Ley de Ohm y Leyes de Kirchhoff en Corriente Alterna

Lambayeque

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICALEY DE OHM Y LEYES DE KIRCHHOFF

EN CORRIENTE ALTERNA

Llamamos corriente alterna a aquella corriente cuya intensidad es una función sinusoidal del tiempo, es decir, una corriente que periódicamente cambia de dirección y sentido; por tanto, no es posible asociar una dirección fija a la corriente en los circuitos de corriente alterna. La energía eléctrica que se obtiene de la red es alterna y de forma sinusoidal. Es el tipo de energía que proporcionan las máquinas generadoras de las centrales eléctricas.

La razón fundamental de que en la red se suministre corriente alterna en vez de continua se basa en que esta puede transformarse fácilmente (mediante transformadores) y reduce los costes de transporte y permite disponer fácilmente de diferentes valores de tensión según las aplicaciones. Puede transportarse a largas distancias a tensiones elevadas y corrientes bajas para reducir las pérdidas de energía en forma de calor por efecto Joule.

En este trabajo analizaremos las leyes de ohm y de kirchhoff en corriente alterna en su estado estable, pues es una extensión natural de los métodos vistos en corriente continua, bastará sustituir la resistencia por su equivalente en el caso de corriente alterna: la impedancia.

LEY DE OHM EN CORRIENTE ALTERNA

La ley de ohm para corriente alterna está definida de forma fasorial como:

Z=VI

o seaV=ZI

Donde Z es una cantidad dependiente de la frecuencia conocida como impedancia, medida en ohm.

La impedancia es una magnitud que establece la relación (cociente) entre la tensión y la intensidad de corriente. Tiene especial importancia si la corriente varía en el tiempo, en cuyo caso, ésta, la tensión y la propia impedancia se describen con números complejos o funciones del análisis armónico. Su módulo (a veces impropiamente llamado impedancia) establece la relación entre los valores máximos o los valores eficaces de la tensión y de la corriente. La parte real de la impedancia es la resistencia y su parte imaginaria es

LABORATORIO DE CIRCUITOS ELECTRICOS II 2

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICAla reactancia. El concepto de impedancia generaliza la ley de Ohm en el estudio de circuitos en corriente alterna (AC).

El término fue acuñado por Oliver Heaviside en 1886. En general, la solución para las corrientes y las tensiones de un circuito formado por resistencias, condensadores e inductancias y sin ningún componente de comportamiento no lineal, son soluciones de ecuaciones diferenciales. Pero, cuando todos los generadores de tensión y de corriente tienen la misma frecuencia constante y sus amplitudes son constantes, las soluciones en estado estacionario (cuando todos los fenómenos transitorios han desaparecido) son sinusoidales y todas las tensiones y corrientes tienen la misma frecuencia que los generadores y amplitud constante. La fase, sin embargo, se verá afectada por la parte compleja (reactancia) de la impedancia.

El formalismo de las impedancias consiste en unas pocas reglas que permiten calcular circuitos que contienen elementos resistivos, inductivos o capacitivos de manera similar al cálculo de circuitos resistivos en corriente continua. Esas reglas sólo son válidas en los casos siguientes:

Si estamos en régimen permanente con corriente alterna sinusoidal. Es decir, que todos los generadores de tensión y de corriente son sinusoidales y de la misma frecuencia, y que todos los fenómenos transitorios que pueden ocurrir al comienzo de la conexión se han atenuado y desaparecido completamente.

Si todos los componentes son lineales. Es decir, componentes o circuitos en los cuales la amplitud (o el valor eficaz) de la corriente es estrictamente proporcional a la tensión aplicada. Se excluyen los componentes no lineales como los diodos. Si el circuito contiene inductancias con núcleo ferro magnético (que no son lineales), los resultados de los cálculos sólo podrán ser aproximados y eso, a condición de respetar la zona de trabajo de las inductancias.

IMPEDANCIA COMPLEJA

Consideremos al circuito serie RL de la figura al que se le

aplica una tensión v (t )=V m e jωt según la fórmula de Euler,

esta función se descompone en un término en

seno y otro en coseno, V m cos (ωt )+V m sen(ωt) aplicando

la segunda ley de Kirchhoff a la malla o lazo tendremos:

Ri ( t )+ Ldi(t)

dt=V m e jωt

Esta ecuación diferencial lineal es de primer orden y su solución particular es de la forma

i (t )=K e jωt sustituyendo esta función de corriente resulta,


V m e jωt

i

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICARK e jωt+ jωLK e jωt=V m e jωt

De donde K=V m

R+ jωLe i ( t )=

V m

R+ jωLe jωt La relación entre las funciones de tensión e

intensidad de corriente pone de manifiesto que la impedancia es un numero complejo cuya parte real es el valor de R y cuya parte imaginaria es ωL:

Z=v (t)i(t )

=V m e jωt

V m

R+ jωLe jωt

=R+ jωL

Consideremos ahora un circuito serie RC con la misma tensión aplicada V m e jωt, como

indica la figura. En este caso,

Ri (t )+ 1C ∫ i (t ) dt=V m e jωt ………… ( I )

Haciendo i (t )=K e jωt y sustituyendo en ( I ) resulta,

RK e jωt+ 1jωC

K e jωt=V me jωt

De donde K=

V m

R+1/ jωC=

V m

R− j( 1ωC

)e i (t )=

V m

R− j( 1ωC

)e jωt

Por tanto,

Z=V m e jωt

V m

R− j(1

ωC)e jωt

=R− j( 1ωC

)

Una vez más observamos como la impedancia es un numero complejo cuya parte real es el valor de R y cuya parte imaginaria es, en este caso, −1/ωC .Todo esto indica que los elementos de un circuito se pueden expresar mediante su impedancia compleja Z, la cual se puede situar directamente sobre el diagrama del circuito, como indica la figura.LABORATORIO DE CIRCUITOS ELECTRICOS II 4

V m e jωt

Z Z

jωL− j( 1

ωC)

Z

Z

R

R

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICAAhora bien, como la impedancia es un numero complejo se podrá representar por un punto en el plano complejo. Además, como la resistencia óhmica no puede ser negativa, solo se precisan el primero y el cuarto cuadrante. La representación grafica correspondiente se llama diagrama de impedancias.

La resistencia R corresponde a un punto sobre el eje real positivo. Una inductancia o reactancia inductiva X L se representara por un punto del eje imaginario positivo, mientras

que una capacitancia o reactancia capacitiva XC estará representada por un punto sobre el eje imaginario negativo. En general, una impedancia compleja Z se encontrara sobre el

primero o el cuarto cuadrante, según lo dicho, entre ±90° o bien ±𝜋/2 radianes.

NOTACIÓN FASORIAL

Consideremos una función de tensión general v (t )=V m e j (ωt+α ), siendo α la fase inicial de

la misma es decir, en el instante inicial t=0. Apliquemos esta tensión a un circuito de

impedancia Z=z e jθ ,(−π2

≤ θ ≤π2). En estas condiciones, la intensidad de corriente viene

dada por:

V m e j(ωt +α)

z e jθ =(V m

z )e j ( ωt+α−θ )=I m e j( ωt+α−θ ), es decir,

I m e j (ωt +α−θ)=V m e j(ωt +α)

z e jθ (1)

Esta ecuación pertenece al dominio del tiempo, ya que este aparece explícitamente en las expresiones de la corriente y de la tensión. A continuación, vamos a hacer dos cambios en dicha ecuación para representar los fasores. En primer lugar, multipliquemos la igualdad pore− jωt para eliminar el tiempo. Después, multipliquemos por 1/√2 para obtener los valores eficaces de corriente y tensión.

e− jωt

√2(I¿¿m e j (ωt +α−θ ))=

e− jωt

√2 (V m e j (ωt +α )

z e jθ )¿LABORATORIO DE CIRCUITOS ELECTRICOS II 5

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICAI m

√2e j (α−θ )¿=

V m

√2∗e jα

z e jθ (2)

I∠ α−θ=V∠ αZ∠θ

(3)

I=VZ

(4)

La ecuación (2) es la transformada de la anterior al dominio de la frecuencia. En ella no aparece el tiempo. Sin embargo, la variación con el tiempo de la ecuación (1) está bien clara. En la expresión (3), los símbolos V e I sin subíndices indican los valores eficaces de la tensión e intensidad de corrientes respectivamente. La expresión (4) relaciona, pues, las magnitudes complejas I, V y Z y como tales deben considerarse, esto es, con su modulo y su argumento. Esta ultima formula es el equivalente fasorial de la ley de Ohm que, a veces, se llama forma compleja, o forma vectorial de la ley de Ohm.

LEYES DE KIRCHHOFF EN EL DOMINIO FRECUENCIAL (CORRIENTE ALTERNA)

LEY DE VOLTAJE DE KIRCHHOFF EN C.A.

Las fuentes de tensión en un circuito eléctrico originan unas corrientes en las ramas que, a su vez, da lugar a unas caídas de tensión en los componentes de las mismas. Resolver un circuito consiste en hallar las intensidades, con su sentido de circulación, en cada una de aquellas ramas o bien determinar las caídas de tensión en cada uno de dichos componentes.

MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR LAS CORRIENTES DE MALLA

Para aplicar este método se eligen, en primer lugar, lazos cerrados o malla, asignándoles una corriente eléctrica. Estos lazos o mallas se llaman corrientes cíclicas de Maxwell o simplemente, corrientes de mallas, como se representa en la Fig. 1. Acto seguido, se escriben las ecuaciones de la segunda ley de kirchhoff para cada malla tomando las intensidades de aquellas corrientes como variables desconocidas, I1, I2, I3, en el ejemplo, y se resuelve el sistema de ecuaciones así formado. Las corrientes en cada malla se hallan mediante la primera ley de kirchhoff y es o bien una corriente de malla (caso en que la rama solo pertenezca a una malla).


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Por ejemplo, la corriente en elemento ZA es I1, y la corriente en ZB es I1-I2 si I1 es mayor que I2 o bien I2-I1 en caso contrario (el sentido de la circulación es el correspondiente a la mayor intensidad de las dos mallas contiguas). La caída de tensión en un elemento cualquiera del circuito es el producto de la impedancia compleja del mismo por fasor intensidad de la corriente que lo atraviesa (el borde del elemento por donde entra la flecha del sentido de la intensidad esta a mas tensión que por donde sale).

Vamos a obtener el sistema de ecuaciones del circuito de tres mallas independientes de la Fig.1 aplicando a cada malla la segunda ley de kirchhoff. En la Fig. 2 aparece la primera malla aislada y se ha de verificar que la suma de las fuerzas electromotrices o subidas de tensión es igual a la suma de las caídas de tensión.

ZA . I 1+ZB . ( I 1−I 2 )=V A (1)

La segunda malla no contiene fuente de tensión alguna, por lo tanto, la suma de las caídas de tensión a lo largo de ella es cero.

ZC . I 2+ZD . ( I 2+ I 3 )+ZB . (I 2−I 1 )=0(2)

Para la tercera malla tendremos,

ZE . I 3+ZD . (I 3+ I 2 )=VB(3)

Es decir:

( ZA+ZB ) . I 1−ZB . I 2=VA (I )

−ZB . I 1+( ZB+ZC+ZD ) . I 2+ZD . I 3=0 ( II )

ZD. I 2+( ZD+ZE ) . I 3=VB(III )

Este sistema de ecuaciones se puede obtener directamente, para ello, consideremos la primera malla, que aparece en la Fig. 2 la corriente I 1 tiene el sentido de las agujas del reloj y las caídas de tensión en todos los elementos de esta malla son todas positivas. Ahora bien, por ZB también circula la corriente I 2 de la segunda malla, pero con sentido opuesto LABORATORIO DE CIRCUITOS ELECTRICOS II 7

Fig. 1

Fig.2

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICAa I 1 por tanto, la caída de tensión en ZB debida a I 2 es –ZBI 2.La caída de tensión VA es positiva POR tener el mismo sentido que I 1. En estas condiciones, aplicando la segunda ley de kirchhoff a la primera malla se obtiene la ecuación ( I). Análogamente resultan las ecuaciones ( II ) y (III ).

Los términos caída y subida de tensión son más propios de los circuitos de corriente continua (c.c.) en los que significado es más claro que en los de corriente alterna (c.a), en donde los valores instantáneos de tensión y de intensidad de corriente son unas veces positivos y otros negativos. La segunda ley de kirchhoff en régimen permanente senoidal aplicada a una malla o lazo cerrado dice: la suma geométrica de los fasores de tensión de las fuentes activas de la malla es igual a la suma geométrica de los fasores de las caídas de tensión en las impedancias de mallas.

ELECCIÓN DE LAS MALLAS

La solución de un circuito por el método de las corrientes de mallas se simplifica extraordinariamente eligiendo bien las mallas a considerar. Por ejemplo, supongamos que en circuito de la Fig.1 solo es necesario conocer la corriente que circula por la impedancia ZB; lomas cómodo será resolver el problema de forma que por ZB no circule más que una corriente de malla, es decir, es decir que dicha impedancia no pertenezca mas a una malla. En estas condiciones, solo habrá que determinar el valor de la corriente de la malla I 1 en la Fig.3 se pueden obtener las nuevas mallas elegidas.

El sistema de ecuaciones correspondientes a la elección de mallas es:

( ZA+ZB ) . I 1+ZA . I 2=VA

ZA . I 1+(ZA+ZC+ZD ) . I 2+ZD . I 3=VA

ZD. I 2+( ZD+ZE ) . I 3=VB

En cualquier caso, por cada elemento del circuito debe circular al menos una corriente de malla y no tiene por qué haber dos ramas con la misma corriente o igual combinación algebraica de corrientes. En el párrafo siguiente vamos a ver el criterio que permite saber el LABORATORIO DE CIRCUITOS ELECTRICOS II 8

Fig.3

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICAnúmero mínimo de mallas independientes para resolver un circuito. Si el numero de mallas que se adopta es menor que el necesario, el sistema de ecuación no es válido.

NUMERO MÍNIMO DE MALLAS INDEPENDIENTES

Si el circuito es plano y sencillo, el número de mallas necesario se deduce fácilmente a simple vista. Para circuitos más complejos es preciso tener algún criterio que proporcione el número de ecuaciones linealmente independiente, necesario para resolver el circuito en cuestión.

Fig. 4 un circuito, su grafo y su árbol.

En la fig. 4 (b) se presenta el grafo del circuito que figura a su izquierda, (a) los nudos se han sustituido por círculos pequeños y las ramas por las líneas. La fig.4(c) muestra un posible árbol del grafo que solo contiene ramas que no forman malla o lazo cerrado, sin embargo, este árbol no es único, las líneas de trazo continuo se llaman ramas de árbol y las de trazos ramas de enlace. Cada una de las ramas de enlace forma una malla única con las ramas del árbol. El número de mallas necesario de un circuito es igual al número de mallas de enlace. En el ejemplo que consideramos, este número es cuatro.

Se llega al mismo resultado anterior haciendo unos cortes en las ramas del circuito de manera que cada uno de ellos abra una malla. Cuando no quede ninguna malla sin abrir, el número de cortes efectuados es el número de mallas independientes a considerar.

Otro criterio consiste en contar el número de ramas y el de nudos del circuito. El número de mallas o lo que es igual, el de ecuaciones del sistema es:

Numero de ecuaciones = numero de ramas – (numero de nudos -1)

Por ejemplo, en el circuito de la fig. 4 (a) hay siete ramas y cuatro nudos. El numero de mallas independientes es 7- (4 - 1) = 4, como ya hemos visto.


(b) (c)

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA PLANTEAMIENTO DIRECTO DEL SISTEMA DE ECUACIONES DE MALLAS

Las ecuaciones correspondientes a un circuito de tres mallas son, en notación general,

± Z11I1 ± Z12I2 ± Z13I3 = V1

± Z21I1 ± Z22I2 ± Z23I3 = V2

± Z31I1 ± Z32I2 ± Z33I3 = V3

El coeficiente Z11 se llama impedancia propia de la malla uno y es la suma de todas las impedancias del lazo por las que circula la corriente de intensidad I1. Los coeficientes Z22 y Z33 son las impedancias de las mallas dos y tres respectivamente.

El coeficiente Z12 se llama copedancia de las mallas unos y dos y es la suma de las impedancias comunes a los dos lazos, uno y dos, por los que circulan las corrientes de intensidades I1 e I2 , respectivamente. Es evidente que Z12 = Z21. Los coeficientes Z13 = Z31,

Z23 = Z32 son, análoga y respectivamente, las copedancias de las mallas uno y tres, y dos y tres, el signo de las copedancias es positivo o negativo. Según que las dos corrientes de malla sean del mismo sentido o de sentidos contarios.

El termino independiente V1 es la suma algebraica de las tensiones de las fuentes de la malla uno. Cada tensión de fuente se considera con un signo que es positivo si el sentido de la corriente que produce, del polo negativo al positivo, coincide con el de la corriente de malla, y negativo en caso contrario. Los términos independientes V2 y V3 son las sumas algebraicas de las tensiones de las fuentes de las mallas dos y tres, respectivamente.

IMPEDANCIA DE ENTRADA

Consideremos un circuito de elementos pasivos con dos terminales, como indica la fig. 9-6 sea I1 la intensidad de la corriente que resulta al aplicar una tensión V1. Como no existen otras fuentes en el circuito, la ecuación de la corriente de la malla I1 es

I 1=V 1(∆11

∆ z)+V 2(∆21

∆ z)+V 3(∆31

∆ z)+…=V 1(∆11

∆z)

La impedancia de entrada es la relación entre la tensión aplicada V1 y la intensidad de corriente I1 a que da lugar. Es decir,


UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICAZentrada1=

V 1

I 1

=∆ z

∆11

La impedancia de entrada de un circuito con elementos activos se define como al impedancia que presenta en sus terminales de entrada cuando todas sus fuentes de tensión están en cortocircuitados conservando, eso sí, su propia impedancia interna. Por consiguiente, la relación ∆ z /∆11 representa la impedancia de entrada tanto de un circuito activo como de un pasivo.

IMPEDANCIA DE TRANSFERENCIA

Una fuente de tensión es una malla de un circuito produce una corriente en cada una de las otras mallas del mismo. La impedancia de trasferencia es la relación entre la tensión aplicada en una malla y la intensidad de la corriente que resulta en otra malla, anulando el resto de las fuentes.

Consideremos el circuito de la fig. 9-7 con una fuente de tensión V r en la malla r y la

intensidad I s de la corriente a que da lugar en la malla s. Entonces,

I s=(0 )(∆1 s

∆z)+…+V r( ∆rs

∆ z)+…=V 1(∆ns

∆ z)=V r(∆rs

∆z)

Con lo que Z transferenciars=V r

I s

=∆ z

∆ rs

El doble subíndice rs de esta impedancia indica el sentido de la acción, es decir, la fuente está en la malla r y la intensidad a considerar es la que aparece en la malla s. el determinante del denominador es el adjunto del elemento del elemento que ocupa el lugar rs, ∆ rs , con los mismos subíndices que la impedancia de transferencia


UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICAEjemplo.

Hallar las tensiones V AB y V BC en el circuito de la figura 9-16

El sistema de ecuaciones de malla, escrito en forma matricial, es

[3+ j 14 − j 10− j10 0 ][ I 1

I 2]=[1000 ]

De donde

I 1=[100 − j 10

0 0 ][3+ j 14 − j 10− j10 0 ]

= 0100

=0

I 2=[3+ j 14 100− j 10 0 ]

∆ z

=1000100

=10

Por tanto

V AB=I 1 (3+ j 4 )=0 y V BC=I2 ( – j10 )=10 (10 )=100

La suma (V AB+V BC )=100 que es el valor del fasor aplicado.


UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA LEY DE CORRIENTE DE KIRCHHOFF EN C.A.

Mediante la elección de lazos cerrados o mallas y la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff, se ha establecido el método de las corrientes de malla para la solución de los problemas de circuitos. En este apartado se llega a la misma solución planteando un sistema de ecuaciones determinado por la aplicación de la primera ley de Kirchhoff. Este método se llama Método de las tensiones en los nudos.

TENSIONES EN LOS NUDOS

Un nudo es un punto de un circuito común a dos o más elementos del mismo. Si en un nudo se unen tres o más elementos, tal nudo se llama nudo principal o conjunción. A cada nudo del circuito se le puede asignar un número o una letra. En la Fig.1 Son nudos A, B, 1, 2, 3 y 1, 2 y 3 son nudos principales. La tensión en un nudo es la tensión de este nudo respecto de otro, denominado nudo de referencia. En la Fig.1 Se ha elegido el nudo 3 como nudo de referencia. Entonces V13 es la tensión entre los nudos 1 y 3, y V23 la tensión entre los nudos 2 y 3. Como quiera que las tensiones en los nudos se toman siempre respecto de un nudo de referencia dado, se emplea la notación V1 en lugar de V13 y V2 en lugar de V23.

El método de las tensiones en los nudos consiste en determinar las tensiones en todos los nudos principales respecto del nudo de referencia. La primera ley de kirchhoff se aplica a los nudos principales 1 y 2, obteniéndose así dos ecuaciones en las incógnitas V 1 y V2. En la Fig.2 se ha dibujado nuevamente el nodo 1 con todas sus ramas de conexión. Se supone


UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICAque todas las corrientes en las ramas salen del nudo. Como la suma de las corrientes que salen del nudo es cero:

V 1−VmZa

+V 1Zb

+ V 1−V 2Zc

=0 Ec(1)

Al establecer la Ecuación (1) la elección de los sentidos de las corrientes es arbitraria.

Fig. 2 Fig. 3

Repitiendo el mismo proceso con el nudo 2 la ecuación que resulta es:

V 2−V 1Zc

+ V 2Zd

+ V 2+VnZe

=0

Agrupando en (1) y (2) los términos en V1 y V2 , se obtiene el sistema de ecuaciones:

( 1Za

+ 1Zb

+ 1Zc

)V 1−( 1Zc

)V 2=( 1Za

)V m

−( 1Zc

)V 1+( 1Zc

+ 1Zd

+ 1Ze

)V 2=−( 1Ze

)V n

Teniendo en cuenta que 1/Z =Y, se puede escribir el sistema (3) en función de las admitancias

(Y a+Y b+Y c)V 1−Y c V 2=Y a V m

−Y c V 1+(Y ¿¿c+Y d+Y e)V 2=−Y e V n ¿

NÚMERO DE ECUACIONES DE TENSIONES EN LOS NUDOS


UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICASe pueden escribir ecuaciones para cada uno de los nudos principales con la excepción del de referencia. En consecuencia, el número de ecuaciones es igual al de nudos principales menos uno. Disponiendo del método de las corrientes de malla y del de las tensiones en los nudos. La elección de uno u otro en cada caso particular depende de la configuración del circuito. En un circuito con muchas ramas en paralelo hay, normalmente, muchos más lazos que nudos, exigiendo menos ecuaciones, por tanto, de nudos para resolverlo. En otros casos, puede haber el mismo número de mallas que de nudos o haber menos mallas que nudos. En todo caso debe elegirse siempre el método que dé menor número de ecuaciones.

PLANTEAMIENTO DIRECTO DEL SISTEMA DE ECUACIONES DE NUDOS

Un circuito con cuatro nudos principales exige para su solución tres ecuacuones nodales. En notacion general el sitema es:

Y 11 V 1+Y 12V 2+Y 13V 3=I 1

Y 21V 1+Y 22 V 2+Y 23V 3=I 2

Y 31V 1+Y 32V 2+Y 33V 3=I 3

El coeficiente Y 11 se llama admitancia propia del nudo 1 y es la suma de todas las

admitancias conectadas al nudo 1. De igual forma, Y 22 y Y 33 son las admitancias de los nudos 2 y 3 respectivamente iguales a la suma de las admitancias conectadas a los nudos 2 y 3.

El coeficiente Y 12 es la coadmitancia de los nudos 1 y 2 y es la suma de todas las

admitancias que unen ambos nudos. Y 12 tiene signo negativo, como puede verse en

la primera de las ecuaciones. De igual forma, Y 23 e Y 13 son las coadmitancias de los elementos que unen los nudos 2 y 3, 1 y 3 , respectivamente. Todas las coadmitancias tienen signo negativo. Observese que Y 13=Y 31, Y 23=Y 32.

La intensidad I1 es la suma de todas las corrientes de fuentes que pasan por el nudo 1. Una corriente que entra en el nudo tiene signo positivo; a la que sale del nudo se le asigan el negativo. Las intensidades I2 e I3, son las sumas de las corrientes que pasan por los nudos 2 y 3, respectivamente.

Por analogía con la notación matricial para las ecuaciones de las corrientes de malla las tres escuaciones nodales pueden escribirse en la forma:


UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA[Y 11 Y 12 Y 13

Y 21 Y 22 Y 23

Y 31 Y 32 Y 33][V 1

V 2

V 3]=[ I1

I2

I3]

Las tensiones en los nudos V1, V2 y V3 vienen dadas por:

V 1=|I 1 Y 12 Y 13

I 2 Y 22 Y 23

I 3 Y 32 Y 33|

∆ δ

V 2=

|Y 11 I 1 Y 13

Y 21 I 2 Y 23

Y 31 I 3 Y 33|

∆ δ

V 3=

|Y 11 Y 12 I 1

Y 21 Y 22 I 2

Y 31 Y 32 I 3|

∆ δ

Si el determinante numerador de cada una de las fracciones se desarrolla por los elementos de la columna que contiene las corrientes, se obtienen para las tensiones en los nudos las ecuaciones siguientes:

V1=¿ I1(

∆11∆δ

)+ I2(∆21∆δ

)+ I3 (∆31∆ δ

)¿

V2=¿ I1(

∆12∆ δ

)+ I2 (∆22∆δ

)+I3 (∆32∆δ

)¿

V3=¿ I1(

∆13∆ δ

)+I2 (∆23∆δ

)+ I3(∆33∆δ

)¿

ADMITANCIA DE ENTRADA

Consideremos un circuito pasivo con dos terminales externos, como en la figura. La fuente de intensidad I 1 envía la corriente por el nodo 1 y se supone que las posibles admitancias en paralelo de la fuente están incluidas en el circuito.

Como no hay mas fuentes de intensidad en el circuito, la ecuación de V 1 es

V 1=I 1( ∆1 1

∆Y)

La admitancia de entrada,Y entrada, se define como el cociente de la intensidad de corriente que circula procedente de una fuente única existente entre dos nodos y la caída de tensión correspondiente entre ambos. De la expresión anterior, por tanto,LABORATORIO DE CIRCUITOS ELECTRICOS II 16

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICAY entrada1=

I 1

V 1

=∆Y

∆11

En un circuito activo, la admitancia de entrada se define como la admitancia que presenta el circuito en los terminales dados cuando todas las fuentes internas se hacen iguales a cero. Entonces,

V 1=I 1(∆1 1

∆Y)+(0 )( ∆2 1

∆Y)+(0 )(∆3 1

∆Y)+…=I 1(∆1 1

∆Y)

O bien

Y entrada1=I 1

V 1

=∆Y

∆11

Por tanto la definición de V entrada se mantiene tanto para un circuito pasivo como para uno activo.

ADMITANCIA DE TRANSFERENCIA

Una corriente que circula por un nodo en un circuito da lugar a tensiones en todos los nodos con respecto al de referencia. La admitancia de transferencia es el cociente de la corriente que entra en un nodo a la tensión resultante en otro nodo, haciéndose iguales a cero todas las demás fuentes.

En el circuito de la Figura, I es la intensidad de corriente que entra en el nodo r y la tensión resultante en el nodo s viene dada por

V 1' =(0 )(∆1 s

∆Y)+…+ I r(∆r s

∆Y)+…+ (0 )(∆ s s

∆Y)=I r (∆r s

∆Y)

Entonces,

Y transferencia rs=I r

V s

=∆Y

∆r s


UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICAObsérvese que el punto de retorno de la corriente de entrada se ha elegido como nodo de referencia. Esto es preciso hacerlo porque de otra forma la corriente aparecería en más de un término en la ecuación de V s y la definición de Y transferencia no será válida.

Utilizando las admitancias de entrada y transferencia, se obtiene el sistema de ecuaciones siguientes para V 1 , V 2 ,V 3 de un circuito de cuatro nodos principales:

V 1=I 1

Y entrada 1

+I 2

Y transferencia 21

+I3

Y transferencia 31

V 2=I 1

Y transferencia 12

+I2

Y entrada 2

+I 3

Y transferencia 32

V 1=I 1

Y transferencia 13

+I2

Y transferencia 23

+I 3

Y entrada 3

Si solo actúa una fuente de intensidad de la red, con todas las demás hechas iguales a cero, son evidentes las definiciones de las admitancias de entrada y transferencia.

EJEMPLO

Hallar la tensión V AB en el circuito de la Figura.

Las ecuaciones de los nodos son:

En el nodo 1: 10∠0 °=(V 1−V 2)/2+V 1/(3+ j4 )

En el nodo 2: (V 2−V 1)/2+V 2/ j 5+V 2/ j 10=0

Agrupando términos,


UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA( 1

2+ 1

3+ j 4 )V 1−12

V 2=10∠0 °

−12

V 1+( 12+ 1

j5+ 1

j10 )V 2=0

Y

V 1=|10∠0 ° −0 .5

0 (0 .5− j 0 .3)||(0 .62− j 0 .16) −0 .5

−0 .5 (0. 5− j 0 .3)|= 5 .83∠−31 °

0 . 267∠−87 .42°=21 .8∠56 .42°

V 2=|(0 . 62− j 0 . 16) 10∠0 °

−0 . 5 0 |∆Y

= 5∠0 °0 .267∠−87 . 42 °

=18 .7∠87 . 42°

V 2 es la tensión de A respecto de la referencia. Como I B=V 1/(3+ j 4), la tensión V B,

respecto de la referencia es

V B=V 1

(3+ j 4 )( j 4 )=21 .8∠56 . 42°

(3+ j 4 )( j 4 )=17 . 45∠93 .32 °

Con lo que la tensión en V AB pedida es

V AB=V A−V B=(18 . 7∠87 . 42 ° )−(17 . 45∠93 . 32° )=2 .23∠34 . 1 °


Ley de Ohm y Leyes de Kirchhoff en Corriente Alterna

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