Introducción a los modelos Estocáqsticos o Probailísticos (Parte 1)

El estudio de los modelos operacionales y estocásticos, es de gran importancia

para el desarrollo de la gestión empresarial. Hoy en día existen una gran

variedad de herramientas que permiten incrementar la probabilidad de tomar

mejores decisiones en cualquier organización. Llamase organización ya sea del

sector público ó privado.

Los sistemas de información, los métodos estadísticos, las técnicas nuevas de

la ingeniería industrial y financiera, la evaluación económica de las inversiones,

los procesamientos de datos y la investigación de operaciones.

Teniéndose como principal herramienta las generadas a través de las técnicas

de la investigación operacional, son técnicas de gran importancia a tener en

cuenta para la solución de los diferentes problemas que se presentan en el

desarrollo de la gestión administrativa de las empresas y organizaciones.

Los modelos Estocásticos o Probabilísticos tienen su origen con Harkov a

finales del siglo IXX. El desarrollo de los modelos de inventarios, así como el de

tiempos y movimientos se llevo a cabo por los años veinte de este siglo,

mientras que los modelos de líneas de espera se originaron con los estudios de

Erlang a principios del siglo XX. Los problemas de asignación se estudian con

métodos matemáticos por los húngaros Konig y Egervay en la segunda y

tercera década del siglo XX. Los problemas de distribución se estudian por el

ruso Kantorovich en 1939. Von Neuman cimenta en 1937 lo que años más

tarde culminará como la teoría de Juegos y la Teoría de preferencias (esta

última desarrollada en conjunto con Morgenstern). Hay que hacer notar que los

modelos matemáticos estaban basados en el cálculo diferencial e integral

(Newton, Lagrange, Laplace, Lebesgue, Leibnitz, Reimman, Stieltjes, por

mencionar algunos). La probabilidad y la estadística (Bernoulli, Poisson, Gauss

Bayes, Gosset, Smedecor, etc.).

Los modelos estocásticos son ampliamente empleados en términos prácticos y

en términos teóricos. En términos prácticos, en los mercados financieros

altamente desarrollados y eficientes, es posible identificar un creciente empleo

de estos modelos por parte de analistas financieros (Pitt, 1995; Huaming y

Russell, 1999; Watanabe, 2000). En términos teóricos, los modelos

estocásticos tienen una aplicación amplia. Considérese a modo de ejemplo que

en los últimos dos años existen más de 500 artículos publicados en revistas

especializadas sobre modelos estocásticos. Desde la perspectiva de la

economía financiera, existe una serie de trabajos académicos de relevancia

que sirve de soporte al estudio.

El aporte de Black y Scholes (1973) resulta fundamental puesto que dedujeron

una ecuación diferencial que considera el precio de cualquier instrumento

financiero derivado de una acción que no paga dividendos. Así, a través de

dicha ecuación, llegan a obtener el valor de una opción europea iniciando el

análisis desde un proceso Wiener-Gauss.

Black (1976) permitió clarificar las diferencias entre diversos tipos de

instrumentos derivados. Así, empleando los supuestos de la valoración original

de una opción, en la cual subyace el hecho de que la formación de precios de

los activos financieros sigue un modelo estocástico Wiener-Gauss, este autor

valora contratos forward y opciones sobre commodities.

A su vez, Geske (1978) desarrolló una forma ajustada para valorar opciones

europeas cuyo monto de dividendos a pagar es estocástico y en el cual se

asume la pertinencia del modelo Wiener-Gauss. Por su parte, Gibson y

Schwartz (1990) generaron un modelo de dos factores para valorar contratos

reales sobre el precio de dicho activo financiero y justifican la pertinencia de

asumir el comportamiento del precio spot del petróleo según el modelo Wiener-

Gauss.

Hurley y Johnson (1994) desarrollaron unos modelos de valoración de

dividendos que asumen, además, que dichos dividendos siguen un patrón de

pago según un proceso del tipo Markov. De igual modo, Ho et al. (1996)

desarrollaron un modelo para la valoración de activos financieros en tiempo

continuo, el cual explica los retornos del activo en función de un conjunto de

factores comunes, entre los cuales se incluye la existencia de aspectos de

naturaleza aleatoria

Pedraja y Rodríguez (1996) realizaron una revisión conceptual donde destacan

la relevancia de incorporar el análisis estocástico a la valoración de

instrumentos derivados. Hansen y Jagannathan (1997) entretanto,

desarrollaron una forma alternativa para comparar modelos que valoran el

precio de los activos, bajo la debida consideración de una serie de factores

estocásticos.

Podemos decir que los modelos para la toma de decisiones se clasifican con

frecuencia según la función del negocio a la cual se de aplicaciones (finanzas,

mercadotecnia, contabilidad de costos, operaciones, tec.) o por la disciplina de

aplicaciones o la industria involucrada (ciencia, ingeniería, economía,

organización militar, institución no lucrativa, transporte, capital de riesgo).

También puede clasificarse según nivel de la organización en la cual se aplican

(Estratégicos, tácticos) o por el marco temporal elegido (corto y largo plazo),

por el tipo de matemática utilizada (ecuaciones lineales, ecuaciones no

lineales) para la construcción de dicho modelo se estudiaran los modelos

Determinísticos y los modelos estocásticos.

Introducción a los modelos Estocáqsticos o Probailísticos (Parte 2)

Por su parte, Schwartz (1997) comparó tres modelos estocásticos y analizó el

comportamiento de los precios de commodities, indicando los beneficios de

cada modelo elegido. Posteriormente, Del Ángel y Diez-Canedo (1998)

desarrollaron un modelo discreto del tipo Markov para valorar un portafolio de

créditos comerciales e industriales de un banco mexicano.

Copeland y Copeland (1999) emplearon el modelo Wiener-Gauss en la

generación de un enfoque para maximizar el valor de programas de crédito,

minimizando las posibilidades de no cumplimiento de aquellas empresas que

han sido financiadas por dichos créditos, mientras que Cheng y Sethi (1999)

emplearon el proceso Markov para estimar la demanda aleatoria y generar un

modelo de control para el inventario, mediante programación dinámica.

Romagnoli y Vargiolu (2000), por su parte, analizaron un modelo de volatilidad

estocástica, el cual corresponde a una extensión del modelo tradicional de

Black y Scholes, para el caso de la valoración de opciones de diversos activos.

Pedraja et al. (2000) investigaron en qué medida la formación de precios del

índice del sector alimentario de la bolsa de valores de Madrid responde a los

requerimientos de un mercado eficiente, bajo la hipótesis débil de eficiencia.

Takriti et al. (2000) desarrollaron un modelo estocástico que genera precios

para la energía eléctrica considerando restricciones y regulaciones asociadas a

la industria eléctrica. Yensen y Manhwa (2001), entretanto, estudiaron la

hipótesis de eficiencia de mercado en las acciones pertenecientes al sector de

la industria del semiconductor, y Timmermann (2001) estudió el tema de la

información incompleta asociado al comportamiento de precios de las acciones.

Por su parte, Pedraja y Rodríguez (2001, 2002) y Pedraja et al. (2001)

consideran la pertinencia del modelo Wiener-Gauss no sólo para explicar, sino

para predecir el precio de activos financieros.

En síntesis, de acuerdo a la revisión anterior, el modelo Wiener-Gauss cuenta

con una amplia aceptación en el campo de la economía financiera, puesto que

se le considera como el modelo pertinente para tipificar los procesos de

formación de precios en los mercados bursátiles. Más aún, tradicionalmente se

ha considerado que la rentabilidad de los activos financieros es, precisamente,

de naturaleza estocástica y que la distribución normal resulta ser la más

adecuada para explicar el comportamiento de dicha variable. (Hull, 1997;

Connelly, 1998).

De igual modo, es útil considerar que, en términos prácticos, el modelo Wiener-

Gauss resulta altamente pertinente para explicar algunos procesos de

formación de precios o procesos estocásticos asociados a activos financieros

(Gibson y Schwartz, 1990; Schwartz y Cortázar, 1994; Rodríguez 1995a, b;

Rodríguez y Muñoz, 1996; Bhanot, 1998; Kijima y Komoribayashi, 1998).

El modelo Wiener-Gauss asume la premisa de eficiencia en los mercados, en

su forma débil (indicada por Fama, 1970). Por ello, si su aplicación resulta

adecuada para el proceso de formación de precios de los índices

pertenecientes a las bolsas de Madrid y de Santiago de Chile, entonces se

puede considerar que existe un funcionamiento eficiente (hipótesis débil) de

dichas bolsas en la valoración del activo financiero en estudio. No obstante

para ratificar la eficiencia del modelo, es necesario que las predicciones de

precios generadas a través del modelo estocástico, se correlacionen

significativamente con los precios reales (Peroni y McNown, 1998).

Las estimaciones de precios generadas a partir del modelo Wiener-Gauss

deben considerar la esperanza matemática de la variable. Además, pese a la

existencia de algunas evidencias a favor de modelos de simulación

determinísticos (Papageorgiou y Paskov, 1999), se requiere realizar

simulaciones de Montecarlo para poder estimar la volatilidad estocástica de la

formación de precios del activo financiero en estudio (Sandmann y Koopman,

1998).

Los modelos Determinísticos son aquellos donde se supone que todos los

datos pertinentes se conocen con certeza. Es decir, en ellos se supone que

cuando el modelo sea analizado se tendrá disponible toda la información

necesaria para tomar las decisiones correspondientes. Un ejemplo de este tipo

de modelo sería la asignación de la tripulación de un barco en cada uno de sus

viajes diarios para el próximo mes. La utilidad de los modelos Determinísticos

suele ser máxima cuando unas cuantas entradas no controlables del modelo

presentan incertidumbre. En consecuencia los modelos Determinísticos se

utilizan a menudo, aunque no siempre, para la toma de decisiones interna de

las organizaciones.

Pronóstico

Pronostico es un método mediante el cual se intenta conocer el

comportamiento futuro de alguna variable con algún grado de certeza. Existen

disponibles tres grupos de métodos de pronósticos: Los cualitativos, los de

proyección históricos y los causales. Se diferencian entre sí por la precisión

relativa del pronóstico del largo plazo en comparación con el corto plazo, el

nivel de herramientas matemáticas requerido y la base de conocimiento como

sustrato de sus proyecciones.

Los pronósticos pueden ser utilizados para conocer el comportamiento futuros

en muchas fenómenos, tales como:

1. Mercadotecnia

Tamaño del mercado Participación en el mercado Tendencia de precios Desarrollo de nuevos productos

2. Producción

Costo de materia prima Costo de mano de obra Disponibilidad de materia prima Disponibilidad de mano de obra Requerimientos de mantenimiento Capacidad disponible de la planta para la producción

3. Finanzas

Tasas de interés Cuentas de pagos lentos

4. Recursos Humanos

Número de trabajadores Rotación de personal Tendencias de ausentismo Tendencia de llegadas tarde

5. Planeación Estratégica

Factores económicos Cambios de precios Costos Crecimiento de líneas de productos

Los pronósticos se utilizan para apoyar a la toma de decisiones por parte de las

Gerencias de Mercadeo, Ventas y Producción, se entrega un pronóstico para

proveer con información congruente y exacta, la cual se calcula utilizando

modelos matemáticos de pronóstico, datos históricos del comportamiento de

las ventas y el juicio de los ejecutivos representantes de cada departamento

involucrado de la empresa.

Porque se hace necesario pronosticar

Los pronósticos se utilizan para acercarnos información futura y con ella

elaborar un plan de acción, de ahí que las características de un pronóstico

sean:

Primera. Todas las situaciones en que se requiere un pronóstico, tratan con el futuro y el tiempo este directamente involucrado. As, debe pronosticarse para un punto específico en el tiempo y el cambio de ese punto generalmente altera el pronóstico.

Segunda. Otro elemento siempre presente en situaciones de pronósticos es la incertidumbre. Si el administrador tuviera certeza sobre las circunstancias que existirán en un tiempo dado, la preparación de un pronóstico seria trivial.

Tercera. El tercer elemento, presente en grado variable en todas las situaciones descritas es la confianza de la persona que hace el pronóstico sobre la información contenida en datos.

Los cinco patrones básicos de demanda son: horizontal, de tendencia,

estacional, cíclico y de variación aleatoria (o al azar). La demanda puede verse

afectada por factores externos que están fuera del control de la administración.

Los indicadores de cambios en los factores externos suelen ser útiles para

predecir las modificaciones que se registran en la demanda de bienes y

servicios. Las decisiones sobre diseño de productos, precios y publicidad son

ejemplos de decisiones internas que influyen en la demanda. 

Para diseñar un sistema de pronósticos es necesario determinar qué es lo que

se va a pronosticar, qué técnica de pronóstico se utilizará y la forma en que los

sistemas de pronóstico computarizados pueden ser útiles para la toma de

decisiones administrativas.

El nivel de acumulación de datos y las unidades de medición empleadas son

consideraciones importantes en las decisiones administrativas referentes a que

se va a pronosticar. Se utilizan dos tipos generales de pronósticos de

demanda: los métodos cualitativos y los métodos cuantitativos. Entre los

métodos cualitativos figuran los métodos de juicio, y entre los cuantitativos

están incluidos los métodos causales y los análisis de series de tiempo.

Administración de Inventario

Una de las primeras aplicaciones de los métodos cuantitativos para la toma de

decisiones gerenciales han sido los modelos de inventarios. Ya que, los

inventarios usualmente representan un porcentaje considerable de capital total invertido

en una organización de negocios, a menudo más del 25% .Con tantos miles de

pesos invertidos en inventarios hoy en día, el control adecuado y la administración de

ellos puede traer ahorros considerables a una compañía. El desarrollo del primer

modelo de inventario se le acredita a Harris (1915). Raymond (1931) Extendió el trabajo de

Harris a comienzo de los años 1930. Particularmente desde la segunda guerra mundial, Las

decisiones básicas de inventarios comprenden cuántas unidades se deben pedir y cuando

se deben pedir.. Aunque existen muchas semejanzas en todos los sistemas de

inventario, cada sistema es único para excluir la utilización de un modelo

general de decisión de inventarios para todas las situaciones. En esta parte del

programa de la materia Administración de Operaciones, analizaremos varios modelos

clásicos de decisión de inventarios y algunas de las variantes más comunes y de utilidad

práctica, tanto de demanda conocida como de demanda incierta.

Si hubiera un genio para producir lo que se deseara, en el momento y

lugar que se deseara, no habría inventarios. Desafortunadamente los

genios están escasos, de manera que se usan los inventarios como

amortiguador entre la oferta y la demanda. Esto ocurre ya sea que se piense

en materia prima para un proceso de producción o en bienes

terminados almacenados por el fabricante, el distribuidor o el

comerciante. En la siguiente figura se ilustran los conceptos de inventario:

 

La cantidad de inventario que se tiene se comporta de manera cíclica.

Comienza en un nivel alto y la cantidad se reduce conforme se sacan las

unidades. Cuando el nivel baja se coloca una orden, la cual al recibirse eleva

de nuevo el nivel de inventario y el ciclo se repite.

La cantidad de inventario se controla con el tiempo y la cantidad de cada orden

Los inventarios pueden definirse como la cantidad de artículos, mercancías y

otros recursos económicos que son almacenados o se mantienen inactivos en

un instante de tiempo dado.

Los recursos económicos varían en cantidad con el tiempo en respuesta al

proceso de demanda que opera para reducir el nivel de inventario y el proceso de

abastecimiento que opera para elevarlo. Normalmente la demanda es una variable

no controlable, pero la magnitud y la frecuencia del abastecimiento es

controlable.

Los inventarios pueden comprender: materias primas, productos semiterminados o

productos en proceso y productos terminados que esperan ser embarcados desde

la fábrica (producción de artículos).

También los inventarios pueden ser: además de artículos físicos como,

bombillos, automóviles, etcétera, el efectivo, las partes del cuerpo humano, la

planta de maestros de una escuela también representan inventarios.

La administración de inventarios es importante para:

Contabilidad, que proporciona las estimaciones de costos que se utilizan

en control de inventarios, paga a los proveedores y cobra a los clientes.

Finanzas, que se tiene que enfrentar a las consecuencias de los

intereses o los costos de oportunidad por concepto de inversión,

correspondientes a la administración de inventarios, y prevé las mejoras

formas de financiar el inventario y los flujos de efectivo relacionados con

él.

Sistemas de información para la administración, que tiene a su cargo el

desarrollo y mantenimiento de los sistemas destinados a la

administración de inventarios.

Marketing y ventas, que por sus actividades genera la necesidad de

contar con sistemas de inventario y depende de los inventarios

disponibles para atender a los clientes.

Operaciones, que tiene bajo su responsabilidad el control de los

inventarios de la empresa.

La administración de inventarios es un importante factor que atrae el interés de

los administradores de cualquier tipo de empresa. Para las compañías que

operan con márgenes de ganancias relativamente bajos, la mala administración

de inventarios puede perjudicar gravemente sus negocios. El desafío no

consiste en reducir al máximo los inventarios para abatir los costos, ni tener

inventario en exceso a fin de satisfacer todas las demandas, sino en mantener

la cantidad adecuada para que la empresa alcance sus prioridades

competitivas con mayor eficiencia.