Libro de matematicas 8vo grado

1. Coordinacin General, Revisin y Asesora Tcnica Profesora Mara Elsa Guilln Profesora Rosala Ros Rivas Autor Profesor Luis Adolfo Gmez Rodrguez Revisin Tcnica General Profesora Rosala Ros Rivas Revisin y Asesora Tcnica Cientfica Profesor Francisco Emilio Daz Vega Profesor Humberto Antonio Jarqun Lpez Profesor Jorge Alberto Velsquez Benavidez Sociedad Matemtica de Nicaragua Diseo y Diagramacin Ramn Nonnato Morales Rger Alberto Romero Miguel ngel Mendieta Rostrn Ilustracin Rger Alberto Romero Fuente de Financiamiento PASEN I - Recursos del Tesoro - PROSEN Agradecemos los valiosos aportes de la Sociedad Matemtica de Nicaragua y de los docentes durante el proceso de validacin. Primera Edicin___________ Todos los derechos son reservados al Ministerio de Educacin (MINED), de la Repblica de Nicaragua. Este texto es propiedad del Ministerio de Educacin (MINED) , de la Repblica de Nicaragua. Se prohbe su venta y reproduccin total o parcial. La presente publicacin ha sido reproducida con el apoyo de la Unin Europea a travs del Programa de Apoyo al Sector Educacin en Nicaragua (PROSEN). El contenido de la misma es responsabilidad exclusiva del MINED y en ningn caso debe considerarse que refleja los puntos de vista de la Unin Europea.

2. PRESENTACIN El Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional, a travs del Ministerio de Educacin (MINED), entrega a docentes y a estudiantes de Educacin Secundaria, el libro de texto de Matemtica en el cual se desarrollan los cinco pensamientos: aleatorio ,numrico ,variacional, mtrico y espacial. La Matemtica es una herramienta esencial en campos como las ciencias de la Tierra y la naturaleza, la medicina, las ciencias sociales, la computacin, la arquitectura, la ingeniera y en la vida cotidiana. El propsito fundamental del texto, es propiciar en los estudiantes un papel ms activo en el proceso de aprendizaje para que puedan interactuar con los conocimientos planteados en el libro, permitindoles que complementen lo desarrollado en la clase, consolidar, comparar, profundizar en aquellos aspectos que explic su docente y prepararse para la evaluacin. El libro de texto a travs de sus contenidos y actividades, contribuye a la formacin en valores individuales, comunitarios y sociales, los que se reflejarn en el comportamiento de la o el estudiante dentro y fuera del Centro Educativo. El libro de texto es un tesoro valioso en las manos de cada estudiante, y cuidarlo con esmero, permitir que otros compaeros que estn en los grados que les anteceden tambin puedan hacer uso de l, en su proceso de aprendizaje. Esto significa que el libro de texto es una propiedad social por tanto se debe cuidar porque no solo a usted le ser de ayuda, sino que dependiendo del cuido que le d, tambin le ser de provecho a otros, razn por la que le sugerimos lo forre, no lo manche, no lo ensucie, no lo rompa, ni lo deshoje. Esa ser su contribucin desinteresada y solidaria, con los prximos estudiantes que utilizarn este libro. Ministerio de Educacin

3. INTRODUCCIN El presente texto corresponde a los contenidos del rea de Matemtica del Octavo Grado de la Educacin Media. El texto contiene 7 unidades con los siguientes contenidos: En la Unidad I, se desarrollan los conceptos fundamentales de la Estadstica Descriptiva para datos agrupados. Se presenta un repaso de los temas de Estadstica Descriptiva para datos no agrupados, los cuales son abordados con detalle en el Libro de Texto de Matemtica de Octavo Grado. En la Unidad II, se estudia el conjunto de los nmeros reales y sus propiedades. Se hace nfasis en la interpretacin geomtrica de las propiedades de los nmeros reales. Se hace un repaso de las propiedades fundamentales de los nmeros naturales, enteros y racionales. En la Unidad III, se estudian los conceptos fundamentales de lgebra. Se abordan las expresiones algebraicas tales como monomio, binomio y trinomio, y las operaciones en las que intervienen. Se utiliza la geometra para la interpretacin de las propiedades bsicas de las expresiones algebraicas y la construccin de modelos algebraicos basados en situaciones de la realidad. En la Unidad IV, se estudian las operaciones con polinomios: suma, resta, multiplicacin y divisin. Se introduce la divisin sinttica (mtodo de Ruffini) para la divisin de polinomios. La geometra se utiliza para la interpretacin de las propiedades de los polinomios. Se desarrollan los productos notables y su interpretacin geomtrica. En la Unidad V, se estudian las funciones. Se inicia con un repaso del concepto de relacin, que ya ha sido abordado con detalle en Sptimo Grado. Una caracterstica fundamental de esta unidad, es que las funciones que se estudian tienen como dominio el conjunto de los nmeros enteros o subconjuntos de nmeros enteros. Estas funciones son llamadas funciones discretas. Se abordan las funciones lineales con sus propiedades tratndolas como funciones lineales discretas. Se presentan diferentes interpretaciones del concepto de funcin a travs de modelos basados en situaciones de la realidad cotidiana. Tambin se estudian en esta unidad las ecuaciones lineales de primer orden con una incgnita y sus aplicaciones a situaciones de la realidad. En la Unidad VI, se desarrollan los conceptos bsicos de Geometra Euclidiana Plana a partir del concepto de pentgono regular. Los conceptos bsicos de Geometra se abordan con detalle en el Sptimo Grado. En esta Unidad se hace un repaso de los conceptos bsicos hasta los cuadrilteros. Las demostraciones estn presentes sin embargo, no representan un peso especfico significativo en el desarrollo de la teora. Se concluye la unidad con el concepto de circunferencia y crculo.

4. En la Unidad VII, se estudian permetros y reas de regiones poligonales. Se estudian los permetros de polgonos regulares y se presenta una clasificacin de los polgonos regulares. Tambin se aborda el concepto de rea de una regin limitada por un polgono regular y el rea del crculo. Se concluye esta unidad con el tema Construcciones geomtricas con regla y comps. El texto est estructurado a doble columna, siendo la columna izquierda dedicada a temas sobre historia de la Matemtica, reforzamiento, curiosidades matemticas, juegos matemticos. Algunos conceptos sobre los cuales es necesario hacer especial nfasis. En la columna derecha se desarrolla el contenido cientfico, ejemplo, trabajo en equipo y actividaddes finales para cada unidad. Los iconos utilizados en el texto tienen los siguientes significado: Ma tem ti ca 7 Sabas qu? Lea, analice e interprete. Refuerce sus conocimientos.

5. Primera Unidad: Estadstica Estadstica. 2 Introduccin 2 Repaso de estadstica descriptiva para datos no agrupados. 2 Medidas de tendencia central para datos no agrupados. 7 Estadstica descriptiva para datos agrupados. 13 Actividades Finales de la Primera Unidad 41 Segunda Unidad: El Conjunto de los Nmeros Irracionales El Conjunto de los Nmeros Reales. 52 Introduccin. 52 El conjunto de los nmeros irracionales. 53 Representacin de nmeros irracionales en una recta numrica.56 Representacin de un nmero real en una recta numrica. 58 Valor absoluto de un nmero real. 58 Suma de nmeros reales. 53 Sumando dos nmeros reales utilizando la recta numrica real. 59 Propiedades de la suma de nmeros reales. 60 Multiplicacin de nmeros reales. 62 Propiedad conmutativa del producto de nmeros reales. 63 Divisin de nmeros reales 65 Propiedades de la relacin de orden en el conjunto de los nmeros reales. 68 Actividades Finales de la Segunda Unidad 73 Tercera Unidad: Introduccin al lgebra Introduccin al lgebra. 80 Expresiones algebraicas. 80 Dominio de una variable. 82 Qu es un monomio? 85 Monomios semejantes. 86 Tipos de monomios. 87 Suma y resta de monomios. 88 Qu es un binomio? 92 Qu es un trinomio? 95 Qu es un polinomio? 97 El trmino independiente de un polinomio. 98 Concepto de polinomio ordenado. 99 Valor numrico de una expresin algebraica. 100 Actividades Finales de la Tercera Unidad 104 Cuarta Unidad : Operaciones con polinomios Operaciones con polinomios. 114 Indice

6. Cmo se suman dos polinomios? 114 Propiedades de potenciacin (Repaso) 116 Multiplicacin de monomios. 120 Divisin de monomios. 121 Suma y resta de polinomios. 122 Suma de polinomios. 122 Resta de polinomios. 124 Los signos de agrupacin. 129 Multiplicacin de polinomios. 131 Multiplicacin de dos polinomios. 132 Simplificacin de expresiones algebraicas que contienen productos indicados. 134 Divisin de polinomios. 137 Divisin sinttica o Regla de Ruffini. 141 Productos notables. 144 Cubo de la suma de dos trminos.148 Cubo de la diferencia de dos trminos. 149 Producto de la forma (x + a)(x + b). 150 Actividades Finales de la Cuarta Unidad 160 Quinta Unidad : Funciones Funciones. 168 Introduccin. 168 Repaso de relaciones. 168 Concepto de funcin. 175 Funciones discretas. 181 Concepto de funcin discreta. 181 Concepto de variable independiente y de variable dependiente. 183 Funciones definidas por ecuaciones. 184 El criterio de la recta vertical para identificar funciones. 186 La funcin lineal. 187 Operaciones con funciones lineales. 190 Ecuaciones lineales en una variable (incgnita). 197 El concepto de igualdad. 197 Grado de una ecuacin lineal con una incgnita 199 Propiedades de las ecuaciones lineales con una incgnita. 199 Ecuaciones de la forma ax = b (a 0). 202 Ecuaciones de la forma ax b = cx + d; (a 0). 203 Ecuaciones lineales con una incgnita y coeficientes fraccionarios. 204 Ecuacin lineal con una variable 205 Procedimiento general para resolver ecuaciones lineales con una variable 206 Resolucin de problemas modelados por ax + b = c. 207 Algunas ideas para resolver problemas aplicados 208 Actividades Finales de la Quinta Unidad 214

7. Sexta Unidad : Construccin de Figuras Geomtricas. Construccin de figuras geomtricas. 222 Conceptos bsicos de Geometra. 222 Regiones poligonales y polgonos regulares 226 Lnea poligonal. 226 Regin poligonal cerrada. 227 El pentgono regular. 228 Suma de las medidas de los ngulos internos de un polgono. 232 ngulo exterior de un polgono con regin interior convexa. 233 El hexgono regular. 234 Propiedades de los ngulos externos de un polgono regular. 242 La circunferencia y el crculo. 244 La circunferencia. 244 Posiciones relativas de dos circunferencias. 247 Propiedades de los arcos. 249 El crculo. 250 Polgonos regulares inscritos y circunscritos a una circunferencia. 252 Nombres de algunos polgonos regulares. 255 Curiosidades matemticas. 256 Sptima Unidad : rea y permetro de regiones poligonales regulares. rea del crculo. rea y permetro de regiones poligonales regulares. rea del crculo. 260 Introduccin. 260 rea de una regin poligonal. 261 reas de crculos y sectores circulares. 265 ngulos notables en la circunferencia. 266 Ejercicios resueltos. 270 Construcciones geomtricas con regla y comps. 275 Introduccin. 275 Construcciones bsicas. 275 Actividades Finales de la Sptima Unidad 283

8. Estadstica Unidad 1 El Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional puso en funcionamiento el parque elico Comandante Camilo Ortega quien es considerado el Apstol de la Unidad Sandinista. La unidad de todos los nicaragenses, unidos por el Bien Comn de este pas, en reconciliacin y haciendo patria siempre para este pueblo. Este parque elico cuenta con una capacidad para generar 40 megawatts (MW), y se encuentra ubicado en el sureo departamento de Rivas. Con este se busca la transformacin de la matriz energtica y la generacin de energa renovable, lo cual conlleva a un impacto de menos costos de produccin y un mayor benecio para las familias. Fuente: 19 digital 12 de Marzo 2 014 Altura de las cumbres de Nicaragua.

9. 2 Estadstica. Introduccin Qu temas sobre Estadstica Descriptiva se estudiarn en Octavo Grado? En el libro de texto de Sptimo Grado se estudiaron los conceptos bsicos de Estadstica Descriptiva para conjuntos de datos no agrupados. Los conjuntos analizados contenan cantidades pequeas de datos. En este texto se estudiarn los conceptos bsicos de Estadstica Descriptiva para conjuntos de datos agrupados. Repaso de estadstica descriptiva para datos no agrupados. Lea, analice e interprete Recordemos algunos conceptos. Actividad A continuacin se presentan las calificaciones de Matemtica de 10 estudiantes varones y mujeres del 8vo grado del Colegio Rafaela Herrera, del municipio de Masaya, correspondientes al primer semestre del ao 2013. 85 91 78 78 85 78 90 80 90 91 Para el conjunto de datos dado realizar las siguientes actividades: Construir una tabla estadstica para la frecuencias absoluta. Construir un diagrama de barras. Construir una tabla estadstica para la frecuencias absoluta. Construir una tabla estadstica que indique los porcentajes para la frecuencias absoluta. Construir un diagrama de sectores circulares. Fuunprominentecientfico, matemtico y pensador, que estableci la disciplina de la estadstica matemtica. Karl Pearson (1 857 - 1 936 ) La estadstica trata de la recoleccin, organizacin, presentacin e interpretacin de datos Estadstica Descriptiva Estadstica Inferencial Subdivisiones de la Estadstica Recuerde El Rango es la diferencia entre sus valores extremos; es decir la diferencia entre el valor mximo y el valor mnimo. Es importante recordar los conceptos de poblacin, muestra, distribucin de frecuencias, media aritmtica, mediana y moda para datos no agrupados. Nota histrica

10. 3 Recordemos Muchos problemas de la vida real y toma de decisiones se resuelven utilizando mtodos estadsticos. Construccin de una tabla estadstica para la frecuencias absoluta. Calificaciones Frecuencias 85 2 91 2 78 3 90 2 80 1 n =10 Tabla 1 La tabla indica que: La calificacin 85 la obtuvieron 2 estudiantes. La calificacin 91 la obtuvieron 2 estudiantes. La calificacin 80 la obtuvo slo 1 estudiante. Actividad Observar la tabla de frecuencias y responda a las siguientes preguntas: Qu frecuencias corresponden a las calificaciones 78 y 90? Cul es la calificacin de mayor frecuencia? Construccin de un diagrama de barras. Cmo se construye un diagrama de barras? Un diagrama de barras se construye por medio de dos ejes que se intersectan en un ngulo recto, es decir, un ngulo cuya medida es 90 En el eje horizontal ubicamos las calificaciones. En el eje vertical ubicamos las frecuencias. Qu es tabla de frecuencias? Tabla de frecuencias en una variable cualitativa es un resumen de los datos obtenidos de la muestra frente a la variable que se quiere caracterizar. La frecuencia nos indica el nmero de veces que un dato se repite en el conjunto. Qu es diagrama de barras de frecuencias? Diagrama de barras de frecuencias es un diagrama en el que se representan grficamente los datos de una tabla de frecuencias.

11. 4 Matemtico ruso. Uno de los matemticos ms brillantes del siglo XX. Junto a sus colaboradores realiz importantes aportes a la teora relacionada con el anlisis estadstico de los textos, tanto en prosa como en verso. Realiz grandes contribuciones a la teora de probabilidades. A.N. Kolmogrov (1 903 - 1 987) El diagrama de barras se construye con los datos de la tabla 1. 0 1 2 3 4 Calificaciones 85 91 78 90 80 2 2 2 1 3 Frecuencias Fig. 1 Interpretar el diagrama de barras de frecuencias. La calificacin de 85 la obtuvieron 2 estudiantes. La calificacin de 91 la obtuvieron 2 estudiantes. La calificacin de 80 la obtuvo un estudiante. Actividad Observar el diagrama de barras de frecuencias y contestar las siguientes preguntas: Cul es la calificacin de mayor frecuencia? Qu frecuencia corresponde a la calificacin de 90? Encuentre el nmero total de datos a partir del diagrama de barras. Construccin de una tabla estadstica de frecuencias relativas. La frecuencia relativa fr se obtiene dividiendo la frecuencia entre el nmero total de datos n. Verifique los valores para de acuerdo con los datos presentados en la siguiente tabla: Calificaciones fi fr 85 2 2/10=0,2 91 2 2/10=0,2 78 3 3/10=0,3 90 2 2/10=0,2 80 1 1/10=0,10 n =10 Tabla 2 Nota histrica

12. 5 Construccin de una tabla estadstica que indique los porcentajes para la frecuencias absoluta. Los porcentajes se obtienen multiplicando por 100 las frecuencias relativas. En el ejemplo y a partir de la tabla 2, obtenemos: Calificaciones fi fr Porcentajes 85 2 2/10 = 0,2 0,2(100) = 20% 91 2 2/10 = 0,2 0,2(100) = 20% 78 3 3/10 = 0,3 0,3(100) = 30% 90 2 2/10 = 0,2 0,2(100) = 20% 80 1 1/10 = 0,10 0,1(100) = 10% n = 10 Total = 100% Tabla 3 Actividad Observe la tabla de porcentajes y conteste las siguientes preguntas: Qu calificacin corresponde al 30% del total? Qu calificacin corresponde al 10% del total? Cmo calcula el nmero total de datos a partir de cualquiera de los porcentajes? Construccin de un diagrama de sector circular. Qu es un diagrama de sector circular? El diagrama circular es una representacin de las frecuencias en un crculo. Calificaciones Porcentajes ngulo 85 0,2(100)= 20% 72 91 0,2(100) = 20% 72 78 0,3(100) = 30% 108 90 0,2(100) = 20% 72 80 0,1(100) = 10% 36 Total = 100% Tabla 4 Un diagrama circular se construye de la siguiente manera: Recordemos que el crculo corresponde a un ngulo de 360. El ngulo para cada frecuencia se obtiene mediante una regla de tres: 360100% x 20% x = 72 Por lo tanto, el 20% corresponde a un ngulo de 72. En el Sptimo Grado, el ngulo se calcula as: x = 360fr x = (0,20)(360) x = 72 Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

13. 6 Actividad Compruebe que el ngulo para el 30% es de 108 y para el 10% es de 36. El diagrama de sector circular es el que podemos apreciar a nuestra derecha. Qu informacin brinda este diagrama? El30%delosestudiantesobtuvieron una calificacin de 78. El 10% de los estudiantes obtuvieron una calificacin de 80. Actividad Encuentre las calificaciones que corresponden al 20%. Actividad A continuacin se presenta un grfico de pastel (ver explicacin columna izquierda), correspondiente a un grupo de 50 estudiantes varones y mujeres de la clase de Fsica de Dcimo Grado. Observe el grfico y responda la pregunta: Mujeres Varones 40 % 60 % Fig. 3 Cuntas mujeres y cuntos varones hay en el grupo? Actividad Realice un grfico de sector circular correspondiente al grupo de estudiantes de su aula de clases. Investigue el nmero total de estudiantes de su centro de estudios o Instituto de clases y realice un grfico de sector circular. Naci en Londres. Psiclogo de profesin, estudi estadstica y logr desarrollar notables aplicaciones de la estadstica en el campo de la psicologa. Charles Edward Spearman (1 863 - 1 945) Fig. 2 30 % 20 % 20 % 20 % 10 % 78 90 809185 Sabas qu? Ma tem tic a 7 Si el diagrama se dibuja de esta forma, se le denomina Diagrama de sectores circulares. Noticias Novelas Pelculas Documentales Si se le dibuja de esta otra forma, se le llama Diagrama de pastel. Noticias Novelas Pelculas Documentales Nota histrica

14. 7 Medidas de tendencia central para datos no agrupados. Clculo de la media aritmtica , para datos no agrupados. Media aritmtica x = Suma de todos los datos Nmero de datos Cmo se calcula la media aritmtica o promedio? Actividad Las calificaciones obtenidas por 10 estudiantes en una prueba parcial de Matemtica son las siguientes: 72 78 80 84 85 87 90 90 90 91 Encontrando la media aritmtica o promedio de estos datos. Calculando la suma de todas las calificaciones: Suma = 72 + 78 + 80 + 84 + 85 + 87 + 90 + 90 + 90 + 91 = 847 Nmero de datos = 10 Efectuando la siguiente operacin: x = Suma de todos los datos Nmero de datos = 10 847 = 84,7 se obtiene que la media aritmtica es 84,7 Actividad Un estudiante necesita saber su calificacin del tercer corte evaluativo de Matemtica. El docente de la disciplina le informa que su promedio de entrada al cuarto corte evaluativo es de 75 y que las calificaciones de primero y segundo corte son respectivamente 68 y 74. Cul es la calificacin del tercer corte evaluativo?. Clculo de la mediana. Cmo se calcula la mediana de un conjunto de datos no agrupados? Si el nmero de datos es impar, entonces se suma 1 al nmero de datos y el resultado se divide entre 2. Considere un conjunto de 11 datos 86 91 84 80 86 64 81 86 86 84 92 El smbolo (Sigma), se utiliza para indicar sumatorias en forma abreviada. x x x xi i k k = = + + + 1 1 2 ... Si n = 4, entonces: x x x x xi i= = + + + 1 4 1 2 3 4 Smbolo de sumatoria La mediana de un conjunto de datos, es el dato que divide al conjunto en dos partes iguales. La mediana se denota por Me . Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

15. 8 Con este nmero de datos se procede de la siguiente manera: Sumar 1 al nmero de datos: 11 + 1 = 12. Dividir el resultado entre 2: 2 12 = 6. Por lo tanto, la mediana se encuentra en la posicin 6. La mediana es 86. 1 64 2 80 3 81 4 84 5 84 6 86 7 86 8 86 9 86 10 91 11 92 5 datos 5 datos Mediana Observe que tanto a la izquierda como a la derecha de la mediana hay 5 datos. La mediana est en el centro de la muestra y es 86. Qu ocurre si el nmero de datos es par? Ejemplo El siguiente conjunto de datos corresponde a las calificaciones finales de Matemtica del primer semestre 2010 de 10 estudiantes del 11mo Grado B del Colegio Pblico de Santa Cruz, Departamento de Estel. Se pide encontrar la mediana para este conjunto de datos. 86 91 84 80 86 64 81 86 86 84 Se siguen los pasos siguientes: Ordenando los datos de menor a mayor. 1 64 2 80 3 81 4 84 5 84 6 86 7 86 8 86 9 86 10 91 El nmero de datos es par. Si el nmero de datos es par, entonces se realizan los siguientes pasos: Dividiendo el nmero de datos entre 2. El nmero de datos es 10. Dividiendo 10 entre 2, se obtiene 5. Matemtico britnico. En teora de probabilidades existe un teorema que lleva su apellido y trata sobre la probabilidad de un suceso condicionado por la ocurrencia de otro suceso. Thomas Bayes (1 702 - 1 761) Nota histrica

16. 9 Se suma el dato que se encuentra en la posicin 5 con el dato que le sigue y se calcula el promedio de los dos. El resultado del promedio ser la mediana. El dato que se encuentra en la posicin 5 es 84 y el dato que le sigue es 86, La mediana ser el promedio de 84 y 86. Me = 84 + 86 2 = 85 1 64 2 80 3 81 4 84 5 84 6 86 7 86 8 86 9 86 10 91 85 Observar que en este caso la mediana no pertenece al conjunto de datos. Actividad Calcular la mediana para el siguiente conjunto de datos ya ordenados de menor a mayor: 43 70 76 76 77 78 80 81 82 85 87 90 Clculo de la moda Mo , para un conjunto de datos no agrupados Ejemplo En el primer corte evaluativo de Matemtica 10 estudiantes de Octavo Grado obtuvieron las calificaciones siguientes: 56 57 61 67 72 72 72 84 91 92 Observe que los datos estn ordenados de menor a mayor. El dato que ms se repite es 72, por lo tanto la moda de este conjunto de datos es: Mo = 72. Ejemplo Se da un conjunto de datos correspondiente a las calificaciones de la asignatura Fsica de 11vo grado: 70 70 70 72 78 78 79 81 82 85 La moda es el dato que ms se repite en un conjunto de datos. No existe una frmula para calcular la moda con datos no agrupados. Lo nico que se debe hacer es encontrar el dato que ms se repite. Un conjunto de datos puede tener ms de una moda, en estos casos se dice que la muestra es bimodal, trimodal, etc. Dr. Luis Adolfo Gmez Rodrguez (1 959 - 2 011) Destacado profesor universitario, nacido en Estel, con profundos conocimientos en Fsica Terica y Matemtica. Fue presidente de la Sociedad Matemtica de Nicaragua y Realiz sus estudios en la Universidad Estatal M.V. Lomonsov de Mosc. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

17. 10 Actividad Verifique los valores de la siguiente tabla de frecuencias absolutas, frecuencias relativas y de porcentajes. xi fi fr % 70 3 3/10 = 0,30 30 72 1 1/10 = 0,10 10 78 2 2/10 = 0,20 20 79 1 1/10 = 0,10 10 81 1 1/10 = 0,10 10 82 1 1/10 = 0,10 10 85 1 1/10 = 0,10 10 Total = 10 1 100 Tabla 5 Ejemplo La calificacin 70 aparece 3 veces en el conjunto de datos, es decir, que su frecuencia absoluta es 3. Su frecuencia relativa es 3 10 0 03= , Su frecuencia porcentual (o porcentaje) es 0,30(100) = 30%. A continuacin, se utilizarn los datos de la tabla 5 para construir un diagrama de barras de porcentajes. Diagrama de barras de porcentajes correspondiente a la Tabla 5. En el eje horizontal se ubican la calificaciones y en el eje vertical se ubican los porcentajes correspondientes a cada calificacin. Diagrama de barras para porcentajes 35 % 30 % 25 % 20 % 15 % 10 % 5 % 0 % 70 72 78 79 81 30 10 10 10 10 10 20 % 82 85 Calificaciones Porcentaje Fig. 4 La frecuencia absoluta fi representa el nmero de veces que cada dato aparece en el conjunto de datos. La frecuencia relativa fr es el cociente entre la frecuencia absoluta y el total de datos. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

18. 11 Ejemplo Los datos a continuacin corresponden a las calificaciones de la asignatura Fsica de 12 estudiantes de 11mo Grado: 60 62 63 63 64 65 68 70 70 70 81 85 Para estos datos la tabla de frecuencias absolutas f, frecuencias relativas fr y de porcentajes, es la siguiente: xi fi fr % 60 1 1/12 = 0,08333 8,33 62 1 1/12 = 0,08333 8,33 63 2 2/12 = 0,1666 1,66 64 1 1/12 = 0,08333 8,33 65 1 1/12 = 0,08333 8,33 68 1 1/12 = 0,08333 8,33 70 3 3/12 = 0,25 25 81 1 1/12 = 0,08333 8,33 85 1 1/12 = 0,08333 8,33 Total 12 1 100 Tabla 6 Actividad 1. Verifique que los valores contenidos en la Tabla 6 son correctos. 2. Un pelotero consigue 15 temporadas de 86, 75 , 91, 120,100, 75, 96, 102, 100, 96, 86, 97, 115, 88 y 75 hits. a.Elabore una tabla de frecuencia absoluta con estos datos. b.Determine las medidas de tendencia central: Mediana Media aritmtica Moda. c.Elabore un histograma. La frecuencia porcentual es el resultado de multiplicar cada frecuencia relativa por 100. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

19. 12 Actividad Con ayuda del diagrama de barras presentado en la figura 5 Diagrama de barras 4 3 2 1 0 60 62 63 64 65 1 1 1 1 1 3 2 68 70 Calificaciones Frecuencias 1 1 81 85 Fig. 5 Responda las preguntas: a.Cuntos estudiantes obtuvieron una calificacin menor de 85? b.Cuntos estudiantes obtuvieron una calificacin menor que 81 y mayor que 62? c.Calcule la media aritmtica, la mediana y la moda. Trabajemos en equipo. Para el conjunto de datos: 63 61 67 70 71 71 71 84 84 84 90 91 92 93 94 1. Construya: a.Una tabla estadstica que contenga frecuencias absolutas, frecuencias relativas y porcentajes. b.El histograma de barras. c.El diagrama de sector circular. d.Calcule la media aritmtica y la mediana. e.Cuntas modas tiene este conjunto de datos?

20. 13 Estadstica descriptiva para datos agrupados. Qu ocurre cuando los datos a ser analizados son numerosos? Para muestras que contienen una gran cantidad de datos, por lo general 30 o ms datos, existen mtodos de la Estadstica Descriptiva que se basan en la agrupacin de los datos de la muestra. Estos mtodos se conocen como mtodos de la Estadstica Descriptiva para datos agrupados. Lea, analice e interprete Distribuciones de frecuencias. Ejemplo Los datos dados a continuacin corresponden a las calificaciones de Matemtica de un grupo de 30 estudiantes del Octavo Grado de un colegio del municipio de Managua. 73 50 52 76 70 72 75 76 51 53 79 72 74 70 54 55 70 52 51 74 71 77 57 53 84 76 77 76 86 89 Qu procedimiento ser ms fcil para analizar el conjunto de datos presentado? Ordenamos los datos de menor a mayor. 50 51 51 52 52 53 53 54 55 58 70 70 70 71 72 72 73 74 74 75 76 76 76 76 77 77 79 84 86 89 A continuacin se pueden dividir estos datos en grupos. A estos grupos los llamaremos clases. Clase o intervalo de clase. Cuandoelnmerodedatosenmuygrande,resultamsconveniente dividir la muestra en intervalos de clase o clases. Cuntas clases se deben tomar? Para un conjunto de datos se tomar un mnimo de 4 clases y un mximo de 12 clases.

21. 14 Para el conjunto dado tomaremos 5 clases. 50 51 51 52 52 53 53 54 55 58 70 70 70 71 72 72 73 74 74 75 76 76 76 76 77 77 79 84 86 89 Rango. El Rango es la diferencia entre sus valores extremos; es decir la diferencia entre el valor mximo y el valor mnimo. Se calcula as: Rango = Valor mximo Valor mnimo Retomando el ejercicio de grupo de 30 estudiantes de la pgina 13 el rango ser: R = 89 - 50 = 39 Se llama intervalo de clase a cada uno de los intervalos en que pueden agruparse los datos de una variable estadstica. Amplitud de clase. Es el nmero de datos contenidos en la clase. La amplitud de clase es igual para todas las clases. Esto significa que todas las clases contienen el mismo nmero de datos. La amplitud de clase se calcula de la siguiente manera: Amplitud de clase = Rango nmero de clases En el ejemplo propuesto de los estudiantes de octavo grado: Amplitud de clase = Matemtico suizo. Introdujo la primera ley de los grandes nmeros, que establece que, bajos ciertas condiciones, un promedio muestral se aproxima al promedio de la poblacin de donde se obtuvo la muestra, si el tamao de sta es grande. Jakob Bernoulli (1 654 - 1 705) Nota histrica

22. 15 Cmo construir una tabla de frecuencias para datos agrupados? Ordenamos los datos de menor a mayor, se determina el rango, la amplitud de clase, se forman los intervalos, a continuacin se encuentra la frecuencia absoluta, frecuencia relativa, frecuencia acumulada y otra informacin que se requiera. Ejemplo Con los siguientes datos ordenados de menor a mayor, construir una tabla de frecuencias absolutas. 50 51 51 52 52 53 53 54 55 58 70 70 70 71 72 72 73 74 74 75 76 76 76 76 77 77 79 84 86 89 Se seguirn los siguientes pasos: Paso 1. Se encuentran las clases. El extremo superior de cada clase se obtiene sumando al extremo inferior la amplitud de clase disminuida en (8 - 1). El extremo inferior del primer intervalo es el dato ms pequeo, en este caso corresponde a 50. Para obtener el extremo superior procedemos de la siguiente manera: Extremo superior = Extremo inferior + (Amplitud de clase menos 1) Paso 2. Sumamos a 50 la amplitud de clase disminuida en uno, es decir: Extremo superior = 50 + (8 1) = 50 + 7 = 57 Extremo inferior Amplitud de clase menos 1 Por lo tanto, el primer intervalo de clase es: 50 - 57 La simbologa utilizada en estadstica es: fi : Es la frecuencia absoluta. fr : Es la frecuencia relativa. %fr : Porcentajes para frecuencia relativa. Fi : Es la frecuencia acumulada. Fr : Frecuencia acumulada relativa. %Fr : Porcentaje para la frecuencia acumulada relativa Xi : Marca de clase. N: Tamao de la poblacin cuando es finita. n: Tamao de la muestra o total de datos. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

23. 16 El segundo intervalo de clase tiene como extremo inferior 58. El extremo superior ser: Extremo superior = 58 + 7 = 65. Por lo tanto, el segundo intervalo de clase es: 58 - 65 El tercer intervalo de clase tiene como extremo inferior 66. El extremo superior ser: Extremo superior = 66 + 7 = 73. Por lo tanto, el tercer intervalo de clase es: 66 - 73 El cuarto intervalo de clase tiene como extremo inferior 74. El extremo superior ser: Extremo superior = 74 + 7 = 81. Por lo tanto, el tercer intervalo de clase es: 74 - 81 El quinto intervalo de clase es: 82 - 89. Verifquelo. Observe que los extremos de cada clase no necesariamente estn contenidos en el conjunto de datos que se est analizando. Describimos las clases con los siguientes esquemas: Datos de la clase 50-57 50 51 51 52 52 53 53 54 55 (9) Datos de la clase 58-65 58 (1) Datos de la clase 66-73 70 70 70 71 72 72 73 (7) Datos de la clase 74-81 74 74 75 76 76 76 76 77 77 79 (10) Datos de la clase 82-89 84 86 89 (3) La amplitud de clase no necesariamente es igual al nmero de datos en una clase. Por ejemplo, la clase 58 - 65 contiene solamente 1 dato y su amplitud, igual que la amplitud de todas las clases, es 8. Los nmeros que van de 58 a 65 son: 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65 Son 8 cifras, lo que nos indica que la amplitud de clase es 8. Lmite interior o extremo inferior. Lmite superior o extremo superior. Caractersticas de una clase. 58 - 65 Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

24. 17 En la siguiente tabla se presentan los intervalos de clase y las frecuencias absoluta correspondientes. Tabla de frecuencias absoluta. Clases fi 50 - 57 9 58 - 65 1 66 - 73 7 74 - 81 10 82 - 89 3 Total: 30 Tabla 7 El histograma de frecuencias absoluta. Histograma de frecuencias absoluta Frecuencias Intervalos de Clase (50 - 57) 0 5 10 15 9 1 10 3 7 (85 - 65) (66 -73) (74 - 81) (82 - 89) Fig. 6 Interpretacin del histograma de frecuencias absoluta. 9 estudiantes obtuvieron calificaciones entre 50 y 57. 1 estudiante obtuvo una calificacin entre 58 y 65 7 estudiantes obtuvieron una calificacin entre 66 y 73 10 estudiantes obtuvieron una calificacin entre 74 y 81. 3 estudiantes obtuvieron una calificacin entre 82 y 89. Fue un matemtico ruso, estudiante de Kolmogrov. Naci en Simbirsk, Rusia y muri en Mosc. Es muy conocido por sus trabajos con Kolmogrov en el campo de la Teora de Probabilidades. Boris Vladmirovich Gnedenko. (1 912 - 1 995) Histograma: Se emplea para ilustrar muestras agrupadas en intervalos. Est formado por rectngulos unidos a otros, cuyos vrtices de la base coinciden con los lmites de los intervalos y el centro de cada intervalo es la marca de clase, que representamos en el eje de las abscisas. La altura de cada rectngulo es proporcional a la frecuencia del intervalo respectivo. La frecuencia absoluta fi representa el nmero de observaciones (datos) que se encuentran ubicadas dentro de un intervalo. Ma tem ti ca 7 Sabas qu? Nota histrica

25. 18 Observe que el nmero total de datos se obtiene sumando los valores correspondientes a las frecuencias absoluta. En el ejemplo tenemos que: 9 + 1 + 7 + 10 + 3 = 30, que es el nmero de datos. Recuerde que la amplitud de clase no necesariamente coincide con el nmero de datos contenidos en la clase. Construccin de un polgono de frecuencias. El polgono de frecuencias es un grfico de lneas que se construye uniendo con segmentos de recta los puntos medios (o marcas de clase) de los intervalos de clase. El punto medio de la clase (o marca de clase) para la clase 50 - 57 es: 50 + 57 2 = 53,5 Marca de clase. Clase Xi : Marca de clase fi 50 - 57 53,5 9 58 - 65 61,5 1 66 - 73 69,5 7 74 - 81 77,5 10 82 - 89 85,5 3 n = 30 Tabla 8 Actividad Verifique los valores para las marcas de clase correspondientes a las siguientes clases presentadas en la Tabla 8: 58 - 65; 66 - 73; 74 - 81; 82 - 89 En el eje horizontal se ubican las marcas de clase y en el eje vertical se ubican las frecuencias.

26. 19 Al unir los puntos medios de las bases superiores de los rectngulos correspondientes al histograma de frecuencias absoluta, se obtiene una figura conocida como Polgono de Frecuencias. Polgono de Frecuencias Frecuencias Marcas de Clase 53,5 0 5 10 15 9 1 10 3 7 61,5 69,5 77,5 85,5 Fig. 7 Frecuencias acumuladas. La frecuencia acumulada es igual al nmero de datos que hay en el intervalo ms las frecuencias de los datos anteriores. Denotaremos las frecuencias acumulada por Fi . En la Tabla 8 se presentan los intervalos de clase con las correspondientes frecuencias absolutas. Clases Frecuencias absoluta (fi ) 50 - 57 9 58 - 65 1 66 - 73 7 74 - 81 10 82 - 89 3 n = 30 Tabla 9 Laprimerafrecuencia acumulada coincide conlaprimerafrecuencia absoluta; es decir que la primera frecuencia acumulada es 9.

27. 20 La segunda frecuencia acumulada ser: 9 + 1 = 10 El proceso continua en forma anloga, obtenemos entonces: 10 + 7 = 17 17 + 10 = 27 27 + 3 = 30 Los datos se presentan en la tabla siguiente: Clases fi Fi 50 - 57 9 9 58 - 65 1 9 + 1 = 10 66 - 73 7 10 + 7 = 17 74 - 81 10 17 + 10 = 27 82 - 89 3 27 + 3 = 30 n = 30 Tabla 10 Histograma de frecuencias acumuladas. Cmo se construye un histograma de frecuencias acumuladas? En el eje horizontal se ubican los intervalos de clase y en el eje vertical las frecuencias acumuladas. Histograma de Frecuencias Acumuladas FrecuenciasAcumuladas Intervalos de Clase 50 - 57 0 10 20 30 9 10 27 30 17 58 - 65 66 - 73 74 - 81 82 - 89 40 Fig. 8 Qu informacin nos brinda este histograma? 9 estudiantes obtuvieron calificaciones en el intervalo 50 - 57. Es conocido por su trabajo en el rea de la probabilidad y estadstica. La desigualdad de Chebyshev se emplea para demostrar la ley dbil de los grandes nmeros y el teorema de Bertrand-Chebyshev (1845-1850) que establece que la cantidad p(n) de nmeros primos menores que n es: p(n) = n / log(n) + o(n) Pafnuti Lvvich Chebyshev (1 821 - 1 894) Nota histrica

28. 21 10 estudiantes obtuvieron calificaciones menores o iguales a 65. 17 estudiantes obtuvieron calificaciones menores o iguales a 73. 27 estudiantes obtuvieron calificaciones menores o iguales a 81. 30 estudiantes obtuvieron calificaciones menores o iguales a 89. Ojiva. Una ojiva se construye tomando en cuenta que en el eje horizontal aparecen los lmites superiores y en el eje vertical las frecuencias acumuladas. Las coordenadas formadas por ambos son unidas por segmentos. Clase xi fi Fi 50 - 57 53,5 9 9 58 - 65 61,5 1 9 + 1 = 10 66 - 73 69,5 7 10 + 7 = 17 74 - 81 77,5 10 17 + 10 = 27 82 - 89 85,5 3 27 + 3 = 30 n = 30 Tabla 11 Ojiva FrecuenciasAcumuladas Lmite superior 57 0 20 (57,9) (65,10) (81,27) (89,30) (73,17) 40 65 7373 81 89 Fig. 9

29. 22 Frecuencia relativa fr . La frecuencia relativa se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta entre el nmero total de datos. El porcentaje % para la frecuencia relativa se obtiene multiplicando cada frecuencia relativa por 100. La frecuencia acumulada se obtiene sumando a cada frecuencia el acumulado de las frecuencias anteriores. La primera frecuencia acumulada coincide con la primera frecuencia absoluta. La frecuencia acumulada relativa se obtiene dividiendo cada frecuencia acumulada entre el nmero de datos. El porcentaje para la frecuencia relativa acumulada se obtiene multiplicando por 100 cada frecuencia acumulada relativa. Ejemplo Verificar en la tabla 11 con relacin a la frecuencia 10 lo siguiente: La frecuencia relativa. El porcentaje para las frecuencias relativas. La frecuencia acumulada. La frecuencia relativa acumulada. El porcentaje para las frecuencias relativas acumuladas. Para la frecuencia con valor de 10 tenemos: La frecuencia relativa es: 10 30 0 33= , El porcentaje para la frecuencia relativa es: 0,33(100) = 33%

30. 23 La frecuencia acumulada hasta la frecuencia de valor 10 es: 9 + 1 + 7 +10 = 27 o bien 9 + 10 + 17 = 27 La frecuencia relativa acumulada es: 27 30 0 9= , El porcentaje para la frecuencia relativa acumulada es: 0,9(100) = 90% Intervalo de clase fi fr % fr Fi Fr %Fr 50 - 57 9 9/30 =3/10 58 - 65 1 1/30 66 - 73 7 7/30 74 - 81 10 1/3 33 27 0,9 90 82 - 89 3 1/10 Total 30 30/30 Tabla 12 Actividad Realizar los mismos clculos del ejemplo anterior para las dems frecuencias de la Tabla 12. Intervalo de clase fi fr % fr Fi Fr %Fr 50 - 57 9 9/30 =3/10 58 - 65 1 1/30 66 - 73 7 7/30 74 - 81 10 1/3 33 27 0,9 90 82 - 89 3 1/10 Total 30 30/30 Tabla 13

31. 24 Actividad Los siguientes datos son de una cooperativa de taxis que midi la cantidad de kilmetros recorridos por 40 vehculos por galn consumido. 45 38 44 45 44 44 39 40 43 44 43 43 45 44 45 42 38 43 39 38 40 41 42 44 43 41 37 38 40 42 41 43 40 40 38 39 44 43 42 40 Tabla 14 Realice los siguiente: a.Ordene los datos de menor a mayor. b.Elabore una tabla de distribucin de frecuencia con 5 intervalos. c.Construya un histograma. d.Construya una ojiva. Medidas de tendencia central para datos agrupados. Lea, analice e interprete. Las medidas de tendencia central son valores numricos en torno a los cuales est concentrado el resto de la muestra. Las medidas de tendencia central son: la media aritmtica (o promedio), la moda y la mediana. Media aritmtica para un conjunto de datos agrupados. Para datos agrupados el clculo de la media aritmtica se realiza utilizando la tabla de frecuencias absolutas y las marcas de clase de acuerdo a los siguientes pasos: Paso 1. Se multiplica cada marca de clase por la frecuencia absoluta correspondiente. Paso 2. Se suman los productos obtenidos en el paso 1. La media aritmtica para datos no agrupados es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el nmero total de datos. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

32. 25 Paso 3. Se divide el resultado de la suma obtenido en el Paso 2, entre el nmero de datos de la muestra. x i k k k = = + ++= 1 1 1 2 2 f X n f X f X f X n i i donde las Xi son las marcas de clase (puntos medios de los intervalos de clase) y las fi son las frecuencias absoluta. A travs del ejemplo que se presenta a continuacin, reconozca los pasos para calcular la media aritmtica con datos agrupados. Ejemplo Con los datos de la tabla dada a continuacin, calcule la media aritmtica del conjunto de datos utilizando la frmula para el clculo de la media aritmtica para datos agrupados. La tabla contiene las clases, las frecuencias absoluta, las marcas de clase y los productos de las frecuencias absolutas con las marcas de clase, fi Xi Clases fi Xi fi Xi 50 - 57 9 53,5 (9)(53,5) = 481,5 58 - 65 1 61,5 (1)(61,5) = 61,5 66 - 73 7 69,5 (7)(69,5) = 486,5 74 - 81 10 77,5 (10)(77,5) = 775 82 - 89 3 85,5 (3)(85,5) = 256,5 Total n = 30 k i = 1 fi Xi = 2 061 Tabla 15 La frmula es: x i k k k = = + ++= 1 1 1 2 2 f X n f X f X f X n i i Sumando los productos fi . Xi de la tabla: 481,5 + 61,5 + 486,5 + 775 + 256,5 = 2 061 Dividiendo este resultado entre el nmero total de datos que es n = 30. x i = = = = 1 5 2061 68 7 f X n 30 i i , Por lo tanto, la media aritmtica para este conjunto de datos es 68,7 Las marcas de clase son los puntos medios de las clases. Se encuentran calculando la suma de los extremos de cada clase y dividiendo el resultado entre 2. La simbologa empleada en estadstica ser: fi : Es la frecuencia absoluta. Xi : Marca de clase. n: Tamao de la muestra o total de datos. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

33. 26 Mediana para un conjunto de datos agrupados. La mediana de un conjunto de datos es el dato (o valor) que se sita en el centro de la muestra (un 50% de los valores se encuentran por debajo de la mediana y otro 50% por arriba). Para calcular la mediana para datos agrupados se realizan los siguientes pasos: Paso 1. La mediana se encuentra en el intervalo de clase cuya frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es decir que la clase de la mediana tiene una frecuencia igual o menor a n 2 , donde n es la suma de las frecuencias absolutas. Paso 2. Se encuentra la frecuencia acumulada antes de la clase de la mediana. Paso 3. Se encuentra el extremo o lmite inferior de la clase de la mediana. La amplitud de clase es C. Estos datos se sustituyen en la siguiente expresin: Me L n F C f i i i = + 2 1 Li : es el extremo inferior del intervalo que contiene a la mediana. n: es el nmero total de dato. Fi - 1 : es la frecuencia acumulada anterior a la clase de la mediana. C: es la amplitud de la clase que contiene a la mediana. fi : es la frecuencia de la clase de la mediana.

34. 27 Ejemplo Utilizar los datos de la tabla 15 para encontrar la mediana Me del conjunto de datos. Paso 1. La mitad de la suma de las frecuencias absolutas es: n 2 30 2 15= = Por lo tanto, la clase de la mediana es la de frecuencia absoluta menor o igual a 15. La frecuencia acumulada 17 es mayor que 15, por lo tanto la clase correspondiente a la mediana es la de frecuencia absoluta 7, es decir la clase 66 - 73. Paso 2. La frecuencia acumulada, hasta antes de la clase de la mediana es 10. Paso 3. El extremo inferior o lmite inferior de la clase de la mediana es 66. La amplitud del intervalo de clase es 8. M L n F f 66 30 e i i-1 = + = + 2 2 10 8 7 C i Me = 71,7 72 Moda para un conjunto de datos agrupados. Moda. La moda en un conjunto de datos, es el dato que ms se repite; es decir el de mayor frecuencia. Se denota por Mo. Clculo de la moda para datos agrupados. Para calcular la moda para un conjunto de datos agrupados se aplica la expresin siguiente: M L Co i= + + 1 1 2 Li : es el lmite inferior de la clase que contiene a la moda que es la de mayor frecuencia absoluta. Para datos agrupados, la moda esta en la mayor concentracin de datos (mayor frecuencia), la clase con mayor frecuencia es la clase modal. La moda si existe puede ser no nica y sedenota por Mo. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

35. 28 1 : Mayor frecuencia absoluta menos la inmediata anterior. 2 : Mayor frecuencia absoluta menos la inmediata posterior. C: es la amplitud de la clase. A continuacin se plantea un ejemplo del clculo de la moda para un conjunto de datos agrupados con la expresin indicada. Ejemplo Utilizar los datos de la tabla para encontrar la moda Mo del conjunto de datos. Clases f F 50 - 57 9 9 58 - 65 1 10 66 - 73 7 17 74 - 81 10 27 82 - 89 3 30 Total 30 Tabla 16 La clase que contiene a la moda es la de mayor frecuencia, en este caso es 74 - 81. La frecuencia para esta clase es fi = 10. El lmite inferior es Li = 74. La frecuencia anterior a la clase modal es 7. La frecuencia posterior a la clase modal f es 3. La amplitud de clase es 8. La frmula para al clculo de la moda de dato agrupado es: M L Co i= + + 1 1 2

36. 29 Entonces, sustituyendo los datos obtenemos: Mo = + ( )+ ( ) 74 10 7 10 7 10 3 8 Mo = 76,4 76 Trabajemos en equipo. Actividad Los datos que se presentan a continuacin corresponden a los bonos productivos entregados por el gobierno de reconciliacin y unidad nacional a 30 municipios del pas. Para este conjunto de datos encuentre la media aritmtica, la mediana y la moda. 80 99 125 113 117 142 131 103 111 123 135 97 109 86 117 107 125 94 121 90 117 128 120 130 129 98 90 82 81 95 Refuerce sus conocimientos. Explique con sus palabras y ejemplifique los conceptos que usted ha aprendido sobre media aritmtica, mediana y moda para datos agrupados. 1. En un conjunto de datos Cul es la moda? 2. El que divide al conjunto de datos en dos partes iguales es: a.El que ms se repite. b.Es el promedio de los datos. c.Tiene la menor frecuencia. 3. La media aritmtica de un conjunto de datos que contenga slo nmeros enteros puede no ser un nmero entero? 4. La mediana de un conjunto de datos que contenga slo nmeros enteros puede no ser un nmero entero? 5. La moda de un conjunto de datos que contenga slo nmeros enteros, en el caso que exista, debe ser un nmero entero? Durante la Cruzada Nacional de Alfabetizacin (CNA), Hroes y Mrtires por la Liberacin de Nicaragua, que se realiz en el ao 1 980, impulsado por el gobierno sandinista en su primera etapa, el porcentaje de analfabetismo pas de un 50,35 % al 12,86 % al finalizar la Cruzada. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

37. 30 Aplico los conocimientos aprendidos. 1. A continuacin se presenta el siguiente conjunto de datos correspondientes a la presin sangunea sistlica de 30 pacientes de un hospital: 129 117 128 135 122 128 143 122 143 128 120 128 140 160 150 120 129 130 140 120 150 170 140 120 124 130 140 130 124 126 2. Construya una tabla de frecuencias absolutas, frecuencias relativas y de porcentajes. 3. Apartir de las tablas construidas en el ejercicio anterior, calcule la media aritmtica, la mediana y la moda. 4. El siguiente grfico corresponde al nmero de habitantes por vivienda en los Distritos de la Ciudad de Managua, segn datos del Censo Nacional del 2005. Diagrama de Barras Habitantesporvivienda Distritos de la ciudad de Managua 4,6 4,8 5 5,2 5,4 5,6 Distrito II Distrito III Distrito IV Distrito V Distrito VI 5 5,2 5,25,2 5,5 Fig. 10 5. Observa el diagrama y contesta a las preguntas: Cuntos habitantes por vivienda hay en el Distrito II? Cul es el Distrito con mayor nmero de habitantes por vivienda? El promedio de bateo se calcula dividiendo el nmero de imparables conectados entre el nmero de turnos oficiales al bate. Ejemplo: Si un bateador conecta 3 imparables en 10 turnos oficiales al bate, entonces su promedio de bateo ser: 3 10 0 333= , Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

38. 31 6. A continuacin se presentan los promedios de bateo de 30 jugadores del Campeonato de Beisbol Juvenil de Nicaragua en el ao 2 009 impulsado por el Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional (GRUN) 0,559 0,500 0,488 0,474 0,447 0,417 0,412 0,410 0,405 0,395 0,370 0,350 0,340 0,340 0,333 0,333 0,330 0,300 0,300 0,300 0,298 0,290 0,290 0,285 0,280 0,280 0,277 0,270 0,270 0,260 0,222 0,220 Tabla 17 Construir una tabla de frecuencias. 7. Considere los datos correspondientes a las calificaciones obtenidas por 14 estudiantes en una prueba parcial Matemtica de Octavo Grado.: 58 62 63 64 64 68 70 70 70 72 78 79 81 85 El diagrama de sectores circulares para estos datos es el siguiente: Diagrama de sectores circulares 58 62 63 64 68 70 78 21% 15% 7% 7% 7% 7% 7%7% 7% 7% 7% 72 79 81 85 Fig. 11 Interpretando el diagrama de sectores circulares. La calificacin 70 aparece tres veces en el conjunto de datos, por lo tanto representa un 21% del total. El 21% se obtiene dividiendo 3 (nmero de veces que aparece 70) entre 14 (nmero total de datos). 3 14 0 21 21= =, %

39. 32 La calificacin 64 aparece dos veces, Qu porcentaje representa? Las calificaciones que aparecen una vez, qu porcentaje representan? Qu ngulos corresponden a cada porcentaje? Encuentre la media aritmtica, la mediana y la moda 8. Recuerda que un pictograma es un grfico con dibujos alusivos al carcter que se est estudiando y cuyo tamao es proporcional a la frecuencia que representan; dicha frecuencia se suele indicar. Ejemplo rboles Plantados Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre 150 100 50 0 Fig. 12 En qu mes se plantaron menos rboles?, En cul se hicieron ms plantaciones? La cumbre de mayor altura en Nicaragua es el Mogotn, que se encuentra en la Sierra de Dipilto, con una altura sobre el nivel del mar de 2 107 metros. (Fuente: Jaime ncer Barquero. Geografa iIustrada de Nicaragua, pg. 55, Julio del 2,008) 9. En el cuadro se presenta el nmero de estudiantes que practican deportes en un aula de clase Deporte Nmero de Estudiantes Ftbol 20 Bsquetbol 15 Bisbol 10 Otros 5 Total 50 Tabla18 Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

40. 33 Construir un diagrama de sectores circulares. Para representar el diagrama de sectores circulares, se debe calcular qu rea del crculo en grados corresponde a la frecuencia absoluta de la variable estudiada. As, para saber qu rea corresponde al ftbol que fue escogido como el deporte preferido por 20 estudiantes de un total de 50, se realiza el siguiente procedimiento. N de Estudiantes Grados 50 360 20 x x = 20 360 50 ( )( )o = 144 Luego el rea que corresponde al ftbol es 144 Asimismo se calcula el rea para cada uno de los otros deportes. Bsquetbol N de Estudiantes Grados 50 360 15 x x = 15 360 50 ( )( )o = 108 El rea que corresponde a bsquetbol es de 108 Bisbol N de Estudiantes Grados 50 360 10 x x = 10 360 50 ( )( )o = 72 Nota: La suma de los grados de todos los deportes escogidos debe dar 360 que es el rea total del crculo. Veamos: Deporte ngulo Ftbol 144 Bsquetbol 108 Bisbol 72 Otros 36 Total 360 Tabla 19

41. 34 El diagrama de sectores circulares correspondiente es: Basquetbol: 15 Ftbol: 20 Beisbol: 10 Otros: 5 Deporte Preferido Figura 13 10. Toma en cuenta el siguiente histograma de los estudiantes de 7mo grado de un instituto y responde: 70 60 50 40 30 20 10 143 158153148 Clases Estaturas en cm A B S O L U T A F R E C U E N C I A Fig. 14 En cuntas clases se han agrupado los datos? Cuntos estudiantes de 7o grado hay en esta poblacin? Cul es la clase de datos que tiene menor frecuencia? En qu clase se concentra el mayor nmero de estudiantes? Por lo tanto, se puede considerar que la mayor parte de dicha poblacin tiene una estatura regular entre: 146 y 150 cm 151 y 155 cm 141 y 145 cm 156 y 160 cm

42. 35 11. Dados los datos de las estaturas en centmetros de 30 personas, represente grficamente la distribucin en un histograma. 175 147 160 167 167 170 157 164 158 162 168 166 158 166 169 169 169 154 163 165 162 168 162 168 163 150 165 166 163 165 Solucin: Por una parte, la variable que estamos estudiando es continua (la estatura). Adems, entre los datos que tenemos hay una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos. El menor valor es 147 y el mayor es 175; su diferencia es 175 - 147 = 28. As, podemos tomar 6 intervalos de longitud 5, empezando por 146,5: Intervalo fi 146,5 - 151,5 2 151,5 - 156,5 1 156,5 - 161,5 4 161,5 - 166,5 13 166,5 - 171,5 9 171,5 - 176,5 1 30 Tabla 20 0 146,5 151,5 156,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Frecuencia Estatura 176,5161,5 166,5 171,5 Histograma de la tabla de frecuencia anterior (Fig.15) La notacin de intervalos de clase [ LI, LS ] o bien [ Li, Ls ] expresa: Li : Lmite inferior de un intervalo. Ls : Lmite superiorde un intervalo. Marca de clase (Xi ): Se calcula sumando el lmite inferior y el lmite superior, luego dividimos el resultado por 2. X L +L i i s = 2 Lmites reales: Los lmites reales se determinan restando 0,5 o 1 2 al lmite inferior y al superior le sumamos 0,5 o 1 2 Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

43. 36 En algunos casos dependiendo de la cantidad de datos es necesario organizar los datos en una representacin grfica de doble tronco. Diagrama de Tallo y Hoja El diagrama de tallo y hoja es una herramienta que permite obtener una representacin visual informativa de un conjunto de datos, para su elaboracin es necesario separar para cada uno de los datos el ltimo dgito de la derecha (hoja) del bloque de cifras restantes (tallo). Los pasos para construir el diagrama son: Paso 1: Paso opcional, ordenar de forma ascendente (de menor a mayor) los datos. Este paso permite obtener una representacin ordenada del diagrama de tallo y hoja. Paso 2: Seleccionar el ltimo dgito de la derecha para el valor de la hoja, siendo los dgitos iniciales los valores del tallo. Para nmeros mayores de cuatro dgitos es posible utilizar valores de hojas de ms de un dgito. Paso 3: Hacer una lista de los valores de los tallos en una columna, ordenados de forma ascendente (de menor a mayor). Paso 4: Registrar las hojas por cada observacin junto al valor correspondiente del tallo. Tambin es posible agregar una columna de datos adicionales con informacin complementaria como lo son la frecuencia relativa, la frecuencia acumulada, un indicador del tallo que incluya la mediana. El nmero de tallos puede variar de un diagrama a otro, sin embargo es recomendable que este nmero oscile entre 5 y 20 tallos ya que esto nos facilitar y permitir: 1. Identificar el valor caracterstico de la distribucin de los datos. 2. Identificar la forma general de la distribucin de los datos. 3. La dispersin de los datos. Sin embargo lo anterior no ser posible si la dispersin de los datos es muy grande. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

44. 37 Ejemplo Dimetro: Se presentan los dimetros (Tabla 21) Dimetro, datos ordenados 2,5 2,5 2,9 3,9 3,9 3,9 4,2 4,3 4,5 De cada dato, Tallo 2 2 2 3 3 3 4 4 4 Hoja 5 5 9 9 9 9 2 3 5 Diagrama de tallo y hojas (Tabla 22): Tallo Hojas 2 5 5 9 3 9 9 9 4 2 3 5 5 3 Para completar la informacin se suele aadir una columna delante del tallo en la que se cuentan las frecuencias de cada tallo acumulndolas de arriba hacia abajo y viceversa, en el tallo donde se encuentre el dato mediano se escribe solamente la frecuencia de ese tallo. Si se desea se pueden marcar las filas donde estn los cuartiles colocando un asterisco a continuacin de la frecuencia. Para los datos anteriores: frecuencias Tallo Hojas 3 2 5 5 9 3 3 9 9 9 3 4 2 3 5 1 5 3 Tabla 23 Actividad 1. Considere las siguientes calificaciones del primer corte evaluativo en la disciplina de fsica aplicada a 20 estudiantes y construya un diagrama de tallo y hojas. 698452936174796588 63 576467727455826168 77

45. 38 Trabajo en equipo 1. Considere las siguientes calificaciones del cuarto corte evaluativo de 20 estudiantes. del octavo grado A del colegio Primero de Mayo. 69 84 52 93 61 74 79 65 88 63 57 64 67 72 74 55 82 61 68 77 Determine lo que se le pide: a. Elabore un diagrama de tallo y hojas. b. Construye una tabla de distribucin de frecuencias. c. Calcule: La media aritmtica. La mediana. La moda. d. Elabore dos grficos estadsticos de los estudiados. 2. Al investigar los precios por habitacin de 50 hoteles de la cuarta regin de Nicaragua se han obtenido los siguientes resultados 700 300 500 400 500 700 400 750 800 500 500 750 300 700 1 000 1 500 500 750 1 200 800 400 500 300 500 1 000 300 400 500 700 500 300 400 700 400 700 500 400 700 1 000 750 700 800 750 700 750 800 700 700 1 200 800 Determne: a.La distribucin de frecuencias de los precios. Agrupados en 5 intervalos de igual amplitud. b.Porcentaje de hoteles con un precio superior a 750. c.Cuntos hoteles tienen un precio mayor o igual que 500 pero menor o igual a 1 000?.

46. 39 Ejemplo La tabla de datos correspondiente a las edades de 50 estudiantes de la modalidad de secundaria a distancia del Instituto Experimental Mxico est dada a continuacin: Intervalo Marca de clase: Xi Frecuencia absoluta: fi Frecuencia absoluta acumulada Fi Frecuencia porcentual fr Frecuencia porcentual acumulada % [15,22) 18,5 37 37 0,74=74% 74% [22,29) 25,5 5 42 0,10=10% 84% [29,36) 32,5 3 45 0,06=6% 90% [36,43) 39,5 4 49 0,08=8% 98% [43,50) 46,5 0 49 0,00=0% 98% [50,57) 53,5 0 49 0,00=0% 98% [57,64) 60,5 1 50 0;02=2% 100% Total n = 50 1,00=100% La moda es la edad de 18,5 aos que es la marca de clase que corresponde a la mayor frecuencia absoluta 37 Me L n F C f i i i = + 2 1 La mediana es la edad que se encuentra en el centro de todas las edades para calcularla utilizaremos la frmula Donde: Me = Mediana, la cual se encuentra ubicada en el primer intervalo pues n 2 = = 50 2 25 y este dato se encuentra en la frecuencia acumulada del primer intervalo. Li = Lmite inferior del intervalo que contiene la mediana, es decir, 15 C = amplitud = 7 porque 22 - 15 = 7 n = Nmero de datos = 50 Tabla 24

47. 40 Fi - 1 = frecuencia acumulada anterior al intervalo que contiene la mediana = 0 porque antes de este primer intervalo no hay datos acumulados. fi = La frecuencia absoluta que corresponde al intervalo que contiene la mediana = 37 Me = + 15 7 50 2 0 37 Me = + [ ]15 7 25 37 Por tanto: Me = +15 175 37 Me = 15 + 4,73 Me = 19,73 Lo cual significa que la mediana o la edad que se encuentra en el centro de los datos recolectados es 19. Actividad 1. La tabla de frecuencias siguiente corresponde al nmero de consultas realizadas por una brigada de mdicos sandinistas en diferentes comunidades del pas. Calcular la media artmetica, mediana y moda. Intervalo Marca de clase Xi Frecuencia absoluta fi Frecuencia absoluta acumulada Fi Frecuencia porcentual % Frecuencia porcentual acumulada % [44,51) 47,5 16 16 10,67 10,67 [51,58) 54,5 19 35 12,67 23,33 [58,65) 61,5 24 59 16 39,33 [65 ,72) 68,5 31 90 20,67 60 [72,79) 75,5 23 113 15,33 75,33 [79,86) 82,5 15 128 10 85,33 [86,93) 89,5 13 141 8,67 94 [93,100) 96,5 9 150 6 100 150 Tabla 25

48. 41 Actividades Finales de la Primera Unidad 1. Se pregunta a 40 nias y nios cul de los siguientes deportes prefiere practicar: bsquetbol (B), natacin (N), ftbol (F), tenis (T), ajedrez (A). Estos son los resultados: FFBFF FAFBT NFFFA BBFFA BFFFF BFBBT FTFFB BFTTA Realice la correspondiente tabla de frecuencias 2. Hemos preguntado a un grupo de 30 vecinos del barrio en el que vivimos sobre las actividades realizadas en su tiempo libre. stas fueron las respuestas obtenidas: baile baile cine baile baile deporte baile msica msica baile amigos idiomas baile amigos cine deporte baile cine baile amigos msica msica baile baile deporte baile amigos baile baile baile Elabora: Una tabla de categoria y un grfico de barras. 3. Encuentre el valor de la media aritmtica, la mediana y la moda en las siguientes situaciones: a.El nmero de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie: 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1. b.Las calificaciones de 50 estudiantes en Matemtica han sido las siguientes: 5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7. 4. En un grupo de 30 personas se miden la estatura, en centmetros, de cada una de ellas, obteniendo los siguientes resultados: 160 163 165 164 162 168 175 167 159 160 161 164 167 168 154 163 164 167 164 165 166 168 165 167 159 164 150 166 147 170 a.Elabore una tabla de frecuencias con cuatro intervalos.

49. 42 5. A continuacin se presentan las alturas en metros sobre el nivel del mar de las principales cumbres de Nicaragua. Altura Nombre Ubicacin Altura Nombre Ubicacin 2 107 Mogotn Nueva Segovia 1 442 Apante Matagalpa 1 792 Jess Sierra de Jalapa 1 421 Malacate Nueva Segovia 1 750 Kilamb Jinotega 1 410 Marimacho Nueva Segovia 1 745 Peas Blancas Matagalpa 1 364 Zinica Jinotega 1 730 Pataste Madriz 1 348 El Fraile Estel 1 700 Tepesomoto Madriz 1 345 Chagitillo Matagalpa 1 680 Chimborazo Jinotega 1 338 Quirragua Matagalpa 1 675 Cspide Jinotega 1 326 Arenales Nueva Segovia 1 652 Sazlaya Jinotega 1 305 Guabule Matagalpa 1 640 El Diablo Jinotega 1 250 Cuscawas Matagalpa 1 367 Quiab Estel 1 200 Baba Jinotega 1 550 Tisey Estel 1 184 Cerro Alegre Boaco 1 053 El Variador Chinandega 1 120 Gisisil Managua 1 450 Musn Matagalpa 1 108 Masige Boaco 1 445 Tomab Estel 1 059 Mombachito Boaco a.Construye una tabla de frecuencias absolutas, frecuencias relativas y de porcentajes. b.Calcule: La media aritmtica La mediana La moda.

50. 43 6. Los datos que se dan a continuacin corresponden a las alturas en metros sobre el nivel del mar de los volcanes de Nicaragua. Altura Volcn Ubicacin Altura Nombre Ubicacin 859 Cosigina Chinandega 818 Asososca Len 1 105 Chonco Chinandega 1 280 Momotombo Len 1 745 San Cristbal Chinandega 480 Chiltepe Managua 1 405 Casitas Chinandega 632 Masaya Masaya 1 061 Telica Len 1 345 Mombacho Granada 834 San Jacinto Len 629 Zapatera Granada 675 Cerro Negro Len 1 610 Concepcin Rivas 836 Rota Len 1 394 Maderas Rivas 938 Pilas Len 1 050 El Hoyo Len a.Construye una tabla de frecuencias absolutas, frecuencias relativas y de porcentajes. b.Calcule: La media aritmtica La mediana La moda. c.Elabora los grficos estadsticos siguientes: Diagrama de barra. Grfico de sector circular.

51. 44 7. El gobierno Sandinista desea saber si el nmero medio de hijos por familia ha descendido respecto a la dcada anterior. Para ello ha encuestado a 50 familias respecto al nmero de hijos y ha obtenido los siguientes datos: 2 4 2 3 1 2 4 2 3 0 2 2 2 3 2 6 2 3 2 2 3 2 3 3 4 3 3 4 5 2 0 3 2 1 2 3 2 2 3 1 4 2 3 2 4 3 3 2 2 1 a.Construye la tabla de frecuencias a partir de estos datos. b.Cuntas familias tienen exactamente tres hijos?qu porcentaje de familias tienen exactamente 3 hijos? c.Qu porcentaje de las familias de la muestra tienen ms de dos hijos? Y menos de 3? d.Construye un diagrama de sector circular. e.Construye un histograma 8. En un hospital se desea hacer un estudio sobre el peso en kilogramos de los recin nacidos. Para ello, se recogen los datos de 40 bebs y se tiene: 3,2 3,7 4,2 4,6 3,7 3,0 2,9 3,1 3,0 4,5 4,1 3,8 3,9 3,6 3,2 3,5 3,0 2,5 2,7 2,8 3,0 4,0 4,5 3,5 3,5 3,6 2,9 3,2 4,2 4,3 4,1 4,6 4,2 4,5 4,3 3,2 3,7 2.1 3,1 3,5 a.Construir una tabla de frecuencias b.Si sabemos que los bebs que pesan menos de 3 kilogramos nacen prematuramente Qu porcentaje de nios prematuros han nacido entre estos 40? c.Normalmente los nios que pesan ms de 3 kilogramos y medio no necesitan estar en la incubadora qu porcentaje de nios est en esta situacin? d.Represente a travs de un grfico estadstico estudiado la informacin recogida.

52. 45 9. Los estudiantes del Instituto Nacional de Oriente fueron clasificados segn sexo (masculino - femenino) y si usan lentes (si o no). Estas variables forman parte de un estudio que se realiz entre septiembre y octubre de 2 014 y tena como objetivo determinar los factores claves asociados con el rendimiento acadmico a fin de proponer un plan de mejoras. A continuacin la tabla de contingencia que resume los datos relacionados con las dos variables. SEXO Usa lentes Total Si No Masculino (1) 350 90 Femenino (0) 40 Total 110 800 Una tabla de este tipo se llama de doble entrada o de contingencia. La tabla contiene celdas, totales marginales fila, totales marginales columna y el total general. Las dimensiones de una tabla de contingencia se especifican por el nmero de filas multiplicadas por el nmero de columnas. En este caso la tabla es de 2 x 2 ya que hay dos niveles de la variable sexo (filas) y dos niveles de la variable usa lentes (columnas). Responda: a.Complete la tabla b.Cuntos estudiantes son del sexo masculino? qu porcentaje del total representa esto? c.Qu porcentaje de estudiantes usa lente? d.Del total de estudiantes, qu porcentaje son del sexo femenino y no usa lente? e.De los estudiantes del sexo masculino, qu porcentaje usa lente? f. De los estudiantes que usa lente, qu porcentaje es femenino? g.Haga un grfico estadstico que muestre la interaccin entre ambas variables. Describa una conclusin relevante

53. 46 10.Los datos son mediciones de intensidad solar directa (en watts/m2 ) realizados en distintos das en una localidad. 562 869 708 775 775 704 809 856 655 806 878 909 918 558 768 870 918 940 946 661 820 898 935 952 957 693 835 905 a) Construya una tabla de distribucin de frecuencia con 4 frecuencias b) Elabore un histograma, polgono de frecuencia u ojiva c) Determine las medidas de tendencia central Media aritmtica Mediana Moda 12. La gran variedad de factores a considerar en la compra de una vivienda, lugar, precio, tasa de amortizacin, tipo de construccin y otros hacen que el tiempo que un comprador tarda en llegar a su decisin final sea muy variable. Los siguientes datos representan la duracin de la bsqueda (en semanas) de 25 compradores de vivienda en cierta poblacin. 15 177 1520 5 3 19103 11104813 9 15628 1212134 a.Construya un histograma de frecuencias que contenga 3 intervalos. b.A qu conclusin llega con esta descripcin grfica acerca del tiempo de bsqueda que invierten los compradores de vivienda?

54. 47 13. Los datos a continuacin son el nmero de bono productivo alimentario aprobado por el gobierno sandinista en 28 municipios del pas. 56 86 70 77 77 70 80 85 65 80 87 90 91 55 76 87 91 94 64 61 82 89 93 95 95 69 83 90 a.Construya una tabla de distribucin de frecuencia con 3 intervalos. b.Elabore un histograma. c.Determine las medidas de tendencia central con datos agrupados: Media aritmtica Mediana Moda. 14. El responsable de una biblioteca de cierta Universidad orden un estudio del tiempo que un estudiante tiene que esperar (en minutos) para que le sea entregado el libro solicitado para consulta. Los datos fueron tomados durante un da normal a una muestra de 20 estudiantes: 12 16 11 10 14 3 11 17 9 18 16 4 7 14 15 16 5 6 7 7 Hallar las medidas de tendencia central: La media aritmtica La moda La mediana

55. 48 15. La tabla siguiente muestra la distribucin por edades del cabeza de familia en el barrio Hugo Chvez de Managua durante el ao 2 014. Edad fi [20,25) 2 [25,30) 4 [30,35) 5 [35,40) 10 [40,45) 9 [45,50) 6 [50,55) 4 [55,60) 2 a.Determine la mediana y la moda. b.Por qu la mediana es una medida ms adecuada que la media aritmtica en este caso? 16. En una empresa de transporte se tomaron 40 datos que significan el peso de carga por viaje (en miles de libras) 60 55 80 72 75 63 48 79 82 72 58 60 74 80 53 61 80 68 76 75 63 65 72 81 64 78 62 83 79 61 63 62 77 76 51 74 78 50 79 55 Conteste: a. Cuntos camiones llevaron carga con menos de 60 000 libras? b. Qu porcentaje de camiones llevaban cargas entre 6 000 y 77 000 libras? c. Cul es el peso promedio de los vehculos que cargaron entre 78 000 y 83 000 libras?

56. 49 17. Las siguientes son cantidades de xido de azufre (en toneladas) emitidas por una planta industrial en 60 das: 15 26 17 11 23 24 18 13 9 13 22 9 6 14 17 26 12 28 17 23 26 22 18 20 11 20 15 19 16 10 19 15 22 26 20 21 19 21 16 19 18 23 24 20 16 18 7 13 23 14 14 29 19 17 20 24 22 24 18 18 Elabore una tabla de frecuencia de 5 intervalos. 18. Las notas finales en la asignatura de matemtica de 50 estudiantes de octavo grado en el Colegio Carmela Noguera de la ciudad de Granada fueron las siguientes: 58 68 73 61 66 96 79 65 86 93 43 67 80 62 78 78 65 79 84 33 90 75 88 75 82 89 67 73 73 55 66 81 67 97 61 75 87 73 82 61 92 68 60 74 94 75 78 88 72 82 Conteste: a. Cul es el promedio de las notas menores a 70? b. Cul es el porcentaje de estudiantes que tienen notas mayores o iguales a 70? c. Elabore un grfico estadstico apropiado a estos datos, 19.A continuacin se da la tabla de frecuencia correspondiente a las notas finales de un curso en Ciencias Naturales, expresadas en la escala de 1 al 10: Intervalo Frecuencia 1 - 2 8 3 - 4 15 5 - 6 7 7 - 8 13 9 - 10 7 Total 50 Elabore el histograma correspondiente a estos datos.

57. 50 20. Las siguientes cantidades reflejan el pago de 55 abonados de Enacal que cancelaron sus recibos el da de hoy, correspondientes al mes de marzo de 2 014. 111 97 114 109 118 94 105 91 114 138 115 88 132 141 99 89 103 110 116 105 82 114 113 108 112 141 125 102 102 94 92 108 146 101 96 132 107 95 124 132 112 118 101 98 118 97 114 115 140 123 135 129 104 107 108 Elabore los una tabla de frecuencias con cuatro intervalos y un histograma. Determine las medidas de tendencia central: Media aritmtica Mediana Moda 21. El Ministerio de la Familia visit la Penitenciara de Estel, con el objetivo de hacer un estudio sobre las edades de los jvenes comprendida entre los 15 y 17 aos y que han tenido problemas relacionados con el consumo de drogas. Estas edades fueron las siguientes: 15 15 15 16 17 17 16 15 16 17 16 16 15 15 15 15 15 15 17 16 16 16 16 15 17 16 15 16 17 15 15 15 15 16 16 15 16 17 15 16 Determine las medidas de tendencia central: Media aritmtica Mediana Moda

58. Unidad 2 El Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional ha impulsado un importante proyecto como es la construccin del puente Santa Fe y paralelo a la construccin del puente tambin se construy la carretera ubicada en la costa Sur del Ro San Juan de Nicaragua hasta concluir en la frontera con Costa Rica, lo que facilitar que las exportaciones de la zona central del pas puedan salir en esa direccin hacia Puerto Limn en Costa Rica, adems de la entrada y salida de nicaragenses hacia el pas vecino del Sur. Fuente: 19 digital. Abril 2 014. Conjunto de Nmeros Reales

59. 52 El Conjunto de los Nmeros Reales. Introduccin. En el Sptimo Grado fueron estudiados los siguientes conjuntos numricos: El conjunto de los nmeros naturales que se denota por . El conjunto de los nmeros enteros que se denota por . Z = { }, , , , , ,2 1 0 1 2 El conjunto de los nmeros racionales que se denota por . Un nmero es racional si puede ser expresado como el cociente de dos nmeros enteros, siempre que el denominador sea diferente de cero. En notacin de conjuntos se escribe as: Q Z Z= = x x| , , p q donde p q y q 0 El smbolo se lee pertenece a. El conjunto de los nmeros naturales est contenido en el conjunto de los nmeros enteros y el conjunto de los nmeros enteros est contenido en el conjunto de los nmeros racionales. Utilizando la simbologa de los conjuntos se escribe: El conjunto de los nmeros naturales es subconjunto de los nmeros enteros y el conjunto de los nmeros enteros es subconjunto de los nmeros racionales. IMPORTANTE La suma de dos nmeros irracionales no necesariamente es irracional. Ejemplo: 2 2 0+ ( )= Tanto 2 como 2 son nmeros irracionales. Sin embargo, su suma da como resultado el nmero cero que es un nmero racional. Lo mismo ocurre con el producto y la divisin de nmeros irracionales. Ejemplos: 3 12 36 6( )( )= = 2 2 1= Tanto 6 como 1 son nmeros racionales Fue un respetado matemtico y fsico. Se le considera el principal matemtico del siglo XVIII y uno de los ms grandes de todos los tiempos. Leonhard Paul Euler (1 707 - 1 783) Nota histrica

60. 53 El conjunto de los nmeros irracionales. Lea, analice e interprete. Introduccin. Qu conjuntos de nmeros han sido estudiados? Han sido estudiados el conjunto de los nmeros naturales , el conjunto de los nmeros enteros y el conjunto de los nmeros racionales . Actividad Al efectuar las siguientes divisiones: 1 3 0 333333= , ...; 1 6 0 166666= , ; 1 7 0 142857142= , se obtienen decimales peridicos. Los decimales peridicos se pueden expresar como cociente de dos nmeros enteros con denominador distinto de cero. Esto significa que son nmeros racionales. Surgen dos preguntas: Existen desarrollos decimales que no sean peridicos? Si existen, qu nmeros representan? Para contestar la primera pregunta consideremos los siguientes nmeros decimales: 0,20 200 2000 20000 200000 2 5,7822 3222 42222 5222222 6 Observe que los dos nmeros decimales anteriores no son peridicos y no se pueden expresar como cociente de dos nmeros enteros, por lo tanto no son nmeros racionales. Si usted intenta con una calculadora o por clculo directo encontrar el valor de 2 , observar que nunca obtendr un decimal peridico. El nmero 2 es un ejemplo de un nmero irracional. Qu conjunto de nmeros incluye a los nmeros decimales no peridicos? El conjunto de los nmeros irracionales no es cerrado respecto a la suma ni respecto al producto Nota histrica Nmeros irracionales famosos. Pi es un nmero irracional famoso. Se han calculado ms de un milln de sus cifras decimales sin repetirse. Las primeras son: 3,1415926535897932384 626433832795... e Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningn patrn. Los primeros decimales son: 2,7182818284590452353 602874713527... El nmero ureo o nmero de oro es un nmero irracional. Sus primeros dgitos son: 1,6180339887498948 4820... Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

61. 54 Analizaremos un ejemplo que tiene un significado histrico muy importante en el surgimiento de los nmeros irracionales. Ejemplo Se da un cuadrado cuyo lado tiene medida 1m. Se pide calcular la medida de la diagonal del cuadrado. De acuerdo con el teorema de Pitgoras la longitud o medida de la diagonal es: d AB BC= + = + =2 2 2 2 1 1 2 D C BA 1 1 d = 2 El nmero 2 no se puede expresar como el cociente de dos nmeros enteros y por tanto no es un decimal peridico, o sea que no es racional. Se ha obtenido un nmero que no pertenece ninguno de los conjuntos que se han estudiado. El concepto de nmero irracional Los nmeros que no son decimales peridicos y no se pueden expresar como el cociente de dos nmeros enteros reciben el nombre de nmeros irracionales. Se denotarn los nmeros irracionales con el smbolo ' Ejemplo Son nmeros irracionales los siguientes: 2 3 5 7, , , ,... Informacin importante. El nmero e 2,718281828449es irracional. El nmero e, que adems de ser irracional es un nmero trascendente, es la base de los logaritmos neperianos o logaritmos naturales que sern estudiados en el Noveno Grado. Tambin aparece en los procesos de crecimiento y decaimiento, en el estudio de la desintegracin radiactiva, en la farmacologa, en el estudio de crecimiento de colonias de bacterias, en el estudio de las epidemias, en arqueologa, en la fsica nuclear, en ciencias econmicas, en ciencias ambientales, etc. Fue un estudiante de Pitgoras, quin descubri los nmeros irracionales intentando escribir la raiz cuadrada de 2 en forma de fraccin (se cree que usando Geometra). Pero en su lugar demostr que no se puede escribir como fraccin, as que es un nmero irracional. Muchas races cuadradas, cbicas, etc. tambin son irracionales. Ejemplos: 77 11 173 4 ... No todas las races son irracionales. 4 2 27 33 = = ... son nmeros racionales. Nota histrica

62. 55 El nmero 3,141592653589es irracional. El nmero es el nmero irracional ms famoso y probablemente el ms conocido. La longitud de una circunferencia se calcula utilizando el nmero (Longitud = 2r), el rea de un crculo se calcula usando el nmero (rea = r2 ). Tambin se calcula utilizando el nmero : el volumen de una esfera, el volumen de un cilindro, el volumen de un cono, reas de superficies, etc. Calcule usted el valor aproximado del nmero dividiendo la longitud de cualquier circunferencia entre el dimetro de la misma. El nmero ureo o nmero de oro. = + 1 5 2 1 618033988749, ... es un nmero irracional. El nmero ureo o nmero de oro ,(Phi,se lee fi) es un nmero irracional muy interesante. Aparece en la pintura, la arquitectura, en las estructuras de la naturaleza. Luca Pacioli se refera a la divina proporcin, Leonardo de Vinci se refera a la perfeccin urea. En el estudio de los poliedros en Geometra tambin aparece el nmero de oro. Trabajemos en equipo. Actividad Mida con una cuerda la circunferencia de cualquier recipiente que tenga forma cilndrica. A continuacin encuentre el dimetro de la circunferencia. Con los datos obtenidos realice el siguiente clculo: El valor que obtendr es una aproximacin al nmero , cuyo valor es aproximadamente 3,14159 Si realiza esta misma actividad con diferentes recipientes circulares, obtendr el mismo resultado. Esto justifica referirse al nmero como la relacin entre la longitud de la circunferencia y su dimetro. Filsofo griego nacido en la isla de Samos y muerto en Metaponto. Se le considera el primer matemtico puro. La sociedad que lider estaba regida por cdigos secretos que hace que su figura sea muy misteriosa. El Teorema de Pitgoras El cuadrado de la medida de la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos. c (Cateto) a (Hipotenusa) b (Cateto) A B C a2 = b2 + c2 Pitgoras de Samos (580 a. C.-520 a.C) Dimetro Circunferencia Nota histrica

63. 56 Representacin de nmeros irracionales en una recta numrica. Cmo se ubica un nmero irracional en una recta numrica? Trabajemos en equipo. 1. Dibuje un cuadrado de lado de longitud 1. 2. Trace la diagonal del cuadrado. 3. Calcule la medida de la diagonal del cuadrado. D C BA 1 1 La longitud de la diagonal se puede encontrar por medio del teorema de Pitgoras. AC AB BC AC AC AC2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2= + = + = = = La longitud de la diagonal AC es 2 . El nmero 2 no se puede expresar como un cociente de dos nmeros enteros y no es un decimal peridico, luego no es un nmero racional. Cmo se representa en una recta numrica el nmero irracional 3 ? Usted puede utilizar la construccin de la diagonal de un cuadrado de lado de longitud 1 para ubicar el nmero irracional 2 en la recta numrica. Ejemplo Utilizando la figura realice la siguiente construccin: Prolongue el lado AB hacia la derecha. Con un comps, tomando como centro el punto D y con radio DB trace una circunferencia. La circunferencia cortar a la prolongacin del lado DC en un punto que corresponde al nmero irracional 2 . El smbolo se lee si,,entonces Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

64. 57 Ha obtenido una figura como la que se muestra a continuacin: Por el teorema de Pitgoras se obtiene: DB = + =1 1 22 2 DE = ( ) +2 1 2 2 DE = + =2 1 3 Observe que la medida del segmento DB = 2 y la medida del segmento DE = 3 . Trabajemos en equipo. Siguiendo los mismos pasos que en el ejemplo anterior, encuentre la ubicacin sobre la recta real de los siguientes nmeros irracionales: 7 8 11, . Sugerencia: 7 4 3 2 32 2 = + = + ( ) El conjunto de los nmeros reales. Lea, analice e interprete. El siguiente esquema muestra los distintos conjuntos de nmeros La unin del conjunto de los nmeros racionales con el conjunto de los nmeros irracionales, recibe el nombre de conjunto de los nmeros reales y se denota con la letra , simblicamente se escribe: = ' Simblicamente tambin se puede escribir el conjunto de los nmeros reales de est manera: = '. Vase el esquema que sigue: Nmeros reales Nmeros racionales Nmeros irracionales Nmeros enteros Nmeros fraccionarios Positivos Negativos Nmeros naturales Nmeros enteros negativos Cero A B CD 1 1 E Una construccin alternativa de algunos nmeros irracionales Paso 1. Dibujar un tringulo PAB rectngulo en A y con catetos de medida 1. Paso 2. Trazar un segmento perpendicular al segmento BP en el punto B, cuya medida sea 1. Paso 3. Trazar un segmento perpendicular al segmento PC en el punto C cuya medida sea 1. Obtenemos la figura siguiente: A B C D P 2 3 5 1 1 1 1 Por el teorema de Pitgoras aplicado al tringulo PAB, obtenemos: BP2 = AP2 + AB2 BP2 = 12 + 12 BP2 = 2 BP = 2 De forma similar con el PBC se obtiene que: PC = ( ) + =2 1 3 2 2 Con un proceso similar se obtienen: 5 6 7 ...

65. 58 Representacin de un nmero real en la recta numrica. Consideremos una lnea recta y ubiquemos en ella nmeros reales. Cero Nmeros reales negativos Nmeros reales positivos 0 0,5 1,51 2-1-2 -1,5 -0,5 A la lnea recta donde se ubican los nmeros reales se le llama recta numrica o recta real. El nmero real cero 0 se llama origen de la recta real. Valor absoluto de un nmero real. En muchas actividades de la vida real es necesario trabajar con nmeros que siempre deben ser positivos. Ejemplo de esto son las distancias entre puntos. Qu es el valor absoluto de un nmero real? Consideremos dos nmeros reales ubicados sobre una recta numrica, por ejemplo el nmero 3 y el nmero - 4. La distancia entre -4 y 0 es 4 La distancia entre 0 y 3 es 3 0 1 2 3-1-2-3-4 4 Observe que la distancia siempre es un nmero positivo. Ahora se presenta el concepto de valor absoluto. Valor absoluto de un nmero real Esladistanciaentreelorigenyelnmeroreal.Representaremos el valor absoluto de un nmero real a por |a|. La siguiente tabla ilustra el concepto de valor absoluto. Si a es un nmero positivo, entonces |a| = a Ejemplo: |3| = 3. Si a es cero, entonces |a| = 0 Ejemplo: |0| = 0 Si a es un nmero negativo, entonces |a| = a. Ejemplo: |3|=(3)=3 La unin del conjunto de los nmeros naturales, con el conjunto de los nmeros enteros, el conjunto de los nmeros racionales y el conjunto de los nmeros irracionales, se obtiene el conjunto de los nmeros reales. El valor absoluto de un nmero entero x se define: x, si x es positivo (x0) x= 0, si x = 0 -x, si x es negativo (x0) Donde -x es el opuesto del nmero entero x. Donde -x es el opuesto del nmero entero x. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

66. 59 Importante: a a a2 = = Ejemplo: 4 2 22 = = Suma de nmeros reales. Al sumar dos nmeros reales se obtiene un nmero real. Esta propiedad de la suma de nmeros reales se llama propiedad de cerradura o de clausura. Propiedad de clausura Si a y b ,entonces a + b , a, b Ejemplos a.2 es nmero real y 0,5 es un nmero real, entonces la suma 2 + 0,5 = 2,5 es un nmero real. b. 3 2 3 1 2 3 3 3+ = +( ) = Sumando dos nmeros reales utilizando la recta numrica real. Ejemplo Encuentre la suma 3 + 7. Solucin: Contar 7 unidades hacia la derecha a partir de 3 El resultado de la suma ser el nmero que se encuentra a 7 unidades a la derecha de - 3 en la recta numrica. El resultado de la suma es 4. Actividades 1. Encuentre la suma 2 + 6 utilizando la recta numrica. 2. Si a = 20, b = 10, c = 5 compruebe que (a b) c a (b c) 3. Determine el valor absoluto: |4 + (100)| |80 16 24| |(x)| La divisin de nmeros reales en general no es conmutativa a b b a Ejemplo. 6 3 = 6 3 = 2 3 6 = 3 6 = 0,5 2 0,5 La divisin de nmeros reales en general no es asociativa. a (b c) (a b) c Ejemplo. 16 (8 4) = 16 2 = 8 (16 8) 4 = 2 4= 1 2 8 1 2 Smbolo Se lee Para todo Pertenece a No pertenece a Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

67. 60 Propiedades de la suma de nmeros reales. El orden en que se sumen dos nmeros reales alterar el resultado? Ejemplo 2 + 5 = 7 y 5 + 2 = 7. El resultado es el mismo. Esta propiedad de los nmeros reales se llama propiedad conmutativa. Propiedad conmutativa Si a y b ,entonces a + b = b + a, a, b Qu ocurre cuando se suman 3 o ms nmeros reales? Consideremos el siguiente ejemplo: Ejemplo Al efectuar la suma 2 3 5 4 7 2 3 39 7 14 117 21 131 21 + + = + = + = se obtiene el mismo resultado que al sumar 2 3 5 4 7 17 3 4 7 119 12 21 131 21 + + = + = + = Esta propiedad se llama propiedad asociativa. Propiedad asociativa Si a , b y c , entonces a + (b + c) = (a + b) + c, a, b, c Compruebe que: 1. 2. 0 8 0 057 4 3 0 08 0 057 3 4 , , , ,+ + = + + Reforzamiento Compruebe que: 8 20 6 15 6 15 8 20 + = + 10 10 10 7 7 10+ = + 6 7 1 8 2 9 6 7 1 8 2 9 + + = + + 0 8 20 8 20 8 0 8, ,+ = +

68. 61 Sumando tres nmeros reales utilizando la recta real. Ejemplo Encuentre la suma 3 + 5 + ( 6). 5 unidades hacia la derecha a partir de -3 6 unidades hacia la izquierda a partir de 2 -3 -1-2-6 -4-5 4 651 320 La distancia de cero al extremo que indica la punta de la flecha verde es de -4 Entonces: 3 + 5 + ( 6) = ( 3 6) + 5 = 9 + 5( 9 6) = 4 . Qu entenderemos por el opuesto o inverso aditivo de un nmero real? Dado un nmero real a cualquiera, el nmero a se llama el inverso aditivo u opuesto de a. El inverso aditivo u opuesto del nmero 2 es 2. El inverso aditivo u opuesto del nmero 2 es: (2) = 2. Qu ocurre si sumamos un nmero real cualquiera con su opuesto o inverso aditivo? Opuesto de un nmero real Si a ,entonces a , a El nmero a se llama el opuesto o inverso aditivo del nmero a. La suma de todo nmero real a con el nmero real 0 da como resultado el mismo nmero a. Esta propiedad se llama propiedad del idntico aditivo y se dice que el cero es el elemento identidad o elemento neutro para la suma de nmeros reales. Ejemplo 0,289 + 0 = 0,289 Cmo se interpreta en un grfico el opuesto de un nmero real? El nmero real a y su opuesto (o inverso aditivo) el nmero real a, se encuentran a la misma distancia con respecto al origen. Tambin se dice que son simtricos. Un nmero par x se denota como: x = 2k, k Un nmero impar x se denota como: x = 2k + 1, k Reforzamiento: Cual de las siguientes afirmaciones son correctas? Los nmeros enteros son subconjuntos de los nmeros racionales La interseccin de los nmeros racionales e irracionales es el conjunto vacio. El conjunto de los nmeros racionales unido al conjunto de los nmeros irracionales es el conjunto de los nmeros reales. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

69. 62 Propiedad del opuesto de un nmero real. Todo nmero real a sumado con su opuesto o inverso aditivo, da como resultado el nmero cero. a + (a) = 0 Ejemplo a) + = 5 9 5 9 0 b) 10 10 0+ ( )= Resta de nmeros reales. a + (b) = a b; a, b Cuando un nmero real se suma con el opuesto de otro nmero real, obtenemos la resta de estos nmeros reales. Ejemplos a.5 + ( 3) = 5 3 = 2 b. 10 + ( 3) = 10 3 = 13 c. 13 2 15 2 13 15 2 2 2 = ( ) = Multiplicacin de nmeros reales. Propiedad de clausura del producto de nmeros reales. El producto de dos nmeros reales es un nmero real. Si a y b , entonces a b , a, b Ejemplo 1. 3(0,5) = 1,5 2. 3 2 5 4 15 8 = 3. (-0,2)(3,42) = - 0,684 4. 1 2 2 3 3 4 6 7 6 + = + = 5. 2 5 10 = En Matemtica se acostumbra utilizar un punto , el asterisco * y tambin parntesis ( ) para la multiplicacin de nmeros reales. Ejemplos: El producto de un nmero real a con el nmero real b se puede escribir as: 1) ab 2) a*b 3) (a)(b) La propiedad conmutativa es de gran importancia en el estudio de los nmeros reales y el lgebra. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?

Libro de matematicas 8vo grado

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