NOMBRE:

JOSE FERNANDO GARZON VILLEGAS

GRADO:

11-6

PROFESOR:

FERNANDO ALVARES

MATERIA:

MATEMATICAS

AÑO LECTIVO:

2016-2017

LA HISTORIA DE LOS PITAGORICOS

Los primeros conocimientos matemáticos de los que se tiene noticia, sólo estaban orientados por puntos de vista puramente prácticos. Pueblos como los babilonios, los egipcios o los hindúes ya conocían unos cuantos resultados aritméticos y geométricos, pero su teoría se caracterizaba por el tanteo y la inducción, despreocupándose por su validez general. A partir del siglo VI a.C. aparece en escena una nueva cultura que cambiaría el rumbo de las matemáticas: la cultura griega, uno de cuyos máximos exponentes fue la Escuela Pitagórica.

Orígenes del mundo griego

Las primeras grandes civilizaciones en suelo europeo las encontramos en la costa oriental del mar Mediterráneo. A mediados del segundo milenio a.C. florece una cultura extendida en la Grecia continental y en las islas del mar Egeo, en especial en la isla de Creta. Se trata del período micénico en la península y el minoico en Creta, en el suntuoso palacio real de Cnossos (2000 a.C.), cuyo lenguaje (llamado Lineal A), con excepción del sistema de numeración, aún no ha sido descifrado.

Estas culturas fueron invadidas por los eolios, jonios y aqueos (protagonistas estos últimos de las famosas guerras de Troya, hacia el 1200 a.C.), y más tarde por los dorios.

Luego, y durante cerca de medio milenio, la historia enmudece respecto de los pueblos egeos.

Mientras tanto los fenicios establecen en las costas del Mediterráneo un activo intercambio comercial, fundando allí numerosas colonias, e introduciendo, además, el alfabeto.

El mundo griego abarcaba entonces la región comprendida entre los mares Egeo y Jónico, y las colonias establecidas en las costas de los mares Negro y Mediterráneo. Y fue precisamente en las ciudades que se encontraban fuera del Peloponeso donde surgiría la matemática griega.

En el siglo VI a.C. un comerciante griego nacido en Mileto, llamado Tales, comenzaría a transformar la matemática en la ciencia deductiva que hoy conocemos. En sus viajes a las tierras del Nilo, Tales entra en contacto con el saber egipcio, y luego regresa a su tierra natal para convertirse en uno de los siete sabios de Grecia.

Se cree que entre sus discípulos se hallaba un personaje semilegendario, uno de los más importantes hombres de ciencia de la Grecia antigua; aquél que dio nombre al teorema más famoso, quizá, de toda la matemática: Pitágoras.

Es poco lo que se conoce de este maestro griego. Se sabe que en la Antigüedad se escribieron unas cuantas biografías, pero todas ellas se han perdido. No existe ninguna obra escrita por él; la información que se tiene está basada en una tradición que ha persistido a través de los años.

Nació alrededor del año 569 a.C. en la isla de Samos, colonia jónica de griegos en las costas del mar Egeo. Ésta era una potencia comercial en creciente progreso. Por aquel entonces, Polícrates, su dictador, había destruido el poder de la aristocracia terrateniente y gobernaba la isla con el apoyo de los comerciantes.

Es probable que Pitágoras haya realizado viajes a Egipto, Babilonia y la India, donde habría entrado en contacto con los saberes matemáticos y religiosos de aquellos lugares. Es destacable el hecho de que fuera contemporáneo de Buda, Confucio y Lao-Tsé.

Al regresar luego a Samos y encontrarla dominada por los persas, decide emigrar al sur de Italia, la llamada Magna Grecia. Se establece, entonces, en la ciudad de Crotona, la "ciudad esotérica", una de las más florecientes colonias griegas.

Allí comienza a disertar sobre filosofía y matemática. A su cátedra acuden entusiastas de todas las clases, incluso lo hacen las mujeres, quienes tenían prohibido, por ley, asistir a reuniones públicas. Entre estas mujeres se encontraba Theano, la joven y hermosa hija de su posadero Milo, con la cual se casó. Theano escribió más tarde una biografía de su esposo que desgraciadamente se ha perdido.

La Escuela Pitagórica

La influencia de este gran maestro fue tan notable, que los más interesados de sus discípulos se constituyeron gradualmente en una sociedad o hermandad. Se los conoció como la Escuela Pitagórica.

La comunidad pitagórica fue una hermandad religiosa dedicada a la práctica del ascetismo y al estudio de las matemáticas. Los miembros de esta fraternidad se comprometían, con un solemne juramento, a mantener en secreto las enseñanzas de la Escuela. Éstos debían hacer examen de conciencia diariamente. Creían en la inmortalidad del alma y en su transmigración, con el resultado de que no debería ser sacrificado ningún animal ante el temor de que pudiera ser la nueva morada del alma de un amigo muerto. Así, a sus miembros se les imponía un severo régimen vegetariano.

La particularidad del sistema pitagórico fue encontrar en las matemáticas una clave para resolver el enigma del Universo y un instrumento para la purificación del alma. Aristóteles sintetizó la labor de los pitagóricos con las siguientes palabras: "los pitagóricos se dedicaron primero a las matemáticas, ciencia que perfeccionaron y, compenetrados con ésta, imaginaron que los principios de las matemáticas eran los principios de todas las cosas."

Todos los descubrimientos que la Escuela realizaba eran atribuidos al mismo Pitágoras, por lo que resulta casi imposible diferenciar lo producido por él y lo elaborado por sus alumnos.

Los pitagóricos fueron los primeros en establecer la demostración en la matemática, mediante el razonamiento deductivo. A ellos se les debe, incluso, la misma palabra Matemática que, según la acepción más difundida, significa "ciencia por excelencia"; matemáticos eran los miembros científicos de la secta.

Se clasificó a la Matemática, además, en cuatro ramas: aritmética, geometría, música y astronomía, clasificación que se mantuvo durante más de dos milenios en lo que constituyó el famoso Quadrivium de las ciencias.

A causa del poder político que adquirió, contraria a las ideas democráticas de la época, la Escuela Pitagórica fue objeto de sospechas por todos los que no formaban parte de ella. En el año 501 a.C. se produce una revuelta popular e incendian la casa de Milo, que por aquel entonces ocupaba la hermandad. Perece allí, un gran número de sus miembros más notables. Pitágoras hubo de refugiarse en Tarento y después en Metaponto, donde un año después fue asesinado en otra conmoción popular. A pesar de la muerte de Pitágoras y de la destrucción de su Escuela en Crotona, sus discípulos se reorganizaron en Tarento, formando una nueva escuela que continuó durante 100 años.

Entre los principales sucesores de Pitágoras se encontraban Hipaso, Filolao y Arquitas.

Más tarde, cuando los miembros de la sociedad se dispersaron, la regla del silencio cayó en desuso y se divulgaron sus doctrinas. El primer libro lo escribió Filolao en el 370 a.C.. Sin embargo, la gloria de todos los descubrimientos que se realizaban seguían siendo patrimonio de su fundador.

La estrella pentagonal

El símbolo distintivo de la hermandad fue la estrella pentagonal, que ellos llamaban pentagrama. Este emblema es la figura que resulta al trazar las cinco diagonales de una cara pentagonal de un dodecaedro regular.

El pentágono estrellado ya había aparecido con anterioridad en el arte babilónico.

Una propiedad importante del pentagrama es relatada por Carl Boyer en su "Historia de la Matemática": "Si comenzamos por un pentágono regular ABCDE y trazamos las cinco diagonales, éstas se cortarán en los puntos A'B'C'D'E' que forman otro pentágono regular. Observando que el triángulo BCD', por ejemplo, es semejante al triángulo isósceles BCE, y teniendo en cuenta también los varios pares de triángulos congruentes que aparecen en la figura, resulta fácil ver que los puntos A'B'C'D'E' sobre las diagonales las dividen de una manera sorprendente. En cada caso, uno de estos puntos divide a una diagonal en dos segmentos distintos y tales que la razón de la diagonal completa al mayor de los dos segmentos es la misma que la de éste al segmento menor. Esta subdivisión de la diagonal es la conocidasección áurea de un segmento."

El "Número"

Los pitagóricos le adjudicaron especial importancia al número. Esto se refleja en las siguientes palabras de Filolao: "y, en verdad, todas las cosas que se conocen poseen número, pues ninguna cosa podría ser percibida ni conocida sin éste." El mismo Pitágoras declaraba: "Dios es, en efecto, número.", y por número se refería al número natural común.

Pero para los pitagóricos, no sólo todas las cosas poseen número, sino que los números son concebidos como cosas; las expresiones: "números cuadrados" o "números triangulares", no son metáforas; esos números son, efectivamente, ante los ojos y ante el espíritu, cuadrados y triángulos.

El número es definido, desde el punto de vista geométrico, como una suma de puntos representados en el espacio, y las figuras (líneas, superficies o volúmenes), que están constituidas por esos puntos materiales llamados mónadas, también representan números. De esta manera, identificaron al número uno con el punto, al dos con la línea, al tres con la superficie, y al cuatro con el volumen, de acuerdo con el número mínimo de puntos necesarios para definir cada una de esas dimensiones.

Según Filolao, el número tiene dos formas propias: el impar y el par. Existía una tercer especie: el par-impar. Esta última denominación, que ha sido aplicada algunas veces a la unidad, designa también los números pares, como el seis y el diez, que a la primer bisección dan números impares.

Los pitagóricos clasificaron a cada número considerando sus divisores, pero exceptuando al mismo número (es lo que se llamará sus partes alícuotas) y sumándolos. Esta suma será, en general, mayor o menor que el mismo número, que será llamado, en consecuencia, abundante odeficiente. Por ejemplo, 12 es abundante, porque la suma de sus partes alícuotas es: 1+2+3+4+6=16. En cambio el 8 es deficiente, pues 1+2+4=7.

Pero existen ciertos números en los cuales la suma de sus partes alícuotas dan como resultado el mismo número. Estos números eran llamados perfectos.

Por ejemplo:

6=1+2+328=1+2+4+7+14496=1+2+4+8+16+31+62+ +124+248

Dice Euclides: `'partiendo de la unidad, se forma la progresión geométrica de razón 2, y si la suma de sus términos es un número primo, el producto de este número primo por el último término de la progresión es un número perfecto.'' Por ejemplo:

1+2+4+8+16=31 y 31 es un número primo. Luego, 31.16=496, que es un número perfecto.

Ciertos números que también llamaron la atención de los pitagóricos, fueron los números cuadrados. Estos se formaban tomando a la unidad como punto de partida y agregando a ésta la serie ascendente de los números impares. La progresión aritmética que así se forma goza de la propiedad de que en cada uno de los pasos de su construcción en que uno se detenga, la suma de la unidad y de los números impares constituye un número cuadrado. Por ejemplo:

1+3=41+3+5=91+3+5+7=16

Todos los números cuadrados están dados por este proceso de formación. Además, la adición sucesiva de un número impar permite pasar de un cuadrado al cuadrado siguiente (por ejemplo, si a la serie 1+3 le sumo 5, se pasa del cuadrado 4 al cuadrado 9). Así, todo número impar se define como la diferencia de dos superficies cuadradas que tienen respectivamente por lados dos enteros consecutivos. Utilizando el ejemplo anterior: 1+3+5=9 ; luego 9 - 4 = 5. El número impar 5 es la diferencia de dos cuadrados, 9 y 4, que tienen por lados dos enteros consecutivos, 3 y 2. A tal número impar se lo llamó gnomon. Geométricamente hablando el gnomon es un borde rectangular de brazos iguales en forma de L, añadido a un determinado cuadrado para formar el cuadrado siguiente:

Esta definición geométrica explica la constitución interna del número impar; él es la suma de un cuadrado de lado igual a la unidad y de dos rectángulos iguales cuyo lado menor es también igual a la unidad.

Por ejemplo:

5=1+2+27=1+3+39=1+4+4

Los pitagóricos descubrieron también que, a partir de la suma de los números naturales, era posible representar puntos que denotaban la unidad, dispuestos en forma de triángulo. De esta manera, y sumando tales puntos se obtenían los números triangulares, como por ejemplo, el 1, el 3, o el 6:

También existían los números pentagonales, hexagonales, etc..

Si, por otra parte, sumamos los números pares consecutivos, obtenemos una serie de números llamados oblongos, en donde cada uno es el doble de un número triangular. Esta serie constituye sumas de progresiones aritméticas que son al mismo tiempo productos de dos factores, y por consiguiente, superficies. Uno de los factores es igual a la mitad del último número par de la progresión. El otro es el primer factor aumentado en uno.

Por ejemplo:

2+4=6 6=2.3

2+4+6=12 12=3.4

2+4+6+8=20 20=4.5

La superficie tiene pues sus dos lados desiguales, por lo que se llama heterómaca o rectangular.

Llamaron números amigos a aquellos en donde cada uno era igual a la suma de los divisores del otro. Por ejemplo:

220 y 284, pues

220=1+2+4+71+142, que son los divisores de 284 y 284=1+2+4+5+10+11+20+

+22+44+55+110, que son los divisores de 220.

La palabra número se usaba sólo para los enteros positivos. A las fracciones se las consideraba como una razón o relación entre dos números enteros . Tal como lo expresaba Euclides (Elementos Libro III): "Una razón es una cierta relación con respecto al tamaño de dos magnitudes del mismo tipo."

No cabe duda que la más famosa realización de los pitagóricos la constituye el llamado Teorema de Pitágoras, sin el cual no es posible concebir la Matemática en el sentido más amplio de la palabra.

El enunciado del Teorema es conocido por todos: "en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos."

Los egipcios ya conocían esta relación en los triángulos de 3, 4 y 5 unidades de longitud. Los hindúes también la conocían para los triángulos de 5, 12 y 13 unidades. Pero fue Pitágoras el primero que enunció y demostró el Teorema para todos los triángulos rectángulos. De acuerdo con un relato, cuando Pitágoras descubrió este admirable resultado, en su alborozo, sacrificó un buey, aunque esto es bastante improbable dadas sus estrictas reglas vegetarianas.

Los pitagóricos encontraron la formación de ciertas ternas de números que cumplen el teorema:

con m entero impar.

Pitágoras aprendió en Babilonia tres medias: la aritmética, la geométrica y la armónica.

Dados dos números a y c, la media aritmética es un número b tal que:

Del mismo modo, la media geométrica es un número b tal que:

Así como también, la media armónica es un número b tal que:

Los pitagóricos también conocían la "Proporción Perfecta" o "Divina Proporción", que relaciona dos de las medias: el primero de dos números es a su media aritmética como su media armónica es al segundo de ellos:

La "música" pitagórica

La contribución de los pitagóricos a la música es sumamente interesante. Demostraron que los intervalos entre notas musicales pueden ser representados mediante razones de números enteros, utilizando una especie de guitarra con una sola cuerda, llamada monocordio. Éste poseía un puente móvil que al desplazarse producía, en ciertas posiciones, notas que, comparadas con la emitida por la cuerda entera, resultaban más armoniosas que otras. El más básico de tales intervalos es la octava. En el monocordio es el intervalo entre la nota emitida por la cuerda entera y la emitida por otra de longitud igual a su mitad. Es decir, cuando la

cuerda tiene longitud 2 de una determinada nota base, suena una octava más alta que la nota original. Si su longitud es 3/4 de la primitiva, la cuerda emite la cuarta de la nota base, y si su longitud es 2/3 de la inicial, la nota que suena es la quinta de la nota base. Partiendo de una nota base DO se tiene el siguiente esquema:

DO(base) RE MI FA(cuarta) SOL(quinta) LA SI DO

Según el relato de Boecio, un escritor que vivió en el siglo VI de la era cristiana: "Pitágoras, obsesionado por el problema de explicarse matemáticamente los intervalos fijos de la escala, al pasar frente a una herrería, le llamó la atención la musicalidad de los golpes de los martillos sobre el yunque. Entró y observó largamente. Luego, al experimentar, utilizó cinco martillos. El peso de cuatro de ellos estaba en la proporción de 12, 9, 8 y 6. El quinto, cuyo peso no correspondía a relación numérica alguna con el resto, era el que echaba a perder la perfección del repiqueteo. Fue retirado, y Pitágoras volvió a escuchar. El mayor de los martillos, cuyo peso era doble del más pequeño, daba la octava más baja. Como los pesos de los otros dos martillos (9 y 8) correspondían a las medias aritmética y armónica respectivamente de los primeros pesos (12 y 6), pensó que aquellos dos martillos le darían las otras notas fijas de la escala."

Misticismo numérico

Los pitagóricos dieron a ciertos números significados que podrían parecer, quizás, caprichosos. Al número uno se lo identificó con la razón y se lo consideraba como el origen de todos los números. El dos con la opinión, y es el primer número par o hembra. El tres es el primer número macho o el número de la armonía. El cuatro con la justicia, inmutable y equitativo. El cinco sugería el matrimonio, la unión del primer número par con el primer número impar auténtico. El seis es el número de la creación. A la diosa virgen Atenea se le atribuyó el número siete, porque el siete es el único de la década que no tiene ni factores ni productos.

El número diez, tetractys sagrado, fue un símbolo muy venerado por la hermandad. La virtud de este número reside en que, estando constituido por la suma de los cuatro primeros números: 1+2+3+4, encierra la naturaleza de las diversas especies de números: la de los pares, de los cuales el primero es el dos; la de los impares, de los cuales el primero es el tres; la del par-impar, que es aquí la unidad; la de los cuadrados perfectos, de los cuales el primero es el cuatro. En boca de Filolao, el número diez "es la norma del Universo, la potencia ordenadora de los hombres y de los dioses."

Descubrimiento de los irracionales

Los pitagóricos se esforzaron por alcanzar la armonía en el reino de los números y de este modo lograr abarcar con la mirada todo el Universo, captándolo mediante números enteros. Así podían sentir que se hallaban en los umbrales del misterio de la existencia. Pero una potencia infernal destrozó este sueño implacablemente, a la vez que engendró los más altos hallazgos y de más vasto alcance: el descubrimiento de los números irracionales.

El concepto que tenían los helenos de este descubrimiento es ilustrado en el libro décimo de los Elementos de Euclides: "Se dice que el hombre que por primera vez llevó a la luz, desde la oscuridad, el estudio de los números irracionales, pereció en un naufragio. Y esto ocurrió porque lo inexpresable y lo inimaginable debió haber quedado en el misterio. Por esta razón, también aquellos que divulgaron y tocaron esta imagen de lo viviente fueron instantáneamente destruidos y relegados al mismo lugar del surgimiento, donde permanecen apresados para siempre por las olas eternas."

El problema radicó en el hallazgo de magnitudes que no podían ser expresadas en términos de otras, a las que llamaron inconmensurables, es decir, imposibles de medir.

Este descubrimiento de las magnitudes inconmensurables, que hoy en día representan los irracionales, tuvo trágico lugar en el triángulo rectángulo isósceles. Por ejemplo, en el de catetos iguales a 1, el cuadrado de la hipotenusa debe ser igual a 2, ya que , y el valor, entonces de dicha hipotenusa es igual, en el modo actual de escritura a . Pero, por más que se busque todo lo que se quiera, no existe número entero ni fraccionario que multiplicado por sí mismo, reproduzca exactamente el número 2. El número es inexpresable. Sin embargo, la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles, es decir, la diagonal de un cuadrado, se presenta de un modo tan neto, tan determinado y tan evidente, que no es posible distinguirla de ningún otro segmento de recta.

Sin embargo, actualmente se sugiere que los pitagóricos llegaron a la noción de inconmensurabilidad a través de la figura del pentágono regular, ante la imposibilidad de medir su diagonal con el lado.

También se encontraron magnitudes inconmensurables en las secciones áureas. Esto es, cuando una línea x es dividida en dos partes p y q, tal que la razón de x a la parte p, es igual a la razón de p a la otra parte q. Si lo expresamos en la notación simbólica:

La presencia de indica la irracionalidad.

LA GEOMETRÍA DE LOS PITAGÓRICOS.

La principal fuente de nuestro conocimiento sobre la geometría de los pitagóricos se encuentra en el comentario de Proclo a los Elementos de Euclides. Proclo escribe en Alejandría, muy alejado de Pitágoras en el tiempo, pues vivió del 410 al 485 d. de C., pero es seguro que tuvo ante sus ojos la Historia de la Geometría que Eudemo, un discípulo de Aristóteles, escribió hacia el año 320 a. de C. Al comienzo de su comentario a los Elementos Proclo transmite un resumen de lo

que fue la historia de Eudemo. Otra fuente de considerable importancia es el mismo libro de los Elementos de Euclides. Señalaré a continuación algunas de las porciones de los elementos que parecen provenir de fuentes pitagóricas, a juzgar por diversos testimonios y por razones lógicas internas. 

LA YUXTAPOSICIÓN DE SUPERFICIES

Euclides, en I, 44, propone la siguiente construcción: "Yuxtaponer a un segmento dado, según un ángulo dado, un paralelogramo que sea igual (en área) a un triángulo dado". En su comentario a este ejercicio escribe Proclo: "Estas cosas son antiguas, como afirman los que siguen a Eudemo, y son invenciones de los pitagóricos, a saber la yuxtaposición (parabolé) de superficies, su exceso (hiperbolé) y su defecto (elleipsis).

De ellas tomaron los más recientes los nombres y los aplicaron a las llamadas secciones del cono y las denominaron a una parábola, a la otra hipérbola y a la tercera elipse, mientras que aquellos antiguos y divinos hmbres (los pitagóricos) dieron significado a estos nombres fundamentándose en la construcción de superficies planas sobre un segmento".

Los problemas de yuxtaposición de superficies se pueden proponer e forma más sencilla, como lo hicieron los pitagóricos, omitiendo la referencia a paralelogramos, del siguiente modo: 

(A) Yuxtaponer a un segmento dado AB un rectángulo R que sea igual (en área) a un triángulo dado (parabolé).

(Para nosotros, resolver ya=S)

(B) Yuxtaponer a un segmento dado AB un rectángulo R igual a un triángulo dado S de modo que le falte un cuadrado Q (elleipsis).

(Para nosotros, resolver xy=S, x+y=a)

(C) Yuxtaponer a un segmento dado AB un rectángulo R igual a un triángulo dado S de modo que le sobre un cuadrado Q (hipérbole).

(Para nosotros, resolver xy=S, x-y=a)

Como se ve, la solución de estos problemas equivale a la de una ecuación de segundo grado. Los problemas son extraordinariamente importantes y así Euclides los trata en tres ocasiones diferentes.

La solución de los griegos procede como lo haríamos nosotros mismos, sólo que todo viene fraseado geométricamente. Si queremos resolver xy=S, x-y=a, lo reducimos a y (y+a)= S, que se puede poner, completando el cuadrado y^2+ay +(a/2)^2= S+ +(a/2)^2, es decir (y+a/2)^2 = S + (a/2)^2. Se trata ahora de construir un cuadrado de área igual a la de S+(a/2)^2 y así se obtiene y+a/2 y por tanto y. Todas estas operaciones algebraicas son las que aparecen e lenguaje puramente

geométrico en la solución de Euclides. Si, como opina van der Waerden y otros muchos, es cierto lo que Proclo afirma sobre el origen pitagórico de estos problemas y sus soluciones, se puede pensar que los pitagóricos, probablemente ya los pitagóricos anónimos de la tercera generación, si no antes, tuvieron conocimiento de una parte bien substanciosa de los Elementos, en particular, por lo que de aquí se desprende, de I-45, I-47, II-5, II-6, II-14, que contienen las herramientas para las soluciones de los problemas de yuxtaposición de superficies.

POLIGONOS REGULARES

El libro IV de los Elementos enseña cómo inscribir en un círculo un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono, un hexágono y un pentadecágono. Existen varios escolios es decir, notas marginales que se encuentran en diversos manuscritos, que atribuyen los teoremas de este libro IV a los pitagóricos. Según W. Burkert en su obra Weisheit und Wissenschaft (p. 426), estos escolios proceden de Eudemo. Los teoremas que aparecen en el libro IV se presentan en un estilo unitario a excepción del que se refiere a la construcción del pentadecágono. Proclo explica que la intención de Euclides al introducir el pentadecágono en este contexto estaba motivada en las necesidades de los astrónomos. Hacia 440 a. de C. Oinópides de Quios había determinado en 24º la inclinación de la eclíptica. Este ángulo es precisamente 360º/15 y así coincide con el ángulo correspondiente al lado del pentadecágono desde su centro. Según parece por todos los indicios, los pitagóricos antiguos supieron cómo construir polígonos regulares. Así, con todos estros datos, se puede pensar co van der Waerden y otros, que el libro IV, a excepción del último problema, sobre el pentadecágono, constituía una unidad de enseñanza mucho antes de que Euclides la incorporara a su obra, incluso se puede conjeturar que sea anterior al 440 a. de C.

De todas las construcciones del libro IV la más interesante es la que se refiere al pentágono regular (IV, 10-11). esta construcción se apoya de modo decisivo en la observación de que cada diagonal corta a otra en dos segmentos en proporción áurea, o bien en lo que Euclides llama "media y extrema razón". Los pitagóricos tenían especiales razones como hemos visto, para ocuparse intensamente del pentágono regular. La estrella formada por las diagonales, el pentagrama, era su símbolo de reconocimiento y de deseo de salud. Parece natural pensar en un intenso interés por construir exactamente tal figura y por entenderla racionalmente a fondo. Como hemos visto antes al tratar de Hipaso, el dodecaedro regular, y por tanto el pentágono regular, entrañaban para los pitagóricos hechos muy fundamentales. En este contexto pienso que se debe hacer notar que las consideraciones sobre la inconmensurabilidad de la diagonal con el lado que antes hicimos son independientes de la posibilidad de construcción efectiva del pentágono regular. No es necesario pensar que Hipaso supiera construir el pentágono regular al modo de Euclides, aunque tampoco hay motivos para pensar que efectivamente no lo supo. Por otra parte, la construcción de la "media y extrema razón" que en Euclides aparece en II, 11, no requiere otra cosa que la solución de un problema de yuxtaposición de superficies, que los pitagóricos

antiguos, según hemos visto, dominaban totalmente. Así teniendo en cuenta estas conexiones lógicas, se puede concluir que los pitagóricos conocieron la construcción de la razón áurea que se propone en los Elementos II, 11.

Guiados por los testimonios históricos, por argumentos de tipo lógico como los aducidos y por otros derivados del estilo de presentación y de congruencia interna, tanto van der Waerden como otros historiadores llegan a la conclusión de que los libros II y IV de los Elementos proceden completa o casi completamente de los pitagóricos.

Del libro III, relativo a cuerdas y tangentes en el círculo y de ángulos en el círculo, Neuenschwander ha mostrado que una gran parte era conocida de los pitagóricos antiguos y de Hipócrates de Quíos. El libro I de los Elementos tiene un carácter mucho menos transparente. Se puede aventurar que tal vez los pitagóricos hayan formulado una axiomática incipiente, pues los axiomas 1,2,3,7,8 son citados verbalmente (estilo pitagórico) en los libros II y IV, de procedencia más claramente pitagórica. La proposición I, 29 sobre la igualdad de los ángulos determinados por paralelas era conocida de los pitagóricos que demostraron mediante ella que la suma de los ángulos de un triángulo mide dos rectos. Conocieron también I,47(el "teorema de Pitágoras"), pero la demostración que poseían era a través de la teoría de proporciones, que Euclides evita en este libro.

Para acabar con los puntos más sobresalientes de la geometría de los pitagóricos se puede decir que, de acuerdo con un escolio al libro XIII de los Elementos, los pitagóricos conocieron de los cuerpos regulares, el cubo, el tetraedro y el dodecaedro. Según el mismo escolio, que parece muy verosímil, el octaedro y el icosaedro parecen haber sido estudiados por vez primera por Teeteto, en la primera mitad del siglo IV a. de C.

LA ARITMÉTICA DE LOS PITAGÓRICOS.

Al estudiar la aritmética de los pitagóricos es necesario distinguir claramente entre la aritmética científica y la aritmética popular. La aritmética científica de los griegos se encuentra resumida en los libros VII, VIII y IX de los Elementos de Euclides que fueron escritos hacia el año 300 a. de C. Por testimonios históricos se puede concluir que algunas porciones de los libros VII y VIII es obra de los pitagóricos. En particular el libro VII debe de proceder de los matemáticos anónimos anteriores a Arquitas y el VIII de los de la escuela de Arquitas. Algunas porciones del libro IX, como la doctrina del "par e impar" es anterior incluso a los pitagóricos anónimos y posiblemente procede del tiempo de Hipaso de Metaponto (hacia el año 500 a. de C.).

No me ocuparé aquí de detallar específicamente el contenido de esta aritmética científica, pues esto será realizado en otra conferencia de esta serie, por el profesor Alberto Dou, dedicada a Euclides. Sólo quisiera señalar dos puntos particularmente notables de la aritmética de los Elementos, de los cuales uno con seguridad es de procedencia pitagórica y el otro con gran probabilidad también.

El primero se refiere a los llamados "números lado y diagonal". El segundo es el llamado "algoritmo de Euclides" para la obtención del máximo común divisor de dos números. Los números lado y diagonal constituyen pares de números formados recursivamente que servían a los pitagóricos para aproximar mediante fracciones, cada vez con mayor exactitud, la relación entre la diagonal y el cuadrado, es decir para aproximar la raíz de 2. De esta forma se expresa Proclo en su comentario al libro sobre la República de Platón: "La unidad, como origen de todos los números, es potencialmente tanto lado como diagonal. Se toman ahora dos unidades: una como unidad-lado y otra como unidad-diagonal y se forma un nuevo lado, añadiendo a la unidad-lado la unidad-diagonal, y una nueva diagonal, añadiendo a la unidad-diagonal el doble de la unidad-lado"

El proceso de formación de los pares de números lado y diagonal prosigue de la misma forma. El nuevo lado es suma de los números lado y diagonal anteriores, la nueva diagonal es la suma de la diagonal anterior y dos veces el lado anterior, es decir:

¿De dónde proviene la extraña idea de este proceso recursivo, probablemente el primero de tal naturaleza en la historia de la matemática?. 

Según Proclo, los pitagóricos demostraron el siguiente teorema: 

" Si L y D son lado y diagonal de un cuadrado, entonces también L* =L+D y D*=D+2L son lado y diagonal de un cuadrado"

Y Proclo afirma que la demostración de los pitagóricos de esta propiedad se realizó mediante la proposición II, 10 de los Elementos de Euclides, que representa la identidad que nosotros escribiríamos así

(2X+Y)2+Y2=2X2+2(X+Y)2 

En efecto, si suponemos que X=L, Y=D son lado y diagonal de un cuadrado, se tiene D2=2L2 y así substituyendo arriba y simplificando Y2=2X2, resulta

(2L+D)2=2(L+D)2 

es decir, 2L+D es diagonal del cuadrado de lado L+D. 

Es posible que la idea original de tal hilo de pensamiento y de demostración esté implicita en el proceso de antanairesis con el que, según O.Becker y otros (Cf. O.Becker, Grösse und Grenze der Mathematischen Denkweise, Karl Alber Verlag, 1959; trad. esp. Rialp, 1969) se procedía originariamente a la demostración de la irracionalidad de raíz de 2. El proceso aparece muy claramente sugerido por la siguiente figura:

Si l1=EF y d1=EC son lado y diagonal de un cuadrado, entonces DC=l2=l1+d1 y AC=d2=d1+2l1 son también lado y diagonal de otro cuadrado. El proceso de antanairesis es efectivamente la vuelta atrás del proceso de construcción de los

pares de números lado y diagonal. En realidad, desde el punto de vista matemático es mucho más razonable pensar que el camino de las ideas fue el inverso, es decir, a fin de hallar la unidad común, si existe, capaz de medir al tiempo lado l2 y diagonal d2, era natural substraer de la diagonal el lado l2, obteniendo así CF y luego tratar de hallar la unidad común de CF=l1 y DC=d2, restando CF=EF=DE de DC para obtener así EC=d1. Al tratar de obtener la unidad común de EC=d1 y FC=l1 observamos que estamos en las condiciones iniciales pues d1 y l1 son diagonal y lado de un nuevo cuadrado. El proceso no acaba nunca y esto viene a demostrar la no existencia de tal unidad común. La vuelta atrás de esta antanairesis aplicada al cuadrado fue probablemente la motivación del método de construcción de los números lado y diagonal. 

El proceso de antanairesis que hemos seguido no es otra cosa que la versión geométrica del algoritmo de Euclides para la obtención del máximo común divisor de dos números (VII, 33). Así, tanto por la estructura lógica de los libros VII y VIII de los Elementos como por consideraciones históricas, parece razonable concluir que los pitagóricos, en particular probablemente alguno de los matemáticos anónimos del siglo V conoció y estructuró estos dos algoritmos de una brillantez y profundidad que aún hoy día nos llenan de asombro.

La aritmética popular de los pitagóricos tenía otro sabor totalmente distinto del de estos retazos de la aritmética científica que hemos examinado. Su finalidad era hacer inteligible a todos las fascinantes propiedades de los números. La principal fuente de nuestro conocimiento de esta aritmética es la Introducción a la Aritmética de Nicómaco de Gerasa (ca. 50-150 d. de C.), obra que se extendió extraordinariamente a juzgar por el gran número de manuscritos (44) que de ella se conservan. En este trabajo aparecen por extenso la teoría figurativa de los números, los números triangulares, cuadrados rectangulares, pentagonales, etc. y se habla de las fabulosas y místicas propiedades de ciertos números en concreto.

RELACION ENTRE LA ARITMETICA Y LA GEOMETRIA

“Aritmética”

La aritmética es la más antigua y elemental rama de la matemática, utilizada en casi todo el mundo, en tareas cotidianas como contar y en los más avanzados cálculos científicos. Estudia ciertas operaciones con los números y sus propiedades elementales. Proviene de ἀριθμητικός, término de origen griego; arithmos αριθμός que quieren decir número y techne habilidad. 

La Aritmética tiene siete operaciones básicas, que son: Suma Resta Multiplicación División Potenciación Radicación Logaritmación A la consideración conjunta de todas estas operaciones se le conoce como cálculo aritmético 

"Geometría" 

Del griego geo (tierra) y metrón (medida), es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo. Tiene su aplicación práctica en física, mecánica, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías). 

LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES

Los Elementos de Euclides (en griego: Στοιχεῖα , /stoicheia/) y conocido como geometría euclidiana; en griego: Ευκλειδης Γεωμετρια) es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece libros, escrito por el matemático griego Euclides cerca del 300 a. C. en Alejandría. Aunque la obra era conocida en Bizancio, era desconocida en Europa Occidental hasta alrededores de 1120, cuando el monje inglés Adelardo de Bath la tradujo al Latín a partir de una traducción Árabe. En 1482, Erhard Ratdolt realizó en Venecia la primera impresión latina de la obra.

Los Elementos es considerado uno de los libros de texto más divulgado en la historia y el segundo en número de ediciones publicadas después de la Biblia (más de 1000). Durante varios siglos, el quadrivium estaba incluido en el temario de los estudiantes universitarios, y se exigía el conocimiento de este texto. Aún hoy se utiliza por algunos educadores como introducción básica de la geometría.

En estos trece volúmenes Euclides recopila gran parte del saber matemático de su época, representados en el sistema axiomático conocido como Postulados de Euclides, los cuales de una forma sencilla y lógica dan lugar a la Geometría euclidiana.

BIOGRAFIA DE LOS MATEMATICOS

EUCLIDES

(330 a.C. - 275 a.C.) Matemático griego. Junto con Arquímedes y Apolonio de Perga, posteriores a él, Euclides fue pronto incluido en la tríada de los grandes matemáticos de la Antigüedad. Sin embargo, a la luz de la inmensa influencia que su obra ejercería a lo largo de la historia, hay que considerarlo también como uno de los más ilustres de todos los tiempos.

Pese a que realizó aportaciones y correcciones de relieve, Euclides ha sido visto a veces como un mero compilador del saber matemático griego. En realidad, el gran mérito de Euclides reside en su labor de sistematización: partiendo de una serie de definiciones, postulados y axiomas, estableció por rigurosa deducción lógica todo el armonioso edificio de la geometría griega. Juzgada no sin motivo como uno de los más altos productos de la razón humana y admirada como un sistema acabado y perfecto, la geometría euclidiana mantendría su vigencia durante más de veinte siglos, hasta la aparición, ya en el siglo XIX, de las llamadas geometrías no euclidianas.

Euclides enseñó en Alejandría, donde abrió una escuela que acabaría siendo la más importante del mundo helénico, y alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Ptolomeo I Sóter, fundador de la dinastía ptolemaica que gobernaría Egipto desde la muerte de Alejandro Magno hasta la ocupación romana. Se cuenta que el rey lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría. Este epigrama, sin embargo, se atribuye también al matemático Menecmo, como réplica a una demanda similar por parte de Alejandro Magno.

ZEON DE ELEA

Elea?, actual Italia, hacia 495 a.C. - id., hacia 430 a.C.) Filósofo griego. Fue discípulo de Parménides, con el que, probablemente, se trasladó a Atenas a mediados del siglo V a.C., donde encontró al joven Sócrates, según testimonio de Platón.

Zenón escribió el libro en prosa Sobre la naturaleza, orientado a defender la tesis de Parménides. De él se conservan, como auténticos, cinco

fragmentos, gracias al comentario de Simplicio a la Física de Aristóteles. El escrito se dividía en varias partes, a las que Platón denomina logoi o argumentos. Cada una de las partes contenía un cierto número de hipótesis o premisas de los adversarios, que reducía al absurdo para demostrar la tesis propia. Murió al querer liberar a su patria del tirano Nearco, que ejercía un poder absoluto y opresor.

Las paradojas de Zenón, que se presentan como un reto para el pensamiento, han tenido una función decisiva en la historia de la filosofía. Ciertamente, es verdad que pueden ser desmentidas fácilmente observando el mundo natural (donde existen, sin duda, movimiento y multiplicidad); sin embargo, su fuerza se halla en el procedimiento riguroso, en la coherencia del razonamiento. El intento de resolverlas desde un punto de vista lógico mantuvo ocupados durante bastante tiempo a los filósofos griegos, en particular a Demócrito y a Aristóteles. Aristóteles ofreció una solución a estos argumentos, aunque incorrecta, y sólo se ha logrado una respuesta válida con los modernos conceptos de continuo e infinito.

PITAGORAS

(Isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C. - Metaponto, hoy desaparecida, actual Italia, h. 497 a.C.) Filósofo y matemático griego. Aunque su nombre se halla vinculado al teorema de Pitágoras y la escuela por él fundada dio un importante impulso al desarrollo de las matemáticas en la antigua Grecia, la relevancia de Pitágoras alcanza también el ámbito de la historia de las ideas: su pensamiento, teñido todavía del misticismo y del esoterismo de las antiguas religiones mistéricas y orientales, inauguró una serie de temas y motivos que, a través de Platón, dejarían una profunda impronta en la tradición occidental.

Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a su persona. Parece seguro que fue hijo del mercader Mnesarco y que la primera parte de su vida transcurrió en la isla de Samos, que probablemente abandonó unos años antes de la ejecución del tirano Polícrates, en el 522 a.C. Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este último país, cuna del conocimiento

esotérico, Pitágoras podría haber estudiado los misterios, así como geometría y astronomía.

Algunas fuentes dicen que Pitágoras marchó después a Babilonia con Cambices II, para aprender allí los conocimientos aritméticos y musicales de los sacerdotes. Se habla también de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en la ciudad de Crotona, una de las colonias que los griegos habían fundado dos siglos antes en la Magna Grecia (el actual sur de Italia), donde gozó de considerable popularidad y poder. La comunidad liderada por Pitágoras acabó, plausiblemente, por convertirse en una fuerza política aristocratizaste que despertó la hostilidad del partido demócrata, de lo que derivó una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida en la también colonia griega de Metaponto, al norte de Crotona.