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Calculo Integral

Introduccion:El calculo diferencial se centra en el concepto de derivada. Recordemosque la motivacion original para la derivada fue el problema de definir lasrectas tangentes a las graficas de las funciones y el calculo de laspendientes de dichas rectas.

Pendiente m =?. mPQ =f (x) − f (a)

x − am = lim

x→a

f (x) − f (a)

x − a

Figure: El problema de la recta tangente motiva el calculo diferencial

Hector Fabian Ramırez Ospina Calculo Integral

Calculo Integral

Introduccion:El calculo integral se basa en el concepto de la integral. La definicion dela integral es motivada por el problema de definir y calcular el area de laregion que se encuentra entre la grafica de una funcion de valorespositivos f y el eje x en un intervalo cerrado [a, b].

El problema del area mo-tiva el calculo integral

Area(S) =

∫b

a

f (x)dx


Calculo Integral



Area(S) =

∫b

a

f (x)dx

Pero la integral, ası como la derivada, es impor-tante debido a su aplicacion a muchos proble-mas que implican movimiento, velocidad, crec-imiento de poblacion, volumen, longitud de arco,area de superficie y centro de gravedad, entreotros.


Calculo Integral



Area(S) =

∫b

a

f (x)dx

El Teorema Fundamental del Calculo, nos pro-porcionara una conexion vital entre las opera-ciones de derivacion e integracion proporcio-nando un metodo eficaz para el calculo de in-tegrales.


Calculo Integral



Area(S) =

∫b

a

f (x)dx

El Teorema Fundamental del Calculo, nos pro-porcionara una conexion vital entre las opera-ciones de derivacion e integracion proporcio-nando un metodo eficaz para el calculo de in-tegrales.Veremos que en vez de encontrar la derivadade la funcion f (x) necesitamos hallar una nuevafuncion F (x) tal que

F ′(x) = f (x)

Es decir, necesitamos estudiar un proceso op-uesto a la derivacion, la “Antiderivacion”.


Antiderivacion

Hemos analizado como encontrar la derivada de una funcion. Sinembargo, muchos problemas exigen recuperar una funcion a partir de suderivada conocida. Por ejemplo,


Antiderivacion


Un fısico que conoce la velocidad de una partıcula podrıa desearconocer su posicion en un instante dado.


Antiderivacion



Un ingeniero que puede medir la cantidad variable a la cual se fugael agua de un tanque quiere conocer la cantidad que se ha fugadodurante cierto periodo.


Antiderivacion




Un biologo que conoce la rapidez a la que crece una poblacion debacterias puede interesarse en deducir el tamano de la poblacion enalgun momento futuro.


Antiderivacion





En cada caso, el problema es el mismo, debemos hallar una funcion F

cuya derivada es en la funcion conocida f .


Antiderivacion





En cada caso, el problema es el mismo, debemos hallar una funcion F

cuya derivada es en la funcion conocida f . Si tal funcion F existe, sellama una antiderivada de f .


Antiderivadas

DEF

Una funcion F recibe el nombre de antiderivada o primitiva de la

funcion f en un intervalo I si F es continua en I y F ′(x) = f (x)para todo x ∈ I , salvo a lo sumo en un numero finito de puntos.


Antiderivadas

DEF



NOTA: Usamos letras mayusculas comoF para representar una antiderivada deuna funcion f , G para representar una an-tiderivada de una funcion g , y ası suce-sivamente. Tambien podemos escribirlacomo

F (x) = Ant(f (x))


Antiderivadas

DEF



Example

Halle las siguientes antiderivadas generales:

f (x) = x5

g(x) = 1√x

h(x) = sin(2x)

i(x) = cos( x2 )

f (x) = (5x4 + 2 cos(5x)− 3√x)

g(x) = [2 cos(3t) + 5(4t)]

m(x) =20

(4− 5x)3


Antiderivadas

Example

Dada la funcion f (x) = 3x2, entonces F (x) = x3 es una primitiva def (x) = 3x2, como tambien lo son las funciones

G (x) = x3 + 17, H(x) = x3 + π K (x) = x3 +√2.


Antiderivadas

Example

Dada la funcion f (x) = 3x2, entonces F (x) = x3 es una primitiva def (x) = 3x2, como tambien lo son las funciones

G (x) = x3 + 17, H(x) = x3 + π K (x) = x3 +√2.

En realidad, J(x) = x3 +C es una primitiva de f (x) = 3x2 para cualquiereleccion de la constante C .


Antiderivadas

Complete las siguientes formulas para las antiderivadas


Antiderivadas

PREGUNTA ¿porque las antiderivadas son continuas y nonecesariamente diferenciables?


Antiderivadas


EJEM Definamos

f (x) =

{

1 si x ∈ [1, 2],0 si x /∈ [1, 2],


Antiderivadas


EJEM Definamos

f (x) =

{

1 si x ∈ [1, 2],0 si x /∈ [1, 2],

En este caso no hay ninguna funcion F diferenciable cuya derivadacoincida con f (x) en todo punto.


Antiderivadas


EJEM Definamos

f (x) =

{

1 si x ∈ [1, 2],0 si x /∈ [1, 2],

En este caso no hay ninguna funcion F diferenciable cuya derivadacoincida con f (x) en todo punto. Sin embargo, la funcion tiene unaprimitiva. Definiendo

F (x) =

0 si x < 1 ,

x − 1 si 1 ≤ x ≤ 2,1 si x > 2,

se tiene que F es continua en R, y F ′(x) = f (x) salvo cuando x = 1 yx = 2. Luego F es primitiva de f en todo R .


Antiderivadas

Pregunta “Si F (x) = Ant(f (x)) en el intervalo I , ¿cualquier otraantiderivada de f en I difiere de F a lo mas en una constante?”.

Dicho de otro modo, si F1(x) = Ant(f (x)) en I , ¿necesariamenteF1(x) = F (x) + C , ∀x ∈ I?

La respuesta es afirmativa y se deduce de la siguiente teorema.


Antiderivadas

Pregunta “Si F (x) = Ant(f (x)) en el intervalo I , ¿cualquier otraantiderivada de f en I difiere de F a lo mas en una constante?”.

Dicho de otro modo, si F1(x) = Ant(f (x)) en I , ¿necesariamenteF1(x) = F (x) + C , ∀x ∈ I?

La respuesta es afirmativa y se deduce de la siguiente teorema.

TEO: Sea F es una antiderivadas de f en el intervalo I . Si F1 estambien una antiderivada de f en I si y solo si F1 = F (x) + C paratodo x ∈ I , donde C es una constante.


Antiderivadas



Antiderivadas


DEM: (⇐) Supongamos que F1(x) = F (x) + C , y demostremos que F1

es una antiderivada.


Antiderivadas



es una antiderivada. Observe que por hipotesis F ′(x) = f (x), entonces


Antiderivadas



es una antiderivada. Observe que por hipotesis F ′(x) = f (x), entonces

F ′1(x) =

d

dx[F (x) + C ] = F ′(x) + 0 = f ′(x).

es decir que, F ′1(x) = f (x)


Antiderivadas


DEM: (⇒),


Antiderivadas


DEM: (⇒), Supongamos ahora que F1 es una antiderivada de f ydemostremos que necesariamente F1(x) = F (x) + C .


Antiderivadas


DEM: (⇒), Supongamos ahora que F1 es una antiderivada de f ydemostremos que necesariamente F1(x) = F (x) + C . Dado que solocontamos con la existencia de F (x) y F1(x) es natural definir la funcion

H(x) = F1(x)− F (x). para todo x ∈ I


Antiderivadas




Tomemos a, b ∈ I arbitrarios con (a < b), claramente H es continuadentro de [a, b] y diferenciable dentro de (a, b). PORQUE???.


Antiderivadas




Tomemos a, b ∈ I arbitrarios con (a < b), claramente H es continuadentro de [a, b] y diferenciable dentro de (a, b). PORQUE???. Medianteel TVM,

H ′(c) =H(b)− H(a)

b − apara algun c ∈ (a, b).


Antiderivadas





H ′(c) =H(b)− H(a)


Sin embargo, H ′(c) = 0 PORQUE???,


Antiderivadas





H ′(c) =H(b)− H(a)


Sin embargo, H ′(c) = 0 PORQUE???, por consiguiente H(a) = H(b).


Antiderivadas





H ′(c) =H(b)− H(a)


Sin embargo, H ′(c) = 0 PORQUE???, por consiguiente H(a) = H(b).Dado que a y b son puntos arbitrarios en el intervalo I , concluimos queH = Const = C en todo I .


Antiderivadas





H ′(c) =H(b)− H(a)


Sin embargo, H ′(c) = 0 PORQUE???, por consiguiente H(a) = H(b).Dado que a y b son puntos arbitrarios en el intervalo I , concluimos queH = Const = C en todo I . Ası, que F1(x)− F (x) = C y esto conlleva aque F1(x) = F (x) + C .


Antiderivadas

Interpretacion geometrica del teorema: Las graficas de dos antiderivadasF (x) + C1 y F (x) + C2 de la misma funcion f (x) en el mismo intervalo I

son “paralelas” en el sentido que se aprecia en las figuras.


Antiderivadas


son “paralelas” en el sentido que se aprecia en las figuras. Ahıobservamos que la constante C es la distancia vertical entre las curvasy = F (x) y y = F (x) + C para cada x en I .


Antiderivadas



1 Una funcion puede tener muchas primitivas, pero una unica derivada.


Antiderivadas




2 La familia completa de Antideridavas de un funcion se representaagregando una constante C a una antiderivada conocida.


Antiderivadas




2 La familia completa de Antideridavas de un funcion se representaagregando una constante C a una antiderivada conocida.

3 La constante C recibe el nombre de constante de integracion.


Antiderivadas

NOTA: Hay que senalar que existen buenas razones para limitar nuestraatencion a intervalos en la discusion sobre primitivas. De lo contrario,podrıa ocurrir que una funcion tenga antiderivadas que no difieran en unaunica constante.


Antiderivadas


EJEM: Las siguientes funiciones son primitivas de f (x) = − 1

x2.

F1(x) =

1

x+ 5 si x > 0,

1

x− π si x < 0,

F2(x) =1

x,


Antiderivadas


EJEM: Las siguientes funiciones son primitivas de f (x) = − 1

x2.

F1(x) =

1

x+ 5 si x > 0,

1

x− π si x < 0,

F2(x) =1

x,

claramente, F1 y F2 no difieren de una UNICA constante sobre todo sudominio S = (−∞, 0) ∪ (0,∞)


Antiderivadas

Problemas de valor inicial y ecuaciones diferenciales

Encontrar una antiderivada F (x) de una funcion f (x) constituye elmismo problema que resolver la ecuacion

dy

dx= f (x) o y ′ = f (x)

A esto se le llama ecuacion diferencial, ya que es una ecuacion queinvolucra una funcion desconocida y(x) que esta siendo derivada.


Antiderivadas



dy

dx= f (x) o y ′ = f (x)


Esta funcion y(x) se encuentra tomando la antiderivada de f (x).


Antiderivadas



dy

dx= f (x) o y ′ = f (x)



La constante C que surge del proceso de antiderivacion la hallamosdando una condicion inicial

y(x0) = y0


Antiderivadas



dy

dx= f (x) o y ′ = f (x)




y(x0) = y0

Esta condicion significa que la funcion y(x) tiene el valor y0 cuandox = x0.


Antiderivadas



dy

dx= f (x) o y ′ = f (x)




y(x0) = y0

Esta condicion significa que la funcion y(x) tiene el valor y0 cuandox = x0.

La combinacion de una ecuacion diferencial y una condicion inicial sellama problema de valor inicial.


Antiderivadas


Example

Encontrar la curva cuya pendiente en el punto (x , y) es 3x2 si la curvadebe pasar por el punto (1,−1)


Antiderivadas


Example


Solucion: Aquı, estamos pidiendo resolver el siguiente problema de valorinicial.

Ecua. Dif.dy

dx= 3x2

Cond. Inicial: y(1) = 1


Antiderivadas


Example



Ecua. Dif.dy

dx= 3x2


La funcion y(x) a encontrar es una antiderivada de f (x) = 3x2 demanera que y = x3 + C .


Antiderivadas


Example



Ecua. Dif.dy

dx= 3x2


La funcion y(x) a encontrar es una antiderivada de f (x) = 3x2 demanera que y = x3 + C . Hallemos C a partir de la condicion inicialy(1) = −1. Demostrando que y = x3 − 2.


Antiderivadas


Example



Ecua. Dif.dy

dx= 3x2


La funcion y(x) a encontrar es una antiderivada de f (x) = 3x2 demanera que y = x3 + C . Hallemos C a partir de la condicion inicialy(1) = −1. Demostrando que y = x3 − 2.

Ejercicio

Encuentre f sabiendo que f ′ = ex +10

1 + x2y f (0) = −2


Antiderivadas

Example

Un globo que esta subiendo a razon de 12 pies/seg esta a una altura de80 pies sobre el suelo cuando se lanza un paquete desde el. ¿Cuantotiempo tarda el paquete en llegar al suelo?


Antiderivadas

Example


SOL: Sea v(t) la velocidad del paquete, y sea s(t) su altura sobre elsuelo.


Antiderivadas

Example


SOL: Sea v(t) la velocidad del paquete, y sea s(t) su altura sobre elsuelo. La aceleracion de la gravedad es 32 pies/seg Luego,


Antiderivadas

Example



E .D :dv

dt= −32 Cond .Inicial v(0) = 12


Antiderivadas

Example



E .D :dv


No es difıcil ver que la velocidad es v = −32t + 12.


Antiderivadas

Example



E .D :dv


No es difıcil ver que la velocidad es v = −32t + 12. Ahora, como lavelocidad es la derivada de la altura, entonces tenemos un segundoproblema de valores iniciales.

E .D :ds

dt= −32t − 12 Cond .Inicial s(0) = 80


Antiderivadas

Example



E .D :dv



E .D :ds


De aquı concluimos que la altura que tiene el paquete sobre el suelo enel tiempo t es s(t) = −16t2 + 12t + 80.


Antiderivadas

Example



E .D :dv



E .D :ds


De aquı concluimos que la altura que tiene el paquete sobre el suelo enel tiempo t es s(t) = −16t2 + 12t + 80. Ahora halle el tiempo tarda elpaquete en tocar el suelo.


Antiderivadas

Ejercicio

Suponga que se dispara una flecha en sentidovertical mediante una poderosa ballesta, desdeel piso, y que vuelve a tocar el suelo 48segundos despues. Si podemos despreciar laresistencia del aire, determinar la velocidadinicial de la flecha y la altura maxima quealcanza.


Antiderivadas

Ejercicio

Suponga que se dispara una flecha en sentidovertical mediante una poderosa ballesta, desdeel piso, y que vuelve a tocar el suelo 48segundos despues. Si podemos despreciar laresistencia del aire, determinar la velocidadinicial de la flecha y la altura maxima quealcanza.

Ejercicio

Las marcas de derrape de unos neumaticosindican que se han aplicado los frenos duranteuna distancia de 160 pies antes de detenerse elautomovil. Supongamos que el automovil encuestion tiene una desaceleracion constante de20 pies/seg2 bajo las condiciones del derrape.A que velocidad viajaba el auto cuando secomenzo a frenar?


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