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Elaborado por Albornoz, A; Meier, A y Vanegas, C (2012). Uso experimental para CIU.

Universidad Simón Bolívar

Departamento de Matemáticas

Matemática I Curso de iniciación Universitaria (CIU)

Lección I

A.- Números Reales (ℝ). Propiedades B.- Conjuntos. Intervalos. Valor Absoluto

Elaborado por Albornoz, A; Meier, A y Vanegas, C (2012). Uso experimental para CIU.

Elaborado por Albornoz, A; Meier, A y Vanegas, C (2012). Uso experimental para CIU. 1

A.- NÚMEROS REALES (ℝ)

ℝ: Naturales, enteros, racionales, irracionales Al finalizar esta parte de la lección se espera que con rapidez y exactitud puedas resolver problemas tales como:

• Ordenar a escala en la recta real (RR) los siguientes números: �3, 1,−2,−5, 5, 22

7� , 0.538,√2 , 𝜋 �. • Trabajar con números expresados en fracciones y/o decimales cuya distancia entre ellos sea muy

pequeña: ¿Cuál es la diferencia entre x1 y x2? 𝑥1 = 1

6 � 𝑥2 = 18�

𝑥1 = 0,01 𝑥2 = 0,001 • Diferenciar entre decimales periódicos y no periódicos: 𝑥1 = 10

3� = 3,333…

𝑥2 = √2 = 1,4142135623… 𝑥3 = 1

4� = 0,25 • Dominar el vocabulario simbólico y verbal (conceptual) de los números reales (ℝ). • Identificar cuáles propiedades de los números reales se han utilizado en la solución de alguna

expresión, o dada la expresión utilizar la que más convenga. • Razonar verbalmente y por escrito los conceptos y procedimientos utilizados en la solución de los

problemas. Por ejemplo: ¿Cuál de las fracciones 𝑥1 = 316� y 𝑥2 = 5

8� es mayor? Explica por escrito el procedimiento utilizado para resolverlo.

Recordando experiencias y conocimientos previos para darle sentido y significado a los contenidos por aprender.

Desde edades muy tempranas y a lo largo de tus estudios en el área de la matemática, con seguridad has visto, oído y escrito diferentes expresiones numéricas que incluyen una gama amplia de números reales. Desde los primeros meses de vida, los bebés son capaces de ver instantáneamente (por supuesto sin tener que contar) objetos y detectar diferencias en sus cantidades numéricas. Numerosos estudios han permitido a los científicos llegar a la siguiente conclusión: Nacemos con un sentido numérico incorporado. Y precisamente porque nacemos con este sentido numérico, la mayoría de las personas tienen el potencial para desempeñarse mucho mejor en matemática, mucho más de lo que piensan.

La recta mental de los números

En nuestros primeros contactos con los números sólo consideramos a los números enteros positivos, de allí que estos sean llamados números NATURALES. Una vez que nos familiarizamos con ellos es fácil imaginarnos una línea numérica mental donde visualizamos a los números como puntos en una línea con el 1 como punto inicial, el 2 a la derecha, luego el 3 y así sucesivamente, como se muestra en la Figura 1.


Figura 1

Cuando tenemos que decidir cuál de dos números es mayor, mentalmente vemos nuestra línea interna y determinamos cuál está a la derecha, y lo contrario, cuando buscamos al número menor, determinamos cuál está a la izquierda. En la medida en que avanzamos en nuestra escolaridad y comenzamos a trabajar con fracciones, decimales, raíces, números negativos, etc., la actividad cerebral aumenta significativamente (observada en imágenes cerebrales de resonancia magnética funcional). Esto se debe a que estos números y sus operaciones no corresponden a una categoría NATURAL en nuestro cerebro y por lo tanto debemos prestar más atención y concentración y ser muy cuidadosos al operar con ellos, ya que presentan mayor dificultad y aumenta significativamente la posibilidad de cometer errores. Además numerosos investigadores han comprobado que esta dificultad aumenta cuando la distancia entre dos cantidades es mínima y es expresada en fracciones y/o decimales. Por ejemplo: 𝑥1 = 3

7� = 0.428571… y 𝑥2 = 512� = 0.416…, luego

𝑥1 − 𝑥2 = 0.012…

Cuando incluimos los números negativos en la recta numérica, al no ser una categoría natural, debemos ser muy cuidadosos ya que naturalmente sabemos que un número positivo mientras más a la derecha esté, el número es mayor pero si el número es negativo mientas su VALOR ABSOLUTO sea MAYOR, el número estará más a la izquierda y es menor. Por ejemplo: 𝑥1 = −3 𝑥2 = −1,

-3 es menor que -1 y se expresa de la siguiente manera: -3 < -1, dicho de otra manera -1 es mayor que -3 y se expresa -1 > -3. 𝑥1 = − 4

5� = −0.8 𝑥2 = − 12 � = −0.5,

-0.8 es menor que -0.5 y se expresa de la siguiente manera: -0.8 < -0.5, dicho de otra manera -0.5 es mayor que -0.8 y se expresa -0.5 > -0.8.

Las destrezas que adquieras trabajando con los números reales te facilitarán comprender con mayor facilidad los conceptos matemáticos que verás tanto en las matemáticas del CIU como en matemática 1111., en particular en el tema de desigualdades y en graficación de funciones.

Contenidos del tema

Vocabulario Verbal

Vocabulario Simbólico

ℕ Número Natural: Es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos

de un conjunto.

ℕ = {1, 2, 3, … }

∞ 0 1 2 3 4 ……


ℤ Número Entero: conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de

cero (1, 2, 3,…), los negativos de los números naturales (-1, -2, -3,…) y al cero (0).

ℤ = { … ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, … }

ℚ Número Racional: todo número que puede representarse como el cociente de dos números

enteros, es decir, una fracción m/n, con numerador m y denominador n distinto de cero (0). Todo número ℚ tiene una parte

decimal finita o periódica. Ejemplos: 3

4� = 0.75 parte decimal finita 10

3� = 3,3333 parte decimal periódica con período 3.

ℚ = {𝑚 𝑛⁄ :𝑚,𝑛 ∈ ℤ 𝑦 𝑛 ≠ 0}

𝕀 Número Irracional: Cualquier número que no es racional, su parte decimal es infinita y no

es periódica. Ejemplo: √2 = 1.4142135625… π = 3.1415592653589…

Recta real

Figura 2. Recta Real


Resumen

Figura 3. Números Reales. Resumen en forma de mapa conceptual.

EJERCICIOS RESUELTOS: 1.- Clasifica los siguientes números reales, indicando el conjunto al que pertenecen y ordénalos

a escala (en lo posible) en la recta real (RR). Describe por escrito el procedimiento usado:

�−3, √3 , 𝜋, 34� , √4, 5 2� , 0, − √2 , �2

2� , √6, 2 + 𝜋, √2 + √3, 3𝜋, 2√2, 0 2� , − 2�

Primero clasifico los números y transformo la expresión de las raíces en números decimales: Naturales ℕ Enteros ℤ|ℕ Racionales ℚ|ℕ Irracionales 𝕀 √4 = 2 -3 3

4� = 0,75 √3 ≅ 1,73

�22� = √1 = 1 0 5

2� = 2,5 𝜋 ≅ 3,14

-2 −√2 ≅ −1,41 0

2� = 0 √6 ≅ 2,44 2 + 𝜋 ≅ 5,14

√2 + √3 ≅ 1,41 + 1,73= 3,14

3𝜋 ≅ 3(3,14) = 9,42 2√2 ≅ 2(2,41) = 2,82

NOTA: ℤ|ℕ significa enteros que no son naturales, y ℚ|ℕ significa racionales que no son enteros donde ≅ significa valor aproximado. Primero ubicaré los números negativos y luego los positivos. Como los valores numéricos comprendidos entre 1,41 y 3,14 son muchos, los representaré por partes. En el caso de las raíces sus valores numéricos son decimales no periódicos y por lo tanto tienen muchos decimales, lo cual dificulta su representación, tengo dos opciones: uso solo dos decimales o los coloco sin desarrollar, es decir, utilizo el símbolo √ con su valor inicial. La representación final queda como se muestra en la figura 4. Hay que memorizar los valores de las raíces más usuales, tales como: √2, √3, √5, por supuesto con 1 o 2 decimales ya que no podrás usar calculadora durante en el examen.


Figura 4. Representación en la Recta Real

2.- Para los siguientes pares de fracciones positivas, encuentra la diferencia entre ellas y

exprésala en fracciones y decimales. Describe por escrito él o los procedimientos utilizados: a.) 3 5� y 2

3� b.) 4 7� y 18� c.) 1 5� y 1

4� d.) 4 11� y 38�

a.- 3 5� y 2

3� Primero identifico cuál de las fracciones es mayor, si tengo dudas de reconocerlo simplemente realizo

una división en cada fracción para obtener un cociente expresado en decimales

:

35� → 3 ÷ 5 = 0,6 2 3� → 2 ÷ 3 = 0,66

Entonces, 2 3� > 3

5� y la diferencia entre ellas es: 0,66 - 0,6 = 0,06

Expresada en fracciones

resulta: 23−

35

= 10 − 9

15=

115

b.- 4 7� y 18�

Realizo el procedimiento anterior, En decimales

47� → 4 ÷ 7 = 0,5714 1 8� → 1 ÷ 8 = 0,125

:

Hago la resta o diferencia: 0,5714 - 0,125 = 0,4464


resulta: 47−

18

= 32 − 7

56=

2556

c.- 1 5� y 14�

15� → 1 ÷ 5 = 0.20 1 4� → 1 ÷ 4 = 0,25

En decimales

Cuya diferencia es: 0,25 - 0,20 = 0,05



d.- 4 11� y 38�

resulta: 14−

15

= 5 − 4

20=

120

411� → 4 ÷ 11 = 0,3636 3 8� → 3 ÷ 8 = 0,375

En decimales

Cuya diferencia es: 0,375 - 0,3636 = 0,0114


resulta: 38−

411

= 33 − 32

88=

188

3.- Para los siguientes pares de fracciones con signo negativo, encuentra la diferencia entre ellas, expresándola en fracciones y decimales.

a.) − 52� 𝑦 − 1

5� b.) −103� 𝑦 − 11

3� c.) −43� 𝑦 − 3

4� d.) −124� 𝑦 − 9

3�

a.) − 52� 𝑦 − 1

5� En decimales

−52� = −2,5 −1

5� = −0,2 :

Siguiendo el procedimiento empleado en el ejercicio anterior tengo que identificar cuál fracción es mayo y cuál es menor; -2,5 es menor que -0,2. Ahora hago la resta,

−0.2 − (−2,5) = −0,2 + 2,5 = 2,3 La diferencia es el espacio marcado con línea punteada en la Figura 5, y representa la distancia comprendida entre -2,5 y -0,2; las distancias siempre son positivas, es por esto que la respuesta es correcta. Ahora en fracciones

, tenemos lo siguiente:

−15− �−

52� = −

15

+52

=−2 + 25

10=

2310

Figura 5. Representacion de la diferencia entre fracciones.

b.) −103� 𝑦 − 11

3�

−103� = −3,33 −11

3� = −3,66 En decimales:

En este caso, sólo tomamos dos decimales. Determinemos la resta,

−3,33 − (−3,66) = −3,33 + 3,66 = 0,33


Ahora en fracciones


−103− �−

113� = −

103

+113

=−10 + 11

3=

13

c.) −43� 𝑦 − 3

4� En decimales

−43� = −1,33 −3

4� = −0,75 :

Determinemos la resta, −0,75 − (−1,33) = −0,75 + 1,33 = 0,58

Ahora en fracciones


−34− �−

43� = −

34

+43

=−9 + 16

12=

712

d.) −124� 𝑦 − 9

3� En decimales

−124� = −3 −9

3� = −3 :

Determinemos la resta, −3 − (−3) = −3 + 3 = 0

Ahora en fracciones

−124− �−

93� = −

124

+93

=−36 + 36

12=

012

= 0


En éste caso no hay diferencia entre estas dos fracciones, son la misma expresada de forma diferente.

4.- Para los siguientes pares de fracciones combinadas, positivas y negativas, encuentra la diferencia entre ellas expresándola en fracciones y decimales. Describe por escrito el procedimiento utilizado.

a.) 1 2� 𝑦 − 1

3� b.) −57� 𝑦 6

8� c.) 1210� 𝑦 − 10

12� d.) 13100� 𝑦 − 8

1000�

a.) 1 2� 𝑦 − 13�

En decimales1

2� = 0,5 (Mayor) −13� = −0,33 (Menor)

:

Determinemos la resta, 0,5 − (−0,33) = 0,5 + 0,33 = 0,83

Ahora en fracciones

, tenemos lo siguiente: 12− �−

13� =

12

+13

=3 + 2

6=

56


b.) −57� 𝑦 6

8� En decimales

68� = 0,75 (Mayor) −5

7� = −0,71 (Menor) :


Ahora en fracciones

, tenemos lo siguiente: 68− �−

57� =

68

+57

=42 + 40

56=

8256

c.) 1210� 𝑦 − 10

12� En decimales

1210� = 1,2 (Mayor) −10

12� = −0,83 (Menor) :


Ahora en fracciones

En este caso en particular para facilitar las operaciones tengo que conseguir un número que sea común a ambos denominadores y que al mismo tiempo sea el más pequeño posible, es decir, debo conseguir el mínimo común múltiplo (MCM), y lo hago de la siguiente manera.

, tenemos lo siguiente: 1210

− �−1012� =

1210

+ 1012

=?

Primero debo descomponer cada uno de los denominadores, 10 2 12 2

5 5 6 2 1 3 3

1 Quedando así de esta forma,

10 = 2x5 12 = 22x3 Para determinar el mínimo común múltiplo, se deben multiplicar los factores comunes con su mayor exponente y los no comunes, es decir,

MCM = 22x3x5 = 60 De esta forma, la representación en fracciones queda,

1210

+ 1012

= 72 + 50

60=

12260

= 6130

d.) 13

100� 𝑦 − 81000�

En decimales13

100� = 0,13 (Mayor) −81000� = −0,008 (Menor)

:


Ahora en fracciones, tenemos lo siguiente:


13

100− �−

81000

� =130 + 8

1000=

1381000

5.- En la siguiente lista de números identifica cuáles tienen expresiones decimales periódicas y

cuáles no. Identifica cuál es el período donde exista. ¿Cuáles son racionales y cuáles irracionales?

a.) 103� b.) −11

4� c.) 5 2� d.) √2 e.) 1 8� f.) 6 4� g.) 𝜋 h.)

√6 i.) �33� j.) -1

5� k.) 7 l.) 1 100�

Primero utilizo la calculadora para obtener suficientes decimales, luego observo cuidadosamente cada conjunto de decimales. Después identifico donde hay decimales periódicos y finalmente tengo la información para determinar cuáles números son racionales y cuáles no. PARTE DECIMAL CLASIFICACIÓN DEL NÚMERO a.) 10

3� = 3,3333333333… Período 3 Racional ℚ

b.) −114� = -2,75 Finito Racional ℚ

c.) 5 2� = 2,5 Finito Racional ℚ

d.) √2 = 1,414213562… No periódico Irracional 𝕀 e.) 1 8� = 0,125 Finito Racional ℚ

f.) 6 4� = 1,5 Finito Racional ℚ g.) 𝜋 = 3,141592653589… No periódico Irracional 𝕀 h.) √6 = 2,449489743 No periódico Irracional 𝕀

i.) �33� = 1 Entero Racional ℚ

j.)−15� = - 0,20 Finito Racional ℚ

k.) 7 Entero Racional ℚ l.) 1 100� = 0,01 Finito Racional ℚ

6.- Calcula el índice académico de un estudiante del CIU que obtuvo las siguientes notas definitivas al finalizar sus primeros 3 trimestres en la USB e identifica si este número es racional o irracional. Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre

Materias Créditos Nota Materias Créditos Nota Materias Créditos Nota Matemática I 4 3 Matemática II 4 5 Matemática III 4 4 Destr. Intel. I 3 4 Destr. Intel. II 3 4 Destr. Intel. III 3 5

Lenguaje I 3 4 Lenguaje II 3 5 Lenguaje III 3 3 Biología 3 5 Química 3 3 Física 3 4

Inglés I 3 3


Antes de proceder a calcular el índice académico, debemos recordar cuál es el procedimiento a seguir. Para dicho cálculo se deben multiplicar los créditos de cada materia por su nota correspondiente, y la suma de todas estas será nuestro numerador. Para el denominador se han de sumar todos los créditos, una vez determinado el valor de la fracción el índice estará compuesto por un entero y 4 decimales sin redondeo. En este caso, tenemos lo siguiente:

Primer trimestre: Materias Créditos Nota Crédito x Nota

Matemática I 4 3 12 Destrezas

Intelectuales I 3 4

12

Lenguaje I 3 4 12 Biología 3 5 15

Total 13 51 Segundo trimestre:

Materias Créditos Nota Crédito x Nota Matemática II 4 5 20

Destrezas Intelectuales II

3 4 12

Lenguaje II 3 5 15 Química 3 3 9

Total 13 66

Tercer trimestre: Materias Créditos Nota Crédito x Nota

Matemática III 4 4 16 Destrezas

Intelectuales III 3 5 15

Lenguaje III 3 3 9 Física 3 4 12

Inglés I 3 3 9 Total 16 61

En este caso, tenemos la siguiente fracción:

∑𝐶𝑟é𝑑𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑥 𝑁𝑜𝑡𝑎∑𝐶𝑟é𝑑𝑖𝑡𝑜𝑠

= 51 + 66 + 6113 + 13 + 16

=17842

= 4,2380


EJERCICIOS POR RESOLVER Resuelve los siguientes ejercicios utilizando los procedimientos empleados anteriormente. Sigue ordenadamente los pasos descritos, revisa con atención cada uno de los resultados ya que tienes forma de verificarlos comparando decimales con las fracciones que los representan:

1.- Clasifica los siguientes números reales, indicando el conjunto al que pertenecen y ordénalos en la recta real (RR). Describe por escrito el procedimiento usado:

�−3.1415, 3𝜋4

, √5 , −114

, 6, 4 + 𝜋, √5 + 2√3, 13

, 5.25, −819

, √7.√3, −√82

,−𝜋,453

�

2.- Para los siguientes pares de fracciones positivas, encuentra la diferencia entre ellas y

exprésala en fracciones y decimales. Describe por escrito él o los procedimientos utilizados:

a.) 6 7� 𝑦 114� b.) 8 3� 𝑦 3

7� c.) 3 15� 𝑦 53� d.) 9 6� 𝑦 5

8� 3.- Para los siguientes pares de fracciones con signo negativo, encuentra la diferencia entre

ellas, expresándola en fracciones y decimales. a.) − 1

3� 𝑦 − 152� b.) −4

9� 𝑦 − 213� c.) −7

8� 𝑦 − 4 11� d.) −45� 𝑦 − 9

4� 4.- Para los siguientes pares de fracciones combinadas, positivas y negativas, encuentra la

diferencia entre ellas expresándola en fracciones y decimales. Describe por escrito el procedimiento utilizado.

a.) 8 9� 𝑦 − 15

4� b.) −46� 𝑦 11

3� c.) 175� 𝑦 − 10

8� d.) −24� 𝑦 16

32� 5.- En la siguiente lista de números identifica cuáles tienen expresiones decimales periódicas y

cuáles no. Identifica cuál es el período donde exista. a.) 3 9� b.) 7 9� c.) 20

6� d.) 455� e.) 13

5� f.) 7 5� 6.- Calcula el índice académico de un estudiante del CIU que obtuvo las siguientes notas definitivas al finalizar sus primeros 3 trimestres en la USB. Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre Materias Créditos Nota Materias Créditos Nota Materias Créditos Nota

Matemática I 4 5 Matemática II 4 2 Matemática III 4 4 Destr. Intel. I 3 3 Destr. Intel. II 3 3 Destr. Intel.III 3 4

Lenguaje I 3 5 Lenguaje II 3 4 Lenguaje III 3 4 Biología 3 3 Química 3 5 Física 3 5

Inglés I 3 3


REFLEXIÓN SOBRE LO ESTUDIADO Y PRACTICADO HASTA AHORA Es muy importante que antes de continuar lo que falta de esta lección retomes lo aprendido hasta el momento, así en un corto período de tiempo repasaras y podrás fijarlo en tu memoria operativa para luego pasarlo a tu memoria a largo plazo. Si esperas 24 horas o más para repasarlo, ya habrás perdido aproximadamente un 40% de lo que retuviste. Trata de contestar estas preguntas: 1.- ¿Cómo puedes identificar cuando un número es racional o irracional? 2.- ¿Cómo puedes escribir simbólicamente la definición de números naturales, enteros, racionales e irracionales? 3.- ¿Qué información puedes obtener al resolver una fracción? 4.- ¿Qué diferencia hay entre un número con parte decimal periódica y uno con parte decimal no periódica? 5.- ¿Cómo identificas rápidamente, entre varias fracciones, cuál es la mayor o la menor entre todas? 6.- ¿Cómo puedes representar en la recta real una lista amplia de números ya sea que estén expresados en enteros, en fracciones con parte decimal (positivas y negativas) y se vea la distancia que hay entre ellos? 7.- ¿Cómo puedes razonar por escrito los conceptos y procedimientos utilizados en la solución de los problemas?


Propiedades de los números reales Al finalizar esta parte se espera que:

• Dada una expresión aplicar la propiedad que se te indica. • Identificar qué propiedad se aplicó en una expresión matemática • Aplicar la propiedad distributiva para eliminar paréntesis.

Al hacer operaciones con los números reales puedes utilizar dos grandes clases de propiedades:

Propiedades de Campo Propiedades de Orden (No se desarrollarán) 1.- Cerradura 1.- Tricotomía 2.- Conmutativa 2.- Transitividad 3.- Asociativa 3.- Compatibilidad 4.- Distributiva 5.- Elemento Inverso 6.- Elemento Neutro

Propiedades de campo

Para efectos de esta sección nos concentraremos sólo en las propiedades de campo: cerradura, conmutativa, asociativa, distributiva y elemento inverso las cuales son aplicables a las operaciones de suma y multiplicación. 1.- Propiedad del cierre: Verbalmente La suma y la multiplicación de dos números reales siempre es un número real.

:

Simbólicamente

: Si 𝑎 ∈ ℝ 𝑦 𝑏 ∈ ℝ, entonces (𝑎 + 𝑏) ∈ ℝ 𝑦 (𝑎. 𝑏) ∈ ℝ

2.- Propiedad Conmutativa: Verbalmente: se observa cuando se suman o se multiplican dos números, no importa el orden utilizado, el resultado siempre será el mismo.

SimbólicamenteEjemplo: 3+4 = 4+3.

: para la suma: a+b = b+a.

Importante: Debes acostumbrarte a operar simbólicamente, es una forma más abstracta, de nivel de procesamiento superior y es la mejor forma de establecer los conceptos matemáticos para que perduren en el tiempo. Es indispensable para poder realizar demostraciones matemáticas en futuros temas. 3.- Propiedad Asociativa: Verbalmente

: esta propiedad es muy parecida a la anterior, sólo que en ésta puedes “asociar” dos números cualesquiera o convenga según el caso, sumarlos o multiplicarlos y al resultado de esos números que asociaste, sumar o multiplicar respectivamente los restantes números.


Simbólicamente

Ejemplos: Para la suma: 7+(14+6) = (7+14)+6. Para la multiplicación: (20.5).10 = 20.(5.10)

: para la suma: (a+b)+c = a+(b+c). Esto es, sumas a+b y el resultado se lo sumas a c y esto es igual a que sumes a con la suma de b y c. Para la multiplicación: (a.b).c = a.(b.c) . Esto es, multiplicas los dos números que asociaste y al resultado lo multiplicas por el número restante.

4.- Propiedad Distributiva: Para aplicar esta propiedad las expresiones matemáticas deben incluir las operaciones de suma y multiplicación simultáneamente e incluyen la utilización de las dos anteriores: conmutativa y asociativa. Verbalmente: se obtendrá el mismo resultado si multiplicas cada sumando por un número, que si realizas primero la suma y al resultado lo multiplicas por el número.

Simbólicamente Ejemplo: 5(2+3) = 5.2 + 5+3 = 10+15 = 25, pero por otro lado, 5.(2+3) = 5.5 = 25

: a(b+c) = a.b + a.c = , si (b+c) = d, entonces a(b+c) = a.d

5.- Propiedad del Elemento Inverso: Para la suma Verbalmente: todo número sumado con su opuesto, que es el mismo número pero con signo contrario, da como resultado el elemento neutro (cero).

SimbólicamenteEjemplo: 5+ (-5) = 0, -7+7 = 0

: a+(-a) = 0, -a + a = 0

El elemento inverso para la suma recibe el nombre de elemento opuesto o inverso para la suma. Para la multiplicación Verbalmente: todo número multiplicado por su inverso, que es el cociente entre 1 y el mismo número, da como resultado el elemento neutro (1).

Simbólicamente Ejemplo: 5.1/5 = 5/5 = 1

: a.1/a = a/a = 1

Recuerda: el elemento neutro para la suma es el cero (0) y para la multiplicación es el uno (1). El elemento inverso para la multiplicación se llama elemento inverso multiplicativo o simplemente elemento inverso. EJERCICIOS RESUELTOS: 1.- Aplica la propiedad conmutativa en: a) 5+7 y b) 5.7 a.- 5+7 = 12 7+5 = 12 b.- 5.7 = 35 7.5 = 35 2.- Aplica la propiedad asociativa en: a) (5+7)+10 y b) (5.7).10

a.- (5+7)+10 = 22 5+(10+7) = 22 12 + 10 = 22 5 + 17 = 22

b.- (5.7).10 = 350 5.(7.10) = 350 35.10 = 350 5. 70 = 350


3.- Aplica la propiedad distributiva y resuelve: 5.(7+10) = 5.7 + 5.10 = 35 + 50 = 85 5.(17) = 85 4.- En lo siguiente diga cuál propiedad de los números reales se aplicó en cada caso:

a.- 5+8 = 8+5 Conmutativa b.- 5+ (-5) = 0 Elemento opuesto c.- (5x + 2y) + 3z = 5x + (2y + 3z) Asociativa d.- 2y + (5x+3z) = 3z + (2y+5x) Conmutativa y Asociativa e.- 3.4 = 4.3 Conmutativa f.- 3.(5.4) = 5.(3.4) Asociativa y conmutativa g.- 3.(a + b + c) = 3a + 3b + 3c Distributiva h.- 8.1/8 = 8/8 = 1 Elemento Inverso

5.- Eliminación de paréntesis aplicando las propiedades de los números reales: a.- 5(a + b) = 5a + 5b b.- 7(3m) = 21m c.- −3

4(2𝑥 − 𝑦) = −3

4(2𝑥) + 3

4(𝑦) = −6

4𝑥 + 3

4𝑦

d.- (5x).(y + z + 2d) = 5xy + 5xz + 10xd EJERCICIOS POR RESOLVER 1.- Aplica la propiedad conmutativa y resuelve las siguientes expresiones: a.- 1+10 b.- -3+2 c.- -9-2 2.- Aplica la propiedad asociativa a las siguientes expresiones y resuélvelas: a.- -3.2.1

b.- 88.8.1/8 c.- √2.π.0

3.- Aplica la propiedad distributiva y resuelve: a.- −√2. � 1

√2− √2�

b.- 10.(100-10) 4.- En la siguiente lista diga, cuál propiedad de los números reales se aplicó en cada caso: a.- 1

2. 2 = 1

b.- 3+1-2 = 3-2+1 c.- 3.(x+y) = 3x+3y d.- (a+b)(a-b) = (a+b)a + (a+b)(-b) = a2 – b2 e.- -1(x-y) = -x+y


5.- Elimine los paréntesis en las siguientes expresiones usando las propiedades de los números reales. En cada caso resuelva: a.- 2.(4.h) b.- −1

3(2𝑥 − 𝑦)

c.- 5(-3) + √2( 1√2

)

d.- (x-y)(x-y) 6.- Resuelva las siguientes expresiones usando las propiedades de los números reales:

a.- 15

. �16− 1

6�

b.- (x+y).z c.- �√2 + √2� − √2

d.- (π+5). 1

(5+𝜋)

e.- 70.( 510− 1)+35

f.- (x+2y-z)(x+2y+z) g.- a2 – b2 – (a+b)(a-b)

Propiedades de las fracciones • Al finalizar esta parte de la lección se espera que resuelvas operaciones de suma, resta,

multiplicación tales como:

223−

232

1.- Multiplicación de fracciones Verbalmente: cuando se multiplican fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores.

Simbólicamente:

Por ejemplo: 26

.14

= 2

24

se presenta de la siguiente manera: 𝑎𝑏

. 𝑐𝑑

= 𝑎.𝑐𝑏.𝑑

2.- División de fracciones Verbalmente: cuando se dividen fracciones se invierte el divisor y se multiplica por la primera fracción.

Simbólicamente:

Ejemplo: 69

÷54

= 69

.45

= 2445

se observa como sigue, 𝑎𝑏

÷ 𝑐𝑑

= 𝑎𝑏

. 𝑑𝑐

3.- Suma de fracciones Verbalmente: cuando se suman fracciones con el mismo denominador, se suman los numeradores y se coloca el mismo denominador.


Simbólicamente:

Ejemplos: 47

+97

= 137

𝑎𝑏

+ 𝑐𝑏

= 𝑎+𝑐𝑏

35

+25

+75

=125

Verbalmente:

Por otro lado, si los denominadores de las fracciones a sumar son diferentes, se busca un denominador común. Luego se divide el denominador común entre cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador correspondiente y luego se suman todos los numeradores.

Simbólicamente

: 𝑎𝑏

+ 𝑐𝑑

= 𝑎𝑑+𝑐𝑏𝑏𝑑

Ejemplo: 83

+27

= 8.7 + 3.2

21=

56 + 621

=6221

NOTA: cuando se suman dos fracciones, un denominador común es el producto de los dos denominadores. 4.- Reducción o simplificación de fracciones

Verbalmente: consiste en anular los números que son factores comunes en el numerador y denominador.

Simbólicamente:

Ejemplos: 2135

=3.75.7

= 35

se tiene lo siguiente: 𝑎𝑐𝑏𝑐

= 𝑎𝑏

4581

=3.3.5

3.3.3.3=

53.3

=59

5.- Multiplicación Cruzada

La igualdad de dos fracciones es equivalente a la igualdad de los dos números formados cada uno del producto del numerador de una fracción por el denominador de la otra fracción.

Verbalmente:

Simbólicamente

: 𝑎𝑏

=𝑐𝑑→ 𝑎.𝑑 = 𝑐𝑏

Ejemplo: 75

=1410

→ 7.10 = 5.14


EJERCICIOS RESUELTOS: a.- �3 + 1

4� − �2 + 1

6�

Recordemos que para este tipo de problemas debemos comenzar resolviendo las operaciones que se encuentran encerradas en paréntesis.

�3 +14� − �2 +

16� = �

12 + 14

� − �12 + 1

6� =

134−

136

13 �14−

16� = 13 �

3 − 212

� =1312

b.- 12�

�14+13�

Análogamente, resolveremos este ejercicio aplicando la metodología anterior, 1

2�

�14 + 1

3�=

12

�3 + 412 �

=127

12=

1 × 122 × 7

=1214

=67

c.- �34+

12�

�35+16�

�34 + 1

2�

�35 + 1

6�=

�3 + 24 �

�18 + 530 �

=54

2330

=5 × 304 × 23

=15092

=7546

d.- �35− 1� × �7

2− 2�

�35− 1� . �

72− 2� = �

3 − 55

� × �7 − 4

2� = �

−25� × �

32� =

(−2) × (3)5 × 2

=−610

=−35

e.- 32+

14

56−

13

32 + 1

456 −

13

=6 + 2

45 − 2

6=

8436

=236

=2 × 6

3=

123

= 4

f.- −1+3 4� −1 3�

2−1 4�

−1 + 34� − 1

3�

2 − 14�

=−12 + 9 − 4

128 − 1

4=−71274

=(−7) × 4

12 × 7=−2884

=−412

=−13


EJERCICIOS POR RESOLVER: 1.- Resolver los siguientes ejercicios:

a.- �1 + 53� + (3 + 1

4)

b.- �3 + 25� − 7

4

c.- 95

1+23

d.- 115

× 47

e.- �2 + 35� × �3 − 5

3�

f.- 83+

52

54−

74

B. CONJUNTOS, INTERVALOS Y VALOR ABSOLUTO

Afortunadamente los seres humanos tenemos la capacidad de organizar los elementos que nos

rodean ya sea en forma consciente o inconsciente, y formar conjuntos o agrupaciones cuyos elementos que los componen tienen características similares, esto nos facilita la vida en general y el aprendizaje en particular.

Ya hemos visto la gran variedad de números que componen la recta real, pero al tenerlos clasificados en racionales (que incluyen a los enteros y naturales) e irracionales; nos facilita las operaciones que tenemos que aprender a realizar con ellos a lo largo de nuestro aprendizaje en esta área.

Al finalizar esta parte de la lección se espera que: • Comprendas el concepto de conjunto. • Resuelvas ejercicios aplicando las operaciones de unión e intersección. • Utilices adecuadamente las notaciones gráfica, verbal y desigualdad de los conjuntos. • Aprendas, a través de la definición de valor absoluto, el significado de distancia entre dos puntos de

la recta real. Conjunto

Verbalmente: Un conjunto es una colección de elementos que matemáticamente pueden ser números, letras o la combinación de ambos. El conjunto se identifica con una letra mayúscula y los elementos que lo componen están encerrados entre llaves.

Simbólicamente

Ejemplo: exprese en notación de conjunto a todos los números pares comprendidos entre 2 y 10 ambos inclusive:

: 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑, 𝑒}. Los símbolos más frecuentemente utilizados son: 𝑎 ∈ 𝐴 (a es elemento del conjunto A), 𝑞 ∉ 𝐴 (q no es elemento de A). el conjunto que no tiene elementos lo llamaremos conjunto vacío y se denotará por ∅ o { }.

𝑃 = {2, 4, 6, 8, 10} ó 𝑃 = { �𝑥| 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 2 ≤ 𝑥 ≤ 10 }


Operaciones con Conjuntos: 1.- Unión de Conjuntos La unión de conjuntos es otro conjunto formado por todos los elementos de ambos conjuntos, pero sin repeticiones. El símbolo usado para expresar la unión es ∪. Por ejemplo, si tenemos dos conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9} y un conjunto B = {2, 4, 6, 8}, entonces 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } , es decir, los enteros positivos comprendido entre 1 y 9 ambos inclusive. 2.- Intersección de Conjuntos La intersección de conjuntos es otro conjunto formado por todos los elementos comunes a ambos conjuntos. El símbolo usado para expresar la intersección es ∩. Por ejemplo, si tenemos dos conjuntos A = {3, 4, 5, 6, 7} y B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, la intersección entre ellos será, 𝐴 ∩ 𝐵 = {4, 5, 6, 7}

EJERCICIOS RESUELTOS: 1.- Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6} y C = {5, 6, 7, 8} encuentre el conjunto indicado: a.- 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } b.- 𝐵 ∪ 𝐶 = {3, 4, 5, 6, 7, 8 } c.- 𝐴 ∪ 𝐶 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } d.- 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e.- 𝐴 ∩ 𝐵 = {3, 4, 5} f.- 𝐵 ∩ 𝐶 = {5, 6} g.- 𝐴 ∩ 𝐶 = {5} h.- 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {5} 2.- Si A = ℚ y B = 𝕀,

Entonces 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ y 𝐴 ∪ 𝐵 = ℝ si el conjunto A es el conjunto de los números racionales y el conjunto B el de los irracionales entonces, la intersección de ambos es un conjunto vacío y la unión son todos los números reales. 3.- Considere el siguiente gráfico:

Donde A es el disco, B el triángulo y C el cuadrilátero. Entonces:

a.- 𝐴 ∩ 𝐵 = b.- 𝐴 ∩ 𝐶 = c.- 𝐴 ∪ 𝐵 =

d.- 𝐴 ∪ 𝐶 = e.- 𝐵 ∪ 𝐶 = f.- 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = g.- 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 =


EJERCICIOS POR RESOLVER: 1.- Resuelva el ejercicio 3 si A es el círculo. 2.- Sean A = {x ∈ ℝ: x es mayor o igual que 2}, B = {x ∈ ℝ: x es menor o igual que 1}, C = {x ∈ ℝ: x es mayor que -2 pero menor que 2} Encuentre: a.- 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐶, 𝐵 ∪ 𝐶, 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶. b.- 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐶, 𝐵 ∩ 𝐶, 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 c.- (𝐴 ∪ 𝐶) ∩ 𝐵

d.- (𝐵 ∩ 𝐶) ∪ 𝐴

Intervalos

Los intervalos son conjuntos de números reales que se ubican en la recta real, ya sea en el lado de los números positivos, a la derecha del cero, o del lado de los números negativos a la izquierda del cero, o entre ambos lados, La figura siguiente da una ilustración,

Figura 6. Representación de intervalos cerrados en la recta real

Geométricamente son segmentos de recta. En la representación A = [-6, -4] incluye a todos los

números reales comprendidos entre -6 y -4 ambos inclusive, porque está señalado con corchetes en ambos lados [ ]. En este caso se dice intervalo cerrado. Igual ocurre con los otros dos conjuntos señalados con corchetes [-1,3] y [8, 10]. Usando la notación de conjuntos podemos escribir los intervalos cerrados como desigualdades, ≤ menor o igual, ≥ mayor o igual, de la siguiente manera:

A = [-6, -4] = {�𝑥| − 6 ≤ 𝑥 ≤ −4} y se lee A es el conjunto formado por los números comprendidos entre -6 y -4, ambos inclusive.

B = [-1, 3] = { �𝑥| − 1 ≤ 𝑥 ≤ 3} y se lee B es el conjunto formado por todos los números comprendidos entre -1 y 3, incluyendo a estos.

C = [8, 10] = { �𝑥|8 ≤ 𝑥 ≤ 10} y se lee C es el conjunto de todos los números menores o iguales que 10 y mayores o iguales que 8. En estos tres ejemplos los tres intervalos incluyeron los números ubicados en los extremos de cada conjunto, no siempre es así, en ocasiones ninguno de los números ubicados en los extremos del conjunto pertenece a dicho conjunto, para ello utilizamos la notación de paréntesis ( ), y el conjunto lleva por nombre intervalo abierto.

Figura 7. Representación de intervalos abiertos en la recta real

C A B


El intervalo (-7, -5) incluye todos los números comprendidos entre -7 y -5 sin incluir a éstos, y en notación de conjuntos es: {�𝑥| − 7 < 𝑥 < −5 }, y se lee así (-7,-5) es el intervalo de números mayores que -7 y menores que -5. Por ejemplo en este intervalo están: {-6.9, -6.5, -…, -5.1}. Por otro lado, el intervalo (-1, 1) Este incluye a todos los números mayores que -1 y menores que 1, sin incluirlos (-1, 1) = { �𝑥| − 1 < 𝑥 < 1 } y el intervalo (3, 6) en notación de conjunto es { �𝑥| 3 < 𝑥 < 6 }.

Los ejemplos vistos anteriormente incluyen a los intervalos que son o totalmente cerrados o totalmente abiertos. Ahora veremos las posibles combinaciones de intervalos que son abiertos por un extremo y cerrados por el otro, es decir, de la forma [ ) ( ].

Figura 8. Representación de intervalos en la recta real

[ -7,-5) = {�𝑥| − 7 ≤ 𝑥 < −5} y se lee así: el conjunto que está formado por todos los números comprendidos entre -7 incluido y menores que -5 sin incluirlo. (-1, 2] = { �𝑥| − 1 < 𝑥 ≤ 2} y se lee así: el conjunto que está formado por todos los números mayores que -1 (sin incluir a éste) y menores que 2 (incluido éste). Por último están los casos de intervalos abiertos o cerrados por un extremo y que por el otro se pueden prolongar hacia el infinito positivo o negativo. Los intervalos prolongados al infinito negativamente por el lado izquierdo y al infinito positivamente por el lado derecho representan la recta real. Estos intervalos se llaman intervalos no acotados.

Figura 9. Representación de intervalos no acotados

(-∞, -3) = { �𝑥|𝑥 < −3} y se lee así: el conjunto de todos los números menores que -3.

[1, ∞) = {�𝑥|𝑥 ≥ 1 } y se lee así: x es el intervalo de todos los números mayores o iguales que 1. Para graficar los intervalos cerrados puedes utilizar el corchete o un punto grande ●, y para los intervalos abiertos un paréntesis o un círculo pequeño ○.

Notación Descripción del Conjunto Gráfica

(a, b) {�𝑥| 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 }

[a, b] {�𝑥| 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 }

[a, b) {�𝑥| 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 }

(a, b] {�𝑥| 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 }


(a, ∞) {�𝑥| 𝑎 < 𝑥 < ∞ }

[a. ∞) {�𝑥| 𝑎 ≤ 𝑥 < ∞ }

(-∞, b) {�𝑥| −∞ < 𝑥 < 𝑏 }

(-∞, b] {�𝑥| −∞ < 𝑥 ≤ 𝑏 }

(-∞, ∞) ℝ (Conjunto de todos los

números reales )

EJERCICIOS RESUELTOS: 1.- Exprese gráficamente, en notación de desigualdad y verbalmente los siguientes ejercicios: a.- [-5, -2]

Gráficamente:

[-5, -2] = {�𝑥| − 5 ≤ 𝑥 ≤ −2 } Notación de desigualdad:

Verbalmente se lee

: El conjunto formado por todos los números comprendidos entre -5 y -2 incluyendo a ambos.

b.- (2.5, 7]

Gráficamente:

(2.5, 7] = {�𝑥| 2.5 < 𝑥 ≤ 7 } Notación de desigualdad:

Verbalmente se lee:

El conjunto x formado por todos los números mayores que 2.5 y menores o iguales que 7.

c.- (-1, ∞)

Gráficamente:

(-1,∞) = { �𝑥| − 1 < 𝑥 } Notación de desigualdad:

Verbalmente se lee

: El conjunto formado por todos los números mayores que -1.

2.- Operaciones con unión e intersección de intervalos expresados en notación de desigualdad y su representación gráfica. a.- Encuentre los conjuntos: 𝑩 ∪ 𝑪, 𝑩 ∩ 𝑪, 𝑨 ∩ 𝑪 y 𝑨 ∩ 𝑩, donde A = {�𝑥| 𝑥 ≥ 5 } B = {�𝑥| 𝑥 < 3} y C = { �𝑥| − 1 < 𝑥 ≤ 4 } y expréselos en notación de desigualdad.


Para facilitar la resolución de este ejercicio primero represento en la recta real cada uno de los conjuntos dados:

𝑩 ∪ 𝑪 = (-∞,3) ∪ (-1,4] = (-∞,4] 𝑩 ∩ 𝑪 = (-∞,3) ∩ (-1,4] = (-1, 3) 𝑨 ∩ 𝑪 = [5, ∞) ∩ (-1,4] = ∅ (vacío) 𝑨 ∩ 𝑩 = [5,∞) ∩ (-∞,3) = ∅ (vacío) 3.- Dado la representación gráfica de un intervalo expréselo en notación de desigualdad a.-

{�𝑥| − 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 } b.-

{�𝑥| − 2 < 𝑥 < 2} c.-

C = {�𝑥| 𝑥 < 2} d.-

{�𝑥| − 3 ≤ 𝑥 < 3 } EJERCICIOS POR RESOLVER 1.- Represente en dos formas diferentes los siguientes conjuntos. Para cada uno de ellos escriba como lo diría verbalmente.

a.- (0,√2)

b.- [12

, 35]

c.- ( 110

, 710

)

d.- (-√2,−15)

e.- [-93

, 205

]


2.- Considere los siguientes conjuntos: A={ �𝑥| − 2 < 𝑥 < 10} B={ �𝑥| − 1

2≤ 𝑥 < 5

2}

C={�𝑥| 52≤ 𝑥 ≤ 10}

Encuentre los siguientes conjuntos y expréselos en notación de desigualdad: a.- 𝐵 ∩ 𝐶 b.- 𝐴 ∩ 𝐶 c.- 𝐵 ∪ 𝐶 d.- 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶

Valor Absoluto

Al finalizar esta parte de la lección se espera que: • Entiendas la definición de valor absoluto de un número y su significado geométrico. • Apliques correctamente las propiedades dadas.

Para entender claramente el concepto de valor absoluto, imagina la recta real de los números, el cero en el centro y un valor x que puede estar ubicado a la derecha del cero, o a su izquierda, como lo indica la figura 10.

Figura 10.

El valor absoluto de los números -4 y 3, es la distancia que hay entre -4 y 0, y entre 3 el 0, respectivamente. Las “distancias” siempre son positivas, así que el signo que acompaña la x te da información para ubicar dicho valor del lado derecho si 𝑥 ≥ 0 o del lado izquierdo para 𝑥 < 0. Resumiendo tenemos la siguiente definición: si x es un número real, entonces el valor absoluto de x es

|𝑥| = �𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0−𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0

�

Ejemplos: a.- |5| = 5

b.- �− 13� = 1

3

c.- �1 − √2� = −�1 − √2� = √2 − 1, pues 1 < √2 ⇒ 1 − √2 < 0 d.- �3 − |−4|� = |3 − 4| = |−1| = 1

EJERCICIOS POR RESOLVER 1.- Determine el valor absoluto de los siguientes números:

a.- �15− 1

3�

b.- �−1 + 32�

c.- ��1 − √3��

d.- �|−𝜋| − |−2𝜋|�


Propiedades del valor absoluto

a.- El valor absoluto de un número x, es siempre positivo o cero: |𝑥| ≥ 0. Ejemplos: |1| = 1, |−8| = 8

b.- Un número y su negativo tienen el mismo valor absoluto: |𝑥| = |−𝑥|. Ejemplo: |3| = |−3| = 3

c.- El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos: |𝑥𝑦| = |𝑥||𝑦|. Ejemplo: |4. (−3)| = |4||−3| = 4.3 = 12

d.- El valor absoluto de un cociente, es el cociente de los valores absolutos: �𝑥𝑦� = |𝑥|

|𝑦|. Ejemplo:

�−52� = |−5|

|2| = 52.

EJERCICIOS RESUELTOS: 1.- Aplicando las propiedades de valor absoluto resolveremos las siguientes expresiones: a.- |(30)2 − (50)2|

|(30)2 − (50)2| = |(30 − 50)(30 + 50)| = |(−20)(80)| = |−20||80| = 20.80 = 1600

b.- Suponiendo que 𝑏 + 𝑎 ≠ 0, se tiene:

�−𝑎 − 𝑏𝑏 + 𝑎

� =|−𝑎 − 𝑏||𝑏 + 𝑎| =

|−(𝑎 + 𝑏)||𝑏 + 𝑎| =

|(−1)(𝑎 + 𝑏)||𝑏 + 𝑎| =

|−1||𝑎 + 𝑏||𝑏 + 𝑎| =

|𝑎 + 𝑏||𝑏 + 𝑎| = 1

c.- �5−1717−5

�

�5 − 1717 − 5

� =|5 − 17||17 − 5| =

|−(17 − 5)||17 − 5| =

|(−1)(17 − 5)||17 − 5| =

|−1||17 − 5||17 − 5| =

|17 − 5||17 − 5| = 1

d.- |(−3)(3)| |(−3)(3)| = |−3||3| = 3.3 = 9

EJERCICIOS POR RESOLVER: 1.- Aplicando las propiedades de valor absoluto, determine el valor absoluto de las siguientes expresiones. a.- |𝑥 − 4|, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [0,2]

b.- � 2−510−4

�

c.- ��13− 3

2�2�

d.- �−5 − |−2|�


Distancia entre puntos de la Recta Real:

Sean x, y dos números reales. Decimos que la distancia entre los puntos x e y en la recta real es: 𝑑(𝑥,𝑦) = |𝑦 − 𝑥|

Gráficamente esto sería:

Figura 11. Distancia entre los puntos x e y

De la gráfica observemos que la distancia de x a y es la misma distancia de y a x, es decir,

|𝑦 − 𝑥| = |𝑥 − 𝑦| Ejemplo: la distancia entre: a.- 1 y 4 𝑑(1,4) = |4 − 1| = |3| = 3 b.- 3 y 1 𝑑(3,1) = |1 − 3| = |3 − 1| = |2| = 2 c.- -1 y 1 𝑑(−1,1) = |1 − (−1)| = |1 + 1| = |2| = 2

d.-

𝑑 �−43

,73� = �

73− �−

43�� = �

73

+43� = �

113� =

113

EJERCICIOS POR RESOLVER: 1.- Determine la distancia entre los números dados:

a.- 7 y 9 b.- -5 y -3

c.-

d.-


REFLEXIÓN SOBRE LAS ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE Con esta primera lección esperamos que no sólo hayas adquirido conocimiento, sino también estrategias para organizar los contenidos matemáticos de tal forma que faciliten su comprensión y también su retención. Presta atención al mapa conceptual de los números reales, allí en poco espacio está resumida toda la información acerca de ellos. Siempre que estudies matemática trata de expresar verbalmente lo que pasa por tu mente mientras resuelves problemas, guarda en tu memoria tanto la parte simbólica como la verbal y un ejemplo acerca de las definiciones y conceptos que aprendes, pero sobre todo tienes que tratar de relacionar lo nuevo que estas aprendiendo con conocimientos anteriores que tengan relación con estos y darle significado a lo que aprendes. ¿Para qué me sirve esto que estoy aprendiendo? ¿Dónde lo puedo aplicar actualmente y en un futuro? ¿Hay situaciones en mi vida cotidiana donde esto me pueda servir? Si no tienes respuestas para estas preguntas, convérsalas con tus compañeros de clase, familiares o con tu profesor.

REFLEXIÓN SOBRE LO ESTUDIADO Y PRACTICADO

De todos los contenidos vistos: números reales y sus propiedades, operaciones con fracciones, conjuntos, intervalos y valor absoluto,

¿Cuál crees que, después de haber hecho las prácticas, dominas mejor? ¿Cuál te fue más fácil aprender? ¿Cuál te fue más difícil aprender? ¿De cuál tenías menos conocimientos previos? ¿Cuál piensas que te va a ser más útil en un futuro para las matemáticas del Curso de Iniciación Universitaria? ¿Emocionalmente te sentiste cómodo (a) con el tipo de ejercicios? ¿Con cuáles sí y cuáles no? ¿Sentiste algún rechazo por algún tipo de ejercicio? ¿Algún tipo de ejercicio te produjo temor? Comparte tus respuestas a estas preguntas con algunos de tus compañeros y con tu profesor.


RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

Números Reales ℝ (pág. 11)

1.- Clasifica los siguientes números reales, indicando el conjunto al que pertenecen y ordénalos en la recta real (RR). Describe por escrito el procedimiento usado:

� −3,1415, 3𝜋4

, √5, −114

, 6, 4 + 𝜋 , √5 + 2√3, 13

, 5.25, −819

,√7.√3 , −√82

,−𝜋,453

�

Inicialmente se llevan las expresiones de raíces y fracciones a números decimales, para luego ser clasificados en el conjunto al que pertenece:

SOLUCIÓN:

Enteros ℤ Racionales ℚ|ℤ Irracionales 𝕀

6 −114

= −2.75 √5 ≅ 2.2360

−819

= −9 13

= 0.33333� √5 + 2√3 ≅ 3.4641

453

= 15 5.25 3𝜋4≅ 2.3561

-3,1415 4 + 𝜋 ≅ 7.1415 √7.√3 ≅ 1.7320

−√82≅ −1.4142

−𝜋 ≅ −3.1415

Donde ≅ significa un valor aproximado, su representación en la recta real queda de la siguiente manera:

2.- Para los siguientes pares de fracciones positivas, encuentra la diferencia entre ellas y exprésala en fracciones y decimales. Describe por escrito el o los procedimientos utilizados:

a.- 6 7� 𝑦 114�

SOLUCIÓN:

Primero se identifica cuál fracción es la mayor entre ellas, mediante sus expresiones en decimales, una vez realizado esto se halla su diferencia;


67� = 0.85 11

4� = 2.75 2.75 − 0.85 = 1.9 (En decimales

114− 6

7= 77−24

28= 53

28 (

)

En fracciones

b.- 8 3� 𝑦 37�

)

Aplicando el procedimiento anterior, tenemos que: 83≅ 2.66

37≅ 0.428

Notemos que la fracción mayor corresponde a 83� , por lo que la diferencia entre dichos

racionales es: 2.66 − 0.428 ≅ 2.23 (en forma decimal

) 83−

37

=56 − 9

21=

4721

(en forma racional)

c.- 3 15� 𝑦 53�

Llevemos las fracciones a su expresión decimal

La diferencia entre estas fracciones en su expresión decimal será: 1.66 − 0.2 ≅ 1.466

, para identificar cuál de ellas es mayor, 3

15= 0.2

53≅ 1.66

Para la forma fraccionaria debemos hallar el mínimo común múltiplo MCM de los denominadores, para esto descompondremos cada uno de ellos,

3 3 15 3 1 5 5

1

Tomando los factores comunes con su mayor exponente y todos los factores no comunes tenemos que, el mínimo común múltiplo entre 3 y 15, es 15. Por lo que la diferencia en fracciones

quedaría de la siguiente manera

53−

315

= 25 − 3

15=

2215

d.- 9 6� 𝑦 58�

En este caso la fracción mayor entre los racionales de estudio es 9 6� 96

= 1.5 58

= 0.625

Por lo que la diferencia entre ellas en forma decimal

De forma similar al ejercicio anterior para realizar la diferencia de manera fraccionaria debemos hallar el MCM entre los denominadores.

es: 1.5 − 0.625 = 0.875


6 2 8 2 3 3 4 2 Quedando que el MCM es: 23 × 3 = 8 × 3 = 24

2 2 1

Así, la diferencia expresada en fracciones

es la siguiente: 96−

58

=36 − 15

24=

2124

3.- Para los siguientes pares de fracciones con signo negativo, encuentra la diferencia entre ellas, expresándola en fracciones y decimales.

a.) − 13� 𝑦 − 15

2� SOLUCIÓN:

En decimales

Determinemos ahora su diferencia: −0.33 − (−7.5) ≅ −0.33 + 0.75 ≅ 7.166

:

−13≅ −0.33(𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟) −

152

= −7.5 (𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟)

Ahora en fracciones

se tiene que:

−13− �−

152� = −

13

+152

= −2 + 45

6=

436

b.) −49� 𝑦 − 2

13� Determinemos la mayor de las fracciones llevándolas a su expresión decimal

−49≅ −0.44 − 2

13≅ −0.15 (Mayor)

:

Ahora bien, hallemos la diferencia,

−0.15 − (−0.44) ≅ −0.15 + 0.44 ≅ 0.29 Por otro lado, si realizamos la diferencia en fracciones

, tenemos que:

−2

13− �−

49� = −

213

+49

=−18 + 52

117=

34117

c.) −78� 𝑦 − 4

11� En decimales

Cuya diferencia viene expresada le la siguiente manera: −0.36 − (−0.875) ≅ −0.36 + 0.875 ≅ 0.51136

:

−78

= −0.875 (𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟) −4

11≅ −0.36


Ahora en fracciones

;

−4

11− �−

78� = −

411

+78

=−32 + 77

88=

4588

d.) −45� 𝑦 − 9

4� En decimales

Su diferencia es, −0.8 − (−2.25) = −0.8 + 2.25 = 1.45

, se tiene que:

−45

= −0.8 (𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟) −94

= −2.25 (𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟)

En fracciones

,

−45− �−

94� = −

45

+94

=−16 + 45

20=

2920

4.- Para los siguientes pares de fracciones combinadas, positivas y negativas, encuentra la diferencia entre ellas expresándola en fracciones y decimales. Describe por escrito el procedimiento utilizado.

a.- 8 9� 𝑦 − 154�

SOLUCIÓN:

En decimales

Antes de hallar la diferencia, debemos recordar que toda distancia debe ser positiva, por lo que para determinar ésta operamos de la siguiente manera,

0.88 − (−3.75) ≅ 0.88 + 3.75 ≅ 4.6388

, 89≅ 0.88 −

154

= −3.75

En fracciones

b.- −46� 𝑦 11

3�

se tiene que, 89− �−

154� =

89

+154

=32 + 135

36=

16736

Veamos sus expresiones en decimales

Por lo que la diferencia entre ellas es; 3.66 − (−0.66) ≅ 3.66 + 0.66 ≅ 4.33

,

−46≅ −0.66

113≅ 3.66

Buscamos el MCM y empleamos las fracciones

, lo que resulta, 113− �−

46� =

113

+46

=22 + 4

6=

266

c.- 175� 𝑦 − 10

8� Primero busquemos sus equivalentes en cifras decimales

Quedando que la distancia entre ellas es,

, 175

= 3.4 −108

= −1.25


3.4 − (−1.25) = 3.4 + 1.25 = 4.65 En expresiones fraccionales

se resuelve de la siguiente manera, 175− �−

108� =

175

+108

= 136 + 50

40=

18640

d.- −24� 𝑦 16

32� Sus expresiones decimales

Donde la distancia entre ellas es, 0.5 − (−0.5) = 0.5 + 0.5 = 1

, se expresan a continuación:

−24

= −0.5 1632

= 0.5

En forma de fracciones

1632

− �−24� =

1632

+24

=16 + 16

32=

3232

= 1

y buscando el MCM entre los denominadores,

5.- En la siguiente lista de números identifica cuáles tienen expresiones decimales periódicas y

cuáles no. Identifica cuál es el período donde exista. a.) 3 9� b.) 7 9� c.) 20

6� d.) 455� e.) 13

5� f.) 7 5�

Para determinar si las fracciones a estudiar poseen parte decimal periódica o no, es necesario llevarlas a su forma decimal, para esto necesitamos ayuda de una calculadora.

SOLUCIÓN:

a.) 3 9� = 13� = 0.3333333333 … Período 3

b.) 7 9� = 0.7777777777777 … Período 7

c.) 206� = 3.3333333333 … Período 3

d.) 455� = 9 Entero

e.) 135� = 2.6 Finito

f.) 7 5� = 1.4 Finito

6.- Calcula el índice académico de un estudiante del CIU que obtuvo las siguientes notas definitivas al finalizar sus primeros 3 trimestres en la USB.

Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre SOLUCIÓN:

Materias Créditos Nota Materias Créditos Nota Materias Créditos Nota Matemática I 4 5 Matemática II 4 2 Matemática III 4 4 Dstr Intel I 3 3 Dstr Intel II 3 3 Dstr Intel III 3 4 Lenguaje I 3 5 Lenguaje II 3 4 Lenguaje III 3 4 Biología 3 3 Química 3 5 Física 3 5

Ingles I 3 3


Para el cálculo del índice de este estudiante debemos hacer lo siguiente: Primer Trimestre: Materias Créditos Nota Crédito x Nota Matemática I 4 5 20 Destrezas Intelectuales I

3 3 9

Lenguaje I 3 5 15 Ciencias I (Biología) 3 3 . Total

9 . 13 53

Segundo Trimestre: Materias Créditos Nota Crédito x Nota Matemática II 4 2 8 Destrezas Intelectuales II

3 3 9

Lenguaje II 3 4 12 Ciencias II (Química) 5 3 . Total

15 . 13 44

Tercer Trimestre: Materias Créditos Nota Crédito x Nota Matemática III 4 4 16 Destrezas Intelectuales III

3 4 12

Lenguaje I 3 4 12 Ciencias I (Física) 3 5 15 Inglés I 3 3_ Total

_9_ 16 64

Ahora, el índice al finalizar el Ciclo de Iniciación Universitaria es,

∑𝐶𝑟é𝑑𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑥 𝑁𝑜𝑡𝑎∑𝐶𝑟é𝑑𝑖𝑡𝑜𝑠

= 53 + 44 + 6413 + 13 + 16

=16142

= 3.8333

Propiedades de los Números Reales ℝ (pág. 15)

1.- Aplica la propiedad conmutativa en sus diferentes combinaciones y resuelve las siguientes expresiones:

a.- 1+10 SOLUCIÓN:

.- 1+10= 11 .- 10+1 =11


b.- -3+2 .- -3+2 = -1 .- 2-3 = -1 c.- -9-2 .- -9-2 = -11 .- -2-9 = -11

2.- Aplica la propiedad asociativa a las siguientes expresiones y resuélvelas:

a.- -3.2.1 SOLUCIÓN:

.- -3.(2.1) = -6 .- (-3.2).1 = -6 b.- 88.8.1/8 .- 88.(8.1/8) = 88 .- (88.8).1/8 = 88 c.- √2.π.0 .- √2.(π.0) = 0

.- (√2.π).0 = 0

3.- Aplica la propiedad distributiva y resuelve:

SOLUCIÓN:

a.- −√2. � 1√2− √2�

−√2. � 1√2− √2� = −√2.1

√2− √2. �−√2� = −√2

√2+ �√2�

2= −1 + 2 = 1

Otra forma puede ser,

−√2. � 1√2− √2� = −√2. �1−�√2�

2

√2� = −√2 �1−2

√2� = −√2 �− 1

√2� = 1

b.- 10.(100-10) 10.(100-10) = 10.100 – 10.10 = 1000 – 100 = 900 Resuelto de otra forma, 10.(100-10) = 10.(90) = 900

4.- En la siguiente lista diga, cuál propiedad de los números reales se aplicó en cada caso:

Expresión SOLUCIÓN:

Propiedad 12

. 2 = 1 Elemento Inverso 3+1-2 = 3-2+1 Conmutativa

3.(x+y) = 3x+3y Distributiva


(a+b)(a-b) = (a+b)a + (a+b)(-b) = a2 – b2 Distributiva -1(x-y) = -x+y Distributiva

5.- Elimine los paréntesis en las siguientes expresiones usando las propiedades de los números

reales. En cada caso resuelva:

SOLUCIÓN:

a.- 2.(4.h) Aplicando la propiedad Asociativa, se logra lo siguiente: 2.(4.h) = (2.4).h = 8.h

b.- −13

(2𝑥 − 𝑦)

Emplearemos la propiedad Distributiva,

−13

. (2𝑥 − 𝑦) = −2𝑥3− 1

3(−𝑦) = −2𝑥

3+ 𝑦

3= −2𝑥+𝑦

3= 𝑦−2𝑥

3

c.- 5(-3) + √2 � 1√2�

Observemos que en esta expresión está presente la propiedad del Elemento Inverso

5. (−3) + √2 � 1√2� = −15 + √2

√2= −15 + 1 = −14

d.- (x-y)(x-y) Aplicando la propiedad distributiva y luego agrupando términos semejantes, (𝑥 − 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥(𝑥 − 𝑦) − 𝑦(𝑥 − 𝑦) = 𝑥. 𝑥 − 𝑥𝑦 − 𝑦𝑥 + 𝑦.𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 Por otro lado, si aplicamos el método del binomio de Newton tenemos que, (𝑥 − 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)2 = 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2

6.- Resuelva las siguientes expresiones usando las propiedades de los números reales:

SOLUCIÓN:

a.- 15

. �16− 1

6�

Aplicando la propiedad distributiva se tiene que,

15

. �16− 1

6� = 1

5.6− 1

5.6= 1

30− 1

30= 0

O se puede resolver de la siguiente manera, resolviendo en primer lugar lo que se encuentra en el paréntesis:

15

. �16− 1

6� = 1

5(0) = 0

b.- (x+y).z Si aplicamos la propiedad distributiva, se logra: (𝑥 + 𝑦). 𝑧 = 𝑥𝑧 + 𝑧𝑦


c.- �√2 + √2� − √2 Si resolvemos en primera instancia la operación dentro del paréntesis, resulta: �√2 + √2� − √2 = 2√2 − √2 = √2 Por otro lado, aplicando la propiedad asociativa y resolviendo el paréntesis: �√2 + √2� − √2 = √2 + �√2 − √2� = √2 + 0 = √2

d.- (π+5). 1(5+𝜋)

Si aplicamos la propiedad conmutativa, distributiva y luego suma de fracciones tenemos que,

(𝜋 + 5). 1(𝜋+5)

= 𝜋. 1(𝜋+5)

+ 5. 1(𝜋+5)

= 𝜋(𝜋+5)

+ 5(𝜋+5)

= 𝜋+5(𝜋+5)

= 1

e.- 70.( 5

10− 1)+35

Aplicando la propiedad distributiva,

70. � 510− 1� + 35 = 70. �1

2− 1� + 35 = 70

2− 70 + 35 = 35 − 70 + 35

Si aplicamos la propiedad asociativa tenemos que, (35 − 70) + 35 = −35 + 35 = 0

Otra manera de resolver este ejercicio, es resolviendo primero las operaciones que aparecen en paréntesis, para luego continuar con el resto,

70. � 510− 1� + 35 = 70. �1

2− 1� + 35 = 70. �1−2

2� + 35 = 70 �− 1

2� + 35 = −70

2+ 35

= −35 + 35 = 0 f.- (x+2y-z)(x+2y+z) Aplicando la propiedad distributiva se logra:

(𝑥 + 2𝑦 − 𝑧)(𝑥 + 2𝑦 + 𝑧) = 𝑥(𝑥 + 2𝑦 + 𝑧) + 2𝑦(𝑥 + 2𝑦 + 𝑧) − 𝑧(𝑥 + 2𝑦 + 𝑧) (𝑥2 + 2𝑦𝑥 + 𝑥𝑧) + (2𝑦𝑥 + 4𝑦2 + 2𝑦𝑧) − (𝑧𝑥 + 2𝑦𝑧 + 𝑧2)

Agrupando términos semejantes, obtenemos lo siguiente

𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 4𝑦2 − 𝑧2 g.- a2 – b2 – (a+b)(a-b) En primer lugar se aplica la propiedad distributiva, y posteriormente agrupamos los términos semejantes:

𝑎2 − 𝑏2 − (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑎(𝑎 − 𝑏) − 𝑏(𝑎 − 𝑏) 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑏𝑎 + 𝑏2 = 0

Propiedades de las fracciones (pág. 19)

1.- Resolver los siguientes ejercicios: a.- �1 + 5

3� + (3 + 1

4)

�1 +53� + �3 +

14� = �

33

+53� + �

124

+14� =

83

+134

=8 × 4 + 13 × 3

12=

32 + 3912

=7112


b.- �3 + 25� − 7

4

�3 +25� −

74

= �155

+25� −

74

=175−

74

=17 × 4 − 7 × 5

20=

68 − 3520

=3320

c.- 95

1+23

95

1 + 23

=95

33 + 2

3=

9553

=9 × 35 × 5

=2725

d.- 115

× 47

115

×47

=4435

e.- �2 + 35� × �3 − 5

3�

�2 +35� × �3 −

53� = �

105

+35� × �

93−

53� =

135

×43

=5215

f.- 83+

52

54−

74

83 + 5

254 −

74

=8 × 2 + 5 × 3

6− 2

4=

16 + 156− 2

4=

316− 2

4=

31 × 46 × (−2)

=31 × 2

6 × (−1)=

31 × 13 × (−1)

=31−3


Conjuntos (pág. 21)

1.- Resuelva el ejercicio 3 si A es el círculo.

SOLUCIÓN:

Donde A es el círculo, B el triángulo y C el cuadrilátero. Entonces:

a.- 𝐴 ∩ 𝐵 = b.- 𝐴 ∩ 𝐶 = c.- 𝐴 ∪ 𝐵 =

d.- 𝐴 ∪ 𝐶 = e.- 𝐵 ∪ 𝐶 = f.- 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = g.- 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 2.- Sean A = {x ∈ ℝ: x es mayor o igual que 2}, B = {x ∈ ℝ: x es menor o igual que 1}, C = {x ∈ ℝ: x es mayor que -2 pero menor que 2} Encuentre: a.- 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐶, 𝐵 ∪ 𝐶, 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶. b.- 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐶, 𝐵 ∩ 𝐶, 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 c.- (𝐴 ∪ 𝐶) ∩ 𝐵 d.- (𝐵 ∩ 𝐶) ∪ 𝐴

a b

c

. .

.

d e

f

g

.

. . .

.

.

.

a b

c d e

f

g


SOLUCIÓN:

Para visualizar de la mejor manera los conjuntos y la operación entre ellos, haremos la representación gráfica de los conjuntos, para posteriormente expresarlo en lenguaje de conjuntos la

operación correspondiente.

a.- 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≤ 1 ⋁ 𝑥 ≥ 2} 𝐴 ∪ 𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > −2} 𝐵 ∪ 𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 2} 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = ℝ b.- 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅

𝐴 ∩ 𝐶 = ∅ 𝐵 ∩ 𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ: − 2 < 𝑥 ≤ 1} 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = ∅ c.- (𝐴 ∪ 𝐶) ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ: − 2 < 𝑥 ≤ 1} d.- (𝐵 ∩ 𝐶) ∪ 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ: − 2 < 𝑥 ≤ 1 ∨ x ≥ 2 }

Intervalos (pág. 24)

1.- Represente en dos formas diferentes los siguientes conjuntos.

SOLUCIÓN:

Conjunto Verbalmente Representación I Representación II

(0,√2)

Conjunto compuesto por todos los números

comprendidos entre el 0 y √2; sin incluirlos.

�𝑥 ∈ ℝ: 0 < 𝑥 < √2�

[12

, 35]

Conjunto compuesto por todos los números comprendidos entre 1

2� y 3 5� ; ambos incluidos

�𝑥 ∈ ℝ:12≤ 𝑥 ≤

35�


( 110

, 710

)

Conjunto compuesto por todos los números comprendidos entre

110� y 7 10� sin incluir a ninguno de estos.

�𝑥 ∈ ℝ:1

10< 𝑥 <

710�

(-√2,−15)

Conjunto compuesto por todos aquellos

números entre −√2 y −1

5� , sin incluir a ninguno de los bordes

�𝑥 ∈ ℝ:−√2 < 𝑥 < −15�

[− 93

, 205

]

Conjunto compuesto por todos aquellos

números que se encuentren entre -3 y 4,

incluyendo a ambos.

{𝑥 ∈ ℝ:−3 ≤ 𝑥 ≤ 4}

2.- Considere los siguientes conjuntos: A= { �𝑥| − 2 < 𝑥 < 10} B= { �𝑥| − 1

2≤ 𝑥 < 5

2}

C= {�𝑥| 52≤ 𝑥 ≤ 10}

Encuentre los siguientes conjuntos y expréselos en notación de desigualdad: a.- 𝐵 ∩ 𝐶 b.- 𝐴 ∩ 𝐶 c.- 𝐵 ∪ 𝐶 d.- 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶

Para facilitar la solución de este ejercicio, graficaremos cada uno de los conjuntos, para posteriormente determinar las uniones e intersecciones requeridas:

SOLUCIÓN:


Conjunto Representación Gráfica Expresión en desigualdad 𝐵 ∩ 𝐶

𝐴 ∩ 𝐶

{�𝑥| 52≤ 𝑥 < 10}

𝐵 ∪ 𝐶

{�𝑥| − 12≤ 𝑥 ≤ 10}

𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶

Valor Absoluto (pág. 25) 1.- Determine el valor absoluto de los siguientes números:

a.- �15− 1

3�

�15− 1

3� = −�1

5− 1

3�, pues

15− 1

3< 0 ya que

15

< 13

= 13− 1

5= 5−3

15= 2

15

b.- �−1 + 32�

�−1 + 32� = −1 + 3

2= −1 + 1,5 = 0,5

c.- ��1 − √3��

��1 − √3�� = �−(1 − √3)� = �√3 − 1� = √3 − 1 ≅ 0,7 , pues 1 < √3 ⟶ 1 − √3 < 0 d.- �|−𝜋| − |−2𝜋|� �|−𝜋| − |−2𝜋|�, pues |−𝜋| = 𝜋 y |−2𝜋| = 2𝜋 = |𝜋 − 2𝜋| = |−𝜋| = 𝜋

Propiedades del valor absoluto (pág. 26)

1.- Aplicando las propiedades de valor absoluto, determine el valor de las siguientes expresiones:

a.- |𝑥 − 4|, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [0,2] |𝑥 − 4|, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [0,2], si observamos el rango de valores que puede tomar x, observamos que en cualquiera de los casos x será menor que 4, por lo que:

𝑥 < 4 ⟶ 𝑥 − 4 < 0 |𝑥 − 4| = −(𝑥 − 4) = 4 − 𝑥


b.- � 2−510−4

�

�2 − 5

10 − 4� =

|2 − 5||2(5 − 2)| =

|2 − 5||2||5 − 2| =

|2 − 5||2||2 − 5| =

1|2| .

|2 − 5||2 − 5| =

12

c.- ��13− 3

2�2�

��13−

32�2

� = ��13−

32� �

13−

32�� = �

13−

32� �

13−

32� = −�

13−

32� (−1) �

13−

32� = �

32−

13� �

32−

13�

= �32−

13�2

=94− 2.

32

.13

+19

= 94− 1 +

19

=94−

44

+19

=54

+19

=45 + 4

36=

4936

d.- �−5 − |−2|� �−5 − |−2|� = |−5 − (2)| = |−7| = 7

Distancia entre dos puntos (pág. 27)

1.- Determine la distancia entre los números dados: a.- 7 y 9

𝑑(7,9) = |9 − 7| = |2| = 2 b.- -5 y -3

𝑑(−5,−3) = |−3 − (−5)| = |−3 + 5| = |2| = 2 c.- -3 y 4,5 𝑑(−3, 4.5) = |4.5 − (−3)| = |4.5 + 3| = |7.5| = 7.5

d.- -6 y -4 𝑑(−6,−4) = |−4 − (−6)| = |−4 + 6| = |2| = 2

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