LAS REGLAS DE DIVISIBILIDAD DEMOSTRADAS POR CONGRUENCIA

NUMÉRICAS

Hagamos un freno en el camino y pensemos “qué aporta una demostración a la formación intelectual de un estudiante”, y si de alguna manera logramos visualizar los beneficios implícitos en su forma de pensar y actuar, entonces estamos valorando su necesidad no solo como parte integral del currículo de la Matemática si no como la formación de seres humanos racionales y pensantes en un mundo que está siendo digerido por una serie de distractores, llámese televisión, redes sociales, juegos electrónicos entre otros. En la mayoría de las ocasiones en esta Costa Rica, ajena a una mejora significativa en los programas de la enseñanza de la matemática, nosotros los formadores de secundaria generalizamos las demostraciones simplemente como pruebas o verificaciones de las proposiciones que se les ocurrieron hace mucho tiempo a algunos matemáticos y perdemos la perspectiva de lo que somos y enseñamos. Las demostraciones se convierten casi siempre en procesos de memoria para lograr ganar un curso y en nuestra práctica, la labor por una u otra circunstancia se desvía de lo esencial. Y si bien es cierto las demostraciones verifican lo enunciado dando muestra de seguridad en lo que se está definiendo, también cabe señalar otras características que pueden definirlas de una manera más elegante como cita (Ibañes, 2001), quien le otorga otras como la de iluminación (se espera que una buena demostración proporcione ideas del porqué es cierta) y la de sistematización (organización de un sistema deductivo de la teoría: axiomas, definiciones y teoremas ya demostrados con anterioridad). Otros como De Villiers (1993), quien critica a los que sólo le adjudican a la demostración la función tradicional de prueba o verificación, destaca además la función de explicación de las demostraciones pues no es sólo cuestión de asegurarse, sino de explicar por qué la proposición es cierta, de hacer la actividad significativa, si no que a la vez constituye una motivación. Incluye en su lista de funciones la de descubrimiento, pues a menudo es un método de exploración, análisis, inventiva que en ocasiones lleva a nuevos resultados; y la de comunicación, como una manera de expresar los resultados ante otros profesionales, al profesorado y ante los propios estudiantes, es un foro para el análisis crítico de aciertos y desaciertos. En fin, es un reto intelectual entre lo desconocido y conocido.

Pues tomando en cuenta la caracterización que estos autores le dan a las

demostraciones es para nosotros un reto intelectual en el que vamos a descubrir

la verificación de los criterios de divisibilidad comunicándolos a todos aquellos

interesados que visiten este blog, claro está que existen otras maneras de

demostrarlos.

Definición

Se dice que dos enteros a y b son congruentes módulo d, donde d es

entero mayor que 1, si a y b dan el mismo residuo al dividirlos por d. Si a es

congruente con b módulo d, se anota (mód. d)

Lema 1

Las siguientes condiciones son equivalentes:

1) (mód. d)

2) , para algún entero

3) divide

Corolario (mód. d) si y sólo si es divisible por

Lema 2

Si (mód. m) y (mód. n), donde m y n son primos relativos,

entonces (mód )

Lema 3 Si (mód. d) y (mód. d), entonces:

1) (mód. d)

2) (mód. d)

3) (mód. d)

4) (mód. d) para cualquier número real

Las reglas de divisibilidad

Sea cualquier entero expresado en el sistema decimal en la forma

, donde , y

La expresión anterior nos indica que si por ejemplo entonces

podemos expresar a . Y que al ser la

base 10 el sistema en que trabajamos las demostraciones a continuación se

fundamentaran en dicho sistema.

Divisibilidad por 2

Si un entero termina en cifra par, entonces es divisible por 2

Demostración

Tenemos que 0 (mód. 2) para k = 1,2,…..n Corolario del Lema 1

Por lo que, (mód. 2) La propiedad 4) del Lema 3

Si (mód. 2) (es decir, si es número par), entonces

(mód. 2)

(mód. 2)

(mód. 2)

(mód. 2)

Sumando de manera vertical estas congruencias se tiene que

(mód. 2)

De ahí que es divisible por 2.

Divisibilidad por 3

Si la suma de los dígitos de un número es divisible por 3, entonces el

número es divisible por 3.

Tenemos que (mód. 3) para k = 1,2,3,…….,n

Además (mód. 3)

(mód. 3) La propiedad 4) del lema 3

( mód. 3)

Sumando estas congruencias, resulta

( mód. 3 )

De aquí se obtiene la regla que al sumar los dígitos de un número entonces es

divisible por 3.

Divisibilidad por 5

Si un número termina en 0 ó en 5, entonces es divisible por 5

Se tiene que (mód. 5) para k = 1,2,3,…...,n

Entonces si (mód. 5), resulta que y como se obtiene

ó . En consecuencia, ó

Por lo tanto: 0 (mód. 5)

(mód. 5)

(mód. 5)

Sumando: (mód. 5)

Divisibilidad por 7

Si la expresión: es

divisible por 7, entonces el número

también lo es.

Tenemos que (mód. 7)

(mód. 7)

(mód. 7)

(mód 7)

(mód. 7)

(mód. 7)

(mód. 7) y así sucesivamente

Por lo tanto , (mód. 7)

(mód. 7)

(mód. 7)

(mód. 7)

(mód. 7)

(mód. 7)

(mód. 7)

(mód. 7)

Sumando se obtiene:

Ejemplo. El número 3927 es divisible por 7 porque

es divisible por 7

Divisibilidad por 10

Si un entero termina en 0, entonces es divisible por 10

Tenemos que (mód. 10) para . Si (mód.10)

entonces , ya que .

Divisibilidad por 11

Si la suma de los dígitos de un entero alternados en signos es divisible por

11, entonces el número es divisible por 11.

Se tiene que (mód. 11)

(mód. 11)

(mód. 11)

(mód. 11)

…

( mód. 11) dependiendo si es par o impar

Por lo tanto, (mód. 11)

(mód. 11)

(mód. 11)

…

(mód. 11), dependiendo si es par o impar

Resulta entonces

Ejemplo: el número 3162819 es divisible por 11 ya que 9-1+8-2+6-1+3 = 22 es

divisible por 11