E j e r c i c i o s resueltosde investigacin o p e r a t i v aExmenes propuestos en la Facultad de Ciencias Econmicas y EmpresarialesEKONOMIA ETA ENPRESA ZIENTZIEN FAKULTATEA FAcULTAd dE cIENcIAS EcONMIcASy EMPRESARIALESBeln Castro igoHenar Diez SnchezAna Marta Urrutia CareagaISBN: 978-84-694-5889-1Servicio Editorial de la Universidad del Pas Vasco Euskal Herriko Unibertsitateko Argitalpen ZerbitzuaISBN:978-84-694-5889-1Bilbao, julio 2011www.argitalpenak.ehu.es ndice Introduccin Exmenes ao 2005 Extraordinario Febrero ............................................................................................. 3 Convocatoria Junio ................................................................................................ 11 Convocatoria Septiembre...................................................................................... 24 Exmenes ao 2006 Extraordinario Febrero.......................................................................................... 33 Convocatoria Junio............................................................................................... 43 Convocatoria Septiembre ....................................................................................... 51 Exmenes ao 2007 Extraordinario Febrero ........................................................................................... 60 Convocatoria Junio............................................................................................... 71 Convocatoria Septiembre ....................................................................................... 81 Exmenes ao 2008 Extraordinario Febrero.......................................................................................... 94 Convocatoria Junio .............................................................................................. 103 Convocatoria Septiembre ..................................................................................... 113 Exmenes ao 2009 Extraordinario Febrero ......................................................................................... 122 Convocatoria Junio............................................................................................. 132 Convocatoria Septiembre.................................................................................... 142 Exmenes ao 2010 Extraordinario Febrero ......................................................................................... 153 Convocatoria Junio .............................................................................................. 163 Convocatoria Septiembre ..................................................................................... 173 Introduccin LaasignaturaInvestigacinOperativaesunaasignaturacuatrimestraldedicada fundamentalmentealaintroduccindelosmodelosdeterministasmselementales dentro de la investigacin de operaciones. Esta asignatura se ha impartido en los ltimos aoseneltercercursodelaLicenciaturadeAdministracinyDireccindeEmpresas (L.A.D.E.) en la Facultad de Ciencias Econmicas y Empresariales de la U.P.V.Estapublicacinrecogelosproblemasresueltospropuestosenlosexmenesdelas distintas convocatorias entre los aos 2005 y 2010.El temario oficial de la asignatura desglosado por temas es el siguiente: 1.Programacin lineal entera 1.1Formulacin de problemas de Programacin Lineal Entera. 1.2Mtodo de ramificacin y acotacin (Branch and Bound). 1.3Otros mtodos de resolucin. 2.Programacin multiobjetivo y por metas 2.1Introduccin a la Programacin Multiobjetivo. 2.2Programacin por metas. 2.3Programacin por prioridades. 3.Modelos en redes 3.1Conceptos bsicos. 3.2Problema del rbol de expansin minimal. 3.3Problema del camino ms corto. 3.4Problema del camino ms largo. 3.5Problema del flujo mximo. 3.6Problema de asignacin. 3.7Planificacin de Proyectos: Mtodos C.P.M. y P.E.R.T. Referencias Bibliogrficas: EPPEN,G.D.;GOULD,F.J.;SCHMIDT,C.P.;MOORE,J.H.; WEATHERFORD,L.R.(2000):InvestigacindeOperacionesenlaCiencia Administrativa. Ed. Pearson Educacin. Mxico. HILLIER,F.;LIEBERMAN,G.J.(2008):"IntroduccinalaInvestigacinde Operaciones", 8 edicin.Ed. McGraw-Hill. Mxico. MATHUR, K. ; SOLOW, D.(1998): "Investigacin de Operaciones. El arte de la toma de decisiones". Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. Mxico. RIOS, S. (1988): "Investigacin Operativa. Optimizacin". Ed. Centro de Estudios Ramn Areces. Madrid. TAHA,H.A.(2004):"InvestigacindeOperaciones,unaIntroduccin",7 edicin. Ed. Prentice Hall. Mxico. WINSTON,W.L.(2004):"InvestigacindeOperaciones.Aplicacionesy Algoritmos", 4 edicin. Ed. Thompson. Madrid. YIH-LONG CHANG. (2003):"WinQSB Versin 2.0". Ed. John Wiley & Sons, Inc. 3 INVESTIGACION OPERATIVA (3 LADE) Extraordinario Febrero 2005 1.(10 puntos) Una inmobiliaria desea promocionar una nueva urbanizacin mediante unacampaapublicitaria.Paraellodisponede5tiposdeanuncios:anunciosen televisinlocalalmedioda(tvm),anunciosentelevisinlocalalanoche(tvn), anunciosenperidicolocal(per),anunciosensuplementodominicallocal(sup)y anuncios en radio local por la maana (rad).La empresa ha reunido datos sobre la cantidad de clientes potenciales a los que se destina cada tipo de anuncio y el coste decadaanuncioeneuros.Adems,sehallevadoacabounavaloracindela calidadquetienecadaanunciodeacuerdoalmedioenelqueseexpone,enuna escala de 0 a 100 (0 nula, 100 excelente). Los datos se recogen en la siguiente tabla: Anuncios Clientes Potenciales Coste (euros) Calidad exposicin tvm1000150065 tvn2000300090 per150040040 sup2500100060 rad30010020 El nmero mximo de anuncios que se pueden emitir es 15, 10, 25, 4 y 30 de tvm, tvn, per, sup y rad, respectivamente. La inmobiliaria, aconsejada por una agencia de publicidad,decideutilizaralmenos10anunciosenlatelevisin,alcanzarporlo menos50000clientespotenciales,nogastarmsde18000eurosenanunciosen televisinysisehacenanunciosenelperidicoentoncesnohaceranunciosenla televisin por la noche. El presupuesto mximo para la campaa publicitaria es de 30000euros.Modelizar,sinresolver,medianteprogramacinlinealenterael problema decmo debeplanificar la campaa sise desea maximizar la calidad de la exposicin de todos los anuncios de la campaa publicitaria. 4 Solucin: Definimos las variables de decisin siguientes: 1x = nmero de anuncios a emitir en tvm 2x = nmero de anuncios a emitir en tvn 3x = nmero de anuncios a emitir en per 4x = nmero de anuncios a emitir en sup 5x = nmero de anuncios a emitir en rad 1 si se hacen anuncios per0 en caso contrarioy= La modelizacin queda como sigue: ( )( )1 2 3 4 51451 21 2 3 4 51 21 2 3 4 532Max 65 90 40 60 2015430101000 2000 1500 2500 300 50000s.a 1500 3000 180001500 3000 400 1000 100 300002510 1-0y enteras 1,..., 5 0 , 1ix x x x xxxxx xx x x x xx xx x x x xx yx yx iy+ + + + + + + + + + + + + + == 2.(10 Puntos) Resolver el problema siguiente.1 2 4 31 2 1 11 2 2 21 2 3 32 4 41 2Min ( , , , )2 8 (1)1 (2)4 (3)s.a2 (4)0, 0 1, , 50, 0i iLy y y yx x y yx x y yx x y yx y yy y ix x + + ++ + + + ++ + = + = + + = + = = 5 Solucin: 1 11 2 1 11 21 1P Min ( )2 8 (1)s.a0, 00, 0yx x y yx xy y+ ++ + = Soluciones ptimas:Valor ptimo: 0 2 21 2 1 11 21 11 2 2 22 2PMin ( )2 8 (1)0, 0s.a0, 01 (2)0, 0yx x y yx xy yx x y yy y++ ++ ++ + = = + = Soluciones ptimas:Valor ptimo: 0 3 41 2 1 11 21 11 2 2 22 22 4 44 4PMin ( )2 8 (1)0, 00, 0s.a 1 (2)0, 02 (4)0, 0yx x y yx xy yx x y yy yx y yy y++ ++ ++ ++ + = = + = = + = Solucin ptima:Valor ptimo: 1 A B (2,3)6 4 31 2 1 11 21 11 2 2 22 22 4 44 41 2 3 33 3P Min ( )2 8 (1)0, 00, 01 (2)s.a 0, 02 (4)0, 14 (3)0, 0yx x y yx xy yx x y yy yx y yy yx x y yy y++ ++ ++ ++ ++ + = = + = = + = = + + =

Solucin ptima:Valor ptimo: 1 Conclusin:lasolucinptimaes(2,3).Enlasmetas1y2nohayniexcesoni defecto 1 1 2 2( 0, 0, 0, 0) y y y y+ + = = = = . En la meta 3 y en la 4 hay un exceso de 13 3 4 4( 1, 0, 1, 0) y y y y+ + = = = = . 3.Ladirectoradeuncentroeducativodebeasignarladocenciade5asignaturas,A1, A2, A3, A4 y A5 a 4 profesores, P1, P2, P3 y P4 teniendo en cuenta las valoraciones de las encuestas hechas por los alumnos y unas restricciones impuestas por un nuevo reglamento.Enbasealasencuestasdeaosanteriores,setienenlassiguientes valoraciones promedios (escala: 0 mala, 5 excelente): (2,3)7 A1A2A3A4A5 P12.72.23.42.83.6 P223.63.42.83.6 P33.23.82.31.92.6 P42.62.51.84.23.5 El nuevo reglamento dice que el profesor P3 no puede impartir las asignaturas A1 y A2.Lasasignaturasnosepuedencompartirysehandeimpartirtodas.Ningn profesor puede quedar sin asignaturas. Al profesor P1 solamente se le debe asignar una asignatura.a)(5puntos)Modelizarcomounproblemadeprogramacinlinealenteraconel objetivo de obtener la asignacin que maximice la valoracin media total. b)(5puntos)Indicaraqutablahabraqueaplicarelmtodohngaropara determinar la asignacin ptima. Solucin: a)Definimos las variables de decisin siguientes: 1 si al profesor se le asigna la asignatura =0 en caso contrarioiji jx con i=1,,4 y j=1,,5 La modelizacin queda como sigue: ( )11 12 15 21 22 25 4511 12 13 14 151 2 3 4 51 2 3 43132Max 2.7 2.2 ... 3.6 2 3.6 ... 3.6 ... 3.511 2 2, 3, 41 1,..., 5s.a000, 1 1,..., 41,..., 5i i i i ij j j jijx x x x x x xx x x x xx x x x x ix x x x jxxx i j+ + + + + + + + ++ + + + = + + + + = + + + = ==== = = b)Aplicaremos el Mtodo Hngaro a la siguiente tabla: 8 A1A2A3A4A5FF P1-2.7-2.2-3.4-2.8-3.6MM P2-2-3.6-3.4-2.8-3.6MM P2-2-3.6-3.4-2.8-3.600 P3MM-2.3-1.9-2.6MM P3MM-2.3-1.9-2.600 P4-2.6-2.5-1.8-4.2-3.5MM P4-2.6-2.5-1.8-4.2-3.500 Con M positivo suficientemente grande. 4.Lasiguienteredrepresentaunproyectodondeelvalordecadaarcoindicala duracin de cada actividad en das: a)(4 puntos) Determinar para qu valores de t(1,3), t(1,6) y t(8,9) se cumplen las tres condiciones siguientes: La duracin prevista del proyecto es de 23 das.La actividad (2,6) es crtica. El margen de la actividad (3,4) es 4. b)(6puntos)Hallarel(los)camino(s)crtico(s)delproyectoylatablade actividades para los valores obtenidos en a) t(1,6) 5 7 4 3 5 2 5 7 8 5t(1,3) 8 4 1 3 2 4 5 6 7 89 t(8,9) 9 Solucin: a) Dado que la actividad (2,6) es crtica y( ) ( ) { }6 Max 12, 1, 6 P t = , se tiene que( ) 6 12 P =y en consecuencia( ) 1, 6 12. t Comoladuracinprevistadelproyecto(d.p.p.)esde23dasyla actividad(2,6)escrtica,sesabeque:23=12+7+( ) 8, 9 . t Luego ( ) 8, 9 4. t =Dadoqueelmargendelaactividad(3,4)es( ) ( ) ( ) ( ) 3, 4 4 3 3, 4 M Q P t = ,setieneque( ) 4 16 3 3 P = ypor tanto( ) 3 9 P = . Como ( ) ( ) { }3 Max 9, 1, 3 9 P t = =entonces( ) 1, 3 9. t b)Si( ) 1, 6 12 t < , el camino crtico es (1,2,6,8,9). Si( ) 1, 6 12 t =los caminos crticos son (1,2,6,8,9) y (1,6,8,9). La tabla de actividades correspondiente a este proyecto es: t(1,6) 5 7 4 3 5 2 5 7 8 5 t(1,3) 84t(8,9)=4 0 1 0 4 2 4 9 3 10 12 4 16 13 5 14 12 6 12 207 2119 8 19 23 9 23 10 (i,j)t(i,j)CMT(i,j)FMT*(i,j)M(i,j) (1,2)4040* (1,3)t(1,3)01010- t(1,3) (1,6)t(1,6)01212- t(1,6) (2,3)54101 (2,5)84142 (2,6)84120* (3,4)39164 (3,5)49141 (4,7)512214 (5,7)713211 (5,8)513191 (6,8)712190* (6,9)512236 (7,9)220231 (8,9)419230* Donde: ( ) , t i jes la duracin de la actividad( ) , i j( ) , CMT i jes el comienzo ms temprano de la actividad( ) , i j( )*, FMT i jes el final ms tardo de la actividad( ) , i j( ) , Mi jes el margen de la actividad( ) , i j 11 INVESTIGACION OPERATIVA (3 LADE) Junio 2005 1.Unaempresadejuguetesestconsiderandolapuestaenmarchadetresnuevos modelos de juguetes (1, 2 y 3) para su posible inclusin en la prxima campaa de Navidad.Lapreparacindeinstalacionesparalafabricacindeestosmodelos costara25000,35000y30000respectivamente,ylagananciaunitariasera de10,15y13respectivamente.Laempresadisponedetresplantasde produccinparalaelaboracindeestosmodelos,peroparaevitargastossloen unadeellasseproduciranlosjuguetes,dependiendolaeleccindela maximizacin de las ganancias. El nmero de horas que se precisa para producir cada juguete en cada planta es: juguete 1juguete 2juguete 3 planta 1546 planta 2422 planta 3332 Las plantas disponen al da500, 600 y 630 horas de produccin respectivamente.La gerencia ha decidido desarrollar al menos uno de los tres juguetes.a)(8puntos)Modelizarelproblemautilizandoprogramacinlinealenterapara maximizar el beneficio total. b)(2 puntos) La empresa decide producir nicamente el juguete tipo 3, pero debe tenerencuentaquesiproducemsde50unidadesdeestetipodejuguete entonces: el coste de preparacin de instalaciones del juguete tipo 3 es de 40000 debe producir en la planta 3 Modelizar el problema, aadiendo esta informacin, utilizando programacin lineal entera. 12 Solucin: a)Definimos las variables de decisin siguientes: ix = nmero de juguetes producidos diariamente del tipo ii=1,2,3 1 si se pone en marcha el juguete tipo 0 en caso contrarioiiy= i = 1, 2, 3 1 si se produce en la planta 0 en caso contrariojjz= j = 1, 2, 3 La modelizacin queda como sigue: 1 1 2 2 3 31 2 31 2 3 11 2 3 21 2 3 31 2 3Max(10 25000 15 35000 13 30000 )11, 2, 35 4 6 500 (1 )4 2 2 600 (1 )3 3 2 630 (1 )s.a10 y enteras=1, 2, 30, 1 =1, 2, 30, 1 =1, 2, 3i iiijx y x y x yy y yx My ix x x M zx x x M zx x x M zz z zx iy iz j + + + + =+ + + + + + + + + + + ===

Con M positivo suficientemente grande. b)Definimos la variable de decisin siguiente: 31 si51 0 en caso contrarioxp =

La modelizacin queda como sigue: ( )( )3333 13 23 31 2 33Max 13 30000(1 ) 4000051 50 16 500 (1 )2 600 (1 )s.a 2 630 (1 )10 y entera 0, 10, 1 =1,2,3ix p pp x p Mpp zx M zx M zx M zz z zxpz i + + + + + + = == Con M positivo suficientemente grande. 13 2.En una industria panadera se quiere introducir la elaboracin de dos nuevos tipos de pan:integralydecenteno,yaquesetieneaseguradalaventadesuproduccin. Estos panes se elaboran principalmente a base de tres ingredientes: salvado integral, harina de trigo y harina de centeno. Para elaborar 1 kg de pan integral se necesitan 350 g de salvado integral y 150 g de harina de trigo y para la elaboracin de 1 kg de pan de centeno se necesitan se necesitan 250 g de harina de trigo y 250 g de harina decenteno.Ladisponibilidaddiariadesalvadointegralesde210kg,115kgde harina de trigo y 100 kg de harina de centeno. El beneficio que deja cada kg de pan integral es de 0.40 y 0.60 cada kg de pan de centeno. Calcularlaelaboracindiariadepanintegralydecenteno,sisehanpuestolas siguientes metas por orden de prioridad: Prioridad 1. Se desea obtener un beneficio de al menos 240 diarios. Prioridad 2. Se desea que la cantidad elaborada diariamente de pan integral sea al menos el doble que la de centeno. Prioridad 3. Se desea que la cantidad elaborada diariamente de pan de centeno no sea inferior a 300 kg. Qu metas de las propuestas se han cumplido? Solucin: Definimos las variables de decisin siguientes: 1x = kg de pan integral elaborado diariamente 2x = kg de pan de centeno elaborado diariamente La modelizacin queda como sigue: 1 2 3121 21 2 1 11 2 2 22 3 31 2Min( , , )0.35 210 (1)0.25 100 (2)0.15 0.25 115 (3)0.4 0.6 240 (4)s.a2 0 (5)300 (6)0, 00, 0 1, 2, 3i iLy y yxxx xx x y yx x y yx y yx xy y i + + + + + + + = + = + = = 14 El conjunto X de soluciones factibles del problema es: 1 1121 21 2 1 11 21 1P Min ( )0.35 210 (1)0.25 100 (2)0.15 0.25 115 (3)s.a 0.4 0.6 240 (4)0, 00, 0yxxx xx x y yx xy y+ + + + + = Soluciones ptimas: Valor ptimo: 0 2 2121 21 2 1 11 21 11 2 2 22 2P Min ( )0.35 210 (1)0.25 100 (2)0.15 0.25 115 (3)0.4 0.6 240 (4)s.a 0, 00, 02 0 (5)0, 0yxxx xx x y yx xy yx x y yy y+ ++ + + + + = = + = A 15 Soluciones ptimas: Valor ptimo: 0 3 3121 21 2 1 11 21 11 2 2 22 22 3 33 3P Min ( )0.35 210 (1)0.25 100 (2)0.15 0.25 115 (3)0.4 0.6 240 (4)0, 0s.a 0, 02 0 (5)0, 0300 (6)0, 0yxxx xx x y yx xy yx x y yy yx y yy y+ ++ ++ + + + + = = + == + = Solucin ptima:(418.182, 209.091) Valor ptimo: 90.909 Lasolucinptimaconsisteenelaborardiariamente418.182 kgdepanintegraly 209.091kgdepandecenteno.Elbeneficiodiarioes292.73 1 1( 52.7274, 0), y y+ = = la produccin de pan integral es exactamente el doble que la produccin de pan de centeno 2 2( 0, 0), y y+ = =y la produccin de este ltimo esaproximadamente209kgdiarios 3 3( 90.909, 0). y y += = Secumplen,porlo tanto, la 1 y la 2 meta y no la 3. B 16 3.Se considera el siguiente grafo: a)(5puntos)Silosvaloresdecadaarcorepresentandistancias,hallar razonadamente cmo debe ser a para que la ruta ms corta del nodo 1 al 7 pase obligatoriamente por el nodo 2. Indicar esta ruta ms corta.b)(5puntos) Si5 a =y los valores de los arcos representan capacidades de flujo, calcular el valor del flujo mximo del nodo 1 al 7. Solucin: a)Los caminos del nodo 1 al nodo 7 pasan bien por el nodo 2, por el 3 o por el 4. Aplicando el mtodo dela ruta ms corta, calculamos los caminos mscortos desde cada uno de estos nodos al nodo 7. En el siguiente grafo se observa que el camino ms corto del nodo 2 al nodo 7 es (2,4,6,7) cuyo valor es 8. 2 41 3 2 4 1 6 9 2 0 4 1 5 3 7 8 6 23 3 2 4 1 3 4 a 3 2 1 5 47 6 7 2 4 1 6 9 17 En el siguiente grafo se observa que el camino ms corto del nodo 3 al nodo 7 es (3,6,7) cuyo valor es 10. En el siguiente grafo se observa que el camino ms corto del nodo 4 al nodo 7 es (4,6,7) cuyo valor es 7. Luegonecesariamentelarutamscortadelnodo1alnodo7debeseralguna de las siguientes: (1,2,4,6,7) cuyo valor es a+8. (1,3,6,7) cuyo valor es 14. (1,4,6,7) cuyo valor es 14. Para que la ruta ms corta pase obligatoriamente por el nodo 2 se debe cumplir que8 14. a + ,elcaminocrticosera:(1,2,3,4,5).Enamboscasos,Dserauna actividad crtica y por tanto su margen sera nulo. LuegosielmargendelaactividadDes0.5dassesabeque2 t < yen consecuencia se cumple que: ( ) 2, 3 2 0.5 1.5 M t t = = =das. 60 INVESTIGACION OPERATIVA (3 LADE) Extraordinario Febrero 2007 1.(10puntos)UnaempresaestudiaproducirsustresproductosP1,P2yP3enuna soladelasubicacionesU1,U2yU3.Laproduccindecadaproductogeneraun volumendecontaminacinde0.5,2y1 3cm respectivamenteporunidad producida, independientemente de la ubicacin. Lasiguientetablarecogeparacadaunadelasubicaciones:losingresosunitarios (euros)decadaproducto,lacapacidaddeproduccindiaria(unidades),los volmenesmximosdecontaminacinpermitidos3(cm ) ylapenalizacinpor volumen de contaminacin excedente 3(/cm ) : Laempresa,concienciadaconlosproblemasdelmedioambiente,proponeunos objetivos y metas, con un orden de prioridades dado por: Prioridad 1. Maximizar ingresos diarios. Prioridad 2. No superar el nivel mximo de contaminacin de la ubicacinPrioridad3.Sedeseanogastarmsde9000aldaporexcesode contaminacin. Formularunmodelodeprogramacinlinealquepermitadeterminarcuntas unidades diarias de cada producto deben producirse y en qu ubicacin. U1U2U3 Ingreso Unitario P1243 Ingreso Unitario P2536 Ingreso Unitario P3342 Capacidad produccin diaria200400300 Volumen mximo contaminacin diaria150250200 Penalizacin de contaminacin excedente201510 61 Solucin: Definimos las variables de decisin siguientes: unidades producidas al da de Pj en Ui1, 2, 3 ,1, 2, 3ijx i j = = =1 si se elige la ubicacin 1, 2, 30 en cualquier otro casojju j= = La modelizacin del problema queda como sigue: 11 21 31 12 22 32 13 23 331 2 3 411 21 31 112 22 32 213 23 33 31 2 311 21 31 1 1 112 22 32 2 2Min ( (2 5 3 4 3 4 3 6 2 ),, , )20040030010.5 2 150 (1 )0.5 2 250 (s.aL x x x x x x x x xy y y yx x x ux x x ux x x uu u ux x x y y M ux x x y y M+ + + ++ + + + + + + + + ++ ++ + + + + + + + =+ + + = + + + + = +213 23 33 3 3 31 2 3 4 41 )0.5 2 200 (1 )20 15 10 90000, y enteras1,2, 3 1,2, 30, 1 1,2, 30, 01,2, 3, 4ijji iux x x y y M uy y y y yx i ju jy y i+ + + + + + + + + = + + + + = = == = = Con M positivo suficientemente grande. 2.(10 puntos) Un artista de prestigio ha concluido 4 obras de arte. Las galeras A, B y Cestninteresadasenadquirirlasyestndispuestasapagarporcadaobralas cantidades(enmillonesdeunidadesmonetarias)queserecogenenlasiguiente tabla:Obra 1Obra 2Obra 3Obra 4 Galera A1210810 Galera B141167 Galera C151389 Elartistavaavendertodaslasobrasdearteycadagaleravaaadquirirporlo menos una obra de arte. Se da la circunstancia de que la galera A ha decidido que slo va a comprar una obra de arte.62 a)(6puntos)Determinarcmoasignarelartistalasobrasdearteentrelas distintas galeras si lo que persigue es maximizar sus ingresos.b)(4puntos)Modelizarempleandolaprogramacinlinealenteraelanterior problema si, adems, el artista aade la siguiente restriccin: las obras de arte 2 y 4 han de venderse a la misma galera. Solucin: a)Aplicamos el Mtodo Hngaro a la siguiente tabla:O1O2O3O4F1 Galeria A-12-10-8-10M Galeria B-14-11-6-70 Galeria B-14-11-6-70 Galeria C-15-13-8-90 Galeria C-15-13-8-90 +15 +13 +8 +10 Con M positivo suficientemente grande. O1O2O3O4F1 Galera A3300M Galera B12230 Galera B12230 Galera C00010 Galera C00010 Con M positivo suficientemente grande. O1O2O3O4F1 Galera A3300M Galera B12230- 1 Galera B12230- 1 Galera C00010 Galera C00010 +1 Con M positivo suficientemente grande. 63 O1O2O3O4F1 Galera A3300M Galera B01120 Galera B01120 Galera C00011 Galera C00011 Con M positivo suficientemente grande. Asignacinptima:GaleraAObra4,GaleraBObra1,GaleraC Obra 2 y Obra 3. Ingreso mximo: 45 millones de unidades monetarias. b)Definimos las variables de decisin siguientes 1 si se asigna a la galera la obra 0 en cualquier otro casoiji jx= , i=A,B,C. j=1,,4 La modelizacin queda como sigue: ()1 2 3 4 1 2 3 41 2 3 41 1 12 2 23 3 34 4 41 2 3 41 2 3 41 2 3 42 42 4Max 12 10 8 10 14 11 6 715 13 8 911111s.a1 21 20, 1A A A A B B B BC C C CA B CA B CA B CA B CA A A AB B B BC C C CB BC Cijx x x x x x x xx x x xx x xx x xx x xx x xx x x xx x x xx x x xx xx xx+ + + + + + + ++ + ++ + =+ + =+ + =+ + =+ + + = + + + + + + ===A,B,C; 1,..., 4 i j= = 3. (10puntos)Unaempresaempleadosprocesosdeproduccindiferentespara producir un producto. En cada uno de los procesos se precisa utilizar tres mquinas M1,M2yM3.Parafabricarunaunidaddeproductosegnelprocesoproductivo 64 elegidosenecesitausarencadaunadelasmquinaslashorasindicadasenla siguiente tabla: Proceso 1Proceso 2 M113 M242 M334 Por una unidad de producto fabricado con el proceso 1 se obtienen 55 euros y con el proceso 2 se obtienen75 euros. El coste de una hora de mquina es de 5 euros. Cada mquina est disponible 60 horas. La empresa propone las siguientes metas por orden de prioridad: Prioridad 1. Obtener un beneficio de al menos 300 euros. Prioridad2.ElnmerodehorastrabajadasenlasmquinasM1yM2 coincidan. Prioridad 3. El nmero de horas trabajadas en la mquina M3 no sea superior a 2 veces el nmero de horas trabajadas en la mquina M1. Modelizar, utilizando programacin lineal, el problema de calcular las unidades ptimas que deben asignarse a cada proceso productivo. Resolver el problema relajado asociado. Solucin: Definimos las variables de decisin siguientes: 12unidades producidas con el proceso 1 a la horaunidades producidas con el proceso 2 a la horaxx== La modelizacin del problema relajado queda como sigue: 65 1 2 2 31 21 21 21 2 1 11 2 1 2 2 21 2 1 2 3 31 2Min ( , , )3 60 (1)4 2 60 (2)3 4 60 (3)15 30 300 (4)s.a3 (4 2 ) 0 (5)3 4 2( 3 ) 0 (6)0, 00, 01,2, 3i iLy y y yx xx xx xx x y yx x x x y yx x x x y yx xy y i + ++ + + +++ + + + + = + + + =+ + + = = El conjunto X de soluciones factibles del problema es: 1 11 21 21 21 2 1 11 21 1P Min ( )3 60 (1)4 2 60 (2)3 4 60 (3)s.a15 30 300 (4)0, 00, 0yx xx xx xx x y yx xy y+ ++ + + + + = Soluciones ptimas: Valor ptimo:0 A 66 2 2 21 21 21 21 2 1 11 21 11 2 2 22 2P Min ( )3 60 (1)4 2 60 (2)3 4 60 (3)15 30 300 (4)s.a0, 00, 03 0 (5)0, 0y yx xx xx xx x y yx xy yx x y yy y+ + ++ + ++ + + + + = = + + = Soluciones ptimas: Valor ptimo:0 3 31 21 21 21 2 1 11 21 11 2 2 22 21 2 3 33 3P Min ( )3 60 (1)4 2 60 (2)3 4 60 (3)15 30 300 (4)0, 0s.a0, 03 0 (5)0, 02 0 (6)0, 0yx xx xx xx x y yx xy yx x y yy yx x y yy y++ ++ ++ ++ + + + + = = + + == = + = Soluciones ptimas: Valor ptimo:0 Lasolucinptima( )1 2, x x delproblemarelajado,esdecirelnmeroptimode unidades producida con los procesos 1 y 2, se encuentra en cualquier combinacin lineal de las siguientes soluciones factibles:(2.857, 8.571),(4,12) . B (2.857, 8.571)(4,12) 67 4.(10 puntos) La siguiente red representa un proyecto y los valores asignados a cada arco las duraciones de las actividades en l recogidas en das. a)(2 puntos) Determinar la duracin prevista del proyecto y el camino crtico. b)(3puntos)Calculartodoslostiempos(CMT,CMT*,FMTyFMT*)yel margen de las actividades (2,4), (4,7), (6,7) y (6,8). c)(5puntos)Sehadeincorporarenelproyectolanuevaactividad(2,6)con duracin( ) 2, 6 t . i)Si( ) 2, 6 11 t = ,variarladuracinprevistadelproyecto?,se modificar el margen de las actividades (6,7) y (6,8)?, en cunto? ii)Paraquvaloresde( ) 2, 6 t eslaactividad(2,6)crtica?Calcularpara estosvalores,laduracinprevistadelproyectoyel(los)camino(s) crtico(s). 310 4 15 8 9 12 2 3 4 5 67 6 5 178 5 6 3 68 Solucin: a) Camino crtico: (1,3,5,7,8) Duracin prevista del proyecto(d.p.p): 26 das. b)La siguiente tabla recoge los tiempos (CMTy FMT*) de todas las actividades que conforman el proyecto: (i,j)t(i,j)CMT(i,j)FMT*(i,j)M(i,j) (1,2)60137 (1,3)7070* (1,4)120186 (1,6)150183 (2,4)56187 (3,4)37188 (3,5)67130* (4,7)512236 (5,7)1013230* (5,8)913264 (6,7)415234 (6,8)815263 (7,8)323260* 8 4 10 3 15 9 3 7 6 5 0 1 0 7 3 7 6 2 13 15 6 18 12 4 18 13 5 13 23 7 23 26 8 26 6 512 69 Como( ) ( ) ( ) , , , FMT i j CMT i j t i j = + ,( ) ( ) ( ) * , * , , CMT i j FMT i j t i j = ,y ( ) ( ) ( ) ( ) , * , , , Mi j FMT i j CMT i j t i j = se tiene que: ( ) 2, 4 6 5 11 FMT = + = ,( ) * 2, 4 18 5 13 CMT = = ,( ) 2, 4 18 6 5 7 M = =( ) 4, 7 12 5 17 FMT = + = ,( ) * 4, 7 23 5 18 CMT = = ,( ) 4, 7 23 12 5 6 M = =( ) 6, 7 15 4 19 FMT = + = ,( ) * 6, 7 23 4 19 CMT = = ,( ) 6, 7 23 15 4 4 M = =( ) 6, 8 15 8 23 FMT = + = ,( ) * 6, 8 26 8 18 CMT = = ,( ) 6, 8 26 15 8 3 M = = c)i)Siincorporamosunanuevaactividad(2,6)deduracin( ) 2, 6 11 t = ,se tiene que: ( ) 6 17 P =(en vez de 15),( ) 7 Qy( ) 8 Qmantienen su valor y por tanto losmrgenes( ) ( ) ( ) ( ) 6, 7 7 6 6, 7 M Q P t = y ( ) ( ) ( ) ( ) 6, 8 8 6 6, 8 M Q P t = disminuyen en 2 das.ii)Si la actividad (2,6) con tiempo( ) 2, 6 t t =es crtica se tiene que: 8 4 10 3 15 9 3 7 6 5 0 1 0 7 3 7 6 2 7 17 6 18 12 4 18 13 5 13 23 7 23 26 8 26 6 512 11 70 elcaminocrticoquepasaporelnodo2es(1,2,6,8)yladuracin previstadelproyectoes14 t + .(Sedescartaelcamino(1,2,6,7,8)cuya duracin es13 t + ). Consecuentemente( ) 6 6 P t = +y( ) 8 14 P t = + , con t satisfaciendo: ( ) { } 6 Max 6,15 6 P t t = + = +( ) { } 7 Max 10,17, 23 P t = +( ) ( ) { }8 Max 14, 22, 7 3 14 P t P t = + + = +Luego se deduce que12 t . Si12 t = ; los caminos crticos son (1,3,5,7,8) y (1,2,6,8). Si12 t > ; el nico camino crtico es (1,2,6,8). 8 4 10 3 15 9 3 7 6 5 0 1 7 3 6 2 t+6 6 12 4 13 5 23 7 t+14 8 6 512 t(2,6)=t 71 INVESTIGACION OPERATIVA (3 LADE) Junio 2007 1.Un empresario que fabrica tres artculos P1, P2, P3, desea encontrar la produccin diaria que le permita maximizar sus beneficios. Los artculos son procesados en dos delascuatromquinasdelasquedispone,bienenlaAyB,obienenlaCyD, siendo el coste diario fijo de la puesta en marcha de cada una de estas mquinas 20, 25,35y15unidadesmonetariasrespectivamente.Elingresodeestosartculoses de5unidadesmonetariasporunidaddeP1,5unidadesmonetariasporunidadde P2,y10unidadesmonetariasporunidaddeP3.Lashorasquesenecesitanpor mquina y unidad de articulo son: Mquina AMquina BMquina CMquina D P11121 P21112 P32111 Siendoelnmerodehorasdisponiblesencadamquina190,210,170y200 respectivamente. a)(7puntos)Modelizarelproblemautilizandoprogramacinlinealenterapara maximizar el beneficio total diario. b)(3puntos)Modelizarelproblemautilizandolaprogramacinlinealenterasi ademssedebetenerencuentaquesisefabricaelartculoP1,sedebe producir al menos 10 unidades y no ms de 20 de P2 y al menos 5 de P1. Solucin: a)Definimos las variables de decisin siguientes unidades de Pix i = , i=1, 2, 3 11 si se utilizan las mquinas A y B0 en cualquier otro casoy=

21 si se utilizan las mquinas C y D0 en cualquier otro casoy= 72 La modelizacin queda como sigue: ( ) ( ) ( )( )( )( )( )1 2 3 1 21 2 3 11 2 3 11 2 3 21 2 3 21 212Max 5 5 10 20 25 35 152 190 1210 12 170 12 200 1s.a10 y enteras1, 2, 31, 01, 0ix x x y yx x x M yx x x M yx x x M yx x x M yy yx iyy+ + + + +( + + + + + + + + + + + + + = === Con M positivo suficientemente grande. b)Definimos la variable de decisin siguiente 11 si se fabrica P0 en caso contrarioz= En la modelizacin anterior deberamos aadir las siguientes restricciones: 2110 20 (1 )50, 1z x M zz x Mzz + = Con M positivo suficientemente grande. 2.Unaagenciadeviajesestplanificandounpaquetedevacacionesaundestino tursticoC.Losaeropuertosdesalidasondos:A1yA2.Nohayvuelosdirectos. PosiblesaeropuertosendondesepuedenhacerconexionessonB1,B2,B3,B4,y B5.Lasplazasenclaseturistadisponiblesenvuelosentreaeropuertosenlosque hay tiempo suficiente para hacer las conexiones se recogen en la siguiente tabla: 73 B1B2B3B4B5C A1454030------ A2----30------ B1------2030-- B2------25---- B3--------3520 B4----------40 B5----------65 a)(1 punto) Construir una red asociada al problema de planificar cmo enviar los turistas a C. b)(9 puntos) La siguiente tabla nos indica una planificacin para enviar turistas al destino C. Cuntos turistas viajaran al destino C? B1B2B3B4B5C A1452025------ A2----30------ B1------2025-- B2------20---- B3--------3520 B4----------40 B5----------60 Cuntos turistas ms se pueden enviar? Solucin: a)Problema de flujo mximo cuya red asociada es: 74 b)La red que representa esta planificacin es: Con esta planificacin se pueden enviar hasta 120 turistas desde el origen hasta el destino C ( 120fV = ). Unacadenadecrecimiento(nosaturada)asociadaaesteflujoes(O,A1,B2, B4,B1,B5,C),dadoquesusarcosdirectosnoestnsaturadosysuarco inverso no tiene flujo nulo. El incremento de flujo que permite esta cadena es: ( ) { } O, A1, B2, B4, B1, B5, C min M, 40 20, 25 20, 20, 30 25, 65 60 5f = =Saturamos la cadena aadiendo esta cantidad a los arcos directos y restndosela 65,60 30,25 35,35 25,20 20,2045,45 30,25 30,30 40,20 M,30 40,40 B2 M,90 B1 O A1 A2 B3 B4 B5 C 20,20 65 30 35 25 2045 30 30 40 M 40 B2 M B1 O A1 A2 B3 B4 B5 C 20 75 a los inversos. El resultado es el siguiente flujo en el que todas las cadenas de origenadestinoestnsaturadas,portantoelflujoqueatraviesalaredes mximo y de valor125fV =turistas. 3.El Director de personal de una empresa quiere repartir las vacaciones de verano de lastrespersonasquecomponensudepartamento.Conelfinderealizarla asignacinlomejorposiblehadecididoconfeccionarunlistadodepreferencias paralosmesesdeJunio,Julio,AgostoySeptiembre,comorecogelasiguiente tabla: JunioJulioAgostoSeptiembre P1549-- P2--367 P37556 EsteaoelDirectordePersonalhadecididotraerasudepartamentounacuarta personadeotrodepartamentoparalosmesesestivales,conelfindecubrirlas necesidades mnimas de su departamento. a)(7puntos)Calcularlaasignacinqueoptimiceelniveldepreferencias,silas preferencias de la cuarta persona fuesen las recogidas en la siguiente tabla: 30,25 65,65 35,35 25,25 20,1545,45 30,30 30,30 40,25 M,30 40,40 B2 M,95 B1 O A1 A2 B3 B4 B5 C 20,20 76 JunioJulioAgosto P46--9 Teniendo en cuenta que las cuatro personas han de disfrutar sus vacaciones en losmesesdeJunio,Julio,Agosto(cadaunounmescompleto)yqueencada uno de estos tres meses debe haber al menos una persona de vacaciones. b)(3puntos)Habiendoencontradootracuartapersona,P*4,cuyanica preferencia es trabajar en el departamento de forma continua tres de los cuatro meses,alDirectordePersonalnoleparecemalaideaincluirensu planificacintambinelmesdeSeptiembre.Plantearlatablaalaquesele aplicara el Mtodo Hngaro, para calcular la asignacin que optimice el nivel depreferenciasdelascuatropersonas,(P1,P2,P3,P*4),silascuatrohande disfrutar sus vacaciones en los cuatro meses y cada una en un mes diferente. Solucin: a)Aplicamos el Mtodo Hngaro a la siguiente tabla:JunioJunioJulioJulioAgostoAgosto P1-5-5-4-4-9-9+9 P2MM-3-3-6-6+6 P3-7-7-5-5-5-5+7 P4-6-6MM-9-9+9 F1 M0M0M0 F2 M0M0M0 Con M positivo suficientemente grande. JunioJunioJulioJulioAgostoAgosto P1445500 P2MM3300 P3002222 P433MM00 F1 M0M0M0 F2 M0M0M0 -2 77 Con M positivo suficientemente grande. JunioJunioJulioJulioAgostoAgosto P1443500-1 P2MM1300-1 P3000222 P433MM00-1 F1 M0M0M0 F2 M0M0M0 +1 +1 Con M positivo suficientemente grande. JunioJunioJulioJulioAgostoAgosto P1332400 P2MM0200 P3000233 P422MM00 F1 M0M0M1 F2 M0M0M1 Con M positivo suficientemente grande. Asignacin ptima: P1 Agosto, P2 Julio, P3 Junio, P4 Agosto. b)Se aplica el Mtodo Hngaro a la tabla: JunioJulioAgostoSeptiembre P1-5-4-9M P2M-3-6-7 P3-7-5-5-6 P*40MM0 Con M positivo suficientemente grande. 4.Enelsiguientegrafoestnrepresentadaslasactividadesdeunproyectoconlos tiempos optimista, modal y pesimista en das:78 a)(5 puntos) Determinar la duracin media estimada del proyecto, varianza de la duracin del proyecto y actividades crticas. Elaborar la tabla de actividades. b)Contestar razonadamente a las siguientes preguntas: i)(1punto)Encuntosdassepuedereducirladuracinmediadela actividad C para que la duracin media estimada del proyecto se reduzca en la misma cantidad? ii)(2puntos)SiseaadealproyectoinicialunanuevaactividadGcuyo precedenteinmediatoesE,cuntosdascomomuchodebedurar(en media)paraquenovareladuracinmediaestimadadelproyecto calculada en el apartado a? iii)(2 puntos) Si la actividad nueva G tiene como precedentes inmediatos a E yaD,cuntosdascomomuchodebedurar(enmedia)paraqueno vareladuracinmediaestimadadelproyectocalculadaenelapartado a)? Construir una red asociada a este nuevo proyecto. Solucin: a)BajolossupuestosdelPERTseestimaladuracinmediadecadaactividad como( )( ) ( ) ( ) , 4 , ,,6o m pt i j t i j t i jt i j+ += donde ot representaladuracin optimista, mtla modaly ptla pesimista. Y la varianza de la duracin de cada actividad se estima como ( )( ) ( )22,, ,6p oi jt i j t i j | |= |\ .Ungrafoquerepresentaesteproyectoeselsiguiente,dondeelvalordecada arco es la duracin media estimada de cada actividad F(2,2,2) E(6,6,6) B(1,2,3) A(2,3,4)C(4,11,12) 1 3 2 4 5 D(5,6,13) 79 Duracin media estimada del proyecto: 13 das Camino Crtico: (1,2,5) Varianza estimada de la duracin del proyecto:( ) ( )2 22 2 24 2 12 4 176 6 9T t A t C | | | |= + = + = ||\ \ Tabla de actividades: (i,j)( ) , t i jCMT(i,j)FMT*(i,j)M(i,j) A (1,2)3030* B (1,3)2042 Fict (2,3)0341 C (2,5)103130* D (3,4)73111 E (3,5)63134 F (4,5)210131 b) i)SepuedereducirChasta1da.Apartirdeaquelproyectodurar,en media, 12 das ya que aparece un nuevo camino crtico ii)Como mucho debe durar en media 4 das, ya que este es el margen de la actividad E. F(2) C(10) D(7) E(6) A(3) B(2) 0 1 0 3 3 4 3 2 3 10 4 11 13 5 13 80 iii)Como mucho 3 das, ya que su comienzo ms temprano es el da 10 (un da ms tarde que en el apartado ii))y queremos que su final ms tardo sea el da 13 F(2) C(10) D(7) E(6) A(3) B(2) 0 1 3 3 3 2 10 4 13 6 10 5 G 81 INVESTIGACION OPERATIVA (3 LADE) Septiembre 2007 1.Dado el siguiente problema de programacin lineal entera: 1 21 2121 2Max (2 5 )2 +3 12 (1)4 (2)s.a3 (3)0,0 y enterasx xx xxxx x+ a)(7puntos)ResolverelproblemamedianteelmtododeRamificaciny Acotacin. b)(3 puntos) Calcular cul es la nueva solucin al problema si el coeficiente de la variable x1 de la funcin objetivo pasa de ser 2 a ser 10/3. Solucin: a)Resolucin del problema relajado: PR 82 (3/ 2, 3)R = Cota = ---PR18Rz =1(2,8/ 3) = Cota = ---P1117.333 z =4(1,3) = Cota = 17P4417 z =P3 P2Infactible3(3, 2) = Cota = 16316 z =TerminalTerminalTerminal11 x 12 x 22 x 23 x P3 P1 83 Solucin ptima:Valor ptimo:17 2.Unaempresadeautomocinproduceunartculodirigidoalmercadodeprimer equipo,cuyobeneficiounitarioesdeKunidadesmonetarias.Dichaempresase estplanteandointroducirsuartculoenelmercadodepiezasderecambio,ya que el beneficio unitario de su producto se duplica en dicho mercado. La Direccin delaEmpresanoseplanteaaumentarsucapacidadactualdeproduccinque asciende a un mximo de 800 piezas diarias. a)(5 puntos) Para un primer acercamiento a dicho mercadoy por temor a perder la clientela actual, la Gerencia de la Empresa ha decidido destinar diariamente aprimerequipoalmenosel75%delaproduccintotalyalmenos160 unidades al mercado piezas de recambio.Modelizarydeterminar,resolviendoelproblemarelajado,lacantidaddiaria quesedeberadestinaracadaunodelosdosmercadosconlosobjetivosde maximizarlosbeneficiosydestinarlamayorcantidadposibledeartculosal mercado de primer equipo. b)(5 puntos) Un posible cliente del mercado de piezas de recambio ha remitido a la Direccin de la Empresa un pedido de 180 unidades diarias de modo que la P4 (1, 3) = 84 Gerencia de la Empresa ha decidido replantearse la situacin con las siguientes metas y objetivos, con el siguiente orden de prioridades: Prioridad1.Lacantidaddeartculosdestinadosdiariamenteaprimer equipo no sea inferior al 75% de la produccin total. Prioridad 2. La cantidad de artculos destinados diariamente a piezas de recambio permita satisfacer las necesidades del nuevo cliente. Prioridad 3. La cantidad de artculos destinados diariamente a piezas de recambio no sea superior al 20% de la produccin total. Prioridad 4. Mximo Beneficio. Calcular,resolviendoelproblemarelajadocorrespondiente,lacantidaddiaria quesedeberadestinaracadaunodelosdosmercadosyrealizarunanlisis detallado de la solucin obtenida. Solucin: a)Definimos las variables de decisin siguientes: 12unidades diarias destinadas a "primer equipo"unidades diarias destinadas a "piezas de reemplazamiento"xx== La modelizacin queda como sigue: ( )( )1 2 11 21 1 221 2Max 2 ,8000.75s.a1600, 0 y enterasKx Kx xx xx x xxx x++ + Resolveremos el problema relajado: ( )( )1 2 11 21 1 221 2Max 2 ,800 (1)0.75 (2)s.a160 (3)0, 0 Kx Kx xx xx x xxx x++ + 85 Soluciones eficientes:( ) ( ) 600,200 640,160 b)La modelizacin del problema relajado queda como sigue: 1 2 3 1 21 21 2 1 12 2 21 2 3 31 2Min ( , , , 2 )800 (1)0.25 0.75 0 (2)180 (3)s.a0.2 0.8 0 (4)0, 00, 0 1, 2, 3i iLy y y Kx Kxx xx x y yx y yx x y yx xy y i ++ + + + + + = + = + + = = El conjunto X de soluciones factibles del problema es: Vrtices Vrtices( )(480,160) (800 , 480)(600, 200) (1000 , 600)(640,160) (960 , 640)X f XKKK86 1 11 21 2 1 11 21 1P Min ( )800 (1)0.25 0.75 0 (2)s.a0, 00, 0yx xx x y yx xy y+ ++ + =

Soluciones ptimas: Valor ptimo:0 2 21 21 2 1 11 21 12 2 22 2P Min ( )800 (1)0.25 0.75 0 (2)0, 0s.a0, 0180 (3)0, 0yx xx x y yx xy yx y yy y+ ++ ++ + = = + = A 87 Soluciones ptimas: Valor ptimo:0 3 31 21 2 1 11 21 12 2 22 21 2 3 33 3P Min ( )800 (1)0.25 0.75 0 (2)0, 00, 0s.a180 (3)0, 00.2 0.8 0 (4)0, 0yx xx x y yx xy yx y yy yx x y yy y++ ++ ++ ++ + = = + == + + = Solucin ptima:(620,180) Valor ptimo:20 B 88 4 1 21 21 2 1 11 21 12 2 22 21 2 3 33 3P Min ( 2 )800 (1)0.25 0.75 0 (2)0, 00, 0s.a180 (3)0, 00.2 0.8 0 (4)0, 20Kx Kxx xx x y yx xy yx y yy yx x y yy y+ ++ ++ + + + = = + == + + = = Solucin ptima:(620,180) Valor ptimo:-980K La solucin ptima consiste en destinar 620 unidades diarias a primer equipo y 180 a piezas de recambio. Los artculos destinados diariamente al primer equiposonel77.5%deltotalproducidos1 1( 20, 0). y y+ = = Sesatisfacen lasnecesidadesdelnuevocliente,180unidadesdiariasdepiezasde recambio 2 2( 0, 0). y y+ = =La cantidad de artculos destinados diariamente apiezasderecambioesel22.5%delaproduccintotal,luegolameta asociadaala3prioridadnosecumple 3 3( 20, 0). y y+ = = Elbeneficio mximo es de 980K unidades monetarias. 89 3.Unayuntamientoquieredisearelmododellevarelaguadesdeeldepsito municipalDa7casasrurales,nonecesariamentedeformadirecta,conelmenor costeposible.Lasposiblesconduccionesentrelosdepsitosylascasaconsus costescorrespondientes,enunidadesmonetarias,vienenrecogidasenlasiguiente tabla: DC1C2C3C4C5C6C7 D--101214-------- C1------3------ C2----24---- C3----3---- C4--356 C5--75 C6--4 C7-- Por ejemplo, realizar una conduccin entre la casa 2 y la casa 5 tiene un coste de 4 unidades monetarias. a)(9 puntos) Calcular todas las formas posibles de establecer las conexiones para que el coste total sea mnimo. b)(1punto)Sienlugarde7casastenemos8casas,cuntasconduccionesse necesitaran? Razonar la respuesta. Solucin: a)Problema del rbol de expansin minimal cuya red asociada es: 90 Ordenamosenordencrecientelasaristassegnelcosteyaplicamosel algoritmodeKruskal.Setienendossolucionesptimascuyocostetotal mnimo es de 30 unidades monetarias.Solucin ptima A: 4 14 6 7 3 4 3 10 2 12 5 C2 C1 D C3 C4 C5 C6 5 3 C7 4 14 6 7 3 4 3 10 2 12 5 C2 C1 D C3 C4 C5 C6 5 3 C7 91 Solucin ptima B: b)Se sabe que, dado un subgrafo G de un grafo no dirigido G de n nodos, si G es un rbol de expansin entonces G tiene n-1 aristas. Vemos que en el apartado anterior las soluciones ptimas tienen 7 conexiones, una menos que el nmero de nodos. Si en lugar de 7 casas tenemos 8, entonces todas las soluciones ptimas tienen 8 conexiones. 4.(4puntos)Enlasiguientetablaseencuentranrepresentadaslasdiferentes actividadesquecomponenunproyectoylasrelacionesdeprecedenciaentrelas mismas.ActividadesABCDEFGHIJKLM Precedentes Inmediatas --AAABBD, E, FC, DDDDI, J Elaborar una red que represente a este proyecto. 4 14 6 7 3 4 3 10 2 12 5 C2 C1 D C3 C4 C5 C6 5 3 C7 92 Solucin: 5.(6 puntos) Sean tres actividades que vienen representadas en una red porlos arcos (3, 8), (4, 8) y (4, 9). Sabiendo que: las tres tienen una duracin de dos semanas, la actividad (4,8) debe estar finalizada al de 20 semanas de iniciado el proyecto si se desea cumplir con la duracin prevista del proyecto, laactividad(4,8)puederetrasarsehasta3semanassinqueseretrasela duracin prevista del proyecto. Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones: a)Cul es el comienzo y el final ms temprano de la actividad (4,9)? b)Cul es el comienzo y el final ms tardo de la (3,8)? Solucin: Se sabe que: ( ) ( ) ( ) 3, 8 4, 8 4, 9 2 t t t = = =( ) ( ) * 4, 8 8 20 FMT Q = =( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4, 8 8 4 4, 8 20 4 2 3 4 15 M Q P t P P = = = =M L K J I H G F E D C B A 1 2 3 4 5 67 8 9 93 a)( ) ( ) 4, 9 4 15 CMT P = =y( ) ( ) ( ) ( ) 4, 9 4, 9 4, 9 4 2 17. FMT CMT t P = + = + =b)( ) ( ) * 3,8 8 20 FMT Q = =y( ) ( ) ( ) * 3, 8 * 3, 8 3,8 20 2 18. CMT FMT t = = = 2 2 2 3 15 4 8 20 9 94 INVESTIGACION OPERATIVA (3 LADE) Extraordinario Febrero 2008 1.Tres servicios mdicos constan de 10, 6 y 4 mdicos respectivamente; cada mdico atiende como mximo a 10 pacientes. El coste de cada pacientees en el Servicio1 de10/da,enelServicio2de20/dayenelServicio3de25/da,yel presupuestototaldiariodelostresserviciosde2400.Adems,entrelosdos primerosserviciosdebentratarcomomnimoeldobledepacientesqueel Servicio3. Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones: a)(6puntos)Plantearelproblema,comounproblemadeprogramacinlineal entera,paraencontrarcuntospacientesdebenseratendidosdiariamenteen cadaservicio,conelobjetivodemaximizarelnmerototaldepersonas atendidas. b)(4puntos)Sehaaumentadoelpresupuestodiarioa3200.Elhospitaltiene que decidir entre abrir un cuarto servicio mdico con 5 nuevos mdicosy con un coste por paciente de 22 /da, o aumentar en dos mdicos cada uno de los serviciosyaexistentes.Plantearelproblema,comounproblemade programacinlinealentera,paraencontrarcuntospacientesdebenser atendidosdiariamenteencadaservicio,conelobjetivodemaximizarel nmero total de personas atendidas. Solucin: a)Definimos las variables de decisin siguientes: nmero de pacientes diarios atendidos por el Servicio ix i = , i=1,2,3 La modelizacin queda como sigue: 95 ( )1 2 31231 2 31 2 31 2 3Max1006040s.a10 20 25 24002 0, 0, 0 y enteras

x x xxxxx x xx x xx x x+ + + + + b)Definimos las variables de decisin siguientes 4nmero de pacientes diarios atendidos por el Servicio 4 x = ,1 si se abre el Servicio 4 0 no se abre el Servicio 4 z=

La modelizacin queda como sigue: ( )1 2 3 412341 2 3 41 2 31 2 3 4Max100 20(1 )60 20(1 )40 20(1 )50s.a10 20 25 22 320020, 0, 0, 0 y enteras = 0, 1x x x xx zx zx zx zx x x xx x xx x x xz+ + + + + + + + + + 2.Unaempresadeseacubrirunpuestodetrabajoconpersonaleventualdurantelos prximos 4 meses. Para ello utiliza una empresa de trabajo temporal que cobra 200 euros por cada persona contratada. El primer mes, la empresa contrata una persona y a principios de los siguientes meses decide si contrata una nueva persona o sigue con la contratada anteriormente. Se conoce que el sueldo del primer mes trabajado esde900eurosylagananciaproporcionadaalaempresaesde2000.Elsegundo mestrabajadoelempleadotendrunsueldode1000eurosproporcionandouna gananciade2100.Sielempleadotrabajatresmesesomstendrunsueldode 1100 el tercer mes y de 1200 el cuarto mes, proporcionando una ganancia de 2200 y 2300 para el tercer y cuarto mes, respectivamente. 96 Adems,sesabequelaempresadetrabajotemporalalfinalizarelcontratodeun trabajador que ha trabajado durante 1, 2, 3 4 meses debe abonarle 100, 200, 300 650 euros respectivamente. a)(8puntos)Calcularlapolticadecontratacindetrabajadoresparalos prximos 4 meses que proporcione un mayor beneficio a la empresa. b)(2puntos)Silaempresadesearacubrirelpuestodetrabajodurantelos prximos3meses,culseralamejorpolticadecontratacin?Ysu beneficio mximo? Solucin: a)Esteesunproblemadereemplazamientodecontratosparamaximizar beneficios, cuya red asociada es: Donde el valor de cada arco, ( ) , d i j , indica el beneficio de contratar un nuevo trabajador al comienzo del ao i y mantenerlo hasta el comienzo del ao j. As:( ) ( ) ( ) ( ) 1, 2 2000 900 100 200 800 2, 3 3, 4 4, 5 d d d d = = = = =( ) ( ) ( ) 1, 3 2000 2100 900 1000 200 200 1800 2, 4 3, 5 d d d = + = = =( ) ( ) 1, 4 2000 2100 2200 900 1000 1100 300 200 2800 2, 5 d d = + + = =( ) 1, 5 2000 2100 2200 2300 900 1000 1100 1200 650 200 3550 d = + + + = 2800 2800 800 1800 800 800 8 1800 3 10 2 800 31800 42800 53600 800 3550 1800 97 Laspolticasdecontratacinptimassecorrespondenconloscaminosms largos del origen al destino. Aplicando el mtodo de la ruta ms larga se tiene que las polticas de contratacin ptimas son: (1,2,5)Contratarunempleadoduranteunmesydespusotroempleado durante tres meses. (1,3,5) Contratar un empleado durante dos meses y despus otro empleado durante dos meses. (1,4,5) Contratar un empleado durante tres meses y despus otro empleado durante un mes. El beneficio mximo es de 3600 euros. b)La poltica de contratacin ptima es el camino:(1,4) Contratar un empleado durante los tres meses. El beneficio mximo es de 2800 euros. 3.(10puntos)Unafbricadequesosproducetrestiposdequesos:quesocurado, queso semicuradoy queso fresco. Para ello se utilizan dos tipos de leche, leche de ovejaylechedecabra.Lafbricaestdotadadedostiposdemquinas.La mquina 1, utiliza en cada hora 70 litros de leche de oveja y 200 litros de leche de cabraparaproducir9kilogramosdequesocurado,2kilogramosdequeso semicuradoy5kilogramosdequesofresco.Conlamquina2,seobtienencada hora 10, 5 y 4 kilogramos de cada queso respectivamente con un gasto de 100 litros de leche de oveja y 80 litros de leche de cabra. Teniendoencuentalosestudiosdedemandadelostresproductoslacompaa estima que debe producir al da al menos 900 y 300 kilogramos de queso curado y semicurado,respectivamente,ynomsde800kilogramosdequesofresco.Los beneficiosporkilogramoproducidodecadatipodequesosonde4,6,y7euros respectivamente. Lagerenciadelaempresasehaplanteadolassiguientesmetasyobjetivosconel siguiente orden de prioridades: Prioridad 1. La cantidad de leche utilizada para la produccin de los quesos no supere 14000 litros diarios para la leche de oveja y 20000 litros diarios para la leche de cabra. 98 Prioridad 2. La cantidad de leche de cabra no sea superior a la de oveja. Prioridad 3. Maximizar beneficios. Modelizar y resolver el problema para calcular el nmero de horas al da que deben operar las mquinas. Solucin: Definimos las variables de decisin siguientes: 12horas al da que debe operar la mquina 1horas al da que debe operar la mquina 2xx== La modelizacin queda como sigue: ( )( ) 1 2 3 1 2 1 2 1 21 21 21 21 2 1 11 2 2Min , , 4 (9 10 ) 6 (2 5 ) 7 (5 4 )9 10 900 (1)2 5 300 (2)5 4 800 (3) 70 100 14000 (4)s.a200 80L y y y x x x x x xx xx xx xx x y yx x y+ + + ++ + + + + ++ + + + + =+ 21 2 1 2 3 31 220000 (5)70 100 20080 0 (6) 0, 00, 01,2, 3i iyx x x x y yx xy y i+ ++ =+ + = = El conjunto X de soluciones factibles del problema es: 99 ( ) 1 1 21 21 21 21 2 1 11 2 2 21 21 1P Min 9 10 900 (1)2 5 300 (2)5 4 800 (3) s.a 70 100 14000 (4)200 80 20000 (5) 0, 00, 0y yx xx xx xx x y yx x y yx xy y+ ++ + + ++ + + + + =+ + = 2 2, 0, 0y y + Soluciones ptimas: Valor ptimo:0 ( ) 2 31 21 21 21 2 1 11 2 2 21 21 12 2P Min 9 10 900 (1)2 5 300 (2)5 4 800 (3) 70 100 14000 (4)200 80 20000 (5)s.a0, 00, 00, 0yx xx xx xx x y yx x y yx xy yy y+ + + ++ + + + + =+ + = = =1 2 3 33 3 130 20 0 (6)0, 0x x y yy y+ + + + = A 100 Soluciones ptimas: Valor ptimo:0 ( )3 1 21 21 21 21 2 1 11 2 2 21 21 1P Min83 989 10 900 (1)2 5 300 (2)5 4 800 (3) 70 100 14000 (4)200 80 20000 (5)s.a0, 00, 0x xx xx xx xx x y yx x y yx xy yy+ + + + + + + + =+ + = =2 21 2 3 33 30, 0130 20 0 (6)0, 0yx x y yy y ++ + = + + == Solucin ptima: Valor ptimo:14000 B (19.44,126.39)101 Lasolucindelproblemaconsisteenoperar19.44horasaldaconlamquina1, 126.39horasaldaconlamquina2.Seutilizan14000litrosdelechedeoveja 1 1( 0, 0) y y+ = = y14000litrosdelechedecabra 2 2( 0, 6000) y y+ = = .Se usan,porlotanto,lamismacantidaddelechedeovejaydecabra 3 3( 0, 0). y y+ = = El beneficio mximo obtenido es de 14000 euros. 4.Enlatablasiguientequedanrecogidaslasactividadesenlasquesedivideel proyectoderodarunapelcula,suduracinendasascomosusrelacionesde precedencia. ActividadDescripcin Precedentes Inmediatas Duracin aHacer el guin--30 bLocalizar exterioresa10 cPermisos para rodar en exterioresb4 dLocalizar interioresa8 eContratar actoresa10 fContratar personal tcnicoa8 gAlojamiento actores y personal tcnicoe, f1 hVestuarioe5 iRodar escenas exteriores sin actoresc, f1 jRodar con actoresi, h, g, d20 a)(6 puntos) Elaborar una red que represente el proyecto. Indicar el o los caminos crticos y la duracin prevista del proyecto. b)(2puntos)Silalocalizacindeinterioresseretrasaen2das,afectaeste retraso a la duracin prevista del proyecto? Por qu? c)(2 puntos) Si por problemas de produccin el objetivo fuese reducir el tiempo de rodaje sera una poltica adecuada eliminar el rodaje en exteriores (eliminar actividades b, c, i)? Por qu? 102 Solucin: a)La siguiente red representa a este proyecto: Caminos crticos: (1,2,3,8,9) y (1,2,5,6,8,9) Duracin prevista del proyecto (d.p.p.): 65 das b)El margen u holgura de la actividad d (Localizarinteriores) es de 7 das, por lo que un retraso de 2 das en esa actividad no afecta a la d.p.p. c)No.La d.p.p. sera la misma,ya que estas actividades no forman parte de uno de los caminos crticos, el camino (1,2,3,8,9). a(30) f(8) j(20) e(10) i(1) d(8) g(1) c(4) b(10) 0 1 0 405 40 30 2 30 38 4 44 446 44407 44 458 45 403 40 659 65 h(5) 103 INVESTIGACION OPERATIVA (3 LADE) Junio 2008 1.(10puntos)UnaempresafabricadosproductosAyBqueseprocesanentres mquinas M1, M2 y M3. Los tiempos de procesamiento en horas de cada unidad de productoencadamquina,losingresosunitariosdecadaproductoylas disponibilidades semanales de cada mquina estn recogidos en la siguiente tabla: A B Disponibilidad semanal (horas) M13530 M211035 M32840 Ingresos unitarios (euros) 1000 2000 Laempresaestconsiderandolaposibilidaddeaumentarsemanalmentela capacidad de la mquina M1 en 10 horas y/o de la mquina M2 en 15 horasy/o de lamquinaM3en20horasconunoscostesde400,600y500, respectivamente, no pudiendo ser el coste total ms de 1200 .La capacidad de la mquina M2 slo se puede ampliar si se amplia la de la mquina M1. Modelizar el problemadecmoplanificarlaproduccincomounproblemadeprogramacin lineal entera si se desea maximizar los beneficios.

Solucin: Definimos las variables de decisin siguientes: nmero de unidades del producto que se producen a la semanaA, Bix i i = =1 si se aumenta la capacidad de la mquina0 en caso contrariojjz= con j=1,2,3 La modelizacin queda como sigue: 104 ( )( )1 2 31232 11 2 3Max 1000 2000 400 600 5003 5 30 1010 35 152 8 40 20s.a400 600 500 1200 0 y enterasA, B0,11,2,3A BA BA BA Bijx x z z zx x zx x zx x zz zz z zx iz j+ + + + + + ++ + == = 2.(10 puntos) Resolver el siguiente problema de programacin por metas: 1 2 3 41 21 2 1 11 2 2 21 2 3 31 2 4 41 2Min( , , )40 (1)2 60 (2)3 0 (3)s.a 3 0 (4)4 3 180 (5)0, 00, 0 1, , 4i iLy y y yx xx x y yx x y yx x y yx x y yx xy y i+ + + + + + +++ + + = + = + = + + = = Solucin: El conjunto X de soluciones factibles del problema es: 105 1 11 21 2 1 11 21 1P Min ( )40 (1)2 60 (2)s.a0, 00, 0yx xx x y yx xy y++ ++ + + = Soluciones ptimas: Valor ptimo:0 2 2 31 21 2 1 11 21 11 2 2 21 2 3 32 2 3 3P Min ( )40 (1)2 60 (2)0, 0s.a 0, 03 =0 (3)3 =0 (4)0, 0, 0, 0y yx xx x y yx xy yx x y yx x y yy y y y ++ ++ + + + ++ + + = = + + Soluciones ptimas: Valor ptimo:0 A B 106 3 41 21 2 1 11 21 11 2 2 21 2 3 32 23 31 2 4 44 4P Min ( )40 (1)2 60 (2)0, 00, 03 =0 (3)s.a3 =0 (4)0, 00, 04 3 =180 (5)0, 0,yx xx x y yx xy yx x y yx x y yy yy yx x y yy y+ ++ + + ++ ++ + + = = + += = + + Solucin ptima: Valor ptimo:40 Solucin ptima: 1 220, 20 x x = =1 1 2 2 3 3 4 40, 40, 0, 0, 40, 0, 40 y y y y y y y y+ + + + = = = = = = = = 3.Una compaa estatal de petrleo cuenta con una red de oleoductos que utiliza para transportarpetrleodesdesurefineraRhastasucentrodealmacenamientoA, comosemuestraenelgrafosiguiente.Cadaarcovienevaloradoporlacapacidad mxima diaria que se puede enviar, en miles de litros. a)(5puntos)Determinareltiempoquesenecesitaparatransportar60000litros desde la refinera al centro de almacenamiento si cada da se enva la cantidad mxima posible. b)(5 puntos) Si la capacidad del arco (2,5) aumenta de 1 a 4, teniendo en cuenta ladistribucindeenvoobtenidoenelapartadoa),encuntosereducirel tiempo obtenido? 3 6 1 4 2 1 4 1 3 1 2 5 A 8 9 12 10 R 4 (20, 20)107 Solucin: a)Partimos del flujo nuloy consideramos la cadena de crecimiento del origen al destino(R,1,5,A).Elincrementodeflujoquepermiteestacadenavienedado por( ) { } R,1, 5, A min 8, 4,12 4f = = yllegamosalsiguienteflujocuyovalor es4fV =miles de litros diarios: Consideramos la cadena de crecimiento (R,1,2,5,A).( ) { } R,1, 2, 5, A min 8 4,1 0,1 0,12 4 1f = = yllegamosalsiguienteflujo cuyo valor es5fV =miles de litros: Consideramos la cadena de crecimiento (R,2,4,5,A).( ) { } R, 2, 4, 5, A min 3 0, 4 0,1 0,12 5 1f = =y llegamos al siguiente flujo cuyo valor es6fV =miles de litros: Consideramos la cadena de crecimiento (R,2,4,A).3,1 6,0 1,1 4,1 2,0 1,1 4,4 1,1 3 1 2 5 A 8,5 9,0 12,6 10,0 R 4 3,0 6,0 1,0 4,0 2,0 1,1 4,4 1,1 3 1 2 5 A 8,5 9,0 12,5 10,0 R 4 3,0 6,0 1,0 4,0 2,0 1,0 4,4 1,0 3 1 2 5 A 8,4 9,0 12,4 10,0 R 4 108 ( ) { } R, 2, 4, A min 3 1, 4 1, 6 0 2f = = yllegamosalsiguienteflujocuyo valor es8fV =miles de litros: Consideramos la cadena de crecimiento (R,3,4,A).( ) { } R, 3, 4, A min 9 0,10 0, 6 2 4f = = yllegamosalsiguienteflujocuyo valor es12fV =miles de litros: NoexisteningunacadenadecrecimientodelnodoRalnodoA.Luegoeste flujo es un flujo mximo y su valor es 12000 litros diarios.Si queremos mandar 60000 litros, necesitamos 60000512000 =das. b)Consideramos la cadena de crecimiento (R,3,4,2,5,A). ( ) { } R, 3, 4, 2, 5, A min 9 4,10 4, 3, 4 1,12 6 3f = =y llegamos al siguiente flujo cuyo valor es15fV =miles de litros: 6,6 1,1 4,0 2,0 4,4 4,4 1,1 3 1 2 5 A 8,5 9,7 12,9 10,7 R 4 3,3 6,6 1,1 4,3 2,0 1,1 4,4 1,1 3 1 2 5 A 8,5 9,4 12,6 10,4 R 4 3,3 3,3 6,2 1,1 4,3 2,0 1,1 4,4 1,1 3 1 2 5 A 8,5 9,0 12,6 10,0 R 4 109 NoexisteningunacadenadecrecimientodelnodoRalnodoA.Luegoeste flujo es un flujo mximo y su valor es 15000 litros diarios. Si queremos mandar 60000 litros, ahora se necesitan 4 das, luego se reducira en un da. 4.(4puntos)Enlasiguientetablasepresentanellistadodelasactividadespara realizar la formulacin de lascuentas anuales deuna empresa(con sus duraciones en das y sus relaciones de precedencia): ActividadesDescripcinDuracin Precedentes Inmediatas AInventario (Recuento fsico)2-- B Valoracin inventario (conversin moneda funcional) 1/4A C Comprobantes (identificacin facturas) 2-- DRegistro contable1C EAuditoria I (verificacin saldos)1D F Auditoria II (revisin del proceso de registro) 1/2E G Circulacin de cuentas corrientes deudoras 7D H Circulacin de cuentas corrientes activas 5F I Verificacin final de saldos patrimoniales 3F y G J Balance de comprobacin de sumas y saldos 1/2I K Regularizacin (traspaso de gastos e ingresos y determinacin de resultado contable) 1/2G LBalance final1/2J y K Construir un grafo asociado a este proyecto. 110 Solucin: 5.(6 puntos) En el grafo siguiente se representa un proyecto. En los arcos se indica la duracin de las diferentes actividades en das. a)Calcularladuracinprevistadelproyectoyelcaminocrtico.Calcularlas holguras (mrgenes) de las actividades (4,7) y (2,4). b)Siladuracindelaactividad(2,4)seredujeraen1da,cmoafectaraala duracin prevista del proyecto? Y al camino critico? c)Silaactividad(6,7)sufrieraunamodificacinysuduracinfuerade4das, culseraladuracinprevistadelproyecto?Culesseranlasactividades crticas? 4 6 2 2 4 4 3 2 4 5 7 2 3 1 1 6 1 8 L J F B G D H E E D C A 11 98 7 6 5 42 3 1 10 I K 111 Solucin: a) Duracin prevista del proyecto (d.p.p.): 13 das Camino crtico: (1,2,4,6,7,8)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4, 7 * 4, 7 4, 7 4, 7 7 4 4, 7 9 6 2 1 M FMT CMT t Q P t = = = =( ) 2, 4 0 M = , ya que la actividad (2,4) es crtica. b) 2 4 4 1 2 1 2 3 0 1 33

2 2 5 4

76

87

128 65

3 6 4 1 2 1 2 3 0 1 0 33 6 2 2 2 6 4 6 86 8 97 9 138 13 65 74 6 2 4 112 Siladuracindelaactividad(2,4)seredujeraenunda,laduracinprevista delproyectosereduciraenunda,esdecirdurara12das.Loscaminos crticos seran: (1,2,4,6,7,8) y (1,2,5,8). c)La actividad (6,7) es crtica. Si su duracin fuera de 4 das en lugar de un da, elproyectoseretrasara3das,esdecirdurara16das.Elcaminocrtico seguirasiendoelmismoy,portanto,lasactividadescrticasseran:(1,2), (2,4), (4,6), (6,7) y (7,8). 113 INVESTIGACION OPERATIVA (3 LADE) Septiembre 2008 1.(10puntos)ElConsejodeAdministracindeinversionesdeunaempresadispone de 1000000 para invertir en 7 fondos. El rendimiento de la inversin de 1 en el fondo i es Ri. El Consejo desea maximizar el rendimiento total teniendo en cuenta las siguientes condiciones: La inversin en el fondo 2 slo se realizar si se lleva a cabo la inversin en el fondo 1. Lainversinenelfondo4debehacerseobligatoriamentesisehacenlas inversiones en los fondos 1 y 3. Si se realizan inversiones en los fondos 1 o 4 no se realizar la inversin en el fondo 6. Sinoserealizannilainversinenelfondo2nilainversinenelfondo5, entonces no se realizar la inversin en el fondo 7. Siseinvierteenalgnfondolacantidadinvertidaendichofondodebeseral menos de 600 .a)Modelizar este problema como un problema de programacin lineal entera. b)ElConsejodeAdministracindisponedeotros200000adicionales.Debe decidirsiinvierteesacantidadntegramenteenLetrasdelTesoro,locualle reportara un rendimiento total de R, o bien agregarla a la cantidad inicial para redistribuirla entre los fondos de inversin anteriores. Formular un problema de programacinlinealenteraquemaximiceelrendimientototalenestanueva situacin. Solucin: a)Definimos las variables de decisin siguientes: euros invertidos en el fondo 1,...,7ix i i = =1 si se invierte en el fondo0en caso contrarioiiy= con i=1,,7 La modelizacin queda como sigue: 114 1 1 2 2 7 71 72 14 1 36 16 42 5 7Max (R R ... R )... 1000000111 s.a600 1,..., 70= 1,...,70,1= 1,...,7i i iiix x xx xy yy y yy yy yy y yy x My ix iy i+ + ++ + + + = = Con M positivo suficientemente grande. b)Definimos las variable de decisin siguiente: 1 si se invierten los 200000 en Letras del Tesoro0 en caso contrarioz= La modelizacin queda como sigue: ( )1 1 2 2 7 71 72 14 1 36 16 42 5 7Max (R R ... R )... 1000000 200000 1111s.a600 1,..., 70= 1,...,70,1= 1,...,7=0, 1i i iiix x x Rzx x zy yy y yy yy yy y yy x My ix iy iz+ + + + + + + + + == Con M positivo suficientemente grande. 2.(10puntos)Elayuntamientodeunmunicipiovaaconstruirunaresidenciapara estudiantes con dos tipos de habitaciones, pequeas y grandes, con capacidad para 2 y 4 estudiantes respectivamente. 115 Dadas las necesidades existentes, para que el proyecto resulte factible y apropiado, elnmerototaldehabitacionesdebesercomomucho400,ylashabitaciones pequeas deben ser al menos el 40% del total de habitaciones Elcostedeconstruccindecadahabitacinpequeaesde40000ydecada habitacingrande60000.Lacorporacinpretendeminimizarelcostede construccin y maximizar la capacidad de estudiantes de la residencia. a)Modelizar el problema multiobjetivo y encontrar todas las soluciones eficientes del problema relajado. b)Sabiendo que cada habitacin pequea requiere 22 m2 y cada habitacin grande 28 m2, si adems de los dos objetivos anteriores se pretende tambin minimizar elespacioconstruido,obtener2solucioneseficientesdelnuevoproblema multiobjetivo. Solucin: a)Definimos las variables de decisin siguientes: 12= nmero de habitaciones pequeas= nmero de habitaciones grandesxx La modelizacin del modelo multiobjetivo relajado queda como sigue: ( )( )1 2 1 21 21 1 21 2Max 40000 60000 , 2 4400 (1)s.a 0.4 (2)0, 0x x x xx xx x xx x ++ + 116 Soluciones eficientes:( )( ) 0, 0 160, 240 b)La modelizacin del modelo multiobjetivo relajado queda como sigue: ( )( )1 2 1 2 1 21 21 1 21 2Max 40000 60000 , 2 4 , 22 28400s.a 0.40, 0x x x x x xx xx x xx x + + + Resolucin1:elconjuntodesolucionesfactiblesXescompactoyvemospor elgrficof(X)porlatabladelosvrticesque(0,0)eslanicasolucin ptimaqueminimizaelcoste,luegoesunasolucineficientedelproblema multiobjetivo a) y b) (no podemos pasar a otra solucin factible sin empeorar el coste). Anlogamente, (160,240) es otra solucin eficiente del problema multiobjetivo a)yb)dadoqueeslanicasolucinptimadelafuncincapacidadde estudiantes. Resolucin 2: aplicando el teorema de Zadeh Con pesos 1 2 31 = = = tenemos el siguiente modelo ponderado: ( )1 2Max 40020 60024s.ax xX Lasolucinptimaes(0,0),luego(0,0)essolucineficientedelmodelo multiobjetivo. Con pesos 1 2 31, 100000, 1 = = =tenemos el siguiente modelo ponderado: ( )1 2Max 159978 339972s.ax xX+ Vrtices Vrtices( )(0, 0) (0, 0)(400, 0) ( 16000000, 800)(160, 240) ( 20800000,1280)X f X117 Lasolucinptimaes(160,240),luego(160,240)essolucineficientedel modelo multiobjetivo. 3.(10puntos)UnaempresadisponededoscamionesfrigorficosC1yC2conuna capacidadde100y60toneladasrespectivamente.Laempresadesearealizarun slo viaje y hay 4 cargas para transportar, A y B de 40 toneladas cada una y C y D de 50 toneladas cada una. El beneficio de transporte por carga en miles de euros se indica en la tabla ABCD C1101088 C26644 a)DeterminarmedianteelMtodoHngaroqucargasdelas4debenser transportadas utilizando los dos camiones para maximizar el beneficio total. b)SedisponedeuntercercaminC3de150toneladasyconunbeneficiode transporteporcargade7000euros.TeniendoencuentaqueC3noescamin frigorficoy nicamente las cargas Ay B necesitan camin frigorfico para su transporte,aqutabla(sinresolver)seaplicaraelMtodoHngarosise deseaasignarlas4cargasaloscamionesconel mximobeneficio?Yaqu tabla , si adems se impone la condicin de que se utilicen los tres camiones? Solucin: a)Aplicamos el Mtodo Hngaro a la siguiente tabla:b) ABCD C1-10-10-8-8+10 C1-10-10-8-8+10 C2-6-6-4-4+6 F1 0000 118 ABCD C10022-2 C10022-2 C20022-2 F1 0000 +2 +2 ABCD C10000 C10000 C20000 F1 2200 Existen varias soluciones ptimas. En ellas las cargas C o D no se transportan y el resto de la carga A, B, C ( D) se pueden transportar en cualquier camin. C1 lleva dos cargas y C2 una. b)ElcaminC3puedetransportarhasta150toneladasporloquepuedellevar hasta 3 cargas, pero al no ser frigorfico solo puede transportar las cargas C o D i)Aplicaremos el Mtodo Hngaro a la siguiente tabla:ABCDF1F2 C1-10-18-8-800 C1-10-10-8-800 C2-6-6-4-400 C3MM-7-700 C3MM-7-700 C3MM-7-700 Con M positivo suficientemente grande. ii)Siademsdeimponelacondicindequeseutilicenlostrescamiones, aplicaremos el Mtodo Hngaro a la siguiente tabla: 119 ABCDF1F2 C1-10-18-8-800 C1-10-10-8-8MM C2-6-6-4-4MM C3MM-7-700 C3MM-7-700 C3MM-7-700 Con M positivo suficientemente grande. 4.(10puntos)Lasiguienteredrepresentaunproyecto,cadaarcounaactividaddel mismoysuvalorasociadosuduracinendas.Laduracindelaactividad(3,7) viene dada por t, donde10 t . a)Determinar la duracin prevista del proyecto y el camino crtico. b)Calcularparalasactividades(3,5)y(5,6)lostiemposdecomienzoms temprano (CMT), los de finalizacin ms tardo (FMT*) y sus mrgenes. c)Cuntosereduceladuracinprevistadelproyectosiladuracindela actividad (4,6) se reduce en 2 das?, y si se reduce en 4 das? d)Si la actividad (5,7) se retrasa 2 das, afecta este retrasoal margen dealguna de las actividades del proyecto? Al de cules y en cunto? e)Si se sabe que el final ms temprano de la actividad (3,7) es 20, determinar la duracin de la actividad (3,7). 7 8 7 9 6 11 5 t 4 2 3 5 7 4 12 10 6 1 6 8 120 Solucin: a) Duracin prevista del proyecto (d.p.p.): 36 das Camino crtico: (1,2,4,6,8) b)( ) ( ) 3, 5 3 12 CMT P = =( ) ( ) 5, 6 5 18 CMT P = =( ) ( ) * 3, 5 5 20 FMT Q = =( ) ( ) * 5, 6 6 27 FMT Q = =( ) ( ) ( ) ( ) 3, 5 * 3, 5 3, 5 3, 5 20 12 4 4 M FMT CMT t = = =( ) ( ) ( ) ( ) 5, 6 *5, 6 5, 6 5, 6 27 18 7 2 M FMT CMT t = = = c)Siladuracindelaactividad(4,6)sereduce2das,laduracinprevistadel proyectosereduceen2das,esdecirpasaaserde34das,yloscaminos crticos son (1,2,4,6,8) y (1,2,5,6,8).Siladuracindelaactividad(4,6)sereduce4das,laduracinprevistadel proyecto se reduce en 2 das, es decir pasa a ser de 34 das, y el caminos crtico es (1,2,5,6,8). 7 8 7 9 6 11 5 t 412 10 6 0 1 0 12 3 16 10 2 10 16 4 16 18 5 20 23 7 30 27 6 27 36 8 36 121 d)Si la duracin de la actividad (5,7) se retrasa 2 das, su margen se reduce en dos das.Ademsesteretrasoafectaalcomienzomstempranodelaactividad (7,8),queseretrasaen2das,luegoelmargendeestaactividadtambinse reduce en 2 das. e)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3, 7 3, 7 3, 7 20 12 3, 7 3, 7 8 FMT CMT t t t = + = + =das. 122 INVESTIGACION OPERATIVA (3 LADE) Extraordinario Febrero 2009 1.Enunhospitalcomarcalsepuedenrealizaroperacionesderin,decoraznyde vescula. Por problemas de personal cada da se realizan operaciones como mucho de dos clases. Debido al gran nmero de operaciones pendientes se deben realizar al menostantasoperacionesdevesculacomoderin.Porotraparte,nosepueden realizarmsde50operacionesdevesculadiarias.Cadaoperacinderin requierelapresenciadedosmdicosyserealizaenunahora.Lasoperacionesde coraznrequieren3mdicosyserealizanen5horas.Cadaoperacindevescula slo requiere un mdico y se realiza en una hora Para estos tipos de operaciones el hospital tiene asignados 20 mdicos y cuenta con 60 horas diarias de quirfano. a)(6puntos)Modelizarelproblemacomounproblemadeprogramacinlineal entera para maximizar el nmero de operaciones diarias. b)(4 puntos) El hospital recibe una subvencin y se plantea o bien modernizar el hospital y, as, poder realizar tambin operaciones de cataratas, o bien contratar dosnuevosmdicos.Lasoperacionesdecataratasrequierenunmdicoyuna horadequirfano,adems,siseoperadecataratassedebenrealizarcomo mnimo 5 operaciones al day no ms de 10. Modelizar el problema como un problemadeprogramacinlinealenteraparamaximizarelnmerode operaciones. Solucin: a)Definimos las variables de decisin siguientes: 1x = nmero de operaciones de rin al da 2x = nmero de operaciones de corazn al da 3x = nmero de operaciones de vescula al da 11 si se realizan operaciones de rin0 en caso contrarioy= 21 si se realizan operaciones de corazn0 en caso contrarioy= 123 31 si se realizan operaciones de vescula0 en caso contrarioy= La modelizacin queda como sigue: 1 2 31 2 31 2 31 2 31 31 12 23 3Max ( )2 3 205 602s.a500 1, 2, 3 y enteras0, 1 1, 2, 3iix x xx x xx x xy y yx xx Myx Myx yx iy i+ ++ + + + + + == = Con M positivo suficientemente grande. b)Sea definen adems de las variables del apartado anterior: 1 si se decide realizar operaciones de cataratas0 en caso contrarioz= 4x = nmero de operaciones de cataratas al da La modelizacin queda como sigue: 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 31 31 12 23 34Max ( )2 3 20 2(1 )5 602s.a505 100 1, 2, 3,4 y enteras0, 1 1, 2, 30, 1 iix x x xx x x x zx x x xy y y zx xx Myx Myx yz x zx iy iz+ + ++ + + + + + + + + + == = = Con M positivo suficientemente grande. 124 2.Enlatablasiguientequedanrecogidaslasactividadesquecomponenunproyecto as como la duracin en das y las relaciones de precedencia de dichas actividades: ActividadesDuracinPrecedentes Inmediatas A1 7 A2 5 A3 1A2 A4 3A1,A3 A5 2A4 A6 7A2 A7 8A2 A8 7A4 A9 3A5,A6 A10 2A7 A11 6A8,A9,A10 a)(6puntos)Elaborarunaredquerepresenteelproyectoyhallarlatablade actividades, la duracin prevista del proyecto y el camino crtico. b)(2puntos)Culserelefectoenladuracinprevistadelproyecto,sise retrasa tres das el inicio de la actividad A6? Por qu?c)(2 puntos) Cul es el tiempo mximo que se puede esperar desde el inicio del proyecto para dar comienzo a la actividad A6, sin variar la duracin prevista del proyecto? Por qu? 125 Solucin: a)La siguiente red representa a este proyecto: La tabla de actividades es: (i,j)t(i,j)CMT(i,j)FMT*(i,j)M(i,j) A2 (1,2)5061 A1 (1,4)7070* A7 (2,3)85152 A3 (2,4)1571 A6 (2,6)75142 A10 (3,7)213172 A4 (4,5)37100* A5 (5,6)210142 A8 (5,7)710170* A9 (6,7)312172 A11 (7,8)617230* Duracin prevista del proyecto (d.p.p.): 23 das Camino crtico: (1,4,5,7,8) b)Si el inicio de la actividad A6 se retrasa 3 das, el proyecto se retrasara 1 da, yaqueelmargendeestaactividadesde2dasyelretrasoenelinicioesde tres, es decir un da por encima de su margen. A7 (8) A5 (2) A6 (7) A10 (2) A9 (3) A8 (7) A4 (3) A2 (5) A1 (7) A3 (1) 0 1 0 133 15 5 2 6 7 4 7 126 14 177 17 238 23 105 10 A11 (6) 126 c)Eltiempomximoquesepuedeesperardesdeeliniciodelproyectoparadar comienzo a la actividad A6, sin variar la duracin prevista del proyecto, es de 7 das, ya que el margen de dicha actividad es 2. 3.(10 puntos) Una empresa produce dos productos A y B. Cada unidad de A requiere 2horasdetrabajoy3unidadesdemateriaprimaycadaunidaddeBrequiere4 horasdetrabajoy3unidadesdemateriaprima.Parasuproduccin,laempresa disponealdade12unidadesdemateriaprima.Laempresaobtiene200de beneficio por cada unidad de A y 400 por cada unidad de B. Modelizar y resolver el problema, sabiendo que la empresa se ha fijado las siguientes prioridades para las metas: Prioridad 1: Las horas de trabajo diarias no sean inferiores a 8.Prioridad 2: Los beneficios alcanzados sean al menos 1600 . Prioridad 3: Por cada unidad de B no se produzcan ms de tres unidades de A. Solucin: Definimos las variables de decisin siguientes: 1x = unidadesproducidas diariamente del producto A 2x = unidadesproducidas diariamente del producto B La modelizacin queda como sigue: 1 2 31 21 2 1 11 2 2 21 2 3 31 2Min( , , )3 3 12 (1)2 4 8 (2)200 400 1600 (3)s.a3 0 (4)0, 0 y enteras0, 0 1,2,3i iLy y yx xx x y yx x y yx x y yx xy y i ++ + + ++ + + =+ + = + = = 127 Resolveremos el problema relajado. El conjunto de soluciones factibles ser: 1 11 21 2 1 11 21 1PMin( )3 3 12 (1)2 4 8 (2)s.a0, 0 0, 0yx xx x y yx xy y+ ++ + + = Soluciones ptimas: Valor ptimo:0 2 21 21 2 1 11 21 11 2 2 22 2PMin ( )3 3 12 (1)2 4 8 (2)0, 0 s.a0, 0200 400 1600 (3)0, 0yx xx x y yx xy yx x y yy y+ ++ ++ + + = = + + = A 128 Solucin ptima:(0,4) Valor ptimo:0 3 31 21 2 1 11 21 11 2 2 22 21 2 3 33 3PMin ( )3 3 12 (1)2 4 8 (2)0, 0 0, 0s.a200 400 1600 (3)0, 03 0 (4)0, 0yx xx x y yx xy yx x y yy yx x y yy y++ ++ ++ ++ + + = = + + == + = Solucin ptima:(0,4) Valor ptimo:0 129 Lasolucinptimaconsisteenproducirdiariamente4unidadesdelproductoBy ninguna unidad del producto A.Las horas de trabajo diarias con esta produccin ptima son 16 (1 10, 8 y y += = ). Elbeneficioobtenidoesde1600(2 20, 0 y y += = ).Sealcanzalatercerameta producindose un defecto de 12 unidades (3 312, 0 y y += = ). 4.(10puntos)Unayuntamientotieneprevistoconstruircuatroinstalaciones deportivas diferentes dentro del municipio. El ayuntamiento se componede cuatro distritosA,B,CyDyquiereasegurarlaconstruccindeunpolideportivoenlos distritosmsgrandes:AyB.Adems,cabralaposibilidaddeconstruirdos polideportivoseneldistritoB.Lasiguientetablamuestraelnmerodeusuarios semanales(encentenas)queseestimanparacadatipodeinstalacindeportiva segn en el distrito en que se construya. Polideportivo Distrito P1P2 P3 P4 A12141719 B16192417 C10121815 D1392017 Resolver mediante el Mtodo Hngaro el problema de dnde se deben construir los 4polideportivossielayuntamientodeseamaximizarelnmerodeusuarios semanales. Solucin: Aplicamos el Mtodo Hngaro a la siguiente tabla: 130 P1P2P3P4F1 A-12-14-17-19M B-16-19-24-17M B-16-19-24-170 C-10-12-18-150 D-13-9-20-170 Con M positivo suficientemente grande. P1P2P3P4F1 A-12-14-17-19M B-16-19-24-17M B-16-19-24-170 C-10-12-18-150 D-13-9-20-170 +16 +19 +24 +19 Con M positivo suficientemente grande. P1P2P3P4F1 A4570M B0002M B00020 C67640 D310420 Con M positivo suficientemente grande. P1P2P3P4F1 A4570M-3 B0002M B00020 C67640-3 D310420-3 +3 +3 Con M positivo suficientemente grande. 131 P1P2P3P4F1 A1240M B0005M B00053 C34340 D07120 Con M positivo suficientemente grande. Seobtienelasiguienteasignacinptima:APolideportivo4,B Polideportivos 2 y 3, D Polideportivo 1. Valor ptimo, 7500 usuarios semanales. 132 INVESTIGACION OPERATIVA (3 LADE) Junio 2009 1.Una plantacin hortcola dispone de un terreno de 100 hectreas en el que se desea cultivartomates,pimientos,zanahorias,cebollasylechugas.Lashorasdetrabajo totales disponibles para cultivar toda la plantacin son 300. Las horas por hectrea necesariasparaelcultivodecadaunodelosproductosaparecenrecogidasenla siguiente tabla: TomatesPimientosZanahoriasCebollasLechugas Horas/ha54523 El coste de las semillas yfertilizantes por hectrea cultivada, para cada uno de los productos, junto con el coste fijo del cultivo de cada uno de ellos vienen reflejados en la siguiente tabla: El capataz de la plantacin ha determinado que: plantar como mnimo 3 productos y a lo sumo 4 de los 5 posibles, si planta tomates, entonces no plantar cebollas, plantar lechugas slo si planta pimientos a)(7puntos)ModelizarelproblemacomounproblemadeProgramacinLineal Entera para minimizar los costes. b)(3puntos)Laempresaestconsiderandoimplantarunnuevosistemade labranzaquelepermitirareducirlashorasdetrabajoporhectreanecesarias para el cultivo de cada producto. Estas pasaran a ser las que se muestran en la siguiente tabla: TomatesPimientosZanahoriasCebollasLechugas Coste semillas y fertilizantes () 251510825 Coste fijo del cultivo () 10012010080150 133 TomatesPimientosZanahoriasCebollasLechugas Horas/ha42212 Implantar este nuevo sistema de labranza requiere una inversin inicial de 1000 . Modelizarelproblemaincorporandolas2alternativas:continuarconelactual sistema de labranza o implantar el nuevo. Solucin: a)Definimos las variables de decisin siguientes: hectreas cultivadas del productoix i =i=1,,5(1 son tomates, 2 pimientos, 3 zanahorias, 4 cebollas y 5 lechugas) 1si se cultiva el producto 0en caso contrarioiiy= coni=1,,5 La modelizacin queda como sigue: ( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 54 15 2Min 25 15 10 8 25 100 120 100 80 1501005 4 5 2 3 3003 41 s.a 0 1,..., 50,1 1,..., 5i iix x x x x y y y y yx x x x xx x x x xy y y y yy yy yx My iy i+ + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + = = = Con M positivo suficientemente grande. b)Definimos las variable de decisin siguiente: 1 si se implanta el nuevo sistema de labranza0 en caso contrarioz=

La modelizacin queda como sigue: 134 ()( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 54 15 2Min 25 15 10 8 25 100 120 100 80 15010001005 4 5 2 3 3004 2 2 1 2 300 13 4s.a 10 1,..., 50, 11,..., 5i iix x x x x y y y y yzx x x x xx x x x x Mzx x x x x M zy y y y yy yy yx My iy i+ + + + + + + + + +++ + + + + + + + ++ + + + + + + + + == =0, 1 z= Con M positivo suficientemente grande. 2.(10 puntos) Una empresa dedicada a la elaboracin de piensos produce dos tipos de compuestos C1 y C2 a partir de dos materias primas A y B. Para producir 1 tonelada. de C1 se necesitan 0.25 toneladas de materia prima A y 0.75 toneladas de B, y para producir 1 tonelada de C2 se necesitan 0.5 toneladas de Ay 0.5 toneladas de B. El beneficio por tonelada de C1 es de 1 unidad monetariay por tonelada deC2 son 2 unidades monetarias. LascantidadestotalessemanalesdisponiblesdelasmateriasAyBson10y18 toneladas respectivamente. Paraajustarsealprogramacomunitariodeelaboracindepienso,laempresase plantea las siguientes metas y objetivos, en el siguiente orden de prioridades. Prioridad1:DeseaobtenerconelcompuestoC2 almenostantobeneficio semanal como con el compuesto C1. Prioridad2:DeseaquelaproduccinsemanaldeC1 noseainferiora16 toneladas. Prioridad 3: Minimizar la produccin semanal de C2. Determinarlaproduccinptimasemanaldecadaunodeloscompuestos. Interpretar la solucin obtenida planteando y resolviendo grficamente cada una de las metas y objetivos. 135 Solucin: Definimos las variables de decisin siguientes: 1x = produccin semanal en toneladas del compuesto C1 2x = produccin semanal en toneladas del compuesto C2 La modelizacin queda como sigue: 1 2 21 21 22 1 1 11 2 21 2 Min( , , )0.25 0.5 10 (1)0.75 0.5 18 (2)2 0 (3)s.a16 (4)0, 00, 0 1,2i iLy y xx xx xx x y yx y yx xy y i + + ++ + + = + = = El conjunto de soluciones factibles es el siguiente: 1 11 21 22 1 1 11 2P Min ( )0.25 0.5 10 (1)0.75 0.5 18 (2)2 0 (3) s.a0, 00, 0 1, 2i iyx xx xx x y yx xy y i+ ++ + + = = Soluciones ptimas: Valor ptimo:0 A 136 2 21 21 22 1 1 11 21 11 2 22 2P Min ( )0.25 0.5 10 (1)0.75 0.5 18 (2)2 0 (3)0, 0s.a0, 016 (4)0, 0yx xx xx x y yx xy yx y yy y+ ++ ++ + + = = + = Soluciones ptimas: Valor ptimo:0 3 21 21 22 1 1 11 21 11 2 22 2P Min ( )0.25 0.5 10 (1)0.75 0.5 18 (2)2 0 (3)0, 0s.a0, 016 (4)0, 0xx xx xx x y yx xy yx y yy y+ ++ ++ + + = = + == Solucin ptima:(16,8) Valor ptimo:8 La solucin ptima consiste en producir semanalmente 16 toneladas del compuesto C1 y 8 toneladas de C2.Sesatisfacelameta1obteniendoexactamenteelmismobeneficiosemanalde16 eurosconamboscompuestos, 1 1( 0, 0). y y += = Ademstambinsesatisfacela meta 2 2 2( 0, 0). y y += = B 137 3.El director general de una empresa de publicidad se enfrenta al problema de asignar publicistasa4nuevosclientesimportantes:C1,C2,C3yC4.Enlatablase presenta el coste estimado que le supondra asignar sus 3 mejores publicistas P1, P2 y P3 a cada uno de los clientes, en miles de euros: a)(6 puntos) Determinar las posibles asignaciones ptimas de los 3 publicistas a 3 delos4clientesteniendoencuentaquecadapublicistaatenderaunnico cliente. b)(4puntos)PlantearlatablaalacualseaplicaraelMtodoHngaropara asignarlos4clientessieldirectorsabequecualquieradelos3publicistas puedeatenderamsdeunclienteytodos(lospublicistasyclientes)deben estar asignados. Solucin: a)Aplicamos el Mtodo Hngaro a la siguiente tabla: P1P2P3F1 C14680 C22340 C34850 C41260 -1 -2 -4 P1P2P3F1 C13440 C21100 C33610 C40020 P1P2P3 C1468 C2234 C2485 C4126 138 P1P2P3F1 C13440-1 C21100 C33610-1 C40020 +1 P1P2P3F1 C12330-1 C21101-1 C32500-1 C40021 +1 +1 P1P2P3F1 C11230 C20001 C31400 C40032 Y obtenemos las dos siguientes asignaciones ptimas: Asignacin ptima 1: C2 P1, C3 P3, C4 P2. Asignacin ptima 2: C2 P2, C3 P3, C4 P1. Coste mnimo 9000 139 b)Aplicaremos el Mtodo Hngaro a la siguiente tabla:P1P2P3P1P2P3 C1468468 C2234234 C3485485 C4126126 F1 000MMM F2 000MMM Con M positivo suficientemente grande. 4.Una empresa desea diversificar su oferta hacia un nuevo segmento del mercado,y para ello, encarga al departamento de marketing que realice un estudio de mercado. Eldepartamentodemarketingelaboraunalistaconlasactividadesarealizar,la duracindecadaunadelasactividadesylasrelacionesentreellas,talycomose muestra en la siguiente tabla: Actividad Arco (i, j) Descripcin Duracin (en das) Precedentes Inmediatas A(1, 3) Bsqueda y anlisis de informacin secundaria 3- B(1, 2) Definir el marco metodolgico y los objetivos 1- C(2, 5) Determinar el tamao de la muestra y seleccionarla 2B D(3, 5)Disear el cuestionario1A y B E(5, 6) Realizar encuestas y codificar informacin 10C y D F(3, 4) Disear la entrevista y seleccionar expertos para la entrevista 2A y B G(4, 6)Realizacin de entrevistastF H(6, 7) Anlisis de la informacin cuantitativa y cualitativa kE y G I(7, 8)Redaccin del estudio3H 140 dondeladuracindelaactividadGyHvienendadasporlasvariablestyk respectivamente. a)(2puntos)Elaborarelgrafoasociadoalproyectoaadiendoactividades ficticiassifueranecesarioparamantenerlasrelacionesdeprecedencia indicadas en la tabla y teniendo en cuenta la numeracin de los arcos indicada. b)(8 puntos) Si se sabe que t es menor que 9 das: i)Es posible calcular la duracin prevista del proyecto y el camino crtico independientementedelosvaloresquetomantyk?Calcularlosen funcin de t y k si fuese necesario. ii)Qu valores puede tomar k si se desea concluir el proyecto en menos de 25 das? iii)Sisesabequeparanoretrasarladuracinprevistadelproyectola actividadFdebeestarfinalizadaelsextodaculeselvalordet? Teniendoencuentaelvalorobtenidocuntosdassepodrretrasarla actividad G para no retrasar la duracin prevista del proyecto? Solucin: a)La siguiente red representa a este proyecto: b)i)Si9 t < ,laduracinprevistadelproyecto(d.p.p.)es17+kyelcamino crtico es (1,3,5,6,7,8). ii)Si la duracin prevista del proyecto es menor de 25 das, se tiene que: E(10) I(3)H(k) G(t . Solucin: a)Resolucin del problema relajado: PR 143 P1 (1.2,0)R = Cota = ---PR1.2Rz =1(2,1) = Cota = 3P113 z =2(1,0.5) = Cota = 3P221.5 z =P63(0.8,1) = Cota = 3P331.8 z =Infactible5(0,3) = Cota = 2P553 z =4(1,1) = Cota = 2P442 z =TerminalTerminalTerminal Terminal11 x 12 x 20 x 21 x 10 x 11 x 144 P2 P3 P4 145 Solucin: b)Si:entonces la solucin del Problema Relajado es: Dadoquelasolucintieneambasvariablesenterasstaserlasolucindel Problema Lineal Entero. 2.EldepartamentodeRecursosHumanosdeunaempresaestpreparandoun encuentroformativoenMadridparatrabajadoresdesusdelegacionesenBilbao, Barcelona,Sevilla,ValenciayZaragoza.Despusdeanalizarlasnecesidades formativas de sus trabajadores, decide organizar 3 seminarios, S1, S2y S3, que se desarrollarn simultneamente. La delegacin de Bilbao tiene capacidad para enviar a7desustrabajadoresalencuentro,ladeBarcelonaa5,ladeSevillaa7,lade Valenciaa2yladeZaragozaa6.Enlasiguientetablaserecogeelnmerode trabajadores que como mucho pueden participar en cada seminario. BilbaoBarcelonaSevillaValenciaZaragoza S1422---- S213223 S3----3--1 P5 (1,1)2 z ==

5 / 2 >(0, 3)3RRz==

146 Cada seminario se impartir en una de las salas de reuniones de la sede central en Madrid, cada una de ellas con capacidad mxima para 8 personas. a)(3 puntos) Si se desea maximizar el nmero de trabajadores que asistirn a los seminarios, dibujar el grafo que represente este problema. b)(4puntos)SieldepartamentodeRecursosHumanoshaconfirmadola inscripcin de los siguientes trabajadores en cada uno de los seminarios, BilbaoBarcelonaSevillaValenciaZaragoza S1420---- S213220 S3----3--1 sepodrainscribiralgntrabajadormsaalgunodelosseminarios?cul seraelnmeromximodetrabajadoresqueasistirnalosseminarios? (Responder razonadamente) c)(3puntos)Cambiaraelnmeromximodepersonasqueasistiranalos seminarios,siladelegacindeValenciapuedeenviarasustrabajadores tambin al seminario S3? (Responder razonadamente) Solucin: a)Esteproblemapuedesermodelizadocomounproblemadeflujode trabajadores mediante el siguiente grafo. 4, 1 2 3 2 2 3 2 3 1 8 8 8 7 5 7 2 6 Bilbao Barcelona Sevilla Valencia Zaragoza O S1 S2 S3 D 147 b)Un grafo que representa esta situacin es: Enestasituacin,elflujodetrabajadoresinscritosparairdesdelas delegaciones al encuentro en la sede central de Madrid es un flujo cuyo valor es 18. Partimos de este flujoyconsideramos la cadena de crecimiento del origen aldestino(O,Sevilla,S1,D).Elvalordelflujopuedeaumentaren ( ) { } O,Sevilla,S1,D min 7 5, 2 0, 8 6 2f = = . Dado que todos sus arcos son directos, saturamos estacadena aadiendo 2 a todos sus arcos. Elresultado es el siguiente flujo cuyo valor es 20. En esta nueva situacin todas las cadenas del origen al destino estn saturadas, por tanto el flujo que atraviesa la red es mximo y de valor20fV = . Por lo tanto el nmero mximo de trabajadores que asistirn a los seminarios es 20. 4, 4 1, 1 2, 2 3, 3 2,2 2, 2 3, 3 2, 2 3,01, 1 8, 8 8, 8 8, 4 7, 5 5, 5 7, 7 2, 2 6, 1 O Bilbao Barcelona Sevilla Valencia Zaragoza S1 S2 S3 D 4, 4 1, 1 2, 2 3, 3 2 2, 2 3, 3 2, 2 31, 1 8, 6 8, 8 8, 4 7, 5 5, 5 7, 5 2, 2 6, 1 O Bilbao Barcelona Sevilla Valencia Zaragoza S1 S2 S3 D 148 c)Se crea un nuevo arco desde Valencia al seminario S3 con una capacidad de 2. En esta nueva situacin hay una cadena de crecimiento (no saturada), la cadena (O,Zaragoza,S2,Valencia, S3,D), ya que sus arcos directos no estn saturados y suinversonotieneflujonulo.Considerandoestacadenaelvalordelflujo puede aumentar en: ( ) { } O, Zaragoza, S2, Valencia,S3, D min 6 1, 3 0, 2, 2 0, 8 4 2f = = .Llegamos al siguiente flujo cuyo valor es 22. NoexisteningunacadenadecrecimientodelnodoOalnodoD.Luegoeste flujo es un flujo mximo, cuyo valor es22fV = . Elnmeromximodetrabajadoresqueasistirnalosseminarioses22,8al seminario S1, 8 al seminario S2 y 6 al seminario S3. 4, 4 1, 1 2, 2 3, 3 2, 2 2, 2 3, 3 2, 2 3,0 1, 1 8, 8 8, 8 8, 4 7, 5 5, 5 7, 7 2, 2 6, 12,0 O Zaragoza Valencia Sevilla Barcelona Bilbao S1 S2 S3 D 4, 4 1, 1 2, 2 3, 3 2, 2 2, 2 3, 3 2, 0 3, 2 1, 1 8, 8 8, 8 8, 6 7, 5 5, 5 7, 7 2, 2 6, 3 2, 2 O Bilbao Barcelona Sevilla Valencia Zaragoza S3 S2 S1 D 149 3.Unaempresarealizadostiposdebombones,decalidadexcelenteydeprimera calidad.Paraproducirlosutilizacacaoyalmendras,delosquedispone semanalmentede48kilosy4.5kilosrespectivamente.Pararealizarunacajade bombonesdecalidadexcelentesenecesita600gramosdecacaoy50gramosde almendras mientras que para una caja de primera calidad se necesita 400 gramos de cacaoy 50 gramos de almendras. Por cada caja de calidad excelente se obtiene un beneficio de 70 y por cada una de primera calidad de 40 y adems se vende sin problemas todo lo que se produce. a)(5puntos)Determinar,resolviendoelproblemarelajado,lasproducciones semanales eficientes de cajas de bombones de modo que la empresa maximice sus beneficios y el volumen de ventas.b)(2puntos)Silaempresaconsideracadaventacomo10debeneficio, modelizar el problema relajado correspondiente. c)(3 puntos) Si la empresa necesita 7 horas de produccin para obtener una caja de calidad excelentey 4 horas para una caja de primera calidad, determinar al menosdosproduccionessemanaleseficientesdelproblemarelajadodemodo quelaempresamaximicesusbeneficios,yelvolumendeventasyminimice las horas de produccin. Solucin: a)Definimos las variables de decisin siguientes: 1x = cajas de bombones de calidad excelente producidas semanalmente 2x = cajas de bombones de primera calidad producidas semanalmente La modelizacin queda como sigue:1 2 1 21 21 21 2Max (70 40 , )600 400 48000s.a 50 50 45000, 0 y enterasx x x xx xx xx x+ ++ + Resolveremos el problema relajado: 1 2 1 21 21 21 2Max (70 40 , )600 400 48000 (1)s.a 50 50 4500 (2)0, 0x x x xx xx xx x+ ++ + 150 Soluciones eficientes:( )( ) 80, 0 60, 30 b)La modelizacin queda como sigue:( ) ( )1 2 1 2Max 70 40 10s.ax x x xX+ + + c)La modelizacin queda como sigue:( )1 2 1 2 1 2Max 70 40 , , 7 4s.ax x x x x xX+ + PorelteoremadeZadehsidamospesospositivosalasfuncionesobjetivo,la solucinptimadelproblemaponderadoserunasolucineficientedel problema multiobjetivo. Vrtices Vrtices( )(0, 0) (0, 0)(80, 0) (5600, 80)(60, 30) (5400, 90)(0, 90) (3600, 90)X f X151 Asignando:1 2 31, 1, 10 = = = elmodelolinealponderadotienecomo soluciones ptimas( )( ) 0, 90 60, 30 . Estas sern soluciones eficientes del modelo multiobjetivo. 4.El grupo de rock Led Seppelin est preparando su disco de despedida. El manager del grupo est definiendo el proyecto, estableciendo las duraciones (en semanas) de las actividades que lo componen, as como las relaciones de precedencia que se dan entre ellas, que aparecen recogidas en la siguiente tabla: ActividadDescripcinDuracin Precedentes Inmediatas AComposicin de canciones10- BProduccin5- CDiseo de portada7- DGrabacin del disco4A y B EFabricacin3C y D FPromocin6E GRegistro del disco1E HDistribucin2F y G a)(7 puntos) Elaborar un grafo asociado a este proyecto y determinar la duracin prevista del proyecto y el camino crtico.b)(3 puntos) El manager del grupo ha visto la necesidad de incorporar una nueva actividad I para garantizar el xito del disco. Esta actividad es la grabacin de unvideoclipqueseharinmediatamentedespusdelagrabacindeldiscoe inmediatamenteantesdelafasedepromocin.Lagrabacindelvideoclip durar5semanas.Elaborarungrafoasociadoalproyectoquerecojadicha actividad.152 Solucin: a)Un grafo que representa este proyecto es: Duracin prevista del proyecto (d.p.p.): 25 semanas. Camino crtico: (1,2,3,4,5,7,8). b)Un grafo que representa este proyecto y que recoge la nueva actividad es: F(6) B(5) G(1) H(2) I(5) E(3) D(4) A(10) C(7) 2 13 4 5 6 789 B(5) G(1) H(2) F(6) E(3) D(4) A(10) C(7) 0 1 103 10 2

14 4

186

237 258

175

153 INVESTIGACION OPERATIVA (3 LADE) Extraordinario Febrero 2010 1.LaempresadellavesJMIutiliza3materiales(aluminio,latnyplstico)para producir3tiposdellaves.Lacantidadnecesariadeestosmaterialesparafabricar una llave de cada tipo viene expresada en la siguiente tabla: Aluminio (g)Latn (g)Plstico (g) Llave tipo 11.500.75 Llave tipo 2021.25 Llave tipo 30.750.750.75 La empresa JMI dispone diariamente de 200 g de aluminio, 150 g de latn y 100 g de plstico en