10. Electricidad.

Vamos a estudiar la fuerza electromagnética (incluye interacciones eléctricas y magnéticas) que viene definida entérminos de los que se conoce como campo electromagnético (engloba el campo eléctrico y el campo magnético).

Las interacciones electromagnéticas aparecen entre partículas que tienen carga eléctrica, propiedad tan funda-mental como es la masa y que al igual que ésta define el campo gravitatorio las carga define un campo eléctrico.Similitudes y diferencias entre las fuerzas eléctricas y las gravitatorias:

• Semejanzas:

Así como los objetos con masa son acelerados en un campo gravitatorio mediante fuerzas gravitatorias,partículas cargadas son también aceleradas en el seno de un campo eléctrico por la acción de fuerzaseléctricas. En una chispa o en un calambrazo al tocar un cable hay un movimiento de cargas o corrienteeléctrica (flujos de partículas cargadas que va de un medio a otro en respuesta a fuerzas eléctricas).

Los campos de fuerza que las definen son ambos conservativos hay una energía potencial y unpotencial V = Ep/A, donde A = q′, m es la magnitud activa que genera el campo, y en ambos casosV ∝ 1

r

Las fuerzas eléctrica y gravitatoria también tienen una forma similar: F ∝ 1

r2

• Diferencias:

La fuerza gravitatoria es atractiva mientras que la fuerza eléctrica puede ser atractiva o repulsiva.

La interacción eléctrica es mucho más intensa que la gravitatoria, pero a nivel macroscópico la materiaes neutra: no aparecen fuerzas eléctricas (salvo que se rompa el balance de cargas positivas y negativascomo en los rayos en una tormenta) ⇒ el universo está gobernado a escala macroscópica por las fuerzasgravitatorias.

La fuerza gravitatoria no depende del medio mientras que la eléctrica sí.

39

10.1 Cargas eléctricas, conductores y aislantes

Los fenómenos eléctricos se conocen desde la antigua Grecia alrededor de año 600 B.C: al frotar ámbar conlana éste era capaz de atraer otros objetos pequeños.

Hoy sabemos que al frotar el ámbar se carga eléctricamente. De hecho la palabra “eléctrico” viene del griego“electron” que significa ámbar.

Los materiales de plástico o piel son materiales en los que se manifiestan los fenómenos electrostáticos: apareceninterecciones entre cargas eléctricas en reposo:

• barras de plástico cargadas al frotarlas con piel se repelen (de hecho se cargan con cargas negativas).

• barras de cristal cargadas al frotarlas con seda se repelen (de hecho se cargan con cargas positivas).

• una barra de plástico cargada se aproxima a una barra de cristal cargada ⇒ ambas se atraen.

Estos hechos experimentales mostraban la existencia de dos tipos de cargas diferentes: las que cargan una barrade plástico al frotarlo con piel y las que cargan una barra de cristal al frotarla con seda. Benjamin Franklin(1706-1790) sugirió llamar a estos dos tipos cargas negativas y cargas positivas respectivamente ⇒

Dos cargas positivas o dos negativas se repelen mútuamente y una carga positiva y otra negativa se

atraen entre sí.

¿Qué ocurre a nivel microscópico para que el plástico, el ámbar o el cristal se carguen? Los átomos estánconstituidos por los electrones, con carga negativa, los protones con carga positiva y los neutrones sin carga.Protones y neutrones a su vez por quarks que tienen cargas de ±1

3y ±2

3veces la carga del electrón. Protones

y neutrones están unidos de forma estable, mediante una interacción atractiva más intensa que la de repulsiónentre cargas positivas, llamada fuerza nuclear fuerte y forman el núcleo ⇒ está cargado positivamente. Loselectrones (-) están unidos al núcleo (+) mediante fuerzas eléctricas atractivas de largo alcance. La fuerzanuclear fuerte tiene un rango menor y no se extiende más allá del núcleo.

40

La masa del electrón, protón y neutrón son

me = 9,1093826(16)× 10−31kgmp = 1,67262l71(29)× 10−27kgmn = 1,67492728(29)× 10−27kg

La carga del electrón es exactamente la misma y de signo contrario a la carga del protón y es:

e− = −1,60217653(14)× 10−19C

En el S.I. la unidad de carga eléctrica se denomina culombio (símbolo C) y es la cantidad de carga que, a ladistancia de 1 metro, ejerce sobre otra cantidad de carga igual, una fuerza de 9× 109N .

En un átomo neutro hay el mismo número de electrones que de protones, y la carga eléctrica neta es cero. Enun átomo neutro el número de protones o electrones se llama número atómico. Si el átomo pierde uno o máselectrones queda cargado positivamente y forma un ión positivo o catión. Si el átomo gana uno o más electronesqueda cargado negativamente y se llama ión negativo o anión. El proceso de ganar o perder electrones se llamaionización.

En un cuerpo macroscópico si el número de protones es igual al de electrones ⇒ el cuerpo es eléctricamenteneutro. Un cuerpo puede cargarse positivamente o negativamente perdiendo o ganando electrones. La carganeta de un cuerpo es del orden de 10−12veces la carga total positiva o negativa del cuerpo.

• Principio de conservación de la carga: “La suma algebraica de todas las cargas de un sistema cerradoes constante” ⇒ En todo proceso de carga de un cuerpo la carga total se conserva, es decir la carga quegana el cuerpo la pierde otro que está en contacto con él (p.e. la barra de plástico que se frota con la piel,el plástico gana electrones que pierde la piel). La carga total de los dos sistemas se conserva. La carga nose crea ni se destruye, si no que se transfiere de un cuerpo a otro.

• La magnitud de carga de un electrón o de un protón es una unidad natural de carga.

Cada cantidad observable de carga es un múltiplo entero de esta unidad básica ⇒ la carga eléctricaestá cuantizada (los quarks tienen carga menor que la del electrón pero no son observadas como cargasaisladas).

41

10.1.1 Conductores y aislantes

Hay materiales que permiten el movimiento de la carga eléctrica en su seno (p.e. hilo de cobre) ⇒ se llamanconductores. Otros materiales (como el nilon o la goma) no lo permiten ⇒ aislantes o aisladores

En general, los metales son buenos conductores y los no metales son aislantes. Los metales tienen valenciapositiva y facilidad para perder electrones exteriores formando iones positivos (disoluciones). En estado sólidoestos electrones externos se pueden desprender de cada átomo y moverse líbremente formando un gas de

eléctrones en movimiento. En los aislantes no hay electrones libres.

+

+++

+ + +

+ +

+ +

+ +

+ + +

+ +

+ +

+ +

hilo de nilonhilo de cobre

bola de medula de sauco

barra de plastico cargada

El dibujo anterior muestra una carga por contacto: las cargas positivas se mueven de la barra de plástico alhilo de cobre y de éste a la bola de médula de saúco. Hay también carga por inducción como se muestra en lafigura, y las cargas así generadas se llaman cargas inducidas.

+

+++

___

_

_ _

_ _

_ _

_

_ _

_ _

_ _

_

_ _

_ _

_ _

_

_ _

_ _

_ _

_

_ _

_ _

_ _

_

_ _

_ _

_ _

_+

+++

___

_

+

+++

_

___

42

Lo que se mueven son los electrones que son cargas negativas. Debido a la repulsión entre las cargas negativasde la barra de plástico y los electrones de las esferas, éstos se mueven lo más lejos de la barra, es decir a laesfera de la derecha ⇒ la de la izquierda queda cargada positivamente y la de la derecha negativamente.

10.2 Ley de Coulomb

Comenzamos por el estudio de cargas eléctricas en reposo respecto un sist. de ref. (si las cargas están enmovimiento aparecen otros efectos como son los efectos magnéticos que veremos después).

Las interecciones entre cargas eléctricas en reposo se llaman interacciones electrostáticas (química, biologíay tecnología) y están gobernadas por la llamada Ley de Coulomb. Coulomb, un físico francés, experimentandocon cargas eléctricas, calculó la fuerza que se ejercían dichas cargas, y enunció la ley que lleva su nombre;:

“La fuerza que se ejercen dos cargas puntuales y en reposo q y q′ separadas una distancia r es directamente

proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Dicha fuerza es de repulsión si las cargas son del mismo signo y de atracción si son de signo contrario.”

+ +urF’

r

q q’

F

+ur_ F’ F

r

q q’

43

En ambas situaciones ~F + ~F ′ = 0 (tercera ley de Newton). La fuerza que la carga q ejerce sobre la carga q′ es

~F = Kq q′

r2~ur (7)

donde el versor ~ur tiene módulo unidad, dirección la recta que une las dos cargas y sentido hacia afuera.

• Notad que en esta expresión (7) hay que incluir en las variables q, q′ su signo, es decir que si la carga q esnegativa y tiene un valor de, por ejemplo 1C, entonces se toma q = −1C.

• En la expresión de la ley de Coulomb la constante K depende del medio donde están las cargas y en elvacío y en el S.I. vale K0 ⋍ 9× 109Nm2/C2. Se suele presentar K en la forma

K =1

4πǫ

donde ǫ es la constante dieléctrica o permitividad del medio y que en el vacío vale

ǫ0 =1

4πK0

= 8,85× 10−12 C

Nm2

2

• El valor de ǫ en un medio siempre es mayor que en el vacío ǫ0 ⇒ la fuerza que se ejercen dos cargas esmáxima en el vacío. Se puede definir una nueva constante adimensional que se llama constante dieléctricarelativa o permitividad relativa definida como

ǫr =ǫ

ǫ0

• Se puede comprobar que la permitividad del aire es aproximadamente igual a la del vacío.

• Si tenemos varias cargas puntuales qi, la fuerza neta de todas ellas ejercen sobre otra dada q′ será iguala la suma de las fuerzas individuales de cada una de ellas sobre ésta (principio de superposición):

~F =∑

i~Fi

~Fi = K qi q′

r2i

~ui,r

44

10.3 Campo eléctrico: Ley de Gauss

Una carga q en el espacio, modifica éste a su alrededor ⇒ otra carga q′ cerca de la primera siente una fuerza ~Fdada por la Ley de Coulomb ⇒q me define un campo de fuerzas que llamamos campo electrostático o campoeléctrico (también podríamos decir que es la carga q′ la que crea el campo y q la que lo siente).

Se trata de un campo de fuerzas y por lo tanto es un campo vectorial ~E = ~E(x, y, z) ≡ ~E(~r). Además esconservativo como veremos. En resumen podemos decir: “Existe un campo eléctrico en un punto del espacio si

actúa una fuerza de origen eléctrico sobre un cuerpo estacionario cargado situado en dicho punto”

Como ya vimos, se define el campo ~E en un punto como el cociente obtenido de dividir la fuerza eléctrica ~F ,que actúa sobre una carga positiva q′, sobre la magnitud de dicha carga

~E =~F

q′(8)

• Si q′ es negativa ⇒ ~E y ~F tienen signos opuestos. A ~E se le denomina a veces intensidad del campoeléctrico. En el S.I. su unidad es 1N/C.

• La definición (8) hay que modificarla cuando un conjunto de cargas o una distribución de cargas crea elcampo (como un conductor cargado), pues la mera presencia de la carga q′ y la fuerza que ella hace sobrelas cargas que generan el campo puede modificar dicha distribución de cargas. Es mejor usar la definición

~E = lımq′→0

~F

q′

• Si existe un campo eléctrico en el interior de un conductor se ejerce una fuerza sobre cada carga del mismoque hace que éstas se muevan produciendo una corriente eléctrica. Por el contrario si no hay corrienteeléctrica en un conductor el campo eléctrico dentro del conductor debe ser nulo.

• Si la dirección y sentido de ~E es cte. en una región del espacio ⇒el campo es uniforme en dicha región.

45

• De la definción de campo eléctrico creado por una carga puntual q se tiene

~E =1

4πǫ0

q

r2~ur

• Si lo que hay es una distribución de cargas q1,q2, ... el campo resultante es la suma vectorial (principio de

superposición) de los vectores campo ~Ei creados separadamente por cada carga qi, es decir

~E =∑

i~Ei

~Ei =1

4πǫ0

qir2i

~ui,r

• Si la carga está distribuida uniformente por la superficie de un coductor finito, cada elemento superficialde carga dq (tal que q =

∫

dq) crea un campo infinitesimal

d ~E =1

4πǫ0

dq

r2~ur

de donde integrando sobre toda la superficie del conductor se tiene

~E =1

4πǫ0

∫

dq

r2~ur

aqui la integral se extiende a unos límites tales que tenga en cuenta toda la carga del conductor. Notad quelo anterior es una identidad entre vectores ⇒ tres identidades entre las componentes de los dos vectores.

46

10.3.1 Líneas de campo eléctrico

El concepto de líneas de campo (o líneas de fuerza) fue introducido por Michael Faraday (1791-1867). Ayudan

a visualizar cómo va variando la dirección de ~E al cambiar de un punto a otro. Se trazan de forma que ladirección de ~E en cada punto del espacio es tangente a las líneas de campo en ese punto. Como la direcciónde ~E puede variar de un punto a otro, las líneas de campo normalmente son curvas:

E

E

E

Indican las trayectorias que seguiría la unidad de carga positiva si se la abandona libremente, por lo que laslíneas de campo salen de las cargas positivas y llegan a las cargas negativas:

Para dos cargas juntas se tiene:

47

Las propiedades de las líneas de campo se pueden resumir en:

• El vector campo eléctrico es tangente a las líneas de campo en cada punto.

• Las líneas de campo eléctrico son abiertas; salen siempre de las cargas positivas o del infinito y terminanen el infinito o en las cargas negativas.

• El número de líneas que salen de una carga positiva o entran en una carga negativa es proporcional adicha carga.

• La densidad de líneas de campo en un punto es proporcional al valor del campo eléctrico en dicho punto.

• Las líneas de campo no pueden cortarse. De lo contrario en el punto de corte existirían dos vectores campoeléctrico distintos (con direcciones diferentes).

• A grandes distancias de un sistema de cargas, las líneas están igualmente espaciadas y son radiales,comportándose el sistema como una carga puntual.

48

10.3.2 Ley de Gauss

La ley de Gauss6 es muy importante en el estudio del campo electrostático (y en cualquier otro campo defuerzas).

El contenido de esta ley está relacionado con las líneas de campo. El campo eléctrico generado por una cargapuntual positiva aislada está representado por líneas que parten en todas direcciones, de forma que el campo~E tiene dirección radial y sentido hacia fuera de la carga. Sea una superficie S esférica de radio R (verfigura) rodeando la carga, y nos preguntamos por la densidad de líneas de campo que atraviesan una superficieelemental dS (que es perpendicular a las líneas de campo) y que es proporcional al campo en ese punto

EdS

+

+

dS

E

dS

+

EdS

θR

R

R

dN

dS= c| ~E| = c

1

4πǫ0

q

R2

6K.F. Gauss (1777-1855) fue un matemático y cientifico alemán que hizo numerosas contribuciones al campo de la física teórica yexperimental y a las matemáticas.

49

donde c es una constante de proporcionalidad. El número total de líneas de campo que atraviesan la superficieS es (integrando sobre toda la superficie esférica)

N = c1

4πǫ0

q

R2S = c

q

ǫ0

que no depende de R.

Sea ahora la carga rodeada de una superficie cerrada arbitraria S, y consideremos como antes un elemento desuperficie dS, que ahora no es perpendicular a las líneas de campo. Sea d~S el vector normal a la superficie dS,con |d~S| = dS y sentido hacia fuerza de la superficie. Como ~E tiene dirección radial (dirección de las líneas de

campo) la proyección del vector d~S en dicha dirección es dS cos θ ≡ |d~S⊥| es decir, es el módulo de un vectorsuperficie proyección de dS sobre la esfera ⇒ y por tanto perpendicular a las líneas de campo ⇒ (como antes)

dN

dS⊥

= c| ~E|

de dondedN = c| ~E|dS⊥ = c| ~E|dS cos θ = c ~E · d~S

θ es el ángulo que forman ~E y d~S. Notad que también es lo mismo | ~E|dS⊥ = | ~E|dS cos θ = E⊥dS donde E⊥

es la proyección del campo eléctrico en la dirección perpendicular de la superficie arbitraria S, es decir en ladirección de d~S. Integrando sobre toda la superficie cerrada y sabiendo que N = c q

ǫ0se llega al resultado

∮

~E · d~S =q

ǫ0

o Ley de Gauss para el campo electrostático.

Se define el flujo eléctrico elemental a través de la superficie elemental dS como

dΦ = ~E · d~S = | ~E|dS cos θ

50

y que por definición es proporcional al número de líneas de campo que atraviesan la superficie dS⊥ que es laproyección de d~S perpendicular al campo ~E. El flujo total a través de la superficie cerrada es

Φ =

∮

~E · d~S

que en virtud de la Ley de Gauss es

Φ =q

ǫ0

• Si q = 0 entonces∮

~E · d~S = 0 ⇒ Φ = 0

• Todo lo anterior se generaliza para varias cargas o para una distribución contínua de cargas y se cumple:∮

~E · d~S =1

ǫ0

∑

i

qi ≡Q

ǫ0

• El flujo total Φ a través de la superficie cerrada que encierra la carga q es por tanto proporcional alnúmero de líneas de campo que atraviesan la superficie en dirección hacia fuera y la carga neta q dentrode la superficie es proporcional a este número.

• Si ~E es perpendicular a todos los puntos de la superficie de área S y tiene la misma magnitud en todoellos (es uniforme) entonces ~E y d~S tienen la misma dirección por lo que ~E · d~S = EdS y se tiene

∫

~E · d~S =

∫

EdS = ES

• Si ~E es paralelo a todos los puntos de la superficie ⇒ ~E ⊥ d~S por lo que ~E · d~S = 0 y la integral es cero.

• Si ~E = 0 en todos los puntos entonces la integral es cero

• La superficie de la que habla la ley de Gauss no tiene por qué ser una superficie física real como la de uncuerpo sólido sino que es una superficie imaginaria que podemos elegir a nuestra conveniencia según elcaso particular que estemos estudiando y se llama superficie gaussiana.

51

• En la integral el campo ~E es el campo total en cada punto de la superficie, originado en parte por la cargasque hay dentro de la superficie y en parte por las cargas fuera de la superficie. Si no hay cargas dentrode la superficie puede que el campo no sea nulo en la superficie pero siempre la integral

∫

~E · d~S = 0 envirtud de la ley de Gauss.

• La ley de Gauss ⇒ la carga en un conductor se localiza en la superficie exterior del mismo (EJERCICIO),es decir no puede haber carga neta en el interior de un conductor incluso si el conductor es hueco (tienecavidades).

• La ley de Coulomb se puede derivar a partir de la Ley de Gauss (EJERCICIO)

• (EJERCICIO) Campo creado por una esfera conductora cargada de radio R (en dicha esfera el exceso de

carga q se distribuye en la superficie de la esfera y el campo ~E fuera de la esfera tiene dirección radial).Demostrar que usando una esfera gaussiana de radio r > R se tiene

~E =1

4πǫ0

q

r2~ur

de donde en la superficie de la esfera conductora el campo vale

~E =1

4πǫ0

q

R2~ur

• Campo eléctrico creado por un cable conductor delgado de longitud l ≫ 1 uniformemente cargado (EJER-CICIO):

~E =1

2πǫ0

λ

r~ur

con λ la carga por unidad de longitud del cable y r es el radio del cable. ¿Qué ocurriría si l fuera pequeño?

• Campo creado por un lámina plana infinita de carga (EJERCICIO) con σ = q/S. Elijo como superficiegaussiana un cilindro p.e. de área suficientemente grande de base S. Las líneas de campo sólo atraviesanlas bases del cilindro ⇒ el flujo a través de la superficie lateral es cero

52

+ + + + + +

+ + + + + +

+ + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

EE

S S

∮

~E · d~S = 2ES =σS

ǫ0⇒ ~E =

σ

2ǫ0~u⊥

• Campo creado por una placa plana conductora infinita cargada. La carga se distribuye en la superficie dela placa ⇒ es como si tuviéramos dos láminas conductoras paralelas con la misma carga (ver dibujo):

53

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

E1

E2

E2E1 E2

E1SS SS

⇒ el campo neto en las superficies externas es ~E = ~E1+ ~E2 y en el interior de la placa es cero. Aplicandoahora la Ley de Gauss se obtiene:

~E = ~E1 + ~E2 =σ

2ǫ0~u⊥ +

σ

2ǫ0~u⊥ =

σ

ǫ0~u⊥

• Si las cargas en las dos láminas de la placa son de signo contrario ⇒ tendríamos una situación opuesta ala anterior y ahora en el exterior de la placa el campo sería nulo y en el interior sería

~E = ~E1 + ~E2 =σ

ǫ0~u+−

~u+− es perpendicular a la superficie pero el sentido va de la lámina cargada (+) a la lámina cargada (-).

54

10.4 Energía potencial y potencial eléctricos.

10.4.1 Energía potencial eléctrica

Al igual que en Mecánica los conceptos de trabajo y energía tienen un papel fundamental en electricidad ymagnetismo. Un campo eléctrico realiza un trabajo sobre una partícula cargada en movimiento que se puedeexpresar en términos de la energía potencial asociada al concepto de potencial eléctrico o simplemente potencial

Vimos que el trabajo realizado sobre una partícula que se mueve debido a fuerzas conservativas se podíaexpresar en términos de una función energía potencial ⇒ si la partícula es desplazada de un punto A a otro B(para fuerzas conservativas el trabajo es igual para cualquier camino para ir de A a B)

WBA =

∫ B

A

~F · d~l = Ep(A)− Ep(B) = −∆Ep

Para el campo eléctrico, la fuerza que actúa sobre una partícula cargada, en el seno de un campo creado porotras cargas en reposo, es un campo de fuerzas conservativos como veremos y podemos aplicar el resultadoanterior. Sea una carga q estática que crea el campo y otra carga q′ situada a una distacia r y que se puedemover en el seno de este campo. q ejerce sobre q′ una fuerza (ley de Coulomb)

~F =1

4πǫ0

q q′

r2~ur

El trabajo realizado por esta fuerza para llevar a la carga q′ de ~rA a ~rB será (ver dibujo):

55

rA

Brdl

+

θ

dr

F

θ

WBA =

∫ B

A~F · d~l =

∫ rB

rA

1

4πǫ0

q q′

r2~ur · d~l =

q q′

4πǫ0

∫ rB

rA

1

r2dl cos θ = q q′

4πǫ0

∫ rB

rA

drr2

= q q′

4πǫ0

(

1

rA− 1

rB

)

que sólo depende de la posición original y final y no del camino ⇒ la fuerza eléctrica es conservativa. Igualandolas dos últimas expresiones del trabajo sugiere definir la energía potencial eléctrica como

Ep(~r) =1

4πǫ0

q q′

r

definiendo un punto de referencia ~rB al que asignamos una energía potencial constante y que hacemos igual acero. Para el campo eléctrico ese punto de referencia es el infinito que tendría trivialmente Ep = 0.

Fijado el punto de referencia en el infinito para el que Ep = 0 se tiene

Ep(~r) =1

4πǫ0

q q′

r= W∞

~r

56

la energía potencial de una carga de prueba q′ en cualquier punto de un campo eléctrico es igual al trabajorealizado por la fuerza eléctrica para llevar a la carga de prueba q′ desde el punto en cuestión a un nivel dereferencia cero que usualmente se toma en el infinito.

Principio de superposición: Si el campo que mueve q′ esta creado por varias cargas o por una distribucióncontínua de cargas ⇒ el campo eléctrico total en un punto del espacio donde está q′ es la suma vectorial de loscampos individuales creados por cada carga o elemento infinitesimal de la distribución de carga, y el trabajototal es la suma de los trabajos que cada fuerza eléctrica partícular ejerce sobre q′ ⇒ la Ep total es la suma delas energía potenciales asociadas a cada carga o elemento infinitesismal de la distribución de carga:

Ep(~r) =q′

4πǫ0

∑

i

qiri

donde ~ri son los vectores distancia entre cada carga individual de la distribución y la carga q′.

10.4.2 Potencial eléctrico

Definimos la magnitud escalar potencial en un punto de un campo eléctrico y lo denotamos por V (~r) comola energía potencial por unidad de carga q′:

V (~r) =Ep(~r)

q′=

1

4πǫ0

q

r(9)

⇒ V (~r) no depende de la carga de prueba. Para muchas cargas o una distribución de cargas se tiene

V (~r) =1

4πǫ0

∑

i

qiri

El potencial sólo depende de las cargas o distribución de cargas que crea el campo y de las coordenadas, esdecir es V (~r). Su unidad en el sistema internacional es 1J/C ≡ 1V (voltio). En función del trabajo tenemos

WBA

q′=

Ep(A)

q′−

Ep(B)

q′= V (~rA)− V (~rB) ≡ VAB

57

La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos ~rA y ~rB del campo eléctrico expresa el trabajo que tieneque hacer el campo para llevar la unidad de carga positiva desde ~rA a ~rB ⇒

VAB =WB

A

q′=

∫ B

A

~F

q′· d~l =

∫ B

A

~E · d~l

• Si ~E = 0 ⇒ VAB = 0 ⇒ VA = VB = cte.

• Si ~E ⊥ d~l ⇒ ~E · d~l = 0 ⇒ VAB = 0 ⇒ VA = VB = cte

10.4.3 Cálculo de diferencias de potencial

Conductor esférico de radio R cargado: Como ya vimos para este caso

~E = 1

4πǫ0

q

r2~ur para R ≤ r

~E = 0 para r < R

que es el mismo que el creado por una carga puntual q cuando R ≤ r y cero en el interior del conductor dedonde tomando como referencia de energía pontecial cero el infinito y siendo R finito se tiene

V = 1

4πǫ0

q

rpara R ≤ r

V = cte = 1

4πǫ0

q

Rpara r < R

en el interior de la esfera V (~r) = cte pues ~E = 0 en el interior ⇒ por continuidad podemos poner que es igualal potencial que hay en la superficie de la esfera.

Placas paralelas con cargas opuestas separadas una distancia l. Antes vimos para este caso que ~E enel exterior es cero y entre las placas es

~E =σ

ǫ0~u+−

58

El trabajo para llevar la unidad de carga de la placa positiva (A) a un punto del interior x es

W xA =

∫ x

A

~F · d~l

pero en este sistema se tiene que ~F = F~u+− y d~l = dl~u+− de donde

W xA = F x = E q′ x =

σ

ǫ0q′ x

de donde

VAx = VA − Vx =W x

A

q′=

σ

ǫ0x

es decirVx = VA −

σ

ǫ0x

y el potencial en la placa cargada negativamente es

VB = VA −σ

ǫ0l ⇒ VAB =

σ

ǫ0l = E l

10.4.4 Superficies equipotenciales

Como V (~r) depende de las coordenadas, la asociación de cada punto del campo con el valor que toma elpotencial eléctrico en ese punto define un campo escalar, que podemos representar por las llamadas líneas o

superficies equipotenciales : lugar geométrico del espacio que tiene el mismo valor del potencial eléctrico V (~r).

Para que el campo ~E pueda ser descrito por V (~r) es necesario que a partir del valor de V (~r) en cada punto

deduzcamos el valor del campo eléctrico ~E en módulo, dirección y sentido y por tanto el valor de la fuerzaeléctrica ~F = q′ ~E. Además podremos representar el campo eléctrico mediante las líneas de campo y tambiénpor las superficies equipotenciales. Vamos a ver cómo hacer esto:

WBA =

∫ ~rB

~rA~F · d~l = q′

∫ ~rB

~rA~E · d~l = Ep(~rA)−Ep(~rB) = q′[V (~rA)− V (~rB)]

∫ ~rB

~rA~E · d~l = V (~rA)− V (~rB) ≡ −

∫ ~rB

~rAdV ⇒

dV = −~E · d~l

59

La ecuación anterior ⇒ el trabajo elemental realizado por ~E sobre q′ para moverla entre dos puntos muypróximos es igual a menos la variación elemental de V (~r) entre los mismos. Ejemplo:

• Si el campo muevela partícula tangencialmente a las líneas equipontenciales

E

E

E

dl

V=cte

dV = 0 ⇒ ~E · d~l = | ~E| × |d~l| × cosθ = 0 ⇒ θ = 90o

Es decir el vector intensidad de campo ~E es en todo punto perpendicular a las superficies equipontenciales. Susentido es el de los potenciales decrecientes. En el dibujo se respresentan las superficies equipotenciales en elcampo creado por una carga positiva, y dos cargas del mismo signo y de distinto signo:

60

10.4.5 Gradiente del potencial

Supongamos dos superficies equipotenciales muy próximas:

gradV

E

BVAV

B AVV <

dl

θ

Hemos visto antes quedV = −~E · d~l = | ~E||d~l|cosθ

si llamamos ds = |d~l| se tiene trivialmente −dVds

= | ~E|cosθ que se le conoce como derivada direccional e indica

la derivada de la función potencial en la dirección que marca d~l. Si ponemos el producto escalar en función desus coordenadas y usando que

d~l = dx~i+ dy~j + dz~k~E = Ex

~i+ Ey~j + Ez

~k ⇒dV = − (Exdx+ Eydy + Ezdz)

61

Por definición de diferencial de una función V (~r) = V (x, y, z) se tiene que

dV =∂V

∂xdx+

∂V

∂ydy +

∂V

∂zdz

de donde igualando se tieneEx = −∂V

∂x

Ey = −∂V∂y

Ez = −∂V∂z

introduciendo el vector gradiente−−→grad = ~∇ ≡

∂

∂x~i+

∂

∂x~k +

∂

∂x~k

se tiene en particular para el campo eléctrico ~F = q′ ~E puede definirse mediante la función potencial eléctricoV (~r) en la forma

~E = −−−→gradV (~r) = −~∇V (~r)

Es decir el vector intensidad del campo ~E en un punto del campo eléctrico es igual a −−−→grad del potencial

eléctrico V en ese punto. De esta forma podemos obtener ~E a partir de V (~r), por lo que podemos describir elcampo eléctrico mediante el potencial eléctrico y representarlo mediante superficies equipotenciales.

• Observaciones: Notad que el−−→gradV (~r) es perpendicular a las superficies equipotenciales y tiene el sentido

de los potenciales crecientes. La dirección de los vectores~E y−−→gradV (~r) es aquella en la cual el potencial

varía más rápidamente por unidad de longitud. No confundir líneas de fuerza y superficies equipotenciales:

62

E

E

E +

• Como ~E =~Fq′

y −∆V = WBA /q′ = −∆Ep/q

′ ⇒ ~F/q′ = −−−→gradV (~r) = − 1

q′

−−→gradEp(~r) por lo que

~F = −−−→gradEp(~r)

Resultado que ya habiamos encontrado antes. Por lo tanto si el sistema está aislado F = 0

10.5 Capacitores: Propiedades de los dieléctricos

Dos materiales conductores cualesquiera separados por un material aislador forman un capacitor o condensador.

Los dos conductores suelen tener cargas de igual magnitud pero de signo opuesto ⇒ la carga neta es nula.

El campo eléctrico en la región intermedia y por lo tanto la diferencia de potencial es proporcional a esta carga,que denotaremos por Q.

Definimos la capacitancia C de un capacitor por la relación

C =Q

VAB

63

la unidad en el S.I. de capacitancia es 1C/V = 1F (faradio). Un capacitor se representa por el símbolo

⊣⊢

Si se dice que un capacitor tiene una carga Q > 0 significa que la carga del conductor de mayor potencial esQ y la del conductor de menor potencial es −Q. El tipo de capacitor más frecuente es el de placas paralelas:

VBVA

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

−Q+QE

d

Si las placas están lo suficientemente cerca el campo eléctrico en el interior es prácticamente uniforme. Segúnya vimos cuando aplicamos la ley de Gauss para este sistema se tiene

~E =σ

ǫ0~u+− =

Q

ǫ0S~u+−

64

donde S es la superficie de cada placa y Q la carga total en cada placa. Por otra parte como el campo eléctricoen el interior es uniforme se tiene (como vimos más arriba)

VAB =

∫ B

A

~E · d~l = Ed =Qd

ǫ0S

de donde la capacitancia es

C =Q

VAB

= ǫ0S

d

como para un capacitor ǫ0, S, d son constantes ⇒ la capacitancia de un capacitor es constante independientede la carga del capacitor.

10.5.1 Capacitores en serie y en paralelo

En aplicaciones prácticas los condensadores se pueden conectar en serie o en paralelo.

• Capacitores en en serie. Si dos capacitores con capacitancias C1y C2 están conectados así

++++

++++

____

____

VAC

VAB VAB

____

++++

C1 C2

+Q −Q +Q −Q

VCB

+Q −Q

C

de forma que en el dibujo de la izquierda

VAC =Q

C1

VCB =Q

C2

65

pero como VAB = VAC + VCB se llega a que

VAB = Q

(

1

C1

+1

C2

)

En el dibujo de la derecha es VAB = Q

C⇒ el capacitor equivalente tiene una capacitancia que verifica

1

C=

1

C1

+1

C2

Este resultado es válido para cualquier número de capacitores en serie:

1

C=

1

C1

+1

C2

+ ...

• Capacitores en paralelo como muestra la figura

VAB

C1

C2

1Q

2Q

____

++++

____

+++

+

VAB

++++

____

CQ

tenemos que se cumple por un lado

VAB =Q1

C1

=Q2

C2

=Q

C

66

pero por otra parte VABC = Q = Q1 +Q2 = VABC1 + VABC2 = VAB(C1 + C2) de donde trivialmente

C = C1 + C2

y este resultado se puede generalizar a n capacitores en paralelo

C = C1 + C2 + ...

10.5.2 Energía de un capacitor cargado

Cargar un capacitor consiste en transferir carga desde la placa con menor potencial hasta la placa con mayor,que requiere consumo de energía.

Si inicialmente las placas están cargadas y vamos pasando una carga elemental dq de una placa a otra se tieneque la carga final Q y la diferencia de potencial V están relacionadas por

Q = CV

Si en un momento del proceso la carga trasferida es q y la diferencia de potencial es v = q/C el trabajonecesario para transferir la siguiente carga elemental dq es

dW = vdq =q

Cdq

de donde integrando sobre todo el proceso tenemos

W =1

C

∫ Q

0

qdq =Q2

2C=

1

2CV 2 =

1

2QV

que no es más que la energía potencial almacenada en el capacitor cuando éste adquiere una carga Q. EJERCI-CIO: Demostrar que en términos de la intensidad del campo eléctrico la densidad de energía u = W/volumenalmacenada en un capacitor cargado es

u =1

2ǫ0E

2

67

10.5.3 Efecto de un dielétrico: teoría molecular de las cargas inducidas.

La mayor parte de los capacitores tienen entre sus placas un material sólido no conductor o dieléctrico. P.e. uncapacitor típico estaría formado por dos tiras de chapa separadas por una tira de papel parafinado o plásticoenrolladas formado un pequeño cilindro.

Cualquier material dieléctrico sometido a un campo eléctrico suficientemente grande experimenta una rotura

dieléctrica (rayo), o ionización parcial que permite la conducción a través de él. Muchos materiales aisladorestoleran campos eléctricos más grandes que en el caso del aire.

La capacitancia C de un capacitor es mayor cuando hay un dieléctrico entre las placas que cuando hay aireo el vacío (C0). Experimentalmente se ve que si se introduce un material dieléctrico entre las placas de uncapacitor con sólo aire entre ellas ⇒ se produce un disminución de la diferencia de potencial entre placas, quevuelve a recuperarse cuando se quita otra vez el dieléctrico ⇒ la carga es la misma en ambas situaciones. Porlo tanto aumenta de la capacitancia cuando hay un dieléctrico entre placas. En concreto se tiene

K =C

C0

> 1

que se llama constante dieléctrica del material.

Sabemos que en un capacitor con vacío o aire

E0 =V0

d=

σ

ǫ0

⇒ al meter un dieléctrico disminuye la diferencia de potencial V ⇒ E disminuye y también la carga por unidadde área. Como no ha habido pérdida de carga por ningún sitio esta disminución sólo puede estar ocasionadapor la aparición de cargas inducidas de signo opuesto a las de las dos placas es decir:

68

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−σ iσ i

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

−σσ

Si σi es la carga inducida por unidad de área en las superficies del dieléctrico ⇒ la carga neta superficial quecontribuye al campo eléctrico en el interior del dieléctrico es (σ − σi) y el campo eléctrico es

E =V

d=

σ − σi

ǫ0

pero

K =C

C0

=Q/V

Q/V0

=E0

E=

σ

σ − σi

es decirσ − σi =

σ

K⇒ E =

σ

Kǫ0

el productro Kǫ0 se llama permitividad del dieléctrico y se representa por ǫ ⇒ el campo eléctrico dentro deldieléctrico es

E =σ

ǫ

69

• En el caso de un conductor al tener las cargas libres y aplicar un campo eléctrico éste mueve las cargaslibres del interior a la superficie del conductor.

• En un dieléctrico no hay cargas libres ⇒ ¿cómo pueden aparecer cargas inducidas? La respuesta a estapregunta hay que buscarla a nivel molecular del material. Las moléculas puedes ser polares, es decir hayuna distribución de asimétrica de cargas positivas y negativas constituyendo un dipolo eléctrico molecular,o no polares, cuando esto no ocurre.

• En presencia de un campo eléctrico las no polares se pueden también polarizar ⇒ en los dos casos lapresencia de un campo eléctrico hace que estos dipolos inducidos, debido a las fuerzas eléctricas se alineenen la dirección del campo apareciendo a su vez un campo inducido que se opone al campo. En las zonassuperficiales del dieléctrico aparece un exceso de carga, negativa en un extremo y positiva en el otro

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+_ +_ +_

+_ +_ +_

+_ +_ +_

+_ +_ +_

+_ +_ +_

+_ +_ +_

+_ +_ +_

+_ +_ +_

+_ +_ +_+_ +_ +_

+_ +_ +_

−σσ

• Dado un dipolo eléctrico formado por dos cargas q y −q separadas una distancia d se define el momentodipolar eléctrico y se representa por ~p al vector cuyo módulo es p = qd, su dirección es la recta que lasune, y cuyo sentido va de la carga negativa a la positiva:

70

• En presencia de un campo eléctrico uniforme se crea un par de fuerzas sobre el dipolo cuyo momento(momento dipolar eléctrico) es

~M = ~r+ ∧ ~F+ + ~r− ∧ ~F−

con módulo esM = dF senθ

con F = |~F+| = |~F−| = qE de donde se tiene que el momento dipolar eléctrico es

M = q dEsenθ = pEsenθ

o en notación vectorial~M = ~p ∧ ~E

10.6 Corriente eléctrica, resistencia y fuerza electromotriz

Cuando hay un flujo neto de carga a través de una superficie o sección perpendicular decimos que hay unacorriente eléctrica a través de dicha sección. P.e. un conductor cargado en el seno de un campo eléctrico,de forma que las cargas del interior se mueven hacia la superficie quedando el interior libre de cargas concampo nulo y potencial constante ⇒ se genera una corriente eléctrica transitoria. Para mantener una corriente

71

contínua debemos conservar alguna fuerza sobre las cargas móviles de un conductor, fuerza que puede procederde un campo electrostático ~F = q ~E y que denominaremos fuerza de arrastre.

El movimiento de una carga en un conductor es muy diferente del que que tendría una carga en el vacío,pues después de acelerarse puede chocar inelásticamente con partículas fijas en el conductor y tiene quevolver a empezar a acelerarse. En promedio su movimiento es en la dirección de la fuerza de arrastre con unavelocidad denominada velocidad de arrastre. Las colisiones inelásticas con partículas fijas originan transferenciade energía cinética de la carga a las partículas que aumenta la energía de vibración de éstas y un aumento dela temperatura del conductor si está aislado o una trasferencia de calor al entorno si no lo está.

10.6.1 Corriente eléctrica

La corriente eléctrica a través de un área se define cuantitativamente como la carga neta que fluye a través de

dicha área por unidad de tiempo.

Iav =∆Q

∆t

El flujo de carga por unidad de tiempo puede no ser constante ⇒ es mejor definir la corriente instantánea

I = lım∆t→0

∆Q

∆t=

dQ

dt

que es una cantidad escalar. Su unidad en el S.I. es 1C/seg = 1A (amperio) en honor al físico francés AndréMarie Ampère (1775-1836).

Podemos expresar la corriente en función de la velocidad de arrastre (ver dibujo). Dado un conductor cilíndrico

de sección S a través del cual fluyen cargas positivas hacia la derecha en presencia de un campo eléctrico ~E (queapunta hacia la derecha) ⇒ en condiciones estacionarias en un volumen S × v∆t habrá n partículas cargadascon carga q ⇒ la carga neta que fluye en el cilindro en ∆t es

72

++ + + +

∆v t

E+ +

+v

∆Q = nqvS∆t

de dondeI = nqvS

El resultado sería el mismo con cargas negativas moviéndose pero ahora éstas se moverían hacia la izquierdapues la fuerza del campo electrico es opuesta al campo ~E en este caso7.

En general un conductor puede contener un número cualesquiera de tipos de partículas cargadas con cargasqi, densidades ni y velocidades de arrastre vi de forma que la corriente total será

I = S∑

i

niqivi

La corriente por unidad de área transversal se llama densidad de corriente J

J =I

S=

∑

i

niqivi

y el vector densidad de corriente se define por la ecuación

~J =∑

i

niqi~vi

7Cuando se habla del sentido de la corriente electrica se pone como convenio el del movimiento de las cargas positivas, aunque enrealidad son los electrones, por tanto cargas negativas, los que se mueven en general, por ejemplo a través de un conductor.

73

La dirección de la velocidad de arrastre ~v de una carga positiva es la misma que la del campo eléctrico y la deuna carga negativa es opuesta a él ⇒ el vector ~J siempre tiene la misma dirección que el campo eléctrico.

• Cuando la intensidad de corriente eléctrica no depende del tiempo, es constante ⇒ la corriente se dicecorriente contínua (DC). Si depende del tiempo, se llama corriente alterna (AC).

10.6.2 Resistividad y resistencia.

La densidad de corriente eléctrica J en un conductor depende del campo eléctrico E y de la naturaleza delconductor. La dependencia de J con E puede ser bastante compleja pero para conductores metálicos puedeser proporcional es decir

ρJ = E

que me define la resistividad ρ ≡ E/J es decir el campo eléctrico por unidad de densidad de corriente. Unconductor perfecto tendría resistividad nula y un aislador perfecto la tendrá infinita. Los metales tienen resis-tividades bajas y son los mejores conductores. Los semiconductores son una clase intermedia entre conductoresy aisladores.

El descubrimiento de que ρ es una constante para un conductor metálico a T = cte se debe a G.S. Ohm(1789-1854) y se conoce como la ley de Ohm. Un material que verifica esta ley se denomina conductor óhmico

o conductor lineal. Si no la verifica se llama conductor no lineal. La resistividad de todos los conductoresaumenta con la temperatura

ρ = ρ0[1 + α(T − T0)]

donde ρ0 es la resistividad a la temperatura T0 de referencia. La resistividad de un semiconductor disminuyecon la temperatura.

Dado que en general E y J son difíciles de medir es útil poner la relación E = ρJ en términos de magnitudesmás fácilmente medibles como la corriente total y la diferencia de potencial:

I = JSV = El

74

de donde

ρ =V/l

I/S⇒ V =

ρl

SI

⇒ la corriente total es directamente proporcional a la diferencia de potencial. A la cantidad ρl/S para unmaterial dado se le llama su resistencia:

R ≡ρl

Sde donde tenemos

V = RI

que con frecuencia recibe el nombre de Ley de Ohm. La unidad SI de resistencia es 1 V oltio/Amperio =1Ohmio = 1Ω ⇒ la unidad de resistividad es 1Ohmio×metro. Como R es proporcional a la resistividad ⇒ Rvaría con la temperatura para pequeñas variaciones de esta en la forma

R = R0[1 + α(T − T0)]

En un caso particular de un circuito podemos tener resistencias en serie y en paralelo como ocurría en el casode los capacitores.

• Resistencias en serie

2RR1a bxI I

Vax = R1I Vxb = R2I pero Vab = Vax + Vxb = I(R1 + R2) = IR ⇒ R = R1 + R2. Es decir el circuitoscon dos resistencias en serie es equivalente a un circuito con una sólo cuyo valor es la suma de las dos.Esto se puede generalizar a n resistencias en serie

• Resistencias en paralelo

1R

2RI I

ba

75

Vab = I1R1 = I2R2 pero I = I1 + I2 = Vab

R1

+ Vab

R2

= Vab

(

1

R1

+ 1

R2

)

= Vab

R⇒ 1

R= 1

R1

+ 1

R2

y esto se puede

generalizar a n resistencias en paralelo.

10.6.3 Fuerza electromotriz

Para que exista una corriente estacionaria en un circuito conductor, éste debe formar una malla cerrada ocircuito completo, si no la carga se acumularía en los extremos del conductor, el campo eléctrico resultantevariaría con el tiempo y la corriente no podría ser constante.

Tal circuito no puede estar constituido sólo por una resistencia: la corriente en una resistencia necesita uncampo eléctrico y un potencial asociado. Como el campo eléctrico realiza siempre un trabajo positivo sobre lacarga y ésta se mueve siempre en la dirección del potencial decreciente ⇒ tras una vuelta completa y regresara su punto de partida volvería tener el mismo potencial. Esto no puede ser pues siempre se mueve en sentidode potenciales decrecientes ⇒ debe haber una parte del circuito en la que la carga pase de un potencial menora otro mayor.

El influjo que hace mover la carga de un potencial menor a otro mayor se llama fuerza electromotriz.

Todo circuito completo en el que haya una corriente estacionaria debe tener un dispositivo que proporcionela fuerza electromotriz (las baterías, los generadores, las células fotovoltaicas y los termopares) que reciben elnombre de generadores de fuerza electromotriz. También se le llama fuente o convertidor de energía. Dentrode estos dispositivos podemos describir una fuerza no electrostática ~Fn que mueve las cargas hacia potencialescrecientes. Es como si hubiera un campo eléctrico adicional ~En no electrostático tal que ~Fn = q ~En

_+

E

En

a b

en un circuito abierto como en la figura las cargas están en equilibrio ⇒ ~E + ~En = 0.

76

Se llama fuerza electromotriz E al trabajo realizado por ~En por unidad de carga cuando la carga

se mueve de b hasta a. Cuando ~E = −~En entonces

Vab = E

La unidad en el SI de ~En es la misma que la de ~E esto es voltio por metro ⇒ la unidad de fuerza electromotrizes la misma que la de potencial o de diferencia de potencial, es decir el voltio.

• La E no es exactamente una diferencia de potencial pues esta última representa el trabajo por unidad decarga de un campo electrostático.

• La E no depende de la intensidad de corriente, en la mayoría de los casos es constante y depende sóloalguna propiedad de la fuente.

Si los terminales de la fuente estan conectadas por un cable de forma que hay un circuito cerrado

E

E+ _

E

E

E

n

a b

• la fuerza de arrastre sobre las cargas libres del cable se debe exclusivamente a ~E que crea una corrienteen el cable de “a” a “b” ⇒ las cargas en los terminales disminuyen ligeramente ⇒ ~E en el interior se hacemás pequeño que ~En, rompiendo el equilibrio y las cargas positivas en el interior de la fuente son llevadashacia el terminal positivo generando una corriente en el interior de “b” a “a”. El circuito se estabiliza deforma que la corriente es la misma en todas las secciones transversales.

77

Si la corriente pudiera circular por el interior de la fuente sin resistencia ⇒ la carga que deja el terminal “a”sería reemplazada totalmente por el flujo a través del interior de la fuente de “b” a “a”, de forma que ~E en elinterior no variaría y se tendría

E = Vab = RI

donde R es la resistencia del circuito externo. En realidad hay resistencia al movimiento de cargas en el interiorde la fuente que producen una caída de potencial

Vab = E − Ir

donde r es la resistencia interna de la fuente⇒

E − Ir = IR ⇒ I =E

R + r

Si los terminales de la fuente están conectados por un conductor de resistencia nula se dice que la fuente estáen cortocircuito. En ese caso R = 0 y la corriente en cortocircuito es

Ic =E

r

En estas condiciones el voltaje entre terminales es Vab = E − Icr = 0 ⇒ el campo electrostático dentro de lafuente es nulo. Una fuente está totalmente descrita por una E y por su resistencia interna r.

Podría ocurrir que el campo electrostático en el interior de la fuente fuera mayor que ~En ⇒ habría transferenciadel terminal “a” al “b”. Esto ocurre p.e. en un alternador de un automóvil cuando va cargando la bateria ⇒

Vab = E + Ir

el voltaje entre terminales es mayor que la E .

Una fuente se representa por el símbolo

78

+ _+ _

• A la hora de estudiar los circuitos complejos con diferentes combinaciones y configuraciones geométricasde resistencias, capacitadores, baterías etc, son útiles las conocidas como Reglas de Kirchhoff. Antes deenunciarlas es conveniente definir lo que es un nudo y una malla en un circuito: Un nudo de un circuito esun punto donde se unen 3 o más líneas conductoras. Una malla es cualquier trayecto conductor cerrado.Las reglas de Kirchhoff son dos:

Regla de los nudos: La suma algebraica de las corrientes que se dirigen a cualquier nudo es cero

∑

I = 0

que no es más que una expresión del principio de conservación de la carga eléctrica, que no puedeacumularse en un nudo. La corriente que entra en un nudo tiene que ser exactamente igual a la quesale del nudo.

Regla de las mallas: La suma algebraica de las diferencias de potencial en cualquier malla, incluidaslas asociadas a fuerzas electromotrices y a los elementos resistivos, ha de ser igual a cero

∑

E −∑

IR = 0

que no es más que una expresión del principio de conservación de la energía: cuando una carga recorreuna malla en un circuito la suma de las subidas de potencial en las fem de la malla debe ser igual ala suma de las caidas de potencial en los elementos resistivos.

10.6.4 Trabajo y potencia en circuitos eléctricos

Consideremos una parte de un circuito que tiene una región como la de la figura:

79

Va Vb

I Ia b

Sea Va − Vb = Vab. Al pasar la carga el campo eléctrico realiza trabajo sobre ella. En un intervalo de tiempo∆t pasa una cantidad de carga ∆Q = I∆t y el trabajo realizado por el campo es

∆W = Vab∆Q = VabI∆t

trabajo que es transferido en forma de energía al circuito. La cantidad de energía transferida por unidad detiempo, es decir la potencia, es

P =∆W

∆t= VabI

• Si el potencial en “b” es mayor que el de “a” ⇒ Vab es negativo. La carga entonces gana energía potencial(a expensas de alguna otra forma de energía) y hay transferencia de energía eléctrica hacia fuera desdeesta parte del circuito.

• En el caso de tener una resistencia pura en esta parte del circuito se tiene

P = VabI = RI2 =V 2

R

• En el caso de tener una fuente, podemos calcular la potencia de salida dela fuente

P = VabI = (E − Ir)I = EI − I2r

donde EI = trabajo realizado por unidad de tiempo realizado sobre las cargas por el agente que origina elcampo no electrostático ~En. El término I2r es la energía por unidad de tiempo disipada en la resistenciainterna.

80

10.6.5 Voltímetros y Amperímetros

Ambos aparatos de medida se basen en el funcionamiento del Galvanómetro de Arsonval que es un dispositivoformado por un conductor por el que pasa una corriente y una aguja en el seno de un campo magnético.

.

En ausencia de corriente la aguja apunta en la dirección del campo magnético producido por el imán. Cuandopasa una corriente por el conductor se crea un campo magnético (esto lo vamos a ver más adelante) quedependiendo del sentido de la misma crea un campo magnético que se opone o no al del imán y por tantoproduce una atracción o repulsión del imán proporcional a la intensidad de dicha corriente que atraviesa elconductor. Esto permite graduar la desviación de la aguja para medir corriente.

Si se cumple la ley de Ohm, el voltaje es proporcional a la corriente ⇒ es posible graduar la desviación de laaguja del galvanómetro para medira voltajes.

• Los Voltímetros son aparatos basados en el galvanómetro que se utilizan para medir diferencias de po-tencial entre dos puntos de un circuito ⇒ se conectan en paralelo al circuito.

• Los Amperímetros son aparatos que se utilizan para medir la corriente que fluye por un conductor de uncircuito ⇒ se conectan en serie con el conductor ⇒ tienen que tener resistencia nula o muy pequeña.

81