EDUCACIÓN MATEMÁTICA

En el siguiente texto se analizan los cambios en la enseñanza del número que tuvieron lugar

en México entre los años setenta y noventa.

En los años sesenta se por primera vez se distribuyen los textos gratuitos oficialesen las

escuelas primarias del país, el manual distribuido consta de un texto, un pequeño manual

para el maestro el libro para los alumnos de primer grado.

En los años 70 la reforma curricular en matemáticas que se llevó a cabo en México influyeron

mucho las reformas de los sesenta en Europa pues fue la entrada de las matemáticas

modernas. La reforma Europea se caracterizó por la determinante influencia, en el diseño

curricular, el propósito de la reforma, como reacción a aquellas matemáticas de los sesenta

reducidas a reglas y formulas. Se introduce una versión elemental de la teoría de conjuntos

como herramienta para este fin y así el número se presenta como clase de equivalencia de

conjuntos equipotentes la resta como el cardinal del complemento de un conjunto, la

multiplicación como el cardinal del producto cartesiano.

La influencia de la reforma europea en México, en el diseño de programas y materiales de

matemáticas para la primaria fue particular, esta influencia se tradujo una actualización a

nivel de los conceptos matemáticos a enseñar, actualización de definición, de sus

propiedades y del lenguaje. En esta década se produce, además del libro de texto para el

alumno un 2auxiliar didáctico” por materia y por grado para el maestro.

En la década de los ochenta se reforma en México el currículum de los tres primeros grados

de primaria:

Se plantea el propósito de integrar los contenidos relativos a las distintas disciplinas en

torno a “núcleos integradores”.

Se eliminan los contenidos de lógica y conjuntos. Se plantea que el desarrollo del

razonamiento lógico se debe propiciar al trabajar con los contenidos específicos de

matemáticas.

Se retorna a la idea de una matemática que se comprende a partir de casos

particulares, de “problemas reales”.

Se empieza a notar la influencia, esta vez de los psicólogos del aprendizaje de

orientación piagetiana.

En los materiales de ambas décadas mencionadas anteriormente, los símbolos numéricos e

van introduciendo, uno por uno (hasta el diez en los sesenta y hasta el nueve en los setenta)

Al igual que las dos propuestas anteriores, después de algunas lecciones en las que se

propone comparar colecciones, los números se introducen uno por uno, nuevamente hasta

el número diez, ya no se considera indispensable, como en los 70 que los niños comprenden

las reglas que subyacen al sistema decimal antes de escribir un primer símbolo de dos cifras.

LA HABILIDAD DE CONTAR EN EL APRENDIZAJE DE LA NUMERACIÓN

El desarrollo de las habilidades numéricas en los niños es un área fascinante, los niños han de

entender los números si se quiere que tengan sentido para ellos los distintos modos en que se

usan en la vida cotidiana: cuantificar, identificar, lugares, identificar un objeto concreto

dentro de un conjunto denominar y medir.

Para Piaget el desarrollo de la competencia numérica del niño se relaciona

fundamentalmente con el desarrollo de su capacidad logia. Todos los aspectos del número

forman parte del desarrollo cognitivo de dominio general y se construye como resultado de

la inteligencia sesoriomotriz general y la posterior coordinación de la seriación y clasificación.

Los procedimientos empíricos utilizados para evaluar el desarrollo de estos conceptos en la

teoría piagetiana son:

Prueba de conservación numérica: Se extiende hasta los cinco años, se caracteriza

por la ausencia de comprensión de estas nociones.

Prueba de seriación: abarcaría desde los cinco a los seis años y medio o siete. Se trata

de una etapa de transición, mal definida y difícilmente identificable desde una

óptica estructuralista. Se caracteriza principalmente por la presencia de respuesta

inmediata consistentes en responder correctamente cuando las diferencias entre los

conjuntos son poco pronunciadas, y en hacerlo incorrectamente cuando se

acentúan tales diferencias.

Prueba de inclusión: Se manifiesta a partir de los seis años y medio o siete, cuando el

niño admite sin dudarlo (y afirma con necesidad lógica) tanto la conservación como

la equivalencia de la situación experimental.

En el caso de la numeración, para un piagetiano, se debe de organizar teniendo en cuenta

dos fases sucesivas: la primera, se proponen al niño una serie de actividades destinadas al

desarrollo de ciertas capacidades lógicas muy generales y sólo después se deben de

abordar actividades propiamente numéricas. Por otro lado para Gelman y Gallistel hay que

abandonar la idea de conservación para entender cómo adquieren los niños el número,

demostraron que las primeras manifestaciones de la conducta de contar son mucho más

que simple aprendizaje mecánico y asociacionista y, que aunque los niños cometan errores

cuando aprenden a contar, sus esfuerzos están restringidos por un conjunto de principios de

recuento.

Según este modelo, el conteo estaría integrado por cinco principios que requieren para el

aprendizaje correcto de la técnica de contar: correspondencia uno-a-uno, orden estable,

cardinalidad, abstracción e irrelevancia del orden.

CONTEO INFANTIL José Domingo Villarroel

Las aportaciones de Jean Piaget han influido decisivamente en la concepción que hoy en

día tenemos sobre cómo se origina el pensamiento numérico y las habilidades de conteo.

Este autor estableció una distinción fundamental entre tres tipos de conocimiento, el físico, el

convencional y el de naturaleza lógico-matemático.

Tres tipos de conocimiento:

El físico, es el entendimiento relativo a cómo son los objetos (su color, su forma) y

cómo interaccionan (ruedan, se caen, se paran) son aspectos concernientes al

dominio físico

El convencional, el conocimiento de las palabras que utilizamos para contar los

objetos o de las reglas de un juego, corresponden al ámbito de las convenciones

sociales.

El de naturaleza lógico-matemático, es el comparar, por ejemplo, rotuladores de

diferentes colores se puede considerar que son iguales (en cuanto a su forma,

longitud o peso) o diferentes (en cuanto a su color).

Desde la perspectiva piagetiana y con relación a cuándo se alcanza la comprensión del

concepto de número, los niños y niñas no logran un verdadero entendimiento del concepto

de número hasta finalizar la etapa pre-operacional (2-7años). Estos requisitos que se

garantizan la aprehensión del concepto de número, tanto en su aspecto cardinal como

ordinal y fueron la base experimental de la investigación de Piaget.

Detrás de esta noción se situaría la capacidad de establecer relaciones biunívocas entre los

elementos de diferentes conjuntos para ser capaz de establecer comparaciones relativas al

número de elementos más allá de las características perceptivas de los mismos.

Seriación

Clasificación

Dos características de esta habilidad lógica serían la transitividad y la reversibilidad.

La primera de ellas se refiere a la capacidad de establecer deductivamente

relaciones entre objetos que realmente no han podido ser comparados, atendiendo

a las relaciones previas que estos mismos objetos han tenido con otros.

la reversibilidad, ésta se refiere al establecimiento de relaciones inversas, es decir, un

objeto dentro de una serie ordenada de mayor a menor es mayor que los siguientes y

más pequeño que los anteriores.

Con relación al conteo infantil, Gelman y Gallistel proponen la existencia de 5 principios, en

opinión de estos autores, guían la adquisición y ejecución de esta acción matemática.

Principio de correspondencia biunívoca.

Principio de orden estable.

Principio de cardinalidad.

Principio de abstracción.

Principio de intrascendencia.

Fuentes conceptuales de los principios del conteo

a) Sistema de representación numérica aproximada

La interpretación más aceptada de este sistema de representación numérica es la analogía

con una línea o continuum interno orientado de izquierda a derecha que está

logarítmicamente comprimida de forma que cuanto mayor es la magnitud inherente a los

números, menores son las distancias entre ellos. En este sentido, la discriminación entre

números empeora a medida que crece la magnitud que representan porque disminuye la

distancia subjetiva entre los mismos (Longo y Lourenco, 2007).

b) Sistema de representación de cantidades pequeñas

Este sistema propone que los niños son capaces de percibir pequeñas cantidades mediante

el “seguimiento” de las peculiaridades individuales de los estímulos y resulta semejante a la

representación de estímulos mediante "object files" descrita en la investigación sobre las

capacidades de atención de adultos (Kahneman, Treisman y Gibbs, 1992).

c) Sistema cuantificador de conjuntos

La habilidad cognitiva para diferenciar conjuntos es una destreza básica que subyace a la

comprensión de los cuantificadores lingüísticos. Éstos son unidades gramaticales que limitan

el referente potencial del núcleo del sintagma nominal, bien de forma exacta o bien de

forma ambigua.

El sistema representa conjuntos de elementos creando modelos en la memoria de trabajo

en los cuales cada elemento es representado por un único símbolo mental. Aunque hasta el

momento no se tiene certeza sobre el nivel de diferenciación de estos símbolos lo que sí se

conoce es que no puede albergar más de tres elementos simultáneamente.

EL CONCEPTO DEL NÚMERO DESDE UNA PERSPECTIVA CONSTRUCTIVISTA

Desde Piaget, el pensamiento se considera un proceso mental que surge de la interacción

con los objetos y el aprendizaje como los cambios que se producen en la conducta por la

experiencia y la practica en la manipulación y observación del entorno.

El constructivismo: Ausubel

David Paul Ausubel Psicólogo y pedagogo Estadounidense, una de las personalidades más

importantes del constructivismo.

Ausubel se centra casi por completo en el aprendizaje de tipo significativo y distingue en

estos otros tres tipos:

• Aprendizaje significativo de representaciones: consiste en captar el significado de los

símbolos (los principales son las palabras, pero en aritmética usamos multitud de símbolos

matemáticos).

• Aprendizaje significativo de proposiciones: consiste en captar nuevas ideas expresadas en

forma de proposición. Por ejemplo: “dos más cinco son siete”. Esta proposición implica a

todas las representaciones que conlleven dicha situación sanativa.

• Aprendizaje de conceptos: es un tipo superior de aprendizaje a los anteriores. Decimos

que un alumno/a domina el concepto de suma si sabe enfrentarse con éxito a situaciones

que impliquen esta idea y aplican la operación o estrategia adecuada para resolverlas.

Periodopre operacional: llega hasta los 7 años. Está ligado a las percepciones sensoriales

(sobre todo auditivas y visuales). No hay una lógica operacional puesto que los niños no

tienen la capacidad de conservación de la cantidad, ni de inclusión de clases (no

distinguen correctamente las partes del todo).

Periodo deoperaciones concretas: va de los 7 a 11 años. En esta etapa ya existe una lógica

operacional y se desarrolla el concepto de número.

Son posibles la inclusión de clases y la conservación del número. Todas las operaciones están

ligadas a contextos concretos y no es todavía posible la abstracción.

Periodo deoperaciones formales: a partir de los 11 años. Empieza a ser posible la deducción

y por tanto la abstracción.

Piagetdistinguevariasetapasenlaclasificación:

• Agruparporparejasatendiendoaunsólocriterio.

• Agruparmásdedosobjetosdejandoalrestosinclasificar.

• Agrupartodoslosobjetosdeunacolecciónenbaseauncriterio.

• Agrupar todos los objetos en base a criterios más abstractos que los

puramenteperceptivos.

POR QUÉ ENSEÑAR MATEMÁTICAS EN EL NIVEL INICIAL

MARÍA EMILIA QUARANTA

El nivel tiene diversas funciones entre ellas, la transmisión de conocimientos que retomen

amplíen y profundicen los aprendizajes de los niños hacer matemática, supone que los niños

resuelvan problemas

adelanten posibles soluciones

prueben, se equivoquen

corrijan intentos fallidos

comuniquen a sus pares modos de resolver

consideren las resoluciones o afirmaciones de otros

discutan, defiendan posiciones, intenten mostrar la incorrección de un procedimiento

o afirmación

establezcan algunos acuerdos.

Para poder dar cuenta del valor de enseñanza matemática en las instituciones escolares es

necesario precisar qué matemática y qué la enseñanza, independientemente del jardín los

niños construyen, en su actividad familiar o cotidiana, una diversidad de conocimientos

acerca de los números.

Esta diversidad de conocimientos se elabora a propósito de situaciones que enfrentan y

determinan espacios de la experiencia acerca de los cuales los niños se interrogan y

respecto de los cuales comienzan a formularse ideas originales la interacción de los niños

con los otros, pares y adultos, no son ajenas a este proceso de construcción.

Abrir las puertas a los conocimientos matemáticos es una condición necesaria para el

trabajo didáctico que se propone, limitarse a recuperar lo que los alumnos ya saben

implicaría negar la función del nivel inicial como transmitor de cultura.