Cmo obtener la Ruta Crtica de un Proyecto (Critical Path Method)porGEO Tutorialesel23/08/2013enProyectosEl mtodo de laRuta Crticaconocida tambin porCPMpor sus siglas en ingls (Critical Path Method) es una metodologa de la gestin de proyectos que nos permite entre otros aspectos estimar la duracin de un proyecto. Para este propsito es necesario conocer las actividades que contempla el proyecto, su duracin en una unidad de tiempo y el orden en el cul deben ser realizadas (por ejemplo algunas actividades se pueden desarrollar slo cuando una o varias actividades previas han sido completadas). El ejemplo a continuacin muestra en detalle la aplicacin del mtodo de ruta crtica a un proyecto que consta de 9 actividades cuyos tiempos estimados se encuentran en semanas. Adicionalmente en la columnaPredecesorse establece el orden en el cual se deben realizar las distintas actividades, por ejemplo la actividad G se puede realizar una vez completada la actividad D y F.

En este contexto resulta de utilidad desarrollar un diagrama o representacin grfica del proyecto donde cada nodo representa una actividad y las flechas un camino o ruta.

Se puede observar que las actividades iniciales son A y B y la actividad final es I. Por tanto laduracin del proyectoser aquella ruta o camino ms largo que comenzando en A (o en B) termine en I. Luego, dado el tamao reducido de este ejemplo es posible enumerar todas las posibilidades que satisfacen la condicin anterior: Ruta: A-C-I:5[sem]+4[sem]+2[sem]=11[sem] Ruta: A-D-G-I:5[sem]+3[sem]+14[sem]+2[sem]=24[sem] Ruta: A-E-F-G-I:5[sem]+1[sem]+4[sem]+14[sem]+2[sem]=26[sem] Ruta: B-H-I:6[sem]+12[sem]+2[sem]=20[sem]Laruta crticapor tanto esA-E-F-G-Ilo que determina que la duracin del proyecto es de26[sem]. Adicionalmente podemos estimar cundo es lo ms pronto que se puede comenzar cada actividad (inicio ms cercano o IC color rojo) y cundo es lo ms pronto que se puede terminar una actividad (trmino ms cercano o TC color azul).

En forma complementaria se puede obtener el tiempo ms lejano en el cual se puede terminar una actividad sin atrasar el proyecto (trmino ms lejano o TL naranjo) y cundo es lo ms tarde que se puede comenzar una actividad sin retrasar el proyecto (inicio ms lejano o IL verde). Para obtener dichos tiempos retrocedemos desde la actividad final (I) hacia las actividades iniciales (A y B).

En este contexto se define el trminoHolgura (H) o Slackcomo el tiempo mximo que una actividad se puede retrasar en su inicio sin que esto afecte el tiempo estimado para terminar el proyecto como un todo:Holgura = IL IC = TL TCEl siguiente diagrama muestra la ruta del proyecto con el clculo de las holguras de cada una de las actividades. Se puede apreciar por ejemplo que la actividad B se puede retrasar un mximo de 6[sem] (su holgura) y aun as estar en condiciones de terminar el proyecto en 26[sem]. Adicionalmentelas actividades que pertenecen a la ruta crtica tienen holgura igual a cero, lo que en este ejemplo en particular permite identificar una ruta nica:A-E-F-G-I(notar que en general un proyecto puede tener ms de una ruta o camino crtico).

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Formulacin y Resolucin de un Modelo de Programacin Lineal para reducir la duracin de un Proyecto (Crashing)porGEO Tutorialesel02/01/2014enProgramacin Lineal,ProyectosEn la gestin de proyectos uno de los aspectos claves es determinar los costos asociados a terminar el proyecto en un tiempo determinado. Del mismo modo, resulta de particular inters poder enfrentar de forma eficiente el problema de cmo reducir la duracin del mismo de la forma ms econmica posible, partiendo de la premisa que ciertas actividades eventualmente se podran desarrollar en un tiempo menor al estimado inicialmente luego de asignar una mayor cantidad de recursos. En este contexto el siguiente artculo aborda la problemtica anterior a travs de la formulacin y resolucin computacional de un modelo de optimizacin lineal.Consideremos el siguiente proyecto que consta de 12 tareas estrictamente necesarias, donde la relacin de predecesores, tiempos (en semanas) y costos se resume en la tabla a continuacin:

Por ejemplo la actividad I tiene puede comenzar una vez completadas las actividades F y H y su tiempo estimado es de 1,5 semanas con un costo normal de $75. Sin embargo la actividad I se puede apurar (lo que comnmente se conoce comocrashocrashing) de modo que su duracin pueda ser de 0,5 semanas pero con un costo mayor de $135. En consecuencia la mxima reduccin permisible para dicha tarea es de 1 semana (1,5 0,5 semanas) con un costo adicional de $60. Asumiremos adicionalmente que existe proporcionalidad entre el tiempo de reduccin y el costo adicional, por ejemplo, si quisiramos reducir la actividad I en 0,5 semanas (es decir, pasar de 1,5 a 1,0 semanas) el costo de la actividad sera $105 ($75+0,5*$60) y el costo adicional (sobre el costo normal) es de $30.A continuacin determinamos la duracin del proyecto utilizando elMtodo de Ruta Crtica (CPM), considerando los tiempos normales estimados para cada actividad.

El proyecto tiene una duracin estimada de15,5 semanasy existe una nicaruta crtica:A-B-D-G-H-I-K-L(notar que todas las actividades en esta ruta tienen holgura igual a cero). El costo del proyecto es de$2.620y se obtiene simplemente sumando los costos normales de cada una de las actividades. La notacin que hemos utilizado es:

DondeIC: Inicio ms Cercano;TC: Trmino ms Cercano;IL: Inicio ms Lejano;TL: Trmino ms Lejano; TN: Tiempo Normal,HOLG: Holgura. De esta forma, por ejemplo, la actividad I tiene un tiempo normal de 1,5 semanas y holgura igual a cero, es decir, si se retrasa esta actividad el proyecto tambin se retrasar.En este contexto, el siguiente modelo de Programacin Lineal permite abordar de forma ptima el problema de cmo reducir la duracin del proyecto de la forma ms econmica posible, mediante la reduccin del tiempo de las actividades (en particular de las actividades pertenecientes a la(s) ruta(s) crtica(s)). Cabe destacar que en la actualidad existen softwares que facilita este tipo de procedimientos (Crashing) como por ejemploWINQSB.Variables de Decisin:

Parmetros:

Funcin Objetivo:Se buscar minimizar el costo adicional asociado al proyecto luego de hacer elcrashingnecesario para completar el proyecto en un tiempo determinado. Notar que podramos agregar en la funcin objetivo como constante el costo normal del proyecto ($2.620) en donde en dicho caso la interpretacin del valor ptimo sera el costo total del proyecto que tiene duracin de K semanas.

Restricciones:Cada actividad se puede reducir (de ser posible) dentro del lmite mximo de reduccin permisible:

Relaciones de predecesores entre las actividades y el tiempo de inicio y reduccin:

Por ejemplo en conjunto las inecuaciones(3)y(4)representan que la semana de inicio para la actividad D ser mayor o igual a la semana de trmino (luego de una eventual reduccin) de la que termine ms tarde entre sus actividades predecesoras (B y C). Adicionalmente hemos definido una actividadficticiao de trmino llamadaMla cual tiene como predecesoras a aquellas actividades que terminan una ruta para el proyecto (no necesariamente crtica) y nos permitir estimar la duracin del proyecto.Definicin del tiempo objetivo para el proyecto:

En la resolucin computacional conSolver de Excelse puede simular para distintos valores del parmetro K de modo de ver cmo cambian los resultados. La mnima duracin del proyecto estar dada por el menor valor de K que permite generar una instancia factible para el modelo de optimizacin.No negatividad de las variables de decisin:

Los resultados se muestran en la tabla a continuacin donde la mnima duracin del proyecto corresponde a8,5 semanascon un costo total de$3.295($675 adicional al costo normal del proyecto). En las celdas color amarillo (variables de decisin) se puede apreciar la solucin ptima donde queda explcito cundo comienza la actividad y cunto se reduce respecto a su tiempo normal. Por ejemplo la actividad G comienza al cabo de 2,5 semanas (a contar del inicio del proyecto) y su duracin normal se reduce en 1,5 semanas (es decir pasamos de un tiempo normal de 3 a 1,5 semanas).

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Cmo descargar e instalar OpenSolver en Excel 2010porGEO Tutorialesel05/03/2014enProgramacin LinealOpenSolveres una alternativagratuitaaPremium Solver ProyWhatsBest!que permite resolver modelos de optimizacin haciendo uso de Excel. Este complemento fue desarrollado y actualmente mantenido por Andrew Mason y estudiantes del departamento de ciencias de la ingeniera de la Universidad de Auckland (Nueva Zelanda). En el siguiente artculo mostraremos cmo descargar e instalar OpenSolver en un computador que utilizaWindows 7 Home Premiumcomo sistema operativo yMicrosoft Office Professional Plus 2010.Paso 1:DescargarOpenSolver21(A la fecha de este artculo la versin 2.1 del 6 de Septiembre de 2012 es la ms reciente).Paso 2:Descomprimir el archivo ZIP de preferencia en una carpeta o en un lugar a eleccin.

Paso 3:Abrir el archivoOpenSolver.xlam(es aquel con el icono de Excel y un pequeo cuadrado color rojo en la esquina superior derecha).

Paso 4:Es probable que Excel solicite tu autorizacin para ejecutar el programa. En este caso debes seleccionarHabilitar macros.

Una vez concluidos los pasos anteriores OpenSolver debera estar disponible en la pestaa deDatosen Excel (esquina superior derecha) tal como se muestra a continuacin.

El complemento estar disponible hasta cerrar Excel. Si se desea que OpenSolver este siempre disponible al ejecutar Excel se deben copiar todos los archivos que estn incluidos en el archivo comprimido (ZIP) de la instalacin (aquellos que se pueden observar en la imagen del Paso 3) en el directorio de add-in de Excel. La ruta tpica suele ser:C:/Documents and Settings/user name/Application Data/Microsoft/Addins(se debe tener en cuenta que el acceso puede cambiar dependiendo de la versin de Windows que se este utilizando).Articulos Relacionados: Cmo descargar e instalar la versin de Prueba de Premium Solver en Excel 2010 Como resolver un modelo de Programacin Lineal con OpenSolver Cmo descargar e instalar la versin de Prueba de WhatsBest! 11.1 en Excel 2010 Instalacin del complemento Solver en Excel 2003 7 Recursos Gratui

Ejemplo del Problema del Camino Ms Corto en Programacin EnteraporGEO Tutorialesel05/08/2013enProgramacin EnteraEl problema del camino ms corto (o ruta ms barata) consiste en encontrar una ruta o camino ptimo entre un nodo fuente y un nodo destino, los cuales estn enlazados a travs de una red con arcos que poseen un cierto atributo, el cual puede ser costo, distancia, tiempo, etc. La Programacin Entera permite abordar de forma eficiente este tipo de problemas, en especial cuando la cantidad de nodos y rutas posibles es un nmerosignificativo. Utilizar en estos casos un enfoque intuitivo de resolucin es tedioso y de no ser exhaustivo no garantiza la identificacin de la mejor alternativa o ruta.Consideremos el siguiente diagrama donde los nmeros asignados a cada uno de los arcos representan la distancia en kilmetros de un nodo a otro. Se desea encontrar la ruta con la distancia mnima para ir del nodo 1 al nodo 8.

El tamao reducido de la red anterior permite encontrar el camino ms corto simplemente enumerando las distintas alternativas que comenzando en el nodo 1 permita llegar al nodo 8. De esta forma las rutas posibles son: Ruta 1-2-5-7-8: 4+8+17+9=38[km] Ruta 1-3-4-7-8: 3+12+20+9=44[km] Ruta 1-3-4-6-8: 3+12+2+22=39[km] Ruta 1-3-4-8: 3+12+15=30[km] Ruta 1-3-6-8: 3+4+22=29[km]La ruta o camino ms corto es 1-3-6-8 con una distancia total de 29[km]. A continuacin se formula un modelo de Programacin Entera que permite extender este tipo de resultados a un problema de estas caractersticas:Variables de Decisin:

Funcin Objetivo:Minimizar la distancia total en [km] dada por la siguiente expresin:

Restricciones:

La primera restriccin(1)garantiza que slo un nodo (entre el 2 y el 3) pueda ser el que se visita a continuacin de comenzar en el nodo 1. La restriccin(2)determina que si se visito el nodo 2 despus del nodo 1, entonces necesariamente el nodo 5 ser visitado despus del nodo 2. La restriccin(3)permite verificar que si el nodo 3 fue visitado luego del nodo 1, entonces a continuacin se visita el nodo 4 o el nodo 6 (slo uno de ellos). La restriccin(4)establece que si el nodo 5 fue visitado luego del nodo 2, entonces el nodo 7 debe ser visitado luego del nodo 5. La restriccin(5)garantiza que si el nodo 4 fue visitado luego del nodo 3, entonces a continuacin se visita uno de los siguientes nodo: 7, 8 o 6. La restriccin(6)indica que si el nodo 6 fue visitado inmediatamente luego de estar en el nodo 3 o 4, a continuacin se visita el nodo 8. La restriccin(7)determina que si el nodo 7 fue visitado inmediatamente luego de estar en el nodo 4 o 5, a continuacin se visita el nodo 8. Finalmente la restriccin(8)asegura que ya sea el nodo 7, 4 o 6 sea el ltimo en visitar previo a terminar la ruta en el nodo 8.Al implementar enSolverel problema anterior se alcanzan los siguientes resultados:

Donde se corrobora que la ruta ms corta (solucin ptima) corresponde al camino1-3-6-8con una distancia total de29[km](valor ptimo). El tutorial a continuacin disponible en nuestro canal deYoutubemuestra en detalle la resolucin computacional de este problema:Articulos Relacionados: Solver, Premium Solver Pro y WhatsBest! en la resolucin del Problema de Localizacin y Transporte Problema de la Dieta con variables enteras resuelto con Solver de Excel Problema de Plan de Personal en un Call Center resuelto como un modelo de Programacin Entera Problema de Corte Ensamblado y Produccin de Sillas resuelto con Solver Problema de Asignacin aplicado a un Portal de Anuncios d