LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS
Transcript of LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS
CÁLCULO DIFERENCIAL
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Semana 11 - Sesión 02
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante es
capaz de calcular las derivadas de segundo orden, de tercer
orden, sucesivamente, y de utilizar sus diferentes notaciones.
También será capaz de calcular la derivada de una
función que no está expresada en forma explícita utilizando el
proceso denominado Derivación Implícita.
Si f es una función derivable, su derivada f´ también es una función
que también puede tener derivada. Dicha derivada se representa como
( f´ )´= f´´ . Esta nueva función f´´ se llama Segunda Derivada de f .
Usando la notación de Leibniz, si y = f (x) , podemos escribir:
2
2
[ ]
dy d yd df (x) f (x)
dx dx dx d x
Otras notaciones son:2( 2 )
x
f (x) f (x) D f (x)
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Ejemplo 1
Si f (x) = x Cos (x) :
f (x ) C os (x ) x Sen (x )
f (x ) x Cos (x ) 2 Sen (x )
x
y
f
f ´´
f ´
Ejemplo 2
La posición de una partícula está dada por la ecuación
, donde t se mide en segundos y s en
metros.
a. Halle la aceleración en el instante t. ¿Qué valor tiene la ace-
leración a los 4 segundos?
b. ¿Cuándo va aumentando la rapidez de la partícula?¿Cuándo
va perdiendo rapidez?
c. Grafique la posición, velocidad y aceleración para 0 t 5.
3 2s f ( t ) t 6t 9t
a.ds 2
dt
2
2
v ( t ) f ( t ) 3t 12t 9
d sa ( t ) f ( t ) 6t 12
dt
2En el instante t 4 segundos , a (4) 12 m / s
Respuesta
Va perdiendo rapidez en el intervalo de tiempo [ 0, 2 ] .
Va aumentando rapidez en el intervalo [ 2, 5 ] segundos.
b.
c.
Extensión
1y , entonces
xSi
2
3
4
1y
x
2!y
x
3!y
x
1y
x
En forma sucesiva se puede hallar la Tercera Derivada,
la Cuarta Derivada, la Derivada de Orden n de una fun-
ción f . Se les denota:
Ejemplo 3
3 3(3)
3 3
d [ f (x) ] d yf (x) f (x)
dx dx
Ejemplo 4
La figura muestra las gráficas de f , f ´ y f ´´. Identifique cada curva y
explique su elección.
Respuesta
f
f
f
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Es una aplicación muy sencilla de la Regla de la Cadena que
permite hallar la derivada dy/dx aún en los casos en que no es posible
expresar la función y en una forma explícita en términos de x .
Esto se presenta por ejemplo cuando existe una ecuación entre
las dos variables x y y , que determina la dependencia de la variable ycomo función implícita de x .
Por ejemplo, se desea hallar dy/dx en el punto (x , y) = (2, 1) de
la curva
donde es muy difícil, por no decir imposible, despejar y en términos de xpara luego derivarla.
3 2 32 5x xy y- + =
ESTRATEGIA
APLICAR EL OPERADOR EN AMBOS MIEMBROS.
Es decir, se deriva respecto a la variable x cada sumando de ambos
miembros, y se aplica la Regla de la Cadena en el momento en que sea
requerida.
:d
dx
SOLUCIÓN DEL EJEMPLO PROPUESTO
3 2 32 5x xy y- + =
2 2 33 2 0
PRODUCTO
d dx ( xy ) ( y )
dx dx- + =
2 2 2 33 2 2 0x y x (d d
dx dy ) ( y )
x{ }- + + =
2 32 23 2 2 0
( R . CADENA ) ( R . CADENA )
( y ) ( yd d
dx dx
dy dy
d
)x x
y dyy- - × × + × =
2 2 23 2 2 2 3 0dx
x y x y y (d
dy y)
x
d- - × × + × =
3 2 32 5d d
( x xy y ) ( )dx dx
- + =
En este caso se aplicará el punto de la curva (x , y) =(2, 1) en el paso , así :
2 2 23 2 2 1 2 2 2 1 3 1 0dx
( ) ( ) ( ) ( ) ( )d
dx
dy y- - × × + × =
10 8 3 0
10 5
2
y y
y
y
- + =
=
¢
¢
¢ =
¢
Si se tiene el dato del punto de la curva donde se quiere
calcular esta derivada, se utilizará en este momento y así se
podrá despejar dy/dx más fácilmente.
( )
Si no tuvieras este dato numérico puedes despejar dy/dx en
forma genérica, desde el paso :
2 2 23 2 4 3dy
x y ( xy y )dx
- = -
2 2
2
3 2
4 3
x ydy
dx xy y
-=
-
( )
0 4 3y , x y¹ ¹
Una característica de esta técnica de Derivación Implícita
es que, en general, la derivada dy/dx resultará expresada en
términos de las dos variables x y y .
4 2 22 6 4 5x y x y+ = + -
CIERRE DE LA SESIÓN
EJERCICIO: Hallar la pendiente de la recta tangente en el punto (x, y) = (1, 2) de la curva:
Clave: (C)
A) 3 / 2
B) 2
C) 2
D) 0
MUCHAS GRACIAS POR TU ATENCIÓN