ALGEBRA I Plan Común de Ingeniería – Primer Semestre 2011

LA PARÁBOLA

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto

fijo llamado foco y de una recta fija llamada

directriz. Es decir,

Elementos de la parábola

Foco: Es el punto fijo F.

Directriz: Es la recta fija L.

Eje focal: Es la recta perpendicular a la directriz que

pasa por el foco.

Vértice: Es el punto de intersección de la parábola

con su eje focal. V (punto medio entre el foco y directriz)

Parámetro p: Es la distancia del foco al vértice = distancia del vértice a la directriz

Lado recto: Es el segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es

paralelo a la directriz. ,AA . La longitud del lado recto es |4p|.

Ecuación de la parábola cuando:

A. El eje focal de la parábola coincide con el de abscisas (X) y el vértice con el origen

pxdirectrizdeEcuación

pFfoco

derechalahaciaabreseparábolalapSi

pxyVconEcuación

−=

>=

:

)0,(

0

4:)0,0( 2

pxdirectrizdeEcuación

pFfoco

izquierdalahaciaabreseparábolalapSi

pxyVconEcuación

=

<=

:

)0,(

0

4:)0,0( 2

( , ) ( , )d F P d P L=

1L

1. Dada la parábola2 8y x= , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

2 4

4 8 2

(0,0) (2,0) 2

y px

p p

V F x

== =

= −

2. Dada la parábola 2 8y x= − , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

2)0,2()0,0(

284

42

=−−=⇒−=

=

xFV

pp

pxy

B. El eje de la parábola coincide con el eje de ordenadas (Y) y el vértice con el origen

pydirectrizdeEcuación

pFfoco

arribahaciaabreseparábolalapSi

pyxVconEcuación

−=

>=

:

),0(

0

4:)0,0( 2

pydirectrizdeEcuación

pFfoco

abajohaciaabreseparábolalapSi

pyxVconEcuación

=

<=

:

),0(

0

4:)0,0( 2

1. Dada la parábola 2 8x y= , determinar su vértice, su foco y la recta directriz.

2 4

4 8 2

(0,0) (0,2) 2

x py

p p

V F y

== =

= −

2. Dada la parábola2 8x y= − , determinar su vértice, su foco y la recta directriz.

2)2.0()0,0(

284

42

=−−=−=

=

yFV

pp

pyx

C. Parábola con eje paralelo a OX y vértice distinto al origen

Ecuación ordinaria o principal: )(4)( 2 hxpky −=−

Vértice:V(h,k); foco: F( ),kph − ; p>0

Ecuación de la directriz: x = h – p

Ecuación general: 02 =+++ FEyDxy

Ecuación ordinaria o principal: )(4)( 2 hxpky −=−

Vértice:V(h,k); foco: F( ),kph + ; p<0

Ecuación de la directriz: x = h +p

Ecuación general: 02 =+++ FEyDxy

D.Parábola con eje paralelo a OY, y vértice distinto al origen

Ecuación ordinaria o principal: )(4)( 2 kyphx −=−

Vértice:V(h,k-p); foco: F( ), pkh − ; p>0

Ecuación de la directriz: y = h-p

Ecuación general: 02 =+++ FEyDxx

Ecuación ordinaria o principal: )(4)( 2 kyphx −=−

Vértice:V(h,k+p); foco: F( ), pkh + ; p<0

Ecuación de la directriz: y = h+p

Ecuación general: 02 =+++ FEyDxx

Ejercicios

1. Dada la parábola ( ) ( )22 8 3y x− = − , determinar su vértice, su foco y la recta directriz.

2. Dada la parábola ( ) ( )23 8 2x y− = − , determinar su vértice, su foco y la recta directriz.

4 8 2

( , ) (3,2) ( , ) (5,2) 1

p p

V h k V F h p k F x

= ⇒ =

= + = =

4 8 2

( , ) (3,2) ( , ) (3,4) 0

p p

V h k V F h k p F y

= ⇒ =

= + = =

3. Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:

a) De directriz x = -3, de foco (3, 0).

xy

p

12

32 =

=

b) De directriz y = 4, de vértice (0, 0).

yx

p

16

42 −=

=

4. Encontrar las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de la directrices

de las parábolas:

a)

2 6 8 17 0y y x− − + =

2

2

2

( 6 9) 9 8 17 0

( 6 9) 8 8

( 3) 8( 1) (1,3)

4 8 2

( , ) (3,3)

: 1

y y x

y y x

y x V

p p

F h p k F

L x

− + − − + =

− + = −

− = −

= =

+ =

= −

b) 2 2 6 5 0x x y− − − =

5. Hallar la ecuación de la parábola paralela al eje Y y que pasa por los puntos: A(6, 1),

B(-2, 3), C(16, 6).

2x Dx Ey F 0+ + + =

( ) ( )

2

2

2

6 D 6 E 1 F 0

2 2 3 0 10 24 48

16 16 6 0

D E F D E F

D E f

+ ⋅ + ⋅ + =

− + ⋅ − + ⋅ + = = − = − =

+ ⋅ + ⋅ + =

Así 2x -10x-24y 48 0+ =

6. Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: y= 0 y por foco el

punto (2, 4).

)2(8)2(

168)2(

10)4()2(

),(),(

2

222

22

22

−=−

+−+−=+

=−+−

=

yx

yyxy

yyx

LPdFPd

2

2

2

( 2 1) 1 6 5 0

( 2 1) 6 6

( 1) 6( 1) (1, 1)

34 6

2

1( , ) (1, )

2

5:

2

x x x

x x y

x y V

p p

F h k p F

L y

− + − − − =

− + = −

− = + −

= =

+ =

= −