Investigación documental

Informe final

Las matemáticas en la vida griega

Laura Beatriz Aldana Robles

29 – Mayo – 2019

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ÍNDICE

INTRODUCCIÓN……………………………………………………… ….. 3

METODOLOGÍA……………………………………………………………. 4

RESULTADOS……………………………………………………………… 4

ANTECEDENTES………………………………………………………. 4

LA LLEGADA DE LAS MATEMÁTICAS A GRECIA………………… 6

TALES DE MILETO……………………………………………………... 7

EUCLIDES……………………………………………………………….. 8

ARQUÍMEDES………………………………………………………..… 9

PITÁGORAS…………………………………………………………… 10

LAS TRES PREOCUPACIONES GRIEGAS……………………….. 11

LA CUADRATURA DEL CIRCULO………………………….. 11

LA DUPLICACIÓN DE CUBO………………………………… 12

LA TRISECCIÓN DEL ÁNGULO……………………………… 13

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES…………………………… 13

BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………….…….… 14

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Introducción

Los números comenzaron a ser de suma importancia dentro de las

transacciones comerciales de Mesopotamia, al mismo tiempo, que en la antigua

Grecia, filósofos como Tales de Mileto y Pitágoras, utilizaron la numeración para

algo más que comercio; vieron una forma de entender el mundo a su alrededor,

realizando el mayor aporte para la ciencia entre el año 600 a.C y el año 1300 d.C.

El escudriñamiento de este trabajo será una breve explicación de la

incorporación de los números y las matemáticas dentro de la vida griega, la

asociación de los mismos dentro de la vida cotidiana y como estos conocimientos

llegaron a ser pilar fundamental de las matemáticas.

Esta investigación se llevará a cabo en un periodo aproximado de 30 días, y

tiene como principal función destacar las principales aportaciones griegas a las

matemáticas, la forma en que cambiaron el rumbo de la historia y su utilidad en la

vida moderna.

Para ello se contará con una base documental, tomando referencias de

principales libros que abarquen la historia de las matemáticas y los griegos, al

mismo tiempo, que se incluirán datos relevantes de fuentes digitales, como

revistas digitales o artículos de fuentes especializadas.

El objetivo de esta investigación, consiste en identificar los elementos

matemáticos, tomados de las culturas babilónicas y egipcias, que fueron

incorporados en la vida común de la civilización griega, cuáles fueron sus

principales problemáticas y como este cambio impactó en la vida cotidiana, siendo

de gran importancia hasta nuestros días.

Nos estamos enfocando en las matemáticas en los griegos, porque fueron

los pioneros de la ciencia moderna, ya que su interés por el mundo, y su constante

observación de la realidad, hizo que elementos tan comunes como las

matemáticas, se convirtieran en la base de la vida cotidiana, planteando teorías

muy adelantadas a su época.

Nos enfocamos en los grandes filósofos griegos Euclides, Arquímedes,

Pitágoras y Tales de Mileto, y las tres preocupaciones griegas que marcaron el

cambio del rumbo de las matemáticas: la cuadratura del círculo, la duplicación del

cubo y la trisección del ángulo.

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Metodología

Para llevar a cabo esta investigación, nos enfocamos en textos referentes a

historia de las matemáticas, con tres variantes; Historia general de la materia,

historia de las matemáticas en la civilización egipcia e historia de las matemáticas

en la civilización babilónica.

Posterior a la recopilación de información con datos bases, analizamos

textos que hacían referencia a la vida cotidiana en la antigua Grecia, la forma en la

que estos datos se incorporaron a su conocimiento y el impacto que tuvieron

dentro de sus sistemas, hasta llegar a convertirlos en base importante de su

conocimiento.

Para llegar finalmente a las conclusiones obtenidas hicimos un resumen de

las principales aportaciones griegas al campo de las matemáticas y como este

conocimiento cambio el rumbo de la humanidad.

Resultados

ANTECEDENTES

Con el fin de desarrollar un sistema de contabilidad, las civilizaciones antiguas

idearon un sistema, que hoy en día es conocido como las protomatemáticas,

usando la práctica del tallado como una prefiguración de la contabilidad, cuando la

humanidad aun ignoraba la escritura.

Los primeros indicios del uso de algún método matemático son el hueso de

madera tallado; a la fecha el más antiguo descubierto data del año 35,000 a.C. en

las montañas Lébembo en el sur de África. Pero el más interesante es el hueso

del Ishango, que ahora se encuentra en el Museo de Historia Natural de Bruselas

(lo que queda es un objeto marrón oscuro donde se ven unas marcas).

La aparición de la numeración escrita es la culminación de desarrollos anteriores,

dependiendo de cada tribu, como los huecos en huesos, palos o cuerdas con

nudos. Dependiendo de cada tribu se puede encontrar un diferente punto de

arranque de numeración primitiva, basándose en los números 2,3, y 4 como base

de su sistema; esto debido a que la plataforma de la numeración universal antigua

era contar con los dedos.

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El segundo punto importante dentro del origen de la numeración, es atribuir a cada

número un símbolo original, sin que estos tengan alguna relación, unos con otros;

Así cada civilización inició su propio sistema y se enfrentó a sus propios

problemas, como los sumerios, que no utilizaban el cero, sino un espacio en

blanco entre los números que en ocasiones era el responsable de grandes

errores. Los babilónicos utilizaban su sistema numeral para el comercio, pero

también para la astronomía, como se puede observar en la tabla babilónica de

júpiter, que es una de las pocas pruebas que se conservan; en ella se detalla el

movimiento diario de Júpiter durante un periodo de 400 días, escrita 163 a.C.

Sistema de numeración babilónico

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Por su parte, otra de las grandes civilizaciones, la egipcia, utilizo 7 símbolos

numerales, que combinaba entre sí, repitiéndolos para formar la numeración

deseada. Entre el año 2200 a.C. – 1700 a.C. incorporaron el uso de fracciones a

través de la utilización del ojo de Horus y sus partes para representar cada

fracción.

Sistema de numeración egipcio

En los principios de estudio de las matemáticas, se empleó el empirismo

dentro de las civilizaciones de Babilonia y Egipto, mientras que en Grecia se

empieza a abandonar el uso de estas técnicas, para dar origen al deduccionismo,

que marca el inicio de la matemática formal, y se caracteriza por ser basada de la

interpretación de figuras, planos y espacios. Uno de los primeros en utilizar este

método fue Euclides quien realizaba demostraciones a partir de la observación y

deducción de las figuras y sus comportamientos.

Los griegos comienzan a darse cuenta de que un enunciado matemático

debía de ser demostrado mediante deducción lógica a partir de ciertos hechos

fundamentales llamados axiomas.

LA LLEGADA DE LAS MATEMÁTICAS A GRECIA.

El auge de las matemáticas en Grecia, fue del año 600 a.C. al 1300 d.C.y

se caracterizaron por ser más sofisticadas que las culturas anteriores, pues

anteriormente solo las utilizaban para crear reglas generales del mundo, mientras

que los Griegos utilizaron el razonamiento deductivo utilizando los números de

manera lógica para crear axiomas y teoremas.

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Los griegos adaptaron la numeración de las civilizaciones antiguas, en la

numeración ática (números herodiánicos o acrofónicos) donde los símbolos

empleados, derivan de las primeras letras de las palabras, y que es muy similar a

la numeración utilizada posteriormente por los romanos.

Numeración ática

Posteriormente ese sistema fue sustituido por el sistema jónico, donde a

cada cifra de unidad (1 - 9) se le asigna una letra, a cada decena (10 - 90) otra

letra y a cada centena (100 - 900) otra letra.

Numeración jónica

TALES DE MILETO

Fue uno de los primeros griegos en interesarse en las matemáticas, pues

su conocimiento de geometría era muy extenso dedicándose en mayor medida a

las líneas y las curvas. Además en uno de sus viajes, midió la altura de las

pirámides de Egipto, utilizando la proyección de la sombras de estas en el suelo

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(Teorema de Tales), que en la actualidad nos es de utilidad para medir cosas de

gran altura, sin necesidad de medirlo directamente.

Teorema de Tales

EUCLIDES

Fue un matemático griego, al cual se le atribuye el teorema de Euclides, útil

hasta la época moderna y de gran apoyo dentro del estudio de la ciencia.

- El teorema habla sobre la suma de los ángulos interiores de cualquier

triangulo es 180°.

- En todo triángulo rectángulo, la altura (que se traza desde el ángulo recto),

es media proporcional geométrica (es decir, la altura al cuadrado), entre los

segmentos que determina sobre la hipotenusa.

- En todo triángulo rectángulo, cada cateto es medida proporcional

geométrica (es decir, cada cateto al cuadrado) entre la hipotenusa entera y

su proyección sobre ella.

- En todo triángulo rectángulo, si despejamos m y n del teorema referido a los

catetos y lo reemplazamos en el teorema referido a la altura, se cumple que

la altura (que se traza desde el ángulo recto), es igual al producto de los

catetos dividido por la hipotenusa.

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ARQUÍMEDES

Las aportaciones matemáticas de Arquímedes, se enfocan al campo de la

física, principalmente la hidrostática, la estática y la explicación del principio de la

palanca.

Sus principales enunciados son:

- El volumen y el área de la esfera son dos tercios de los del cilindro que la

inscribe, incluyendo sus bases. (lo cual se consideró el más grande de sus

descubrimientos matemáticos)

- El Principio de Arquímedes: Todo cuerpo sumergido en un fluido

experimenta un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del fluido

desalojado

- El tornillo de Arquímedes: era un mecanismo con una hoja con forma de

tornillo dentro de un cilindro. Se hacía girar a mano, y también podía

utilizarse para transferir agua desde masas de aguas bajas a canales de

irrigación más altos.

- La garra de Arquímedes: Un brazo semejante a una grúa del cual pendía un

enorme gancho de metal. Cuando se dejaba caer la garra sobre un barco

enemigo el brazo se balancearía en sentido ascendente, levantando

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la proa del barco fuera del agua y provocando una entrada del agua por

la popa. Esto inutilizaba los ingenios enemigos y causaba confusión, pero

no era lo único que hacía: mediante un sistema de polea y cadenas, dejaba

caer súbitamente el barco provocando una escora que podía llevarlo al

vuelco y al hundimiento.

- La palanca: no fue inventada por él. Pero sí el principio de como accionarla

“denme un punto de apoyo y moveré el mundo”.

- También se le atribuye haber aumentado el poder y la precisión de la

catapulta e inventar el odómetro.

Su aportación matemática se ve refleja en el cálculo integral y a la

aproximación del valor del número π, dibujando un polígono regular inscrito y otro

circunscrito a una misma circunferencia, de manera que la longitud de la

circunferencia y el área del círculo quedan acotadas por esos mismos valores de

las longitudes y las áreas de los dos polígonos. A medida que se incrementa el

número de lados del polígono la diferencia se acorta, y se obtiene una

aproximación más exacta. Partiendo de polígonos de 96 lados cada uno,

Arquímedes calculó que el valor de π debía encontrarse entre

310⁄71(aproximadamente 3,1408) y 31⁄7 (aproximadamente 3,1429)

Método exhaustivo para conseguir el valor de π

PITÁGORAS

Es considerado el primer matemático puro, y una de sus principales

características, es que él no veía solo números, sino que todas las cosas a su

alrededor eran números, con lo cual relacionaba las matemáticas a todos los

campos del mundo a su alrededor, como el cosmos, la astronomía o la música.

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Las aportaciones Pitagóricas son:

- Teorema de Pitágoras: En el triángulo rectángulo la suma de los catetos es

igual al cuadrado de la hipotenusa.

- Los sólidos perfectos: demostró que sólo existen 5 poliedros regulares.

- La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, y

esto es general para los polígonos de n lados.

- Los números irracionales.

- Los números perfectos.

- Las razones y proporciones entre los números enteros; la media aritmética,

la media geométrica y la media armónica.

- Los números poligonales.

- El Tetraktys. Una figura triangular compuesta por diez puntos ordenados en

cuatro filas.

Teorema de Pitágoras

LAS TRES PREOCUPACIONES GRIEGAS

Los griegos dejaron de ver el uso de las matemáticas de forma práctica y

comenzaron a reflexionar sobre su impacto en la naturaleza, convirtiéndolas en

una ciencia racional y estructurada. Dentro de su estudio y análisis, se

encontraron con tres problemas que debían resolverse con regla y compas.

LA CUADRATURA DEL CÍRCULO

Fue uno de los primeros problemas matemáticos a lo que los griegos se

enfrentaron, y consiste en cuadrar superficies limitadas por curvas, que resultó

muy plausible, cuando Hipócrates de Quíos demostró que algunas figuras

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curvilíneas, llamadas lúnulas, podrían cuadrarse. Sin embargo, no se podían

cuadrar excepto aquellas propuestas por él y no el círculo.

Fue hasta 1882 que Ferdinand Lindemann probó que con π, se puede

cuadrar un circulo, usando regla y compas.

Cuadratura del círculo a partir de π

LA DUPLICACIÓN DEL CUBO

Se llama duplicación del cubo al problema de hallar, mediante el uso de

solo regla y compás, el lado de un cubo tal que su volumen sea el doble del

volumen de otro cubo de lado dado. El primero en abordar el problema fue

Hipócrates de Quíos, quien encontró que si entre dos segmentos, uno del doble

del otro, se insertan dos medias proporcionales, se duplica el cubo.

Duplicación de cubo

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LA TRISECCIÓN DEL ÁNGULO

Consiste en encontrar un ángulo cuya medida sea un tercio de otro ángulo

dado, utilizando solo regla y compás. Este problema se resolvió hasta el siglo XIX

utilizando la trisectriz o curva algebraica para dividir el ángulo.

Trisección del ángulo

Conclusiones y recomendaciones

Después de realizar nuestra investigación, nos dimos cuenta que fue de

gran importancia, pues el gran salto que tuvieron las matemáticas en Grecia,

significo mucho para la ciencia moderna, ya que los griegos dejaron de verlas

como algo práctico y utilizaron sus elementos para adecuarlos dentro de la vida

cotidiana.

Anteriormente, los números eran vitales dentro del comercio, la

arquitectura y la astronomía; fue a partir de su aportación griega, que

comenzaron a ser de gran utilidad dentro de la física y la ingeniería, y con un

alto aporte para las matemáticas modernas, siendo hasta ahora varios de sus

teoremas y principios utilizados.

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Referencias y fuentes de consulta

Ian Stewart. (2008). Historia de las matemáticas: En los últimos 10,000

años. Barcelona, España: crítica.

Joel Levy. (2014). A Curious History of Mathematics: The Big Ideas

from Early Number Concepts to Chaos Theory. London, United

Kingdom: Andre Deutsch Ltd.

Conrado Eggers Lan. (1995). El nacimiento de la matemática en Grecia.

Buenos Aires, Argentina: Eudeba.

Tomas David Páez Gutiérrez. (2009). La matemáticas a lo largo de la

historia: De la prehistoria a la antigua Grecia.. Madrid, España.: Visión

libros.

Anexos