Lecture 15 probabilidad de error y ber en señales bandabase binaria

2S 2009 - I. Zamora Uni VI-Conf15: Detección e Intro. Teoría Estimación1

Comunicaciones II

Conferencia 15: Probabilidad de error y BER en señales digitales bandabase

UNIDAD VI: DETECCIÓN E INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA ESTIMACIÓNInstructor: Israel M. Zamora, P.E., MS Telecommunications Management

Profesor Titular, Departamento de Sistemas Digitales y Telecomunicaciones. Universidad Nacional de Ingeniería

Universidad Nacional de Ingeniería


Contenido

• PDF de variables aleatorias importantes• Detección Digital Binaria: el modelo de

estudio• Esquema de detección• El receptor óptimo• El dispositivo de decisiçon• Probabilidad de error de bit y BER:

– umbral y regla de decisión– Cálculo de Pe y BER


PDF de variables aleatorias importantes

• Las variables aleatorias mas comunmente usadas en comunicaciones son:

• Variable Aleatoria Bernoulli• Esta es una v.a. que toma dos valores uno o cero con probabilidades p y 1-p. Una v.a. de

Bernoulli es un buen modelo para un generador de datos binarios. También, cuando datos binario se transmiten sobre un canal de comunicación, algunos bits se reciben en error. Podemos modelar un error como la suma exor de un uno al bit de entrada, cambiando un 0 en 1 o un 1 en 0. Por tanto, una v.a. de Bernoulli puede ser empleada para modelar el error de canal.



• Variable Aleatoria Binomial• Esta es una v.a. discreta que dá el número de 1´s en una secuencia de n eventos

independientes según Bernoulli. La PMF está dada por:

• Esta v.a. modela, por ejemplo, el número total de bits recibidos en error cuando una secuencia de n bits se transmiten sobre un canal con una probabilidad de error p.

≤≤−

==

−

o.p. , ,0

0 ,)1()(

nkppk

n

xXPknk



• Variable Aleatoria Binomial


• Variable Aleatoria Uniforme• Esta es una v.a. continua que toma valores entre a y b con igual probabildades sobre un

invervalos de igual longitud. La función de densidad (pdf) está dada por:

• Este es un modelo para una v.a. continua cuyo rango es conocido, pero nada mas se conoce sobre la probabilidad de varios valores que la v.a. puede asumir. Por ejemplo, cuando la fase de una sinusoidal es aleatoria usualmente se modela como una v.a. uniforme entre 0 y 2π.


≤≤

= o.p. ,0

a ,a-b

1)(

bxxfX



• Variable Aleatoria Gaussiana• Esta es una v.a. descrita por la función de densidad de probabilidad (pdf) dada por:

• La variable aleatoria Gaussiana es la más importante y frecuentemente encontrada en comunicaciones. La razón es que el ruido término, el cual es la mayor fuente de ruido en los sistemas de comunicaciones, tienen una distribución gaussiana. Las propiedades del ruido Gaussiano serán investigadas en esta Unidad en cuanto su impacto en la probabilidad de error en el receptor.

2

2

2

)(

2

1)( σ

πσ

mx

X exf−−

=



• Función de Densidad de Probabildad Gaussiana

µ



• La CDF de una v.a. Gaussiana con media m= µ=0 y desviación estándar σ=1 se denota por:

dtexXPxx

t

∫ ∞−

−=≤=Φ 2

2

2

1)()(

π

• Una función muy relacionada es la función Q, de modo que: para P(X>x). Esta función es bastante común en cuanto a su tabulación y es usada con gran frecuencia en comunicaciones. En esta asignatura, nuestro análisis de probabilidad de error en la detección será expresado en términos de Q.

• Puede observarse que la función Q(x) satisface las siguientes condiciones:

)(1)( xxQ Φ−=

0)(

2/1)0(

)(1)(

=∞=

−=−

Q

Q

xQxQBONIFICACIÓN 4:

INVESTIGUE Y HAGA UN RESUMEN DE LA RELACIÓN DE LA FUNCIÓN Q CON LA

FUNCIÓN ERROR (ERF) Y LA FUNCIÓN ERROR COMPLEMENTO (ERFC)

SE ENTREGA EN UNA SEMANA.



• Existen ciertas acotaciones a la función Q que son ampliamente usadas para encontrar límites o fronteras a las probabilidades de error de varios sistemas de comunicación. Las dos acotaciones superiores mayormente usadas son:

0 21

)( 2

2

≥≤−

para xexQx

• La acotación inferior que se usa con frecuencia es:

0 2

1)( 2

2

≥≤−

para xex

xQx

π

0 e1

12

1)( 2

x-

2

2

≥

−> para x

xxxQ

π



• acotaciones superiores e acotación inferior



• Una variable Gaussiana puede ser descrita en términos de sus dos parámetros µ y σ por

N( µ y σ ). Para esta variable aleatoria, un simple cambio en la variable en la integral que calcula P(X>x) resulta en un cambio de argumento a (x-µ)/ σ , es decir:

)()( xQxXP =>)1,0(N

−=>

σµx

QxXP )(),( 2σµN



• Algunos valores de la función Q.

B.P. Lathi provee una extensa tabla para esta función en capítulo 10 del libro de referencia

indicado.


Detección Digital Binaria: Detección

Partimos de la selección de formas de ondas, o lo que conocemos como la salida del codificador de línea (modulador o filtro generador de pulsos), para los símbolos binarios 0 y 1:

Donde s(t) es una función real con duración T, dada por la expresión:

Esta señal es referida como una señalización encendido-apagado (on-off), o simplemente, de No Retorno a Cero (NRZ).

2)( o

n

NfS =

{ }[ ] [ ])()(1 1 tstsak =↔={ }[ ] [ ]00 0 =↔= (t)sak

≤≤

=,

TtA, s(t)

0

0

En otra parte

1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1A

0

Estructura del modelo para el análisis de detección de señales binarias AWGN

Filtro de formaDe onda

hT(t)Σ

Secuencia binaria PCM

Señalde ruido

{ }ka

)(tn

Detector:Filtro Óptimo

Acoplado

Dispositivode Decisión:Comparador

de Umbral

)(tr{ }ka

Tt =Señal

recibida Secuencia binaria(estimada)

)()( tthc δ=)()()( tsthts c =∗

F.T. Canal Ideal

Precodificador

{ }kb

Modulador

)(ts

Canal hc(t)

∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

−==k k

Tkk kTthbtsts )()()(

)()()()( tnthtstr c +∗=

)()( kTthbts Tkk −=Conjunto de formas de

ondas para {ak}(t)s

(t)s

0

1 )()()( tntstr okoo +=

)()()( TnTsTr okoo +=

−=

2

2

2exp

2

1)(

σπσn

nfNPSD del AWGN PDF del AWGN


Detección Digital Binaria: el Receptor Óptimo

La señal recibida, en vista que se considera un canal AWGN sin memoria, es:

2)( o

n

NfS =

El Receptor Óptimo: En vista que la señal recibida r(t) consiste de ambas señal de información y de ruido, el diseño del receptor óptimo trata de encontrar el h(t) del filtro acoplado de tal manera que (SNR)o (razón señal a ruido), a como se define en la ecuación siguiente, sea la máxima:

)()()( tntstr +=

)()( tTsth −=

Donde |sko(T)|2 es la potencia instantánea en la señal de salida sko(t) medida en el instante t=T. Esto, puede demostrarse, se logra seleccionando un filtro acoplado con una función de tranferencia dada por:

)()( tthc δ=

donde n(t) es el ruido aditivo blanco gaussiano (AWGN) con PSD dada por:

( ) [ ]máx

o

koo TnE

TsSNR

)(

)(2

2

=

Respuesta al impulso del Filtro Acoplado(F.T. en el dominio de la frecuencia)

El símbolo recibido a la salida del receptor acoplado es: )()()( tntstr okoo +=

El valor muestreado en t=T, del símbolo recibido a la salida del receptor acoplado es: inario) (caso b, k(T), n(T)s(T)r okoo 10=+=Donde sko (t) es la salida del filtro acoplado para la entrada s(t) y no(t) es la salida del filtro acoplado para la entrada n(t).


Detección Digital Binaria: el Receptor Óptimo

)()()( tntstr +=

Donde E es la energía de la señal sko(t), que puede obtenerse de:

Propiedad del Filtro Acoplado: La razón señal a ruido alcanza un valor máximo dado por:

)(ts

)(tn

)()()( thtstsko ∗=

)()()( thtntno ∗=)()()( tntstr oko +=

s(T-t)

s(T-t)

WSS WSS

[ ] ooo

koo N

EEN

E

TnE

TsSNR

2

2)(

)()(

2

2

2

=== con

2)( o

n

NfS =

dffSE ∫∞

∞−= )( donde )( fS es la transformada de Fourier de sk(t)

Y la potencia media de la salida del componente de ruido está dada por:

[ ] ∫ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−====

2)(

2)()()(

2222 ENdffS

NdffSfSdffSnE oo

nno o

)()( tTsth −=Observe que:WSS: Wide Sense Stationary


Detección Digital Binaria: el Dispositivo de Decisión

Para la señalización NRZ (on-off), utilizada hasta ahora, tenemos:

)()()( TnTsTr okoo +=

En general, un proceso cualquiera X(t) se dice es un proceso aletaor5io gaussiano si en un instante t, X(t) es una variable aleatoria gaussiana.Se observa que tanto ro(t) como no(t) son ambos procesos gaussianos.

Dispositivo y Variable de Decisión:La decisión se realiza sobre la base de la salida del detector, ro(t), cuando t=T. Definimos ro(T) como la variable de decisión, es decir, la variable de decisión está dada por:

A

Tt

A

Tt

)(1 1 ts↔ )()( tsth ↔

A

Tt

2T

)()()( 11 thtsts o ∗=

)(0 0 ts↔

≤≤−

≤≤

=

TtTtTA

TttA

ts o

parte otra ,0

2 ),2(

0 ,

)( 2

2

1

caso. en todo ,0)(0 =ts o

Partiendo que ro(t) y no(t) son variables gaussianas, se puede determinar sus valores medios y sus varianzas.


Dispositivo de

Decisión: Umbral γ

)()()( tntstr okoo +=)()()( TnTsTr okoo +=

{ }ka

Regeneración de onda PCM

γ

γ

T

T

t=T

t=T

Dispositivo deRegeneración

Si ro>γentonces S==> “1” γ

T

ro(T)

Pulso original

que representa

un “1”

El mismo pulso pero distorsionado

por el canal

Instante demuestreo

Pulso regeneradopara un “1”

Pulso original

que representa

un “0”

El mismo pulso pero distorsionado

por el canal

Dispositivo deRegeneración

Si ro<γentonces S==> “0”

γ

T

Pulso regeneradopara un “0”

Instante demuestreo

ro(T)

ro(T) es el valor muestreado,comparado con el umbra

de decisión γ .


Detección digital binaria: El dispositivo de decisión

Recordemos que si una variable aleatoria gaussiana X tiene media µ y varianza σ2, podemos denotarlos como:

),( 2σµNX ∼

A) El componente de ruido, no(t), tiene media cero, así su varianza es igual a su potencia media, es decir:

El ruido también tiene distribución

gaussiana

( )

−−=2

2

2exp

2

1)(

σµ

πσx

xf XPDF de la v.a. X de

tipo gaussiana

[ ] [ ] ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−==== dffHfSdffSTnETn nnoon oo

2222 )()()()()(varσ

Así:

Media

Varianza

[ ] 0)( =TnE o

[ ] [ ]2

)()(var 222 ENTnETn o

oono===σ

∼

2,0)(

ENNTn o

o

−=

EN

n

ENnf

oo

N

2

exp1

)(π



≤≤

= parte otra ,0

0 ,)(

TtAtsA) En general, si definimos una señal auxiliar:

Entonces: { } )()(1 11 tsAtsak =↔={ } )()(0 00 tsAtsak =↔=

Comparado al caso anterior, A1=1, A0=0.

Donde T es la duración del símbolo s(t), y A1 y A2 son constantes, luego la variable de decisión ro(T) tiene las siguientes ecuaciones:

∼

2,)( 1

ENsNTr o

oo

∼

2,)( 0

ENsNTr o

oo

Si se transmite un “1”:


Puede demostrarse que el nivel del umbral de decisión óptimo para el sistema binario, con probabilidades de transmisión de un 0 y un 1 dados por p(s0o) y p(s1º) está dada por:

2ln

201

0

1

01

(T)s(T)s

)p(s

)p(s

(T))s(T)(s

Nγ oo

o

o

oo

o ++

⋅

+=



Si 0 y 1 ocurren con igual probabilidad, es decir son equiprobables, el umbral de decisión se resume a la expresión: 2

)()( 01 TsTs oo +=γ

La regla de decisión será una de las dos siguientes hipótesis Hk:

Si , se detecta un “1”. Luego se decide por H1: Un “1” fue enviado, o sea {ak}=1 con s1(t).

Si , se detecta un “0”. Luego se decide por H0: Un “0” fue enviado, o sea {ak}=0 con s0(t).

γ≥)(Tro

γ )( <Tro

En el caso de señalización NRZ (on-off), tenemos que el umbral está dado por:2

E=γ

Situaciones de error (caso binario):Se incurre en un error en la recepción cuando se asume una hipótesis incorrecta. Para el casoBinario tenemos dos situaciones:

P [error de detección de {ak}=1] = P (trasmite {ak}=1 y se detecta {ak}=0)

P [error de detección de {ak}=0] = P (trasmite {ak}=0 y se detecta {ak}=1)


Cálculo de Pe

OBERVACIÓN: Cuando M=2, la probabilidad Pb=Pe, por tanto, en esta conferencia, cuando hablamos de probabilidad de error de bit, también coincide con la probabilidad de error de símbolo o pulso. Por tanto, trabajos con Pe por conveniencia.

1)()1( 1 see PsPP =

Entonces: Se transmite un “1” pero se detecta un “0”.

1.- P [error de detección de {ak}=1] = P (trasmite {ak}=1 y se detecta {ak}=0)

donde [ ] ∫ ∞−=<=

γγ ooSRose drsrfHTrPP

o)()( 11 11

∫ ∞−=

γ

ooSRe drsrfsPPo

)()()1( 11 1

1seP 0seP

)( 11srf oSRo

)( 00srf oSRo

222

)()( 201 ETATsTs oo ==+=γ

ETATso == 21 )(

0)(0 =Tso

Para el caso NRZ on-off:

0os γ 1os


Cálculo de Pe

0)()0( 0 see PsPP =

Entonces: Se transmite un “0” pero se detecta un “1”.

donde [ ] ∫∞

=≥=γ

γ ooSRose drsrfHTrPPo

)()( 00 00

∫∞

=γ ooSRe drsrfsPP

o)()()0( 00 0

1seP 0seP

)( 11srf oSRo

)( 00srf oSRo

222

)()( 201 ETATsTs oo ==+=γ

ETATso == 21 )(

0)(0 =Tso

Para el caso NRZ on-off:

0os γ 1os

Evaluamos la probabilidad de error para el segundo caso de la diapositiva 10:

2.- P [error de detección de {ak}=0] = P (trasmite {ak}=0 y se detecta {ak}=1)


Cálculo de Pe

Se transmite un “0” pero se detecta un “1”.

∫∫∞

∞−+=

γ

γ

ooSRooSRe drsrfsPdrsrfsPPoo

)()()()( 0011 01

Ahora, con las expresiones para los casos en que puede ocurrir un error en la detección, se puede determinar la probabilidad media de que, en general, ocurra un error de detección cualquiera:


ó )0()1( eee PPP +=

Es decir:01

)()( 01 sesee PsPPsPP +=

¿Cómo evaluamos las integrales? Partimos del hecho que ambas pdf son de tipo normal, o sea, gaussianas, y por tanto las probabilidades condicionales también son gaussianas y pueden expresarse tomando en cuenta que:

∼

2,)( 1

ENENHTr o

o

∼

2,0)( 0

ENNHTr o

o



Es o =1

00 =os


Cálculo de Pe

( )∫∫

∞∞

−−==γγ σ

µπσ o

oooSRse dr

rdrsrfP

o 2

2

0 2exp

2

1)(

00

De la diapositiva 8 podemos combinar y obtener:



( )∫∫ ∞−∞−

−−==γγ

σµ

πσ oo

ooSRse drr

drsrfPo 2

2

1 2exp

2

1)(

11

( )

∼

2,, 2 ENENN oσµ

( )

∼

2,0, 2 EN

NN oσµ


Cálculo de Pe

( )

2

2/

02/

2exp

2

1)(

2

2

000

=

−=

−=

−−== ∫∫∞∞

o

o

oo

ooSRse

N

EQ

EN

EQQ

drr

drsrfPo

σµγ

σµ

πσγγ

En términos de la función Q, y con símbolos equiprobables tenemos:

( )

=

−=

−=

−−=

−−== ∫∫ ∞−∞−

oo

oo

ooSRse

N

EQ

EN

EEQ

QQ

drr

drsrfPo

22/

2/

1

2exp

2

1)(

2

2

111

σγµ

σµγ

σµ

πσγγ

( )

∼

2,, 2 ENENN oσµ

( )

∼

2,0, 2 EN

NN oσµ

2

E=γ

Es o == 1µ

00 == osµ

OBSERVE QUE AMBOS RESULTADOS SON IDÉNTICOS!!!

==

osese N

EQPP

201


Cálculo de Pe

Finalmente, la probabilidad media de error (de bit y símbolo en este caso binario), es:

01)()( 01 sesee PsPPsPP +=

=

⋅+

⋅=

oooe N

EQ

N

EQ

N

EQP

222

1

22

1

con2

1)()( 01 == sPsP

La probabilidad de error promedio en el receptor de este sistema, sea PCM u

otro de cualquier naturaleza, incluyendo pasabanda,

depende solamente de la razón de energía de símbolo o bit relativa a la densidad espectral de potencia de

ruido medido a la entrada del receptor.

Así, si E/No ⇑, entonces Pe ⇓


Probabilidad de error (Pe/Pb) y BER

Comentarios sobre Pey BER:

• En el caso binario la probabildad de error de bit (Pb) coincide con la probabilidad de error de símbolo o pulsos (con M=2) (Pe), pero en general no son iguales. En esta conferencia significarán lo mismo.

• Los conceptos de probabilidad de error de detección de bit (Pb) y tasa de errores de bits (BER) suelen usarse intercambiablemente pero NO SIGNIFICAN LO MISMO!!!

• La probabilidad de error, Pb/Pe, es la estimación matemática sobre un evento que aún no ocurre, en este caso considerando un sistema binario. La ocurrencia de un error al momento que el receptor procede a estimar si la información contenida en la forma de onda que recibe corresponde a un 1 o a un 0.

• En cambio, la tasa de errores de bit o BER, corresponde a una métrica histórica, mas relativa a resultados estadísticos y se relaciona mas con la frecuencia de ocurrencia de un evento, en este caso, la ocurrencia de un error.

• En resumen, Pe/Pb, se calcula con base en la estimación y BER se define con base a la observación.

• Para calcular la Pe/Pb, y la probabilidad promedio de error, partiremos del modelo de sistema digital binario bandabase mostrado en las siguientes diapositivas.

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