Libro Matematicas 2ESO

8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO

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IES C RPE DIEM

matemticas


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MATEMTICAS 2 ESO 3

Antes de empezar

1.Potencias de un entero . pg. 6Qu es una potencia?Signo de una potencia

2.Operaciones con potencias............. pg. 8Potencia de productos y cocientesProducto y cociente de potenciasPotencia de una potencia

3.Potencias de 10. Notacin cientficapg. 11Potencias de base 10Notacin cientfica

4.Cuadrados perfectos. Races pg. 13Cuadrados perfectosRaces cuadradas

Ejercicios para practicar

Para saber ms

Resumen

Autoevaluacin

Actividades para enviar al tutor

Objetivos

En esta quincena aprenders a:

Expresar multiplicaciones deun mismo nmero en forma depotencia.

Realizar operaciones conpotencias.

Trabajar con potencias de

base 10. Expresar nmeros en notacin

cientfica. Calcular races cuadradas. Realizar clculos con la ayuda

de una calculadora.

Potencias y races de nmeros enteros1


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MATEMTICAS 2 ESO 5

Antes de empezar

Seguro que ms de una vez habrshablado de megas o de gigas al referirte

a un ordenador. Pero, a qu nosreferimos cuando nombramos estas

unidades.

La unidad ms pequea para representarla informacin guardada en un ordenador

es el bit. Un bit (de binary digit, dgitobinario) equivale a escribir un 0 o un 1 en

un ordenador.

Pu

1

Au

1

1

ara representar ms informacin sesan grupos de bits. Por ejemplo

1001110 es un Byte.

partir de aqu, las unidades se calculansando potencias de 2

Kilobyte equivale a 1024 Bytes

KB = 210Bytes

Despus del Kilobyte se utilizan dosmedidas que seguro te sonarn ms:

El Megabyte, que equivale a 1024 KB

1 MB = 210KB

El Gigabyte, que equivale a 1024 MB

1 GB = 210MB

E

E

E

E

E

Y qu tenemos despus del Giga?

l Terabyte, 1 TB = 210GB

l Petabyte, 1 PB = 210TB

l Exabyte, 1 EB = 210PB

l Zettabyte, 1 ZB = 210EB

l Yottabyte, 1 YB = 210ZBPara que te hagas una idea de las

enormes unidades de almacenamiento deinformacin que estamos manejando,

veamos un ejemplo:

Cuntos MB equivalen a 1 YB?

1 YB = 210ZB = 220EB = 230PB == 240TB = 250GB = 260MB == 1152921504606846976 MB

Una potencia de base un entero y exponente un natural es una multiplicacin repetida.Quiz te convenga repasar las operaciones combinadas y la jerarqua de operaciones.

Potencias y races de nmeros enteros


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1. Potencias de un nmero entero

Qu es una potencia?

Una potencia cuya base es un nmero entero y cuyoexponente es un nmero natural, es un producto defactores iguales.

6 MATEMTICAS 2 ESO

La base, a, es el factor que se repite. El exponente,n, indica el nmero de veces que se repite la base.

Signo de una potencia

Al calcular potencias de base un nmero entero,presta atencin al signo de la basey al exponente.

Tambin debes distinguir a qu nmero exactamenteest afectando la potencia.

En general cualquier potencia de un nmeropositivo ser positiva. Y el opuesto de esapotenciaser siempre negativo.

Si la base es negativay el exponente par o cero, elvalor de la potencia ser positivo.

Pero si la base es negativa y el exponente esimpar, el valor de la potencia ser negativo.

Ejemplos:

35= 3 3 3 3 3

(-2)4= (-2) (-2) (-2) (-2)

02= 0 0

40= 1 (este es un caso especial,ya que no podemos multiplicar

un nmero por s mismo 0veces)

Ejemplos:

34= 81

33= 27

(-2)8 = 256

(-2)9= -512

28= 256

-28= -256 (se trata del opuestode la potencia anterior)

50= 1

-50= -1 (de nuevo el opuesto)

an= a a a ael producto se hace n veces

No es lo mismo -34 que (-3)4


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MATEMTICAS 2 ESO 7

EJERCICIOS resueltos

1. Calcula el valor de las potencias siguientes: 42, -42, (-4)2y -40

42= 16

-42= -16

(-4)2= 16

-40= -1

2. Calcula el valor de las potencias: -35, (-3)5, (-3)0y -30

-35= -243

(-3)5= -243

(-3)0= 1

-30= -1

3. Es lo mismo calcular abque ba?

En general no es lo mismo.

Esto qu quiere decir? Pues que normalmente las dos potencias no darnel mismo resultado, pero puede ocurrir que en algn caso s coincidan.

Por ejemplo 23= 8, que no coincide con 32= 9. Esto es lo que es normal.

Ahora bien, fjate en 24y 42. Ambas potencias valen 16.

Eres capaz de encontrar algn otro ejemplo en el que coincidan?



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8 MATEMTICAS 2 ESO

2. Operaciones con potencias

Potencia de productos y cocientes

Para hacer el producto de dos nmeros elevado auna misma potencia tienes dos caminos posibles,cuyo resultado es el mismo:

Puedes primero multiplicar los dos nmeros, ydespus calcular el resultado de la potencia:

(45)4= 204= 160000

O bien puedes elevar cada nmero por separado alexponente y despus multiplicar los resultados.

(45)4= 4454= 256625 = 160000

De forma anloga puedes proceder si se trata delcociente de dos nmeros elevado a la mismapotencia.

0625,55,123 4

4

==

0625,51681

2

323

4

44

===

Producto de potencias de igual base

Observa el siguiente ejemplo:743 22222222)2222()222(22 ===

Es decir, el resultado de multiplicar potencias deigual base es una potencia con la misma base, ycuyo exponente es la suma de los exponentes delas potencias iniciales.


nnn ba)ba( = yn

nn

b

aba

=

Ejemplos:

(23)3= 63= 216

(23)3= 2333= 827 = 216

9326 2

2

==

9436

26

26

222 ===

Observa que de las dos formasobtienes el mismo resultado. Ahorabien, no siempre ser igual desencillo de las dos formas.

As que piensa de antemano qumtodo va a ser ms convenientepara realizar el clculo.

Ejemplos:

117474 5555 == +

116565 )2()2()2()2( == +

108282 xxxx == +

mnmn aaa +=


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MATEMTICAS 2 ESO 9

Cociente de potencias de igual base

Veamos cmo se hara un cociente de potencias deigual base:

43

75

15555

5555555555

5

5=

=

=

Observa que el resultado de dividir dos potenciasde igual basees otra potencia con la misma base,y en donde el exponente es la resta de losexponentesiniciales.

Potencia de una potencia

Una potencia cuyo exponente es un nmero naturalequivale a la multiplicacin repetida de la base tantasveces como indica el exponente. Qu es entonces lapotencia de una potencia?

Observa el siguiente ejemplo:

124344444434 222222)2( ==== ++

Es decir, el resultado de calcular la potencia de unapotenciaes una potencia con la misma base, y cuyoexponente es la el producto de los dosexponentes.


mnmn a

aa =

Ejemplos:

7292

966

6

6==

94134

13)5()5(

)5(

)5(==

1777

7 0444

4===

32023

20

23

xxx

x==

Ejemplos:

82424 33)3( ==

[ ] 186363 )5()5()5( ==

328484 yy)y( ==

mnmn a)a( =


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10 MATEMTICAS 2 ESO



4. Calcula el valor de los siguientes productos y cocientes:

a) 3)52( b) ( )4310 c)5

36

d)2

25

a) Nos interesa multiplicar primero: ( 100010)52 33 ==

b) Calculamos cada potencia por separado:

( ) 8100008110000310310 444 ===

c) Primero dividimos: 32236

5

5

==

d) Calculamos las potencias y despus dividimos: 25,6425

25

2

==

(Tambin

puedes dejar el resultado expresado en forma de fraccin.)

5. Expresa en forma de potencia el resultado:

a) b)

323

)5(5 2

74

2

2

2 c)

59

4

2

a) 963323 555)5(5 ==

b) 9542

74 222

2

22 ==

c) ( ) 3557 5

2

95922

2

242

==

=

6. Tiene sentido la potencia 2 ? Cmo debemos calcularla?43

El problema al calcular la potencia es saber en qu orden debemoselevar. Por ello necesitamos parntesis que nos aclaren este orden.

Podemos interpretarla como ( 1243 2)2 =

Pero tambin como 81)43( 22 = , que no coincide con el resultado anterior.


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MATEMTICAS 2 ESO 11

3. Potencias de base 10.Notacincientfica

Potencias de base 10

Es muy sencillo calcular potencias cuya base es diez.

100 = 1, 101 = 10, 102 = 100, 103 = 1000

La forma en que escribimos los nmeros utilizapotencias de base 10. Por ello se denominanumeracin decimal.

Cualquier nmero puede escribirse como una suma denaturales que multiplican a potencias de base 10, eslo que se conoce como descomposicin polinmicade un nmero:

975 = 9102+ 7101+ 5100

Notacin Cientfica

Para facilitar la lectura de cantidades muy grandes omuy pequeas que aparecen con frecuencia en eltrabajo cientfico se utiliza la notacin cientfica.

Un nmero en notacin cientfica consta de unnmero decimal, llamado mantisa, multiplicado poruna potencia de diez.

La mantisa tendr una nica cifra delante de la comadecimal. Esta cifra no puede ser cero.

Por ejemplo, la masa de la tierra es:

mtierra= 5974000000000000000000000 kg

En notacin cientfica ser 5,974 1024. Observa quesi realizas la multiplicacin se obtiene el resultado dearriba.

Otro ejemplo, la masa del electrn:

melec=0,000000000000000000000000000911 g

En notacin cientfica es 9,11 10-28.


Notacin cientfica: a,bcd 10n, siendo a0

Ejemplo:

5276=5103+2102+7101+6100

El nmero tiene:

5 unidades de millar2 centenas7 decenas

6 unidades

Ejemplos:

243000 = 2,43 105

5764000000000 = 5,764 1012

90000 = 9 104

0,00000045 = 4,5 10-7

0,000003002 = 3,002 10-6

0,007 = 7 10-3


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12 MATEMTICAS 2 ESO


7. Obtn la descomposicin polinmica de 18067.

18067 = 1104+ 8103 + 0102+ 6101+ 7100

8. Halla la descomposicin polinmica de un nmero que tiene 4 decenas, 5unidades, 8 centenas y 7 unidades de millar.

Lo primero ser ordenar convenientemente los datos

7 unidades de millar, 8 centenas, 4 decenas y 5 unidades, es decir:

7 103+ 8102+ 4101+ 5100

9. Expresa 4560000000 en notacin cientfica.

4560000000 = 4,56109

10. Expresa 0,000000000000243 en notacin cientfica.

0,000000000000243 = 2,4310-13

11. Qu nmero decimal se corresponde con 5,27108?

5,27108= 527000000

12. Qu nmero decimal se corresponde con 1,32710-9?

1,32710-9= 0,000000001327

13. El nmero 345,910-12 no est escrito correctamente en notacin cientfica.Escrbelo de forma correcta.

Lo que debes hacer es pasar 3,459 a notacin cientfica, y despusmultiplicar por 10-12

345,910-12= 3,45910110-12 = 3,459101-12= 3,45910-11-12 = 3,459101-12= 3,45910-11



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MATEMTICAS 2 ESO 13

4. Cuadrados perfectos. Racescuadradas

Cuadrados perfectos

Un cuadrado perfecto es un nmero que escuadrado de algn nmero entero. Como es lgico, laraz cuadrada de un cuadrado perfecto es siempre unnmero entero.

Por ejemplo cuadrados perfectos son:

0 porque 0 = 02, 4 porque 4 = 22, 9 porque 9 = 32...

Para resolver una actividad de proporcionalidadcompuesta se hace de forma ordenada con elprocedimiento de reduccin a la unidad.

Races cuadradas

Veamos un ejemplo. Al escribir el nmero haz gruposde dos cifras, de derecha a izquierda: 75y 9.

Un cuadrado perfecto es el rea deun cuadrado.

Clculo de la raz:

Busca el nmero cuyo cuadrado msse acerca a 9. Es 3.

32

= 9, lo restamos de 9y bajamoslas dos cifras siguientes.

Bajo el 3 escribimos su doble, 6

Busca el nmero 6x, tal que 6xxsea el ms cercano a 75sin pasarse.

622=124 se pasa, 611=61 s sirve.

Restamos 75-61 = 14. Ponemos doscerosy una coma en el radicando.

Abajo escribimos el doble de 31, 62

Busca 62xtal que 62xxsea el mscercano a 1400sin pasarse.

6222 = 1244 es el ms cercano.

Por tanto 2,31975

Para hallar ms decimales, escribedos ceros tras el 156 y repite elproceso.



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14 MATEMTICAS 2 ESO


12. Indica si los nmeros 123, 169 y 258 son cuadrados perfectos.

123 no lo es, puesto que 112= 121, 122= 144

169 = 132 es un cuadrado perfecto. (Es el rea de un cuadrado de 13unidades de lado.)

258 no lo es, ya que 162= 256 y 172= 289

13. Con un decimal, calcula la raz cuadrada de 83.

14. Calcula la raz cuadrada de 798, con una cifra decimal.



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MATEMTICAS 2 ESO 15

Para practicar

1.Escribe en forma de potencia:

a) 77777

b) (-5)(-5)(-5)(-5)(-5)(-5)

c)31

31

31

31

31

31

d)21

21

21

21

2.Calcula el valor de las siguientespotencias:

a) -22 b) (-2)2

c) -20 d) (-2)0

3.Calcula el valor de las siguientespotencias:

a) -33 b) (-3)3

c) -32 d) (-3)2

4.Ordena de menor a mayor, utilizandopara ello el smbolo e = cuando segn losnecesites.

(-2)3, 23, -23, 20, -22, (-2)0, -20

6.Son iguales las siguientes potencias?

a) 92y 34

b) (52)2y 252

7.Escribe en forma de potencia de unapotencia:

a) 7272727272

b) (-2)4

(-2)4

(-2)4

8.Escribe en forma de potencia de unapotencia:

a)55

31

31

b)3333

21

21

21

21

9.Calcula el valor de las siguientespotencias de productos:

a) (53)2

b) (-13)3

c) (-25)4

d) [(-2)(-3)]2

10.Calcula el valor de las siguientespotencias de cocientes:

a)2

27

b)

3

24

c)4

21

d)2

23

11.Calcula los siguientes productos.Expresa el resultado en forma depotencia:

a) 3532

b) (-7)5(-7)6

c) 24232d) x4x10

12.Escribe como una potencia de diez:

a) 1000000000

b) 100010000

c) 101001000

13.Qu fraccin elevada al cubo da271 ?

14.Qu fraccin elevada a la quinta

potencia da como resultado321 ?



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16 MATEMTICAS 2 ESO

15.Calcula los siguientes cocientes.Expresa el resultado en forma depotencia:

a)2

6

5

5 b)5

12

)2(

)2(

c)7

7

3

3 d)2

8

x

x

16.Calcula. Expresa el resultado en formade potencia:

a) (35)7 b) (x4)5

c) [(-2)3]4 d) (y8)8

17.Calcula. Expresa el resultado en formade potencia:

a)

52

31

b)

34

21

c)

27

x1

18.Escribe la descomposicin polinmicade los siguientes nmeros:

a) 15978

b) 724

c) 4093

d) 99

19.Escribe la masa del protn ennotacin cientfica:

0,0000000000000000000000016726 g

20.Escribe en notacin cientfica la masade la luna:

73490000000000000000000 kg

21.Escribe en notacin cientfica eltamao del virus que provoca la fiebreaftosa.

0,000000024 m

22.Escribe en notacin cientfica eldimetro ecuatorial del planetaJpiter.

142984000 m

23.Qu nmero decimal es 4,8810-5?

24.Qu nmero decimal es 5,06109?

25.78,171012, aunque est bien escrito,no est bien expresado en notacincientfica. Escrbelo correctamente ennotacin cientfica.

26.689,23110-21no est bien expresadoen notacin cientfica, aunque esperfectamente vlido. Escrbelo deforma correcta en notacin cientfica.

27.Indica si los nmeros siguientes son ono cuadrados perfectos.

a) 51 b) 49

c) 1600 d) 120

28.Calcula las races cuadradas de losnmeros siguientes, con una cifradecimal.

a) 449 b) 97

c) 19 d) 605

29.Halla el rea de un cuadrado cuyolado mide 5 m (recuerda que el reade un cuadrado es su lado elevado a2).

30.Halla el volumen de un cubo cuyo

lado mide41 m (recuerda que el

volumen del cubo es su lado elevadoa 3).



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MATEMTICAS 2 ESO 17

Cmo de grande es el buscador Google?

En muchas ocasiones habrs usado el buscadorGoogle. Conoces la historiga de su nombre?

El matemtico Edward Kastner le pidi a susobrino de diez aos, Milton Sirotta, inventarun nombre para un nmero muy grande:

10100

Milton llam a ese nmero, un 1 seguido de 100ceros, un Googol. Si te parece que no es unnmero tan grande, piensa en lo siguiente:

Cuando en 1997 Sergey Brin y Larry Page compran un dominio para su nuevo buscador,adquieren por un error tipogrfico google.com en vez de googol.com.

Un googol es enorme, pero mayor es 1 seguido de un googol de ceros, un googol plex.

1 googol plex = )10010(googol 1010 =

Una hoja de papel suficientemente grande para escribir un googol plex no cabra dentro deluniverso

El lenguaje de los ordenadores

Los ordenadores usan cadenas de informacinformadas por ceros y unos.

Un sistema de numeracin de este tipo se

denomina binario, igual que el que usualmenteutilizamos se llama decimal, por usar 10smbolos (0 a 9).

La descomposicin polinmicade un binariousa potencias de 2 en vez de 10.

Por ejemplo, el binario 1101 es el decimal13:

1101 = 1 23+ 1 22+ 0 21+ 1 20= 8 + 4 + 0 + 1 = 13



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18 MATEMTICAS 2 ESO

Recuerdalo ms importante

1. Potencias de un nmero entero.

Una potencia cuya base es un nmeroentero y cuyo exponente es un nmeronatural, es un producto de factoresiguales.

Una potencia de un nmero positivo espositiva. El opuesto de esa potencia esnegativo.

Si la base es negativa y el exponente par ocero, el valor de la potencia ser positivo.

Si la base es negativa y el exponente esimpar, la potencia ser negativa.

Al elevar un entero positivo o negativo acero, el resultado es 1.

2. Operaciones con potencias.

Potencia de un producto o cociente:

nnn ba)ba( =

n

nn

b

aba

=

Operaciones con potencias de igual base:

mnmn aaa +

= mn

m

na

a

a =

Potencia de una potencia:

mnmn a)a( =

3a. Potencias de base 10.

Cualquier nmero puede escribirse como

una suma de naturales que multiplican apotencias de base 10, es lo que se conocecomo descomposicin polinmica de unnmero:

975 = 9102+ 7101+ 5100

3b. Notacin cientfica.

Un nmero en notacin cientfica consta de

una mantisamultiplicada por una potenciade diez.

La mantisa tendr una nica cifra no nuladelante de la coma decimal.

243000 = 2,43 105

0,000003002 = 3,002 10-6

4a. Cuadrados perfectos.

Un cuadrado perfectoes un nmero que escuadrado de algn nmero entero.

La raz cuadrada de un cuadrado perfectoes siempre un nmero entero.

400 es cuadrado perfecto, pues 400=202

Pero 28 no lo es, porque 52=25 y 62=36

4b. Races cuadradas.

Ejemplo:



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MATEMTICAS 2 ESO 19

Autoevaluacin

1. Calcula el valor de: a) -14 (-1)5 b) (-1)0(-18)

2. Calcula el valor de: a) (28)2 b)3

515

3. Es lo mismo9

)32( 2 que4)2( 22 ?

4. Calcula( )

8

252

3

33 .

5. Escribe la descomposicin polinmica del nmero 8149.

6. Cuntos de los nmeros comprendidos entre 50 y 150 soncuadrados perfectos?

7. Qu nmero decimal es 7,8710-3?

8. Escribe en notacin cientfica el nmero 0,00000694.

9. El nmero 69,2710-5 no est correctamente escrito ennotacin cientfica. Escrbelo de forma correcta. Escribetambin el nmero decimal a que corresponde.

10. Calcula 468 con una cifra decimal.



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20 MATEMTICAS 2 ESO

Soluciones de los ejercicios para practicar

1. a) 75b) (-5)6c)6

31

d)

4

21

2. a) -4 b) 4 c) -1 d) 1

3. a) -27 b) -27 c) -9 d) 9

4. (-3)3 < -32< (-3)0< (-3)2< 33

5. 23>20=(-2)0>-20>-22>-23=(-2)3

6. a) s b) s

7. a) (72)5 b) [(-2)4]3

8. a)25

31

b)

43

21

9. a) 225 b) -27 c) 10000 d) 36

10. a) 12,25 b) -8 c) 0,0625 d) 2,25

11. a) 37 b) (-7)11 c) 28 d) x14

12. a) 109 b) 107 c) 106

13.31

14.21

15. a) 54 b) (-2)7 c) 30 d) x6

16. a) 335 b) x20 c) (-2)12 d) y64

17. a)10

31

b)

12

21

c)

14

x1

18. a) 1104+5103+9102+7101+8100

b) 7102+2101+4100

c) 4103+0102+9101+3100

d) 9101+9100

19. 1,6726 10-24g

20. 7,349 1022

kg21. 2,4 10-8m

22. 1,42984 108m

23. 0,0000488

24. 5060000000

25. 7,817 1013

26. 6,89231 10-19

27. a) No b) S c) S d) No

28. a) 21,1 b) 9,8 c) 4,3 d) 24,5

29. 25 m2

30.641

m2= 0,015625 m2

No olvides enviar las actividades al tutor


Soluciones AUTOEVALUACIN

1. a) 1 b) -1

2. a) 256 b) -27

3. S, ambos valen 4

4. 81

5. 8103+ 1102+ 4101+ 9100

6. Hay 5: 64, 81, 100, 121 y 144

7. 0,00787

8. 6,94 10-6

9. 6,927 10-4= 0,0006927

10. 21,6


20/257

MATEMTICAS 2 ESO 21

Antes de empezar

1. Fracciones..............pg. 24Fracciones EquivalentesSimplificacin de Fracciones

2.Fracciones con igual denominadorpg. 25Reduccin a comn denominadorComparacin de fracciones

3.Operaciones con fracciones..........pg. 27Suma y restaProductoCocientePotenciaRaz cuadradaOperaciones combinadas

4. Problemas de aplicacin..............pg. 29

Ejercicios para practicarPara saber ms

Resumen

Autoevaluacin

Soluciones

Objetivos

En esta quincena aprenders a:

Ver si dos fracciones sonequivalentes.

Simplificar fracciones.Reducir fracciones a igual deno-

minador.Sumar y restar fracciones.

Multiplicar y dividir fracciones.

Obtener la inversa de unafraccin.

Calcular potencias de unafraccin.

Hallar la raz cuadrada de unafraccin.

Fracciones2
http://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_1a.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_1b.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_2a.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_2b.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3a.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3b.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3c.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3d.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3e.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3f.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3f.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3e.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3d.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3c.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3b.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3a.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_2b.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_2a.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_1b.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_1a.htm


21/257

22 MATEMTICAS 2 ESO


22/257

Fracciones

Antes de empezar

El trabajo con fracciones ya no es nuevo para ti. Ya sabes que una fraccin puede versedesde una triple perspectiva.

Puedes ver una fraccin simplemente como un nmero. Tambin como una parte de untotal. O tambin puedes interpretar una fraccin como un porcentaje.

Recuerda

Para trabajar con fracciones necesitars en ocasiones obtener la descomposicin factorialde un nmero, as como calcular el mnimo comn mltiplode dos o ms nmeros.

Para descomponer en factores unnmero lo dividimos por el primer nmeroprimo que podamos.

El mnimo comn mltiplo de variosnmeros naturales es el nmero naturalms pequeo que es mltiplo de todos esosnmeros a la vez, exceptuando el nmero 0.

Si podemos seguimos dividiendosucesivamente el cociente por el mismonmero primo.

Cuando no podamos hacer la divisin porese nmero primo lo hacemos por elsiguiente primo que se pueda.

As sucesivamente hasta que el cocientefinal sea 1.

Finalmente ponemos ese nmero comoun producto de potencias de factoresprimos.

MATEMTICAS 2 ESO23


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24 MATEMTICAS 2 ESO

1. Fracciones

Fracciones Equivalentes

Halla el valor de46

y69

.Dan el mismo resultado. Son

dos fracciones equivalentes.

Sidc

ba

= , ay dreciben el nombre de extremos, by

cse llaman medios. En el ejemplo los extremos son6 y 6, los medios 4 y 9.

Observa que si los multiplicamos se obtiene igualresultado: 66=36 y 49=36.

Ejercicios: Comprueba si las siguientes fraccionessono no son equivalentes

a)540162y

24075

b)43272

y14427

Simplificacin de fracciones

Si divides por 2 el numerador y el denominador de

1218

obtienes69

, que es equivalente. Ahora puedes

dividir 9 y 6 entre 3. Obtienes23 que no se puede

simplificar. Es irreducible.

Resumiendo:23

69

1218

== que es irreducible.

Vamos a comprobar si las fraccionessiguientes son o no equivalentes.

66

y144

144

Los extremos de las fracc ones: 144 y 6

44 y 6

i

Su producto vale 1446 = 864

Los medios de las fracciones: 1

Su producto es 1446 = 864

Por lo tanto son equivalentes:

66144

= 144

PISTA

a) 75 540 = ?

240162 =?b) 27 432 =?

144 72 =?

Vamos a simplificar la fraccin siguiente:

1425

765

Numerador y denominador se

pueden dividir por 3:

475255

3:14253:765

=

N nador seumerador y denomipueden dividir por 5:

9551

5:4755:255

=

9551

c n irreducies una fra ci ble

Fracciones

Al dividir numerador y denominador deuna fraccin por un mismo nmero, seobtiene una fraccin equivalente.


24/257

MATEMTICAS 2 ESO 25

Vamos a reducir a igual denominador

las fracciones:3087

y28838

Hallamos el m.c.m. de losdenominadores m.c.m. (30,288) = 1440que ser el nuevo denominador de lasfracciones.

Dividimos el m.c.m entre el primerdenominador: 1440: 30 = 48ymultiplicamos el resultado por elprimer numerador: 48 87 = 4176, queser el nuevo primer numerador.

Ahora el m.c.m lo dividimos entre elsegundo denominador: 1440: 288 = 5ymultiplicamos el resultado por elsegundo numerador: 5 38 = 190, queser el nuevo segundo numerador.

As, las fracciones quedan:

1440190

y14404176

PISTA: a) m.c.m.(144, 180) = 720

b) m.c.m.(36, 180) = 180

Vamos a compararlas fracciones:

178

y43

Hallamos el m.c.m. de losdenominadores m.c.m. (17, 4) = 68

Reducimos las dos fracciones adenominador comn:

178

=6832

y43

=6851

Ahora ya podemos comparar lasfracciones:

6832

, y menor que,


25/257

Fracciones

3. Operaciones con fracciones

Suma y restaEjercicio resuelto: Simplifica cadafraccin y calcula:Para sumar fracciones de denominador igualdeja el

denominador y suma los numeradores.638

217

18631053

+

117

1134

113

114

=+

=+ En primer lugar simplifico las fracciones:

2313

18631053

= ;217

;319

638

= Si son fracciones de distinto denominador lasreduciremos primero a comn denominador.

Queda:319

217

2313

+ Ahora opero:Es lo mismo

73

54

+ que3543

3515

3528

=+

Calculo m.c.m. (23, 2,3) = 138 y:

26 MATEMTICAS 2 ESO

319

217

2313

+ =138874

1381173

13878

+

La solucin es:138221

PISTA: Intenta simplificar primero cadafraccinEjercicios: Calcula el valor de:

a)32272

28751625

b)693911

+ Despus calcula el m.c.m. de losdenominadores. (Ser el nuevo deno-minador)

19

Divide el m.c.m. por cada denominador ymultiplcalo por su correspondientenumerador. (Obtendrs los nuevosnumeradores)

c)

368

208

2375

1375 d)

2

17

1863

1053+

Ya puedes sumar o restar las fracciones.

Producto de fracciones

La figura representa a54

Ejercicio resuelto: Vamos a calcular elvalor del siguiente producto:

4241

905

Vamos a hallar

32

de54

.Dividimos54

en tres partes y

tomamos dos:32

54

Si es posible simplificamos las fracciones:

181

905

= 4241

es irreducible

Multiplicamos los numeradores ydenominadores:

Del total, tenemos158

75641

4218411

4241

181

==

Si es posible, simplificamos el resultado.

En este caso75641

es irreducible.


26/257

MATEMTICAS 2 ESO 27

Ejercicio resuelto: Vamos a calcular elvalor del siguiente cociente:

8410

:124


425

8410

= 31

124

=

Multiplicamos numeradores y denomi-nadores en cruz:

42

15

142

35

3

1

:42

5==


145

4215

= .

PISTA: Intenta simplificar primero cadafraccin

Multiplica numeradores y denominadoresen cruz

Si es posible, simplifica el resultado

Ejercicio resuelto: Vamos a obtener el

valor de:8

53

Elevamos numerador y denominador alexponente

8

53

= 8

8

53

Calculamos la potencia:

8

53

=8

8

5

3=

3906256561


Cociente de fracciones

Dos fracciones son inversassi su producto es 1. Por

ejemplo53

y35

lo son pues53

35

= 1

Y escribiremos:

351

=53

. En general:

dc1=

cd

Para dividir fracciones multiplica en cruz:

Ejercicios: Calcula el valor de los cocientes:

a)2419

:3644

b)1829

:2469

c)344

:1273

d)1056

:4052

Potencia de una fraccin

Cunto vale3

25

? Desarrollemos la potencia:

Para obtener la potencia de una fraccin debesefectuar el cociente entre las potencias del numeradory el denominador.

Ejercicios: Calcula el valor de las potencias:

a)6

72

b)

4

53

c)

6

27

d)

7

132

Fracciones

Recuerda:n

nn

ba

ba

y=

1

ba

0

=


27/257

28 MATEMTICAS 2 ESO


Raz cuadrada de una fraccin

Para obtener la raz cuadrada de una fraccin, haz laraz del numerador y el denominador.

9

494

= y tambin:32

94

=

La razn es que:94

32

2

=

y

94

32

2

=

luego, habr una raz positivay unanegativa.

Ejercicios: Calcula el valor de:

a)2549

b)169121

c)3616

d)2581

Operaciones combinadas con fracciones

Para realizar operaciones combinadas con fraccioneshay una serie de cuestiones que conviene tengas encuenta:

El orden de las operaciones es de izquierda aderecha.

Las multiplicaciones y divisiones se realizanantes que las sumas y restas.

Si aparecen parntesis, sus operaciones tienen

prioridad.

Los parntesis anidados se realizan de dentroa fuera.

No suele ser conveniente que esperes al finaldel ejercicio para simplificar.

Ejercicios: Calcula el valor de:

a)

74:

211

38

49

67

b)

7+

+6

924

11

8

3+

Ejercicio resuelto: Vamos a obtener elvalor de:

1699

Hallamos la raz del numerador ydenominador:

133

169

91699

==

Por ser raz cuadrada hay otra solucin:

133

1699

=

Ejercicio resuelto: Vamos a obtener elvalor de:

25

83

49

76

52

+

+

Operamos por separado en el numeradory denominador:

2

5

8

349

76

52

+

+=

8

23140326

8

232854

52

=+

Dividimos, multiplicando en cruz:

32202608

823140326

=


805652

32202608

=

Recuerda:ba

ba y=

ba

Fracciones


28/257

Fracciones

4. Problemas de aplicacin

PROBLEMA 1. La semana pasada he ledo71

de un

libro. A lo largo de esta semana he podido leer54

del

resto. En total he ledo 87 pginas del libro. Cuntaspginas en total tiene el libro?

Solucin: 105 pginas

PROBLEMA 2. Hemos vaciado agua contenida en unbarril, en 41 recipientes de

43

litros cada uno. Todos

han quedado llenos salvo uno que se ha llenado por lamitad. En el barril han sobrado 14 litros. Cuntoslitros de agua contena el barril?

Solucin: 44,37 litros

PROBLEMA 3. Esta previsto destinar14

3de una finca

a plazas de aparcamiento. Pero se han destinado43

de lo previsto a zonas ajardinadas. Qu fraccin dela finca se ha destinado finalmente a zonas deaparcamiento?

Solucin:563

para aparcamientos

PROBLEMA 4. De un depsito de cereales se han

extrado los 108 . Al da siguiente se extrae 41 del

resto. Qu fraccin del total se ha extrado deldepsito?

Solucin:2017

del total

MATEMTICAS 2 ESO29


29/257

30 MATEMTICAS 2 ESO


Fracciones equivalentes. Simplificacin

1. Son equivalentes1440720

y14427

?

El producto de extremos vale 27144= 38880 y el producto de medios 144720=103680

Los dos productos no coinciden y, por lo tanto, no son equivalentes:

2. Simplifica la fraccin2850510

Numerador y denominador se pueden dividir por 2: 1425

255

2:2850

2:510

=

Numerador y denominador se pueden dividir entre 3:47585

3:14253:255

=

Numerador y denominador se pueden dividir entre 5:9517

3:4755:85

=

9517

es irreducible.

Fracciones con igual denominador

3. Reduce a igual denominadorlas fracciones:10517 y

14414

Hallamos el m.c.m.de los denominadores m.c.m. (105,144) = 5040 que ser elnuevo denominador.

Dividimos el m.c.m entre el primer denominador: 5040: 105 = 48.

Multiplicamos el resultado por el primer numerador: 48 17 = 816, que ser elnuevo primer numerador.

Ahora el m.c.m lo dividimos entre el segundo denominador: 5040:144 = 35.

Y multiplicamos el resultado por el segundo numerador: 35 14 = 490, que ser el

nuevo segundo numerador. As, las fracciones quedan:

5040816

y5040490

, fracciones con igual denominador.

4. Reduce a igual denominadorlas fracciones:5766

,19248

y7225

Hallamos el m.c.m.de los denominadores m.c.m. (576, 192,72) = 576 que ser elnuevo denominador de las fracciones.

Dividimos el m.c.m entre cada denominador, multiplicando el resultado por elcorrespondiente numerador.

As, las fracciones quedan: 5766

, 576144

y 576200

.

Fracciones


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MATEMTICAS 2 ESO31

EJERCICIOS resueltos (continuacin)

Operaciones con fracciones

5. Simplifica cada fraccin y calcula:

177

20880

1375375

+

En primer lugar simplifico las fracciones:

113

1375375

= ;135

20880

= ;177

es irreducible

Queda:177

20880

1375375

+ =2431729

24311001

2431935

2431663

=+

6. Calcula el valor del siguiente producto:

1536

18011

9024


1536

18011

9024

=512

18011

154

Multiplicamos los numeradores y denominadores:

13500528

518015

12114=


13500528

=

112544

7. Calcula el valor del siguiente cociente1643

:3011

Si es posible simplificamos las fracciones. En este caso ambas son irreducibles.

Multiplicamos numeradores y denominadores en cruz:

176291 0

= 30163043

3011

:1643

=

Y, si es posible, simplificamos el resultado88

= .6451761290

8. Calcula la siguiente potencia:6

75

Elevamos numerador y denominador al exponente6

75

=

6

5

6

7

Calculamos las potencias:6

75

=67

5=

6

11764915625

Fracciones


31/257

32 MATEMTICAS 2 ESO

EJERCICIOS resueltos (continuacin)

Operaciones con fracciones

9. Indica las dos soluciones de la raz 1214

Hallamos la raz del numerador y denominador:

112

121

41214

==

Por ser raz cuadrada hay otra solucin:

112

121

4=

10. Calcula:

112

34

97

65

211

+

+

Operamos por separado en el numerador y denominador:

112

34

97

65

211

+

+=

3350

5435

211

+=

335054332

Dividimos, multiplicando en cruz:335054

332

= 270010956

Si es posible, simplificamos el resultado.2700

10956=

225913

11. Calcula:52

118

34

2

+

Operamos primero el parntesis:52

3324

3344

2

+

=

52

3320

2

+

.

Hacemos la potencia1089400 +

52 Sumamos:

1089400 +

52 =

54454178

54452178

54452000 =+

En este caso no podemos simplificar el resultado.54454178

es una fraccin irreducible.

12. Calcula:

74

:211

38

49

67

=

877

1259

67

=

87772413

. Dividimos multiplicando en cruz55443304

.

Simplificamos el resultado5544

3304=

99

59

Fracciones


32/257

MATEMTICAS 2 ESO 33

Equivalencia de fracciones

1. Comprueba si son o no equivalentes lassiguientes fracciones:

a)72108

y192292

b)9054

y15093

c)9636

y320123

d)4314

y21570

Simplificar fracciones

2. Simplifica las siguientes fracciones:

a)6440 b)

16272

c)12880

d)17236

Reducir a comn denominador

3. Reduce a comn denominador lassiguientes fracciones:

a) 20

12

, 32

24

y 24

6

b)2816

,166

y2415

c)2410

,4520

y186

d)228

,4836

y3315

Suma y resta de fracciones4. Realiza las operaciones siguientes ysimplifica el resultado cuando sea posible:

a)208

4515

368

b)184

5228

2210

c)2010

4525

159

+

d) 24920101610

Producto de fracciones

5. Calcula el valor del producto de lassiguientes fracciones y simplifica elresultado cuando sea posible:

a)65

106

b)128

115

c)107

119

d)117

56

Cociente de fracciones

6. Calcula el valor del producto de lassiguientes fracciones y simplifica elresultado cuando sea posible:

a)612

:105

b)59

:77

c)54

:48

d)57

:96

Potenciacin

7. Calcula el valor de las siguientespotencias y simplifica el resultado cuandosea posible:

a)4

97

b)

4

94

c)2

96

d)

3

67

Raz cuadrada

8. Halla el resultado de las siguientesraces. Da las dos soluciones posibles:

a)3616

b)6425

c)259

d)3625

Fracciones


33/257

Fracciones

Operaciones combinadas

9. Realiza las operaciones siguientes ysimplifica el resultado cuando sea posible:

13.En una ciudad de 470 habitantes, 85practican deporte regularmente. Qu

fraccin del total no practican deporte conregularidad? Qu tanto por ciento es?a)

211

83

49

+

b)49

76

52

+

c)

+

+76

2:118

4

d)76

52

:118

Problemas con fracciones

14. La semana pasada he ledo31

de un

libro. A lo largo de esta semana he podido

leer76

del resto. En total he ledo 38

pginas del libro. Cuntas pginas entotal tiene el libro?

10. Cuntos botellines de refresco de

51

de litro podemos llenar con 417 litros de

refresco?

11.Expresa en forma de fraccin el rea

de un rectngulo cuya base mide65

m y

cuya altura mide9

7m.

15. Hemos vaciado agua contenida en un

barril, en 22 recipientes de32

litros cada

uno. Todos han quedado llenos salvo unoque se ha llenado por la mitad. En el barrilhan sobrado 10 litros. Cuntos litros deagua contena el barril?

16. Esta previsto destinar96

de una finca

a plazas de aparcamiento. Pero se han

destinado76

de lo previsto a zonas

ajardinadas. Qu fraccin de la finca seha destinado finalmente a zonas deaparcamiento?

12. Un camin contiene 900 Kg. de

patatas. Descarga31

de su carga. Del

resto descarga los52

. Cuntos Kg. de

patatas quedan?

17. De un depsito de cereales se han

extrado los119

. Al da siguiente se extrae

91

del resto. Qu fraccin del total se ha

extrado del depsito?

34 MATEMTICAS 2 ESO


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MATEMTICAS 2 ESO 35

El Ojo de Horus

La imagen de arriba, de origen egipcio, es

el ojo de Horus, el Udyat. Horus habaperdido el ojo en combate, pero fuesustituido por el Udyat por intervencindel dios Thot.

Para los antiguos egipcios, el Udyatsimbolizaba el estado de perfeccin y leatribuan cualidades sanadoras. Tambinles serva para escribir nmeros.

Es posible escribir cualquier fraccinpositiva como suma de fracciones de

numerador la unidad. Una suma de estetipo se llama una fraccin egipcia. Sonfracciones egipcias:

81

41

21

87

++= y51

41

21

2019

++=

Los jeroglficos usados por los egipciospara escribir las fracciones ms frecuentesen medidas agrarias de capacidad yvolumen, eran partes del Ojo de Horus.

Una fraccin interminable

Mira como est escrita esta fraccin,

Y si seguimos el proceso indefinida-mente?

Se obtiene una fraccin continua, cuyoresultado, no es una fraccin!

Con fracciones continuas puedenescribirse nmeros tan importantes enmatemticas como , el nmero de oro.

Puedes encontrar ms informacin en lawikipedia:

Nmero de oro:http://es.wikipedia.org/wiki/Nmero_ureo

Fraccin continua:http://es.wikipedia.org/wiki/Fraccin_continua

Fracciones
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo


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36 MATEMTICAS 2 ESO

Cundo son equivalentes dos fracciones?Cuando su producto de extremos y medioscoincide.

dc

ba

= si cumple ad=cd

Cmo se simplifican fracciones?Debes dividir numerador y denominador entre unmismo factor. Si el m.c.d. del numerador y eldenominador es la unidad, la fraccin ya no sepuede simplificar ms, es irreducible.

Si sabes el mcd del numerador y el denominador,lo mejor es dividir directamente por esa cantidad.La fraccin resultante ser irreducible.

Cmo se reducen fracciones a igualdenominador?Divide el m.c.m.de los denominadores entre eldenominador y multiplica por el numerador.

Cmo se suman y restan fracciones?Deben tener el mismo denominador.

Cmo se multiplican fracciones?Multiplica numeradores y denominadores.

Cmo se dividen fracciones?Multiplica en cruz los numeradores ydenominadores.

Cmo se obtiene la potencia de unafraccin?Eleva el numerador y el denominador.

Cmo se extrae la raz de una fraccin?Extrae la raz del numerador y el denominador

m.c.d.(20,12)=4

Fracciones


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MATEMTICAS 2 ESO 37

1. Halla una fraccin irreducible equivalente a21696

.

2. Sin simplificarlas, reduce a comn denominador246

y

3616

.

3. Calcula3612

188

+ . El resultado debe ser irreducible.

4. Calcula148

3620

(en forma irreducible).

5. Obtn la fraccin irreducible equivalente a

4230

3520

2012

++ .

6. Halla2010

248

2715

, expresado de forma irreducible.+

7. Calcula118

85 . Simplifica el resultado.

8. Halla el valor de105

:97

. El resultado debe estar

simplificado.

9. Una rueda avanza64

metros para dar una vuelta.

Cuntas vueltas debe dar para avanzar 8 metros?

10. Halla 6416 .

Fracciones


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38 MATEMTICAS 2 ESO

Soluciones de los ejercicios propuestos en los Contenidos

Fracciones equivalentes

a) No son equivalentes, puestoque el producto de medios yextremos no coinciden.

b) No son equivalentes, puestoque el producto de medios yextremos no coinciden.

Reduccin a comndenominador

a)720190

y720180

b)

24

9y

24

8

c)180115

y18022

d)18021

y180432

Comparacin de fracciones

a)97

>51

b)144

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