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Centro de Gravedad yCentroide99

Estática


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Objetivos

• Concepto de centro de gravedad, centro de masas ycentroide

• Determinar la localización del centro de gravedad y del

centroide para un sistema de partículas discretas ypara un cuerpo de forma arbitraria

• Teoremas de Pappus y Guldinus

• Mtodo para encontrar la resultante de una carga

distribuida de manera general


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Índice

!" Centro de Gravedad y Centro de Masas par un#istema de Partículas

$" Cuerpos compuestos

%" Teoremas de Pappus y Guldinus&" 'esultantes de cargas distribuidas

(" Presión de un fluido


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9.1 Centro de Gravedad y Centro deMasas para un Sistema de Partícuas

Centro de Gravedad

• )ocaliza el peso resultante de un sistema departículas

• Consideramos un sistema de n partículas fi*o dentrode una región del espacio

• )os pesos de las partículas pueden reempazarse poruna +nica e-uivalente. resultante con un punto de

aplicación G bien definido


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Centro de Gracedad

• Peso resultante / peso total de las n partículas

• #uma de los momentos de los pesos de todas laspartículas respecto a los e*es 0, y, z a0es / momentodel peso resultante respecto a esos e*es

• #uma de momentos respecto al e*e 0,

• #uma de momentos respecto al e*e y,

W R=∑W

̄x W R=̃ x1W 1+̃ x2W 2+. ..+̃ xn W n

̄y W R= ̃ y

1W

1+ ̃ y

2W

2+.. .+ ̃ y n W n


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Centro de Gravedad

• 1un-ue los pesos no producen momento sobre el e*ez, podemos rotar el sistema de coordenadas 234

respecto al e*e x o y . con las partículas fi*as y sumarlos momentos respecto al e*e x o y .,

• De manera general, si g es constante,

̄z W R=̃ z

1W

1+̃ z

2W

2+. . .+̃ z

nW

n

̄x=∑ ̃x m∑m;̄ y=∑ ̃ y m∑ m

,̄ z=∑ ̃z m∑ m


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Centro de Masas

• 5a -ue el peso es 6 / mg

• 7sto implica -ue el centro de gravedad coincide conel centro de masas

• )as partículas tienen peso solo ba*o la influencia de

una atracción gravitatoria, mientras -ue el centro demasas es independiente de la gravedad"

̄x=∑ ̃ x m

∑ m;̄ y=

∑ ̃ y m

∑ m,̄ z=

∑ ̃ z m

∑ m


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Centro de Masas

• 8n cuerpo rídigo est9 compuesto por un n+meroinfinito de partículas

• #i consideramos una partícula arbitraria de peso d6

̄x=

∫ ̃x dW

∫ dW ;̄ y=∫ ̃y dW

∫dW ;̄ z=∫ ̃z dW

∫dW


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Centroide de un :olumen

• Consideremos un ob*eto subdivididos en elementosde volumen d:" Para la localización del centroide,

̄x=

∫V

̃x dV

∫V

dV ;̄ y=

∫V

̃y dV

∫V

dV ;̄ z=

∫V

̃z dV

∫V

dV


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Centroide de un ;rea

• Para el centroide de la superficie de un ob*eto, talcomo una placa o un disco, subdividimos el 9rea en

elementos diferenciales dA

̄x=

∫ A

̃x dA

∫ A

dA;̄ y=

∫ A

̃ydA

∫ A

dA;̄ z=

∫ A

̃z dA

∫ A

dA


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Centroide de una )ínea

• #i la geometría de un ob*eto toma la forma de unalinea, el balance de los momentos de cada elemento

diferencial dL respecto a cada e*e, resulta

̄x=

∫ L

̃x dL

∫ L dL;̄ y=

∫ L

̃y dL

∫ L dL;̄ z=

∫ L

̃zdL

∫ L dL


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Ejempo

)ocalice el centroide de la barra doblada formando unarco parabólico


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Souci!n

7lemento diferencial

)ocalizado sobre la curva en un punto arbitrario 0, y.

;rea y


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Souci!n

>ntegrando

̄x=∫ L

̃x dL

∫ L dL=∫ x √ 4y2+1 dy

∫√ 4y2

+1 dy

=∫ y 2√ 4y2+1 dy

∫ √ 4y2

+1 dy0.6063

1.479 =0.410 m

̄y=

∫ L

̃y dL

∫ L

dL =∫ y √ 4y2+1 dy

∫ √ 4y2+1 dy

0.8484

1.479=0.574m


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9." Cuerpos compuestos

• Consisten en una serie de cuerpos ?m9s simples@ e*"rectangulares, triangulares o semicirculares.conectados entre sí

• 8n cuerpo puede ser seccionado en sus partescomponentes

• Para un n+mero finito de pesos tenemos

̄x=∑ ̃x W

∑W ̄y=∑ ̃y W

∑W ̄z=∑ ̃z W

∑W


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9." Cuerpos compuestos

Procedimiento de 1n9lisis

#umas

• Determinar las coordinadas del centro de gravedad

aplicando las ecuaciones del centro de gravedad• #i un ob*eto es simtrico respecto a un e*e" 7l

centroide est9 localizado en ese e*e


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Ejempo

)ocalizar el centroide de la placa"


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Souci!n

Partes

Dividimos la placa en % segmentos"

7l 9rea del rect9gulo pe-ueBo se puede considerar

?negativa@"


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Souci!n


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9.# $eoremas de Pappus y Gudinus

• 8na superficie de revolución se genera rotando unacurva plana alrededor de un e*e fi*o en el plano de lacurva

•8n volumen de revolución se genera rotando un 9reaplana alrededor de un e*e fi*o en el plano del 9rea


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• #e usan los teoremas de Pappus y Guldinus paraencontrar las superficies y los volumenes de cual-uierob*eto de revolución siempre -ue las curvas y 9reasgeneradoras no crucen el e*e respecto al cual sonrotadas

;rea de una #uperficie

• 7l 9rea de una superficie de revolución / producto dela longitud de la curva por la distancia -ue recorre elcentroide al generar la superficie

A=θ ̄r L


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:olumen

• :olumen de un cuerpo de revolución / producto del9rea generadora por la distancia via*ada por el

centroide al generar el volumenV=θ ̄r A


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Ejempo

Demuestre -ue el 9rea de la superficie de una esfera es1 / &'$ y su volumen : / &=% '%"

Souci!n;rea de la superficie

Generada por el semicírculo rotando alrededor del e*e 0

Para el centroide,

Para la superficie 9rea,̄r =2R /π

A=θ ̃r L;

A=2π

(2R

π

) πR= 4πR

2


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Souci!n

:olumen

Generado por la rotación de un 9rea semicircularalrededor del e*e 0

Para el centroide,

Para el volumen,̄r=4R /3π

V=θ ̃r A;

V=2π (4R3π ) (

12

πR2)=43

πR 3


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9.% &esutante de una car'a distribuida

Distribución de la presión sobre una superficie

• Consideramos una superficie plana sometida a unacarga por unidad de superficie p / p0, y. Pa

• Determinamos la fuerza d -ue act+a sobre elelemento de 9rea d1 m$ de la placa, localizado en elpunto 0, y.

d / Ep0, y. F=m$d1 m$.

/ Ep0, y. d1 F• )a carga entera se representa

como un infinito n+mero de

fuerzas paralelas actuando

sobre cada diferencial de 9rea


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Distribución de la presión sobre una superficie"• 7l sistema se puede simplificar a una fuerza resultante

(' actuando sobre un punto +nico de la placa


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Magnitud de la fuerza resultante

• Para determinar la magnitud de (', sumamos lasfuerzas diferenciales d( actuando sobre cada

elemento de 9rea• Magnitud de la fuerza resultante / volumen total eldiagrama distribuido de cargas

• )a localización de la fuerza resultante es

̄x=∫ xρ ( x,y)dA∫ ρ( x,y)dA=∫ xdV ∫ dV

̄ y=

∫ yρ( x,y )dA

∫ ρ( x,y )dA=∫ ydV

∫dV


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9.) Presi!n en *uidos

• De acuerdo a la ley de Pascal, un fluido en reposo creauna presión p en un punto siendo la misma en todaslas direcciones"

• )a magnitud de p

depende del peso específico H o dela densidad m9sica I del fluido, y de la profundidad zdesde la superficie a la -ue se encuentra el puntoconsiderado

p / Hz / Igz

• 7sto solo es v9lido para fluidos incompresibles

• 8n gas es un fluido compresible y la anterior ecuaciónno puede usarse


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Placa plana de ancAura constante

• Considere una placa rectangular de espesor constantesumergida en un lí-uido de peso específico H

• 7l plano de la placa forma un 9ngulo con la Aorizontalseg+n se muestra


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Placa plana de ancAura constante

• Como la presión varía linealmente con la profundidad,la presión sobre la placa se representa por un volumentrapezoidal, teniendo una intensidad de p

!

/ Hz!

en z!

, y

p$ / Hz

$en z

$

• Magnitud de la fuerza resultante ('

/ volumen del diagrama de cargas


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Placa plana curvada de ancAura constante

• Cuando la placa sumergida est9 curvada, la presión-ue act+a normal a la placa cambia continuamente dedirección

• #e puede determinar ', la localización del centroide C,

y del centro de presiones P, por integración


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Placa plana de ancAura variable

• Consideramos la distribución de carga -ue act+a sobrela superficie de una placa sumergida de espesorvariable

• )a presión uniforme p / Hz fuerza=9rea. actu9 sobred1, la magnitud del elemento de fuerza d(

d / d: / p d1 / Hz0dyJ.


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Placa plana de espesor variable

• 7l centroide CK define el punto en el -ue (' act+a

• 7l centro de presión P -ue se encuentra en lasuperficie de la placa *usto deba*o del centroide delvolumen del diagrama de presiones de C viene dado

por

• 7ste punto no coincide con el centroide de la superficie

de la placa

F R=

∫ ρdA=

∫dV =V

̄x=∫̃ x dV ∫dV

̄y '=∫ ̃y 'dV ∫dV


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Ejempo

Determine la magnitud y localización de la fuerzaAidrost9tica resultante sobre la placa sumergida 1


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Souci!n

)a presión del agua a las profundidades 1 y < son

Para las intensidades de las cargas en 1 y


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Souci!n

Para la magnitud de la fuerza resultante (' creada por la

carga distribuida"

7sta fuerza act+a TAis force act+a sobre el centroide del9rea, a una altura

medida desde <

F R

=ar!a "# $ra%!z"&d

12 (3 )(29.4+73.6 )=154.5N

'= 13 (

2(29.43 )+73.5829. 43+73.58 )(3 )=1.29m


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Soution

7l mismo resultado se puede optener considernado doscomponentes de (

' definidas por el triangulo y rect9ngle"

Cada fuerza act+a a travs de su centroide asociado y

tiene una magnitud de

5 resulta

F Re=(29.43k /m )(3m )=88.3k

F $ =(44.15k /m)(3m )=66.2k

F R

=F R!

(F R=88.3k(66.2k=154.5 k


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+,-

!"7l OOOOOOOOO es el punto -ue define el centrogeomtrico de un ob*eto"

1.Centro de gravedad


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+,-

%" #i una banda vertical se elige como el elementodiferencial, entonces, todas las variables, incluido loslímites de integración deben de estar en función de OOO "

1. 0


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+,-

(" 8n cuerpo compuesto se refiere en este tema a uncuerpo AecAo de OOOO"

1. ibra de carbón y resina

ntegración


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+,-

R" 8nsando la información del centroide, Scu9l es elmínimo n+mero de piezas -ue Aay -ue considerar paradeterminar el 9rea -ue se muestra a la derecAa

1.! t is tilted up by pulling tAe Aandle C, itA edge1 remaining on tAe ground" 6Aat is tAe ma0imum angleof tilt measured beteen bottom 1< and tAe ground.possible before tAe bo0 tips over

1. %34


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+,-

R" SCu9l es el mín numero de piezas -ue

Vay -ue considerar para determinar elcentroide de la superficie

1.!


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+,-

2" or determining tAe centroid, Aat is tAe min number of pieces you can use

1. To

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