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CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Juan Pérez Valcárcel 1999

Estructura Modelo Matemático

Discretización

Sistema de Ecuaciones

Resolución

Lineal

No lineal

Elementos (M.E.F.)

Barras (cálculo matricial)

Val

idac

ión

Método de Elementos Finitos

Método Matriciales de barras

CÁLCULO DE ESTRUCTURAS

MÉTODOS NUMÉRICOS

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS


INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO MATRICIAL

IDEALIZACIÓN DE LA ESTRUCTURA

Estructura real Modelo matemático↔Discretización Elementos conectados por nudos↔

ELEMENTOS LINEALES PórticosEmparrilladosCelosías

SUPERFICIALES PantallasLosasLáminas

VOLUMÉTRICOS Losas gruesasMacizosPresas

Elementos lineales D i s c r e t i z a c i ó n e n b a r r a s(matricial)

Elementos superficiales Discretización en elementosfinitos

y volumétricos



Piezas de Sección Constante Piezas de Sección Curva

Piezas de Sección Variable

1L

L

8K=K= 8

IDEALIZACIÓN GEOMÉTRICA

Consiste en la simplificación de las dimensiones y formas de la estructurareal.

Se sustituyen las piezas por su directriz, simplificando en los casos desección variable o directriz curva Supone errores.Problemas Dimensión finita de los nudos

Luces reales de cálculo

Pilares de distinta sección Zonas rígidas de viga



Apoyos ElásticosApoyos Rígidos

La idealización geométrica no tiene por qué ser inmediata

En la idealización geométrica deben figurar las condiciones deapoyo, sea rígido o elástico.



IDEALIZACIÓN MECÁNICA: ESTRUCTURA.

C APROXIMACIÓN DEL COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE LAESTRUCTURA.

Se define por los DESPLAZAMIENTOS de los nudos

En el espacio: 3 traslaciones + 3 giros

En el plano: Según el problema

Estructuras articuladas planas: 2 traslacionesPórticos planos: 2 traslaciones + 1 giroEmparrillados planos: 1 traslación + 2 giros.

- Hay que elegir los grados de libertad en función del problemaanalizado.- Los desplazamientos se suponen infinitesimales con respecto alas dimensiones de la estructura.- Si los desplazamientos son grandes se precisa análisis no lineal.

Se analiza a través de las DEFORMACIONES de las barras.

Según el problema analizado.

- Deformación por axil.Importante en estructuras de nudos articulados y pilares depórticos.

- Deformación por flexión.Es la más importante en casi todos los casos.

- Deformación por cortante.Despreciable salvo en casos muy particulares.

- Deformación por torsión.Sólo importante en emparrillados y pórticos espaciales.

C TIPOS DE CONEXIÓN ENTRE BARRAS.

Nudo rígido Cierto grado de articulaciónNudo articulado Cierto grado de empotramiento



ARCO

Estructura Real

Idealización comoElementos Lineales

Elementos FinitosIdealización por

8 nodosE.F. de

4 nodosE.F. de

IDEALIZACIÓN MECÁNICA: ESTRUCTURA.

C UNA MISMA ESTRUCTURA ADMITE DIVERSASMODELIZACIONES CON DISTINTO GRADO DE PRECISIÓN.



ALARGAMIENTOS

TENSIONESen N/mm2

0 4 8 12 16 20%

100

200

300

400

500

600

700

σ

ε

ACERO DE DUREZA NATURAL

CURVA TENSIÓN-DEFORMACIÓNde BARRAS CORRUGADAS

2 1814106

2

σTENSIONESen N/mm2

600

500

400

300

200

100

0

de BARRAS CORRUGADASCURVA TENSIÓN-DEFORMACIÓN

ALARGAMIENTOS

14106

ACERO ESTIRADO en FRIO

16%1284

ε

fy

yf

IDEALIZACIÓN MECÁNICA: MATERIALES

DIAGRAMAS TENSIÓN-DEFORMACIÓN REALESAcero

El acero estirado en frío no se utiliza en obra nueva



0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

TENSIONESdel HORMIGÓN

DEFORMACIONES

0.4 0.8 1.2

DIAGRAMA NOVAL

0.6 1.0 1.40 0.2

ε

CURVA TENSIÓN-DEFORMACIÓNσfc

c

εccucE

Eco

Ec

0.8

DEFORMACIONES

DIAGRAMA con CARGAS REITERADAS

1.21.00.80.60.40.20

0.2

0.4

0.6

εε

cu

c

1.4

TENSIONESdel HORMIGÓN

CURVA TENSIÓN-DEFORMACIÓNσfc

c

1.0

Ec0 0'

Hormigón



ACERO ESTRUCTURAL

ELASTO PLÁSTICO ELASTO PLÁSTICO RÍGIDO PLÁSTICOcon ENDURECIMIENTO

PARABOLA-RECTANGULO RECTANGULARBIPARABOLICO

0'85.fcd

TE

NS

ION

ES

DEFORMACIONES0 -2%o -3'5%o 0 -2%

DEFORMACIONES-3'5%o o

TE

NS

ION

ES

0'85.fcd

0 -2%DEFORMACIONES

-3'5%o o

TE

NS

ION

ES

0'85.fcd

-0'7%o

-3'5%

RAMA DECRECIENTEDEFORMACIONES

0'85.fcd

TEN

SIO

NE

S

0 -2%o -0'7%0

TEN

SIO

NE

S

0'85.fcd

o

BIRRECTILÍNEO

-2%DEFORMACIONES

-3'5%o oo

HORMIGÓN

0

TEN

SIO

NE

S

DEFORMACIONES

fyd

εyd

fyd

TEN

SIO

NE

S

DEFORMACIONESydε0


DIAGRAMAS TENSIÓN-DEFORMACIÓN SIMPLIFICADOS.- Sonnecesarios por la excesiva complejidad de los reales.

Lo más frecuente en considerar el material perfectamente elásticoy lineal.



M

.75

.50

.25

0

MOMENTOS

CURVATURA

DIAGRAMAS MOMENTO-CURVATURA (ACERO)

.0004.0003.0002.0001

χ.0005 .0008

1.00

Mu

DiagramaBilineal

L0

0

.25

.50

.75

uM1.00

MOMENTOS M

Trilineal

Bilineal

Diagrama

Diagrama

L1

.01 .02 .03 .04

DIAGRAMAS MOMENTO-CURVATURA (HORMIGÓN)

L 2

.08.05

χ

CURVATURA

DiagramaExperimental


DIAGRAMAS MOMENTO-CURVATURA.- Son los diagramas quepermiten determinar las ecuaciones constitutiva a flexión de lasbarras. Son fundamentales en el cálculo matricial.

Acero.- Diagrama bilineal.

Hormigón.- Diagrama trilineal.



IDEALIZACIÓN DEL TERRENO DE CIMENTACIÓN

- Propiedades del terreno.

- Interacción cimiento-estructura.

Conexión rígida.Conexión elástica Coeficientes de balasto.

- Problemas de asientos diferenciales.

Grandes momentos en los dinteles.

- Problemas de giros de la cimentación.

- Influencia de las zapatas de medianería y de esquina.

Generalmente se considera la estructura rígidamente empotrada enla base.

u=0v=0w=0

En cálculo matricial es muy fácil introducir deformacionesimpuestas en los vínculos a condición de que puedan expresarsedirectamente en coordenadas globales.



BASES DEL CÁLCULO MATRICIAL.

1.- Desarrollo histórico.

C Planteamientos iniciales (1850- 1875)

Maxwell.Castigliano.Mohr.(No progresaron por la dificultad de resolver grandessistemas de ecuaciones)

C Planteamiento general del método (1915- 1926)

Maney (USA)Ostenfeld (Dinamarca)

C Método iterativo de Hardy Cross (1932)

C Formulación matricial actual (1944)

G. Kron “Tensorial analysis of elastic structures”

C Método de elementos finitos.

TurnerClough

C Desarrollo y generalización del uso de los ordenadores



f

P.l 4 4

P.l

P

n.P

n.

n.f

++

SUPUESTOS PREVIOS.

- Linearidad.- Los movimientos y esfuerzos son funcioneslineales de las cargas aplicadas.

Ventajas Simplifica el análisisPermite la superposición de soluciones

Condiciones Materiales elásticosDesplazamientos pequeños

- Superposición.- Los esfuerzos y movimientos que produce unconjunto de sistemas de carga actuando a la vez es igual a la sumade los que producirían actuando por separado.

En cálculo matricial es fundamental este principio desuperposición, puesto que en general hemos de superponer dosestados:

C Estado de empotramiento perfectoC Estado final de cálculo.



1 2 3→ →

1 3 2→ →

MÉTODOS MATRICIALES.

En estructuras la relación determinista

CAUSA EFECTO↔se establece como

FUERZA MOVIMIENTO↔Es una relación biunívoca que debe satisfacer:

1.- Ecuaciones constitutivas del material Ley de Hooke2.- Ecuaciones de compatibilidad3.- Ecuaciones de equilibrio

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS Ecuación 3ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS Ecuaciones 1,2, 3

Lo que diferencia los métodos matriciales es el ORDEN deutilización de las ecuaciones

MÉTODO DE EQUILIBRIOO DE RIGIDEZ

MÉTODO DE LAS FUERZASO DE FLEXIBILIDAD



X = T L⋅

↓

↓

MÉTODO DE FLEXIBILIDAD

INCÓGNITAS BÁSICAS FUERZAS HIPERESTÁTICAS

DATOS FUERZAS EN LOS NUDOS

APLICACIÓN DEL MÉTODO

1.- Expresar las deformaciones en función de los esfuerzos en losextremos de las barras. (Ecuación constitutiva).

2.- Expresar los esfuerzos en los extremos de las barras en funciónde las incógnitas hiperestáticas y de las fuerzas exterioresconocidas. (Ecuación de equilibrio).

3.- Aplicar las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones.(Ecuación de compatibilidad).

SE GENERA UN SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES

X = matriz de deformacionesT = matriz de flexibilidad en coordenadas globalesL = matriz incógnita (fuerzas hiperestáticas)

RESOLUCIÓN L = T -1.X Fuerzas hiperestáticas

Se aplica 2 Esfuerzos en barras

Se aplica 1 Deformaciones



L = S X⋅

↓

↓

MÉTODO DE RIGIDEZ

INCÓGNITAS BÁSICAS MOVIMIENTOS EN LOS NUDOS

DATOS FUERZAS EN LOS NUDOS

APLICACIÓN DEL MÉTODO

1.- Expresar las esfuerzos en los extremos de las barras en funciónde los movimientos en dichos extremos. (Ecuación constitutiva).

2.- Aplicar las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones.Se ponen los movimientos de los extremos de las barras(coordenadas locales) en función de los movimientos de los nudos(coordenadas globales). (Ecuación de compatibilidad).

3.- Aplicar las ecuaciones de equilibrio de nudos. (Ecuación deequilibrio).

SE GENERA UN SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES

L = matriz de cargas en los nudosS = matriz de rigidez en coordenadas globalesX = matriz incógnita (desplazamientos en los nudos)

RESOLUCIÓN X = S-1.L Desp lazamien tos encoord. globales

Se aplica 2 Desp lazamientos encoord. locales

Se aplica 1 Esfuerzos



x'

z'

y'

+

++

+

+

+

+

++

Fuerzas y desplazamientos

Momentos y giros

j

i

x

y

z Eje x Directriz de la barraEjes y,z Ejes principales de

inercia de la sección

DATOS DE LA BARRAL, A, I , I ,Iy z T

(ángulos con ejes globales)

SISTEMAS DE REFERENCIA Y CONVENIOS DE SIGNOS

SISTEMA DE COORDENADAS GLOBALESSISTEMA DE COORDENADAS LOCALES



y'

x'

x

y

x'

y'z'

=

x' x x'y x' z

y'x y' y y' zz' x z' y z' z

x

yz

cosenos directores

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅

1 2444 3444

∆ = cos -sen 0sen cos 0

0 0 1

α αα α

CAMBIOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA

Para resolver una estructura es preciso cambiar las variables decoordenadas locales a globales y viceversa m a t r i z d etransformación

O’x’y’z’ Sistema globalO x y z Sistema local

CAMBIO DE EJES

En forma matricial X’ = D . X

Generalmente el cambio de ejes es una rotación. En el plano



P'x1 x2P'

x1d' d'x2

x3P Px3

Px2Px2

x1Px1P

1 2

12

3

P = k d

P = k dP = k d

P

PP

P

=

k 0 0

0 k 00 0 k

K

d

dd

d

x1 1 x1

x2 2 x2

x3 3 x3

x1

x2

x3

1

2

3

x1

x2

x3

⋅⋅⋅

⋅

~ ~ ~123 1 244 344 123

d = d' - 0

d = d' - d'd = 0 - d'

d

dd

d

=

1 0

-1 00 -1

A

d'd'

d'

x1 x1

x2 x2 x1

x3 x2

x1

x2

x3

x1

x2

⋅

~ ~~123 124 34

123

CÁLCULO MATRICIAL: PRINCIPIOS GENERALES.

Ecuación constitutiva relaciona los esfuerzos con losdesplazamientos Coord. locales

P = matriz de fuerzas internasK = matriz de rigidezd = matriz de desplazamientos de elementos

Ecuación de compatibilidad relaciona los desplazamientos deelementos (coordenadas locales)c o n l o s d e l o s n u d o s(coordenadas globales)

A = matriz de compatibilidadd’ = matriz de desplazamientos de nudos



P = P - PP = P - P

PP

P'

= 1 -1 00 1 -1

A

PPP

P

x1 x1 x2

x2 x2 x3

x1

x2

t

x1

x2

x3

''

''~ ~

~

⋅

123 1 24 34

123

Ecuación de equilibrio las fuerzas externas has de equilibrarseco las fuerzas internas (coordenadasglobales)

P’ = matriz de fuerzas exterioresAt = Matriz traspuesta de A

Se formulan tres ecuaciones matriciales

~ ~ ~

~ ~ ~

~ ~ ~

P = K d Ecuacion constitutiva

d = A d' Ecuacion de compatibilidad

P' = A P Ecuacion de equilibriot

⋅

⋅

⋅Proceso

~ ~ ~1 P’ = At . P

~ ~ ~ ~2 P’ = At . K . d

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~3 P’ = At . K . A . d’ P’ = S . d’

~ ~ ~P’ = S . d’ Expresa la ecuación matricial en coordenadas

globales de la estructura completa.



Pxi Pxji j

dxi xjd

ji xjxi PP

yjPPyi m jm i

ECUACIÓN CONSTITUTIVA

C Expresa la relación entre los esfuerzos sobre un elemento ylos desplazamientos de dicho elemento. Para materialeselásticos es la ley de Hooke.

C Al referirse a cada elemento se formula en coordenadaslocales.

C Su grado de complejidad depende del número de esfuerzosque definan el estado de la barra.

ESTRUCTURAS ARTICULADAS Sólo esfuerzo axil

{ {

PP

P

=

E Al

- E Al

-E A

lE A

l

K

dd

d

xi

xj

xi

xj

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅

~ ~ ~1 244 344

Puesto en forma matricial

( )

P = - P

l = d - d =P l E A

P = - P = E Al

d - d

xi xj

xj xixj

xj xi xj xi

∆⋅

⋅⋅

ESTRUCTURAS RETICULADAS Axil, cortante y flector

P

PmP

Pm

= K

d

d

d

d

xi

yi

i

xj

yj

j

xi

yi

i

xj

yj

j

⋅

~ θ

θ



z'

x'

xjP

zjP m yj

yjP

xjm

m zj

zi

xi

m

myizi

yi

m

P

P

xiP

y'

~ ~ ~

~ ~ ~~ ~ ~ ~P = K d (rigidez)

d = T P (Flexibilidad) T = K K = T-1 -1

⋅

⋅

⇒

U = 12

NE A

+ ME I

+ V

G A +

MG J

dx2 2 2

e

T

2

0

l

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅∫

d = UP

d = T Pi

i

∂∂

⇒ ⋅~ ~ ~

CÁLCULO DE LA ECUACIÓN CONSTITUTIVA PORMEDIO DE LA MATRIZ DE FLEXIBILIDAD

Esfuerzos

AxilMomentos flectoresEsfuerzos cortantesMomento torsor

La matriz de flexibilidad relaciona los desplazamientos delelemento con sus esfuerzos Inversa de la matriz de rigidez.

La ventaja de este método es que la matriz de flexibilidad puedeobtenerse siempre por simple aplicación del teorema deCastigliano.

Energía elástica del elemento

Derivando la energía elástica con respecto a cada esfuerzo sepuede obtener el desplazamiento correspondiente.

E invirtiendo la matriz de flexibilidad se obtiene la matriz de rigidez.



m

xi

yi

P

P

y'

x'

i

jyj mP

xjPy

x

{ {

xyz

x

= cos sen 0-sen cos 0

0 0 1

A

x'y'z'

x'

⋅

~ ~ ~

α αα α

1 24444 34444

{ {

PPm

P


0 0 1

A

P 'P 'm'

P'

x

y

x

y

⋅

~ ~ ~

α αα α

1 24444 34444

{

dd

d


0 0 1

A

d 'd '

'

d'

x

y

x

y

θ

α αα α

θ

⋅

~ ~ ~1 24444 34444 123

ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD.

Los esfuerzos internosllevan la dirección delos ejes locales.

Las fuerzas externasllevan la dirección delos ejes globales.

Las leyes de cambio decoordenadas son lasmismas que para ejes.

Se trata de una rotación de ejes de ángulo a

Para los esfuerzos

Para los desplazamientos

Las mismas relaciones pueden generalizarse para cualquiersistema de coordenadas.



m'

x2x1 P'P' 1 2

1m' y2y1P' P'2

3 4

~ ~ ~P' = A P⋅

ECUACIÓN DE EQUILIBRIO

~

......

.......

.

.......

P' =

P'P'M'

P'P'

M'

x1

y1

1

x2

y2

2

Estructura cualquiera con cargas en los nudos

Fuerzas exteriores Fuerzas interioresse equilibran

{ {

Fuerzas P' P

Desplazamientos d' dexteriores internas

~ ~

~ ~↔

↔

Aplicando el principio de trabajos virtuales12

P' d' = 12

P di ii

j jj

trabajo fuerzasexternas

trabajo fuerzasinternas

⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ ∑1 24 34 1 24 34

En forma matricial ~ ~ ~ ~P' d' = P dt t⋅ ⋅

Aplicando la ecuación de compatibilidad~ ~ ~d = A d'⋅

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~P' d' = P A d P' = P At t t t⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅

Y trasponiendo esta ecuación

Ecuación de equilibrio



~ ~ ~

~ ~

~ ~ ~

P = K d

d = A d'

P' = A P t

⋅

⋅

⋅

PLANTEAMIENTO GENERAL DEL CÁLCULOMATRICIAL

Ecuación constitutiva

Ecuación de compatibilidad

Ecuación de equilibrio

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~~ ~~

~ ~ ~ ~

P = K d P = K A d'

multiplicando a la izquierda por A

A P

P'

= A K A

S

d' P' = S d'

t

t t

⋅ ⇒ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅123 1 24 34

Sistema lineal de ecuaciones

n datos Fuerzas en los nudosn incógnitas Desplazamientos en los nudos

El problema se reduce a resolver un sistema lineal de n ecuacionescon n incógnitas, por cualquiera de los métodos matemáticosdisponibles.

s s s ... s

s s s ... ss s s ... s

: : : ... :s s s ... s

x

xx

:x

=

p

pp

:p

11 12 13 1n

21 22 23 2n

31 32 33 3n

n1 n2 n3 nn

1

2

3

n

1

2

3

n

⋅

Una vez resuelto el sistema se conocen los desplazamientos de losnudos en coordenadas globales.



ENSAMBLAJE POR BLOQUES

Matriz de un elemento Coordenadas globales

~~

~ ~~ ~

~~

P'P '

= S SS S

d 'd '

i

j

ii ij

ji jj

i

j

⋅

Situación en la matriz de rigidez de la totalidad de la estructura

• •• •• •

• • • • • • • • • •• •• •• •

• • • • • • • • • •• •• •• •• •

+S +S

+S +S

fila i

fila j

columna

i

columna

j

ii ij

ji jj



5

21

6

3

4

1 2

3 4 5

P'1

2P'

3P'

4P'

5P'

6P'

11S1 311S+ 1

12S

+ 222S

122S + 4

22S

+ 533S2

33S

S143

425S

121S

S322

0

536S

S344

566S

455S

635S

452S

0

0

0

0

0

0

0

41S3

0

0

0

0

0 0

0

0 0

0

0

0

6

5

4

3

2

d'

d'

d'

d'

d'1d'

= .

= 0

= 0

223S

EJEMPLO DE ENSAMBLAJE POR BLOQUES DE LAMATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA

En los nudos 5 y 6 los tres desplazamientos son nulos al tratarsede empotramientos. Pueden eliminarse del sistema de ecuaciones.

El nudo 4 tiene dos desplazamientos nulos (articulaciones). Lasfilas correspondientes a esos desplazamientos también puedeneliminarse.



d =0y d =0x

d =0y d =0d =0x

y

=00

EFECTO DE LOS VÍNCULOS.

Una vez efectuado el ensamblaje de matrices se obtiene un sistemalineal de ecuaciones del tipo

s s s ... s

s s s ... ss s s ... s

: : : ... :s s s ... s

x

xx

:x

=

p

pp

:p

11 12 13 1n

21 22 23 2n

31 32 33 3n

n1 n2 n3 nn

1

2

3

n

1

2

3

n

⋅

La existencia de un vínculo supone un desplazamiento conocido.La ecuación correspondiente a esa incógnita no necesita serresuelta.

D e s p l a z a m i e n t o snulos

Son ecuaciones quepueden eliminarse delsistema. En la prácticaes mucho más simpleformar la ecuación perosaltarla a la hora deresolver el sistema.

Desplazamientos conocidos pero no nulosEs preciso modificar la matriz de rigidez global.

Supongamos conocido el valor de x2 x2=b

Métodos de resolución Resolución directaFactores de penalización



Método de resolución directa.- Se modifica el sistema deecuaciones en forma tal que mantenga la simetría.

s 0 s ... s

0 1 0 ... 0s 0 s ... s: : : ... :

s 0 s ... s

x

xx:

x

=

p - s

p - s:

p - s

11 13 1n

31 33 3n

n1 n3 nn

1

2

3

n

1 12

3 32

n n2

⋅

β

ββ

β

Si hay más desplazamientos conocidos se repite este proceso lasveces que haga falta.

Método de los factores de penalización.- Se modifica el sistema deecuaciones utilizando un factor de penalización muy grande, porejemplo 1010.

s s s ... s

s s 10 s ... ss s s ... s

: : : ... :s s s ... s

x

xx

:x

=

p

p 10p

:p

11 12 13 1n

21 2210

23 2n

31 32 33 3n

n1 n2 n3 nn

1

2

3

n

1

210

3

n

⋅

⋅

⋅ ⋅

β

Si dividimos la segunda ecuación por s22.1010 obtendremos

ss

10 x + x + ss

10 x + ... + ss

10 x = 21

22

-101 2

23

22

-103

2n

22

-10n⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ β

Que es prácticamente equivalente a x2=b que es la ecuación deldesplazamiento impuesto



RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Métodos directos.- Son algoritmos que proporcionan una soluciónexacta del sistema tras un número finito de operaciones.

C Método de GaussC Método de Gauss-JordanC Método frontalC Método de Cholesky

Método iterativos.- Son algoritmos que suponen una solucióninicial inexacta que va convergiendo a la solución exacta poraproximaciones sucesivas.

C Método de JacobiC Método de Gauss-SeidelC Método de gradientes conjugados

El problema principal de los métodos iterativos es asegurar la convergencia de lasolución en un número finito de pasos.



MÉTODO DE GAUSS

S11.x1 + s12.x2 + s13.x3 + ........ + s1n.xn = p1 pivotesS21.x1 + s22.x2 + s23.x3 + ........ + s2n.xn = p2 X f21=-s21/s11

S31.x1 + s32.x2 + s33.x3 + ........ + s3n.xn = p3 X f31=-s31/s11 . . . . . . . . . . . . . . .

Sn1.x1 + sn2.x2 + sn3.x3 + ........ + snn.xn = pn X fn1=-sn1/s11

C Se multiplica la ecuación pivote por cada pivote y se suma acada ecuación

s11.(-s21/s11) + s11 = -s11 + s11 = 0

C La ecuación pivote se mantiene y cada una de las demás semodifica anulando la primera columna

S11.x1 + s12 .x2 + s13 .x3 + ........ + s1n .xn = p1 pivotes 0.x1 + s’22.x2 + s’23.x3 + ........ + s’2n.xn = p’2 0.x1 + s’32.x2 + s’33.x3 + ........ + s’3n.xn = p’3 X f’32=-s’32/s’22 . . . . . . . . . . . . . . .

0.x1 + s’n2.x2 + s’n3.x3 + ........ + s’nn.xn = p’n X f’n2=-s’n2/s’22

C Se toma la segunda ecuación como pivoteC Se reitera el proceso anulando la segunda columnaC Se toma la tercera ecuación como pivoteC Se reitera el proceso anulando la tercera columnaC Se repite con todas las ecuaciones hasta que todos los

términos bajo la diagonal principal sean nulos (matriztriangular)

s11.x1 + s12 .x2 + s13 .x3 + ........ + s1n-1 .xn-1 + s1n .xn = p1 + s22 .x2 + s23 .x3 + ........ + s2n-1 .xn-1 + s2n .xn = p2 + s33 .x3 + ........ + s3n-1 .xn-1 + s3n .xn = p3 . . . . . . . . . . . . . . .

+ sn-1,1 .xn-1 + sn-1,n .xn = pn-1 + snn .xn = pn C De la última ecuación se despeja xn

C Llevando este valor a la penúltima se despeja xn-1

C Procediendo sucesivamente se obtienen todas las incógnitas



xjyiP P

xiP

m i

x'

x

y'mPyj j

y

CÁLCULO DE ESFUERZOS

Se obtienen los desplazamientos en los~ ~ ~P' = S d'⋅

nudos , pero interesa conocer losesfuerzos en la barras.

Para cada barra

Se conocen d’i y d’j

Interesa conocer P i y Pj

pero~ ~ ~P = K d⋅

~ ~ ~d = A d'⋅

Calculamos los desplazamientos en coordenadas locales

~ ~ ~d = A d'⋅

Llevando estos desplazamientos a la ecuación constitutiva seobtienen los esfuerzos sobre la barra

~ ~ ~P = K d⋅

Al afectar a las barras una por una no es necesario recurrir a lasmatrices completas de la estructura, sino sólo a las de cada barra,lo que supone una gran simplificación de cálculo.



F i

x'

y'

iP

COMPROBACIÓN DE RESULTADOS

Los resultados del cálculo matricial nunca son rigurosamenteexactos.

Errores de truncaduraSIEMPRE es preciso comprobar quela estructura está en equilibrio

Problemas de mal condicionamiento

ESTRUCTURAS DE NUDOS ARTICULADOS.- Se comprueba elequilibrio de los nudos, para las fuerzas horizontales y verticalesexternas.

F = 0 F + P cos = 0

F = 0 F + P sen = 0

x ix i ii=1

n

y iy i ii=1

n

∑ ∑

∑ ∑

⇒ ⋅

⇒ ⋅

α

α



iF

y'

xiP

x'

iMm i

yiP

ESTRUCTURAS DE NUDOS RÍGIDOS.- Se comprueba el equilibrio delos nudos para las fuerzas horizontales y verticales y para losmomentos externos.

F = 0 F + (P cos - P sen ) = 0

F = 0 F + (P sen + P cos ) = 0

M = 0 M + m = 0

x ix xi i yi ii=1

n

y iy xi i yi ii=1

n

i ii=1

n

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

⇒ ⋅ ⋅

⇒ ⋅ ⋅

⇒

α α

α α



x'

yy'

xi

j

Pxi Pxji j

dxi xjd ( )

P = - P

l = d - d =P l E A

P = - P = E Al

d - d

xi xj

xj xixj

xj xi xj xi

∆⋅

⋅⋅

{ {

PP

P

=

E Al

- E Al

-E A

lE A

l

K

dd

d

xi

xj

xi

xj

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅

~ ~ ~1 244 344

~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~P = K d + K d

P = K d + K d

i ii i ij j

j ji i jj j

⋅ ⋅

⋅ ⋅

ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS ARTICULADOS

Ecuación de la barra

Puesto en forma matricial



Pxi

x'

y'

P'yi

xiP' i

xy

j

P' = P cos P' = P sen

xi xi

yi yi

⋅⋅

αα

( ){P'P'

P'

= cos sen

A

P P

xi

yi

i

t

xi

i

⋅

~ ~ ~123 1 24 34

αα

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~P = K d + K d P = K A d' + K A d'

P = K d + K d P = K A d' + K A d'

i ii i ij j i ii i ij j

j ji i jj j j ji i jj j

⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d'

P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d'

it

it

ii it

ij j ii i ij j

jt

jt

ji it

jj j ji i j j j

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Cambio de ejes

En forma matricial

Proyectando sobre el eje de la barra

( ){ ( )P = P' cos + P' sen P

P

= cos sen

A

P'P'

P'

xi xi yi xi

i

xi

yi

i

α α α α⇒ ⋅

~ ~~

1 244 344123

Para los desplazamientos las relaciones son idénticas

~ ~ ~d = A d'i i⋅

~ ~ ~d ' = A di

ti⋅

Aplicando la transformación de coordenadas a las ecuaciones

Multiplicando a la izquierda por At



Efectuando las multiplicaciones matriciales

( )S = S =cos sen

EAl

cos sen =

EAl

cosEA

lsen cos

EAl

sen cos EA

lsen

ii j j

2

2

αα

α αα α α

α α α

⋅

⋅

( )S = S =cos

sen - EA

lcos sen =

- EAl

cos - EAl

sen cos

- EAl

sen cos - EAl

senij ji

2

2

α

αα α

α α α

α α α

⋅

⋅

La matriz de rigidez en coordenadas globales de la barra será

P'P'......P'P'

=

EAl

cos EAl

sen cos : - EAl

cos - EAl

sen cos

EAl

sen cos EAl

sen : - EAl

sen cos - EAl

sen

......................... ......... ................ : ...............

xi

yi

xj

yj

2 2

2 2

α α α α α α

α α α α α α

.......... ........................- EA

lcos - EA

lsen cos : EA

lcos EA

lsen cos

- EAl

sen cos - EAl

sen : EAl

sen cos EAl

sen

d'd'......d'd'

2 2

2 2

xi

yi

xj

yj

α α α α α α

α α α α α α

⋅



Pxi

x'

y'

P'yi

xiP' i

xy

j

d = cos d' + sen d'xi xi yiα α⋅ ⋅

d = cos d' + sen d'xj xj yjα α⋅ ⋅

CÁLCULO DE ESFUERZOS: ESTRUCTURASARTICULADAS PLANAS

Para cada barra seaplica la ecuación decompatibilidad

~ ~ ~d = A d'⋅

( ){ ( )d

d

= cos sen

A

d'd'

d'

xi

xi

yi~ ~ ~

α α1 2444 3444

123⋅

Nudo origen i

Nudo extremo j

Aplicando la ecuación constitutiva

~ ~ ~P = K d⋅

P = EAl

d - EAl

d

P = -EAl

d + EA

ld

xi xi xj

xj xi xj

⋅ ⋅

⋅ ⋅



F i

x'

y'

iP

P'xi

yiP'

COMPROBACIÓN DE RESULTADOS: ESTRUCTURASARTICULADAS PLANAS.

Se comprueba el equilibrio de los nudos, para las fuerzashorizontales y verticales externas.

Es preciso pasar los esfuerzos sobre las barras a coordenadasglobales

( )~ ~ ~P' = A P

P'P'

=cos sen

. P

P' = P cos ; P' = P sen

it

i

xi

yii

xi i yi i

⋅ ⇒

⋅ ⋅

αα

α α

Aplicando las condiciones de equilibrio

F = 0 F + P cos = 0

F = 0 F + P sen = 0

x ix i ii=1

n

y iy i ii=1

n

∑ ∑

∑ ∑

⇒ ⋅

⇒ ⋅

α

α



i

jy

x

y'

x'

ESTRUCTURAS DE PÓRTICOS PLANOS

Matriz de cargas Matriz de fuerzasexteriores internas

P' = FF

M

P =

PPm....PPm

i

xi

yi

i

i

xi

yi

i

xj

yj

j

~ ~

Desplazamientos en Desplazamientos encoord. locales coordenadas globales

d =

dd

....

dd

d' =

d'd'

'....

d'd'

'

i

xi

yi

i

xj

yj

j

i

xi

yi

i

xj

yj

j

~ ~θ

θ

θ

θ



x

Pxj

Pyi

Pxi

Pyj

xid xjd

y

m j

m i

1

1 i

j

Estado 1

m

2im

Estado 2

2j

i

j

yid - dyj

dyiyjd

i

j

ji

Momentos producidos por el estado 1.- Giro de los extremos.

θ

θ

θ θ

θ θ

ii

1j

1

ji

1j

1

i

1

i j

j

1

i j

= m l3E

- m l6E

= -m l3E

+ m l6E

m =

4El

+ 2E

l

m = 2El

+ 4El

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⇒⋅ ⋅

⋅ ⋅I I

I I

I I

I I

Momentos producidos por el estado 2.- Desplaz. de los extremos.

( )m = m = 6El

d - d = 6El

d - 6El

di

2

j

2

2 yi yj 2 yi 2 yj

I I I⋅ ⋅

El estado total es la suma de ambos

m = 6El

d + 4E

l -

6El

d + 2E

l

m = 6El

d + 2E

l -

6El

d + 4E

l

i 2 yi i 2 yj j

j 2 yi i 2 yj j

I I I I

I I I I

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

θ θ

θ θ



P = K d + K d P = K d + K d

En coordenadas localesi ii i ij j

j ji i jj j

~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~

⋅ ⋅⋅ ⋅

⇒

Esfuerzos cortantes.- Se plantea la ecuación de equilibrio de labarra

P = - P = m + m

l = 12E

ld + 6E

l - 12E

ld + 6E

lyi yji j

3 yi 2 i 3 yj 2 j

I I I I⋅ ⋅ ⋅ ⋅θ θ

Esfuerzos axiles.- Su formulación es idéntica a las estructurasarticuladas

P = - P = EAl

d - EAl

dxi xj xi xj⋅ ⋅

Poniendo todas estas ecuaciones en forma matricial

{ {

PP

m

P

=

EAl

0 0

012E

l6El

06El

4El

K

dd

d

+

-EA

l0 0

0 -12E

l6El

0 -6El

2El

K

dd

xi

yi

i

i

3 2

2

ii

xi

yi

i

i

3 2

2

ij

xj

yj

j

⋅

⋅

~ ~ ~ ~

I I

I I

I I

I I

1 2444 3444 1 24444 34444

θ θ{

~dj

{ {

PPm

P

=

-EA

l0 0

0 -12E

l-6El

06El

2El

K

dd

d

+

-EA

l0 0

012E

l-

6El

0 -6El

4El

K

dxj

yj

j

j

3 2

2

ji

xi

yi

i

i

3 2

2

jj

xj

⋅

⋅

~ ~ ~ ~

I I

I I

I I

I I

1 24444 34444 1 24444 34444

θ{

d

d

yj

j

j

θ

~

Que pueden ponerse en la forma



~ ~ ~P = A P'⋅~ ~ ~P' = A Pt ⋅

PPm

=cos sen 0-sen cos 0

0 0 1

P'P'm

x

y

x

y

⋅

α αα α

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~P = K d + K d P = K A d' + K A d'

P = K d + K d P = K A d' + K A d'



⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~



it

it

ii it

ij j ii i ij j

jt

jt

ji it

jj j ji i j j j

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Cambio de coordenadas.- Se pasan de coordenadas locales (x,y)a globales (x’,y’) por medio de una matriz de rotación.

Como en las matrices derotación la inversa es igual a latraspuesta



Para calcular las submatrices S se aplica la transformación decoordenadas a cada una de las submatrices K



~

~ ~ ~

S =

cos -sen 0

sen cos 00 0 1

A

EAl

0 0

012E

l6El

06El

4El

K

cos sen 0

-sen cos 00 0 1

A

ii

t

3 2

2

ii

α αα α

α αα α

⋅

⋅

1 2444 34441 2444 3444

1 2444 3444

I I

I I

El resultado final de efectuar estas multiplicaciones matriciales alas cuatro submatrices será

Siendo~S =

a c d : -a -c d

c b e : -c -b ed e f : -d -e g... ... ... ... ... ... ...

-a -c -d : a c -d-c -b -e : c b -e

d e g : -d -e f

a = EAl

cos + 12El

sen

b =EAl

sen +12E

lcos

c =EAl

sen cos -12E

lsen cos

d = - 6El

sen ; e = 6El

cos

f = 4El

; g = 2El

2

3

2

2

3

2

3

2 2

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

α α

α α

α α α α

α α

I

I

I

I I

I I



dd =

cos sen 0-sen cos 0

0 0 1

d'd'

'

xi

yi

i

xi

yi

iθ

α αα α

θ

⋅

~ ~ ~P = K d⋅

d = cos d' + sen d'

d = - sen d' + cos d'

= '

xi xi yi

yi xi yi

i i

α α

α α

θ θ

⋅ ⋅

⋅ ⋅

d = cos d' + sen d'

d = - sen d' + cos d'

= '

xj xj yj

yj xj yj

j j

α α

α α

θ θ

⋅ ⋅

⋅ ⋅

CÁLCULO DE ESFUERZOS: ESTRUCTURAS DE PÓRTICOS PLANOS

Para cada barra se aplica la ecuación de compatibilidad

~ ~ ~d = A d'⋅

Aplicando esta ecuación a losnudos origen y extremo de la barra

Nudo origen i

Nudo extremo j


P = - P = EAl

d - EAl

dxi xj xi xj⋅ ⋅

P = - P = m +m

l = 12E

ld + 6E

l - 12E

ld + 6E

lyi yji j

3 yi 2 i 3 yj 2 j

I I I I⋅ ⋅ ⋅ ⋅θ θ

m = 6El

d + 4El

- 6El

d + 2El

m = 6El

d + 2El

- 6El

d + 4El

i 2 yi i 2 yj j

j 2 yi i 2 yj j

I I I I

I I I I

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

θ θ

θ θ



iF

y'

xiP

x'

iMm i

yiP

COMPROBACIÓN DE RESULTADOS: ESTRUCTURAS DE PÓRTICOSPLANOS.

Se comprueba el equilibrio de los nudos, para las fuerzashorizontales y verticales externas y para los momentos exteriores.

Es preciso pasar los esfuerzos sobre las barras a coordenadasglobales

~ ~ ~P' = A P

P'P'

m'

=cos -sen 0sen cos 0

0 0 1

.PP

m

P' = P cos - P sen

P' = P sen + P cos

m' = m

it

i

xi

yi

i

i i

i i

xi

yi

i

xi xi i yi i

yi xi i yi i

i i

⋅ ⇒

⋅ ⋅

⋅ ⋅

α αα α

α α

α α


F = 0 F + (P cos - P sen ) = 0

F = 0 F + (P sen + P cos ) = 0

M = 0 M + m = 0

x ix xi i yi ii=1

n

y iy xi i yi ii=1

n

i ii=1

n

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

⇒ ⋅ ⋅

⇒ ⋅ ⋅

⇒

α α

α α



i j

-m

ji-m

ij

mi

-Vi

-m i

j

j-V

j

+

i-V j+V

Pq

Pq

Estado general

Estado I Estado II

M

P Pxi x ji j

iM y iP Pyjj

i-V -

Diagrama de flectores Diagrama de cortantes

-

+- -

+

yiP

yjPjV +

iMi-m --m +Mj j

ACCIONES SOBRE LAS BARRAS.- PÓRTICOS PLANOS

Estado I .- Se emplea elconvenio de signos de flectoresy cortantes

Estado II.- Se emplea elconvenio de signos de matricial

Resultado final Superposición E I + EII



P

P

P

M

q

y

y'

xx'z=z'

ESTRUCTURAS DE EMPARRILLADOS PLANOS

Condiciones

C Estructura plana, horizontal, de nudos rígidos.C Cargas perpendiculares al plano.C Momentos contenidos en el planos

Hipótesis

C Los desplazamientos son sólo verticales.C No se producen giros de eje vertical



xixj-xim xjm

Matriz de cargas Matriz de fuerzasexteriores internas

P' = MFM

P =

mPm....mPm

i

xi

Zi

yi

i

xi

zi

yi

xj

zj

yj

~ ~

Desplazamientos en Desplazamientos encoord. locales coordenadas globales

d =

d

....

d

d' =

'd'

'....d'd'

'

i

xi

zi

yi

xj

zj

yj

i

xi

zi

yi

xj

zj

yj

~ ~

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

La diferencia principal con los pórticos planos consiste en el efectodel momento torsor que es análogo al del esfuerzo axil.

m = - m = GJl - GJ

lxi xj xi xj⋅ ⋅θ θ



m

ij

j

i dzjzid

tj

ti

yzjP

xim

ziP

x

d - dzi

yj2

m yi2

m

Estado 1

j

i

1 1yim yjm

xj

zj

Estado 2

Momentos producidos por el estado 1.- Giro de los extremos.

θ

θ

θ θ

θ θ

yi =

myi

1 l

3E -

myj

1 l

6E

yj = -

myi

1 l

3E +

myj

1 l

6E

m

yi1 = 4E

l yi + 2E

l yj

myj

1 = 2E

l yi +

4El yj

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⇒⋅ ⋅

⋅ ⋅

I I

I I

I I

I I

Momentos producidos por el estado 2.- Desplaz. de los extremos.

( )m = m = 6El

d - d = 6El

d - 6El

dyi

2

yj

2

2 zi zj 2 zi 2 zj

I I I⋅ ⋅

El estado total es la suma de ambos

m = 6El

d + 4El

- 6El

d + 2El

m = 6El

d + 2El

- 6El

d + 4El

yi 2 zi yi 2 zj yj

yj 2 zi yi 2 zj yj

I I I I

I I I I

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

θ θ

θ θ



P = K d + K d P = K d + K d

En coordenadas localesi ii i ij j

j ji i jj j

~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~

⋅ ⋅⋅ ⋅

⇒

Esfuerzos cortantes.- Se plantea la ecuación de equilibrio de labarra

P = - P = m + m

l =

12El

d + 6El

- 12E

ld +

6Elzi zj

i j3 zi 2 yi 3 zj 2 yj

I I I I⋅ ⋅ ⋅ ⋅θ θ

Momentos torsores.- Su formulación es análoga a las estructurasde pórticos planos

m = - m = GJl -

GJlxi xj xi xj⋅ ⋅θ θ

Poniendo todas estas ecuaciones en forma matricial

{

m

Pm

P

=

GJl

0 0

012E

l6El

0 6El

4El

K

d

d

+

- GJl

0 0

0 -12E

l6El

0 - 6El

2El

K

dxi

zi

yi

i

3 2

2

ii

xi

zi

yi

i

3 2

2

ij

xj

zj

⋅

⋅

~ ~ ~ ~

1231 2444 3444 1 24444 34444

I I

I I

I I

I I

θ

θ

θ

{θyj

jd

~

{

mPm

P

=

- GJl

0 0

0 - 12El

- 6El

0 6El

2El

K

d

d

+

- EAl

0 0

0 12El

- 6El

0 - 6El

4El

K

xj

zj

yj

j

3 2

2

ji

xi

zi

yi

i

3 2

2

jj

⋅

~ ~ ~ ~

1231 24444 34444 1 24444 34444

I I

I I

I I

I I

θ

θ{

⋅

θ

θ

xj

zj

yj

j

d

d~

Que pueden ponerse en la forma



z=z' x' x

y'

~ ~ ~P = A P'⋅~ ~ ~P' = A Pt ⋅

mPm

=cos 0 sen

0 1 0-sen 0 cos

m'P'm'

x

z

y

x

z

y

⋅

α α

α α

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~P = K d + K d P = K A d' + K A d'

P = K d + K d P = K A d' + K A d'



⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~



it

it

ii it

ij j ii i ij j

jt

jt

ji it

jj j ji i j j j

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Cambio de coordenadas.- Se pasan de coordenadas locales (x,y)a globales (x’,y’) por medio de una matriz de rotación.

Como en las matrices de rotación la inversa es igual a la traspuesta



Para calcular las submatrices S se aplica la transformación decoordenadas a cada una de las submatrices K



~

~ ~ ~

S =cos 0 -sen

0 1 0sen 0 cos

A

GJl

0 0

0 12El

6El

0 6El

4El

K

cos 0 sen0 1 0

-sen 0 cos

A

ii

t

3 2

2

ii

α α

α α

α α

α α

⋅

⋅

1 2444 34441 2444 3444

1 2444 3444

I I

I I

El resultado final de efectuar estas multiplicaciones matriciales alas cuatro submatrices será como en el caso del pórtico plano

Siendo los coeficientes~S =

a c d : g -c hc b e : c -b id e f : h -i j... ... ... ... ... ... ...g c h : a -c d-c -b -i : -c b -ih i j : d -i f

a =GJl

cos +4E

lsen ; b =

12El

c = -6El

sen ; d =GJl

sen cos -4E

lsen cos

e = 6El

cos ; f = GJl

sen + 4El

cos

g = -GJl

cos +2E

lsen ; h = -

GJl

sen cos +2E

lsen cos

i =6El

cos ; j = -GJl

sen

2 23

2

22 2

2 2

2

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

α α

α α α α α

α α α

α α α α α α

α

I I

I I

I I

I I

I 2 2+2E

lcosα αI ⋅



θ

θ

α α

α α

θ

θ

xi

zi

yi

xi

zi

yi

d =

cos 0 sen

0 1 0

-sen 0 cos

'

d'

'

⋅

~ ~ ~P = K d⋅

θ α θ α θ

θ α θ α θ

xi xi yi

zi zi

yi xi yi

= cos ' + sen '

d = d'

= - sen ' + cos '

⋅ ⋅

⋅ ⋅

θ α θ α θ

θ α θ α θ

xj xj yj

zj zj

yj xj yj

= cos ' + sen '

d = d'

= - sen ' + cos '

⋅ ⋅

⋅ ⋅

CÁLCULO DE ESFUERZOS: ESTRUCTURAS DE EMPARRILLADOSPLANOS

Para cada barra se aplica la ecuación de compatibilidad

~ ~ ~d = A d'⋅

Aplicando esta ecuación a los nudos origen y extremo de la barra

Nudo origen i

Nudo extremo j


m = - m = GJl

- GJlxi xj xi xj⋅ ⋅θ θ

P = - P = m +m

l =

12El

d + 6El

- 12E

ld +

6Elzi zj

yi yj3 zi 2 yi 3 zj 2 yj

I I I I⋅ ⋅ ⋅ ⋅θ θ

m = 6El

d + 4El

- 6El

d + 2El

m = 6El

d + 2El

- 6El

d + 4El

yi 2 zi yi 2 zj yj

yj 2 zi yi 2 zj yj

I I I I

I I I I

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

θ θ

θ θ



y

y'

x'z=z'

x

F

M

COMPROBACIÓN DE RESULTADOS: ESTRUCTURAS DEEMPARRILLADOSPLANOS.

Se comprueba el equilibrio de los nudos, para las fuerzas verticalesexternas y para los momentos exteriores.Es preciso pasar los esfuerzos sobre las barras a coordenadas globales

~ ~ ~P' = A P

m'

P'm'

=

cos 0 -sen

0 1 0sen 0 cos

.

m

Pm

m' = m cos - m sen

P' = P

m' = m sen + m cos

it

i

xi

Zi

yi

i i

i i

xi

Zi

yi

xi xi i yi i

zi zi

yi xi i yi i

⋅ ⇒

⋅ ⋅

⋅ ⋅

α α

α α

α α

α α


M = 0 M + (m cos - m sen ) = 0

F = 0 F + P = 0

M = 0 M + (m sen + m cos ) = 0

x ix xi i yi ii=1

n

z zi zii=1

n

y iy xi i yi ii=1

n

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

⇒ ⋅ ⋅

⇒

⇒ ⋅ ⋅

α α

α α



x'z=z'x

y'

y

i

j

F

-V

-Vi

y

jj

-M

i

i

-M

z=z' xj

y'

j

x'z=z'-M

ii

M

j

j

y

iV

V

y'

x

Estado general

Estado I Estado II+

x'

F

ACCIONES SOBRE LAS BARRAS.- EMPARRILLADOS PLANOS

Estado I .- Se emplea el convenio de signos de flectores y cortantes

Estado II.- Se emplea el convenio de signos de matricial paraemparrillados planos



V

Vi

y

j

j

Mi

i

Mz=z' x'

j

y'

x

jy'

x'

y

i

yi

x

M'Mi

jMM'xiyjM'

xjM'

α

Diagrama de flectores

-M +i M'yi

+- -

V +

Diagrama de cortantes

j

Pzi

+

--V -i

Pzj

M'yj-M -j

Los momentos del estado 2 están referidos a coordenadas locales

Deben cambiarse a coordenadas globales

M' = - M sen ; M' = M sen

M' = M cos ; M' = - M cosxi i xj i

yi i xj i

⋅ ⋅

⋅ ⋅

α α

α α

Resultado final Superposición E I + EII



x'z=z'

y

ix

y'

z

α

EMPARRILLADOS SOBRE PILARES.

S u p o n e m o s s ó l od e s p l a z a m i e n t o sverticales en los nudos

m =4E

l

P =EA

ld

m =4E

l

xix

xi

zi xi

yiy

yi

I

I

⋅

⋅

⋅

θ

θ

m

Pm

=

4El

0 0

0 EAl

0

0 04E

l

dxi

zi

yi

x

y

xi

xi

yi

⋅

I

I

θ

θ

~K =

cos 0 -sen0 1 0

sen 0 cos

4El

0 0

0 EAl

0

0 04E

l

cos 0 sen0 1 0

-sen 0 cosii

x

y

α α

α α

α α

α α

⋅

⋅

I

I

~K =

4El

cos +4E

lsen 0 4E

l-

4El

sen cos

0 EAl

0

4El

-4E

lsen cos 0 4E

lsen +

4El

cos

ii

x 2 y 2 x y

x y x 2 y 2

I I I I

I I I I

α α α α

α α α α

⋅

⋅



y'

z'

x'

x

j

yi

z

Px i P xj

x ix i

MALLAS ESPACIALES

Son estructurasf o r m a d a s p o rbarras articuladasen el espacio.

Ejes locales y ejes globales.

S ó l o e ssignificativo el eje x

Eje x → =− − −

( , , )

x xl

,y y

l,z z

lj i j i j icos cos cosα β γ

Matriz de rigidez

( )P PEA

ld dxi xj xi xj= − = −



En forma matricial:

P

P

d

dP k d k dP k d k d

xi

xj

EAl

EAl

EAl

EAl

xi

xj

i ii i ij j

j ji i jj j

=

−

−

⋅

⇒

= += +

~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~

Matriz de compatibilidad:

( )~ cos cos cos ~coscoscos

∆ ∆t = =

α β γαβγ

Matriz de rigidez en coordenadas globales

( )~ ~ cos cos coscoscoscos

S K EAlij ij= ⋅ ⋅ = ⋅ ±

⋅

∆ ∆ α β γαβγ

Efectuando el producto de matrices se obtiene

=

− − −− − −− − −

− − −− − −− − −

∑EA

l

S

S a b c a b cb d e b d e

c e f c e fa b c a b cb d e b d e

c e f c e f S

S

ii

ii

jj

ij

~

~

~

~

a=cos2ab=cos a cos bc=cosa cosg

d=cos2be=cosbcosgf=cos2g



x

y

z

y

x

z

y

x

z

Px i Px j

i j

VÍNCULOS

Apoyo simple sobre un plano

dz = 0

Articulación cilíndrica

dx = 0dy = 0

Articulación esférica (rótula)

dx = 0dy = 0dz = 0

Cálculo de esfuerzos

( )P P EAl

d dxi xj xi xj= − = −

( ) ( ) ( )[ ]

pero d d' cos d' cos d' cos

d d' cos d' cos d' cos

P P EAl

d' d' cos d' d' cos d' d' cos

xi xi yi zi

xj xj yj zj

xi xj xi xj yi yj zi zj

= + +

= + +

= − = − + − + −

α β γ

α β γ

α β γ



xx

x'z=z'

α

x'z=z'

α

yy

iz

y'y'm = 3E

ld

m =3E

ld

P = EAl

d

xix

2 xi

yiy

2 yi

zi zi

I

I

⋅

⋅

⋅

~K =

3El

cos +3E

lsen

3El

-3E

lsen cos 0

3El

-3E

lsen cos

3El

sen +3E

lcos 0

0 0 EAl

ii

x 2 y 2 x y

x y x 2 y 2

I I I I

I I I I

α α α α

α α α α

⋅

⋅

MALLAS ESPACIALESSOBRE PILARES.

mmP

=

3El

0 0

03E

l0

0 0EA

l

ddd

xi

yi

zi

x2

y2

xi

yi

zi

⋅

I

I

~K =

cos -sen 0

sen cos 00 0 1

3El

0 0

03E

l0

0 0EA

l

cos sen 0

-sen cos 00 0 1

ii

x

y

α α

α α

α α

α α

⋅

⋅

I

I

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