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Momentos de Inercia:Problemas Resueltos
M. Chiumenti
••II
Prologo
E STE libro recoge una parte del programa docente de la asignatura Mecanica, que se imparte
en la Escuela Tecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Barcelona,
dentro de las titulaciones de Ingenierıa Civil e Ingenierıa de la Construccion. Su contenido abarca
los temas relacionados con el calculo de los momentos estaticos de primer orden, centroides y
momentos de inercias a traves de una amplia coleccion de problemas resueltos. Por una parte,
se calculan los momentos de inercia de las secciones mas simples por integracion y por otra
parte, se resuelven muchos problemas de secciones compuestas, secciones de pared delgada y
secciones mixtas acero/hormigon. Los problemas se explican paso a paso siguiendo la metodologıa
propuesta en las clases teoricas de la asignatura.
E L autor agradece a todos los profesores de la asignatura la ayuda recibida. Asimismo, se
agradece al Sr. Xavier Agullo su colaboracion en las tareas de edicion, al Sr. Raul Gimenez,
la delineacion de las figuras y esquemas de resolucion que se incluyen. Por ultimo, se agradece el
apoyo de la Escuela Tecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Barcelona,
a traves de su programa de ayudas para la elaboracion de material docente.
Michele Chiumenti
Barcelona, Enero de 2012
••IV
Indice general
1. Secciones resueltas por integracion 1
1.1. Seccion rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Calculo del area de la seccion rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Calculo del momento de inercia Iy de la seccion rectangular . . . . . . . 2
1.1.3. Calculo del momento de inercia Ix de la seccion rectangular . . . . . . . 3
1.1.4. Calculo del producto de inercia Ixy de la seccion rectangular . . . . . . . 4
1.2. Seccion triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Calculo del area de la seccion triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Calculo del momento de inercia Iy de la seccion triangular . . . . . . . . 7
1.2.3. Calculo del momento de inercia Ix de la seccion triangular . . . . . . . . 7
1.2.4. Calculo del producto de inercia Ixy de la seccion triangular . . . . . . . . 8
1.3. Seccion parabolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Calculo del area de la seccion parabolica . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2. Calculo del momento de inercia Iy de la seccion parabolica . . . . . . . . 11
1.3.3. Calculo del momento de inercia Ix de la seccion parabolica . . . . . . . . 12
1.3.4. Calculo del producto de inercia Ixy de la seccion parabolica . . . . . . . . 13
1.4. Seccion circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1. Calculo del area de la seccion circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2. Calculo de los momentos de inercia de la seccion circular . . . . . . . . 14
1.5. Cuarto de cırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1. Calculo del area del cuarto de cırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2. Calculo de los momentos de inercia del cuarto de cırculo . . . . . . . . . 18
••VI INDICE GENERAL
2. Secciones compuestas 212.1. Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta . . . . . . . . . 21
2.1.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta . . . . . . . . . 25
2.2.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta . . . . . . . . . 29
2.3.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4. Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta . . . . . . . . . 33
2.4.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5. Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta . . . . . . . . . 37
2.5.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6. Problema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta . . . . . . . . . 41
2.6.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7. Problema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta . . . . . . . . . 44
2.7.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7.3. Calculo de los Momentos Principales de Inercia . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8. Problema 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.8.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta . . . . . . . . . 47
INDICE GENERAL ••VII
2.8.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 49
2.9. Problema 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.9.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta . . . . . . . . . 50
2.9.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.9.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 52
2.10. Problema 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.10.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta . . . . . . . . . 54
2.10.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.10.3. Calculo de los Momentos Principales de Inercia . . . . . . . . . . . . . . 57
3. Secciones de pared delgada 59
3.1. Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.1. Calculo del area y del centroide de la seccion . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2. Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.1. Calculo del area y del centroide de la seccion . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3. Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.1. Calculo del area y del centroide de la seccion . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4. Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.1. Calculo del area y del centroide de la seccion . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5. Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5.1. Calculo del area y del centroide de la seccion . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 79
••VIII INDICE GENERAL
3.6. Problema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.1. Calculo del area y del centroide de la seccion . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.6.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 83
3.7. Problema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.7.1. Calculo del area y del centroide de la seccion . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.7.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.7.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 86
3.8. Problema 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.8.1. Calculo del area y del centroide de la seccion . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.8.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.8.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 90
3.9. Problema 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.9.1. Calculo del area y del centroide de la seccion . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.9.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.9.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 94
3.10. Problema 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.10.1. Calculo del area y del centroide de la seccion . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.10.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.10.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 99
4. Secciones mixtas 101
4.1. Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1.1. Calculo del area mecanica y del centro de masa de la seccion mixta . . . 101
4.1.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2. Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccion mixta . . 105
4.2.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3. Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccion mixta . . 109
Indice general ••IX
4.3.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4. Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.4.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccion mixta . . 113
4.4.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5. Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccion mixta . . 116
4.5.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos . . . . . . . . . . . . . . 117
4.5.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 118
4.6. Problema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.6.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccion mixta . . 119
4.6.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos . . . . . . . . . . . . . . 120
4.6.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 121
4.7. Problema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.7.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccion mixta . . 122
4.7.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos . . . . . . . . . . . . . . 123
4.7.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 124
4.8. Problema 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.8.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccion mixta . . 125
4.8.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos . . . . . . . . . . . . . . 126
4.8.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 127
4.9. Problema 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.9.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccion mixta . . 129
4.9.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos . . . . . . . . . . . . . . 130
4.9.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 131
4.10. Problema 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.10.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccion mixta . . 132
4.10.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos . . . . . . . . . . . . . . 133
4.10.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 134
••X Indice general
CA
PIT
UL
O
1 Secciones resueltas
por integracion
1.1. Seccion rectangular
Calcular el area, los momentos de inercia y el producto de inercia de la seccion rectangular
que se muestra a continuacion.
Figura 1.1: Seccion rectangular
1.1.1. Calculo del area de la seccion rectangular
Para realizar el calculo del area de la seccion dada nos apoyamos a la definicion de la misma:
A =∫
AdA (1.1)
En la figura 1.2 se puede apreciar como el diferencial de area dA es una franja de espesor dx y
altura h de tal manera que:
dA = h dx (1.2)
El area se calcula como suma de estos diferenciales de area por x que corre entre 0 y b:
A =∫ b
0h dx = h [x]b0 = b h (1.3)
••2 Secciones resueltas por integracion
Figura 1.2: Esquema del diferencial de area para calcular Iy
Para calcular la posicion del centroide de la seccion es necesario obtener los momentos
estaticos segun ambos ejes x y y definidos como:
Mx =∫
AYG dA (1.4a)
My =∫
AXG dA (1.4b)
donde XG y YG definen la posicion del centroide de la franja de area dA. En este caso, valen:
XG = x (1.5a)
YG =y(x)
2=
h2
(1.5b)
de tal manera que los mementos estaticos resultan:
Mx =∫
A
h2
dA =∫ b
0
h2(h dx) =
h2
2[ x]b0 =
b h2
2(1.6a)
My =∫
Ax dA =
∫ b
0x (h dx) = h
[x2
2
]b
0=
b2h2
(1.6b)
Una vez obtenidos los valores de los momentos estaticos, la posicion del centroide de la
seccion rectangular se halla como:
xg =My
A=
b2
(1.7a)
yg =Mx
A=
h2
(1.7b)
1.1.2. Calculo del momento de inercia Iy de la seccion rectangular
El calculo del momento de inercia Iy (respecto del eje y en definido en la figura 1.1) se
realiza facilmente considerando la subdivision de la seccion segun los mismos diferenciales de
1.1 Seccion rectangular ••3area mostrados en la figura 1.2:
Iy =∫
AX2
G dA =∫ b
0x2 (hdx) = h
[x3
3
]b
0=
13
b3h (1.8)
Una vez se ha obtenido el momento la inercia respecto al eje y, se puede transportar al eje yg
(que pasa por el centroide de la seccion) mediante el teorema de los ejes paralelos (o teorema de
Steiner):
Iyg = Iy−A(
b2
)2
=112
b3h (1.9)
1.1.3. Calculo del momento de inercia Ix de la seccion rectangular
Para calcular el momento de inercia Ix, es conveniente dividir la seccion en diferenciales de
area de espesor dy, tal y como se muestra en la figura 1.3:
Figura 1.3: Esquema del diferencial de area para calcular Ix
En este caso, el valor del diferencial de area dA resulta:
dA = b dy (1.10)
y la correspondiente posicion del centroide de cada diferencial de area es:
XG =b2
(1.11a)
YG = y (1.11b)
El calculo del momento de inercia Ix se realiza de la siguiente manera:
Ix =∫
AY 2
G dA =∫ h
0y2 (b dy) = b
[y3
3
]h
0=
13
bh3 (1.12)
••4 Secciones resueltas por integracion
y aplicando el teorema de los ejes paralelos es posible transportarlo al eje horizontal que pasa por
el centroide:
Ixg = Ix−A(
h2
)2
=112
bh3 (1.13)
1.1.4. Calculo del producto de inercia Ixy de la seccion rectangular
Para el calculo del producto de inercia es conveniente dividir la seccion en pequenos
rectangulos de lados dx y dy como se muestra en la figura 1.4
Figura 1.4: Esquema del diferencial de area para calcular Ixy
El diferencial de area dA es, por lo tanto:
dA = dx dy (1.14)
y el centroide del diferencial de area se encontrara en la posicion:
XG = x (1.15a)
YG = y (1.15b)
El producto de inercia Ixy se calcula como:
Ixy =∫
AxG yG dA =
∫A
xy dA =∫ b
0
(x∫ h
0y dy
)dx =
=∫ b
0
(x[
y2
2
]h
0
)dx =
h2
2
∫ b
0x dx =
h2
2
[x2
2
]b
0=
=14
b2h2 (1.16)
1.1 Seccion rectangular ••5El valor del producto de inercia Ixgyg respecto de los ejes que pasan por el centroide de la
seccion se obtiene como:
Ixgyg = Ixy−Ah2
b2= 0 (1.17)
••6 Secciones resueltas por integracion
1.2. Seccion triangular
Calcular el area, los momentos de inercia y el producto de inercia de la seccion triangular que
se muestra a continuacion.
Figura 1.5: Seccion triangular
1.2.1. Calculo del area de la seccion triangular
La seccion triangular esta delimitada por la recta y(x) =hb
x y el eje de las abscisas, por x que
varıa entre 0 y b. En la figura 1.6 se muestra el diferencial de area dA que se usa para el calculo
del area de la seccion:
dA = y(x) dx =(
hb
x)
dx (1.18)
La posicion del centroide del diferencial de area:
XG = x (1.19a)
YG =y(x)
2=
12
hb
x (1.19b)
El area de la seccion se obtiene integrando en todo el dominio (sumando los diferenciales de
area):
A =∫
AdA =
∫ b
0
hb
x dx =hb
[x2
2
]b
0=
b h2
(1.20)
La posicion del centroide de la seccion se obtiene calculando los momentos estaticos:
Mx =∫
AYG dA =
∫ b
0
(12
hb
x)(
hb
x dx)=
h2
2b2
[x3
3
]b
0=
b h2
6(1.21a)
My =∫
AXG dA =
∫ b
0x(
hb
x dx)=
hb
[x3
3
]b
0=
b2 h3
(1.21b)
1.2 Seccion triangular ••7
Figura 1.6: Esquema del diferencial de area para calcular Iy
de tal manera que:
xg =My
A=
23
b (1.22a)
xg =Mx
A=
13
h (1.22b)
1.2.2. Calculo del momento de inercia Iy de la seccion triangular
El valor del momento de inercia Iy se obtiene como:
Iy =∫
AX2
G dA =∫ b
0x2(
hb
x dx)=
hb
[x4
4
]b
0=
14
b3h (1.23)
y posteriormente, aplicando el teorema de los ejes paralelos, el valor del momento de inercia Iyg
correspondiente a un eje que pasa por el centroide (xg,yg) se calcula como:
Iyg = Iy−A(
23
b)2
=1
36b3h (1.24)
1.2.3. Calculo del momento de inercia Ix de la seccion triangular
Para calcular el valor de la inercia Ix es conveniente descomponer la seccion en diferenciales de
area horizontales dA de espesor dy como se muestra en la figura 1.7. Por un lado, este diferencial
de area vale:
dA = [b− x(y)] dy = b(
1− yh
)dy (1.25)
donde se ha invertido la funcion y = y(x) para poder escribir la funcion x = x(y)
y(x) =hb
x⇒ x(y) =bh
y (1.26)
••8 Secciones resueltas por integracion
Figura 1.7: Esquema del diferencial de area para calcular Ix
Por otro lado, la posicion del centroide del diferencial de area es la siguiente:
XG = x(y)+[b− x(y)]
2(1.27a)
YG = y (1.27b)
El momento de inercia Ix se calcula como:
Ix =∫
AY 2
G dA =∫ h
0y2 b
(1− y
h
)dy = b
[y3
3
]h
0− b
h
[y4
4
]h
0
=
(13− 1
4
)bh3 =
112
bh3 (1.28)
Por ultimo, se transporta el momento de inercia al eje que pasa por el centroide usando el
teorema de los ejes paralelos:
Ixg = Ix−A(
13
h)2
=112
bh3− 118
bh3 =136
bh3 (1.29)
1.2.4. Calculo del producto de inercia Ixy de la seccion triangular
Para el calculo del producto de inercia Ixy es conveniente dividir la seccion en pequenos
rectangulos de lados dx y dy como se muestra en la figura 1.8.
El diferencial de area se escribe como:
dA = dx dy (1.30)
1.2 Seccion triangular ••9
Figura 1.8: Esquema del diferencial de area para calcular Ixy
El centroide del diferencial de area se situa en la posicion:
XG = x (1.31a)
YG = y (1.31b)
El producto de inercia Ixy se calcula integrando con ambas variables:
Ixy =∫
AXGYG dA =
∫ b
0
(∫ y(x)= hb x
0y dy
)x dx =
∫ b
0
[y2
2
] hb x
0x dx
=12
h2
b2
∫ b
0x3 dx =
12
h2
b2
[x4
4
]b
0=
18
b2h2 (1.32)
y transportando el producto de inercia hacia los ejes que pasan por el centroide (teorema de los
ejes paralelos), obtenemos:
IxGyG = Ixy−A(
23
b)(
13
h)=
(18− 1
9
)b2h2 =
172
b2h2 (1.33)
••10 Secciones resueltas por integracion
1.3. Seccion parabolica
Calcular el area, los momentos de inercia y el producto de inercia de la seccion que se
encuentra entre el eje de las abscisas y la parabola y(x) = kx2, que se muestra a continuacion.
Figura 1.9: Seccion parabolica
1.3.1. Calculo del area de la seccion parabolica
Para calcular el area de esta seccion es conveniente considerar unos diferenciales de area
verticales dA de espesor dx como se muestra en la figura 1.10.
Figura 1.10: Esquema del diferencial de area para calcular Iy
El diferencial de area dA resultante es:
dA = y(x) dx = kx2 dx (1.34)
1.3 Seccion parabolica ••11
y la posicion del centroide del diferencial de area es:
XG = x (1.35a)
YG =y(x)
2(1.35b)
El area de la seccion se obtiene integrando en el dominio respecto a la variable x:
A =∫
AdA =
∫ a
0y(x) dx =
∫ a
0kx2 dx
= k[
x3
3
]a
0=
ka3
3=
ab3
(1.36)
siendo b = ka2 se ha expresado el valor de k en la forma k =ba2 .
Para obtener la posicion del centroide de la seccion es necesario calcular el valor de los
momentos estaticos My y Mx como se muestra a continuacion:
My =∫
AXG dA =
∫ a
0x [y(x) dx] =
∫ a
0kx3 dx = k
[x4
4
]a
0
=ka4
4=
a2b4
(1.37a)
Mx =∫
AYG dA =
∫ a
0
y(x)2
[y(x) dx] =∫ a
0
k2x4
2dx =
k2
2
[x5
5
]a
0
=k2a5
10=
ab2
10(1.37b)
Con estos resultados es posible sacar la posicion del centroide:
xg =My
A=
34
a (1.38a)
yg =Mx
A=
310
b (1.38b)
1.3.2. Calculo del momento de inercia Iy de la seccion parabolica
E calculo del momento de inercia Iy se halla como:
Iy =∫
AX2
G dA =∫ a
0x2 (kx2 dx
)= k
[x5
5
]a
0=
ka5
5=
15
a3b (1.39)
y haciendo uso del teorema de los ejes paralelos:
Iyg = Iy−A(
34
a)2
=
(15− 3
16
)ba3 =
180
a3b (1.40)
••12 Secciones resueltas por integracion
1.3.3. Calculo del momento de inercia Ix de la seccion parabolica
Figura 1.11: Esquema del diferencial de area para calcular Ix .
Pasando a un diferencial de area horizontal de espesor dy, como se muestra en la figura 1.11,
se puede escribir:
dA = [a− x(y)] dy (1.41)
siendo x(y) =√
yk la funcion inversa que representa la parabola.
La distancia del diferencial de area desde el eje x, es simplemente:
YG = y (1.42)
El momento de inercia Ix se obtiene resolviendo la siguiente integral:
Ix =∫
AY 2
G dA =∫ b
0y2(
a−√
yk
)dy
= a[
y3
3
]b
0−
[27
y72√
k
]b
0
=ab3
3− 2
7b3
√bk=
(13− 2
7
)ab3 =
121
ab3 (1.43)
y haciendo uso del teorema de los ejes paralelos:
Ixg = Ix−A(
310
a)2
=
(121− 3
100
)ab3 =
372100
ab3 (1.44)
1.3 Seccion parabolica ••13
Figura 1.12: Esquema del diferencial de area para calcular Ixy
1.3.4. Calculo del producto de inercia Ixy de la seccion parabolica
Por ultimo, para hallar el valor del producto de inercia, Ixy, se escoge un diferencial de area dA
de lados dx y dy, tal y como puede verse en la figura 1.12
El valor de dA y la posicion de su centroide se expresan en funcion de las variables
independientes x e y:
dA = dx dy (1.45a)
XG = x (1.45b)
YG = y (1.45c)
El producto de inercia se obtiene con la siguiente integral doble:
Ixy =∫
AXGYG dA =
∫ a
0
(∫ kx2
0y dy
)x dx =
∫ a
0
[y2
2
]kx2
0x dx
=∫ a
0
k2x5
2dx =
k2
2
[x6
6
]a
0=
k2
12a6 =
112
a2b2 (1.46)
Si se requiere el valor respecto a los ejes que pasan por el centroide de la seccion, (xg,yg), se debe
aplicar la formula del transporte de Steiner (teorema de los ejes paralelos) como sigue:
Ixgyg = Ixy−A(
34
a)(
310
b)=
(1
12− 3
48
)a2b2 =
148
a2b2 (1.47)
••14 Secciones resueltas por integracion
1.4. Seccion circular
Calcular el area, los momentos de inercia y el producto de inercia de la seccion circular que se
muestra a continuacion.
Figura 1.13: Seccion circular
1.4.1. Calculo del area de la seccion circular
En este caso, teniendo en cuenta la simetrıa radial de la seccion, es conveniente considerar un
diferencial de area (aros de espesor dr) como lo que se muestra en la figura 1.14. Este diferencial
de area vale:
dA = 2πr dr (1.48)
Integrando entre 0 y R, se obtiene el area de la seccion:
A =∫
AdA =
∫ R
02πr dr = 2π
[r2
2
]R
0= πR2 (1.49)
1.4.2. Calculo de los momentos de inercia de la seccion circular
Lo mas sencillo de calcular es el momento polar de inercia, como se muestra a continuacion:
Io =∫
Ar2 dA =
∫ R
02πr3 dr = 2π
[r4
4
]R
0=
12
πR4 (1.50)
Teniendo en cuenta que Io = Ix + Iy y que por la doble simetrıa de la seccion Ix = Iy, se puede
calcular el momento de inercia:
Ix = Iy =Io
2=
14
πR4 (1.51)
1.4 Seccion circular ••15
Figura 1.14: Esquema del diferencial de area
Una forma alternativa de calcular el momento de inercia de la seccion circular es trabajando
en coordenadas polares.
Figura 1.15: Esquema del diferencial de area.
En este caso, el diferencial de area, dA, que resulta interesante utilizar consiste en un pequeno
rectangulo de espesor dr y longitud rdθ como se muestra en la figura 1.15:
dA = (rdθ) dr (1.52)
La posicion del centroide del diferencial de area se encuentra en:
XG = r cosθ (1.53a)
YG = r sinθ (1.53b)
••16 Secciones resueltas por integracion
Utilizando las coordenadas polares, la integral sobre el dominio de la seccion para el calculo
del momento de inercia, Ix, se resuelve como sigue:
Ix =∫
AY 2
G dA =∫ 2π
0
(∫ R
0r3 dr
)sin2
θ dθ =∫ 2π
0
([r4
4
]R
0dr
)sin2
θ dθ
=R4
4
∫ 2π
0sin2
θ dθ =R4
4
[θ
2− sin2θ
4
]2π
0=
14
πR4 (1.54)
Por razones de simetrıa, el producto, Ixy, tiene que ser nulo y efectivamente:
Ixy =∫
AXGYG dA =
∫ 2π
0
(∫ R
0r3dr
)sinθ cosθ dθ
=R4
4
[sin2
θ
2
]2π
0= 0 (1.55)
1.5 Cuarto de cırculo ••17
1.5. Cuarto de cırculo
Calcular el area, los momentos de inercia y el producto de inercia de la seccion que se muestra
a continuacion.
Figura 1.16: Cuarto de cırculo
1.5.1. Calculo del area del cuarto de cırculo
En este caso, lo mas comodo es trabajar en coordenadas polares, utilizando el radio r y el
angulo θ como variables de integracion.
El diferencial de area, dA, que resulta interesante usar, consiste en un pequeno rectangulo de
espesor dr y longitud rdθ como se muestra en la figura 1.17.
dA = (rdθ) dr (1.56)
La posicion del centroide del diferencial de area se encuentra en:
XG = r cosθ (1.57a)
YG = r sinθ (1.57b)
El area del cuarto de cırculo se calcula integrando en todo el dominio utilizando las
coordenadas polares:
A =∫
AdA =
∫ π
2
0
(∫ R
0r dr
)dθ =
∫ π
2
0
([r2
2
]R
0
)dθ =
R2
2[θ ]
π
20 =
πR2
4(1.58)
••18 Secciones resueltas por integracion
Para calcular la posicion del centroide de la seccion, es necesario obtener el valor de los
momentos estaticos:
Mx =∫
AYG dA =
∫ π
2
0
(∫ R
0r2 dr
)sinθ dθ =
∫ π
2
0
[r3
3
]R
0sinθ dθ
=R3
3
∫ π
2
0sinθ dθ =
R3
3[−cosθ ]
π
20 =
R3
3(1.59a)
My =∫
AXG dA
∫ π
2
0
(∫ R
0r2 dz
)cosθ dθ =
R3
3[sinθ ]
π
20 =
R3
3(1.59b)
de tal manera que:
XG =My
A=
43
Rπ
(1.60a)
YG =Mx
A=
43
Rπ
(1.60b)
1.5.2. Calculo de los momentos de inercia del cuarto de cırculo
Figura 1.17: Esquema del diferencial de area.
El momentos de inercia respecto del eje de las abscisas, Ix, se obtiene resolviendo la siguiente
integral:
Ix =∫
AY 2
G dA =∫ π
2
0
(∫ R
0r3dr
)sin2
θ dθ =R4
4
[θ
2− sin2θ
4
] π
2
0=
πR4
16(1.61)
Por un lado se puede observar como el valor del momento de inercia es justamente la cuarta
parte del momento de inercia del cırculo. Por otro lado, la simetrıa impone Ix = Iy.
1.5 Cuarto de cırculo ••19
Finalmente, utilizando el teorema de los ejes paralelos podemos mover el momento de inercia
, Ix, hacia el eje que pasa por el centroide de la seccion:
Ixg = Ix−A(
43
Rπ
)2
=πR4
16− 4
9R4
π(1.62)
El calculo del producto de inercia Ixy se realiza de forma similar:
Ixy =∫
AXG YG dA =
∫ π
2
0
(∫ R
0r3 dr
)sinθ cosθ dθ
=R4
4
[sin2
θ
2
] π
2
0=
R4
8(1.63)
y utilizando el teorema de los ejes paralelos podemos movernos al eje que pasa por el centroide de
la seccion:
Ixgyg = Ixy−A(
43
Rπ
)(43
Rπ
)=
R4
8− 4
9R4
π(1.64)
••20 Secciones resueltas por integracion
CA
PIT
UL
O
2 Secciones compuestas
2.1. Problema 1
Calcular los momentos principales de inercia de la seccion compuesta de figura 2.1a respecto
de su centroide.
a) b)
Figura 2.1: Problema 1: (a) Seccion propuesta; (b) Posicion de los centroides considerados en el
despiece de la seccion compuesta
2.1.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta
Para resolver el problema, primero se procede al despiece de la seccion compuesta en dos
rectangulos, (1) y (2), tal y como se muestra en la figura 2.1b.
En primer lugar se calculan las areas de los dos rectangulos descritos y el area total, AT :
A(1) = 5 l2 (2.1a)
A(2) = 3l2 (2.1b)
AT = A(1)+A(2) = 8l2 (2.1c)
••22 Secciones compuestas
En segundo lugar, se calculan los momentos estaticos (respecto de los ejes de figura 2.1b)
como paso previo al calculo del centroide de la seccion compuesta:
Mx = A(1)(5l2)+A(2)(
l2) = 14l3 (2.2a)
My = A(1)(
l2
)+A(2)
(5l2
)= 10l3 (2.2b)
Finalmente, la posicion del centroide se obtiene con las siguientes expresiones:
xg =My
AT=
5l4= 1,25 l (2.3a)
yg =Mx
AT=
7l4= 1,75 l (2.3b)
2.1.2. Calculo de los momentos de inercia
En este apartado se calculan los momentos de inercia Ix e Iy, el producto Ixy y el momento polar
Io respecto a los ejes xG e yG (ver figura 2.2a) que pasan por el centroide de la seccion compuesta.
El momento de inercia I(i)x de cada rectangulo se obtiene sumando dos terminos: el primero
corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio
centroide, G(i), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide
de la seccion compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner):
I(1)x =112
l (5 l)3 +A(1)(
5 l2− yg
)2
(2.4a)
I(2)x =1
123l (l)3 +A(2)
(l2− yg
)2
(2.4b)
El valor del momento de inercia de la seccion compuesta se obtiene sumando las
contribuciones de las diferentes partes del despiece:
Ix = I(1)x + I(2)x = 18,16 l4 (2.5)
De la misma forma, se procede con el calculo de los momentos de inercia, I(i)y :
I(1)y =1
12(5l) l3 +A(1)
(l2− xg
)2
(2.6a)
I(2)y =1
12l (3l)3 +A(2)
(5l2− xg
)2
(2.6b)
2.1 Problema 1 ••23
y calcula el momento de inerciade la seccion compuesta, Iy, sumando las inercias del despiece:
Iy = I(1)y + I(2)y = 10,16 l4 (2.7)
Se sigue la misma metodologıa en el calculo del producto de inercia:
I(1)xy = 0+A(1)(
l2− xg
)(5 l2− yg
)(2.8a)
I(2)xy = 0+A(2)(
5l2− xg
) (l2− yg
)(2.8b)
Ixy = I(1)xy + I(2)xy =−7,5 l4 (2.8c)
Por ultimo, el valor del momento polar de inercia, Io, respecto al centroide se calcula
facilmente sumando Ix e Iy.
Io = Ix + Iy = 28,33 l4 (2.9)
2.1.3. Calculo de los momentos principales de inercia
Como se puede apreciar en la figura 2.2b los momento principales de inercia inercias (maximo
y mınimo) se dan cuando el producto de inercia se anula (Ixy = 0) , una situacion que corresponde
a la interseccion del cırculo Mohr con el eje horizontal.
El centro, Im, y el radio, R, del cırculo de Mohr se obtienen:
Im =Ix + Iy
2= 14,16 l4 (2.10a)
R =
√(Iy− Ix
2
)2
+ I2xy = 8,5 l4 (2.10b)
de tal manera que los momento principales de inercia inercias, Imax e Imin, resultan:
Imax = Im +R = 22,67 l4 (2.11a)
Imin = Im−R = 5,67 l4 (2.11b)
Para finalizar, la rotacion de ejes, θ , necesaria para que estos coincidan con los ejes principales
de inercia (figura 2.2b) se calcula como:
θ = 0,5 arctan(
2 Ixy
Iy− Ix
)= 30,9o (2.12)
El resultado obtenido es positivo, dando lugar a una rotacion de ejes en sentido antihorario, o bien
(manteniendo los ejes fijos) a una rotacion horaria de la seccion.
••24 Secciones compuestas
a) b)
Figura 2.2: Problema 1: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo
de Mohr.
2.2 Problema 2 ••25
2.2. Problema 2
Calcular los momentos principales de inercia de la seccion compuesta de figura 2.3a respecto
de su centroide.
a) b)
Figura 2.3: Problema 2: (a) Seccion compuesta propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
2.2.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta
La seccion dada se puede considerar como la suma de los cuatro triangulos (1), (2), (3) y (4),
como se muestra en figura 2.3b. Las areas de los triangulos descritos son las siguientes:
A(1) = (2 l)(3l2) = 3 l2 (2.13a)
A(2) = A(1) (2.13b)
A(3) = (2 l)(3 l2) = 3 l2 (2.13c)
A(4) = A(3) (2.13d)
Sumando estas areas se obtiene el area, AT , de la seccion compuesta:
AT = A(1)+A(2)+A(3)+A(4) = 12 l2 (2.14)
••26 Secciones compuestas
Debido a la doble simetria de la seccion compuesta, su centroide se situa en la interseccion de
estos ejes de simetria:
xg = 0 (2.15a)
yg = 0 (2.15b)
2.2.2. Calculo de los momentos de inercia
En este apartado se calculan los momentos de inercia Ix e Iy, el producto de inercia Ixy y el
momento polar de inercia, Io, respecto a los ejes xG e yG que pasan por el centroide de la seccion
compuesta (vease figura 2.4a).
El valor del momento de inercia de la seccion compuesta, Ix, se obtiene sumando las
contribuciones, I(i)x , de las diferentes partes del despiece:
I(1)x =136
(2 l)(3 l)3 +A(1) (l)2 =9 l4
2(2.16a)
I(2)x = I(1)x =9 l4
2(2.16b)
I(3)x =136
(2 l)(3 l)3 +A(3) (−l)2 =9 l4
2(2.16c)
I(4)x = I(3)x =9 l4
2(2.16d)
Se puede observar como el primero termino corresponde al valor del momento de inercia
respecto a unos ejes que pasan por el centroide, G(i), de cada parte del despiece, mientras el
segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide de la seccion compuesta
(teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner). La suma de los cuatro momentos de inercias
parciales permite obtener el valor, Ix, de la seccion compuesta:
Ix = I(1)x + I(2)x + I(3)x + I(4)x = 18 l4 (2.17)
De la misma manera se procede con el calculo de, Iy. Primero se calculan las inercias parciales
2.2 Problema 2 ••27
y despues, sumandolas, se obtiene el valor del momento de inercia, Iy, de la seccion compuesta:
I(1)y =136
(3 l)(2 l)3 +A(1)(
2 l3
)2
= 2 l4 (2.18a)
I(2)y =136
(3 l)(2 l)3 +A(2)(−2 l
3
)2
= 2 l4 (2.18b)
I(3)y = I(2)y = 2 l4 (2.18c)
I(4)y = I(1)y = 2 l4 (2.18d)
Iy = I(1)y + I(2)y + I(3)y + I(4)y = 8 l4 (2.18e)
El producto de inercia, Ixy = 0 debido a la doble simetrıa de la seccıon. Esto se puede
comprobar siguiendo exactamente el mismo procedimiento anterior:
I(1)xy = − 172
(2 l)2(3 l)2 +A(1)(
2 l3
)(l) (2.19a)
I(2)xy =1
72(2 l)2(3 l)2 +A(2)
(−2 l
3
)(l) (2.19b)
I(3)xy = − 172
(2 l)2(3 l)2 +A(3)(−2 l
3
)(−l) (2.19c)
I(4)xy =1
72(2 l)2(3 l)2 +A(4)
(2 l3
)(−l) (2.19d)
Ixy = I(1)xy + I(2)xy + I(3)xy + I(4)xy = 0 (2.19e)
Por ultimo, el valor del momento polar de inercia, Io, se obtiene sumando Ix e Iy:
I0 = Ix + Iy = 26 l4 (2.20)
2.2.3. Calculo de los momentos principales de inercia
En este caso, los ejes que hemos utilizado para el calculo de los momentos de inercia son ejes
principales de inercia (Ixy = 0). De ese modo resulta:
Imax = Ix = 18 l4 (2.21a)
Imin = Iy = 8 l4 (2.21b)
••28 Secciones compuestas
a) b)
Figura 2.4: Problema 2: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo
de Mohr.
2.3 Problema 3 ••29
2.3. Problema 3
Calcular los momentos principales de inercia de la seccion compuesta de figura 2.5a respecto
de su centroide.
a) b)
Figura 2.5: Problema 3: (a) Seccion compuesta propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
2.3.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta
Si se analiza la geometrıa de la seccion copuesta propuesta (figura 2.5a), se observa como esta
se puede ver como una seccion rectangular (1) a la cual se restan los triangulos (2) y (3). De esta
forma, el area de la seccion compuesta, AT , resulta:
A(1) = (4 l)(4 l) = 16 l2 (2.22a)
A(2) = l (3 l2) =
3 l2
2(2.22b)
A(3) = l (4 l2) = 2 l2 (2.22c)
AT = A(1)−A(2)−A(3) =25 l2
2(2.22d)
Los momentos estaticos respecto de los ejes de figura 2.5b se obtienen con las siguientes
expresiones:
Mx = A(1)(0)−A(2)(−l)−A(3)(2 l3) =
l3
6= 0,167 l3 (2.23a)
My = A(1)(0)−A(2)(5 l3)−A(3)(−5 l
3) =
5 l3
6= 0,83 l3 (2.23b)
••30 Secciones compuestas
de tal manera que el centroide de la seccion compuesta se encuentra en la siguiente posicion (vease
figura 2.6a):
xg =My
AT=
l15
= 0,067 l (2.24a)
yg =Mx
AT=
l75
= 0,013 l (2.24b)
2.3.2. Calculo de los momentos de inercia
En este apartado se calculan los momentos de inercia Ix e Iy, el producto Ixy y el momento polar
Io respecto a los ejes xG e yG (ver figura 2.6a) que pasan por el centroide de la seccion compuesta.
El momento de inercia, I(i)x , de cada seccion del despiece se obtiene sumando dos terminos: el
primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio
centroide, G(i) (vease figura 2.5b), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte
hacia el centroide de la seccion compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner):
I(1)x =1
12(4 l)(4 l)3 +A(1) (−yg)
2 (2.25a)
I(2)x =1
36(l)(3 l)3 +A(2) (−l − yg)
2 (2.25b)
I(3)x =1
36(l)(4 l)3 +A(3)
(2 l3− yg
)2
(2.25c)
El momento de inercia, Ix, de la seccion compuesta se calcula restando a la inercia generada
por la seccion rectangular I(1)x , las que generan los dos triangulos I(2)x y I(3)x :
Ix = I(1)x − I(2)x − I(3)x = 16,4 l4 (2.26)
El calculo de la inercia Iy sigue el mismo procedimiento, tal y como se muestra a continuacion:
I(1)y =112
(4 l)(4 l)3 +A(1) (−xg)2 (2.27a)
I(2)y =136
(l)3(3 l)+A(2)(
5 l3− xg
)2
(2.27b)
I(3)y =136
(l)3(4 l)+A(3)(−5 l
3− xg
)2
(2.27c)
Iy = I(1)y − I(2)y − I(2)y = 11,3 l4 (2.27d)
2.3 Problema 3 ••31
y de la misma manera, para el producto de inercia, Ixy:
I(1)xy = 0+A(1) (−xg) (−yg) (2.28a)
I(2)xy =1
72(l)2(3 l)2 +A(2)
(5 l3− xg
)(−l − yg) (2.28b)
I(3)xy =1
72(l)2(4 l)2 +A(3)
(−5 l
3− xg
)(2 l3− yg
)(2.28c)
Ixy = I(1)xy − I(2)xy − I(3)xy = 4,3 l4 (2.28d)
Por ultimo, se obtiene el momento polar de inercia, Io, cono la suma de Ix e Iy.
I0 = Ix + Iy = 27,7 l4 (2.29)
2.3.3. Calculo de los momentos principales de inercia
El centro, Im y el radio, R, del cırculo de Mohr en la figura 2.6b resultan:
Im =Ix + Iy
2= 13,9 l4 (2.30a)
R =
√(Iy− Ix
2
)2
+ I2xy = 5,04 l4 (2.30b)
y los correspondientes momentos de inercia Imax e Imin tienen por lo tanto el siguiente valor:
Imax = Im +R = 18,9 l4 (2.31a)
Imin = Im−R = 8,8 l4 (2.31b)
Para finalizar, el angulo, θ , que corresponde a la rotacion de ejes necesaria para que estos
coincidan con los ejes principales de inercia (figura 2.6a) vale:
θ =12
arctan(
2 Ixy
Iy− Ix
)=−29,9o (2.32)
••32 Secciones compuestas
a) b)
Figura 2.6: Problema 3: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo
de Mohr.
2.4 Problema 4 ••33
2.4. Problema 4
Calcular los momentos principales de inercia de la seccion compuesta representada en la figura
2.7a respecto de su centroide.
a) b)
Figura 2.7: Problema 4: (a) Seccion compuesta propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
2.4.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta
Si se analiza la geometrıa de la seccion propuesta, se observa como esta se puede ver como
una seccion rectangular (1) a la cual se resta un triangulo (2) y un cuarto de cırculo (3) como se
muestra en la figura 2.7b. De esta forma, el area de la seccion compuesta, AT , resulta:
A(1) = (8 l)(6 l) = 48 l2 (2.33a)
A(2) = (4 l)(3 l2) = 6 l2 (2.33b)
A(3) =14
π(3 l)2 = 7,07 l2 (2.33c)
AT = A(1)−A(2)−A(3) = 34,93 l2 (2.33d)
El valor de los momentos estaticos se calculan como:
Mx = A(1)(3l)−A(2)(l)−A(3)(6l− 43π
(3l)) = 104,6 l3 (2.34a)
My = A(1)(4l)−A(2)(8l− 4 l3)−A(3) 4
3π(3l) = 143 l3 (2.34b)
••34 Secciones compuestas
y la posicion del centroide (que se muestra en la figura 2.8a) se obtiene como :
xg =My
AT= 4,1 l (2.35a)
yg =Mx
AT= 3 l (2.35b)
2.4.2. Calculo de los momentos de inercia
En este apartado se calcula los momentos de inercia, Ix e Iy, el producto de inercia, Ixy y el
momento polar, Io, respecto a ejes que pasan por el centroide (xg,yg) de la seccion compuesta.
El momento de inercia de la seccion compuesta, Ix se calcula restando a la inercia generada
por el rectangulo, I(1)x , la que corresponde al triangulo, I(2)x y al cuarto de cırculo, I(3)x .
El momento de inercia, I(i)x , de cada seccion del despiece se obtiene sumando dos terminos: el
primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio
centroide, G(i) (vease figura 2.7b), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte
hacia el centroide (xg,yg) de la seccion compuesta (teorema de los ejes paralelos o formula del
transporte de Steiner). Observese que en el caso del cuarto de cırculo es necesario aplicar la
formula del transporte dos veces: primero desde el valor del momento de inercia calculado respecto
del centro del cırculo hacia el centroide del cırculo y una segunda vez hacia el centroide de la
seccion compuesta:
I(1)x =112
(8 l)(6 l)3 + A(1) (3 l− yg)2 (2.36a)
I(2)x =136
(4 l)(3 l)3 + A(2)(l− yg)2 (2.36b)
I(3)x =14(14
π (3l)4)−A(3)(4 (3 l)
3π) 2 +A(3)(6 l− 4 (3 l)
3π− yg)
2 (2.36c)
Ix = I(1)x − I(2)x − I(3)x = 91,4 l4 (2.36d)
El calculo de la inercia Iy sigue el mismo procedimiento, tal y como se muestra a continuacion:
I(1)y =112
(6l)(8l)3 +A(1) (4 l− xg)2 (2.37a)
I(2)y =1
36(3 l)(4 l)3 +A(2)(8 l− 4 l
3− xg)2 (2.37b)
I(3)y =14(14
π(3 l)4)−A(3)(4 ·3l3π
)2 +A(3)(4 ·3 l3π− xg) (2.37c)
Iy = I(1)y − I(2)y − I(3)y = 150,7 l4 (2.37d)
2.4 Problema 4 ••35
y de la misma manera, para el producto de inercia, Ixy:
I(1)xy = 0+A(1)(4 l− xg) (3 l− yg) (2.38a)
I(2)xy =1
72(4 l)2(3 l)2 +A(2)(8 l− 4 l
3− xg) (l− xg) (2.38b)
I(3)xy = −[
18(3 l)4−A(3)(
4 (3 l)3π
)2]+A(3)(
4 (3 l)3π
− xg)(6 l− 4 (3 l)3π
− yg) (2.38c)
Ixy = I(1)xy − I(2)xy − I(3)xy = 61,9 l4 (2.38d)
Por ultimo, para obtener el momento polar de inercia se debe sumar las inercias Ix e Iy.
I0 = Ix + Iy = 242,16 l4 (2.39)
2.4.3. Calculo de los momentos principales de inercia
Como se puede apreciar en la figura 2.8b los momento principales de inercia inercias (maximo
y mınimo) se dan cuando el producto de inercia se anula (Ixy = 0) , una situacion que corresponde
a la interseccion del cırculo Mohr con el eje horizontal.
El centro, Im, y el radio, R, del cırculo de Mohr se obtienen:
Im =Ix + Iy
2= 121 l4 (2.40a)
R =
√(Iy− Ix
2
)2
+ I2xy = 68,68 l4 (2.40b)
de tal manera que los momento principales de inercia inercias, Imax e Imin, resultan:
Imax = Im +R = 189,7 l4 (2.41a)
Imin = Im−R = 53,4 l4 (2.41b)
Para finalizar, la rotacion de ejes, θ , necesaria para que estos coincidan con los ejes principales
de inercia (figura 2.8b) se calcula como:
θ =12
arctan(
2 Ixy
Iy− Ix
)= 32,2o (2.42)
El resultado obtenido es positivo, dando lugar a una rotacion de ejes en sentido antihorario, o bien
(manteniendo los ejes fijos) a una rotacion horaria de la seccion.
••36 Secciones compuestas
a) b)
Figura 2.8: Problema 4: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo
de Mohr.
2.5 Problema 5 ••37
2.5. Problema 5
Calcular los momentos principales de inercia de la seccion compuesta representada en la figura
2.9a respecto de su centroide.
a) b)
Figura 2.9: Problema 5: (a) Seccion compuesta propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
2.5.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta
Si se analiza la geometrıa de la seccion propuesta, se observa como esta se puede ver como
una seccion rectangular (1) a la cual se restan dos secciones cuadradas, (2) y (3), tal y como se
muestra en la figura 2.9b. De esta forma, el area de la seccion compuesta, AT , resulta:
A(1) = (3 l)(3 l) = 9 l2 (2.43a)
A(2) = l2 (2.43b)
A(3) = A(2) = l2 (2.43c)
AT = A(1)−A(2)−A(3) = 7 l2 (2.43d)
Los momentos estaticos tienen el siguiente valor:
Mx = A(1)(
3 l2
)− A(2)
(2 l +
l2
)− A(3)
(l2
)=
21 l3
2= 10,5 l3 (2.44a)
My = A(1)(
3 l2
)− A(2)
(2 l +
l2
)− A(3)
(l2
)=
21 l3
2= 10,5 l3 (2.44b)
••38 Secciones compuestas
ya posicion del centroide de la seccion compuesta (vease figura 2.10a) es la siguiente:
xg =My
AT=
3 l2
= 1,5 l (2.45a)
yg =Mx
AT=
3 l2
= 1,5 l (2.45b)
2.5.2. Calculo de los momentos de inercia
El momento de inercia de la seccion compuesta, Ix se calcula restando a la inercia generada
por el rectangulo, I(1)x , las que corresponden a los cuadrados, I(2)x y I(3)x .
El momento de inercia, I(i)x , de cada seccion del despiece se obtiene sumando dos terminos:
el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su
propio centroide, G(i) (vease figura 2.9b), mientras el segundo termino corresponde al valor del
transporte hacia el centroide (xg,yg) de la seccion compuesta (teorema de los ejes paralelos o
formula del transporte de Steiner):
I(1)x =112
(3 l)4 (2.46a)
I(2)x =112
( l)4 +A(2)(
2 l +l2− yg
)2
(2.46b)
I(3)x =112
(l)4 +A(3)(
l2− yg
)2
(2.46c)
Ix = I(1)x − I(2)x − I(3)x = 4,58 l4 (2.46d)
El calculo de la inercia Iy sigue el mismo procedimiento, tal y como se muestra a continuacion:
I(1)y =112
(3 l)4 +A(1)(
3 l2− xg
)2
(2.47a)
I(2)y =112
( l)4 +A(2)(
2 l +l2− xg
)2
(2.47b)
I(3)y =112
(l)4 +A(3)(
l2− xg
)2
(2.47c)
Iy = I(1)y − I(2)y − I(3)y = 4,58 l4 (2.47d)
2.5 Problema 5 ••39
y de la misma manera, para el producto de inercia, Ixy (en este caso el primer termino es nulo por
ser todas secciones simetricas):
I(1)xy = 0+ A(1)(
3 l2− xg
)(3 l2− yg
)(2.48a)
I(2)xy = 0+ A(2)(
2 l +l2− xg
)(2 l +
l2− yg
)(2.48b)
I(3)xy = 0+A(3)(
l2− xg
)·(
l2− yg
)(2.48c)
Ixy = I(1)xy − I(2)xy − I(3)xy =−2 l4 (2.48d)
Finalmente, el momento polar de inercia se calcula como suma de Ix e Iy:
I0 = Ix + Iy = 9,16 l4 (2.49)
2.5.3. Calculo de los momentos principales de inercia
Como se puede apreciar en la figura 2.10b los momento principales de inercia inercias
(maximo y mınimo) se dan cuando el producto de inercia se anula (Ixy = 0) , una situacion que
corresponde a la interseccion del cırculo Mohr con el eje horizontal.
El centro, Im, y el radio, R, del cırculo de Mohr se obtienen:
Im =Ix + Iy
2=
55l4
12= 4,58 l4 (2.50a)
R =
√(Iy− Ix
2
)2
+ I2xy = 2 l4 (2.50b)
Los momentos principales de inercia asumen los siguientes valores:
Imax = Im +R = 6,58 l4 (2.51a)
Imin = Im−R = 2,58 l4 (2.51b)
Para finalizar, la rotacion de ejes, θ , necesaria para que estos coincidan con los ejes principales
de inercia (figura 2.10b) se calcula como:
θ =12
arctan(
2 Ixy
Iy− Ix
)=−45o (2.52)
••40 Secciones compuestas
a) b)
Figura 2.10: Problema 5: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo
de Mohr.
2.6 Problema 6 ••41
2.6. Problema 6
Calcular los momentos principales de inercia de la seccion compuesta representada en la figura
2.11a respecto de su centroide.
a) b)
Figura 2.11: Problema 6: (a) Seccion compuesta propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
2.6.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta
Como se puede observar en la figura 2.11b la seccion esta definida por un cuadrado, (1), de
lado 3l al cual se le han sacado otors dos cuadrados, (2) y (3), de lado l. De esta forma, el area de
la seccion compuesta, AT , resulta:
A(1) = (3 l)(3 l) = 9 l2 (2.53a)
A(2) = l2 (2.53b)
A(3) = A(2) = l2 (2.53c)
AT = A(1)−A(2)−A(3) = 7 l2 (2.53d)
El centroide se encuentra en la origen de los ejes elejidos debido a la doble simetrıa de la
seccion. Esto se puede verificar calculando los correspondientes momentos estatico de la seccion,
••42 Secciones compuestas
Mx y My:
Mx = A(1) (0)− A(2) (0)− A(3) (0) = 0 (2.54a)
My = A(1) (0)− A(2) (l)− A(3) (−l) = 0 (2.54b)
ası que resulta:
xg =My
AT= 0 (2.55a)
yg =Mx
AT= 0 (2.55b)
2.6.2. Calculo de los momentos de inercia
El momento de inercia de la seccion compuesta, Ix se calcula restando a la inercia generada
por el rectangulo, I(1)x , las que corresponden a los cuadrados, I(2)x y I(3)x :
I(1)x =1
12(3 l)4 (2.56a)
I(2)x =1
12( l)4 (2.56b)
I(3)x =1
12(l)4 (2.56c)
Ix = I(1)x − I(2)x − I(3)x = 6,58 l4 (2.56d)
Para calcular la Iy se procede exactamente de la misma forma. En este caso, el momento de
inercia, I(i)y , de cada seccion del despiece se obtiene sumando dos terminos: el primero corresponde
al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G(i) (vease
figura 2.11b), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide
(xg,yg) de la seccion compuesta (teorema de los ejes paralelos o formula del transporte de Steiner):
I(1)y =1
12(3 l)4 (2.57a)
I(2)y =1
12( l)4 +A(2) (l)2 (2.57b)
I(3)y =1
12(l)4 +A(3) (−l)2 (2.57c)
Iy = I(1)y − I(2)y − I(3)y = 4,58 l4 (2.57d)
y de la misma manera, para el producto de inercia, Ixy (en este caso el primer termino es nulo por
ser todas secciones simetricas):
2.6 Problema 6 ••43
I(1)xy = 0+0 (2.58a)
I(2)xy = 0+ A(2) (l)(0) (2.58b)
I(3)xy = 0+A(3) (−l) · (0) (2.58c)
Ixy = I(1)xy − I(2)xy − I(3)xy = 0 (2.58d)
Observese que el resultado final es Ixy = 0 debido a la doble simetrıa de la seccion compuesta
propuesta. Finalmente, el momento polar de inercia, I0, se calcula sumando Ix e Iy:
I0 = Ix + Iy = 11,16 l4 (2.59)
2.6.3. Calculo de los momentos principales de inercia
Como se vio en el apartado anterior el producto de inercia de la seccion compuesta es nulo.
Esto quiere decir que los ejes elegidos son tambien ejes principales de inercia, de tal manera que:
Imax = Ix = 6,58 l4 (2.60a)
Imin = Iy = 4,58 l4 (2.60b)
a) b)
Figura 2.12: Problema 6: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo
de Mohr.
••44 Secciones compuestas
2.7. Problema 7
Calcular los momentos principales de inercia de la seccion maciza representada en la figura
2.13a respecto de su centroide.
a) b)
Figura 2.13: Problema 7: (a) Seccion compuesta propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece.
2.7.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta
Como se puede observar en la figura 2.13b la seccion esta compuesta por un rectangulo (1) y
un cuadrado (2) a los cuales se le ha substraido el cırculo (3). De esta forma, el area de la seccion
compuesta, AT , resulta:
A(1) = (8 l)(4 l) = 32 l2 (2.61a)
A(2) = (4 l)(4 l) = 16 l2 (2.61b)
A(3) = πl2 = πl2 (2.61c)
AT = A(1)+A(2)−A(3) = 48 l2−πl2 = 44,86 l2 (2.61d)
Los momentos estaticos de la seccion compuesta resultan:
Mx = A(1) (2 l)− A(2) (4 l +2 l)− A(3) (4 l +2 l) = 160 l3−6πl3 = 141,15 l3 (2.62a)
My = 0 (2.62b)
2.7 Problema 7 ••45
Por lo que la posicion del centroide es la siguiente:
xg =My
AT= 0 (2.63a)
yg =Mx
AT=
160 l3−6πl3
48 l2−πl2 = 3,14 l (2.63b)
2.7.2. Calculo de los momentos de inercia
El momento de inercia de la seccion compuesta, Ix se calcula restando a la inercia generada
por el rectangulo, I(1)x , las que corresponden a los cuadrados, I(2)x y I(3)x .
El momento de inercia, I(i)x , de cada seccion del despiece se obtiene sumando dos terminos:
el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su
propio centroide, G(i) (vease figura 2.13b), mientras el segundo termino corresponde al valor del
transporte hacia el centroide (xg,yg) de la seccion compuesta (teorema de los ejes paralelos o
formula del transporte de Steiner):
I(1)x =112
(8 l) · (4 l)3 + A(1)(2 l− yg)2 (2.64a)
I(2)x =1
12(4 l)4 +A(2)(6 l− yg)
2 (2.64b)
I(3)x =14
π(l)4 +A(3)(6 l− yg)2 (2.64c)
Ix = I(1)x − I(2)x − I(3)x = 210 l4 (2.64d)
El calculo de la inercia, Iy, sigue el mismo procedimiento, tal y como se muestra a
continuacion:
I(1)y =112
(4 l) · (8 l)3 (2.65a)
I(2)y =112
(4 l)4 (2.65b)
I(3)y =14
π(l)4 (2.65c)
Iy = I(1)y + I(2)y − I(3)y = 191,2 l4 (2.65d)
El producto de inercia, Ixy, se anula por la simetrıa de la seccion compuesta respecto del eje de
ordenadas, como se muestra a continuacion:
I(1)xy = 0+A(1) · (0) · (2 l− yg) (2.66a)
I(2)xy = 0+ A(2) (0)(6 l− yg) (2.66b)
I(3)xy = 0+A(3) (0) · (6 l− yg) (2.66c)
Ixy = I(1)xy + I(2)xy − I(3)xy = 0 (2.66d)
••46 Secciones compuestas
El calculo del momento polar de inercia, Io, se obtiene sumando Ix e Iy:
I0 = Ix + Iy = 401,2 l4 (2.67)
2.7.3. Calculo de los Momentos Principales de Inercia
Como se vio en el apartado anterior el producto de inercia de la seccion compuesta es nulo.
Esto quiere decir que los ejes elegidos son tambien ejes principales de inercia (como se muesta el
la figura 2.14), de tal manera que:
Imax = Ix = 210 l4 (2.68a)
Imin = Iy = 191,2 l4 (2.68b)
a) b)
Figura 2.14: Problema 7: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo
de Mohr.
2.8 Problema 8 ••47
2.8. Problema 8
Calcular los momentos principales de inercia de la seccion compuesta representada en la figura
2.15a respecto de su centroide.
a) b)
Figura 2.15: Problema 8: (a) Seccion compuesta propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
2.8.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta
Como se puede observar en la figura 2.15b la seccion esta compuesta por un semicırculo (1) y
un triangulo (2). De esta forma, el area de la seccion compuesta, AT , resulta:
A(1) =12
πl2 (2.69a)
A(2) =(3l)(2l)
2(2.69b)
AT = A(1)+A(2) =πl2
2+3l2 = 4,57l2 (2.69c)
El valor de los momentos estaticos se obtienen con las siguientes expresiones:
Mx = A(1)(
4l3π
)+A(2) (−l) =−2,3 l3 (2.70a)
My = 0 (2.70b)
••48 Secciones compuestas
de tal manera que la posicion del centroide es:
xg =My
AT= 0 (2.71a)
yg =Mx
AT=−0,51l (2.71b)
2.8.2. Calculo de los momentos de inercia
El momento de inercia de la seccion compuesta, Ix, se calcula sumando a la inercia generada
por el semicırculo, I(1)x , la que corresponde al triangulo, I(2)x .
El momento de inercia, I(i)x , de cada seccion del despiece se obtiene sumando dos terminos:
el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su
propio centroide, G(i) (vease figura 2.15b), mientras el segundo termino corresponde al valor del
transporte hacia el centroide (xg,yg) de la seccion compuesta (teorema de los ejes paralelos o
formula del transporte de Steiner):
I(1)x =
[12
(14
πl4)−A(1)
(4l3π
)2]+ A(1)
(4l3π− yg
)2
(2.72a)
I(2)x =136
(2l)(3l)3 +A(2) (−l− yg)2 (2.72b)
Ix = I(1)x + I(2)x = 3,7 l4 (2.72c)
El calculo de la inercia, Iy, sigue el mismo procedimiento, tal y como se muestra a
continuacion:
I(1)y =12
(14
πl4)+0 =
πl4
8(2.73a)
I(2)y = 2
[136
(3l) l3 +A(2)
2
(l3
)2]=
l4
2(2.73b)
Iy = I(1)y + I(2)y = 0,9 l4 (2.73c)
El producto de inercia, Ixy = 0 por la simetrıa de la seccion compuesta respecto del eje de
ordenadas. Finalmente, el valor del momento polar de inercia se obtiene:
I0 = Ix + Iy = 4,6 l4 (2.74)
2.8 Problema 8 ••49
2.8.3. Calculo de los momentos principales de inercia
Como se vio en el apartado anterior el producto de inercia de la seccion compuesta es nulo.
Esto quiere decir que los ejes elegidos son tambien ejes principales de inercia (como se muesta el
la figura 2.16), de tal manera que:
Imax = Ix = 3,7 l4 (2.75a)
Imin = Iy = 0,9 l4 (2.75b)
a) b)
Figura 2.16: Problema 8: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo
de Mohr.
••50 Secciones compuestas
2.9. Problema 9
Calcular los momentos principales de inercia de la seccion compuesta representada en la figura
2.17a respecto de su centroide.
a) b)
Figura 2.17: Problema 9: (a) Seccion compuesta propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
2.9.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta
Para resolver el problema primero se procede al despiece de la seccion en un cuadrado (5) y
cuatro triangulos (1), (2), (3) y (4) tal y como se muestra en la figura 2.17b. De esta forma, el area
de la seccion compuesta, AT , resulta:
A(1) =3l2
2(2.76a)
A(2) = A(1) =3l2
2(2.76b)
A(3) = A(1) =3l2
2(2.76c)
A(4) = A(1) =3l2
2(2.76d)
A(5) = 9l2 (2.76e)
AT = A(1)+A(2)+A(3)+A(4)+A(5) = 15l2 (2.76f)
2.9 Problema 9 ••51
La posicion del centroide coincide con la origen de los ejes elegidos debido a la simetrıa de
la seccion. Este resultado lo podemos comprobar verificando como se anulan ambos momentos
estaticos:
Mx = A(1)(
3l2+
l3
)+ A(2)
(−3l
2− l
3
)+ A(3)
(3l2−1)+A(4)
(−3l
2+1)+ A(5) (0) = 0(2.77a)
My = A(1)(−3l
2+1)+A(2)
(−3l
2− l)+A(3)
(3l2+
13
)+A(4)
(−3l
2− l
3
)+A(5)(0) = 0(2.77b)
de tal manera que:
xg =My
A= 0 (2.78a)
yg =Mx
AT= 0 (2.78b)
2.9.2. Calculo de los momentos de inercia
El momento de inercia de la seccion compuesta, Ix se calcula sumando a la inercia generada
por el cuadrado, I(5)x , las que corresponden a los cuatro triangulos, I(1)x , I(2)x , I(3)x y I(4)x .
El momento de inercia, I(i)x , de cada triangulo se obtiene sumando dos terminos: el primero
corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio
centroide, G(i) (vease figura 2.17b), mientras el segundo termino corresponde al valor del
transporte hacia el centroide (xg,yg) de la seccion compuesta (teorema de los ejes paralelos o
formula del transporte de Steiner):
I(1)x =136
3l(l)3 +A(1)(
3l2+
l3
)2
=41l4
8(2.79a)
I(2)x = I(1)x =41l4
8(2.79b)
I(3)x =136
l(3l)3 +A(3)(
3 l2−1)2
=9l4
8(2.79c)
I(4)x = I(3)x =9l4
8(2.79d)
I(5)x =112
(3l)4 =27l4
4(2.79e)
Ix = I(1)x + I(2)x + I(3)x + I(4)x + I(5)x =77l4
4= 19,25 l4 (2.79f)
••52 Secciones compuestas
Con un procedimiento analogo se calcula el momento de inercia, Iy y el producto de inercia,
Ixy:
I(1)y =136
l(3l)3 +A(1)(−3l
2−1)2
=9l4
8(2.80a)
I(2)y = I(1)y =9l4
8(2.80b)
I(3)y =136
(3l)l3 +A(3)(
3l2+
l3
)2
=41l4
8(2.80c)
I(4)y = I(3)y =41l4
8(2.80d)
I(5)y =112
(3l)4 =27l4
4(2.80e)
Iy = I(1)y + I(2)y + I(3)y + I(4)y + I(5)y =77l4
4= 19,25 l4 (2.80f)
Es importante observar que por razones de simetrıa resulta: Iy = Ix y como se demuestra a
continuacion: Ixy = 0.
I(1)xy =−172
(3l)2l2 +A(1)(−3l
2+1)(
3l2+
l3
)=−3l4
2(2.81a)
I(2)xy =−172
(3l)2l2 +A(2)(
3l2−1)(−3l
2− l
3
)=−3l4
2(2.81b)
I(3)xy =172
l2(3l)2 +A(3)(
3l2+
l3
)(3l2−1)=
3l4
2(2.81c)
I(4)xy =172
l2(3l)2 +A(4)(−3l
2− l
3
)(−3l
2+1)=
3l4
2(2.81d)
I(5)xy = 0 (2.81e)
Ixy = I(1)xy + I(2)xy + I(3)xy + I(4)xy + I(5)xy = 0 (2.81f)
El momento de inercia polar se calcula como la suma de Ix e Iy.
I0 = Ix + Iy =77l4
2= 38,5 l4 (2.82)
2.9.3. Calculo de los momentos principales de inercia
Como se vio en el apartado anterior el producto de inercia de la seccion compuesta es nulo.
Ademas tenemos que Ix = Iy de tal manera que el cırculo de Mohr se reduce a un punto como
2.9 Problema 9 ••53
se muestra en la figura 2.18b. Esto significa que los ejes elegidos son principales de inercia y los
momentos principales de inercia tienen el mismo valor:
Imax = Imin = Ix = Iy = 19,25 l4 (2.83)
a) b)
Figura 2.18: Problema 9: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo
de Mohr.
••54 Secciones compuestas
2.10. Problema 10
Calcular los momentos principales de inercia de la seccion compuesta representada en la figura
2.19a respecto de su centroide.
a) b)
Figura 2.19: Problema 10: (a) Seccion compuesta propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
2.10.1. Calculo del area y del centroide de la seccion compuesta
Para resolver el problema primero se procede al despiece de la seccion en dos triangulos (1)
y (2) a los cuales sumamos un cuarto de cırculo (3) y una ultima seccion que calculamos como
un cuadrado (4) menos el cuarto de cırculo (5), tal y como se muestra en la figura 2.19b. De esta
forma, el area de la seccion compuesta, AT , resulta:
A(1) =l2
2(2.84a)
A(2) =l2
2(2.84b)
A(3) =πl2
4(2.84c)
A(4) = l2 (2.84d)
A(5) =πl2
4(2.84e)
AT = A(1)+A(2)+A(3)+A(4)−A(5) = 2l2 (2.84f)
2.10 Problema 10 ••55
Para situar el centroide, se debe calcular los momentos estaticos de la seccion:
Mx = A(1)(
l3
)+ A(2)
(− l
3
)+A(3)
(− 4l
3π
)+A(4)
(l2
)−A(5)
(l− 4l
3π
)=−0,28 l3(2.85a)
My = A(1)(
l3
)+ A(2)
(− l
3
)+ A(3)
(4l3π
)+A(4)
(− l
2
)−A(5)
(−l +
4l3π
)= 0,28 l3(2.85b)
La posicion del centro de masas resultante es la siguiente:
xg =My
AT= 0,14 l (2.86a)
yg =Mx
AT=−0,14 l (2.86b)
2.10.2. Calculo de los momentos de inercia
En este apartado se calculan los momentos de inercia, Ix e Iy, el producto de inercia, Ixy, y el
momento polar de inercia, Io, respecto a los ejes que pasan por el centroide (xg,yg) de la seccion
compuesta.
Segun el despiece propuesto, el momento de inercia Ix se consigue sumando las contribuciones
de todas las secciones que forman el area compuesta. En particular, cada momento de inercia, I(i)x ,
se obtiene sumando dos terminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto
a unos ejes que pasan por su propio centroide, G(i) (vease figura 2.19b), mientras el segundo
termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide (xg,yg) de la seccion compuesta
(teorema de los ejes paralelos o formula del transporte de Steiner):
I(1)x =1
36l (l)3 +A(1)
(l3− yg
)2
(2.87a)
I(2)x =1
36l (l)3 +A(2)
(− l
3− yg
)2
(2.87b)
I(3)x =
[14
(14
πl4)− A(3)
(4l3π
)2]+ A(3)
(− 4l
3π− yg
)2
(2.87c)
I(4)x =1
12l4 +A(4)
(l2− yg
)2
(2.87d)
I(5)x =
[14
(14
πl4)−A(5)
(4 l3π
)2]+A(5)
(l− 4l
3π− yg
)2
(2.87e)
de tal manera que el valor de Ix, resulta:
Ix = I(1)x + I(2)x + I(3)x + I(4)x − I(5)x = 0,34 l4 (2.88)
••56 Secciones compuestas
Observese que en el caso del cuarto de cırculo es necesario aplicar la formula del transporte
dos veces: primero desde el valor del momento de inercia calculado respecto del centro del cırculo
hacia el centroide del cırculo; y una segunda vez hacia el centroide de la seccion compuesta:
De forma similar el momento de inercia, Iy se calcula como:
I(1)y =136
(l) l3 +A(1)(
l3− xg
)2
(2.89a)
I(2)y =136
(l) l3 +A(2)(− l
3− xg
)2
(2.89b)
I(3)y =
[14
(14
πl4)− A(3)
(4l3π
)2]+A(3)
(4l3π− xg
)2
(2.89c)
I(4)y =112
(l)4 + A(4)(− l
2− xg
)2
(2.89d)
I(5)y =
[14
(14
πl4)− A(5)
(4l3π
)2]+A(5)
(−l +
4l3π− xg
)2
(2.89e)
Iy = I(1)y + I(2)y + I(3)y + I(4)y − I(5)y = 0,34 l (2.89f)
Siguiendo exactamente el mismo proceso, el producto de inercia, Ixy, resulta:
I(1)xy = − 172
l2l2 +A(1)(
l3− xg
)(l3− yg
)(2.90a)
I(2)xy = − 172
l2l2 +A(2)(− l
3− xg
)(− l
3− yg
)(2.90b)
I(3)xy = −
[18
l4−A(3)(
4l3π
)2]+A(3)
(4l3π− xg
)(l− 4l
3π− yg
)(2.90c)
I(4)xy = A(4)(− l
2− xg
)(l2− yg
)(2.90d)
I(5)xy = −
[18
l4−A(5)(
4l3π
)2]+A(5)
(−l +
4l3π− xg
)(l− 4l
3π− yg
)(2.90e)
Ixy = I(1)xy + I(2)xy + I(3)xy + I(4)xy − I(5)xy =−0,0072 l4 (2.90f)
Finalmente, para calcular el momento polar de inercia, Io, hay que sumar los valores de Ix e Iy:
I0 = Ix + Iy = 0,68 l4 (2.91)
2.10 Problema 10 ••57
2.10.3. Calculo de los Momentos Principales de Inercia
Como se puede apreciar en la figura 2.20b los momento principales de inercia inercias
(maximo y mınimo) se dan cuando el producto de inercia se anula (Ixy = 0) , una situacion que
corresponde a la interseccion del cırculo Mohr con el eje horizontal.
El centro, Im y el radio, R, del cırculo de Mohr se obtienen:
Im =Ix + Iy
2= 0,34 l4 (2.92a)
R =
√(Iy− Ix
2
)2
+ I2xy = 0,0072 l4 (2.92b)
Los momentos principales de inercia asumen los siguientes valores:
Imax = Im +R = 0,347 l4 (2.93a)
Imin = Im−R = 0,333l4 (2.93b)
Para finalizar, la rotacion de ejes, θ , necesaria para que estos coincidan con los ejes principales
de inercia (vease figura 2.20) se calcula como:
θ =12
arctan(
2 Ixy
Iy− Ix
)=−45o (2.94)
a) b)
Figura 2.20: Problema 10: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b)
Circulo de Mohr.
••58 Secciones compuestas
CA
PIT
UL
O
3 Secciones de pared
delgada
3.1. Problema 1
Calcular los momentos principales de inercia para la seccion de pared delgada que se presenta
en la figura 3.1a respecto de su centroide.
a) b)
Figura 3.1: Problema 1: (a) Seccion de pared delgada propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
3.1.1. Calculo del area y del centroide de la seccion
El primer paso para la solucion del problema consiste en el despiece de la seccion original en
tres areas rectangulares de pared delgada, como se muestra en la figura 3.1b. Se procede al calculo
del area de cada rectangulo que forma la seccion:
A(1) = 5 tl (3.1a)
A(2) = 4 tl (3.1b)
A(3) = 5 tl (3.1c)
••60 Secciones de pared delgada
El area total, AT , se obtiene sumando las diferentes contribuciones obtenidas con el despiece:
AT = A(1)+A(2)+A(3) = 14 tl (3.2)
Los momentos estaticos, Mx y My, se calculan de forma analoga en funcion de la posicion de
los centroides de los diferentes rectangulos que forman la seccion propuesta respecto de los ejes
cartesianos de referencia que se muestran en la figura 3.1b:
Mx = A(1)(3l2+ l)+A(2)(2l)+A(3)(2l) =
612
tl2 = 30,5 tl2 (3.3a)
My = A(1)(2l)+A(2) (0)+A(3)(3l2) =
352
tl2 = 17,5 tl2 (3.3b)
Finalmente, la posicion del centroide de la seccion (vease figura 3.2a) se obtiene como:
xg =My
AT= 1,25 l (3.4a)
yg =Mx
AT= 2,18 l (3.4b)
3.1.2. Calculo de los momentos de inercia
En este apartado calcularemos los momentos de inercia Ix y Iy, el producto de inercia Ixy
ası como el momento polar de inercia Io respecto de los ejes xG e yG (ver figura 3.2a) que pasan
por el centroide de la seccion.
El momento de inercia, Ix, se calcula sumando las contribuciones, I(i)x , de los diferentes
rectangulos del despiece que forman la seccion propuesta. Cada momento de inercia I(i)x se obtiene
sumando dos terminos: el primero termino es al momento de inercia calculado respecto a ejes
que pasan por su propio centroide, Gi, (ver figura figura 3.1b), mientras el segundo termino
corresponde al transporte (teorema de los ejes paralelos) hacia el centroide, G(xg,yg), de la
seccion propuesta:
I(1)x =1
12A(1)(3 l)2 +A(1)
(3 l2+1− yg
)2
(3.5a)
I(2)x =112
A(2)(4l)2 +A(2) (2 l− yg)2 (3.5b)
I(3)x =112
A(3)(4 l)2 +A(3) (2 l− yg)2 (3.5c)
de tal manera que el momento de inercia, Ix, sumando las diferentes contribuciones del despiece:
Ix = I(1)x + I(2)x + I(3)x = 16,5 tl3 (3.6)
3.1 Problema 1 ••61
De forma analoga se procede con el calculo de los momento de inercia, I(i)y :
I(1)y =112
A(1) (4l)2 +A(1) (2 l− xg)2 (3.7a)
I(2)y = 0+A(2) (−xg)2 (3.7b)
I(3)y =112
A(3)(3l)2 +A(3)(
3 l2− xg
)(3.7c)
y del correspondiente momento de inercia, Iy, de la seccion:
Iy = I(1)y + I(2)y + I(3)y = 19,8 tl3 (3.8)
A continuacion se calculan las diferentes contribuciones, I(i)xy , necesarias para el calculo del
producto de inercia, Ixy:
I(1)xy = − 112
A(1) (4l)(3l)+A(1) (2 l− xg)(
3 l2+1− yg
)(3.9a)
I(2)xy = 0+A(2) (−xg) (2 l− yg) (3.9b)
I(3)xy =112
A(3)(3l)(4l)+A(3)(
3l2− xg
)(2 l− yg) (3.9c)
Ixy = I(1)xy + I(2)xy + I(3)xy = 1,87 tl3 (3.9d)
Finalmente, el momento polar de inercia, Io, calculado con respecto al centroide de la seccion
(polo), se obtiene sumando de los momento de inercia inercias Ix y Iy:
Io = Ix + Iy = 36,3 tl3 (3.10)
3.1.3. Calculo de los momentos principales de inercia
En la figura 3.2b se muestra el cırculo de Mohr relativo a la seccion de pared delgada propuesta.
Como se puede observar en esta figura los momentos principales de inercia se obtienen cuando se
anula el producto de inercia. El centro del cırculo de Mohr esta definido por el momento de inercia
medio, Im:
Im =Ix + Iy
2= 18,2 tl3 (3.11)
mientras su radio, R, se puede calcular como:
R =
√(Iy− Ix
2
)2
+ I2xy = 2,47 tl3 (3.12)
••62 Secciones de pared delgada
Los momentos principales de inercia, Imax y Imin, se encuentran en los extremos del diametro
horizontal (Ixy = 0) y se calculan facilmente como:
Imax = Im +R = 20,6 tl3 (3.13a)
Imin = Im−R = 15,7 tl3 (3.13b)
El cırculo de Mohr nos indica ademas la rotacion de ejesnecesaria para que estos coincidan
con los ejes principales de inercia como se muestra en las figuras 3.2a-b. En el plano de Mohr,
las rotaciones (positivas en sentido antihorario) corresponden a dos veces el valor del angulo, θ ,
necesario para que los ejes originales de la seccion, (x,y), coincidan con los ejes principales de
inercia,(
x′,y′)
. Esta rotacion se puede calcular como:
θ = 0,5 arctan(
2 Ixy
Iy− Ix
)= 24,6o (3.14)
Finalmente, se puede observar que, en lugar de mover los ejes de referencia y mantener fija la
posicion de la seccion, se consigue el mismo resultado manteniendo los ejes de referencia fijos y
rotando la seccion en sentido horario.
3.1 Problema 1 ••63
a) b)
Figura 3.2: Problema 1: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo
de Mohr.
••64 Secciones de pared delgada
3.2. Problema 2
Calcular los momentos principales de inercia para la seccion de pared delgada que se presenta
en la figura 3.3a respecto de su centroide.
a) b)
Figura 3.3: Problema 2: (a) Seccion de pared delgada propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
3.2.1. Calculo del area y del centroide de la seccion
Para la resolucion del problema planteado, se procedera en primer lugar al despiece de la
seccion en cuatro areas rectangulares tal y como se muestra en la 3.3b. Las areas de los diferentes
rectangulos valen:
A(1) = 2 tl (3.15a)
A(2) = 2 tl (3.15b)
A(3) = tl (3.15c)
A(4) = tl (3.15d)
Por un lado, el area total, AT , se obtiene sumando las diferentes contribuciones obtenidas en
el despiece:
AT = A(1)+A(2)+A(3) = 14 tl (3.16)
Por otro lado, debido a la simetrıa, el centroide coincide con el origen de los ejes elegidos, que
se muestran en la misma figura 3.3b.
3.2 Problema 2 ••65
3.2.2. Calculo de los momentos de inercia
En este apartado calcularemos los momentos de inercia Ix y Iy, el producto de inercia Ixy
ası como el momento polar de inercia Io respecto de los ejes xG e yG (ver figura 3.4a) que pasan
por el centroide de la seccion.
El momento de inercia, Ix, se calcula sumando las contribuciones, I(i)x , de los diferentes
rectangulos del despiece que forman la seccion propuesta. Cada momento de inercia I(i)x se obtiene
sumando dos terminos: el primero termino es al momento de inercia calculado respecto a ejes
que pasan por su propio centroide, Gi, (ver figura figura 3.3b), mientras el segundo termino
corresponde al transporte (teorema de los ejes paralelos) hacia el centroide, G(xg,yg), de la
seccion propuesta:
I(1)x = 0+A(1)(
l2
)2
=tl3
2(3.17a)
I(2)x = 0+A(2)(−l2
)2
=tl3
2(3.17b)
I(3)x =1
12A(3) l2 =
tl3
12(3.17c)
I(4)x =1
12A(4) l2 =
tl3
12(3.17d)
Se puede observar como en el caso de secciones horizontales (1) y (2), solo se considera el
termino de transporte. El momento de inercia, Ix, de la seccion resultante es:
Ix = I(1)x + I(2)x + I(3)x + I(4)x =7 tl3
6= 1,16 t l3 (3.18)
Analogamente, se procede al calculo del momento de inercia, Iy. En este caso son la secciones
verticales (3) y (4), las que se calculan utilizando solo el termino de transporte:
I(1)y =112
A(1) (2 l)2 +A(1)(− l
2
)2
=7 tl3
6(3.19a)
I(2)y =112
A(2) (2 l)2 +A(2)(
l2
)2
=7 tl3
6(3.19b)
I(3)y = 0+ A(3)(− l
2
)2
=tl3
4(3.19c)
I(4)y = 0+ A(4)(
l2
)2
=tl3
4(3.19d)
Iy = I(1)y + I(2)y + I(3)y + I(4)y =176
tl3 = 2,84 tl3 (3.19e)
••66 Secciones de pared delgada
A continuacion se calculan las diferentes contribuciones, I(i)xy , necesarias para el calculo del
producto de inercia, Ixy:
I(1)xy = 0+A(1)(−l2
)(l2
)=− tl3
2(3.20a)
I(2)xy = 0+A(2)(−l2
)(l2
)=− tl3
2(3.20b)
I(3)xy = 0+A(3)(− l
2
)·0 = 0 (3.20c)
I(4)xy = 0+A(4)(
l2
)·0 = 0 (3.20d)
Ixy = I(1)xy + I(2)xy + I(3)xy + I(4)xy =−tl3 (3.20e)
Finalmente, el momento polar de inercia, I0, calculado respecto al centroide de la seccion
(polo), se consigue sumando los valores de Ix e Iy:
I0 = Ix + Iy = 4 tl3 (3.21)
3.2.3. Calculo de los momentos principales de inercia
En la figura 3.4b se muestra el cırculo de Mohr relativo a la seccion de pared delgada propuesta.
Como se puede observar, los momentos principales de inercia se obtienen cuando el producto de
inercia, Ixy, se anula.
El centro, Im y el radio, R, del cırculo de Mohr se calculan como:
Im =Ix + Iy
2= 2 tl3 (3.22a)
R =
√(Iy− Ix
2
)2
+ I2xy =
√61tl3
6= 1,3 tl3 (3.22b)
de tal manera que los momentos principales de inercia, Imax y Imin, se calculan facilmente como:
Imax = Im +R = 3,3 tl3 (3.23a)
Imin = Im−R = 0,67 tl3 (3.23b)
El Cırculo de Mohr tambien nos indica la rotacion de ejes necesaria para que estos coincidan
con los ejes principales de inercia como se muestra en la figura 3.4a. En el plano de Mohr las
rotaciones (positivas en sentido antihorario) corresponden a dos veces el valor del angulo, θ ,
3.2 Problema 2 ••67
necesario para que los ejes originales de la seccion, (x,y), coincidan con los ejes principales de
inercia,(
x′,y′)
. Esta rotacion se puede calcular como:
θ =12
arctan(
2 Ixy
Iy− Ix
)=−25o (3.24)
Finalmente, es interesante observar que, manteniendo los ejes de referencia fijos, podemos
girar la seccion, segun sus ejes principales de inercia, aplicando una rotacion, θ , positiva horaria.
••68 Secciones de pared delgada
a) b)
Figura 3.4: Problema 2: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo
de Mohr.
3.3 Problema 3 ••69
3.3. Problema 3
Calcular los momentos principales de inercia para la seccion de pared delgada que se presenta
en la figura 3.5a respecto de su centroide.
a) b)
Figura 3.5: Problema 3: (a) Seccion de pared delgada propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
3.3.1. Calculo del area y del centroide de la seccion
Para facilitar la resolucion del problema planteado, se procede al despiece de la seccion en dos
rectangulos, tal y como se observa en la figura 3.5b.
En primer lugar, se calcula el area de cada rectangulo y el de la seccion global:
A(1) = 2 tl√
2 (3.25a)
A(2) = tl√
2 (3.25b)
AT = A(1)+A(2) = 3√
2 tl (3.25c)
Para situar el centroide de la seccion, se calculan previamente los momentos estaticos, Mx y
My, respecto a los ejes de referencia representados en la figura 3.5b:
Mx =A(2) l
2=
tl2√
22
= 0,71 tl2 (3.26a)
My =A(2) l
2=
tl2√
22
= 0,71 tl2 (3.26b)
••70 Secciones de pared delgada
de tal manera que el centroide se situa en (vease figura 3.6a):
xg =My
AT=
l6= 0,1667 l (3.27a)
yg =Mx
AT=
l6= 0,1667 l (3.27b)
3.3.2. Calculo de los momentos de inercia
En este apartado calcularemos los momentos de inercia Ix y Iy, el producto de inercia Ixy
ası como el momento polar de inercia Io respecto de los ejes xG e yG (ver figura 3.6a) que pasan
por el centroide de la seccion.
El momento de inercia, Ix, se calcula sumando las contribuciones, I(i)x , de los dos rectangulos
del despiece que forman la seccion propuesta. Cada momento de inercia I(i)x se obtiene sumando
dos terminos: el primero termino es al momento de inercia calculado respecto a ejes que pasan
por su propio centroide, Gi, (ver figura figura 3.5b), mientras el segundo termino corresponde al
transporte (teorema de los ejes paralelos) hacia el centroide, G(xg,yg), de la seccion propuesta:
I(1)x =112
A(1) (2 l)2 +A(1) (−yg)2 (3.28a)
I(2)x =112
A(2) l2 +A(2)(
12− yg
)2
(3.28b)
El valor total dedel momento de inercia, Ix, se calcula como la suma de las inercias parciales,
I(i)x :
Ix = I(1)x + I(2)x = 1,3 tl3 (3.29)
Analogamente, se procede al calculo del momento de inercia, Iy:
I(1)y =112
A(1) (2 l)2 +A(1) (−xg)2 (3.30a)
I(2)y =112
A(2) l2 +A(2)(
l2− xg
)2
(3.30b)
Iy = I(1)y + I(2)y = 1,2964 tl3 (3.30c)
y del producto de inercia Ixy:
I(1)xy = − 112
A(1) (2 l)(2 l)+A(1) (−xg) (−yg) (3.31a)
I(2)xy =112
A(2) (l)(l)+A(2)(
12− xg
)(12− yg
)(3.31b)
Ixy = I(1)xy + I(2)xy =−0,6 tl3 (3.31c)
3.3 Problema 3 ••71
Finalmente, el valor del momento polar de inercia, I0, se obtiene sumando los momentos de
inercia, Ix e Iy:
I0 = Ix + Iy = 2,6 tl3 (3.32a)
3.3.3. Calculo de los momentos principales de inercia
En la figura 3.6b se muestra el cırculo de Mohr relativo a la seccion de pared delgada propuesta.
Como se puede observar, los momentos principales de inercia se obtienen cuando el producto de
inercia, Ixy, se anula.
El centro, Im y el radio, R, del cırculo de Mohr se calculan como:
Im =Ix + Iy
2= 1,3 tl3 (3.33a)
R =
√(Iy− Ix
2
)2
+ I2xy = 0,6 tl3 (3.33b)
de tal manera que los momentos principales de inercia, Imax y Imin, se calculan facilmente como:
Imax = Im +R = 1,9 tl3 (3.34a)
Imin = Im−R = 0,7 tl3 (3.34b)
El Cırculo de Mohr tambien nos indica la rotacion de ejes necesaria para que estos coincidan
con los ejes principales de inercia, como se muestra en la figura 3.6a. En el plano de Mohr las
rotaciones (positivas en sentido antihorario) corresponden a dos veces el valor del angulo, θ ,
necesario para que los ejes originales de la seccion, (x,y), coincidan con los ejes principales de
inercia,(
x′,y′)
. Esta rotacion se puede calcular como:
θ =12
arctan(
2 Ixy
Iy− Ix
)=−45o (3.35)
••72 Secciones de pared delgada
a) b)
Figura 3.6: Problema 3: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo
de Mohr.
3.4 Problema 4 ••73
3.4. Problema 4
Calcular los momentos principales de inercia para la seccion de pared delgada que se presenta
en la figura 3.7a respecto de su centroide.
a) b)
Figura 3.7: Problema 4: (a) Seccion de pared delgada propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
3.4.1. Calculo del area y del centroide de la seccion
El primer paso a realizar en la resolucion del problema planteado consiste en separar la seccion
en diferentes areas rectangulares como se muestra en la figura 3.7b. El area de la seccion delgada
propuesta resulta:
A(1) = 4 tl (3.36a)
A(2) = 4 tl (3.36b)
A(3) = tl (3.36c)
A(4) = tl (3.36d)
A(5) =√
17 t l (3.36e)
A(6) =√
17 t l (3.36f)
AT = 18,24 t l (3.36g)
Por razones de simetrıa el centroide de la seccion coincide con el origen de los ejes de
referencia.
••74 Secciones de pared delgada
3.4.2. Calculo de los momentos de inercia
En este apartado calcularemos los momentos de inercia Ix y Iy, el producto de inercia Ixy
ası como el momento polar de inercia Io respecto de los ejes xG e yG (ver figura 3.8a) que pasan
por el centroide de la seccion.
El momento de inercia, Ix, se calcula sumando las contribuciones, I(i)x , de los diferentes
rectangulos del despiece que forman la seccion propuesta. Cada momento de inercia I(i)x se obtiene
sumando dos terminos: el primero termino es al momento de inercia calculado respecto a ejes
que pasan por su propio centroide, Gi, (ver figura figura 3.7b), mientras el segundo termino
corresponde al transporte (teorema de los ejes paralelos) hacia el centroide, G(xg,yg), de la
seccion propuesta:
I(1)x = 0+ A(1)(
l2
)2
= tl3 (3.37a)
I(2)x = 0+ A(2)(− l
2
)2
= tl3 (3.37b)
I(3)x =112
A(3) l2 +0 =112
tl3 (3.37c)
I(4)x = I(3)x =112
tl3 (3.37d)
I(5)x =112
A(5) l2 +0 =
√17
12tl3 (3.37e)
I(6)x = I(5)x =
√17
12tl3 (3.37f)
Se puede observar como en el caso de secciones horizontales (1) y (2), solo se considera el
termino de transporte. El momento de inercia, Ix, de la seccion resultante es:
Ix = I(1)x + I(2)x + I(3)x + I(4)x + I(5)x + I(6)x = 2,8 tl3 (3.38)
Analogamente, se procede al calculo del momento de inercia, Iy. En este caso son las secciones
verticales (3) y (4) donde se considera unicamente el termino de transporte:
3.4 Problema 4 ••75
I(1)y =112
A(1) (4 l)2 +0 = 5,3 tl3 (3.39a)
I(2)y = I(1)y = 5,3 tl3 (3.39b)
I(3)y = 0+ A(3) (−2 l)2 = 4 tl3 (3.39c)
I(4)y = 0+A(4) (2 l)2 = 4 tl3 (3.39d)
I(5)y =112
A(5) (4 l)2 +0 = 5,5 l3 (3.39e)
I(6)y = I(5)y = 5,5 l3 (3.39f)
Iy = I(1)y + I(2)y + I(3)y + I(4)y + I(5)y + I(6)y = 29,6 tl3 (3.39g)
Por razones de simetrıa el producto de inercia, Ixy, debe ser nulo. Esto se comprueba a
continuacion:
I(1)xy = 0+12
A(1)(0)(
l2
)= 0 (3.40a)
I(2)xy = 0+A(2)(0)(− l
2
)= 0 (3.40b)
I(3)xy = 0+A(3)(−2l)(0) = 0 (3.40c)
I(4)xy = 0+A(4)(2l)(0) = 0 (3.40d)
I(5)xy =112
A(5) (4 l) (l)+0 =
√173
tl3 (3.40e)
I(6)xy = − 112
A(6) (4 l) (l)+0 =−√
173
tl3 (3.40f)
Ixy = I(1)xy + I(2)xy + I(3)xy + I(4)xy + I(5)xy + I(6)xy = 0 (3.40g)
Una vez se tienen los momentos de inercias, Ix e Iy, se puede calcular el momento polar de
inercia, I0, como sigue:
I0 = Ix + Iy = 32,5 tl3 (3.41)
3.4.3. Calculo de los momentos principales de inercia
En este caso, los ejes que hemos utilizado para el calculo de los momentos de inercia son ejes
principales de inercia (Ixy = 0). De ese modo resulta:
Imax = Iy = 29,6 tl3 (3.42a)
Imin = Iy = 2,8 tl3 (3.42b)
••76 Secciones de pared delgada
a) b)
Figura 3.8: Problema 4: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo
de Mohr.
3.5 Problema 5 ••77
3.5. Problema 5
Calcular los momentos principales de inercia para la seccion de pared delgada que se presenta
en la figura 3.9a respecto de su centroide.
a) b)
Figura 3.9: Problema 5: (a) Seccion de pared delgada propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
3.5.1. Calculo del area y del centroide de la seccion
El primer paso para la resolucion del problema consiste en el despiece de la seccion en tres
areas rectangulares como se muestra en la figura 3.9b. A continuacion se procede a calcular el area
de cada rectangulo:
A(1) =√
17 tl (3.43a)
A(2) =√
17 tl (3.43b)
A(3) = tl (3.43c)
El area total sera la suma de las areas calculadas:
AT = A(1)+A(2)+A(3) = 9,24 tl (3.44)
Para situar el centroide de la seccion, primero es necesario calcular los momentos estaticos,
Mx y My, respecto a los ejes cartesianos de referencia que se muestran figura 3.9b:
Mx = A(1)(
12
)+ A(2)
(12
)+ A(3) (0) = 0 (3.45a)
My = A(1) (2l)+ A(2) (2l)+A(3) (2l) = 18,5 tl2 (3.45b)
••78 Secciones de pared delgada
La posicion del centroide de la seccion se obtiene como:
xg =My
AT= 2 l (3.46a)
yg =Mx
AT= 0 (3.46b)
3.5.2. Calculo de los momentos de inercia
En este apartado calcularemos los momentos de inercia Ix y Iy, el producto de inercia Ixy
ası como el momento polar de inercia Io respecto de los ejes xG e yG (ver figura 3.10a) que pasan
por el centroide de la seccion.
El momento de inercia, Ix, se calcula sumando las contribuciones, I(i)x , de los diferentes
rectangulos del despiece que forman la seccion propuesta. Cada momento de inercia I(i)x se obtiene
sumando dos terminos: el primero termino es al momento de inercia calculado respecto a ejes
que pasan por su propio centroide, Gi, (ver figura figura 3.9b), mientras el segundo termino
corresponde al transporte (teorema de los ejes paralelos) hacia el centroide, G(xg,yg), de la
seccion propuesta:
I(1)x =112
A(1) ( l)2 +A(1)(
l2
)2
(3.47a)
I(2)x =112
A(2) ( l)2 +A(2)(− l
2
)2
(3.47b)
I(3)x =112
A(3) ( l)2 (3.47c)
Ix = I(1)x + I(2)x + I(3)x = 2,8 tl3 (3.47d)
Analogamente, se procede al calculo del momento de inercia, Iy:
I(1)y =112
A(1) (4l)2 +A(1) (2 l− xg)2 (3.48a)
I(2)y = I(1)y (3.48b)
I(3)y = 0+A(3) (2 l− xg)2 (3.48c)
Iy = I(1)y + I(2)y + I(3)y = 11 tl3 (3.48d)
Como se comprueba a continuacion, por razones de simetrıa, el producto de inercia, Ixy, debe
3.5 Problema 5 ••79
ser nulo:
I(1)xy = − 112
A(1) (4l)(l)+ A(1) (2 l− xg)
(l2
)(3.49a)
I(2)xy =112
A(2) (4l)(l)+ A(2) (2 l− xg)
(− l
2
)(3.49b)
I(3)xy = 0+A(3) (2l− xg)(0) = 0 (3.49c)
Ixy = I(1)xy + I(2)xy + I(3)xy = 0 (3.49d)
Por ultimo, el valor del momento polar de inercia respecto al centroide se calcula facilmente
sumando Ix e Iy:
I0 = Ix + Iy = 13,8 tl3 (3.50)
3.5.3. Calculo de los momentos principales de inercia
En este caso, los ejes que hemos utilizado para el calculo de los momentos de inercia son ejes
principales de inercia (Ixy = 0). De ese modo resulta:
Imax = Iy = 11 tl3 (3.51a)
Imin = Iy = 2,8 tl3 (3.51b)
••80 Secciones de pared delgada
a) b)
Figura 3.10: Problema 5: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo
de Mohr.
3.6 Problema 6 ••81
3.6. Problema 6
Calcular los momentos principales de inercia para la seccion de pared delgada que se presenta
en la figura 3.11a respecto de su centroide.
a) b)
Figura 3.11: Problema 6: (a) Seccion de pared delgada propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
3.6.1. Calculo del area y del centroide de la seccion
En este caso, se puede observar como se nos presenta una seccion formada por tres
rectangulos de seccion delgada. El primer paso consiste, por lo tanto, en calcular las areas de
cada rectangulo,A(i), ası como el area total, AT :
A(1) =√
2 tl (3.52a)
A(2) = tl (3.52b)
A(3) =tl2
(3.52c)
AT = A(1)+A(2)+A(3) = 2,9 tl (3.52d)
Para situar el centroide de la seccion, primero es necesario calcular los momentos estaticos,
Mx y My, respecto a los ejes cartesianos de referencia que se muestran figura 3.11b:
Mx = A(1) (0)+A(2) 0+ A(3)(
l2
)=
tl2
4= 0,25 tl2 (3.53a)
My = A(1) (0)+A(2)(
l2
)+A(3)
(l4
)=
5 tl2
8= 0,625 tl2 (3.53b)
••82 Secciones de pared delgada
Con los momentos estaticos y el area total se calcula la posicion del centroide:
xg =My
AT= 0,21 l (3.54a)
yg =Mx
AT= 0,085 l (3.54b)
3.6.2. Calculo de los momentos de inercia
En este apartado calcularemos los momentos de inercia Ix y Iy, el producto de inercia Ixy
ası como el momento polar de inercia Io respecto de los ejes xG e yG (ver figura 3.12a) que pasan
por el centroide de la seccion.
El momento de inercia, Ix, se calcula sumando las contribuciones, I(i)x , de los diferentes
rectangulos del despiece que forman la seccion propuesta. Cada momento de inercia I(i)x se obtiene
sumando dos terminos: el primero termino es al momento de inercia calculado respecto a ejes
que pasan por su propio centroide, Gi, (ver figura figura 3.11b), mientras el segundo termino
corresponde al transporte (teorema de los ejes paralelos) hacia el centroide, G(xg,yg), de la
seccion propuesta:
I(1)x =112
A(1) (l)2 +A(1) (−yg)2 (3.55a)
I(2)x =112
A(2) (l)2 +A(2) (−yg)2 (3.55b)
I(3)x = 0+A(3)(
l2− yg
)2
(3.55c)
El momento de inercia, Ix, resultante es:
Ix = I(1)x + I(2)x + I(3)x = 0,3 tl3 (3.56)
y analogamente:
I(1)y =1
12A(1) (l)2 +A(1) (−xg)
2 (3.57a)
I(2)y = 0+A(2)(
l2− xg
)2
(3.57b)
I(3)y =1
12A(3)
(l2
)2
+A(3)(
l4− xg
)2
(3.57c)
Iy = I(1)y + I(2)y + I(3)y = 0,275 tl3 (3.57d)
Para el calculo de el producto de inercia se sigue tambien la misma metodologıa:
3.6 Problema 6 ••83
I(1)xy = − 112
A(1) ( l)(l)+A(1) (−xg) (−yg) (3.58a)
I(2)xy = 0+A(2)(
l2− xg
)(−yg) (3.58b)
I(3)xy = 0+A(3)(
l4− xg
)(l2− yg
)(3.58c)
Ixy = I(1)xy + I(2)xy + I(3)xy =−0,11 tl3 (3.58d)
Por ultimo, el momento polar de inercia, I0, se obtiene sumando las inercias, Ix e Iy calculadas:
I0 = Ix + Iy = 0,575 tl3 (3.59a)
3.6.3. Calculo de los momentos principales de inercia
En la figura 3.12b se muestra el cırculo de Mohr relativo a la seccion de pared delgada
propuesta. Como se puede observar en esta figura los momentos principales de inercia se obtienen
cuando se anula el producto de inercia. El centro del cırculo de Mohr esta definido por el momento
de inercia medio, Im:
Im =Ix + Iy
2= 0,29 tl3 (3.60)
mientras su radio, R, se puede calcular como:
R =
√(Iy− Ix
2
)2
+ I2xy = 0,11 tl3 (3.61)
Los momentos principales de inercia, Imax y Imin, se encuentran en los extremos del diametro
horizontal (Ixy = 0) y se calculan como:
Imax = Im +R = 0,4 tl3 (3.62a)
Imin = Im−R = 0,18 tl3 (3.62b)
Por ultimo, la rotacion de ejes (positiva en sentido antihorario) necesaria para que estos
coincidan con los ejes principales de inercia,(
x′,y′)
, se calcula como (ver figuras 3.12):
θ =12
arctan(
2 Ixy
Iy− Ix
)= 41o (3.63)
••84 Secciones de pared delgada
a) b)
Figura 3.12: Problema 6: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo
de Mohr.
3.7 Problema 7 ••85
3.7. Problema 7
Calcular los momentos principales de inercia para la seccion de pared delgada que se presenta
en la figura 3.13a respecto de su centroide.
a) b)
Figura 3.13: Problema 7: (a) Seccion de pared delgada propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
3.7.1. Calculo del area y del centroide de la seccion
Se puede observar como se nos presenta una seccion compuesta por tres rectangulos de seccion
delgada. El despiece de la seccion se muesta en la figura 3.13b.
El area de la seccion resulta:
A(1) = 2 tl (3.64a)
A(2) = 2√
5 tl (3.64b)
A(3) = 2 tl (3.64c)
AT = 8,47 tl (3.64d)
mientras su centroide coincide con el origen de los ejes de referencia por razones de simetrıa.
3.7.2. Calculo de los momentos de inercia
En este apartado se calcularan los momentos de inercia Ix e Iy, el producto, Ixy y el momento
polar de inercia, I0, respecto a los ejes que pasan por el centroide de la seccion (vease figura 3.14a).
••86 Secciones de pared delgada
El momento de inercia, I(i)x , relativo a cada rectangulo del despiece resulta:
I(1)x =112
A(1) (2l)2 (3.65a)
I(2)x =112
A(2) (2l)2 (3.65b)
I(3)x = I(1)x =112
A(3) (2l)2 (3.65c)
de tal manera que el momento de inercia de la seccion, Ix, se calcula sumando las contribuciones
de cada rectangulo:
Ix = I(1)x + I(2)x + I(3)x = 2,8 tl3 (3.66)
y analogamente:
I(1)y = 0+ A(1) (−2 l)2 (3.67a)
I(2)y =112
A(2) (4l)2 (3.67b)
I(3)y = 0+ A(3) (2l)2 (3.67c)
Iy = I(1)y + I(2)y + I(3)y = 21,9 tl3 (3.67d)
El calculo del producto de inercia, Ixy, sigue la misma metodologıa:
I(1)xy = 0+A(1)(−2l)(0) (3.68a)
I(2)xy =112
A(2) (2l)(4l) (3.68b)
I(3)xy = 0+A(3)(2l)(0) (3.68c)
Ixy = I(1)xy + I(2)xy + I(3)xy = 3 tl3 (3.68d)
Finalmente, el momento polar de inercia, I0, resulta:
I0 = Ix + Iy = 24,7 tl3 (3.69)
3.7.3. Calculo de los momentos principales de inercia
En la figura 3.14b se muestra el cırculo de Mohr relativo a la seccion de pared delgada
propuesta. Como se puede observar, los momentos principales de inercia se obtienen cuando el
producto de inercia, Ixy, se anula.
El centro, Im y el radio, R, del cırculo de Mohr se calculan como:
Im =Ix + Iy
2= 12,4 tl3 (3.70a)
R =
√(Iy− Ix
2
)2
+ I2xy = 10 tl3 (3.70b)
3.7 Problema 7 ••87
de tal manera que los momentos principales de inercia, Imax y Imin, se calculan facilmente como:
Imax = Im +R = 22,4 tl3 (3.71a)
Imin = Im−R = 2,4 tl3 (3.71b)
Por ultimo, la rotacion de ejes (positiva en sentido antihorario) necesaria para que estos
coincidan con los ejes principales de inercia,(
x′,y′)
, se calcula como (ver figuras 3.14):
θ =12
arctan(
2 Ixy
Iy− Ix
)= 8,6o (3.72)
a) b)
Figura 3.14: Problema 7: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo
de Mohr.
••88 Secciones de pared delgada
3.8. Problema 8
Calcular los momentos principales de inercia para la seccion de pared delgada que se presenta
en la figura 3.15a respecto de su centroide.
a) b)
Figura 3.15: Problema 8: (a) Seccion de pared delgada propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
3.8.1. Calculo del area y del centroide de la seccion
El primer paso para la resolucion del problema planteado consiste en romper la seccion
propuesta en cuatro areas rectangulares tal y como se muestra en figura 3.15b.
Eel area de cada rectangulo, A(i), ası como el area total resultante, AT :
A(1) = 2 tl (3.73a)
A(2) = 2 tl (3.73b)
A(3) = tl (3.73c)
A(4) = 3 tl (3.73d)
AT = A(1)+A(2)+A(3)+A(4) = 8 tl (3.73e)
3.8 Problema 8 ••89
Para situar el centroide de la seccion es necesario calcular los momentos estaticos, Mx y My:
Mx = A(1) (3 l)+A(2) (0)+ A(3)(
3l2
)+A(4)
(3l2
)= 12 tl2 (3.74a)
My = A(1) l +A(2) l + A(3)(
l2
)+A(4) (0) =
9 l2t2
= 4,5 tl2 (3.74b)
de tal manera que la posicion del centroide resulta como:
xg =My
AT=
916
l = 0,56 l (3.75a)
yg =Mx
AT=
3 l2
= 1,5 l (3.75b)
3.8.2. Calculo de los momentos de inercia
En este apartado calcularemos los momentos de inercia Ix y Iy, el producto de inercia Ixy
ası como el momento polar de inercia Io respecto de los ejes xG e yG (ver figura 3.16a) que pasan
por el centroide de la seccion.
El momento de inercia, Ix, se calcula sumando las contribuciones, I(i)x , de los diferentes
rectangulos del despiece que forman la seccion propuesta. Cada momento de inercia I(i)x se obtiene
sumando dos terminos: el primero termino es al momento de inercia calculado respecto a ejes
que pasan por su propio centroide, Gi, (ver figura figura 3.15b), mientras el segundo termino
corresponde al transporte (teorema de los ejes paralelos) hacia el centroide, G(xg,yg), de la
seccion propuesta:
I(1)x = 0+A(1) (3 l− yg)2 (3.76a)
I(2)x = 0+A(2) (−yg)2 (3.76b)
I(3)x = 0+A(3)(
3 l2− yg
)(3.76c)
I(4)x =1
12A(4) (3l)2 +A(4)
(3 l2− yg
)(3.76d)
Se puede observar como en el caso de secciones horizontales (1), (2) y (3), solo se considera
el termino de transporte. El momento de inercia, Ix, de la seccion resultante es:
Ix = I(1)x + I(2)x + I(3)x + I(4)x = 11,25 tl3 (3.77)
Analogamente, se procede al calculo del momento de inercia, Iy. En este caso la seccion
••90 Secciones de pared delgada
vertical (4) es la que se calcula utilizando solo el termino de transporte:
I(1)y =112
A(1) (2l)2 +A(1) (l− xg)2 (3.78a)
I(2)y = I(1)y (3.78b)
I(3)y =112
A(3) (l)2 +A(3)(
l2− xg
)2
(3.78c)
I(4)y = 0+A(4) (−xg)2 (3.78d)
Iy = I(1)y + I(2)y + I(3)y + I(4)y = 3,15 tl3 (3.78e)
El calculo del producto de inercia, Ixy, sigue la misma metodologıa:
I(1)xy = 0+A(1) (l− xg)(3 l− yg) (3.79a)
I(2)xy = 0+A(2) (l− xg)(−yg) (3.79b)
I(3)xy = 0+A(3)(
l2− xg
)(3 l2− yg
)(3.79c)
I(4)xy = 0+A(4) (−xg)(0)(
3l2− yg
)(3.79d)
Ixy = I(1)xy + I(2)xy + I(3)xy + I(4)xy = 0 (3.79e)
Finalmente, se puede calcular el momento polar de inercia, I0, sumando Ix e Iy:
I0 = Ix + Iy = 14,4 tl3 (3.80)
3.8.3. Calculo de los momentos principales de inercia
En este problema, los ejes que hemos utilizado para el calculo de los momentos de inercia son
ejes principales de inercia (Ixy = 0). De ese modo resulta:
Imax = Ix = 11,25 tl3 (3.81a)
Imin = Iy = 3,15 tl3 (3.81b)
3.8 Problema 8 ••91
a) b)
Figura 3.16: Problema 8: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo
de Mohr.
••92 Secciones de pared delgada
3.9. Problema 9
Calcular los momentos principales de inercia para la seccion de pared delgada que se presenta
en la figura 3.17a respecto de su centroide.
a) b)
Figura 3.17: Problema 9: (a) Seccion de pared delgada propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
3.9.1. Calculo del area y del centroide de la seccion
Para la resolucion del problema planteado, se procedera en primer lugar al despiece de la
seccion en cuatro areas rectangulares tal y como se muestra en la 3.17b. Las areas de los diferentes
rectangulos valen:
A(1) =√
5 tl (3.82a)
A(2) =√
5 tl (3.82b)
A(3) = tl (3.82c)
A(4) = 2 tl (3.82d)
El area total AT sera por lo tanto:
AT = A(1)+A(2)+A(3)+A(4) = 7,47 tl (3.83a)
3.9 Problema 9 ••93
Una vez calculada el area, se procede a situar el centroide de la seccion. Para ello se calculan
los momentos estaticios, Mx y My:
Mx = A(1)(
2l +l2
)+ A(2)
(l2
)+ A(3)
(l +
l2
)+A(4) l = 10,2 tl2 (3.84a)
My = A(1) l +A(2) l +A(3) (0)+2A(4) (2 l) = 8,47 tl2 (3.84b)
El centroide de la seccion se situa en:
xg =My
A= 1,13 l (3.85a)
yg =Mx
AT= 1,36 l (3.85b)
3.9.2. Calculo de los momentos de inercia
En este apartado calcularemos los momentos de inercia Ix y Iy, el producto de inercia Ixy
ası como el momento polar de inercia Io respecto de los ejes xG e yG (ver figura 3.18a) que pasan
por el centroide de la seccion.
El momento de inercia, Ix, se calcula sumando las contribuciones, I(i)x , de los diferentes
rectangulos del despiece que forman la seccion propuesta. Cada momento de inercia I(i)x se obtiene
sumando dos terminos: el primero termino es al momento de inercia calculado respecto a ejes
que pasan por su propio centroide, Gi, (ver figura figura 3.17b), mientras el segundo termino
corresponde al transporte (teorema de los ejes paralelos) hacia el centroide, G(xg,yg), de la
seccion propuesta:
I(1)x =112
A(1) (l)2 +A(1)(
5l2− yg
)2
(3.86a)
I(2)x =112
A(2) (l)2 +A(2)(
l2− yg
)2
(3.86b)
I(3)x =112
A(3) (l)2 +A(3)(
3 l2− yg
)2
(3.86c)
I(4)x =112
A(4) (2 l)2 +A(4) (l− yg)2 (3.86d)
El momento de inercia, Ix, de la seccion propuesta es:
Ix = I(1)x + I(2)x + I(3)x + I(4)x = 5,96 tl3 (3.87)
••94 Secciones de pared delgada
Analogamente, se procede al calculo del momento de inercia, Iy:
I(1)y =112
A(1) (2l)2 +A(1) (l− xg)2 (3.88a)
I(2)y = I(1)y (3.88b)
I(3)y = 0+A(3) (0− xg)2 (3.88c)
I(4)y = 0+A(4) (2 l− xg)2 (3.88d)
Iy = I(1)y + I(2)y + I(3)y + I(4)y = 4,35 tl3 (3.88e)
El calculo del producto de inercia, Ixy, sigue la misma metodologıa:
I(1)xy =112
A(1) (2l)2 +A(1) (l− xg)
(5 l2− yg
)(3.89a)
I(2)xy = − 112
A(2) (2l)2 +A(2) (l− xg)
(l2− yg
)(3.89b)
I(3)xy = 0+A(3) (−xg)
(3l2− yg
)(3.89c)
I(4)xy = 0+A(4) (2 l− xg)(l− yg) (3.89d)
Ixy = I(1)xy + I(2)xy + I(3)xy + I(4)xy =−0,86 tl3 (3.89e)
Finalmente, se puede calcular el momento polar de inercia, I0, sumando Ix e Iy:
I0 = Ix + Iy = 10,3 tl3 (3.90)
3.9.3. Calculo de los momentos principales de inercia
En la figura 3.18b se muestra el cırculo de Mohr relativo a la seccion de pared delgada
propuesta. Como se puede observar, los momentos principales de inercia se obtienen cuando el
producto de inercia, Ixy, se anula.
El centro, Im y el radio, R, del cırculo de Mohr se calculan como:
Im =Ix + Iy
2= 5,15 tl3 (3.91a)
R =
√(Iy− Ix
2
)2
+ I2xy = 1,18 tl3 (3.91b)
de tal manera que los momentos principales de inercia, Imax y Imin, se calculan facilmente
como:
Imax = Im +R = 6,33 tl3 (3.92a)
Imin = Im−R = 3,97 tl3 (3.92b)
3.9 Problema 9 ••95
El cırculo de Mohr nos indica ademas la rotacion de ejes necesaria para que estos coincidan
con los ejes principales de inercia, como se muestra en las figuras 3.18a-b. En el plano de Mohr,
las rotaciones (positivas en sentido antihorario) corresponden a dos veces el valor del angulo, θ ,
necesario para que los ejes originales de la seccion, (x,y), coincidan con los ejes principales de
inercia,(
x′,y′)
. Esta rotacion se puede calcular como:
θ =12
arctan(
2 Ixy
Iy− Ix
)= 23,6o (3.93)
Finalmente, se puede observar que, en lugar de mover los ejes de referencia y mantener fija la
posicion de la seccion, se consigue el mismo resultado manteniendo los ejes de referencia fijos y
rotando la seccion en sentido horario.
••96 Secciones de pared delgada
a) b)
Figura 3.18: Problema 9: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo
de Mohr.
3.10 Problema 10 ••97
3.10. Problema 10
Calcular los momentos principales de inercia para la seccion de pared delgada que se presenta
en la figura 3.19a respecto de su centroide.
a) b)
Figura 3.19: Problema 10: (a) Seccion de pared delgada propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
3.10.1. Calculo del area y del centroide de la seccion
En primer lugar, se realiza el despiece de la seccion original en tres areas rectangulares de
pared delgada segun se muestra en la figura 3.19b. A continuacion se procede con el calculo del
area de cada rectangulo, A(i), ası como al calculo del area total, AT :
A(1) = 3 tl (3.94a)
A(2) =√
5 tl (3.94b)
A(3) =√
2 tl (3.94c)
AT = A(1)+A(2)+A(3) = 6,65 tl (3.94d)
Los momentos estaticos, Mx y My, se calculan de forma analoga en funcion de la posicion de
los centroides de los diferentes rectangulos que forman la seccion propuesta respecto de los ejes
••98 Secciones de pared delgada
cartesianos de referencia que se muestran en la figura 3.19b:
Mx = A(1)(
3l2
)+ A(2) (2 l)+A(3)
(l2
)= 9,68 tl2 (3.95a)
My = A(1) (l)+ A(2)(
l2
)+ A(3)
(l2
)= 4,82 tl2 (3.95b)
Finalmente, la posicion del centroide de la seccion (vease figura 3.20a) se obtiene como:
xg =My
AT= 0,72 l (3.96a)
yg =Mx
AT= 1,45 l (3.96b)
3.10.2. Calculo de los momentos de inercia
En este apartado calcularemos los momentos de inercia Ix y Iy, el producto de inercia Ixy
ası como el momento polar de inercia Io respecto de los ejes xG e yG (ver figura 3.20a) que pasan
por el centroide de la seccion.
El momento de inercia, Ix, se calcula sumando las contribuciones, I(i)x , de los tres rectangulos
del despiece que forman la seccion propuesta. Cada momento de inercia I(i)x se obtiene sumando
dos terminos: el primero termino es al momento de inercia calculado respecto a ejes que pasan
por su propio centroide, Gi, (ver figura figura 3.19b), mientras el segundo termino corresponde al
transporte (teorema de los ejes paralelos) hacia el centroide, G(xg,yg), de la seccion propuesta:
I(1)x =112
A(1) (3 l)2 +A(1)(
3 l2− yg
)2
(3.97a)
I(2)x =112
A(2) (2l)2 +A(2) (2 l− yg)2 (3.97b)
I(3)x =112
A(3) l2 +A(3)(
l2− yg
)2
(3.97c)
El momento de inercia, Ix, de la seccion propuesta es:
Ix = I(1)x + I(2)x + I(3)x = 5,1 tl3 (3.98)
De igual forma se procede con el calculo de Iy:
I(1)y = 0+A(1) (l− xg)2 (3.99a)
I(2)y =112
A(2) l2 +A(2)(
l2− xg
)2
(3.99b)
I(3)y =112
A(3) l2 +A(3)(
l2− xg
)2
(3.99c)
Iy = I(1)y + I(2)y + I(3)y = 0,71 tl3 (3.99d)
3.10 Problema 10 ••99
y analogamente con el producto de inercia, Ixy:
I(1)xy = 0+A(1) (l− xg)
(3 l2− yg
)(3.100a)
I(2)xy =112
A(2) (l)(2l)+A(2)(
l2− xg
)(2 l− yg) (3.100b)
I(3)xy = − 112
A(3) (l)(l)+A(3)(
l2− xg
)(l2− yg
)(3.100c)
Ixy = I(1)xy + I(2)xy + I(3)xy = 0,32 tl3 (3.100d)
Finalmente, se puede calcular el momento polar de inercia, I0, sumando Ix e Iy:
I0 = Ix + Iy = 5,8 tl3 (3.101)
3.10.3. Calculo de los momentos principales de inercia
En la figura 3.20b se muestra el cırculo de Mohr relativo a la seccion de pared delgada
propuesta. El centro de este circulo esta definido por el momento de inercia medio, Im (centro
del cırculo) y por su radio, R:
Im =Ix + Iy
2= 2,9 tl3 (3.102a)
R =
√(Iy− Ix
2
)2
+ I2xy = 2,2 tl3 (3.102b)
Los momentos principales de inercia, Imax y Imin, se calculan como:
Imax = Im +R = 5,1 tl3 (3.103a)
Imin = Im−R = 0,7 tl3 (3.103b)
Por ultimo, la rotacion, θ , necesaria para que los ejes originales de la seccion, (x,y), sean ejes
principales de inercia,(
x′,y′)
, se muestra en la figura 3.20b (rotacion positiva antihoraria):
θ =12
arctan(
2 Ixy
Iy− Ix
)=−4,2o (3.104)
••100 Secciones de pared delgada
a) b)
Figura 3.20: Problema 10: (a) Posicion del centroide y de los ejes principales de inercia; (b)
Circulo de Mohr.
CA
PIT
UL
O
4 Secciones mixtas
4.1. Problema 1
Calcular los momentos principales de inercia mecanicos de la seccion mixta que se presenta
en la figura 4.1a respecto de su centro mecanico.
a) b)
Figura 4.1: Problema 1: (a) Seccion mixta propuesta; (b) Posicion de los centroides considerados
en el despiece
4.1.1. Calculo del area mecanica y del centro de masa de la seccion mixta
Para el calculo del area mecanica y centro de mecanico de la seccion mixta propuesta, el primer
paso consiste en el despiece de la seccion original en areas mas simples: en este caso se considera
un rectangulo (1) en hormigon al que se resta el semicırculo (3) de radio R = l y otro rectangulo
(2) en acero al que se resta el semicırculo (4) tambien de radio R = l, como se muestra en la figura
4.1b.
••102 Secciones mixtas
Las areas, A(i), correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes:
A(1) = 8 l2 (4.1a)
A(2) = 8l2 (4.1b)
A(3) =π l2
2(4.1c)
A(4) =π l2
2(4.1d)
El area mecanica, AT , de la seccion mixta se calcula sumando las contribuciones del despiece
multiplicando las areas de acero por el coeficiente de equivalencia mecanico acero-hormigon,
n = 10:
AT =(
A(1)− A(3))+n
(A(2)− A(4)
)(4.2a)
= A(1)+n A(2)− A(3)−n A(4) = 70,7 l2 (4.2b)
Para encontrar el centro mecanico de la seccion, es preciso hallar en primer lugar el valor de los
momentos estaticos mecanicos (las areas de acero se multiplican por el coeficiente de equivalencia
mecanico acero-hormigon):
Mx = A(1) (l)+n A(2) (−l)−A(3)(
4l3π
)−n A(4)
(− 4l
3π
)=−66 l3 (4.3a)
My = 0 (4.3b)
La posicion del centro mecanico, G(xg,yg), se halla como (ver figura 4.2):
xg =My
AT= 0 (4.4a)
yg =Mx
AT=−0,93 l (4.4b)
4.1.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mecanicos, Ix e Iy, el producto de inercia
mecanico, Ixy y el momento polar de inercia mecanico, Io, respecto a los ejes xG e yG que pasan
por el centro mecanico, G(xg,yg), de la seccion mixta.
El momento de inercia, I(i)x , de cada rectangulo se obtiene sumando dos terminos: el primero
corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio
centroide, G(i), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide
4.1 Problema 1 ••103
de la seccion compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner):
I(1)x =112
(4 l)(2 l)3 +A(1) (l− yg)2 (4.5a)
I(2)x =112
(4 l)(2 l)3 +A(2) (−l− yg)2 (4.5b)
I(3)x =
[12
(14
πl4)−A(3)
(4 l3π
)2]+A(3)
(4 l3π− yg
)2
(4.5c)
I(4)x =
[12
(14
πl4)−A(4)
(4 l3π
)2]+A(4)
(−4 l
3π− yg
)2
(4.5d)
El momento de inercia mecanico, Ix, de la seccion mixta se obtiene sumando las
contribuciones de cada parte del despiece multiplicadas (en el caso del acero) por el coeficiente de
equivalencia mecanico, n:
Ix = I(1)x +n I(2)x − I(3)x −n I(4)x = 51,4 l4 (4.6)
El calculo del momento de inercia mecanico, Iy, sigue el mismo procedimiento:
I(1)y =112
(2 l)(4 l)3 (4.7a)
I(2)y = I(1)y (4.7b)
I(3)y =12
(14
πl4)
(4.7c)
I(4)y = I(3)y (4.7d)
Iy = I(1)y +n I(2)y − I(3)y −n I(4)y = 113 l4 (4.7e)
El producto de inercia mecanico es nulo, Ixy = 0, debido a la simetrıa de la seccion respecto
de los ejes (xG,yG) que por lo tanto son ejes principales de inercia.
Finalmente, el momento polar de inercia mecanico, Io, se obtiene:
Io = Ix + Iy = 164,4 l4 (4.8)
4.1.3. Calculo de los momentos principales de inercia
Teniendo en cuenta que el producto de inercia de la seccion es nulo, los ejes elegidos son
tambien ejes principales de inercia, de tal manera que:
Imax = Iy = 113 l4 (4.9a)
Imin = Ix = 51,4 l4 (4.9b)
••104 Secciones mixtas
Figura 4.2: Posicion del centro de gravedad.
4.2 Problema 2 ••105
4.2. Problema 2
Calcular los momentos principales de inercia mecanicos de la seccion mixta que se presenta
en la figura 4.3a respecto de su centro mecanico.
a) b)
Figura 4.3: Problema 2: (a) Seccion mixta propuesta; (b) Posicion de los centroides considerados
en el despiece
4.2.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccion mixta
Para el calculo del area mecanica y centro mecanico de la seccion mixta propuesta, el primer
paso consiste en el despiece de la seccion original en areas mas simples: en este caso, un cuadrado
(1) en hormigon que por una parte tiene un foro circular (3) de radio R = l y por otra parte, tiene
un refuerzo cuadrado en acero, como se muestra en la figura 4.3b.
Las areas, A(i), correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes:
A(1) = l2 (4.10a)
A(2) =l2
4(4.10b)
A(3) = π r2 (4.10c)
El area mecanica, AT , de la seccion mixta se calcula sumando todas las contribuciones del
despiece:
AT = A(1)+(n−1) A(2)− A(3) = 3,2 l2 (4.11)
••106 Secciones mixtas
El area (2) se ha multiplicado por el factor, (n−1), siendo, n, el coeficiente de equivalencia
mecanico acero-hormigon. Esto se debe a que es necesario restar al dominio (1) de hormigon
el area (2) y despues hay que volver a sumar el area (2) en acero. Por lo tanto esta operacion
es equivalente a multiplicar el area (2) por el el factor, (n−1). En este problema he ha tomado
n = 10.
Para determinar el centro mecanico, se deben obtener previamente los momentos estaticos
mecanicos:
Mx = A(1)(
l2
)+(n−1) A(2)
(3 l4
)−A(3)
(l4
)= 2,17 l3 (4.12a)
My = A(1)(
l2
)+(n−1) A(2)
(l4
)−A(3)
(3 l4
)= 1,03 l3 (4.12b)
La posicion del centro mecanico, G(xg,yg), se halla como (ver figura 4.4):
xg =My
AT= 0,32 l (4.13a)
yg =Mx
AT= 0,68 l (4.13b)
4.2.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mecanicos, Ix e Iy, el producto de inercia
mecanico, Ixy y el momento polar de inercia mecanico, Io, respecto a los ejes xG e yG que pasan
por el centro mecanico, G(xg,yg), de la seccion mixta.
El momento de inercia, I(i)x , de cada rectangulo se obtiene sumando dos terminos: el primero
corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio
centroide, G(i), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide
de la seccion compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner):
I(1)x =1
12l4 +A(1)
(l2− yg
)2
(4.14a)
I(2)x =112
(l2
)4
+A(2)(
3 l4− yg
)2
(4.14b)
I(3)x =14
πr4 +A(3)(
l4− yg
)2
(4.14c)
El momento de inercia mecanico, Ix, de la seccion mixta se obtiene sumando las
contribuciones de cada parte del despiece multiplicadas (en el caso del acero) por el coeficiente de
4.2 Problema 2 ••107
equivalencia mecanico, n:
Ix = I(1)x +(n−1) I(2)x − I(3)x = 0,164 l4 (4.15)
El calculo del momento de inercia mecanico, Iy, sigue el mismo procedimiento:
I(1)y =112
l4 +A(1)(
l2− xg
)2
(4.16a)
I(2)y =112
(l2
)4
+A(2)(
l4− xg
)2
(4.16b)
I(3)y =14
πr4 +A(3)(
3 l4− xg
)2
(4.16c)
Iy = I(1)y +(n−1) I(2)y − I(3)y = 0,164 l4 (4.16d)
y analogamente para el producto de inercia mecanico, Ixy:
I(1)xy = 0+A(1)(
l2− xg
)(l2− yg
)(4.17a)
I(2)xy = 0+A(2)(
l4− xg
)(3 l4− yg
)(4.17b)
I(3)xy = 0+A(3)(
3 l4− xg
)(l4− yg
)(4.17c)
Ixy = I(1)xy +(n−1) I(2)xy − I(3)xy =−0,034 l4 (4.17d)
Por ultimo, el momento polar de inercia mecanico, Io, se calcula sumando Ix e Iy:
Io = Ix + Iy = 0,328 l4 (4.18a)
4.2.3. Calculo de los momentos principales de inercia
Los momentos principales de inercia se pueden calcular en funcion de los valores del centro y
del radio del cırculo de Mohr, Im y R, respectivamente:
Im =Ix + Iy
2= 0,164 l4 (4.19a)
R =
√(Iy− Ix
2
)2
+ I2xy = 0,034 l4 (4.19b)
de tal mamera que:
Imax =I0
2+R = 0,12 l4 (4.20a)
Imin =I0
2−R = 0,13 l4 (4.20b)
••108 Secciones mixtas
Finalmente, el valor de la rotacion (positiva antihoraria) necesaria para que los ejes de la
seccion coincidan con los ejes principales de inercia,(
x′,y′)
, se puede calcular como:
θ = 0,5 arctan(
2 Ixy
Iy− Ix
)=−45o (4.21)
Figura 4.4: Posicion del centro de gravedad.
4.3 Problema 3 ••109
4.3. Problema 3
Calcular los momentos principales de inercia mecanicos de la seccion mixta que se presenta
en la figura 4.5a respecto de su centro mecanico.
a) b)
Figura 4.5: Problema 3: (a) Seccion mixta propuesta; (b) Posicion de los centroides considerados
en el despiece
4.3.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccion mixta
Para el calculo del area mecanica y centro mecanico de la seccion mixta propuesta, el primer
paso consiste en el despiece de la seccion original en areas mas simples: en este caso, un rectangulo
(1) en hormigon reforzado con tres barras circulares (2), (3) y (4) en acero de radio R = l, como
se muestra en la figura 4.5b.
Las areas, A(i), correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes:
A(1) = 80 l2 (4.22a)
A(2) = πl2 (4.22b)
A(3) = πl2 (4.22c)
A(4) = πl2 (4.22d)
El area mecanica, AT , de la seccion mixta se calcula sumando todas las contribuciones del
despiece:
AT = A(1)+(n−1) A(2)+(n−1) A(3)+(n−1) A(4) = 164,8 l2
••110 Secciones mixtas
Las areas (2), (3) y (4) se han multiplicado por el factor, (n−1), siendo, n, el coeficiente de
equivalencia mecanico acero-hormigon. Esto se debe a que es necesario restar al dominio (1) de
hormigon las areas (2), (3) y (4). Despues hay que volver a sumar las areas (2), (3) y (4) en
acero. Por lo tanto esta operacion es equivalente a multiplicar las areas (2), (3) y (4) por el el
factor, (n−1). En este problema he ha tomado n = 10.
Mx = A(1) (0)+(n−1) A(2) (−2 l)+(n−1) A(3) (−2 l)+(n−1) A(4) (−2 l) =−169,6 l3(4.23a)
My = 0 (4.23b)
La posicion del centro mecanico, G(xg,yg), se halla como (ver figura 4.6):
xg =My
AT= 0 (4.24a)
yg =Mx
AT=− l (4.24b)
4.3.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mecanicos, Ix e Iy, el producto de inercia
mecanico, Ixy y el momento polar de inercia mecanico, Io, respecto a los ejes xG e yG que pasan
por el centro mecanico, G(xg,yg), de la seccion mixta.
El momento de inercia, I(i)x , de cada rectangulo se obtiene sumando dos terminos: el primero
corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio
centroide, G(i), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide
de la seccion compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner):
I(1)x =112
(10 l)(8 l)3 +A(1) (−yg)2 (4.25a)
I(2)x =14
πl4 +A(2) (−2 l− yg)2 (4.25b)
I(3)x = I(2)x (4.25c)
I(4)x = I(2)x (4.25d)
El momento de inercia mecanico, Ix, de la seccion mixta se obtiene sumando las
contribuciones de cada parte del despiece:
4.3 Problema 3 ••111
Ix = I(1)x +(n−1) I(2)x +(n−1) I(3)x +(n−1) I(4)x = 612,5 l4 (4.26)
Analogamente para el momento de inercia mecanico, Iy:
I(1)y =1
12(8 l)(10 l)3 (4.27a)
I(2)y =14
πl4 (4.27b)
I(3)y =14
πl4 +A(3) (−3 l)2 (4.27c)
I(4)y = I(3)y (4.27d)
Iy = I(1)y +(n−1) I(2)y +(n−1) I(3)y +(n−1) I(4)y = 1196,8 l4 (4.27e)
El producto de inercia mecanico es nulo, Ixy = 0, debido a la simetrıa de la seccion respecto
de los ejes (xG,yG) que por lo tanto son ejes principales de inercia.
Finalmente, el momento polar de inercia mecanico, Io, se obtiene sumando Ix e Iy:
Io = Ix + Iy = 1809,3 l4 (4.28)
4.3.3. Calculo de los momentos principales de inercia
Teniendo en cuenta que el producto de inercia de la seccion es nulo, los ejes elegidos son
tambien ejes principales de inercia, de tal manera que:
Imax = Iy = 1196,8 l4 (4.29a)
Imin = Ix = 612,5 l4 (4.29b)
••112 Secciones mixtas
Figura 4.6: Posicion del centro de gravedad.
4.4 Problema 4 ••113
4.4. Problema 4
Calcular los momentos principales de inercia mecanicos de la seccion mixta que se presenta
en la figura 4.7a respecto de su centro mecanico.
a) b)
Figura 4.7: Problema 4: (a) Seccion mixta propuesta; (b) Posicion de los centroides considerados
en el despiece
4.4.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccion mixta
La seccion mixta propuesta esta formada por un rectangulo (1) de hormigon en lo que se
inserta una seccion de pared delgada en acero. Esta ultima se puede descomponer a su vez en tres
secciones rectangulares de pared delgada (2), (3) y (4) con espesor t = l100 , como se muestra en
la figura 4.7b.
Las areas, A(i), correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes:
A(1) = 24 l2 (4.30a)
A(2) = 4 tl (4.30b)
A(3) = 2 tl (4.30c)
A(4) = 2 tl (4.30d)
••114 Secciones mixtas
El area mecanica, AT , de la seccion mixta se calcula sumando las contribuciones del despiece
multiplicando las areas de acero por el coeficiente de equivalencia mecanico acero-hormigon,
n = 10:
AT = A(1)+(n−1) A(2)+(n−1) A(3)+(n−1) A(4) = 24,72 l2 (4.31)
Por razones de simetrıa la posicion del centro mecanico, G(xg,yg) coincide con el origen de
los ejes de referencia (ver figura 4.8):
xg = 0 (4.32a)
yg = 0 (4.32b)
4.4.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mecanicos, Ix e Iy, el producto de inercia
mecanico, Ixy y el momento polar de inercia mecanico, Io, respecto a los ejes xG e yG que pasan
por el centro mecanico, G(xg,yg), de la seccion mixta.
El momento de inercia, I(i)x , de cada rectangulo se obtiene sumando dos terminos: el primero
corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio
centroide, G(i), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide
de la seccion compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner):
I(1)x =112
(4 l)(6 l)3 (4.33a)
I(2)x =112
A(2) (4 l)2 (4.33b)
I(3)x = 0+A(3) (2 l)2 (4.33c)
I(4)x = I(3)x (4.33d)
de tal manera que el momento de inercia mecanico, Ix, de la seccion mixta resulta:
Ix = I(1)x +(n−1) I(2)x +(n−1) I(3)x +(n−1) I(4)x = 73,9 l4 (4.34)
Analogamente para el momento de inercia mecanico, Iy:
I(1)y =112
(6 l)(4 l)3 (4.35a)
I(2)y = 0+0 (4.35b)
I(3)y =112
A(3) (2 l)2 +0 (4.35c)
I(4)y = I(3)y (4.35d)
Iy = I(1)y +(n−1) I(2)y +(n−1) I(3)y +(n−1) I(4)y = 32,1 l4 (4.35e)
4.4 Problema 4 ••115
El producto de inercia mecanico es nulo, Ixy = 0, debido a la simetrıa de la seccion respecto
de los ejes (xG,yG) que por lo tanto son ejes principales de inercia.
Finalmente, el momento polar de inercia mecanico, Io, se obtiene sumando Ix e Iy:
Io = Ix + Iy = 106 l4 (4.36)
4.4.3. Calculo de los momentos principales de inercia
Teniendo en cuenta que el producto de inercia de la seccion es nulo, los ejes elegidos son
tambien ejes principales de inercia, de tal manera que:
Imax = Ix = 73,9 l4 (4.37a)
Imin = Iy = 32,1 l4 (4.37b)
Figura 4.8: Posicion del centro de gravedad.
••116 Secciones mixtas
4.5. Problema 5
Calcular los momentos principales de inercia mecanicos de la seccion mixta que se presenta
en la figura 4.9a respecto de su centro mecanico.
a) b)
Figura 4.9: Problema 5: (a) Seccion mixta propuesta; (b) Posicion de los centroides considerados
en el despiece
4.5.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccion mixta
La seccion mixta propuesta esta formada por un rectangulo (1) de hormigon y una seccion de
pared delgada en acero. Esta ultima se puede descomponer a su vez en tres secciones rectangulares
de pared delgada (2), (3) y (4) con espesor t = l100 , como se muestra en la figura 4.9b.
Las areas, A(i), correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes:
A(1) = 5 l2 (4.38a)
A(2) = 3 tl (4.38b)
A(3) = 2 tl (4.38c)
A(4) = 2 tl (4.38d)
El area mecanica, AT , de la seccion mixta se calcula sumando las contribuciones del despiece
multiplicando las areas de acero por el coeficiente de equivalencia mecanico acero-hormigon,
n = 10:
AT = A(1)+n(
A(2)+A(3) A(4))= 5,7 l2 (4.39)
4.5 Problema 5 ••117
Para determinar el centro mecanico, se deben obtener previamente los momentos estaticos
mecanicos:
Mx = A(1)(
l2
)+n A(2)
(−3 l
2
)+n A(3) (0)+n A(4) (−3 l) = 1,450 l3 (4.40a)
My = 0 (4.40b)
La posicion del centro mecanico, G(xg,yg), se halla como (ver figura 4.10):
xg =My
AT= 0 (4.41a)
yg =Mx
AT= 0,254 l (4.41b)
4.5.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mecanicos, Ix e Iy, el producto de inercia
mecanico, Ixy y el momento polar de inercia mecanico, Io, respecto a los ejes xG e yG que pasan
por el centro mecanico, G(xg,yg), de la seccion mixta.
El momento de inercia, I(i)x , de cada rectangulo se obtiene sumando dos terminos: el primero
corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio
centroide, G(i), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide
de la seccion compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner):
I(1)x =1
12(5 l)( l)3 +A(1)
(l2− yg
)2
(4.42a)
I(2)x =1
12A(2) (3 l)2 +A(2)
(−3 l
2− yg
)2
(4.42b)
I(3)x = 0+A(3) (−yg)2 (4.42c)
I(4)x = 0+A(4) (−3 l− yg)2 (4.42d)
El momento de inercia mecanico, Ix, de la seccion mixta se obtiene sumando las
contribuciones de cada parte del despiece multiplicadas (en el caso del acero) por el coeficiente de
equivalencia mecanico, n:
Ix = I(1)x +n(
I(2)x + I(3)x + I(4)x
)= 4 l4 (4.43)
••118 Secciones mixtas
El calculo del momento de inercia, Iy sigue el mismo procedimiento:
I(1)y =112
(l)(5 l)3 (4.44a)
I(2)y = 0+0 (4.44b)
I(3)y =112
A(3) (2 l)2 +0 (4.44c)
I(4)y = I(3)y (4.44d)
Iy = I(1)y +n(
I(2)y + I(3)y + I(4)y
)= 10,5 l4 (4.44e)
El producto de inercia mecanico es nulo, Ixy = 0, debido a la simetrıa de la seccion respecto
de los ejes (xG,yG) que por lo tanto son ejes principales de inercia.
Finalmente, el momento polar de inercia mecanico, Io, se obtiene sumando Ix e Iy:
Io = Ix + Iy = 14,5 l4 (4.45)
4.5.3. Calculo de los momentos principales de inercia
Teniendo en cuenta que el producto de inercia de la seccion es nulo, los ejes elegidos son
tambien ejes principales de inercia, de tal manera que:
Imax = Iy = 10,5 l4 (4.46a)
Imin = Ix = 4 l4 (4.46b)
Figura 4.10: Posicion del centro de gravedad.
4.6 Problema 6 ••119
4.6. Problema 6
Calcular los momentos principales de inercia mecanicos de la seccion mixta que se presenta
en la figura 4.11a respecto de su centro mecanico.
a) b)
Figura 4.11: Problema 6: (a) Seccion mixta propuesta; (b) Posicion de los centroides considerados
en el despiece
4.6.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccion mixta
La seccion mixta propuesta esta formada por un aro (1) de hormigon y unos radios de pared
delgada (2), (3) y (4) en acero, con espesor t = l100 , como se muestra en la figura 4.11b.
Las areas, A(i), correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes:
A(1) = π (4 l)2−π (3 l)2 = 7π l2 (4.47a)
A(2) = (6 l) t (4.47b)
A(3) = A(2) (4.47c)
A(4) = A(3) (4.47d)
El area mecanica, AT , de la seccion mixta se calcula sumando las contribuciones del despiece
multiplicando las areas de acero por el coeficiente de equivalencia mecanico acero-hormigon,
n = 10:
AT = A(1)+n(
A(2)+A(3) A(4))= 23,8 l2 (4.48)
••120 Secciones mixtas
Por razones de simetrıa la posicion del centro mecanico, G(xg,yg) coincide con el origen de
los ejes de referencia (ver figura 4.12):
xg = 0 (4.49a)
yg = 0 (4.49b)
4.6.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mecanicos, Ix e Iy, el producto de inercia
mecanico, Ixy y el momento polar de inercia mecanico, Io, respecto a los ejes xG e yG que pasan
por el centro mecanico, G(xg,yg), de la seccion mixta.
El momento de inercia, I(i)x , de cada rectangulo se obtiene sumando dos terminos: el primero
corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio
centroide, G(i), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide
de la seccion compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner):
I(1)x =
[14
π (4 l)4− 14
π (3 l)4]+0 (4.50a)
I(2)x = 0+0 (4.50b)
I(3)x =112
A(3) [(6 l)cos(30o)]2 (4.50c)
I(4)x = I(3)x (4.50d)
El momento de inercia mecanico, Ix, de la seccion mixta se obtiene sumando las
contribuciones de cada parte del despiece multiplicadas (en el caso del acero) por el coeficiente de
equivalencia mecanico, n:
Ix = I(1)x +n(
I(2)x + I(3)x + I(4)x
)= 140,15 l4 (4.51)
El calculo del momento de inercia, Iy sigue el mismo procedimiento:
I(1)y =
[14
π (4 l)4− 14
π (3 l)4]+0 (4.52a)
I(2)y =112
A(2) (6 l)2 +0 (4.52b)
I(3)y =112
A(3) [(6 l)cos(60o)]2 +0 (4.52c)
I(4)y = I(3)y (4.52d)
Iy = I(1)y +n(
I(2)y + I(3)y + I(4)y
)= 140,15 l4
4.6 Problema 6 ••121
El producto de inercia mecanico es nulo, Ixy = 0, debido a la simetrıa de la seccion respecto
de los ejes (xG,yG) que por lo tanto son ejes principales de inercia.
Finalmente, el momento polar de inercia mecanico, Io, se obtiene sumando Ix e Iy:
Io = Ix + Iy = 280,3 l4 (4.53a)
4.6.3. Calculo de los momentos principales de inercia
Teniendo en cuenta que el producto de inercia de la seccion es nulo, los ejes elegidos son
tambien ejes principales de inercia, de tal manera que:
Imax = Imin = Ix = Iy = 140,15 l4 (4.54)
Figura 4.12: Posicion del centro de gravedad.
••122 Secciones mixtas
4.7. Problema 7
Calcular los momentos principales de inercia mecanicos de la seccion mixta que se presenta
en la figura 4.13a respecto de su centro mecanico.
a) b)
Figura 4.13: Problema 7: (a) Seccion mixta propuesta; (b) Posicion de los centroides considerados
en el despiece
4.7.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccion mixta
Para el calculo del area mecanica y centro de mecanico de la seccion mixta propuesta, el
primer paso consiste en el despiece de la seccion original en areas mas simples: en este caso, un
aro rectangular de acero (1) y una seccion rectangular de hormigon (2) a la cual se resta un cırculo
(3) de radio R = 3l, como se muestra en la figura 4.13b.
Las areas, A(i), correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes:
A(1) = (16 l)(12 l)− (14 l)(10 l) = 52 l2 (4.55)
A(2) = (14 l)(10 l) = 140 l2 (4.56)
A(3) = πr2 = π(3 l)2 (4.57)
El area mecanica, AT , de la seccion mixta se calcula sumando las contribuciones del despiece
multiplicando las areas de acero por el coeficiente de equivalencia mecanico acero-hormigon,
n = 10:
AT = n A(1)+A(2)−A(3) = 631,7 l2 (4.58)
4.7 Problema 7 ••123
Por razones de simetrıa la posicion del centro mecanico, G(xg,yg) coincide con el origen de
los ejes de referencia (ver figura 4.14):
xg = 0 (4.59a)
yg = 0 (4.59b)
4.7.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mecanicos, Ix e Iy, el producto de inercia
mecanico, Ixy y el momento polar de inercia mecanico, Io, respecto a los ejes xG e yG que pasan
por el centro mecanico, G(xg,yg), de la seccion mixta.
El momento de inercia, I(i)x , de cada rectangulo se obtiene sumando dos terminos: el primero
corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio
centroide, G(i), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide
de la seccion compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner):
I(1)x =112
(16 l)(12 l)3− 112
(14 l)(10 l)3 (4.60a)
I(2)x =112
(14 l)(10 l)3 (4.60b)
I(3)x =14
π(3l)4 (4.60c)
El momento de inercia mecanico, Ix, de la seccion mixta se obtiene sumando las
contribuciones de cada parte del despiece multiplicadas (en el caso del acero) por el coeficiente de
equivalencia mecanico, n:
Ix = n I(1)x + I(2)x − I(3)x = 12476 l4 (4.61)
Analogamente para el calculo del momento de inercia, Iy:
I(1)y =112
(12 l)(16 l)3− 112
(10 l)(14 l)3 (4.62a)
I(2)y =112
(10 l)(14 l)3 (4.62b)
I(3)y =14
π(3l)4 (4.62c)
Iy = n I(1)y + I(2)y − I(3)y = 20316 l4 (4.62d)
El producto de inercia mecanico es nulo, Ixy = 0, debido a la simetrıa de la seccion respecto
de los ejes (xG,yG) que por lo tanto son ejes principales de inercia.
••124 Secciones mixtas
Finalmente, el momento polar de inercia mecanico, Io, se obtiene sumando Ix e Iy:
I0 = Ix + Iy = 32792 l4 (4.63)
4.7.3. Calculo de los momentos principales de inercia
Al ser los ejes (xG,yG) principales de inercia (Ixy = 0), los momentos principales de inercias
coinciden con los valores calculados anteriormente:
Imax = Iy = 20316 l4 (4.64a)
Imin = Ix = 12476 l4 (4.64b)
Figura 4.14: Posicion del centro de gravedad.
4.8 Problema 8 ••125
4.8. Problema 8
Calcular los momentos principales de inercia mecanicos de la seccion mixta que se presenta
en la figura 4.15a respecto de su centro mecanico.
a) b)
Figura 4.15: Problema 8: (a) Seccion mixta propuesta; (b) Posicion de los centroides considerados
en el despiece
4.8.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccion mixta
La seccion mixta propuesta esta formada por un rectangulo (1) de hormigon, que se refuerza
con dos triangulos (2) y (3) en acero, como se muestra en la figura 4.15b.
Las areas, A(i), correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes:
A(1) = (6 l)(9 l) = 54 l2 (4.65a)
A(2) =12(6 l)(3 l) = 9 l2 (4.65b)
A(3) = A(2) (4.65c)
El area mecanica, AT , de la seccion mixta se calcula sumando las contribuciones del despiece:
AT = A(1)+(n−1)(
A(2)+ A(3))= 216 l2 (4.66)
••126 Secciones mixtas
Las areas (2) y (3) se han multiplicado por el factor, (n−1), siendo, n, el coeficiente de
equivalencia mecanico acero-hormigon. Esto se debe a que es necesario restar al dominio (1) de
hormigon las areas (2) y (3) y despues hay que volver a sumar las mismas areas en acero. Por lo
tanto esta operacion es equivalente a multiplicar las areas (2) y (3) por el el factor, (n−1). En este
problema he ha tomado n = 10.
Para determinar el centro mecanico, se deben obtener previamente los momentos estaticos
mecanicos:
Mx = A(1) (0)+(n−1)[
A(2)((9 l)
2− (3 l)
3
)+ A(3)
(−(9 l)
2+
(3 l)3
)]= 0 (4.67a)
My = A(1) (0)+(n−1)[
A(2)(−(6 l)
2+
(6 l)3
)+ A(3)
((6 l)
2− (6 l)
3
)]= 0 (4.67b)
ası que la posicion del centro mecanico, G(xg,yg) coincide con el origen de los ejes de referencia
(ver figura 4.16):
xg = 0 (4.68a)
yg = 0 (4.68b)
4.8.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mecanicos, Ix e Iy, el producto de inercia
mecanico, Ixy y el momento polar de inercia mecanico, Io, respecto a los ejes xG e yG que pasan
por el centro mecanico, G(xg,yg), de la seccion mixta.
El momento de inercia, I(i)x , de cada rectangulo se obtiene sumando dos terminos: el primero
corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio
centroide, G(i), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide
de la seccion compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner):
I(1)x =112
(6 l)(9 l)3 +0 (4.69a)
I(2)x =136
(6 l)(3 l)3 +A(2)(
9 l2− 3 l
3
)2
(4.69b)
I(3)x =136
(6 l)(3 l)3 +A(3)(−9 l
2+
3 l3
)2
(4.69c)
El momento de inercia mecanico, Ix, de la seccion mixta se obtiene sumando las
contribuciones de cada parte del despiece:
4.8 Problema 8 ••127
Ix = I(1)x +(n−1)(
I(2)x + I(3)x
)= 2430 l4 (4.70a)
De forma equivalente para el momento de inercia mecanico, Iy:
I(1)y =112
(9 l)(6 l)3 +0 (4.71a)
I(2)y =136
(3 l)(6 l)3 +A(2)(−6 l
2+
3 l3
)2
(4.71b)
I(3)y =136
(3 l)(6 l)3 +A(3)(
6 l2− 3 l
3
)2
(4.71c)
Iy = I(1)y +(n−1)(
I(2)y + I(3)y
)= 1134 l4 (4.71d)
y para el producto e inercia mecanico, Ixy:
I(1)xy = 0 (4.72a)
I(2)xy =172
(3 l)2 (6 l)2 +A(2)(−6 l
2+
3 l3
)(9 l2− 3 l
3
)(4.72b)
I(3)xy =172
(3 l)2 (6 l)2 +A(3)(
6 l2− 3 l
3
)(−9 l
2+
3 l3
)(4.72c)
Ixy = I(1)xy +(n−1)(
I(2)xy + I(3)xy
)=−1053 l4 (4.72d)
Finalmente, el momento polar de inercia mecanico, Io, se obtiene sumando Ix e Iy:
Io = Ix + Iy = 3564 l4 (4.73a)
4.8.3. Calculo de los momentos principales de inercia
Los momentos principales de inercia se pueden calcular en funcion de los valores del centro y
del radio del cırculo de Mohr, Im y R, respectivamente:
Im =Ix + Iy
2= 1782 l4 (4.74a)
R =
√(Iy− Ix
2
)2
+ I2xy = 1236,4 l4 (4.74b)
de tal mamera que:
Imax = Im +R = 3018,4 l4 (4.75)
Imin = Im−R = 545,6 l4 (4.76)
••128 Secciones mixtas
Finalmente, el valor de la rotacion (positiva antihoraria) necesaria para que los ejes de la
seccion coincidan con los ejes principales de inercia,(
x′,y′)
, se puede calcular como (ver figura
4.16):
θ = 0,5 arctan(
2 Ixy
Iy− Ix
)= 29,2o (4.77a)
Figura 4.16: Posicion del centro de gravedad.
4.9 Problema 9 ••129
4.9. Problema 9
Calcular los momentos principales de inercia mecanicos de la seccion mixta que se presenta
en la figura 4.17a respecto de su centro mecanico.
a) b)
Figura 4.17: Problema 9: (a) Seccion mixta propuesta; (b) Posicion de los centroides considerados
en el despiece
4.9.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccion mixta
La seccion mixta propuesta esta formada por un aro circular (1) de acero y un semicırculo (2)
en hormigon, como se muestra en la figura 4.17b.
Las areas, A(i), correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes:
A(1) = π (6 l)2−π (5 l)2 (4.78a)
A(2) =12
π (5 l)2 (4.78b)
El area mecanica, AT , de la seccion mixta se calcula sumando las contribuciones del del
despiece multiplicando el area de acero por el coeficiente de equivalencia mecanico acero-
hormigon, n = 10:
AT = n A(1)+A(2) = 384,8 l2 (4.79)
••130 Secciones mixtas
Para determinar el centro mecanico, se deben obtener previamente los momentos estaticos
mecanicos, Mx y My:
Mx = n A(1) (0)+ A(2)(− 4
3π(5 l)
)=−83,3 l3 (4.80a)
My = 0 (4.80b)
La posicion del centro mecanico, G(xg,yg), se halla como (ver figura 4.18):
xg =My
A= 0 (4.81a)
yg =Mx
AT=−0,216 l (4.81b)
4.9.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mecanicos, Ix e Iy, el producto de inercia
mecanico, Ixy y el momento polar de inercia mecanico, Io, respecto a los ejes xG e yG que pasan
por el centro mecanico, G(xg,yg), de la seccion mixta.
El momento de inercia, I(i)x , de cada rectangulo se obtiene sumando dos terminos: el primero
corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio
centroide, G(i), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide
de la seccion compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner):
I(1)x =
[14
π (6 l)4− 14
π (5 l)4]+0 (4.82a)
I(2)x =
[18
π (5 l)4− A(2)(
43π
(5 l))2]+A(2)
(− 4
3π(5 l)− yg
)2
(4.82b)
El momento de inercia mecanico, Ix, de la seccion mixta se obtiene sumando las
contribuciones de cada parte del despiece:
Ix = n I(1)x + I(2)x = 5481,2 l4 (4.83)
De forma equivalente para el momento de inercia mecanico, Iy:
I(1)y =
[14
π (6 l)4− 14
π (5 l)4]+0 (4.84a)
I(2)y =18
π (5 l)4 (4.84b)
Iy = n I(1)y + I(2)y = 5515,5l4 (4.84c)
4.9 Problema 9 ••131
El producto de inercia mecanico es nulo, Ixy = 0, debido a la simetrıa de la seccion respecto
de los ejes (xG,yG) que por lo tanto son ejes principales de inercia.
Finalmente, el momento polar de inercia mecanico, Io, se obtiene sumando Ix e Iy:
I0 = Ix + Iy = 10996,7 l4 (4.85)
4.9.3. Calculo de los momentos principales de inercia
Al ser los ejes (xG,yG) principales de inercia (Ixy = 0), los momentos principales de inercias
coinciden con los valores calculados anteriormente:
Imax = Iy = 5515,5 l4 (4.86a)
Imin = Ix = 5481,2 l4 (4.86b)
Figura 4.18: Posicion del centro de gravedad.
••132 Secciones mixtas
4.10. Problema 10
Calcular los momentos principales de inercia mecanicos de la seccion mixta que se presenta
en la figura 4.20a respecto de su centro mecanico.
a) b)
Figura 4.19: Problema 10: (a) Seccion mixta propuesta; (b) Posicion de los centroides
considerados en el despiece
4.10.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccion mixta
La seccion mixta propuesta esta formada por una seccion semicircular (1) en hormigon de
radio R(1) = 4l, reforzada con otro semicırculo (2) en acero de radio R(2) = l, como se muestra en
la figura 4.20b.
Las areas, A(i), correspondientes a cada parte del despiece son las siguientes:
A(1) =12
π (4 l)2 (4.87a)
A(2) =12
πl2 (4.87b)
El area mecanica, AT , de la seccion mixta se calcula sumando las contribuciones del del
despiece:
AT = A(1)+(n−1) A(2) = 39,27 l2 (4.88a)
El area (2) se ha multiplicado por el factor, (n−1), siendo, n, el coeficiente de equivalencia
mecanico acero-hormigon. Esto se debe a que es necesario restar al dominio (1) de hormigon
4.10 Problema 10 ••133
el area (2) y despues hay que volver a sumar el area (2) en acero. Por lo tanto esta operacion
es equivalente a multiplicar el area (2) por el el factor, (n−1). En este problema he ha tomado
n = 10.
Para determinar el centro mecanico, se deben obtener previamente los momentos estaticos
mecanicos, Mx y My:
Mx = A(1)(
43π
(4 l))+(n−1) A(2)
(4l3π
)= 48,67 l3 (4.89a)
My = 0 (4.89b)
La posicion del centro mecanico, G(xg,yg), se halla como (ver figura ??):
xg =My
A= 0 (4.90a)
yg =Mx
AT= 1,24 l (4.90b)
4.10.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos
En este apartado se calculan los momentos de inercia mecanicos, Ix e Iy, el producto de inercia
mecanico, Ixy y el momento polar de inercia mecanico, Io, respecto a los ejes xG e yG que pasan
por el centro mecanico, G(xg,yg), de la seccion mixta.
El momento de inercia, I(i)x , de cada rectangulo se obtiene sumando dos terminos: el primero
corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio
centroide, G(i), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide
de la seccion compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner):
I(1)x =18
π (4 l)4−A(1)(
43π
(4 l))2
+A(1)(
43π
(4 l)− yg
)2
(4.91a)
I(2)x =18
π l4−A(2)(
4l3π
)2
+A(2)(
4l3π− yg
)2
(4.91b)
El momento de inercia mecanico, Ix, de la seccion mixta se obtiene sumando las
contribuciones de cada parte del despiece:
Ix = I(1)x +(n−1) I(2)x = 43,7 l4 (4.92)
De forma equivalente para el momento de inercia mecanico, Iy:
I(1)y =18
π (4 l)4 (4.93a)
I(2)y =18
π l4 (4.93b)
Iy = I(1)y +(n−1) I(2)y = 104 l4 (4.93c)
••134 Secciones mixtas
El producto de inercia mecanico es nulo, Ixy = 0, debido a la simetrıa de la seccion respecto
de los ejes (xG,yG) que por lo tanto son ejes principales de inercia.
Finalmente, el momento polar de inercia mecanico, Io, se obtiene sumando Ix e Iy:
I0 = Ix + Iy = 147,7 l4 (4.94)
4.10.3. Calculo de los momentos principales de inercia
Teniendo en cuenta que el producto de inercia de la seccion es nulo, los ejes elegidos son
tambien ejes principales de inercia, de tal manera que:
Imax = Iy = 104 l4 (4.95a)
Imin = Ix = 43,7 l4 (4.95b)
Figura 4.20: Posicion del centro de gravedad.