GeometrayAlgebraLineal IInstitutodeMatematicayEstadsticaProf.RafaelLaguardiaFacultaddeIngeniera UniversidaddelaRep ublicaIndicegeneralPREFACIO viiCaptulo0. RELACIONESYFUNCIONES 10.1. Relaciones 10.2. Relacionesdeequivalencia 20.3. ConjuntoCociente 60.4. Funciones 90.5. Composiciondefunciones 15Captulo 1. SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES Y MATRICES191.1. Introduccion 191.2. Matrices 241.3. Elmetododeescalerizacion 271.4. TeoremadeRouche-Frobenius 381.5. Sistemashomogeneos 431.6. Unainterpretaciongeometrica 44Captulo2.ALGEBRADEMATRICES 492.1. Operacionesconmatrices 492.2. Productodematrices 512.3. Ecuacionesmatriciales.Matrizinversa. 572.4. Elespacioden-uplas 662.5. Dependencialineal 712.6. Elrangodeunamatriz 822.7. Matricesinvertiblesyrango 85iiiivINDICEGENERAL2.8. Matriceselementales 87Captulo3. DETERMINANTES 953.1. Denicion 953.2. Propiedadesdelosdeterminantes 973.3. Matriceselementalesydeterminantes 1143.4. Matricesinvertiblesydeterminantes 1163.5. Determinantedeunproductodematrices 1173.6. Calculodelamatrizinversapordeterminantes 1193.7. RegladeCramer 123Captulo4. RECTASYPLANOSENELESPACIO 1274.1. Introduccion 1274.2. Vectores 1294.3. Operacionesconvectores. 1314.4. Ecuacionesvectorialesderectasyplanos.Paralelismo 1344.5. Sistemasdecoordenadas 1354.6. Ecuacionesparametricasderectasyplanos 1384.7. Ecuacionesimplcitasderectasyplanos 1394.8. Posicionesrelativasderectasyplanos. 142Captulo5. PRODUCTOESCALARYVECTORIAL 1455.1. Productoescalar 1455.2. Aplicacionesalageometra:angulosydistancias 1485.3. Aplicaciones:ecuacionesdealgunassupercies 1515.4. Productovectorial. 1575.5. Aplicacionesgeometricas. 1615.6. Productomixto 165Captulo6. ESPACIOSVECTORIALES 1676.1. Espaciosvectoriales 1686.2. Ejemplosdeespaciosvectoriales 1706.3. Subespacios 1746.4. Subespaciogeneradoeindependencialineal 180INDICEGENERAL v6.5. Basedeunespaciovectorialydimension 1876.6. Sumadesubespaciosysumadirecta 201Captulo7. TRANSFORMACIONESLINEALES. 2057.1. Transformacioneslineales 2057.2. Operacionescontransformacioneslineales. 2087.3. Imagenyn ucleodeunatransformacionlineal. 2117.4. Transformacioneslinealesinyectivasysobreyectivas. 2197.5. Isomorsmosentreespaciosvectoriales 2227.6. Matrizasociadaaunatransformacionlineal. 2257.7. N ucleoeimagendeunamatriz. 2347.8. Relacionentren ucleoeimagendeunatransformacionlinealydeunamatriz. 2377.9. Cambiodebase. 2457.10. Operadoresymatricessemejantes. 2467.11. Elespaciovectorial L(V, W) 249viINDICEGENERALPREFACIOEstasnotassonunareelaboracion, corregidaymuymodicadadelascorrespondientespartesdelasnotasde1991, encuyaredaccionparticipa-ronungrann umerodedocentesdelInstitutodeMatematicayEstadsticaProf. Ing. Rafael Laguardia(IMERL)delaFacultaddeIngenieradelaUniversidaddelaRep ublica.Varios captulos fueron redactados nuevamente, teniendo en mente trans-formarlosalabrevedadenpartesdeunlibrosobreeltema.Losprincipalesdefectosdelasnotasderivandelaimpericiadelosr-mantesydelaceleridadconquefuearmadaestaversion(no)nal.El Algebra Lineal constituye hoy una rama basica de la matematicaconaplicacionesdentroyfueradeesta. Nosehanincluidoenestaedicion, so-bre todoporrazonesdetiempoejemplosdetalesaplicaciones.Sinembargoalgunas seranabordadas enclase,ademas enlabibliografaseindican algu-nasreferenciasdondeel lectorinteresadopuedeencontrarvariosejemplosinteresantes.Lacarenciadeejerciciosnodebeextra nardadoqueestossoneditadosenfascculosaparte.La estructura general del libro -que no sera necesariamentela del curso-eslasiguiente. SeincluyeunCaptuloCero,enquesedesarrollanloscon-ceptosdeRelaciones, Funciones, etc., condiversosejemplos. Sulecturafa-cilitaralacomprensiondellenguajedel curso,y dara una referenciageneralsobredenicionesyresultadosbasicos. FueextradodeNotasdeAlgebra,deAlfredoJones,editadasporelIMEdelaUniversidaddeSanPablo.viiviii PREFACIOEnelCaptuloUnoseestudianlosSistemasdeEcuacionesLineales,sedesarrolla su presentacion matricial y se describe el algoritmode Gauss o deescalerizacioncomoherramientaprincipalparasuresolucion.En el Captulo Dos se estudian las principales propiedades de las matricesysus operaciones. Se presentaunejemploclave del curso: el espacioden-uplas, Rnyculminaconel estudiodel rangodeunamatriz, conceptodirectamenterelacionadoconlassolucionesdelossistemaslinealesy conlainvertibilidaddelasmatricescuadradas.El CaptuloTres estudiael Determinante deunamatrizcuadradaseprueban algunos resultados clasicos como el teorema de Cramer y el teoremadeBinet-Cauchysobreeldeterminantedeunproductodematrices.Los Captulos Cuatro y Cinco (que podran ser los primeros de las notas)estandedicadosalaintroducciondeunsegundoejemplob asico: el delosvectoreslibresdelespacio.EstosseutilizanparadarunaexposiciondelosprimeroselementosdelaGeometraAnalticadelEspacio.ElCapituloSeisestadedicadoalosEspaciosVectoriales.Eselcaptulodecididamentenuevoparatodoslosestudiantes,yelcentroconceptualdelcurso, enel seintroducedemaneraaxiomaticaunaestructuraabstractaqueseinspiraygeneralizavariosdelosejemplostratadosenloscaptulosprevios.El CaptuloSeisestadedicadoauntipoparticulardefuncionesentreespacios vectoriales: las Transformaciones Lineales. Estas se caracterizan porpreservarlaestructuradelosespaciosvectorialesysonenciertosentidoelmodelomassencillodeunafuncion.Seestudiaaqucondetallesurelacionconlasmatricesyse pone demaniestoelcontenidogeometricode muchaspropiedadesalgebraicasdeestas ultimas.Uncomentarional espertinenteparaprepararal estudianteaapro-vechar tantoel cursocomoestas notas. Aqu cadacaptulointervienedemanera fundamentalenlossiguientes.Lagranmayorade lostopicosabor-dadosenlosprimerasclasestieneunrolfundamentalenelrestodelcurso.Difcilmenteseraposibleavanzardeuncaptuloalsiguientesinhaber com-prendidoelprimero.PREFACIO ixEnlapresenteedicioncolaboroparticularmenteJoseDaz.Lecturascomplementariasrecomendadas.Decualquieradelosli-bros que se indican a continuacion, hay diversas otras ediciones; en particularensuslenguasoriginales:A.G. Kurosch:CursodeAlgebraSuperior,Mir-Nimusa.E. LagesLima:AlgebraLinear,IMPA.Unlibroexcelente, escritoporunexperimentadomatemati-coautordenumerosostextos,cubreunampliotopicodete-masconrigory profundidad pero no incluyeloscaptulosdegeometra.Ademassigueunordenalgodistintodeldenues-tras notas, los captulos de matrices y sistemas de ecuacionesaparecenluegode tratar espaciosvectoriales.Es ampliamen-te recomendadoparaampliar los dos ultimos captulos denuestrocurso.P.R. Halmos:EspaciosVectorialesdedimensi onnita,CECSA.Unaobraclasicasobreel tema, realizadaporundestacadomatematico, tampocoabordalostemasinicialesdenuestrocurso.Suenfoquesobrelateoradeespaciosvectorialesestapensadaparaquiendesealuegoprofundizarenelestudiodeespaciosdedimensioninnita.E. Hern andezAlgebrayGeometra,AdissonWesley.Estelibro cubre todos lostemas de nuestro curso incluyendoloscaptulosdegeometra, enunordensimilar. Esescuetoenexplicacionesylaspruebasavecesresultanoscuras. Nocontieneaplicaciones.R. HillAlgebraLineal Elemental conAplicaciones,PrenticeHall.Este libro es como su nombre lo indica, tal vez mas elementalque los otros sin embargo es claro abarca casi todos los temasdelcursoysobretodotieneunn umerograndedeaplicacio-nes interesantes alaingenierayotras disciplinas. Incluye0 PREFACIOunaintroduccionalMatlabytienenumerososejercicios,in-cluyendoalgunosproyectosparatrabajarencomputadora.K.Koman&R.Kunze:AlgebraLineal,Prentice-Hall.Otro excelente libro, que no cubre los captulos de geometra,esmuyclaroyriguroso,enalgunosmomentosabordatemas(determinantes)conmuchageneralidadlocualpuededicul-tarlacomprensionenunalecturainicialG. Nakos&D. JoynerAlgebraLineal conAplicaciones,Thomson.De nivel similar al libro de Hill tiene tambien un gran n umerodeejemplosyaplicacionesyalgunasnotashistoricasintere-santes. Tal vez su mayor virtud es el gran n umero de ejemplosparatrabajarconcomputadora. SeincluyenproyectosparatrabajarconMatlab,MapleyMathematicaG. Strang:Algebralinel ysusaplicaciones,AddisonWesley.Estelibrotieneunenfoquealgodiferentedelosotroslibrosrecomendados.Su objetodeestudiosonlossistemaslinealesy las matrices, los espacios vectorialesy las transformacioneslineales solo aparecen secundariamente. No obstante tiene unpuntodevistainteresanteyclaroquepuedeayudar averdesde otraopticalos problemas analizados enel curso, esespecialmenterecomendadoparalosprimeroscaptulosdelcurso. Cuenta con un gran n umero de aplicaciones interesan-tesincluyendocodigosdecomputadoraenFortran.Marzodel2000MarceloCerminaraRobertoMarkarianResponsablesdeestaedicionCAPTULO0RELACIONESYFUNCIONES0.1. RelacionesEn este captulo introduciremos algunas deniciones y notaciones basicasparael desarrollodeestas notas. Supondremos queel lector tiene ciertafamiliaridadconlasnocionesderelacionydefuncion,demodoquenonosdetendremosenlaexplicaciondel signicadodeestosconceptos, sinoquepartiremos desusdeniciones estudiandoluegosoloaquellas propiedadesqueseranaplicadasenloscaptulosquesiguen.Comenzaremosintroduciendolanocionderelacionmedianteunade-nicionqueestamotivadaporlaideausual deunarelacionentreparesdeobjetos. Observamosquedarunarelacionentreparesdeelementosdeunconjunto,enlaacepcioncorrientedeltermino,equivaleadarunalistafor-mada por los elementosque verican dicha relacion, esto es, a especicar unconjuntodepares.Dadosdos conjuntos,Ay B,indicaremosconA Belconjunto consti-tuidoporlosparesordenados(a,b)talesqueapertenecealconjuntoAybpertenece al conjunto B. Con las notaciones usuales de la teora de conjuntosestosetraduceenlaigualdad:Presuponiendosololosconceptosdeconjunto,subconjunto,elementoypar ordenadodeelementos deunconjunto, podemosdenir unarelacioncomosigue;12 0. RELACIONESYFUNCIONESDEFINICION 0.1. Una relacion en un conjunto A, es un subconjunto RdeA A.Si (a,b) R diremos que a esta en relacionR conb y escribiremos aRb.EJEMPLO0.1. En todo conjunto A la relacionde igualdadestadada porel conjuntoR= {(a, a) /a A}, seg unestarelacion, cadaelementodeAsoloestaenrelacionconsigomismo;luegoenestecasoaRbsignicaa=b.

EJEMPLO0.2. SeaZelconjuntodelosn umerosenteros,consideremos:R= {(a,b)/a,b Z,a-besm ultiploenterode2}.Enestecaso,elenteroaestaenrelacionRconelenterob,cuandosonambosparesobiensonambosimpares. 0.2. RelacionesdeequivalenciaDEFINICION 0.2. Una relacion R en A se dice reexiva si aRa para todoa A; simetrica si aRb implica bRa y transitiva si aRb y bRc implica aRc.Una relaciondeequivalenciaenunconjunto Aesuna relacionreexiva,simetricaytransitiva.CuandoRes unarelacionde equivalencia, si aRbdiremos que a esequivalenteabyusaremoslanotaciona b.Las propiedades que denen una relacion de equivalencia en un conjuntoA,sonentonces:a)a a a A.b)a b b a.c)a byb c a c.0.2. RELACIONESDEEQUIVALENCIA 3Mencionaremosalgunosejemplosderelacionesdeequivalenciaqueson utiles,puespermitendenirciertosconceptosimportantes.Encadacasoellectorvericaraquevalena),b)yc).EJEMPLO0.3. EntodoconjuntoAsetieneunarelaciondeequivalenciatrivial:R= {(a,a)/a A},esdecira b a=b. EJEMPLO0.4. SeaNel conjuntode los n umeros naturales. Andeobtener los n umerosenteros Zapartir delos naturales, sedenenenNNlarelacion(a,b) (a,b) a+b =a +b. Observar quecadaparrepresentaraal enteroquesurgederestaralaprimeracomponentelasegunda. EJEMPLO0.5. SeaZel conjuntodelos enteros. Andeobtener losracionales, se dene enel conjuntoZ Z {0, 0}, larelacion: (a,b) (a,b) a.b=a.b. EJEMPLO0.6. Dadounenterojom, sedeneunarelaciondeequiva-lenciaenZ,poniendoa a cuandoa-a esm ultiplodem.Enestecasoseescribea=a (mod. m)paraindicar quea a ysedicequeayasoncongruentesmodulom. Observamosquemy-mdenenlamismarelacion,demodoquesepuedesuponerm0. EJEMPLO0.7. Enel conjuntodelosrealesR, setieneunarelaciondeequivalenciatomandor rcuandor-rentero. 4 0. RELACIONESYFUNCIONESEJEMPLO0.8. Sepuededenirunangulocomounaguraplanaqueeslaintersecciondedossemiplanosdel mismoplano. Estanociondeangulotienelalimitaciondequeparaestosangulosnoesposibledenirunasumacontodaslaspropiedadesdeseablesparalasaplicacionesdeesteconcepto,las que se pueden resumir diciendo que los angulos con la suma deben formarun grupo abeliano. Para esto es necesario dar otra denicion de angulo. Unode los caminos posibles para llegar a esa denicion, consiste en introducir enel conjunto de los pares ordenados de semirrectas del plano con origen en unpuntoO,lasiguienterelaciondeequivalencia.Suponemos sabidoque:paracadaparordenadodesemirrectasdeorigenO, (a,b), existeuna unicasi-metra axial del plano que transforma a en b, la indicaremos con la notacions(a,b). Dados dos pares ordenados de semirrectas de origen O, (a,b) y (a,b),denimos (a,b) (a,b) si la simetra axial que transforma a en b, tambientransformabena, esdecirsi s(a,b)=s(b,a). Laspropiedadesreexivaysimetricase vericantrivialmente.Parademostrarque la relaciones transi-tiva,debemosprobarquesis(a,b)=s(b,a)ys(a,b)=s(b,a)entoncess(a,b) = s(b,a). .Elresultadode aplicarsucesivamente tressimetrascuyosejespasanporunpuntojoO, esunasimetra.Deloanteriorsurgequealaplicarsucesivamentes(a,b),s(b,a)ys(a,b), sellevaaaenb,porlo que esta composicion es, efectivamente,s(a,b). Analogamente,aplicandos(b,a), s(a,b)ys(a,b), seobtienes(b,a). Deloanterioryobservandoque:s(a,b)=s(b,a)s(a,b)=s(b,a)s(a,b)=s(b,a)tenemosque:s(a,b)=s(b,a). FIGURA2.1Anotamos para usarlo mas adelante, que, de la denicion de esta relacion(a,b) (a,b)siysolosi(a,a) (b,b).0.2. RELACIONESDEEQUIVALENCIA 5EJEMPLO0.9. Llamaremosguradelplanoatodoconjuntodepuntosdel plano. Larelaciondecongruenciadegurasenel plano, sepuededenircomosigue; DadasdosgurasplanasF1yF2denimosF1 F2cuandohayalgunasucesionnitadesimetrasaxialesdelplanoquetrans-formaF1enF2. Paramostrarqueestaesunarelaciondeequivalenciaenelconjuntodelasguras planas,essucientevericarloque sigue:a)ParatodaguraplanaFsetieneF F, porquelasucesiondedos simetrasigualestransformatodopuntodelplanoensimismo.-b)Si lasucesiondesimetrass1, . . . , sn, transformaF1enF2ys1, . . . , smtransformaF2enF3,entonceslasucesions1, . . . , sn, s1, . . . , smtransformaF1enF3.- DEFINICION 0.3. Dada una relacionde equivalencia en un conjunto A yun elemento a A. Llamaremos clase de equivalencia de a, al conjuntodetodosloselementosx Aquesonequivalentescona,yquenotaremos:cl(a),a.Delascondicionesb)yc)deladenicionderelaciondeequivalenciasededucequesi a b, entoncesx asi ysolosi x b. Luegoa bimplica cl(b) = cl(a). Es claro que vale el recproco, esto es: Si cl(b) = cl(a)entoncesa b.Todo elemento b cl(a) se dice que es un representante de esa clase.Esdecirquebesunrepresentantedecl(a)siysolosib a.El siguienteresultadomuestraqueel conjuntodelasclasesdeequiva-lenciadeterminalarelacion.PROPOSICION0.1. Dadas dos clases deequivalenciacl(a) ycl(b) enunconjuntoAsetieneque,obiencl(a) cl(b), obiensondisjuntas(sinelementoscomunes).Adem as,unarelaci ondeequivalenciaclasicalosele-mentos de unconjuntoAenclases de equivalencia, disjuntas dos ados.TodoelementodeAperteneceaalgunaclase.6 0. RELACIONESYFUNCIONESPROPOSICION0.2. Recprocamente, dada unaclase cualquiera CdesubconjuntosdeA,novacosysinelementoscomunesdosados, talesquetodoelementodeApertenezcaaalgunodeellos, existeuna unicarelaci ondeequivalenciaenAcuyasclasessondichossubconjuntos.Demostraci onde0.1. Enefecto, supongamosquec cl(a)yc cl(b),entoncesc a y c b, de donde a b, por lotantocl(a)= cl(b).Porotraparte,paratodoa Asetienequea cl(a).Demostraci onde0.2. Se puede demostrar, que deniendo a b cuandoa y b pertenecen a un mismo subconjunto de la clase C se obtiene una relaciondeequivalencia.0.3. ConjuntoCocienteDEFINICION0.4. Llamaremos conjuntococientedeAporR, aaquel cuyoselementossonlasclasesdeequivalenciadeAdenidasporlarelaciondeequivalenciaRenA,quenotaremos:A/R,A.Seg unestadenicion, cadaelementodeAjuntocontodossusequiva-lentes,constituyenun elementode A/R.Es por estoque a vecesse dicequeA/RseobtieneidenticandocadaelementodeAcontodossusequiva-lentes. Lautilidaddelasrelacionesdeequivalenciaprovieneprecisamentedequepermitenenestaformaconstruirunconjuntodeobjetosnuevos,lasclases de equivalencia,a partirde ciertosobjetos dados, los elementosde A.ParaindividualizarunelementodeA/R, esdecirunaclasedeA, sepue-detomarunrepresentantecualquieradeesaclase. Usualmentesetratadeelegirunrepresentantequefacilitelanotacionoelcalculo.-0.3. CONJUNTOCOCIENTE 7-Veamoscualessonlosconjuntoscocientequeseobtienendealgunasdelasrelacionesdelasecci on2.EJEMPLO0.10. Enestecasocadaa Asoloesequivalenteasmismoporlotantolaclasedeequivalenciadeaesel conjunto {a}. QuieredecirquecadaelementodeA/Resunconjuntoformado unicamenteporalg unelemento de A; luegoeneste ejemplo al formar el conjuntocociente notenemosnadaescencialmentenuevo. EJEMPLO0.11. Enestecasolacl(a,b) = {(a,b) N N/a+b=a +b}, porlotanto, encadaclasedeequivalenciahayinnitospares.Observandoque(a,b) (a+1, b+1), sepuededemostrarquesia=b,enlacl(a,b)hay:obienun unicorepresentantedelaforma(c,0)obienun unicorepresentantede la forma (0,c)conc = 0. Las clasescorrespondientesdenotanc y-c. Si a=b, (a,b) (0,0). Laclase de (0,0) se denota 0.Sedenenlosn umerosenteroscomoloselementosdelconjuntococienteobtenido. EJEMPLO 0.12. En este ejemplo las clases de equivalencia son de la forma:cl (a, b) =a, b

/a, b Z, b = 0, a.b= a.b.Usaremos la notaciona / b para la clase de (a,b). La igualdad de clase a/ b = a / b signica la equivalenciade los representantes, (a,b) (a,b), osea,seg unladeniciondelarelacion, a.b=a.b.Sedemuestrafacilmentequeparatodonaturalk =0es(a.k,b.k) (a,b),deaqusededucequesepuede tomarpara cada claseun representante(a,b)cona y b relativamenteprimos, es decir, que toda clase se puede escribir en la forma a / b cona y bprimos entre s. Se denen los n umeros racionales como los elementosdelconjunto cociente. De acuerdo con esta denicion, cada racional, es una clasedeequivalenciaa/b,esdecirunconjuntodeparesenteros.-Designaremosalconjuntodelosn umerosracionalesconlaletraQ. 8 0. RELACIONESYFUNCIONESEJEMPLO0.13. Eneste casocl(a) = {a, a m, a 2.m, . . .}.Sabemosquetodoelementoasepuedeescribirenlaformaa=r q.mcon0rm, porlotantoa rycl(a) cl(r). Quieredecirqueparacadaclasedeequivalenciasepuedetomar comorepresentanteunodelosn umeros 0,1,....,m-1.Porotraparte,si0 rr (tienenmas incognitas queecuaciones) por lo cual es indeterminado y consecuentemente tiene solucionesnotriviales.Dedonderesultaqueexisten1, 2, . . . , qnotodosnulosqueverican(2.14)yporlotantoCesL.D.comosedeseaba.EJEMPLO2.21. AnalicemoselrangodelconjuntoA = {(1, 1, 2, 0), (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (2, 1, 3, 1), (1, 0, 1, 0)}2.5. DEPENDENCIALINEAL 81del ejemplo 2.20. Ya sabemos que es L.D. por lo cual rango(A) < 5. NuestraintencionesconstruirconloselementosdeAunconjuntoBenlascondi-ciones delaproposicionanterior. Paraconstruir unconjuntoL.I. conloselementosdeAdebemosquitarlasn-uplasqueseancombinacionlinealdelasrestantes.Comoya vimos, ennuestro caso, (1, 1, 2, 0) es combinacionde las otrasasqueconsideramoselconjuntoA= {(1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (2, 1, 3, 1), (1, 0, 1, 0)}yestudiamossudependencialineal.Sean1, 2, 3, 4n umerostalesque1(1, 0, 1, 1) +2(0, 1, 1, 1) +3(2, 1, 3, 1) +4(1, 0, 1, 0)= (0, 0, 0, 0) (S)

1 + 23 +4= 02 +3= 01 +2 + 33 +4= 012 +3= 0Lamatrizampliadadeestesistemaes

1 0 2 1 00 1 1 0 01 1 3 1 01 1 1 0 0

Escalerizandolaseobtiene

1 0 2 1 00 1 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0

Porlotanto(S)tienesolucion1= 23,2= 3,4= 0y3 R.AesL.D.yademas 3 Rsetieneque23(1, 0, 1, 1) 3(0, 1, 1, 1) +3(2, 1, 3, 1) + 0(1, 0, 1, 0)= (0, 0, 0, 0)82 2.ALGEBRADEMATRICESEnparticularsi3 = 0,despejandoresulta(2, 1, 3, 1)= 233(1, 0, 1, 1) 33(0, 1, 1, 1) +03(1, 0, 1, 0)=(2, 1, 3, 1)= 2(1, 0, 1, 1) (0, 1, 1, 1) + 0(1, 0, 1, 0)Conlocual tenemosqueenA(2, 1, 3, 1)escombinacionlineal delosres-tanteselementos.ConsideramosahoraelconjuntoA= {(1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0)} A AelcualesL.I.(vericarlo).EntoncesB= Acumplelasdoscondicionesdelaproposicionanterior,estoes:1. BesL.I.2. (2, 1, 2, 1)y(1, 1, 2, 0)soncombinacionlinealdeBPorlotantorango(A) = card(B) = 3.Observese que habamos probado, enel ejemplo 2.20,que (1, 1, 2, 0)es com-binacion de A pero como los elementos de A son a su vez combinacion de losde Ase deduce aplicando la proposicion 2.13 que (1, 1, 2, 0)es combinaciondeA. 2.6. ElrangodeunamatrizSiA = ((aij))esunamatrizmnnotaremosporAi= (ai1, . . . , ain) Rna la la i-esima de A y con Aj= (a1j, . . . , amj) Rmla columna j-esimadeA.DEFINICION2.11. SeaAunamatrizmn1. Denimosel rangoporlasdeA(rangof(A))comoel rangodelconjunto {(A1, . . . , An}delasdeA.2. DenimoselrangoporcolumnasdeA(rangoc(A))comoelrangodelconjunto {A1, . . . , Am} RmdecolumnasdeA.LEMA2.16. SeaE Mmnunamatrizescalerizadareducidaconpes-calonesubicadosenlascolumnasj1, j2, . . . , jpentonceslosconjuntosB={Ej1, Ej2, . . . , Ejp}decolumnasyB= {E1, E2, . . . , Ep}delascumplen2.6. ELRANGODEUNAMATRIZ 83ambosconlaship otesisdel lema2.15.Enparticular, entoncesrangoc(E) = rangof(E) = pDemostraci on. Lapruebaessencillayquedaacargodellector.LEMA2.17. SeaAunamatriz m nypel n umerodeescalones delaformaescalerizadareducidadeAentoncesrangoc(A) = pDemostraci on. SeaAunamatrizyElaformaescalerizadareducidadeAconpescalones(estoesconplasnonulas).ComosiempreindicaremosporAjyEjlasj-esimascolumnasdeAyErespectivamente.Supongamos que los escalones de E estan ubicados en las columnas j1, j2, . . . , jpentoncesparaprobarquerangoc(A) = palcanzacondemostrarqueelcon-junto B= {Aj1, Aj2, . . . , Ajp}cumplelascondicionesdelaproposicion2.15estoesBesL.IyAjescombinacionlinealdeB j = j1, j2, . . . , jp.VeamosprimeroqueBesL.I.Seanj1, j2, . . . , jpn umerostalesquej1Aj1+j2Aj2+ +jpAjp= Oentonceslan-upla(1, 2, . . . , n)talqueh=

ji, sih = jiparaalg uni.0sih = jiparatodoi.esunasoluciondel sistemahomogeneoconmatrizA|Oyporlotantoessoluciondel sistemahomogeneoequivalenteconmatrizE|O. Esto ultimoimplicaqueO = 1E1+2E2+ +nEn= j1Ej1+j2Ej2+ +jpEjp,peroelconjunto {Ej1, Ej2, . . . , Ejp}esL.I.envirtuddelovistoenellema2.16,entoncesj1= j2= = jp= 0probandoqueBesL.I.Veamosahoraquesij = j1, . . . , jpentoncesAjescombinacionlinealdeB.Seaentoncesj =j1, . . . , jp, del lema2.16sesabequeEjescombinacionlineal del conjunto {Ej1, Ej2, . . . , Ejp}porlotantoexistenj1, j2, . . . , jpn umerostalesqueEj= j1Ej1+j2Ej2+ +jpEjp84 2.ALGEBRADEMATRICESentonces(1)Ej+1Ej1+2Ej2+ +pEjp= O.Porlotantolan-upla(1, 2, . . . , n)conh=

1, sih = j.ji, sih = jiparaalg uni.0sih = jiparatodoi.es solucion del sistema homogenea con matriz E|O y consecuentemente tam-biendelsistemaequivalenteA|OporlotantoO = 1A1+2A2+ +nAn= (1)Aj+j1Aj1+j2Aj2+ +jpAjpdedondesededucequeAj= j1Aj1+j2Aj2+ +jpAjpculminandolapruebadellema.TEOREMA 2.18.Sea A una matriz mn entonces rangof(A) = rangoc(A)Demostraci on. Lapruebasereduceamostrarquerangof(A) = pdondepeseln umerodeescalonesdeE,laformareducidadeA.EsclaroqueenelprocesodeescalerizacionunalaseanulasiysolosiescombinacionlinealdelasrestantesenconsecuenciasilaformaescalerizadatieneplasnonulaslamatrizAtieneplasque formanunconjuntoL.I.(ninguna de ellaspuede sercombinacionde lasrestantes)y ademaslasotrasm psoncombinaciondeellas(poresoal escalerizarAseanularon). Enconsecuenciaellema2.15aseguraquerangof(A) = p.El resultadoanteriornoshabilitaentoncesadenirel rangodeunamatrizcomoelrangoporlasoelrangoporcolumnas.OBSERVACION2.19. El rangodeunamatrizes igual al rangodesutranspuesta,pueslaslasdeunasonlascolumnasdelaotra.TEOREMA2.20(Rouche-Frobenius(2daversion)). Sea(S)unsistemalineal demecuacionesconninc ognitasconmatrizampliadaA|b.entonces2.7. MATRICESINVERTIBLESYRANGO 851. (S)escompatiblesiysolosirango(A) = rango(A|b)2. Si(S)escompatibleentoncesa) (S)esdeterminadosiysolosirango(A) = n.b) (S)esindeterminadosiysolosirango(A) < n.Demostraci on. La prueba es consecuencia inmediata del Teorema de Rouche-Frobenius(1era.version)ydellema2.172.7. MatricesinvertiblesyrangoTodo n umero real no nulo es invertible, sin embargo tal como se vio en elejemplo 2.10 existen matrices no nulas que no poseen inversa, se impone porlotantoobteneralg unresultadoquecaractericealasmatricesinvertibles,observemos que de (2.7) se deduce que si A Mnn es una matriz invertibleel sistemaAX=bescompatibledeterminadoporlotantoel teoremadeRouche-Frobeniusaseguraquerango(A)=n, probaremosenestaseccioncomoprincipalresultadoqueelrecprocoestambiencierto.Comencemosmostrandoquelasmatricesderangonsonexactamenteaquellasqueadmitenunainversaaderecha.LEMA2.21. SeaA Mnnentonces rango(A) =nsi ysolosi existeB Mnntal queAB= In.Demostraci on. ()Recordemosenprimerlugarquedeacuerdoalaob-servacion2.1si AyBsondos matrices n ncualquierayBjindicalacolumnaj-esimadeBentoncesAB=

AB1AB2. . . ABn. . .

PorlotantoAB= In ABj= ej, j= 1, 2, . . . , n86 2.ALGEBRADEMATRICESDondeej=

0...1...0

laj-esimaAhorabien, comorango(A)=nel teoremadeRouche-Frobeniusaseguraque n sistemas de ecuacionesAX= ejcon j= 1, 2, . . . , n son compatibles yconsecuentementese tieneque j= 1, 2, . . . , n existeBjtal que ABj= ej.Por lo tanto eligiendo Bcomo la matriz cuya columna j-esima es Bjse tieneprobadoeldirecto.() Veamos ahora el recproco. Supongamos que existe B tal que AB= In.Entonces,llamandoBjalacolumnaj-esimadelamatrizBsetiene

AB1AB2. . . ABn. . .

= AB= In=

e1e2. . . en. . .

MiradolosextremosdelaigualdadanteriorsededucequelossistemasAX= ejj= 1, 2, . . . , nsontodoscompatibles.El rango(A) n pues A es nn, supongamos por absurdo que rango(A) =r< n.Entonces,envirtuddellema2.17,unaformaescalerizadadelama-trizAdebetenerr0, b,(u, v);etc.Enparticularv.v= v2; luego v =v.v.Si u esun versor,esdecir, si u= 1,entoncesu.v= v cos = p eslaproyecciondelsegmentoACsobrelarectaABdelagura.Propiedades:4)u.v= v.u5)(a.u) .v= u. (a.v) = a. (u.v)6)(u1 +u2) .v= u1.v +u2.v ; u. (v1 +v2) = u.v1 +u.v2.7)v.v 0yv.v= 0siysolosiv=0Demostraci on:4)Esinmediato.5) Si a =0 la demostracion es trivial . Si a 0, ang (au, v) =ang (u, v) =,luego( a.u ) .v= au . v cos = |a| . u . v cos = a (u.v).Si ak yk =0. Resultak>1,porquesinosera1v1= 0, 1 =0 v1= 0(contrarioalahipotesis).6.5. BASEDEUNESPACIOVECTORIALYDIMENSION 187Entonces 1v1+ +kvk=

0 y despejando, kvk= 1v1 k1vk1ycomok = 0sededuceque:vk= 1kv1... k1kvk1.Entonces vkes combinacionlineal de v1, ..., vk1comose quera probar.OBSERVACION6.19. De lo anteriorse deduce en particular que un con-juntoesL.D.siysolosiunvectorescombinacionlinealdelosdemas.COROLARIO6.20. SeaV unespaciovectorial yA = {v1, v2, . . . , vn}unsubconjuntocualquieraentoncesAesL.I.siysolosining unvectordeAescombinaci onlineal delosrestantes.6.5. BasedeunespaciovectorialydimensionLaideacentral delaGeometraAnalticaesque, jadounsistemadecoordenadasacadapuntodel espaciolecorrespondeuna unicaternaor-denadaden umerosreales. Estocorrespondenciapermitetratardemaneraanalticalos objetosgeometricosdel espacio(i.e.asociara cada uno de ellosuna ecuacion) tal como vimos en el captulo 4. En la construccion que all hi-cimos, no solo asociabamoscoordenadas a los puntos del espacioEsino quetambien asociabamos coordenadas a los vectores del espacio V . Veamos comoesposiblegeneralizarestoaunespaciovectorialcualquiera.DEFINICION6.7(Basedeunespaciovectorial). SeaVunespaciovec-torialyA= {v1, v2, ..., vn} V(Anito).DecimosqueAesbasedeVsiysolosia)AesunconjuntoL.I.b)Ageneraa V ,esdecir[A] =V .188 6. ESPACIOSVECTORIALESNotacion: SiV esunespaciovectorial yBesunabasedeV pondremosBbV .OBSERVACION6.21. Sea(V, K, +, )unespaciovectorial yS V unsubespaciodeV . Yahemos vistoque(S, K, +, ) esel mismounespaciovectorial,donde+y sonlasoperacionesqueheredadeV .UnabasedelsubespacioSesunabasedelespaciovectorial(S, K, +, ).PROPOSICION6.22. SeaV unespaciovectorial yA= {v1, v2, . . . , vn}unsubconjuntocualquiera,entoncesAesbasedeV siysolosi,todovectordel espacio se escribe en forma unica como c.l. de los vectores de A (es decir,loscoecientesdelac.l.son unicos).Demostraci on. ()Enprimerlugar,comoAgeneraaV,entoncescualquiervectordeVsepuedeescribircomoc.l.devectoresdeA.Veremosahoraqueesacombina-cionlineales unica.Enefecto,supongamos que pueda escribirse unvectorvcomocombina-cionlinealdeA,endosformasdistintas:v = 1v1 + +nvny v = 1v1 + +nvnRestandoambasigualdadestenemos:

0 = (11) v1 + + (nn) vnLa anterior es entonces una forma de escribir el nulo como combinacion linealdeA. ComoporhipotesisAesbase, entoncesenparticularAesL.I.. PordeniciondeconjuntoL.I.loscoecientesdelacombinacionlinealanteriordebensertodoscerosyporlotanto:1= 1, 2= 2, . . . , n= nConsecuentementelasdosformasdeescribirvcomocombinacionlinealdeA,sonlamisma.6.5. BASEDEUNESPACIOVECTORIALYDIMENSION 189() Supongamos ahora que cada vector de Vse escribe de manera unicacomocombinacionlinealdeA,entoncesenparticularAgV ,paravericaque A es base solo resta verque A es L.I.. Sean 1, 2, . . . , nescalarestalesque1v1 +2v2 + +nvn=

0Hemosescritoel vectornulocomocombinacionlineal deAPorotrapartetambiensetienenque0v1 + 0v2 + + 0vn=

0.Perocomocadavector(incluyendoalnulo)solosepuedeescribirde unicamaneracomocombinacionlineal deAdebeseri=0. i=1, 2, . . . , nyconsecuentementeAesL.I.Sea Vun espacio vectorial de dimension nita cualquiera sobre el cuerpoKyB= {v1, v2, . . . , vn}unabasedeV . Dadounvectorv V cualquieralaproposicionanteriorestablecequeexisten unicosescalares1, 2, . . . , ntalesquev=ni=1ivillamaremos aestos n umeros las coordenadas enlabaseBdel vectorv. De hechoconunpocomas de formalidadpodemos denir lafuncioncoordB: VKn, tal quequeacadavector vlehacecorresponderloscoecientesdelacombinacionlinealdeBquedav.EstoescoordB(v)def=(1, 2, . . . , n)Observese que el vector v es un elemento del espacio Vpero sus coordenadassinimportarquienseaV sonsiempreunn-upladeescalares.EJEMPLO6.37. SeaV= (Rn, R, +, )(o(Cn, C, +))elconjuntoC= {(1, 0, 0, ..., 0) , (0, 1, 0, ..., 0) , (0, 0, 1, ..., 0) , ..., (0, 0, 0, ..., 1)}190 6. ESPACIOSVECTORIALESv coordB(v)RnBbVcoordBesunabasedeV puesesL.I. ygeneraV (comprobarlo). El conjunto Csedenominabasecanonicade(Rn, R, +, )ode(Cn, C, +, ).Engeneraleli-esimovectordelabasecanonicalonotaremosi-esimolugarei= (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)Seav= (x1, x2, . . . , xn) Rnunvectorcualquieraentoncesv = (x1, x2, . . . , xn) = x1e1 +x2e2 + +xnenentoncescoordC(v) = (x1, x2, . . . , xn).Esto es el vectory sus coordenadas en labase canonicacoinciden.DehecholoqueocurreesquelafuncioncoordC:RnRneslafuncionidentidad.Engeneral, comoveremos enel proximoejemplo, unvector deRnysuscoordenadasenunabasearbitrarianocoincidenestosoloocurresilabaseconsideradaeslacanonica. EJEMPLO6.38. SeaV= R3y B= (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)es facilcom-probaryquedaacargodel lectorqueBesL.I. veriquemosquetambien6.5. BASEDEUNESPACIOVECTORIALYDIMENSION 191generaR3. Enefectosea(a, b, c) R3unvector arbitrariocomprobemosqueexisten1, 2, 3escalarestalesque(a, b, c) = 1(1, 1, 0) +2(0, 1, 0) +3(0, 0, 1) (a, b, c) = (1, 1 +2, 3)

1= a1 +2= b3= cYeste ultimosistemaescompatibledeterminadoytienesolucion1=a,2= b ay3= cdedondeBgR3yporlotantoesbase.Ademas(a, b, c) = a(1, 1, 0) + (b a)(0, 1, 0) +c(0, 1, 0)porlotantocoordB

(a, b, c)

= (a, b a, c)porejemplosiv= (1, 2, 1)entoncescoordB

(1, 2, 1)

= (1, 1, 1).Enel otrosentido, supongamosquew R3esunvectortal quesuscoor-denadasenlabaseBsoncoordB(w) = (1, 2, 1)entonceselvectorw = 1(1, 1, 0) + 2(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1)= (1, 3, 1).

Esclaroquesi V =Rntantolosvectores comosuscoordenadas sonn-uplas por locualcabelaposibilidaddeconfundirlos locualnaturalmenteconstituyeungraveerror.Hay que aclararen cada caso,cuando se da una n-upla de Rn, si se trata delosvectoresensi, osi setratadelascomponentesenalgunabasedistintadelacanonica. Solopuedeomitirse estaaclaracioncuandolabase es lacanonica. Cuandodecimosporejemploseavel vector deR3tal quev=(1, 2, 3) estamos indicandola3-upla(1, 2, 3) por loque notiene sentidopreguntarenquebaseloestamosexpresando.EJEMPLO6.39. Sea {Cn, R, +, }.Verifqueseque{(1, 0, ..., 0) , (0, 1, ..., 0) , ..., (0, 0, ..., 1)}noesbase.192 6. ESPACIOSVECTORIALESSugerencia: El vector(i, 0, ..., 0)dondei eslaunidadimaginarianoesc.l.delconjuntoanterior.Verifqueque:C= {(1, 0, . . . , 0), (i, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), (0, i, . . . , 0), . . .. . . , (0, 0, . . . , 1), (0, 0, . . . , i)}esbasede {Cn, R, +, } .EJEMPLO6.40. SeaV= M22yA =

1 00 0

,

0 10 0

,

0 01 0

,

0 00 1,entonces AbM22, pues es un conjunto L.I. (vericarlo) y ademas si M=

a bc d

esunamatriz2 2cualquierasetienequeM=

a bc d

= a

1 00 0

+b

0 10 0

+c

0 01 0

+d

0 00 1

de donde AgM22y por lo tanto es base de M22. Ademas coordA(M) =(a, b, c, d). Observesequeaqu nohayposibilidaddeconfundirlosvectoresconsuscoordenadaspueslosprimerossonmatricesylossegundos4-uplasden umeros.EJEMPLO6.41. SeaV = PnyA= {p0, p1, . . . , pn}, dondepi(x)=xi,coni=0, . . . , n.EntoncesAesL.I. (vericarlo)yademassip Pnesunpolinomio cualquiera de grado menor o igual a n tal que p(x) = anxn+ +a1x +aoentoncesp = a0p0 +a1p1 + +anpnporlotantoAgPnyenconsecuenciaAesbasede Pn. AdemassetienequecoordA(p) =(a0, a1, . . . , an). Nuevamenteaqu nohayposibilidaddeconfundirse coordenadas yvectores las primeras son(n+1)-uplas ylossegundossonpolinomiosdegradomenoroigualan. 6.5. BASEDEUNESPACIOVECTORIALYDIMENSION 193EJEMPLO6.42. Sea S= {(x, y, z) : 2xy +z= 0} deseamos determinarunabasedeS.Paraestocomencemoshallandoungenerador.Observemosquev Ssiysolosiexistenxyyrealestalesquev = (x, y, y 2x) = (x, 0, 2x) + (0, y, y) = x(1, 0, 2) +y(0, 1, 1)entonces A = {(1, 0, 2), (0, 1, 1)} SgS. Ademas es facil de ver (hacerlo)queAesL.I.yporlotantoesunbasedeS. EJEMPLO6.43. SeaV = M22yS= {A M22: A=At}hemosvistoenelejercicio6.29queelconjuntoG =

1 00 0

,

0 11 0

,

0 00 1gSydelovistoenelejercicio6.34sesabequeAesL.I.porlotantoGbS.

TEOREMA6.23. SeaVunespaciovectorial. SeaA= {v1, . . . , vn}unconjuntoquegeneraaVyB= {w1, . . . , wm}unconjuntoL.I. deV. En-toncesmn.Demostraci on. Laideadelapruebeconsisteenconstruirunalgoritmoquepermitasustituirunoaunolosvectores deAconlos deB, encadapaso alsustituirunvectorde A poruno de Bse obtieneunnuevoconjuntogenerador del espacio V . Como el proceso de sustitucion no culmina mientrasquedenelementosenel conjuntoBsepruebaqueenBhayporlomenostantoselementoscomoenA.EnelprimerpasodelalgoritmoelegiremosunvectorconvenientedeAylosustituiremoselvectorwm.Paraestocomencemosobservandoque,AgVyporlotantowm B V escombinacionlinealdeA.EnconsecuenciaelconjuntoA1= {wm, v1, . . . , vn}es L.D.. Ahorabien, wm =

0, pues wm ByBes L.I. por lotantolaproposicion6.18aseguraqueexisteenA1unvector(quenoeselprimero)194 6. ESPACIOSVECTORIALESqueresultacombinacionde los anteriores. Designemos por viAaesevector,queseraelprimeroasustituir.Pongamos,ahoraA1= A1{vi} = {wm, v1, . . . , vi1, vi+1, . . . , vn}.EntoncesA1gV ,pues,envirtuddelaproposicion6.16[A1]= [A1]=V .Endenitivaal cabodel primer pasosehaobtenidounnuevoconjuntogeneradordeV substituyendoviporwm.ParaelsegundopasorazonamosenformaanalogaeligiendootrovectordeAparasersustituidoporwm1:comoA1gV ,wm1 BescombinacionlinealdeA1porlotantoelconjuntoA2= A1 {wm1} = {wm1, wm, v1, . . . , vi1, vi+1, . . . , vn}resultaL.D.. Denuevoobservamosquewm1 = 0, pueswm1 ByBesL.I., por lotantolaproposicion6.18aseguraqueexisteunvector enA2(quenoeselprimero)queresultacombinacionlineal delosrestantes, estevectornopuedeserwmpuessi lofueradeberasercombinaciondewm1yestocontradicelaindependencialineal deB. Designemosporvk Aadicho vector (sera el segundo vector a sustituir). La proposicion 6.16 implicanuevamentequeelconjuntoA2= A2{vk} = {wm1, wm, v1, . . . , vk1, vk+1, . . . , vi1, vi+1, . . . , vn}esungeneradordeV .Al cabodedospasoshemossustituidodosvectoresdeApor dos vectores deBylohemos hechodemodoqueel conjuntoresultanteA2esungeneradordeV ,podemoscontinuaresteprocedimientodesustitucionyelmismos oloconcluiracuandoseterminenlosvectoresdeB. Cuando esto ocurra o bien los vectores de A se han acabado en simultaneoconlosde By entoncesm = n obien a unrestanvectoresde A sinsustituiryporlotantom < nlocualconcluyelaprueba.COROLARIO6.24. SeaV unespaciovectorial. Si unabasetienenele-mentos,entoncestodaslasdem asbasestienennelementos.6.5. BASEDEUNESPACIOVECTORIALYDIMENSION 195Demostraci on. SeanAyBbasesdeV , Aconnelementos yBconpelementos. ComoAes L.I. yBes generador, aplicandoel teorema6.23tenemosnp. Porotraparte, comoBesL.I. yAesgenerador, aplicandonuevamenteelteorema6.23,tenemospn.Osean = p.DEFINICION 6.8(Dimension de un espacio vectorial). Sea Vun espaciovectorial.Si existe una base de Vque tenga nelementos,se dice que nes ladimensiondeV(observeseenvirtuddelcorolarioanterior,nnodependedelabasequesehallaencontrado).Notaremosdim(V ) =n.Si V=

0(ejemplo 6.11), se conviene en decir que Vtiene dimension 0.Si V =

0 y no existe una base de Vconuna cantidadnita de elementos,entonces decimos queladimensiondeVes innita. Observesequesi unespaciovectorial V contieneunsubconjuntoLL.I. coninnitoselementosentoncesdim(V ) = .Enefecto,V nopuedetenerunabasenitapuessiA Ves un subconjunto nito y AbVentonces en particular AgVperocomo L es L.I. y pose innitos elementos podemos encontrar un subconjuntonito L L L.I. con card(L) > card(A) lo cual contradice el teorema 6.23.OBSERVACION6.25. Naturalmentesi S V esunsubespaciodel es-pacio(V, K, +, )entoncessudimensionesladimensionde (S, K, +, ).Estoeseln umerodeelementosdeunabasedeS(verobservacion6.21).EJEMPLO6.44. Enel ejemplo6.37vimos que C es unabase(labasecanonica) de Rnpor lo tanto dim(Rn) = n. De manera analoga Cb(Cn, C, +)porlotantodim

(Cn, C, +, )

=n. Porel contrarioenel ejemplo6.39sevioque Cnoesbasede(Cn, R, +, )perosiloesC= {(1, 0, . . . , 0), (i, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), (0, i, . . . , 0), . . .. . . , (0, 0, . . . , 1), (0, 0, . . . , i)}de donde dim

(Cn, R, +, )

= 2n. Observeseque al cambiarelcuerpo, aun-que no hayamos cambiado el conjunto de vectores, el espacio vectorial cambia196 6. ESPACIOSVECTORIALESradicalmenteal puntoquecambiasudimension. Enlosejerciciosveremosque inclusohayejemplosenloscualesun espaciode dimensi onnitapuedetransformarseenunodedimensioninnitacambiandosoloelcuerpo. EJEMPLO6.45. Delovistoenlos ejemplos 6.40y6.41sededucequedim(M22) = 4ydim(Pn) = n + 1.Cualesladimensionde Mmn?. EJEMPLO6.46. SeanS= {(x, y, z) : 2x y+ z =0} R3ySelsubespaciodelasmatrices2 2simetricasdelovistoenelejemplos6.42y6.43sededucerespectivamentequeexisteunabasedeScon2elementosyunabasedeScon3elementosporlotantodim(S) = 2ydim(S) = 3. El siguiente resultadodaotracaracterizacionde unabase, de hechoarmaque unbase es unconjuntoL.I. maximal enel sentidode quecualquierotroconjuntom asgrandedebeserL.D.TEOREMA6.26. SeaA= {v1, v2, ..., vn} V . EntoncesAesbasesi ys olosiAesL.I.ytodoconjuntoconm asdenvectoresesL.D.Demostraci on. ()Para probar que Aes base , alcanza probar que Aes generador detodoel espacio, puestoqueAesL.I. porhipotesis. ParaestoveremosquecualquiervectorpuedeponersecomocombinacionlinealdeA.EsclaroquelosvectoresdeAsonellosmismoscombinaciondeAasqueconsideremosun vector v Vcualquiera tal que v/ A, entonces el conjunto A= A{v}tienen + 1elementosyenconsecuenciaesporhipotesisunconjuntoL.D.Entoncesexistenescalares1, 2, . . . , n, notodosnulostalesque(6.45) 1v1 +2v2 + +nvn +v=

0Veamosquedebeser = 0,yaquesi = 0setendraque1v1 +2v2 + +nvn=

06.5. BASEDEUNESPACIOVECTORIALYDIMENSION 197conalg unescalardistintodeceroyestocontradicelaindependencialinealdeAaseguradaporhipotesis.Entoncestenemos = 0.Despejandoven6.45setiene:v= 1v12v2... nvnHemosprobadoquevesc.l.deA.ComovesunvectorcualquieradeV ,setienequeAgV ,comoqueramosprobar.()TenemosqueprobarquetodoconjuntoconmasdenvectoresesL.D.Sabemos por hipotesis que Aes base ypor lotanto enparticular AesgeneradordeV .SeaW Vunconjuntocualquieraconm vectoresm > n.Si WfueraL.I. tendramos unconjuntoL.I. conmas elementos que ungenerador y esto contradice el teorema 6.23, por lo tanto Wdebe ser L.D.EJEMPLO 6.47. Sea A = {x2+x1, x+1, x2+3x3, x21, x2+2x+1} P2entoncesAesL.D.puesdim(P2) = 3ycard(A) = 5 OBSERVACION 6.27. De hecho si m > n cualquier conjunto de Rncon mvectoresesnecesariamenteL.D.Observesequesim < nunconjuntodeRnconmvectorespuedesertantoL.D.comoL.I.(veriqueestoconstruyendoejemplosdeambassituaciones).OBSERVACION6.28. SeaAunsubconjunto denito devectoresdeRnenelcaptulo2habamosdenidoelconceptoderangodelconjuntocomolamayorcantidaddevectoresdeAquefueranlinealmenteindependientes.Ahora podemos observar que el rango de A no es otra cosa que la dimensiondelsubespaciogeneradoporA. Enparticularel rangodeunamatrizesladimensiondel subespaciogeneradopor las las opor las columnas delamisma.198 6. ESPACIOSVECTORIALESLossiguienteresultadosson utilesparaconstruirbasesdesubespacios.TEOREMA6.29. SeaVunespaciovectorial dedimensi onn1,AyBsubconjuntosdeV(nitos).Secumplenlassiguientespropiedades:1)SiBgeneraaV,existeBcontenidoenB,tal queBesbasedeV.2) Si A es L.I., existe A que contiene a A, tal que A es base de V (dichodeotraforma,todoconjuntogenerador,contieneaalgunabase;ytodoL.I.sepuedeagrandarhastaformarunabase).Demostraci on. 1)SeaB= {v1, v2, ..., vk}. SiBesL.I., entoncesesbase(porquepor hipotesis BgeneraaV). Si Bes L.D., obienestaformadoporun unicovector, quetienequeserel vector nulo(porqueBesL.D.),obienestaformadopor masdeunvector. Enel casoenqueB=

0,comopor hipotesis BgeneraaV, serael casoenque V =

0. Peroestecasoestaexcluido,porque porhipotesisn1.Deestaforma,restasoloestudiarelcasoenque BesL.D.y estaformadopor masdeun vector.PorlaProposicion6.18, hayunvector deB, queescombinacionlineal delosdemasvectoresdeB. QuitandoesevectorvrdeB, seobtieneunconjuntoB1.Porlaproposicion6.16[B]=[B1]yentoncesBgeneraaV.Si B1 es L.I: ya esta probado. Si es L.D. aplicando el mismo razonamientoaB1enlugar deB, seobtieneunnuevoconjuntoB2 B1 Btal quegenera a V. Si se repite el razonamiento, se obtendra nalmente un conjuntoB contenido en B, que es L.I. y que se obtuvo de Bretirando sucesivamenteaquellos vectores que se expresaban como combinacion lineal de los restantes.Por la proposicion 6.16, este conjunto B tambien genera a V. Por denicionesbasedeV,probando1).2)SupongamosA=w1, ..., wpesunconjuntoL.I. Si AgeneraaV,entoncesAes baseytomamosA = A. SiAno generaaV, entoncesexistealg un vector de Vque no es combinacionlineal de A. Llamemos wp+1a estevector.Mostremosque:w1, w2, ..., wp, wp+1esL.I.6.5. BASEDEUNESPACIOVECTORIALYDIMENSION 199En efecto: 1w1+2w2+...+pwp+p+1wp+1=

0 p+1= 0, porquesino se podra despejar wp+1 en funcion de los demas, y eso no es posible por-que wp+1no es c.l. de w1, w2, ..., wp. Entonces: 1w1+2w2+... +pwp=

0.Luego, todos los coecientes i son ceros, porque A es L.I. Tenemos entoncesqueel conjuntoA=w1, w2, ..., wp, wp+1esL.I. Repitiendolaconstruc-cionanterioraA1enlugardeA,vamosagregandovectoreshastaobtenerun conjunto L.I. y que genere a V(sea hasta obtener una base de V). Siem-presellega, enunacantidadnitadepasos, aunconjuntoquegenereaV,porqueporelteorema6.26losconjuntosL.I.nopuedentenermasdenelementos,dondenesladimensiondelespacio.El siguienteresultadoes particularmente util cuando se deseaencontraruna base de un espacio del cual se conoce la dimension, de hecho en este casosoloesnecesariochequearlacantidaddevectoresdelconjuntocandidatoysuindependencialinealCOROLARIO6.30. SeaVunespaciovectorial de dimensi onn. Secumplenlassiguientesarmaciones:1)TodoconjuntolinealmenteindependienteAdenvectores,esbase.2)TodoconjuntodenvectoresAquegeneraaVesbase.Demostraci on. 1)Si A ={v1, ..., vn}nogeneraV, existe v V talquev / [A].Entonces {v1, ..., vn, v}esL.I.(comoenlademostraciondelteoremaanterior)perotienen +1vectores, loquecontradiceel teorema6.26,absurdo.Luego [A] = V .2)SeaA={v1, ..., vn},conAgV .SiAesL.D.aplicandoelteorema6.29sesabeque existe A1Atal queA1bV , ycard(A1) =p