1 La Ley de Gravitaci�on Universal

Ya hemos visto en los cap��tulos 1 y 2 que todo cuerpo material es atra��do por la

Tierra. Cerca de la super�cie de la Tierra esta fuerza es vertical, proporcional

a la masa del cuerpo y la constante de proporcionalidad, como hemos visto, se

conoce como aceleraci�on de gravedad y es aproximadamente g � 9; 81 [m/seg2].

En 1666, Isaac Newton se di�o cuenta que esste hecho, conocido desde mucho

tiempo es solo una aproximaci�on de una Ley de Fuerzas mucho mas general, la

que es responsable no solo de que los cuerpos caigan hacia la Tierra, sino que

tambi�en que la Luna orbite alrededor de la Tierra o que la Tierra orbite alrededor

del Sol. La Ley de Fuerzas descubierta por Newton fue publicada en su libro el

Principia (citado en el Cap��tulo 2) en 1687. Se conoce como Ley de Gravitaci�on

Universal. Consideremos dos part��culas puntuales (en el sentido discutido a

principios del cap��tulo 1), de masas m1 y m2 respectivamentes. La ley de

gravitaci�on de Newton dice que estas part��culas solo por tener masa se atraen

mediante una fuerza que es proporcional al producto de las masas e inversamente

al cuadrado de la separaci�on entre ellas. La constante de proporcionalidad e

conoce como Constante de Gravitaci�on Universal, usualmente se denomina por

G, y su valor num�erico determinado experimentalmente, en el Sistema Universal

de Unidades est�a dado por G � 6; 67� 1011 [N{m2/kg2].

Para ser m�as precisos, supongamos que la part��cula 1 est�a ubicada en la

posici�on ~r1 y la part��cula 2 en la posici�on ~r2, como se indica en la �gura. En-

tonces, la fuerza gravitacional que 1 ejerce sobre 2 est�a dada por

~F21 = �Gm1m2

~r2 � ~r1j~r2 � ~r2j3

: (1)

La Ley de Gravitaci�on Universal satisface el Principio de Acci�on y Reacci�on,

pues de (1) se sigue que ~F12 = �~F21. En realidad, satisface el principio de

acci�on y reacci�on en forma fuerte pues la fuerza de interacci�on entre los dos

cuerpos est�a dirigida a lo largo de la l��nea que los une.

Es parte de la Ley de Gravitaci�on Universal que �esta satisface lo que habit-

ualmente se conoce como el Principio de Superposici�on, i.e., si dos cuerpos 1 Y

2 interact�uan con un tercero, la fuerza de atracci�on que ejerce el sistema (1; 2)sobre 3 es la suma vectorial de las fuerzas de atracci�on que ejercen independi-

entemente 1 y 2 sobre 3, i.e.,

~F3; (1; 2) = ~F3;1 + ~F3; 2; (2)

Para hacer contacto con los comentarios que hicimos al empezar esta secci�on

surge un problema no menor. La Ley de Gravitaci�on Universal (1) se aplica

directamente sobre part��culas puntuales (i.e., part��culas cuyas dimensiones son

peque~nas comparadas con las distancias que las separan). As��, no podemos

aplicar directamente la Ley de Gravitaci�on Universal para hacer contacto con

la f�ormula del peso de un cuerpo cerca de la super�cie de la Tierra. Si bien el

cuerpo puede ser puntual la Tierra est�a lejos de serlo. Esta observaci�on retras�o

un tiempo la publicaci�on del Principia, hasta que Newton logr�o demostrar el

siguiente resultado, que es de mucha importancia para nuestra discusi�on:

Si un cuerpo esf�erico, como la Tierra, tiene su masa distribuida con simetr��a

esf�erica, entonces la fuerza que este cuerpo hace sobre un objeto puntual ubicado

1

fuera del primero se puede calcular como si el primer cuerpo fuese puntual y toda

su masa estuviese ubicada en su centro

Comentario: Que el cuerpo en cuesti�on tenga simetr��a esf�erica signi�ca que su

densidad de masa solo depende de la distancia a su centro.

Una vez que contamos con este poderoso resultado de Newton podemos hacer

contacto con la vieja formula del peso. Consideremos un objeto material de masa

m ubicado sobre la super�cie de la Tierra. Entonces, la Ley de Gravitaci�on

Universal, combinada con el poderoso Teorema de Newton, nos dice que la

fuerza con que la Tierra atrae al objeto de masa m est�a dirigida a lo largo de

la vertical (i.e., hacia el Centro de la Tierra) y su magnitud est�a dada por

jF j = GM

R2m; (3)

en que G es la constante de Gravitaci�on Universal,M la Masa de la Tierra, y Rel radio de la Tierra. Pero, por otra parte, esta fuerza debe ser efectivamente el

peso del objeto, es decir debe ser igual a mg, de modo que tenemos la identidad

g =GM

R2: (4)

La ecuaci�on anterior nos sirve para determinar la masa de la Tierra. Ya

conocemos los valores experimentales de g y G en el Sistema Universal de

unidades.Por otra parte, el radio de la tierra est�a dado casi exactamente por

R =40000

2�[km] � 6; 37� 106[m]: (5)

Comentario: De hecho, cuando en 1791, Pierre Simon Laplace y la Comisi�on

Francesa encargada de de�nir el entonces llamado Sistema M�etrico, el metro

fue de�nido de tal manera que la circunferencia de la Tierra es 40000 [km], �.e.,

cada cuadrante (distancia del polo al ecuador es de 10000 [km]), de modo que

es trivial recordar el Radio de la Tierra.

Reemplazando los valores num�ericos de g, G y R en (4), encontramos la

masa de la Tierra,

M � 5; 98� 1024[kg]: (6)

2 Movimiento de una part��cula bajo la acci�on

de una fuerza central

En esta secci�on estudiamos el movimiento de una part��cula (e.g., un sat�elite, un

planeta, un cometa, etc.) bajo la acci�on de la fuerza de gravitaci�on. Empezamos

por discutir en general el movimiento bajo la acci�on de fuerzas centrales.

Consideremos una part��cula de masa m, sometida a una fuerza central, es

decir a una fuerza de la forma

~F = f(j~rj)r̂: (7)

2

Entonces, la ecuaci�on de movimiento de la part��cula sometida a dicha fuerza

ser�a

md

dt~r = f(r)r̂; (8)

en que r = jrj. Por ejemplo, para el caso de una part��cula atra��da gravitacional-

mente por un cuerpo puntual, f(r) = �k=r2 en que k = GM (G es la constante

de gravitaci�on universal y M la masa del centro de fuerzas).

3 Conservaci�on de momentum angular

Una de las propiedades importante del movimiento de una part��cula sometida

a la acci�on de una fuerza central es la conservaci�on del momentum angular de

la part��cula con respecto al centro de fuerzas. La ecuaci�on de movimiento que

gobierna la evoluci�on del momentum angular est�a dada por

d~̀O

dt= ~�

O; (9)

en que ~̀O= ~r � ~p denota el momentum angular de la part��cula con respecto al

punto O (en este caso O es el centro de fuerzas). Aqu�� ~p = m _~r es el momentum

lineal de la part��cula. En (9) �O

= ~r � ~F es el torque ejercido por la fuerza~F sobre la part��cula, con respecto al punto O. Como la fuerza que estamos

considerando es una fuerza central, ~F es paralelo a ~r y por lo tanto ~�O

= 0.

Entonces, de (9) concluimos que

d~̀O

dt= 0; (10)

y por lo tanto el momentum angular de la part��cula, con respecto al punto O,es conservado (i.e., el vector `0 es constante). La conservaci�on del momentum

angular de la part��cula simpli�ca de inmediato el problema. Como en general,

~r � ~̀O= ~r � (~r � ~p) = 0; (11)

y puesto que ahora ~̀O

es un vector constante, la ecuaci�on (11) representa la

ecuaci�on de un plano que pasa por el or��gen (i.e., por el punto O) y cuya normal

es ~̀O. De este modo, el movimiento bajo la acci�on de una fuerza central ocurre

en un plano (el plano perpendicular a ~̀O). Para describir este movimiento

usaremos coordenadas polares (�; �) y utilizaremos como or��gen el centro de

fuerzas. Recordemos que en coordenadas polares

~r = ��̂; (12)

_~r = _��̂+ � _��̂; (13)

y por lo tanto,

~p = m _��̂+m� _��̂: (14)

De (12) y (14) tenemos~̀O� ~r � ~p = m�2 _�k̂; (15)

3

y por la consevaci�on del momentum angular tenemos que

m�2 _� = ~̀0 � k̂ (16)

es una constante de movimiento la cual denotaremos de aqu�� en adelante `. Porotra parte, como la aceleraci�on en polares est�a dada por

�~r = (��� � _�2)�̂+ (2 _� _� + ���)�̂; (17)

y r̂ = �̂ y r = �̂, de (8) tenemos que las ecuaciones de movimiento de la part��cula

est�an dadas por

m(��� � _�2) = f(�) (18)

y

m(2 _� _� + ���): (19)

Esta �ultima ecuaci�on es simplemente la conservaci�on de momentum angular

(i.e., m�2 _� = `). De la conservaci�on de momentum angular podemos despejar_� en t�erminos de �, i.e.,

_� =`

m�2; (20)

y reemplazarlo en (18), para as�� obtener una ecuaci�on que s�olo involucra a la

variable �,

m��� `2

m�3= f(�): (21)

B�asicamente, y debido a la conservaci�on del momentum angular, hemos reducido

el problema original a un problema \unidimensional.

Otra propiedad importante de las fuerzas centrales es que son conservativas.

De hecho, si llamamos V (�) a la primitiva de �f(�) (i.e., f(�) = �dV=d�),vemos que al multiplicar (21) por _�, esta ecuaci�on se puede integrar y as�� obten-

emos1

2m _�2 +

`2

2m�2+ V (�) = E; (22)

en que E es la energ��a total de la part��cula.

Comentario: Tambi�en podr��amos haber llegado a (22) procediendo de la manera

general que discutimos en el Cap��tulo 3. Puesto que ~F = f(�)�̂, y d~r = d��̂ +

�d��̂ a lo largo de la trayectoria, ~F �d~r = f(�)d� = �dV (ya que hemos llamado

V a la primitiva de f). Entonces ~F es conservativa y deriva del potencial V (�).

Como ~F es la �unica fuerza que act�ua sobre la part��cula, su energ��a total se

conserva. Su energ��a cin�etica est�a dada por

K =1

2m~v2 =

1

2m�_�2 + � _�2

�; (23)

en coordenadas polares. Sin embargo, por la conservaci�on de momentum angu-

lar, utilizando (20) para reemplazar _� en t�erminos de � en (23), obtenemos

K =1

2m _�2 +

`2

2m�2; (24)

de modo que (22) representa la conservaci�on de energ��a K + V = E.

4

4 La segunda ley de Kepler: Ley de las �areas

La conservaci�on del monentum angular tiene una interpretaci�on geom�etrica muy

simple en t�erminos de la geometr��a de la �orbita de la part��cula.

En 1609, J. Kepler (1571{1630) enunci�o su segunda ley concerniente a la

�orbita de los planetas del modo siguiente:

Segunda Ley de Kepler: El movimiento de un planeta alrededor de su �orbita es

tal que el vector que une el Sol con el planeta barre �areas iguales en tiempos

iguales.

En la �gura hemos dibujado el planeta P en su movimiento alrededor del

sol. Usando coordenadas polares, con el sol en el or��gen, la distancia del sol al

planeta est�a dada por �. En un intervalo de tiempo su�cientemente peque~no dt,el planeta se mueve de modo que su posici�on angular cambia en d�. El �area quebarre el vector que une el sol con el planeta, en el intervalo de tiempo Æt (�areaachurada en la �gura), corresponde aproximadamente al �area del tri�angulo de

altura � � y base � �d�. Es �area de este tri�angulo es precisamente

dA =1

2�2d�: (25)

El �area barrida por unidad de tiempo es,

dA

dt=

1

2�2d�

dt: (26)

Como consecuencia de la conservaci�on del momentum angular (que a su vez es

solo consecuencia del hecho que la fuerza es central), reemplazando (16) en (26)

vemos quedA

dt=

`

2m; (27)

es constante. Que dA=dt es constante es, precisamente, el contenido de la se-

gunda ley de Kepler.

5 Movimientos posibles de una part��cula sometida

al potencial de Kepler

A partir de las leyes de conservaci�on de energ��a y de momentum angular de

una part��cula sometida a la acci�on de una fuerza central, resumidas en la

ecuaci�on (22), es posible discutir cualitativemente los movimientos posibles de

una part��cula sometida al potencial de Kepler. Despu�es de todo, hemos \re-

ducido" el problema a un problema unidimensional, y en el cap��tulo 3 vimos

como discutir cualitativemente los movimientos de una part��cula cuya energ��a

E = K + V es conservada. La ecuaci�on (22) es precisamente de la forma

K + V = E siempre que interpretemos adecuadamente el potencial V .Como vimos en la introducci�on a este cap��tulo, un cuerpo que se mueve

alrededor del sol (o alrededor de un planeta) est�a sometido a la acci�on de un

potencial de la forma

V (�) = �GM m

�; (28)

5

en que M es la masa del Sol (o del planeta) en torno al cual se mueve el cuerpo

bajo consideraci�on y G es la constante de Gravitaci�on Universal. Al potencial

dado por (28) lo llamaremos potencial de Kepler. Para simpli�car un poco la

notaci�on llamaremos k = GM y as�� usaremos V = �km=�. Con el objeto de

llevar la ecuaci�on (22) a una ecuaci�on de la forma K + V = E, correspondientea un problema unidimensional (i.e., en que K es de la forma K = m _�2=2,debemos considerar como energ��a potencial no solamente el potencial de Kepler.

Debemos agregarle el t�ermino `2=(2m�2), que obtuvimos al deshacernos de _�usando la conservaci�on del momentum angular. As�� pues, con el objeto de

continuar nuestra discusi�on, es conveniente de�nir

Vef(�) = V (�) +

`2

2m�2= �km

�+

`2

2m�2: (29)

A la funci�on Vef(�) la llamaremos potencial efectivo. En t�erminos del potencial

efectivo, entonces, (22) es de la forma

E = K + Vef

=1

2m _�2 + V

ef(�): (30)

El primer t�ermino a la derecha de (29) es el potencial de Kepler. El segundo

t�ermino se denomina comunmente la barrera centr��fuga. Este nombre se debe

a que es el momentum angular de la part��cula previene que la part��cula en

cuesti�on caiga al sol. Como el momentum angular, ` = m�2 _�, es conservado,si �este no es cero, a medida que la part��cula se acerca al sol debe aumentar su

velocidad angular, para mantener el producto �2 _� constante. Si la velocidad

angular aumenta, aumenta la fuerza centr��fuga que previene que la part��cula

siga cayendo. Por supuesto que si el momentum angular de la part��cula es cero,

�esta caer�a inevitablemente al sol ( o al planeta, i.e., al centro de fuerzas).

En la �gura (??) hemos gra�cado el potencial efectivo como funci�on de �.Cerca de � = 0 el t�ermino que domina es la barrera centr��fuga. Por otra parte,

para valores grandes de � el t�ermino que domina es el potencial de Kepler (que

es negativo).

La funci�on Vef

tiene un solo cero positivo que est�a dado por

�0 =`2

2m2 k: (31)

As�� mismo, la funci�on Vef(�) tiene un s�olo m��nimo el cual ocurre para

�m= 2 �0 =

`2

m2 k: (32)

El valor del potencial en el m��nimo es

Vef(�

m) = �1

2

m3 k2

`2: (33)

En vista de las propiedades del potencial efectivo que acabamos de encontrar,

una part��cula que tiene un momentum angular `, s�olo puede tener valores de

energ��a que van desde

Emin

= Vef(�

m) = �1

2

m3 k2

`2: (34)

6

hadsta +1. Cualitativamente existen cuatro tipos de movimientos posibles de

la part��cula en cuesti�on, dependiendo del rango de energ��a de la misma.

i) E = Emin

: Si el valor de la energ��a de la part��cula es justamente el m��nimo

de Vef, K = m _�2=2 = 0; as��, la part��cula se mueve en una �orbita rho = �

m

constante, lo cual corresponde a una �orbita circular.

Comentario: El radio del c��rculo puede derivarse m�as facilmente recurriendo al

balance: fuerza gravitacional igual a la fuerza centr��fuga en este caso, i.e.,

mv2

�=

km

�2;

y utilizando la conservaci�on del momentum angular

mv� = `:

Resolviendo para � en este par de ecuaciones encontramos de inmediato el valor

del radio de la �orbita circular, � = `2=(m2 k).

ii) Emin

< E < 0: Como K es no negativo, y E = K + Vef, la part��cula s�olo se

puede mover en el rango de valores de � para los cuales se satisface

Vef(�) � E: (35)

Dada la forma del gr�a�co de Vef(�), si E

min< E < 0, de la condici�on (35)

se sigue que existen dos radios, digamos �min

y �max

tales que la part��cula se

mueve een una �orbita que satisface �min

� � � �max

. As�� pues, se trata de

�orbitas acotadas. M�as adelante veremos que en realidad corresponden a �orbitas

el��pticas. Para determinar los valores de �max

y de �min

basta con resolver

Vef(�) = E; (36)

y dada la forma de Vef(�), i.e., la ecuaci�on (29), la ecuaci�on (36) es una ecuaci�on

cuadr�atica en la variable 1=�. Las dos soluciones, ambas positivas, de (36) son

1

�min

=m2 k

`2

1 +

r1 +

2E `2

m3 k2

!; (37)

1

�max

=m2 k

`2

1�

r1 +

2E `2

m3 k2

!; (38)

Estas dos ecuaciones jugar�an un papel importante cuando determinemos la

geometr��a de la �orbita el��ptica en t�erminos de la din�amica de la part��cula, la

cual est�a contenida es sus valores del momentum angular, ` y de su energ��a, E.

iii) E = 0: para este valor de la energ��a, existe una soluci�on de la ecuaci�on

Vef(�) = 0, i.e., �0. Vemos del gr�a�co del potencial efectivo que la part��cula

se puede mover en el rango de valores �0 � � � 1. De este modo, aunque

la part��cula no cae al sol (o a cualquiera sea el centro de fuerzas) s�� se puede

alejar inde�nidamente. La �orbita de la part��cula en cuesti�on es, por tanto, una

�orbita no acotada. Veremos m�as adelante que en realidad corresponde a la

7

ecuaci�on de una par�abola. Como la energ��a total de la part��cula est�a dada por

E = m~v2=2� GMm=� = 0, cuando la part��cula se aleja inde�nidamente (i.e.,

cuando �! +1), su velocidad tiende a cero.

iv) E > 0: para este rango de valores de la energ��a, tambi�en existe una sola

soluci�on positiva de la ecuaci�on Vef(�) = 0, la que est�a dada por

1

�min

=m2 k

`2

1 +

r1 +

2E `2

m3 k2

!: (39)

Vemos del gr�a�co del potencial efectivo que la part��cula se puede mover en el

rango de valores �min

� � � 1. De este modo, aunque la part��cula no cae al sol

(o a cualquiera sea el centro de fuerzas) s�� se puede alejar inde�nidamente, tal

como en el caso anterior. Nuevamente la �orbita de la part��cula en cuesti�on es, por

tanto, una �orbita no acotada. Veremos m�as adelante que en realidad corresponde

a la ecuaci�on de una hip�erbola. Como la energ��a total de la part��cula est�a dada

por E = m~v2=2 � GMm=� > 0, cuando la part��cula se aleja inde�nidamente

(i.e., cuando �! +1), su velocidad tiende a un valor �nito no nulo.

6 La primera Ley de Kepler

La primera ley de Kepler, enunciada en 1609, dice lo siguiente:

Las �orbitas de los planetas ocurren en un plano. El Sol se encuentra en ese

plano. La trayectoria del planeta es una elipse y el Sol se encuentra en uno de

los focos de la elipse

En el Principia, publicado en 1687, Issac Newton deriv�o, a partir de su ley de

Gravitaci�on Universal y de su Mec�anica, las tres leyes de Kepler, lo que ha sido

uno de los grandes hitos en la historia de la f��sica. Ya hemos visto que el hecho

que la fuerza de gravedad sea una fuerza central implica la conservaci�on del

momentum angular del planeta alrededor del sol. A su vez, la conservaci�on del

momentum angular implica que la trayectoria del planeta ocurre en un plano,

y el Sol se encuentra en ese plano. A prop�osito el plano en que se encuentra la

�orbita de la Tierra se conoce como el plano de la ecl��ptica. Nos resta, entonces,

demostrar que las �orbitas son efectivamente elipses. Nuestro punto de partida

ser�a la ecuaci�on de movimiento (21) en que

f(�) = �km�2

; (40)

de acuerdo a la ley de Gravitaci�on Universal. En (40), k = GM , con G la

constante de gravitaci�on universal, M la masa del sol, y m la masa del planeta.

De este modo nos vemos enfrentados a resolver la ecuaci�on diferencial

m��� `2

m�3= �km

�2; (41)

para � como funci�on del tiempo. Esta es una ecuaci�on diferencial ordinaria,

de segundo orden, no lineal. Una vez conocida la soluci�on rho(t) usamos la

ecuaci�on (20) para encontrar �(t). La �orbita del planeta queda dada �nalmente

8

en forma param�etrica por el par de funciones (�(t); �(t). Aqu�� procederemos en

forma un tanto diferente. En lugar de encontrar la ecuaci�on param�etrica de la

trayectoria del planeta, lo que haremos es encontrar directamente la ecuaci�on

de la �orbita, i.e., � como funci�on de �, i.e., �(�), lo que es m�as simple de hacer.

Para motivar un poco los cambios de variables que haremos a continuaci�on,

conviene recordar la ecuaci�on de una elipse en coordenadas polares. Las propiedades

mas relevantes, desde el punto de vista de este cap��tulo, est�an desarrolladas en

el ap�endice. En particular, ah�� encontramos la ecuaci�on de una elipse en polares

(ver la ecuaci�on eq:ap4), que est�a dada por �(�) = p=(1+e cos �). Es evidente deesta ecuaci�on que la dependencia del rec��proco de � (i.e., de 1=�) en la variable

� es mucho m�as simple que la dependencia del mismo �. Esto tambi�en se re eja

en la soluci�on de la ecuaci�on Vef

= E que hicimos m�as arriba, la cual era una

cuadr�atica para 1=�. Basados en ambos hechos es que vamos a introducir la

nueva variable u = 1=rho como nuestra nueva variable dependiente. A contin-

uaci�on buscaremos una ecuaci�on diferencial para u como funci�on de �. N�otese

de la ecuaci�on (20) que _� tiene siempre el mismo signo. En particular, si ` espositivo, _� > 0 y � aumenta en forma monot�onica en el tiempo. As�� pues es per-

fectamente leg��timo utilizar a la variable �, en lugar del tiempo, como variable

dependiente.

Usando la regla de la cadena tenemos

d�

dt=

d�

d�

d�

dt= � 1

u2du

d�_�; (42)

pues � = 1=u. Usando (20) para reemplazar _� en (42) en t�erminos de � obten-

emosd�

dt= � `

m

du

d�: (43)

Iterando una vez m�as, calculamos a partir de la ecuaci�on anterior,

d2�

dt2= � `

m

d2u

d�2_� = � `2

m2

1

�2d2u

d�2: (44)

Reemplazando d2�=dt2 en (41), multiplicando por �2m=`2 �nalmente obtenemos

la siguiente ecuaci�on para u como funci�on de �:

d2u

d�2+ u = k

m2

`2: (45)

Esta es una ecuaci�on muy simple para u como funci�on de �. Corresponde a la

ecuaci�on de movimiento arm�onico simple que hemos encontrado en repetidas

oportunidades anteriormente en este libro. La soluci�on general de (45) se puede

escribir de la forma

u(�) = km2

`2+A cos(� � �0); (46)

en que A y �0 son constantes de integraci�on que dependen del estado inicial del

sistema. Siempre podemos elegir el eje polar de tal modo que �0 sea cero (esto

equivale a elegir la orientaci�on general de la �orbita en el plano de la ecl��ptica).

A partir de (46) podemos volver a nuestra variable � y escribir la ecuaci�on de

la �orbita como

�(�) =p

1 + e cos �(47)

9

en que

p =`2

km2; (48)

y

e =A`2

km2: (49)

La ecuaci�on (47) es la ecuaci�on general de una c�onica en coordenadas polares.

Los par�ametros p y e que de�nen a la c�onica se comocen como el latus rectum y

la excentricidad de la c�onica respectivamente (ver el Ap�endice a este cap��tulo).

La din�amica de la �orbita del planeta depende exclusivamente de su energ��aEy de su momentum angular `, los que a su vez est�an determinados por las condi-

ciones iniciales. Vemos de (48) que el par�ametro p s�olo depende del momentum

angular `. Por otra parte, en la expresi�on para la excentricidad, (49) aparece la

constante de integraci�on A que no conocemos. Lo que haremos a continuaci�on

ser�a encontrar una expresi�on para la excentricidad en t�erminos de E y `. Paratal efecto, compararemos las expresiones \din�amicas" para los puntos de retorno

que encontramos al resolver (36), i.e., las expresiones (37) y (38) para �min

y

�max

, con las condiciones \geom�etricas" (96) y (97) derivadas a partir de (47).

En realidad basta comparar (96) con (36), recordando la expresi�on para p, (48).Obtenemos de inmediato que

e =

r1 +

2E`2

m3k2=

r1� E

Emin

; (50)

como expresi�on para la excentricidad en t�erminos de E y `.De (50) vemos que si la energ��a es E

min, la excentricidad es nula y la �orbira

es un c��rculo, con radio � = p. Si la energ��a es negativa, de modo que Emin

<E < 0, entonces 0 < e < 1, y la �orbita es una elipse. Por otra parte, si la energ��a

es nula, e = 1 y la �orbita es una par�abola. Finalmente, si E > 0, e > 1 y la

�orbita es una hip�erbola.

Con esto concluimos la deducci�on de la primera ley de Kepler.

As�� como hemos visto que el latus rectum, p, de la elipse depende solamente

del momentum angular, veremos a continuaci�on que el semieje mayor de la

elipse, a, solamente depende de la energ��a del planeta. Tomando el cuadrado de

la ecuaci�on (50) para la excentricidad, obtenemos

1� e2 = �2E; `2

m3 k2= �2E p

k; (51)

en que hemos usado (48) para obtener la �ultima igualdad. Finalmente recor-

dando que para una elipse, el semieje mayor puede ser expresado como a =

p=(1� e2) (ver ecuaci�on (90) en el Ap�endice), obtenemos

a = �km2E

; (52)

que expresa el semieje mayor de la elipse solamente en t�erminos de la energ��a.

Esta �ultima ecuaci�on se puede escribir alternativamente como

E = �km2 a

= �GM m

2 a(53)

que expresa la energ��a del planeta en t�erminos de la geometr��a de la �orbita.

10

7 La tercera Ley de Kepler

Luego de publicar en 1609 sus dos primeras leyes sobre el movimiento planetario,

tard�o diez a~nos en publicar su tercera ley. En 1619, en su libro Harmonice Mundi

enunci�o la tercera ley del modo siguiente:

Los cuadrados de los per��odos de revoluci�on en torno al sol son proporcionales

a los cubos de los semiejes mayores de las �orbitas

Los principales elementos en la derivaci�on de la tercera ley son la ley de las

�areas y la conexi�on entre la geometr��a de la elipse y la din�amica del movimiento

de los planetas.

Como hemos visto en la derivaci�on de la primera ley, los planetas desciben

elipses, que son curvas cerradas en el plano. As�� pues el movimiento de los plan-

etas es peri�odico. Llamemos T al per��odo de revoluci�on del planeta alrededor del

sol. Si integramos la ley de las �areas (27) en el tiempo, en un per��odo completo

(i.e., entre 0 y T ) obtenemos

A =`

2mT; (54)

en que A es el �area total de la elipse. Pero el �area de la elipse est�a dada en

t�erminos de los semiejes por

A = � a b: (55)

(Ver derivaci�on en el ap�endice, en particular la ecuaci�on (105). En t�erminos

de los par�ametros p y e de la elipse los semiejes est�an dados por (ver ap�endice,

ecuaciones (90) y (92)),

a =p

1� e2y b =

pp1� e2

; (56)

respectivamente. A partir de (56), podemos reagrupar convenientemente los

t�erminos de modo que el producto a b = p1=2a3=2, y luego reemplazar en (55)

para obtener

A = �p1=2a3=2: (57)

Igualando las dos expresiones para el �area de la elipse, (54) y (57) que hemos

encontrado, obtenemos la relaci�on,

`

2mT = �p1=2a3=2: (58)

Finalmente nuestra tarea se completa usando (48), que relaciona la din�amica

del movimiento del planeta con la geometr��a de la elipse. Tomando el cuadrado

de (58) y luego reemplazando la expresi�on para p contenida en (48) encontramos

�nalmenteT 2

a3=

4�2

k=

4�2

GM; (59)

en que M es la masa del sol. Esta es precisamente la tercera ley de Kepler. No

s�olo se aplica al movimiento de los planetas alrededor del sol. Por supuesto que

tambi�en es v�alida para el movimiento de sat�elites alrededor de planetas. En

esdte �ultimo caso, basta cambiar la masaM del sol por la masa del planeta que

hace las veces de centro de fuerzas.

Comentarios:

11

i) Como en los problemas gravitacionales, la masa inercial del palneta se cancela

con la masa gravitacional del mismo, en realidad el �unico par�ametro que aparece

en las ecuaciones de movimiento de los planetas es k = GM . Esta combinaci�on

tiene precisamente las dimensiones de longitud al cubo dividido por tiempo al

cuadrado. Es por tal motivo que la �unica combinaci�on entre T y a que uno

puede esperar que sea invariante es, precisamente el cuociente T 2=a3.

ii) Las unidades de longitud y tiempo que hemos utilizado hasta ahora en este

libro (i.e., el metro y el segundo) no son las mas convenientes para calcular

movimientos de planetas y sat�elites. La unidad de tiempo m�as natural para

describir el movimiento planetario es el a~no terrestre, que es el tiempo que tarda

la Tierra en completar una revoluci�on alrededor del sol. Aproximadamente, 1

[a~no] � 3; 16� 107 [seg]. En cuanto a la unidad de longitud m�as conveniente,

esta es la Unidad Astron�omica [UA] que es la distancia promedio de la Tierra

al Sol. Aproximadamente, 1 [U.A.] � 1; 496� 1011 [m].

8 La Masa del Sol

La tercera Ley de Kepler nos permite calcular la masa del Sol, conociendo la

informaci�on de la orbita de la Tierra. O, para tal efecto la masa de un planeta

conociendo los datos de las �orbitas de sat�elies alrededor del planeta. El semieje

mayor de la �orbita de la Tierra es

a � 1; 496� 1011[m]; (60)

y el per��odo de su �orbita

T � 3; 156� 107[seg]: (61)

Por otra parte la Constante de Gravitaci�on Universal es

G � 6; 673� 10�11 [N{m2= kg2: (62)

Reemplazando los valores de a, T y G en la terecera Ley de Kepler (59), encon-

tramos

Msol

=4�2a3

GT 2� 1; 989� 1030[kg]: (63)

9 Viaje a J�upiter

A partir del 4 de Octubre de 1957 (fecha del lanzamiento del Sputnik), el hom-

bre se ha aventurado poco a poco fuera de la Tierra. Los primeros sat�elites

arti�ciales solamente efectuaron �orbitas en torno a la Tierra. En la decada del

los sesenta se hicieron los primeros viajes a la Luna, que culminaron con el viaje

de tres astronautas que alunizaron el 20 de julio de 1969. Desde �nes de los

sesenta se enviaron satelites a distintos planetas del sistema solar. La �unica

manera factible para que un sat�elite pueda \viajar" por el sistema solar es que

se deje llevar por la in uencia del sol. Cualquier otra manera es impracticable

desde el punto de vista energ�etico.

En esta secci�on haremos un viaje hipot�etico a J�upiter. Calcularemos cuando

es el tiempo necesario para ir desde la Tierra a J�upiter dej�andose llevar por la

12

fuerza del sol. Tambi�en calcularemos cual es la velocidad que debe tener un

sat�elite, relativa a la Tierra, para poder realizar este viaje.

Tanto la Tierra como J�upiter describen �orbitas aproximadamente circulares.

El radio de la �orbita de la Tierra es 1 [U.A], en tanto que el radio de la�orbita de

J�upiter es � 5; 2 [U.A.]. Como dijimos m�as arriba la �unica manera de ir de un

planeta a otro es dejarse llevar por la gravedad del Sol. Entonces el sat�elite que

deseamos enviar a J�upiter debe describir una �orbita el��ptica con el sol en uno de

us focos. Como la energ��a del sat�elite es inversamente proporcional al semieje

de la elipse (ver ecuaci�on (53), la trayectoria de menor energ��a es la elipse de

menor semieje mayor tal que alcanza a tocar (i.e., es tangente) a las �orbitas

de la Tierra y de J�upiter. En la �gura (??) hemos dibujado las �orbitas de la

Tierra, de J�upiter y de la nave que estamos enviando. De nuestra discusi�on

se desprende que el radio m��nimo de la �orbita de la nave debe coincidir con el

radio de la �orbita de la Tierra, en tanto que el radio m�aximo debe coincidir con

el radio de la �orbita de J�upiter. As��, �min

= 1 y �max

= 5; 2 (ambos valores

expresados en Unidades Astron�omicas). De (98) tenemos entonces

a =1

2(1 + 5; 2) � 3; 1[U.A.] (64)

Una vez obtenido el semieje de la �orbita de nuestra nave, podemos aplicar

la tercera Ley de Kepler para calcular el tiempo que tarda en recorrer la elipse

en cuesti�on. Por la Tercera Ley de Kepler

T 2nave

a3nave

=T 2tierra

a3tierra

= 1; (65)

si expresamos los per��odos en a~nos y las distancias en [U.A.]. Como en este

caso, a � 3; 1 [U.A.], de (65) obtenemos

T � 5; 5a~nos: (66)

Como la elipse es una curva sim�etrica en torno al eje que une los focos, el tiempo

de ida desde la Tierra a J�upiter es realmente T=2, i.e., aproximadamente 2; 7a~nos.

10 Velocidad de Escape

> Cu�al debe ser la velocidad que hay que dar a un cohete, puesto sobre la

super�cie de la Tierra, para que escape de su in uencia gravitacional? A esta

velocidad, que vamos a determinar a continuaci�on se la conoce como velocidad

de escape.

Si llamamos vea la velocidad del cohete, y �este se encuentra sobre la super-

�cie de la Tierra, su energ��a cin�etica es K = mv2e=2, y su energ��a potencial es

V = �GMm=R. Aqu��, m es la masa del cohete, M la masa de la Tierra y Rel radio de la Tierra. Entonces, la energ��a total del cohete en el momento de

lanzamiento es

E = K + V =1

2mv2

e� GMm

R: (67)

Ya hemos visto con anterioridad que la energ��a del cohete debe ser mayor o igual

a cero para que �este pueda escapar. Imponiendo E = 0, en (67) vemos que la

13

velocidad m��nima para que el cohete pueda escapar es

ve=

r2GM

R=p2 g R � 11; 2[km/seg]: (68)

Para obtener la segunda igualdad en la ecuaci�on anterior, usamos la relaci�on (4)

entre G y g.

11 El Problema de los Dos Cuerpos en Grav-

itaci�on y su Reducci�on al Problema de un

Cuerpo

A lo largo de este cap��tulo siempre hemos supuesto que un planeta, o un sat�elite

se mueve en torno a un centro de fuerzas, e.g., el Sol, o la Tierra, que se encuentra

�jo. Esta suposici�on es muy buena si un peque~no sat�elite se mueve alrededor de

un cuerpo de mucho mayor masa (e.g., cuando un sat�elite se mueve alrededor

de la Tierra). Pero, > qu�e sucede si dos cuerpos se mueven por su mutua

interacci�on gravitacional y tienen masa comparable? Esto es lo que se conoce

como el Problema de los dos cuerpos, el cual afortunadamente tiene una soluci�on

simple. Lo que haremos a continuaci�on es reducir el problema de los dos cuerpos

al problema de un cuerpo que se mueve en torno a un centro de fuerzas �jo.

Consideremos entonces dos cuerpos de masa m1 y m2 respectivamente, que

interact�uan a trav�es de su mutua atracci�on gravitacional. Si llamamos ~r1 y ~r2respectivamente a las posiciones de cada uno de los cuerpos, y utilizamos la Ley

de Gravitaci�on universal (1), sus respectivas ecuaciones de movimiento est�an

dadas por

m2

d2~r2dt2

= � Gm1m2

j~r2 � ~r1j3(~r2 � ~r1); (69)

y

m1

d2~r1

dt2= +

Gm1m2

j~r2 � ~r1j3(~r2 � ~r1); (70)

respectivamente. Si sumamos las dos ecuaciones anteriores, debido al principio

de acci�on y reacci�on tendremos

d2

dt2(m1~r1 +m2~r2) = 0; (71)

que representa la conservaci�on de la velocidad del centro de masa del sistema.

En efecto, si de�nimos como de costumbre la posici�on del centro de masa como

~Rcm

=m1~r1 +m2~r2m1 +m2

; (72)

entonces, (71) se escribe simplemente como

Md2 ~R

cm

dt2= 0; (73)

14

en que M = m1 +m2 es la masa total del sistema. Una vez introducido ~Rcm

conviene introducir tambi�en la posici�on relativa de un cuerpo con respecto al

otro, i.e.,

~r � ~r2 � ~r1: (74)

De (72) y (74) podemos despejar ~r1 y ~r2 en t�erminos de ~Rcm

y ~r, obteniendo

~r1 = ~Rcm� �

m1

~r; (75)

y

~r2 = ~Rcm

+�

m2

~r; (76)

respectivamente, en que

� � m1m2

m1 +m2

; (77)

es la masa reducida del problema. Como�~R

cm= 0, de (76), (69) y (74), �nal-

mente obtenemos la ecuaci�on de movimiento para la coordenada relativa:

��~r = �Gm1m2

j~rj3 ~r: (78)

Esta es una ecuaci�on de movimiento que solo involucra a la coordenada relativa

~r. El t�ermino de fuerza que aparece a la derecha de (78) es central y var��a como

el inverso del cuadrado de la distancia. Entonces, para resolver la ecuaci�on de

movimiento para ~r podemos aplicar todo lo que hemos visto en el resto del

cap��tulo. Solo basta utilizar como expresi�on para k,

k = G(m1 +m2); (79)

y reemplazar m por � en todas las ecuaciones pertinentes.

12 Ap�endice: Geometr��a de una elipse

La elipse es el lugar geom�etrico de todos los puntos en el plano tales que la

suma de su distancia a dos puntos �jos es constante. A los puntos �jos a

los que se hace menci�on en esta de�nici�on se les conoce como los focos de la

elipse. Basados en esta de�nici�on es f�acil obtener la ecuaci�on de la elipse en

coordenadas polares. Supongamos los dos puntos �jos (focos) A y B de la

�gura, se parados por una distancia c. Sea P un punto gen�erico de la elipse.

Usaremos B como or��gen de las coordenadas polares y la recta que pasa por los

focos como eje polar. Llamaremos tambi�en d a la suma de las distancias de Pa A y B respectivamente, i.e.,

d = jAP j+ jBP j: (80)

N�otese que por la desigualdad triangular, aplicada al tri�angulo ABP,

c

d� 1: (81)

Llamemos (�; �) a las coordenadas polares de P . En t�erminos de estas coor-

denadas es simple escribir jAP j y jBP j. En efecto,

jAP j = �; (82)

15

y, usando el Teorema de los cosenos, aplicado al tri�angulo ABP,

jBP j =p�2 + c2 + 2 d� cos �: (83)

Reemplazando estas dos expresiones en la de�nici�on de la elipse (80), obtenemos

�� d =p�2 + c2 + 2 d� cos �: (84)

Tomando el cuadrado de la ecuaci�on anterior y simpli�cando, obtenemos �nal-

mente la ecuaci�on de la elipse en polares,

� =p

1 + e cos �; (85)

en que

p � d2 � c2

2 d(86)

y

e � c

d: (87)

N�otese que de la desigualdad tri�angular (81), 0 � e � 1.

La elipse queda completamente determinada por las dos longitudes originales

c y d. Adem�as, como se desprende de (85) tambi�en queda totalmente determi-

nada por los nuevos par�ametros p y e reci�en introducidos. De hecho podemos

pasar del par de par�ametros (a; b) al nuevo par (p; e) facilmente por medio de

(86) y (87). N�otese que en t�erminos de p y e, c y d quedan determinados por

c =2 p e

1� e2; (88)

y

d =2 p

1� e2: (89)

El par�ametro p tiene unidades de longitud, y se conoce como latus rectum

(�o lado recto), y corresponde a la distancia BQ de la �gura.

El par�ametro e, como cuociente de dos distancias, es adimensional. Ya

hemos visto que su valor var��a entre 0 y 1. A este par�ametro se le conoce como

la excentricidad de la elipse. Si e = 0, entonces c = 0, i.e., los dos focos coinciden

y la elipse se convierte en un c��rculo. e mide que tan diferente de un c��rculo es

la elipse. Veremos poco m�as adelante algunas expresiones para la excentricidad

que dejan mas claro su signi�cado.

Obviamente la elipse es sim�etrica (bajo re ecci�on) con respecto a la recta

que pasa por los dos focos A y B. Tambi�en es sim�etrica (bajo re ecci�on) con

respecto a la simetral que divide al segmento AB. Llamemos O al punto medio

del segmento AB (ver �gura). A la distancia OR de la �gura se la llama semieje

mayor y la denotaremos por a. Por otra parte a la distancia OS de la �gura

se la llama semieje menor y se denota por b. Como R es un punto de la

elipse, jARj+ jBRj = d, pero jARj = jAOj + jORj = (c=2) + a. Analogamente

jBRj = a� (c=2), de modo que d = 2a. Combinando esta �ultima expresi�on con

(89) obtenemos de inmediato

a =p

1� e2: (90)

16

Por otra parte S es tambi�en un punto de la elipse. Como S se encuentra sobre

la simetral del segmento AB, jASj = jBSj = d=2. Por el Teorema de Pit�agoras

(aplicado al tri�angulo rect�angulo OBS) tenemos

b2 +� c2

�2= jBSj2 =

�d

2

�2

: (91)

Reemplazando en (91) las expresiones para c y d dadas por (88) y (89) respec-

tivamente, obtenemos �nalmente

b =pp

1� e2: (92)

Hemos visto hasta ahora que la elipse queda dada un��vocamente por el par

de par�ametros (c; d), �o tambi�en por el par de par�ametros (p; e). Ahora vemos

que la elipse tambi�en queda totalmente determinada por los dos semiejes. De

hecho, a partir de (91) y (92), obtenemos facilmente

p =b

ab; (93)

y

e =

s1� b

a

2

: (94)

La posici�on de los focos sobre la recta que usamos como eje polar se puede

determinar en t�erminos de a y e. Como d = 2a y e = c=d (ver (87)), c = 2 a e,de modo que la posici�on del foco B est�a determinada por

OB =c

2= a e: (95)

Para concluir con la geometr��a de la elipse conviene introducir dos nuevas

longitudes: �min

y �max

, i.e., la m��nima distancia de (un punto de) la elipse al

foco B y la m�axima distancia de (un punto de) la elipse a dicho foco. De (84)

vemos que �min

ocurre para � = 0 (es decir ocurre para el punto R de la �gura)

y vale

�min

=p

1 + e; (96)

en tanto que �max

ocurre para � = �, corresponde al punto R0 de la �gura, y

est�a dado por

�max

=p

1� e: (97)

Es obvio de la geometr��a de la elipse que el semieje mayor, a es el promedio de

estas dos distancias, i.e.,

a =1

2(�

min+ �

max): (98)

Reemplazando (96) y (97) en (98) reobtenemos la expresi�on (90) para el semieje

mayor.

Finalmente dividiendo (97) por (96) encontramos

e =�max

� �min

�max

+ �min

: (99)

17

Para el c��rculo �max

= �min

= 0 de modo que e = 0 como ya sab��amos. Tambi�en

en t�erminos de �max

y �min

,

2

p=

1

�max

+1

�min

: (100)

Para concluir con este ap�endice necesitamos calcular el �area encerrada por

una elipse. Como se ha visto a trav�es del cap��tulo, el �area de la elipse juega un

rol importante en la derivaci�on de la tercera Ley de Kepler.

El c�alculo del �area de la elipse es m�as simple si uno expresa la ecuaci�on de

la elipse en coordenadas cartesianas. En cartesianas, la ecuaci�on de la elipse de

semiejes mayor a y menor b respectivamente est�a dada por

x

a

2

+y

b

2

= 1: (101)

La ecuaci�on (101) es invariante bajo re ecciones con respecto al eje x y al eje

y. Si despejamos y como funci�on de x en (101), obtenemos

y(x) = �br1� x

a

2

: (102)

Los dos signos que aparecen en la ecuaci�on anterior, son una manifestaci�on de

la simetr��a de re exi�on de la ecuaci�on de la elipse con respecto al eje x. Debidoa esta simetr��a, el �area de la elipse se puede calcular simplemente como

A = 2

Za

�a

b

r1� x

a

2

dx: (103)

Efectuando el cambio de variables x = a sen� en la integral en (103), obtenemos

A = 2 a b

Z +�=2

��=2

cos2 � d�: (104)

Finalmente, usando cos2 � = (1 + cos(2�))=2, obtenemos

A = � a b: (105)

Comentario: El c�alculo del �area de una elipse es id�entico al c�alculo del �area

de un c��rculo, pues la elipse es una deformaci�on a�n del c��rculo y el �area es un

invariante a�n. Sin embargo, el c�alculo del per��metro de la elipse es mucho m�as

complicado porque el per��metro no es un invariante a�n.

13 PROBLEMAS

Problema 68:

Callisto es uno de los satelites de J�upiter descubiertos por Galileo Galilei en

1610. Su �orbita alrededor de J�upiter es pr�acticamente circular (e = 0; 01). El

18

radio de la �orbita de Callisto es de 1; 88� 106 [Km] y su per��odo es de 16; 69d��as.

a) > Cu�al es la Masa de J�upiter?,

b) El radio de la �orbita de Io (otro de los sat�elites descubiertos por Galileo) es

de 4; 22� 105 Km. > Cu�al es el per��odo de su �orbita?

Sol.: MJ= 1; 89� 1027 [kg]; Io= 1; 77 d��as.

Problema 69:

Los sat�elites de comunicaciones se encuentran en �orbitas ecuatoriales circulares

sincr�onicas con el movimiento de rotaci�on de la Tierra (�orbitas geoestacionarias).

> Cu�al es el radio de estas �orbitas, medido desde el centro de la Tierra?

Sol.: 42222 [Km].

Problema 70:

El 1 de Mayo de 1996 el cometa Hyakutake hizo su m�aximo acercamiento al Sol.

La excentricidad de la �orbita del cometa Hyakutake es 0; 999696 y su distancia

m��nima al Sol (perihelio) fu�e 0; 230 UA. A partir de �esta informaci�on encuentre:

a) El \latus rectum" de su �orbita,

b) El largo de los semiejes mayor y menor,

c) La distancia m�axima del cometa al Sol (afelio),

d) El per��odo de su �orbita (en a~nos),

e) la velocidad del cometa en su paso por el perihelio.

La mayor parte de los cometas que nos visitan peri�odicamente proviene de una

region del Sistema Solar que se denomina Nube de Oort y que se encuentra a

distancia del �orden de 30:000 UA. Determine si el Cometa Hyakutake provena

de la nube de Oort. (Los datos de la �orbita de Hyakutake fueron obtenidos de

la p�agina Web: http://www.bdl.fr/s2p/hyakut/hyakut1.html)

Nota: 1 UA = 1; 56� 1011 m (semieje mayor de la �orbita de la Tierra)

Problema 71:

El cometa Halley es uno de los cometas mas conocidos. Su �ultimo acercamiento

al Sol se produjo en 1986. (Edmond Halley fue un astr�onomo ingl�es que vivi�o

entre 1656 y 1742. En 1705, Halley se di�o cuenta que el cometa que �el observ�o

en 1682 era el mismo que hab��a sido observado en 1456, 1531, y 1607. Entonces

predijo que el cometa retornar��a cada 76 a~nos. Aunque Halley muri�o en 1742,

el cometa reapareci�o 16 a~nos m�as tarde como Halley lo hab��a predicho, y hoy

lleva su nombre). El semieje mayor de la �orbita del Halley es de 36; 18 UA y su

excentricidad es 0:97. A partir de estos datos determine el perihelio, el afelio,

la velocidad del cometa en su perihelio y calcule el valor preciso de su per��odo

(ver http://www.nasa.gov).

Problema 72:

En clases hemos visto que las �orbitas de los cuerpos que se mueven alrededor

del Sol son c�onicas (i.e., c��rculos, elipses, par�abolas o hip�erbolas). Demuestre

que en cualquiera de los casos anteriores, el vector velocidad describe un c��rculo.

Encuentre la posici�on del centro del c��rculo y su radio en t�erminos del momentum

angular L, del par�ametro p, de la masa m del cuerpo y de la excentricidad ede la �orbita. (Este resultado fue encontrado por Hamilton en 1846. La curva

descrita por el vector velocidad se conoce como Od�ografo).

19

Sol.: Ver p�ag. 114., R. Benguria y M. C. Depassier, \Problemas resueltos de

mec�anica cl�asica, Ediciones UC, Santiago de Chile, 1996.

Problema 73:

Una part��cula de masa m se mueve sobre un cono invertido, de �angulo de aber-

tura � cuyo eje de simetr��a es vertical. Suponga que la part��cula est�a inicial-

mente a una altura h (medida a partir del v�ertice del cono) y que se le da una

velocidad horizontal v0 tangente a la super�cie del cono. Calcule las alturas

m�aximas y m��nimas que alcanza la part��cula en su movimiento sobre el cono.

Indicacin: utilice el mismo tipo de tcnicas que en el tratamiento del movimiento

de una partcula bajo la accin del potencial de Kepler (ver, e.g., Prob. 17, p�ag.

86, R. Benguria y M. C. Depassier, op. cit.).

Problema 74:

La excentricidad del cometa Hale-Bopp (cuyo acercamientom�aximo al Sol ocurri�o

en Marzo de 1997) es 0; 9951172 y su m�aximo acercamiento al Sol (rmin) fu�e

0; 9141405 UA. A partir de esta informaci�on determine:

a) los semiejes a y b de su �orbita,

b) el \latus-rectum", p,c) la m�axima distancia al Sol en su �orbita, rmax,

d) su velocidad en el perihelio,

e) el per��odo de su �orbita.

(ver http://cfa-www.harvard.edu/cfa/ps/Ephemerides/Comets/1995O1.html)

Problema 75:

Calcule el perodo de la rbita de un satlite que se mueve justo sobre la super�cie

de la Tierra (ignore efectos de roce con el aire). Repita el c�alculo para el caso

de J�upiter y la Luna.

Sol.: 84; 4 min, 173 min, 110 min.

Problema 76:

La m��nima distancia que se acerca cierto cometa al Sol es la mitad del radio de

la �orrbita de la Tierra (supuesta circular), siendo su velocidad en ese punto el

doble que la velocidad orbital de la Tierra. Usando las leyes de conservaci�on,

encuentre: a) velocidad del cometa cuando cruza la �orbita de la Tierra, b) �angulo

al cual el cometa cruza la �orbita de la Tierra, c) la excentricidad de la �orbita,

d) el tipo de �orbita.

Sol.: a) 42; 1 km/s, b) 45, c) e = 1, d) parab�olica.

Problema 77:

Demuestre que el cometa del problema 76 cruza la �orbita de la Tierra en puntos

opuestos de un di�ametro de la misma. (Indicaci�on: use la Ley de �areas de Kepler

con la ecuaci�on de la �orbita en coordenadas cartesianas).

Problema 78:

Se lanza una sonda espacial desde la Tierra a J�upiter, la cual sigue una �orbita

el��ptica que justo toca las �orbitas de ambos planetas, es decir su menor y mayor

distancia al Sol son RT

(radio de la �orbita terrestre) y RJ(radio de �orbita

joviana) respectivamente. a) Encuentre la velocidad de la sonda relativa a la

Tierra justo en el instante de lanzamiento y la relativa a J�upiter justo cuando se

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encuentra cerca de �este, despreciando en ambos casos la atraccin gravitacional

del planeta respectivo; b) > en qu�e punto de su �orbita, relativo a la Tierra, debe

encontrase J�upiter en el instante de lanzamiento de la sonda?; c) > en qu�e punto

se encuentra la Tierra en el instante que la sonda llega a J�upiter?

Sol.: 8; 8 km/s, b) 5; 7 km/s, c) 97 m�as adelante de la Tierra, d) 83 m�as adelante

de J�upiter.

Problema 79:

Un planeta de masa 2m gira en torno al Sol en una �orbita circular de radio R.Un segundo planeta de masa m movi�endose en la misma �orbita circular, pero en

la direcci�on contraria, colisiona inel�asticamente con el primero (de tal manera

que luego de la colisi�on ambos quedan pegados). a) > Cu�al es el semieje mayor

de la �orbita resultante?; b) > Cu�al es la excentricidad de la �orbita del cuerpo

resultante?

Sol.: a = 9R=17; e = 8=9.

Una buena fuente de informaci�on sobre el Sistema Solar se encuentra en la

p�agina Web:

http://www.seds.org/nineplanets/nineplanets/nineplanets.html

References

[1] Johannes Kepler, Astronomia Nova, 1609.

[2] Johannes Kepler, Harmonice Mundi, 1619.

[3] Jos�e Maza, Astronom��a Contempor�anea, Editorial Universitaria, Santiago

de Chile, 1988.

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