IntegralesIntegrales Simples.Integrales Mltiples.Integrales de Superficie.Integrales en Lnea.

Unidad IVIntegral doble

La integral dobleSea R una regin cerrada en el plano xy y sea g(x, y) una funcin definida en un rectngulo que contiene a R. Hacemos una particin del rectngulo que contiene a la regin R en n x n rectngulos, donde el k-simo rectngulo tiene dimensiones Xk por Yk (no necesariamente iguales). Luego evaluamos una funcin g(x,y) en algn punto (Xk*, Yk*) de cada rectngulo, y formamos la suma... n2 g(xk*, yk*)D xk Dyk

k = 1

La integral doble La suma anterior, como en la integral definida, se llama Suma de Riemann. A continuacin se ilustra lo anterior. Ejemplos: 1) Integrando g(x,y) = x + 1 Regin R : rea comprendida entre las curvas y = x; y = 4 - x, x = 0.

En las siguientes imgenes se har una particin del rectngulo en 8 x 8 = 64 rectngulos. Si el punto medio de una subregin queda dentro de R, se le incluye en la particin y por lo tanto en la suma de Riemman.

Funciones = {x, 4 - x}Grfica de funciones en el plano xy

La integral dobleGrfica de la regin R

La integral dobleParticin de la regin R en 64 rectngulos.

La integral dobleA continuacin se muestra el resultado de evaluar la funcin g(x, y) = x + 1 en el punto medio de cada rectngulo de la particin y el clculo de la sumatoria de Riemann, n2 g(xk*, yk*)DxkDykk = 1y la integral doble de la funcin sobre la regin R, aunque an no hemos definido que significa "Integral doble".

La integral doblePara la funcin g(x, y) = 1 + x La suma de Riemann = 6.625 para n = 64 rectngulos Integral doble = 6.66667 Como habrs observado, el valor de la suma de Riemann est cercano al valor de lo que llamamos "Integral doble".

La integral dobleEnseguida se ilustrar la particin tridimensional de el volumen comprendido entre la superficie z = g(x, y) y la regin R.

La integral dobleSe hace las columnas para calcular el volumen.

La integral dobleVolumen de los 64 paralelepipedos es 6.625Volumen exacto = 6.66667

La integral dobleA continuacin veremos otro ejemplo de lo anterior para reafirmar el concepto. Ejemplo 2. Integrando g(x,y) = 25 - x8 - y8 Regin R : rea comprendida entre las curvas y = x8 - 4 ; y = 4 - x8. En seguida se har una particin de la regin R en 8 x 8 = 64 rectngulos.

La integral dobleFunciones = {- 4 + x2 , 4 - x2}

Grfica de funciones en el plano xy

Grfica de la regin R

La integral dobleParticin de la regin R en 64 rectngulos

La integral dobleA continuacin se muestra el resultado de evaluar la funcin g(x,y) = 25 - x2 - y2 en el punto medio de cada rectngulo de la particin y el clculo de la sumatoria de Riemann, Para la funcin g(x, y) = 25 - x2 - y2La suma de Riemann = 418.75 para n = 64 rectngulosIntegral doble = 438.242

La integral dobleEn las siguientes grficas se ilustrar la particin tridimensional de el volumen comprendido entre la superficie z = g(x,y) y la regin R.

La integral dobleLa regin se divide en partes iguales (en este caso) y se calcula el volumen.

La integral dobleVolumen de los 64 paraleleppedos es 433.484

Volumen exacto 438.248

La integral dobleDefinicin: Si g(x, y) est definida en una regin cerrada y acotada R del plano xy, la Integral Doble de g(x, y) sobre R se define como: n2 g(x, y) dA =lim g(xk*, yk*) Dxk Dyk R n 0 k = 1 cuando la norma de la particin tiende a cero. ( lo que equivale a n 0)