Libro mat 3º eso (6 dic´11)

1

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

NÚMEROS NATURALES: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …..

NÚMEROS ENTEROS: … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Los números enteros incluye a los números

naturales.

NÚMEROS FRACCIONARIOS Y FRACCIONES.

Los números fraccionarios se representan mediante fracciones, aunque no todas las fracciones son

números fraccionarios. Si el numerados es múltiplo del denominador la fracción no representa un

número fraccionario, se trata de un número entero.

FRACCIONES PROPIAS. El numerador es menor que el denominador

FRACCIONES IMPROPIAS: El numerador es mayor que el denominaros.

Las fracciones impropias pueden descomponerse en suma de un número entero y una fracción

propia.

Cuando se realiza la división entre el numerador y el denominador de un número fraccionario, el

cociente puede ser:

o Un número ENTERO

o Un número DECIMAL EXACTO

o Un número DECIMAL PERIÓDICO PURO

o Un número DECIMAL PERIÓDICO MIXTO

NÚMEROS RACIONALES: Es el conjunto de todos los número enteros y todos los números

fraccionarios.

NUMEROS NO RACIONALES: Son aquellos números cuya expresión decimal no es exacta ni

periódica.

Nota: los números decimales son aquellos que representan cantidades entre dos número enteros

consecutivos.

.

2

HOJA 1

OPERACFIONES COMBINADAS: ORDEN DE EJECUCION DE LAS OPERACIONES

1.-Factoriza los numeradores y denominadores de las siguientes fracciones y simplifica:

1

5)

120

720)

81

3)

27

81)

35

50)

200

1400)

210

35)

720

120)

125

40)

1001

77)

13

221)

15

100)

54

204)

77

252)

35

210)

30

65)

30

15)

27

9)

4

2)

2

4)

srqpoñnmlk

jihgfedcba

2.-Realiza las siguientes operaciones:

11

32)7

5

3)

7

13)

30

1

25

6)

8

1

64

5)

4

7

30

7)

5

3

2

1)

24

5

12

3)

8

2

6

1)

11)318)318)318)5025)812)812)812)62)

qpoñnmlkj

ihgfedcba

3.-Opera y simplifica (suma, resta, multiplicación y división):

4

121)

4

1

27

8:

3

2)

5

7

3

1

4

1

9

2

5

22

2

1)

4

15:

2

54)

6

15

2

1)

3

53

2

3)3

2

1)

3

57)

6

1

2

1)

3

5

2

3)

)5(22)4)4(2))2(:103262)1)5(1723)5:15)1(532)

ñnmlk

jihgf

edcba

4.-Opera y simplifica: (suma, resta, multiplicación, división y potencias):

1323)238:2))1(:5233:3)5234:2) 23332232 dcba

5.-Opera y simplifica:

4253223 19

2:

5

35)

5

1:1

3

14

7

1)3(:

2

5)

3

4:2

15

231

2

1)

3

2:

2

32

3

21) dcba


17

311

2

5)

4

9:

2

3)1(

2

1

2

15)

2

32:

2

32)1)(241

2

1

2

1)

dcba

5

4

2

1

3

23:

3

2

5

1

2

31

3

2

4

3

5

1)

4

1

2

1

2

1

3

1341

2

51

5

3)

fe


17

31

2

5

2412

1

2

1

)

2:12

7:

5

23

2

3

3

5:

4

3

5

8

)

4

7

3

7:

5

6

3

1

4

1

5

4

2

1

3

2

)

2/11:

3:3

2

5

1

2

3

13

2

4

3

5

1

)

35/204:

4

31

2

3

2

13

5

5

35

2

5:

2

3

2

1

)

5/7:

22

153

2

1235

)

fed

sol

c

sol

b

sol

a

sol: 7 / 9 sol: 459 / 494 sol: -1

3

HOJA 2

OPERACIONES CON POTENCIAS

1.-Calcula las siguientes potencias utilizando las propiedades estudiadas:

112204201570

2324323243

2324323243

5)2))33)(2500)5))1)()1)(1))1)(33,0)

)11)()7)()5)()3)()2)(11)7)5)3)2)

)11)()7)()5)()3)()2)(11)7)5)3)2)

acabaazyxwvut

srqpoñnmlk

jihgfedcba

2.-Calcula las siguientes potencias:

11102533

22533225

33225332

5

1)

5

1)

3

5)

3

5)

3

7)

2

1)

5

1)

2

3)

3

5)

3

7)

2

1)

5

1)

2

3)

3

5)

3

7)

2

1)

5

1)

2

3)

3

5)

3

7)

2

1)

5

1)

2

3)

3

5)

wvutsrqp

oñnmlkji

hgfedcba

3.-Expresa como potencia única:

)55(:5)7:77)3333)5555)222)555)

2:2)3:3)7:7)5:5)7:7)2:2)

3:3)77)22)22)33)33)

72235017215332

53753224257

42235572342

utsrqp

nmlkji

fedcba

4.-Expresa como potencia única:

)125:5(5

525)

16:48

32)

7:7

49)

)3:3(81

39)

393

9)

11)11:11(

1111)

5:55

55)

333

333)

7:77

7)

222

2:22)

31

32

27

42

322

253

22

12

1

21

25

322372

23

jihgf

edcba

5.-Expresa como potencia única y luego calcula las potencias:

3

2

2

32122

122132

22235323

3232

2

3)5)5)2)3)2)

3)3)1)2)1)2)

lkjihg

fedcba

6.-Realiza las siguientes operaciones:

323232203531211)23213)237:751) cba

7.-Escribe en forma de radicales las siguientes potencias:

2

1

2

3

54

5

132

1

5

4

3

1

9

1

4

5

3

5

3

7

2

1

3

2

5

1

3

1

2

1

3

2

3:3)2:2)22)22)5)2)3)2)

3)2)5)2)7)5)3)2)

oñnmlkji

hgfedcba

4

HOJA 3

OPERACIONES CON RADICALES

1.-Calcula mentalmente los siguientes radicales:

433 16)125)8)121)49)64)36)25)9)100) jihgfedcba

2.-Extrae factores de los siguientes radicales:

4654443333 162)1458)64)625)16)32)81)8)32)16)

81)54)27)180)450)100)25)32)16)8)

srqpoñnmlk

jihgfedcba

3.-Realiza las siguientes sumas y restas:

6

10

12

5)

8

13

2

1)

75

18

3

2)124

16

3)

162542)486624)80180455)321882) 33

hgfe

dcba

4.-Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones:

555333

4433773333

3333

3333

3162)262)5432)424)1525)362)

44)42)9:3)2:2)9:9)2:24)

14:21)15:5)3:6)4:2)48)44)

219)122)1421)155)36)32)

vutsrq

poñnml

kjihgf

eedcba

5.-Reduce los siguientes radicales a común índice:

2,6,7)100,4,5)5,3,2)2,27,9)

3,7,5)3,11,3)3,7,2)7,2,5)4349304630153

15 25 3315 26 345 23 215 25 3

hgfe

dcba

6.-Realiza las siguientes operaciones (Observa que los índice de los radicales son diferentes).

525)81:9)4:2)12525)28)232)

25:5)2:2)3:2)3:9)82)322)

353363436

343563433

lkjihg

fedcba

7.-Racionaliza los siguientes radicales (Recuerda que racionalizar significa eliminar radicales del

denominador).

5335 33 2543 121

11)

25

7)

27

1)

34

5)

3

9)

7

2)

5

3)

2

1)

773

11)

73

7)

22

1)

32

5)

3

9)

2

2)

5

3)

2

1)

oñnmlkji

hgfedcba

8.-Racionaliza los siguientes radicales (Observa que en estos casos en el denominador aparece una suma

o diferencia de radicales):

147

7)

11325

2)

2273

3)

5277

6)

735

3)

322

2)

75

75)

32

32)

37

2)

57

6)

75

3)

32

1)

lkjihg

fedcba

5

HOJA 4

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

OPERACIONES CON MONOMIOS

1.- Efectúa las siguientes sumas de monomios (Observa que todos los monomios que sumamos tienen la

misma parte literal):

x3x4

3x)jab

9

2ab

4

3ab

7

5)izxy

2

1zxy2)hyt

7

2yt7yt)ga3a2a)f

yz2

1yz

4

3)eyz

2

1yz3yz6)dxy3xy2xy6)cx

3

1x2x7)bx5x6x3)a

44477333

22333333222

2.- Efectúa las siguientes diferencias de monomios (Observa que todos los monomios que sumamos

tienen la misma parte literal):

23233322

575744323222

yx6

3yx

15

1)jy

8

3y

6

2)iabc

2

1abc)hyzxyzx)gyx

2

3yx

7

5)f

ab5

2ab7)eba3ba6)dyx3yx

5

2)cx8x4)bx3x2)a

3.- Efectúa las siguientes operaciones:

z18

5z

9

1z

3

2)dx

4

1x

2

3x2)cab

15

2ab

5

1ab

25

1ab)bzxy

9

2zxy

6

5zxy

4

1zxy2)a 2222

4.- Efectúa los siguientes productos de monomios (Observa que los monomios que se multiplican pueden

tener o no la misma parte literal y el signo de multiplicación puede omitirse):

53222342

222222342

zyx5

2)xz(xy

4

1x2)j)x(x)ix

3

1x3)hx

2

1)x6(x10)gyx

7

6xy

4

5)f

)ab3(ab3

2ab

4

7)ex

3

2x

5

4)d)x3(x)cx2x5)bx3x2)a

5.- Efectúa las siguientes divisiones de monomios (Al igual que en la multiplicación, pueden dividirse

monomios de igual o distinta parte literal)

52323523

22634762324

x:x3

2)lx

3

4:x

9

2)kx

35

6:x

5

2)jx

9

2:x

3

1)i)x9(:x3)hx:x2)g

x6:x15)fx10:x25)ex3:x7)dx3:x15)cx6:x36)bx25:x50)a

6.- Simplifica los siguientes cocientes de monomios (Es decir realiza las siguientes divisiones):

sr121

xy11)e

tsr36

str6)d

xyz3

xyz2)c

cab3

bca12)b

zyx5

zyx25)a

2723

52

22

72

532

235

7.- Efectúa las siguientes potencias de monomios:

232

3

5253

35

332 )tsr(2)gbca3

2)f)ab3)(e)xy6)(dx

2

1)cx

2

3)b)x3)(a

6

HOJA Nº 5

OPERACIONES CON POLINOMIOS

8.- Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para los valores de x indicados.

0xy2/3xpara6x2x4)x(P)d

3/1xy2/1xpara1x3x2x6)x(P)c

3xy1xpara6x7x2)x(P)b

2xy1xparax2xx3)x(P)a

2

23

2

23

9.- Siendo P(x) = 3x3 – x

2 + 2x; Q(x) = 3x

3 + x

2 –3x – 4 y R(x) = 2x

2 – 7x + 6, calcula:

a) P(x) –3 Q(x) e) P(x) –2Q(x)

b) –R(x) + 2P(x) f) P(x) + Q(x) – R(x)

c) P(x) – Q(x) + R(x) g) 2R(x) + 5P(x)

d) R(x) - P(x) – Q(x) h) P(x) - Q(x) + R(x)

10.- Siendo P(y) = 2y3 – 3y

2 +4y –5; Q(y) = - y

3 + 2y

2 –2y + 4 y R(y) = y

3 + y

2 – 6y + 2, calcula:

a) Q(y) – R(y) – P(y)

b) R(y) + 2R(y)

c) - - 2R(y) + 2P(y) – R(y)

11.- Halla los productos de los siguientes monomios y polinomios (Recuerda que el paréntesis me indica

que el monomio multiplica a todos y cada uno de los sumandos dentro de dicho paréntesis):

233

752323

3232423242

x15

2

3

x4

2

x3)h)1x(x2)g)xx(x)f)2x10x6x2(x

2

1)e

x2)1xx2x()d)1x2x3x(x3)c)1x(x)b)1x2x3x(x2)a

12.- Calcula los siguientes productos (Recuerda que cada uno de los sumandos de un paréntesis debe

multiplicarse por todos y cada uno de los sumandos de otro paréntesis):

)xx)(1x2x()l)xx)(1x5x()k)2x)(1x()j)1xx)(1x2x()i

)xx)(xx()h)2x)(x2x()g)2x3)(1x2()f)xx)(1x()e

)1x)(1x()d)1x)(1x()c)1x)(1x()b)dc)(ba()a

2322322234

3557322

13.- Opera y reagrupa (Recuerda el orden de ejecución de las operaciones)

)1()()1()())()(3))(()

2)1)(1(2)1)(())1)(1()1)(1()

222

4322

abaabadbabadcbac

xxxxxxbxxxxa

14.- Halla el producto P(x) ∙Q(x) en cada uno de los siguientes casos:

a) P(x) = 3x2 + 2x – 3 y Q(x) = x – 2

b) P(x) = 2x2 – 3x + 1 y Q(x) = x

2 – 1

c) P(x) = 4x4 –3x

3 + 2x +1 y Q(x) = 2x

2 – x+1

7

HOJA Nº 6

15.- Realiza las siguientes divisiones de polinomios entre monomios

𝑎) 3𝑥5 − 3𝑥2 + 6𝑥 + 9 : 3𝑥2 𝑏) (5𝑥7 − 15𝑥5 + 20𝑥4 − 5𝑥3 + 40): 5𝑥3

𝑐) 24𝑥6 − 12𝑥5 + 32𝑥4 − 4𝑥3 : 4𝑥2 𝑑) 15𝑥6 +7

5𝑥5 −

2

3𝑥4 −

7

3𝑥3 + 𝑥2 − 6 : (−2𝑥5)

16.- Efectúa las siguientes divisiones de polinomios (Observa como en estos ejemplos sólo puede

utilizarse el método general):

a) (𝑥4 − 6𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥 − 4): (𝑥2 + 𝑥 + 2)

b) 𝑥4 − 5𝑥3 + 11𝑥2 − 12𝑥 + 6 : (𝑥2 − 𝑥 + 2)

c) ( 6x4 – x

3 + 5x

2 + 3x –14 ) : ( 2x

2 – 3x + 7)

d) (𝑥5 − 7𝑥4 + 𝑥3 − 8): (𝑥2 − 3𝑥 + 1)

e) −2𝑥4 + 7𝑥3 − 14𝑥2 : (2𝑥2 − 𝑥 + 1)

Indica en cada caso cuál es el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. ¿Son exactas las divisiones

anteriores?

17.- Efectúa las siguientes divisiones por el método de Ruffini y por el método general ( Observa

que, a diferencia del ejercicio anterior, en los siguientes ejemplos el divisor es de la forma x -a , donde

a es un número natural ):

18.- Utilizando el valor numérico, calcula el resto de las siguientes divisiones (Observa que el

divisor es de la forma x - a)

a) ( x3 – 2x

2 – 3 ) : ( x – 1 )

b) ( x3 – 1 ) : ( x – 1)

c) ( 2x4 – 2x

3 + 3x

2 + 5x + 10 ) : ( x + 2)

19.- ¿Son exactas las siguientes divisiones? (Observa que el divisor es de la forma x - a).

a) ( x4 – 16 ) : ( x + 2 )

b) (x6 – 64 ) : ( x – 2 )

c) ( x99

+ 1 ) : ( x – 1 )

20.- Utilizando el valor numérico, halla el valor de m para que las siguientes divisiones sean exactas:

a) (3x2 –mx + 10):(x + 5)

b) (3x3 –7x

2 – 9x –m):(x – 3)

c) (5x4 + mx

3 + 2x – 3):(x + 1)

f) (6𝑥4 + 3𝑥3 − 2𝑥): (3𝑥2 + 2)

g) (45𝑥5 + 120): (3𝑥2 + 4)

h) (6𝑥3 + 5𝑥2 − 9𝑥): (3𝑥 − 2)

i) (𝑥5 − 7𝑥4 + 𝑥3 − 8): (𝑥2 − 3𝑥 + 1)

a) ( x3 – 4x

2 + 6 ) : ( x – 4 )

b) ( x3-1 ) : ( x –1 )

c) ( 4x3 –8x

2 –9x + 7 ) : ( x – 3 )

d) ( 3x5 + 2x + 1) : ( x + 1)

e) ( x6 + x

2 –3 ) : ( x +3 )

f) 5𝑥4 + 6𝑥2 − 11𝑥 + 13 : (𝑥 − 2)

g) 6𝑥5 − 3𝑥4 + 2𝑥 : (𝑥 + 1)

h) 5𝑥4 − 5𝑥3 + 7𝑥2 − 2𝑥 + 13 : (𝑥 − 4)

i) 6𝑥4 + 4𝑥3 − 51𝑥2 − 3𝑥 − 9 : (𝑥 + 3)

j) (𝑥4 − 3𝑥2 + 2): (𝑥 − 3)

8

HOJA 7

EXPRESIONES NOTABLES

A B A AB B 2 2 22 CUADRADO DE LA SUMA

A B A AB B 2 2 22 CUADRADO DE LA DIFERENCIA

A B A B A B 2 2 SUMA POR DIFERENCIA

1º-Calcula los siguientes cuadrados:

a x y)( ) 2 b x)( )3 2 2 c ax)( )2 4 2 d x a)( )2 2 e x)( ) 2 2

f a x)( ) 3 2 2 g x y)( ) 2

h x y)( ) 2 2 i x z)( ) 2 2

j x)( )2 22

k x y) 2

l x y y) 32

22

m x x) 32

22

n y x) 3 22 32

ñ x y) 2 2 52

2º-Calcula los siguientes productos por diferencia:

a x y x y) b x x) 1 1 c x x) 2 12

2 12

d x x)3 3

1 1

e a b a b) 3 3 3 3 f x y x y) 12

32

12

32

g a x a x) 3 32 2 h ax ax) 2 4 2 4

3º-Completa los términos que faltan en las siguientes expresiones:

a a b a b) ... 2 422

2 4 b y xz xyz) ... ...2 3 12

2 c x y x xy) ... 3 6

2 2

d x y z x) ... ...3 22

63 e x x) ...2 216 4 f x x x) ...2 2 2

g x) ... ... ...16 92 2 h x x) ... ...25 1 52 2

i x z z x)... ...

4º-Indica cuáles de las siguientes igualdades son verdaderas y cuáles falsas:

a x x x) 3 2 9 12 42 2 b x y x y x y) 2 2

c x z x xz z) 2

2

e x x x) 3 3 9 2 f x x x x xx) 12

2

4

2

g x y y x x y)

5º-Calcula utilizando el triángulo de Tartaglia:

a x) 33

b x) 2 14

c x y) 22

d x) 25

e a b) 7

f x y) 2

g x y) 34

h x) 2 35

i z) 12

5 j a b)

2

9

HOJA 8

FACTORIZACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1. Factoriza los siguientes polinomios de grado uno.

𝑎)4𝑥 − 2 𝑏)3𝑥 + 9 𝑐)5𝑥 − 5 𝑑)7 − 14𝑥 𝑒) − 𝑥 − 1 𝑓) − 6 − 12𝑥 𝑔) − 3 + 6𝑥 𝑕)3𝑥 + 7

2. Factoriza los siguientes polinomios de grado dos empleando expresiones notables.

𝑎)𝑥2 − 4 𝑏)𝑥2 − 9 𝑐)𝑥2 − 16 𝑑)𝑥2 − 25 𝑒)𝑥2 − 49 𝑓)𝑥2 − 100 𝑔)𝑥2 − 1

h)4𝑥2 − 9 𝑖)9𝑥2 − 81 𝑗)25𝑦2 − 49 𝑘)36𝑥2 − 100𝑦2 𝑙)9𝑥2 − 4𝑏2 𝑚) − 4𝑥2 + 25

3. Factoriza los siguiente polinomios de grado dos utilizando las expresiones notables.

a)x2 − 4x + 4 b)x2 + 6x + 9 c)x2 − 10x + 25 d)x2 + 8x + 16 e)x2 − 2x + 1 f)x2 + 12x + 36

g)2x2 + 8x + 8 h) − x2 + 6x − 9 i)−3x2 − 30x − 75 j)−x2 + 8x − 16 k) − x2 − 20x − 100

l)4x2 − 12x + 9 m)9a2 − 30ab + 25b2 n)x4 + 14x2 + 49 ñ)x6 + 6x3 + 9 o)x10 + 10x5 + 25

4. Factoriza los siguientes polinomios de grado dos determinando sus raíces.

𝑎)2𝑥2 − 2𝑥 − 4 𝑏)−3𝑥2 + 6𝑥 + 45 𝑐)−𝑥2 + 3𝑥 − 2 𝑑)𝑥2 − 2𝑥 − 3 𝑒)𝑥2 − 6𝑥 − 7 𝑓)𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑔)𝑥2 − 2𝑥 − 15 𝑕)𝑥2 + 2𝑥 + 2 𝑔)2𝑥2 − 4𝑥 − 6 𝑖)3𝑥2 + 3𝑥 − 6 𝑗)𝑥2 − 4𝑥 + 4 𝑘)𝑥2 + 6𝑥 + 9

5. Factoriza empleando expresiones notables.

𝑎)𝑥4 − 16 𝑏)𝑥4 − 81 𝑐)𝑥4 − 1 𝑑)𝑎4 − 𝑏4 𝑒)81𝑎4 − 1 𝑓)16𝑥4 − 81

6. Factoriza empleando las expresiones notables.

𝑎)𝑥4 + 2𝑥2 + 1 𝑏)𝑥4 − 2𝑥2 + 1 𝑐)𝑥8 + 2𝑥4 + 1 𝑑)𝑥4 − 18𝑥2 + 81 𝑒)𝑥4 − 8𝑥2 + 16

7. Factoriza los siguientes polinomios calculando previamente sus raíces.

a)x3 + 2x2 − x − 2 b)x3 + 2x2 + 2x + 1 c)x4 − 4x2 − x + 4 d)x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + 6 e)x5 − 1

𝑓)x3 − 6x2 + 11x − 6 g)x4 − 5x2 + 4 h)x3 − 1 i)x3 + x2 − 4x − 4 j)x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4

𝑘)x3 + x2 − 9x − 9 l)x4 + x3 − x − 1 m)x3 − 8x2 + 17x − 10 n)x4 − 2x3 + 2x2 − 8x + 8

ñ)x3 + 4x2 + 5x + 2 o)𝑥4 − 2𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 + 4 𝑝)𝑥3 − 3𝑥2 + 4

8. Factoriza los siguientes polinomios sin término independiente.

a)x3 − 5x2 + 4x b)x3 − 4x c)2x3 − 2x d)3x3 − 27x e)2x2 − 2x f)x5 − 49x3 g)2x2 − 6x

h)x4 − 4x2 i)x3 − 5x2 + 6x j)x6 − 5x4 + 4x2 k)x5 − 5x3 + 4x l)x4 − 6x3 + 17x2 − 10x

9. Factoriza los siguientes polinomios.

a)xy + 3x + 2y + 6 b)xy − y + 2x − 2 c)x2y + x2 − y − 1 𝑑)𝑥2𝑦2 − 𝑥2 − 𝑦2 + 1

𝑒)𝑥3 − 𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2 + 𝑦3

10

HOJA 9

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

1. Simplifica las siguientes fracciones:

a)x2 − 4

x − 2 b)

x − 1

x2 − 1 c)

x2 + 2x + 1

x + 1 d)

x − 3

x2 − 6x + 9 e)

x2 − 25

x2 + 10x + 25

𝑓)𝑥3 − 1

𝑥2 − 1 𝑔)

4𝑥2 − 16

4𝑥 − 8 𝑕)

𝑥2 − 4

𝑥2 − 5𝑥 + 6 𝑖)

𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 3𝑥 − 10 𝑗)

𝑥2 + 2𝑥 − 3

2𝑥 − 2

𝑘)𝑥2 + 1

𝑥4 − 1 𝑙)

2𝑥 + 6

5𝑥 + 15 𝑚)

𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥3 − 1 𝑛)

2𝑥2 − 4𝑥 + 2

𝑥2 − 2𝑥 + 1 𝑚)

𝑥2 + 2𝑥

𝑥2 + 4𝑥 + 4

𝑛)𝑎4 − 𝑏4

5𝑎2 + 5𝑏2 ñ)

𝑎 + 𝑎𝑥

𝑏 + 𝑏𝑥 𝑜)

𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2

𝑚𝑥 + 𝑚𝑎 𝑝)

𝑥𝑦 − 2𝑥 − 3𝑦 + 6

𝑥𝑦 − 2𝑥 𝑞)

2𝑎𝑏 − 2𝑏2

𝑎 − 𝑏

2. Opera y simplifica

a)x − 2

6x + 6−

x + 2

2x + 2+

3 − x

4x + 4 b)

3

2x − 4+

1

x + 2−

x + 10

2x2 − 8 c)

1

x + 2−

1

x − 2−

4

x2 − 4

Sol: −7

12 Sol:

2

𝑥+2 Sol*:

−8

𝑥−2 𝑥+2

d)3a

3ab − 2b2+

3a + 2b

12ab−

4b

9a2 − 6ab e)

x + 1

x2 − 1−

x2

x + 1 f)

a

ab − b2−

b

a2 − ab

Sol: 5(3𝑎+2𝑏)

12𝑎𝑏 Sol:

−(𝑥2+𝑥+1)

𝑥+1 Sol:

𝑎+𝑏

𝑎𝑏

g)3(x2 − y2)

x2 + 2xy + y2−

x − y

x + y h)

−6

x2 − 9−

1

x + 3 i)

3

x − 2+

1

x + 2 j)

x

x2 − y2−

y

y2 − x2

Sol: 2(𝑥−𝑦)

𝑥+𝑦 Sol:

−1

𝑥−3 Sol*:

4(𝑥+1)

𝑥−2 (𝑥+2) Sol:

1

𝑥+𝑦

k)1 + x

1 − x+

1 − x

1 + x−

x2

1 − x2+ 1 l)

x + 1

x − 1+

3

x + 1−

x − 2

x2 − 1 m)

−1

1 + x+

2x

x2 − 1−

1

x − 1

Sol*: 3

1−𝑥 1+𝑥 Sol*:

𝑥(𝑥+4)

𝑥−1 𝑥+1 Sol: 0

n)x + 2

2x + 1−

1

4x2 − 1−

x + 1

2x − 1 ñ)

−1

x + 1+

x + 2

x2 − x−

2

x2 − 1 o)

2x

x − 1−

2x + 1

x + 1−

5 − x

x2 − 1

Sol*: −4

2𝑥−1 2𝑥+1 Sol:

2

𝑥(𝑥−1) Sol:

4

𝑥+1

p)x + 2

x2 − 1+

7

1 − x2−

3

x − 1 2 q)

2x2 − 12

x2 − 9−

x + 1

x − 3−

x + 2

x + 3 r)

1

x − 2−

x + 1

x2 − 4+

2

x2 − 4x + 4

Sol: Sol: −3

𝑥−3 Sol:

3𝑥

𝑥−2 2 𝑥+2

𝑠)2𝑥

𝑥2 + 𝑥 − 2−

5

𝑥 + 2−

𝑥 − 4

3𝑥 + 6 𝑡)

𝑎 + 𝑏

𝑎 − 𝑏+

𝑎 − 𝑏

𝑎 − 𝑏 2−

𝑎

𝑎2 − 𝑏2 𝑢)

𝑥2

𝑥2 − 2𝑥 + 1+

2𝑥 + 3

𝑥 − 1− 3

Sol: Sol: Sol:

11

HOJA 10

rx

x x x x x x x)

1

9

1

9 6

1

6 93 2 2 3

zx

x

x

x

x

x x)

2 1 3 22 aa

x x

x x x

x

x

x

x)

9 13 13

12

3

4

4

3

2

3 2

acx y

x x y xy y

y

x xy y

x y

x y)

2 3

3 2 2 3

2

2 2

2 2

2 2

3 2

21

3º-Opera y simplifica:

ay x

x xy

x

x y)

2 2

2

3

b

x xy y

x y

x y

x y)

2

2 2

2 4 4

2 2

2

c

x y z

x y z

x y z

x y z)

2 2

2 2 d

x y

x y

x xy y

x xy y) :

2 2

2 2

2

2

ex y

x xy y

x y

x x y y)

16 81

4 12 9

4 9

16 72 81

4 4

2 2

2 2

4 2 2 4

f

ax ay

bx by

x xy y

x y

b

ay a)

2 2

2 2

2

ga

a a

a a

a a) :

2

2

2

2

1

3 2

2 1

2

h

x xy y

x xy y

x x y xy y

x y) :

2 2

2 2

3 2 2 3

2 2

2

2

3 3

4º-Opera y simplifica:

a

x

y

x

y

y

xy

x

)

1

1

1

1

b a a

aa

aa

a a

)

12 1

32

1

12 1

2

2

cx y

x

y

y

x

y x) :

1 1

2

1 12 2

d

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y x) :

2 2

2 2

2 2

2 2

1 1 e a

a

aa

a

a a

a a

) :

11

1

1

11

1

11 1

3

3

2

2

f

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

y

x

y

x

x

y

x y xy

x y x y

) :

:

1 1

1 1

2

3

3

2

3

2

2

3

5 82

2

2

2

2 2

2 2

12

HOJA

11

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1) Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado (repaso):

a)3x = 21 b)3x − 12 = 0 c)2x + 3 = 11 d)3x = 2x + 5 e) − 2x = −16 f) − 2x + 1 = −3 g)3 = −x

h) − x − 1 = −3x + 2 i)3x + 100 = 5 200 − 3x j)5 20 − x = 4 2x − 1 𝑘)7 𝑥 − 18 = 3(𝑥 − 14)

l)4 x − 3 − 7 x − 4 = 6 − x m)2 x + 1 − 3 x − 2 = x + 6 n) − 2x − 6 = 7 4x + 14 ñ) − −𝑥 − 1 = 0

𝑜) − 2𝑥 + 1 − 6𝑥 = −2 𝑥 − 1 𝑝)18𝑥 + 40 = 18 𝑥 + 2 q)10x + 3 = 3 x + 1 𝑟) − 𝑥 = −2(𝑥 + 1)

2) Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)2x

15−

3x − 5

20=

x

5− 3 b)

3x − 11

20−

5x + 1

14=

x − 7

10−

5x − 6

21 c)

x + 1

8−

x + 1

3+

x + 3

5= 0

Sol: 15 Sol: -3 Sol: 47

d)2x − 3

2−

4x − 1

2=

3x − 1

4+

6x − 2

5 e)

x + 4

5−

x + 3

4= 1 −

x + 1

2 f)

3 − x

6−

x

2=

1 − x

5+

2 − x

3

Sol: -7/59 Sol:1 Sol: -11/4

g)x − 3

2−

x − 8

12=

5 − x

4−

x

3 h)

3 − x − 1 (x − 2)

x+ x = 1 i)x +

3x − 1

4−

x + 1

5+ 1 −

x − 2

10= 2(x + 1)

Sol: 25/12 Sol: -1/2 Sol: -25/11

3) Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones:

a)3 − x

x + 2−

x − 1

x − 2= −2 b)

3x

3x + 3+

2x − 1

2x + 2= −2 c)

5 − (x + 2)

x=

3

2 d)

x − 2

8−

2(2x + 6)

3+ x = −4

Sol: 3 Sol: No tiene solución Sol: -2/9 Sol: -6/5

e)x − 1

x + 1+

1

4= 1 f)

3x − 1

x + 2− 1 =

x

2x + 4 g)

x − 3

x − 1+

2x − 1

x − 3= 3 h)

3x

2x + x2−

1

x+

4

2 + x= 0

Sol: 7 Sol: 2 Sol: 1/3 Sol: 1/3

i)x

2−

2

x + 1+

3

x − 1=

x2 − 1

2x2 − 2 j)

x − 1 2 − x − 2 2

x2 − 1+

x + 1

x − 1=

x − 1

x + 1 k)

3x − 7

4x + 2=

3x − 14

4x − 13

Sol: -11 Sol: 1/2 Sol: 7

l)6 − 3𝑥

3+

1

4 𝑥 − 1 𝑥 + 2 =

𝑥2

4 n)

1

𝑥 + 3−

2

𝑥=

2𝑥 − 5

𝑥2 + 3𝑥 ñ)

3

𝑥 + 4−

1

1 − 𝑥+

7 + 5𝑥

4 − 3𝑥 − 𝑥2= 0

Sol: 2 Sol: -1/3 Sol: -6

ECUACIONES DE 2º GRADO IRREDUCIBLES

4) Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado por el método más conveniente:

a) x − 1 x − 2 = 0 b)x2 − x = 0 c)x2 − 9 = 0 d)x2 − 7x − 18 = 0 e)x2 − 2x + 1 = 0

f) x − 5 x + 11 = 0 g)x2 − 6x = 0 h)x2 − 1 = 0 i)3x2 + 15x + 18 = 0 j)x2 + 10x + 25 = 0

k)x 2x + 6 = 0 l)x2 + 11x = 0 m)x2 + 49 = 0 n)7x2 + 21x − 28 = 0 ñ)x2 − 4x + 4 = 0

o) 2x − 5 7x − 3 = 0 p)x2 + x = 0 q)x2 − 6 = 0 r)x2 − 4x + 7 = 0 s)x2 + 6x + 9 = 0

t) x −3

4 8x + 42 = 0 u)x2 − 9x = 0 v)x2 + 4 = 0 w)x2 + x + 1 = 0 x)x2 + 2x + 1 = 0

13

HOJA Nº 12

ECUACIONES DE 2º GRADO REDUCI BLES

5) Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones:

a)3 1 − x x + 1 = 3 𝑏)3 − 𝑥

5=

2

𝑥−

4

5 c)

5

4x2−

3

6x2=

1

3 𝑑)

𝑥 − 3

𝑥+

𝑥 + 3

𝑥2=

2

3 e)2 +

12

x − 3= x + 3

Sol: 0 Sol: 5 y 2 Sol: -3/2 y 3/2 Sol: 3 Sol: -3 y 5

f)3x2 − 33

5−

2x2 − 120

7= 36 g)

x2 − 1

2−

x − 5

6=

2

3 x + 1 h )

x

x + 1+

x

x − 2= 1 𝑖)

4𝑥

9=

4𝑥 + 7

19−

𝑥 − 5

𝑥 + 3

Sol: -9 y 9 Sol: 2 y -1/3 Sol: No tiene solución Sol: 3 y -87/10

j)x

x + 1+

x + 1

x=

13

6 k)

2x

x + 2+

x + 2

2x= 2 l)g)

x − 1

x+ x = 1 m)

5x + 4

5x − 4+

5x − 4

5x + 4=

13

6

Sol: -3 y 2 Sol: 2 Sol: -1 y 1 Sol: 4 y -4

n)2 2x + 1

2x − 1−

3 2x − 1

2x + 1+ 5 = 0 ñ)

x − 3

x + 3−

x + 3

x − 3=

x − 2

x + 3 𝑜)

2𝑥 − 1

𝑥 + 1−

𝑥 − 7

𝑥 − 1= 4 −

3𝑥 − 1

𝑥 + 2

Sol: -3/2 y 1/4 Sol: -6 y -1 Sol: -5/4 y 5

p)x + 1

x + 2+

x − 1

x − 2=

2x + 1

x + 1 𝑞)

𝑥 + 1

𝑥 − 2+

2𝑥

𝑥 + 2+ 2 = 0 𝑟)

𝑥 + 1

𝑥 − 1−

𝑥 + 12

𝑥 + 1− 1 +

𝑥 + 2

𝑥 − 2= 0 𝑠)

3𝑥 − 4

5𝑥 − 16=

4𝑥 + 1

6𝑥 − 11

Sol: 0 y 4 Sol: -1 y 6/5 Sol: 6/5 y 5 Sol: -5 y 6

ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR REDUCIBLES A ECUACIONES DE 2º GRADO

6) Resuelve las siguientes ecuaciones BICUADRADAS:

a)x4 − 10x2 + 9 = 0 b)4x4 − 17x2 + 4 = 0 c)x4 − 25x2 + 144 = 0 d)x4 − 26x2 + 25 = 0

Sol: -3, -1, 1 y 3 Sol: -2, -1/2, ½ y 2 Sol: -4, -3, 3 y 4 Sol: -5, -1, 1 y 5

e)4𝑥4 − 37𝑥2 + 9 = 0 𝑓)𝑥4 − 8x2 − 9 = 0 𝑔)𝑥4 − 29𝑥2 + 100 = 0 𝑕)𝑥4 − 24𝑥2 = 25 𝑖)𝑥4 − 𝑥2 = 600

Sol: -3, -1/2, 1/2 y 3 Sol:-3 y 3 Sol: -5, -2, 2 y 5 Sol: -5 y 5 Sol: -5 y 5

j)2x4 + 9x2 = 68 k)x4 − 16 = 0 l)9x4 + 16 = 40x2 m)34 − x2 =225

x2 n)x2 =

12

x2 + 1 ñ)x4 −

5

4x2 +

1

4= 0

Sol: -2 y 2 Sol: -4 y 4 Sol: -2, -2/3, 2/3 y 2 Sol: -5, -3, 3 y 5 Sol: − 3 𝑦 3 Sol: -1, -1/2, 1/2 y 1

7) Resuelve las siguientes ecuaciones transformándolas previamente a ecuaciones de segundo grado:

a)x6 + 7x3 + 6 = 0 b) x8 − 97x2 + 1296 = 0 c)x6 − 19x3 − 216 = 0 d)x10 + 31x5 − 32 = 0

Sol:-1 y − 63

Sol: -3, -2, 2 y 3 Sol: -2 y 3 Sol: -2 y 1

ECUACIONES IRRACIONALES


a) x + 4 = 7 b)x − 25 − x2 = 1 c)x − 169 − x2 = 17 d)x + 5x + 10 = 8

Sol: 45 Sol: 4 Sol: No tiene solución Sol: 3

e) 3x − 2 − 4 = 0 f) 7 − 3x − x = 7 g) 2x + 1 = x − 1 h)3 ∙ 6x + 1 − 5 = 2x

Sol:6 Sol: No tiene solución Sol: 4 Sol: 8


a) 2x − 1 + x + 4 = 6 b) x + 5 + 2x + 8 = 7 c) 7 + 2x − 13 + x = 1

Sol: 5 Sol: 7 Sol: 1 y -3

d) x + 4 = 3 − x − 1 e)2 ∙ x + 4 = 5x + 4 f) x + 9 + x − 3 = 6

Sol: 13/9 Sol: 12 Sol:7

14

HOJA 13

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1º-Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones mediante los métodos de sustitución, igualación y

reducción. Comprueba los resultados obtenidos:

ax y

x yb

x y

x yc

x y

x yd

x y

x ye

x y

x y

fx y

x yg

x y

x yh

y x

y x yi

x y

) ) ) ) )

) ) ) )

2

6

2 3 4

2 3 4

2 5

4 2 14

2 3 25

12 3 75

2 5

2 7

9

20 3 4

3 2 12

5 38

3 8

3 5 3

3 10 60

9 1

3 75

5 41 336

x

y x xj

x y

x y x

)

Sol: a) (4,-2) b) (2,0) c)(3,1) d) (10,15)e)(3,1) f)(1,8) g)(8,6) h)(13, 31) i)(3,29) j) (39,12 )

2º-Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones mediante los tres métodos que conoces. Comprueba

los resultados obtenidos:

a

x y

x yb

x y

x yc

x yx y d

x y

x y

e

x y

x y) ) ) ) )5

2

37

10

5

66

2

3

3

45

5

3 23

12

5

3

45 2 4

3

2 12

3 20

6 42

Sol: a) (30,0), b)(3,4), c)(5,4), d) (4,4), e)(6,4)

3º-Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones empleando el método más conveniente .Comprueba

los resultados obtenidos:

a

x y z

x y z

x y z

b

x y z

x y z

x y z

c

x y z

x y z

x y z

d

x y z

x y z

x y z

e

x y z

x y z

x y

) ) ) ) )

11

2 5

3 2 24

2 15

5 5 16

4 20

2

2 3 5 11

5 6 29

7

1

3

2 3 16

3 2 10

2 3 z

f

x y z

x y z

x y z

g

x y z

x y z

x y z

h

x y z

y z

x y

i

x y z

x z

y z

j

x y

y z

x z

4

2 9

2 4 4

2 6 1

3 3

6 2 8

18 5 2 10

3

2 3 15

3 12

6

4

5

12

8

6

) ) ) ) )

Sol: a) (4,5,2) b) (5,4,-1) c)(1,-2,3) d) (4,2,5)e)(1,5,9) f)(4,6,1/2) g)(1/3,4,2) h)(3,3 ,3 ) i)(1,2,3) j) (5, 7,1 )

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

4º-Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método más conveniente. Comprueba los

resultados obtenidos:

ax y

x yb

x y

xyc

x y

x y xyd

x y

x y

ex y

xyf

x y

xyg

x xy

y xyh

x y x y

x y x y

) ) ) )

) ) ) )

8

2 8

9

90

8

52

100

7 50

55

24

10

3

10

15

62

50

2

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2

2 2

2 2

Sol: a) (8,8) y (2,-4) b)(-6,-15) y (15,6) c)(2,6) y (6,2) d)(-8,-6) y (-6,-8)) e)(-8,-3) y (8,3) f)(1,3), (-3,-1), )(3,1) y (-1,-3)g)

(2,3) y (-2,-3)h)(-8,2), (-8,-3), (7,2) y (7,-3)

15

HOJA 14

Escribir las siguientes ecuaciones utilizando las incógnitas necesarias:

1-La suma de dos números es 10.

2-La diferencia de dos números es 8.

3-La suma de tres números es 6.

4-La diferencia de dos números es ½.

5-El producto de dos números es 5.

6-El cociente de dos números es 5.

7-El cociente de dos números es 3/4.

8-La razón de dos números es 24.

9-Un número excede a otro en 5 unidades.

10-Un número es el triple de otro.

11-El doble de la suma de dos número es 20.

12-El triple de la suma de dos número es 25.

13-La diferencia de los cuadrados de dos números es 9.

14-La suma de los cuadrados de dos números es 45.

15-El cuadrado de la suma de dos números es 100.

16-El cuadrado de la diferencia de dos números es 75.

17-Un número es 7 unidades más pequeño que otro.

18-La razón entre dos números es 5/4.

19-Un número es 3/4 de otro.

20-La suma de un número y el doble de otro es 18.

21-La diferencia de un número y los 3/4 de otro es 9/2.

22-La suma del doble de un número y el triple de otro es 200.

23-La suma de cuadrado de un número y el cuádruplo de otro es 90.

24-La suma de los 3/4 de un número y los 2/3 de otro vale 10.

25-La diferencia entre los 5/4 de un número y el cuadrado de otro es 24.

16

HOJA Nº 15

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1. Halla dos números cuya suma es 14 y su diferencia 8. Sol: 3 y 11

2. Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Tiene en total 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas

habitaciones de cada tipo tiene? Sol: 13 simples y 37 dobles

3. Un librero vende 84 libros a dos precios distintos, unos a 45 € y otros a 36 €, obteniendo de la venta

3105 €. ¿Cuántos libros vendió de cada clase? Sol: 9 libros caros y 75 libros baratos

4. En un corral hay conejos y gallinas, que hacen un total de 61 cabezas y 196 patas. Halla el número de

conejos y gallinas. Sol: 37 conejos y 24 gallinas

5. Un grupo de amigos están jugando a los chinos con monedas de 5 y 20 céntimos. Al abrir las manos

cuentan 8 monedas con un valor de 1,15 €. ¿Cuántas monedas hay de cada clase? Sol: 3 monedas de

5 céntimos y 5 monedas de 20 céntimos.

6. La diferencia de dos números es 1/6. El triplo del mayor menos el duplo del menor es 1. Halla dichos

números. Sol: 2/3 y 1/2

7. Dos números suman 51. Si al primero le dividimos entre 3 y al segundo entre 6, los cocientes se

diferencian en 1. Halla el valor de dichos números. Sol: 19 y 32

8. El cociente de una división es 3 y el resto 5. Si el divisor disminuye en 2 unidades, el cociente

aumenta en una unidad y el resto nuevo es 1. Halla el dividendo y el divisor. Sol: 41 y 12

9. El dividendo de una división es 1081, el cociente y el resto iguales y el divisor doble del cociente.

Halla el divisor. Sol:

10. Divide 473 en dos partes de modo que al dividir la mayor por la menor se obtenga 7 de cociente y 9

de resto. Determina dichas partes. Sol: 58 y 415

11. La razón de dos números es 3/4. Si se suman 10 unidades a cada uno de ellos la razón de los nuevos

números es 11/14. Halla los números. Sol: 45 Y 60

12. La edades de tres niños sumadas dos a dos dan 6, 8 y 12, respectivamente. Halla las edades. Sol: 1, 5

y 7 años.

13. La suma de las edades de tres personas es 100 años. Halla la edad de cada una sabiendo que la

mediana tiene 10 años más que la menor y que la mayor tiene tantos años como las otras dos juntas.

Sol: 20, 30 y 50 años.

14. Una madre y sus dos hijos tienen en conjunto 60 años. Halla la edad de cada uno sabiendo que el hijo

mayor tiene 3 veces la edad del menor, y que la madre tiene el doble de la suma de las edades de los

hijos. Sol: 40, 15 y 5 años.

15. En una granja hay cerdos, toros y caballos, en total 54 animales. Sabiendo que el número de toros

representa los 3/4 del número de cerdos, y el de caballos los 2/3 del de toros, ¿Cuántos animales de

cada clase hay en la granja? Sol: 24 cerdos, 18 toros y 12 caballos

17

HOJA Nº 16

16. La edad de una persona es doble de la de otra. Hace 7 años la suma de las edades era igual a la edad

actual de primera. Halla las edades de las personas. Sol: 14 y 28 años

17. Halla las edades de dos personas, sabiendo que hace 10 años la edad de la primera era 4 veces la edad

de la segunda, y dentro de 20 años la edad de la primera será solo el doble. Sol: 70 y 25 años

18. Hace 18 años la edad de una persona era el doble de la otra, dentro de 9 años la edad de la primera

será solamente los 5/4 de la segunda. Halla las edades. Sol: 36 y 27 años

19. Las 3/4 partes de la edad de una persona A exceden en 15 años a la de B. Hace 4 años la edad de A

era el doble de la de B. Halla la edad de cada persona. Sol: 68 y 36 años

20. Un padre dice a su hijo: Hoy tu edad es 1/5 de la mía, y hace 7 años no era más que 1/9. Halla las

edades. Sol: 14 y 70 años

21. Hace 1 año la edad de un padre era 3 veces mayor que la del hijo, pero dentro de 13 años no tendrá

más que el doble. Halla las edades del padre y del hijo. Sol: 43 y 15 años

22. Hace 5 años la edad de una persona era el triple de la de otra, y dentro de 5 años será el duplo. Halla

las edades de cada una de las personas. Sol: 15 y 35 años

23. Halla las edades de un abuelo, un padre y un hijo, sabiendo que en la actualidad la edad del abuelo es

doble de la edad del padre, la de este doble de la del hijo, y que hace 1 año sus edades sumaban 137

años. Sol: 80, 40 y 20 años

24. Halla dos números cuya suma es 14 y la de sus cuadrados 100. Sol: 6 y 8

25. Halla dos números cuya suma es 18 y la de sus inversos 9/40. Sol: 8 y 10

26. Halla dos números cuya suma es 78 y cuyo producto 1296. Sol: 24 y 54

27. Para vallar una finca rectangular de 750 m2se han utilizado 110m de cerca. Calcula las dimensiones

del campo. Sol: 25 x 30 cm

28. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 30º mayor que el otro. ¿Cuánto mide cada

ángulo del triángulo? Sol: 30º y 60º (ángulo agudo es un ángulo menor de 90º)

29. El perímetro de un triángulo isósceles es 16 dm y la altura 4. Halla los lados de dicho triangulo. Sol: 5

y 6 dm.

30. El área de un triangulo rectángulo es 120 m2 y la hipotenusa mide 26 m ¿Cuáles son las longitudes de

los catetos? Sol: 24 y 10 m

31. La suma de los radios de dos círculos es 70 cm y la suma de las áreas de éstos es igual al área de un

tercer círculo de 50 cm de radio. ¿Cuál es el radio de los dos primeros círculos? Sol: 30 y 40 cm

32. El perímetro de un triangulo rectángulo mide 30 m y el área 30m2. Calcula los catetos. Sol:

18

33. Una persona compra un equipo de música y un ordenador por 2500 € y los vende, después de algún

tiempo, por 2217,5 €. Con el equipo de música perdió el 10 % y con el ordenador el 15 %. ¿Cuánto le

costó cada objeto. Sol: 650 € y 1850 €.

34. La nota media de los aprobados en un examen de matemáticas fue 6,5 y la de los suspensos 3,2. En la

clase son 30 alumnos y alumnas, y la nota media global fue 5,29. Calcula cuántos aprobaron y

cuántos suspendieron. Sol: 19 y 11 alumnos/as.

35. La clasificación de una oposición se obtiene mediando dos exámenes: uno escrito, que es el 65 % de

la nota final, y otro oral, que es el 35 %. Si una persona tuvo 12 puntos entre los dos exámenes y

obtuvo 5,7 de nota final, ¿qué nota tuvo en cada uno de ellos? Sol: 5 y 7 puntos.

36. Halla una fracción de la que sabemos que es igual a 1 si le añadimos 7 al numerador y 2 al

denominador. También sabemos que el producto de ambos términos es 1254. Sol: 33/38

19

FUNCIONES LINEALES

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Supongamos que vamos al mercado a comprar manzanas, en una

frutería las encontramos a buen precio, 1,80 € el kilo. Si compramos 2

kg debemos pagar 3,60 €, si compramos 3kg nos costará 5,40€...es

decir, debemos multiplicar el número de kilos por lo que cuesta un kilo.

Se dice que el precio es directamente proporcional al número de kilos.

Si realizamos una tabla en la que se indica el número de kilos y el

precio correspondiente y representamos gráficamente estos datos se

obtiene una serie de puntos alineados, es decir al unirlos obtenemos una

recta que pasa por el origen.

nº kilos 0 1 2 3 4 5

Precio (€) 0 1,80 3,60 5,40 7,20 9

Si llamamos x al peso en kilos e y al precio en pesetas,

la relación y= 1,80x es la ecuación asociada a la proporcionalidad anterior.

Las funciones cuyas gráficas son rectas se llaman funciones lineales o de primer grado.

FUNCIONES DE ECUACIÓN: y=mx + n

1 2 3 4 5

2

4

6

8

10

nº kg

Precio (€)

(0,0)

(1,1.80)

(2,3.60)

(3,5.40)

(4,7.20)

(5,9)

20

En estas funciones:

x es la variable independiente.

y es la variable dependiente.

m es la pendiente, e indica la inclinación de la recta. Si m es positivo la recta esta inclinada hacia

la derecha, si es negativo hacia la izquierda

n es la ordenada en el origen e indica el punto de corte de la recta con el eje y.

FUNCIONES DE ECUACIÓN y= mx

Cuando la ordenada en el origen es cero. La recta pasa siempre por el origen de coordenadas

21

RECTAS PARALELAS A LOS EJES DE COORDENADAS Las funciones de ecuación y = n, donde n es cualquier numero, son rectas paralelas al eje x.

Las funciones de ecuación x = k, donde k es cualquier número, son rectas paralelas al eje y.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS:

RECTAS PARALELAS Y RECTAS SECANTES

Dos rectas son paralelas si tienen la misma inclinación, es decir si tienen la misma pendiente, estas

tendrán, además distinta ordenada en el origen.

Sean dos rectas, cuyas ecuaciones son:

y = m x + n

y = m´x +n´

22

Estas rectas son paralelas si: m = m´ y n = n

´

Representemos en el mismo diagrama las siguientes rectas:

y = 3x-1

y = 3x+2

El coeficiente de ambas rectas es el mismo, es decir ambas

rectas tienen la misma pendiente o inclinación. Si

representamos gráficamente ambas funciones se obtiene dos

rectas paralelas que cortan al eje y en puntos diferentes

x y = 3x -1

0 -1

1 2

Consideremos ahora las rectas:

𝑦 = −2𝑥 + 3

Al igual que antes, representemos ambas rectas en el mismo

sistema de ejes coordenados. Para ello elaboramos las

correspondientes tablas de valores.

x y = -2x +3

0 -1

1 2

Ambas rectas se cortan en el punto (2,-1). Se dice en estos

casos que las rectas son SECANTES.

Si ahora resolvemos el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de ambas rectas:

Una vez ordenado, la solución de este sistema de ecuaciones da: x = 2 e y = -1, o de otra forma: (2,-1).

Luego resolver un sistema de ecuaciones de primer grado, equivale a calcular el punto de corte de las

rectas cuyas ecuaciones forman el sistema.

Así un sistema de ecuaciones de primer grado puede resolverse analíticamente o gráficamente.

Analíticamente significa resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos estudiados

(sustitución, igualación o reducción). Gráficamente significa que hay que representar ambas rectas en el

mismo sistema de ejes coordenados, el punto de corte de ambas rectas es la solución del sistema.

x y = 3x +2

0 2

1 5

x

0 2

1 5

23

HOJA 17

FUNCIONES LINEALES: LA RECTA

1º.-Representa las siguientes funciones lineales:

a y x b y x c y x d y x e y x f y x g y x

h y x i y x k y x l y x m yx

n yx

ñ y x

) ) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) ) )

3 2 3 7 1 2 1 2 1 2 1 4 6

1

31

1

42

2

33

1

5

2

5

2

3

1

3 53

2

74

Indica el valor de la pendiente y la ordenada en el origen de cada una de las rectas anteriores.

2.-Representa las siguientes funciones lineales:

a y x b y x c y x d y x e y x f y x g y x h y x i y x j y x

k y l y m y n y ñ y x p x q x r x s x

) ) ) ) ) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) ) ) ) ) )

2 5 3 3 5 5 7 4

2 1 0 3 5 0 7 3 0 1 2

Indica el valor de la pendiente y la ordenada en el origen de cada una de las rectas anteriores.

3º.-Halla las ecuaciones de las siguientes rectas:

a) Tiene pendiente 3 y ordenada en el origen -7.

b) Tiene pendiente 5 y pasa por el punto (-1,-2).

c) Pasa por los puntos A (2,3) y B (-1,6).

d) Pasa por el punto A (2,-1) y la ordenada en el origen 1.

e) Tiene pendiente -1 y ordenada en el origen 4.

f) Tiene pendiente 3 y pasa por el punto (4,-5)

g) Pasa por los puntos C (-4,7) y D(3,9).

h) Pasa por el punto P (-3,4) y es paralela a la recta de ecuación y= -2x -5.

i) Tiene pendiente -1/3 y ordenada en el origen 4.

j) Tiene pendiente 2,5 y pasa por el punto (4,-6).

k) Pasa por los puntos E (9.-2) y F (4,-1).

l) Pasa por el punto C (-3,3) y es paralela a la recta de ecuación y=- 2x/3 +4

m) Su ordenada en el origen vale 4, y es paralela a la recta de ecuación y= -5x +2.

Escribe cada una de las ecuaciones anteriores en forma explícita y en forma general.

4º.-Halla la pendiente de la recta que:

a) Pasa por el punto (1,7) y por el origen.

b) Pasa por los puntos E (9,-2) y F(3,-1).

c) Pasa por el punto C (-4,3) y es paralela a la recta de ecuación y= -2x/3 + 4

5º.-Calcula el punto de corte de los siguientes pares de recta analítica y gráficamente:

a) y= 2 - x b) 2x + 3y= 4 c) x + y - 9= 0 d) 3x - 2y= 12

y= x - 6 2x - 3y= 4 20x - 3y + 4= 0 x + 5y= 38

6º.-Con solo ver la gráfica de la recta, encuentra su ecuación. Fíjate en la pendiente y en la ordenada en

el origen.

24

ÁREAS Y VOLÚMENES

Perímetro de una figura: Es la suma de las longitudes de todos sus lados.

Teorema de Pitágoras: En todo triangulo rectángulo se verifica que la hipotenusa al cuadrado es igual a

la suma de los cuadrados de los catetos.

Áreas de figuras fundamentales

Longitud de la circunferencia y área del círculo:

Volumen de un cuerpo fundamental: El ortoedro.

El volumen del ortoedro es largo (a), por ancho (b) y por alto (c), o bien área de la base por la altura.

25

LONGITUDES Y ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES

Longitud del arco del sector circular:

𝐿𝑎𝑟𝑐𝑜 =2𝜋𝑟 ∙ 𝑛0

3600

Área del sector circular:

𝐴𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 =2𝜋𝑟 ∙ 𝑛0

3600

Área de la corona circular:

Acorona = π(R2 − r2)

Área del trapecio circular:

𝐴𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑐𝑖𝑟 =π(R2 − r2) ∙ 𝑛0

3600

ÁREA DE POLIEDROS, CILINDROS Y CONOS

26

VOLÚMENES DE CUERPOS SIMPLES

Volúmenes de prismas y cilindros:

El volumen de prismas y cilindros se obtiene multiplicando la base por la altura:

𝑉𝑝 𝑦 𝑐 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

Volúmenes de pirámides y conos:

Vpyc =Abase ∙ altura

3

Volumen y área de la esfera:

𝐴𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =4

3∙ 𝜋 ∙ 𝑟3

27

HOJA 18

EJERCICIOS PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES

1) Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos valen 3 y 4 cm, y calcula:

a) La hipotenusa.

b) El perímetro.

c) El área.

2) Dibuja un hexágono de 6 m de lado y 4m de apotema. Calcula:

a) El perímetro.

b) El área.

c) el radio.

3) Dibuja un pentágono de 4 m de apotema y 5 m de radio. Calcula:

a) El lado.

b) El perímetro.

c) El área.

4) Dibuja un rombo cuyas diagonales miden 16 dm y 12 dm. Calcula:

a) El lado del rombo.

b) El área.

c) El perímetro.

5) Calcula el perímetro de una circunferencia de 3 m de radio.

6) Calcula el radio de una circunferencia sabiendo que su perímetro vale 8π m.

7) Calcula el área de un círculo de 7 dm de radio.

8) Calcula el radio de un círculo de área 6π m2.

9) Calcula el área de una esfera de 2 cm de radio.

10) ¿Qué radio tiene una esfera cuya área vale 16π dm2?

11) Calcula la altura de un triángulo isósceles cuyo lado igual vale 8 cm y el lado desigual 6 cm.

¿Cuál es su perímetro?

12) Calcula el área de un triángulo equilátero de 2 dm de lado.

13) Calcula el área de un cubo de 2 cm de arista.

14) Calcula la arista de un cubo cuya área vale 64 cm2

15) ¿Cuánto vale el área de un ortoedro de dimensiones 2 x 4 x 8 dm?

16) Calcula el área de un cilindro de 3 cm de radio y 9 cm de altura.

17) Calcula el área de un cilindro de 1 dm de radio y 10 dm de altura.

18) Calcula el área de un cono de 10 cm de generatriz y 1 cm de radio.

19) Calcula el área de un cono de 4 m de altura y 3 m de radio.

20) Calcula el área de un cono de 16 cm de altura y 12 cm de radio.

21) Calcula el área de un cono de 5 cm de generatriz y 2 cm de radio.

22) Calcula el área de una pirámide de base cuadrada de 8 cm de lado, y 3 cm de altura.

23) Calcula el área de una pirámide de base cuadrada de 16 cm de lado y 6 cm de altura.

28

24) Calcula el área de una pirámide de altura 8 dm y base hexagonal de 6 dm de apotema y 8 dm

de lado.

25) Calcula el área de un prisma de 10 cm de altura y base pentagonal de 5 cm de lado y 3 cm de

apotema.

26) Calcula el área de un prisma de 6 dm de altura y base hexagonal de 4dm de lado y 2 dm de

apotema.

27) Calcula el volumen de un cubo de 5 cm de arista.

28) Calcula la arista de un cubo de 8 cm3 de volumen.

29) Calcula el volumen de un ortoedro de dimensiones 2 x 4x 8 dm

30) Calcula el volumen de un cilindro de 7 cm de radio y 14 cm de altura.

31) Calcula la altura de un cilindro de 20 π dm3 de volumen y 2 dm de radio.

32) Calcula el radio de un cilindro de 63 π cm3 de volumen y 7 cm de altura.

33) Calcula el volumen de un cono de 3 cm de radio y 4 cm de altura.

34) Calcula el volumen de un cono de 8 cm de radio y 10 cm de generatriz.

35) Calcula el radio de un cono de volumen 30 π m3 y 10 m de altura.

36) Calcula la altura de un cono de volumen 144 π cm3 y 6 cm de radio.

37) Calcula el volumen de una pirámide de base cuadrada de 2 m de lado y 5 m de altura.

38) Calcula el volumen de una pirámide de base pentagonal de 8 cm de lado y 3cm de apotema,

y una altura de 10 cm.

39) Calcula el volumen de un prisma de 15 cm de altura y de base pentagonal de 8 cm de lado y

3 cm de apotema.

40) Calcula el volumen de un prisma de base hexagonal de 6 cm de lado y 4 cm de apotema, su

altura es de 16 cm.

41) Calcula el volumen de una esfera de 3 cm de radio.

42) ¿Cuánto vale el radio de una esfera si su volumen es de 32π/3 dn3?

PROBLEMAS

43) Se tiene un recipiente cúbico de 3 m de arista lleno de agua, y de desea trasvasar a un recipiente

esférico de 3 m de radio ¿Puede contener el recipiente esférico toda el agua del recipiente

cúbico?

44) Se tiene un recipiente cúbico de 5 dm de arista y una esfera de 5 dm de radio, ambas superficies

se desean pintar de color naranja tropical ¿En qué recipiente se necesitará más pintura? Si el dm2

cuesta 0,2 € ¿cuánto costará pintar cada superficie?

29

45) Se desea vallar un campo circular de 300 m de radio, si cada metro de valla vale 20 € ¿cuánto

cuesta vallar el campo?

46) Se desea vallar un campo rectangular de lados 50 m y 100 m. Se la valla del lado grande que da a

la carretera vale 20 €/m y la valla de los otros tres vale 10 €/m ¿cuánto vale vallar el terreno?

ÁREAS Y VOLÚMENES DE FIGURAS COMPUESTAS

47) Halla el área y el perímetro de la fig. 1

48) Sabiendo que el radio de cada círculo es 1 m, halla la suma de las áreas sombreadas de las figuras

2 y 3.

49) Calcula el área de las siguientes coronas circulares.

50) Halla el área sombreada de la fig. 5

51) Halla el área y el volumen de los siguientes cuerpos compuestos

fig. 1

fig. 2 fig. 3

fig. 4 a

fig. 5

fig. 4 b

fig. 6 fig. 6

fig. 12

fig. 8

fig. 6

fig. 7

30

HOJA 18 - B

Ejercicio 51)

Fig. 6 Sol: VT = 225 π cm3 ….. AT = 180𝜋 𝑐𝑚2

Fig. 7 Sol: VT = 4 π m3 ….. AT = 2 10𝜋 + 4𝜋 𝑚2

Fig. 8 Sol: VT = 81 π m3 ….. 𝐴𝑇 = 84 𝜋 𝑚2

Fig 9 Sol: VT = 720 cm3 …. 𝐴𝑇 = 680 𝑚2

Fig. 10 Sol: VT =3 91

8π … . . AT =

225

4π m2

Fig. 11 Sol: VT = 640 π cm3

….. AT = 538 π m2

Fig. 12 Sol: VT = 66 π cm3

….. AT = 57 π m2

Fig 13 Sol: VT =135

4π m3 … . . AT = π m2

4 m

fig. 12

fig. 13 fig. 14

fig. 15

fig. 16

fig. 17

arista = 1m

8 m

fig. 11

fig. 9

fig. 10

Libro mat 3º eso (6 dic´11)

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