lab lugar geometrico de las raices

ESCUELA DE INGENIERA ELECTRICA Y ELECTRNICA

LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES

Julio Cesar Zambrano Realpe, Juan Felipe Moreno Montoya

[email protected]

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Informe de Laboratorio No 2

Resumen Este documento es el informe de la prctica de laboratorio de generacin del lugar geomtrico de las races, donde

se consigna el anlisis y generacin del LGR para un sistema de

lazo cerrado y otro con dinmicas agregadas.

Palabras clave Lugar geomtrico de las races, polos, races, funcin de transferencia.

I. INTRODUCCIN

El lugar geomtrico de las races es una herramienta grfica que

permite determinar la posicin de los polos de la funcin de

transferencia de lazo cerrado para un determinado valor de

ganancia K a partir de la funcin de transferencia de lazo

abierto. La variacin de los parmetros fsicos de un sistema

que logran una modificacin de su ecuacin caracterstica,

modifican las races o polos de dicho sistema, debido a que la

respuesta transitoria del sistema est relacionada con la

ubicacin de las races de su ecuacin caracterstica en el plano

S.

Conocer la ubicacin de las races en el plano S ante variaciones

de un parmetro, representa una herramienta til de anlisis y

diseo de un sistema de control.

II. RESUMEN Y ANLISIS

LAZO ABIERTO.

Por medio del software LabView se dise un programa en el

cual se construy un lazo de control. Se identific el sistema

por medio de su respuesta esttica y se seleccion un punto de

operacin.

Por medio de la grfica de respuesta esttica se identific un

punto intermedio de la zona lineal positiva, el cual fue

PO= 6V

Grfica 1. Respuesta esttica del sistema.

Posterior a esto se hall la respuesta dinmica del sistema, ante

entradas tipo escaln alrededor del punto de operacin

escogido, hallando as la funcin de transferencia del sistema

en lazo abierto.

Grfica 2. Respuesta dinmica del sistema en lazo abierto.

ESCUELA DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA

2

Teniendo en cuenta que la funcin de transferencia de un

sistema de primer orden se define como:

() =

+ 1

=

, donde es la amplitud final estabilizada de la

respuesta al escaln, y es la amplitud del escaln.

= 1.94

1= 1.94

Sabiendo que es la constante que representa el tiempo que tarda el sistema de respuesta a un escaln para llegar al 63.21%

de su valor final.

Entonces (1.94)*63.21% = 1.226, por medio de la grfica de la

respuesta dinmica del sistema se obtiene el valor de tiempo

para dicha amplitud, la cual es

= 1.353

De esta manera se define la funcin de transferencia del sistema

en lazo abierto como

() = 1.94

1.353 + 1

Ya obtenida (), por medio del software Matlab con la herramienta step ( ), se obtuvo la respuesta dinmica simulada

y se compar con la respuesta dinmica experimental.

0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Step Response

Time (sec)

Am

pli

tud

e

Grfica 3. Comparacin respuesta dinmica del sistema en lazo abierto.

LAZO CERRADO

Ya identificado el sistema, se procedi a cerrar el lazo de

control y variar la ganancia en lazo directo del sistema. Se

registraron las respuestas temporales ante entradas tipo escaln

para variaciones de ganancia desde 1 hasta 16.5.

Inicialmente se ingres un k=0.6, variando de manera aleatoria

hasta llegar a k=16.5, para k mayores de 6.5 el sistema empez

a presentar no linealidades debido a la alta ganancia ingresada,

obligando al sistema a trabajar en zona de saturacin el sistema

presento sobrepicos cuando la amplitud del escaln fue igual a

cero. Este fenmeno se pudo observar en la grfica 4.

0 50 100 150 200 250 300 350-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo

A

mp

litu

d

Grfica 4. Respuestas temporales en lazo cerrado al variar la ganancia.

Obtenida la respuesta temporal del sistema, se compar con los

resultados de la simulacin en Matlab con la herramienta

feedback ( ), la cual nos permite ingresar la funcin de

transferencia, la ganancia, y el valor de la realimentacin que

en nuestro caso es unitaria.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Grfica 5. Comparacin respuesta temporal de lazo cerrado para k=0.6.


3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Grfica 6. Comparacin respuesta temporal de lazo cerrado para k=2.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Step Response

Time (sec)

Am

pli

tud

e


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Step Response

Time (sec)

Am

pli

tud

e


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de


Como se puede observar en las grficas, los resultados

experimentales tienen concordancia con los resultados

simulados en cuanto a tiempos de estabilizacin del sistema, y

el comportamiento fue el esperado, al aumentar la ganancia, la

respuesta que se obtuvo fue ms rpida, sin sobrepasar la

amplitud de la onda cuadrada.

Para k mayores a 6.5 debido a las no linealidades del sistema

por la alta ganancia, la respuesta no sigue el mismo

comportamiento que el resultado simulado. Tambin se puede

observar que al ser el tiempo de estabilizacin cada vez ms

pequeo, el nmero de muestras por segundo disminuye,

introduciendo tambin un error de manera grfica la respuesta

dinmica experimental.

Posterior a esto, se traz el lugar geomtrico de las races para

cada k= 0.6 y k= 6.5, por medio del software Matlab con la

herramienta rlocus ( ) se obtuvo el trazo.


4

Grfica 11. Lugar geomtrico de las races de la funcin de transferencia en

lazo abierto.

Analizando el trazo obtenido se observa que la ubicacin del

polo concuerda con el polo hallado tericamente:

() =1.94

1.353 + 1

Polo en = 0.739, la ubicacin del polo en el lugar geomtrico hallado con Matlab es el mismo que el hallado

tericamente.

Se puede observar que al aumentar la ganancia k, el polo se

aleja del eje imaginario, debido a que el valor del polo aumenta

negativamente.

LAZO CERRADO CON DINMICAS AGREGADAS.

Para este experimento se sigui el mismo procedimiento de lazo

cerrado, se adicion una ganancia en lazo directo, junto con

una accin integral y un polo estable, configurando as un

sistema de tercer orden.

Grfica 12. Bucla inicial para el sistema de lazo cerrado con dinmicas

agregadas.

Se registraron las respuestas temporales ante entradas tipo

escaln para variaciones de ganancia desde 0.0001 hasta 0.002.

Se utilizaron ganancias pequeas debido a que stas ofrecan

una visualizacin apropiada del comportamiento de un sistema

de tercer orden, si ingresbamos ganancias grandes el sistema

se volva inestable y no se poda observar un comportamiento

adecuado.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tiempo (seg)A

mp

litu

d

Grfica 13. . Respuestas temporales en lazo cerrado con dinmicas

agregadas al variar la ganancia.

Debido a problemas en el laboratorio con el programa

LabView, no se encontraron valores de K para la integral y de

K para el sistema de primer orden. La solucin que se

implement fue por medio de prueba y error, encontrar valores

de K para la integral y valores de K para el sistema de primer

orden, los cuales hacan que las respuestas dinmicas simuladas

se comportaran de la misma manera que las respuestas

experimentales.

De esta manera se obtuvo la siguiente bucla para el sistema de

lazo cerrado con dinmicas agregadas:

Grfica 14. Bucla final para el sistema de lazo cerrado con dinmicas

agregadas.

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis


5

Como se puede observar en la bucla, el denominador posee un

gran valor, razn por la cual se utilizaron pequeos valores de

K para obtener las siguientes respuestas dinmicas desde que el

sistema se comporta estable hasta que se desestabiliza.

Las grficas de respuesta temporal de sistema de lazo cerrado

con dinmicas agregadas, se muestran a continuacin:

0 10 20 30 40 50 60 70-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

Grfica 15. Comparacin respuesta lazo cerrado con dinmicas agregadas

para k=0.0001.


para k=0.0003.

0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Amplitu

de


para k=0.0005.


para k=0.0009.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de


para k=0.0015.


para k=0.0020.

0 5 10 15 20 25 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Step Response

Time (sec)

Amplitu

de

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 10 20 30 40 50 60 70-2

-1

0

1

2

3

4

Step Response

Time (sec)

Am

pli

tud

e


6

Las grficas mostradas permiten conocer la manera en que el

sistema responde ante entradas escaln variando la ganancia. A

pequeos valores de K el sistema se comporta como si fuera de

primer orden, para K intermedios el sistema empieza a oscilar

alrededor del valor final hasta estabilizarse, y para valores

grandes de K el sistema se vuelve inestable.

De manera grfica se observ que para K= 0.0020 el sistema

empieza a ser inestable, pero con la ayuda de la herramienta

Matlab hallamos un Kcritico ms aproximado al real el cual es

Kc=0.00189, a partir de este valor el sistema se vuelve

inestable.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 104

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10x 10

26

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Grfica 21. Respuesta en lazo cerrado con dinmicas agregadas ante entrada

escaln para k=0.00189.

En base a las respuestas obtenidas, se traz el lugar geomtrico

de las races del sistema de tercer orden hallado al multiplicar

la funcin de transferencia en lazo abierto por la accin integral

y el polo estable.

Grfica 22. Lugar geomtrico de las races del sistema de tercer orden.

En el cuadro de texto de la grfica 23 del trazo del lugar

geomtrico de las races, se puede observar el Kcritico, en el

texto que dice Gain= 0.00189, corroborando que el K hallado

experimentalmente concuerda con el simulado, con un error

porcentual del 5.5%., esto debido a que el Kcritico hallado

experimentalmente fue de 0.002.

CONCLUSIONES

El trazo del lugar geomtrico de las races es una

herramienta grfica bastante til, ya que permite

conocer el Kcritico y la forma en que se mueven los

polos de lazo cerrado al cambiar la ganancia del

sistema, el cual es nuestro parmetro variable,

determinando as las caractersticas bsicas de la

respuesta transitoria.

Las simulaciones corroboraron que las funciones de

transferencia halladas fueron correctas y modelan de

manera adecuada la respuesta del sistema

La respuesta del sistema de tercer orden en trminos

generales fue muy lenta comparada con la respuesta en

lazo cerrado, debido a que la frecuencia natural del

sistema de tercer orden disminuye al ser afectado por

ganancias tan pequeas y el tiempo de estabilizacin

es inversamente proporcional a la frecuencia natural,

por esta razn el tiempo de estabilizacin aumenta.

La respuesta de lazo cerrado con dinmicas agregadas

presento respuestas sobreamortiguadas para

0

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