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Leccion 9. Sistemas lineales

Cuerpo Academico de Algebra Lineal

Universidad Autonoma de Yucatan

Merida, Yucatan, Mexico

Sistemas de ecuaciones lineales Ejercicios

Indice

1 Sistemas de ecuaciones lineales

2 Ejercicios

Cuerpo Academico de Algebra Lineal Universidad Autonoma de Yucatan



El estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones esuno de los temas mas importantes del algebra lineal. En estaseccion se introducira terminologıa basica y se analizaran algunosmetodos para resolver estos sistemas.




Ecuacion linealUna ecuacion lineal en las n variables x1, x2, . . . , xn se definecomo una ecuacion que se puede expresar en la forma

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b,

donde a1, a2, . . . , an y b son constantes. Las constantes a1, a2, . . . ,an se denominan coeficientes y las variables x1, x2, . . . , xn tambiense denominan incognitas.Si b = 0, la ecuacion se denomina homogenea.




Ejemplos

Las ecuaciones siguientes son lineales no homogeneas:

x + 3y = 7.12 x− y + 3z = −1.

x1 − 2x2 − 3x3 + x4 = 10.

x1 + x2 + · · ·+ xn = 1.

Las ecuaciones siguientes son lineales homogeneas:

x + 3y = 0.

3x + 2y− z = 0.

x1 − 2x2 − 3x3 + x4 = 0.

x1 + 2x2 + · · ·+ nxn = 0.




Sistemas linealesUn conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables x1,x2, . . . , xn se denomina sistemas de ecuaciones lineales osistema lineal.




Sistema linealUn sistema arbitrario de m ecuaciones lineales en n incognitas sepuede escribir como:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

......

......

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

donde x1, x2, . . . , xn son las incognitas y las letras a y b consubındices denotan constantes.Si b1 = b2 = · · · = bm = 0, el sistema se denomina homogeneo.




Ejemplos

Los siguientes sistemas son lineales no homogeneos

x + y = 43x− 2y = 6

5x− 3y + 8z = 0−3x + y + z = −7

5x− 3z = −1

4x1 − x2 + 3x3 = −13x1 + x2 + 9x3 = −4

x1 + x2 = 03x1 − x2 = −14x1 + 5x2 = 0x1 + 2x2 = 0




Ejemplos

Los siguientes sistemas son lineales homogeneos

x + y = 03x− 2y = 0

5x− 3y + 8z = 0−3x + y + z = 0

5x− 3z = 0

4x1 − x2 + 3x3 = 03x1 + x2 + 9x3 = 0

x1 + x2 = 03x1 − x2 = 04x1 + 5x2 = 0x1 + 2x2 = 0




Un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

......

......

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

puede abreviarse al escribir solo el arreglo rectangular de numeros:a11 a12 · · · a1n | b1a21 a22 · · · a2n | b2...

...... |

...am1 am2 · · · amn | bm

Este arreglo se denomina matriz aumentada del sistema.




Utilizando matrices, tambien podemos expresar el sistema linealanterior como:

AX = B

donde A es la matriz de coeficientes del sistemaa11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

X es la matriz columna

x1x2...

xn

y B es la matriz columna

b1b2...

bm




Ejemplo

En el sistema linealx + 3y = 112x− 3y = −5

la matriz aumentada es: [1 3 | 112 −3 | −5

]Tambien se puede expresar con matrices como:[

1 32 −3

] [xy

]=

[11−5

]




Obtencion de sistemas

EjemploUna pequena companıa mueblera fabrica sofas y sillones. Cada sofa

requiere 8 hrs de mano de obra y $60 en materiales, en tanto que un

sillon se puede construir por $35 en 6 hrs. La companıa dispone de 340hrs de mano de obra por semana y puede comprar $2250 en materiales.

¿Cuantos sillones y sofas puede producir usando todos los recursos

materiales y humanos?

Solucion.Los recursos materiales y humanos se pueden representar como semuestra en la siguiente tabla:

ProductoSofa Sillon

Horas de mano de obra 8 6 340Costo de material 60 35 2250




Sea “x′′ el numero de sofas y sea “y′′ el numero de silloneselaborados por dicha companıa. Para hallar cuantos sofas y cuantossillones se pueden producir, usando todos los recursos y materialesde los que se dispone, se resuelve el siguiente sistema lineal:

8x + 6y = 34060x + 35y = 2250

Pero de una manera mas sencilla estos datos pueden serrepresentados por la matriz aumentada[

8 6 34060 35 2250

]




Indice

1 Sistemas de ecuaciones lineales

2 Ejercicios




Ejercicios IX.1

Escribe la matriz aumentada del sistema ası como su formamatricial.

(a)3y− 3z = 6

x− y + 4z = −3x + 6z = 4

(b)3p− q = 1p + q = −3

p + 2q = 2

(c)x1 + x2 + x3 + x4 = 0

x1 − x2 + 4x3 = 0x1 + 6x4 = 0

(d)

x1 + x2 + x3 + x4 = 0x1 − x2 + 4x3 − x4 = 0

x1 − 7x3 + 2x4 = 02x2 + 3x3 + 4x4 = 0




Ejercicio IX.2

Determinar un sistema de ecuaciones lineales correspondiente a lamatriz aumentada.

(a)

2 0 | 03 −4 | 00 1 | 1

(b)

3 0 −2 | 57 1 4 | −30 −2 1 | 7

(c)

[7 2 1 −3 | 51 2 4 0 | 1

]

(d)

1 0 0 0 | 70 1 0 0 | −20 0 1 0 | 30 0 0 1 | 4




Ejercicios IX.3

En un zoologico hay aves (de dos patas) y bestias (de cuatropatas). Si el zoologico contiene 60 cabezas y 200 patas,determinar el numero de aves y bestias. Escribir el sistemalineal que resulta de la informacion anterior, escribiendoexplıcitamente la matriz de coeficientes A, el vector B y elvector de incognitas X.

Una tienda de helados vende solo helados con soda ymalteadas. Se pone 1 onza de jarabe y 4 onzas de helado enun helado con soda, y 1 onza de jarabe y 3 onzas de helado enuna malteada. Si la tienda usa 4 galones de helado y 5 cuartosde jarabe en un dıa, determinar el numero de helados ymalteadas vendidas. Escribir el sistema lineal que resulta de lainformacion anterior, escribiendo explıcitamente la matriz decoeficientes A, el vector B y el vector de incognitas X.Sugerencia: 1 cuarto = 32 onzas, 1 galon = 4 cuartos




Ejercicio IX.4

En Raccon city se dispersaron tres virus mortales (virus T, virus G y virusH), convirtiendo a toda la poblacion en zombies. La corporacionUmbrella tiene la siguiente informacion: el 15 % de los zombies infectadospor el virus T, el 25 % de los zombies infectados por el virus G y el 65 %infectados por el virus H se encuentran al norte de la ciudad alcanzando lacantidad de 1835 zombies; el 35 % de los zombies infectados por el virusT, el 45 % de los zombies infectados por el virus G y el 10 % infectadospor el virus H se encuentran al sur de la ciudad alcanzando la cantidad de2080 zombies; y, el 50 % de los zombies infectados por el virus T, el 30 %de los zombies infectados por el virus G y el 25 % infectados por el virusH se encuentran en el centro de la ciudad alcanzando la cantidad de 2185zombies. La corporacion Umbrella desea saber cual virus es el masinfeccioso, para ello necesita conocer cuantos zombies estan infectadospor el virus T, virus G o virus H. Escribir el sistema lineal que resulta dela informacion anterior, escribiendo explıcitamente la matriz decoeficientes A, el vector B y el vector de incognitas X.



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