FLECHAS: UN EJEMPLO DE CÁLCULO

La Instrucción para el proyecto y la ejecución de forjados unidirecccionales de hormigón estructural realizados con elementos prefabricados (EFHE) establece que:

► La flecha total a tiempo infinito no excederá al menor de los valores L/250 y

L/500 + 10 mm, donde L es la luz del vano en milímetros [1,6 veces el vuelo, en el caso de voladizos]

► La flecha activa específica no excederá al menor de los valores L/500 y

L/1000 + 5 mm, en forjados que sustentan tabiques o muros de partición y cerramiento

EFHE también especifica que no es obligatorio comprobar si las flechas

cumplen las condiciones anteriores en: ► Forjados de viguetas con luces menores que 7 m ► Forjados de losas alveolares pretensadas con luces menores de 12 m

siempre que las sobrecargas no sean mayores a 4kN/m2 y el canto del forjado h sea mayor que el hmin calculado según la expresión:

L/C h 21min ⋅⋅= δδ donde:

δ1: factor que depende de la carga total q (kN/m2) y es igual a 7q

δ2: factor que tiene el valor de 4

1

6L⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

L: la luz de cálculo del forjado en m C: constante según los tipos de forjados, de carga y de tramo, según la tabla adjunta.

que suele expresarse como h ≥ 4,141

Lq

CL 4⋅⋅

COEFICIENTES C

Tipo de tramo Tipos de forjado Tipos de carga Aislado Extremo Interior

Con tabiques o muros 17 21 24 Viguetas armadas Cubiertas 20 24 27 Con tabiques o muros 19 23 26 Viguetas

pretensadas Cubiertas 22 26 29 Con tabiques o muros 36 - - Losas alveolares

pretensadas[1] Cubiertas 45 - - [1] Piezas pretensadas proyectadas de forma que, para la combinación infrecuente, no llegue a superarse el momento de figuración En el caso de voladizos C = 6 si el forjado recibe la carga de tabiques o muros, o C = 9 en otros casos.

Forjados unidireccionales de hormigón Flechas: un ejemplo de cálculo

1

Por ejemplo, para un tramo aislado de un forjado de viguetas pretensadas que soporta tabiques, con una carga total q = 6,5 kN/m2 y luz L = 5 m,

h ≥ m 0,24 4,141

56,5

195 4

=⋅

⋅

Forjados unidireccionales de hormigón Flechas: un ejemplo de cálculo

2

El siguiente diagrama expresa

la relación luz/canto en la consideración de la hmin para los tres tipos de forjados contemplados en la tabla del coeficiente C: (1) viguetas armadas, (2) viguetas pretensadas y (3) forjados de losas alveolares, con las limitaciones en las curvas de la luz en los 7 m para los forjados de viguetas y en los 12 m para los forjados de losas alveolares. Valor del hmin en función de la luz y el tipo de forjado

Para el cálculo de la flecha por el método general, la Instrucción EFHE remite

al apartado 50.2.1 de la Instrucción del Hormigón Estructural EHE; pero aporta un método simplificado en base al cálculo de la flecha instantánea, considerando para cada vano del forjado un valor único de inercia equivalente Ie, que tiene en cuenta el efecto de la fisuración.

Veamos un caso práctico sacado del libro “Forjados”, de Luis Felipe Rodríguez:

Forjado de viguetas armadas de 350 cm de luz y 26 cm de canto, con viguetas de tipo IV-07, con 2Ø6 + 1Ø12 abajo y 1Ø12 arriba, y una carga de uso lineal, uniformemente repartida de 7,0 kN/m.

Del documento “Autorización de Uso” de las viguetas prefabricadas extraemos

los datos de los momentos de fisuración, rigidez total y rigidez fisurada, tanto en flexión positiva como negativa, para bandas de 1 m.

Flexión Momento de fisuración

[kN·m] Rigidez total

[kN/m] Rigidez fisurada

[kN/m] Positiva Negativa

6,82 14,83

13.690 12.240

2.600 1.590

En primer lugar, hay que comprobar que la rigidez equivalente (producto del

módulo de deformación longitudinal E por el momento de inercia equivalente Ie es menor o igual que la rigidez total (producto de E y el momento de inercia bruto Ib), según la expresión:

bf

3

0a

0fb

3

0a

0fe I E I E

M - MM - M

- 1 I E M - MM - M

I E ⋅≤⋅⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⋅

donde: Mf: es el momento de fisuración Mo: es el momento flector asociado a la situación de curvatura nula de la

sección, de valor igual a P·e·β-Mv·(β-1) donde P es el valor absoluto de la fuerza de pretensado, si existe, que puede tomarse como el 90% de la fuerza inicial de pretensado, e es la excentricidad del tendón equivalente de pretensado, en la sección de estudio, en valor absoluto, respecto al centro de gravedad de la vigueta y β es la relación entre la inercia bruta de la sección del forjado, en la fase constructiva en que se calcula la flecha y la inercia bruta de la sección de la pieza prefabricada, mayor o igual a la unidad. En construcción no apeada, cuando se calcula la flecha bajo el peso propio de la misma o del hormigón vertido en obra, β=1

Mv: es el momento debido a las cargas que actúan sobre la pieza prefabricada antes de trabajar conjuntamente con el hormigón in situ. Su valor es: • Para construcción no apeada, el momento debido al peso propio de la

pieza prefabricada y al peso del hormigón vertido in situ • Para construcción apeada, cero si la pieza es armada y el momento

debido a su peso propio si es pretensada • Cero en las secciones extremas sometidas a momentos negativos

Ma: es el máximo momento flector que históricamente haya podido solicitar la sección considerada, incluida la fase en estudio

En nuestro ejemplo: Mf = 6,82 kN·m E·Ib = 13.690 m2 kN/m E·If = 2.600 m2 kN/m

8L q M

2

a ⋅= , donde q es la carga unitaria uniforme y L la luz del forjado en

metros; en nuestro ejemplo: q = 7 kN/m y L = 3,5 m, por lo que

mkN 10,72 8

3,5 7 M2

a ⋅=⋅=

M0 = 0, al ser P = 0 (viguetas de hormigón armado) y Mv = 0 al ir sobre sopandas

Forjados unidireccionales de hormigón Flechas: un ejemplo de cálculo

3

kN/m 3.6901 kN/m 5.456 .6002 10,726,82 - 1 3.6901

10,726,82 I E

33

e ≤=⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⋅

En consecuencia, podemos calcular la flecha instantánea a partir de la fórmula:

e

4

ins I ELq

3845 f

⋅⋅

⋅= , donde:

E·Ie = 5.456 kN/m, valor de la rigidez equivalente calculada en el paso anterior q = 7 kN/m, es la carga linealmente repartida L = 3,5 m, es la luz del forjado

mm 2,51 m 102,51 456.53,57

3845 f 3-

4

ins =⋅=⋅

⋅=

Una vez calculada la flecha instantánea para este elemento de forjado

unidireccional de semiviguetas de hormigón armado, con luz de 3,5 mm y canto de 26 cm, y una carga uniforme de 7 kN/m, pasamos al cálculo de la flecha total a plazo infinito, a partir de la expresión:

Flecha total a plazo infinito = Flecha instantánea + Flecha diferida La flecha diferida producida por cargas de larga duración se puede estimar

multiplicando la flecha instantánea por un factor λ, de valor (epígrafe 50.2.2.3 de la Instrucción EHE):

ρ50 1ξ λ

′⋅+= , donde:

ρ': Cuantía geométrica de armadura de compresión As' referida al área de compresión de la sección útil b0·d, en la sección de referencia

dbA

ρo

s

⋅′

=′

ξ: Coeficiente que depende de la duración de la carga y que toma los valores indicados en la tabla

Duración de la carga 2 semanas 1 mes 3 meses 6 meses 1 año 5 años

o más Valor de ξ 0,5 0,7 1,0 1,2 1,4 2,0

En nuestro ejemplo: ξ = 2,0 ,, 0,00105 22,412

0,28 db

A ρ

o

s =⋅

=⋅′

=′

1,9 0,00105 50 1

2,0 ρ50 1

ξ λ =⋅+

=′⋅+

=

fTOTAL = fins + fdif = fins + λ·fins = fins·(1+λ) = 2,51·(1+1,9) = 7,28 mm

que cumple con las exigencias de la Instrucción EFHE, en cuanto que la flecha total a plazo infinito no debe exceder del menor valor de:

Forjados unidireccionales de hormigón Flechas: un ejemplo de cálculo

4

mm 14 250

3.500 250L

== (L se aporta en milímetros)

mm 17 10 500

3.500 mm 10 500L

=+=+

En nuestro ejemplo, fTOTAL = 7,28 < 14 mm Si construimos sobre ese forjado tabiques con carga de 4 kN/m2 a los 14 días de

ejecutado el forjado, del documento Autorización de Uso de las viguetas prefabricadas extraemos el factor de corrección de la rigidez total, que es 0,89. Siendo:

• La rigidez total E·I = 13.690 kN/m

• El momento máximo mkN 6,13 8

3,54 8L q M

22

a ⋅=⋅=⋅=

• [E·I]c = 0,89·13.690 = 12.184,1 m2 kN/m La flecha instantánea será:

[ ] mm 0,6 m 106,4 12.184,1

3,5 6,13485

IELM

485 f 4-

2

C

2a

inst =⋅=⋅

⋅=⋅⋅

⋅=

La flecha diferida a 14 días sería:

0,46 0,00105 50 1

0,5 ρ50 1

ξ λ ≅⋅+

=′⋅+

=

fdif = λ·finst = 0,46·0,6 = 0,3 mm

Con lo que la flecha total a los 14 días será:

fTOTAL = finst + fdif = 0,6 + 0,3 = 0,9 mm

La flecha activa; es decir, la producida a partir de la construcción de los

tabiques, será la flecha total a plazo infinito menos la flecha que ya existía cuando se construyeron los tabiques.

fact = 14 – 0,9 = 13,1 mm

Según la Instrucción EFHE esta flecha activa no sería admisible, pues es

mayor que mm 7 500

3.500 500L

== (también mayor que mm 8,5 5 3,5 mm 5 1000

L=+=+ ).

Forjados unidireccionales de hormigón Flechas: un ejemplo de cálculo

5

Exponemos otro ejemplo de cálculo tal vez más próximo a la realidad española actual en edificios de viviendas:

Forjado unidireccional de viguetas pretensadas de hormigón armado, en tramo

biapoyado con 5 m de luz, 30 cm de canto y que soporta una carga característica total (incluido su propio peso) de 7,0 kN/m2. Si se ha calculado el momento de fisuración [Mf = 37,988 kN·m] y en el documento Autorización de Uso de la vigueta pretensada encontramos que la rigidez de su sección homogeneizada es E·I = 18.755 kN/m, comprobemos que la flecha a plazo infinito cumple la exigencia de EFHE.

El máximo momento flector aplicado Ma se calcula a partir de la fórmula

8L q M

2

a ⋅= , donde q es la carga unitaria uniforme y L la luz en metros, 7 kN/m y 5 m

respectivamente

mkN 21,875 85 7 M

2

a ⋅=⋅=

Como Ma es menor que el momento de fisuración [Mf = 37,988 kN·m], el

forjado no se encontrará fisurado en esas condiciones y podemos calcular la flecha instantánea a partir de la expresión:

mm 3 m ,0030 18.755

5 21,875485

IELM

485 f

22a

inst ==⋅

⋅=⋅

⋅=

Si calculamos λ para 5 o más años podremos calcular la flecha diferida:

fdif = λ·finst = 2·3 = 6 mm [hemos aportado λ = 2]

La flecha total a plazo infinito fTOTAL = finst + fdif = 3 + 6 = 9 mm, que cumple

con las exigencias de la Instrucción EFHE, al ser inferior a mm 20 250

5.000 250L

== y a

mm 20 10 500

5.000 mm 10 500L

=+=+ .

Carguemos este forjado con tabiques a las dos semanas de construido el forjado,

con una carga de 4kN/m2, sabiendo que el coeficiente de corrección de la rigidez total a 14 días es 0,89 (del documento Autorización de Uso). Ahora tendremos:

• La rigidez total a los 14 días: 0,89·18.755 = 16.692 kN/m

• El momento máximo para esa carga: mkN 12,5 8254

8L q M

2

a ⋅=⋅=⋅=

mm 2 16.692

25 12,5485

IELM

485 f

2a

inst =⋅

⋅=⋅

⋅=

La flecha diferida a 14 días [con λ = 0,5] será: fdif = 0,5·2 = 1 mm

Forjados unidireccionales de hormigón Flechas: un ejemplo de cálculo

6

La flecha total a los 14 días será fTOTAL = finst + fdif = 2 + 1 = 3 mm

En consecuencia, la flecha activa a partir de la construcción de la tabiquería será la diferencia entre la flecha total a tiempo infinito y la flecha total a los 14 días:

fact = ftotal p.i - ftotal 14 d = 9 - 3 = 6 mm

que sí cumple con las exigencias de la Instrucción EFHE pues es menor que

mm 10 500

5.000 500L

==

mm 10 mm 5 1000

L=+

Reproducimos a continuación las tablas de pesos específicos, pesos por unidad

de superficie y pesos de los elementos constructivos extraídas del Anejo C del Documento Básico Seguridad Estructural – Acciones en la Edificación [DB SE-AE]; así como la tabla de valores característicos de las sobrecargas de uso [Tabla 3.1, DB SE-AE, pág. 5].

Forjados unidireccionales de hormigón Flechas: un ejemplo de cálculo

7

Forjados unidireccionales de hormigón Flechas: un ejemplo de cálculo

8

Forjados unidireccionales de hormigón Flechas: un ejemplo de cálculo

9

Forjados unidireccionales de hormigón Flechas: un ejemplo de cálculo

10