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TEORÍA DE COLAS

• Modelos de Cola no exponenciales• Modelos: M/G/1 ‐ M/D/1 ‐ M/E k/1• Ejercicios varios Modelos de Colas

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Portal Estadística Aplicada: TEORÍA DE COLAS: MODELOS NO EXPONENCIALES 73


MODELOS DE COLAS CON TIEMPOS DE SERVICIO NO EXPONENCIAL

Los modelos anteriores se basan en que las entradas y el servicio se distribuyenmediante procesos que siguen una distribución de Poisson/Exponencial.

En un sistema de colas es necesario seleccionar una distribución de probabilidadpara los tiempos de servicio. Hay tres distribuciones que representan tiempos deservicio:

♦ La distribución de servicio exponencial (σ ≡media)

♦ La distribución de servicio constante ( 0σ ≡ )

♦ La distribución Erlang que posee un parámetro k que determina la desviación

típica 2 2x

1 1 1k

k

⎛ ⎞σ = → =⎜ ⎟μ μ σ⎝ ⎠

k 1= → La distribución Erlang ≡ La distribución Exponencial

k = ∞ → La distribución Erlang ≡ La distribución degenerada con tiempos constantes

La distribución Erlang según los valores del parámetro k:


MODELO DE COLA M/G/1

Según la notación Kendall se trata de sistema de colas con tiempos de llegadasdistribuidos exponencialmente (Proceso de Poisson de parámetro λ ), con clientesque tienen tiempos de servicio independientes e idénticamente distribuidos demedia ( )1 /μ y varianza 2σ

Cualquier sistema de colas de este tipo alcanza en algún momento el estado establecuando el factor de utilización / 1ρ = λ μ < .

Las medidas de rendimiento para este modelo toman las expresiones adjuntas,donde la referente a qL recibe el nombre de fórmula de Pollaczek‐Khinchine.

np = ρ

Utilización promedio : 0p 1= − ρ

Número promedio de clientes en la cola: 2 2 2

qL 2(1 )λ σ + ρ

=−ρ

Número promedio de clientes en el sistema: s qL L= + ρ

Tiempo promedio de espera en la cola: 2 2 2

qq

LW

2 (1 )λ σ + ρ

= =λ λ − ρ

Tiempo promedio de estancia en el sistema: ss q

L 1W W= = +

λ μ

Las medidas de eficiencia incrementan su valor conforme 2σ aumenta, lo queindica que el funcionamiento del servidor tiene gran transcendencia en la eficienciaglobal del sistema.

Curry y Feldman proponen una modificación del tiempo promedio de espera en lacola que proporciona una relación directa entre las colas M/M/1 y las colas M/G/1:

2 2

q q

1W W

2(M/G/1) (M/M/1)

⎛ ⎞+ μ σ= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2μ σ ≡ Coeficiente de variación al cuadrado de los tiempos de servicio.


MODELO DE COLA M/D/1

Es un sistema de colas con tiempos de llegadas distribuidos exponencialmente(Proceso de Poisson de parámetro λ ), el servicio consiste básicamente en la mismatarea rutinaria que el servidor realiza para todos los clientes, tiende a haber pocavariación en el tiempo de servicio requerido, asumiendo que el tiempo de servicioes igual a una constante fija.

Con un único servidor, el modelo M/D/1 se reduce a un caso particular del modeloM/G/1 en donde 2 0σ = , con lo que las medidas de eficiencia son:


Número promedio de clientes en la cola: 2

qL 2(1 )ρ

=− ρ


Tiempo promedio de espera en la cola: qq

LW =

λ


L 1W W= = +

λ μ

MODELO DE COLA M/E k/1

La distribución de Erlang de parámetros k y υ es la suma de k variables aleatorias

independientes exponenciales de parámetro υ , con media kυ y varianza 2

2

kσ =

υ.

Al particularizar las expresiones del modelo M/G/1 a una distribución de Erlang,

tomando kυ = μ , es decir, de media 1μ, donde:

22 2 2 2

x

k 1 1 1 1k

k k

⎛ ⎞σ = = → σ = =⎜ ⎟υ μ μ μ σ⎝ ⎠

Las medidas de eficiencia del modelo M/Ek/1, vienen dadas por:


Número promedio de clientes en la cola: 2 2

q

(1 k) (1 k)L

2k ( ) 2k(1 )λ + ρ +

= =μ μ − λ − ρ




LW =

λ


L 1W W= = +

λ μ

Un servicio de lavacoches tiene una tasa de llegadas de 9 vehículos/hora ypuede atender un vehículo cada 5 minutos, con un error típico ( 2σ = ) minutos. Sepide:a) Medidas de eficiencia según un modelo M/G/1b) Probabilidad de tener 0 clientes en el sistemac) Medidas de eficiencia según un modelo M/D/1d) Medidas de eficiencia según un modelo M/Ek/1

Solución:

a) 9

9 vehículos/hora 0,15 vehículos/minuto60

λ = = =

15 0,2 2= → μ = σ =

μ

Factor de utilización: 0,15

0,750,2

λρ = = =

μ

Promedio de vehículos en cola: 2 2 2 2 2 2

q

x

x

0,15 2 0,75L 1,305 vehículos

2(1 ) 2 (1 0,75)λ σ + ρ +

= = =−ρ −

Promedio de vehículos en sistema: s qL L 1,305 0,75 2,055 vehículos= + ρ = + =


L 1,305W 8,7 minutos

0,15= = =λ

Tiempo promedio de estancia en lavacoches: ss


0,15= = =λ

b) 0p 1 1 0,75 0,25= − ρ = − =

c) Medidas de eficiencia según un modelo M/D/1:

Promedio de vehículos en cola: 2 2

qx

0,75L 1,125 vehículos

2(1 ) 2 (1 0,75)ρ

= = =− ρ −

Promedio de vehículos en sistema: s qL L 1,125 0,75 1,875 vehículos= + ρ = + =




0,15= = =λ

Tiempo promedio de estancia en lavacoches: ss


0,15= = =λ

d) Medidas de eficiencia según un modelo M/Ek/1:

2 2 2 2x x

1 1k 6,25

0,2 2= = =μ σ

Promedio de clientes en la cola: 2 2

q

x

x x

(1 k) 0,75 (1 6,25)L 1,305 clientes

2k(1 ) 2 6,25 (1 0,75)ρ + +

= = =−ρ −

Promedio de clientes en el sistema: s qL L 1,305 0,75 2,055 clientes= + ρ = + =

Tiempo promedio en la cola: qq


0,15= = =λ

Tiempo promedio en el sistema: ss q

L 1W W 8,7 5 13,7 minutos= = + = + =

λ μ

Se observa que cuando 2 2x

1 1k 1σ = → = =

μ μ σ , el modelo de cola M/Ek/1

es un modelo de cola M/M/1 con tiempo de servicio exponencial

Promedio de clientes en la cola: 2 2

q

x

x x

(1 1)L

2 1 (1 ) (1 )ρ + ρ

= =− ρ −ρ


EJERCICIOS DE VARIOS MODELOS DE COLAS



1. Una tienda de servicio por correo tiene una sola línea telefónica, atendida poruna operadora que tiene instrucciones de mantener en espera a un máximo de 3clientes en la línea mientras toma sus órdenes. Las llamadas llegan según unadistribución de Poisson cada 5 minutos. El tiempo necesario para tomar cada ordenes exponencial con un promedio de 6 minutos.a) Explicar el motivo por el que a pesar de que µ < λ , este sistema en particular nose desborda.b) En promedio, ¿cuánto tiempo espera un cliente antes de ser atendido por laoperadora?

Solución:

a) Es un modelo M/M/1/4 k 3 en espera 1 atendido= +

Tasa media de llegadas: 1llamadas/minuto 0,2 llamadas/minutos

5λ = =

Tasa media de servicio: 1llamadas/minuto 0,166 llamadas/minutos

6μ = =

El sistema no se desborda porque su capacidad máxima es 4

b) El factor de saturación 0,2

1,20480,166

λρ = = =

μ determina como varían las

probabilidades np de que haya n llamadas en el sistema.

Probabilidad de que no haya ningún cliente en espera:

0 k 1 5

1 1 1,2048p 0,1331

1 1 1,2048+

− ρ −= = =

−ρ −

Promedio de llamadas en el sistema:

k 1 5

s k 1 5

x(k 1) 1,2048 5 1,2048L 5,8828 8,2499 2,3671 llamadas

1 1 1 1,2048 1 1,2048

+

+

ρ + ρ= − = − = − + =

− ρ − ρ − −

Tiempo de llamadas en el sistema: ss

L 2,3671W 11,8355

0,2= = =λ

minutos

Tiempo de llamadas en la cola: q s

1W W 11,8355 6 5,8355= − = − =

μ minutos

Una pequeña empresa de mensajería urgente tiene 2 motos para transportar losenvíos de los clientes. El servicio está restringido al área de la ciudad y lassolicitudes se atienden telefónicamente.


2. Un asesor fiscal dispone de un local para atender a sus clientes, los cuales seconcentran mayoritariamente entre los meses de mayo y junio. El local tiene unacapacidad máxima de 8 asientosen espera, el cliente se va si no encuentra unasiento libre, y el tiempo entre llegada de clientes se puede considerar distribuidoexponencialmente según un parámetro 20λ = clientes por hora en período punta.El tiempo de una consulta esta distribuido exponencialmente con una media de 12minutos.¿Cuántas consultas por hora realizará en promedio?¿Cuál es el tiempo medio de permanencia en el local?

Solución:

Es un modelo M/M/1/9 k 8 clientes espera 1 cliente atendido= +

6020 clientes/hora 5 clientes/hora

12λ = μ = =

El factor de saturación 20

45

λρ = = =

μ determina como varían las probabilidades np

de que haya n clientes en el sistema.

Probabilidades del estado: n 9

n 9k 1 10

(1 ) (1 4) 4p p 0,75

1 1 4+

− ρ ρ −= → = =

−ρ −

Tasa media de llegada (entrada efectiva):

ef k(1 p ) 20(1 0,75) 5λ = λ − = − = clientes/hora

Promedio de clientes en el sistema:

k 1 10

s k 1 10

x(k 1) 4 10 4L 8,67 clientes

1 1 1 4 1 4

+

+

ρ + ρ= − = − =

− ρ − ρ − −

Tiempo promedio de estancia en el sistema: ss

ef

L 8,67W 1,734 horas

5= = =λ


3.A) Una compañía estatal, para verificar que el peso de los vehículos cumple conel reglamento, tiene un numero de estaciones para el pesado de camiones a lolargo de una autopista. La administración esta considerando mejorar la calidad delservicio en sus estaciones de pesado y ha seleccionado una de las instalacionescomo modelo a estudiar.Se desea analizar y entender el desempeño del sistema actual durante las horas demayor afluencia, cuando llega a la bascula el mayor numero de camiones.Se sabe que al sistema llegan 70 clientes por hora, de acuerdo a una distribuciónde probabilidad de Poisson, y se atienden a una tasa de 73 clientes por hora, conuna distribución de probabilidad exponencial. El sistema tiene capacidad paraalbergar 15 camiones.Encontrar:a) Factor de utilización.b) Tiempo promedio de espera de un camión en la fila.c) Numero promedio de camiones en la fila.d) Tiempo promedio de un camión en el sistema.e) Numero promedio de camiones en el sistema.f) Probabilidad de que no haya camiones en el sistema.

3.B) La compañía estatal coloca una bascula adicional en las instalaciones depesado, y cada una atiende a una tasa de 40 camiones por hora. La tasa de llegadasigue siendo de 70 camiones por hora.Evaluar el nuevo sistema de atención a los clientes, calculando las medidas derendimiento.

Solución:

3.A) Tasa de llegada:

7070 camiones/hora camiones/minuto 1,167 camiones/minuto

60λ = = =

Tasa de servicio a los camiones:


60μ = = =

Como hay un único servidor, el factor de utilización coincide con la probabilidad deque un cliente nuevo tenga que esperar en el servicio.

Probabilidad del sistema ocupado: 1,167 camiones‐minuto

0,95891,217 camiones‐minuto

λρ = = =

μ

Probabilidad del sistema sin ocupar: 1 1 0,9598 0,0402− ρ = − =

b) Tiempo promedio de camiones en la fila:


qx

1,167W 19,178

( ) 1,217 (1,217 1,167)λ

= = =μ μ − λ −

c) Número promedio de camiones en la fila: q q xL .W 1,167 19,178 22,38= λ = =

d) Tiempo promedio de un camión en el sistema:

s q

1 1W W 19,178 20

1,217= + = + =

μ minutos

e) Número promedio de camiones en el sistema: s s xL .W 1,167 20 23,34= λ = =

f) Probabilidad de que no haya camiones en el sitema:

0p 1 1 0,9598 0,0402λ

= − = − =μ

3.B) Se trata de un modelo de cola M/M/2

a) Tasa de llegada: 70 camiones/hora 1,167 camiones/minutoλ = =

Tasa de servicio a los camiones:


60μ = = =

Factor de utilización o congestión del sistema: 1,167

0,8748s . 2 . 0,667λ

ρ = = =μ

c) Número promedio de camiones en la fila:

1,1671,75

0,667λ= =

μ

Probabilidad de que ningún camión se encuentre en el sistema de colas:

0 s 1 1n s n 2

n 0 n 0

1 1p

( / ) ( / ) 1 (1,75) (1,75) 1. .

n! s! 1 n! 2! 1 0,8748

−

= =

= =⎛ ⎞λ μ λ μ ⎛ ⎞+ + ⎜ ⎟⎜ ⎟− ρ −⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑

1 n 2 0 1 2

n 0

(1,75) (1,75) 1 (1,75) (1,75) (1,75). . 7,99 14,98

n! 2! 1 0,8748 0! 1! 2!=

⎛ ⎞+ = + + =⎜ ⎟−⎝ ⎠∑


0

1p 0,067

14,98= =

s 2

q 02 2

( / ) . . (1,75) . 1,167 . 0,667L .p . 0,0607 5,19

(s 1)! (s . ) (2 . 0,667 1,167)λ μ λ μ

= = =− μ − λ −

b) Tiempo promedio de camiones en la fila: qq

L 5,19W 4,45

1,167= = =λ

d) Tiempo promedio de un camión en el sistema:

s q

1 1W W 4,45 5,95

0,667= + = + =

μ

e) Número promedio de camiones en el sistema: s s xL .W 1,167 5,95 6,94= λ = =

f) Probabilidad de que no haya camiones en el sitema: 0

1p 0,067

14,98= =


4A. Se considera una línea de espera con dos canales con llegadas de Poisson ytiempos de servicio exponenciales. Para canal, la tasa media de llegada es de 14unidades por hora, y la tasa media de servicio es de 10 unidades por hora.a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema?b) ¿Cuál es la cantidad de unidades promedio en el sistema?c) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera una unidad por servicio?d) ¿Cuál es el tiempo promedio que una unidad esta en el sistema?e) ¿Cuál es la probabilidad de tener que esperar por el servicio?

4B. Si el sistema se expande a una operación de tres canalesa) Calcular los apartados anteriores para este sistema de línea de tres canalesb) Si el objetivo del servicio es proporcionar capacidad suficiente de modo que nomás del 25% de los clientes tenga que esperar por el servicio, ¿es preferible elsistema de dos canales o el de tres canales?

Solución:

4.A ‐ a) Es un modelo de cola M/M/2

Tasas media de llegada y servicios: 14 unidades/hora , 10 unidades/horaλ = μ =

/ 14 /10 1,4λ μ = =

0 s 1 1 n 2n s

n 0n 0

1 1 1p 0,1764

5,667( / ) ( / ) 2 .( / ) ( / ) s .n! 2! 2 .n! s! s .

−

==

= = = =⎛ ⎞⎛ ⎞ λ μ λ μ μλ μ λ μ μ ++ ⎜ ⎟⎜ ⎟ μ − λμ − λ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑∑1 n 0 1

n 0

( / ) 1,4 1,42,4

n! 0! 1!=

λ μ= + =∑

2 2( / ) 2 . 1,4 2 .103,267

2! 2 . 2! 2 .10 14

⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ μ μ= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ − λ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) Factor de utilización: 14

0,7s . 2 .10λ

ρ = = =μ

s

2q 02 2

1 1 0,7L . . .p . 1,4 . . 0,1764 1,345

s! (1 ) 2! (1 0,7)⎛ ⎞λ ρ

= = =⎜ ⎟μ − ρ −⎝ ⎠

c) qq

L 1,345W 0,096 horas 5,76 minutos

14= = = =λ

d) s q

1 1W W 0,096 0,196 horas 11,176 minutos

10= + = + = =

μ


e) s 2

W 0

( / ) s . 1,4 2 .10p . .p . . 0,1764 0,57624

s! s . 2! 2 .10 14

⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ μ μ= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ − λ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4.B ‐ a) Es un modelo de cola M/M/3

0 2 n 3

n 0

1 1p 0,2359

4,2375( / ) ( / ) 3 .n! 3! 3 .=

= = =⎛ ⎞λ μ λ μ μ

+ ⎜ ⎟μ − λ⎝ ⎠∑

2 n 0 1 2

n 0

( / ) 1,4 1,4 1,43,38

n! 0! 1! 2!=

λ μ= + + =∑

3 3( / ) 3 . 1,4 3 .100,8575

3! 3 . 3! 3 .10 14

⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ μ μ= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ − λ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Factor de utilización: 14

0,467s . 3 .10λ

ρ = = =μ

s

3q 02 2

1 1 0,467L . . .p . 1,4 . . 0,2359 0,1773

s! (1 ) 3! (1 0,467)⎛ ⎞λ ρ

= = =⎜ ⎟μ − ρ −⎝ ⎠

qq

L 0,1773W 0,0127 horas 0,759 minutos

14= = = =λ

s q

1 1W W 0,0127 0,1127 horas 6,76 minutos

10= + = + = =

μ

s 3

W 0

( / ) s . 1,4 3 .10p . .p . . 0,2359 0,20228

s! s . 3! 3 .10 14

⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ μ μ= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ − λ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4.B ‐ b) Es preferible el sistema de 3 canales, al cumplirse que menos del 25% tieneque esperar por el servicio.


5. Un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad promedio dediez clientes por hora. Además, se supone que los clientes llegan a la ventanilla delcajero a una tasa promedio de 7 por hora. Se considera que las llegadas siguen unadistribución de Poisson y el tiempo de servicio sigue la distribución exponencial.a) Realizar un análisis acerca de la situación actual del Banco.b) Si el Banco coloca un segundo cajero, en las condiciones anteriormentedescritas, ¿qué tanto se mejora el servicio?

Solución:

a) Se trata de un modelo M/M/1

Tasas media de llegada y servicios: 7 clientes/hora , 10 clientes/horaλ = μ =

Factor de utilización: 7

0,710

λρ = = =

μ

Que es la probabilidad de que el cajero se encuentre ocupado, que al ser un soloservidor, coincid con la probabilidad de que un cliente nuevo tenga que esperar en

el servicio, es decir, p 0,7λ

= =μ

En definitiva, con probabilidad 0p 1 0,7 0,3= − = el cajero del banco se encuentravacío, que es la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema

Número medio de clientes en cola: 2 2

q

7L 1,63

( ) 10 (10 7)λ

= = =μ μ − λ −

Número medio de clientes en sistema: s

7L 2,33

10 7λ

= = =μ − λ −

Tiempo medio de clientes en cola: qq

L 1,63W 0,233

7= = =λ

horas (14 minutos)

Tiempo medio de clientes en sistema: ss

L 2,33W 0,333

7= = =λ

horas (20 minutos)

b) Es un modelo M/M/2

Factor de intensidad de tráfico: 7

0,35s . 2 .10λ

ρ = = =μ

La probabilidad de que ningún cliente se encuentre en el sistema:


0 s 1 1n s n 2

n 0 n 0

1 1 1p 0,4814

2,0769( / ) ( / ) s . 0,7 0,7 20n! s! s . n! 2! 20 7

−

= =

= = = =⎛ ⎞λ μ λ μ μ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ − λ −⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑1 n 2 0

n 0

0,7 0,7 20 0,7 0,70,3769 2,0769

n! 2! 20 7 0! 1!=

⎛ ⎞+ = + + =⎜ ⎟−⎝ ⎠∑

Número medio de clientes en cola:

s

2q 02 2

1 1 0,35L p 0,7 0,4814 0,0977

s! (1 ) 2! (1 0,35)⎛ ⎞λ ρ

= = =⎜ ⎟μ − ρ −⎝ ⎠

Número medio de clientes en sistema: s qL L 0,0977 0,7 0,7977λ

= + = + =μ


L 0,0977W 0,0139

7= = =λ

horas

Tiempo medio de clientes en sistema: ss

L 0,7977W 0,1139

7= = =λ

horas

6. Una entidad bancaria considera la posibilidad de instalar una red de cajeros enuna de sus oficinas. Dado que se desconoce la afluencia de público que va ademandar dicho servicio, coloca un único cajero durante un mes. Diariamente serecogen datos sobre los tiempos de llegadas de los clientes, así como de lostiempos de servicio. Suponiendo que la sucursal se encuentra emplazada en unbarrio dende no existe otro servicio semejante, el cliente que llega prefiere esperarpara poder utilizar el cajero, cuando éste esté ocupado.Tras el oportuno análisis de los datos recogidos, se estima que las llegadas siguenun proceso de Poisson, la distribución del tiempo de servicio es exponencial, eltiempo medio transcurrido entre dos llegadas consecutivas es de 7.5 minutos, y eltiempo medio de servicio es de 5 minutos por cliente.Calcular:a) Tiempo medio de espera que debe sufrir cada cliente en cola.b) Tamaño medio de la cola y probabilidad de que al acudir al cajero ya haya algunapersona en la cola.

Solución:

a) Es un modelo de cola M/M/1

Tasas media de llegada y servicios:


1 10,1333 clientes/minuto , 0,2 clientes/minuto

7,5 5λ = = μ = =


0,6660,2

λρ = = =

μ

Que es la probabilidad de que el cajero se encuentre ocupado, que al ser un soloservidor, coincid con la probabilidad de que un cliente nuevo tenga que esperar en

el servicio, es decir, p 0,666λ

= =μ

En definitiva, con probabilidad 0p 1 0,666 0,334= − = el cajero del banco seencuentra vacío, que es la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema

Número medio de clientes en cola:

2 2

q

0,1333L 1,32 clientes

( ) 0,2 (0,2 0,1333)λ

= = =μ μ − λ −



0,1333= = =λ

b) El número medio de clientes en cola es qL 1,32 clientes=

La probabilidad de que haya al menos dos personas en el sistema es 0 11 p p− −

n

n 0 1

( / ) 0,666p .p p . 0,334 0,222

n! 1!λ μ

= → = =

0 11 p p 1 0,334 0,222 0,444− − = − − =


7. En una fábrica existe una oficina de la Seguridad Social a la que los obrerostienen acceso durante las horas de trabajo. El jefe de personal, que ha observado laafluencia de obreros a la ventanilla, ha solicitado que se haga un estudio relativo alfuncionamiento de este servicio. Se designa a un especialista para que determine eltiempo medio de espera de los obreros en la cola y la duración media de laconversación que cada uno mantiene con el empleado de la ventanilla.Este analista llega a la conclusión de que durante la primera y la última media horade la jornada la afluencia es muy reducida y fluctuante, pero que durante el restode la jornada el fenómeno se puede considerar estacionario.Del análisis de 100 periodos de 5 minutos, sucesivos o no, pero situados en la faseestacionaria, se dedujo que el número medio de obreros que acudían a la ventanillaera de 1,25 por periodo y que el tiempo entre llegadas seguía una distribuciónexponencial. Un estudio similar sobre la duración de las conversaciones, llevó a laconclusión de que se distribuían exponencialmente con duración media de 3,33minutos.Determinar:a) Número medio de obreros en colab) Tiempo medio de espera en la colac) Comparar el tiempo perdido por los obreros con el tiempo perdido por eloficinista. Calcula el coste para la empresa, si una hora de inactividad del oficinistavale 250 euros y una hora del obrero 400 euros. ¿Sería rentable poner otraventanilla?

Solución:

a) Es un modelo de cola M/M/1

Tasas media de llegada y servicios:

1,25 10,25 obreros/minuto , 0,3 obreros/minuto

5 3,33λ = = μ = =


0,8330,3

λρ = = =

μ

Número medio de obreros en cola:

2 2

q

0,25L 4,166 obreros

( ) 0,3 (0,3 0,25)λ

= = =μ μ − λ −

b) Tiempo medio de espera en la cola: qq

L 4,166W 16,664 minutos

0,25= = =λ

c) Durante cada hora, hay de media qL 4,166= obreros en cola, con lo cual el coste

por obreros ociosos es:


XCoste/hora 4,166 400 1.666,4 euros= =

La probabilidad de que el oficinista este ocioso es 1 1 0,833 0,167− ρ = − = , quetiene un XCoste/hora 0,167 250 41,75 euros= = .

La suma de los dos costes sería: 1.666,4 41,75 1.708,15 euros+ =

• Al poner otra ventanilla es un modelo de cola M/M/2


0,4166s . 2 . 0,3λ

ρ = = =μ

0 s 1 1 n 2n s

n 0n 0

1 1 1p 0,4119

2,4277( / ) ( / ) 2 .( / ) ( / ) s .n! 2! 2 .n! s! s .

−

==

= = = =⎛ ⎞⎛ ⎞ λ μ λ μ μλ μ λ μ μ ++ ⎜ ⎟⎜ ⎟ μ − λμ − λ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑∑1 n 0 1

n 0

( / ) 0,833 0,8331,833

n! 0! 1!=

λ μ= + =∑

2 2( / ) 2 . 0,833 2 . 0,30,5947

2! 2 . 2! 2 . 0,3 0,25

⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ μ μ= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ − λ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n

n 0 1

( / ) 0,833p .p p . 0,4119 0,3431

n! 1!λ μ

= → = =

En media, el tiempo que perdería cada oficinista será:

0 1 x2p p 2 0,4119 0,3431 1,1669+ = + =

que tiene un XCoste/hora 1,1669 250 291,725 euros= =

De otra parte, cada hora el número medio de obreros en cola:

s

2q 0 q2 2

1 1 0,4166L . . .p L . 0,833 . . 0,4119 0,1749

s! (1 ) 2! (1 0,4166)⎛ ⎞λ ρ

= → = =⎜ ⎟μ − ρ −⎝ ⎠

que tendría un XCoste/hora 0,1749 400 69,96 euros= =

La suma de los dos costes sería: 69,96 291,725 361,685 euros+ =

Es recomendable porner una segunda ventanilla, dado que el coste es menor.

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