) y = (– x + 1)(x – 2)B) y = (x + 1)(x – 2)C) y = (– x + 1)(x + 2)D) y = (– x – 1)(x – 2)E) y = (x + 1)(– x – 2)

EJEMPLO PSU-9: Sea f(x) una función tal que: f(x − 1) = x2 − (a + 1)x + 1, entonces el valor de f(a) es

A) 1B) 1 − aC) 2 − aD) 1 + a


128

E) 3 − 2a

EJEMPLO PSU-10: Sea f una función en los números reales, definida por f(x) = tx + 1 y f(-2) = 5 ¿Cuál es el valor de t?

A) -3B) -2C) 3D) 2

E)

EJEMPLO PSU-11: Del gráfico de la función real , se puede afirmar que: I) tiene su vértice en el punto (0,0) II) sus ramas se abren hacia abajo III) corta al eje de las abscisas en x = 1 y en x = -1Es(son) verdadera(s):

A) Solo IIB) Solo IIIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-12: Si f(x) = 5x, entonces 5 f(5x) es igual a

A) 125x B) 25x C) 125x2

D) 25x2

E) ninguna de las expresiones anteriores.

EJEMPLO PSU-13: Considere la función f(x) = 2x2 + 4x + 5, con x en los números reales. El menor valor que alcanza la función es

A) 5 B) 3 C) 2 D) 0 E) –1


129

EJEMPLO PSU-14: Si f(x) = 4x2, g(x) = x3 y h(x) = x4, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f(x) g(x), para todo número real x distinto de cero. II) f(x) = h(x), para algún número real x distinto de cero. III) f(x) < g(x) < h(x), para todo número real x distinto de cero. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

EJEMPLO PSU-15: Si f(x) = + 1 y f(2) = 9, entonces a =

A) 9B) 4C) 3D) 2E)

EJEMPLO PSU-16: Sea f una función cuyo dominio es R – {-1} definida

por , entonces f(-2)

A) 1B) -1C) 3D) -3

E) -

EJEMPLO PSU-17: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función real y = [x +1]


130

EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función real f(x) = -(x + 1)2 + 1?

EJEMPLO PSU-19: Considere la función f(x) = x2 – 8x + 15, ¿cuál(es) de las afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El gráfico de la función intersecta en dos puntos al eje x II) Su valor mínimo es -1 III) f(-3) > 0



131

EJEMPLO PSU-20: El nivel de agua en un estanque es de 12 m y baja 0,5 m cada semana. ¿Cuál de las siguientes funciones representa la situación descrita relacionando el nivel de agua y con el número de semana x?

A) y = -12 + 0,5xB) y = - 0,5 + 12xC) y = 12 + 0,5xD) y = 12 – 3,5xE) y = 12 – 0,5x

EJEMPLO PSU-21: De acuerdo al gráfico de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I) f(-1) + f(1) = f(0) II) 3f(-2) – f(0) = 2f(2) III) f(-2) – f(1) = f(2) -1

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-22: Sea la función de números reales f(x) = x2 – 3, ¿cuál es el conjunto de los números reales t que satisfacen f(t) = 1?

A) {-2}B) {-2,2}C) {2}D) {4}E) No tiene solución en el conjunto de los números realesEJEMPLO PSU-23: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función f(x) = x2 – 5x + 6?


132

EJEMPLO PSU-24: La línea quebrada de la figura es el gráfico de la función f(x) =

EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor al gráfico de la función f(x) = x2 – 1?

EJEMPLO PSU-26: El servicio de agua potable de una localidad rural tiene las siguientes tarifas según tramo de consumo:

Consumo en m3 Precio0 - 9 $3.00010 – 19 $ 8.00020 o más $11.000

Además, siempre se agrega un cargo fijo de $ 4.000. Si el consumo no corresponde a un número entero, éste se aproxima al entero superior. ¿Cuál de los siguientes gráficos interpreta el sistema de cobros de la

empresa?


133

EJEMPLO PSU-27: En la figura ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) La pendiente de la recta es igual a 5 II) El punto (1,15) pertenece a la recta III) La ecuación de la recta es y = 5x - 10


EJEMPLO PSU-28: Dada la siguiente figura: ¿Cuál es la ecuación que mejor representa al gráfico de la figura? A) y = x2

B) y = x3

C) y = 4x4

D) y = 4x

E) y = 4x2

EJEMPLO PSU-29: La relación entre el radio y el área de una circunferencia es: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. es variable. II. r es variable y A sólo toma valores positivos. III. A es función de r.

A) Sólo I B) Sólo I y II


134

C) Sólo II D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-30: Dada la función , entonces f(-4)=

EJEMPLO PSU-31: Un taxista tiene un cobro fijo de $ 150 y cobra, además, $ 300 por cada Km. recorrido. Entonces la función que relaciona el valor (y) y los kilómetros recorridos (x) es:

EJEMPLO PSU-32: Dada la función , se puede afirmar que: I) La función está definida para los x mayores o iguales a 2 II) f(3) = 1 III) El punto (5,3) pertenece a la función

A) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-33: Si f(x) = mx + n, ¿qué valores deben tener m y n, respectivamente, de modo que f(3) = 8 y f(2) = 6?

A) y 5


135

B) - 1 y

C) 2 y 2

D) y

E) 2 y 10

EJEMPLO PSU-34: Una compañía telefónica ofrece dos planes alternativos de tarifas para sus clientes:Plan P): $ 10.000 de cargo fijo mensual, más $ 20 por minuto en llamadas de horario diurno y $ 5 por minuto en llamadas de horario nocturno.Plan Q): $ 14.000 de cargo fijo mensual con derecho a llamar hasta 500 minutos, en cualquier horario; una vez usados los 500 minutos, se paga $ 20 por minuto, por llamadas en cualquier horario. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a las llamadas mensuales de los clientes? I) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 200 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan Q. II) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 600 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan P. III) Si una persona llama 100 o más minutos en horario diurno y 400 minutos en horario nocturno, entonces gasta lo mismo no importando el plan que contrate.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-35: Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $ 1.000.000 mensuales y costos varios por lámpara de $ 5.000. Si x representa el número de lámparas producidas en un mes, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la función costo C(x)?

A) C(x) = x + 1.005.000B) C(x) = 1.000.000x + 5.000C) C(x) = 1.005.000x


136

D) C(x) = 5.000x + 1.000.000E) C(x) = (x – 5.000) + 1.000.000

EJEMPLO PSU-36: Dada la función f(x)= , ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?


EJEMPLO PSU-37: Si f(x) = log2x, entonces f(16) – f(8) es:

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 7

EJEMPLO PSU-38: Si f(x) = x2 + 3x – 4, entonces f(x + 1) es igual a:

A) x2 + 3x - 2B) x2 + 5x – 3C) x2 + 5x – 2D) x2 + 5xE) x2 + 3x

EJEMPLO PSU-39: dada la parábola de ecuación y = x2 – 2x + a, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x II) Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x III) Si a < 1, la parábola no intersecta al eje x


137

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) Solo II y III

EJEMPLO PSU-40: Sea la función cuadrática , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si a < 0, entonces la función tiene un máximo II) Si c = 0, la gráfica de la función pasa por el origen III) Si b = 0, a < 0 y c < 0, entonces la gráfica de la función intersecta al eje x en dos puntos


EJEMPLO PSU-41: ¿Cuál de las siguientes funciones está mejor representada por el gráfico de la figura?

EJEMPLO PSU-42. La parábola de la figura intersecta al eje x en los puntos (4, 0) y (- 2, 0) ¿Cuál es el conjunto de todos los valores de x cuya imagen es mayor o igual a cero?

EJEMPLO PSU-43. ¿Cuál de los siguientes

gráficos representa mejor la función


138

EJEMPLO PSU-44. Si f(x) = x – 2 es afín con g(x) dado por la siguiente tabla. ¿En qué punto se intersectan las gráficas de estas funciones?

EJEMPLO PSU 45. En la función , ¿Cuál(es) de las

siguientes alternativas es (son) verdadera(s)? I) 7 no tiene imagen II) 3 no tiene imagen III) f(- 6) = 3A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-46. , entonces el valor de f(- 3) es:

A) – 9 + 3kB) – 9 + 3kC) 9 + 3kD) 9 – 3kE) – 3 + 3k

EJEMPLO PSU-47. Una empresa paga a sus vendedores un sueldo base mensual de $180.000 más $5.000 por artículo vendido. Si un vendedor vende x artículos en un mes, ¿cuál de las siguientes funciones representa el sueldo S(x), que le paga la empresa, en pesos?


x g(x)- 1 - 2- 2 3

139

EJEMPLO PSU-48. Si entonces para la función f(x) es

igual a

A) 3x – 1B) 3x + 5C) x + 3D) x + 1E) x - 1

EJEMPLO PSU-49. Sea la función f(x) = y g(x)=

I) f(0) g(0)= 0

II) f(x) = g(x) (x+1)III) g(3) + g(1) = - 7

A) Solo IB) Solo II C) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-50. ¿Cuál de las siguientes funciones representa mejor a la parábola de la figura

A) f(x) =

B) g(x) =

C)

D)

E)


140

EJEMPLO PSU-51. Dadas las funciones , y . ¿Cuál de las

siguientes opciones es correcta?

XI. ANGULOS:

Clasificación de ángulosSegún su medida, un ángulo puede ser:

DEFINICIÓNÁngulo Agudo: su medida es menor que 90°

DEFINICIÓNÁngulo Recto: su medida es 90°, es decir, mide la cuarta parte del ángulo completo. Se dice que sus lados son “perpendiculares”

DEFINICIÓN


141

Ángulo Obtuso: Su medida es mayor que 90° y menor que 180°

DEFINICIÓNÁngulo Extendido: Su medida es 180°

Ángulos en el plano

DEFINICIÓNÁngulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes si y solo si tienen en común el vértice y un lado, y sus interiores no se intersectan.

Ángulo BAC adyacente al ángulo CAD

DEFINICIÓNÁngulos complementarios: dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°.”Complemento” de un ángulo es la medida del ángulo que le falta para

completar de giro (90°).

, complemento de

DEFINICIÓNÁngulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°. “suplemento” de un ángulo es la medida del ángulo que le falta para completar de giro. (180°)

Suplemento de


142

Así entonces, podemos tener:

a) ángulos adyacentes complementarios

b) ángulos adyacentes suplementarios:

DEFINICIÓNÁngulos opuestos por el vértice: son dos ángulos cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos.

Propiedad: ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida ( son congruentes)

Ángulos entre paralelas y una transversal

Si dos rectas paralelas se cortan por otra recta transversal, se determinan 8 ángulos; entre los cuales hay parejas que cumplen propiedades importantes

Opuestos por el vértice .Son congruentes.

Ángulos Correspondientes.Al trasladar L1 paralelamente hasta hacerla coincidir con L2, se superponen ciertos ángulos, éstos reciben el nombre de correspondientes, y obviamente son congruentes.

Ángulos alternos internos.Son los que están entre las paralelas y a distinto lado de la transversal. Los ángulos alternos internos son congruentes.

∡ 3 ∡ 5 ∡ 4 ∡ 6Ángulos alternos externosSon los que están en el exterior de las paralelas y a distinto lado de la transversal. Los ángulos


143

alternos externos son congruentes.

Observación: los recíprocos de las propiedades anteriores también se cumplen.

Observación: Sea L1 // L2, entonces:

(1)

(2)

Observación: T1 y T2 transversales, entonces se cumple:

Observaciones:(a) Bisectriz de un ángulo: Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual medida (congruentes)

(b) Rectas Perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman un ángulo cuya medida es de 90º


144

TRIÁNGULO

DEFINICIÓNUn triángulo lo podemos entender como la unión de tres segmentos determinados por tres puntos no colineales. Estos tres puntos se denominan vértices, y los segmentos, lados del triángulo; además, se determinan tres ángulos, cuyos lados son los lados del triángulo, y se denominan ángulos interiores del triángulo

Se acostumbra usar letras minúsculas para los lados, de acuerdo al vértice al que se oponen.

Teorema fundamental: “En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 180°”


145

DEFINICIÓNÁngulo ExteriorSe llama ángulo exterior de un triángulo, al ángulo formado por un lado del triángulo y la prolongación de otro.

Propiedades(1) La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes

(2) La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es 360°

Clasificación de los triángulos

Los triángulos los podemos clasificar según la medida de sus lados y de sus ángulos

Según la medida de sus ángulos

Acutángulo: es aquel que tiene sus tres ángulos interiores agudos

Rectángulo: es aquel que tiene un ángulo recto. Los otros dos ángulos interiores son agudos y complementarios.

Los lados que forman el ángulo recto se denominan “catetos” y el lado opuesto al ángulo recto “hipotenusa”

Obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo interior obtuso


146

Según la medida de sus lados

Equilátero: tiene sus tres lados congruentes; por lo tanto, sus tres ángulos interiores también lo son, y como la suma de sus medidas es 180°, cada uno mide 60°

Isósceles: es aquel que tiene dos lados congruentes, llamados “lados”, y el tercero se llama “base”Se puede demostrar que los ángulos opuestos a los “lados” son también congruentes. A estos ángulos se les llama “ángulos basales”

Escaleno: es aquel cuyos tres lados tienen distinta medida, y por ende, sus ángulos también

ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO

Se denominan “Elementos Primarios” del triángulo a sus lados y ángulos. Los “Elementos secundarios” del triángulo son los llamados “Puntos Notables” y “Rectas notables”

Rectas Notables : Se llaman así a las transversales de gravedad, alturas, bisectrices, simetrales y medianas.

Puntos notables : Son los puntos que surgen de la intersección de un mismo tipo de rectas notables, ellos son: el centro de gravedad (Baricentro), el ortocentro, el incentro y el circuncentro.


147

DEFINICIÓN1. Transversal de gravedad.-Es la recta que une un vértice, con el punto medio del lado opuesto. Se denominan ta, tb, tc, donde el subíndice indica el vértice por el cual pasa. Las tres transversales de gravedad se intersectan en un mismo punto llamado Centro de Gravedad ( o baricentro)

Propiedad: El baricentro divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos que están en la razón 2: 1. El segmento que va desde el vértice al Baricentro mide el doble que el segmento que va del Baricentro al lado

DEFINICIÓN2.- Altura.Es la perpendicular bajada desde un vértice al lado opuesto. Se denominan ha , hb , hc ; donde el subíndice indica el vértice por el cual pasa. Las tres alturas se intersectan en un mismo punto llamado Ortocentro.

Propiedad: Las alturas de un triángulo son inversamente proporcionales a los lados


148

Observaciones:∗ En un triángulo obtusángulo el ortocentro queda en el exterior del triángulo

∗ En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto, puesto que los catetos se confunden con las alturas.

DEFINICIÓN

3.- Bisectriz.-Es la recta que pasa por un vértice y divide al ángulo en dos ángulos congruentes. Se denominan: ; donde el subíndice indica el ángulo que dimidia. Las tres bisectrices se intersectan en un mismo punto llamado Incentro, el cual corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo, es decir, el incentro equidista de los lados del triángulo. El radio de esta circunferencia se designa por la letra griega “ ”.

Propiedad: Las bisectrices dividen al lado opuesto en la razón de las medidas de los lados que forman el ángulo

Observaciones:


149

∗ En general, los puntos de tangencia de los lados con la circunferencia inscrita al triángulo no coinciden con los pies de las bisectrices

∗ Si se dibujan las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo, se determinan tres puntos que equidistan de los lados del triángulo. Dichos puntos son los “Excentros” o centros de las circunferencias exinscritas al triángulo.

DEFINICIÓN4.- Simetral

Es la recta perpendicular a un lado del triángulo, en su punto medio. Las simetrales se designan por: Sa , Sb , Sc , donde el subíndice indica el lado al cual es perpendicular.El punto de intersección de las simetrales se denomina Circuncentro y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, el circuncentro es un punto que equidista de los tres vértices del triángulo. Su radio se designa por “r”

Observación: En general, las simetrales no pasan por los vértices del triángulo.

DEFINICIÓN5.- Mediana

Es el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados del triánguloP, Q, R : Puntos medios de los lados

Propiedades: La mediana es paralela al tercer lado:

La mediana mide la mitad del lado al cual es paralela:


150

Cuando se dibujan las tres medianas de un triángulo, se forman cuatro

triángulos congruentes

Nota: En general, las cuatro primeras rectas notables no coinciden, excepto en los triángulos equiláteros e isósceles.

Observación: TRIÁNGULO EQUILÁTERO

PROPIEDADES

(3) Las transversales de gravedad, alturas

y bisectrices son una misma recta

TRIÁNGULO ISÓSCELES

PROPIEDADES

(4) La altura, bisectriz, simetral y transversal trazadas desde el vértice del ángulo distinto o trazadas a la base son una misma recta. Para los otros vértices y lados no ocurre lo Mismo hc = tc


151

= b=

La bisectriz de un ángulo interior del triángulo divide interiormente el lado opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del correspondiente ángulo del triángulo

La bisectriz de un ángulo exterior divide exteriormente el lado opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del correspondiente ángulo interior del triángulo.

TEOREMA DE PITÁGORAS


152

“El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos”

“En todo triángulo ABC rectángulo en C se cumple que el cuadrado de la

hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir ”

RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

“Sea un triángulo ABC cualquiera, con lados menores a y b y lado mayor c, tales que c2 = a2 + b2, entonces el triángulo ABC es un triángulo rectángulo”

· Tríos pitagóricos: (a – b – c)

a b c3 4 55 12 138 15 177 24 2520 21 2912 35 37

TEOREMAS RELATIVOS AL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Teorema:“Si uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 30º, entonces el lado opuesto a dicho ángulo es igual a la mitad de la medida de la hipotenusa”

Tesis:

Teorema: “En un triángulo rectángulo la medida de la transversal de gravedad correspondiente a la hipotenusa, es igual a la mitad de la medida de dicha hipotenusa”


153

Tesis:

Corolario: “En un triángulo rectángulo, el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa”Nota: Un triángulo rectángulo queda determinado por solo dos datos: la medida de un lado y la de uno de sus ángulos agudos o la medida de dos lados. El otro dato es propio de su condición de triángulo rectángulo (ángulo de 90º)

CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA A UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Sabemos que la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del arco que abarcan sus lados. Por esta razón, si el triángulo es rectángulo, el arco que abarcan los dos catetos es de 180º

Por tanto, se cumplirá:a. La hipotenusa es el diámetro de la circunferencia.b. El triángulo rectángulo de mayor área cuya hipotenusa mide c es el isósceles de base c.c. La mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa.

TEOREMAS DE EUCLIDESEl triángulo de la figura es rectángulo en C y CD es altura.a y b: catetosc: hipotenusap y q: proyecciones de los catetos a y b, respectivamente.Los triángulos ACB, ADC y CDB son semejantes.


154

Referente a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto es media proporcionalGeométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

Clasificación angular de un triángulo conocidas las medidas de sus lados

ACUTÁNGULO

RECTÁNGULO

OBTUSÁNGULO


155

OBSERVACIÓN:“En todo triángulo rectángulo, el radio de la circunferencia inscrita en él, es igual al cociente entre el producto de los catetos y el perímetro del triángulo”

PROPIEDAD DE LA ALTURA CORRESPONDIENTE A LA HIPOTENUSA

En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa determina dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al triángulo inicial


156

EJEMPLO PSU-1: En el triángulo ABC rectángulo en C, = 5 cm y

= 4 cm. La medida del segmento es:

EJEMPLO PSU-2: En la figura, si ABC y BDF son triángulos equiláteros y BFEC es un rombo, entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) verdadera(s) ? I) x = z II) x + y = EBD III) x + y – z = 60°

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y II E) I, II y III

EJEMPLO PSU-3: Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus alturas, entonces se forman dos triángulos


157

A) isósceles rectángulos congruentes.B) acutángulos escalenos congruentes.C) acutángulos congruentes.D) escalenos rectángulos congruentes.E) equiláteros congruentes.

EJEMPLO PSU-4: Si sobre el tercio central de uno de los lados del triángulo equilátero ABC se construye otro triángulo equilátero, como se muestra en la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El área del DEF es la sexta parte del área del ABC. II) El lado es paralelo al lado . III) El lado es perpendicular al lado .

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

EJEMPLO PSU-5: En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18 cm de perímetro y DBEC es un rectángulo. El área de la región achurada es:

EJEMPLO PSU-6: En la figura, si el Δ ABC es

rectángulo en C y = 2 , entonces

es


158

A) 2

B) 2

C) 3D) 6E) 12


159

EJEMPLO PSU-7: Si en el triángulo ABC de la figura, = 3 cm y

= 12 cm, entonces la medida de es:

A) 6 cm

B) 3 cm

C) 3 cm

D) 9 cmE) Indeterminable con los datos dados


160

EJEMPLO PSU-8: ¿Qué pasa con el área de un triángulo si su altura se divide por dos y se mantiene su base?

A) Se reduce en media unidad cuadradaB) Se reduce a la mitadC) Se reduce a la cuarta parteD) Se reduce en un cuarto de unidad cuadradaE) Falta información para decir que ocurre con el

EJEMPLO PSU-9: En la figura, el D ABC es rectángulo en C. D y E son puntos que dividen a en tres

segmentos iguales. Si ,

= 12, = 4 y = 3, entonces

EJEMPLO PSU-10: En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. Si y p + q = 10, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s) I) a + b = II) h = 4 III) El área del triángulo ABC = 20


161

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-11: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles aumenta su largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para el área del triángulo rectángulo resultante, respecto del área original?

A) Se mantiene igualB) Aumenta en un 4%C) Disminuye en un 4%D) Aumenta al dobleE) Disminuye a la mitad

EJEMPLO PSU-12: El perímetro del triángulo isósceles de la figura es 2s. Si uno de sus lados iguales mide a, entonces la base c mide:

EJEMPLO PSU-13: ¿Cuánto mide el ángulo x en el triángulo ABC de la figura?

A) 32ºB) 39ºC) 45ºD) 52ºE) No se puede determinar, faltan datos

EJEMPLO PSU-14: El triángulo ABC es rectángulo en C. es perpendicular a . = 9 y = 4 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y III


162

D) Sólo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-15: Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 0,25 cm y cm, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Su hipotenusa es igual a del cateto menor. II) El área del triángulo es cm2

III) Su perímetro es igual a 1 cm.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

EJEMPLO PSU-16: En la figura, el ABC es rectángulo en C y hc = . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) (p + q)2 = 4pq II) III) El ABC es isósceles.A) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-17. En un triángulo rectángulo de catetos 3 y 6 cm, ¿Cuál es la razón entre las longitudes de las proyecciones de las alturas correspondientes de los catetos?

EJEMPLO PSU-18. Las medidas de los lados de un triángulo son a, b y c, donde c es el lado mayor. Para que el triángulo sea rectángulo debe ocurrir que


163

XIII. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS:

DEFINICIÓNDos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes.

POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado.

LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales.

LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.


164

LLA >: Dos triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales.

EJEMPLO PSU-1: En la figura, PQRS es un paralelogramo y las diagonales se intersectan en T. ¿Cuál(es) de las siguientes congruencias es(son) siempre verdadera(s)? A) Solo IIIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-2: En la figura,

PTR y SVQ son

congruentes. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y II


165

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-3: El triángulo ABC de la figura es isósceles de base . Si P, Q y R son puntos medios de sus lados respectivos, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Los triángulos AQP y PRC son congruentes II) Los triángulos QBP y RPB son congruentes III) El área del triángulo QBP es la cuarta parte del área del triángulo ABC


EJEMPLO PSU-4: El triángulo ABC es isósceles de base . La circunferencia de centro C y radio r interfecta a los lados del triángulo en D y E. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es(son) verdadera(s)?

I) ABE ABE II) Δ BEC ADC III) ABD ADC

A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-5: En la figura

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III


166

EJEMPLO PSU-6: En la figura, los triángulos ABC y DAE son isósceles

congruentes de bases y , respectivamente. Si ∡BAC = 36º,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) ∡ DAC ∡ CAB II) ABC ACD III) AEP DCPA) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-7: Si el triángulo ABC de la figura es equilátero de lado 2 y , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) ADC BDC II) ∡ ACD = 30º III) A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos con congruentes II) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son congruentes III) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus catetos homólogos son congruentes



167

EJEMPLO PSU-9. En la figura el . ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s): I) Es posible inscribir el cuadrilátero ADBC en una circunferencia II) ∡ CAB = ∡ DBA III) ∡ CBD = 90º

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-10. En la figura, el triángulo ABC es equilátero y es bisectriz del ángulo CAB. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El ángulo CDA mide 90º II) es eje de simetría del triángulo ABC III) Los triángulos ADC y ADB son congruentes

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-11. Si en la figura, , y ¿Cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III


168

XIV. SEMEJANZA DE TRIANGULOS:

DEFINICIÓN:Dos polígonos de un mismo número de lados se dirán semejantes, cuando los ángulos del uno sean respectivamente iguales con los ángulos del otro y cuando, además, tengan sus lados homólogos proporcionales

Observación: Esta definición de semejanza encierra la idea de similitud de forma; es decir, dos polígonos son semejantes, sí y solo si, tienen la “misma forma”. Así, por ejemplo;

(1) todos los cuadrados son semejantes entre sí(2) todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí(3) todos los pentágonos regulares son semejantes entre sí

En general, todos los polígonos regulares de un mismo número de lados son semejantes entre sí; e incluso podemos extender esta definición y decir también que todas las circunferencias son semejantes entre si.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

El hecho que todo polígono, de más de tres lados, admita descomposición en triángulos, motivó en los geómetras una especial atención por estas elementales figuras


∡ A ∡ P∡ B ∡ Q∡ C ∡ R∡ D ∡ S∡ E ∡ T

169

TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Los geómetras griegos de la antigüedad, notaron que para establecer la semejanza entre dos triángulos no era necesario verificar cada una de las seis condiciones expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas provocaba necesariamente la ocurrencia de los otros restantes.

* TEOREMA FUNDAMENTALPara que dos triángulos sean semejantes, basta que los ángulos de uno sean iguales a los ángulos del otroCorolario: Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulo semejante al primeroSi , entonces CDE ~ CAB

Los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homólogos proporcionales.

TEOREMA AA (O CRITERIO AA DE SEMEJANZA)

Dos triángulos que tienen dos ángulos respectivamente congruentes son semejantes

Hipótesis: ∡ A ∡ D y ∡ C ∡ FTesis ABC DEF

Nota: Ten presente que si un triángulo es semejante a otro y este último es congruente con un tercero, el primero y el tercero son semejantes.


170

TEOREMA LAL (O CRITERIO LAL DE SEMEJANZA)

Si en dos triángulos las medidas de dos pares de lados son proporcionales y los ángulos comprendidos entre esos lados son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.

∆ ABC ~ ∆ A’B’C’

TEOREMA LLL (o criterio LLL de semejanza)

Si las medidas de los tres pares de lados de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

∆ ABC ~ ∆ A’B’C’

Nota: Como criterios de semejanza de triángulos tenemos el teorema AA y los teoremas LAL y LLL

Nota: los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homólogos, proporcionales.

Nota: Se llaman figuras equivalentes a aquellas que poseen igual área

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Dos triángulos rectángulos siempre tienen un ángulo congruente entre ellos: el de 90°. Por lo tanto, se tiene dada, de antemano, una condición para que sean semejantes. Entonces, a partir del teorema de semejanza AA (para cualquier triángulo), se deduce:

a. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo congruente.


171

b. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos respectivamente proporcionales

c. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen las medidas de la hipotenusa y de un cateto respectivamente proporcional.

RAZÓN ENTRE LAS ALTURAS DE TRIÁNGULOS SEMEJANTESSi dos triángulos son semejantes, entonces sus alturas correspondientes son proporcionales a los lados respectivos.

Sea ABC A’B’C’. Por el postulado AA se tiene que ADC A’D’C’. De esa semejanza se deduce que:

En general, esto se puede demostrar para todos los elementos secundarios homólogos de dos triángulos semejantes.

RAZÓN DE LOS PERÍMETROS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTESLos perímetros de triángulos semejantes están en la misma razón que dos trazos homólogos cualesquiera


172

RAZÓN DE LAS ÁREAS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón en que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera

Al comparar por cuociente las medidas de dos segmentos expresados en la misma unidad, se establece una razón entre estas medidas.

Nota: es el segmento. MN es la medida de

La razón entre dos segmentos, es decir, entre sus medidas, es un número real positivo. Dicho número puede ser racional o irracional.

Si la razón entre dos segmentos es un número racional, diremos que lo segmentos son conmensurables entre sí.Si la razón entre dos segmentos es un número irracional, diremos que esos segmentos son inconmensurables entre sí.

Nota: los lados de un polígono se dicen homólogos si están comprendidos entre dos ángulos respectivamente congruentes.

Todos los polígonos regulares de igual número de lados son semejantes (todos los triángulos equiláteros son semejantes)

Dados dos polígonos semejantes, aun cuando no sean regulares, se cumple que sus perímetros están en la razón que hay entre cualquier par de lados homólogos.


173

Perímetro polígono ABCDE = P = a + b + c + d +ePerímetro polígono A’B’C’D’E’ = a’ + b’ + c’ + d’ + e’

EJEMPLO PSU-1: ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el triángulo P es semejante con el triángulo Q?

A) Sólo en I B) Sólo en II C) Sólo en I y en II D) Sólo en II y en III E) En I, en II y en III

EJEMPLO PSU-2: Una torre de TV proyecta una sombra que mide 150 metros de longitud. A 148,8 metros del pie de la torre y en la misma dirección que se proyecta la sombra, se encuentra un poste que mide 1,6 metros de altura. Sabiendo que los puntos extremos de la sombra que proyectan la torre y el poste coinciden, ¿qué altura tiene la torre?

A) 200 metrosB) 198,4 metrosC) 113,2 metrosD) 112,5 metrosE) 110 metros

EJEMPLO PSU-3: ¿Qué significa que dos triángulos sean semejantes?


174

A) Que tienen igual áreaB) Que tienen igual perímetroC) Que sus lados son proporcionalesD) Que sus tres lados respectivos coincidenE) Que sus ángulos son proporcionales, en razón distinta de uno

EJEMPLO PSU-4: Según la figura, ¿Cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) semejante(s)?

A) Sólo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-5: En la figura, ¿cuál(es) de los siguientes triángulos es(son) semejantes I) ABE AFD II) FEC BDC III) CFE ABE


EJEMPLO PSU-6: ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre sí?

A) Solo I y II


175

B) Solo I y IIIC) Solo II y IIID) I, II y IIIE) Ninguno de ellos son semejantes entre si

EJEMPLO PSU-7: En la figura se representa un poste y una niña. Si la niña tiene una altura de 1 metro, y las sombras del poste y de la niña miden 7 metros y 50 centímetros, respectivamente, ¿cuál es la altura del poste?

A) 3,5 metrosB) 7,1 metrosC) 14 metrosD) 35 metrosE) No se puede determinar

EJEMPLO PSU-8: En la figura, el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEC. Si = 5, = 21 y = 15, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?


EJEMPLO PSU-9: En relación a la figura, la razón es equivalente a:

EJEMPLO PSU-10: Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 m; si el primer piso tiene


176

una altura de 15 m y el segundo piso una altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombra proyectada por el segundo piso?

A) 8 m B) 10 m C) 15 m D) m E) No se puede determinar

EJEMPLO PSU-11. ¿Cuál de los siguientes triángulos son semejantes al de la figura?

A) Solo IB) Solo IIC) I y IIID) II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-12. ¿Cuál de las siguientes es FALSA?


177

A) Todos los triángulos equiláteros son semejantes B) Todos los cuadrados son semejantesC) Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantesD) Todos los círculos son semejantesE) Todos los triángulos isósceles son semejantes

EJEMPLO PSU-13. ¿Cuál(es) de estas semejanzas es (son) verdadera(s)? A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y III

XV. CUADRILATEROS:

Los ángulos interiores suman 360ºLos ángulos exteriores suman 360ºClasificación según par de lados opuestos paralelos: > Paralelogramos (2 pares)

> Trapecios (1 par) > Trapezoides (ningún

par)A. PARALELOGRAMOS:

Tienen 2 pares de lados opuestos paralelos.Cuadrado – Rectángulo – Rombo – Romboide

1. CUADRADO: 4 ángulos interiores rectos 4 lados iguales Lados opuestos paralelos Las diagonales son iguales y son perpendiculares Las diagonales se dimidian (÷ en partes iguales) Las diagonales bisectan los ángulos Se puede inscribir una circunferencia Se puede circunscribir una circunferencia


178

A B

D C

a

d1

d2

d =

p = 4a A = a2

2. RECTANGULO: 4 ángulos interiores rectos Lados opuestos de igual medida Lados opuestos paralelos Las diagonales son iguales y se dimidian Se puede circunscribir una circunferencia p = 2a + 2b A = ab

3. ROMBO: 4 lados iguales Lados opuestos paralelos Ángulos opuestos igualesÁngulos contiguos suplementariosLas diagonales son perpendicularesLas diagonales se dimidian y bisectan los ángulos Se puede inscribir una circunferencia p = 4a A = a · h // A =

4. ROMBOIDE: Lados opuestos de igual medidaLados opuestos paralelosÁngulos opuestos iguales Ángulos contiguos suplementarios Las diagonales se dimidian p = 2a + 2b A = a · h


179

A B

D C

a

bd1

d2

A B

D C

a

d1 d2

f e

h

A B

D C

a

d1

d2

h b

B. TRAPECIOS:

Tienen 1 par de lados opuestos paralelos llamados basales.Trapecio Escaleno – Trapecio Isósceles – Trapecio Rectángulo

1. TRAPECIO ESCALENO: Lados no paralelos no son congruentes. α + δ = 180º β + γ = 180º p = a + b + c + d A = · h / A =

2. TRAPECIO ISOSCELES: Lados no paralelos son iguales ( ) Las diagonales son iguales Ángulos contiguos suplementarios α = β γ = δ p = a + b + 2c A = · h / A =

3. TRAPECIO RECTANGULO: Uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases. es perpendicular a es perpendicular a c = h = altura Ángulos en A y D son rectos β + γ = 180º p = a + b + c + dA = · h / A =

4. MEDIANA DE UN TRAPECIO: Segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos.Es paralela a las bases.


180

A B

D C

a

h

d c

b

NM

α β

γδ

A B

D C

a

h

d c

b

NM

α β

γδ d1

d2

A B

D C

a

d

b

N M

h

c

β

γ

A B

D C

NM

C. TRAPEZOIDES:

No tienen lados opuestos paralelos.

D. PROPIEDADES DE OTROS CUADRILATEROS:

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. (α + γ = β + δ = 180º)

En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las sumas de cada par de lados opuestos son iguales entre sí. (a + c = b + d)

EJEMPLO PSU-1: En la figura, = 3, = 4 y = 1. El área del cuadrilátero ABCD es:

EJEMPLO PSU-2: En la figura, ABCD es un rectángulo y FCGI es un cuadrado. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El área de FCGI es 12 II) El área de EBFI es 6 III) El área de AEIH es 3



181

A B

D

a

d

c

b

α β

γ

δ

C

A B

D

α β

γδ C

AB

D

a

d

c

b

C

EJEMPLO PSU-3: Los vértices de una figura son: A(2, 0); B(0, 2); C(−2, 0) y D(0, −2). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) El perímetro de la figura es 8 . II) Cada diagonal mide 4. III) El área de la figura es 4 .


EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál de las afirmaciones es correcta para todos los paralelogramos?

A) Si sus ángulos son rectos es un cuadrado.B) Los ángulos consecutivos son complementarios.C) Las diagonales son bisectrices.D) Los ángulos opuestos son congruentes.E) Los ángulos opuestos son suplementarios.

EJEMPLO PSU-5: El cuadrado ABCD de lado a se ha dividido en 9 cuadrados congruentes entre sí, como se muestra en la figura. El área del cuadrado PQRS es

EJERCICIO PSU-6: En el plano de la figura, se muestra el polígono ABCD, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?


182

I) El perímetro del polígono es 8 .

II) Cada diagonal del polígono mide 4.

III) El área del polígono es 4 .


EJEMPLO PSU-7: En la figura, ABCD es un rectángulo que se ha dividido en seis cuadrados congruentes. Si los arcos corresponden a cuartos de círculo, entonces¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) La suma de las áreas sombreadas es igual al área de un círculo de

radio

II) La suma de los perímetros de las áreas sombreadas es igual al

perímetro de una circunferencia de radio

III) La suma de los perímetros de las regiones sombreadas es mayor que el perímetro de ABCD.


EJEMPLO PSU-8: Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura, donde

, y M es el punto de intersección de y , entonces el área

del ∆ DMQ es


183

EJEMPLO PSU-9: En la figura, dadas las dimensiones del rectángulo ABCD, entonces la medida del lado en el rectángulo DBEF mide

EJEMPLO PSU-10: En la figura, ABCD es un

rectángulo en el cual = 8 cm. Los

triángulos son todos equiláteros y congruentes entre sí. El perímetro de la región sombreada es

A) 42 cmB) 46 cmC) 48 cmD) 50 cmE) 56 cm

EJEMPLO PSU-11: El largo de una piscina rectangular es el doble de su ancho. Se construyó una cerca, rodeándola, separada un metro de sus bordes. Si el área cercada es de 40 m2, ¿cuál es el largo de la piscina de la figura?

A) 3 mB) 6 mC) 12 m

D) m

E)

EJEMPLO PSU-12: En el triángulo ABC de la figura, ADEF es un rombo,

y mide 60º, entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones

siguientes es(son) verdadera(s)?


184


EJEMPLO PSU-13: La figura está formada por 6 cuadrados congruentes de 30 cm de lado cada uno. El área de la región achurada mide

A) 50 cm2

B) 75 cm2

C) 100 cm2

D) 112,5 cm2

E) 125 cm2

EJEMPLO PSU-14: ¿Cuánto mide el perímetro del polígono de la figura con p > q?

A) 4p + 3qB) 4p + 4qC) 3p + 3qD) 3p + 2qE) No se puede determinar

EJEMPLO PSU-15: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado a, M y N

son puntos medios de los lados , respectivamente. ¿Cuál es el área del

triángulo MAN?

EJEMPLO PSU-16: ABCD es un rectángulo

tal que = 5 y = 4. Si se ha dividido en


185

cuadrados congruentes como se muestra en la figura, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

I) Área de la región sombreada es 13 II) Perímetro de la región sombreada es igual al perímetro de ABCD III) Suma de los perímetros de las áreas no sombreadas es mayor que el perímetro del rectángulo ABCD

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II, III

EJEMPLO PSU-17: En el cuadrado ABCD de la figura T, M, L y P son puntos medios de los lados respectivos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?


EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál es la conclusión más precisa respecto al perímetro y al área de un cuadrado cuando su lado se duplica?

A) El perímetro se duplica y el área se cuadruplicaB) El perímetro se cuadruplica y el área se duplicaC) El perímetro se duplica y el área aumenta en mayor proporción que el perímetro


186

D) El perímetro se cuadruplica y el área aumenta en menor proporción que el perímetroE) El perímetro aumenta en mayor proporción que el área

EJEMPLO PSU-19: En la figura = 1 y = 2, entonces ¿cuál es el

área del rectángulo ABCD?

A) 2B) 6

EJEMPLO PSU-20: En la figura ABCD es un cuadrado. El área del triángulo AMN es:

EJEMPLO PSU-21: En la figura ABCD es un

cuadrado de lado 3 cm y =

cm. Si P, B y Q son puntos colineales, entonces el área de la región NO sombreada mide:

EJEMPLO PSU-22: En la figura, el cuadrado se ha dividido en 5 rectángulos congruentes entre sí, y cada rectángulo tiene un perímetro de 30 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?

A) 50 cmB) 48 cm


187

C) 60 cmD) 150 cmE) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-23: Con un cordel de largo d se forma un cuadrado. ¿Cuánto mide el área del cuadrado?

EJEMPLO PSU-24: EFGH es un rectángulo. Si y entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?


EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál es el perímetro de la figura plana formada por 4 rombos congruentes cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm?


EJEMPLO PSU-26: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el cual se ha inscrito el trapecio isósceles EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El área de EFGH es 48 II) AEH CFG


188

III)


EJEMPLO PSU-27: En el rectángulo ABCD de la figura,

, = 5 cm, = 4 cm y = 10

cm. ¿Cuál es el perímetro del trapecio ABGE?


EJEMPLO PSU-28: para cercar un terreno rectangular se necesitan 100 metros de malla. ¿Cuál es el área del terreno si el largo mide 30 metros?

A) 600 m2

B) 1.050 m2

C) 1.200 m2

D) 2.100 m2

E) 2.400 m2

EJEMPLO PSU-29: Si dos circunferencias son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s) ?

I) Sus perímetros son iguales. II) Sus radios son de igual longitud. III) Sus centros son coincidentes.

A) Sólo III B) Sólo I y II


189

C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-30. Si a un rectángulo se le duplica el ancho y se le reduce a la mitad el largo, se cumple que:

A) El área se cuadruplicaB) El área se mantiene igualC) El área se duplicaD) El área es la mitadE) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-31. ¿En cuál de estos cuadriláteros, al trazar una diagonal, NO se forman dos triángulos congruentes?

A) CuadradoB) RomboC) RomboideD) RectánguloE) Trapecio Isósceles

EJEMPLO PSU-32. La figura está formada por tres rectángulos congruentes. ¿Cuánto mide el área de otra figura formada por 21 veces la figura original?


EJEMPLO PSU-33. Si en la figura los triángulos ABC y EAD son congruentes, entonces el perímetro del polígono ABCED es



190

EJEMPLO PSU-34. En la figura ABCD es un rectángulo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) I. ∆ AGD ∆ BFC II. el área del ∆ EBF es el doble del área del ∆ AGD.

III. el área del trapecio ABFG corresponde a del área del rectángulo

ABCD

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIE) I, II y III

XVI. POLIGONOS:

∗ Figura plana limitada por lados rectos.

∗ De acuerdo al número de lados se clasifican en:

> 3 lados: Triángulo > 9 lados: Nonágono o Eneágono> 4 lados: Cuadrilátero > 10 lados: Decágono> 5 lados: Pentágono > 11 lados: Undecágono o Endecágono> 6 lados: Hexágono > 12 lados: Dodecágono> 7 lados: Heptágono > 15 lados: Pentadecágono> 8 lados: Octágono u Octógono > 20 lados: Icoságono


191

∗ La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es:

(n = número de lados del polígono) ∗ La suma de los ángulos exteriores es 360º.∗ Nº de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de n lados: n-3 ∗ Nº total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados:

A. POLIGONOS REGULARES:

∗ Tienen todos sus lados y sus ángulos internos iguales.

∗ Cada ángulo interior de un polígono de n lados mide: ∗ Cada ángulo exterior de un polígono de n lados mide: ∗ Se les puede inscribir y circunscribir una circunferencia.

EJEMPLO PSU-1: En la figura, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) El área de la nueva figura duplica al área del hexágono. II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono. III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono.

A) Sólo IIIB) Sólo I y IIC) Sólo I y III D) Sólo II y IIIE) I, II y III


192

EJEMPLO PSU-2. La siguiente figura corresponde a un hexágono regular de perímetro 36 cm. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El área del hexágono es igual a II) III) El complemento de es 30º

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) I, II y III

XVII. CIRCUNFERENCIA:

DEFINICION:Una circunferencia, es el conjunto de todos los puntos del plano, tales que su distancia a un punto fijo llamado centro es la misma para todos los puntos del conjunto. Esta distancia, es a la que llamamos radio, y el segmento que une dos puntos, pasando por el centro, se le denomina diámetro, el cual equivaldría a dos veces el radio.

NOTA: No se debe confundir con el círculo, el cual, es la superficie compuesta por los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ellos.


193

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

ANGULO CENTRAL: Su vértice se ubica en el Centro, y sus lados son dos radios

El ángulo del centro, tiene igual medida que el arco que subtiende, y viceversa. Nota: El arco es BA, y no AB, puesto que los arcos se miden en sentido antihorario

ANGULO INSCRITO: Su vértice se ubica en la Circunferencia y sus lados son cuerdas.

El ángulo Inscrito tiene por medida, la mitad del arco que subtiende.ANGULO INTERIOR: Es el ángulo formado por la intercepción de dos cuerdas cualesquiera, su vértice se ubica en el interior de la circunferencia.


194

La medida del ángulo interior, es igual, a la semisuma de los arcos que intersecta en la circunferencia

ANGULO EXTERIOR: Es el ángulo formado por secantes y/o tangentes, cuyo vértice se ubica fuera de la circunferencia.

La medida del ángulo exterior, es igual, a la semidiferencia de los arcos que intersecta en la circunferencia

ANGULO SEMINSCRITO: Su vértice se ubica en la circunferencia, pero sus lados son una tangente y una cuerda

La medida del ángulo semi-inscrito, es congruente, a la medida del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco, por tanto seria la mitad del arco que subtiende

Corolarios


195

1. Todos los Ángulos Inscritos que subtiendan un mismo arco, son congruentes.

2. Todo Angulo Inscrito en una semicircunferencia, es recto.

3. Los Ángulos Opuestos en un cuadrilátero cualquiera, inscrito en la circunferencia, son suplementarios (suman 180°)

4. La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia


196

5. El ángulo que forman dos rectas tangentes a una circunferencia es suplementario con el arco menor que determinan las rectas en la circunferencia x + = 180º

6. Dos líneas paralelas secantes a la circunferencia, la interceptan en dos arcos congruentes

EJEMPLO PSU-1: En la figura y O es centro de la circunferencia. Si , entonces el ángulo mide:


197

CDAB

A) 10ºB) 40ºC) 20ºD) 70ºE) 80º

EJEMPLO PSU-2: En la figura, se tiene un semicírculo de centro O y ∡ BAC = 20°. El valor del ∡ x es

A) 20°B) 35°C) 40°D) 55°E) 70°

EJEMPLO PSU-3: En la figura, O y O1 son los centros de las circunferencias. En el triángulo ABC, el ángulo CAB mide 22°, entonces el valor del ángulo α es

A) 68°B) 66°C) 57°D) 44°E) ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-4: En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura, la medida del ángulo x es

A) 32ºB) 26ºC) 38ºD) 52ºE) 64º

EJEMPLO PSU-5: En la figura, es un diámetro de la circunferencia de centro O. Si el ∡ BOD = 20° y arco AD es congruente con el arco DB, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?


198

I) ∡ CBO = 20° II) ∡ CAO = ∡ AOD III) ∡ AOD =∡ BODA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: En la semicircunferencia de centro O de la figura, el ∡ BOC mide 100º. ¿Cuánto mide el ∡ AED en el triángulo isósceles AED?

A) 70ºB) 50ºC) 40ºD) 20ºE) Ninguno de los valores anteriores.

EJEMPLO PSU-7: En la figura, el ángulo del centro correspondiente al arco PQ mide 110°. Si R es un punto cualquiera del arco PQ, el ∡ x mide

A 55°B 70°C 110°D 125°E 220°

EJEMPLO PSU-8: En la circunferencia de centro O de la figura, es diámetro, ∡ DOC = 60º y es bisectriz del ∡OBC. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

A) Solo I


199

B) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-9: En la figura, AB es el diámetro de la circunferencia de centro O, ¿cuál es la medida del ángulo x?

A) 20ºB) 40ºC) 70ºD) 110ºE) 160º

EJEMPLO PSU-10: En la figura, ¿cuál es el radio de la circunferencia de centro O, si la cuerda y el ángulo ABC es inscrito de 45º?

EJEMPLO PSU-11: Si dos circunferencias son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Sus perímetros son iguales II) Sus radios son de igual longitud III) Sus centros son coincidentes


EJEMPLO PSU-12: Se tiene el triángulo ABC isósceles rectángulo en A. Sus catetos miden 1. son radios de la semicircunferencia y es perpendicular a . ¿Cuánto vale el radio de la semicircunferencia inscrita?


200

EJEMPLO PSU-13: En la circunferencia de centro O de la figura, el ángulo OCB mide 24°. ¿Cuál es la medida del ángulo AOC?

A) 12° B) 24° C) 48° D) 132° E) 156°

EJEMPLO PSU-14: En la figura, es tangente en P a la circunferencia circunscrita al triángulo PQR. La medida del ángulo es

A) 80ºB) 100ºC) 120ºD) 125ºE) 130º

EJEMPLO PSU-15: En la figura, los puntos A. B y C están sobre la circunferencia de radio r y la medida del ángulo ACB es 30º. La longitud del arco AB es:


EJEMPLO PSU-16: En la circunferencia de centro O de la figura, si , entonces el valor del ángulo es:

A) 16ºB) 32ºC) 48ºD) 64ºE) Indeterminable


201

EJEMPLO PSU-17: En la figura, la medida del ángulo inscrito en la circunferencia de centro O es:

A) 60ºB) 70ºC) 80ºD) 110ºE) 120º

EJEMPLO PSU 18: En la circunferencia de la figura. , ¿Cuál(es) de las

siguientes relaciones es (son) siempre verdadera(s)?


EJEMPLO PSU-19: En la

circunferencia de centro O, es diámetro y ∡ ABC =2∡DAB. La medida del ∡ ABC es:

A) 100ºB) 30ºC) 35ºD) 60ºE) 70º


202

EJEMPLO PSU-20. Según la siguiente figura, en el triángulo ABC se traza una semicircunferencia con diámetro . Entonces es verdadero que:

A) es perpendicular a

B) ABC es isósceles

C) ARC es isóscelesD) es simetral de E) ABR es equilátero

EJEMPLO PSU-21. ABC es un triángulo isósceles de base , si el ángulo ACB = 52º entonces el ángulo x mide:

A) 64ºB) 104ºC) 128ºD) 138ºE) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-22. En la figura, BC y CA son rectas secantes a la circunferencia C, pertenece a ella y L es una recta que contiene al diámetro , ¿cuál de las siguientes relaciones es siempre verdadera?


203

EJEMPLO PSU-23. En la figura son diámetros de la circunferencia de

centro O y es bisectriz del ángulo ECA. La medida del ∡ x es

A) 60ºB) 40ºC) 80ºD) 90ºE) 120º

XVIII. CIRCULO:

A. SECTOR CIRCULAR:


204

Área del sector =

B. SEGMENTO CIRCULAR:

Área segmento circular = Área sector circular AOB – Área triángulo AOB

C. CORONA O ANILLO CIRCULAR:

Área del anillo = π · (R2 – r2)

R = radio círculo mayor / r = radio círculo menor

PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA

Teorema de las cuerdas


205

Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en el interior de ella, el producto de los segmentos determinados en una de ellas es igual al producto de segmentos determinados en la otra

Teorema de las secantes

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior

Teorema de la tangente y la secante

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la tangente es media proporcional geométrica entre la secante y su segmento exterior

EJEMPLO PSU-1: Si en la circunferencia de diámetro 30 cm de la figura, la distancia desde el centro O de ella, hasta la cuerda es de 9 cm, entonces la cuerda mide

A) 6 cm


206

B) 12 cmC) 18 cmD) 20 cm E) 24 cm

EJEMPLO PSU-2: En la figura, PQ es un diámetro de la circunferencia de

centro O y radio r. es tangente en P y mide r. Si M es el punto

medio de , entonces la longitud de , en términos de r,

es

EJEMPLO PSU-3: En la figura, los puntos P, Q, R y S

están sobre la circunferencia de centro O. Si ,

= 6 y = 12, entonces mide

A) 4B) 6C) 8D) 9E) 10

EJEMPLO PSU-4: En la figura, se tiene una circunferencia de centro O,

radio r y diámetro . Si por el punto medio M de , se traza la cuerda

perpendicular al diámetro, entonces la longitud de la cuerda es


207

EJEMPLO PSU-5: En una circunferencia de diámetro 20 cm la distancia desde el centro hasta una cuerda es 6 cm. Entonces la cuerda mide:

A) 8 cmB) 10 cmC) 12 cmD) 16 cmE) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-6: En la circunferencia de centro O, es diámetro, ;

= 4; = 3. El radio es:

EJEMPLO PSU-7: En la circunferencia de radio 6 y centro O de la figura,

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) = 6

II) = 3

III) = 6

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III


208

EJEMPLO PSU-8. En la figura, el segmento mide 15 cm y es

tangente en C a la circunferencia de centro O. Si O está en el segmento que mide 25 cm y A pertenece a la circunferencia,

¿cuántos centímetros mide el diámetro?

XIX. CUERPOS POLIEDROS:

POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina cara, sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices.


209

PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma).

ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista común y su medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un mismo punto.

A. POLIEDROS REGULARES:

Sus caras son polígonos regulares congruentes entre sí. Son cinco:

Para calcular su área se debe multiplicar el área de una de sus caras por el número total de caras del poliedro.

B. POLIEDROS IRREGULARES:

No tienen todas sus caras congruentes.Se clasifican en: > Prismas

> Pirámides


210

b. Octaedro: Tiene 8 caras (triángulos equiláteros), 6 vértices, 12 aristas. Son dos pirámides unidas por su base común.

a. Tetraedro: Tiene 4 caras (triángulos equiláteros), 4 vértices, 6 aristas.

c. Icosaedro: Tiene 20 caras (triángulos equiláteros), 12 vértices, 30 aristas.

d. Hexaedro o cubo: Tiene 6 caras (cuadrados), 8 vértices, 12 aristas, 4 diagonales congruentes.

e. Dodecaedro: tiene 12 caras (pentágonos regulares), 20 vértices, 30

1. PRISMA:Tiene dos polígonos iguales de base y varios paralelogramos como caras laterales.A = Área lateral · 2 Área basal V = Área basal · h

2. PIRAMIDE: Tiene una base que es un polígono y las caras laterales son triángulos que tienen un vértice en común también llamado cúspide. A = Área basal (nº de caras)

Área lateral

V = Área basal · h

3

XX. CUERPOS REDONDOS: Están limitados por superficies curvas o curvas y planas juntas. Los principales son: > Cilindro

> Cono> Esfera

A. CILINDRO:

Se forma al hacer girar un rectángulo en torno a un eje que puede ser cualquiera de sus lados.

A = 2 r (h + r)

V = r2 · h

B. CONO:

Se forma al hacer girar un triángulo rectángulo en torno a un eje situado sobre uno de sus catetos.


211

a

h p

h

r

h

r

g

A = r (g + r)

V =

C. ESFERA:

Se forma al hacer girar una semicircunferencia en torno a su diámetro.

A = 4 r2

V = r3

CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANASCUERPOS DE REVOLUCIÓNLos cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje

TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana:


212

EJEMPLO PSU-1: En un motor la relación entre el volumen V del cilindro, el diámetro D del pistón y la longitud L del desplazamiento de

ese pistón es: Si el diámetro es 10 cm y la longitud del

desplazamiento también es 10 cm, ¿cuál es el volumen del cilindro?

A) 7.900 cm3

B) 790 cm3

C) 79 cm3

D) 7,9 cm3

E) 0,79 cm3

EJEMPLO PSU-2: Un cuadrado de lado 2 metros, se traslada 2 metros, apoyado sobre uno de sus lados en un plano perpendicular a él, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado?

A) 4 m3

B) 6 m3

C) 8 m3

D) 16 m3


213

E) 24 m3

EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el volumen del cilindro que se genera al rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura, en torno al lado

?

A) 30 cm3

B) 45 cm3

C) 75 cm3

D) 180 cm3

E) 300 cm3

EJEMPLO PSU-4: La figura es un cubo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Las rectas AD' y BC' son paralelas. II) Las rectas A'B y DC' son paralelas. III) Las rectas A'D y BC' no se intersectan.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y IIIEJEMPLO PSU-5: En la figura se tiene un cuarto de círculo de centro O. Se hace rotar la figura indefinidamente en torno al eje. Si = 3 cm, entonces el volumen del cuerpo geométrico que se genera es

A) 9 cm3


214

B) cm3

C) 36 cm3

D) 27 cm3

E) 18 cm3

EJEMPLO PSU-6: Se tiene un prisma cuya base es un hexágono regular

de lado . La altura del prisma es . ¿Cuál es el volumen del

prisma?

A) 9B) 18

EJEMPLO PSU-7: En una caja cilíndrica caben tres esferas, cada una de radio r, una encima de otra. El volumen no ocupado por las esferas es:


215

EJEMPLO PSU-8: El triángulo ABC de la figura tiene sus vértices ubicados en las coordenadas A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) y C = (0, 0, 1). Su área y su perímetro miden, respectivamente,

EJEMPLO PSU-9: Se desea forrar una caja cúbica de arista a. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la superficie a cubrir?

A) 12a2

B) 6a2

C) a2

D) 4a2

E) 8a2

EJEMPLO PSU-10: Si el trapecio de la figura y su simétrico respecto al eje x se giran en forma indefinida en torno al eje y, ¿cuál de las siguientes opciones representa mejor el cuerpo generado?


216

EJEMPLO PSU-11: Se tiene un cubo de madera al cual se le hizo una perforación cilíndrica en el centro, como se muestra en la figura. Si la arista del cubo mide 8 cm y el radio del cilindro mide 2 cm, el volumen del cubo perforado, en cm3, es

A) 512 - 32B) 512 - 16C) 512 - 128D) 256 - 32E) 480

EJEMPLO PSU-12: En la figura se muestra el cubo de arista a. El triángulo EBD es:

A) equilátero


217

B) isósceles no equiláteroC) isósceles rectánguloD) rectángulo en DE) rectángulo en B

EJEMPLO PSU-13: La pirámide de la figura, está compuesta de:

A) 7 caras, 12 aristas y 6 vérticesB) 6 caras, 12 aristas y 6 vérticesC) 7 caras, 7 aristas y 7 vérticesD) 6 caras, 7 aristas y 6 vérticesE) 7 caras, 12 aristas y 7 vértices

EJEMPLO PSU-14: En la figura, el prisma recto tiene una altura de m

y la base es un hexágono regular de lado m. Su volumen es:

EJEMPLO PSU-15. La cara lateral de un paralelepípedo de base cuadrada coincide completamente con la cara lateral de un prisma regular de base pentagonal, como muestra la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas. I) Las caras laterales de los prismas son paralelas II) El área de cada cara lateral es igual en ambos prismas III) a = 18º

A) Solo I


218

B) Solo IIC) Solo IIID) II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-16. La diagonal mayor de un rombo mide 2x y la menor mide 2y. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado al rotar el rombo sobre la diagonal mayor?

EJEMPLO PSU-17. Un cuadrado de lado “a” se hace girar, indefinidamente, en torno de uno de sus lados. El área de la superficie lateral del cuerpo generado es

XXI. DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA:

A. DIVISION INTERIOR:

DIVISIÓN INTERNAUn punto P perteneciente a un trazo AB lo divide en la razón m: n, si AP: PB = m: n

B. DIVISION EXTERIOR:

· Dividir exteriormente el segmento en la razón m: n, significa encontrar en el exterior del trazo AB (en su prolongación), un punto Q

tal que:

C. DIVISION ARMONICA:


219

Q BA

m

A QB

m n n

Dividir armónicamente el trazo AB en la razón m: n, significa dividirlo interiormente (punto P) y exteriormente (punto Q) en una misma razón dada, tal que:

D. DIVISIÓN ÁUREA O DIVINADividir un trazo en sección áurea o divina, consiste en dividirlo en dos segmentos, de modo que la razón entre el trazo entero y el segmento mayor sea igual a la razón entre el segmento mayor y el menor.

OBSERVACIÓN: La razón se denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el NÚMERO ÁUREO

EJEMPLO PSU-1: Un segmento está dividido interiormente en la razón 1: 3: 5 y la medida del segmento mayor es 75 cm. ¿Cuál es la longitud del segmento del medio?

A) 45 cm B) 15 cm C) 60 cm D) 25 cm E) No se puede determinar.

EJEMPLO PSU-2: En la figura el punto Q divide al segmento PR en la razón 2: 5. Si mide 20, entonces ¿cuánto mide ?

A) 28B) 28C) 50D) 70E) Ninguno de los valores anteriores.


220

A BP Q

m n

EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál(es) de los siguientes segmentos AB está(n) dividido(s) por el punto P en la razón 2:3?

A) Sólo IIIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-4: En la figura, C es punto medio del segmento AD y el segmento BC duplica al segmento AB. El segmento AB es al segmento BD como

A) 1: 2B) 1: 3C) 1: 4D) 1: 5E) 1: 6

EJEMPLO PSU-5. En la figura, . ¿Cuánto mide el segmento

A) 3B) 6C) 8D) 9E) 10

EJEMPLO PSU-6. Se ubicará una estación de gasolina P entre las ciudades M y N, que distan 60 km entre ellas, de modo que las distancias de las ciudades a la gasolinera estén en la proporción

= 2: 3. Si la estación de gasolina estará en línea recta con las


221

ciudades M y N, ¿a qué distancia de la ciudad M quedará ubicada la estación de gasolina?

A) A 12 KmB) A 24 KmC) A 30 KmD) A 36 KmE) A 48 Km

XXII. TRIGONOMETRIA:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

En cualquier triángulo ABC rectángulo en C, tenemos

Si prolongamos los lados , y unimos algunos puntos de dichas prolongaciones mediante segmentos paralelos a , obtenemos entonces otros triángulos rectángulos semejantes al triángulo ABC


222

ABC ADE AFG AHJLuego podemos afirmar que se cumplen las siguientes igualdades de razones:

En triángulos rectángulos semejantes y respecto de un mismo ángulo agudo, la razón entre un cateto y la hipotenusa o entre los dos catetos, es siempre un valor constanteRespecto al ángulo agudo de un triángulo ABC rectángulo en C se tiene que:

(A) A la razón constante K1 entre dos lados de este triángulo, se le denomina seno de , y se abrevia sen(B) A la razón constante K2 se le denomina coseno de , y se le abrevia cos(C) A la razón constante K3 se la denomina tangente de , y se la abrevia tg

Nota: El término tangente se abrevia como tg en castellano y tan en inglés. Las calculadoras científicas usan esta última abreviatura

En general, dado un triángulo ABC, rectángulo en C, se tiene:


ABC ADE AFG AHJCONSTANTE

CONSTANTE

CONSTANTE

223

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS


FUNCIÓN

DEFINICIÓN RAZÓN

ABREVIACIÓN

Seno de

sen

Coseno de

cos

Tangente de

tg

Cotangente de

cotg

Secante de

sec

Cosecante de

opuesto.cathipotenusa cosec

224

Ángulos de elevación y de Depresión. Son aquellos formados por la horizontal, considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira, según que el objeto observado esté por sobre o bajo esta última.

Con respecto a un observador, los ángulos de elevación y de depresión constituyen ángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto, sus medidas son iguales.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30º, 45º y 60º

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES


30º 45º 60º

1

1. 4.

2. 5.

3. 6.

225

EJEMPLO PSU-1: En el triángulo rectángulo de la figura, tg es igual a:

EJEMPLO PSU-2: En una hoja cuadriculada como se muestra en la figura, se ha dibujado un triángulo ABC donde cada cuadrado tiene lado 1, entonces sen=

EJEMPLO PSU-3: Dada la siguiente figura: Es verdadero que:

A) Sólo I


226

B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-4: Un ratón observa a un águila en la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 70°. Si la distancia del ratón al árbol es 12 m, determinar la distancia entre el águila y el ratón.

EJEMPLO PSU-5: La longitud de un cable que tiene sus extremos fijos en un poste y en la tierra, es de 20 metros. El cable forma un ángulo de 60° con la tierra. ¿A cuántos metros de la tierra está fijo el cable en el poste?

A) A 10 metrosB) A 10 metrosC) A 30 metrosD) A 40 metrosE) A 60 metros

EJEMPLO PSU-6: Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 30º como se muestra en la figura. ¿A qué distancia (d) se encuentra el avión desde el punto de despegue hasta que alcanza una altura de 1.500 metros?

A) 750 metrosB) 3.000 metrosC) 1.000 metros

D) 750 metros

E) 1.500 metros

EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el largo de la escalera de la figura?



227

EJEMPLO PSU-8: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s) ? I) tg = 2

II) sen + cos =

III) tg + tg = 1

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-9: En la figura, el triángulo MNP es rectángulo en P,

= 1 cm y su área es cm2, entonces tg=

EJEMPLO PSU-10: Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 12 cm, entonces el coseno del ángulo menor es:

EJEMPLO PSU-11: Si es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y

, entonces =


228

EJEMPLO PSU-12: Con los datos de la figura, la expresión sen – cos es igual a:

EJEMPLO PSU-13: En la figura, una persona ubicada en lo alto del edificio P de 12 m de altura, observa a otra persona, de igual tamaño, en lo alto del edificio Q de 18 m de altura con un ángulo de elevación de 40°. ¿Cuál es la distancia (d) entre los dos edificios?

EJEMPLO PSU-14: En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en A. Si la hipotenusa es 1, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el perímetro del triángulo? I) sen + sen + 1 II) cos + cos + 1 III) sen + cos + 1



229

EJEMPLO PSU-15: Con respecto al triángulo rectángulo ABC de la figura, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?

EJEMPLO PSU-16. ¿Cuál de las siguientes igualdades se cumple en el triángulo de la figura?

EJEMPLO PSU-17. ¿A qué distancia de la torre de control aterrizará el avión?

EJEMPLO PSU-18. El extremo superior de una escalera de 10 metros de longitud coincide con el borde superior de un muro vertical, cuando forma un ángulo de 60º con la horizontal. Si está escalera se apoyara en el extremo superior de una ventana del mismo muro, formaría un ángulo de 30º con la horizontal. ¿Cuál es la distancia entre el borde superior del muro y la parte superior de la ventana?

EJEMPLO PSU-19. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I) sen 45° = cos 45° II) sen 30° = cos 60° III) sen 45° = tg 45°A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III


230

XXIII. PROBABILIDAD:

∗ Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un número indefinido de veces.∗ Experimento Aleatorio: Es aquel cuyo resultado no se puede predecir, habiendo un conjunto de resultados posibles.∗ Espacio Muestral: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Si se representa el espacio muestral por E, cada elemento de él es llamado punto muestral.∗ Evento o Suceso: Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En otras palabras, es un subconjunto del espacio muestral.∗ Observación: En todos los experimentos que se realicen con monedas, dados, cartas, bolitas, etc..., se supondrá que no están cargados o trucados, a no ser que se indique otra cosa.

TIPOS DE EVENTOS∗ Evento o suceso cierto: Es el propio Espacio Muestral.∗ Evento o Suceso Imposible: Es aquel que no tiene elementos. Es decir, es el subconjunto vacío (∅) del espacio muestral.∗ Eventos Mutuamente: Son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia de los otros (no pueden ocurrir simultáneamente). En otras palabras, cuando dos o más eventos no tienen elementos comunes.


231

∗ Eventos Complementarios: Cuando los eventos no tienen puntos o elementos comunes y la unión de ellos es el espacio muestral.

∗ PROBABILIDAD CLÁSICALa probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos favorables al evento A por el número total de casos posibles.La probabilidad de A se denotará por P(A).

∗ Observación: 1) La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que no ocurra. P(A) = 1 – P(A’); A’ = A no ocurre2) 0 ≤ P(A) ≤ 1 o bien 0% ≤ P(A) ≤ 100%

∗ PROBABILIDADES DE EVENTOS∗ Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:

∗ Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B está dada por:

∗ Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.

∗ Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la suposición de que el suceso B ha ocurrido.

∗ Probabilidad y triángulo de Pascal

Caras y sellos

El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y sellos te pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación.

Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y un sello (CCS, CSC, SCC), también tres de sacar


232

una cara y dos sellos (CSS, SCS, CSS) y sólo una de sacar tres sellos (SSS). Esta es la pauta "1, 3, 3, 1" en el triángulo de Pascal.

Tiradas

Resultados posibles (agrupados) Triángulo de Pascal

1CS

1, 1

2CC

CS SCSS

1, 2, 1

3

CCCCCS, CSC, SCCCSS, SCS, SSC

SSS

1, 3, 3, 1

4

CCCCCCCS, CCSC, CSCC, SCCC

CCSS, CSCS, CSSC, SCCS, SCSC, SSCCCSSS, SCSS, SSCS, SSSC

SSSS

1, 4, 6, 4, 1

... etc ...

¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?

Hay 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (o 4 × 4 =16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es , o 37.5%

Triángulo de Pascal

DIAGRAMA DEL ARBOL:

· Representa de manera grafica todos los resultados posibles.

Ej: calcular la probabilidad de obtener dos veces cara y una vez sello al lanzar tres veces seguidas una moneda.


233

Resultados favorables: 8 (CCC – CCS – CSC – CSS – SCC – SCS – SSC – SSS)

Casos favorables: 3 (CCS – CSC – SCC)

Probabilidad =

La ley de los grandes números, también llamada ley del azar, afirma que al

repetir un experimento aleatorio un número de veces, la frecuencia relativa de

cada suceso elemental tiende a aproximarse a un número fijo, llamado

probabilidad de un suceso.

Observa la siguiente tabla, en la que se han anotado las frecuencias del suceso

"salir cara al lanzar una moneda".

Al aumentar los lanzamientos, las frecuencias relativas se aproximan a un valor 0,5. Ésa es

la probabilidad del suceso salir cara al lanzar una moneda.

La probabilidad de un suceso es el número al que se aproxima su

frecuencia relativa cuando el experimento se repite un gran número

de veces.


Lanzamientos

100 150 200 300 400 500

fi 56 68 108 132 208 255hi 0,56 0,45 0,54 0,44 0,52 0,51

234

C

S

C

C

S

S

C

C

S

S

C

C

S

S

C C S

C S C

C S S

S C C

S C S

S S C

S S S

C C S

EJEMPLO PSU-1: La probabilidad de extraer una bola roja de una caja

es . ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola que no sea roja?

EJEMPLO PSU-2: Se lanzan dos dados de distinto color. ¿Cuál es la probabilidad de que sumen 3 ó 4?


235

EJEMPLO PSU-3: Una rueda está dividida en 8 sectores iguales, numeradas del 1 al 8. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar y mayor que 3?

EJEMPLO PSU-4: Se tienen 10 fichas con los números 44, 44, 45, 46, 46, 46, 47, 48, 48, 49. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha con un número mayor que 46?

A) 0,4B) 0,41C) 0,42D) 0,5E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-5: En una caja hay 50 fichas de igual peso y tamaño. 12 son rojas, 20 son cafés y 18 son amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una roja, una café, una amarilla y nuevamente una roja, en ese orden y sin reposición?

EJEMPLO PSU-6: La tabla adjunta muestra el nivel educacional que tienen los postulantes a un cargo administrativo NIVEL EDUCACIONAL

Sexo Universitaria

Media

Básica

Masculino

250 100 40

Femenino

225 110 25

Si de este grupo se elige una persona al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La probabilidad que sea varón es de II) La probabilidad que sea mujer es de III) La probabilidad que tenga estudios universitarios es de A) Solo IB) Solo IIC) Solo III


236

D) Solo I y IIIE) Solo II y III

EJEMPLO PSU-7: Se depositan en una caja tarjetas del mismo tipo con las letras de la palabra HERMANITOS, luego se saca de la caja una tarjeta al azar, la probabilidad de que en ésta esté escrita una vocal es:

EJEMPLO PSU-8: En la figura, se tiene una ruleta en que la flecha puede indicar cualquiera de los 4 sectores y ella nunca cae en los límites de dichos sectores. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s) ?

I) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 1 es de

II) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 es de

III) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 ó en el 3 es de

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-9: En una urna hay 4 fichas de colores diferentes: roja, azul, verde y amarilla. Una persona saca una a una las 4 fichas, ¿cuál es la probabilidad de sacar la ficha verde antes de la roja?

EJEMPLO PSU-10: En la caja de la figura hay fichas negras(N) y blancas (B) de igual tamaño y peso. ¿Cuántas fichas hay que agregar para que la

probabilidad de extraer una ficha negra sea ?

A) 1N y 0B


237

B) 1N y 3BC) 1N y 4BD) 1N y 1BE) 0N y 1BEJEMPLO PSU-11: Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par menor que 5?

EJEMPLO PSU-12: Si se elige al azar un número natural del 1 al 30, ¿cuál es la probabilidad de que ese número sea múltiplo de 4?

EJEMPLO PSU-13: Alberto, Bastián y Carlos juegan a lanzar un dado 2 veces y gana el que obtiene una suma par. En el primer lanzamiento Alberto obtiene un 2, Bastián un 3 y Carlos un 6. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es verdadera?

A) Todos tienen probabilidad de ganar.

B) Todos tienen probabilidad de ganar.

C) El que tiene más probabilidad de ganar es Carlos.D) Carlos tiene más probabilidad de ganar que Alberto.E) Bastián tiene menos probabilidad de ganar que Alberto y Carlos.

EJEMPLO PSU-14: ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 monedas, simultáneamente, 2 sean caras y 1 sea sello?

EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres números unos al lanzar tres dados?



238

EJEMPLO PSU-16: En una tómbola hay 11 pelotitas de igual tamaño y peso numeradas del 1 al 11. Las primeras 5 son rojas y las otras pelotitas restantes son negras. La probabilidad de que al sacar una pelotita al azar, ésta sea roja y par es:

EJEMPLO PSU- 17: En un pueblo hay 1.200 habitantes. Si la

probabilidad de que un habitante sea una mujer es , ¿cuántas

mujeres hay en el pueblo?

A) 200B) 300C) 400D) 600E) 800

EJEMPLO PSU-18: Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,45, ¿cuál es la probabilidad de que el suceso no ocurra?

A) 0,45B) 0,55C) 0,65D) -0,45E) -0,55


239

EJEMPLO PSU-19: Al lanzar un dado común de 6 caras, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número impar o un número menor que 4?

EJEMPLO PSU-20: ¿En cuál de los siguientes eventos la probabilidad de ocurrencia es igual a 1?

A) Nacer en un año bisiestoB) Que al tirar una moneda salga caraC) Que al sacar 10 cartas de un naipe, ninguna sea trébolD) Que un mes tenga 30 díasE) Que al tirar un dado, el número obtenido sea igual o inferior a 6

EJEMPLO PSU-21: Un dado se lanza 100 veces y se obtienen los siguientes resultados

Cara 1 2 3 4 5 6Frecuencia

13 15 17 16 20 19

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?I) La probabilidad de obtener par es de un 50%II) La probabilidad de obtener las caras 1 ó 3 es de 30%III) La probabilidad de obtener la cara 5 es de 20%

A) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-22: Al lanzar un dado común, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) ?

I) Que salga un 2 es más probable que salga un 6.

II) La probabilidad de obtener un número impar es .

III) La probabilidad de obtener un número múltiplo de 3 es

.


240

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-23: En la lista de un curso de 40 alumnos hay 17 niñas. Si se escoge un número al azar del 1 al 40, ¿cuál es la probabilidad de que ese número corresponda al de una niña en la lista del curso?

EJEMPLO PSU-24: Una caja tiene 12 esferas de igual tamaño y peso. Cada una de ellas contiene una letra de la palabra DEPARTAMENTO. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) La probabilidad de sacar una M es .

II) La probabilidad de no sacar una vocal es .

III) La probabilidad de sacar una A es igual a la probabilidad de sacar una T

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-25: En un liceo hay 180 estudiantes repartidos por nivel de la siguiente forma:

PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTONIÑOS 15 20 18 12NIÑAS 30 25 27 33

Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?


241

I) La probabilidad de que sea un niño es .

II) La probabilidad de que sea un estudiante de tercero es

.

III) La probabilidad de que sea una niña y de segundo es .A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-26: Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 2 o mayor que 4?

EJEMPLO PSU-27: Un competidor debe partir desde M, como se muestra en la figura, y recorrer distintos caminos para llegar a P, Q, R, S o T, sin retroceder. ¿A cuál(es) de los puntos tiene mayor probabilidad de llegar el competidor?

A) PB) QC) RD) SE) T

EJEMPLO PSU-28: En una caja hay 8 bolitas negras y 4 blancas, todas del mismo tipo. ¿Cuál es la menor cantidad de bolitas de cada color que se pueden eliminar de la caja, para que al sacar una bolita al azar la probabilidad de que ésta sea negra, sea ?

A) 1 blanca y 0 negraB) 0 blanca y 1 negra


242

C) 0 blanca y 5 negrasD) 3 blancas y 5 negrasE) 2 blancas y 2 negras

EJEMPLO PSU-29: Se tienen nueve fichas del mismo tipo, numeradas del 1 al 9. Si se eligen al azar dos fichas, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ellas sea diferente de 10?

EJEMPLO PSU-30: Si se ha lanzado 3 veces un dado común y en las tres ocasiones ha salido un 4, ¿cuál es la probabilidad de que en el próximo lanzamiento salga un 4?

EJEMPLO PSU-31: Una bolsa contiene un gran número de fichas de colores, de las cuales algunas son rojas. Si la probabilidad de sacar una ficha roja es , ¿cuál es la probabilidad de sacar una ficha de cualquier otro color?

E) No se puede determinar

EJEMPLO PSU-32: Un club de golf tiene 1.000 socios, entre hombres y mujeres, que participan en las categorías A (adultos) y B (juveniles). Se sabe que 220 hombres juegan en B, 180 hombres en A y 250 mujeres en B. Si se elige un socio del club, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y juegue en la categoría A?


243

EJEMPLO PSU-33: Si Se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es la suma de puntos que tiene mayor probabilidad de salir en los dos dados?

A) 12B) 10C) 9D) 7E) 6

EJEMPLO PSU-34: Se tienen tres cajas, A, B y C. La caja A contiene 4 fichas blancas y 6 rojas, la caja B contiene 5 fichas blancas y 7 rojas y la caja C contiene 9 fichas blancas y 6 rojas. Si se saca al azar una ficha de cada caja, la probabilidad de que las tres fichas sean rojas es:

EJEMPLO PSU-35: Se lanzan 5 monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara?

EJEMPLO PSU-36: En la figura, la ruleta se ha dividido en ocho partes congruentes entre sí, donde la flecha no puede caer en los límites. La probabilidad de que la flecha caiga en alguna de las regiones de números impares y, al mismo tiempo, se obtenga un número mayor que 3 es de:

EJEMPLO PSU-37: Al lanzar dos dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea 3 o 4?


244

EJEMPLO PSU-38. En un automóvil viajan 5 personas, dos adelante y tres atrás. Si solo uno de ellos sabe manejar. ¿De cuántas formas se pueden ordenar?

A) 5B) 6C) 10D) 24E) 120

EJEMPLO PSU-39. En un mazo de naipes de 52 cartas hay 4 reyes. Si se extraen dos cartas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos reyes?

EJEMPLO PSU-40. En una urna hay bolitas blancas y grises numeradas del 1 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita gris con un número par?

EJEMPLO PSU-41. Al lanzar un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 5 en la primera y un 2 en la segunda?

EJEMPLO PSU-42. En un juego de azar hay 30 resultados posibles y equiprobables. José tiene 10 resultados probables, Paula tiene 8 y


245

Mauricio tiene el resto. De las afirmaciones siguientes. ¿Cuál(es) es(son) verdadera(s)? I) Mauricio tiene la mayor probabilidad de ganar II) La probabilidad de que Paula No gane es III) José tiene de probabilidad de ganarA) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-43. ¿En cuál de los siguientes colegios existe mayor probabilidad de que al elegir un alumno al azar este sea extranjero?

A) FB) JC) HD) IE) G

EJEMPLO PSU-44. ¿En cuál(es) de las siguientes afirmaciones, la probabilidad de ocurrencia el suceso mencionado, es siempre igual a la probabilidad de no ocurrencia del mismo suceso? I) Que salga sello en el lanzamiento de una moneda II) Que salga un número impar, al lanzar un dado común III) Que salga una ficha verde al extraerla al azar, desde una urna que contiene solo fichas rojas y verdes, todas del mismo tipo

A) Solo en IB) Solo en IIIC) Solo en I y en IID) Solo en I y en IIIE) En I, en II y en III

EJEMPLO PSU-45. Del triángulo de Pascal de la figura se puede inferir el número total de los posibles resultados que se obtienen al lanzar una moneda hasta seis veces, en forma aleatoria. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) I) De la fila 1 2 1 se deduce que, si la moneda se lanza dos veces, teóricamente solo en dos de los posibles resultados se obtiene una cara


Colegio

Total de alumnos

Extranjeros

F 380 20G 580 29H 600 30I 450 25J 400 20

246

y un sello II) De la fila 1 3 3 1 se deduce que, si la moneda se lanza tres veces, teóricamente solo se pueden obtener ocho posibles resultados distintos III) De la fila 1 6 15 20 15 6 1 se deduce que, si la moneda se lanza seis veces, teóricamente, en quince de los resultados posibles se obtiene cuatro caras y dos sellos


EJEMPLO PSU-46. Al lanzar cuatro dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de que en todos los dados salga un 4?

EJEMPLO PSU-47. Se tiene un dado común y dos monedas, una de $ 100 y otra de $ 500. Si se lanza la moneda de $ 100, luego el dado, ¿cuál es la probabilidad de que salgan dos caras y un número menor que 3?

EJEMPLO PSU-48. Una urna contiene cinco fichas y tres negras, todas del mismo tipo. Se extrae al azar una ficha, se anota su valor y se devuelve a la urna. Este experimento se repite diez veces. Si la variable aleatoria x asigna la cantidad de fichas rojas obtenidas, entonces los valores que puede tener x son

A) 1, 2, 3, 4, y 5B) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10C) 0, 1, 2, 3, 4 y 5D) Solo el 5E) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10


247

XXIV. ESTADÍSTICA

Estadística: Es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que se emplean en la recolección, ordenamiento, resumen, análisis, interpretación y comunicación de conjuntos de datosPoblación: Es un conjunto, cuyos elementos poseen alguna característica común que se quiere estudiar, ya sea de individuos, de animales, de objetos, de métodos, de medidas, de producciones, de acontecimientos o de sucesos. Las poblaciones pueden ser finitas o infinitasMuestra: es un subconjunto de la población, que debe ser representativa y aleatoria.Variable Cualitativa: Se refieren a un atributo (no son numéricas), por ejemplo: sexo, nacionalidad, profesión, etcVariable cuantitativa: Tienen un valor expresado por un número real, por ejemplo: peso, temperatura, salario, etc

Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos:Discretas: Toman solo valores enteros, por ejemplo: número de hijos, número de departamentos en un edificio, etcContinuas: Susceptibles de tomar cualquier valor, por ejemplo: el peso, la estatura, etcTABULACIÓN DE DATOSFrecuencia (f): Número de veces que se repite un dato (también se le denomina frecuencia absoluta)Frecuencia relativa (fr): Es el cuociente entre la frecuencia absoluta de uno de los valores de la variable y el total de datosFrecuencia acumulada (fac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente las frecuencias absolutas hasta la que ocupa la última posiciónFrecuencia relativa acumulada (frac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente la frecuencia relativa hasta la que ocupa la última posición

Amplitud del intervalo: Es la diferencia entre los límites superior e inferiorMarca de Clase: Es el valor central (promedio aritmético) entre los límites superior e inferior de cada intervalo

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Media aritmética : Es el cuociente entre la suma de todos los datos

y el número de datos.

Media aritmética para datos organizados en una tabla de frecuenciasSi los datos son: x1, x2, x3,……..,xn y las frecuencias respectivas son f1, f2, f3,…..,fn

entonces la media aritmética es:

Moda (Mo): Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que más se repite. Si no hay un dato que tenga mayor frecuencia que otro se dice que la distribución de frecuencia es amodal

Mediana (Me): Es el dato que ocupa la posición central de la muestra cuando estos se encuentran ordenados en forma creciente o decreciente. Si la muestra


248

tiene un número par de datos, la mediana es la media aritmética de los dos términos centrales

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS

A) PICTOGRAMAS: Se aplican a las variables de tipo cualitativo y aquellas de tipo cuantitativo que plantean comparaciones. Utilizan para su grafismo representaciones de las variables, de tamaño proporcional a la frecuencia con que aparece cada uno

B) GRÁFICO DE SECTORES: La representación gráfica se hace por medio de un círculo, dividido en sectores de áreas proporcionales a las frecuencias de la

variable

C) DIAGRAMAS DE BARRAS: Se utiliza para variables discretas. Los valores de la variable aparecen, junto con su frecuencia, representados en forma de barras o segmentos, de longitud proporcional a la dicha frecuencia


Asignatura Estudiantes que la prefieren

Matemática

4

Lenguaje 3Arte 2Historia 1Total 10

249

D) HISTOGRAMAS: mediante un histograma se representa gráficamente las distribuciones de frecuencias de variables estadísticas continuas. Se construyen rectángulos que tienen como bases cada intervalo de la variable y como alturas las respectivas frecuencias de dichos intervalos

f 16 14

12

8

6

3

29,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 Salarios en miles de $

E) POLÍGONOS DE FRECUENCIAS: Cada par; Variable/Frecuencia (xi,fi) da origen a un punto del diagrama cartesiano. Al unir dichos puntos por medio de una línea poligonal, se obtiene un polígono de frecuencias


250

EJEMPLO PSU-1: Si se suman las edades de 8 personas y ese resultado se divide por 8, ¿qué se obtiene?

A) MedianaB) Media AritméticaC) ModaD) Media geométricaE) Desviación estándar

EJEMPLO PSU-2: El promedio del peso de 5 hombres es de 76 kg. ¿Cuánto pesa el quinto si la suma de los 4 primeros es 302?

A) 78B) 68C) 62D) 58E) 72

EJEMPLO PSU-3: La tabla adjunta muestra las edades de 220 alumnos de un colegio.¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) La moda es 17 años. II) La mediana es mayor que la media (promedio). III) La mitad de los alumnos del colegio tiene 17 o 18 años.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-4: Las fichas del peso de 10 niños, marcan en promedio 20 kg. En la oficina de control se pierde una ficha y se sabe que el promedio del resto es 19 kg, ¿cuál es el peso del niño al que le perdieron la ficha?

A) 39 kgB) 29 kgC) 21 kgD) 20 kgE) 19 kg


Edad(en años)

15 16 17 18 19

Alumnos 50 40 60 50 20

251

EJEMPLO PSU-5: El gráfico circular de la figura muestra las preferencias de 30 alumnos en actividades deportivas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s) ? I) La frecuencia relativa del grupo de fútbol es de 40%. II) La frecuencia relativa del grupo de básquetbol es de 30%. III) La mitad del grupo no prefirió fútbol ni tenis.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y II D) Sólo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: El gráfico de la figura apareció en un periódico de una ciudad. En él se indica la preferencia por el noticiero central de cinco canales de televisión, según una muestra aleatoria, en un año determinado. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) De acuerdo a la muestra el noticiero central con menor probabilidad de ser visto es TV 5. II) El gráfico muestra exactamente la realidad de las preferencias de los noticieros centrales de esta ciudad. III) Aproximadamente, un cuarto de la muestra no ve los noticieros centrales de estos cinco canales.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-7: Si se tabularan las frecuencias de las estaturas y color de ojos de los alumnos de un curso, ¿cuál de las opciones siguientes es siempre verdadera?


252

A) Con la moda de las estaturas se determina la estatura promedio del curso. B) Con la mediana del color de ojos se determina el color de ojos que predomina. C) Con el promedio de las estaturas se determina la estatura más frecuente. D) Con la mediana de las estaturas se determina la estatura más frecuente. E) Con la moda del color de ojos se determina el color de ojos que predomina.

EJEMPLO PSU-8: Se pregunta a los alumnos de 4º Medio acerca de lo que más les gusta hacer en vacaciones y sus respuestas están en el gráfico de la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es chatear. II) A la mitad de los alumnos lo que más les gusta es ver TV o jugar. III) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es leer o jugar.

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-9: La tabla adjunta muestra la distribución de los puntajes obtenidos por los alumnos de un curso en una prueba de matemática. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El total de alumnos que rindió la prueba es 40. II) La mediana se encuentra en el intervalo 20 - 29. III) El intervalo modal (o clase modal) es el intervalo 30 - 39.


253

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-10: El gráfico de la figura muestra la distribución de las notas de matemática de un grupo de 46 estudiantes. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde a los valores de la mediana y la moda, respectivamente?

A) 4 y 5B) 5 y 5C) 4,1 y 4D) 4,1 y 5E) 4 y 4,5

EJEMPLO PSU-11: Tres cursos rindieron una misma prueba obteniéndose los resultados que se indican en la tabla adjunta. ¿Cuál es el promedio total de la prueba?

A) 4,25B) 5,00C) 5,16D) 5,25E) 5,50

EJEMPLO PSU-12: Los resultados obtenidos por un curso en una prueba de Física fueron: 4; 5; 6; 6; 5; 3; 4; 7; 6; 5; 4; 5; 5; 6 y 4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La mediana es 7 II) La moda es 5 III) La media aritmética (o promedio) es 5

A) Sólo IIB) Sólo III


Intervalos de puntaje

Frecuencia

10 – 19 620 – 29 830 – 39 1240 – 49 550 – 59 9

254

C) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-13: La tabla adjunta muestra las frecuencias (f) de las notas en la prueba de matemática, obtenidas por los alumnos de 4º Medio de un liceo, ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I) El 75% del curso obtuvo una nota igual o inferior a 5,5 II) La moda corresponde a la nota 5,0 III) El 15% del curso obtuvo la nota 4,5 IV) El 50% del curso obtuvo nota superior a 5.0

A) Sólo II y IIIB) Sólo III y IVC) Sólo I, II y IIID) Sólo I, II y IVE) Sólo II, III y IV

EJEMPLO PSU-14: El cuadro siguiente muestra el número de artículos vendidos en distintos días de la semana y uno de sus valores acumulados ¿Cuántos artículos se han vendido en total hasta el término del día miércoles?


EJEMPLO PSU-15: Una misma prueba se aplica a dos cursos paralelos. En uno de ellos, con 20 estudiantes, la nota promedio fue 6 y, en el otro, con 30 estudiantes, la nota promedio fue 5. Entonces, la nota promedio correspondiente al total de alumnos de ambos cursos es:

A) 5,7B) 5,6C) 5,5D) 5,4E) 5,3


Nota f3,0 33,5 54,0 44,5 65,0 75,5 56,0 46,5 47,0 2

Totalalumnos

40

Días Nº de artículos

Total acumulado

LunesMartes 12 16Miércoles

8

Jueves 6

255

EJEMPLO PSU-16: El gráfico de la figura representa la distribución de las notas obtenidas por 15 niños en una prueba. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

I) 9 niños obtuvieron notas mayores o iguales a 5. II) La moda es la nota 5. III) La quinta parte del curso obtuvo nota inferior a 4.


EJEMPLO PSU-17: Se compran 5 pantalones a $5.000, $8.000, $10.000, $10.000 y $15.000. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La moda es $10.000. II. La mediana es $10.000 III. El promedio es $9.600.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-18: En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguiente distribución de edades. La moda y la mediana de las edades de ese grupo son: moda mediana A) 16 17 B) 17 15 C) 15 17 D) 5 1 E) 17 16

EJEMPLO PSU-19: El promedio (media aritmética) de los números 3; 2; 5; 5 y 6 es


Edad Frecuencia

13 514 1115 116 517 13

256

A) 4B) 4,2 C) 5 D) 5,25 E) ninguno de los anteriores.

EJEMPLO PSU-20: La tabla adjunta muestra la distribución de sueldos de 45 personas de una empresa. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

TRAMO NÚMERO DE PERSONAS

SUELDO EN PESOS DESDE – HASTA

A 3 5.000.000 – 7.000.000B 2 2.000.000 – 3.000.000C 5 800.000 - 1.200.000D 15 500.000 - 700.000E 13 300.000 - 400.000F 7 150.000 - 250.000

I) Hay exactamente 20 personas que ganan a lo menos $ 400.000 de sueldo.

II) La mediana de la distribución se encuentra en el tramo D. III) El total que se paga a las personas del tramo A es, a lo

más, $ 21.000.000. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

EJEMPLO PSU-21: Un estudiante obtiene las siguientes calificaciones: 4,8; 4,2; 4,3; 4,7; 5,0 y 4,0. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Su media aritmética (o promedio) es 4,5. II) Si elimina el 4,8 y el 4,2 su promedio no cambia. III) Si elimina dos notas cualesquiera, su promedio no cambia.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-22: A dos cursos distintos se les aplicó la misma prueba en iguales condiciones, obteniéndose las desviaciones estándares que


257

se muestran en la tabla adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El curso Q es el más homogéneo. II) El curso R es el más homogéneo. III) El curso Q presenta mayor dispersión en las notas.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) Ninguna de ellas

EJEMPLO PSU-23: El gráfico de la figura, representa la distribución de los puntajes obtenidos por un curso en una prueba. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El 40% de los alumnos obtuvo 30 puntos II) 30 alumnos obtuvieron más de 20 puntos

III) de los alumnos obtuvo 10 puntos

A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-24: La tabla adjunta muestra la frecuencia de las notas de una asignatura de un curso de 38 alumnos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La mediana de las notas es 4 II) La moda de las notas es 5 III) Más de un tercio del curso obtuvo nota menor que 4


EJEMPLO PSU-25: Se ha lanzado un dado 100 veces y se obtuvo la siguiente tabla:

Cara 1 2 3 4 5 6


CURSO PROMEDIO DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Q 4,6 1R 5,2 0,8

Notas 1 2 3 4 5 6 7Frecuencia

0 5 8 4 9 8 4

258

Frecuencia

13 15 17 16 20 19

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El 50% de las veces se obtuvo un número par II) El 30% de las veces resultó 1 o 3 III) El 20% de las veces salió el número 5


EJEMPLO PSU-26: Si las edades de ocho personas se suman y se dividen por ocho, ¿qué indicador estadístico se obtiene?

A) La modaB) La media aritmética (o promedio)C) La medianaD) El rangoE) La desviación estándar

EJEMPLO PSU-27: En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguiente distribución de edades:

Edad Frecuencia

¿Cuál de las siguientes fórmulas permite calcular la edad promedio de los alumnos de esta muestra?


259

EJEMPLO PSU-28. El grafico siguiente muestra los precios de cierto producto durante el primer semestre de este año. ¿Cuál(es) de las afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El precio más alto fue en Abril II) El precio más bajo se registró en Junio III) La mayor diferencia ocurrió en Mayo

A) Solo IB) Solo II C) Solo IIID) I y IIE) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-29. ¿En qué empresa los sueldos de los empleados son más homogéneos?

EJEMPLO PSU-30. Se realizó un estudio en una empresa acerca de los años de estudio de sus obreros, obteniéndose los siguientes resultados. ¿Cuál o cuáles de las siguientes aseveraciones es (son) verdaderas? I) Se encuestaron 24 obreros II) 17 obreros tienen 10 o más años de estudio III) 6 obreros tienen 8 ó 12 años de estudio


260


EJEMPLO PSU-31. La información sobre las notas obtenidas por 15 alumnos de un curso está dada en la tabla adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)

I) Dos tercios de los alumnos obtuvieron notas 4 ó 5II) 12 alumnos obtuvieron notas inferiores a 6III) 9 alumnos obtuvieron notas iguales o superiores a 5


EJEMPLO PSU-32. En la tabla adjunta, se muestran las respuestas a una pregunta de una encuesta aplicada a un curso de 45 estudiantes, en relación a la expresión “En la asignatura de matemática nos dan más tareas que en las otras asignaturas”. El porcentaje de estudiantes que está de acuerdo o totalmente de acuerdo con dicha expresión es, aproximadamente, el

A) 42,2%B) 26%C) 26,7%


Notas

Frecuencia

1 02 13 14 45 66 37 0

Respuestas fTotalmente de acuerdo 7De acuerdo 12Indiferente 5En desacuerdo 16Totalmente en desacuerdo

5261

D) 57,8%E) 19%

EJEMPLO PSU-33. El gráfico circular de la figura muestra el resultado de una investigación sobre el color del cabello de 1.200 personas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) 360 personas tienen el cabello rubio II) Más del 50% de las personas tienen el cabello rubio o negro III) Hay tantas personas con el cabello rubio como personas con el cabello castaño


EJEMPLO PSU-34. ¿Cuál es el promedio (o media aritmética) entre los números 0,025; 0,035; 0,045 y 0,055?


262

XXV. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

VECTORESUn vector posee las siguientes características:∗ Origen o también denominado punto de aplicación: corresponde al punto exacto sobre el cual actúa el vector∗ Dirección: está dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene∗ Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector

∗ Dos vectores son iguales al ser paralelos y tener la misma intensidad o módulo

∗ Dos vectores son opuestos al tener igual intensidad y dirección, pero de sentido opuesto

∗ Las coordenadas de un vector se denominan componentes, además todo vector está definido por dos puntos, y a su vez, cada punto tiene dos componentes, una x y otra y, que corresponden a las componentes cartesianas del vector∗ Todo vector además posee módulo que corresponde a la longitud o tamaño del vector, dado por la expresión

∗ El vector o segmento orientado con origen en A y extremo en B, se representa por el símbolo

Nota:

Adición de vectores.Propiedades∗ Conmutativa ∗ Asociativa ∗ Existencia elemento neutro


263

∗ Existencia de elemento inverso

Nota: El vector nulo (cero) no puede representarse por una flecha: tiene módulo nulo y carece de dirección y sentido

Adición de vectoresSe copia uno de los vectores, del extremo del primer vector se copia el segundo vector y luego al unir los dos extremos se obtiene el vector resultante

La sustracción vectorial está definida por , es decir, “el vector “

”más el opuesto del vector ”

Al número real que pondera a un vector también se le llama escalar.La ponderación cumple las siguientes propiedades.a) b) c)

Nota. La ponderación permite expresar vectorialmente la colinealidad de puntos. Si A, B y C son tres puntos colineales, entonces existe algún número real k tal que:

Definición: Se llaman transformaciones isométricas de una figura a las transformaciones que no alteran la forma ni el tamaño de la figura sobre la que se aplica; sólo pueden cambiarla de posición (la orientación o el sentido de ésta)

Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las reflexiones (o simetrías)

Una traslación es el movimiento que se hace al deslizar o mover una figura, en línea recta, manteniendo su forma y su tamaño. En una traslación se distinguen tres elementos:

Dirección: que puede ser horizontal, vertical u oblicua

Sentido: derecha, izquierda, arriba, abajo


264

Magnitud del desplazamiento: es la distancia que existe entre la posición inicial y la posición final de cualquier punto de la figura que se desplaza. Al trasladar una figura en un sistema de ejes coordenados es necesario señalar el vector de traslación. Éste es un par ordenado de números (x,y) donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical

EJEMPLO PSU-1: Al punto (2, 3) del plano se le aplica una traslación, obteniéndose el punto (5, 2). Si al punto (-2,-1) se le aplica la misma traslación se obtiene el punto

A) (1, -2)B) (-5, 0) C) (3, -1)D) (-5, 2) E) (1, 0)

Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura. En una rotación se identifican tres elementos:

El punto de rotación (o centro de rotación) que es el punto en torno al cual se va a efectuar la rotación: éste puede formar parte de la figura o puede ser un punto exterior a ella.

Magnitud de rotación, que corresponde a la medida del ángulo determinado por un punto cualquiera de la figura original, el centro de rotación, o vértice del ángulo, y el punto correspondiente en la figura obtenida después de la rotación

El sentido de giro, que puede ser obtenido (en el sentido contrario al avance de los punteros del reloj)

Nota: En una rotación se cumple siempre que la distancia entre un punto cualquiera de la figura girada y el centro de rotación es la misma que la distancia entre el punto correspondiente de la figura original y el centro de rotación.

Rotación de 90º (x, y) ------- (-y, x)

Rotación de 180º (x, y) ------- (-x,-y)

EJEMPLO PSU-2: En la figura, al vértice C del cuadrado ABCD se le aplica una rotación en180° en el sentido horario, con centro en A. ¿Cuáles son las coordenadas de C en su nueva posición?

A) En (2, 2)B) En (2, 0)C) En (4, 2)D) En (0, 0)E) En (0, 2)


265

Una reflexión de un figura geométrica respecto de un eje llamado eje de simetría es el movimiento que transforma la figura de manera que cada punto

P y su imagen P’ equidisten del eje de simetría y el segmento sea

perpendicular al eje de simetría

Nota:

(1) Una reflexión respecto de un eje es conocida como simetría axial(2) Una reflexión respecto de un punto es conocida como simetría central

EJEMPLO PSU-3: En la figura, la imagen reflexiva del punto P, con respecto al eje de simetría L, es el punto

A) QB) RC) SD) TE) U

Ejes de simetría: Si al aplicar una reflexión a una figura geométrica en torno a un eje ésta se mantiene “invariante”, es decir, no cambia, diremos que ése es un eje de simetría de la figura.

El cuadrado de la figura permanecerá igual si se refleja en torno a sus diagonales. Ambas diagonales son ejes de simetría del cuadrado.

También permanecerá igual (o se superpondrá sobre sí mismo) si se refleja en torno a los ejes determinados por los puntos medios de lados opuestos


266

Estos ejes también son ejes de simetría del cuadrado.

El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría

En el caso de los triángulos, tenemos:

Tipo Ejes

Triángulo equilátero

Tres ejes de simetría

Triángulo Isósceles Un eje de simetría

Triángulo Escaleno Ningún eje de simetría

En el caso de los cuadriláteros, tenemos:

Tipo Ejes

Cuadrado Cuatro ejes de simetría

Rectángulo Dos ejes de simetría

Rombo Dos ejes de simetría

Trapecio isósceles Un eje de simetría

Trapezoide Ningún eje de simetría

Nota: El círculo tiene infinitos ejes de simetría. Cada recta que pasa por el centro es un eje de simetría del círculo.

Nota: En el caso de los polígonos regulares, estos tienen tantos ejes de simetría como números de lados

EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de los siguientes cuadriláteros tiene(n) siempre ejes de simetría?

I) Cuadrado II) Rombo

III) Trapecio

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

Teselar una superficie consiste en cubrirla completamente con “baldosas”, de modo que éstas encajen perfectamente sin dejar espacios por cubrir

Con rectángulos, cuadrados y rombos es muy sencillo cubrir una superficie o teselar. También es posible teselar con cualquier tipo de triángulos


267

Con polígonos regulares. La condición que debe cumplirse para recubrir una superficie es que los ángulos que convergen en cada vértice sumen 360°.

Nota: Los únicos polígonos regulares que permiten teselar son los triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos regulares. Todo cuadrilátero tesela el plano

EJEMPLO PSU-5: El piso de un baño se puede teselar con 360 cerámicas cuadradas de 10 cm de lado cada una. Si se pudiera teselar con cerámicas cuadradas de 30 cm de lado, entonces el número de cerámicas que se ocuparían es

A) 120 B) 60 C) 40 D) 18 E) 12

EJEMPLO PSU-6: Sea A un punto del primer cuadrante que no está en los ejes, J es el reflejo de A respecto al eje x. Si H es el reflejo de J respecto al eje y, entonces es un segmento

A) paralelo al eje x.B) paralelo al eje y.C) de la bisectriz del segundo cuadrante.D) de la bisectriz del primer cuadrante.E) perpendicular al eje x.

EJEMPLO PSU-7: En la figura, Q es el punto medio de y S es el punto medio de . ¿Cuál es el punto de la figura que es su propia imagen por la reflexión del eje MQ, como también por la reflexión del eje ?

A) S B) QC) P


268

D) NE) M

EJEMPLO PSU-8: En la figura, se tiene un círculo de centro (−3, 2) y radio 1, entonces la traslación de toda la figura al nuevo centro (2, 1) sitúa al punto P en las coordenadas

A) (1, 2)B) (2, 1)C) (1, 1)D) (2, 2)E) (0, 2)

EJEMPLO PSU-9: La figura se rota en el plano, en 180º en torno al punto P. ¿Cuál de las opciones representa mejor la rotación de la figura?

A) B) C) D) E)

EJEMPLO PSU-10: En la figura, al punto B se le aplica una rotación en 90º con respecto al punto A, en el sentido horario. Las nuevas coordenadas del punto B son:

A) (6,2)B) (-3,6)C) (6,-7)


269

D) (6,-3)E) (6,-5)

EJEMPLO PSU-11: En la figura, ¿cuál es el punto simétrico del punto A(-1,-2) con respecto a la recta y = 3?

A) (-1,8)B) (1,8)C) (-1,6)D) (7,-2)E) (-1,-4)

EJEMPLO PSU-12: ¿Cuál(es) de los siguientes polígonos regulares permite(n) teselar (o embaldosar) el plano? I) Pentágonos. II) Triángulos equiláteros. III) Hexágonos.A) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-13: ¿Cuál de los siguientes puntos es simétrico al punto de coordenadas (8, - 3) con respecto al eje de las ordenadas?

A) (-8, -3)B) (8, 3)C) (-8, 3)D) (-3, 8)E) (3, 8)

EJEMPLO PSU-14: La en I) está formado por 5 cuadrados congruentes, la figura en II) es un cuadrado y la figura en III) es un triángulo equilátero. ¿Cuál(es) de ellas tiene(n) simetría central?


270

A) Sólo IB) Solo IIC) Solo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Un cuadrado tiene 4 ejes de simetría II) Un rectángulo tiene 4 ejes de simetría III) Un triángulo escaleno no tiene ejes de simetría

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-16: En la figura, ¿cuál es el punto simétrico al punto P(2,3), con respecto a la recta L de ecuación y = x

A) (2,1)B) (-2,3)C) (-2,-3)D) (2,-3)E) (3,2)

EJEMPLO PSU-17: ¿Cuál de los siguientes puntos es simétrico al punto de coordenadas (8, - 3) con respecto al eje de las ordenadas?

A) (-8, -3)B) (8, 3)C) (-8, 3)D) (-3, 8)E) (3, 8)

EJEMPLO PSU-18: En la figura, ABCD es un cuadrado simétrico con el cuadrado A’B’C’D’ con respecto al eje y. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) D’ = (-5,6) II) Ambos cuadrados tienen igual perímetro III) Ambos cuadrados tienen igual área


271


EJEMPLO PSU-19: En la figura, el triángulo MNS es simétrico (reflejo) con el triángulo QPR respecto al eje T, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-20: En la figura, el cuadrado dibujado con diagonal en el eje y se traslada al cuadrado dibujado con línea punteada. ¿Cuáles son los componentes del vector de la traslación?

A) (1,2)B) (-2,1)C) (-1,2)D) (2,1)E) (-2,-1)

EJEMPLO PSU-21: Se tiene un papel en forma de cuadrado, el cual posee simetría central. ¿En cuál(es) de los siguientes casos se obtiene, a partir de ese cuadrado, una nueva figura con simetría central? I) Si se redondean todas las esquinas de la misma forma y tamaño II) Si se redondean sólo 2 esquinas adyacentes de la misma forma y tamaño III) Si se redondean sólo 2 esquinas opuestas de la misma forma y tamaño


272

A) Sólo IB) Solo IIIC) Solo en I y en IID) Solo en I y en IIIE) En I, en II y en III

EJEMPLO PSU-22: En la figura, ¿cuál de las siguientes transformaciones rígidas permite obtener el polígono P a partir del polígono Q?

A) Simetría (reflexión) con respecto al eje yB) rotación en 180º con respecto al origenC) Simetría (reflexión) con respecto al eje y, y una rotación en 180º con respecto al origenD) simetría (reflexión) con respecto al eje x, y una rotación en 180º con respecto al origenE) Rotación de 90º con respecto al origen

EJEMPLO PSU-23: El triángulo ABC tiene coordenadas: A(2,3), B(-3,8) y C(3,7). Si se aplica una traslación según el vector (5,-7), las nuevas coordenadas del triángulo serán: I) A’(7,-4) II) B’(-8,1) III) C’(8,0)

A) Sólo IIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-24: En la figura, el ABC se traslada según el vector (4, 2). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) A se traslada al punto de coordenadas (6, 3). II) La distancia entre A y su imagen según esta traslación es 2

.

III) El perímetro del triángulo que se obtiene por esta traslación, es igual al perímetro del triángulo ABC.

A) Sólo I


273

B) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-25: En la figura, la circunferencia tiene radio 1 y la semicircunferencia tiene radio . Si se gira toda la figura en torno al centro O en 180º, en el sentido de la flecha, el punto A, que está sobre la semicircunferencia, queda en las coordenadas

EJEMPLO PSU-26: Se tiene el triángulo cuyos vértices están ubicados en los puntos A(1,2), B(3,2) y C(3,5). Si al triángulo ABC se le aplica una traslación que sea paralela al eje x en una unidad a la izquierda, y luego se le aplica otra traslación paralela al eje y en dos unidades hacia arriba, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El nuevo vértice B queda ubicado en el punto (2,4) II) El nuevo vértice C queda ubicado en el punto (2,7) III) El nuevo vértice A queda ubicado en el punto (0,4)

A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-27: El número de ejes de simetría que tiene un triángulo con dos lados iguales y uno distinto es:

A) 4B) 3C) 2D) 1E) 0


274

EJEMPLO PSU-28: Dado el punto P de coordenadas (7,-9), ¿cuáles son las coordenadas del punto simétrico de P con respecto al eje y?

A) (-7,-9)B) (7,9)C) (-7,9)D) (-9,7)E) (-9,-7)

EJEMPLO PSU-29: Si a un triángulo ABC de vértices A(1, 2), B(-2, 1) y C(4, 0), se le aplica la traslación según el vector , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) A se transforma en A’(-4, 9) II) B se transforma en B’(-3, 8) III) C se transforma en C’(-1, 7)A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) Solo II y III

EJEMPLO PSU-30: A la figura se aplica una simetría (reflexión) con respecto al eje RS. ¿Cuál es la opción que muestra mejor la figura resultante?


275

EJEMPLO PSU-31: Si el gráfico de la función f(x) se obtiene por reflexión del gráfico de la función g(x) respecto de y = x. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa esta situación?


276

EJEMPLO PSU-32: En la figura, las coordenadas del punto A son (–4, –1), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) El punto simétrico de A con respecto al eje y es el punto (4, – 1).

II) Al rotar el punto A en 90° en sentido antihorario, en torno al origen, se obtiene el punto (–1, 4).

III) Al trasladar el punto A dos unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba, se obtiene el punto (–2, 1).


EJEMPLO PSU-33: ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría (reflexión) de la figura respecto a la recta L?


277

EJMPLO PSU-34. En la figura el cuadrado A’B’C’D’ es la imagen del cuadrado ABCD bajo una: I) Rotación de 180º con centro en el origen II) Simetría respecto al origen III) Simetría respecto al eje x


EJEMPLO PSU-35. La recta L es simetral del segmento . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?


EJEMPLO PSU-36. El trazo , con A = (- 4, - 3) y B = (5, - 1), se traslada 3 unidades a la izquierda en la abscisa y 5 unidades hacia arriba en la ordenada. El nuevo trazo queda con coordenadas:

A) (-7, 2) y (2,4)B) (-1, 2) y (8, 4)C) (1, 0) y (10,0)D) (-9, 0) y (0, 2)E) (-7, 2) y (2, 6)

EJEMPLO PSU-37. Todos los triángulos son congruentes. En qué caso(s) son simétricos respecto de la recta L


278

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I y IIIE) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-38. La figura está formada por 4 triángulos equiláteros congruentes entre sí ¿Cuál(es) de las figuras en I), en II) y en III) se obtiene(n) por alguna rotación con respecto al centro de la figura 5?


EJEMPLO PSU-39. El dominó está formado por dos cuadrados congruentes entre sí, como lo muestra la figura. Cada una de las figuras presentadas en I), en II) y en III) están formadas por cuadrados congruentes a los que forman el dominó. ¿Cuál(es) de ellas es (son) posible(s) de embaldosar (teselar) completamente con el dominó?


EJEMPLO PSU 40. Se desea teselar un baño cuadrado que mide 10 m por lado. Se tienen tres


279

tipos de baldosas: una cuadrada de lado 30 cm, una rectangular de lados 30 y 10 cm y un triángulo rectángulo de catetos 20 y 50 cm. ¿Con cuál de las baldosas se puede embaldosar el baño completo?

A) Solo con los triángulosB) Solo con los cuadradosC) Con los cuadrados y rectángulosD) Solo con los rectángulosE) Con ninguna de las figuras

EJEMPLO PSU-41. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) El triangulo tiene tres ejes de simetríaB) El rectángulo tiene cuatro ejes de simetríaC) La circunferencia tiene solo dos ejes de simetríaD) El trapecio isósceles tiene un eje de simetríaE) El cuadrado tiene solo dos ejes de simetría

EJEMPLO PSU-42. En el sistema de ejes coordenados de la figura se ha

ubicado el punto . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

siempre verdadera(s)? I) El simétrico de P con respecto al eje x es P’(a, -b) II) El simétrico de P con respecto al origen es P’(-a, -b) III) El simétrico de P con respecto a un punto en el primer cuadrante es otro punto que está en el primer cuadrante


XXVI. TEOREMA GENERAL DE THALES

Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, entonces ellas determinan segmentos proporcionales en dichas transversales.


280

Hipótesis: Tesis:

Nota: en una proporción es posible:(a) alternar los términos medios(b) alternar los términos

extremos(c) invertir las razones(d) permutar las razones(e) componer o descomponer la proporción respecto al antecedente o al

consecuente de cada razón

Teorema recíproco del teorema general de Tales señala que:

“Si tres o más rectas son intersectadas por dos transversales, determinando en estas segmentos proporcionales, entonces las rectas son paralelas”

M1 y M2 transversales

EJEMPLO PSU-1: La figura muestra un rectángulo ABEF con = 10, = 5 y = 4. ¿Cuánto mide el perímetro del trapecio ABCE?

A) 16B) 22C) 28D) 32E) 36


281

EJEMPLO PSU-2: En el triángulo ABC de la figura, se sabe que =

48 cm, = 12 cm, y = 1: 2: 3, entonces el valor de es:


EJEMPLO PSU-3: En la figura, el área del triángulo ABC es 90 cm2 y

. ¿Cuál es el área del trapecio ADEB?

A) 36 cm2

B) 40 cm2

C) 50 cm2

D) 54 cm2

E) 60 cm2

EJEMPLO PSU-4: En la figura, si L1//L2//L3, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?



282

EJEMPLO PSU-5: En la figura, La medida de es

A) 25B) 20C) 9D) 30E) 14

EJEMPLO PSU-6: ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el valor de x es 12?

A) Sólo en IB) Sólo en IIC) Sólo en IIID) Sólo en II y en IIIE) En I, en II y en III

EJEMPLO PSU-7: Una persona está situada en el punto A, y tiene al

frente dos postes perpendiculares al plano, como se muestra en la

figura. Si la distancia entre el punto A y el poste es (4x + 5) metros y

la distancia entre los postes es (x + 5) metros, ¿cuántos metros separan a la persona (punto A) del poste ?

A) 1 metro B) 9 metros C) 6 metros D) 3 metros E) 30 metros


283

EJEMPLO PSU-8: En la figura . Si mide el doble de , ¿cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) Los triángulos OAB y OCD son rectángulos II) Los triángulos OAB y OCD son semejantes

III)


EJEMPLO PSU-9: En el triángulo ABC de la figura, Si = 10, = 15 y

= 12, entonces ¿en cuál de las opciones se presenta la proporción

correcta para determinar el valor de x?


284

EJEMPLO PSU-10: Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 m; si el primer piso tiene una altura de 15 m y el segundo piso una altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombra proyectada por el segundo piso?

A) 8 m B) 10 m C) 15 m

D) m


EJEMPLO PSU-11: En la figura, . Si , ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?


EJEMPLO PSU-12: Si en la figura L1//L2, entonces el valor de x es:


285

A) 2B) 7C) 12,5D) 18E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-13. Si , ¿Cuál de la(s) siguientes aseveraciones es

(son) verdadera(s)?

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I y IIIE) I, II y III

EJEMPLO PSU-14. Un agricultor tiene un terreno en forma de triángulo rectángulo, como el triángulo ABC de la figura. Desea plantar hortalizas y para ello divide el terreno en cinco sitios, con divisiones paralelas al

lado . Si en sector achurado plantará lechugas, ¿cuál es el área de

dicho sector?


286

EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS Nº 64 A LA Nº 70

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar la letra:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente,

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta,

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

Ejemplo: P y Q en conjunto tienen un capital de $ 10.000.000, se puede determinar el capital de Q si:

(1) Los capitales de P y Q están en razón de 3: 2 (2) P tiene $ 2.000.000 más que Q

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto: P: Q = 3: 2, luego (P + Q): Q = 5: 2, de donde $ 10.000.000: Q = 5: 2 Q = $ 4.000.000


287

Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000). Por lo tanto, usted debe marcar la clave D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).


288

EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS

EJEMPLO PSU-1. Se puede determinar cuánto mide cada segmento de una cuerda cortada en cuatro proporcionales si: (1) La cuerda mide 72 cm (2) La razón entre los segmentos es de 1: 2: 3: 6

A) (1) Por sí solaB) (2) Por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-2. Si x e y son dos números distintos, se puede

determinar el valor de la expresión si:

(1)x + y = 8(2)x – y = 2


EJEMPLO PSU-3. En la figura, O es el centro del círculo, la medida del ángulo AOB se puede determinar si: (1) El área del sector achurado representa el 40% (2) la medida del ángulo ACB = 72º


EJEMPLO PSU-4. El valor numérico de log (ab) + se puede

determinar si: (1) a = 1.000


289

(2) b = 100


EJEMPLO PSU-5. En una frutería hay un cajón con manzanas, se puede determinar el precio promedio de una manzana si: (1) El cajón contiene 20 kilogramos de manzanas cuyo valor total es $ 4.800 (2) El kilogramo de manzanas vale $ 240 y el cajón trae 100 manzanas


EJEMPLO PSU-6. m y n son números naturales, m + n + 1 es un número impar si: (1) m es un número impar

(2) es un número impar


EJEMPLO PSU-7. En la figura, el triángulo FEC es semejante con el triángulo BDE si: (1) (2)

A) (1) Por sí sola


290

B) (2) Por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-8. ax + by es igual a bx + ay si: (1) x = y (2) a = b

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-9. En la figura, = 10. Se puede determinar la magnitud si se sabe que:

(1) = 8

(2) = 5A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-10. En la figura, = 6. Se puede determinar el valor de si:

(1) = 3: 2 (2) = 5


EJEMPLO PSU-11. Se puede determinar el valor numérico de la

expresión si:

(1) z = 9 (2) y = 6

A) (1) por sí sola


291

B) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-12. En una empresa, 20 trabajadores están enfermos. Se puede saber el número total de trabajadores si: (1) Enfermos: Sanos = 1: 3 (2) El 75% de los trabajadores están sanos


EJEMPLO PSU-13. Juan compra caramelos tipo 1 que cuestan $7 c/u y caramelos tipo 2 que cuestan $4 c/u. se puede determinar la cantidad de caramelos de cada tipo que compró si:

(1) Gastó en total $ 170 y compró 9 caramelos más tipo 2 que tipo 1 (2) Gastó en caramelos tipo 2 una cantidad que es múltiplo de 4


EJEMPLO PSU-14. En la siguiente tabla se muestra la edad de un grupo de personas. Se puede determinar x si:

(1)El promedio es 6(2)La mediana es 7


Edad

Frecuencia

5 26 X7 108 6

292


EJEMPLO PSU-15. Se puede determinar el monto de una deuda si: (1) La cuota mínima a pagar es el 5% de la deuda. (2) La cuota mínima a pagar es de $ 12.000.


EJEMPLO PSU-16. Se puede determinar cuánto vale m si se sabe que: (1) La tercera parte de m sumada con 2 resulta 7. (2) Al restarle 1 al 20% de m resulta 2.


EJEMPLO PSU-17. Se pueden calcular las edades de Juanita y de su madre si se sabe que: (1) Actualmente la suma de sus edades es 44 años. (2) Dentro de 11 años, la edad de Juanita será la mitad de la edad de su madre.


EJEMPLO PSU-18. Sea n = 7, se puede saber cuántas unidades es x mayor que y si: (1) x = n + y

(2) = y - 5

A) (1) por sí sola


293

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-19. En la figura el trazo corresponde a la sombra de la torre vertical AB, en un cierto momento. Es posible calcular la altura de la torre si se sabe que, en ese mismo instante: (1) Muy cerca de la torre, un poste vertical de 1 metro tiene una sombra de 1 metro. (2) Se conoce la medida del trazo .


EJEMPLO PSU-20. En la figura, ABCD es un cuadrado, P es un punto de la recta AB, M es la intersección de los segmentos . Es posible determinar el área del PBC si: (1) El lado del cuadrado mide 8 cm. (2) Se sabe que M es punto medio de .


EJEMPLO PSU-21. Se tiene una bolsa con fichas verdes y rojas de igual tamaño y peso. Se puede determinar la probabilidad de sacar una ficha roja si: (1) El número de fichas rojas es mayor que el número de fichas verdes. (2) El número total de fichas es 36.



294

EJEMPLO PSU-22. a2 + b2 = (a + b)2 si: (1) a = 0 (2) b = 0

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-23. Si x es un entero comprendido entre 80 y 90, se puede determinar el valor exacto de x si: (1) x es múltiplo de 4 (2) x es múltiplo de 7


EJEMPLO PSU-24. Si x e y son enteros positivos, entonces se puede

saber el valor de si:

(1) y es el triple de x. (2) La suma de x e y es 8.


EJEMPLO PSU-25. En el rectángulo ABCD de la figura, el perímetro mide 28 cm. Se puede determinar el área achurada si


295

(1) (2)


EJEMPLO PSU-26. En la figura, sen = , se puede afirmar que

si: (1) = 4 (2) L1 // L2


EJEMPLO PSU-27. Se puede determinar el valor de si:

(1) a: b = 5 : 2 (2) a + b = 21

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Cada una por sí sola, (1) ó (2)D) Ambas juntas, (1) y (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-28. Pedro e Iván estaban jugando con sus escuadras haciéndolas girar sobre sus catetos. Se puede determinar la relación que hay entre los volúmenes de los conos que se generan si se sabe que: (1) Uno de los catetos de la escuadra de Iván, mide lo mismo que un cateto de la de Pedro.


296

(2) El otro cateto de la escuadra de Iván, mide el doble de lo que mide el otro cateto de la de Pedro.


EJEMPLO PSU-29. Se puede determinar la edad de Benjamín si: (1) Benjamín es menor en 46 años que su padre que tiene el triple de su edad. (2) Al sumar la edad de Benjamín con 1950 se obtiene su año de nacimiento que es 1973.


EJEMPLO PSU-30. Un número entero se encuentra entre 50 y 90. Se puede determinar el número exacto si: (1) La suma de sus cifras es 9. (2) El número es par.


EJEMPLO PSU-31. La figura, está formada por 3 triángulos rectángulos congruentes. Se puede determinar el perímetro de la figura MNPQRM si se sabe que: (1) = 12 cm (2) = 2 cm

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)


297

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-32. Se puede determinar el porcentaje de mujeres que son médicos en un país si se sabe que:

(1) El 52% de la población del país son mujeres. (2) El 0,5% de la población son médicos.


EJEMPLO PSU-33. En un grupo de 40 mujeres donde sólo hay casadas y viudas, se puede determinar el número de mujeres viudas si:

(1) La razón entre casadas y viudas es 5: 3. (2) Las casadas son 25.


EJEMPLO PSU-34. Cecilia tiene dos hijos. Ella es 25 años mayor que su hijo menor. Se puede determinar la edad de Cecilia si:

(1) Entre sus dos hijos suman la edad de ella. (2) La diferencia de edad de sus hijos es de 5 años.


EJEMPLO PSU-35. Se puede concluir que x es un número negativo si se sabe que

(1) 4x es negativo. (2) x – 3 es negativo.


EJEMPLO PSU-36. Sea b el doble de a y el a% del b% de H es 24. Se puede determinar el valor de H si


298

se sabe que: (1) a = 10 (2) a + b = 30


EJEMPLO PSU-37. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 8 cm, se puede determinar el área del triángulo NME si:

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicionalEJEMPLO PSU-38. En la figura,

.Se puede determinar que el triángulo ABC es congruente con el triángulo DCB si:

(1) = ε (2) =


EJEMPLO PSU-39. Un automóvil tiene un rendimiento promedio de 10 km por litro de bencina. Se puede determinar la velocidad promedio en un viaje entre dos ciudades A y B, si se sabe que el automóvil:

(1) Gastó en el viaje 5 litros de bencina. (2) Demoró en el viaje 30 minutos.



299


EJEMPLO PSU-40. Se puede determinar que existe semejanza entre los triángulos ABC y DEC de la figura, si:

(1) es mediana. (2)


EJEMPLO PSU-41. Sean n, m números enteros positivos y a = . Se puede afirmar que el

número es el cuadrado de un número entero, si se

sabe que: (1) n es impar. (2) m es par.


EJEMPLO PSU-42. Se puede determinar el precio de una lata de bebida si:

(1) La lata de bebida vale $ 300 menos que el litro de leche (2) El valor del litro de leche es múltiplo de $ 300

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)


300


EJEMPLO PSU-43. En la expresión 3a – 2b = 8 se puede determinar el valor de a si: (1) b es la mitad de a (2) b + 2 = aA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-44. En el triángulo ACD de la figura, . Se puede determinar la medida del

segmento ED si: (1) = 12 (2) = 3xA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-45. Si se tienen los valores 4, 6, 2, 9, 8, x, 5, 2, 7, 9, 6, entonces se puede determinar el valor de x si: (1) La moda es 6 (2) La mediana es 6A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-46. De acuerdo a los datos de la tabla adjunta, se puede determinar el valor de a si:


301

(1) X e Y son inversamente proporcionales (2) T e Y son directamente proporcionalesA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-47. La expresión toma siempre

un valor positivo si: (1) a es un número positivo (2) a es un número par

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicionalEJEMPLO PSU-48. Sean m y p números enteros positivos, se puede determinar exactamente el valor de ellos sí:


EJEMPLO PSU-49. La base de un triángulo es el doble de su altura, se puede determinar siempre el valor numérico de la altura si: (1) Se conoce el área del triángulo (2) Se conoce el perímetro del triánguloA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional


T X Y5 354 43210 a b

302

EJEMPLO PSU-50. En la figura es tangente en T a la circunferencia de centro O. pasa por el centro de la circunferencia y la intersecta en R y en Q, respectivamente. Se puede calcular el valor del radio si: (1) Se conoce la medida de (2) Se conoce la medida de A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-51. Se tienen los números 3, 7, 9, 5 y x. Se puede determinar el valor de x si: (1) El promedio de los números es 8 (2) La mediana de los números es 7


EJEMPLO PSU-52. Se puede determinar el valor

numérico de , con , si se sabe que:

(1) x + y = 5 (2) x – y = 3A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional


303

EJEMPLO PSU-53. En la figura, se puede determinar la medida de si: (1) (2)


EJEMPLO PSU-54. Si c es un número entero

positivo y , entonces G es positivo si:

(1) a y b son positivos (2) a y b son negativosA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-55. Las edades de dos personas están en la razón de 3: 4. Se puede determinar las edades si: (1) La diferencia de edades es 5 años (2) Las edades suman 35 añosA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-56. Se puede conocer la edad de Paz si: (1) La suma de las edades de su mamá y su hermana menor es 36 años (2) La diferencia de edad entre Paz y su hermana menor es de 5 años

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)


304

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-57. Se puede determinar el valor

numérico de la expresión con m distinto de

cero, si se conoce que: (1) p = 4

(2)


EJEMPLO PSU-58. En la circunferencia de centro O, y son secantes, si = 6, entonces se puede

determinar si: (1) =3: 2 (2) = 5A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-59. Se puede concluir que las expresiones (ax + by) y (ay + bx) son iguales si se sabe que: (1) a = b (2) x = y



305


EJEMPLO PSU-60. Juan compró caramelos de tipo I que cuestan $ 7 cada uno y caramelos de tipo II que cuestan $ 4 cada uno. Se puede saber la cantidad comprada de cada tipo si:

I) Juan gastó $ 102 y compro 9 caramelos más del tipo II que del tipo I II) La cantidad pagada por los caramelos de tipo II es múltiplo de 4


EJEMPLO PSU-61. Una pieza rectangular de 10 metros por 20 metros se puede embaldosar perfectamente (sin necesidad de recortar baldosas) si: (1) Se dispone de baldosas con forma de triángulos equiláteros de lado 10 cm. (2) Se dispone de baldosas con formas de triángulos rectángulos de catetos 10 cm y 20 cm.


EJEMPLO PSU-62. Sea a: b = 2: 3. Se pueden determinar los valores numéricos de a y b si: (1) 2b: c = 6: 5 y c = 15


306

(2) a + b = 15


EJEMPLO PSU-63. Si xn es un número entero, ¿qué se necesita para que – x “sea positivo” (1) n es impar (2) x es un entero negativo

A) (1) por sí solaB) (2) Por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-64. En la figura se sabe que . Se puede determinar x si:


EJEMPLO PSU-65. ¿Qué se necesita saber para conocer los valores de m, n y p si m + n + p = 24? (1) m + n = p

(2) m = n =

A) (1) por sí solaB) (2) Por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)


307


EJEMPLO PSU-66. Se puede determinar el valor numérico de la expresión: si: (1) m – n = 2 (2) m + n = 10


EJEMPLO PSU-67. En una caja hay fichas verdes y amarillas. Se puede determinar la cantidad total de fichas, si: (1) La probabilidad de sacar una ficha verde

es

(2) La probabilidad de sacar una ficha

amarilla es


EJEMPLO PSU-68. Un par de zapatos se vende con un 30% de ganancia. Se puede conocer el precio de los zapatos si: (1) La ganancia fue de $ 6.000 (2) Los zapatos se vendieron a $ 30.500

A) (1) por sí solaB) (2) Por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)


308

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-69. En la circunferencia se han trazado dos cuerdas. ¿Cuál es el valor de ?


EJEMPLO PSU-70. Para los números enteros m, n y

t, la expresión representa siempre un número

entero si:

(1) (m + t) es un divisor de n (2) m y t son factores de n


EJEMPLO PSU-71. Se tienen naranjas, tomates y papas que en conjunto pesan 3 kg, se puede determinar el peso de las papas si se sabe que:

(1) Las naranjas y las papas, juntas pesan 2 kg (2) Los tomates y las papas, en conjunto pesan 1,750 kg

A) (1) por sí sola


309

B) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-72. Un padre le dice a su hijo: “El dinero que tú tienes es el 20% del dinero que yo tengo”. Se puede determinar el dinero que tiene cada uno de ellos si se sabe que: (1) Entre ambos tienen$36.000 (2) El padre tiene $24.000 más que el hijo.


EJEMPLO PSU-73. Es posible afirmar que dos potencias de bases positivas y exponentes enteros son siempre diferentes entre sí, al cumplirse que:

(1) Las bases son diferentes (2) Los exponentes son diferentes


EJEMPLO PSU-74. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. es posible determinar la medida del segmento AC si: (1) El pie de la perpendicular está a 16 m de B (2) El pie de la perpendicular está a 6 m de A


310


EJEMPLO PSU-75. En la figura, CE y DB son dos rectas que se intersectan perpendicularmente. Se puede determinar que ABC ∼ ADE si se sabe que: (1) (2) ∡ DEA = 75º


EJEMPLO PSU-76. Se tiene una caja con fichas del mismo tipo. Al extraer al azar una ficha de la caja, se puede determinar la probabilidad de que ésta sea roja, si se conoce: (1) La cantidad total de fichas que hay en la caja (2) La cantidad de colores de fichas que hay en la caja



311

RESPUESTASNÚMEROS ENTEROS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

B B D A E D E D A E C A B A D D A B C A

21

22

23

24

25

26

D C B B B D

NÚMEROS RACIONALES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

A D A D B B D B E C E A B E B A B A B A

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

C A D E A E C B D E A E A E E C B

POTENCIAS EN Z

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

B C E A A A B B A D C B C C B C C E D C

21

22

23

24

25

A B B D C

ÁLGEBRA y FUNCIONES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

D D E C A A E C E D B A B C E D C D C C

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

A E E A A C D D E C D A D B C E D D B B

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

A E A B E E B D D D B C C E A

SIMBOLOGÍA

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 312PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

D D C A E B C A E A C C A

RAZONES y PROPORCIONES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

D A D B C A C B C B A C C A D E A D A A

21

22

23

24

25

26

27

E A D D A E C

TANTO POR CIENTO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

C B D C E E A D C E D B B E D D E D C C

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

B C E D E D A D D C E D B E D

RAÍCES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

B A E B D B A C A A A B B A B D C E A D

21

22

23

24

25

26

E A A B C D

ECUACIONES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

C C A B B C B E D C E E A C B A C D A C

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

B B B A E C B B D C B B A C D A E C D A


41

42

43

44

45

46

D D A A B E

DESIGUALDADES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A C D A E D E C D A

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

1 2 3 4 5 6D A E A B C

LOGARITMOS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

E C E A E B D C B C C

FUNCIONES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

C B B E E D D D A B D A B D C D C D E E

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

E B A B A A D E D A A C C E D E A D B C

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

C A D C D C B C D A B

EJE TEMÁTICO: GEOMETRÍA

UNIDAD: ÁNGULOS – TRIÁNGULOS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

B D D B E A B B E E C E D D D D B C


UNIDAD: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

1 2 3 4 5 6 7 8D D E B D E C C

UNIDAD: SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

E A C E E A C E B A C E A

UNIDAD: CUADRILÁTEROS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

B B C D D C E A D B B E B B C E D A E B

21

22

23

24

25

26

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28

29

30

31

32

33

34

A A E C A E C A B B E C A E

UNIDAD: POLÍGONOS

1 2E D

UNIDAD: ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

B B C B C C D E C D B C C B A B A B E A

21

22

23

C A A

UNIDAD: TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0A D B C C A B C C D A D A D D E A E D B

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

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38

39

40

D E C E C E D A D D E D C D D A E B D A

41

42

D C

UNIDAD: RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

1 2 3 4 5 6 7E B C A D E E

UNIDAD: CUERPOS POLIEDROS – VOLUMEN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

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17

B C B D E A B D B C A A E B D B B

UNIDAD: DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

1 2 3 4 5 6A B B D D B

UNIDAD: TRIGONOMETRÍA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

A A E B C B D C D B A A B E A D E A C

UNIDAD: TEOREMA DE THALES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

D B C C A D D B A A D B D B

UNIDAD: ESTADÍSTICA


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

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18

19

20

B A E B E D E D D A C D C A D E E E B E

21

22

23

24

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26

27

28

29

30

31

32

33

34

C D D D E B C C C D E A E C

UNIDAD: PROBABILIDAD

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

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18

19

20

C D B A E D B D C A B C A A A D C B C E

21

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24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

E B A E C B C E A B C E D A E B A D B C

41

42

43

44

45

46

47

48

D D D C E A E B

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

C A D A C B D D E C B D A E C D C A C C

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

E D B A D C A E D E C E D C A D C D D

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

C E D B A C A C A C A B C D D E B C D B

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

B D C C B C E D C A C D E C D E


RECOPILACIÓN 1 DE EJERCICIOS PSU CURSO: PRIMER AÑO MEDIO – CUARTO AÑO MEDIOHABILIDADES: CONOCER – COMPRENDER – APLICAR – ANALIZAR – SINTETIZAR – EVALUAR

1. =

A) -25B) -21C) -3D) 11E) 29

2. Dada la siguiente sucesión de números decimales: 0,2, 2 10-3, 0,00002,.... ¿Cuál es el quinto término?

A) 2 • B) 2 • C) 2 •D) 2 •E) 2 •


3. A es inversamente proporcional al cuadrado de T. Cuando A es 2, el valor de T es 3. Si T = 2, entonces el valor de A es:

A)

B)

C)

D)

E) 9

4. ¿Cuál(es) de las siguientes opciones permite(n) calcular “un número aumentado en su 25%”? I) multiplicarlo por 5 y dividir el resultado por 4. II) multiplicarlo por 1,25. III) dividirlo por 0,8.De las afirmaciones anteriores es(son) verdadera(s)

A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III.

5. ¿Qué porcentaje es 0,002 de 0,04?

A) 0,05%B) 0,5%C) 0,8%D) 5%E) 8%


6. Dada la siguiente secuencia de figuras: Cuál de las siguientes figuras necesita 49 fósforos para ser construida?

A) la figura 23B) la figura 24C) la figura 25D) la figura 99E) la figura 100

7. Si el radio de una circunferencia es un número racional, ¿cuál(es) de las siguientes magnitudes corresponde(n) a un número racional? I. Su longitud o perímetro. II. El lado del cuadrado circunscrito a la circunferencia. III. El lado del cuadrado inscrito a la circunferencia.


8. Si 0,002 • = 2.000; entonces x =

A) -7B) -6C) 5D) 6E) 7

9.

A) 27

B) C) 218 • 10-1

D) 236 • 10-1

E) 280 •10-1

10. Dada la sucesión: 2 • 21, 3 •22, 2 • 23, 3 • 24, 2 • 25,... ¿Cuál es el cociente entre los términos que ocupan las posiciones 20 y 21, en ese orden?

A)


B)

C)

D) 3E) 6

11. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. (0,2) = 25 II. (0, ) = 81 III. (0,1 ) = 36A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III.

12. Los de 0,008 escrito en notación científica es:

A) 64 • 10-4

B) 6,4 •10-3

C) 1 •10-2

D) 0,1 •10-1

E) 0,64 •10-2

13. Sebastián, Francisco y Leonardo compran queso para hacer una

pizza. Sebastián compró 260 gramos, Francisco de kg y Leonardo

de kg. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Sebastián compró menos que Francisco. II. Leonardo compró más que Francisco. III. Sebastián compró más que Leonardo.

A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo III.D) Sólo I y II.E) Ninguna de ellas.

14. (a – 2b)2 – (b – 2a)2 =

A) 5a2 – 3b2

B) 5a2 + 3b2


C) -3a2 – 3b2

D) 5a2 – 8ab + 3b2

E) -3a2 + 3b2

15. El enunciado: “al doble de A le faltan B unidades para completar quince”, se expresa mediante:

A) 2A – B = 15B) 2A + 15 = BC) 2A + B = 15D) 2AB = 15

E) = 15

16. Si x2 – y 2 = 2 y x + y = 4, entonces 2x – 2y =

A) 0,25B) 0,5C) 1D) 2E) 4

17.

A) -a+bB) -a-bC) -4a-2b

D)

E)

18. Si los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 1:2:3, entonces podemos afirmar que el triángulo es:

A) equilátero.B) isósceles no rectángulo.C) isósceles rectángulo.D) escaleno rectángulo.E) No se puede determinar

19. Si (a - b)2 = 25 y a2+b2 = 9, entonces ab =

A) -17


B) -8C) 2D) 8E) 17

20. Se define a * b = a + 1, entonces 2 * 3 =

A) 5

B)

C)

D)

E)

21. Las edades de Enrique, Juan, Pedro y Eugenio suman 132 años. Si la edad de Enrique es la mitad de la de Pedro, la de Juan es el triple de la de Enrique y la de Eugenio es el doble de la de Juan, ¿cuál es la edad de Enrique?


22. ABCD es un cuadrado de lado “c” y PBRU es un rectángulo. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde(n) al área de la figura sombreada? I. ab – c2

II. a(b – c) + (a – c)c III. (a – c)b + c(b – c)A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo I y III.E) I, II y III

23. 32x • 22x =


A) 52xB) 64xC) 12xD) 24xE) 36x24. Según la información dada en la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. El área de ABEF es a2 + 2ab + b2. II. El área de la región achurada es (a + b)2 – ab. III. El área de PQDF es 2a2 + ab


25. Se define: a b = , entonces =

26. Si a-1 + 1= 4 entonces

A) 2B) 4C) 6

D)

E)

27. En un rectángulo de 42 cm de perímetro, el largo mide tres centímetros más que el doble del ancho. ¿Cuál es su área?

A) 36 cm2

B) 42 cm2

C) 54 cm2

D) 90 cm2

E) 270 cm2


28. El cuadrado ABCD de la figura se ha trasladado transformándose en el cuadrado EFGH. ¿Cuál es la dirección de la traslación?

A) (1,2)B) (1,-2)C) (2,1)D) (2,-1)E) (-2,1)

29. Si el punto (-3,2) se gira en 90º en torno al origen, queda en el punto:

A) (3,-2)B) (2,-3)C) (-2,-3)D) (3,2)E) (-2,3)

30. Con respecto a los triángulos de la figura, se puede afirmar que:

A) son congruentes por el criterio (L, L, L).B) son congruentes por el criterio (L, A, L).C) son congruentes por el criterio (A, L, A).D) son congruentes por el criterio (L, L, A>).E) no son congruentes necesariamente.

31. Si el punto (3,-2) se refleja en torno al eje Y queda en el punto (a, b), entonces a + b =

A) -5B) -1C) 1D) 2E) 5

32. Según los datos de la figura, el valor de es:


A) 21ºB) 31,5ºC) 32ºD) 42ºE) Falta información.

33. Si el ABC de la figura, se traslada de modo que el vértice C queda en el vértice A, entonces el punto B queda en el punto de coordenadas:

A) (3,1)B) (-1,-3)C) (-1,-2)D) (0,-2)E) (0,-3)

34. En la figura, EFRS es un cuadrado y C es su centro de gravedad. Si el ABC es isósceles de base AB, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. CEA CFB. II. SCE RCF. III. CQE CPF.A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III.

35. Si los cuadraditos de cada figura son congruentes, entonces ¿con cuál(es) de ellas se puede teselar (embaldosar) un plano?

A) sólo con I.B) sólo con II.C) sólo con III.D) sólo con I y II.E) sólo con I y III.

36. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras tienen Sólo dos ejes de simetría? I. Cuadrado. II. Rectángulo. III. Rombo.A) sólo I.


B) sólo II.C) sólo I y II.D) sólo II y III.E) I, II y III.

37. La suma del lado de un cuadrado con su diagonal es 2 + cm. ¿Cuál es el área del cuadrado?

A) 1 cm2

B) 2 cm2

C) 4 cm2

D) 8 cm2

E) 16 cm2

38. En la figura, y ABC ABE ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. II. ∡ ACF ∡ AEF III. ∡ CBE 2∡ CAEA) sólo I.B) sólo I y II.C) sólo II y III.D) sólo I y III.E) I, II y III.

39. ¿Con cuál(es) de las siguientes figuras se puede teselar (embaldosar) un plano? I. Rombos. II. Romboides. III. Triángulos escalenos.A) sólo I.B) sólo I y II.C) sólo I y III.D) sólo II y III.E) I, II y III.

40. Si el punto A(-1,2) se refleja en torno a la recta x = 2, su imagen queda en el punto:

A) (3,2)B) (4,2)C) (5,2)


D) (1,2)E) (6,2)

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20B D B E D B B D A A E B B E C C D D B D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40A E E E C B D E C E A D B E E D B E E C

RECOPILACIÓN 2.

1. Si f(x) = x2 – 3x, entonces f(-1) + f(2) =

A) -6B) -2C) 2D) 4E) 6

2. Si f(x) = (a ≠ b), entonces f(a + b) =

A) a + bB) a - bC) a2 – b2

D) a2 + b2

E) 1


3. Si x + y = 2, entonces =

A) 2

B)

C) 2xy

D)

E)

4. ¿Cuánto debe valer K para que las rectas de ecuaciones: L1: (1+k) x – y = 2; L2: (1-k) x + 2y = 3 sean paralelas?

A) -3B) 3C) 2D) 2E) No existe tal valor de “k”

5. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la de una recta que

es perpendicular a la recta de ecuación: y = - x + 3 y pasa por el punto

(2,1)?A) y - 1= 2(x - 1)B) y - 1= -2(x - 2)C) y - 2= 2(x - 1)D) y - 1= 2(x - 2)

E) y - 1= (x - 2)

6. ¿Cuál debe ser el valor de K para que el sistema de ecuaciones: 2x - ky = 3 4x + 2y = 5 NO tenga solución?

A) -4B) -2C) -1D) 1E) 2


7. Si 2x – y = 3 y | x | = 2, entonces el o los valores posibles de y es(son): I. 1 II. -7 III. 7A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo I y III.E) Ninguno de ellos.

8. Si x e y son números reales distintos de cero tales que , entonces x + y =

A) 1B) 2C) x-yD) xy

E)

9. Las rectas de ecuaciones: L1: 2x-y-m = 0; L2: px+2y+m = 0 se interceptan en el punto (2,-2). Entonces m + p =

A) -5B) -1C) 5D) 6E) 7

10. Si |x| corresponde al valor absoluto de x, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a la gráfica de la función: y = -|x - 1|+1? I. Pasa por el punto (-2,-2). II. Intercepta al eje x en dos puntos. III. Intercepta al eje y en el origen.A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III.


11. Al simplificar la fracción algebraica: , resulta:

A) 1B) -1

C)

D)

E) a – b

12. Si x = y, entonces

A) -2B) 0C) 2

D)

E)

13. Con respecto a la recta de ecuación: x+2y - 3= 0, se afirma que:

I. Pasa por el punto (3,0) II. Intercepta a la recta de ecuación 2x - y-1= 0 en el punto (1,1). III. Es perpendicular a la recta de ecuación 2x- y + 4= 0.Es(son) verdadera(s):


14. Con respecto a las rectas L1 y L2 de la figura: Se afirma que:

I. La ecuación de L1 es: y-1 = (x-2)

II. La ecuación de L2 es: y = x - 2

III. Las rectas son perpendiculares.Es (son) correctas:

A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.


D) Sólo II y III.E) I, II y III.

15. BCA es una semicircunferencia y ∡ ACO = 40º Entonces el ∡ABC mide:

A) 20°B) 40°C) 50°D) 70°E) 80°

16. En la figura: L1 // L2 y L1 L3. Entonces x mide:

A) 1,5B) 2,C) 3D) 3,3E) 4

17. En la figura: es un segmento tangente a la circunferencia que

mide 6 cm. Si mide 4 cm, entonces mide:



18. Si son perpendiculares a

respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. ΔABF ~ ΔEDF. II. ΔABF ~ ΔEBC. III. ΔADC ~ ΔEBC.A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III.

19. En la figura: L1//L2, entonces x =

A) 3B) 8C) 9D) 10E) 12

20. En la figura: O es el centro de la circunferencia, entonces ∡ x:

A) 20ºB) 100ºC) 120ºD) 140ºE) 160º

21. En la figura, los triángulos ABC y ADE son rectángulos en B y D respectivamente. Según los datos dados, mide


22. En la figura: L1//L2//L3 Si = 12; = 15 y = 3, Entonces mide:

A) 2,4


B) 4,8C) 5,4D) 6E) 9,6

23. ABCD es un rectángulo y , entonces =

A) 3 cmB) 4 cmC) 4,8 cmD) 2 cmE) 2 cm

24. Según los datos dados en la figura, el ∡ x mide

A) 70°B) 80°C) 100°D) 110°E) 140°25. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado “a”. Si M es el punto medio del lado , entonces el área del Δ AEM es:

26. O: centro de la circunferencia. ¿Cuánto mide el ∡ x?

A) 40ºB) 70ºC) 100ºD) 120ºE) 140º


27. En la figura “B” es punto de tangencia, “O” centro de la circunferencia. Entonces la medida del ángulo x es:

A) 120°B) 90°C) 60°D) 45°E) 30°

28. Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el número que aparece sea un múltiplo de tres?

A)

B)

C)

D)

E)

29. Si se lanza la flecha de la ruleta de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que NO SALGA el color verde?

A)

B)

C)

D)

E)


30. Se tienen 10 fichas iguales numeradas del 0 al 9. Si se eligen 2 al azar, reponiendo la primera, ¿cuál es la probabilidad de que sumen 5?

A) 0,04B) 0,05C) 0,06D) 0,2E) 0,4

31. Si se elige al azar un número entero par positivo entre los primeros 16 números naturales ¿Cuál es la probabilidad que el número sea divisor de 36?

32. En una caja hay 20 bolitas, 10 rojas y 10 verdes, cada color numerado del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita de color rojo o mayor que 5?


33. La ruleta de la figura se ha dividido en 4 sectores circulares numerados del 1 al 4. Si L1 y L2 son líneas que pasan por el centro, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I. La probabilidad de que salga un número impar es igual a la probabilidad de que salga par. II. La probabilidad de que salga el “1” es igual a la probabilidad de que salga un “4”. III. La probabilidad de que salga un número mayor que “1” es 0,75.


34. Si se lanza una moneda y un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga sello y en el dado un número menor que 3?


35. Una tómbola tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Al sacar una de las bolas, la probabilidad de que el número grabado en ella sea divisor de 5 es:

36. Al lanzar la ruleta de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) SIEMPRE verdadera(s)?

I. La probabilidad de que salga un número par es

II. La probabilidad de que salga el “1” es

III. La probabilidad de que salga el “4” es

A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo I y III.E) I, II y III.

37. En una caja hay 18 bolitas entre verdes y rojas. Si la probabilidad de

sacar una bolita verde es , ¿cuántas bolitas rojas hay?

A) 4B) 6C) 8D) 10E) 16


38. Se lanzan dos dados y se define la variable aleatoria: X = producto de los puntajes. ¿Cuál es la probabilidad de que X > 20?

39. En un colegio de Enseñanza Media, cada estudiante tiene derecho a optar solo por una actividad extra programática. Si las tres cuartas partes de los estudiantes eligen practicar deporte y una octava parte elige artes, como muestra el gráfico. ¿Cuál es la probabilidad de que al entrevistar a un estudiante del colegio, al azar, este responda que no realiza actividades extra programáticas?

40. De 25 televisores que se fabrican 1 sale defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de escoger uno defectuoso en 100 televisores?


RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C E D A D C C D C E A C E E C B C E C D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40B E C D B E E B C C C D A A C D D E A A

RECOPILACIÓN 3.

1.

A) 0B) -


C) D) E)

2. ¿Cuál es el vértice de la parábola de ecuación y = x2 - 6x + 4?

A) (3, 31)B) (-3, 31)C) (6, 4)D) (3, -5)E) (-6, 76)

3. Con respecto a las soluciones de la ecuación x2 – 2ax – 3a2 = 0, donde a ≠ 0, se afirma que:

I. Una es el triple de la otra. II. Tienen signos distintos. III. Su suma es un número positivo.¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es (son) siempre verdadera(s)?

A) Solo I.B) Solo II.C) Solo I y III.D) Solo II y III.E) I, II y III.

4. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a la gráfica de las funciones: f(x)=x2+2 y g(x)=-x+1?


5. Si las soluciones de la ecuación x2 – px + 6 = 0 son 2 y 3, entonces p =

A) -6B) -5C) 5D) 6E) Falta información.

6. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene como gráfica la siguiente?

A) y = -2x2 + 8x - 8B) y = -x2 + 4x - 4C) y = x2 - 4x + 4D) y = -x2 - 4x + 4E) y = -x2 - 4x - 4

7. Si a = , entonces a2 =

A) 2B) 4C) 6D) 10E) 2

8.

A) -4B) -2C) 1D) 2E) 4

9. Si el vértice de la parábola de ecuación y = x2 – px + q es el punto (2,3) entonces p + q =


A) -3B) -2C) 2D) 5E) 11

10. La solución del sistema de inecuaciones 2x – 3 < 5 es el intervalo -x + 4 < 2A) [2, 4] B)]2, 4[C)]2, 4]D) [2, 4[E) Ø

11. ¿Cuál es el conjunto solución del sistema de inecuaciones 3x – 1 > 2 -2x +1 >-1 A) IRB) IR – {1}C) ØD)]1, +∞]E) [1, +∞[

12. A y B son dos eventos independientes. Si la probabilidad de que ocurra A es p y de que ocurra B es q, ¿cuál es la probabilidad de que NO ocurran ambos eventos?

A) (1 - p) qB) p (1 - q)C) (1 - p) (1 - q)D) pqE) 1 - pq13. Si x ≠ 0, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son)

equivalentes al cociente ?

A) Solo I.B) Solo II.C) Solo III.D) Solo I y II.


E) Ninguna de ellas.

14. Con respecto a la función cuadrática y = -x2 + 4x, se afirma que: I. Intercepta al eje x en dos puntos. II. Intercepta al eje y en el origen. III. Su vértice es el punto (2,4)¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es(son) verdadera(s)?

A) Solo I.B) Solo II.C) Solo I y II.D) Solo I y III.E) I, II y III.

15. Si sobre el blanco de la figura se lanza un dardo tres veces y nunca cae fuera del disco, entonces ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces caiga sobre el sector marcado “rojo”?

16. Si se lanza dos veces la flecha de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que en ambas oportunidades salga el color verde?


17. Una persona contesta al azar 3 preguntas de verdadero o falso. ¿Cuál es la probabilidad de obtener sólo dos correctas?

18. Si se lanza un dado tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces salga un número mayor que 4?

19. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de los puntos resultantes sea 4?


20. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de los puntos resultantes sea 6?

21. Si se lanza un dado dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que la primera vez salga un número mayor que 3 y la segunda vez salga un múltiplo de 3?


22. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea menor o igual que 3?

23. En una tómbola hay solamente bolitas verdes y blancas. Si el 75% de las bolitas son verdes, ¿cuál es la probabilidad de sacar dos bolitas blancas, reponiendo la primera?


24. Se tienen diez tarjetas iguales numeradas del 1 al 10. Si se eligen tres tarjetas, reponiendo cada una de ellas luego de sacarla, ¿cuál es la probabilidad de que las tarjetas sumen 5?

A) 0,002B) 0,003C) 0,004D) 0,006E) 0,2

25. Con respecto a la ruleta de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar la flecha dos veces, en ambas ocasiones salga el color verde?

26. En el triángulo ABC de la figura, y . Si = 4 cm, = 2 cm y = 1 cm, entonces ¿cuál es el área del ABC?

A) 3 cm2

B) 6 cm2

C) 3 cm2

D) 6 cm2

E) 12 cm2


27. Si es un ángulo agudo tal que sen = 0,6, entonces tg =

A) 0,75B) 0,8C) 1,25D) 1,3E) 1,6

28. En el ABC rectángulo en C de la figura, mide 5 cm más que y la altura mide 6 cm, ¿cuál es el área del triángulo?

A) 6 cm2

B) 27 cm2

C) 39 cm2

D) 54 cm2

E) 78 cm2

29. Si tg = 0,75, entonces cos =

A) 0,4B) 0,5C) 0,6D) 0,8E) 4

30. En el ABC de la figura, ∡ CAD=45° y ∡ABC=30°. Si = a, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. = a II. = 2a III. = a A) Solo I.B) Solo II.C) Solo I y II.D) Solo II y III.E) I, II y III.

31. En un colegio hay dos cuartos medios con 50 estudiantes en total. En el 4º A hay 18 mujeres y en el 4º B hay 15 hombres. El total de mujeres entre los dos cursos es 25. Si se eligen dos estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el primero sea un hombre del 4ºA y el segundo sea una mujer del 4º B?


32. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. sen 60° = cos 30° II. sen 30° = sen2 45° III. tg 30° > cos 60°A) Solo I.B) Solo II.C) Solo I y II.D) Solo II y III.E) I, II y III.

33. Según los datos dados, x + y =

A) 4,5B) 8C) 9,5D) 10E) 10,5

34. El ACB es rectángulo en C y CHBE es un rectángulo. Si = 6 cm y = 8 cm, ¿cuál es el perímetro del rectángulo?

A) 16 cmB) 16,8 cmC) 22,4 cmD) 30,4 cmE) 46,08 cm


35.

36. En un triángulo rectángulo, es uno de los ángulos agudos tal que sen = 0,6. Si la hipotenusa mide 15 cm, ¿cuánto mide el cateto mayor?

A) 9 cmB) 11 cmC) 12 cmD) 13 cmE) Falta información

37. Según los datos de la figura, x =

A) 2B) 3C) 2 D) 4 E) 18

38. En la figura, , ∡ CBA = 20º y ∡BAD = 70º. Si = 2 cm y = 8 cm, entonces =


39. En una superficie sintética la probabilidad de que un deportista resbale si la superficie esté mojada es 0,8. Si la probabilidad de que la superficie esté mojada y que resbale el deportista es 0,02, ¿cuál es la probabilidad de que la superficie esté mojada?


A) 0,025B) 0,02C) 0,25D) 0,78E) 0,8

40. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C y EFGD es un rectángulo. Si = 3 cm y = 4 cm, entonces =

A) 3 cmB) 4 cmC) 5 cm

D) cm

E) cm

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20B D B A C B A E E B C C D E C E D E B B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40E C C D D D A C D E A E E C A C C D A D


RECOPILACIÓN 4.

1. log25 5 =

A) 0,1B) 0,2C) 0,3D) 0,4E) 0,5

2. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I. log4 2 = 0,5 II. log8 16 = 1,3 III. log 0,01 = -1A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III.

3. =A) B) C) D) E)

4. log 8 + log 2 =

A) 0B) 1C) 4D) 3 log 2E) 4 log 2

5. Si = p, entonces =

A) 2pB) p-2

C) 4p


D) p-4

E) p4

6. El conjunto de las soluciones de la ecuación es:

A) {-3}B) {1}C) {3}D) {1,3}E) {-3,1}

7. Si = 9 - y ; = 0,125, entonces y – x =

A) 3-3

B) 3-2

C) 1D) 3E) 32

8. ¿Cuál es el conjunto de las soluciones de la ecuación logarítmica: log x = log (x+18) – log (10 – x)?

A) {-6}B) {-3}C) {3}D) {6}E) {3,6}

9. Si = 0,25, entonces x =

A) -4B) -3C) -2D) -1E) 1

10. Si x3 = y2 (x > 0; y > 0), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. x = II. y = x III. 3 log x = 2 log yA) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.


E) I, II y III.

11. El conjunto de las soluciones de la ecuación logarítmica log (x+6) = 2 log x es:

A) {3}B) {-2}C) {2}D) {3,-2}E) Ø

12. La solución de la ecuación: es x =

A) -4B) -3C) -2D) -1

E) -

13. Sea la función f definida por f(x) = – 1. Si f(a) = 1, entonces a =

A) log2 3B) log3 2C) log 2 – log 3D) log 3 – log 2E) 0

14. Dos cilindros son tales que el primero tiene el doble de altura que el segundo y su radio es la mitad del otro. ¿En qué razón están los volúmenes de ambos cilindros?

A) 1: 1B) 1: 2C) 1: 3D) 1: 4E) 1: 6

15. La esfera de la figura está inscrita en el cilindro. Si el volumen de la esfera es 36 cm3, ¿cuál es el volumen del cilindro?

A) 9 cm3

B) 18 cm3

C) 27 cm3

D) 54 cm3

E) 432 cm3


16. En el paralelepípedo recto de la figura, las coordenadas de los vértices B y D son (3, 4,0) y (0, 4, 12) respectivamente. ¿Cuánto mide la diagonal AD del paralelepípedo?

A) 5B) 10C) 12D) 13E) 17

17. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar la figura en torno a la recta L?

A) 10 cm3

B) 11 cm3

C) 12 cm3

D) 16 cm3

E) 17 cm3

18. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar el triángulo de la figura en torno al cateto ?

A) 4,5 cm3

B) 9 cm3

C) 12 cm3

D) 18 cm3

E) 36 cm3

19. Un triángulo equilátero de lado “a” cm está ubicado en un plano horizontal. Si este triángulo se traslada en dirección vertical “b” cm, ¿cuál es el volumen del cuerpo generado?


20. ABCD es un rectángulo y AB es una semicircunferencia de radio 3 cm, tangente al lado . ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar la figura sombreada en torno al lado ?

A) 18 cm3

B) 24 cm3

C) 27 cm3

D) 36 cm3

E) 64 cm3

21. ABCD es un cuadrado y M es el punto medio del lado . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. tg = 2. II. tg β= 0,5. III. γ= +β.A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III.

22. ABCD es un cuadrado de lado 6 cm y DC es una semicircunferencia. Si M y N son los puntos medios de los lados del cuadrado, ¿cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar la figura sombreada en torno a la recta MN?

A) 6 cm3

B) 9 cm3

C) 12 cm3


D) 24 cm3

E) 36 cm3

23. Según los datos dados, ¿cuál es el perímetro del trapecio de la figura?

A) 13 cmB) 18 cmC) 11 + 2 cmD) 16 + 2 cmE) 22 + 2 cm

24. Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(4,0,0) ; B(0,4,0) y C(0,0,4). ¿Cuál es su área?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 12 E) 16

25. La figura está formada por un rectángulo y una semicircunferencia. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al girar la figura sombreada en torno al lado ?


26. Las aristas del ortoedro miden 3, 2 y 1 tal como se indica en la figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto A?

A) (1, 2, 3)B) (2, 1,3)C) (1, 3, 2)D) (2, 3, 1)E) (3, 2, 1)

27. Se ha efectuado un estudio de precios de un artículo. Para ello se ha consultado en seis supermercados, obteniendo los siguientes valores: $ 320; $ 350; $ 348; $ 332; $ 350; $ 327. ¿Cuál es la mediana de estos datos?

A) $ 335B) $ 338C) $ 340D) $ 349E) $ 350

28. Un dado ha sido lanzado 19 veces obteniéndose los resultados que se muestran en la siguiente tabla de frecuencias, ¿cuál es la mediana de estos datos?

A) 2B) 3C) 3,5D) 4E) 5


Número

Frecuencia

1 22 33 54 45 26 3

29. Las edades de 5 hermanos son 2, 12, 5, 9 y 12 años. ¿Cuál es de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Su mediana es 5 años. II. Su media es 8 años. III. Su moda es 12 años.A) Sólo I.B) Sólo I y II.C) Sólo II y III.D) Sólo I y III.E) I, II y III.

30. El gráfico adjunto muestra la distribución de notas de una prueba de un curso electivo de Biología. ¿Cuál es la mediana de estas notas?

A) 5,0B) 5,5C) 6,0D) 6,5E) 7,0

31. Si la media entre a, b y c es p, ¿cuál es la media entre a-2, b-2 y c-2?

A) p-6B) p-3C) p-2D) pE) p+2

32. El menor de 5 números consecutivos es “a”, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. La media es a+2. II. La mediana es igual a la media. III. La moda es 1.A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo I y III.E) I, II y III.


33. Un curso tiene 40 alumnos y la distribución por edad y sexo se muestra en la siguiente tabla: Si se elige un(a) alumno(a) al azar de este curso, se puede afirmar que:

I. La probabilidad de que tenga a lo más 15 años es .

II. La probabilidad de que sea de sexo masculino es

III. La probabilidad de que sea de sexo femenino o tenga más de

15 años es

Es(son) correcta(s):


34. Las estaturas de 8 alumnos seleccionados para representar a un Colegio en un interescolar son las siguientes: (en cm) 170; 172; 173; 171; 170; 172; 173; 170. ¿Cuál es la mediana de estas estaturas?

A) 170,5B) 171C) 171,5D) 172E) 175

35. En el gráfico se muestran las horas de estudio diario que dedica Pedro durante una semana. ¿Cuántas horas debe estudiar el viernes para que la media de estudio diario durante esa semana sea de dos horas?

A) 0B) 0,5C) 1D) 1,5E) 2


Hombres

Mujeres Total

15 años 16> 15 años 22

18

36. En un estacionamiento se toma una muestra de 34 vehículos para realizar un estudio acerca del tiempo en el cual permanecen estacionados. Los resultados se ilustran en la siguiente tabla:¿En qué intervalo se encuentra la mediana de estos datos?

A) [0, 1)B) [1, 2)C) [2, 3)D) [3, 4)E) [4, 5)

37. Para vender sus naranjas un agricultor las envasa en bolsas de 2 Kg. Elige 30 bolsas al azar y en cada una de ellas cuenta la cantidad de naranjas que contiene, obteniendo lo siguiente:¿Cuál es la media de unidades por bolsa de esta muestra?

A) 10,87B) 11C) 11,2D) 11,5E) 12

38. El gráfico adjunto muestra la distribución por sexo de los tres cuartos medios de un establecimiento educacional. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Más de un 53% de los estudiantes son de sexo masculino. II. Menos de un 28% de los estudiantes son del 4º B. III. La media de alumnos(as) por curso es 30.

A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y III.D) Sólo II y III.E) I, II y III.

39. La media de las edades de tres hermanos es 10 años y la moda es 8 años, ¿cuál es la mediana?


Tiempo (en horas)

Frecuencia

[0,1) 14[1,2) 10[2,3) 6[3,4) 3[4,5) 1

Unds. Frecuencia

9 410 611 612 813 6

A) 6 añosB) 8 añosC) 10 añosD) 14 añosE) Falta información

40. El precio del dólar vendedor durante el primer día del mes en seis meses seguidos en una casa de cambio fue el siguiente: $510; $515; $512; $508; $508; $519.¿Cuál es respectivamente la mediana y la moda de estos datos?

A) $512 y $508.B) $511 y $508C) $511 y $519D) $512 y $519E) $512 y $508

RESPUESTAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20E C B E B E E E B E A C B B D D B B B A

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40C E D C E D C B C C C C E C C B C C B BRECOPILACIÓN 5

1.

A) 10B) 5C) 2D) 1E) 3

2.

A)

B)

C)

D)


E) -

3. Si a cuatro docenas se le restan dos unidades, ¿cuántas unidades quedan?

A) 48B) 46C) 40D) 38E) 36

4. Un supermercado promociona: “Lleve 5 paquetes y pague sólo 4”. Entonces la rebaja es de un:

A) 1%B) 5%C) 20%D) 25%E) 80%

5. En una cafetería se recarga en un 5% las cuentas canceladas después de las 0 horas. Si a las 01 horas se canceló una cuenta de $ 2.100, ¿cuánto se habría cancelado antes de las 0 horas?

A) $ 1.890B) $ 1.995C) $ 2.000D) $ 2.095E) $ 2.205

6. Un labrador tiene pienso para alimentar a una vaca durante 18 días y si fuera una oveja tendría para 36 días. ¿Para cuánto tiempo tendría pienso si tuviera 2 vacas y una oveja?

A) 18 díasB) 12,5 díasC) 9,4 díasD) 7,2 díasE) 5 días

7. La tabla adjunta muestra la cantidad de combustible que tiene el estanque de un vehículo mientras recorre una distancia por la carretera.


Si el vehículo inicia su recorrido en el kilómetro 0, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) E n el kilómetro 150, el estanque se encuentra en la mitad de su capacidad. II) Desde el inicio del recorrido y hasta el kilómetro 200, el consumo de combustible es a razón de 10 Km/lt. III) Después de recorrer 200 Km, el vehículo cargó combustible.

A) Sólo IB) I y IIC) I y IIID) II y IIIE) I, II y III

8. En la sucesión: 10, 20, 40, x, 160, y; ¿cuáles son los valores de x e y respectivamente?

A) 60 y 240B) 80 y 240C) 60 y 320D) 80 y 320E) 60 y 260

9. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)? I) II)

III)

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I y IIIE) I, II y III

10. −p − (q − p − (−q − p + r)) =?

A) −p − 2q + rB) −p − 2q − rC) 2p − 2q + rD) 2p − rE) −p − r


Distancia recorrida (Km)

0 50 100 150 200 250

Cantidad de combustible (lts)

30 25 20 15 10 30

11. (x + y)2 − (x − y)2 =?

A) 0B) 2y2

C) 2x2 + 2y2

D) 4xyE) 4xy + 2y2

12. ¿Cuál de las siguientes alternativas es mayor si x = −2?

A) x2

B) −x3

C) x−1

D) −x−2

E) x

13. Piense en un número. Multiplíquelo por 2, réstele 4, súmele 5, divida el subtotal por 2, reste al cociente el número que pensó y este resultado elévelo al cuadrado. ¿Qué número obtuvo?

A) 0B) 1

C)

D)

E) Otro valor

14. ¿Cuál es el valor de m si ?

A)

B) 1

C) -

D) -1E) -2

15. Un lápiz cuesta $ x, una regla cuesta $ 2x y un sacapuntas cuesta $ x + 2. ¿Cuántos pesos hay que pagar al comprar 2 lápices, una regla y 2 sacapuntas?

A) 4x + 2B) 5x + 2C) 5x + 4


D) 6x + 2E) 6x + 4

16. Al preguntarle a Jorge por la edad de su hijo, contestó: “Si al doble de los años que tiene le quitan el triple de los que tenía hace 6 años se tendrá su edad actual”. ¿Cómo se expresa algebraicamente este enunciado?

A) 2x − 3x − 6 = xB) 2x − 3(x + 6) = xC) 2x − 3(x − 6) = xD) x − 3(x − 6) = xE) 3x − 2(x − 6) = x

17. Sea la expresión p = x2 − 2. Si x aumenta en 2, entonces p experimenta un aumento de:

A) 4x + 4B) x2 + 4x + 4C) 2x2 − 4D) x2 + 4x +2E) x2

18. El promedio entre dos números enteros consecutivos es 4,5. ¿Cuál es el antecesor del menor de dichos números?

A) 3B) 4C) 5D) 8E) 9

19.

A) p−5q8

B) p−2q8

C) p−2q2

D) p−5q2

E) p q2

20. El producto entre el 15% de m y el 20% de p, dividido por el 300% de q, da como resultado:


A)

B)

C)

D) E) Otra expresión

21. Un chocolate se vende en barras de dos tipos A y B. si 6 barras A cuestan $c y 9 barras B cuestan $d, ¿cuánto hay que pagar al comprar 2 barras A y 3 barras B?

A) $(6c + 9d)B) $(3c + 3d)C) $(12c + 3d)

D)

E)

22. Con una cuerda de largo t se construye un triángulo equilátero. ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo?

A) tB) 3t

C)

D)

E) Faltan datos

23. El largo de un rectángulo mide 2x + 1 y su ancho mide x − 1. ¿Cuánto mide su perímetro si cada lado se aumenta en x unidades?

A) 3xB) 5xC) 10xD) 3x 2E) 6x 2

24. Un padre preocupado, para motivar a su hija en el estudio de la matemática, se compromete a darle $ 1.000 por cada problema que resuelva en forma correcta y, si está incorrecto, la hija le devolverá $


500 de su mesada. Después de resolver 50 problemas, la hija ganó $ 35.000. ¿Cuántos problemas resolvió correctamente?

A) 35B) 40C) 45D) 50E) 6025. La figura muestra la variación del IPC durante el los doce meses del año 2.000. De acuerdo al gráfico podemos afirmar que: I) La mayor variación se produjo en Marzo. II) La mayor parte del año, la variación del IPC fue inferior al 0,5%. III) Entre Septiembre y Octubre no hubo variación del IPC.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) I y IIE) I, II y III

26. La solución del sistema es:

A)

B) x = 10; y = 100C) x = 0,1; y =D) x = ; y = 1E) x = ; y = 10

27. Sea P un punto de la curva f (x) = 5x − 3. Si la ordenada de P es el doble de su abscisa, entonces la distancia de este punto al origen del sistema de coordenadas es:

A) 3B) C) D) 5E) Otro valor


28. Dada f (x) = - x + 2, el valor de f (−1) + f (0) + f (1) es:

A) 0B) 4C) 6D) 8E) 10

29. Si m es un número natural mayor que 2, ¿cuál es la relación correcta

entre las fracciones ?

A) a > b > cB) a > c > bC) b > a > cD) b > c > aE) c > b > a

30.

A)

B)

C)

D)

E)

31.

A) 2B) -2C) 0D) 3



32. La expresión que corresponde al gráfico de la figura es:

A) (x −1)(x + 3) = yB) (x + 1)(x − 3) = 0C) (x + 1)(x − 3) = yD) (x − 1)(x + 4) = yE) (x − 1)(x + 3) = 0

33. La ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenadas (1, 2) y es paralela a la recta de ecuación 2x + y − 5 = 0 es:

A) 2x + y + 4 = 0B) –2x + y + 4 = 0C) –2x + y − 4 = 0D) 2x + y − 4 = 0E) –x + y + 4 = 0

34. ¿Cuál es el menor valor de x que satisface la ecuación

?

A) -3B) -4C) 2D) 3E) 4

35. Un ahorro de $5.000 se duplica cada 4 meses. ¿Cuánto dinero se tiene en total al cabo de 3 años?

A) B) C) D) E)


36. La figura representa un hexagono regular y , son tres de sus diagonales. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) II) ∡EDC ∡ FAB III) A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I y IIIE) II y III

37. Si dos circunferencias son concéntricas, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Sus radios son de igual longitud II) Sus perímetros son iguales III) Sus centros son coincidentesA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) I y IIE) I, II y III

38. En el Δ ABC de la figura, ¿cuánto mide el ∡ x?

A) 30ºB) 40ºD) 50ºD) 70ºE) Faltan datos

39.7 triángulos equiláteros de lado igual a P cm se ubican sucesivamente a 3 cm uno del otro, como lo indica la figura. ¿Cuánto mide el trazo ?

A) (P + 18) cmB) (P + 21) cmC) (7P + 3) cmD) (7P + 18) cmE) (7P + 21) cm


40. ¿Cuál de las siguientes transformaciones permite obtener el polígono Q a partir del polígono P de la figura?

A) Rotación en 90º con respecto al origenB) Rotación en 90º con respecto al punto (0, 1)C) Simetría con respecto al eje YD) Simetría con respecto al eje Y y rotación en 90º con respecto al punto (−1, 1)E) Rotación en 180º con respecto al punto (0, 1)

41. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a una simetría de la figura con respecto al eje L?

A)

B)

C)

D)

E)

42. ¿En cuál de los siguientes gráficos la función f(x) es la reflexión de la función g(x) con respecto al eje Y?

A) B) C)

D) E)


43. En la figura, las coordenadas del punto P son (−2, 1). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La reflexión de P con respecto al eje X tiene coordenadas (−2, −1). II) La traslación de P según el vector (1, 1) da como resultado el punto (−3, 2). III) Al rotar P en −90º en torno al origen se obtiene el punto de coordenadas (1, 2).

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) I y IIIE) I, II y III

44. En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) Δ ADE ~ Δ BDG II) Δ AFC ~ Δ EFG III) Δ ADE ~ Δ BAC

A) Sólo IIIB) I y IIC) I y IIID) II y IIIE) I, II y III

45. En la figura, , y . ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) Los triángulos OAD, OBE y OCF son semejantes. II) III)


46. ¿Cuál(es) de los siguientes segmentos AB está(n) dividido(s) por el punto C en razón de 4: 3?


I)

II)

III)

A) Sólo IIB) Sólo IIIC) I y IID) I y IIIE) I, II y III

47. Sandra mide 1,5 m y proyecta una sombra de 90 cm. ¿Cuál es la estatura de Luisa si proyecta una sombra de 60 cm?

A) 1 mB) 1,2 mC) 1,5 mD) 3,6 mE) 10 m

48. Si , Entonces x =?

A) 6

B)

C)

D)


49. Los vértices del Δ ABC de la figura están ubicados en las coordenadas (1, 0, 0), (1, 1, 0) y (0, 0, 1), respectivamente. ¿Cuál es su superficie?

A) B)

C)


D)

E)

50. En la circunferencia de centro O de la figura, el ∡ OAB mide 50º. ¿Cuánto mide el ∡ ACB?

A) 80ºB) 65ºC) 50ºD) 40ºE) Faltan datos

51. En la circunferencia de centro O de la figura, = 16. Si , entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) I y IIIE) I, II y III

52. En el triángulo rectángulo de la figura, sen =?

A)

B)

C)

D)

E) Faltan datos


53. Una paloma posada en la punta de un árbol de 15 m de altura, observa una fuente de agua con un ángulo de depresión de 50a. ¿A cuántos metros de distancia del árbol se encuentra la fuente?

A)

B)

C)

D) E)

54. Se desea pintar un balón esférico de 0,4 m de diámetro. ¿Cuál es el valor de la superficie a pintar?

A) B)

C)

D)

E)

55. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una letra de la palabra “UNIVERSIDAD” ésta sea una vocal?

A)

B)

C)

D)

E)

56. Una urna contiene 3 bolas rojas, 5 verdes y 2 amarillas. Al extraer una bola de la urna, ¿cuál(es) de las siguientes opciones es(son) verdadera(s)?


I) Es más probable extraer una bola roja que una bola amarilla.

II) La probabilidad de extraer una bola amarilla es .

III) La probabilidad de extraer una bola roja o amarilla es igual a la probabilidad de extraer una bola verde.


57. Una biblioteca cuenta con 100 libros distribuidos de la siguiente manera:

Literatura

Historia

Matemática

Biología

Filosofía

Español

35 20 15 6 5

Inglés 10 5 2 2 0

Al escoger un libro al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La probabilidad de que sea un libro en español es de un 81%. II) La probabilidad de que sea un libro de Historia es de un 25%. III) La probabilidad de que sea un libro de Biología en Inglés es de un 25%.

A) Sólo IB) Sólo IIC) I y IID) II y IIIE) I, II y III


58. El curso de Jorge hace una rifa con 50 números del 1 al 50 y un solo premio. Si Jorge compra todos los números cuyas cifras suman 7, ¿qué probabilidad tiene de ganarse la rifa?

A)

B)

C)

D)


59. Una bolsa contiene fichas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una ficha, ésta sea menor que 3 o mayor que 6?

A)

B)

C)

D)

E)

60. La media aritmética de los números 2,1; 2,3; 2,4; 2,1 y 2,6 es:

A) 2,1B) 2,2C) 2,3D) 2,35E) 2,4


61. La tabla adjunta muestra la distribución de edades de un grupo de personas. De acuerdo a la tabla, la moda y la mediana de las edades del grupo son:

Moda medianaA) 5 5B) 19 19C) 19 20D) 13 5E) 5 13

62. El gráfico de la figura representa la opinión de 300 personas encuestadas sobre la margarina X.

Con la información contenida en el diagrama se puede concluir que:

I) La mitad de los encuestados ha probado la margarina X. II) 20 encuestados prefieren la margarina X. III) El 50% de la población no consume margarina.¿Cuál(es) de estas afirmaciones es(son) verdadera(s)?

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) II y III


Edad

Frecuencia

18 1119 1320 521 622 1

63. Al lanzar un dado 30 veces, se obtuvieron los datos registrados en la tabla adjunta. Si el promedio aritmético de los datos es 3,6 , ¿cuál es el valor de x e y, respectivamente?

A) 3 y 9B) 5 y 7C) 6 y 6D) 7 y 5E) Ninguna de las anteriores

64. Cinco personas compraron un computador en $ 300.000.¿Qué cantidad de dinero aportó cada uno? (1) Dos personas pagaron la mitad del valor total. (2) La persona que más aportó puso $ 100.000.


65. Andrés es alumno de 4º año y es candidato a la presidencia de su curso. ¿Qué probabilidad tiene de salir elegido? (1) El curso de Andrés está formado por 32 alumnos. (2) Los candidatos son 5.


66. Dos personas parten de un punto A. Una camina con pasos de largo a hacia un punto B; y la otra, con pasos de largo b hacia un punto C. ¿Cuál es la distancia entre B y C?

(1) a = 70 cm y b = 50 cm


n f1 x2 43 34 55 66 y

(2) ∡ CAB = 90ºA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional.

67. ¿Cuánto mide la superficie sombreada de la figura? (1) ABCD cuadrado de lado 6 cm. (2) Δ DCE rectángulo en E, isósceles.


68. es un número entero si: (1) x es un múltiplo de 4 (2) x es un múltiplo de 100


69. Se puede saber el volumen de un baúl de base rectangular si: (1) Sus dimensiones están en la razón de 4: 3: 1 (2) La suma de todas sus aristas es 1.600 cm




70. ¿Cuál es la pendiente de la recta L1? (1) L1 pasa por los puntos (1, 1) y (3, 2) (2) L1 es perpendicular a la recta y = 1 – 2xA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C B B C C D D D B A D B C A E C A A D B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40E A C B D A C D B D B C D D E C C A D A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60C B D E C E A B C D E B B A E E C A B C

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70B A C E B E C E C D


RECOPILACIÓN 6

1.

2.

3. Un tren viaja hacia un lugar distante a 101 km, con una velocidad de

20 ¿Cuánto le falta por recorrer después de una hora y media de

viaje?

A) 61 kmB) 71 kmC) 91 kmD) 30 kmE) Ninguno de los valores anteriores


4. Se ha estimado en un estudio que el crecimiento anual de una población es de un 10% de su tercera parte. Si la población actual tiene 3.000.000 de habitantes, entonces el número de habitantes estimado de crecimiento para el próximo año es de:

A) 100.000 habitantesB) 200.000 habitantesC) 300.000 habitantesD) 2.900.000 habitantesE) 3.100.000 habitantes5. Un químico dispone de dos soluciones de ácido sulfúrico, de concentraciones 80% y 30%, respectivamente. ¿Cuántos litros de la segunda solución debe mezclar para obtener 100 litros con una concentración del 36%?

A) 88B) 34C) 36D) 24E) 12

6. En un balneario hay un total de 4.800 camas para alojar turistas. En marzo, por cada 8 camas solo hay una ocupada. ¿Cuántos turistas más podrían alojar en marzo?

A) 600B) 3.800C) 4.000D) 4.200E) 4.400

7. La siguiente tabla de valores representa la relación entre a altura x (en metros) y la presión atmosférica P (en centímetros de mercurio) que ejerce sobre un globo

Altura (x) 0 500 1.000 1.500 2.000 2.500Presión atmosférica

80 75 70 65 60 55

Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?I) Si el globo alcanzara una altura de 3.000 m, su presión atmosférica sería 50 cm de mercurioII) Para x = 2.000, la presión atmosférica baja 15 cm de mercurio respecto a la altura cero.III) La presión de la tabla está dada por P(x) = 80 – 0,01x



8. En la secuencia: el término n-ésimo es:

9.

10.

11. Si a = -2 y b = -1, entonces

A) – 10B) – 8C) 4D) 6E) 10


12. El recíproco de la suma de un número real m, distinto de cero, con el doble de su opuesto, se expresa como:

E) Ninguna de las expresiones anteriores

13. Si , entonces x =

14. Una costurera compró 5 metros de cinta roja en $a y 8 metros de cinta blanca en $ 1.000 más de lo que le costó la cinta roja. ¿Cómo se expresa el valor, en pesos, de un metro de cinta roja más un metro de cinta blanca, en función de a?

15. Siendo x un número real mayor que 3, ¿cuál es la relación correcta

entre las fracciones


16. dentro de 4 años Anita tendrá 12 años y Benito 3x años. ¿Cuál era la suma de sus edades hace x años atrás?

A) (12 – x) añosB) (4 – x) añosC) (x – 4) añosD) (x + 4) añosE) (2x – 4) años

17. Rodrigo compró 3 camisas distintas en $ 9m. Si la primera le costó $(m + n) y la segunda $ 6m, entonces ¿cuánto le costó la tercera camisa?

A) $(2m + n)B) $ (2m – n)C) $ (7m + n)D) $ (7m – n)E) $ (m – 2n)

18.

19. El promedio de un número par positivo y su sucesor par es igual al exceso del doble del número sobre 1. Entonces, el número par es:

A) no existe ese númeroB) 0C) 2D) 4E) 6


20. En una chocolatería se venden chocolates por unidad. Alicia y Teresa compraron los mismos tipos de chocolates. El paquete de Alicia contenía una docena y media de chocolates y le costo $ (x + 2). ¿Cuánto pagó Teresa por su paquete si este contenía solo una docena de chocolates?

21. En un local de frutas y verduras se venden naranjas y manzanas por unidades. Si se compran 10 naranjas en $ (p + q) y 20 manzanas en $ (2p – q), entonces ¿cuál es el valor, en pesos, de una manzana más una naranja?

22. Con un alambre de longitud x se forma un triángulo equilátero, ¿cuál es la medida de su área?


23. Si la base de un triángulo es y su altura es el doble de la base,

¿cuánto mide su área?

24. Si r es un número racional, ¿cuál(es) de los siguientes números es(son) siempre racional(es)? A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I, II y IIIE) Ninguno de ellos

25.


26. la figura muestra el consumo de agua de una familia, en todos los meses del año pasado. De acuerdo al gráfico se puede afirmar que: I) La mayor variación en el consumo se produjo entre marzo y mayo II) Solo entre los meses de enero y marzo no hubo variaciones de consumo III) El menor consumo se produjo en mayoEs (son) verdadera(s):

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Ninguna de ellas27. Juan compró 5 plátanos, 8 manzanas, 6 naranjas y 10 ciruelas; lo plátanos cuestan $ 120 cada uno, cada manzana cuesta la tercera parte de un plátano, cada una de las naranjas cuesta el doble del precio de cada ciruela y esta última cuesta la décima parte de un plátano. ¿Cuánto gastó Juan en toda su compra?

A) $ 1.112B) $ 1.204C) $ 1.184D) $ 1.024E) $ 1.256

28. En el sistema de ejes coordenados se ubican los puntos A(3,1), B(0,4), C(-2,4) y D(1,1). Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) ABCD es un paralelogramo II) El trazo BD es paralelo al eje y III) (1,2) es un punto del trazoA) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y III


D) Solo II y IIIE) I, II, III

29. Si , entonces x =A) -5

B) -

C) -1

D)

E) 5

30. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Todas ellasE) Ninguna de ellas

31. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función


32. se crea una nueva flota de buses al sur de Chile. Desde la capital le proponen las siguientes tarifas según la distancia recorrida:

Distancia (km) Precio ($)0 – 100101 – 300301 – 600

2.0003.6004.800

Además, se agrega un valor fijo de $ 1.000 y si el kilometraje no corresponde a un número entero, éste se aproxima al entero superior. ¿Qué gráfica representa la forma de cobro que tendrá esta nueva flota de buses?


33. En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) La pendiente de la recta L es igual a 1 II) El punto (3,-3) pertenece a la recta L III) La ecuación de la recta L es y + x = -3A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y III

34. El tercer término del trinomio cuadrado perfecto es:


35. Si el número de bacterias en un litro de leche se duplica en 4 horas y suponiendo que la tasa de multiplicación es constante, entonces ¿en cuánto tiempo se hará 32 veces mayor?

A) En 12 horasB) En 16 horasC) En 20 horasD) En 24 horasE) En 32 horas

36. En la figura, . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) Todas ellas

37. Si dos cuadrados son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Sus lados son de igual longitud II) Sus áreas tienen igual medida III) Los puntos de intersección de sus diagonales son coincidentes

A) Solo IIIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II, III

38. En el triángulo ACD de la figura, . Entonces, el ∡ ADB en función de es:


39. En la figura, ¿cuál es el perímetro de la figura plana formada por 4 triángulos equiláteros congruentes cuyas alturas miden 3 cm?

40. En la figura, ¿cuál de las siguientes transformaciones permite obtener el polígono P a partir del polígono Q?

A) Rotación en 180º con respecto al origenB) Simetría con respecto al eje yC) Simetría con respecto al eje y, y una rotación en 180º con respecto al origenD) Simetría con respecto al eje x, y una traslaciónE) Ninguna de las anteriores

41. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría (reflexión) de la figura respecto a la recta L?


42. El gráfico g(x) se obtiene por reflexión del gráfico de función f(x) respecto del origen. ¿Cuál de las siguientes opciones representa esta situación?

43. En la figura, las coordenadas de P son (3,1), ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I) Al rotar P en torno al origen en 90º, y en sentido antihorario, se obtiene el punto (-1,3)


II) El simétrico de P respecto al origen es el punto (-3, -1) III) Al trasladar P dos unidades hacia abajo y luego se busca su simétrico respecto al eje x se obtiene el mismo punto P.

A) Solo I y IIB) Solo I y IIIC) Solo II y IIID) I, II, IIIE) Ninguna de ellas

44. En la figura, el triángulo ABC es isósceles de base . ¿cuál(es) de las siguientes semejanzas es(son) verdadera(s)? ∼ II) ∼ III) ∼A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II, III45. En la figura . Si mide el doble de , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)


46. En una población la razón entre el número de mujeres (M) y hombres (H) es 2: 1 y entre mujeres y niños (N) es 2: 3, respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) H: M: N = 1: 2: 3 II) H: N = 2: 6


III) H + M = NA) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

47. En el triángulo ABC de la figura, , entonces ¿en cuál de las opciones se presenta la proporción correcta para determinar el valor de x?


48. Dos edificios en un momento proyectan una sombra, como se muestra en la figura. Un edificio mide 72 m de alto y el otro 24 m y ambos tienen 20 m de ancho. Si están separados por una distancia de 40 m, ¿cuánto mide la sombra formada por x + y?

A) 10 mB) 20 mC) 30 mD) 40 mE) 50 m

49. En la figura, los vértices ubicados en las coordenadas A(4,0,0), B(4,4,0), C(0,4,0) y D(0,0,0) corresponden a un cuadrado. Si ubicamos el


punto E(2,2,4) y lo unimos a los vértices del cuadrado, se forma una pirámide de base cuadrada, su área total y su volumen miden:

50. En la circunferencia de centro O, de la figura, ∡ CBA = 36º. ¿Cuál es la medida del ángulo CAB

A) 144ºB) 108ºC) 72º D) 54ºE) 36º

51. En la circunferencia de centro O de la figura, es diámetro. Si , ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son)

verdadera(s)?

A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

52. Con los datos de la figura, la expresión


53. En la figura se muestran las torres P y Q separadas a una distancia de 60 metros. Si se observan desde las bases contrarias, sus puntos más altos con ángulos de elevación de 45º y 30º, la diferencia entre sus alturas es:

54. La figura está formada por el rectángulo ABCE y el triángulo rectángulo ECD. Si , entonces ¿cuál es el volumen que se genera al hacer girar el cuadrilátero ABDE sobre un eje que pasa por


55. Se tienen 3 dados distintos de aristas de igual longitud, uno de 6 caras, otro de 8 caras y otro de 12 caras (sus respectivos nombres son: cubo, octaedro y dodecaedro). Sus caras están numeradas correlativamente en cada uno de ellos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de obtener un número par al lanzar un octaedro y un dodecaedro es la misma en ambos dados II) La probabilidad de obtener un número primo en un dodecaedro es igual a la del cubo. III) Obtener un divisor de seis al lanzar un cubo es igualmente probable que obtener un divisor de ocho al lanzar un octaedro

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID)Solo I y IIE) Solo II y III

56. En un colegio, de los 120 alumnos de los tres primeros medios,

habla inglés, alemán y ambos idiomas, con excepción del castellano

que lo hablan todos. Entonces ¿cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable solo un idioma, además del castellano?


57. La multicancha de un colegio se usa después de las 1900 hrs, solo para apoderados repartidos por deporte de la siguiente forma:

Baby fútbol

Básquetbol

Voleibol

Tenis

Nº de hombres 24 20 18 14Nº de mujeres 12 26 18 22

Al elegir un apoderado al azar y sabiendo que cada uno de ellos participa en un solo deporte, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) la probabilidad de que sea hombre es

II) La probabilidad de que juegue Básquetbol es

III) la probabilidad de que sea mujer y juegue tenis es

A)Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

58. Una caja contiene 9 fichas idénticas. Cada una de ellas contiene una letra de la palabra SERPIENTE. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)

I) La probabilidad de sacar una E es

II) La probabilidad de no sacar una consonante es

III) La probabilidad de sacar una vocal o una consonante es

A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II, III


59. Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea el numero 5 ó un número impar?

60. la tabla adjunta corresponde a las frecuencias de las notas de matemática de un curso de 45 alumnos. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La mediana es 5 II) La moda es 6 III) La media aritmética es menor que la mediana


61. Se tienen los números 3, 5, 8, 10 y x, cuyo promedio es 15. De acuerdo a esta información, ¿cuál es el valor de x?

A) 49B) 30C) 26D) 19E) 10

62. En los gráficos estadísticos se pueden inferir variables cualitativas. En éste se representan los resultados de una prueba de matemática de


Notas Frecuencia

1 12 43 54 65 96 127 8

un curso de 30 alumnos. ¿Cuál(es) de estas variables podría representar este gráfico? I) la prueba demostró que los alumnos habían aprendido todos los objetivos propuestos II) Se propuso que el 80% de los alumnos conocieran a lo menos el 75% de los objetivos. Esto se cumplió III) Este un curso de buena disposición para la asignatura


63. La siguiente tabla muestra el número de medallas ganadas por un grupo de 100 deportistas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)? I) Hay 20 deportistas que ganaron lo más dos medallas II) La mediana es 3,5 III) El 35% de los deportistas obtuvieron no menos de 5 medallas.

A) Solo IB)Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

64. En una parcela hay 480 árboles. Se puede determinar qué porcentaje de estos árboles son duraznos si: (1) El 20% de estos árboles son damascos (2) El 55% de los árboles son frutales


Número de medallas

Frecuencia

0 81 122 93 214 155 186 17

A) (1) por sí solaB) (2) Por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

65. Se puede determinar la razón entre los números positivos x y z si se sabe que: (1) x = 3m + z (2) m = z


66. El perímetro de un rectángulo es de 80 cm. Se puede determinar el ancho del rectángulo si: (1) El largo es de 30 cm (2) La razón entre el largo y ancho, respectivamente, es de 3: 1


67. Se puede determinar que a es un número negativo si se sabe que: (1) es 1

(2) no es positivo


68. Se puede determinar qué edad tendrá Luis cuando su hermano Juan cumpla 16 años si se sabe que: (1) En tres años más Juan cumplirá 18 años (2) Hace siete años Luis tenía 6 años

A) (1) por sí sola


B) (2) Por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

69. Se puede saber qué porcentaje es la región achurada del cuadrado ABCD de la figura si: (1) E es punto medio de (2)


70. En el triángulo ABC de la figura, . Se puede afirmar que el triángulo ADC es congruente al triángulo BDC si: (1) (2) ∡ ADC = 90º


RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20A E B A A D C B A D A D C B D D B B C E

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40B E C B E A C A E D E B C E C E B E B A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60


B D D E C E A C B D E B C D A B A C D E

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70A C A E C D C C A D

RECOPILACIÓN 7

1. El valor numérico de la expresión es:

A)

B)

C) 3,5D) 0,2


E) 0,035

2. Si n + 2 representa el mayor de una secuencia de tres números naturales consecutivos mayores que cero, entonces, el cuadrado de la suma de los dos menores es:

A) (n + 2)2

B) (n + 1)2 + 1C) n2 + nD) 2n2 + 2n + 1E) 4n2 + 4n + 1

3. El valor numérico de la expresión es:

A)

B)

C) D) E)

4. El gráfico de la figura muestra la recta de variación de x e y. Con los valores dados, para que y = 24, el valor de x debe ser:

A) 128B) 80C) 20,8D) 7,5E) 0,13

5. Si x es un número real, entonces la expresión es un número real:

A) Para todo valor de x que pertenezca a los RealesB) Para todo x real menor o igual a C) Sólo para valores reales de x menores que 5D) Para todo x real distinto de E) Sólo para valores de x reales mayores que

6. La expresión: tiene un valor numérico de:


A) 1,B) 1,17

C) -

D)

E) 0

7. Si x = , y = y z = 1,32, entonces, al ordenarlos en forma

creciente quedan:

A) z, x, yB) z, y, xC) x, y, zD) x, z, yE) y, x, z

8. Una microempresa fabrica cierto tipo de embutido, con carne de vacuno, cerdo, grasa y aliños en la razón 5: 4: 2: 1. Si se ha de fabricar una partida de 114 Kg de embutido, necesitarán de carne de cerdo:

A) 9,5 KgB) 19 KgC) 28,5 KgD) 38 KgE) 48 Kg

9. Si un número x es aumentado en un 8% resulta 810. ¿Cuál será el valor de ese número, disminuido en un 8%?

A) 596B) 686C) 810D) 750E) 690

10. Se sabe que Q crece en forma directamente proporcional al cuadrado de R, e inversamente proporcional a x, con constante de proporcionalidad 0,8. Cuando R = 15 ¿Cuál debe ser el valor de x para que Q = 5?

A) 0,028B) 36


C) 7,2D) 5,76E) 900

11. La tía Anita le compró a uno de sus nietos un triciclo que le costó $30.464, incluyendo un 19% de impuesto. ¿Cuál es el monto del impuesto pagado por ella en esta compra?

A) $2.560B) $5.788C) $5.184D) $4.864E) $1.603

12. ¿Cuál de los siguientes valores se acerca más a y = 3x2 – 3,5x – 1

cuando x = - ?

A) –

B) 2,5

C)

D) 3E) –2

13. Cierta magnitud V varía según la relación: V = , con m y t

mayores que cero. Si t aumenta al doble, entonces el valor de V:

A) Se hace 4 veces mayorB) Se duplicaC) Queda igualD) Disminuye en un 50%E) Disminuye al 25%

14. La expresión: p2 + p – 20 es divisible por:

A) p – 4B) p + 4C) p – 5D) 5 – pE) -4 – p


15. Un notario público debe repartir una herencia de 4k2 + 17k – 15 hectáreas de terreno entre k + 5 herederos. Cada uno recibe, en hectáreas de terreno:

A) k – 3B) 4k – 3C) k + 3D) 4k + 3E) (2k – 4)2

16.

A)

B)

C)

D) x + 6E) 17x + 55

17. La diagonal de un cuadrado de lado (t – 1) es:

A) (t – 1)(t + 1)B) C) D) E)

18. Si u = -4, entonces =

A) 7B) -1C) -5D) -11E) -15

19. En la figura, las coordenadas del punto P son:

A) (-4, 5)B) (-4, -5)C) (4, 5)


D) (5, 4)E) No se puede determinar

20. Si x = -2 e y = 3, entonces: =

A) -

B)

C) – 6

D)

E) -

21. Un rectángulo tiene (xy – 2x + y – 2) cm2 de área. Si uno de sus lados mide (x + 1) cm, entonces el otro lado mide:

A) y + 1B) y – 1C) y + 2D) y – 2E) 2y – 1

22. Si u = 0,8 y v = 0,02, entonces:

A) B) C) D)

E)

23. ( + 5) ( - 5) – ( - 3)2 =

A) 2(2 + 3 - 17)B) 2(2 + 3 - 8)C) 2(3 - 17)D) 2(3 - 8)


E) –16

24. Si p 0, entonces:

A)

B)

C)

D)

E)

25. Si y = 20 (1 – 2-x), el valor de y cuando x = 3 es:

A) –140B) 17,5C) 24,5D) 180

E)

26. La concentración de CO2 en la atmósfera a partir del año 1960 puede ser modelada por la función C = 315 + 0,8t + 0,02t2, en donde C es la concentración de CO2 en ppm (partes por millón) y t son los años transcurridos a partir de 1960 (año cero). Sobre la base de esta propuesta, podemos afirmar que entre 1970 y 1980 la concentración de CO2 en la atmósfera:

A) Disminuyó a 325 ppmB) Aumentó en más de 300 ppmC) Aumento en 14 ppmD) Aumentó en 10 ppmE) Aumentó en menos de 5 ppm

27. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es una recta perpendicular a la recta y + 4x = 5?

A) y = 4x – 5

B) y = - x + 2


C) y = – 4x

D) y = - x + 2

E) y = x

28. Ciertos biólogos marinos han propuesto que el peso P, en gramos, de una variedad de pez es función lineal de su longitud L, en centímetros. De acuerdo a los datos del esquema gráfico de la figura, la función es:

A) P = 20 L + 400B) P = 25 L + 12,5C) P = 12,5 L + 25D) P = 12,5 L + 40E) P = 12,5 L – 25

29. Cierta variable N es función de x, de

modo que: log N = 1 + . ¿Cuál es el valor de x para N = 1.000?

A) –2

B) –

C) 2

D)

E) 1

30. Considere en la figura, la gráfica de una función f(x). De acuerdo a esta: I) f(x) es decreciente en todo el dominio de la función. II) Si 0 < x < r ⇒ f(x + 1) > f(x) III) f(r) – f(0) = b


Es (son) correcta(s):

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

31. En la función f(x) = x2 – 5, el valor de f(x + 1) – f(-5) es:

A) x2 + 2x – 24B) x2 + 2x + 16C) x2 + 2x + 6D) x2 + 12x + 31E) x2 + 1

32. El valor numérico de la expresión: es igual a:

A) B)

C)

D)

E)

33. El cociente: =

A) B) C) D) E)

34. Si P, Q y R son todas cantidades positivas, entonces, cuando P = ,

y R = , el valor de es:


A)

B) C)

D)

E)

35. El valor de x en la ecuación

A) {2, -2}B) C)

D)

E)

36. En la ecuación 1 – 2 log P = 2, el valor de P es:

A)

B) -2C) -

D)

E)

37. En un cuadrado mágico, la suma de columna, de filas y de diagonales es una constante. En el cuadrado mágico de la figura, el valor de x + y es:

A) 12B) 9C) 7D) 6E) 5

38. Considerando que , el valor de es:

A) 8


B)

C)

D)

E)

39. Una mamá desea construir una pequeña mesa para que su hijo pueda hacer sus tareas escolares, para lo cual requiere sólo madera y clavos. Ella estima que gastará, en total, más de $3.000 y que en clavos gastará menos de $500.Si x = gasto en madera e y = gasto en clavos, entonces:

I) x + y > 3.000 II) x – y < 0 III) y < 500Es (son) correcta(s):

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo II y IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

40. Si , entonces el valor de es:

A)

B) C) -D) 2,5E) -0,625

41. En la figura, el conjunto representado en la recta sombreada es:

A) –2 ≤ x < 3B) –2 < x < 4C) 3 > x < -2D) 3 < x ≥ -2E) –2 < x ≤ 3


42. Una fábrica de muebles produjo esta semana 40 sillas más que la semana pasada. Entre ambas semanas la cantidad producida es 232

sillas más que los producidas la semana pasada. ¿Cuántas sillas

produjo esta semana?

A) 120B) 115C) 170D) 280E) 160

43. En la figura, ABCD: rombo. E, F, G, y H: puntos medios de los respectivos lados: Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)? I: ∡HGC = ∡AEF II: ∡DHE + ∡CHG=90°

III: ∡BFG = ∡DAB


44. Si los vértices de la figura 8 tienen coordenadas A(2, 3); B(5, 6) y C(3, 7), para que las coordenadas del punto B sean (-1, 6) se debe aplicar: I) Una rotación de 270°, en sentido horario con centro en A. II) Una reflexión con respecto al eje X = 2. III) Una traslación de vector (-6, 6).Es(son) verdadera(s):


45. En la figura, AEFG: Trapecio isósceles el triángulo CDH es equilátero, los triángulos ACG y DEF son isósceles


congruentes además y . Si =16 cm y = 36 cm ¿cuál es el perímetro de la figura achurada?


46. La figura, muestra una circunferencia de centro O y

diámetro = 20 cm. Si , , entonces =


47. En la circunferencia de centro O, de la figura, : tangente a la circunferencia en D. Si ∡ACD = 34° y ∡OAB = 20°, entonces el valor del ∡ADC =

A) 90°B) 108°C) 110°D) 112°E) 146°

48. En la figura, las circunferencias de centros O y O' son tangentes en el punto Q, con O perteneciente a la circunferencia menor. Si el ∡PQR = 60° y el radio de la circunferencia mayor es de 12, ¿Cuál es el área de la figura achurada?


A) 24B) 12 − 6C) 3 (6 − 9 )D) 6 − 9E) 18

49. En la figura, ABCD: trapecio, EF: mediana. Si el área del triángulo

CHB = 12 cm2, = 3 cm, = y = 24 cm ¿cuál es el área del

triángulo AGD?

A) 10 cm2

B) 18 cm2

C) 12 cm2

D) 20 cm2

E) 11,25 cm2

50. En la figura, la imagen reflexiva del punto C, con respecto al eje de simetría y = 3, es el punto:

A) (2, 2)B) (5, 4)C) (4, 5)D) (1, 2)E) (2, 1)

51. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de la estrella de la figura, si al realizar una traslación de vector (-2, 3), el centro de la estrella queda en el punto (3, 2)?

A) (5, -1)B) (-1, 5)C) (1, 5)D) (5, 5)E) (1, -5)52. La figura, muestra el hexágono regular ABCDEF, en donde , y

son diagonales. Entonces el ∡x =?

A) 30°B) 60°C) 45°D) 120°E) 90°


53. En la figura, , = 8 y = 18. Entonces =

A) 13B) 10C) 11D) 12E) 15

54. En el triángulo rectángulo de la figura, ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones entre lados es(son) falsa(s)?

I)

II)

III)


55. En el triángulo rectángulo de la figura, , entonces

A)

B)

C)

D)

E)

56. Un topógrafo con su instrumento visa la cima de una antena de 25 m de alto, con un ángulo de inclinación de 45°, siendo la altura del instrumento de 1,5 m (ver figura). ¿A qué distancia se ubica el topógrafo de la antena?

A) 23,5 mB) 14 mC) 30mD) 25 mE) 26,5 m


57. ¿Qué altura debe alcanzar un globo para poder ser divisado a 120 m de distancia, si el coseno del ángulo de declinación es de 0,8?

A) 120 mB) 96 mC) 900 mD) 130 mE) 90 m

58. En una obra de construcción, los maestros y ayudantes están en la razón 2: 3. Los maestros ganan $4.000 por hora de trabajo y los ayudantes $1.500 por hora. El valor promedio de hora de trabajo entre maestros y ayudantes es, en esta obra:

A) $2.750B) $3.000C) $2.500D) $2.250E) $2.650

59. Según el pronóstico del tiempo dado por la TV, para mañana hay una probabilidad del 30% de que llueva y una probabilidad del 45% de que haga frío. Si ambos fenómenos son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que mañana llueva, pero que no haga frío?

A) 85%B) 55%C) 16,5%D) 15%E) 13,5%60. El gráfico de la figura muestra el número de hijos por familia en la IX región. Según esta gráfica, en esta población:

I) El 80% de las familias tiene hijos. II) El promedio de hijos por familia es 3. III) Entre las familias con hijos, más del 60% tiene 1 ó 2 hijos.

Es(son) correctamente inferible(s) de la información gráfica:

A) Sólo IB) Sólo I y II


C) Sólo II y IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

61. Un niño tiene una alcancía sólo con monedas de $10, de $50 y de

$100. La probabilidad de extraer una moneda de $10 es , mientras

que la de extraer una de $100 es . ¿Cuál es la probabilidad de extraer

una moneda de $50?

A)

B)

C)

D)

E)

62. En una crianza de cerdos, de un total de n cerditos recién nacidos m son machos. Entonces, la probabilidad de nacimiento de una hembra en esta crianza es:

A)

B)

C)

D)


E)

63. En cierta ciudad se ha verificado lo siguiente:• Llueve 1 de cada 5 días,• Cuando llueve, 7 de cada 10 personas llevan paraguas,• Cuando no llueve, 1 de cada 8 personas llevan paraguas.Si esto es así, ¿Cuál es la probabilidad de que en esta ciudad una persona ande sin paraguas?

A)

B)

C)

D)

E)

64. Un comerciante compró para vender, sandías y melones, vendiendo toda la partida a $400 cada melón y $860 cada sandía.¿Cuánto obtuvo de utilidad en este negocio? (1) Compró un total de 120 unidades, entre sandías y melones. (2) El número de sandías representa el 50% respecto de la cantidad de melones.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

65. Se puede determinar el valor numérico de a + b si: (1) a : b = 0,75 (2) b – a = 8



66. Es posible conocer el valor de si:

(1) La suma de + β = 63 (2) representa el 80% respecto de β


67. La figura muestra el cuadrado ABCD, si , se puede determinar el área del cuadrado si: (1) = 6 (2) = 6A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

68. La figura, muestra una circunferencia con centro en O. Si ∡PTQ = 55°, se puede determinar el ∡ROS si: (1) ∡POQ = 50° (2) ∡PTS = 125°A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

69. ¿Cuál es el volumen generado por la rotación de un rectángulo cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados? (1) El rectángulo rota 180º. (2) Las medidas del rectángulo son 10 x 3 cm.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)


D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

70. En una tómbola hay sólo bolas rojas y blancas, indistinguibles entre sí, salvo por el color. Es posible determinar la cantidad de bolas blancas si: (1) La probabilidad de extraer al azar una bola roja en una

primera extracción es .

(2) En la tómbola hay un total de 15 bolas.


RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C E A D B A A D E B D C E A B B E D C B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40D D C A B C E C E B A B D E A D B E D C

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60A C E C A B B C D E A B D B E A E C C D

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70D A A E C B D A E C


FACSIMIL 1 TIEMPO: 2HORAS 25 MINUTOS

I. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD

1.

2. Dados los decimales 0,15; 0,149; 0,2; 0,1437; 0,07; al sumar el menor con el mayor se obtiene:

A) 0,2137B) 0,27C) 0,2927


D) 0,299E) 0,7127

3. Si los 5 primeros términos de una secuencia son:

¿cuál es el término que ocupa la posición n-

esima?

4. La distancia de la Tierra a la Luna es de 386.000 Km. Ésta es, aproximadamente, cinco milésimas de la distancia de la Tierra a Marte. ¿Cuál es la distancia aproximada de la Tierra a Marte?

A) 1, 93 x 102 KmB) 1, 93 x 105 KmC) 772.000 KmD) 77,2 · 10−2 KmE) 77,2 · 106 Km

5. El valor de (0,25−2 − 5)2 es:

A) 9B) 22C) 50D) 81E) 121

6. Para un trabajo que se hace en tres etapas se dispone de 60 hombres. En la primera etapa se ocupa la cuarta parte de los hombres y en la

segunda los del resto. ¿Cuántos hombres trabajan en la tercera etapa?


A) La mitad de los que trabajaron en la segunda etapa.B) Un tercio de los que trabajaron en la segunda etapa.C) La mitad de los que trabajaron en la primera etapa.D) Un tercio del total.E) La mitad del total.

7. Los de 33 es igual a de:

A) 0,27B) 2,7C) 27D) 270E) Ninguna de las anteriores

8. Si a y b son dos números reales de distinto signo, entonces siempre es posible afirmar que: I) a2 + b2 es un número real positivo II) (a + b)2 es un número real positivo III) (a + b)(a − b) es un número real positivoA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) I y IIE) I y III

9. María es dos años mayor que Raúl y la edad de éste es 6 veces la edad de Marcela. El promedio de sus edades es 9 años y 4 meses. ¿Qué edad tiene Raúl?


10. Julia, al comparar las mercancías A y B observa que B cuesta $ 30.000 más que A. Además, verifica que si a B se le descuenta el 10%, ambas quedarán con el mismo valor. ¿Cuál será el valor de la mercancía B?

A) $ 300.000


B) $ 270.000C) $ 99.000D) $ 33.333E) $ 30.000

11. En un cierto colegio, la razón entre profesores y alumnos es 1: 9. Si

de los alumnos son mujeres y de los profesores son hombres, ¿qué

fracción del alumnado y profesores son mujeres?

A)

B)

C)

D)


II. ÁLGEBRA Y FUNCIONES

12. Si 89xy – 99 = 98xy, entonces xy =?

A) –11B) –9C) 9D) 11E) 89

13. El costo total del paseo de curso es de $ a. Esta cantidad se asume en partes iguales por el total de los b alumnos del curso, pero a última hora desistieron del viaje c alumnos. ¿Cuál es el valor de la nueva cuota que deben cancelar los que realizan el viaje?

A) aB) a (b − c)


C)

D)

E)

14. Con el 70% del perímetro de un cuadrado se construye un triángulo equilátero de 14 cm de lado. ¿Cuál es el área del cuadrado?

A) 25 cm2

B) 100 cm2

C) 225 cm2

D) 360 cm2

E) 400 cm2

15. En la expresión: xk − 2 = 3x, ¿para qué valor de k ocurre que no existe el valor de x?

A) 2B) −2C) −3D) 3E) 0

16. Si a + b + c = 90 y , entonces el valor de c es:

A) 72B) 36C) 18D) 12E) 9

17. La expresión: “La mitad del cuadrado de 3a es equivalente al cuadrado de la mitad de a”. Corresponde a:


E) Otra expresión

18. Las edades de Marta, Andrea y Sonia suman (3a + 2b) años. Marta tiene b años y Sonia tiene (a − b) años. ¿Cuántos años tiene Andrea?

A) 2aB) 2bC) a + 2bD) 2a + bE) 2a + 2b

19. Si al cuadrado de (x − 3) le restamos el triple de (3 − x) resulta:

A) x2 + 3xB) x2 + 9xC) x2 - 9xD) x2 - 3x + 18E) x2 - 3x

20. Si 2a − 3b = 8 y 3m + 2n = 18, entonces 2(a + 2n) + 3 (2m − b) =


21. Si - 1 = 3 entonces x2 − 3 = ?

A) 1B) 19C) 16D) 253E) 256


22. Sea . ¿Cuál de las siguientes expresiones es(son) siempre

verdadera(s)? I) b = ay − bx

II)

III)

A) Sólo IB) I y IIC) Sólo IIID) II y IIIE) Ninguna

23. Si a + b = 25 ; entonces a2 + b2 =? ab = -150

A) 1.225B) 925C) 625D) 325E) Ninguna de las anteriores

24. Si f (3x − 1) = x2 − 10, entonces f (5) =?

A) −1B) −6C) 15D) 26E) No se puede determinar

25. Si f (x) = 3x y g (x) = 5, entonces f (1) + g (1) =?



26. Si el punto P (4, 3) pertenece a la recta de ecuación x - 2py - 5 = 3 y además satisface la ecuación de la recta qx + 1 - 2y = 3, entonces los valores de p y q son, respectivamente:

27. ¿Cuál de las siguientes expresiones es la que corresponde con la función graficada en la figura?

28. ¿Cuál de las siguientes opciones representa al conjunto solución de la inecuación 3 < x − 1 5?

29.


A) 5B) 1

C)

D) 0E) Ninguna de las anteriores

30.

A) 2B) C) - 1D) - 2E) - 3

31. Si 540 = 2a •3b • 5c, entonces = ?

A) 1B) 2C) 0

D)

E) 4

32. Si log x = a y log y = b, entonces log =?

A) 3a + 3bB) 3ab

C)

D)

E) 3 33. Un elemento radiactivo se desintegra de acuerdo a la relación

M = M0 • , donde M0 es la cantidad inicial del elemento y M es la

cantidad que queda de él después de transcurridos los t años. ¿Cuántos años deberán transcurrir para que una muestra de 400 gr de este elemento se reduzca en un 80%?


E) Ninguna de las Anteriores

34. Sea px2 + qx + r = 0. Si la suma de las raíces de esta ecuación es igual al semiproducto de ellas, entonces:

A) r - p = 0B) p = rC) r + 2q = 0D) r - 2q = 0E) - 2q = pr

35. La gráfica de la figura, corresponde a la función cuadrática f (x) = a (x − h)2+ k. Entonces, los valores de a, h y k son, respectivamente:

A) 1; -8; 15B) 1; 8; 15C) 1; 4; -1D) -1; 4; -1E) -1; -4; -1

36. Una ameba, en condiciones de laboratorio, se duplica cada 3 minutos. Al cabo de 30 minutos de transcurrido un experimento se cuentan 210 amebas. ¿Con cuántos ejemplares se inició éste?

A) 1B) 2C) 4D) 8E) 12

37.


A) 3B) 2C) 1D) 0E) -2

38. Sean f(x) = 3mx + 5 y g(x) = (x + 1)2 funciones. Si f(1) = g(2), entonces m =?

A)

B)

C) 3 D) 2 E) Ninguna de las anteriores

III. GEOMETRÍA

39. A la circunferencia de la figura con centro en (1, 1) y radio 1, se le aplica una reflexión con respecto al eje Y, y posteriormente una reflexión con respecto a la recta y = x. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de la circunferencia resultante?

A) (1, −1)B) (1, 1)C) (−1, 1)D) (−1, −1)E) (0, −1)


40. Al ABC de coordenadas A (0, 2), B (1, 0) y C (0, 0), se le aplica una rotación en 90º con respecto al origen del sistema cartesiano. ¿Cuáles son las coordenadas de A’ y B’, imágenes de A y B respectivamente?

A) (−2, 0) y (1, 0)B) (0, −2) y (0, 1)C) (−2, 0) y (0, 1)D) (0, −2) y (1, 0)E) (−2, 0) y (1, 1)

41. En un sistema cartesiano se tiene un punto P (3, 2). ¿Cuáles son las coordenadas de P al rotarlo con respecto al origen en 90º, 180º y 270º en sentido horario (figura)?

A) (2, −3); (3, −2); (−2, 3)B) (2, −3); (−3, −2); (−2, 3)C) (2, −3); (−2, −3); (−2, 3)D) (3, −2); (−3, −2); (−3, 2)E) (−2, 3); (−2, −3); (3, −2)

42. En la figura, ABCD es un paralelogramo. ¿Cuál(es) de la(s) afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) ∡1 + ∡2 +∡ 4 = 180º II) ∡1 + ∡2 = ∡3 III) ∡1 + ∡2 = ∡3 + ∡5A) Sólo IB) I y IIC) I y IIID) Sólo IIIE) Todas

43. ¿Cuál es el perímetro de la figura plana (figura) formada por 3 rombos congruentes cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm?

A) 20 cmB) 40 cmC) 60 cmD) 80 cm


E) 100 cm

44. La superficie de una región cuadrada es a2. Entonces, la superficie de la región circular que tiene por radio la diagonal del cuadrado es:

45. ¿Qué parte del área del trapecio ABCD de la figura es el área del triángulo CDE?


46. En la figura se tiene el cuadrado ABCD y el triángulo equilátero EFG Si = 4 cm y = 12 cm, entonces el perímetro del sector sombreado es:

A) 52 cm

B)


C)

D)


47. En la circunferencia de centro O de la figura, es diámetro, los arcos AD y DC son congruentes y Arco DA = 2 Arco BC. ¿Cuál es el valor del ∡ DEC?

A) 36ºB) 54ºC) 72ºD) 108ºE) 120º

48. En la figura, ABC equilátero, y = 2: 1. ¿En qué razón están las áreas del cuadrilátero ABED y el triángulo ABC?

A) 3: 4B) 2: 3C) 3: 5D) 4: 5E) Ninguna de las anteriores.

49. Dos triángulos son semejantes si tienen: I) dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente. II) los tres lados homólogos proporcionales. III) sus tres ángulos congruentes.De las afirmaciones anteriores, es (son) siempre verdadera(s):

A) Sólo IB) I y IIIC) I y IID) II y IIIE) I, II, III

50. En la figura, = 5 cm y = 12 cm. El PQR es rectángulo en R y . Entonces, =?


A)

B)

C)

D)

E) Otro Valor

51. En el ABC de la figura, se tiene que = t, = u, = p, = q, = r y = s. Entonces, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)? I) = p + q II) = p + q - r

III) =

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) I y IIE) I y III

52. En la figura, O es el centro de la circunferencia, y Arco RS ≅ Arco SQ. Entonces, el ∡ SOR mide:

A) 75ºB) 60ºC) 45ºD) 30ºE) 15º

53. Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente a ella y una secante que pase por su centro, entonces ¿cuál es el radio de la circunferencia si el segmento exterior de la secante mide 8 cm y la tangente mide 12 cm?

A) 18 cmB) 10 cm


C) 9 cmD) 5 cmE) No se puede determinar

54. De acuerdo a los datos de la figura, la longitud de es:


55. En la figura, el Δ ABC es rectángulo en C, y = cm. Si tg

, entonces =?


56. Con los datos de la figura, ¿cuál es el valor de sen2+ cos2?

E) 1

57. Javier quería construir un pequeño estanque cúbico de agua de 1.000 litros de capacidad. Para ello determinó que la arista debía medir un metro de longitud. Cuando terminó la construcción, notó que las aristas medían cada una 102 cm. ¿Cuál es la diferencia, en cc, de la capacidad del estanque que construyó?


A) 8B) 404C) 800D) 61.208E) Otro Valor

58. Sobre los lados de un cuadrado, se construyen triángulos equiláteros cuyos lados son de igual medida que los lados del cuadrado. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del cuadrado. II) La suma de los perímetros de los triángulos es el triple del perímetro del cuadrado. III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del cuadrado.

A) Sólo III B) I y II C) I y III D) II y III E) I, II y III

IV. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.

59. Una caja contiene 10 fichas de igual peso y tamaño. Cada ficha tiene grabada una letra de la palabra LITERATURA. Si se escoge una ficha al azar, ¿cuál es la probabilidad de escoger una vocal?

60. Si la probabilidad de un suceso es 0,001, entonces ¿cuál es la afirmación más adecuada?

A) Este suceso jamás ocurre.B) Ese suceso siempre ocurre.


C) El suceso ocurre con mucha frecuencia.D) Ese evento ocurre rara vez.E) El suceso es seguro.

61. Un dado es lanzado tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en el segundo lanzamiento se obtenga un número par?

62. Al lanzar dos dados, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Los sucesos posibles son 36. II) La probabilidad de que la suma sea 1 es cero.

III) La probabilidad de que la suma sea un divisor de 6 es .

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo II y IIID) Todas son verdaderasE) Ninguna es verdadera

63. Una urna contiene 10 bolitas iguales numeradas del 1 al 10. Si se sacan 2 bolitas al azar y sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que en ambas se obtenga un número par?


64. Los puntajes obtenidos por un curso electivo en un ensayo de PSU fueron los siguientes: 450 – 670 – 550 – 380 – 700 − 580 – 460 – 675 782 – 800 − 776 – 660 – 650 – 420 – 690Entonces, la media aritmética del curso en este ensayo es:

A) 600,0B) 612,8C) 615,8D) 616,2E) 622,8

65. En la siguiente tabla se muestra la distribución de frecuencias para la variable x. Entonces, al sumar la media con la moda de la distribución se obtiene:

A) 3,1B) 3,3C) 5,12D) 5,8E) Ninguna de las anteriores

66. La tabla muestra las notas obtenidas por un curso en una prueba de inglés. De acuerdo a la información entregada, ¿cuál es la nota promedio del curso?

A) 5,0B) 4,5C) 4,0D) 3,5E) 3,0

67. De acuerdo a la información de la tabla anterior es correcto afirmar que:

A) la moda es 5B) la mediana es 5C) el promedio y la mediana son igualesD) el promedio es mayor que la medianaE) el promedio es menor que la mediana

68. Si el 25% del curso tiene promedio 5,9 y todo el curso tiene promedio 5,0, entonces ¿cuál es el promedio del resto del curso?


x 1 2 3 4 5 6 7f 1 7 4 3 5 4 1

Nota

Nº alumnos

2 53 54 55 5

A) 4,7 B) 4,8 C) 4,9 D) 5,0 E) Falta información

V. EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS

INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N° 69 A LA N° 75

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra:A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; pero la afirmación (2) por sí sola no lo es;

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; pero la afirmación (1) por sí sola no lo es;

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta; pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente;

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

69. En un avión viajan 200 pasajeros de los cuales 80 son extranjeros y el resto chilenos. ¿Cuántas mujeres chilenas viajan? (1) El número de hombres chilenos es igual al doble del número de mujeres.

(2) Del total de pasajeros, los son hombres.


A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.

70. ¿Cuál es el área de un terreno rectangular? (1) El cerco que lo rodea mide 500 metros. (2) Los lados están en razón 2: 3.


71. En la figura, ∡ EOA = 135º ¿Cuánto mide el ∡ AOB? (1) Arco AB: Arco BC: Arco CD: Arco DE = 1: 2: 4: 8 (2) EOB = 150º


72. Sean y β ángulos. ¿En qué razón están sus suplementos? (1) + β= 90º (2) : β = 1 : 2


73. En el trapecio ABCD de la figura, ¿cuál es el valor de ? (1) ABCD trapecio isósceles de base igual a 5 cm de longitud.

(2)

A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.


C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.

74. Si la figura está compuesta por cinco cuadrados congruentes, ¿cuál será el área sombreada? (1) El área total es 100 cm2. (2) Cada cuadrado tiene 20 cm2 de superficie.


75. ¿Cuál es el promedio de edad en un curso mixto? (1) La edad promedio de las niñas es 17 años. (2) La edad promedio de los varones es 18 años.


PAUTA FACSIMIL

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C B E E E A D A D A C A C C D C C E E D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40D E B B A E D D C E B C C C C A E B A C

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60


B C C D C B A B E C E D D E A A D D C D

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75A D C D D D C A C C D C E D E

TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE

PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850

ENSAYO Nº 2

1. 12: 2(-5 + 8) – 7 =

A) -31B) -17C) -12D) -5E) 11


2. Cuando un entero positivo n es dividido por 9 el resto es 7. ¿Cuál es el resto cuando 5n es dividido por 9?

A) 8B) 7C) 6D) 5E) 4

3. Un número que es divisible por 4, 6 y 10, no es divisible por

A) 10B) 12C) 15D) 20E) 32

4. Se tienen dos cajas A y B. la caja A contiene 4 fichas negras y 1 blanca; la caja B contiene 4 fichas negras y 3 blancas. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que deben ser removidas de la caja A a la caja B para que la razón de fichas blancas y fichas negras sea la misma en ambas cajas?

A) 1B) 2C) 3D) 4E) Ninguno de los valores anteriores

5. Si x es el 66 % de y, entonces ¿qué porcentaje es y de x?

A) 33 %

B) 75%

C) 133 %

D) 150%

E) 166 %


6. =

A) B) 7C) 20D) 4 + E) 30 +

7. Los puntos P, R, S y T están sobre la recta numérica, tal como lo muestra la figura. ¿Cuál de las siguientes opciones podría ser verdadera?

A) R · S = PB) P · R = TC) R · S = TD) R · T = PE) P · T = S

8. En la siguiente secuencia de tríos pitagóricos: (3, 4, 5) (5, 12, 13)(7, 24, 25) (9, 40, 41)…, la suma de los números que forman el séptimo trío es

A) 132B) 182C) 240D) 306E) 312

9. Manejando a un promedio de 48 , Juan llega a su destino

exactamente en 2 horas 15 minutos. Manejando por la misma ruta, demora exactamente 2 horas en regresar. ¿Cuál fue el promedio de su regreso?

A) 50

B) 54

C) 55


0 1-1

RP S T

D) 60

E) 64

10. Si 192 = (20 – a)2 = 202 – 2 · 20 · b + c2, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?

A) a > b > c B) b > a > cC) c > a > bD) a = b > c E) a = b = c

11. Carlos y Julio comienzan a ganar lo mismo, pero deben optar por dos modalidades distintas de incentivos que les ofrecía la empresa donde trabajaban. Carlos optó por la propuesta A, mientras que Julio se decidió por la B. Para la propuesta A, se comienza con un incentivo de $ 10.000 cancelados al final del primer mes y se incrementa mensualmente en $ 1.000. Para la propuesta B, se inicia con un incentivo de $ 1.000 pero en los meses siguientes el incentivo se duplica con respecto al mes anterior. De acuerdo a estos antecedentes, ¿cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas?

I) Al finalizar el quinto mes, Carlos había recibido en total un mayor incentivo que Julio. II) Al finalizar el sexto mes, Julio había recibido en total $ 12.000 menos que Carlos. III) A partir del quinto mes, Julio comienza a ganar,


mensualmente, más dinero que Carlos.

A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas

12. (-a + b)2 =

A) –(a – b)2 B) (a – b)2 C) (a + b)2 D) –(a + b)2 E) (-a – b)2

13. Si x2 = 7, ¿cuál es el valor de (x + 1)(x – 1)?

A) 6B) 8C) 48D) 50E) No se puede determinar

14. Si los trinomios 9x2 + ax + 4 y x2 – 5x + b son cuadrados perfectos, entonces el mayor valor de a + 4b es

A) 12B) 13C) 31D) 37E) 49

15. Si a – b = 4 y ab = 5, entonces a2 + b2 =

A) 6B) 9C) 11D) 20E) 26


16. Sean a y b números enteros distintos de cero y a b. Si ab = m[(a + b)2 – (a – b)2], entonces m =

A) -3ab B) abC) 0

D)

E) 4

17. Si = x + 2 – , entonces A =

A) x + 4B) x – 4 C) x + 3D) x – 3E) x + 2

18. Si abc 0, entonces =

A) a + b + cB) a + b + abc2 C) a3b3c3

D) 3abcE) 2abc

19. Si 2(2t – 2) = 1, entonces (t – 1)-1 es igual

A) 4

B)

C)

D) -

E) -4

20. Si la longitud de uno de los catetos de un triángulo rectángulo es x + 2 y la longitud de la hipotenusa es x + 3 donde x > -2, ¿cuál es la longitud del otro cateto?

A) xB) x + 1C) x +


D) E)

21. Un estudiante finaliza la primera mitad de su examen en del

tiempo que tomará para finalizar la segunda mitad. Si el examen completo lo rindió en 1 hora, ¿en cuántos minutos realizó la primera mitad del examen?

A) 20B) 24C) 27D) 36E) 40

22. ¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene los puntos A(0,-2) y B(3,-3)?

A) -1

B) -

C) 0

D)

E) 123. Si la recta de ecuación y = ax + b, pasa por los puntos (2, -1) y (-4, 3), entonces a – b =

A) -1

B) -

C)

D)

E) 1

24. Si f = x – 1, entonces f(3) =

A) -2B) -1C) 0D) 1E) 2


25. Sea f(x) = 2x – 5. Si g(x – 2) = f(x + 2), entonces g(-2) =

A) -9B) -2C) -1D) 0E) 2

26. Sea x ã y definida como x2 + para todo x e y. Si 3

ã 4 = 5 ã m, ¿cuál es el valor de m?

A) -28B) -7

C)

D) 6E) 60

27. Sea f(x) = 3x + 2. Si f(2m + 1) = f(m + 2) – 5, entonces m =

A)

B)

C) -

D) -

E) -

28. Si 3y = x + 1 y 4y + x = 13, ¿cuál es el valor de y?

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5


29. Al rotar en 90º la gráfica de f(x) = çx + 2÷, en sentido horario y con centro (0,0), se obtiene

A) B) C)

D) E)

30. Si la gráfica de f(x) = ax2, con a > 0, se traslada según el vector (-3, -2), entonces el nuevo gráfico queda mejor representado por

A) B) C)

D) E)


y

x2

2

y

x-2

-2

y

x2

2

y

x-2

-2

y

x-2

-2

y

x-3

y

x-3-2

y

x-3-2

y

x-2

9

y

x9

-2

31. Si la ecuación x2 – 4x + 1 = 0 se escribe de la forma (x + a)2 = b, entonces ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?

A) a = 3, b = 2B) a = 3, b = -2C) a = 2, b = 3D) a = -2, b = 3E) a = b = 3

32. Una solución o raíz de la ecuación es

A) 1

B)

C) -

D) -1E) -2

33. ¿Cuál es el punto de intersección entre la parábola y = -x2 + 2x – 3 y la recta x = -1?

A) (1,-2)B) (-1,-4)C) (1,-6)D) (-1,-6)E) (-1,0)

34. Si 2x – 3 = 3y + 1 = 1, entonces (x + y)(x – y) =

A) 0B) 2C) 4D) 8E) 16

35. =

A)


B)

C)

D) E)

36. =

A)B) + 1C) – 1 D)1 –

E)

37. La gráfica se puede expresar como

A)]-5-1] [6,12[B) [-5,-1[ [6,12]C) [-5,-1[ ]6, 12]D) [-5,-1 [ ]6, 12]E) [-5,12]

38. El conjunto solución del sistema es

A) B) [3, +[C) [19, +[D) [3, 19]E) ]-, 19]

39. Si f(x + 1) = x2, entonces el valor de f(3) es

A) 1 B) 4 C) 6 D) 9 E) 16


-5 -1 6 12lR

40. En la ecuación log2(x2 + 2) = log23x + log2(x - 1), el conjunto solución es

A) {2} B) {-2}

C)

D)

E) {2, -2}

41. En el ABC de la figura, si son bisectrices de los ángulos A y C, respectivamente, entonces ∡ CDB =

A) 90ºB) 85ºC) 80ºD) 75ºE) 70º

42. En la figura, la expresión que representa el área del EFD inscrito en el rectángulo ABCD es

A) 21 + 6xB) 21 + 18xC) 123 + 6xD) 123 + 18xE) 21 – 6x

43. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 53 cm y PBQR es un

cuadrado de lado 46 cm. ¿Cuál es el área de la región achurada?

A) 7 cm2


20º

A D B

C

50º

E

D C

A B5

F

E

12

6

x

D C

A B

R Q

P

B) cm2

C) cm2

D) cm2

E) 700 cm2

44. Las circunferencias de centros O y O’ de la figura, son tangentes en B. Si , ¿cuál es la medida del ∡ ACD?

A) 20ºB) 30ºC) 45ºD) 50ºE) 70º

45. En la figura, cada cuadrado tiene de lado la mitad de la medida del lado del cuadrado anterior. ¿Cuál es el perímetro de la región achurada del sexto cuadrado?

A) 1 + B) 1 + 2C) 2 + D) 1 – E) 1 – 2

46. En la circunferencia de la figura, Arco AB = Arco BC = 60º. Entonces, ∡x +∡ y =

A) 120ºB) 100ºC) 90ºD) 80ºE) 60º

47. En la figura se muestra una sucesión de figuras. Entonces, la quinta figura de la sucesión debería ser

A)


O’OA B

C

D

20º

32

A

B

x

y

C

B)

C)

D)

E)48. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría de la figura con respecto a la recta L?

A) B) C)

D) E)

49. En un cuadrilátero, las medidas de sus cuatro ángulos interiores están en la razón de 2: 3: 5: 6. ¿Cuál es la diferencia entre las medidas del mayor y menor de los ángulos?

A) 112,5ºB) 90ºC) 67,5ºD) 45ºE) 13,5º


L

50. En el círculo de centro O de la figura, si el área del AOB es 25, ¿cuál es el área del círculo?

A) 25B) 25C) 50D) 50E) 625

51. En la figura, = 4 cm, = 3 cm, = 5 cm y = 3 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero ABDC?

A) (20 + ) cmB) (17 + ) cmC) (15 + ) cmD) (12 + ) cmE) (12 + 2 ) cm

52. ¿Cuál es el mayor número de rectángulos cuyos lados son números enteros y de perímetro 10 que pueden ser cortados de un pliego de papel de ancho 24 y largo 60?

A) 120B) 144C) 240D) 360E) 480

53. Un rectángulo es cortado por la mitad resultando dos cuadrados de área 25 cada uno. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo original?

A) 10B) 20C) 30D) 40E) 50

54. En la figura, ABCD es un cuadrado y el ABE es equilátero. ¿Qué parte del área del cuadrado ABCD es el área de la región achurada?


A

BO

E

A B

D

C

A) 2B) 6

C)

D)

E)

55. ¿Cuál es el perímetro del trapecio isósceles ABCD de la figura, si = 3, = 12 y = 6?

A) 21B) 24C) 18 + 4D) 18 + 6E) 24 + 6

56. La longitud de uno de los lados de un triángulo es 1,2 veces la longitud de otro lado. Si las longitudes de los tres lados son números enteros, ¿cuál es el mínimo perímetro posible del triángulo?

A) 25B) 21C) 13D) 10E) 5

57. En la figura, la región achurada es un cuadrado de área 3, y el ABC es equilátero. ¿Cuál es el perímetro del ABC?

A) 3B) 6C) 2 + D) 3 + 6E) 6 + 3

58. El área de un hexágono regular de lado a es igual a 18 cm2. ¿Cuál

es el área de otro hexágono regular de lado ?

A) 12 cm2


A B

D CE

3

A

D

B

C

E

A B

C

B) 6 cm2 C) 3 cm2 D) 2 cm2 E) 1 cm2

59. En la figura, ADC BDC. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) ∡ DCB = 2∡ABC II) ∡ ADC = ∡ CDB III)


60. Al dividir cada lado del cuadrado en la razón 1: : 1, se obtiene un octógono regular como se muestra en la figura. Si el perímetro del octógono regular es 32 cm, entonces el área del cuadrado es

A) 24 cm2 B) (24 + 16 ) cm2 C) 36 cm2 D) 48 cm2 E) (48 + 32 ) cm2

61. En una caja A hay 5 ampolletas de 75 w y 3 de 100 w; en otra caja B hay 4 ampolletas de 100 w y 6 de 75 w. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una ampolleta al azar, de cada caja, ambas sean de 75 w?

A)

B)

C)


30ºA D B

C

D)

E)

62. Si el promedio (media aritmética) de 27 – x, x – 8, 3x + 11 es 12, ¿cuál es la media aritmética de 2 y x?

A) 7B) 5C) 4D) 3E) 2

63. Una caja contiene 20 fichas numeradas del 1 al 20. Si se saca una ficha al azar, ¿cuál es la probabilidad que sea impar y divisor de 18?

A)

B)

C)

D)


64. Si un matrimonio desea tener 3 hijos, ¿cuál es la probabilidad de que salga, a lo menos, una mujer?

A)

B)

C)

D)

E)

65. Si el promedio (media aritmética) de 3 enteros positivos y distintos es 4, ¿cuál es el mayor valor posible para uno de esos enteros?


A) 5B) 6C) 9D) 11E) 12

66. Si al siguiente conjunto de datos: 7 – 10 – 9 – 3 – 7, se le agregan dos datos, su mediana sería 9 y su moda sería 10. ¿Cuál sería su media?

A) 7B) 8C) 8,5D) 9E) 10

67. La tabla adjunta muestra la cantidad de horas a la semana que “chatea” un grupo de 40 jóvenes. Luego, la moda es

A) 2B) 3C) 12,5 D) 15E) 30

68. El gráfico de la figura, muestra el número de libros que leen trimestralmente los alumnos de un curso. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) 9 alumnos es la moda. II) La mediana es 2 libros.

III) La media aritmética es libros.

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III


Nº de horas frecuencia

012345

16151053

Evaluación de Suficiencia de Datos

Instrucciones Para las Preguntas N° 69 a la N° 75

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar la letra:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta.E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

Ejemplo:

P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital de Q?

(1) Los capitales de P y Q están en razón de 3: 2. (2) P tiene $ 2.000.000 más que Q.


En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto: P: Q = 3: 2, luego (P + Q): Q = 5: 2, de donde

$ 10.000.000: Q = 5: 2 Q = $ 4.000.000Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000).


Por lo tanto, usted debe marcar la clave . Cada una por sí sola, (1) ó (2).

69. Se puede determinar el valor de A + B de la tabla de la figura, si:

(1) P y Q son inversamente proporcionales. (2) A · B = 1


70. El sistema de ecuaciones tiene solución única si:

(1) k -10

(2) k -


71. En la ecuación y = mx + 3, donde m es una constante, se puede determinar que el par (x, y) = (2,7) es solución de la ecuación si:

(1) (1, 4) es solución de la ecuación y = mx + 2. (2) (5, 3) es solución de la ecuación 3y = mx – 1.


72. En el ABC de la figura, = 10. Se puede determinar que el ABC es equilátero si:

(1) = 10 (2) h = 5


D

PQ40,5BA40

100

C

A B

h


73. Se puede determinar el área del cuadrado ABCD de la figura si:

(1) Las coordenadas del punto A son (0,4). (2) Los puntos D y B tienen coordenadas (4,8) y (4,0), Respectivamente.


74. En la figura, L1 // L2. Se puede determinar el área del ADC si:

(1) = 9 (2) = 24


75. Se puede determinar el valor de x si:

(1) El promedio (media aritmética) de x2, 6x y 3 es -2. (2) = 9A) (1) por sí solaB) (2) por sí sola


A

B

y

N

D

C

x

A C

B

E

D

L2

L1

C) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

RESPUESTAS1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20E A E B D B D C B E C B A D E D B A A E

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40B B A D C A E B A C D A D D E B C D B A41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60


B A E A C C B D B C D D C E D C E D E E


PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850

ENSAYO Nº 3

1.


61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75A E A C B A A A A B D E B B A

2. Los hermanos Hugo, Francisco y Luis, salieron de su casa a la misma hora para dirigirse a su colegio. Hugo demoró 7,3 minutos, Francisco demoró 7,02 minutos y Luis 7,2 minutos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Hugo llegó después que Luis. II) Entre Luis y Francisco hay 18 centésimas de minuto de Diferencia en llegar al colegio. III) Francisco llegó primero.A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Solo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

3. Para construir una pared de 5 metros de largo en ocho horas se necesitan dos hombres. ¿Cuántos hombres se necesitarán para construir una pared similar a la anterior en m horas de trabajo?

A) 16m

B)

C)

D) 5mE) 40m


4. El gráfico de la figura muestra el itinerario de un vehículo al ir y volver, en línea recta, a un determinado lugar. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El vehículo recorrió en total 420 Km.

II) Al regreso viajó con una rapidez de 70

III) Entre t = 2 y t = 3 recorrió 120 Km.A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

5. De un cargamento de porotos, k toneladas son de porotos negros, las cuales corresponden a un tercio del total. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

I) Los porotos no negros son del total.

II) El de los porotos no son negros.

III) El número de toneladas que no son porotos negros es dos veces el número de toneladas de porotos que son negros.

A) Sólo IIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) I, II, y IIIE) Ninguna de ellas6. Si R = 4,3 · 10-5 y S = 2 · 10-5, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades se cumple(n)? I) R + S = 6, 3 · 10-5

II) R · S = 8, 6 · 10-6

III) R – S = 2, 3A) Solo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo I y III

7. Una orquesta sinfónica está compuesta por instrumentos de percusión, bronces y cuerdas. Si el 20% corresponde a instrumentos de


percusión, los bronces son 12 y éstos son un cuarto de las cuerdas, ¿cuántos instrumentos tienen la orquesta?

A) 15B) 48C) 60D) 63E) 75

8. Una persona tuvo durante el año 2007 un sueldo de $ 600.000 y se lo reajustaron de acuerdo al I.P.C., que ese año fue de 7,8%. Su sueldo del año 2008 será

A) $ 7,8 • 600.000B) $ 0,78 • 600.000C) $ 1,78 • 600.000D) $ 1,078 • 600.000E) $ 0,078 • 600.000

9. En un triángulo equilátero de lado 500 se unen los puntos medios de cada lado y se obtiene un nuevo triángulo equilátero, como se muestra en la figura. Si repetimos el proceso 10 veces, el lado del triángulo que se obtiene es


10. Si la tasa de natalidad T de cierto país es inversamente proporcional a la densidad de población P y en un instante en que T= 0,1 se tiene que P = 0,4, entonces se cumple que

A) T =

B) T = 0,04 · P

C) T =

D) T = 4P

E) T =

11. Se lanza 30 veces un dardo a un blanco como el de la figura 1. Se asignan 3 puntos por cada lanzamiento que se acierte en el sector achurado y 1 punto en cualquier otro caso. Si una persona obtuvo 74 puntos, ¿cuántas veces acertó en el sector achurado?

A) 8 B) 11 C) 19 D) 22 E) 24

12. Si t = 2, entonces es igual a:

A) 15B) 9C) 7D) 6E) 5

13. Si la expresión 5[3(4x – 1)] = 15, entonces 4x es igual a

A) -2

B) - 21

C) 21

D) 2E) 4


14. ¿Cuál es el valor de (-x + 1)(x + 1) si 4 – 2x = 8?

A) -5B) -3C) 1D) 3E) 5

15. La suma de tres enteros positivos consecutivos es múltiplo de 12. Entonces, siempre se cumple que: I) Uno de ellos es divisible por 4. II) El menor de los enteros es divisible por tres. III) El término central es divisible por 2.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

16.

17. Pedro y Pablo tienen $ 25.000 en monedas de $ 10. Si Pedro tiene 500 monedas más que Pablo, entonces el dinero que posee cada uno, respectivamente, es

A) $ 1.500 y $ 3.000B) $ 1.000 y $ 2.000C) $ 1.500 y $ 1.000D) $ 10.000 y $ 15.000E) $ 12.750 y $ 12.250


18. El ancho de un rectángulo es 6 metros menor que su largo. Si el largo del rectángulo es Y metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es

A) (4Y – 12) metrosB) (2Y – 6) metrosC) (2Y – 12) metrosD) (4Y – 6) metrosE) (4Y – 24) metros

19. Si m = , n = y p = , entonces x – (m + n + p) es:

20.

A) 0B) 15C) 8D) 9E) 21

21. El número es equivalente a

A) B) 3


C) 38

D) 312

E) ninguna de las anteriores

22. Si 4-x + 4x = U, entonces 2x + 2-x es igual a

A) 2UB) U2C)

U

D) 2 + U

E) 2U

23. En la figura, ABCD es un trapecio de bases . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El perímetro del trapecio es 3x – y.

II) El área del trapecio es .

III) El trapecio es isósceles.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

24. La suma de los cuadrados de tres enteros pares consecutivos es igual a 200. Si y es un entero par, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la ecuación que soluciona el problema?

A) 200 = y2 + (y2 + 2) + (y2 + 4)B) 200 = [y + (y + 2) + (y + 4)]2

C) 200 = (y – 2)2 + y2 + (y + 2)2

D) 200 = (y – 2)2 y2 (y + 2)2

E) 200 = y2(y + 2)2(y + 4)2

25. El intervalo que representa al conjunto solución del sistema de inecuaciones 4(x + 3) < 4 15 - 2x ≥ 5 esA)]-∞, -2]B)]-∞, -2[C)]-2, 5[D)]2, 5[


E)[5, +∞[

26. Para que la expresión sea negativa, se debe cumplir

necesariamente que

A) A > 0B) B < 0C) AB > 0D) A < 0E) AB < 0

27. Dado el sistema , el valor de y esA) 0B) 2bC) 4bD) 5aE) 10a

28. El gas licuado de uso domiciliario tiene un costo de $ 1.980 el m3 y un cargo fijo de $ 1.100 mensual. Si x representa el número de m3

consumidos mensualmente, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la función costo mensual C(x)?

A) C(x) = (x – 1.980) + 1.100B) C(x) = 1.980x + 1.100C) C(x) = 3.080xD) C(x) = 1.100x + 1.980E) C(x) = x + 3.380

29. El conjunto solución (o raíces) de la ecuación y + 3 = y2 + 3 es

A) {0, 1}B) {0, -1}C) {0}D) {1}E) ninguno de los anteriores


30. ¿En cuál de las siguientes expresiones el valor de x es - 4? I) 1 = · 81

II)

III) A) Sólo en IB) Sólo en IIC) Sólo en I y en IID) Sólo en II y en IIIE) En I, en II y en III

31. Dada la función , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)? I) f(0) = f(1) II) f(-2) = 3 f(0) III) f(3) = f(-1)A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

32. Si f(x) = log3x, entonces f(27) – f(3) es

A) 2B) 3C) 4D) 8E) 9

33. Si f(x + 1) = x2 + 2x – 3, entonces f(x) es igual a

A) x2 + 2x – 2B) x2 + 2x – 4C) x2 – 2D) x2 – 4E) (x + 3)(x – 1)


34. ¿Cuáles de los siguientes gráficos representa mejor a la función f(x) = ?

35. Dada la parábola de ecuación y = ax2 + 4x – 3, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x. II) Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x. III) Si a < 1 la parábola no intersecta al eje x.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

36. Se tiene un capital inicial CO, el cual es invertido a una tasa semestral del i% de interés compuesto n veces al semestre, obteniéndose un capital final CF al cabo de t semestres, el cual está dado

por: Al invertir $ 25.000 al 6% semestral de interés

compuesto bimestral, al término de 1 año se tendrá

A) $ 25.000 (1,06)6

B) $ 25.000 (1,02)6

C) $ 25.000 (1,06)12

D) $ 25.000 (1,02)12

E) $ 25.000 (1,12)6


37. Con respecto a la gráfica de la figura, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I) La pendiente del segmento AB es creciente. II) La pendiente del segmento BC se indetermina. III) La pendiente del segmento CD es nula. IV) La pendiente del segmento DE es decreciente.A) Sólo I y IIIB) Sólo II y IIIC) Sólo I, II y IVD) Sólo II, III y IVE) I, II, III y IV

38. Respecto al polinomio P(x) = x3 – 1 – x (x - 1)2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) P(x) es divisible por x – 1. II) 2x + 1 es un factor de P(x). III) La ecuación P(x) = 0, tiene tres raíces reales.


39. la figura muestra el gráfico de una función h. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) h(-1) h(x), para todo x [-3,4] II) El recorrido de h es [-2,4] III) h(0) = 2

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Todas ellasE) Ninguna de ellas

40. En la figura, el cuadrado ABCD tiene lado 2. Si F es el punto de intersección de las diagonales del cuadrado OMCN y se gira toda la


figura en 180º en el sentido de la flecha y en torno al punto O, el punto F queda en las coordenadas

41. A un trapecio isósceles cuyos vértices son A(0,0), B(6,0), C(5,3) y D(1,3) se le aplica una traslación paralela al eje x en dos unidades a la derecha, y luego se le aplica otra traslación paralela al eje y en tres unidades hacia abajo, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El nuevo vértice B queda ubicado en el punto (8,-3). II) El nuevo vértice C queda ubicado en el punto (7,0). III) El nuevo vértice D queda ubicado en el punto (3,0).

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

42. El número de ejes de simetría que tiene un trapecio con tres lados iguales es

A) 0B) 1C) 2D) 3E) 4

43. Dado un punto Q de coordenadas (-5, 3) ¿cuáles son las coordenadas del punto simétrico de Q con respecto al eje X?

A) (5, 3)


B) (3, 5)C) (-3,5)D) (3,-5)E) (-5,-3)

44. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el cual se ha dibujado el pentágono EFGHD. Si K es el punto de intersección de con , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área del pentágono es 64. II) Δ AEF ≅ Δ CGH III)


45. En la figura, el Δ ABC está inscrito en la circunferencia de centro O y de radio . Si los arcos AB, BC y CA son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) ΔADC ≅ ΔBDC II) = 3 III) ∡ DCB = 30ºA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II, III

46. El Δ ABO es isósceles y rectángulo en O. La circunferencia de centro O y radio r intersecta a los lados del triángulo en D, E y F como lo muestra la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Δ ABD ≅ Δ ADO II) Δ ABE ≅ Δ BAD III) Δ ADO ≅ Δ BEO



47. En la figura, el rectángulo se ha dividido en 8 cuadrados congruentes entre sí, y cada cuadrado tiene un perímetro de 8 cm. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo mayor?

A) 12 cmB) 18 cmC) 24 cmD) 48 cmE) Ninguno de los anteriores

48. En la semicircunferencia de centro O de la figura, = 6 y = 8. El diámetro de la circunferencia es

A) 8

B)

C)

D)

E) Faltan datos para determinarlo

49. En la figura, N es punto medio del segmento OP y el segmento MN triplica al segmento MP. El segmento MN es al segmento OP como

A) 3: 8B) 3: 7C) 3: 6D) 3: 5E) 3: 4


50. En la figura, L1 // L2. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

51. ¿Cuáles de los siguientes triángulos rectángulos, son semejantes entre sí?

A) Sólo I y IIB) Solo II y IIIC) Sólo III y IVD) Sólo I, II y IVE) I, II, III y IV

52. La figura representa un poste perpendicular a la tierra que sobresale 2 metros y un edificio. Las sombras del poste y del edificio miden 80 centímetros y 14 metros, respectivamente. ¿Cuál es la altura del edificio?

A) 98 metrosB) 46 metrosC) 35 metrosD) 22,4 metrosE) 11,4 metros


53. En la circunferencia de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Δ AED ∼ Δ CEB II) Δ AEC ∼ Δ DEB III) Δ BCA ∼ Δ DAC

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

54. En la figura, los puntos P, Q y R están sobre la circunferencia de radio r y ∡ PQR = 15º. La longitud del arco QP es

55. En la circunferencia de la figura, ε = 60º. Si β – = 16º, entonces el valor del ángulo es

A) 44ºB) 37ºC) 22ºD) 38ºE) Imposible de determinar

56. En la figura, se muestra un cubo de arista a. El Δ BEG es

A) Rectángulo en B


B) rectángulo en EC) isósceles rectánguloD) isósceles no equiláteroE) equilátero

57. Respecto del triángulo rectángulo ABC de la figura, ¿cuál de las siguientes opciones es falsa?

A) sen = cos β

B) sen β =

C) tg β =

D) tg + tg β =

E) sen + sen β =

58. En un prisma de base cuadrada, caben exactamente dos pelotitas de igual radio, una encima de la otra como se muestra en la figura. Si la altura del prisma es h, entonces el volumen de una esfera es

59. En la figura, ABCD es un rombo de perímetro 48 cm y las áreas del ΔAED y del rombo ABCD están en la razón 1: 6. ¿Cuánto mide ?


A) 6 cm B) 4 cm C) 8 cm D) 9 cm E) 12 cm

60. Una ruleta con diez sectores iguales, se ha girado 6 veces y en las seis ocasiones ha salido un 6. ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente giro, salga un 6?

A)

B)

C)

D)

E)

61. Una canasta contiene cuatro tipos de frutas: A, B, C y D. Si la

probabilidad de escoger una fruta del tipo A es , ¿cuál es la

probabilidad de extraer una fruta que no sea del tipo A?

A)

B)

C)

D) 1E) No se puede determinar

62. Un club de baile tiene 100 socios, entre hombres y mujeres, que participan en las categorías A (Avanzados) y B (Novatos). Se sabe que 22 hombres bailan en B, 18 hombres en A y 25 mujeres en B. Si se elige al azar un socio del club, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y baile en la categoría A?


A)

B)

C)

D)

E)

63. Si se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es la suma de puntos, en los dos dados, que tiene menor probabilidad de salir?

A) Tanto el 2 como el 12B) Sólo el 6C) Solo el 2D) Sólo el 12E) Tanto el 1 como el 6

64. Se tienen 3 estuches con sólo lápices. El primero contiene 3 negros y 2 rojos, el segundo 4 negros y 8 rojos, y el tercero 6 negros y 12 rojos. Si se saca al azar un lápiz de cada estuche, la probabilidad de que los tres lápices sean rojos es

65. Las alturas registradas en una competencia, fueron, 10, 16, 20, 20 y 30 metros. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La moda es 20. II) La moda es igual a la mediana. III) La media aritmética es menor que la mediana.

A) Sólo I


B) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

66. La tabla adjunta muestra la distribución del número de hijos que tienen las familias de un condominio. La fórmula correcta que permite determinar el número promedio de hijos por familia para este condominio es

67. El gráfico de la figura, representa la distribución de tiempos registrados en una carrera. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El 50% de los participantes marcaron 180 segundos. II) 60 participantes registraron más de 120 segundos.

III) de los participantes registraron 120 segundos.

A) Sólo IB) Sólo III


Nº de hijos Nº de familias0 ax by cz d

C) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

68. El gráfico de la figura, muestra el número de inasistencias a clases de un alumno, durante los primeros cuatro meses de este año escolar. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), respecto de este alumno?

I) Su mejor asistencia ocurrió en los meses de Marzo y Mayo. II) Durante estos cuatro meses, faltó a clases en nueve ocasiones. III) Su peor asistencia fue en el mes de Junio.


69. En la figura, se puede determinar el valor del ∡ δ si se sabe que: (1) ABCD es un cuadrado y = 70º. (2) El Δ AEF es equilátero.



70. Un maestro puede calcular cuanta pintura va a utilizar, para realizar un trabajo, si: (1) Un galón de pintura alcanza para 10 m2. (2) Tres galones alcanzan para la mitad del trabajo.


71. José tiene cuatro veces los puntos que tiene Julia y Julia tiene la cuarta parte de los puntos de Hernán. Se puede determinar el número de puntos que tiene Hernán si: (1) Se conoce el total de los puntos. (2) José y Hernán tienen la misma cantidad de puntos.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere la información adicional.

72. La tabla adjunta representa las edades de niños de un jardín infantil. Se puede determinar el valor de x si: (1) La moda es 3 años. (2) El promedio es 4,3 años.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola,(1) ó (2)E) Se requiere información adicional

73. Una terraza rectangular de 10 metros por 20 metros se puede embaldosar perfectamente (sin necesidad de recortar baldosas) si: (1) Se dispone de baldosas con forma rectángulos de lados 10 cm y 20 cm. (2) Se dispone de baldosas con forma de hexágonos regulares.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional


edades frecuencia

3 104 85 x6 7

74. Sea m: n = 3: 5. Se puede determinar los valores numéricos de m y n si: (1) 3m: p = 18: 7 y p = 21 (2) m + n = 16

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas junta, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

75. Para p ≠ 0, p ≠ 2 y r ≠ 0, el valor numérico de la expresión

se puede determinar si:

(1) q = 8 (2) r = 2A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas junta, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional


RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20D E C B E A E D D A D C D B C C D A D B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40D E C C B C B B A E B A D D A B B C D D

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60E B E E E D C B A E E C C B C E E A B C

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75D C A A E D D D C B A B A D A


PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850


ENSAYO Nº 4

1. 30 – 25

· 10 + 16: (-0,5)-1 =

A) 117B) 13C) -3D) -10,5E) -18

2. El opuesto de - α

1

es el recíproco de

A) 0

B) - α

1

C) α

1

D) -E)

3. Una profesora desea repartir 485 globos entre sus 45 alumnos. ¿Cuál sería el mínimo número de globos que faltarían para que todos sus alumnos quedaran con igual número de globos?

A) 10B) 15C) 25D) 35E) 40

4. Al elevarse al cubo 2 se obtiene un número

A) enteroB) racionalC) irracionalD) no realE) racional no entero


5. Si A = 12

3

107,11018,0

100051,03600

, entonces A, escrito en notación científica,

es

A) 0,06B) 0,6C) 6 · 10D) 60E) 0,6 · 102

6. Una tabla se corta en tres pedazos en las razones 1: 3: 5. Si el pedazo más largo mide 180 cm, ¿cuánto medía la tabla antes de ser cortada?

A) 324 cmB) 360 cmC) 540 cmD) 900 cmE) No se puede determinar

7. Las indicaciones que tiene un tarro de leche en polvo son las

siguientes: “por cada 21

taza de leche agregar 4 21

tazas de agua”. Si se

siguen estas instrucciones, ¿cuántas tazas de agua se deben agregar a

43

taza de leche?


8. Un grifo que arroja 0,6 litros de agua por segundo, llena un estanque en 21 horas. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo otro grifo que arroja 0,9 litros por segundo?

A) 7 horasB) 31,5 horasC) 16 horasD) 14 horasE) 28 horas

9. Si el 15% de un número es 30, entonces el 30% del número es

A) 45B) 60C) 75D) 100E) 120

10. ¿Qué porcentaje de 4 es 32

de 8?

A) 25%

B) 66 32

%

C) 120%

D) 133 31

%

E) 150%

11. En una prueba PSU, Juan y Carlos contestaron todas las preguntas. Si Juan contestó en forma correcta el 80% de las preguntas y Carlos contestó en forma correcta el 15% del total de incorrectas contestadas por Juan, ¿qué fracción de las preguntas de la prueba contestó en forma correcta Carlos?

1003

)E

207

)D

203

)C

201

)B

253

)A

12. Dada la siguiente tabla: Si x es inversamente proporcional a y2, entonces P · Q =


A) 576B) 144C) 48D) 12E) 4

13. Miguel depositó $ 500.000 el año 2009, a una tasa de un 2% de interés compuesto anual. ¿Qué gráfica representa mejor el crecimiento de su capital?

14. A es inversamente proporcional al doble del cuadrado de B. Si A = 4

cuando B = 21

, entonces el correspondiente valor de A cuando B = 3, es:

A) 61

B) 91

C) 181

D) 32

E) 94

15. ¿Cuánto se debe agregar al denominador de la fracción 32

para que la

nueva fracción sea igual a 0,25?

A) 1B) 2


x y4 2P 4

41

8

91

Q

C) 4D) 5E) 6

16. Valentina pagó (5x + y) por tres helados. El primero costó (x + y), el segundo 3y. ¿Cuánto costó el tercero?

A) 3y – 4xB) 4x – 3yC) 5x – 3yD) 6x – 4yE) 6x – 3y

17. Si a = 0,4, b = 0,6 y c = 0,1, entonces c)ba(bac

=

A) 9B) 0,9C) 0D) -0,9E) -9

18. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones indica correctamente la relación para cada par de números (x, y) en la tabla adjunta?A) y = x + 5B) y = 2x + 3C) y = 2x + 5D) y = 3x – 1E) y = 3x + 1

19. El producto de dos números pares positivos consecutivos es 8 unidades mayor que el cuádruplo del número menor. ¿Cuál es el producto de estos números?

A) 24B) 12C) 8D) 0E) -8

20. Si x = 21

1

, entonces x + 1 es igual a

A) 2 + 1B) 2 – 1C) - 2 D) 0


E) 1

21. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s), con respecto al gráfico de la figura? I) L1 tiene pendiente nula. II) L2 tiene pendiente positiva. III) L3 carece de pendiente.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III

22. Si A = 25,0 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) A2 > A II) (-A)2 > -A III) (-A)3 > -AA) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

23. Al dividir 32

32

32 ba

bapor

ba

1 se obtiene

A) a2b3

B) a4b6

C) 32ba

1

D) 64ba

1

E) 96ba

1

24. En la figura, ¿a cuál de las siguientes rectas corresponde la ecuación y = -2x + 1?

A) L1

B) L2

C) L3

D) L4

E) L5


25. Al despejar x en la ecuación a

2x4 = 3 se obtiene

A) x = 24a

B) x = 2

4a3

C) x = 2

3a4

D) x =2a3

4

E) x =4

2a3

26. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 2x

x44x

si

x > 4?

A) x +x

B)

x – 2

C) x

+ 2D) 2

x

E) x

27. Si a – b = 4 y a · b = 2, entonces el valor de 2

b1

a1

÷

ç es

A) 2(a – b)B) 2(b – a)C) 2b – aD) -4E) 4

28. Si el coeficiente de posición de una recta es 3 y ésta pasa por el punto A(-3, 0), entonces su ecuación general es

A) x – y – 3 = 0B) x – y + 3 = 0C) x + y – 3 = 0D) x + y + 1 = 2E) x + y + 3 = 0


29. El área de un círculo se duplica cuando su radio se aumenta en k. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual al radio del círculo?

A) kB) k( 2 + 1)C) k( 2 – 1)D) k(2 – 2 )E) 2k

30. Si A = n1

m1

, entonces A1

=

A) m + nB) mn

C) nm

mn

D) mn

nm

E) mn1

31. El punto (p, 16) pertenece a la función f(x) = 2x, si p =

A) 4B) 3C) 2D) 1E) 0

32. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 15 minutos. Si en estos momentos marca las 5 con 2 minutos y se sabe que hace 4 horas que se adelanta, entonces la hora que debería marcar correctamente es: las cuatro con

A) 28 minutosB) 30 minutosC) 32 minutosD) 48 minutosE) 52 minutos


33. Sean las funciones f(x) = 2x y g(x) = x – 1 definidas en los reales. ¿Para qué valor de x se verifica que f(x) · g(x) = f(g(x))?

A) 1B) -1C) 0D) 2E) -2

34. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa mejor el gráfico de la figura?

A) y = -x2

B) y = -x2 – 2C) y = -2x2

D) y = 2 – 2x2

E) y = 2 – x2

35. En los números reales positivos, ¿cuál es el dominio de la función

f(x) = 9x

12

?

A) [3, +∞[B) ]3, +∞[C) ]-3, +∞[D) [-3, 3]E) ]-∞, 3[

36. =

A) 10B) 25C) 500D) 600E) 625

37. El valor de x en la igualdad 2x + 1 + 2x + 2 = 3 es

A) 2


B) 3C) 4D) -1E) -2

38.

A) 21

B) 31

C) - 31

D) - 21

E) -2

39. Si ab > 1, entonces 3log

9log

ab

ab

=

A) logab 3B) logab6C) 2D) 3E) Depende de los valores de a y b

40. La temperatura T, en grados Celsius, a la que hierve el agua está relacionada con la altitud H, en metros sobre el nivel del mar, mediante la fórmula: 2T)580(100T)1.000(100H ¿A qué temperatura hervirá el agua en la cima de un monte cuya altitud es de 4.320 metros?

A) 97ºB) 98ºC) 99ºD) 100ºE) 103,7º


41. En el sistema de ecuaciones

3by2ax

bay3x, de incógnitas x e y,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Si a = 3 y b = 6, el sistema no tiene solución II) Si a = - 3 y b = - 6, el sistema tiene solución única

III) Si a = - 3 y b = 23

, el sistema tiene infinitas soluciones


42. En la figura, los puntos A, C y D son colineales y los ángulos α y β son complementarios. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) El Δ ABC es rectángulo. II) ∡ ABC = ∡ CBD III) es bisectriz del ∡ ABD.


43. El cuadrado de la figura, está formado por 4 rectángulos congruentes. Si el perímetro de uno de los rectángulos es igual a 20 cm, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El perímetro del cuadrado es igual a 32 cm. II) La mitad del cuadrado tiene un perímetro de 16 cm. III) El área de uno de los rectángulos es igual a 8 cm2.

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III


44. El cuadrilátero de la figura es un rombo. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I) ∡ABD ≅ ∡CDB II) CEBCDEAD

III) DEBE

A) Sólo I y IIB) Sólo I y IIIC) Sólo II y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de ellas

45. En la figura, los puntos A, B, C y D pertenecen a la circunferencia de centro O. Si Arco AB = 50º, entonces (∡ x + ∡ y) es igual

A) 25ºB) 30ºC) 50ºD) 75ºE) 100º

46. En la figura, ABCD y DCEF son cuadrados de áreas 100 cm2 cada uno. Si DAFD , entonces =

A) 8 cmB) 10 cmC) 5 2 cmD) 10 2 cmE) 10

3 cm

47. ¿Cuál(es) de las figuras tiene(n) centro de simetría? I) Rombo. II) Triángulo equilátero. III) Hexágono regular.A) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

48. La recta de la figura, corta a los ejes en los puntos (4, 0) y (0, 3). Si a la recta se le realiza una rotación de 180º en sentido antihorario con respecto al origen (0, 0), ¿cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta que se obtuvo?

A) (0, -4)


B) (0, -3)C) (-4, -3)D) (-3, -4)E) (-5, 0)

49. La figura, muestra un círculo inscrito en un hexágono regular. Si el área del círculo es 100 π , ¿cuál es el área del hexágono?

A) 600B) 300C) 200 2 D) 200

3

E) 1203

50. En el rectángulo ABCD, EDAE , AB = 6 cm y CE = 3 cm. ¿En qué razón están las longitudes de BCyEC , respectivamente?

A) 1: 5B) 1: 4C) 2: 5D) 1: 6E) 1: 3

51. Con los datos de la figura, la expresión sen + cos es igual a

A) y

1x

B) y

yx

C) 1x

y

D) 1x

y

E) x

yx

52. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre sí?


A) Sólo I con IIB) Sólo I con IIIC) Sólo II con IIID) Todos son semejantes entre síE) No son semejantes entre sí

53. El triángulo ABC de la figura, es rectángulo en C. ¿Cuál es la medida de la altura h si a = 4 y b = 3?

12)E

6)D516

)C

512

)B

59

)A

54. En la figura, Arco BCA es una semicircunferencia de centro O. Si ABCD , DOAD , ∡ AOC = 60º y 34CD , ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) = 12 II) = 4 III) =

192

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

55. AB es diámetro de la circunferencia. Si CDAB , 6CE y 2AE , ¿cuál es la longitud de la circunferencia?


A) 20 π

B) 18 π

C) 10 π

D) 9 π

E) 6 π

56. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s) con respecto al triángulo rectángulo de la figura? I) a2 + b2 = 2h2

II) a · b = h2

III) 222 b

1

a

1

h

1

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

57. En el Δ ABC de lados 10, 12 y 20 de la figura, el segmento AD mide

A) 3B) 5C) 12D) 15E) 20

58. En la figura, OPQR y ORST son cuadrados de lado 4. ¿Cuánto mide el trazo que une los centros de gravedad de ambos cuadrados?

A) 2B) 2

5

C) 23

D) 2 2 E) 4

59. En un triángulo rectángulo, el punto de intersección de sus alturas se ubica

A) dentro del triángulo. B) dentro del triángulo, si éste es isósceles. C) dentro del triángulo, si éste es escaleno. D) en el vértice del ángulo recto.


E) fuera del triángulo.

60. La probabilidad de extraer de una caja con fichas, una blanca, es de un 40%. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha que no sea blanca?

A) 60%B) 50%C) 40%D) 30%E) No se puede determinar

61. Dada la palabra GEOMETRÍA, ¿cuál es la probabilidad de sacar una vocal?

92

)E

31

)D

94

)C

95

)B

32

)A

62. En una pirinola de 8 caras, en cada una de ellas se puede leer una de las siguientes frases:− Toma uno.− Toma dos.− Toma tres.− Toma todo.− Pone uno.− Pone dos.− Pone tres.− Todos ponen.Si se lanza la pirinola, con respecto a la cara que muestre (cara superior), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad que salga “Toma todo” es de un 12,5%. II) Es igualmente probable “Tomar” que “Poner”. III) La probabilidad de “Tomar más de uno” es de un 37,5%.

A) Sólo IB) Sólo II


C) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

63. Si en una caja hay 5 bolitas verdes y 3 blancas entonces, ¿en cuál de las siguientes alternativas se indica una acción que una vez realizada permita que al extraer una bolita al azar de la caja, la probabilidad de que ésta sea blanca corresponda a un 50%?

A) Agregar a la caja una bolita verdeB) Sacar de la caja una bolita verde y una blancaC) Agregar a la caja dos bolitas verdes y cuatro blancasD) Sacar tres bolitas verdes y agregar una blancaE) Agregar cinco bolitas verdes y tres blancas

64. Se lanzan 4 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan a lo menos 3 sellos?

1611

)E

85

)D

165

)C

41

)B

161

)A

65. El gráfico de Barras de la figura, muestra las notas obtenidas por un curso en la prueba de matemática. En relación a la distribución de las notas, es verdadero que

A) 6 alumnos dieron la prueba.B) hay más mujeres que hombres.C) las mujeres sacaron mejores notas.


D) los que obtuvieron nota 2 son el doble de los que obtuvieron nota 7.E) el promedio del curso fue, aproximadamente, 4,2.

66. Se entrevistaron a 100 fumadores consultándoles por la cantidad de cigarrillos que fuman diariamente. Sobre la base de la tabla siguiente que resume esta información:¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La moda es 35. II) La media aritmética es 19,6. III) La mediana es 25.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III67. El gráfico de la figura, muestra las notas correspondientes al resultado de una prueba de biología. Al respecto, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) La moda es 5. II) La mediana es menor que la moda. III) El promedio es mayor que la mediana.


68. En un baúl hay 4 gorras blancas y 6 rojas. Si se sacan 2 gorras, ¿cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?

A) 51

B) 158

C) 92


D) 154

E) 52


69. Se tienen tres números: 2, 4 y x, siendo x un número entero desconocido tal que 3 < x < 11. Se puede determinar el valor de x si se sabe que: (1) El MCD entre los tres es 1. (2) x no es primo.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) o (2)E) Se requiere información adicional

70. Don Humberto depositó dinero en el Banco a un interés simple mensual x. Se puede conocer el valor de x si: (1) Don Humberto depositó $ 500.000. (2) En un trimestre ganó $ 9.600.


71. En el siguiente sistema:

b5ayx3

b3ayx , se puede determinar el valor

numérico de y si: (1) a = 4 ; b = 1 (2) a + 3b = 7



72. En el triángulo ABC de la figura, se puede conocer el valor de sen si: (1) ∡ ABC = 90º (2) = 3, = 4, = 5

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) o (2)E) Se requiere información adicional

73. La figura está formada por los cuadrados A, B y C. Se puede determinar la medida del lado del cuadrado A si: (1) Se conoce el perímetro del cuadrado C. (2) Se conoce el área del cuadrado B.


74. En la figura, BCes tangente en C a la circunferencia de centro O. Se puede determinar la longitud del radio de la circunferencia si: (1) Se conoce la medida de BD . (2) Se conocen las medidas de AByBC .



75. En un curso, la probabilidad de que salga sorteada una mujer es 0,6. Se puede determinar el número de varones que hay en el curso si: (1) En el curso hay 40 alumnos. (2) En el curso hay 24 mujeres.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2).D) Cada una por sí sola (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C E A C C A A D B D E D E B D B A E A C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40B D E B E B E B B C A B A C B D D E C B

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60C A A B C E D B D A A D B E A C D D D A

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75B E C C E C E B C C A B C B D


PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588


31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850

ENSAYO Nº 5

INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS1. Esta prueba consta de 70 preguntas. Usted dispone de dos horas y 15 minutos para responderla.2. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.3. Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares.

1. Si m es un número positivo y el cuadrado de 2m es 16, entonces el doble de 2m es

A) 2B) 4C) 8D) 12E) 16

2. ¿Cuál es el valor de 32 + 33?

A) 15B) 18C) 36D) 243


E) 729

3. Si m es un número real negativo, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) número(s) real(es) positivo(s)? I) m2

II) -m III) m3


4. Una persona está leyendo una novela de 366 páginas y va en la primera página de la hoja 112 del libro. ¿Cuántas páginas le faltan para completar la novela?

A) 61B) 62C) 142D) 143E) 224

5. La cifra de las unidades de 699 es

A) 3B) 4C) 6D) 9E) No se puede calcular

6. r es directamente proporcional a t y r = 54 cuando t = 9. ¿Cuál es el valor de r si t = 6?

A) 20B) 18C) 15D) 30E) 36


7. Se compra un electrodoméstico al crédito pagándose por él, en total, la suma de $ 187.000, incluido un interés del 10%. ¿Cuánto se habría ahorrado al cancelar al contado?

A) $ 1.700B) $ 1.870C) $ 17.000D) $ 18.700E) $ 170.000

8. Con cuatro fósforos se puede construir un cuadrado y con ocho fósforos también. ¿Con cuál de las siguientes combinaciones se puede construir un cuadrado?

A) 94 fósforosB) 63 fósforosC) 132 fósforosD) 154 fósforosE) 190 fósforos

9. En la expresión P · R = K · Q , donde K es una constante, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) P es directamente proporcional con Q . II) P y R son inversamente proporcionales. III) R y Q son inversamente proporcionales.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

10. El 0,1% de 100x es igual a 0,1. Entonces, el valor de x es

A) 0,0001B) 0,01C) 1D) 10E) 100


11. 2x - [3x -(3x - 2) - (4 - 5x)] =

A) 2 - 3xB) 6 - 3xC) 7x - 6D) 7x - 6E) Ninguna de las anteriores

12. (5a - 5b)2 =?

A) 25a - 25b

B) 10a - 10b

C) 25a - 25b - 10(a + b)

D) 25(a - b) – 2 5(a + b)

E) 25a + 25b – 2 5(a + b)

13. Jorge tenía (2a + 1) años hace (2a + 2) años. ¿Qué edad tendrá dentro de (2a + 3) años?

A) 6a añosB) 2a + 6 añosC) 4a + 4 añosD) 6a + 6 añosE) 6a + 12 años

14. El valor de la expresión xy

4x

cuando y = 4 es:

x44x

)E

x1x

)D

44x

)C

45

)B

1)A

15. Se definen las operaciones: a S b = a + b y a R b = a + (-b). ¿Cuál es el resultado de (2 S 3) R (3 R 2)?

A) 0


B) 4C) 5D) 6E) 10

16. Rosa es 2 años menor que Daniela y Andrea es 1 año menor que Rosa. Si Rosa y Daniela suman 16 años, entonces la edad de Andrea es


17. En un canasto hay n naranjas, 12 plátanos y 8 manzanas. Si se sacan 5 naranjas, p plátanos y se agregan m manzanas, ¿cuánta fruta contiene el canasto?

A) n - p + m + 15B) m - p + 15C) n - p - m + 15D) n - p + m + 25E) n - p - m + 25

18. Un jarrón contiene (R - q) litros de agua, faltándole (p - R) litros para llenarse. ¿Cuál es el doble de la capacidad del jarrón?

A) R - qB) 2p - qC) 2R + 2qD) 2R - 2qE) 2p - 2q

19. 3 cajas de fósforos cuestan $ 2a y 4 cajetillas de cigarrillos cuestan $ 3b. ¿Cuánto cuestan 3 cajetillas de cigarrillos y 1 caja de fósforos?

A) 2a + 3bB) 6a + 12bC) 2a + 12b

D) 12

b9a8


E) 12

b27a8

20. 22 )1x2( =?

2

2

22

22

2

x5)E

x4)D

1xx3)C

1x4x3)B

1x2)A

21. El contenido de una bebida cuesta $ 150 más que su envase. Si una docena y media de bebidas con envase cuesta $ 3.600, entonces ¿cuánto cuestan 5 envases?

A) $ 75B) $ 125C) $ 150D) $ 200E) $ 250

22. Una persona asiste a un casino con $ p, apuesta $ r en la ruleta y gana $ g. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) p = r - g II) Después de ganar, tiene $ (p + r + g). III) p ≥ rA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) I y IIE) II y III


23. La figura muestra 2 cuadrados congruentes construidos con un alambre de largo x. ¿Cuál es la superficie total de la figura?

64x

)E

32x

)D

16x

)C

2x

)B

x)A

2

2

2

2

2

24. El perímetro de un rectángulo es igual a q y la suma de los valores

recíprocos del ancho y del largo es igual a r1

El área del rectángulo es:

r

q)E

r

q2)D

r2

q)C

2

qr)B

qr)A

25. La figura muestra el consumo diario de pan de una familia durante una semana. De acuerdo al gráfico podemos afirmar que: I) La mayor variación diaria en el consumo ocurrió entre viernes y sábado. II) Entre viernes y sábado se produjo una variación del 50%. III) Entre lunes y martes la familia no consumió pan.

A) Sólo IB) Sólo IIC) I y II


D) II y IIIE) I, II y III

26. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde con el dominio de la función f(x) = 1x2 ?

1,1)E

,11,)D

,11,)C

,1)B

,1)A

27. Dadas las rectas L1: 2x - y - 3 = 0 y L2: -x - 2y + 10 = 0, entonces se cumple una de las siguientes alternativas:

A) son perpendicularesB) son paralelasC) son coincidentesD) se intersectan en (2,1)E) el punto (2,4) pertenece a L1

28. ¿Cuál es la alternativa que corresponde con el gráfico de la función f(x) = [x] + 1?


29. ¿Cuál es la ecuación de la recta en la figura?

A) x + y + 1 = 0B) x - y - 1 = 0C) x + y - 1 = 0D) -x + y + 1 = 0E) Ninguna de las anteriores

30. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) 532

II) 72 es un número irracional III) 182 es un número irracionalA) Sólo IB) Sólo IIC) I y IID) I y IIIE) II y III

31. Si a = 21 y b = 12 entonces ?

bba

)12(2)E

2)D

3

2)C

12)B

21)A

32. Si x es un entero positivo, entonces la expresión (-1)x (-2)x equivale

a:

A) 22x

B) (-3)x

C) (-3)2x

D) 2-2x

E) 2x


33. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) log 0,1100 = 3 II) log

10= 2

III) Si log x 25 = -2, entonces x = 0,2A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

34. De la función de segundo grado representada en el gráfico de la figura, podemos deducir que la ecuación de segundo grado asociada a ella:

A) tiene una solución real.B) tiene una solución imaginaria.C) tiene dos soluciones imaginarias.D) tiene dos soluciones reales.E) una de las soluciones es x = 2.

35. ¿Cuál es el mayor valor de 1xy si x es raíz de ?08x9x2

A) 1B) 2

C) 3D) 8E) 0

36. Un depósito de $ m se reajusta todos los meses en un p%. ¿Cuál es el monto acumulado después de t meses?


100

mp)E

100

mpt)D

100

ptm)C

100

p1m)B

100

p1mt)A

t

t

÷

ç

÷

ç

37. Si x = 2y e y < 0, ¿cuál(es) de las siguientes desigualdades es(son) verdadera(s)? I) x + y < x – y II) x + y < y – x III) x – y < y – x


38. Dada la función f(x) = (0,04)-x. ¿Cuál es el valor de la función para x = 1?

A) 0,02 B) 0,04 C) 15 D) 25 E) 5

39. Los triángulos de la figura son equiláteros. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) ∡ AED ≅ ∡ CDE II) AD ≅AC III) AD ≅CE



40. ¿Cuál de los siguientes gráficos de funciones es simétrico respecto del eje de las abscisas?

41. En la figura, el punto P tiene coordenadas (3, 1). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La imagen de P respecto del origen del sistema tiene Coordenadas (-3, 1). II) Al trasladar P según el vector (-5, 2), la imagen queda En el tercer cuadrante. III) Al rotar P en 90º en torno al punto (1, 1) se obtiene el Punto (1, 3).

A) Sólo IB) Sólo IIIC) I y IIID) II y IIIE) I, II, III


42. Si se traslada el punto de coordenadas (m, n) de modo que sus coordenadas cambian a (m + 3, n + 4), entonces ¿cuál es el vector traslación aplicado?

A) (m, n)B) (m + 3, n + 4)C) (3, 4)D) (-3,-4)E) (4, 3)43. Si el perímetro de un cuadrado es 72 cm, ¿cuál(es) de las siguientes conclusiones es(son) falsa(s)?

I) Su área es 324 cm2

II) Su lado mide 18 cm III) El doble de su perímetro equivale a la mitad de su área.

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo IIID) I, II y IIIE) Ninguna

44. ∆ ACD isósceles con ADAC y K ∆ BDE rectángulo. El ∡ x mide

A) 10ºB) 15ºC) 25ºD) 30ºE) 50º

45. ¿Cuál es el perímetro de la figura formada por dos rombos congruentes cuyas diagonales miden 6 cm y 8 cm?


46. En la figura, ABCD es un cuadrado y E es punto medio de AB . Si el área achurada es t 2, el lado del cuadrado mide


A) tB) 2tC)

t

D) t2

E) No se puede calcular47. En la figura, ADACAB = 13 cm. Si CE = 1 cm, ¿cuánto mide BD?

A) 5 cmB) 10 cmC) 10

3 cm

D) 11,5 cmE) 12 cm

48. En la figura, ABCD y BEFG son cuadrados; BC= 4 cm; E es punto medio de CD . ¿Cuánto mide la superficie achurada?

A) 16 cm2

B) 20 cm2

C) 28 cm2

D) 32 cm2

E) 36 cm2

49. En la circunferencia de centro O de la figura, ∡ AOB = 125º y ∡ COB = 100º. ¿Cuál es la medida del ∡ ABC?

A) 55ºB) 67,5ºC) 112,5ºD) 135ºE) 225º


50. Un trazo AB queda dividido en sección áurea por un punto P si se cumple que PB:APAP:AB , con PBAP . ¿Cuál(es) de los siguientes trazos está(n) divido(s) en sección áurea?

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) II y IIIE) I, II y III

51. Si en la figura CD//AB , entonces x + y =

cm71

27)D

cm141

27)C

cm151

27)B

cm27)A


52. En la circunferencia de la figura, O es el centro, AD es diámetro yDC

es tangente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) ∆ ABD ~ ∆ DBC II) ∆ ABD ~ ∆ ADC III) ∆ DBC ~ ∆ ADC

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) II y IIIE) I, II y III


53. ¿Cuál(es) de las siguientes equivalencias se puede(n) deducir con los datos de la figura? I) a2 - p2 = b2 - q2

II) a2 + b2 = (p + q)2

III) h2 = (c - p)(c - q)

A) Sólo I y IIB) Sólo II y IIIC) Sólo I y IIID) TodasE) Ninguna

54. Si 43

tg α entonces αα cossen =?

5,0)D

1)C57

)B

7)A


55. Una gata, parada a 4 metros de un poste, observa a una paloma posada en el extremo superior de éste con un ángulo de elevación de 50º. ¿Qué distancia separa a la gata de la paloma?

º50cos4)E4

º50cos)D

º50cos4

)C

º50tg4)B

º50tg4

)A

56. Si asumimos que la Tierra es geométricamente esférica y de un radio aproximado de 6.400 Km, ¿cuál es su superficie, expresada en notación científica?


A) 1,1 × 1012 Km2

B) 2,6 × 108 Km2

C) 4,1 × 107 Km2

D) 5,1 × 108 Km2

E) 6,4 × 108 Km2

57. El rectángulo de la figura tiene por vértices los puntos A (2, 0, 0), B (0, 1, 0), C (0,1, 1) y D (2, 0, 1). ¿Cuál es su perímetro?

A) 2 + 25

B) 4

5

C) 2 5

D) 12E) 8

58. En el cubo de la figura, Q es el punto de intersección de las diagonales de una de sus caras. Si la arista del cubo mide 4 cm, entonces

PQ es igual a

A) 48

cm B)

32 cm

C) 24 cmD)

20 cm

E) 16

cm

59. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un número primo de entre los primeros 25 números naturales, éste sea par?


121

)E

91

)D

259

)C

2512

)B

251

)A

60. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan un 1 y un 2?

361

)E

181

)D

91

)C

31

)B

21

)A

61. Una urna contiene 20 bolitas entre rojas y azules. Si la probabilidad de extraer una bolita azul es de 0,2, entonces ¿cuántas bolitas son rojas?

A) 16B) 12C) 10D) 8E) 4

62. En un curso de 42 personas, los morenos y los rubios están en razón de 5: 2. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar un alumno al azar éste sea rubio, considerando que sólo hay rubios y morenos en el curso?


32

)E

71

)D

72

)C

61

)B

52

)A

63. Se lanzan dos veces dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las pintas sea 9 en el primer lanzamiento y 10 en el segundo?

92

)D

91

)C

1081

)B

811

)A


64. Camila tiene en su clóset 3 poleras de color azul, 2 de color rojo, 5 de color blanco, 2 de color negro y 4 amarillas. ¿Cuál es la moda del conjunto de poleras?

A) 2B) 5C) blancoD) rojo y negroE) amarillo

65. La tabla muestra las estaturas de un grupo de 20 niños de un colegio, agrupadas en intervalos, donde Xi es la marca de clase, fi es la frecuencia y Fi es la frecuencia acumulada. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa los valores correctos de p y q, respectivamente?

A) 1,14 y 13


Estatura [m] Xi fi Fi

1,10 – 1,12 41,12 – 1,14 61,14 - 1,16 p 7 q1,16 – 1,18 3

B) 1,15 y 13C) 1,15 y 17D) 1,16 y 13E) 1,16 y 17

66. Un estudiante obtuvo 3 notas parciales; 6,5, 5,5 y 4,0, cuyo promedio se pondera en un 60% para obtener la nota final. Si la nota mínima de aprobación es 4,0, ¿qué nota deberá sacarse como mínimo en la última evaluación, para aprobar el curso?

A) 5,0B) 4,0C) 3,5D) 2,0E) 1,0

67. En un curso de Matemática de 32 alumnos, se registró la siguiente asistencia durante 2 meses: 24, 20, 25, 21, 23, 25, 28, 25, 30, 18, 15, 20, 18, 25, 23, 26. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son verdadera(s)? I) La moda es menor que la mediana y que la media II) La media es menor que la moda y la mediana III) La media es mayor que la mediana

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Ninguna de las anteriores

68. La media de los pesos de 5 personas es 76 kg. Si los pesos de 4 de ellas son: 72 kg, 74 kg, 75 kg y 81 kg, entonces el peso de la quinta persona es

A) 80 kg B) 78 kg C) 76 kg D) 74 kg E) 70 kg


INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N° 69 A LA N° 75

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra:A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; pero la afirmación (2) por sí sola no lo es;B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; pero la afirmación (1) por sí sola no lo es;C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta; pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente;D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

69. a y b son números enteros distintos de cero. ab es negativo si: (1) a < 0

(2) 0

ba


70. Si a es el 10% de b, entonces b =? (1) a es el 50% de c; c = 18 (2) c = 2a: a + c = 27A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.

71. x2 = x si: (1) x = 0 (2) 2x = 2



72. En el rectángulo de la figura, el área del ∆ EBH equivale al área del ∆ DFG si: (1) E y F son puntos medios (2) HBGHDG


73. ¿Cuánto mide la superficie del cuadrado ABCD de la figura?

(1) AECGCF;AB21

AE

(2) El área achurada mide 23 cm2.


74. ¿Alcanza un pliego de papel de 70 cm × 120 cm para envolver una caja de cartón? (1) La caja mide 30 cm de ancho × 50 cm de largo (2) El alto de la caja es la mitad del ancho


75. Se puede determinar la ecuación de una recta que pasa por el origen si: (1) su pendiente es 1,5. (2) pasa por el punto (2; 3)



HOJA DE RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C C B D C E C C B C A E D E B A A E E B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40B D B B C A C C B E E C D C B D E D C C

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60B C C B A B B D B A C E D B C D A C D D

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75A C B C C D B B B D D D C C D



PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850

ENSAYO Nº 6

I. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD.

1. En un curso de 28 alumnos, 21 asistieron a clases. ¿Qué porcentaje faltó?

A) 75%B) 25%C) 7%D) 0,75%E) 0,25%

2. ?2

621

3

A) 0


B) -1C) -2D) -6E) 4

3. Tres niños, A, B y C, tienen sendas latas de bebida gaseosa de 350 cc

cada una. “A” bebe los 107

de su lata, “B” toma los 54

y “C” toma los 43

.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) A bebió más que B. II) C bebió más que B. III) A bebió menos que C.

A) Sólo IB) Sólo IIIC) I y IID) I y IIIE) I, II y III

4. En un huerto hay 64 plantas. Si por cada 5 plantas de rosas hay 3 de claveles, ¿cuántas plantas de claveles hay en el huerto?

A) 8B) 16C) 24D) 32E) 405. En la secuencia siguiente, con cuatro palitos se forma un rombo y al agregar 3, se forma un nuevo rombo.

¿Cuántos rombos se pueden formar con 169 palitos?

A) 56B) 57C) 59D) 60E) 63

6. Un artículo de ferretería se vende en $ 16.000, luego de aplicarle un 20% de descuento. ¿Cuál era el precio del artículo antes de aplicarle el descuento?


A) $ 12.800B) $ 19.200C) $ 20.000D) $ 21.600E) $ 28.000

7. d dulces cuestan $ p. ¿Cuántos dulces puedo comprar con $ x?

xd

p)E

d

xp)D

pxd

)C

pdx

)B

x

pd)A

8. El gráfico de la figura muestra cómo varía la cantidad de agua que hay en la caldera de una industria durante 5 horas de funcionamiento. ¿Cuál de las siguientes alternativas entrega la mayor información correcta que se puede obtener del gráfico?Se agregó agua:

A) 4 veces en 5 horas.B) cada 1 hora, 100 litros cada vez.C) cada 1 hora, 200 litros cada vez.D) 5 veces, 200 litros cada vezE) cada vez que la caldera tenía menos de 250 litros.

9. En la liquidación efectuada en una tienda, una persona compró 8 poleras, 1 pantalón, 3 camisas y 12 pares de calcetines. El pantalón le costó $ 10.000, cada polera $ 6.000 menos que el pantalón, cada par de calcetines costó la quinta parte del pantalón y cada camisa $ 2.000 menos que el pantalón. Si pagó el 25% al contado y el resto en 5 cuotas iguales sin intereses, ¿cuál es el valor de cada cuota?

A) $ 12.500


B) $ 13.500 C) $ 18.000 D) $ 21.500 E) $ 22.500

II. ÁLGEBRA Y FUNCIONES

10. x es el lado de un triángulo equilátero. Si el lado se aumenta en y unidades, entonces el perímetro resultante es:

A) x + yB) 3x + yC) 3x + 3y

D) 2

)yx( 2

E) 2

xy

11. La solución de la ecuación: 2x - 4 = 6 es

A) -1B) 1C) 5D) 7E) 8

12. (-2m2)3 = ?

A) -6m6

B) -6m2

C) -8m6

D) -8m2

E) -2m6

13. ?a

a5.

2


7

52

52

3

7

a)E

a)D

a)C

a)B

a)A

14. Si 2x , entonces x + x2 =?

A) 4B) 6C) 2+ 2D) 12E) 20

15. Al simplificar la expresión 3

63resulta:

3)E

233)D

21)C

2)B

6)A

16. Al simplificar la expresión 2p

1p

con p 2, se obtiene:

1)D

1)C21

)B

2)A

E) No se puede simplificar

17. Si se desarrolla la expresión (x - y)2 como x2 + y2 se está cometiendo un error. El error consiste en


I) el exponente del primer término II) el signo del segundo término III) que falta el doble producto de x = (-y)A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) I y IIE) II y III

18. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no es equivalente con la ecuación 0,01x = 3,14?

22

2

1031410x)E100314

x01,0)D

14,310x)C

x01,0)B

14,3x1001

)A

π

19. Si x = 3 es una solución de la ecuación 3x + 5 = x + k, entonces el valor de k es:

A) 5B) -5C) 8D) 11E) 17

20. Pedro (P) tiene el doble de la edad de José (J) y hace 3 años era el triple. ¿En cuál de las alternativas se plantea el sistema que permite calcular las edades de Pedro y José?


21. (m + n)2 - 2n (m + n) =?

A) (m + n)(m - n)B) m2 - 2n2

C) m2 - n2 - nD) m2 - n2 - 2mnE) (m - n)2

22. La rapidez v de un cuerpo lanzado verticalmente hacia abajo está dada por la relación v2 = v

20

+ 2gd donde v0 es la rapidez inicial, g es la aceleración de gravedad y d es la distancia recorrida por el móvil. ¿Qué rapidez lleva un cuerpo a los 15 metros de su caída si se lanza con v0 = 10 m/s y la aceleración de gravedad es de 10 m/s2?

A) 10 m/sB) 20 m/sC) 100 m/sD) 200 m/sE) 400 m/s23. Si el perímetro de un rectángulo es 2(x + y) y el ancho es x - y, ¿cuál es el largo?

A) 2yB) 2xC) 0

D) yx

yx

E) 2x - 2y

24. La diferencia entre mx

y t es 1mx ¿Cuál es el valor de t?

)1m(mx

)E

)1m(m1m2

)D

)1m(mxm

)C

0)B

)1m(m1

)A


25. Con el 20% más del dinero que tengo, podría comprar un CD de $ 5.400. ¿Cuánto dinero me sobraría si quiero comprar una revista que cuesta $ 3.000?

A) $ 1.080B) $ 1.320C) $ 1.500D) $ 2.400E) $ 4.500

26. Rosa tiene el doble de dinero que Beatriz, pero si Rosa le regala $ 400 a Beatriz, ambas quedarían con la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene Rosa?

A) $ 400B) $ 800C) $ 1.200D) $ 1.600E) $ 1.80027. Un refrigerador cuesta $ (x + 3). Una familia lo compra en 3 cuotas, precio contado. ¿Cuánto vale cada cuota?

A) $ (x + 1)B) $ x

C) 3

)1x($

D) 3

)3x($

E) 3x

$

28. Una persona tiene reunidos $ 50.000 y todos los meses ahorra $ 10.000. ¿Cuál es la función que permite determinar el ahorro total y en el mes x?

A) y = 50.000x + 10.000B) y = 50.000x - 10.000C) y = 10.000x + 50.000D) y = 10.000x - 50.000E) y = x + 10.000 + 50.000

29. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a la recta de ecuación y - x + 2 = 0? I) La recta intersecta al eje Y en el punto (0,-2). II) La recta intersecta al eje X en el punto (2, 0).


III) La pendiente de la recta es -1.


30. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la recta de ecuación x - y = 0?

31. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) respecto de las soluciones de la ecuación x2 - 6x + 8 = 0? I) Son reales. II) Una es el doble de la otra. III) Son negativas.A) Sólo IB) Sólo IIIC) I y IID) I y IIIE) I, II y III


32. La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y(t) = 50t - t2, donde t se mide en segundos y la altura y(t) en metros. ¿Cuál(s) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)? I) El proyectil alcanza una altura máxima de 625 metros. II) El proyectil alcanza la altura máxima a los 25 segundos. III) A los 10 segundos, el proyectil se encuentra a una altura de 400 metros.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) I y IIE) I, II y III

33. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función f(x) = 3 - 3x - x2?

34. Una bacteria se reproduce por bipartición cada 20 minutos. ¿Cuál es la fórmula que permite calcular el número de bacterias que tiene un cultivo al cabo de t minutos si se inicia el proceso con una sola bacteria? (NOTA: [x] = función parte entera de x)


20

t

2)E

20t

2)D

t202)C20t

)B

t20)A

35. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)? I) log 1 + log 2 = log 2 II) log 2 + log 3 = log 6 III) log 4 - log 2 = log 2A) Sólo IIB) I y IIC) I y IIID) II y IIIE) I, II y III

36. La figura representa a un rectángulo divido en 8 partes. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el área de la región achurada?

2

)ab(d)III

2

)cd(b)II

2bd

)I


37. Dado el siguiente sistema de ecuaciones

2byx

2ayx. ¿Cuál es el valor

de y? A) a + b B) a – b C) 2a + 2b D) 2a – 2b E) b - a


38. El gráfico de la figura, muestra lo que tiene que pagar una persona al enviar una carta certificada según los gramos (gr) que pesa. Si la persona envía 3 cartas certificadas cuyos pesos son: 150 gr la primera, 450 gr la segunda y 600 gr la tercera. Entonces, por las tres cartas debe pagar

A) $ 1.200 B) $ 1.400 C) $ 2.200 D) $ 2.600 E) no se puede determinar

III. GEOMETRÍA

39. ¿En cuál(es) de los siguientes casos se puede afirmar que dos triángulos son semejantes? I) Cuando son triángulos rectángulos de distinto tamaño. II) Cuando son triángulos isósceles de distinto tamaño. III) Cuando son triángulos equiláteros de distinto tamaño.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) I y IIE) I y III

40. ¿En cuál de las siguientes figuras planas es posible determinar un eje de simetría?

A) Sólo en IB) Sólo en IIC) Sólo en IIID) En I y III


E) En I, II y III

41. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría de la figura respecto del eje OP ?

42. ¿En cuál(es) opción(es) la figura inferior es generada por la rotación de la figura superior en torno al eje AB ?

A) Sólo en IB) Sólo en IIC) Sólo en IIID) En I y en IIIE) En I, en II y en III

43. En la figura se tienen 5 cuadrados congruentes de 4 cm de lado. ¿Cuál es el perímetro total de la figura?

A) 32 cmB) 40 cmC) 80 cmD) 200 cmE) No se puede determinar


44. En la figura, el cuadrado ABCD se traslada según el vector de componentes (4, 2). ¿Cuáles son las coordenadas del vértice A trasladado?

A) (4, 2)B) (5, 2)C) (5, 3)D) (3, 5)E) No se puede determinar

45. ¿Cuál de las siguientes traslaciones permite dejar íntegramente el polígono de la figura en el primer cuadrante?

A) (4, 0)B) (0, 4)C) (2, 3)D) (4, 2)E) (3, 0)

46. En la figura, el DABC es simétrico con el DMNO respecto de la recta L. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?

MO//BC)III

AM//CO)II

NOBC)I

A) Sólo IB) Sólo IIC) I y IID) I y IIIE) II y III

47. Un rectángulo de dimensiones 3 m × 2 m, se traslada 4 metros, apoyado sobre uno de sus lados en un plano perpendicular a él, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado?

A) 6 m3


B) 8 m3

C) 9 m3

D) 20 m3

E) 24 m3

48. En la figura, el ∆ ABC es rectángulo en C, BCAC , ABCD , AD = 16 cm y BC= 6 cm. Entonces, el área del ∆ ABC es:

A) 36 2cm²B) 48 cm²C) 32 2cm²D) 12 2cm²E) No se puede determinar

49. En la figura, el área del ∆ ABE es 60 cm2 y DC//AB . ¿Cuál es el área del ∆ ABC?

A) 10 cm2

B) 20 cm2

C) 30 cm2

D) 40 cm2

E) 50 cm2

50. Según la figura, ¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) semejante(s)? I) ∆ DAB y ∆ BAC II) ∆ EBD y ∆ DCB III) ∆ BAC y ∆ DBC

A) Sólo IB) Sólo IIC) I y IIID) II y IIIE) I, II y III

51. En el triángulo ABC rectángulo de la figura, M y N son puntos medios. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) ∆ ABN ≅ ∆ CBM II) Área ∆ ABN = Área ∆ CBM III) Área ∆ ABN = Área ∆ ANC


A) Sólo IIB) Sólo IIIC) I y IID) I y IIIE) II y III

52. Un edificio proyecta una sombra de 4 m y un árbol de 2 21

m, en ese

mismo lugar, proyecta una sombra de 1 m. ¿Cuál es la altura del edificio?

A) 12 mB) 10 mC) 9 mD) 8 mE) 7 m

53. En la circunferencia de centro O, se trazan AB y DE diámetros y CD

cuerda, como se indica en la figura. Si CD//AB y ∡ AOE = 30°, entonces el ∡ x mide

A) 15°B) 20°C) 25°D) 30°E) 45°

54. En la circunferencia de la figura, ∡ DAC=30º y ∡ BCA =40º. ¿Cuál es la medida del ∡ x?

A) 30ºB) 35ºC) 40ºD) 45ºE) 70º

55. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalentes a cos a?


ααααα

eccostg1

)IIIsec

1)IIsengcot)I

A) Sólo IB) Sólo IIC) I y IID) I y IIIE) I, II y III56. En el cuadriculado de la figura, cada cuadrado es de lado 1. ¿Cuál es el valor de cos a?

541

)E

45

)D

54

)C

41

5)B

41

4)A

57. Un avión que se aproxima al aeropuerto vuela a 1.500 m de altura. Si el piloto observa la torre de control con un ángulo de depresión de 30º, ¿a qué distancia d se encuentra el avión del aeropuerto?

A) 750 mB) 750

3

mC) 3.000 mD) 3.000

3

mE) 4.500 m

58. En la figura, ABCD es un rectángulo y AEFD es un cuadrado de lado (2 + 2 ) cm. Si GC = 4 cm y FC = 2 cm, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área del rectángulo ABCD es (8 + 6 2 ) cm2. II) El área del cuadrado AEFD es (6 + 4 2 ) cm2. III) El área del rectángulo HGBE es 2 cm2.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III


D) Sólo II y III E) I, II y III

IV. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

59. En un estante hay 10 libros de Biología y 12 de Química. Si se sabe que 5 libros de Biología y 6 de Química están en inglés y el resto en español, entonces ¿cuál es la probabilidad de escoger un libro de Química en español?

116

)E

126

)D

226

)C

2212

)B

2218

)A

60. La probabilidad de que ocurra un suceso A es de 10% y la probabilidad de que ocurra un suceso B, independiente de A, es de 20%. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran los sucesos A y B simultáneamente?

A) 2%B) 15%C) 30%D) 50%E) 200%

61. En una urna con 80 bolitas, la probabilidad de escoger una bolita roja es de 0,25. ¿Cuántas bolitas rojas hay en la urna?

A) 0,25B) 4C) 8D) 20E) 25


62. ¿En cuál de los siguientes casos la probabilidad de ocurrencia del suceso es 0,5?

A) Lanzar un dado y obtener un 5.B) Lanzar una moneda y obtener cara o sello.C) Ganarse el sorteo del Loto.D) Entrar a una habitación y que esté encendida la luz.E) Responder esta pregunta al azar y que esté buena.

63. Al lanzar un dado común, ¿cuál de los siguientes eventos tiene la mayor probabilidad de ocurrencia?

A) Obtener 2 ó 4.B) Obtener 4 ó 6.C) Obtener un número par.D) Obtener un número primo.E) Obtener 2 ó más.

64. El gráfico de la figura muestra las notas obtenidas por los alumnos de un curso en una prueba. ¿Cuál es la frecuencia absoluta correspondiente a la nota 3?

A) 3B) 4C) 12D) 17E) 35

65. El gráfico de la figura muestra las ventas de una panadería entre los meses de Enero y Junio. ¿Cuál es el promedio entre los 3 meses de mayor venta?

A) 200B) 250C) 300D) 350E) 400


66. La tabla muestra las frecuencias de las edades de los alumnos de 4º medio de un liceo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La moda es 17 años. II) El 20% del curso tiene 18 años. III) La mediana es 17 años.

A) Sólo IB) Sólo IIIC) I y IID) I y IIIE) I, II y III

67. Dados los pesos de 10 niños: 12 Kg, 18 Kg, 16 Kg, 10 Kg, 13 Kg, 18 Kg, 15 Kg, 13 Kg, 11 Kg y 13 Kg. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La moda es 13 Kg. II) La mediana es 13 Kg. III) La media es 13 Kg.


68. En una encuesta, se preguntó a 50 estudiantes sobre el número de libros que leyeron durante el año 2007. Los resultados se muestran en la tabla de frecuencias siguiente:

Nº libros 0 1 2 3 4 5 6 7 8frecuencia 5 5 6 9 11 7 4 2 1

¿Cuál es la mediana de libros leídos por estudiante?

A) 3 B) 3,5 C) 4 D) 4,5 E) 5

V. EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS


Edad f15 116 517 2018 719 120 1

INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N° 69 A LA N° 75En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.

Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letraA) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; pero la afirmación (2) por sí sola no lo es;B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; pero la afirmación (1) por sí sola no lo es;C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta; pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente;D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

69. ¿Cuánto dinero tiene Jaime? (1) Si consigue $ 500, puede comprar 2 libros de $ 5.000 cada uno y le sobra dinero. (2) Si compra un CD de $ 9.000, le sobrarían más de $ 500.

A) 1) por sí sola.B) 2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) e requiere información adicional.

70. ¿Cuál es el volumen de un baúl? (1) La razón entre el largo, el ancho y el alto es 5: 3: 2. (2) El área basal es 6.000 cm2.

A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.71. La expresión a + b, con a y b números reales, es positiva si: (1) a > b (2) a - b > 0



72. ¿Cuál es el valor de la expresión x2 - y2? (1) x + y = 5; x - y = 2 (2) x = 3; y = 2


73. En la figura, ∆ ABC rectángulo isósceles de 18 cm2 de superficie. C es el centro del círculo. Se puede determinar el área de la región achurada si: (1) P es punto medio (2) = 6 cm


74. Se puede saber qué parte del círculo de centro O, de la figura, es la región achurada si: (1) ∡ ACB = 45º (2) el radio del círculo es 5 cmA) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.

75. En la figura, el ∆ AMN es congruente con ∆ CMN si: (1) ABCD es un cuadrado (2) NDMNBM A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.


C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.

RESPUESTAS CORRECTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20B E B C A C C B B C C C A E C E C B D C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40


A B A E C D D C B C C E B E E A B D C D

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60C E B C D C E A A E E B D E E B C B C A

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75D D E C C E B B E C E D A A A


PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850

ENSAYO ORIGINAL ADMISIÓN 2011

1.- 24

51

25

21

A) 526


B) 4011

C) 1011

D) 1E) Ninguno de los valores anteriores

2.- Un agricultor planta lechugas en un sitio de 10 m de largo y 4 m de ancho en 5 horas. ¿Cuánto tiempo le llevará plantar lechugas en un sitio de 40 m de largo y 6 m de ancho, trabajando en las mismas condiciones?A) 20 horasB) 30 horas

C) 21

27 horas

D) 6 horas

E) 31

13 horas

3.- 46666 42222

A) 416

B) 46

C) 42

D) 216

E) 0

4. ¿Cuál de los siguientes pares de variables son inversamente proporcionales?

A) La longitud del radio de un círculo y el área de dicho círculoB) El consumo de energía eléctrica mensual y el costo asociado, en pesosC) La cantidad comprada de un mismo artículo y el dinero gastado en la compraD) En un movimiento uniforme rectilíneo, la velocidad en recorrer una distancia fija y el tiempo en recorrerlaE) El puntaje obtenido en una prueba y la nota asociada e ese puntaje5.- En la tabla adjunta aparece la cantidad de calorías aportadas por el consumo de una porción de 100 gramos de cada uno de los alimentos indicados. Comer una porción de

PORCION DE ALIMENTO (100 gr)

CALORIAS

Manzana 70Pan 300


Arroz 200Pechuga de pollo 150Longaniza 400Merluza 100Yogurt 110

I) Arroz con una porción de pechuga de pollo una porción de manzana aportan 420 calorías II) Pan con una porción de longaniza, más dos porciones de yogurt aportan 810 calorías III) Merluza aporta el 25% de las calorías que proporciona una porción de longanizasEs(son) verdadera(s)


6.- Un jardinero planta n rosales. Si se seca el 100% de ellos, ¿Cuántos rosales perdió?

A) nB) 100n

C) 100n

D) n100

E) n – 100

7.- Si la variable a es a la variable b como 7 es a 12, ¿Cuál de las siguientes igualdades es siempre verdadera?

A) a + b = 19B) a b = 84C) b – a = 5D) 12a – 7b = 0E) 12a + 7b = 0


8.- Una fábrica de zapatos debe entregar un pedido de T pares de

zapatos en tres días. Si el primer día entrega 52

de él, el segundo día 31

de lo que resta y el tercer día 41

del resto, entonces lo que quedó sin

entregar es:

A) 101

T

B) 109

T

C) 103

T

D) 51

T

E) 61

T

9.- La nota final en la asignatura de física, se obtiene de la suma del 75% del promedio de las notas de las pruebas parciales con el 25% de la nota del examen. Si Daniela obtuvo un 2,0 en el examen y su promedio de las notas de las pruebas parciales es 5,0, ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular cual fue la nota final de Daniela en física?

A) 0,25 2,0 + 0,75 5,0B) 0,75 2,0 + 0,25 5,0C) 1,25 2,0 + 1,75 5,0D) 1,25 5,0 + 1,75 2,0E) 25 2,0 + 75 5,0

10.- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto de las tablas M, P y T?

M P TX y x y x y3 2 8 4 3 44 2 6 3 1 125 2 2 1 4 36 2 3 1,5 6 2

I) Las variables x e y de la tabla M están en proporcionalidad directa y su constante de proporcionalidad es 2


II) Las variables x e y de la tabla P están en proporcionalidad directa III) Las variables x e y de la tabla T están en proporcionalidad inversa y su constante de proporcionalidad es 12

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo II y IIIE) Ninguna de ellas

11.- Si x = a2 y a = 22 , entonces x es igual a

A) 16B) 8C) 4D) 2E) 24

12.- La expresión – b - 21

es equivalente a

A) 21b

B) b

23

C) 21

b

D) 2

12b

E) – 21

b

13.- Si al doble de 108 se le resta m se obtiene n y el triple de n es 123, ¿Cuál es el valor de m?

A) 93B) 67

C) 2175

D) -175E) 175

14.- En la figura se muestran dos cuadrados, uno de lado a y otro de lado b. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el área pintada?

A) a(a – b)


B) (a – b)2 C) (a – b) a – b2 D) (a – b)(a + b)E) (a – b)2 – b2

15. Se repartió una herencia entre cinco hermanos, dos tíos y una prima. Si cada hermano recibió la séptima parte de la herencia y cada tío la mitad de lo que recibió cada uno de los hermanos, ¿qué parte de la herencia recibió la prima?

A) 72

B) 75

C) 1411

D) 71

E) 143

16.- Un numero entero P es divisible por 2 y es divisible por 6. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) P es divisible por 12 II) P es divisible por 3 III) P = 6


17.- ¿En cuál(es) de los siguientes casos, x # y = xy es número entero?


I) 4 # 21

II) 3 # -2

III) 1 # 37

A) Solo en IB) Solo en IIC) Solo en I y en IID) Solo en I y en IIIE) En I, en II y en III

18.- Si al lado de un cuadrado de medida a unidades aumenta en t unidades, entonces la diferencia entre el área del nuevo cuadrado y el área del original, en unidades cuadradas, es

A) t2 B) t2 + taC) t2 + 2taD) t2 + ta – a2 E) t2 + 2ta – a2

19.- Si m + n = ax y m – n = ay, entonces m2 – n2 es

A) axy B) ax + y C) ax – y D) a2y E) a2xy

20.- Si m3 – n3 = a y m – n = b, entonces el valor de ba

es

A) m2 + mn + n2 B) m2 – n2 C) m2 – mn + n2 D) m2 + n2 E) m2 + 2mn + n2

21.- Sea qp1

x

, con p y q números reales distintos entre sí. El inverso

aditivo de x y el inverso multiplicativo (o recíproco) de x son respectivamente

A) p – q ypq

1


B) pq

1

y q – p

C) pq

1

y p – q

D) q – p ypq

1

E) p – q yq1

p1

22.- Sea n un numero entero positivo, la expresión (-1)n + 1 21n

es un

numero entero positivo, si n es

I) Impar II) Múltiplo de 2 III) Múltiplo de 3

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de ellas

23.- La expresión 133 2 )a(:a es equivalente a

A)

3 a

B) a1

C) -1D) -

3 a

E) a

24.- En los números reales el conjunto solución del sistema 02x1

46x3

A)

21

,67

B)

21

,61


C)

D)

,

21

E)

61

,

25.- 2

82

A) 1 + 8

B)8

C)5

D) 3E) Ninguno de los valores anteriores

26.- ¿Cuál de los siguientes pares de ecuaciones se representan en el gráfico de la figura?

A) 2y + x = 4; 2y – x = 4B) 2y – x = 2; 2y + x = 2C) -2y – x = 2; -2y + x = 2D) 2y + x = 4; -2y + x = 4E) y + 2x = 8; y – 2x = 8

27.- Se pone a hervir agua que inicialmente estaba a una temperatura de 10 ºC. Si su temperatura sube uniformemente durante los primeros 7 minutos hasta alcanzar los 100 ºC, estabilizándose la temperatura después de este tiempo, ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor este fenómeno?A) B) C)

D) E)


28.- El costo total para fabricar sopaipillas incluye un costo fijo de $5.000 más un costo de $80 por cada unidad. ¿Cuál de las siguientes funciones expresa el costo total (C), en pesos, para fabricar x sopaipillas?

A) C = 5.000 80xB) C = 5.000 + 80xC) C = 5.000x + 80D) C = (5.000 + x) 80E) C = (5.000 + 80) 80

29.- La ecuación 4x23 tiene

A) Como única solución, x = 5B) Como única solución, x = 9C) Como única solución, x = -5D) Dos soluciones, x = -5 y x = 9E) Dos soluciones, x = 5 y x = 9

30.- Si P es el conjuntos de todos los puntos del plano de la forma (3, y) y S es el conjunto de todos los puntos del plano de la forma (x, 2), entonces el único punto común entre los conjuntos P y S es

A) (5, 1)B) (3, 2)C) (2, 3)D) (1, -1)E) (0, 0)

31.- Si 43xT2x

f(x)

y

21

f(2) , entonces el valor de T es


A) -16B) -10C) -2D) -1E) 1

32.- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s), con respecto a la función f(x) = ax2 + bx + c?

I) Si a < 0, entonces la gráfica de la función es una parábola que se abre hacia abajo II) La gráfica de la función interfecta al eje de las ordenadas en el punto (0, c) III) Si a = 0, b 0 y c 0, entonces f es una función afín


33.- Juan tiene 11 cuadernos de los cuales unos son de tapa dura y los otros son de tapa blanda, donde la cantidad de cuadernos de tapa dura es mayor que la cantidad de cuadernos de tapa blanda. Si al multiplicar la cantidad de cuadernos con tapa dura con la cantidad de cuadernos con tapa blanda se obtiene 24, entonces una de las ecuaciones que permite determinar la cantidad de cuadernos de tapa dura (x), es

A) 10x – 24 = 0B) x2 – 11x + 24 = 0C) x2 + 11x + 24 = 0D) x2 + 13 = 0E) 12x + 24 = 0

34.- Todos los números reales x para los cuales 2x9 es un número

real son aquellos que satisfacen que

A) x 9B) x < 3C) x -3D) -3 x 3E) x 3

35.- Un tipo de bacteria se reproduce diariamente transformándose en 3 bacterias del mismo tipo. Si en un experimento se aísla una bacteria y


se coloca a las 12:00 hrs. de un día en condiciones necesarias para que se reproduzca, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Al medio día del segundo día habrá 3 bacterias II) Al medio día del cuarto día habrá 27 bacterias III) Al medio día del sexto día habrá 729 bacterias


36.- ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor el volumen y de una esfera en términos de su radio x?A) B) C) D) E)

37.- ¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera?

A) log 10 = 1B) log1 5 = 5

C) log÷

ç

21

64 = 6

D) log 0 = 0E) log3 (-27) = -3

38.- En el sistema de ecuaciones

bayx

1yx, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Si a = b = 1, entonces el sistema no tiene solución


II) Si a = -1 y b = 1, entonces el sistema posee infinitas soluciones III) Si a = 1 y b = -1, entonces el sistema posee una única solución

A) Solo IIIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) I, II, IIIE) Ninguna de ellas

39.- En la figura, AT y AS son tangentes a la circunferencia de centro O en T y en S, respectivamente. Si S es el punto medio del segmento OR, ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?

I) ∡AOS = ∡ARS II) ∡TAO = ∡OAS III) ∡TAO = ∡SAR

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de ellas

40.- ¿Cuál de las siguientes figuras geométricas tiene menos de dos ejes de simetría?

A) Trapecio isóscelesB) RectánguloC) CuadradoD) RomboE) Circunferencia

41.- Se desea embaldosar (o teselar) un patio de 6 m de largo por 5 m de ancho, como el que aparece en la cuadrícula de la figura. Para ello se tienen prefabricadas piezas formadas por cuatro o dos cuadrados de 1 m de lado cada uno, ¿Con cuál(es) de las combinaciones de las piezas que aparecen en I, en II y en III es posible embaldosar completamente el patio, sin que sobren piezas ni partes de ellas?


A) Solo con IIIB) Solo con I y con IIC) Solo con I y con IIID) Solo con II y con IIIE) Con I, con II y con III

42.- En el rectángulo ABC de la figura, P y Q son los puntos medios de los lados respectivos. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) Si el triángulo ABC es equilátero, entonces B) PQ es la mitad de C) Los triángulos QPB y PQA son siempre congruentesD) Si R es el punto medio de AB , entonces PQC

PQRE) Los triángulos PQC y ABC son semejantes

43.- En la figura, ABCDE es un pentágono regular, el valor del ∡DFC es

A) 108ºB) 90ºC) 100ºD) 72ºE) 120º

44.- El triángulo rectángulo de la figura, se rota en 60º en torno a su vértice H, en sentido horario y luego en 120º en el sentido antihorario, con respecto al mismo punto. Si H perteneces a la recta horizontal L, ¿Cuál de las siguientes opciones indica mejor el lugar donde queda ubicado el triángulo después de estas rotaciones?


45.- En la figura, el punto H se transforma en el punto P si se le aplica una

A) Simetría axial con respecto al eje xB) Simetría axial con respecto al eje yC) Traslación según el vector (-2, 4)D) Simetría puntual con respecto al origenE) Traslación según el vector (2, -4)

46.- Un velero tiene dos mástiles verticales a la cubierta. El menor de ellos mide 4 m y proyecta una sombra sobre la cubierta de 2,5 m y en ese mismo instante, el mástil mayor proyecta una sombra de 7,5 m. La altura del mástil mayor mide

A) 9 mB) 4,6 mC) 12 mD) 8 mE) Ninguno de los valores anteriores

47.- Sea un triángulo rectángulo M de catetos 4 cm y 6 cm. ¿Con cuál(es) de las siguientes medidas de catetos se puede construir un triángulo semejante a M?


I) 2 cm y 3 cm II) 3 cm y 8 cm

III) 1 cm y 23

cm

A) Solo con IB) Solo con IIC) Solo con I y con IID) Solo con I y con IIIE) Con I, con II y con III

48.- En la figura, P es el punto medio del trazo y = 5: 3. Si = 12 cm, entonces la medida del segmento es


49.- En la figura, el triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de radio r, AH es altura y AD es un diámetro de la circunferencia. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) ∡ABC ∡ADC II) AHB ACD

III) bh

2rc


50.- En la figura, las rectas AN y AM son tangentes a la circunferencia de centro O en los puntos N y M, respectivamente y la recta AO interfecta a la circunferencia en el punto P. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s)?

I)ANAM


II) III) AN2 = AO OP


51.- En la figura, la secante PB interfecta a la circunferencia de centro O en los puntos A y B, y la secante PD la interfecta en los puntos C y D. Los segmentos AD y CB se intersectan en E, ∡AEC = 45º y ∡APC = 40º. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) ∡BOD = 85º II) ∡ABC = 2,5º III) ∡BCD = 42,5º


52.- Un farol está en un poste, a 5 metros del suelo. En la noche, una persona de 1,5 metros de altura está a una distancia x de la base del poste e y es la longitud de la sombra que la persona proyecta en el suelo, si dicha situación se representa en la figura, entonces y en términos de x es

A)

B)

C)

D)

E)


53.- De acuerdo con los datos de la figura, ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones indica(n) el valor de b?

I) c (sen ) II) a (tg ) III) 22 ac

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) I, II y III

54.- Si el ABC de la figura es rectángulo en C, entonces la medida de la altura

CDes

A) 10 cmB) 20 cmC) 24 cmD) 10

5

cmE) Indeterminable con los datos dados

55.- ¿En cuál(es) de las siguientes figuras se cumple que c2 = a b?

A) Solo en IB) Solo en IIC) Solo en I y en IID) Solo en I y en IIIE) En I, en II y en III


56.- En el plano cartesiano de la figura, se ubican los vectores a

y b

. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) 3a

= (12, 15)

II)

a +

b = (7, 1)

III) -b

= (-3,-4)


57.- En las opciones, todos los triángulos achurados son rectángulos isósceles congruentes entre sí y tienen a lo menos un lado sobre uno de los ejes coordenados. Si al hacer girar cada uno de los triángulos indefinidamente, en el sentido de la flecha y en torno a uno de los ejes coordenados, se generan cuerpos geométricos, ¿En cuál de las opciones el volumen del cuerpo generado es distinto al de los otros cuerpos? A) B) C)

D) E)


58. En la figura, las coordenadas de los puntos D y F son (0, 5, 2) y (3, 0, 2), respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El perímetro del rectángulo AOEF es 10 unidades II) El área del rectángulo OCDE es 10 unidades cuadradas III) El segmento AC mide

34

unidades


59.- Un curso se reunirá a celebrar los cumpleaños del semestre, sus preferencias de comidas se muestran en la tabla adjunta. Si se elige una persona al azar del curso, ¿Cuál es la probabilidad de que ésta sea hombre y prefiera comer pasteles?

A) 31

B) 61

C) 52

D) 152

E) 41

60.- En una caja hay 7 fichas negras y 9 blancas, todas del mismo tipo. Se saca una ficha al azar y ésta es de color negro y no se devuelve a la caja. Si se saca otra ficha al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que ésta sea blanca?

A) 159

B) 1615

C) 169

D) 151


Hombres

Mujeres

Sándwiches

12 9

pasteles 6 18

E) 91

61.- Patricio y Felipe juegan en una máquina que tiene siete fichas del mismo tipo, numeradas del 1 al 7. La máquina arroja solo una ficha al azar; si sale par gana Patricio, si sale impar gana Felipe. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) Patricio tiene, aproximadamente, un 43% de probabilidad de ganar II) Si se saca de la máquina una ficha al azar de las siete, y se juega con las seis restantes, ambas personas tienen la misma probabilidad de ganar III) Si se agrega una ficha a la máquina con el número 8, ambas personas tienen la misma probabilidad de ganar

A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

62.- En una bolsa se tienen fichas del mismo tipo, de color blanco, verde y rojo. Se sabe que la probabilidad de sacar, al azar, una ficha verde es

51

y de sacar al azar una ficha roja o verde 21

. Si se saca una ficha al

azar, ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea blanca o roja?

A) 21

B) 54

C) 203

D) 103

E) 1


63.- Al lanzar dos dados comunes

I) 6 veces, siempre una vez la suma será 4 II) 36 veces, siempre 3 veces la suma será 4 III) 36 mil millones de veces, teóricamente alrededor de 3 mil millones de veces la suma será 4Es(son) verdadera(s)

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo II y IIIE) Ninguna de ellas

64.- ¿Cuál de los siguientes experimentos es aleatorio?

A) Observar la reproducción al término de 2 horas de una cantidad inicial P0 de bacterias, que se multiplican por biparticiónB) Lanzar una moneda y observar si cae o no caeC) Invertir una cantidad de pesos a una tasa anual del 5% de interés compuesto y anotar la cantidad de dinero que se tendrá después de 3 añosD) Comprimir un gas a temperatura constante y observar si la presión sube o bajaE) Extraer, sin mirar, una pelotita roja de una bolsa que tiene pelotitas rojas, negras y blancas, todas del mismo tipo

65.- ¿Para el cálculo de cual(es) de las siguientes medidas de tendencia central es necesario ordenar los datos?

I) La moda II) La mediana III) La media aritmética

A) Solo para IB) Solo para IIC) Solo para IIID) Solo para I y para IIIE) Para I, para II y para III


66.- Los niños de un colegio deben elegir practicar solo un deporte. El 48% de ellos practica fútbol, el 25% básquetbol, el 2% atletismo y el resto natación. Si MT y PQ son diámetros perpendiculares, ¿En cuál de las opciones está mejor representada esta situación? A) B) C)

D) E) E

67.- El gráfico de la figura, muestra los porcentajes de obesidad de las mujeres con respecto al total de mujeres y de los hombres con respecto al total de hombres, en algunos países de América. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO se deduce de este gráfico?

A) En Uruguay el mayor porcentaje de obesidad está en las mujeresB) En Costa Rica el menor porcentaje de obesidad está en los hombresC) Las mujeres de los países de América son más obesas que los hombresD) Chile supera a Brasil en porcentaje de obesidad tanto en hombres como en mujeresE) Colombia tiene la mayor diferencia porcentual de obesidad entre hombres y mujeres


68. En cierto pueblo se dieron a conocer los resultados de una encuesta aplicada recientemente para sondear las preferencias de la población en las próximas elecciones de alcalde. Dicha encuesta tiene un margen de error del 3% y un alto nivel de confianza. Los resultados obtenidos fueron: el 15% de los encuestados dice apoyar al candidato A, el 39% dice que apoya al candidato B, el 41% apoya al candidato C y el 5% no apoya a ninguno de los candidatos. Si la población votante del pueblo es de 1.000 personas y las elecciones fueran hoy, es correcto afirmar con una mayor probabilidad que:

A) el candidato A obtendría 150 votosB) el candidato B obtendría entre 390 y 420 votosC) el candidato C obtendría entre 380 y 410 votosD) el candidato C ganaría la elecciónE) entre 20 y 80 votantes no se inclinarán por ningún candidato

69.- Un curso está compuesto por x alumnos y se sabe que de ellos (x – 3y) reprueban un examen. Se puede saber cuántos alumnos tiene el curso, si se sabe que:

(1) El 25% del curso reprobó el examen (2) y = 5

A) (1) por si solaB) (2) por si solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) o (2)E) Se requiere información adicional

70.- Se puede determinar el precio de un saco de papas si se sabe que:

(1) El saco de papas contiene 80 kilogramos (2) El kilogramo de papas vale el doble que el kilogramo de cebollas


71.- Se puede afirmar que a + c < b + c, si se sabe que:


(1) a < b (2) c > 0


72.- En la figura, A, B y C son tres puntos de la circunferencia. Se puede afirmar que el ∡ABC mide 90º, si se sabe que:

(1) El ∡ACB mide 45º (2) El centro de la circunferencia está en el trazo AC


73.- Al punto A del malecón de un puerto se encuentra amarrada una boya C con un cable de 15 m, como se representa en la figura. Se puede determinar la distancia d, si se sabe que:

(1) ∡ACB = 30º

(2) = 215

m

A) (1) por si solaB) (2) por si solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por si sola, (1) o (2)E) Se requiere información adicional

74.- Se puede determinar la cantidad de años necesarios para que un capital inicial se duplique, colocando a interés compuesto anual, sin realizar depósitos ni retiros, si se conoce:


(1) El interés aplicado (2) El monto del capital inicial


75.- Un velocista realiza varios entrenamientos en su especialidad que es de doscientos metros vallas. Se puede determinar el promedio de los tiempos de sus entrenamientos, si se conoce:

(1) El número de entrenamientos realizados (2) El menor y el mayor tiempo


RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20A B E D C A D C A D B D E D D B D C B A

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40


C A E C D A E B D B D E B D C B A E D A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60E C A C D C D E E B E A E B C B D E D A

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75C B C E B E C E C E A B D A E


PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850

ENSAYO PSU 8

1. El 35% del 50% de 200 es:

A) 170


B) 75C) 35D) 70E) 135

2. El valor de la expresión es:

A)

B)

C)

D)

E)

3. Al ordenar de mayor a menor los números: a =- , b = , c = y d

=- , se obtiene:

A) c > b > a > dB) b > c > a > dC) a > b > d > cD) c > a > b > dE) b > d > c > a

4. El trazo de la figura se divide en tres partes p, q, r que se encuentran en la razón 3: 2: 1. Si la medida de q es 12 cm, ¿cuál es la medida de ?



5. El sexto término de la serie es:

A)

B)

C)

D)

E)

6. Si se compra una prenda de vestir en cuotas, el precio aumenta en un 20% de interés del valor al contado. ¿Cuál es el valor al contado de una polera que se pagó en cuatro cuotas de $1.680 cada una?

A) $5.300B) $5.676C) $5.600D) $5.376E) $5.673

7. A es directamente proporcional a B e inversamente proporcional a C3. Cuando A = -1, B = 4 y C = -2. ¿Cuánto vale A cuando B vale 2 y C vale – 1?

A) 2B) 4C) -4D) -3E) 3

8. En una receta de torta, la cantidad de harina varía directamente en relación a la cantidad de azúcar. Por 2 tazas de harina se agregan 10 cucharadas de azúcar. Si en una taza caben 6 cucharadas, ¿cuántas cucharadas de harina se necesitan si se ocupan 15 cucharadas de azúcar?

A) 14B) 12C) 15D) 20E) 18


9. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones sobre el número 5102 + 2550

es(son) verdadera(s)?

I) El número es divisible por 5 II) El número es divisible por 13 III) El número es divisible por 2

A) Solo IB) Solo I y IIIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

10. El profesor de educación física eligió, de entre los 95 alumnos de tercero y cuarto medio, al 15% de los primeros y al 20% de los cuartos, que sumaron los 16 estudiantes elegidos para formar la selección de fútbol del colegio. El número de alumnos de cuarto que participan en la selección es:

A) 12B) 7C) 5D) 8E) 9

11.

A) B) C) D) E)

12. De las rectas y se puede afirmar que:

A) forman un ángulo obtusoB) forman un ángulo recto


C) no se cortanD) forman un ángulo agudoE) son coincidentes

13. Al resolver la ecuación siendo la base “a” un número real

positivo y distinto de uno, el valor de x es:

A)

B)

C)

D)

E) 1

14. Si , entonces el recíproco de a es:

A) B)

C)

D)

E)

15. Al factorizar al máximo la expresión resulta:

A) B) C)


x

y

D) E)

16. Al reducir resulta:

A) B) C) D) E)

17. Al desarrollar la expresión , con x 1, resulta:

A) 1B) 0

C)

D)

E)

18. ¿Cuál de las siguientes funciones representa el gráfico de la figura adjunta?

A) y = x2 – 1B) y = x2 + 1C) Y = x2 + 2x + 1D) y = x2 + 2x – 1E) y = x2 – 2x + 1

19. Al simplificar la expresión algebraica, con las correspondientes

restricciones del caso el(los) resultados correctos

es(son):

I)

II)

III)

A) Solo I


B) Solo IIC) Solo IIID) I y IIE) I y III

20. Se tiene una recta AB, donde el punto A se encuentra en el primer cuadrante y el punto B en el tercer cuadrante, entonces:

A) su pendiente pude ser ceroB) su pendiente puede ser negativaC) su pendiente es 1D) su pendiente es positivaE) su pendiente es -1

21. Si el lado de un cuadrado se duplica y luego se le quitan 5 unidades, se obtiene un cuadrado de área 121 cm2. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado original?


22. Al efectuar la siguiente expresión se obtiene:

A) B) C) D) E)

23. Si la suma de todas las aristas de un cubo es 12a – 6b, ¿cuál es su volumen?

A)

B)


C)

D)

E)

24. Si el doble del área de un rectángulo es cm2. Al expresar su perímetro en términos de “a”, se obtiene:

A) (10a – 4) cmB) (4a – 10) cmC) (6a – 10) cmD) (4a – 7) cmE) (10a – 7) cm

25. Si m 5, al reducir a su mínima expresión , se obtiene:

A)

B)

C)

D)

E)

26. El valor en la ecuación es:

A) 102B) 100C) 98D) 101E) 99


27. ¿Para qué valor de “m” la ecuación y = mx + 1 corresponde a la recta de la figura adjunta?

A) – 1

B) -

C)

D) 1E) 228. Un poste proyecta una sombra de 5 m, y al mismo tiempo un tubo proyecta una sombra de 3 m. Si el tubo mide 4 m, ¿cuál es la altura del poste?

A) 6, mB) 7 mC) 6,5 mD) 5,5 mE) 6,3 m

29. La suma de las áreas de 2 cuadrados es 74 y la suma de sus diagonales es . ¿Cuál es el perímetro de cada cuadrado?

A) 5 y 7B) 20 y 7C) 20 y 14D) 28 y 20E) 10 y 14

30. Una mezcla de ripio y arena pesa 450 kg. Si la arena pesa 120 kg menos que el doble del peso del ripio, entonces el peso de la arena es:

A) 180 kgB) 190 kgC) 260 kgD) 130 kgE) Ninguna de las anteriores

31. La parábola cuya ecuación es tiene:

A) un punto máximoB) un punto mínimoC) corta al eje X en el punto (1,0)D) no corta al eje XE) el eje de simetría está en el primer y cuarto cuadrante


32. Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas, el gráfico de la función es:

A) una recta paralela al eje XB) una recta paralela al eje YC) una recta en el I y III cuadranteD) una recta en el I y IV cuadranteE) una recta en el II y IV cuadrante

33. El valor que debe tener k en la ecuación , para que una de las raíces sea – 3, es:

A) 3B) 0C) -3D) 6E) -6

34. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa a la recta del gráfico de la figura adjunta?

A) y = x + 3B) y = 3C) x = 3D) y = x – 3E) x = - 3

35. ¿Cuál debe ser el valor de “k” en la ecuación para que su solución sea precisamente “k”?

A) 0

B)

C) 1D) 2E) no existe ese valor para k


x

y

x

y

36. ¿Qué grafico corresponde a la función ?

x

y

37. Si un número de dos dígitos es igual al doble del producto de sus dígitos y estos suman 9, entonces la ecuación para determinar el dígito x de las decenas es:

A) 10x + (9 + x) = 2x (9 + x)B) x + (x + 9) = 2x(x – 9)C) 10x + (x – 9) = 2x(x – 9)D) x + (9 – x) = 2x (9 – x)E) 10x + (9 – x) = 2x (9 – x)

38. El conjunto de todos los valores de x R para los cuales la

expresión: es un número real está en la opción:

A) {x R /x -2 x > 3}B) {x R / -2 x < 3}C) {x R / x - 2}D) {x R / x > 3}E) R – {3}


39. El sistema de ecuaciones no tiene solución si el valor 2x + ky = 9de k es:

A) -5B) -3C) 0D) 3E) 5

40. El valor del número real x que satisface: es:

A)

B) – 4

C) -

D) -2E) -1

41. O es el centro de las 2 circunferencias concéntricas. Si y , ¿cuál es el área achurada?

A)

B)

C)

D)

E)

42. Dos triángulos son semejantes si tienen:

I) dos lados iguales


II) los tres lados respectivamente proporcionales III) dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo Comprendido igual.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I y IIE) II y III

43. Si y son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo de

hipotenusa igual a 20 cm y sen = , el valor de es:

A)

B)

C) 1D) 0

E)

44. ¿Cuáles son las coordenadas del punto (5, 4) cuando se le aplica una reflexión respecto de la recta y = 2?

A) (5, 0)B) (0, 4)C) (0, 5)D) (4, 0)E) (5, 2)

45. ¿Con cuál de estas afirmaciones se cumple que los triángulos ABC y DEF son congruentes?

I) II) III) ∡ABC ∡DEF ∡ABC ∡DEF ∡BCA ∡EFD


A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I y IIIE) Todas

46. Si a un punto P del plano cartesiano, de coordenadas (-6, -1), se le aplica una traslación según el vector (3, 4) y luego una rotación, con centro en el origen, de -90º, el nuevo punto P queda ubicado en:

A) (3, 3)B) (-3, -3)C) (0, -6)D) (-3, 0)E) (-6, 0)

47. La figura ABCD es un cuadrado y E es punto medio del lado . ¿Cuál es el valor del perímetro de la figura achurada?

A) B) C) D) E)

48. Si un triángulo ABCD es rectángulo en C y se dibuja la altura hc con respecto a la hipotenusa, se forman siempre:

A) tres triángulos semejantesB) dos triángulos congruentesC) dos triángulos semejantesD) tres triángulos equivalentesE) dos triángulos equivalentes

49. Al rotar la banderilla de la figura, en torno al eje AB, se obtiene un cuerpo geométrico cuyo volumen es el siguiente:

A)

B)

C)


D)


50. En la circunferencia de centro O de la figura adjunta, AM es diámetro, al arco AB es congruente con el arco BC y el ∡APB = 20º. ¿Cuánto mide ∡MAC?

A) 20ºB) 40ºC) 45ºD) 50ºE) 60º

51. A la figura siguiente se le aplicó una transformación a los vértices A, B y C para quedar en A’, B’ y C’ respectivamente. Se aplicó:

I) Rotación II) Traslación III) Reflexión respecto al eje y

A) Solo IB) Solo IIC) I y IID) Solo IIIE) II y III

52. En el triángulo ABC rectángulo en A, de la figura adjunta; . Entonces =

A) 25B) 144

C)

D)

E) 60


53. Si al trazo se le aplica una simetría central con respecto al punto P, resulta:

I) II) III)

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) II y IIIE) Ninguna de las anteriores.

54. Si el ángulo = 20º, arco AB = arco BC, arco AE = 70º y diámetro, entonces, ¿cuánto mide el ángulo ?

A) 100ºB) 105ºC) 140ºD) 120ºE) 160º

55. ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya diagonal de una de sus caras es cm?

A) 16 cm2

B) 16 cm2

C) 64 cm2

D) 32 cm2

E) 64 cm2

56. Desde un punto situado a 5 metros de la base de una torre se observa que el ángulo de elevación hasta la parte superior de la torre es de 30º. ¿Cuál es la altura de la torre?


A) metros

B) metros

C) metros

D) metros

E) metros

57. Los lados homólogos de dos triángulos semejantes miden 3 cm y 4 cm respectivamente. Si el área del primer triángulo es 27 cm2, ¿cuál es el área del segundo?

A) 24 cm2

B) 48 cm2

C) 36 cm2

D) 64 cm2

E) 60 cm2

58. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 4 cm. el triángulo ABE es equilátero con mediana . Además los ángulos MPC y MRC son rectos. ¿Cuánto mide el área achurada?

A) B) C) D) E)

59. Si un cuadrado aumenta su lado en un 30%, ¿en qué porcentaje aumenta su área?

A) 30%B) 63%C) 39%D) 90%


E) 69%

60. Si en un triángulo rectángulo la hipotenusa mide x2 + y2, y uno de los catetos mide 2xy, ¿cuál es la medida del otro cateto?

A) x + yB) x2 – y2

C) (x + y)2

D) x – yE) 4x2y2

61. Se lanza un dado no cargado. Si se obtiene un número par, entonces se lanza una moneda honesta. Si se obtiene un número impar, entonces

se lanza una moneda con probabilidad de cara igual a . ¿Cuál es la

probabilidad total de obtener sello?

A)

B)

C)

D)

E)

62. Se lanza una moneda 3 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga al menos un sello?

A)


B)

C)

D)

E)

63. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un guante derecho rojo de un total de 5 pares de guantes rojos y 5 pares de guantes negros?

A)

B)

C)

D)

E)

64. Si se lanzan dos monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que salga por lo menos una cara?

A)

B)

C)

D)

E)


65. ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

I) La moda es el valor central de los datos II) La media es siempre menor que la moda III) Pueden haber más de una moda en un grupo de datos

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I y IIE) Ninguna de las anteriores

66. Si Pedro tiene un llavero con 4 llaves y solo una de ellas abre una puerta, ¿cuál es la probabilidad de que si prueba las llaves, logre abrir la puerta al tercer intento sin usar una llave más de una vez?

A)

B)

C)

D)

E)

67. Se lanza un dado cierta cantidad de veces y con los valores obtenidos se construye una tabla de frecuencia. Si la media aritmética de los valores es 3,8 el número total de lanzamientos es:


68. Se considera el siguiente conjunto: {2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18, 20}. La mediana y la moda respectivamente son:

A) 7 y 2B) 9 y 9C) 10 y 5D) 9 y 12


X f1 52 23 44 x5 46 7

E) 20 y 9

69. ¿Cuánto mide el segmento en la figura adjunta

(1) = 50º (2)


70. En la figura adjunta, ¿cuánto mide el ángulo a?

(1) a + b = c + d (2) a = b; e = 90º


71. En una librería hay en total 500 libros entre Matemática, Física y Química. ¿Cuántos libros son de Física?

(1) El número de libros de Matemática corresponde al doble de los de Física. (2) El 35% del total de libros corresponde a los de Matemática y Química



72. Dadas las rectas de ecuaciones L1: ax + by + c = 0 y L2: dx + ey + f = 0 ellas son perpendiculares si:

(1) c = f = 2 (2) a = e, b = -d

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional.

73. Se tiene una caja con lápices azules y rojos, todos de igual peso y tamaño. Se puede determinar la probabilidad de extraer un lápiz azul si:

(1) La probabilidad de extraer un lápiz rojo es .

(2) El número total de lápices es 14.


74. Se puede determinar el promedio (o media aritmética) de una muestra de datos numéricos si:

(1) La suma de los datos es 549. (2) El total de datos es 9.



75. Si se tienen los valores 3, 5, 1, 8, 7, x, 4, 1, 6, 8, 5, entonces se puede determinar el valor de x si:

(1) La moda es 5. (2) La mediana es 5.



RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C B B B A C C E E B E B B A D D B E C D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40B A A B C D B A D C B A C C C A E A B D

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60E E C A A A D A B D D D A B C E B C E B

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75E A A B C A A B E C B B A C A


PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850


ENSAYO PSU 9

1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) 0,1 =

II) 0,1 + 2,5 = 2,7 III)

= 0,


2. Al dividir por cien la expresión (0,8: 0,2) resulta

A) 40B) 4C) 2,5D) 0,4E) 0,04

3. ¿Cuál es el sucesor del sucesor del entero -3?

A) -1B) -2C) -3D) -4E) -5

4. ¿A cuánto equivale la cuarta parte, del cuarto de ?

A)

B)

C)

D) 4E) 16

5. Si n 0, es igual a

A) a


B) ab

C) bD)

E)

6. Al reducir . Ésta es equivalente a:

A) 1

B)

C) 13D) 132

E)

7. Si F = -2, entonces (-F)5 + 4F =

A) –24B) 2C) 24D) 32E) 48

8. La expresión equivale a:

A) B) C) D) E)

9. El gráfico de la figura representa la relación de variación entre las magnitudes x e y. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) A mayor valor de x, mayor valor de y. II) x e y son variables directamente proporcionales. III) La expresión de la constante de proporcionalidad es x · y

A) Sólo I B) Sólo II


C) Sólo III D) I y II E) I, II y III

10. ¿Cuál es el valor de 4x2 - 2x - x3 - x, si x toma el valor -2?

A) 40B) 30C) 28D) 20E) -30

11.

A)

B)

C) 2D) 5E) Ninguno de los valores anteriores

12. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalente(s) a b + 1?

I)

II)

III)

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y III


E) I, II y III

13. Si a – b = 4, ¿cuál (es) de las expresiones es(son) igual(es) a 8?

I) II)

III)


14. Con respecto al gráfico de la función f(x) = , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) El gráfico de la función g(x)=

representa la traslación

de f(x) sobre el eje x, una unidad a la derecha. II) El gráfico de la función h(x) =- representa una simetría de f(x) con respecto al eje x. III) El gráfico de la función t(x)= representa una traslación de f(x) paralela al eje y.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

15. ¿Cuál (es) de las siguientes expresiones es(son) equivalente(s) a (a - b)2 + 2ab? I) a2 + 2ab + b2

II) a2 + b2

III) a(a) + b2

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

16. El valor de x en la ecuación es:

A) 2B) 3


C) 4D) 5E) 6

17. ¿Cuál es el valor de x en el siguiente sistema? A) 1B) 2C) 3D) 4E) 6

18. Si Juan trabaja el doble que Marcela y Marcela trabaja la mitad que Álvaro, entonces, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)? I) Juan trabaja lo mismo que Álvaro. II) Juan trabaja el doble que Álvaro. III) Marcela es la que más trabaja.A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) Ninguna de ellas

19. La suma de 2 números es 22 y su diferencia positiva es 2. ¿Cuáles son los números?

A) 13 y 9B) 20 y 2C) 11 y 11D) 10 y 12E) Ninguno de los valores anteriores

20. Un hombre llamado Leonardo, midió su cuerpo y lo dividió por la distancia entre su ombligo y la planta de sus pies, obteniendo el número 1,618. Si la distancia entre su ombligo y la planta de sus pies es de 1,1 metros, ¿cuánto mide Leonardo?

A) 1,5 metrosB) 1,618 metrosC) 1,677 metrosD) 1,7 metrosE) 1,7798 metros


21. En una localidad de Chile entre cóndores y huemules hay 50 animales, y si contamos sus patas éstas suman 160. Según estos datos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Hay 20 cóndores. II) Hay 30 huemules. III) 120 de las patas son de huemules.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III

22. Un corsario inglés ha saqueado ciudades españolas, francesas y holandesas, reuniendo un tesoro de 100.000 monedas de oro. Si al repartir el botín, el corsario se queda con el 30% del botín y el resto lo reparte en partes iguales entre los otros 140 tripulantes.¿Cuántas monedas de oro recibe cada tripulante?

A) 500B) 750C) 1.250D) 2.500E) 5.000

23. Un alumno lleva dos libros en su mochila, el primero es un relato de Edgar A. Poe de 300 páginas y el segundo (de más páginas que el primero) es un libro del autor H. P. Lovecraft. Si la razón entre el número de páginas es de 6:7, ¿cuántas páginas posee el libro de H. P. Lovecraft?

A) 200B) 300C) 350D) 400E) 450

24. Si f(x) = x2 y g(x) = (x – 1)2, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I) f(5) – g(6) = 0 II) g(6) – f(5) = 11 III) f(a) – f(a + 1) – g(a – 1) = a

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III


25. Dada la parábola de ecuación y = ax2 + 4x – 3, ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses(son) siempre verdadera(s)? I) Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x. II) Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x. III) Si a < 1 la parábola no intersecta al eje x.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

26. ¿En cuál(es) de las siguientes expresiones se obtiene el mismo resultado que al calcular el 10% de 100? I) El 50% de 20 II) El 20% de 50 III) El 5% de 200A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

27. El intervalo solución de la siguiente inecuación -3x + 2 < 10 es

A)] - , +[

B)]- , 8[

C)]- , [

D)]- , - [

E)] - , [

28. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) función(es) de A en B? A = {1, 2, 3}; B = {5, 6, 7, 8} I) R = {(1,5), (1,6), (1,8)}


II) R = {(1,5), (2,6), (3,7)} III) R = {(1,5), (2,6), (3,8)}A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III

29. Si f(x) = 2x + 5 y g(x) = x2 + 2, entonces g(3) – f(–3)=

A) 0B) 9C) 10D) 12E) Ninguno de los valores anteriores.

30. Un láser experimental que funciona con energía solar, se vuelve más poderoso entre más días se haya cargado con la luz solar, si se deja cargando 10 días, tiene una potencia de 2 kilotones, y si se deja cargando 90 días posee una potencia de 12 kilotones, entonces si la potencia del láser se comporta linealmente, considerando los kilotones como la variable dependiente (y), ¿cuál es la función lineal que permite calcular la potencia en kilotones del láser en x días de carga?

A) f(x) = 90x

B) f(x) =

C) f(x) =

D) f(x) = 8x +

E) f(x) =

31. Sea f (x) = 3x2 + 6x + 7, con x en los números reales. El menor valor que alcanza la función es

A) – 5B) – 2C) 4D) 7E) ninguno de los valores anteriores.

32. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) igual(es) a x2

+ 10x + 24?


I) (x + )2

II) x(x + 10) + 24 III) (x +6)(x + 4)A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

33. Si 32a = 9, ¿cuál es el valor de a?

A) -1B) 0C) 1D) 2E) 3

34. La ecuación de segundo grado cuyas soluciones son y 0 es

A) x2 - x = 0B) x2 + βx + (β - ) = 0C) x2 -βx + x = 0D) x2 - x - (β + ) = 0E) no existe esa ecuación.

35. Si x = b, entonces log x2 - log b2 + log 10 es igual a

A) x + bB) 1C) 0D) - bE) ninguna de ellas.

36. Una población de bacterias crece dada la función f(x) = k · 3x, donde k es el número inicial de bacterias por colonia y x es el tiempo en minutos. Si una colonia posee inicialmente 2 bacterias, ¿cuántas bacterias habrá en el minuto 3?

A) 54B) 64C) 70


D) 108E) 540

37. En la figura está representada la función f(x). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f (-3) = -f (3) II) Para cualquier valor de x se cumple que f(x + 1) = f(x) + 1. III) Si -1 < x < 1, entonces f(x) 0.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y III E) II y III

38. Sobre la ecuación de incógnita x,

, con p y q

distintos de cero, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) Si p 3, tiene solución única

II) Si p = 3 y q = , tiene infinitas soluciones

III) Si p = 3 y q , no tiene solución


39. ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero cuyo lado es igual al lado de un cuadrado de área 4 cm2?


A) cm2

B) cm2

C) cm2

D) 3 cm2

E) 4 cm2

40. Si x ≥ 0, ¿cuál de las siguientes alternativas es siempre verdadera?

A) > 0 B) x2 = -x2 C) x3 > x2 D) (x – 2)2 ≥ 0 E) (1 – x)2 ≤ (1 – x)3

41. Si la altura de un triángulo equilátero mide 2 cm, ¿cuánto mide su área?

A) 4 cm2

B) 6 cm2

C) 8 cm2

D) 8 cm2

E) 4 cm2

42. Si comparamos un cuadrado de lado “a” con un rombo de lado “a” es siempre verdadero que I) sus áreas son iguales. II) sus perímetros son iguales. III) sus áreas son distintas.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III

43. En la circunferencia de centro O de la figura, 2 – β es igual a

A) 60B) 30C) 15D) 0E) – 30


44. En el sistema solar de Alpha Centauro, su cuarto planeta recorre en una vuelta completa a su sol 60.000.000 π kilómetros. Si su órbita es circular, ¿a qué distancia se encuentra el planeta de su sol?

A) 10.000.000 kilómetrosB) 10.000.000 π kilómetrosC) 30.000.000 π kilómetrosD) 30.000.000 kilómetrosE) 60.000.000 kilómetros

45. Si y β son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) tg =

II) cotg =

III) sen = cosecβA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

46. Al mirar la cumbre de un cerro se observa que el ángulo de

elevación es de 30. Al acercarse horizontalmente metros, el

ángulo es ahora 60, ¿cuál es la altura del cerro?

A) 290 metrosB) 580 metrosC) 580 metrosD) 1.160 metrosE) 1.160 metros


47. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones nos permite(n) determinar si dos triángulos son congruentes? I) Poseen tres lados correspondientes congruentes. II) Poseen dos lados congruentes y el ángulo comprendido por ellos congruente. III) Poseen los tres ángulos congruentes.


48. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras podemos utilizar siempre el teorema de Tales?


49. En la figura, ¿cuál es la medida de x?

A) 1 cmB) 2 cmC) 3 cm D) 4 cm E) 6 cm

50. Si ABC es un triángulo y es bisectriz del ∡ ACB, x es igual a


A) ac

B)

C)

D)

E)

51. Si en la fi gura L1 // L2, = 8 cm, = 2 cm y = 24 cm, ¿cuánto mide ?


52. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 4) y el origen?

A) y + 2x = - 4B) y = 2xC) y - 2 = 1D) 2y - x = 2E) y + x = 4

53. Al rotar indefinidamente el rectángulo de la fi gura, en torno al lado , se genera un cuerpo geométrico cuyo volumen mide

A) 676π cm3

B) 225π cm3

C) 208π cm3

D) 104π cm3

E) ninguna de las medidas anteriores.

54. ¿Cuál es el volumen de un cubo, en el cual la diagonal de una de sus caras mide 4 cm?

A) 4 cm3

B) 16 cm3

C) 48 cm3

D) 64 cm3


E) 128 cm3

55. Dada la recta S y el punto N de la figura, ¿qué transformación isométrica se debe aplicar a la mitad derecha del dibujo para así obtener la mitad izquierda?

A) Una traslación.B) Una rotación de 360 con centro en N.C) Una rotación de 180 con centro en N.D) Una simetría (reflexión) con respecto a la recta S.E) Una simetría (reflexión) con respecto al punto N.

56. Si se rota en 180 en el plano cartesiano con centro en el origen y en sentido antihorario, el punto (3,-2), quedará ubicado en

A) (2, -3)B) (2, 3)C) (-3,2)D) (3,2)E) (-3,-2)

57. Si traslado el triángulo de vértices A(0,0), B(1,2) y C(5,0) con un vector de traslación T(2,1), las coordenadas de los vértices una vez trasladados serán

A) A’ (0,0), B’ (1,2) y C’ (5,0)B) A’ (0,0), B’ (3,3) y C’ (7,1)C) A’ (-2,-1), B’ (-1,1) y C’ (3,-1)D) A’ (2,1), B’ (1,2) y C’ (5,0)E) A’ (2,1), B’ (3,3) y C’ (7,1)

58. En la figura, ABCD es un cuadrado de perímetro 32 cm y los arcos FE y CA son un cuarto de circunferencia. Si E y F son puntos medios, ¿cuál es el perímetro de la región achurada?

A) (24 + 20p) cmB) (24 + 6p) cmC) (64 – 6p) cm


BA

CD

E

F

D) (32 – 20p) cmE) (32 – 6p) cm

59. Si la probabilidad de que una persona gane en un juego de azar es de 0,01, ¿cuál es la probabilidad de que NO gane?

A) 0,09B) 0,99C) 9,09D) 9,99E) 99,99

60. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que sus caras superiores sumen 7?

A)

B)

C)

D)

E)

61. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 monedas una después de la otra salgan dos caras?

A)

B)

C)

D)


E)

62. Al lanzar tres monedas, ¿cuál es la probabilidad de que salga al menos una cara?

A)

B)

C)

D)

E)

63. ¿Cuál de los siguientes eventos posee una probabilidad de ocurrencia 1?

A) Que al lanzar dos monedas salgan dos caras.B) Que un año posea 365 días.C) Que al sacar al azar a una persona de Europa, ésta sea alemana.D) Que al sacar 5 cartas de un mazo todas sean diamantes.E) Que al lanzar una moneda salga cara o sello.

64. El promedio de las notas de 6 alumnos es 5,7. ¿Cuál es la nota del sexto alumno si la suma de las 5 primeras notas es 29,7?

A) 4,2B) 4,5C) 4,7D) 4,8E) Faltan datos para determinarlo.

65. Dado el siguiente histograma, que representa las precipitaciones en milímetros caídas en cierta localidad entre Mayo y Septiembre, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) En Mayo y Julio llovió durante la misma cantidad de días. II) El mes más lluvioso es Junio. III) El promedio de agua caída en el periodo es de 260 mm.



66. ¿Cuál es la frecuencia de la moda de la siguiente muestra: 1,1,1,2,2,3,3,3,3,3,4,4,5,6,7?

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

67. El gráfico nos muestra el número de personas que hay en 4 casas. De acuerdo con esta información, ¿cuántas personas hay en total en todas las casas?

A) 6B) 8C) 10D) 12E) 14

68. Un experimento tiene 5 resultados posibles A, B, C, D y E, excluyentes entre sí. El experimento se realiza 50 veces y se obtuvieron los resultados que muestra la tabla. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El 10% de las veces se obtuvo el resultado A. II) El 20% de las veces se obtuvo el resultado B o D. III) La frecuencia relativa del resultado E es 0,3.

A) I y II B) Sólo III C) I y III D) I, II y III E) Ninguna de las tres afirmaciones es verdadera

Instrucciones para las preguntas Nº 69 a la Nº 75


Resultado A B C D EFrecuencia

10 10 5 10 15

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2), son suficientes para llegar a esa solución.Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra:A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es;B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es;C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente;D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

69. La cantidad de pisos de dos edificios están en la razón de 5: 9. Se puede determinar la cantidad de pisos de cada uno si: (1) La diferencia de los pisos de los edificios es de 12 pisos. (2) Los pisos de ambos edificios suman 42.A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.

70. Se puede determinar las coordenadas del punto “D” si: (1) Al aplicar el vector traslación (23,12) sus nuevas Coordenadas son (32,41). (2) Al aplicar una rotación en 180º con respecto al origen Sus nuevas coordenadas son (-9,-29).


71. Se puede determinar el valor de la media aritmética (promedio) de una muestra de datos no agrupados si: (1) La suma de los datos es 2.000. (2) La muestra tiene 400 datos.

A) (1) por sí sola.


B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.

72. Se puede determinar el área de un triángulo rectángulo si: (1) Un cateto mide 12 cm. (2) La hipotenusa mide 13 cm.


73. Se puede determinar cuánto demoran 5 hombres en construir una piscina si: (1) 2 hombres demoran 10 días en construir la misma piscina. (2) Los 5 hombres se demoran el doble del tiempo que 10 Hombres en hacer el mismo trabajo.


74. Se puede determinar el número de diagonales totales que se pueden trazar en un polígono si: (1) Se conoce el número de lados del polígono. (2) Se conoce la suma de los ángulos interiores del polígono.



75. Para la circunferencia de centro O de la fi gura, se puede determinar la medida del ∡α si:

(1) Arco AB es de la circunferencia.

(2) El radio es 4 cm. B


RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C E A A E C C D C B C D D C D D E D D E

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40E A C D C E A E D B C D C A B A E E C A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60A E D D C A C D E C D B C D D C E B B B

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75B D E B D E E B D D C C A D A


PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30


538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850

ENSAYO PSU 10

1.

2. de una bebida de 2 litros, Eva toma de ella, Julia bebe del resto y

Rosa se sirve de litro. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones

es(son) correcta(s)? I) Julia bebe el doble que Eva II) Eva y Rosa juntas tomaron más bebida que Julia


III) Rosa se sirvió la mitad de lo que tomó JuliaA) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) Solo II y III

3.

4. Se tienen 3 máquinas A, B y C procesadoras de números. Si un número pasa por A, aumenta al doble; si pasa por B se reduce a la tercera parte y si pasa por C se le resta 0,25. ¿En cuál(es) de los siguientes procesos se expresa el resultado correcto?

A) Solo en IB) En I y en IIC) Solo en IID) En II y en IIIE) Solo en III

5. Si la suma entre a y b es el 20% de 40 y su diferencia es el 10% de 20, entonces la razón (a + b): (a – b) es

A) 2: 1B) 3: 1C) 4: 1D) 4: 3E) 5: 3

6. Se desea repartir la suma de $ 52.000 entre tres personas de modo que la razón entre las cantidades que reciba cada uno sea 6: 4: 3. ¿Cuánto recibe cada persona?

A) $ 60.000 $ 14.000 $ 30.000


B) $ 30.000 $ 14.000 $ 12.000C) $ 25.000 $ 14.000 $ 13.000D) $ 24.000 $ 16.000 $ 12.000E) Ninguna de las anteriores

7. Un padre recibe mensualmente $ 450.000, de los cuales gasta los y

el resto lo reparte entre sus dos hijos en partes iguales. Después de 4 meses, cada hijo ha recibido

A) $ 25.500B) $ 50.000C) $ 100.000D) $ 200.000E) $ 400.0008. La figura muestra una calculadora aritmética común. ¿Cuál(es) de las siguientes secuencias de teclas permite(n) calcular el 25% de 12?

A) Solo IIB) I y IIC) I y IIID) II y IIIE) I, II y III

9. la ley de Ohm para circuitos eléctricos se enuncia mediante la relación , donde V es el voltaje (o diferencia de potencial eléctrico) aplicado, I es la intensidad de la corriente que circula por el circuito y R es la resistencia eléctrica. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correcta(s)?

I) Si R es constante, el voltaje es directamente proporcional a la Intensidad de la corriente II) Si V es constante, la intensidad de la corriente y la resistencia Son inversamente proporcionales III) Si I es constante, V y R son inversamente proporcionales

A) Solo IB) Solo IIC) I y IID) I y III


E) II y III

10. Si las cantidades a y b son inversamente proporcionales y la constante de proporcionalidad es K, entonces ¿cuál es el valor de b

cuando a toma el valor de ?

11. Si a = 3 y B = -5, entonces ¿cuál es el valor de –a – b – ab?

A) -23B) 17C) -17D) -13E) 13

12.

13. Si 3(x – 2) = 5x, entonces ¿cuál es el valor de 2x?

A) -6B) 6C) -3D) -2E) -1


14. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a un factor del trinomio

A) m – 3B) m + 3C) m – 5D) m + 5E) m + 2

15. El enunciado: “Un número x se multiplica por sí mismo y al resultado se le resta la suma de los cuadrados de a y b” se escribe:

16. ¿Qué sucede con el área de un rombo si una de sus diagonales se duplica y la otra se mantiene constante?

A) Se duplicaB) Se cuadruplicaC) Se mantiene igualD) Se divide a la mitadE) Aumenta en 2 unidades de superficie

17. Se define (a, b) * (c, d) = (ac + bd, bc – ad) con a, b, c y d números enteros. Entonces, el resultado de (1,2) * (3,1) es:

A) (5, -5)B) (-5, 5)C) (5, 5)D) (5, 3)E) (-5, -5)


18. En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El área sombreada es 2ab – 2xy II) El área sombreada es III) El área sombreada es

A) Solo IIB) Solo IIIC) II y IIID) I, II y IIIE) Ninguna es verdadera

19. Un edificio de 8 pisos tiene 12 ventanales por piso, de los cuales 10 son ventanales simples y 2 son ventanales dobles. El costo por limpiar un ventanal simple es $ P y por limpiar uno doble es un 25% más caro. ¿Cuál es el costo por limpiar los ventanales del edificio?

A) $ 100PB) $ 84PC) $ 48PD) $ 12,5PE) $ 10,5P

20.

21. Si a es un número natural, al desarrollar la expresión resulta


22.

23. Si el doble de un número x se aumenta en 4 unidades, resulta un número mayor que 10, entonces el número debe ser mayor que:

A) 3B) 4C) 6D) 7E) 10

24. Si , entonces el valor de es:

25. Si x es un número real distinto de -2, de 2 y de todos los valores comprendidos entre dichos números, entonces x pertenece al conjunto:


26. Sea f una función en los números reales, definida por f(x) = a + bx. ¿Cuál es el valor de f(a – b)?

27. En la figura, la ecuación de L1 es y = 3x + 3. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La pendiente de L2 es -3 II) L2 corta al eje x en (3, 0) III) L1 y L2 se intersectan en el

punto de coordenadas

A) Solo IB) I y IIC) I y IIID) II y IIIE) I, II y III

28. Del grafico de la función , se puede afirmar que: I) corta al eje de las ordenadas en y = 1 II) sus ramas se abren hacia arriba III) su vértice está en el punto (0,1)

A) Solo IB) Solo IIC) I y IID) I y IIIE) I, II y III29. ¿Cuál es el grafico que representa a la función f(x) =


30. Si las rectas x = y; x = 5 se intersectan en el punto de coordenadas (a, b), entonces el valor de a + b es:

A) 0B) 5C) 10D) 25E) Faltan datos

31. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la función


32. dada la ecuación de la parábola , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) intersecta al eje Y en (0,6) II) sus ramas se dirigen hacia arriba III) el vértice tiene coordenadas (2,0)A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I y IIIE) II y III

33. ¿Cuál es el dominio de la función ?

34. ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a log 5?


35. En una granja avícola, una población de aves se triplica al cabo de 6 meses. Si el período de crianza se inicia con 300 ejemplares, ¿cuántas aves habrá al cabo de 2 años si no se pierde ningún ejemplar?

A) 900B) 1.500C) 3.600D) 8.100E) 24.300

36. Un capital de $ c se invierte al 10% de interés compuesto anual durante dos años y el capital final se vuelve a invertir al 20% de interés compuesto anual durante dos años más. ¿Cuál es el resultado de la operación al cabo de los cuatro años?

37. ¿Cuál es el valor de k para que la recta sea paralela a la recta ?

A) 7

B)

C) 32D) -28E) 23

38. ¿Cuál es valor del producto en el sistema de ecuaciones

siguiente?

A) 20B) 14C) 21


D) 12E) 18

39.

A) 8B) 10C) 12D) 14E) 16

40. En dos cilindros de igual altura se tiene que la razón de sus radios es 1: 2, entonces la razón entre el volumen del menor con el mayor es:

A) 1: 2B) 1: 4C) 2: 3D) 2: 5E) Ninguna de las anteriores

41. En la figura, ABCD es un rectángulo, , y . Si y M, N son puntos medios de los lados

respectivos, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s) con respecto a las áreas sombreadas representadas por P, Q, R y S?

I) P = Q + S II) R = P + S III) 2R = P + Q

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III42. En la figura,

. Entonces, SIEMPRE se cumple que:

III) ∡ ACB ∡ PQRA) Solo IB) Solo IIIC) I y IID) I y IIIE) I, II, III


43. El cuadrado OABC de lado a de la figura, se ha dividido en 4 cuadraditos congruentes. La superficie del cuadrado OEFG es:

44. En la figura, sobre la recta se han dibujado el triángulo equilátero y el cuadrado BCDE. El triángulo y el cuadrado son de lado 6 cm. La superficie de la región sombreada es:

45. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras se puede trazar más de un eje de simetría?

A) Solo en IB) En I y en IIC) Solo en IIID) En I, II y IVE) En todas


46. En la figura, al triángulo ABC se le aplica una rotación en 90º en el sentido antihorario, con respecto al vértice A. ¿Cuáles son las nuevas coordenadas del vértice C?

A) (-2, 3)B) (0, 3)C) (4, 3)D) (6, -1)E) (6, 3)

47. En la figura, ¿cuál es el punto simétrico del punto A(1,2) con respecto a la recta de ecuación y = 4 – x?

A) (2, 1)B) (2, 3)C) (3, 2)D) (3, 3)E) (4, 3)

48. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras corresponde(n) a una teselación (embaldosamiento) del plano mediante un polígono regular?


49. En la figura, triángulo ABC equilátero, y ¿Cuánto mide el área sombreada?


50. En la figura, . ¿En qué razón está dividido el segmento ?

51. En la figura, triángulo ABC rectángulo en A, . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) ∼ II) ∼ III) ∼A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) II y IIIE) I, II y III

52. En la circunferencia de centro O de la figura, son diámetros. Si , entonces ∡ x =

A) 18ºB) 36ºC) 52ºD) 62ºE) 72º


53. En la figura, triángulo ABC equilátero de lado 1 y D es el centro de la semicircunferencia inscrita de radio r. ¿Cuál es el valor de r?

54. En la figura, O es el centro de la circunferencia de radio 4 y Q es el centro de la semicircunferencia de radio 3. Si , entonces el trazo

mide:

55. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras se puede afirmar que L1 y L2

son paralelas?

A) Solo en IB) Solo en IIIC) En I y en II


D) En I y en IIIE) En I, II y III

56. Si entonces =

57. Una escalera de 2 m de largo está apoyada en una pared formando un ángulo de 50º con el suelo. ¿A qué altura de la pared está apoyada la escalera?

58. Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC equilátero de la figura son (2, 0, 0); (0, 2, 0) y (0, 0, 2). Si es altura, entonces ¿cuáles son las coordenadas del punto D?

59. Si se rota una escuadra triangular de lados 30 cm, 40 cm y 50 cm, en 360º en torno a su cateto menor, entonces ¿cuál es el volumen del cuerpo generado?


60. Si se lanza un dado equilibrado, ¿cuál es la probabilidad de que no salga 3 ni 5?

61. De los 35 alumnos de 4º medio de un colegio mixto, 20 pertenecen al área Humanista y el resto pertenece al área Científica. En el área Humanista hay 12 hombres, mientras que en el área Científica hay 10 mujeres. Si se elige a un alumno al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de que sea hombre es

II) La probabilidad de que sea una mujer del área Humanista es

III) La probabilidad de que sea una mujer del área científica es

A) Solo IB) Solo IIC) II y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de las tres es verdadera


62. la siguiente tabla muestra la cantidad de poleras de Andrea agrupadas por color. Si se escoge una polera al azar, es más probable que sea de color

A) BlancoB) NegroC) RojoD) Blanco o negroE) Negro o rojo

63. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado un número mayor o menor que 5?

64. En una alcancía hay monedas de $ 100, $ 50 y $ 10 y están en razón de 2: 3: 5, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una moneda de $ 100 ó de $ 50?


Color de la polera

Cantidad

Blanco 4Negro 3Rojo 2

65. El gráfico de la figura muestra el puntaje inicial y final de 5 estudiantes de un preuniversitario en el curso de Historia y Ciencias Sociales del año 2011. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El puntaje inicial promedio fue de 550 puntos II) El puntaje final promedio fue de 710 puntos III) la mayor diferencia de puntaje la obtuvo el alumno A3

A) I y IIB) I y IIIC) Solo IIID) II y IIIE) I, II y III

66. Las notas de Andrés en Física son: 5,6; 6,2; 6,5 y 5,4. ¿Cuál de las siguientes notas puede obtener Andrés para que la mediana del conjunto sea un 6,2?

A) 5,7B) 5,8C) 5,9D) 6,1E) 6,3

67. La siguiente serie de datos corresponde al número de revistas que se vende en un kiosco durante 2 semanas: 11, 15, 13, 10, 12, 15, 7, 10, 12, 10, 10, 13, 12, 8. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La moda es menor que la mediana y que el promedio II) La mediana es mayor que la moda y que el promedio III) El promedio es mayor que la moda y la mediana

A) Solo IB) I y IIC) Solo IIID) II y IIIE) Solo III

68. El gráfico de la figura muestra la preferencia manifestada por un grupo de 1.800 personas respecto de cuatro marcas de dentífrico, A, B,


C y D. ¿Cuál es la frecuencia absoluta y relativa, en ese orden, de las preferencias por el dentífrico D?

A) 432 y 27B) 432 y 0,27C) 120 y 0,27D) 120 y 0,E) 120 y 9


69. Entre tres números enteros distintos, ¿cuánto vale el mayor?

(1) Uno es negativo, otro es mayor que 0 pero menor que 2 y el Tercero es mayor que 10 (2) El producto de los dos mayores es 31


70. La expresión a(bn – 1), en que a, b y n son números enteros, es par si: (1) a es par (2) b es par


71. Si a, b y c son números enteros, entonces se puede conocer el valor de c si:



72. ¿Se puede determinar la ecuación de la recta L?

(1) L intersecta al eje de las abscisas en el punto x = -2 (2) L intersecta al eje de las ordenadas en el punto y = 4


73. La figura muestra una circunferencia de centro C y un triángulo ABC equilátero. Se puede calcular el perímetro del triángulo si:

(1) Se conoce el perímetro de la circunferencia (2) Se conoce la superficie de la circunferencia


74. En la figura, es tangente en B a la circunferencia de centro O. Se puede determinar la medida del ∡ BCD si:

(1) El ∡ OAB mide 30º (2) El ∡ ODC mide 15º



75. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una persona de un grupo, ésta sea mujer? (1) El grupo está compuesto por 15 personas (2) Hay 7 hombres en el grupo


RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C E C B C D C C C D B E A D A A C D A E

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40B E A D D D D C B C B E C D E A B D A C

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60


C D D B D A B A D C E A C E C C C C B D

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75A D E D A E B D C A B C E A C


PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850


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