CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS … fileCÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Juan Pérez...

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Juan Pérez Valcárcel 1999

mxi

mzi

Pzi

P

xjmxjP

zjm yj

myj

yim

xiP

Pyi

Pzj

~ ~d =

ddd....qqq

d =

ddd....qqq

i

xi

yi

zi

xi

yi

zi

j

xj

yj

zj

xj

yj

zj

ESTRUCTURAS DE PÓRTICOS ESPACIALES

Barra en el espacio en coordenadas locales

Los esfuerzos y desplazamiento en coordenadas locales serán

~ ~P =

P

PP....

mmm

P =

P

PP....

mmm

i

xi

yi

zi

xi

yi

zi

j

xj

yj

zj

xj

yj

zj

Las relaciones entre esfuerzos y deformaciones son similares a lasobtenidas en el pórtico plano y en el emparrillado plano

CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS


z

Estado IIy

yEstado I

xm yi

II

yi

Iyim

y

θ

δ − δzi

yjII

Iyj

zj

yj

m

mθ

Esfuerzo axil.

P = - P = EA

ld -

EAl

dxi xj xi xj⋅ ⋅

Momento torsor

m = - m = GJl - GJ

lxi xj xi xj⋅ ⋅θ θ

FLEXIÓN EN EL PLANO DEL ENTRAMADO

m = -6E

ld +

6E

ld +

4E

l +

2E

l

m = -6E

ld +

6El

d + 2E

l +

4El

P = - P = -12E

ld +

12E

ld +

6E

l +

6E

l

yi 2 zi 2 zj yi yj

yj 2 zi 2 zj yi yj

zi zj 3 zi 3 zj 2 yi 2 yj

I I I I

I I I I

I I I I

y y y y

y y y y

y y y y

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

θ θ

θ θ

θ θ



z

Estado IIm II

zi

yEstado I

ziIm

zi

x

y

θ

m IIzj

zj

Izjm

yiδ − δyj

θ

FLEXIÓN EN EL PLANO NORMAL AL ENTRAMADO

m = 6E

ld -

6El

d + 4E

l +

2El

m = 6E

ld -

6El

d + 2E

l +

4El

P = - P = 12E

ld -

12El

d + 6El

+ 6El

zi 2 yi 2 yj zi zj

zj 2 yi 2 yj zi zj

yi yj 3 yi 3 yj 2 zi 2 zj

I I I I

I I I I

I I I I

z z z z

z z z z

z z z z

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

θ θ

θ θ

θ θ



~

~ ~

K =

K Kii ij

EAl

EAl

EIl

EIl

EIl

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EI

lGJl

GJl

EI

l

EI

l

EI

l

EI

lEIl

EIl

EI

z z z z

y y y y

y y y y

z z

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

012

0 0 06

012

0 0 06

0 012

06

0 0 012

06

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 06

04

0 0 06

02

0

06

0 0 04

06

3 2 3 2

3 2 3 2

2 2

2

M

M

M

M

M

M

−

−

− − −

−

−

− z z

z z z z

y y y y

y y y y

z

lEIl

EAl

EAl

EIl

EIl

EIl

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EI

lGJl

GJl

EI

l

EI

l

EI

l

EI

lEIl

2

3 2 3 2

3 2 3 2

2 2

2

0 0 02

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

012

0 0 06

012

0 0 06

0 012

06

0 0 012

06

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 06

02

0 0 06

04

0

06

0

L L L L L L M L L L L L L

M

M

M

M

M

−

− − −

−

−

−

0 02

06

0 0 04

2

EIl

EIl

EIl

z z zM

M~ ~K Kji j j

P = K d + K d

P = K d + K d En coordenadas localesi ii i ij j

j ji i jj j

~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~

⋅ ⋅⋅ ⋅

⇒

Poniendo todas estas ecuaciones en forma matricial

Que pueden ponerse en la forma



αz β γz zZ=(cos ,cos ,cos )

xxx βα γX=(cos ,cos ,cos )γ yyyα βY=(cos ,cos ,cos )

X'

Z'

Y'

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d'

P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d'

it

it

ii it

ij j ii i ij j

jt

jt

ji it

jj j ji i j j j

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

CAMBIO DE COORDENADAS

Se pasan de coordenadas locales (x,y,z) a globales (x’,y’,z’) pormedio de una matriz de rotación que afecta a cada grupo de tresejes

~A =

cos cos cos 0 0 0cos cos cos 0 0 0

cos cos cos 0 0 0

0 0 0 cos cos cos 0 0 0 cos cos cos

0 0 0 cos cos cos

x x x

y y y

z z z

x x x

y y y

z z z

α β γα β γα β γ


MM

ML L L M L L L

MM

M

Para pasar a coordenadas globales se procede como en los casosanteriores



~ ~ ~d = A d'⋅

d = d' cos + d' cos + d' cos



= ' cos + ' cos + ' cos

= ' cos + ' cos + ' cos

=

xi xi yi zi

yi xi yi zi

zi xi yi zi

xi xi yi zi

yi xi yi zi

zi

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

α β γ

α β γ

α β γ

θ θ α θ β θ γ


θ

x x x

y y y

z z z

x x x

y y y

θ α θ β θ γ' cos + ' cos + ' cos xi yi zi⋅ ⋅ ⋅z z z




= ' cos + ' cos + ' cos

= ' cos + ' cos + ' cos

=

xj xj yj zj

yj xj yj zj

zj xj yj zj

xj xj yj zj

yj xj yj zj

zj

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

α β γ

α β γ

α β γ



θ

x x x

y y y

z z z

x x x

y y y

θ α θ β θ γ' cos + ' cos + ' cos xj yj zj⋅ ⋅ ⋅z z z

CÁLCULO DE ESFUERZOS: ESTRUCTURAS DEPÓRTICOS ESPACIALES

Para cada barra se aplica la ecuación de compatibilidad

Aplicando esta ecuación a los nudos origen y extremo de la barra

Nudo origen i

Nudo extremo j



~ ~ ~P = K d⋅

m = - m = GJl -

GJlxi xj xi xj⋅ ⋅θ θ

Aplicando la ecuación constitutiva

P = - P = EA

l d - EA

l dxi xj xi xj⋅ ⋅

m = -6E

ld +

6El

d + 4E

l +

2El

m = -6E

ld +

6El

d + 2E

l +

4El

P = - P = -12E

ld +

12El

d + 6E

l +

6El

yi 2 zi 2 zj yi yj

yj 2 zi 2 zj yi yj

zi zj 3 zi 3 zj 2 yi 2 yj

I I I I

I I I I

I I I I

y y y y

y y y y

y y y y

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

θ θ

θ θ

θ θ

m = 6E

ld -

6El

d + 4E

l +

2El

m = 6E

ld -

6El

d + 2E

l +

4El

P = - P = 12E

ld -

12El

d + 6El

+ 6El

zi 2 yi 2 yj zi zj

zj 2 yi 2 yj zi zj

yi yj 3 yi 3 yj 2 zi 2 zj

I I I I

I I I I

I I I I

z z z z

z z z z

z z z z

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

θ θ

θ θ

θ θ



P'P'

P'

m'm'

m'

=

cos cos cos 0 0 0cos cos cos 0 0 0

cos cos cos 0 0 0

0 0 0 cos cos cos 0 0 0 cos cos cos

0 0 0 cos cos cos

Pxi

yi

zi

xi

yi

zi

xi xi xi

yi yi yi

zi zi zi

xi xi xi

yi yi yi

zi zi zi

L

MM

ML L L M L L L

MM

M

⋅



xi

yi

zi

xi

yi

zi

P

P

mm

m

L

COMPROBACIÓN DE RESULTADOS: ESTRUCTURASDE PÓRTICOS ESPACIALES.

Se comprueba el equilibrio de los nudos, para las fuerzas verticalesexternas y para los momentos exteriores.

Es preciso pasar los esfuerzos sobre las barras a coordenadas globales~' ~P = A Pt ⋅

Aplicando las condiciones de equilibrio

F = 0 F + (P cos + P cos + P cos = 0

F = 0 F + (P cos +P cos + P cos = 0

F = 0 F + (P cos + P cos +P cos = 0

M = 0 M + (m cos + m

x x xii=1

n

xi yi yi zi zi

y y xii=1

n

xi yi yi zi z i

z z xii=1

n

xi yi yi zi zi

x x xii=1

n

xi yi

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

⇒ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⋅ ⋅

α α α

β β β

γ γ γ

α cos + m cos = 0

M = 0 M + (m cos + m cos + m cos = 0

M = 0 M + (m cos + m cos + m cos = 0

yi zi z i

y y xii=1

n

xi yi yi zi zi

z z xii=1

n

xi yi yi z i zi

α α

β β β

γ γ γ

⋅

⇒ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⋅ ⋅ ⋅

∑ ∑

∑ ∑



iV

Mi

jV

Mj

P'P'P'

m'm'm'

=

cos cos cos 0 0 0cos cos cos 0 0 0cos cos cos 0 0 0

0 0 0 cos cos cos 0 0 0 cos cos cos 0 0 0 cos cos cos

0xi

yi

zi

xi

yi

zi

xi xi xi

yi yi yi

zi zi zi

xi xi xi

yi yi yi

zi zi zi

L

MMM

L L L M L L LMMM

⋅



0V

0M0

=

V cos V cos V cos

M cos M cos M cos

i

i

i xi

i yi

i zi

i xi

i yi

i zi

L L

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

γγγ

βββ

ACCIONES SOBRE LAS BARRAS.- PÓRTICOSESPACIALES

En el caso más frecuente de cargas verticales sobre la barra

Es preciso pasar los esfuerzos de empotramiento perfecto sobre lasbarras a coordenadas globales~' ~P = A Pt ⋅

Nudo origen i



P'P'P'

m'm'm'

=

cos cos cos 0 0 0cos cos cos 0 0 0cos cos cos 0 0 0

0 0 0 cos cos cos 0 0 0 cos cos cos 0 0 0 cos cos cos

0xj

yj

zj

xj

yj

zj

xi xi xi

yi yi yi

zi zi zi

xi xi xi

yi yi yi

zi zi zi

L

MMM

L L L M L L LMMM

⋅



0V

0-M0

=

V cos V cos V cos

-M cos -M cos -M cos

j

j

j xi

j yi

j zi

j xi

j yi

j zi

L L

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

γγγ

βββ

Nudo extremo j

Resultado final Superposición E I + EII



(7)

(3)

(1)

1

3

5

8

4

9

765

2 3

1

(5-2+1)·3=12

(9-5+1)·3=15

Ancho de Banda

Ancho de Banda

8

(4)

(6)

2

(5)

(2)

(8)(9)

76

4

9

8

7

2

146

9 3

5

MÉTODOS DE RENUMERACIÓN DE NUDOS

Objetivos Reducir el espacio de almacenamientoReducir el tiempo de cálculo

ALGORITMO DE CUTHILL - Mc KEE

1 Se elige como punto inicial uno conectado a otros pocos nudos.2 A partir de él se construye un grafo.3 Se numeran los puntos de grafo en orden descendente.4 Se reitera el proceso para todos los nudos.

EJEMPLO

C No conduce necesariamente a la solución óptimaC Mejora si se efectúan permutaciones en cada nivel, pero a costa de

un importante incremento de tiempo, que lo puede hacer inviable.C Es sencillo y fácil de programar.



SIMPLIFICACIONES EN EL CÁLCULO MATRICIAL

Objetivos Reducir el número de grados de libertadSimplificar modelizaciones complejas

ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES

Son aquellas cuyos nudos pueden girar pero no desplazarse

C Por barras que triangulan la estructuraC Por cerramientos sólidos que impiden el desplazamiento de los

nudos

El cálculo se simplifica al no tener más que un grado de libertad por nudo:El giro



i

m i mj

j

ij

θθ

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA.

El único grado de libertad(el giro) no depende delsistema de coordenadas.No es preciso cambio deejes.

Momentos producidos por el estado 1.- Giro de los extremos.

θ

θ

θ θ

θ θ

ii j

ji j

i i j

j i j

= m l3E

- m l

6E

= -m l3E

+ m l6E

m = 4E

l + 2E

lm = 2E

l + 4E

l

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⇒⋅ ⋅

⋅ ⋅I I

I I

I I

I I

Que puesto en forma matricial

{

mm

P

=

4El

2El

2El

4El

K d

i

j

i

j

⋅

~ ~ ~123

1 244 344

I I

I Iθθ

El ensamblaje de matrices y la consideración de las cargasrepartidas se hacen de la misma manera que en el caso general.



y'

x'

ESTRUCTURAS TRASLACIONALES

Son aquellas cuyos nudos pueden girar y desplazarse.Puede simplificarse el tratamiento matricial si se consideran las siguienteshipótesis:

C Sólo se consideran deformaciones debidas a los momentosflectores. En consecuencia.

Los pilares se consideran indeformables a compresión.El desplazamiento horizontal de los nudos del mismo dinteles idéntico.

Estas hipótesis son similares a las que se emplean en el método deCross.

C El pórtico tiene sus vigas y pilares paralelos a los ejes globales.

C Todos los pilares llegan a cimentación.



M

MF4

7F

M32M

5M4

1

1

5

4

7

32

6

~ ~P =

MM

MF

MM

F

d = d

d

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

θθθ

θθ

NUMERACIÓN.

Es preciso numerar los grados de libertad de la estructura, no los nudos:

C Giros en los nudos.C Desplazamientos en los dinteles horizontales.

Vector de cargas Vector de desplazamientos



i

m i mj

j

ij

θθi

m i mj

j

ij

θθ

Ma

b

Fa

i

i

Fb

M j

j

CÁLCULO DE LAS MATRICES DE RIGIDEZ.

En este caso los ejes locales coinciden con los globales, por lo que no esnecesario considerar las matrices de compatibilidad.

VIGASLos extremos tienen elmismo desplazamiento.Es idéntico al casointralacional.

{

mm

P

=

4El

2El

2El

4El

K d

i

j

i

j

⋅

~ ~ ~123

1 244 344

I I

I Iθθ

PILARES

En un pilar actúan los momentos en susextremos Mi y Mj y las fuerzasc o r r e s p o n d i e n t e s a l o sdesplazamientos horizontales de lasplantas que une, Fa y Fb. El cálculo de lamatriz de rigidez se hace como en elcaso general.



Ma

b

m Ii

iiθ

Fa

i

iaF

iIIm

δa

m jI

j

jθFb

M j

j bFIIjm

abδ − δ

Momentos producidos por el estado 1.- Giro de los extremos.

θ

θ

θ θ

θ θ

ii

1j

1

ji

1j

1

i

1

i j

j

1

i j

= m l3E

- m l6E

= -m l3E

+ m l6E

m =

4El

+ 2E

l

m = 2El

+ 4El

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⇒⋅ ⋅

⋅ ⋅I I

I I

I I

I I

Momentos producidos por el estado 2.- Desplaz. de los extremos.

( )m = m = 6El

d - d = 6El

d - 6El

di2

j2

2 b a 2 b 2 aI I I⋅ ⋅

El estado total es la suma de ambos

m = 4El

+ 2El

- 6El

d + 6El

d

m = 2El

+ 4El

- 6El

d + 6El

d

i i j 2 a 2 b

j i j 2 a 2 b

I I I I

I I I I

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

θ θ

θ θ



m

mF

F

P

=

4El

2El

-6El

6El

2El

4El

-6El

6El

- 6El

- 6El

12El

- 12El

6El

6El

- 12El

12El

K

d

d

i

j

a

b

i

2 2

2 2

2 2 3 3

2 2 3 3

ii

i

j

a

b

⋅

~ ~

123

1 2444444 3444444

I I I I

I I I I

I I I I

I I I I

θθ

{

~di

Planteando la ecuación de equilibrio de la barra

F = - F = -m +m

l = -

6El

- 6El

+ 12E

ld +

12El

d a bi j

2 i 2 j 3 a 3 bI I I I

⋅ ⋅ ⋅ ⋅θ θ

Poniendo todas estas ecuaciones en forma matricial

El ensamblaje de la matriz global y el tratamiento de las cargas repartidasse hacen como en el caso general



W= fuerza del VIENTO

W/2

PORTICO 2PORTICO 1 PORTICO 3

CÁLCULO MATRICIAL DE UN EDIFICIO COMPLETO

Desplazamiento en una sola dirección

Pueden acoplarse los pórticos por medio de bielas por tener el mismodesplazamiento lateral.



ACCIONES RESPUESTAS

SUBESTRUCTURAS

Proceso general del cálculo matricial.

C Se estudia el comportamiento de un elemento en función de losdesplazamientos de sus dos extremos.

C Se ensamblan todas las barras de la estructura en una matriz derigidez global.

C Se resuelve el sistema de ecuaciones y se calculan los esfuerzos.

También es posible ensamblar un conjunto de barras siempre que seaposible formular los esfuerzos en los nudos de unión con el resto de laestructura en función de los desplazamientos de esos nudos. Esteconjunto se llama subestructura.

La subestructura funciona como una “caja negra”

Para obtener la matriz de rigidez de la subestructura:

C Se plantea la matriz de rigidez total de todas las barras afectadas.

C Se condensan de esa matriz el conjunto de grados de libertad queinteresen.

Se facilita enormemente el proceso ordenando los grados de libertad deforma tal que queden agrupados los que interese condensar.



A x + A x = bA x + A x = b

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

⋅ ⋅⋅ ⋅

{ {

A x = b Sistema global

A AA A

A

xx

x

=bb

b

11 12

21 22

1

2

1

2

⋅

⋅

~ ~ ~1 244 344

{

A 00 A

A*

x

x

x

=bb

b*

*11

*22

1

2

*1

*2

⋅

~ ~ ~1 244 344 123

A = A - A A A

b = b - A A b

*22 22 21

-111 12

*22 22 21

-111 1

⋅ ⋅

⋅ ⋅

Planteamiento teórico

Sistema condensado

Desarrollando el sistema anterior

x = A (b - A x )

A A (b - A x ) + A x = 0

(A - A A A ) x = b - A A b

A x = b

1-1

11 1 12 2

21-1

11 1 12 2 22 2

22 21-1

11 12 2 22 21-1

11 1*22 2

*22

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

De donde

Para condensar los grados de libertad es muy cómodo aplicar el algoritmode Gauss, siempre que estén al final. En caso contrario se necesitanalgoritmos especiales.



COLAPSO PANDEO GENERALIZADO del PORTICO

colapso

Desplazamientos

Axiles

régimen no lineal

régimen lineal

ANÁLISIS NO LINEAL

Principales causas:C Comportamientos no lineales del materialC Grandes desplazamientosC Modificaciones del estado tensional por la deformación

En este apartado sólo se van a analizar los efectos no lineales de lavariación de rigidez por efecto del esfuerzo axil Variaciones delestado tensional por la deformación de la barra

Aumento de axiles Disminuye la rigidez

Mayor deformación Tendencia a inestabilidad

La estructura se hace inestable cuando la matriz sea singular (autovalornulo)



N NM

α2

α1

PPm

P

Pm

P

=

EAl

0 0 -EA

l0 0

012E

l6El

0 -12E

l6El

06El

4El

0 -6El

2El

-EA

l0 0

EAl

0 0

0 -12E

l-

6El

012E

xi

Yi

i

xj

yj

j

i

3 2 3 2

2 2

3 2

L

123

M

M

M

L L L L L L L

M

M

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

~

I I I I

I I I I

I I I

Φ Φ Φ Φ

Φ Φ Φ Φ

Φ Φ

1 2 1 2

2 3 2 4

1 2 l-

6El

06El

2El

0 -6El

4El

K

dd

d

d3 2

2 2

ii

xi

yi

i

xj

yj

j⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

Φ Φ

Φ Φ Φ Φ

1 2

2 4 2 3

I

I I I IM

1 24444444444444444444 34444444444444444444~

θ

θ

~di

123

El esfuerzo axil modifica la rigidez Análisis no lineal

El efecto del axil sobre la estructura deformada hace que aumente elgiro α α1 α2

La rigidez disminuye al aumentar αR = Mα

Fases del cálculo no lineal

C Se hace un cálculo linealC Con los axiles calculados se modifica la matriz de rigidezC Se efectúa un nuevo cálculo con la rigidez corregidaC Se continua la iteración hasta que la diferencia de axiles en dos

cálculos consecutivos sea menor que lo prefijado

La matriz de rigidez en coordenadas locales será



N

M

NM'

ρπ

απ

ρ = -N

El

> 0 = 2

2

2

⋅⋅

I

ρπ

γπ

ρ = -N

El

< 0 = 2

- 2

2

⋅⋅

I

s = (1- 2 ctg 2 )

tg -

t = 2 - sen 2

sen 2 - 2 cos 2

α α αα α

α αα α α

⋅

⋅

s = (1- 2 cth 2 )

tg -

t = 2 - sh 2

sh 2 - 2 ch 2

γ γ γγ γ

γ γγ γ γ

⋅

⋅

Siendo Φ1, Φ2, Φ3 , Φ4 unas funciones de estabilidad definidas como

Se calcula la rigidez ( s = M/q ) y el factor de trasmisión ( t = M’/M ) enfunción del porcentaje del axil sobre la carga crítica de pandeo

BARRA COMPRIMIDA

BARRA TRACCIONADA



Suponiendo despreciable el efecto del cortante

Φ Φ

Φ

Φ Φ

1

2

1

2

2

3 4

= s (1+ t)

6 -

3> 0

o = s (1+ t)

6 +

3< 0

= s (1+ t)

6

= s4

= s t2

⋅ ⋅

⋅

⋅

α

ρ

γ

ρ1 244 344 1 244 344

Como los desplazamientos son muy pequeños se supone que no varíanlas orientaciones de los ejes locales, ni la matriz de compatibilidad.

NOTA.- Para valores reducidos del esfuerzo axil elN < 0,05 t

ordenador puede cometer graves errores de truncadura al calcular s y t.En estos casos se hace directamente Φ 1= Φ 2 = Φ 3 = Φ 4 = 1

La matriz de rigidez global será

Siendo~S =

a c d : -a -c d

c b e : -c -b ed e f : -d -e g... ... ... ... ... ... ...

-a -c -d : a c -d-c -b -e : c b -e

d e g : -d -e f



dd =

cos sen 0-sen cos 0

0 0 1

d'd'

'

xi

yi

i

xi

yi

iθ

α αα α

θ

⋅

d = cos d' + sen d'

d = - sen d' + cos d'

= '

xi xi yi

yi xi yi

i i

α α

α α

θ θ

⋅ ⋅

⋅ ⋅

d = cos d' + sen d'

d = - sen d' + cos d'

= '

xj xj yj

yj xj yj

j j

α α

α α

θ θ

⋅ ⋅

⋅ ⋅

a =EA

lcos +

12El

sen

b =EA

lsen +

12El

cos

c =EA

lsen cos -

12El

sen cos

d = -6El

sen ; e =6El

cos

f =4E

l ; g =

2El

23

21

23

21

3 1

2 2 2 2

3 4

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

α α

α α

α α α α

α α

I

I

I

I I

I I

Φ

Φ

Φ

Φ Φ

Φ Φ

CÁLCULO DE ESFUERZOS

Para cada barra se aplica la ecuación de compatibilidad

~ ~ ~d = A d'⋅

Aplicando esta ecuación a los nudos origen y extremo de la barra

Nudo origen i

Nudo extremo j



~ ~ ~P = K d⋅Aplicando la ecuación constitutiva

P = - P = EAl

d - EAl

dxi xj xi xj⋅ ⋅

P = - P = 12E

ld -

12El

d + 6El

+ 6Elyi yj 3 yi 3 yj 1 2 i 2 j 1

I I I I⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅Φ Φθ θ

m = 6El

d - 6El

d + 4El

+ 2El

m = 6El

d - 6El

d + 2E

l +

4El

i 2 yi 2 yj 2 i 3 j 4

j 2 yi 2 yj 2 i 4 j 3

I I I I

I I I I

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Φ Φ Φ

Φ Φ Φ

θ θ

θ θ

La comprobación de resultados se efectúa de la misma forma que en lospórticos planos en los que no se ha considerado la variación de rigidezcon el axil.

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