2. Señales y Espectro

• BUAP •

2.1. Analisis en Frecuencia

La transformada de Fourier y las series de Fourier son una de muchas

herramientas matemáticas utilizadas en el análisis y diseño de sistemas

líneales e invariantes en el tiempo (LTI).

Estos procedimientos involucran la descomposición de las señales en

términos de sus componentes senoidales o exponenciales complejas.

Mediante tal descomposición la señal puede entonces ser transladada al

dominio de la frecuencia.

Se mostrará que la mayoría de las señales de interés práctico pueden

descomponerse en senoides. Se tiene entonces que:

• La descomposición de señales periódicas se denomina Serie de Fourier.

• La descomposición de señales de energía finita se denomina

Transformada de Fourier.

Debido a que la respuesta de un sistema LTI a una señal de entrada

senoidal es también una salida senoidal de frecuencia igual pero diferente

amplitud y fase, este tipo de descomposición es de suma importancia.

• BUAP •

2.1. Analisis en Frecuencia

Adicionalmente la propiedad de linealidad de los sistemas LTI implica que

la suma lineal de componentes senoidales a la entrada produce una suma

lineal de componentes senoidales a la salida pero de diferente amplitud y

fase.

Es bien sabido que un prisma puede ser usado para descomponer luz

blanca en los colores del arcoiris. En un paper sometido en 1672 a la Royal

Society, Isaac Newton utilizó el término de espectro para describir las

bandas continuas de colores producidas por su aparato. Para entender el

fenómeno de la descomposición Newton colocó otro prisma invertido con

respecto al primero y mostro que la mezcla de los colores producía

nuevamente luz blanca.

Haz de luz

Luz Blanca

Espectro

Violeta

Azul

Verde

Amarillo

Naranja

Rojo

Espectro

• BUAP •

2.1. Analisis en Frecuencia

Desde el punto de vista físico cada color representa una frecuencia

específica dentro del espectro visible.

Por tanto, el análisis en frecuencia de las señales involucra su resolución

en sus componentes de frecuencia. En nuestro caso estamos interesados en

señales que son función del tiempo, el papel de los prismas será tomado

por las herramientas del análisis de Fourier.

La motivación del desarrollo de las herramientas del análisis en frecuencia

es proveer una representación matemática y gráfica de las componentes

frecuenciales contenidas en una señal. Nótese qué el contenido frecuencial

o espectro de cada señal es como su identidad.

Es importante diferenciar entre el proceso para determinar el contenido

espectral de una señal, análisis frecuencial o espectral y el proceso para

determinar de forma práctica el espectro de la misma, denominado

estimación espectral.

• BUAP •

2.1.1. Las Series de Fourier

Series de Fourier

En esta sección presentaremos el análisis en frecuencia de señales

periódicas y continuas en el tiempo. Ejemplos prácticos de ellas son las

ondas cuadradas, rectangulares, triangulares, senoidales y exponenciales

complejas.

Suponga una señal x(t) real o compleja en un intervalo dado (t1,t2). Bajo

ciertas condiciones, es posible descomponer tal señal en una suma

ponderada infinita de funciones exponenciales complejas:

donde F0=(t2-t1)-1 es la frecuencia fundamental y kF0 representa la k-ésima

armónica de la frecuancia fundamental F0. Las funciones forman

un conjunto ortogonal en el intervalo (t2-t1) en tanto que satisfacen la

siguiente relación:

02

k

tkFj

kectx

tkFje 02

ki

kittdtee

t

t

tkFjtiFj

0

12222

1

00

• BUAP •

2.1.1. Las Series de Fourier

Para encontrar el coeficiente ck multiplicamos ambos lados de la ecuación

de la sumatoria por e integramos en el intervalo (t2-t1):

Este tipo particular de representación de señales como una combinación

lineal de funciones exponeneciales se conoce como series

complejas de Fourier. Estas exponenciales son peródicas con periodo

Tp=(t2-t1) o algún submúltiplo del mismo. Por lo tanto una función

periódica con periodo fundamental Tp puede representarse en todo el

intervalo real (-,)por la siguiente serie de Fourier, donde F0 =1/ Tp.

tlFje 02

dtetxtt

c

tdeecdtetx

t

t

tkFj

k

k

t

t

tkFjtlFj

k

t

t

tlFj

2

1

0

2

1

00

2

1

0

2

12

222

1

tkFje 02

• BUAP •

2.1.1. Las Series de Fourier

La frecuencia F0 está dada en unidades de ciclos por segundo o Hertz (Hz);

también es común designar la frecuencia mediante la variable 0, en

unidades de radianes por segundo (rad/s), donde:

Y entonces las series de Fourier pueden escribirse como:

dtetxtt

c

ectx

t

t

tkFj

k

k

tkFj

k

2

1

0

0

2

12

2

1

pTF 22 00

dtetxT

c

ectx

p

p

T

T

tjk

P

k

k

tjk

k

2

2

0

0

1

• BUAP •

2.1.1. Las Series de Fourier

Ejercicio: Aplicando la definición anterior encuentre la representación

compleja de la función cos(wt).

Ck=1/2[sinc((w-w0k)+sinc((w+w0k)]

Tarea clase: Obtener la representación en serie compleja de Fourier de la

onda seno sen(wt).

Tarea 2: Obtener la representación en serie compleja de Fourier de la onda

seno rectificado.

• BUAP •

2.1.1. Las Series de Fourier

Las ecuaciones anteriores pueden verse como una transformación

reversible: los coeficientes ck pueden determinarse conociendo x(t); y x(t)

puede reconstruirse conociendo los coeficientes ck. Así x(t) y ck son dos

formas diferentes de representar la misma señal.

Cada coeficiente ck está asociado a una función exponencial compleja con

una frecuencia distinta y su magnitud indica la contribución de la función

componente respectiva en la reconstrucción de la señal.

A fin de que la integral anterior converja y la serie de Fourier exista, la

señal x(t) debe cumplir con ciertas condiciones conocidas como

condiciones de Dirichlet:

a) En un intervalo equivalente a un periodo, la señal x(t) tenga un número

finito de discontinuidades

b) En un intervalo equivalente a un periodo, la señal x(t) tenga un número

finito de máximos y mínimos

c) y que sea absolutamente integrable, esto es:

dttx

p

p

T

T

2

2 • BUAP •

2.1.1. Las Series de Fourier

Las condiciones de Dirichlet garantizan que la serie de Fourier infinita

será igual a x(t), excepto para los valores de t para los cuales la señal es

discontinua. Por ejemplo, si x(t) es discontinua en t=t0, en ese punto la serie

converge al valor medio (valor promedio) de la discontinuidad; pero en la

vecindad de t0 la representación de las series de Fourier oscila rápidamente

alrededor del valor verdadero, con una amplitud de oscilación

prácticamente independiente del número de términos que se incluyan en la

serie, a este comportamiento se le conoce comoel fenómeno de Gibbs.

Todas las señales periódicas de interés práctico satisfacen estas

condiciones.

Propiedades de Simetría de las Series de Fourier

a) Si x(t) es simétrica conjugada, x(-t) = x*(t) entonces ck es puramente

real.

b) Si x(t) es antisimétrica, x(-t) = -x*(t) entonces ck es puramente

imaginario.

c) Si x(t) es una función real, entonces c-k= c*k es simétrico.

d) Si x(t) es una función real y par, entonces ck es real y par.

• BUAP •

2.1.1. Las Series de Fourier

e) Si x(t) es una función real e impar, entonces ck es imaginario e impar.

En general los coeficientes ck toman valores complejos. Sin embargo si la

señal es periódica y real, ck y c-k es complejo conjugado:

En consecuencia las series pueden ser representadas como:

donde c0 toma un valor real cuando x(t) es real. En la expresión anterior es

posible expandir:

Tarea : Comprobar las 5propiedades de simetría de las series de Fourier.

kj

kk

k

kk ecctkFcctx

para 2cos21

00

k

k

j

kk

j

kk

ecc

ecc

kkk tkFtkFtkF sen2sencos2cos2cos 000

• BUAP •

2.1.1. Las Series de Fourier

0

0

1

00

0

0

0

00

0

000

0

2

0

0

2

0

0

2

0

2

1

00

22cos2

22cos

22cos

para 2cos2

0

000

kk

kk

k

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kkk

kk

tkFj

k

kk

tkFjj

k

kk

tkFj

k

k

tkFj

k

j

kk

k

kk

tkFsencjtkFcctx

tkFsencjtkFcctx

tkFjsentkFccecctx

eecceccectx

ecctkFcctx

k

k

k

• BUAP •

0

2.1.1. Las Series de Fourier

En consecuencia tendremos una tercera equivalencia de las series de

Fourier:

donde:

Densidad Espectral de Potencia de Señales Periódicas

Como recordaremos una señal periódica tiene energía infinita y potencia

promedio finita dada por:

1

000 2sen2cosk

kk tkFbtkFaatx

kkk

kkk

cb

ca

ca

sen 2

cos2

00

1

2

2

2

p

p

T

Tp

x dttxT

P

• BUAP •

2.1.1.1. Densidad Espectral de Potencia

Consideraremos la identidad y sustituyamos en la

expresión anterior:

Por lo tanto podemos establecer la relación:

2* txtxtx

k

k

k

kkx

T

T

tkFj

k

k

p

T

T k

tkFj

k

p

x

T

Tp

T

Tp

x

cccP

dtetxcT

dtectxT

P

dttxtxT

dttxT

P

p

p

p

p

p

p

p

p

2*

2

2

2*

2

2

2*

2

2

*

2

2

2

1

1

11

00

1 2

2

2

2

k

k

T

Tp

x cdttxT

P

p

p

• BUAP •

2.1.1.1. Densidad Espectral de Potencia

Conocida como fórmula de Parseval para señales de potencia.

Si la señal periódica toma valores reales, los coeficientes de las series de

Fourier {ck}satisfacen la condición de simetrá conjugada:

En consecuencia . Por lo tanto el espectro de potencia es una

función simétrica de la frecuencia. Esta condición también significa que la

magnitud del espectro es una función pare en torno al origen y la fase una

función impar. A consecuencia de la periodicidad se verá que las señales

poseen un espectro de líneas equidistantes, donde el espacio entre ellas es

igual a la frecuencia fundamental, la cual es igual al inverso del periódo

fundamental de la señal.

Podrémos ver entonces al periódo fundamental como el que provee el

número de líneas por unidad de frecuencia (densidad de líneas).

*

kk cc

2

*2

kk cc

• BUAP •