Lenguaje cotidiano y lenguaje matematico

Proposiciones matematicas.

Una proposicion matematica es una afirmacion que se refiere a objetos ya intro-ducidos o definidos y que es verdadera o falsa (es decir, que tiene necesariamenteuno de los dos valores posibles V o F).

1. Para cada uno de los siguientes apartados, decide cuales son proposiciones ma-tematicas y por que.

a) 2 + 3 = 5

b) 2 + 3

c) El numero 2 es un numero par

d) 3 + n + n2

e) sen π2

< sen π4

f ) Para cada angulo t se tiene sen2 t + cos2 t = 1

g) ax2 + bx + c = 0

h) Existen a, b ∈ R tales que para todo x ∈ R se tiene que ax2 + bx + c = 0

2. ¿Cuales de las siguientes proposiciones matematicas son verdaderas?

a) La raız cuadrada de cualquier numero entero es un numero real no negativo.

b) Existe un angulo t tal que sen t = cos t.

c) (*) Si x < 1, entonces x2 < 1

Conectores logicos

El conector /O/ y el conector /Y/

A continuacion escribimos la tabla de verdad para la conjuncion /A y B/ yotra para la disyuncion /A o B/. Es decir, establecemos la verdad o falsedadde ambas proposiciones segun la verdad o falsedad de la proposicion A y de laproposicion B. La conjuncion /y/ se denota con el sımbolo ∧. La disyuncion /o/se denota con el sımbolo ∨.

A B A ∧BV V VV F FF V FF F F

A B A ∨BV V VV F VF V VF F F

3. Explica la posible distincion del lenguaje natural entre las dos frases siguientes:a) /Ire y lo hare/. b) /Lo hare e ire./

1

4. Explica el significado de esta frase, que se lee en la librerıa de la Universidad.

/Nuestros clientes en posesion de carnet de estudiante o empleado de la univer-sidad tendran derecho al 15 % de descuento./

Marta y Javier necesitan un medicamento. Un amigo dice a Javier: Si conse-guimos un casco, puedo llevaros a una farmacia en mi moto o bien aMarta o bien a ti. Observa que este uso de la disyuncion sı es excluyente.

5. Una nina se empena en que su padre la lleve el domingo por la manana al parquede atracciones y por la tarde al cine de su barrio. El padre le dice /No. Saldremospor la tarde e iremos al cine o al parque de atracciones./ Explica lo que el padrequiere decir con toda claridad. ¿Tiene este /o/ el mismo significado que en elejercicio anterior? ¿A cual de los dos significados se acerca el del /o/ de lasmatematicas?

6. Julia dice: /Pedı que vinieran o bien Elena o bien Luis./ Han venido Elena yLuis. ¿Se cumplio la peticion?

7. (*) Pepe dice: /Ordene que viniera Pedro o Juan./ Han venido Pedro y Juan. ¿Secumplio la orden?

8. ¿Es correcto decir en el lenguaje matematico /3 es menor o igual que 5/? ¿Escorrecto decir /5 es menor o igual que 5/?

9. Completa la siguiente tabla de verdad.

A B C A ∧ (B ∨ C) (A ∧B) ∨ (A ∧ C)V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F FF F V

/NO/

La tabla de verdad del conector /no/, que denotamos con ¬, es la siguiente:

A ¬AV FF V

2

10. Escribe la negacion de las frases siguientes:

a) /Su madre es profesora y doctora en Quımica./

b) /Javier tiene en su casa un huron o una nutria./

c) /Todos mis amigos son aficionados al baloncesto./

11. Completa las siguientes tablas de verdad:

A B ¬(A ∧B) ¬A ∨ ¬BV VV FF VF F

A B ¬(A ∨B) ¬A ∧ ¬BV VV FF VF F

12. (*) Construye una frase sencilla y clara equivalente a la siguiente:

/No es cierto que se preparara las matematicas de la prueba de acceso y el teoricode conducir durante la tarde del sabado./

13. Construye una frase sencilla equivalente a

/No es verdad que tu seas cordobes ni que tu padre sea segoviano./

Sobre la proposicion /Si A entonces B/.

Una de las situaciones que mas aparecen en Matematicas es demostrar que escierta la afirmacion /Si A entonces B/, a veces escrita A ⇒ B y leıda ”A implicaB”. A continuacion escribimos la tabla de verdad sobre esta implicacion.

A B A ⇒ BV V VV F FF V VF F V

14. Dijo: /Voy al Banco. Si esta abierto traigo 60 euros./

Viene con 60 euros. ¿Que deduces?

Viene sin un euro. ¿Que deduces?

15. Examina la frase: /Si Miguel me invita a su casa, voy./

Miguel no me invita y voy.

Miguel me invita y no voy.

¿Que piensas de ambas situaciones? ¿Son coherentes con la primera frase?

3

16. (*) /Si el Granada no gana el partido el domingo, Pepe sera muy infeliz./

Tras la victoria del Granada, encontramos a Pepe totalmente infeliz. La verdadde esta proposicion, ¿es compatible con esta situacion?

17. Quieres demostrar que /A implica B/ es falso. ¿Como procederıas?

a) Demostrando que B es falso.

b) Demostrando que A es falso.

c) Demostrando que B es falso y que A es verdadero.

d) Demostrando que B es verdadero y que A es falso.

e) Demostrando que B es falso y que A es falso.

18. Para cada una de las proposiciones siguientes identifica cual es la hipotesis y cualla tesis o conclusion.

a) Si el triangulo rectangulo ABC, de lados a, b, c, siendo a la hipotenusa, es

tal que su area esa2

4, entonces el triangulo ABC es isosceles.

b) Si n es un numero entero entonces n2 es un numero entero.

c) (*) Si a, b, c, d, e, f son numeros reales con la propiedad ad − bc 6= 0, en-tonces el sistema de ecuaciones {ax + by = e, cx + dy = f} tiene una unicasolucion.

d) La suma de los n primeros enteros positivos esn(n + 1)

2.

e) Si r es un numero real y satisface r2 = 2 entonces r es irracional.

f ) Si p y q son reales positivos que verifican√

pq =p + q

2, entonces p = q.

g) (*) Si x es un numero real, el valor mınimo de x(x−1) es mayor o igual que−1/4.

19. (*) Tu tarea es demostrar que /A implica B/ es verdadera y sabes que B es falso.¿Que trataras de demostrar y por que?

a) Que A es verdadero.

b) Que A es falso.

20. Consideremos la siguiente afirmacion /Si n − 1 es multiplo de 3, tambien lo esn2 − 1./

a) Estudia que ocurre cuando n = 4, n = 5 y n = 6.

b) ¿Puede ser cierta la afirmacion anterior?

21. Completa la siguiente tabla de verdad y comparala con la tabla de la implicacion.

4

A B ¬A ∨B ¬B ⇒ ¬AV VV FF VF F

Equivalencias

22. (*) Supongamos que n es un numero natural. Decide si la proposicion /n2 es parsi y solo si n es par/ es verdadera o es falsa. Justifica tu respuesta.

23. Supongamos que r es un numero real. La proposicion /r2 es racional si y solo sies r es racional/ ¿es verdadera o es falsa? Demuestralo.

24. Sean A y B dos matrices 2 × 2. ¿Es cierto que AB = A2 si y solo si A = B?Justifica tu respuesta.

25. Sea a un numero real. Decide si la condicion a2 < a es a) suficiente, b)necesaria, c) necesaria y suficiente ... para que a3 < a2. ¿Por que?

26. Decide si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) La condicion necesaria y suficiente para que dos rectas de R3 se corten enun punto es que sean coplanarias.

b) Si dos planos π1 y π2 son perpendiculares, entonces la direccion de todarecta contenida en π1 es perpendicular a la de toda recta contenida en π2.

c) Si la recta r es perpendicular al plano π, entonces la direccion de r esperpendicular a la de toda recta contenida en π.

d) Si los planos π1 y π2 se cortan a lo largo de una recta, entonces no existenrectas paralelas r1 ⊂ π1 y r2 ⊂ π2.

27. Se consideran dos numeros reales a y b. Marca cada casilla del siguiente cuadrocon un numero del 1 al 5, de acuerdo con el convenio que se indica al final:

a + b ∈ Q a + b /∈ Q ab ∈ Q ab /∈ Qa ∈ Q, b ∈ Qa ∈ Q, b /∈ Qa /∈ Q, b /∈ Q

[1] La condicion de la izquierda es suficiente para la condicion de arriba.

[2] La condicion de la izquierda hace que la de arriba se cumpla solo si a = 0.

[3] La condicion de la izquierda hace que la condicion de arriba nunca se cumpla.

[4] La condicion de la izquierda es suficiente para la condicion de arriba si a 6= 0.

[5] La condicion de la izquierda hace que la condicion de arriba se cumpla enalgunos casos particulares, pero no en otros.

5

28. X e Y son matrices n × n y 0 es la matriz nula de orden n. Se consideran lasafirmaciones A y B:

A: / XY–YX=0 / y B: /X=0 o Y=0 /,

Decide si se tiene alguna de las situaciones siguientes:

a) A es suficiente para B pero no necesario.

b) A es necesario para B pero no suficiente.

c) A y B son equivalentes.

Cuantificadores logicos, sus concatenaciones y sus negaciones

29. Sean P el conjunto de los programas de radio y D el conjunto de todos los dıas delano. Escribe, utilizando los cuantificadores logicos ∀ (para todo, para cada) y∃ (existe, para algun), cada una de las frases siguientes:

a) Cada dıa oigo algun programa en la radio.

b) Hay un programa en la radio que oigo todos los dıas.

c) Algun dıa oigo algun programa en la radio.

30. Sean M el conjunto de todas las personas de una cierta ciudad, P el conjunto detodos los periodicos que se publican en esa ciudad y D el conjunto de todos losdıas del ano. Escribe, utilizando los cuantificadores logicos ∀ y ∃, cada una de lassiguientes afirmaciones entre barras:

a) /Alguien habra que cada dıa compre todos los periodicos./

b) /Alguien habra cada dıa que compre todos los periodicos./

c) (*) Esta ciudad es muy instruida. Aquı /cada uno compra algun periodicocada dıa./

d) /Cada dıa hay algun periodico que todo el mundo compra./

e) (*) Somos poco aficionados a la prensa en este pueblo, pero al menos /todoslos dıas hay alguien que compra algun periodico./

f ) Es una ciudad de maniaticos. /Todos compran todos los periodicos cadadıa./

g) (*) Aquı sı que somos ajenos a la prensa, pero al menos /hubo un dıa enque alguien compro algun periodico./

h) Esta ciudad esta dominada por un diario. /Todo el mundo lo compra todoslos dıas./

i) Aquı todos somos muy fieles. /Cada uno compra siempre el mismo periodi-co/, el suyo de toda la vida.

6

j ) Fue tal el noticion que /aquel dıa todo el mundo compro todos y cada unode los periodicos./

k) ”La Ciudad”se llevo la exclusiva y ası /este dıa hubo un periodico que fuecomprado por todo el mundo./

31. Sea N el conjunto de los numeros naturales. ¿Es cierta la siguiente afirmacion?

/Para cada elemento n del conjunto N, existe un numero real M tal que n < M/.

¿Hay alguna diferencia entre la anterior afirmacion y la siguiente?

/Existe un numero real M tal que para cada elemento n del conjunto N, se verifican < M/.

32. (*) Escribir con cuantificadores y decidir si son verdaderas o falsas las siguientesproposiciones:

a) Para cada numero real x con 0 ≤ x ≤ 1, existe un numero real y con0 ≤ y ≤ 1 tal que x + y = 1.

b) Existe un numero real y con 0 ≤ y ≤ 1 tal que, para cada numero real xcon 0 ≤ x ≤ 1, se verifica que x + y = 1.

33. Explica si en cada uno de los siguientes pares de proposiciones a y b son las dosverdaderas, las dos falsas o una verdadera y otra falsa:

(*) a) 1) Para cada numero real x con 0 ≤ x ≤ 1 y cada numero real y con0 ≤ y ≤ 2, se verifica 2x2 + y2 ≤ 6.

2) Para cada numero real y con 0 ≤ y ≤ 2 y cada numero real x con0 ≤ x ≤ 1, se verifica 2x2 + y2 ≤ 6.

b) 1) Para cada numero real x con 0 ≤ x ≤ 1 y cada numero real y con0 ≤ y ≤ 2x, se verifica 2x2 + y2 ≤ 6.

2) Para cada numero real y con 0 ≤ y ≤ 1 y cada numero real x con0 ≤ x ≤ 2y, se verifica 2x2 + y2 ≤ 6.

En los siguientes ejercicios se te pide que niegues la proposicion P , es decir,que escribas la proposicion no P , de manera que no aparezca explıcitamente lapalabra no. Luego, decide en cada caso si es verdadera P o no P .

34. (*) P : /Para cada numero real x > 0 se verifica que x2 − x > 0/.

35. P : /Hay triangulos rectangulos con los tres lados iguales/.

36. P : /Los multiplos de 3 son impares/.

37. (*) P : Para cada numero real x que verifique −1 ≤ x ≤ 1, existe un numero realy con −1 ≤ y ≤ 1 tal que x2 + y2 ≤ 1.

38. P : Existe un numero real x con −1 ≤ x ≤ 1 tal que para cualquier numero y con−1 ≤ y ≤ 1 se verifica que x2 + y2 ≤ 1.

7

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS CON ASTERISCO (∗)

2c Es falso, ya que si x = −2 < 1 entonces x2 = (−2)2 = 4 > 1.

7 Sı, pero bastaba que viniera uno de los dos para que se hubiera cumplido.

8 Las dos cosas son correctas y aparecen en el lenguaje matematico.

12 /No (A y B)/ es equivalente a /no A o no B/. No se preparo las matematicasla tarde del sabado o no se preparo el teorico de conducir esa tarde.

16 Sı es compatible. La implicacion /A ⇒ B/ es verdadera siempre que A es falsa,tanto sea B verdadera o falsa. En este caso, la proposicion A es Pierde el Granaday la proposicion B es Pepe sera muy infeliz.

18c Hipotesis: a, b, c, d, e, f ∈ R y ad − bc 6= 0. Tesis:

{ax + by = ecx + dy = f

tiene solucion

unica.

18g Hipotesis: x es real. Tesis: x(x− 1) ≥ −1

4.

19 Tengo que demostrar que A es falso, ya que si A fuera verdadero y es verdad queA ⇒ B, B tendrıa que ser verdadero.

22 Es verdadera. En primer lugar, probemos que si n2 es par entonces n es par.Escribiendo n = 2k + r, con r = 0 o r = 1, se tiene que n2 = (2k + r)2 =4k2 +4kr+r2 = 2(2k2 +2kr)+r2. Como r2 = r y n2 es par, se deduce que r = 0.Por otro lado, si n es par, entonces n = 2k y, ası, n2 = 4k2 = 2(2k2) que es par.

30c ∀d ∈ D, ∀m ∈ M , ∃p ∈ P | (m compra p en d).

30e ∀d ∈ D, ∃m ∈ M , ∃p ∈ P | (m compra p en d).

30g ∃d ∈ D, ∃m ∈ M, ∃p ∈ P | (m compra p en d).

32 a) Es cierta. b) Es falsa.

33a 1 y 2 dicen lo mismo y son verdaderas.

34 P falsa: para x = 1/2, se tiene que x2 − x = −1/4 < 0.

37 P es verdadera: basta tomar para cada x el numero y =√

1− x2.

8

EL EJERCICIO DE LA DEMOSTRACION EN MATEMATICAS

En el tipo de demostracion conocido comodemostracion directa (hacia adelante) setrata de demostrar queA ⇒ B partiendo deA y deduciendo proposiciones hasta llegar aB.

1. Prueba que el cubo de un numero impar es tambien impar.

2. En el conjunto de los numeros enteros, demuestra que sim y n son multiplos dep,entoncesm + n y m − n tambien son multiplos dep.

3. Prueba que dadas dos rectas que se cortan, los angulos opuestos por el vertice son iguales.

4. Demuestra que la suma de los angulos de un triangulo es180◦ (o π radianes).

5. Demuestra que un triangulo isosceles tiene dos angulos iguales.

6. Prueba que si la rectar corta a la circunferenciaK en dos puntosP y Q, entonces losradios deK con extremosP y Q forman conr angulos iguales.

7. SeaK una circunferencia yP un punto exterior a ella. Seanr y r′ las rectas tangentes aK desdeP y seanA y A′ los puntos de tangencia. Demuestra quePA = PA′.

8. SeanA, B , C y D cuatro puntos distintos situados en una circunferencia de centroO.Prueba que2ABC = AOC. Relaciona el anguloADC con el anguloABC.

O

A

C

B

D

9. a) La mediatriz de un segmentoAB es el lugar geometrico de los puntos del planoque equidistan deA y deB. Prueba que la mediatriz de un segmentoAB es la rectaperpendicular aAB que pasa por el punto medio del segmento. Traza la mediatrizde un segmento con regla y compas.

b) Demuestra que las mediatrices de los lados de un trianguloconcurren en un punto.

c) Demuestra que siABCD es un rombo, las diagonalesAC y BD son perpendi-culares y se cortan en su punto medio.

10. a) La bisectriz del anguloα determinado por las semirrectasr y s es una semirrectaque divide aα en dos angulos iguales. Prueba que la bisectriz del angulodetermi-nado por las semirrectasr y s es una semirrecta formada por los puntos que distanlo mismo der y des. Traza la bisectriz de un angulo con regla y compas.

b) Demuestra que las bisectrices de los angulos de un triangulo concurren en un punto.

11. a) Dadoa 6= 0, encuentrap, q tales queax2 + bx + c = a[(x − p)2 − q].

b) Utiliza lo anterior para resolver la ecuacionax2 + bx + c = 0.

Una estrategia para encontrar una demostracion directa consiste en procedermarchaatr as, mas o menos como sigue. Como antes, quieres probar queA ⇒ B. Te preguntas(siempre con un ojo enA) que proposiciones implicanB. Encuentras queP ⇒ B; noes lo que buscas, pero tal vezP esta mas cerca deA. Te preguntas a continuacion comopodrıas llegar aP . Encuentras queQ ⇒ P . Tal vez ahora ya eres capaz de ver queA ⇒Q. Si fuera ası, ahora ya podrıas construir la demostracion directaA ⇒ Q ⇒ P ⇒ B.

12. Demuestra quex +1

x≥ 2 si x > 0.

13. a) Si x ey son numeros reales positivos, prueba que

21

x+

1

y

≤ √xy ≤ x + y

2

b) Justifica con los segmentosAB, AM y AO las desigualdades anteriores, sabiendoquePM = x y MQ = y.

P Q

O M

A

B

14. (*) En una semicircunferencia de diametroAOB, elegimos un puntoE distinto de losextremosA y B. Trazamos la rectar tangente a la semicircunferencia enE y la rectas tangente a la semicircunferencia enB; estas tangentes se cortan en el puntoC. Acontinuacion trazamos la rectaAE que corta a la rectas enD. Prueba queBC = CD.

En ocasiones, para conseguir demostrar la proposicion/A ⇒ B/, resulta mas sencillodemostrar la proposicion/ no B ⇒ no A /. En los siguientes ejercicios te pedimos que,utilizando este metodo de demostracion, llamadodemostracion por contraposicion,demuestres las siguientes proposiciones:

15. Seaa un numero real. Demuestra que sia es irracional, entonces7a es irracional.

16. Sin es un entero yn2 es par, entoncesn es par.

17. Sip y q son numeros reales positivos tales que√

pq 6= p + q

2, entoncesp 6= q.

18. (*) Si c es un numero impar, la ecuacionn2 + n − c = 0 no admite soluciones enteras.

19. Si en un cuadrilatero no hay ningun angulo obtuso, dicho cuadrilatero es un rectangulo.

20. Demuestra que si(m, n, p) es una terna de numeros pitagoricos (es decir, verifican quem2 = n2 + p2), entonces al menos uno de ellos es par.

Otra forma de demostracion muy utilizada es la conocida como demostracion porreduc-cion al absurdo: Quieres demostrar queA ⇒ B y para ello demuestras que

/A y noB/ ⇒ /P y noP/.

21. Demuestra que si la rectar corta a una circunferenciaK en un puntoP y forma con elradio deK que termina enP un angulo recto, entoncesr corta aK solo enP . [Recuerdael ejercicio 6].

22. Demuestra que para todox ∈ R se cumple quex2 + 1 ≥ 2x.

23. Sin es un numero natural mayor que2, no hay ningun numero naturalm conn + m =nm.

24. Demuestra que hay una cantidad infinita de numeros primos.

25. Prueba que√

2 es un numero irracional.

Demostracion por induccion: Quieres demostrar queP (n) es cierta, siendoP (n) unaproposicion que tiene que ver con el numero naturaln, por ejemplo, que la suma de losn primeros numeros naturales valen(n+1)

2(apartadoa) del ejercicio 30). Procede ası:

Demuestra queP (1) es cierta.

Demuestra que siP (k) es cierta, entoncesP (k + 1) es cierta.

Ası queda claro queP (n) es cierta para cualquiern ∈ N.

26. Demuestra por induccion que sifn(x) = xn y n ∈ N, entoncesf ′

n(x) = nxn−1, utilizan-

do la formula de la derivada del producto.

27. Deduce una formula para la derivadan-esima de la funcionf(x) =1

1 − x. Demuestrala

por induccion.

28. Demuestra por induccion que siA =

(

1 10 1

)

se verifica queAn =

(

1 n0 1

)

.

29. a) Demuestra que sin ∈ N es par, entonces10n − 1 es multiplo de11.

b) Demuestra que sin ∈ N es impar, entonces10n + 1 es multiplo de11.

30. Demuestra por induccion las siguientes igualdades:

a)n

∑

k=1

k =n(n + 1)

2b)

n∑

k=1

k2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

c)

n∑

k=1

k3 =n2(n + 1)2

4d)

n∑

k=1

(2k − 1) = n2

e)n

∑

k=1

k(k + 1) =n(n + 1)(n + 2)

3f)

n∏

k=1

(4k − 2) =(2n)!

n!

31. Utiliza alguna de las formulas del ejercicio 30 para demostrar que el cubo de cualquiernumero entero es la diferencia de los cuadrados de dos numeros enteros.

32. Calcula las soluciones de la ecuacion

(x2 + x + 1) + (x2 + 2x + 3) + (x2 + 3x + 5) + · · ·+ (x2 + 20x + 39) = 4500

(Usa las formulas del ejercicio 30).

33. a) Prueba que sin ≥ 3, se da quen2 ≥ 2n + 1.

b) Prueba que sin ≥ 5 entonces2n > n2.

34. (*) Demuestra que si en una cuartilla trazasn segmentos, cada uno de los cuales empiezaen un punto de un borde de la cuartilla y acaba en un punto de otro borde, entonces lasregiones de la cuartilla ası definidas se pueden pintar con dos colores de modo que cadados trozos con borde comun tiene distinto color.

35. Demuestra que si tenemosn puntos en el plano de modo que no hay tres en lınea recta,

el numero de segmentos que determinan esn(n − 1)

2

Induccion completa: Se trata de una generalizacion del metodo de induccion.Procedesde la siguiente forma:

Demuestras queP (1) es cierta.

Demuestras que siP (1), P (2), . . . , P (k) son ciertas, entoncesP (k + 1) es cierta.

Ası pruebas queP (n) es cierta para cualquiern ∈ N.

36. Prueba que todo numero natural distinto de 1 se puede representar como producto deprimos.

37. Demuestra que cualquier numero natural se puede escribir como suma de distintas po-tencias de2.

38. Demuestra que cualquier polıgono, convexo o no, se puede descomponer en triangulosmediante diagonales disjuntas. [Indicacion: Todo polıgono tiene al menos una diagonaltotalmente contenida en su interior].

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS CON ASTERISCO ( ∗)

14 Tenemos que demostrar que en las condiciones dadasBC = CD. Habremos demostradoque BC = CD si demostramos queOC es paralela aAD, ya que en este caso lostriangulosADB y OCB serıan semejantes (de razon1 : 2, por serO el punto mediodel diametroAB) y ya estarıa. Para ver queOC es paralela aAD basta con probar queCOB = DAB.

Pero, claramente siDAB = α entoncesEOB = 2α y facilmente podemos ver que lalıneaOC es la bisectriz del anguloEOB (los triangulosOBC y OEC son iguales ). Porlo tanto hemos visto queCOB = α = DAB y ya tenemos lo que querıamos probar, esdecir queBC = CD.

18 Si n es un entero cualquiera,n2 + n siempre es par, ¿por que? Por lo tanto, ¿comoseran2 + n − c siempre quen sea entero, sic es impar?

34 Si solo hay un segmento, esta claro que se puede colorear. Supongamos que tambiense puede cuando hayk segmentos. Queremos ver que tambien se puede cuando hayk + 1 segmentos. Nos ponemos delante de una cuartilla conk + 1 segmentos. Quitamosuno cualquiera. Nos queda una cuartilla conk segmentos. Segun la hipotesis se puedecolorear. Lo coloreamos. Ahora reponemos el segmento que hemos quitado.Este dividea la cuartilla en dos partes. A todos las regiones que quedan en una de las dos partesles cambiamos de color. Las regiones de la otra parte de la cuartilla conservan el colorque tenıan. La cuartilla inicial dek + 1 segmentos queda coloreado de acuerdo con lasnormas dadas. Si un trozo de ese segmento que hemos quitado y hemos puesto es fronterade dos regiones, estas tienen distinto color. Cualquier otro segmento de frontera delimitaregiones de distinto color.

Conjuntos. Relaciones. Aplicaciones

1. Dados el conjunto A de los numeros naturales multiplos de 5 y el conjunto B de losnumeros naturales que terminan en 5 o en 0, demuestra que A = B.

2. Considera el subconjunto A de numeros naturales formado por los multiplos de 4 y elconjunto B ⊂ N de los numeros que terminan en 4. Comprueba que A 6⊂ B y B 6⊂ A.

3. Supongamos que A,B y C son conjuntos cualesquiera. Demuestra que:

a) A∩ (B ∪C) = (A∩B)∪ (A∩C). [Compara con el ejercicio 9 de la primera hoja].

b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

4. Sean P , D, T , I y S, respectivamente, los conjuntos de numeros naturales primos,multiplos de dos, multiplos de tres, numeros impares y multiplos de seis. Determinapara cada par de ellos la interseccion. Describe el complementario de cada uno, con-siderado como subconjunto de los numeros naturales. Determina P ∪ I, D\T , T\S,P\S, P ∩ T y T ∪ I.

5. Llamamos T al conjunto de los triangulos, I al subconjunto de los triangulos isosceles,R al de los triangulos rectangulos, E al de los equilateros y A al de triangulos contodos los angulos agudos. Comprueba que

R ∩ E = ∅, R ∩ I 6= ∅, E ⊂ I, I \ A 6= ∅.6. Demuestra las siguientes igualdades de conjuntos:

a)⋃7

n=1[1n, 1] = [1

7, 1] y

⋂60n=2[

1n, 1] = [1

2, 1]

b)⋂

n∈N[− 1n, 1

n] = {0}, ⋃

n≥2[1n, 1− 1

n] = (0, 1) y

⋃∞n=1(−n, n) = R.

7. Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5} y C = {3, 4, 5, 6}. Encuentra A ∪ B ∪ C yA ∩B ∩ C. Si definimos F = {A,B,C}, ¿pertenece {1, 2, 3} a F?

8. ¿Cuales son todos los subconjuntos de A = {1, 2, 3}? ¿Y los subconjuntos de B ={1, {2, 3}}? Enumera todos los subconjuntos de C = {1, {2}, {3, 4}}.

9. Se consideran los conjuntos R1 = {r : r es una recta del plano que pasa por el origen},R2 = {r : r es una recta del plano paralela al eje de abscisas} y R3 = {r : r es unarecta del plano paralela al eje de ordenadas}. Determina R1 ∩R2 y R1 ∩R3.

Producto cartesiano de dos conjuntos

Si A y B son dos conjuntos, el producto cartesiano A × B es el conjunto de paresordenados (m,n) tales que m ∈ A y n ∈ B .

10. Considera los siguientes productos cartesianos: N× N, N× Z, Z× R, R× R, {1}×R,R× {0, 1} y (R× R)× R. Representalos graficamente.

11. Considera los siguientes productos cartesianos: [a, b]×[c, d], R×[c, d], { 1n

: n ∈ N}×[0, 1]y (0,∞)× R. Representalos graficamente.

Relaciones en un conjunto

Introduzcamos una relacion R entre los elementos de un conjunto A: consideramos elproducto cartesiano A×A y un subconjunto S ⊂ A×A. Decimos que un elemento m ∈A esta en relacion R con otro n ∈ A, y lo denotamos mRn, cuando el par (m,n) ∈ S.

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Es decir: podemos identificar una relacion R en un conjunto A con un subconjuntoS ⊂ A × A. Muchas veces, de hecho, se denotan igual escribiendo (m,n) ∈ S comomSn.

12. En el conjunto de numeros naturales N identifica, mediante un subconjunto de pares(m,n) del producto cartesiano N× N, la relacion que en lenguaje normal se expresa“m es el cuadrado de n”. Senala algunos elementos que esten en dicha relacion. ¿Hayalgun numero natural que este en esa relacion consigo mismo? Representa graficamenteesta relacion.

Relacion reflexiva, transitiva y simetrica. Relacion de equivalencia

Sea S una relacion en el conjunto A. Se dice que S es reflexiva cuando para cada p ∈ Ase verifica pSp. (Es decir, el par (p, p) esta en el subconjunto S ⊂ A×A). Se dice queS es una relacion transitiva cuando se cumple: si mSn y nSp entonces mSp. Se diceque S es una relacion simetrica cuando se cumple: si mSn entonces nSm. Se dice queS es una relacion de equivalencia cuando es reflexiva, transitiva y simetrica.

13. En el conjunto X = {1, 2, 3, 4} se define la siguiente relacion R: aRb si y solo sia + b ≤ 6. Describe explıcitamente el subconjunto S de X ×X que define la relacion.¿Es reflexiva? ¿Es simetrica? ¿Es transitiva? Representa graficamente la relacion.

14. Se considera en Z la relacion R definida del modo siguiente “mRn cuando m − n espar”. ¿Es una relacion de equivalencia? ¿Que enteros se relacionan con 3? ¿y con 2011?¿y con 14? ¿y con −26?

Si en un conjunto X se tiene una relacion de equivalencia, que denotaremos por R,para cada m ∈ X el subconjunto [m] = {p ∈ X |mRp} de todos los elementos que serelacionan con m se denomina clase de equivalencia de m. En el ejercicio anterior hasdeterminado, para la relacion dada, las clases de equivalencia de algunos enteros.

15. Para la relacion R definida en Z por mRn cuando m− n es par:

a) Demuestra que si dos enteros m y n tienen la misma paridad, entonces [m] = [n].

b) Prueba que si dos enteros m y n tienen paridades distintas, entonces [m]∩ [n] = ∅y Z = [m] ∪ [n].

Dada una relacion de equivalencia R sobre el conjunto X, el conjunto de las clases deequivalencia se denomina conjunto cociente. Lo escribiremos X/R. Para la relacion delos dos ejercicios precedentes, Z/R = {P , I}, donde I es el conjunto de los numerosenteros impares y P el de los enteros pares.

16. Considera en el conjunto R la relacionR determinada del modo siguiente ”xRy cuandox − y ∈ Q ”. Prueba que es una relacion de equivalencia. Determina las clases deequivalencia [0], [2/3], [π] y [−π].

17. En el conjunto T de los triangulos definimos la relacion R dada por

T1 R T2 si y solo si T1 y T2 son semejantes.

Justifica que R es una relacion de equivalencia. ¿Cual es la clase de equivalencia de untriangulo rectangulo de catetos a = b = 1?

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18. En el conjunto de los puntos del plano R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} se definen las relacionesR y S siguientes: (a, b)R(c, d) ⇔ a2 + b2 = c2 + d2; (a, b)S(c, d) ⇔ a + b = c + d.Demuestra que ambas son relaciones de equivalencia. En cada caso, determina la clasedel punto (1, 0). Describe geometricamente el conjunto cociente R2/R, ası como R2/S.

19. En el conjunto de los puntos del espacio R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} se define larelacion R de la siguiente manera: (x, y, z)R(a, b, c) ⇔ z = c. Demuestra que es deequivalencia. Describe geometricamente las clases de equivalencia.

20. Considera en el conjunto A = Z× (Z \ {0}) la relacion R definida del siguiente modo(m,n)R(p, q) cuando mq = np. Demuestra que se trata de una relacion de equivalen-cia. ¿Cual es la clase de equivalencia de (8, 4)? ¿Y la de (0, 4)? ¿Como son todos loselementos de la clase de (−7, 1)? ¿Y los de la clase de (3,−5)? Observa que el conjuntoconciente A/R puede identificarse con Q.

21. Supongamos que R y S son relaciones de equivalencia en un conjunto X y que X/R =X/S. Prueba que R = S.

22. Supongamos que R es una relacion de equivalencia definida en un conjunto A y B ⊂ A.Sea S = R∩ (B × B). Prueba que S es una relacion de equivalencia en B. Para todob ∈ B, denotamos [b] la clase de b para la relacion R y [b]S la clase de b para la relacionS. Demuestra que [b]S = [b] ∩B.

Relacion de orden en un conjunto

Sea S una relacion en el conjunto A. Se dice que S es una relacion antisimetrica cuandose cumple: si mSn y nSm entonces n = m.

Consideramos una relacion ¹ en un conjunto A no vacıo. Se dice que ¹ es una re-lacion de orden en A (un orden en A) cuando la relacion ¹ es reflexiva, transitiva yantisimetrica.

La relacion de orden es total cuando para cada dos elementos distintos m,n de A severifica que o bien m ¹ n o bien n ¹ m. La relacion de orden es parcial cuando nose verifica la condicion anterior. En este caso, hay elementos p, q de A tales que no severifica ni p ¹ q ni q ¹ p.

Una relacion de orden es la definida en el conjunto de los numeros reales R mediante lasiguiente propiedad: xRy si x ≤ y (tambien lo escribiremos como y ≥ x). La relacion Res reflexiva, transitiva y antisimetrica. Observa que si a es un numero real, el conjunto{x ∈ R : aRx} = {x ∈ R : a ≤ x} es la semirrecta cerrada [a, +∞).

En el conjunto de palabras en espanol, se considera el orden lexicografico. Es decir, unapalabra p es anterior a otra q si todas las letras de p son las primeras de q (y aparecenen el mismo orden), o si -analizadas las letras de izquierda a derecha- la primera enla que difieren, la correspondiente a p se encuentra antes en el orden alfabetico. Porejemplo, con es anterior a conjunto y demostracion es anterior a demostrar. Notaque esta relacion establece un orden total en el conjunto de palabras que nos permitemanejar los diccionarios.

23. Considera el conjunto Z con la relacion ≤ (es decir m ≤ n cuando n − m ≥ 0).Demuestra que ≤ es una relacion de orden en Z. ¿Es total?

24. En Q se define la relacion xRy ⇔ y = x + n siendo n = 0 o n ∈ N.

a) Demuestra que R es una relacion de orden. ¿Es total o parcial?

b) Demuestra que si xRz e yRz, entonces xRy o yRx

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25. En A = (R\{0})×R se define la relacion: (x1, y1) ¹ (x2, y2) ⇔{

y1

x1

=y2

x2

y x1 ≤ x2

}.

a) Demuestra que ¹ es de orden y estudia si es de orden total.

b) Representa el conjunto T1 = {(x, y) ∈ A : (x, y) ¹ (1, 1)} y el conjunto T2 ={(x, y) ∈ A : (−2, 1) ¹ (x, y)}.

26. En R2 se introduce la relacion - mediante la siguiente definicion: (a, b) - (c, d) cuandose verifica a ≤ c y b ≤ d. ¿Se define ası una relacion de orden? ¿Es total? Representa elconjunto {(x, y) ∈ R2 : (x, y) - (2,−3)} y el conjunto {(x, y) ∈ R2 : (2,−3) - (x, y)}.

27. En N se considera la relacion p C q si p divide a q. Analiza si es una relacion de orden.¿Es total o parcial? Justifica que dados m,n ∈ N, existe p ∈ N tal que m C p y n C p.

Si X es un conjunto arbitrario, podemos considerar sus subconjuntos, es decir losconjuntos que estan contenidos en X (el conjunto vacıo ∅ es un subconjunto de cualquierconjunto). Llamaremos partes de X al conjunto P(X) = {A : A ⊂ X} de todos lossubconjuntos de X. Por ejemplo, si X = {a, b}, P(X) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}. DescribeP(Y ) si Y = {1, 2, 3}.

28. Dado un conjunto X, se considera la relacion de inclusion: si M, N ∈ P(X), entoncesM ¹ N si M es un subconjunto de N . ¿Define ¹ una relacion de orden? ¿Es total oparcial?

Aplicacion inyectiva, sobreyectiva, biyectiva. Funciones inversas

Sean A y B dos conjuntos. Una aplicacion (o funcion) f de A a B , que se denotaf : A → B , es una asignacion, para cada a ∈ A, de un unico elemento de B quedenotaremos f(a). El conjunto A se llama el dominio de la funcion f. La imagen de Apor f (o bien el recorrido de f) es el conjunto C de elementos b ∈ B tales que existealgun elemento a ∈ A que verifica f(a) = b. La imagen de f no tiene que ser todo elconjunto B.

La aplicacion f se llama inyectiva cuando para cada elemento b ∈ B existe a lo sumoun elemento (es decir: uno o ninguno) a ∈ A tal que f(a) = b. Para ver que f esinyectiva, basta demostrar que si a1, a2 ∈ A y f(a1) = f(a2), entonces a1 = a2. Dadoque /A ⇒ B/ es equivalente a /no-B ⇒ no-A/, probar que f es inyectiva es demostrarque si a1 6= a2, entonces f(a1) 6= f(a2).

Piensa en la funcion f : Z→ Z definida para cada n ∈ Z mediante f(n) = n − 1. Sin 6= m se cumple que f(n) = n − 1 6= m − 1 = f(m) y, por tanto, f es inyectiva.El polinomio de grado 3 dado por P (x) = x(x − 1)(x + 1) que tiene como dominio elconjunto R de los numeros reales no es una funcion inyectiva, ya que existen numerosreales distintos, por ejemplo a1 = 0 y a2 = 1, en los que P toma el mismo valor, yaque P (0) = P (1) = 0.

La aplicacion f se llama sobreyectiva (o aplicacion sobre) cuando para cada b ∈ Bexiste al menos un elemento a ∈ A tal que f(a) = b.

La funcion f : Z→ Z definida para cada n ∈ Z mediante f(n) = n+2 es sobreyectiva,dado que para cada m ∈ Z podemos encontrar n = m − 2 tal que f(n) = n + 2 =(m−2)+2 = m. Sin embargo, la funcion g : N→ N definida para cada n ∈ N medianteg(n) = n+2 no es sobreyectiva, dado que g(n) = n+2 ≥ 1+2 = 3 y, por tanto, existem ∈ N (m = 1 o m = 2) tal que g(n) 6= m, para todo n ∈ N.

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La aplicacion f se llama biyectiva (se dice que es una biyeccion) cuando es inyectiva ysobreyectiva.

29. Se consideran A, B dos conjuntos de numeros reales y f : A → B definida por f(a) =|a| + 1, para todo a ∈ A. Estudia si f es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva en lossiguientes casos:

a) A = B = R b) A = B = Nc) A = Z y B = N d) A = N y B = N \ {1}

30. Considera la aplicacion f : Z→ Z definida para cada n ∈ Z mediante f(n) = n2. ¿Esf inyectiva, sobreyectiva o biyectiva? Resuelve las mismas preguntas para g : N→ Ndefinida por g(n) = n2, si n ∈ N.

31. Si f : A → B es una aplicacion y C es el recorrido de f , justifica que la aplicaciong : A → C dada por g(a) = f(a), para a ∈ A, es sobre.

32. Considera la aplicacion f : R→ R definida para cada x ∈ R mediante f(x) = 3x +2. ¿Es f inyectiva, sobreyectiva o biyectiva? Representa graficamente esta funcion.Determina los conjuntos f(Z), T = {x ∈ R : f(x) ∈ Q} y S = {x ∈ R : f(x) ∈ N}.Si f : A → B es una aplicacion y C ⊂ B, se escribe f−1(C) = {x ∈ A : f(x) ∈ C}. Enel ejercicio anterior, T = f−1(Q) y S = f−1(N). Cuando f : A → B es una biyeccion,para todo b ∈ B existe un unico a ∈ A tal que f(a) = b y puede definirse la llamadafuncion inversa, f−1 : B → A asignando a cada b el unico a = f−1(b) tal que f(a) = b.

33. Sean el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y f : A → f(A) dada por f(a) =a(a + 1)

2.

Encuentra f−1({3}), f−1({5}), f({1, 2, 5}) y f−1({3, 5}).34. Sea g : [−1, +∞) → R dada por g(x) = x2 − 1. Encuentra g−1({0}), g−1({−1}),

g−1({−10}), g−1([8, 15]) y g−1([0, 1]).

35. Considera la aplicacion f : R→ R definida para cada x ∈ R mediante f(x) = x2−6x+5. Representa la funcion e indica cual es su recorrido. ¿Es f inyectiva, sobreyectiva obiyectiva? Determina f([3, 5]) y f−1([0, 5]).

36. Define funciones f : [0, 1] → [0, 3], g : [0, 1] → [5, 8] y h : (0, 1) → (0, +∞) que seanbiyecciones. Determina las funciones inversas f−1, g−1 y h−1.

37. Se considera un conjunto A no vacıo y X el conjunto de todas las aplicaciones f : A →R. En X se define la relacion f ¹ g si para todo a ∈ A se verifica que f(a) ≤ g(a).Estudia si ¹ es un orden en X. ¿Es total o parcial?

38. Se consideran A ⊂ R y las funciones f, g : A → R dadas por f(a) = a y g(a) = a2.Estudia la relacion que hay entre ambas para el orden ¹ del ejercicio anterior en loscasos A = [0, 1], A = N y A = R.

Cardinal o potencia de un conjunto. Conjuntos numerables y no numerables

Decimos que un conjunto A tiene el mismo cardinal (o es de la misma potencia)que otro B cuando existe una biyeccion entre A y B. Los conjuntos A = {a, b, c} yB = {1, 2, 4} tienen el mismo cardinal. Tambien lo tienen N y N∪{0}, pues f(n) = n−1define una biyeccion entre ambos. Se suele notar |A| (o card(A) o ]A) el cardinal de

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un conjunto A. Por ejemplo, A = {a, b, c} y B = {1, 2, 4} cumplen que |A| = |B| = 3y si C = {b, c, 1, 4}, |C| = 4, |A ∪B| = 6, |B ∪C| = 5, |A ∩C| = 2 y |A ∪B ∪C| = 6.

Un conjunto A se dice numerable cuando tiene el mismo cardinal (o es de la mismapotencia) que N, es decir cuando existe una biyeccion entre A y N.

39. Demuestra que son numerables los siguientes conjuntos.

a) El conjunto de los numeros naturales pares.

b) El conjunto de los cuadrados perfectos.

c) Cualquier subconjunto infinito del conjunto de numeros naturales.

d) El conjunto Z de los numeros enteros.

e) La union de dos conjuntos numerables. [Indicacion: Pruebalo primero en el casoen el que son disjuntos].

f ) El producto cartesiano N× N.

g) El conjunto Q de numeros racionales.

40. Vamos a llamar palabra infinita de dos letras A y B a una ristra infinita del tipoABABBABBA... Considera el conjunto P de todas las palabras infinitas de dos letras.Demuestra, por reduccion al absurdo, que P no es numerable. [Sugerencia: Supon queP fuera numerable. Entonces podrıas colocar todas las palabras de P en un cuadroinfinito como sigue:

(1) A B A B B A B B A...

(2) A A B A A B A A B...

(3) B B B A A B A B A...

(4) B B B B A A B A B...

(5) A A A A A A B B A...

(6) B B A B A A B A A...

....................................

Toma la palabra infinita que corresponde a la diagonal de este cuadro AABBAA...y forma la palabra que resulta de cambiar en ella cada A por B y cada B por A, esdecir, la palabra BBAABB... Justifica que no esta en el cuadro y concluye que P noes numerable].

41. a) Todo numero real admite una expresion decimal (unica si excluimos aquellas ex-presiones que a partir de un lugar en adelante estan formadas por nueves). Observaque, de acuerdo con ella, cualquier numero real del intervalo [0, 1) puede identificarsede forma unica mediante una ristra de los diez sımbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Utilizaeste hecho y la forma de proceder del ejercicio anterior para demostrar que el conjuntode los numeros reales del intervalo [0, 1) no es numerable.

b) Observa que el conjunto A = [0, 1) ∩Q es numerable. ¿Por que no puede usarse elmismo argumento del apartado a) para este conjunto, aunque cada x ∈ A admite unaexpresion decimal como la de arriba?

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Matematica discreta

Divisibilidad

Dados dos numeros naturales a y b, escribiremos a|b y leeremos a divide a b siexiste un c ∈ N tal que ac = b. En este caso, decimos que a es un divisor de b oque b es divisible por a (o b es multiplo de a). Por ejemplo, 3|15; por su parte, 100es multiplo de 4, de 25 y de 20, entre otros; pero 3 no es divisor de 20. Llamamosprimos a los numeros p mayores o iguales que 2 que solo son divisibles por 1 ypor p. Si p es mayor o igual que 2 y no es primo, se dice que es compuesto.

1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor mde p con 1 < m ≤ √

p.

2. a) Si un numero es divisible por 4 y por 3 entonces, ¿es divisible por 12?

b) Si un numero es divisible por 4 y por 6 entonces, ¿es divisible por 24?

c) Si un numero divide al producto de otros dos, ¿divide a alguno de ellos?

Se denomina maximo comun divisor de dos numeros naturales a y b al mayornumero natural que divide a ambos. Se denota mcd(a, b).

3. Demuestra que si a y b son dos numeros naturales no nulos, a > b y hacemos ladivision entera, es decir:

a = bc + r

con c natural y 0 ≤ r < b, entonces cualquier divisor comun de a y b es divisorde r y cualquier divisor comun de r y b lo es de a. Deduce a partir de aquı quesi r ≥ 1, entonces mcd(a, b) = mcd(b, r). Justifica que si b divide a a (es decir,cuando r = 0), se verifica que mcd(a, b) = b.

Algoritmo de Euclides. Sean a y b son dos numeros naturales no nulos a > b, yhacemos la division entera, es decir:

a = bc0 + r1

con c0 natural y 0 ≤ r1 < b.

Si r1 = 0 entonces b|a y el mcd(a, b) = b, pero si tenemos que r1 6= 0 podemosvolver a aplicar el algoritmo de la division y encontrar dos numeros enteros c1

y r2 tales que b = c1r1 + r2 , 0 ≤ r2 < r1. Este proceso puede continuarse,escribiendo r1 = c2r2 + r3 y, puesto que b > r1 > r2 · · · ≥ 0, es evidente que enun numero finito n de pasos, con n ≤ b, llegaremos a un resto rn = 0, es decirrn−2 = cn−1rn−1. Este proceso describe el algoritmo de Euclides para calcular elmaximo comun divisor de dos numeros como el ultimo resto no nulo, rn−1.

4. Justifica la validez del algoritmo de Euclides, es decir que

mcd(a, b) = mcd(b, r1) = · · · = mcd(rn−2, rn−1) = rn−1.

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5. Aplicando el algoritmo de Euclides calcula mcd(2805, 2448) y mcd(936, 504). En-cuentra enteros p, q tales que mcd(936, 504) = 936 ·p+504 ·q. En general, pruebaque existen p, q enteros tales que mcd(a, b) = a · p + b · q.Se dice que dos numeros p y q son primos entre sı (o relativamente primos, ocoprimos) si no tienen divisores comunes mayores que 1, es decir mcd(p, q) = 1.

6. Identidad de Bezout. Demuestra que a y b son primos entre sı ⇔ existen enterosr, s tales que 1 = ra + sb.

7. Demuestra que si p y q primos entre sı y q divide a pb, entonces q divide a b.Deduce que si p es un numero primo que divide a ab entonces p|a o p|b.

8. Demuestra que un numero natural d es el maximo comun divisor de dos numerosnaturales a y b si y solo si verifica las dos condiciones:

d|a y d|b.∀n ∈ N tal que n|a y n|b se tiene que n|d.

Se denomina mınimo comun multiplo de dos numeros naturales a y b al menornumero natural que es divisible por ambos. Se denota mcm(a, b).

9. Demuestra que un numero natural M es el mınimo comun multiplo de dos nume-ros naturales a y b si y solo si verifica las dos condiciones:

a|M y b|M .

∀N ∈ N tal que a|N y b|N se tiene que M |N .

Teorema Fundamental de la Aritmetica. Todo numero entero positivo puede des-componerse como producto de factores primos de forma unica, salvo el orden dedichos factores. [La existencia de la descomposicion se ha visto como aplicaciondel Principio de Induccion Completa].

10. Usa el Teorema Fundamental de la Aritmetica para obtener la expresion del maxi-mo comun divisor (y el mınimo comun multiplo) de dos numeros enteros positivosen terminos de sus factores primos. Deduce que a·b = mcm(a, b)·mcd(a, b).

11. Prueba que un numero es divisible por 3 si y solo si la suma de sus dıgitos esmultiplo de 3.

12. Justifica que un numero es multiplo de 9 si y solo si la suma de sus cifras lo es.

13. Demuestra que un numero natural es divisible por 11 si y solo si, la diferencia dela suma de sus cifras de lugar par menos la suma de sus cifras de lugar impar esmultiplo de 11. (Recuerda que 10n− 1 es multiplo de 11 si n es par y que 10n +1es multiplo de 11 si n es impar).

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14. Prueba que si p es un numero natural y p ≤ n, entonces [np] ([x] representa la

parte entera de x) coincide con el numero de multiplos de p menores o igualesque n. Calcula cuantos numeros naturales menores que 2000 son multiplos de 3.Determina cuantos de ellos no son multiplos de 9.

15. Dados dos numeros primos distintos p y q, encuentra el numero de divisoresdistintos que tiene el numero: a) pq, b) p2q, c) pnqm.

******************

16. Encuentra todos los numeros naturales m, n tales que m2 − n2 = 31.

17. Prueba que si un numero tiene un numero impar de divisores, entonces es uncuadrado perfecto.

18. Sea (a, b) ∈ N2. Demuestra que si mcd(a, b) = D y mcm(a, b) = M se verifica

a) mcd(a2, b2) = D2.

b) mcm(a2, b2) = M2.

c) ¿Es cierto lo inverso, es decir: Si mcd(a2, b2) = D2, entonces mcd(a, b) = D,y si mcm(a2, b2) = M2 entonces mcm(a, b) = M?

19. Demuestra que la ecuacion 22α+6β = 70 tiene soluciones enteras y encuentralas.

20. Prueba quen(n + 1)

2es un entero.

21. Prueba que si 3 divide a n2 entonces 3 divide a n (Usa que n solo puede ser dela forma 3a, 3a + 1, 3a + 2).

22. ¿Como ha de ser q para que se verifique /Si q divide a n2 entonces q divide a n/?

23. Caracteriza los numeros que son multiplos de 4. Prueba que el producto de 4numeros naturales consecutivos es multiplo de 24.

24. Caracteriza los multiplos de 5. Prueba que el producto de 5 numeros naturalesconsecutivos es divisible por 120.

25. Un numero que se escriba con 100 ceros, 100 unos y 100 doses, ¿es mutiplo de 3?¿Y de 9? ¿Puede ser un cuadrado perfecto?

26. Todos los numeros capicuas de cuatro cifras son multiplos de 11. Estudia si estoes cierto para todos los capicuas con tres, cinco o mas cifras.

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Principio del Palomar

Si tenemos n+1 palomas y n nidos, entonces hay al menos un nido que tiene doso mas palomas.

Ejemplo. Es facil probar que en nuestra comunidad hay al menos dos asalariadosque ganan exactamente el mismo numero de euros: no hay mucha gente quegane mas de 200.000 al mes (si los hay, lo olvidamos), pero hay mas de 200.001asalariados. Con los euros como nidos y los asalariados como palomas, el principiodel palomar nos dice que al menos hay dos personas que ganan la misma cantidadde euros al ano.

27. Prueba que en un grupo de 400 personas hay al menos 2 cuyo cumpleanos es elmismo dıa.

28. Demuestra que dados cinco puntos cualesquiera en un cuadrado de lado 2 hay almenos dos puntos que distan como mucho

√2 ¿Es verdad para 4 puntos?

Dados un palomar con n nidos y mn+1 palomas hay un nido que tiene al menosm+1 palomas. Esta version del principio del palomar contiene la primera versioncomo un caso particular (con m = 1).

29. Los estudiantes de una clase llevan el pelo negro, marron, rubio, blanco o tenidode rojo. Hay 101 estudiantes en clase. Probar que al menos hay 21 estudiantesque llevan el pelo del mismo color. (Aquı nidos son los colores y las palomas sonlos estudiantes).

30. Los veinticinco alumnos de un grupo de Matematicas Basicas tienen que ge-nerar una clave de seis caracteres con las letras A,B, C, D y los numeros 1, 2, 3, 4para poder acceder a sus calificaciones. Justifica que al menos hay cuatro alumnoscuya clave termina en el mismo caracter.

31. Colocamos de forma arbitraria 10 puntos en una circunferencia y los numera-mos al azar con los numeros 1, 2, · · · , 10. Prueba, utilizando adecuadamente elPrincipio del Palomar, que hay 3 consecutivos que suman mas que 16.

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Principio de Inclusion-Exclusion

Sabemos que si A y B son conjuntos finitos, se verifica que

|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B| .

32. Determina cuantos numeros hay entre 1 y 60 que sean multiplos de 3 o terminenen 3.

33. ¿Cuantos enteros positivos menores que 1001 son divisibles por 5 o por 7?

34. El principo de inclusion-exclusion sirve tambien para para contar indirectamente.Utilızalo para responder estas preguntas: ¿Cuantos numeros entre 1 y 100 no sondivisibles ni por 2 ni por 3? ¿Cuantos enteros entre 1 y 3943, ambos incluidos,no son divisibles ni por 11 ni por 13?

35. En el caso de tener tres conjuntos finitos, A,B y C, justifica que se verifica

|A ∪B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − (|A ∩B|+ |A ∩ C|+ |B ∩ C|) + |A ∩B ∩ C|.

¿Cuantos enteros entre 1 y 9264, ambos incluidos, son divisibles por 4, 5 o 7?

Combinatoria

36. ¿Cuantos numeros entre 1000 y 9999 tienen solo dıgitos pares? (El 0 es una cifrapar).

37. Un grupo musical grabo 11 canciones con las que editara un nuevo disco. ¿Decuantas maneras puede elegir la secuencia de los temas?

38. Ocho amigos se reunen periodicamente a cenar. Lo hacen siempre en el mismorestaurante, en la misma mesa redonda. ¿De cuantas maneras distintas puedensentarse?

39. Un partido de futbol acaba con el marcador 5-3. ¿De cuantas maneras se puedellegar a este resultado?

40. Dados 10 puntos en una circunferencia, ¿cuantos triangulos, con vertices en esospuntos, se pueden construir?

41. En una tienda hay 10 cajas distintas y solo 8 etiquetas distintas. Se pretendeetiquetar las cajas, con lo que quedaran dos cajas sin etiqueta. ¿De cuantasmaneras diferentes pueden etiquetarse las cajas? Piensa primero en la solucionfijando las cajas y asignandoles las etiquetas; despues busca la solucion peroconsiderando las etiquetas y asignandoles las cajas.

5

42. La Empresa Rotuline acaba de sacar al mercado tres modelos nuevos de rotula-dores K, S y W . Yo voy a comprar 12 de esos rotuladores, ¿de cuantas formaspuedo hacerlo? (Sugerencia: cambia el problema por una cadena de 12 unos y 2ceros; cada cero sirve para separar los modelos).

43. En la mesa de un bar se encuentran sentadas 4 personas. Cada una de ellastomara un refresco a elegir entre las 5 marcas que se ofrecen. ¿De cuantas maneraspuede hacer el grupo su eleccion? ¿Cuantos pedidos distintos puede hacer elcamarero en el mostrador?

Un grafo esta formado por cierta cantidad de puntos, que llamamos vertices, ylıneas que unen parejas de puntos, que llamaremos aristas. Un grafo se llama com-pleto si tiene todas las aristas posibles; es decir, si cada par de vertices esta unidopor una arista.

44. Si consideramos un grafo completo de k vertices, ¿cuantas aristas tiene?

45. ¿Cuantas distribuciones distintas se pueden hacer con 9 cartas en 3 grupos de 3cartas cada uno?

46. ¿Cuantas soluciones en enteros no negativos tiene la ecuacion x + y + z = 8?Utiliza secuencias de unos y ceros.

47. a) Demuestra que(

nk

)=

(n

n−k

), siendo 0 ≤ k ≤ n.

b) Demuestra que(

nk

)=

(n−1k−1

)+

(n−1

k

), siendo 1 ≤ k ≤ n− 1.

48. Demuestra por induccion que:

(a + b)n =

(n

0

)an +

(n

1

)an−1 · b + · · ·+

(n

n− 1

)a · bn−1 +

(n

n

)bn.

******************

49. ¿Cuantos capicuas hay que tengan 5 cifras? ¿Y de 6 cifras?

50. a) Prueba que un conjunto de 2 elementos tiene cuatro subconjuntos.

b) Si un conjunto tiene n elementos, ¿cuantos subconjuntos tiene?

51. ¿Cuantos numeros de 7 cifras se pueden formar utilizando dos unos, tres doses ydos treses?

52. a) Demuestra que:

(1 + x)n =

(n

0

)+

(n

1

)x + · · ·+

(n

n− 1

)xn−1 +

(n

n

)xn.

6

b) Teniendo en cuenta la igualdad anterior comprueba que

2n =

(n

0

)+

(n

1

)+ · · ·+

(n

n− 1

)+

(n

n

)

y calcula

(n

0

)−

(n

1

)+

(n

2

)+ · · ·+ (−1)n−1

(n

n− 1

)+ (−1)n

(n

n

).

Probabilidad

En un experimento, si tenemos sucesos elementales igualmente probables (porejemplo, al tirar un dado, sacar un 2 tiene la misma probabilidad que sacar un1, un 3 o un 6), la probabilidad de un suceso A se calcula mediante la conocidaformula de Laplace:

p(A) =casos favorables

casos posibles.

Por ejemplo, al tirar una moneda al aire, si llamamos A al suceso ”salir cara”,

entonces p(A) =1

2. Al tirar un dado, si B es el suceso ”sacar un multiplo de 3”,

se tiene que p(B) =2

6=

1

3.

En una experiencia reiterada, dos sucesos A y B son independientes si la realiza-cion de A no influye en la realizacion de B. En este caso, p(A∩B) = p(A)·p(B).Por ejemplo, si tiramos una moneda y un dado, la probabilidad de obtener una

cara y un tres es1

2·16.

53. Con una apuesta en la quiniela, ¿cual es la probabilidad de acertar los quinceresultados? ¿Y la de acertar catorce resultados de los quince?

54. Una apuesta en la Loterıa Primitiva consiste en elegir 6 numeros del 1 al 49. Simarcamos 7 numeros en la loterıa primitiva, ¿cuantas apuestas distintas estamoshaciendo? ¿Cual es la probabilidad de que nos toque?

55. Una urna contiene bolas, en cada una de las cuales esta escrita una permutacionde las cifras 1, 2, 3, 4, 5. ¿Cual es la probabilidad de que al sacar una bola seamultiplo de 2? ¿Y que sea multiplo de 5? ¿Y que termine en 24?

56. Halla la probabilidad de sacar dos bolas de distinto color de una urna que contiene10 bolas blancas y 10 rojas cuando

a) se devuelve la bola despues de la primera extraccion.

b) no se devuelve la bola tras la primera extraccion.

7

57. En una baraja de 40 cartas se sacan dos. ¿Cual es la probabilidad de que seandel mismo palo? ¿Y de que sean dos ases? ¿Y de que sean el as de oros y el reyde copas?

58. Un tirador tiene probabilidad1

3de dar en el blanco, ¿cual es la probabilidad de

que no acierte? Si tira tres veces, ¿cual es la probabilidad de acertar alguna vez?

Sucesiones

59. a) Encuentra la suma S = 1 + 2 + · · ·+ 1000.

b) Calcula la suma S = a + (a + d) + (a + 2d) + · · ·+ (a + (n− 1)d).

c) Encuentra la suma de todos los numeros divisibles por 3 menores que 200.

60. Encuentra el termino general de las sucesiones que comienzan a)−3,−1, 1, 3, 5, ...,b) 4, 2, 1, 1

2, 1

4, ..., c) 3, 6, 12, 24, 48, ..., d) −1, 1,−1, 1,−1, ... y e) a, ar, ar2, ar3, ...

61. Calcula Sn = a+ar+· · ·+arn−1 (para r = 1 y r 6= 1), M = 1+2+4+8+16+32+64y Tn = 4 + 8 + 16 + · · · + 2n−1 + 2n, para n ≥ 3. Si |r| < 1, comprueba que1+r+r2 +r3 +r4 + · · · = 1/(1−r) y que ar2 +ar3 +ar4 +ar5 + · · · = ar2/(1−r)

62. Podemos definir sucesiones mediante recurrencias. Por ejemplo, la sucesion a1 =3, an = 2an−1; o bien bn = 2bn−1+bn−2, siendo b1 = b2 = 1; o bien cn = cn−1−cn−2,siendo c1 = c2 = 1. Encuentra los cinco primeros terminos de las tres sucesiones.

63. Encuentra la recurrencia que caracteriza las sucesiones: i) 5, 10, 20, 40, 80, · · · , ii)8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, · · · , iii) 5, 7, 12, 19, 31, · · · y iv) 2, 1, 1, 0, 1,−1, 2,−3, 5,−8, · · · .Sistemas de numeracion

64. Escribe 0, 54, 0, 34, 0, 245 y 1, 9 como cociente de dos numeros enteros.

65. Encuentra la expresion decimal de los siguientes numeros binarios:a) (1011001)2 b) (0,100101)2 c) (11,11)2 d) (0.1)2

66. Encuentra la expresion binaria de los siguientes numeros decimales:a) 83 b) 27 c) 256 d) 3,625

67. Prueba que un numero natural es multiplo de 8 si y solo si su expresion binariatermina en, al menos, tres ceros.

Algunos sistemas operativos utilizan, en lugar de base 2, la base hexadecimal, esdecir, utilizan como base el 16 y los dıgitos que se emplean son

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

68. Encuentra la expresion decimal de los numeros hexadecimales: a) E b) 1A c)A9B, A1. Determina tambien su expresion binaria.

8

ALGEBRA Y GEOMETRIA

1. a) Dados tres puntos A, B y C en el plano demuestra que la circunferencia dediametro AC pasa por B si y solo si el angulo ABC es recto.

b) Dados dos puntos A y B del plano y una recta r, determina, cuando sea posi-ble, un punto P ∈ r tal que APB sea recto.

2. Si P y Q son dos puntos (del plano o del espacio), se denota d(P, Q) la distan-cia entre ellos. Sean A y B puntos distintos del plano. Decide que conjuntos sonC = {X ∈ R2 : 〈−−→AX,

−−→BX〉 = 0} y D = {X ∈ R2 : d(X, A) = d(X, B)}.

Representalos.

3. Se consideran en el plano los puntos A = (−3, 2) y B = (5, 4).

a) Dibuja la recta que pasa por ellos, calcula d(A,B), el vector−→BA y las coor-

denadas del punto medio de A y B.

b) Encuentra el punto C del segmento AB que dista de A el triple que de B. ¿Haypuntos en la recta que une A con B y fuera del segmento AB que cumplanesta condicion? En caso afirmativo, calculalos.

c) Sean O = (0, 0) y C el punto del segmento AB que has hallado en b); en-cuentra, si existen, los puntos de la recta que une O con C que equidistan deA y B.

d) Determina el conjunto M = {P ∈ R2 : d(P, A) = 2d(P, B)}.

4. Halla las bisectrices de los angulos determinados por las rectas 4x− 3y + 10 = 0 y5x + 12y − 4 = 0. Comprueba que son dos rectas perpendiculares.

5. Encuentra el punto P de la recta r que hace mınima la suma d(A,P ) + d(P, B).

r•A • B

6. Considera los puntos del espacio A = (4, 8, 11), B = (−3, 1, 4) y C = (2, 3,−3).

a) ¿Cuanto miden los lados del triangulo ABC ? Comprueba que se trata de untriangulo rectangulo. Calcula los puntos medios de sus lados.

b) Comprueba que−→AB +

−−→BC +

−→CA es el vector nulo.

c) Calcula el area del triangulo. ¿Cuanto mide la altura del triangulo ABC tra-zada desde B sobre el segmento AC?

d) Localiza todos los puntos D que determinan junto con A, B y C un paralelo-gramo. ¿Existe D tal que el paralelogramo sea un rectangulo?

7. a) Considera un punto A = (a, b) del plano, r > 0 y el conjunto C definido porC = {(x, y) : d((x, y), A) = r}. Describe geometricamente a C y encuentrasu ecuacion implıcita. Justifica que C tambien viene descrito por

C :

{x = a + r cos ty = b + r sen t, t ∈ [0, 2π].

b) Si P = (a, b, c) es un punto del espacio R3, decide que conjuntos son S ={(x, y, z) ∈ R3 : d((x, y, z), P ) = r}, E = {(x, y, z) ∈ R3 : (x− a)2 + (y −b)2 = r2} y F = {(x, y, z) ∈ R3 : (x − a)2 + (z − c)2 = r2}. [Resuelveloprimero para P = (0, 0, 0)].

c) Si S, E y F son las figuras descritas en (b) y Π = {(x, y, z) : z = 0} , estudialos conjuntos S ∩ Π, S ∩ E, E ∩ Π, S ∩ F y F ∩ Π.

8. Representa de forma esquematica los siguientes subconjuntos de R3:

a) {(x, y, z) : z = 1} b) {(x, y, z) : x = z; y = 2z}c) {(x, y, z) : x = z = 1} d) {(x, y, z) : x = y = z = 1}e) {(λ, µ, 1) : λ, µ ∈ R} f) {(x, y, z) : y = 2x}g) {(x, y, z) ∈ R3 : x + 2y + 2z − 12 = x2 + y2 + z2 − 25 = 0}.

9. a) ¿Es cierto que si la matriz cuadrada A no es nula tampoco lo es A2?

b) Demuestra que si A es una matriz cuadrada de orden 3, entonces el productoA · At es una matriz simetrica.

10. Si P es una matriz cuadrada, notaremos |P | el determinante de P .

Sean A =

(1 10 −1

)y B =

(1 10 1

).

a) Calcula, para cada n ∈ N, las potencias An y Bn.

b) ¿Existe alguna matriz P de orden 2 con |P | no nulo tal que PA = BP ?

c) Encuentra todas las matrices Q de orden 2 tales que QA = BQ.

11. ¿Es invertible la matriz cuadrada A = (aij) de orden 4 tal que aij = i + j?

12. En la figura 1, los centros de los cuatro semicırculos son los puntos medios de loslados del cuadrado. Determina la razon entre las areas de la region sombreada y elcuadrado.

Figura 1:

13. Construye un cuadrado cuya area sea la suma (diferencia) de las areas de dos cua-drados dados.

14. Dados dos cırculos, construye otro cuya area sea la suma (diferencia) de las deambos. ¿Es su perımetro la suma (diferencia) de los de los cırculos dados?

15. Las circunferencias K y K ′ son concentricas. La cuerda AB de la exterior K, quemide 6 cm, es tangente a la interior K ′. Halla el area de la corona circular determi-nada por K y K ′.

16. El lado de un cuadrado ABCD es 3 cm. El vertice P del cuadrado PQRS, de lado4 cm, es el centro de ABCD (ver figura 2). Determina el area de la zona comun aambos cuadrados.

Figura 2:

17. Sabiendo que las areas de los triangulos ABC y ABD de la figura 3 son 5 y 4,

determinaCE

ED.

Figura 3:

18. Teorema de la altura. El triangulo ABC es rectangulo en C y CH es la altura sobrela hipotenusa. Los triangulos rectangulos AHC y CHB son semejantes. Demuestraque CH2 = AH ·HB.

19. Los triangulos ABC y A′B′C ′ son semejantes. Si la razon de semejanza es k, ¿cuales la razon entre sus areas?

20. Desde el punto A, se trazan las tangentes a una circunferencia como se muestra enla figura 4. Si AX = 10, P es un punto arbitrario de la circunferencia y BC estangente en P , determina el perımetro del triangulo ABC.

Figura 4:

21. a) Prueba que en un triangulo cualquiera, las tres alturas concurren. (Sugerencia:considera el triangulo que se obtiene al trazar por cada vertice una recta paralela allado opuesto).

b) Demuestra que las tres medianas de un triangulo concurren en un punto. Com-prueba que las medianas dividen el triangulo en seis de igual area. Sugerencia:Las medianas AM y BN se cortan en el punto G y por ello Area(AMB) =Area(ANB) = 1

2Area (ABC) y Area(ANG) = Area(BGM) = a.

A B

GMN

aa

C

A B

GMN

a a

C

aa

P h2h

1

La recta que pasa por C y G corta al lado AB en el punto P . Justifica que Area(ANG) =Area(GNC) = a y, analogamente, Area(BGM) = Area(MGC) = a. Por lo tan-to, los triangulos AGC y BGC tienen comun el lado GC y la misma area, de loque se deduce la igualdad de las alturas h1 y h2.

Como h1 y h2 son tambien las alturas, sobre el lado comun PG, de los triangu-los AGP y GBP , concluimos que las areas de estos triangulos son iguales. Y lossegmentos AP y PB tienen la misma longitud, lo que significa que P es el puntomedio del segmento AB y se deduce que CP es la mediana.

22. Sea K una circunferencia y P un punto exterior a ella. Las rectas r y r′, ambaspasan por el punto P y cortan a K en los puntos A y B y A′ y B′ respectivamente.

Demuestra que los triangulos PA′B y PAB′ son semejantes. Comprueba que PA ·PB = PA′ · PB′.

23. Se considera una circunferencia C de centro O y radio r. Dado un punto P delplano, distinto de O, se llama inverso (o transformado) de P respecto de dichacircunferencia al punto T (P ) = Q que esta en la semirrecta que tiene origen en Oy pasa por P y tal que OP ·OQ = r2. Justifica que T (Q) = P .

a) Comprueba que si P esta en C entonces T (P ) = P .

b) Justifica que si r es una recta que pasa por O y P 6= O esta sobre r, entoncesT (P ) ∈ r (y es distinto de O).

c) Considera una circunferencia C ′ que pasa por O. Justifica que existe una recta rque no pasa por O tal que si P ∈ C ′, entonces T (P ) ∈ r. [Sugerencia: Sea A ∈ C ′tal que AO es un diametro de C ′ y B su transformado. Justifica que para todo P ∈ C ′distinto de O, si Q es su transformado, entonces los triangulos OAP y OBQ sonsemejantes].

d) Demuestra que si s es una recta que no pasa por O, entonces su transformadaes una circunferencia que pasa por O. [Sugerencia: considera ahora B el punto deinterseccion de s con la perpendicular a s trazada desde O. Su transformado A esel extremo del diametro OA de la circunferencia buscada].

24. Halla la ecuacion de la circunferencia que pasa por (3, 0), (−1, 0) y (0, 3).

25. Halla los valores de k para que la ecuacion x2 + y2 − 4x + 6y + k = 0 represente:

a) una circunferencia, b) un punto, c) ninguna lınea.

26. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia x2 + y2 +4x+6y−12 = 0 en los puntos de abscisa 2.

27. Inscribe un rectangulo de lados paralelos a los ejes y perımetro 12 en la elipsex2 + 2y2 = 6.

28. Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la elipsex2

9+

y2

16= 1,

en el punto de abscisa 1 situado en el primer cuadrante.

29. Inscribe un triangulo equilatero en la hiperbola x2 − 7y2 = 4, que tenga un verticeen un vertice de la hiperbola.

30. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la parabola y2 = 8x en lospuntos de abscisa x = 2.

*********************

31. Sean A y B puntos del plano y k un numero real no negativo. Sea −→u un vectorunitario de R2. Dibujar los siguientes conjuntos:

a) {X ∈ R2 : |d(X,A)2 − d(X,B)2| = 2k}b) {X ∈ R2 :

−−→AX,−→u 〉 = k}

32. Sea P un punto de la region encerrada por el triangulo equilatero ABC. Pruebaque la suma de las distancias de P a los lados del triangulo es una cantidad que nodepende de P .

33. Sea P un punto del lado desigual de un triangulo isosceles. Demuestra que la sumade distancias de P a los otros dos lados es una cantidad que no depende de P .

34. Para cada punto P de la hiperbola xy = a2 se considera el triangulo que tiene porlados a los ejes de coordenadas y a la tangente en P a la hiperbola. Demuestra queel area de dicho triangulo es independiente del punto P escogido.

35. a) Sea (a, b) un punto de la recta x + y = 2. Prueba que a2 + b2 ≥ 2.

b) Sea (a, b, c) un punto del plano x + y + z = 3. Prueba que a2 + b2 + c2 ≥ 3.

36. a) Sea A una matriz con coeficientes reales con 2 filas y 2 columnas. ¿Cuantovale |(A · At)| ?

b) Es posible que dos matrices no cuadradas A y B puedan ser multiplicadas porlos dos lados AB y BA. ¿Que condicion deben cumplir?

37. Un cuadrado magico de tamano n es una matriz de orden n × n cuyos elementosson los enteros 1, 2, · · · , n2, de forma que las sumas de los elementos de cada fila,columna o diagonal son iguales.

a) Prueba que no existen cuadrados magicos de orden 2.

b) Completa el siguiente cuadrado magico:8 1 xx x xx x x

38. Construye un cuadrado cuya area sea el doble (la mitad) del area de otro cuadradodado.

39. Dados varios cuadrados, construye otro cuya area sea la suma de las de todos ellos.

40. La recta r corta al par de lados opuestos AB y CD de un cuadrado ABCD en lospuntos M y N . Otra recta s, perpendicular a la anterior, corta a los lados BC yDA en los puntos P y Q. Demuestra que los segmentos MN y PQ tienen iguallongitud.

41. Las rectas r y r′ se cortan en el punto A. La recta s, perpendicular a r, corta a r yr′ en los puntos B y C. Otra recta s′, paralela a s, corta a r y r′ en los puntos B′

y C ′. Se forman ası dos triangulos rectangulos ABC y AB′C ′. Utiliza este hechopara demostrar que

AB

AB′ =AC

AC ′ =BC

B′C ′

Demuestra el mismo resultado para un par de rectas paralelas s y s′ no perpendicu-lares a r.

42. En el triangulo ABC, rectangulo en C, la altura CH sobre la hipotenusa divide aesta en dos segmentos de longitudes 9 y 16 cm. El punto N del lado BC es tal queAN corta a CH en su punto medio M . Determina AN.

FUNCIONES REALES. NUMEROS COMPLEJOS

1. Encuentra todos los numeros realesx que verifican:

a) (x − 1)(x − 3) > 0

b)1

x + 1>

1

1 − xc) |x − 1| + |x + 1| < 1

d) 5 < x2 − 14x + 50 < 26

e)

∣

∣

∣

∣

x − 1

x + 3

∣

∣

∣

∣

< 2

2. Si la grafica def(x) es la de la de la figura, esboza las graficas de:

a) y = 2f(x) b) y = 2 − f(x) c) y =1

f(x)d) y = f(x + 1) e) y = |f(x)|

f) y = f(|x|) g) y = f(2x) h) y = f(x/3) i) y = f(−x) j) y = f(2 − x).

0 1

3. Representa las funcionesf1(x) = sen2 x, f2(x) = sen x2, f3(x) = | sen x| yf4(x) = sen |x|.

4. Representa las funcionesf(x) = 1/x, g(x) = 1/(x − 1) y h(x) =2x + 5

x − 1.

5. Esboza las graficas de las funcionesy = 5 sen 2t; y = −5 sent

2; y = 1 + 2 sen t.

6. Esboza las graficas de las funcionesy = e2x, y = ex/2, y = e−3x, y = ex−4, y = ex2

y y = e−x2

.

7. Encuentra formulas tipo seno que pudieran responder a las siguientes graficas:

i) ii) iii)

8. Considera, para distintos valores deb, la funcionf definida por

f(x) =

x2 − 4 si x < 2

b(x − 2) si x ≥ 2

a) Representa la grafica def para los valores deb = −1, 0, 2.

b) ¿Para que valores deb esf continua? ¿Para que valores deb esf derivable?

9. Se considera la funcionf(x) = x2 + 1

a) Para cadaa ∈ R, escribe la ecuacion de la recta tangente a la grafica def(x)en el punto(a, f(a)). ¿Para que valores dea la recta tangente pasa por elorigen?

b) Determina la recta tangente a la grafica def(x) que es paralela ay = −4x.

10. Sif(x) = ax2 + bx + c, ¿que puedes decir sobrea, b y c en cada uno de los casossiguientes?

a) (1, 1) esta en la grafica def .

b) (1, 1) es el vertice de la grafica def .

c) El punto de corte de la grafica def con el ejey es(0, 6).

Encuentra una funcion que satisfaga las tres condiciones anteriores.

11. Determina todas las funcionesf de la formaf(x) = ax3 + bx2 + cx + d cona 6= 0 y que verificanf ′(−1) = f ′(1) = 0. ¿Alguna de las funciones determinadasanteriormente verificaf(0) = f(1)? Justifica las respuestas.

12. Supon que cada una de las graficas siguientes responde aun polinomio. Contesta,para cada una de ellas, a las cuestiones siguientes:

a) ¿Cual es el menor grado posible de dicho polinomio?

b) ¿Que signo tiene el coeficiente principal?

13. Seaf : R → R una funcion derivable enR; seana y b dos raıces de la derivadaf ′ tales que entre ellas no hay ninguna otra raız def ′(x). Razonar debidamente sipuede ocurrir cada una de las siguientes posibilidades:

a) Entrea y b no existe ninguna raız def(x).

b) Entrea y b existe una sola raız def(x).

c) Entrea y b existen dos o mas raıces def(x).

14. ¿Cuantos puntosx del intervalo[0, 1] satisfacen la igualdadx = cos x? Justifica larespuesta y enuncia los teoremas que utilices.

15. Una de las siguientes graficas es parte de la grafica de lafuncionf(x) = sen 2x +2e−x. Decide cual y justifica tu respuesta.

i) ii) iii)

16. Las graficas i), ii) y iii) corresponden, no necesariamente por ese orden, a las de unafuncion derivablef , su funcion derivadaf ′ y una primitivaF def . Identifica cadagrafica con la funcion justificando la respuesta.

i) ii) iii)

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

17. La figura siguiente representa la grafica de una funcionf : [0, 7] → R .

0 2 4 6 8−2

−1

0

1

2

SeaF : [0, 7] → R la funcion definida porF (x) =∫ x

0f(t)dt.

a) CalculaF (4) y F (7).

b) Dibuja la grafica deF explicando como lo haces.

18. De una funcion continuaf : [−1, 1] → R se sabe que para cadax en dicho intervalose tiene|f(x)| ≤ 1 + x2. De los numeros−3, −2, −1, 2′5 y 2′75, ¿cuales puedenser el valor de la integral

∫ 1

−1f(x)dx? Justifica la respuesta.

19. Tres estudiantes no se ponen de acuerdo sobre el valor de la integral∫ π

0sen4 xdx.

Antonio dice que es igual aπ, Beatriz dice que vale3π

8y Carlos que vale(

3π

90−1).

Uno de ellos esta en lo cierto. ¿Quien es? No intentes calcular esta integral. Elimina,justificadamente, las dos respuestas erroneas.

20. Seaf : [−a, a] → R con a > 0 una funcion continua tal que∫ a

−af(x) dx = 0.

Responde a las siguientes preguntas:

a) ¿Es necesariamentef(x) = 0 para todox ∈ [−a, a]?

b) ¿Es necesariamente∫ a

−a|f(x)|dx = 0?

c) ¿Cuanto vale∫ a

−a(f(x) + 2x)dx?

21. a) Representa la funcionf para los valoresb = −1, 0, 1, 2.

f(x) =

1

x − 1si x < 0

x2 + bx − 1 si x ≥ 0

b) Estudia, segun los valores deb, la derivabilidad de la funcionf . Calcula∫ 3

−1f(x)dx cuandof es derivable.

22. Considera la funcionf : R → R definida porf(x) = |x + 2||x − 2|. Determinalos puntos dondef es derivable y halla sus maximos y mınimos locales. Calcula∫ 3

02f(x) dx.

23. De entre todos los triangulos isosceles de perımetro60 cm, calcula las dimensionesdel de mayor area.

24. Se tiene un alambre de2 m. de longitud y se desea dividirlo en dos partes paraformar con la primera un cuadrado y con la segunda un cırculo. Hallar la longitudde cada parte resultante para que la suma de las areas de las dos figuras sea: a)maxima; b) mınima.

25. Para cadar ≥ 1 se define la funcionfr : [0,∞) → [0,∞) mediantefr(x) = xr.

a) Determina la ecuacion de la recta tangente a la grafica defr en el punto(1, 1).

b) Calcula el areaA(r) de la region limitada por la grafica defr, su tangente enel punto(1, 1) y el ejeOX.

c) ¿Para que valor der ≥ 1 es el areaA(r) maxima?

*********************

26. Justifica que el polinomioP (x) = x3 + x + 1 tiene una raız en el intervalo[−1, 0].¿Posee alguna raız mas?

27. El caudal de agua que sale de un deposito de200 litros es variable y viene dado porla ecuacionC(t) = 5 − 0, 1t (t en minutos,C en litros/minuto).

a) Dibuja la grafica del caudal en funcion del tiempo.

b) Calcula el area bajo la curva en el intervalo[0, 50]. Interpretar el resultado.

c) Dibuja la funcion que determina el volumen de agua del dep´osito en funciondel tiempo.

28. La velocidad de un movil que parte del origen viene dada en m/s por la grafica.

0 1 2 3 4 5 6−1

0

1

2

3

a) Calcula la funcion espacio recorrido.

b) Dibuja la grafica de la funcion espacio recorrido-tiempo.

c) Prueba que el area bajo la curva que da la velocidad coincide con el espaciototal recorrido.

29. De todas las primitivas de la funcionf : R → R dada porf(x) = 1 + x|x|,determina aquella cuya grafica pasa por el punto(1, 0).

30. Seaf una funcion continua tal que para cualquiera que seax > 0 se cumple que∫ 0

−xf(t) dt = −

∫ x

0f(t) dt. Prueba que en ese casof(−x) = −f(x) para todo

x > 0.

31. a) Esboza la grafica de la funcion dada porf(x) =1

x2 − 4

b) ¿Que signo tiene∫ 1

−1f(x) dx? Justifica tu respuesta.

c) Calcula el valor de la integral del apartadob) descomponiendo el integrandoen fracciones simples.

32. Supon quef y g son funciones derivables para las que se verifican las dos condi-ciones siguientes:

1) f(0) = 0 y g(0) = 1

2) f ′(x) = g(x) y g′(x) = −f(x).

a) Seah(x) = f 2(x) + g2(x). Calculah′(x) y utiliza el resultado que obtengaspara demostrar quef 2(x) + g2(x) = 1 para todox.

b) Supon queF y G son otro par de funciones derivables que satisfacen las con-diciones 1) y 2) y seak(x) = [F (x)− f(x)]2 + [G(x)− g(x)]2. Calculak′(x)y utiliza el resultado que obtengas para deducir que relacion existe entref(x)y F (x) y entreg(x) y G(x).

c) Muestra un par de funcionesf y g que satisfagan las condiciones 1) y 2).¿Puede haber otras? Justifica tu respuesta.

33. Demuestra que la ecuacioncos x + x sen x − x2 = 0 tiene exactamente dos raıcesreales.

34. Dada la funcionf : R → R definida por

f(x) =

(x − 1) + cos(x − 1) si x ≤ 1

sen(x − 1)

x − 1si x > 1

a) Determina los puntos en los quef es continua y los puntos en los quef esderivable.

b) ¿Cumplef en [0, 2] las condiciones del teorema de Rolle?

35. Considera la funcionf : R → R definida porf(x) = 5 + (x − 1)4(x + 2)3.

a) Demuestra que la ecuacionf ′(x) = 0 tiene al menos una solucion en el inter-valo (−2, 1).

b) Demuestra que la ecuacionf(x) = 0 tiene exactamente una solucion menorque−2.

c) Demuestra quef(x) = 0 no tiene ninguna solucion mayor que−2.

36. Para cada una de las dos condiciones siguientes, encuentra todos los polinomiosP ,de grado≤ 2, que las satisfacen para todox,

a) P (x) = P (−x).

b) P (2x) = 2P (x).

37. Halla el punto de la parabolax2 = 4y de abscisa no negativa que menos diste de(0, 3

2).

38. Calcula las dimensiones del trapecio de perımetro maximo que se puede inscribiren una semicircunferencia de radior si una base del trapecio ocupa todo el diametrode la semicircunferencia.

39. Para obtener el maximo beneficio, un cargamento de frutas debe llegar al mercadolo mas pronto posible despues de la recogida. Si un agricultor envıa su produccioninmediatamente despues de la recogida, obtendra100 cajas con un beneficio de10euros por caja. Si espera, podra enviar25 cajas mas por semana pero, como tambienlos competidores produciran mas, el beneficio bajara1 euro por caja y por semana.¿Cuando debe enviar la fruta para que el beneficio sea maximo? Calcula este.

Numeros complejos

40. Resuelve las siguientes cuestiones.

a) Determina los numeros complejos cuyo cuadrado sea igual asu conjugado.

b) Encuentra los numeros complejos cuyo conjugado coincidecon su inverso.

c) Halla los numeros complejos que son iguales al cuadrado desu conjugado.

d) Encuentra los numeros complejos cuyo cuadrado coincide con el cuadrado desu conjugado.

e) Encuentra los numeros complejosz tales que la suma (respectivamente, ladiferencia) dez y su conjugado es nula.

f ) Halla los numeros complejos cuyos inversos son iguales a sus opuestos.

g) Determina los numeros complejos cuyo cuadrado sea:

imaginario puro

real positivo

real negativo

41. Siz 6= 0 es un numero complejo, prueba quez, 1z, 0,−z, −1

zestan alineados. Decide

cuales estan en la misma semirrecta quez de las dos que determina el origen0.Escribe−z, 1/z, z y 1/z en forma modulo-argumental.

42. Seaz ∈ C\{1} y tal que|z| = 1. Prueba quez+z−1 es real y que1+z1−z

es imaginariopuro.

43. a) Consideraz, w ∈ C distintos, no nulos y no alineados con0, y el cuadrilateroKque tiene como vertices0, z, w, z+w. Justifica queK es un paralelogramo. Calculalas longitudes de los lados deK. Comprueba que las diagonales deK miden|z+w|y |z − w|.b) Identidad del paralelogramo. Prueba que para todosz, w ∈ C se verifica que2(|z|2 + |w|2) = |z +w|2 + |z−w|2. Interpreta este resultado a la vista del apartadoanterior.

44. Calcula las raıces cubicas de la unidad y representalas graficamente. Calcula elproducto de las dos raıces distintas de1 y el cuadrado de cada una de ellas.

45. Determina las tres raıces cubicas de−64 y sus seis raıces sextas.

46. Seanz = 1−i y w = 1+√

3i. Determina los numerosp, q ∈ N tales quezp, wq ∈ R.

47. Determina, en cada caso, los numeros realesx, y que cumplen a)x + iy = |x + iy|,b) x + iy = ((

√2 − i

√2)/2)8n+3, conn ≥ 1, c) x + iy =

∑100k=0 ik.

48. a) Seann ≥ 2 y P (z) = zn−1 + zn−2 + zn−3 + .... + z2 + z + 1. Demuestra quelas raıces n-esimas de la unidad distintas de1 son las soluciones de la ecuacionP (z) = 0. [Sugerencia: usa que1 es solucion dezn − 1 = 0].

b) Prueba que siw = cos(2π/5) + i sen(2π/5), entoncesw satisface la ecuacionz4 + z3 + z2 + z + 1 = 0.

49. a) Justifica que siw es raız de un polinomioP con coeficientes reales, entonceswtambien lo es.

b) Calcula las soluciones de la ecuacionz7 + z5 − z2 − 1 = 0. [Observa quei essolucion].

c) Razona por que al menos una de las raıces de la ecuacion2z3 −3z2 −4z +1 = 0debe ser real.

50. En el conjuntoC de los numeros complejos se define la relacion≤ definida por

a + bi ≤ c + di (o, equivalentemente,c + di ≥ a + bi) si

a < co biena = c y b ≤ d

a) Analiza si≤ es una relacion de ordenC y si es total o parcial. Comprueba que−i ≤ 0 ≤ i.

b) Recuerda que six, y son numeros reales positivos, entoncesx + y y x·y sontambien positivos. Para la relacion≤ introducida enC, comprueba que se cumplequez + w ≥ 0 si z, w ≥ 0. ¿Se verifica que el productoz·w ≥ 0 cuandoz, w ≥ 0?

51. Comprueba las siguientes afirmaciones, para la transformacionT :

T : C \ {0} → C , dada porT (z) =z

|z|2 =1

z

a)T (T (z)) = z, para todoz 6= 0 ; T (z) = z si |z| = 1 y |T (z)| < 1 ⇔ |z| > 1.

b) Si z = x + iy 6= 0 esta en la rectay = x, entoncesT (z) tambien.

c) Si z = x + iy esta en la rectax = 1, entoncesT (z) esta en la circunferencia decentro1/2 y radio1/2.

d) Si z 6= 0 esta en la circunferencia|z − 2| = 2, entoncesT (z) esta en la rectax = 1/4.

e) Siz esta en la circunferencia|z− 2| = 1, entoncesT (z) esta en una circunferen-cia: ¿en cual?

*********************

52. Dadasf(z) = z3−2iz2−(1−i)z−2i y g(z) = 2z3+(1+i)z2−(3+2i)z−7+16icalculaf(i), f(1−i), g(1+i), g(2−i) y g(2i). [Solucion:f(i) = −1−2i, f(1−i) =−6 − 2i, g(1 + i) = −14 + 17i, g(2 − i) = −4 − 8i y g(2i) = −7 − 10i].

53. a) Halla el valor deE = (1 +√

3i)n − (1−√

3i)n, siendon un numero natural.

b) Halla los valores den naturales para los que(1+i)n es un numero real positivo.

54. a) Prueba que si el numero complejoz es solucion de la ecuacionax2 + bx+ c =0, siendoa, b y c numeros reales, tambien es solucion su conjugadoz.

b) Razona por que al menos una de las raıces de la ecuacion2z3−3z2−4z+1 = 0debe ser real.

55. Determina los conjuntosC1 = {z ∈ C : |z − 3i| = 2}, C2 = {z ∈ C : |z −3ieiπ/4| = 2} y C3 = {z ∈ C : |eiπ/3z − 3i| = 2}.

56. Se consideran un numero realr ∈ (0, 1) y w ∈ C tal que|w| < 1.

a) Describe el conjunto{eit + re−it : t ∈ [0, 2π]}.

b) Describe el conjunto{eit + we−it : t ∈ [0, 2π]}. [Sugerencia: siw = |w|eiθ,escribeeit + we−it = ei(θ/2)(ei(t−θ/2) + |w|e−i(t−θ/2)) ].

Estrategias del pensamiento matematico

Familiarızate con el problema

1. Sobre la mesa has colocado todo un capital, 25 monedas de 2 Euros como se ve enla figura 1. Viene una mosca volando y se posa sobre una de las monedas. Se le

Figura 1:

ocurre de repente que le gustarıa patear todas las monedas andando, pasando deuna moneda a otra que la toque y sin repetir monedas. ¿Podra hacerlo? ¿Podrıashacerle el itinerario?

2. En cada estacion de una red ferroviaria se venden tantos billetes distintos comoestaciones a las que se puede llegar desde dicha estacion (el billete de A a B

es distinto del de B a A). Se inaugura una nueva lınea con varias estaciones yeso obliga a imprimir 34 nuevos billetes distintos. ¿Cuantas estaciones habıa ycuantas nuevas se han inaugurado?

3. Dijo, mirando la fotografıa de un senor barbudo: ”Ni hermanos ni hermanastengo, pero el padre de este hombre es el hijo de mi padre”. ¿De quien es la foto?

4. Dijo, mirando la fotografıa de otro senor barbudo: ”Ni hermanos ni hermanastengo, pero el hijo de este hombre es el hijo de mi padre”. ¿De quien es la foto?

5. Observa:1 · 2 · 3 · 4 = 24 = 52 − 12 · 3 · 4 · 5 = 120 = 112 − 13 · 4 · 5 · 6 = 360 = 192 − 1

¿Sera verdad que el producto de cuatro enteros consecutivos es siempre un cua-drado perfecto menos 1?

Empieza por lo facil

6. Siempre que se tiene un angulo BCA con A, B y C sobre una circunferencia decentro O (ver figura 2), el angulo BAC mide la mitad que el BOC. ¿Recuerdascomo se demuestra?

Figura 2:

7. Que un polıgono sea convexo quiere decir que no tiene entrantes:

¿Cuanto suman los n angulos de un polıgono convexo de n lados? ¿Y cuantosumaran los n angulos exteriores del polıgono?

Busqueda de estrategias diversas

8. Los trillizos Tronchez tienen la molesta costumbre siguiente: Cada vez que se leshace una pregunta, dos de ellos dicen la verdad y el otro la mentira acerca de lapregunta. Les pregunte cual de los tres habıa nacido primero. Me contestaron:

Perico: ”Pepe nacio primero”.

Pepe: ”Yo no soy el mayor”.

Pablo: ”Perico nacio el primero”. ¿Cual de los tres nacio primero?

9. ¿Cuantos rectangulos de lados paralelos a los lados del tablero hay en el tablerode ajedrez?

10. Sobre una mesa hay vasos de papel, unos boca arriba, otros boca abajo. In-virtiendo dos al tiempo cada vez ¿podre conseguir ponerlos todos boca arriba?¿Cual es el mejor procedimiento? ¿Y si supongo que hay tres o mas vasos y mepermito volver 3 a la vez?

11. Dos jugadores, Antonio y Basilio, juegan de la siguiente forma. Antonio colocasobre la mesa un numero de cerillas, entre 20 y 50 las que el quiera. Basilio quitade ese monton entre 1 y 10 cerillas. Luego Antonio quita entre 1 y 10 cerillas delas que queden, etc. Gana el que se lleve la ultima cerilla y deje la mesa vacıa.¿Quien prefieres ser, Antonio o Basilio? ¿Como jugarıas?

12. Se dan dos puntos A y B en el interior del primer cuadrante, situados como indicala figura 3:

Figura 3:

Se trata de construir un camino, lo mas corto posible, que:

(a) Parta del punto A.

(b) Vaya de el a un punto de Ox.

(c) transcurra por Ox una longitud 1.

(d) Vaya despues a Oy.

(e) Transcurra por Oy una longitud 2.

(f) Vaya al punto B.

13. En el cuadrilatero ABCD se trazan los puntos medios M de AB, N de BC, P

de CD y Q de DA. ¿Que figura es MNPQ?

14. Elige un numero cualquiera de tres cifras no todas iguales (por ejemplo el 563).Dale la vuelta (365). Resta el menor del mayor (aquı, 563− 365 = 198). Ahorainvierte este numero (resulta 891). Suma los dos ultimos numeros obtenidos(198 + 891 = 1089). Ahora haz lo mismo partiendo de otros numeros de trescifras. ¿Que observas? ¿Puedes dar con la razon?

15. Escoge un numero de tres cifras no todas iguales, por ejemplo 352. Ordena suscifras de mayor a menor: 532. ordenalas ahora de menor a mayor: 235. Resta532− 235 = 297. Haz lo mismo con el resultado y repite las mismas operaciones.Ahora repite lo mismo partiendo de otro numero en lugar del 352. ¿que observas?¿Puedes explicar lo que pasa? ¿Pasara algo semejante con numeros de dos cifraso con numeros de cuatro cifras?

16. En las 8 casillas de la figura siguiente se trata de colocar los numeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

de modo que no resulten dos consecutivos juntos ni en diagonal, ni en horizontal,ni en vertical.

Hazte un esquema, una figura, un diagrama

17. Una hormiga se ha subido a un alambre que tiene la siguiente forma. Desea

hacer un recorrido por todos los puntos gordos pasando una sola vez por cadauno. ¿Podrıas ayudarle a hacerse su itinerario por el alambre?

18. Coloca una tira de papel sobre la mesa. La doblas por la mitad, levantandola parte derecha de la tira y colocandola sobre la parte izquierda. Desdoblasy aparece un pliegue con su pico hacia abajo, hacia la mesa. Ahora doblas dosveces, una vez repitiendo la operacion anterior y luego volviendo a plegar la partederecha sobre la izquierda. Desdoblas: aparecen en la tira tres pliegues, unoshacia arriba y otros hacia abajo. Doblas tres, cuatro, cinco veces...Mas pliegues.Si fueras capaz de doblar siete veces la tira, ¿me podrıas decir si al desdoblar elpliegue numero 27 a partir de la izquierda estarıa hacia abajo o hacia arriba?

19. ¿Para que valores de a tiene el sistema

{

x2 − y2 = 0(x − a)2 + y2 = 1

0, 1, 2, 3, 4, 5 soluciones reales distintas?

Escoge un lenguaje adecuado, una notacion apropiada

20. Observa:52 = 25 = 24 + 1 = 2 · 12 + 172 = 49 = 48 + 1 = 4 · 12 + 1112 = 121 = 120 + 1 = 10 · 12 + 1132 = 169 = 168 + 1 = 14 · 12 + 1

¿Sera verdad que si p es cualquier numero primo mayor que 3, entonces p2 es unmultiplo de 12 mas una unidad?

21. Me encuentro con las siguientes afirmaciones.

• Si n es un entero positivo tal que 2n+1 es cuadrado perfecto, entonces n+1es la suma de dos cuadrados perfectos consecutivos.

• Si n es tal que 3n + 1 es cuadrado perfecto, entonces n + 1 es la suma detres cuadrados perfectos.

¿Como demostrarlas? ¿Sera verdad que si n es tal que 4n+1 es cuadrado perfecto,entonces n + 1 es la suma de cuatro cuadrados perfectos?

22. Demuestra que si a, b, c son tres numeros impares, la ecuacion ax2 + bx + c = 0no puede tener raıces racionales.

Busca un problema semejante

23. Te hablan de un polıgono convexo con 7 angulos rectos. ¿Puede ser eso? ¿Cuantosangulos rectos como maximo puede tener un polıgono convexo de 3, 4, 5, 6....lados?

24. ¿En cuantos ceros termina el numero 100! = 100 · 99 · 98 · . . . 3 · 2 · 1?

25. Trata de pintar, sin levantar el lapiz del papel y sin recorrer dos veces una mismalınea, cada una de las figuras siguientes:

26. Demostrar que P (x) = x7 − 2x5 + 10x2 − 1 no puede tener ninguna raız mayorque 1. Un problema equivalente serıa: Haz x = y + 1 y trata de demostrar queQ(y) = P (y + 1) no tiene ninguna raız mayor que 0.

Induccion

27. Demostrar que para todo n = 1, 2, 3, 4...

1√1+

1√2+ . . . +

1√

n< 2

√n

28. Observa:16 = 42

1156 = 342

111556 = 3342

11115556 = 33342

¿Como sigue la cosa? ¿Por que?

Reduccion al absurdo

29. Prueba que si n no es un cuadrado perfecto, entonces√

n es irracional.

Supongamos el problema resuelto

30. Tres personas juegan al billar de forma que, despues de cada partida, el jugadorque pierde deja el puesto al que no estaba jugando. Si el jugador A ha jugado 10partidas, el jugador B ha jugado 15 y el C 17, ¿quien no jugo la primera partida?

31. De la situacion de la figura 4 trata de pasar a la de la figura 5. En cada movimientose deben desplazar simultaneamente dos monedas contiguas, sin separarlas nialterar su orden, poniendolas a continuacion de otra de las monedas.

Figura 4:

Figura 5:

VISUALIZACION

1. Cada uno de los graficos siguientes proporciona una demostracion de que la suma

de un numero real positivo y su inverso es mayor o igual que 2. Es decir: x+1

x≥ 2,

para todo x > 0. ¿Por que basta para justificarlo para x > 1?

2. Apoyate en el grafico para justificar las desigualdades que se cumplen para lasmedias armonica, geometrica, aritmetica y cuadratica: Si a, b > 0 son distintos, secumple

2ab

a + b<√

ab <a + b

2<

√a2 + b2

2

PM = a, QM = b a > b > 0 AG =a− b

2, AR =

a− b

2,

HM =2ab

a + b< GM =

√ab < AM =

a + b

2< RM =

√a2 + b2

2

3. a) Descompon un cuadrado de lado n + 1 en cuadrados y rectangulos adecuadospara demostrar que si n ∈ N se verifica que (n + 1)2 = n2 + 2n + 1.

b) Descompon un cubo de lado n+1 convenientemente para demostrar que (n+1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1 para todo n ∈ N.

4. Usa el grafico para justificar visualmente que para cada n ∈ N se cumple que1 + 3 + 5 + ..... + (2n− 1) = n2.

5. Justifica visualmente la formula que proporciona la suma de los cuadrado de los nprimeros numeros de la sucesion de Fibonacci.

F1 = F2 = 1Fn+2 = Fn+1 + Fn

}⇒ F 2

1 + F 22 + · · ·+ F 2

n = FnFn+1

6. Da una demostracion visual de las siguientes igualdades entre conjuntos:

a) A ∪B = (A \B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩B).

b) (A ∩B) = A ∪B.

c) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

7. Dado un conjunto finito A = {a1, a2, . . . , an}, se considera una relacion R en A.Puede describirse la relacion R a traves de una matriz R = (rij)

ni,j=1 que solo tiene

0’s y 1’s en sus coordenadas, distribuidos de la siguiente manera: rij = 1 si aiRaj

y rij = 0 si ai no esta relacionado con aj por R.

a) ¿Como ha de ser la matriz R para que la relacion sea simetrica?

b) ¿Como han de ser los elementos de la diagonal de R para que la relacion seareflexiva?

c) ¿Como ha de ser la matriz R para que la relacion sea antisimetrica?

d) Dado A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, escribe la matriz que representala relacion mRn si m|n. Analiza la forma de la matriz de acuerdo con losaspectos estudiados en los apartados anteriores.

8. Recuerda que un grafo completo de k vertices posee(

k2

)aristas. Justifica que los

grafos que aparecen en la figura proporcionan una demostracion visual -idea de JoeDiMaio- de la siguiente formula, para los valores n = 5 y m = 3.

(n + m

2

)=

(n

2

)+

(m

2

)+ nm .

9. Dibuja en un segmento su punto medio. En la mitad izquierda, dibuja el puntomedio; en esa mitad, dibuja el punto medio. Tras repetir el proceso n veces, veacumulando los segmentos de la derecha en cada caso. Justifica visualmente a travesde tu grafico que

1

21+

1

22+

1

23+ · · ·+ 1

2n= 1− 1

2n.

10. Observa que si partimos del triangulo rectangulo isosceles de area 1, se tiene que:

1

2+

(1

2

)2

+

(1

2

)3

+

(1

2

)4

+ · · · = 1

11. Imagina que repartes un pastel con un companero de la siguiente manera: lo cortasen tres partes iguales y cada uno se queda con una. El trozo restante, lo partesde nuevo en tres trozos iguales y os quedais cada uno con uno, compartiendo eltrozo sobrante de igual manera: dividiendolo en tres partes iguales, asignando unaa cada uno y repartiendo la restante de forma analoga. Interpreta este proceso parajustificar que

2(1

31+

1

32+

1

33+ · · ·+ 1

3n) = 1− 1

3n

y deducir que1

31+

1

32+

1

33+ · · · = 1

2.

12. Si a, b son numeros reales distintos, halla el conjunto de numeros reales x tales que|x− a| > |x− b|. Si A,B son dos puntos distintos del plano, determina el conjuntode puntos P del plano tales que d(P, A) > d(P, B).

13. Identifica los conjuntos A = {x ∈ R : |x + 3| + |x − 5| > 12} y B = {x ∈ R :||x− 2| − |x− 1|| < 1}.

14. Esboza la grafica de la funcion g si su derivada g′ viene dada por la grafica.

g’

15. Sabiendo que f ′(x) = (x− 1)(x− 2)2(x− 3)3, esboza la grafica de y = f(x).

16. a) Demuestra graficamente que si f es una funcion continua en el intervalo [0, 1]y cumple que 0 ≤ f(x) ≤ 1 para todo x ∈ [0, 1] , entonces f tiene un puntofijo. [Es decir: la grafica de f , que esta contenida en el cuadrado [0, 1]× [0, 1],corta la diagonal y = x].

b) Justifica que si, ademas, f es derivable y f ′(x) 6= 1 para todo x ∈ [0, 1],entonces la grafica de f corta a la diagonal en un unico punto.

17. Si x ≥ 0, prueba que sen x ≤ x.

18. Calcula graficamente∫ 3

−3|x + 2|dx.

19. Si f es una funcion derivable en R que verifica f(−x) = −f(x) para todo x ∈ R,decide si es cierta alguna de las siguientes afirmaciones:

a) f ′(−a) = −f ′(−a) ∀a ∈ R.

b) f ′(−a) = f ′(a) ∀a ∈ R.

c) f ′(−a) = −f ′(a) ∀a ∈ R.

d) Nada de lo anterior.

20. Imagina que la recta r es tangente a la curva y = f(x) en el punto A = (5, 3) comose indica en la figura. Calcula f(5) y f ′(5).

r

•(0, 1)

.A•

21. Los puntos P , Q y R estan sobre la grafica de una funcion f : [−1, 1] → R, queadmite derivada primera y derivada segunda en [−1, 1]. Para todos los numeros xcon −1 < x < 0, f ′′(x) < 0 y para todo x con 0 < x < 1, f ′′(x) > 0. ¿Cual de lassiguientes afirmaciones tiene que ser correcta?

·P

·Q

·R[ ]

a) f ′(0) = 0;

b) f presenta un maximo en x = 0;

c) f presenta un mınimo en x = 0;

d) Existe c, con −1 < c < 0, donde f presenta un maximo;

e) Existe d, con 0 < d < 1, donde f presenta un maximo.

22. Imagina que f es una funcion continua. ¿Cual de las siguientes afirmaciones esverdadera?

a)∫ b

af(x− k) dx =

∫ b−k

a−kf(x) dx

b)∫ b

af(x− k) dx =

∫ b

af(x + k) dx

c)∫ b

af(x− k) dx =

∫ b+k

a+kf(x) dx

d)∫ b

af(x− k) dx =

∫ b+k

a+kf(x + k) dx

e) Nada de lo anterior.

23. Representa los puntos del plano de coordenadas (x, y) tales que:

(a) |x + 2| = 2(3− x). (b) x2 + y2 ≤ 1. (c) y − x ≥ 1.

(d) |x + 1|+ |x− 4| > 7. (e) |x|+ |y| = 1. (f) |x| − |x− 2| = 2.

(g) |x + y|+ |x− y| ≤ 4. (h) 2|x + 1| > x + 4. (i) x2 + |x− 1| = 1.

(j)

{y + x− 1 = 0|y| − x− 1 = 0

. (k)

{x2 + y2 = 41x + y = 9

. (l) |xy| < 1.

(m) 4 ≤ x2 + y2 ≤ 2(|x|+ |y|). (n)x2

16+

y2

9≤ 1. (o)

x2

16− y2

9≤ 1.

24. Un octogono regular tiene por vertices opuestos los puntos i y −i. Determina elresto de sus vertices. Para cierto numero complejo w no nulo, ¿sabrıas describir eloctogono que tiene como vertices opuestos los numeros iw y −iw?

25. Sea z ∈ C un punto de la circunferencia cuyo centro es el punto 1 y que tiene radio1. Demuestra que los puntos 1, z y 1 + z2 estan alineados.

26. Justifica graficamente que el area de un paralelogramo es el producto de la base porla altura.

27. Demuestra visualmente que el area de un triangulo es la mitad del producto decualquiera de sus lados por la altura trazada sobre el desde el vertice opuesto.

28. Teorema de Pitagoras. En un triangulo rectangulo, la suma de los cuadrados delos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. A continuacion, se proponen dosdemostraciones visuales de este hecho.

Primera demostracion:

b

a

b

c

a

ac

ba

b

Segunda demostracion: