Álgebra Matricial y Optimización Ma130 · Formule el problema de determinar el número de...

Programación Lineal Ma130 - p. 1/27

Álgebra Matricial y OptimizaciónMa130

Programación LinealDepartamento de Matemáticas

ITESM

IntroEj 1Ej 2Ej 3Ej 4


Introducción

En esta lectura daremos una introducción a lamodelación de problemas mediante programaciónlineal; pondremos énfasis en las etapas quecomponen la modelación.



Ejemplo 1

La compañía de pinturas Manchita produce trestipos de pintura adicionando a una pintura basecuatro productos o aditivos químicos (Q1 a Q4). Setiene abundante pintura base disponible y cuyocosto ya fue cubierto. La compañía deseadeterminar la cantidad de toneladas de cada tipode pintura que debe producir de manera quemaximice la ganancia total. Las únicasrestricciones se deben a la disponibilidad de losaditivos químicos requeridos. Las gananciasobtenidas por las toneladas de pintura producidaaparecen en la tabla siguiente.


Kg. de químico requerido por tonelada de

Aditivo Pintura interior Pintura exterior Pintura especial disponible

Q1 1 2 2 2 kg

Q2 2 1 1 1 kg

Q3 1 5 1 3 kg

Q4 0 0 1 0.8 kg

Ganancia por tonelada 15,000 25,000 19,000



Soluci onEn la metodología de solución a los problemas deinvestigación de operaciones, el primer pasoconsiste en establecer las acciones a tomar por laempresa para alcanzar sus objetivos. En estecaso, la compañía tiene como meta determinar elplan productivo de máxima ganancia. En estecaso, tal plan se determina indicando el número detoneladas de cada pintura que debe producir. Estodefine lo que se conoce como las variables dedecisi on :■ x = número de toneladas de pintura interior■ y = número de toneladas de pintura exterior■ z = número de toneladas de pintura especial



El siguiente paso es determinar la funci on objetivo .Ésta debe ir acorde con la meta de la empresa ydebe estar en función de las variables de decisión:La compañía desea maximizar la ganancia. Unelemento clave en los modelos de programaciónlineal es el supuesto de aditividad : La gananciatotal de la compañía es la suma de las gananciaspor separado de la venta de cada uno de losproductos. Esto descartaría momentáneamentesituaciones donde las ganancias estáncondicionadas ante ventas combinadas deproductos. Otro supuesto importante es el deproporcionalidad : La contribución de cada productoes directamente proporcional a la cantidad deproducto.


En nuestro ejemplo:

Ganancia total = Ganan. por P. Int. + Ganan. por P. Ext. + Ganan. por

= 15, 000dólareston · x+

25, 000dólareston · y+

19, 000dólareston · z

El objetivo queda

Maxw = 15 x+ 25 y + 19 z (en miles de dólares)



El siguiente paso es determinar las restriccionesque son condicionamientos a los valores quepueden tomar las variables de decisión. Estoscondicionamientos son muy diversos y podríanestar asociados a los recursos de la empresa, alas demandas del mercado o bien controles decalidad, por citar algunos ejemplos. En nuestroejemplo los recursos disponibles referentes a losaditivos químicos son los que condicionan el planproductivo.



Nuevamente, como en la función objetivo, las dossuposiciones de aditividad y proporcionalidad sonuna exigencia en los modelos de programaciónlineal: para cada aditivo,■ el total consumido es la suma de lo consumido

por separado en cada producto y■ el total consumido por cada producto es

directamente proporcional a la cantidad deproducto



Aplicados a nuestro ejemplo las restriccionesquedan:■ Aditivo 1:

1kgton

x+ 2kgton

y + 2kgton

z ≤ 2 kg

■ Aditivo 2:

2kgton

x+ 1kgton

y + 1kgton

z ≤ 2 kg

■ Aditivo 3:

1kgton

x+ 5kgton

y + 1kgton

z ≤ 3 kg

■ Aditivo 4:

0kgton

x+ 0kgton

y + 1kgton

z ≤ 0.8 kg

Si regresamos a la naturaleza de nuestro



Resumiendo: en términos puramentematemáticos, el problema de la empresa consisteen determinar x, y y z que:

Max f(x, y, z) = 15 x+ 25 y + 19 z

Sujeto a:

x + 2 y + 2 z ≤ 2

2 x + y + z ≤ 2

x + 5 y + z ≤ 3

z ≤ 0.8

con x, y, z ≥ 0



Ejemplo 2

Una compañía fabrica dos tipos de productos, el tipo A y el tipo B.Un producto A se vende en $27 y requiere materia prima por uncosto de $10. El costo de mano de obra de cada producto A es de$14. Por otro lado, un producto B se vende en $21 y requieremateria prima por un costo de $9. El costo de mano de obra decada producto B es de $10. La manufactura de los productos A y B

requiere dos tipos de labor: carpintería y acabado. Cada productoA requiere 2 horas de acabado y 1 de carpintería, mientras que unproducto B requiere 1 hora de acabado y 1 hora de carpintería.Cada semana la campañía dispone de 100 horas para acabado y80 horas para carpintería. Mientras que la demanda de productosB es ilimitada, se estima que la compañía vende a lo más 40productos A por semana. La compañía desea hacer un plan deproducción semanal que maximice la ganancia semanal.



Soluci onSigamos los pasos de la metodología planteadaen el problema anterior.1 Variables de decisi on

■ x = Cuántos productos A por semana deben producirse y

■ y = cuántos productos B por semana deben producirse.

2 Funci on Objetivo

Ganancia = Venta − Costo = Venta − CostoMateria Prima − CostoMano Obra= (27 · x+ 21 · y)− (10 · x+ 9 · y)− (14 · x+ 10 · y)

= 3x+ 2 y dólares



3 Restricciones■ (Recurso) Horas de carpintería:

2 horasartículo · x+ 1 hora

artículo · y ≤ 100 horas

■ (Recurso) Acabado:

1 horaartículo · x+ 1 hora

artículo · y ≤ 80 horas

■ (Condiciones de Mercado) Demanda:x ≤ 40 artículos

■ Naturales: x, y ≥ 0 y x y y enteros.



Resumiendo, el problema matemático queda:

Max f(x, y) = 3 x+ 2 y

sujeto a2 x + y ≤ 100

x + y ≤ 80

x ≤ 40

con x y y ≥ 0 y ambos enteros.



Ejemplo 3

Una oficina postal requiere un cierto númeromínimo de empleados de tiempo completodependiendo del día de la semana. La siguientetabla muestra los requisitos. La unión detrabajadores establece que un trabajador detiempo completo debe trabajar 5 días consecutivosy descansar los siguientes 2. Formule el problemade determinar el número de empleados de tiempocompleto mínimo que debe tener la oficina postal.

Día Empleados de tiempo completo requeridos

Día1 = Lunes 17

Día2 = Martes 13

Día3 = Miércoles 15

Día4 = Jueves 14

Día5 = Viernes 16

Día6 = Sábado 16

Día7 = Domingo 11



Soluci onVariables de decisi onUna primera tentación es definir una variable dedecisión como el total de empleados, pero desdeel punto de vista del departamento de personal elproblema no se resuelve conociendo el total deempleados contratados sino con la especificaciónde rol de trabajos; es decir, cuántos inician qué díade la semana. Entonces observamos que esa esla clave para definir las variables de decisión:■ xi= el número de empleados que inicial su

semana laboral el día i (1=lunes, 2=martes, etc)Note que entonces el total de empleadoscontratados es la suma de los xi.



Funci on objetivo

El objetivo de la empresa es claro: minimizar eltotal de empleados contratados:

Min z =7∑

i=1

xi



Restricciones

Nuestras restricciones se relacionan con cumplir con laoperatividad de la oficina postal en cada día de la semana:debemos garantizar que en cada día de la semana el número deempleados que estén laborando (no sólo los que inician su semanalaboral tal día) son al menos los requeridos. Por ejemplo, contemosel total de empleados que están laborando el día lunes. Seguroestán todos los que inician su semana el lunes (x1) (ellosdescansan sábado y domingo), pero también están todos los que lainiciaron el domingo (x7) (ellos descansan viernes y sábado), todoslos que la iniciaron el sábado (x6) (ellos descansan jueves yviernes), todos los que la iniciaron el viernes (x5) (ellos descansanmiércoles y jueves), y todos los que la iniciaron el jueves (x4) (ellosdescansan martes y miércoles). Todos los que incian en martesdescansan domingo y lunes, y los que inician en miércolesdescansan lunes y martes. Resumiendo

total de trabajadores en lunes = x1 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 17


Siguiendo un análisis semejante para cada uno de los días restantes concluimosque se requiere:

total de trabajadores en martes = x1 + x2 + x5 + x6 + x7 ≥ 13

total de trabajadores en miércoles = x1 + x2 + x3 + x6 + x7 ≥ 15

total de trabajadores en jueves = x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≥ 14

total de trabajadores en viernes = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 16

total de trabajadores en sábado = x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 16

y

total de trabajadores en domingo = x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 11

Además, los valores de las variables xi deben ser enteros.


En términos puramente matemáticos el problema consiste en

Min z =7∑

i

xi

sujeto a

x1 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 17

x1 + x2 + x5 + x6 + x7 ≥ 13

x1 + x2 + x3 + x6 + x7 ≥ 15

x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≥ 14

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 16

x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 16

x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 11

con xi ≥ 0 y xi entero para i = 1, 2, . . . , 7.



Ejemplo 3

Sunco Oil produce tres tipos de gasolinas (G1, G2 y G3). Cada tipo

es producido combinando tres tipos de crudo (C1, C2 y C3). Las

ventas en dolares por barril de gasolina son: G1 en 70, G2 en 60 y

G3 en 50. Los costos en dolares por barril de crudo son: C1 en 45,

C2 en 35 y C3 en 25. Sunco puede comprar hasta 5000 barriles de

cada tipo de crudo al día. Los tres tipos de gasolina difieren en

octanaje y en porcentaje de azufre. Para producir G1 la

combinación de crudos debe tener en promedio un octanaje

almenos de 10 y contener no más de 1 % de azufre. Para producir

G2, el octanaje promedio es de al menos 8 y contener no más de

2 % de azufre. Para producir G3, el octanaje promedio es de al

menos de 6 y contener no más de 1 % de azufre. C1 posee un

octanaje de 12 y 0.5 % azufre, C2 posee un octanaje de 6 y 2.0 %

de azufre, y C3 posee un octanaje de 8 y 3.0 % de azufre. El costo

de transformación de un barril de crudo en uno de gasolina es de 4

dolares. Sunco puede producir a lo más 14,000 barriles de gasolina

al día.



Los clientes de Sunco requieren 3,000 barriles de G1, 2,000 barrilesde G2, y 1,000 barriles de G3 por día. Sunco considera unaobligación satisfacer estos requerimientos. Es un hecho que lapublicidad estimula la demanda de sus productos. Cada dolargastado en la publicidad de uno de sus productos aumenta lademanda diaria en 10 barriles. Formule un modelo de PL quepermita a Sunco maximizar sus ganancias diarias.



Soluci on

Variables de decisi on

Notemos que por un lado estamos interesados en saber cuántos

barriles de cada gasolina se deben producir, y por otro estamos

interesados en cuántos barriles de cada tipo crudo comprar. Sin

embargo, aún con estos datos el departamento encargado de la

producción debe decidir cómo se deben mezclar los crudos para

producir cada tipo de gasolina. Es decir, que las cantidades totales

de gasolina y de crudo no resuelven el problema de la producción.

Lo que sí resuelve el problema de la producción es decidir

exactamente cómo deben mezclarse los curdos comprados para

producir cada tipo de gasolina.



Así las variables de decisión deben ser

xi,j = cantidad de barriles del crudo i utilizados para producir gasolina j

Esto por un lado. Pero otra parte pendiente son las decisiones quedebe tomarse en publicidad. Y para ello debemos precisar cuántosdólares se debe invertir en la publicidad de cada tipo de gasolina:

yj = total de dólares aplicados en la publicidad de la gasolina j

Observemos que estas variables de decisión permiten determinarel total de barriles de cada tipo de crudo que debe comprarse y eltotal de barriles de cada tipo de gasolina se produce:■

∑3

i=1xi,j es el total de barriles de gasolina j a producir.

■∑

3

j=1xi,j es el total de barriles de crudo i en la producción.

■∑

3

i=1

∑3

j=1xi,j es el total de barriles de crudo a procesar (que

será el total de barriles de gasolina a producir).


Funci on objetivo

El objetivo de la empresa en maximizar las ganancias. Las ganancias serán lasventas menos los costos. Los costos en los que se incurre son los referentes a lamateria prima, a la transformación y a la publicidad.■ CT = Costo de transformación:

CT = 4 dólares/barril · (3∑

i=1

3∑

j=1

xi,j)

■ CMP = Costo de materia prima:

CMP = 45dólaresbarril

·

3∑

j=1

x1,j + 35dólaresbarril

·

3∑

j=1

x2,j + 25dólaresbarril

·

3∑

j=1

x3,j

■ V = Venta de crudo:

V = 70dólaresbarril

·

3∑

i=1

xi,1 + 60dólaresbarril

·

3∑

i=1

xi,1 + 50dólaresbarril

·

3∑

i=1

xi,1

■ P = Costo de publicidad:

P = y + y + y =

3∑y



Restricciones

En este problema las restricciones son de diferente tipo:■ La compañía tiene una capacidad instalada que no puede

exceder:3∑

i=1

3∑

j=1

xi,j ≤ 14, 000

■ Las compañías que proveen crudo tienen limitaciones; 5 milbarriles de cada curo están disponibles a lo más:

3∑

j=1

xi,j ≤ 5, 000 para i = 1, 2, 3



■ Para cada gasolina, la totalidad de gasolina producida equiparala demanda. Y por otro lado, la demanda será el resultado de lademanda natural más la inducida por publicidad:

3∑

i=1

xi,1 = 3, 000 + 10 y1

3∑

i=1

xi,2 = 2, 000 + 10 y2

3∑

i=1

xi,3 = 1, 000 + 10 y3

■ Cada gasolina producida tiene ciertos criterios de calidad acuidar: el porcentaje de azufre y el octanaje. Supongamos que secumple el principio de aditividad y el de proporcionalidad tantopara el octanaje como para el porcentaje de azufre. Así para lagasolina 1:◆ Azufre: en cada tipo de gasolina no se debe exceder el 1 %.

El total de gasolina 1:∑

3

i=1xi,1

Aporte de azufre por cada tipo de crudo: C1: 0.5 %, C2: 2.0 %

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