La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la … · 2014-05-23 · enseñanza-aprendizaje...

La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la

Metodología ABP

Joan Cristian Ríos Pardo

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Medellín, Colombia

2013

La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la

Metodología ABP

Joan Cristian Ríos Pardo

Trabajo final presentado como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Director:

Msc. Ricardo Posada Jaramillo

Universidad Nacional de Colombia

Sede de Medellín

Facultad de Ciencias

Maestría en enseñanza de las ciencias exactas y naturales

2014

A mi madre por todo el apoyo y la

comprensión.

Agradecimientos

Agradezco para la realización de este trabajo a mi asesor Ricardo Posada Jaramillo por

su infinita paciencia y comprensión en tantos momentos.

A los Directivos, Docentes y Estudiantes de grado sexto de la Institución educativa

Samuel Barrientos Restrepo por su tiempo y colaboración.

A los Directivos, Docentes y compañeros de la Maestría en Enseñanza de las Ciencias

Exactas y Naturales de la Universidad Nacional de Colombia por todas sus enseñanzas y las

experiencias compartidas que siempre aportaron a mi crecimiento personal.

Resumen.

El siguiente trabajo corresponde a una propuesta de enseñanza sobre la proporcionalidad

directa en el grado sexto de la Institución Educativa Samuel Barrientos Restrepo, se basa en

la comprensión, identificación y aplicación de los conceptos de magnitud, magnitudes

proporcionales, razón y proporción. Para llegar a evaluar la pertinencia de la propuesta se

realizaron varias etapas que comprenden una evaluación de conocimientos previos de los

estudiantes, una evaluación típica o numérica de la adquisición de estos conceptos y

finalmente una evaluación por medio de problemas a partir de lo visual y gráfico con el fin

de analizar los resultados estadísticamente.

Palabras clave: Magnitud, Magnitudes proporcionales, razón, Proporción.

Abstract

The following work corresponds to a teaching proposal on direct proportionality in the

sixth grade of I.E Samuel Barrientos Restrepo, is based on understanding, identifying and

applying the concepts of magnitude, proportional magnitude, ratio and proportion. For

evaluating the relevance of the proposal, several steps comprising an assessment of

students' prior knowledge, a typical numerical evaluation of the acquisition of these

concepts and finally an evaluation by problems from the visual and graphic, they were

performed in order to analyze the results statistically.

Keywords: Magnitude, Proportional magnitude, Ratio, Proportion.

Resumen

VI

Contenido

Pág.

Resumen. ................................................................................................................................ V

Introducción .......................................................................................................................... 13

1. Diseño teórico ................................................................................................................... 15

1.1 Planteamiento del problema ........................................................................................ 15

1.2 Objetivo ...................................................................................................................... 15

1.3 Tareas de Investigación .............................................................................................. 15

1.4 Justificación ................................................................................................................ 16

2. Marco teórico .................................................................................................................... 19

2.1 Aprendizaje Significativo ........................................................................................... 19

2.2 Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) .................................................................. 24

2.2.1 Situaciones Problema. .......................................................................................... 24

2.2.2 Situaciones Problema en el ámbito de la Enseñanza de las Matemáticas. .......... 25

2.2.3 Situaciones Problema en el proceso de Aprendizaje. .......................................... 25

2.2.4 Metodología para el diseño de situaciones Problema. ......................................... 26

2.2.5 Metodología según los conocimientos previos de los estudiantes. ...................... 27

2.2.6 Pautas que debe contener un Problema. ............................................................... 29

2.2.7 Pautas para presentar el Problema por parte del docente. .................................... 29

2.2.8 Consideraciones metodológicas con respecto a las relaciones Profesor-

Estudiante, Estudiante-Objeto de estudio. .................................................................... 30

2.2.9 Descubrimiento significativo de contenidos. ....................................................... 31

2.2.10 Proposición de tareas y dudas basadas en problemas. ....................................... 32

2.2.11 Creación de un escenario que provoque la duda y la reflexión. ........................ 32

Contenido

VIII

2.3 Referente disciplinar .................................................................................................. 33

2.3.1 Conceptos Básicos de la proporcionalidad directa. ............................................. 33

2.3.1.1 Propiedades de las Proporciones: ................................................................. 34

2.3.1.2 Una aplicación práctica: ............................................................................... 34

2.3.2 Casos Especiales de Proporcionalidad Directa. .................................................. 35

3. Antecedentes .................................................................................................................... 39

3.1 Antecedentes Históricos desde la perspectiva del arte y sus aplicaciones ................. 39

3.2 Desde la perspectiva Enseñanza-Aprendizaje ............................................................ 44

3.3 Antecedentes teóricos en la solución de Problemas ................................................... 45

3.3.1 La heurística como recurso para la solución de Problemas. ............................... 48

4. Metodología ..................................................................................................................... 55

5. Resultados ........................................................................................................................ 59

5.1 Análisis de resultados ................................................................................................. 59

5.1.1 Análisis de resultados inventario de conocimientos previos antes de iniciar el

tema. ............................................................................................................................. 59

5.1.2 Análisis de resultados de cada una de las pruebas realizadas en los estudiantes de

6° 1 y 6° 2. .................................................................................................................... 63

5.1.3 Análisis de resultados inventario de conocimientos previos al finalizar el tema y

luego de aplicar las pruebas. ........................................................................................ 63

6. Conclusiones y recomendaciones ..................................................................................... 67

6.1 Conclusiones .............................................................................................................. 67

6.2 Recomendaciones ....................................................................................................... 68

Bibliografía ........................................................................................................................... 69

Anexos .................................................................................................................................. 72

Anexo A. Inventario de conocimientos previos sobre el tema de proporcionalidad directa.

.......................................................................................................................................... 72

Contenido IX

Anexo B. Actividades de evaluación sobre los conceptos relacionados con la

proporcionalidad directa ................................................................................................... 73

Anexo C. Actividades de evaluación sobre los conceptos relacionados con la

proporcionalidad directa por medio de lo visual y lo gráfico. .......................................... 75

Contenido

X

Lista de Figuras

Pág.

Figura 2-1: Ilustración del teorema de Tales para la solución de triángulos semejantes. .... 36

Figura 3-1: Ilustración del teorema de Tales para la solución de triángulos semejantes. .... 40

Figura 3-2: Escultura de Fidias donde expone el uso de la “proporción divina”. ................ 41

Figura 3-3: El hombre vitruviano (1492). Formato: 34.4 x 24.5 cm. ................................... 42

Figura 3-4: Extracto de La Gioconda. Leonardo Da Vinci (1.503). .................................... 43

Figura 3-5: Leda Atómica, Salvador Dalí (1.949). .............................................................. 43

Contenido XI

Lista de Tablas

Pág.

Tabla 2-1: Tabla comparativa proceso de aprendizaje tradicional Vs. Proceso de

aprendizaje basado en problemas. ........................................................................................ 22

Tabla 5-1: Organización de la población de estudio. ............................................................ 59

Tabla 5-2: Resultados consolidados de las preguntas y/o afirmaciones del KPSI (Inicial). 61

Tabla 5-3: Resultados resumidos por nivel del KPSI (Inicial). ............................................ 62

Tabla 5-4: Resultados consolidados de la prueba final por grupo. ....................................... 63

Tabla 5-5: Resultados consolidados de las preguntas y/o afirmaciones del KPSI (Final). .. 64

Tabla 5-6: Resultados resumidos por nivel del KPSI (Final). .............................................. 65

Contenido

XII

Introducción

La propuesta que se presenta a continuación surge de la necesidad de elaborar, aplicar y

evaluar una serie de actividades previas, de control y de aplicación mediadas por lo visual y

lo gráfico para la enseñanza del concepto de Proporcionalidad Directa en la Institución

Educativa Samuel Barrientos Restrepo de la ciudad de Medellín, esto con el objetivo de

utilizar una metodología, a partir del Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) para la

enseñanza de dicho tema. Se abordan conceptos necesarios tales como: magnitudes,

magnitudes directamente proporcionales, razón y proporcionalidad directa.

En razón de las dificultades observadas durante el desarrollo de esta temática para los

estudiantes de la institución, se evidenció la necesidad de diseñar una actividad que

permitiera el aprendizaje significativo a través de lo visual y gráfico y utilizando la

metodología del ABP (Aprendizaje Basado en Problemas), además de analizar si la

implementación de la actividad podía mejorar los resultados en las pruebas sobre la

adquisición del tema de Proporcionalidad Directa.

El trabajo se está estructurado en 6 capítulos de la siguiente manera: en el capítulo 1 se

encuentra el diseño teórico del trabajo, es decir, se describe el problema, los objetivos y las

tareas de investigación que se llevaron a cabo durante la realización del mismo, en el

capítulo 2 está el marco teórico que se utilizó como punto de referencia; la teoría del

aprendizaje significativo, el Aprendizaje basado en Problemas (ABP) desde diversas

perspectivas tanto para el maestro como para el estudiante y todos los requerimientos

conceptuales, técnicos y procedimentales para su aplicación, así como la conceptualización

básica de la proporcionalidad directa, en el capítulo 3 se abordan los antecedentes históricos

del tema de la proporcionalidad y sus aplicaciones además de una mirada desde la

enseñanza-aprendizaje del tema y su importancia en la formación de otros conceptos

fundamentales para la enseñanza de las matemáticas en los estudiantes de secundaria y en

su contexto con otros saberes técnicos y científicos.

La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP

14

El capítulo 4 contiene la metodología empleada para llevar a cabo las tareas de

investigación, la descripción del contexto en cual se desarrolló el problema, la evaluación

de conocimientos previos KPSI (inicial) tanto para el grupo control como para el grupo al

cual se le aplicó la estrategia, los resultados de la evaluación tradicional o numérica para el

grupo control, los resultados de la evaluación que contiene la estrategia a través de lo visual

y lo gráfico, así como una prueba de percepción de conocimientos adquiridos o KPSI

(final) aplicado a ambos grupos con el objetivo de verificar los resultados y los análisis

presentados posteriormente en el capítulo 5 de resultados y capítulo 6 de conclusiones . El

capítulo 5 presenta los resultados finales de todas las pruebas realizadas para evaluar la

propuesta de trabajo, por medio de tablas se comparan los resultados de las pruebas con el

objetivo de visualizar la pertinencia de la intervención, finalmente en el capítulo 6 se dan

las conclusiones y recomendaciones extraídas de las estadísticas realizadas y con el análisis

de los resultados obtenidos. Finalmente encontramos la bibliografía utilizada y los anexos.

1. Diseño teórico

El presente trabajo final de maestría parte de la necesidad, que como docente he

experimentado, al tratar de enseñar los conceptos básicos de magnitud, magnitudes

proporcionales, razón y proporción y por lo tanto son el origen del siguiente planteamiento

del problema:

1.1 Planteamiento del problema

Los estudiantes de sexto grado de la Institución Educativa Samuel Barrientos Restrepo

tienen dificultades para interpretar y resolver problemas aplicando el concepto de

proporcionalidad directa. Se ha identificado que las estrategias tradicionales para la

enseñanza de este tema no posibilitan la adquisición de los conceptos de magnitud,

magnitudes proporcionales, razón y proporción y, por lo tanto, se hace necesario revisar

estas estrategias y plantear una nueva que facilite la adquisición por parte de los estudiantes

de los conceptos planteados.

1.2 Objetivo

Utilizar una metodología, a partir del Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) para la

enseñanza del concepto de proporcionalidad directa en los estudiantes del grado sexto de la

Institución Educativa Samuel Barrientos Restrepo.

1.3 Tareas de Investigación

Diseñar actividades que permitan identificar los conocimientos previos de los

estudiantes sobre los conceptos de magnitud, magnitudes proporcionales, razón,

proporción y proporcionalidad directa.

Diseñar actividades de aprendizaje y profundización del concepto de Proporcionalidad

directa con base en la metodología ABP.


16

Plantear un problema a partir de situaciones de la vida cotidiana que permitan al

estudiante un aprendizaje significativo de la teoría de proporcionalidad directa.

Demostrar que el recurso de lo visual y gráfico, facilita la Enseñanza-Aprendizaje del

concepto de proporcionalidad directa una vez se haya ejecutado la evaluación de la

propuesta.

1.4 Justificación

Una preocupación constante para cualquier persona dedicada a la enseñanza de las

Matemáticas es ¿Cómo motivar a los estudiantes para que aprendan los conceptos

Matemáticos que se les ofrecen? O en este caso particular ¿Cómo motivar a los estudiantes

para que aprendan el concepto de Proporcionalidad directa? Surge entonces la pregunta del

por qué escoger este tema en específico para el desarrollo de este trabajo, de manera tal que

se pueda cumplir con el objetivo de lograr tal motivación por aprender. Es en este punto en

cual se justifica de la siguiente manera: “lo bello” es una idea o un ideal humano que parece

a veces una cuestión tan subjetiva que puede llegar a olvidarse que ésta obedece

completamente a un concepto matemático, es decir, una proporción, según el diccionario de

la Real Academia de la Lengua Española (2013) una de las definiciones de la belleza es:

“Propiedad de las cosas que hace amarlas, infundiendo en nosotros deleite espiritual. Esta

propiedad existe en la naturaleza y en las obras literarias y artísticas”. Y la definición de

proporción: “Disposición, conformidad o correspondencia debida de las partes de una cosa

con el todo o entre cosas relacionadas entre sí”. Sin duda entonces existe una estrecha

relación entre lo que consideramos bello, aún de manera intuitiva, es decir, sin

conocimiento de la idea de proporción pero que sin embargo es innata en casi todos los

seres humanos, basta solo mencionar algunos ejemplos para reforzar la idea, qué sería de la

música sin la proporción entre sus sonidos, o de los elementos de la naturaleza que sin la

debida proporción consideraríamos “Monstruosos”, y aún el cuerpo humano sin una

relación entre las partes entre sí y las partes y el todo, no es acaso una relación

proporcional? Qué decir de la arquitectura entendida como el hábitat creado por el humano

en ansias de que sus espacios sean agradables y bellos, la misma poesía obedece a una


17

métrica y a una proporción sin la cual no tendría la belleza y ese especial agrado y

musicalidad a nuestro oído. Ahora si eso que llamamos “bello” nos hace amarlo, sea un ser

humano, una pieza musical, una pintura, una poesía, etc. por qué no mostrarlo a la luz de

las matemáticas y lograr hacer de éstas mismas algo amable y lograr esa motivación tan

deseable en nuestros estudiantes, se puede considerar entonces más que justa -valga la

redundancia- la justificación para este trabajo. No olvidando sin embargo que aún las cosas

bellas - tan perceptibles algunas a simple vista - necesitan de un esfuerzo extra, del

desarrollo de ciertas habilidades y el estudio de conceptos relacionados para lograr

comprenderlas en su totalidad, es decir, no basta con la simple apreciación plana o

superficial como a veces se piensa, no, también la comprensión de las cosas bellas como las

matemáticas requieren el trabajo y el entusiasmo constantes para lograr esa

correspondencia tan deseada ante eso que es “bello”. Además este tema es de vital

importancia como parte del currículo escolar y que su enseñanza a partir de situaciones

problema en la vida cotidiana utilizando la Metodología ABP pueden mejorar el

aprendizaje de los estudiantes en este tema.


18

2. Marco teórico

Las teorías que soportan, justifican y argumentan esta propuesta de enseñanza son el

aprendizaje significativo, el Aprendizaje Basado en Problemas (ABP), finalizando con la

parte disciplinar que comprende los conceptos básicos de la proporcionalidad directa. A

continuación se expone cada uno de estas teorías.

2.1 Aprendizaje Significativo

En el contexto actual de nuestro diario quehacer docente surgen a menudo diversos

problemas relacionados con la adquisición y apropiación de los conceptos matemáticos,

para el caso particular éstos deben dividirse en dos grandes temas a saber según los

Estándares Básicos en competencias Matemáticas del Ministerio de Educación Nacional

(1998) en: el conocimiento teórico-conceptual y el conocimiento práctico-procedimental. El

primer conocimiento está asociado a la adquisición de herramientas puramente teóricas,

capacidad de abstracción y el entendimiento de cuestiones tales como el conocimiento del

qué y el por qué, el segundo está relacionado con el desarrollo y adquisición de técnicas y

estrategias que le permiten al estudiante la transformación de los conceptos teóricos en

destrezas y habilidades para la solución de problemas en contexto. Sin desmedro del

conocimiento teórico, debe considerarse que la adquisición de las habilidades para la

solución de problemas prácticos puede abrir en el estudiante un campo de percepción lo

suficientemente amplio para que en un proceso de retroalimentación pueda con el tiempo

re-adquirir algunos elementos teóricos que en un primer momento no le han quedado

claros, es decir, al enfrentarse a una situación problema contextualizada a sus necesidades y

su interacción con su mundo conocido puede y debe desarrollar tanto las competencias

teóricas como las prácticas, al enfrentarse al conflicto de la nueva situación planteada surge

la motivación para que se dé en él el aprendizaje.

En este escenario es que la teoría del aprendizaje significativo y la metodología del ABP

(Aprendizaje Basado en Problemas) nos ofrecen sus mejores frutos. En palabras de Ausubel

Novakk-Hanesian (1983) “un aprendizaje es significativo cuando los contenidos: Son


20

relacionados de modo no arbitrario y sustancial (no al pie de la letra) con lo que el alumno

ya sabe. Por relación sustancial y no arbitraria se debe entender que las ideas se relacionan

con algún aspecto existente específicamente relevante de la estructura cognoscitiva del

alumno, como una imagen, un símbolo ya significativo, un concepto o una proposición..

Esto quiere decir que en el proceso educativo, es importante considerar lo que el individuo

ya sabe de tal manera que establezca una relación con aquello que debe aprender. Este

proceso tiene lugar si el educando tiene en su estructura cognitiva conceptos, estos son:

ideas, proposiciones, estables y definidos, con los cuales la nueva información puede

interactuar” (Ausubel et al. 1983: 18). En este sentido cualquier problema que se extrae del

entorno y contexto del educando debe ofrecerle la posibilidad de ser potencialmente

significativo, ya que por derecho debe tener ideas previas o subsunsores que le permitirán

un verdadero aprendizaje, esto se da debido a la característica fundamental del Aprendizaje

Significativo y es que estas ideas previas o subsunsores le permitirán el anclaje o amarre

entre éstos y cualquier conocimiento “nuevo” que llegará a ser significativo y hará ya parte

de su estructura cognitiva.

Otro aspecto relacionado entre el ABP y Aprendizaje significativo es el aprendizaje por

descubrimiento que también en palabras de Ausubel (1983) “el aprendizaje por

descubrimiento, lo que va a ser aprendido no se da en su forma final, sino que debe ser re-

construido por el alumno antes de ser aprendido e incorporado significativamente en la

estructura cognitiva. El aprendizaje por descubrimiento involucra que el alumno debe

reordenar la información, integrarla con la estructura cognitiva y reorganizar o transformar

la combinación integrada de manera que se produzca el aprendizaje deseado” (Ausubel,

1983: 18). Considerado entonces desde esta teoría la metodología del ABP puede, desde

una orientación apropiada ser efectiva para la consecución del aprendizaje.

Teniendo en cuenta además que el Aprendizaje Basado en Problemas es un enfoque de

enseñanza-aprendizaje con una base constructivista y que en este paradigma, la meta de la

instrucción consiste en representar la estructura del mundo dentro del estudiante (Jonassen,

1991). El conocimiento emerge en contextos que le son significativos. Por tanto, para

comprender el aprendizaje que ha tenido lugar en el individuo, debe examinarse la totalidad


21

de su experiencia (Bendar et al. 2.000). El aprendizaje del estudiante debe basarse en que

éste construya interpretaciones personales de su mundo a partir de las experiencias e

interacciones que como individuo percibe en su entorno particular, y que además se

caracterice por la capacidad de realizar trabajo en equipo y el uso de problemas del “mundo

real” como contexto. El ABP enfatiza la investigación que ocurre cuando los estudiantes,

trabajando en equipo, se preguntan qué se necesita para comprender, solucionar y mejorar

una situación particular. El ABP recoge los siguientes principios del constructivismo:

El entendimiento con respecto a una situación de la realidad surge de las interacciones

con el medio ambiente.

El conflicto cognitivo al enfrentar cada nueva situación estimula el aprendizaje.

El conocimiento se desarrolla mediante el reconocimiento y aceptación de los procesos

sociales y de la evaluación de las diferentes interpretaciones individuales del mismo

fenómeno (Fosnot, 1996).

Enfocado específicamente en la enseñanza del concepto de Proporcionalidad Directa se

puede evidenciar que haciendo uso tanto de la teoría del Aprendizaje Significativo como

de la metodología ABP se puede lograr el diseño de las herramientas suficientes y

necesarias para un correcto diagnóstico y creación de actividades de aprendizaje y

profundización de dicho concepto, además de facilitar los procesos de enseñanza-

aprendizaje tanto para el docente como para el estudiante debido a características del ABP

que aparecen en el documento El Aprendizaje Basado en Problemas como técnica didáctica

del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey y que se presentan a

continuación:

Es un método de trabajo activo donde los estudiantes participan constantemente en la

adquisición de su conocimiento.


22

El método se orienta a la solución de problemas que son seleccionados o diseñados para

lograr el aprendizaje de ciertos objetivos de conocimiento.

El aprendizaje se centra en el alumno y no en el profesor o sólo en los contenidos.

Es un método que estimula el trabajo colaborativo en diferentes disciplinas, se trabaja en

grupos pequeños.

Los cursos con este modelo de trabajo se abren a diferentes disciplinas del

conocimiento.

El maestro se convierte en un facilitador o tutor del aprendizaje.

Por estas características el aprendizaje gira en torno a la búsqueda de la solución de la

situación problema y se llega a partir de la experiencia o autodescubrimiento – ya planteado

como un importante elemento de aprendizaje por Ausubel- creando la motivación necesaria

por la investigación y posibilitando el autoaprendizaje al enfrentar al estudiante con

situaciones reales de su entorno. El Aprendizaje Basado en Problemas como técnica

didáctica.

Comparado con un proceso de aprendizaje tradicional podemos observar mucho mejor

las ventajas del ABP.

Tabla 2-1: Tabla comparativa proceso de aprendizaje tradicional Vs. Proceso de

aprendizaje basado en problemas.

En un proceso de aprendizaje

tradicional:

En un proceso de Aprendizaje Basado en

Problemas:

El profesor asume el rol de experto o

autoridad formal.

Los profesores tienen el rol de facilitador,

tutor, guía, coaprendiz, mentor o asesor.

Los profesores transmiten la información a

los estudiantes.

Los estudiantes toman la responsabilidad de

aprender y crear alianzas entre alumno y


23

profesor.

Los profesores organizan el contenido en

exposiciones de acuerdo a su disciplina.

Los profesores diseñan su curso basado en

problemas abiertos.

Los profesores incrementan la motivación

de los estudiantes presentando problemas

reales.

Los estudiantes son vistos como

“recipientes vacíos” o receptores pasivos de

información.

Los profesores buscan mejorar la iniciativa

de los estudiantes y motivarlos. Los

estudiantes son vistos como sujetos que

pueden aprender por cuenta propia.

Las exposiciones del profesor son basadas

en comunicación unidireccional; la

información es transmitida a un grupo de

estudiantes.

Los estudiantes trabajan en equipos para

resolver problemas, adquieren y aplican el

conocimiento en una variedad de contextos.

Los estudiantes localizan recursos y los

profesores los guían en este proceso.

Los estudiantes trabajan por separado. Los estudiantes conformados en pequeños

grupos interactúan con los profesores

quienes les ofrecen retroalimentación.

Los estudiantes absorben, transcriben,

memorizan y repiten la información para

actividades específicas como pruebas o

exámenes.

Los estudiantes participan activamente en la

resolución del problema, identifican

necesidades de aprendizaje, investigan,

aprenden, aplican y resuelven problemas.

El aprendizaje es individual y Competitivo Los estudiantes experimentan el aprendizaje

en un ambiente cooperativo.

Adaptado del documento El Aprendizaje Basado en Problemas como técnica didáctica del Instituto

Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey.

En este marco de Teoría del Aprendizaje Significativo y haciendo uso de la metodología

del ABP, es que se pretende la realización de este trabajo que puede considerarse ya, que se

ha evidenciado que conducirán a la consecución de todos los objetivos propuestos, es decir,

comparativamente entre un proceso de aprendizaje tradicional versus un proceso de

Aprendizaje Basado en Problemas parece más probable que los estudiantes logren un

aprendizaje significativo, debido a las múltiples ventajas que ofrece la metodología ABP.

Además de lo anteriormente expuesto puede considerarse también la Enseñanza-

Aprendizaje del concepto de proporcionalidad desde otro ángulo de la teoría del

pensamiento y preguntas tales como ¿Qué entendemos por razón, razonar? ¿Por qué se


24

afirma que la razón es aquella cualidad que nos separa de los animales y nos hace

humanos? Hacen referencia inequívoca a una capacidad de observar relaciones entre las

cosas, la semejanza, la diferencia, la comparación, el sentido de lo armónico, todos estos

conceptos relacionados con la proporcionalidad.

En este punto se introduce una definición de lo que es el pensamiento analógico según

Abarca Fernández Ramón. (1991) “El término analogía procede del griego ,

que significa "según proporción". En términos generales, es la correlación entre los

términos de dos o varios sistemas u órdenes, es decir, la existencia de una relación entre

cada uno de los términos de otro. La analogía equivale, entonces, a la proporción. El

razonamiento analógico puede definirse así: la argumentación, a través de la cual, de una

proposición descubierta por nosotros, inferimos otra proposición no descubierta. Se habla

también de la analogía como semejanza de una cosa con otra, de la similitud de unos

caracteres o funciones con otros. En este caso, la analogía consiste en la expresión de una

correspondencia, semejanza o correlación. Con este término se expresa ante todo la

analogía del conocimiento, el cual concibe un ente por su relación con otro distinto. Se

concluye entonces que la analogía constituye el fundamento de la mayoría de nuestros

razonamientos ordinarios y que por lo tanto el aprendizaje adecuado del concepto de

proporcionalidad capacitará al estudiante para “razonar” mejor no sólo en el sentido

matemático sino también en cualquier ámbito científico o argumentativo”.

2.2 Aprendizaje Basado en Problemas (ABP)

Parafraseando a Ortiz Ocaña, Alexander Luis (2009) el Aprendizaje Basado en problemas

debe considerar todos los aspectos siguientes:

2.2.1 Situaciones Problema. Es una situación en la cual el problema se convierte en un

facilitador del diálogo entre el estudiante y el docente, canalizando adecuadamente los

interrogantes, ideas, afirmaciones y razonamientos orientados hacia el estudio de un

determinado tema. Tiene la virtud fundamental de propiciar un ambiente colaborativo tanto

en la relación estudiante-estudiante, es decir, entre pares, como entre docente-estudiante,

cumpliendo así con objetivos formativos y pedagógicos.


25

2.2.2 Situaciones Problema en el ámbito de la Enseñanza de las Matemáticas. Debido a

las ventajas que ofrecen las situaciones problema en el desarrollo de un estudiante más

proactivo y participativo, que se involucra en su propio aprendizaje, sin dejar de la lado la

labor del docente, las situaciones problema ofrecen para la enseñanza de las matemáticas la

posibilidad de una construcción de conceptos y la aplicación de procesos tanto algorítmicos

como otros de mayor complejidad y profundidad como son la modelación de problemas, el

razonamiento lógico-matemático, la comunicación y resolución de problemas, el análisis y

comparación de información que constituyen la base para formar un estudiante que no sólo

aplica sino que además es capaz de pensar y construir de manera autónoma.

2.2.3 Situaciones Problema en el proceso de Aprendizaje. Considerada la situación

Problema como un reto a la intelectualidad y los conocimientos del estudiante supone

entonces una cierta barrera, antes de la cual se sitúan los conocimientos previos del

estudiante y después de ella la adquisición de nuevas competencias y la adquisición de

nuevos aprendizajes que le permitan franquear dicha barrera y resolver el problema.

Es impensable el avance de todo tipo de conocimientos en el hombre en general sin que

se le haya presentado una situación problema, es decir, una en la cual debe replantear todos

sus conocimientos anteriores y a partir de ellos avanzar en la búsqueda de otros nuevos,

entonces en el caso de la situación problema en el ámbito del proceso de aprendizaje con

mayor razón siendo medio y fin se crea en el estudiante toda una atmósfera, un escenario

propicio, motivador que proporciona las condiciones internas para que de forma proactiva

se busque y se indague hasta encontrar la solución al problema.

Sin embargo esta curiosidad inicial del estudiante debe ser conducida apropiadamente

por parte del docente, la pregunta o preguntas que se plantean deben ser guiadas de manera

que pongan en juego como se ha dicho tanto los conocimientos previos del estudiante, o sea

que se relacionen con un contexto conocido o cognoscible pero que al mismo tiempo le

resulten incómodas, retadoras, surgiendo de nuevo la curiosidad y necesidad de investigar

más profundamente. En el proceso de Aprendizaje del ser humano en general la situación


26

problema debe plantear una cierta contradicción entre lo que el estudiante sabe o conoce

previamente y lo que debe saber para solucionar la nueva situación, es allí, en las relaciones

que se presentan entre lo conocido y lo desconocido donde esta escena o atmósfera el

estudiante se apropia de manera vital al problema, ya no lo ve como algo exterior y sin

ninguna relación con él y con su mundo, sino por el contrario se lo plantea como su

problema, llevándolo a una situación psíquica en la cual él está completamente involucrado.

El docente entonces tiene un papel en el cual ya no el dueño del problema, no es un agente

exterior que provoca el problema, es un comunicador que de alguna manera extrae en el

estudiante algo con lo que ya venía y le presenta una situación que estimula el proceso

intelectual, la curiosidad por entender, esa incomodidad que lo sacude y lo saca de un

estado pasivo en el que todo sucede porque sí, sin ningún antecedente o consecuencia y lo

vincula directamente, lo hace parte activa y directa del problema, ante lo cual tiene que

moverse, reaccionar.

2.2.4 Metodología para el diseño de situaciones Problema. Para la correcta aplicación de

una metodología basada en problemas se deben tener claros los componentes de lo que

podría llamarse un sistema de Enseñanza-Aprendizaje, este sistema tiene como

componentes a los estudiantes, los docentes y los componentes que median entre esto dos,

es decir, todos aquellos requerimientos sociológicos, sicológicos y pedagógicos necesarios

para que el proceso sea exitoso.

El profesor como parte del sistema tiene el papel o la función de guiar el proceso de

apropiación de conocimientos, a partir tanto de su conocimiento de la disciplina específica,

sus contenidos, métodos como de su particularidad como ser humano, su forma de entender

y explicar su cultura. El profesor debe tener entonces unas características que le permitirán

cumplir con los fines y principios del sistema de Enseñanza-Aprendizaje. Por un lado tiene

unos conocimientos específicos que le permiten - en teoría- enseñarlos a los estudiantes y

sin embargo está la pregunta por el método, es decir, la vía o camino mediante el cual se va

a llevar a cabo el proceso de Enseñanza-Aprendizaje, es el método donde se pone en juego

o movimiento todo el proceso, es el que dinamiza las relaciones profesor-conocimiento-

estudiante. Es por medio del método que se dan las relaciones entre las partes más


27

importantes del sistema, estudiante-profesor y entre éstos y el fin, es decir, la apropiación

adecuada de un objeto de estudio. En la manifestación de su cultura, sus conocimientos

previos, sus experiencias, sus motivaciones hay conexión fluida que permite que el sistema

funcione bien o una ruptura que aísla los componentes del sistema y destruye el proceso

completamente.

Desde lo metodológico el profesor también es entonces junto con el estudiante un sujeto

del proceso pedagógico, debido a las necesarias e ineludibles relaciones que se configuran

entre ellos, por lo cual para que el estudiante se empodere o apropie del conocimiento es

necesaria una comunicación abierta, fluida y afectiva con los demás componentes del

sistema, es evidente por lo tanto que el profesor es no solo un contenedor de conocimientos

específicos sino un ser cultural con intereses y necesidades, que debe realizar ajustes

constantes de manera que la sistematización de contenidos y aprendizajes por parte del

estudiante se ajuste también a las necesidades, intereses y conocimientos propios del

estudiante. El estudiante tiene también como parte del sistema Enseñanza-Aprendizaje un

papel activo en la dinámica del proceso, si la comunicación es parte fundamental en las

relaciones estudiante-conocimiento-profesor, su parte activa implica la participación

consciente en la apropiación de dichos conocimientos, si bien el profesor a través de su

método propicia el ambiente de aprendizaje, el estudiante también debe promover que las

relaciones afectivo-cognitivas sean propias para el cumplimiento de los fines del sistema.

2.2.5 Metodología según los conocimientos previos de los estudiantes. Según el modelo

pedagógico de cada institución es deber del profesor ajustar sus métodos y contenidos de

forma que pueda responder a su encargo de acuerdo al contexto socio-económico y cultural

de los estudiantes. Por lo tanto los contenidos y temas deben estar acorde a la formación del

potencial del estudiante. A modo de preparación se identifican principios, leyes, conceptos

relativos al tema que contribuyan al cumplimiento de los objetivos finales. En este punto el

profesor hace referencia al grado de dificultad del tema y comienza a extender los

diferentes vínculos relaciones del tema con otros antes estudiados, presentando en lo

posible casos cotidianos o dentro del contexto de los estudiantes, analizando por medio de


28

la participación los conocimientos previos de los estudiantes, además y al mismo tiempo

trazando los objetivos que ésta metodología implica.

Para que la situación problema pueda satisfacer los fines u objetivos del sistema

Enseñanza-Aprendizaje debe contener ciertas características como son la validez,

problema asequible y la motivación. La primera característica implica para el estudiante el

deseo de franquear la situación problema, es decir, que le plantee la incomodidad propia del

no saber, de la aceptación de que sus competencias y habilidades de su contexto no son

suficientes para resolverlo, de allí se llega a la siguiente instancia que le permitirá

apropiarse del problema, esto es, que el problema sea asequible, por lo cual, aún en el punto

del no saber, al mismo tiempo sabe que puede llegar a resolverlo dadas sus cualidades y

potenciales, esta comprensión de su propio potencial es indispensable como motor para que

llegue a la etapa de la motivación, aunque la situación le plantea una barrera entre lo que

sabe y lo que no sabe, está motivado, se siente retado en su intelecto para llegar a la

solución de la situación problema. El profesor actúa de manera que el estudiante por sí

mismo descubra tal contradicción, no es necesario que le apunte directamente, sino que a

través de una sutil guía, casi sin darse cuenta el estudiante sabe que algo hace falta, que las

soluciones con las cuales ha estado acostumbrado a resolver los anteriores problemas no

son ya suficientes, entonces sabe que necesita desarrollar todo ese potencial con las

competencias propias para resolver el problema.

En la práctica se pueden presentar dos tipos de problemas, uno en cual se puede

solucionar solo con los datos que se plantean en la situación problema, conocido como

problema cerrado y otro en el cual requiere de información adicional que le permite

resolver el problema por otras vías no tradicionales, conocido como problema abierto, cada

uno proporciona elementos que de nuevo con la acertada guía del profesor pueden

estructurar una metodología para solucionar problemas, si el estudiante logra en un primer

momento diferenciar a qué tipo de problema se enfrenta se habrá dado un gran paso, es

decir, cuando es capaz de captar la contradicción entre lo que sabe y lo que no sabe,

diferencia, clasifica en qué punto está su confusión, si es de tipo conceptual, algorítmico o


29

práctico lo cual lo sensibiliza y lo moviliza, es un límite entre lo que le han enseñado y lo

que tiene que aprender.

2.2.6 Pautas que debe contener un Problema. Para que una tarea se transforme de un

ejercicio tradicional en una verdadera situación problema que promueva la apropiación del

conocimiento por parte del estudiante y cumpla con los criterios de validez, problema

asequible y motivación se requiere el cumplimiento de los siguientes criterios:

Que las tareas propicien un escenario de creatividad en la cual estudiante tenga varias

posibilidades de solución, que pueda tomar decisiones sobre el mismo.

Contextualización de la tarea en los escenarios propios de los estudiantes, relación entre

la vida cotidiana y la sociedad en la cual se desenvuelve el estudiante para que esta sea

significativa para él.

La presentación de la tarea debe diferir de la tradicional de modo que le plantee la

posibilidad de no utilizar las soluciones tradicionales.

Que para resolver el problema necesite la integración de la teoría y la práctica, la

aplicación de lo conceptual y lo algorítmico, evitando que se presenten como un

formato de un contenido.

Que le exijan la utilización de métodos e instrumentos característicos no solo de su

contexto actual sino en lo posible de su contexto en el futuro, uso de elementos técnicos

como materiales, sistemas computacionales, dispositivos eléctricos o electrónicos, etc.

De su propio contexto.

2.2.7 Pautas para presentar el Problema por parte del docente. Así como el problema

debe cumplir con las anteriores características para que realmente los problemas sean

significativos para el estudiante, también el profesor requiere de unas pautas para su

presentación, de manera que propicie un aprendizaje autónomo, contextualizado y

significativo para el estudiante, las siguientes son algunas de las pautas que debe contener

la presentación de una situación problema:

Dirigir la formación de conceptos por medio de un sistema de preguntas.


30

Promover en el estudiante la manifestación de hipótesis o ideas acerca de las posibles

soluciones del problema.

Potencializar la construcción de competencias que coadyuven al estudiante en la

utilización de métodos y procedimientos propios de su contexto actual y futuro.

Propiciar un ambiente de trabajo participativo entre los estudiantes de manera que se

comuniquen y encausen hacia una tarea común.

Proporcionar de acuerdo al nivel de avance del estudiante la información que el

estudiante requiere para solucionar el problema incentivando en ellos el hábito de

realizar las preguntas correctas más que la respuesta a preguntas.

Hacer visible en el estudiante su potencial, incentivarlos para que se apropien de sus

conocimientos previos, que se sepan poseedores de habilidades y competencias que les

permitirán resolver el problema.

Tener en cuenta el nivel de reflexión alcanzado por el estudiante, el proceso mediante el

cual busca y encuentra soluciones más allá de la rapidez con la cual solucione el

problema.

2.2.8 Consideraciones metodológicas con respecto a las relaciones Profesor-

Estudiante, Estudiante-Objeto de estudio. En el sistema Enseñanza-Aprendizaje son

ineludibles y además necesarias las interacciones Estudiante-Profesor y Estudiante-objeto

de estudio, mediadas éstas por los contenidos y el método, por lo cual se hace también

necesaria una vía de comunicación clara y con características muy especiales. En este

sentido se plantean los papeles que deben cumplir tanto los docentes como los estudiantes,

el docente como guía, como alguien que a través de su conocimiento y su método enseña,

muestra un camino y el estudiante quien se instruye y se educa formando ambos una

relación particular en su contexto.

La actividad de clase se convierte en esta relación en el vehículo mediante el cual el

estudiante se relaciona con su objeto de estudio, sólo una comunicación efectiva entre el

estudiante y el profesor permitirá que dicha actividad como vínculo con el objeto de estudio

incida directamente en la formación cognitiva, intelectual y formativa del estudiante. La

apropiación del conocimiento, la independencia de pensamiento y la formación de


31

aprendizajes significativos para el estudiante dependerá en gran medida de la comunicación

que se establezca en esa relación Estudiante-Profesor y del direccionamiento adecuado que

el profesor como guía propicie, de manera que cada uno de los estudiantes se identifique

con objeto de estudio y las actividades propuestas, en este sentido se requiere de las

siguientes pautas de comunicación de actividades:

Descubrimiento significativo de contenidos.

Proposición de tareas y dudas basadas en problemas.

Creación de un escenario que provoque la duda y la reflexión.

2.2.9 Descubrimiento significativo de contenidos. La interacción entre el estudiante y el

profesor, es decir, la comunicación efectiva es como ya se mencionó indispensable para la

apropiación del conocimiento de manera significativa, el descubrimiento comienza

entonces a través del diálogo Estudiante-Profesor y entre los pares de clase, las preguntas

estimulantes, el error y la rectificación afianzan estas relaciones al mismo tiempo que las

dinamizan en sentido positivo, ayudan a conocer las actitudes y aptitudes de los estudiantes,

se conocen sus intereses y esto los motiva para continuar indagando, reflexionando y

analizando el objeto de estudio.

Mediante la contextualización de los temas se genera un ambiente de

autodescubrimiento, el estudiante identifica, clasifica con elementos que ya conoce, la

dirección del docente debe proporcionar un estímulo para que la participación se

autorregule, el estudiante aprende también a escuchar tanto al profesor como a sus pares

académicos, se potencia más el deseo por investigar o buscar que el de contestar o recitar

contenidos sin ningún significado para el estudiante.

Aunque el profesor debe dominar el tema simula desconocer algunas partes para

incentivar la participación, induce a veces al error para que evidencien por sí mismos las

contradicciones propias de las situaciones problema, de esta manera no es el profesor quien

le da significado a la situación sino más bien el estudiante por vía de su propio

descubrimiento significativo.


32

2.2.10 Proposición de tareas y dudas basadas en problemas. Para cumplir con este

requerimiento es necesario que el profesor tenga objetivos claros, es decir, una dirección

que conduzca finalmente a la apropiación del objeto de estudio por parte de los estudiantes.

Al ofrecer o presentar algunas contradicciones que se presentan en la ciencia o en el

contexto social del estudiante brinda la oportunidad de que éste entienda que el

conocimiento no es una obra acabada, que a pesar de los grandes conocimientos científicos

y tecnológicos que ha desarrollado la humanidad aún falta mucho por aprender. Con

frecuencia es apropiado sugerirle que plantee alguna situación problema de manera que al

analizarla aprenda a realizar preguntas más que contestar o realizar soluciones

mecanizadas, el aprendizaje de plantear problemas es un instrumento importante ya que le

permite diferenciar los elementos del problema y la forma de contextualizarlo, es decir,

empoderarse de la situación problema, adaptarla a sí mismo, motivarse para resolverlo.

2.2.11 Creación de un escenario que provoque la duda y la reflexión. Donde no hay

problemas no hay búsqueda, no hay investigación ni creatividad, no se presenta ni la

discusión y por lo tanto no hay pensamiento, se deben proponer objetivos comunes que

permitan a los estudiantes un discusión abierta, el intercambio de la diversidad de formas

de pensamiento, como se ha mencionado la comunicación y la interacción deben ser parte

fundamental en la generación de conocimiento. Sólo a través de las contradicciones, de los

estados del saber y el no saber puede surgir lo nuevo y corresponde al profesor generar en

un principio este escenario de duda, de incomodidad que estimule la búsqueda y la

investigación por parte del estudiante.

La contextualización con los problemas sociales, económicos y científicos en el entorno

más cercano del estudiante permite de nuevo dinamizar la comunicación, activa el deseo de

indagar, de preguntarse, se toca esa parte sensible del estudiante, porque se siente

involucrado en la situación, reflexiona sobre las causas y las consecuencias, imagina

escenarios futuros y se atreve a ser crítico, de esta manera articula lo que sabe, lo que

conoce e identifica por sí mismo que debe desarrollar otras competencias para superar

aquellas dificultades que se le presentan en la situación problema.


33

2.3 Referente disciplinar

Como referente disciplinar se definirán los conceptos básicos de la Proporcionalidad

directa como son magnitud, magnitudes proporcionales, razón y proporción que se pueden

impartir en el grado sexto.

2.3.1 Conceptos Básicos de la proporcionalidad directa. En esta propuesta de enseñanza

de la proporcionalidad directa para el grado sexto, se definen los siguientes conceptos:

Magnitud: se denomina magnitud a la cualidad de un objeto a la que se le puede asignar

una medida. El tiempo, la masa, la temperatura o la longitud son ejemplos de magnitudes.

Magnitudes Directamente Proporcionales: se dice que dos magnitudes A y B son

directamente proporcionales si el cociente entre ambas es constante, lo cual se expresa

como:

= k

Razón: se denomina razón a cierta relación (usualmente de comparación) entre las medidas

de dos magnitudes. Las magnitudes pueden ser del mismo tipo (magnitudes homogéneas) o

de diferente tipo (magnitudes heterogéneas). Por ejemplo, si en un rectángulo cuyo largo

mide 10 metros y cuyo ancho mide 2 metros se pueden establecer relaciones entre las

longitudes de sus lados.

Las razones también puede expresarse como una fracción así:

Los términos o las partes de una razón se llaman: antecedente y consecuente. Osea el

antecedente es el dividendo y el consecuente es el divisor.


34

Por ejemplo: si un Carro necesita 2 galones de gasolina para recorrer una distancia de

100 Kilómetros se puede representar como una razón de la siguiente forma:

2 Galones

100 Kilómetros

Proporción: en palabras sencillas es una igualdad entre dos razones, que se puede

representar también como la igualdad entre dos fracciones de la siguiente forma:

En donde a y d se llaman extremos y b y c se llaman medios. En una proporción

numérica siempre se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios,

dicha igualdad se conoce como la propiedad fundamental de las proporciones, que se puede

expresar así:

2.3.1.1 Propiedades de las Proporciones:

Medios y extremos se pueden intercambiar entre sí, esto es:

⇒ ⇒ ⇒

2.3.1.2 Una aplicación práctica:

Regla de tres simple directa. Una forma muy sencilla de resolver un problema de

proporcionalidad es utilizar un procedimiento conocido como “regla de tres”. Consiste en

aprovechar la constante de proporcionalidad para hallar un cuarto término desconocido.

Por Ejemplo: Si con $1.000 se pueden comprar 2 bombillos, cuánto dinero se necesita

para comprar 10? Esto se puede plantear como una regla de tres de la siguiente forma:

$1.000 ⇒ 2 bombillos

¿? ⇒ 10 bombillos


35

Y aprovechando la constante de proporcionalidad se plantea como una proporcionalidad

o igualdad entre dos razones numéricas así:

=

Como sabemos que en una proporción siempre se cumple que el producto de medios es

igual al producto de extremos tenemos la expresión:

Y por lo tanto: x = entonces x = 5.000, es decir, el costo de los 10 bombillos es

de $5.000. De esta manera se puede resolver cualquier problema en el cual las magnitudes

sean directamente proporcionales utilizando la regla de tres.

2.3.2 Casos Especiales de Proporcionalidad Directa. En la teoría de la proporcionalidad

directa existen dos casos especiales de gran trascendencia histórica debido a la calidad y

amplio conocimiento de quienes las han expuesto y utilizado, además de su belleza y

simplicidad que ejemplifican perfectamente la intención de este trabajo, estos dos casos

especiales son el conocido “primer teorema de Tales” y la “Divina Proporción” también

conocida como “Proporción Áurea” o “Número de Oro”.

Teorema de Tales: “Si dos rectas r y r’ se cortan por un sistema de paralelas, los

segmentos determinados por los puntos de intersección sobre una de ellas son

proporcionales a los determinados por los puntos correspondientes en la otra”.

Existe una leyenda mencionada por Fiol y Fortuny (1990) en el libro Proporcionalidad

Directa: La Forma y el Número, que atribuye a Tales el uso de sus conocimientos de

geometría para medir las dimensiones de las pirámides de Egipto y calcular la distancia a la

costa de barcos en alta mar. Diógenes Laertes, junto con Plinio y Plutarco señalan que la

medida de la altura de las pirámides se llevó a cabo a través de la determinación de la

longitud de la sombra que ellas producían cuando una vara clavada verticalmente en el

suelo producía una sombra igual a su altura. Para medir la distancia de los barcos en alta


36

mar a la costa, la leyenda dice que Tales fue el primero en emplear la proporcionalidad de

los lados de triángulos semejantes.

Figura 2-1: Ilustración del teorema de Tales para la solución de triángulos semejantes.

Como en triángulos semejantes, se cumple que , por lo tanto la altura de la pirámide

es , con lo cual resolvió el problema.

La divina Proporción. Todo empieza con una línea recta. Imagínese un segmento de una

longitud dada 1, como se muestra a continuación:

_______________________________ = 1 y ahora se divide en dos partes, pero

de la forma más bella posible, de la forma más armónica. Por ejemplo, sean a y b esos dos

segmentos, tal que a + b = 1.

________a___________ + ______b___ = 1

El mayor grado de armonía se alcanza cuando la relación entre la longitud total y el

segmento mayor es igual a la relación entre el segmento mayor y el menor.

Vitrubio indicó que para que un todo dividido en partes desiguales pareciera hermoso,

entre la parte mayor y la menor debe existir la misma relación que existe entre la mayor y el

todo.

Matemáticamente, esto se expresa como.


37

b

a

a

ba

(1)

Y desarrollando esta igualdad.

22 bb·aa (2)

0baba 22 (3)

Si hacemos a= X, b=1 tenemos entonces la ecuación de segundo grado.

(4)

Y resolviendo esta ecuación de segundo grado tenemos.

b2

51

2

5bb

2

b4bba

22

(5)

Tomando el valor positivo de la raíz, obtenemos que.

2

51

b

a (6)

El número de oro, es un número irracional cuyo valor numérico es.

= 1,618033989.... (7)

Esta relación o cociente entre las longitudes de dos segmentos es la base de uno de los

capítulos más curiosos y sugerentes de la Ciencia. Desde la antigüedad ha despertado el

interés y la curiosidad de filósofos, geómetras, matemáticos, pintores, arquitectos y

escultores. Es inevitable mencionar el número de Oro en cualquier trabajo sobre

proporciones y su importancia para todas las Artes o las manifestaciones humanas que

puedan considerarse o apreciarse como bellas y que por lo tanto ofrecen al estudiante la

posibilidad de motivarse hacia el aprendizaje del concepto de proporcionalidad.


38

3. Antecedentes

Para entender y abordar el tema de la proporcionalidad es preciso leer el trabajo de

quienes han estudiado y escrito sobre el tema de desde diversos puntos de vista por tal

razón se hace necesario dividir los antecedentes en dos partes, en primer lugar el estudio

teórico del tema y sus diversas aplicaciones en las artes en las culturas Egipcia, Griega u

occidente y en segundo término - pero no menos importante - los aportes que se le han

hecho desde la intencionalidad sistemática de su enseñanza-aprendizaje.

El estudio de las proporciones ha ocupado un importante papel en las antiguas

civilizaciones en muchos sentidos, no sólo en el de sus aplicaciones prácticas como el de

establecer medidas sino también en la comprensión en un sentido quizá más profundo y

hasta espiritual de la naturaleza, su diseño, sus relaciones, etc. todo lo que significa ser

humano, aquello que se puede o desea percibir más allá de las necesidades propias de la

subsistencia, de nuevo se debe mencionar aquí la percepción o el ideal de “perfección”

humana y de cómo se expresa en la naturaleza misma, aún en la forma en que la mayoría de

las personas piensan y construyen conocimiento, debe haber una noción de la proporción

entendida como las relación entre las partes entre sí y las partes y el todo.

3.1 Antecedentes Históricos desde la perspectiva del arte y sus aplicaciones

Los egipcios descubrieron las proporciones divinas por análisis y observación buscando

medidas que le permitieran dividir la tierra de manera exacta a partir del hombre;

encontraron que el cuerpo humano media lo mismo de alto que de ancho con los brazos

extendidos y que el ombligo es el punto de división de la altura. De este antiguo

conocimiento en occidente por lo menos retomaron los griegos creando un cuerpo sólido de

conceptualizaciones que se conoce hasta hoy.

Tal vez el primero de ellos Tales de Mileto (640 a.C. - 560 a.C.), conocido como uno de

los siete sabios de la antigua Grecia y el padre de las matemáticas, la filosofía y la

astronomía griega, mantuvo mucho contacto con los matemáticos egipcios y


40

mesopotámicos, se cuenta que en uno de sus viajes realizó el cálculo de la altura de la

pirámide Keops de Egipto, utilizando un concepto geométrico: la semejanza de triángulos.

De esta forma a partir de una proporción pudo determinar tal medida evidenciando con ello

la utilidad de este conocimiento. De una manera más formal el Teorema de Tales dice: Si

dos rectas r y r’ se cortan por un sistema de paralelas, los segmentos determinados por los

puntos de intersección sobre una de ellas son proporcionales a los determinados por los

puntos correspondientes en la otra. La figura 3-1 nos muestra como a partir de la semejanza

de triángulos resolvió el problema de determinar la altura de la pirámide.

Figura 3-1: Ilustración del teorema de Tales para la solución de triángulos semejantes.

También artistas como Fidias (Atenas 490-432 a. de C.) el escultor más genial de la

antigüedad clásica realizó obras de gran importancia para la acrópolis de la ciudad. El

equilibrio, la belleza formal idealizada y la perfección técnica caracterizan todas sus obras,

entre las que destacan el Zeus olímpico y la Atenea pártenos, ambas en marfil y oro. El

número de oro o número áureo aparece en las proporciones geométricas o morfológicas que

guardan los edificios, las esculturas, las pinturas, e inclusive las partes de nuestro cuerpo.

Se llama número áureo a phi = 1,61803, de acuerdo a la primera letra del nombre de este

escultor, en la figura 3-2 podemos apreciar la puesta en práctica del conocimiento de las

proporciones del cuerpo humano en este artista y el legado qua aún permanece como

constancia.


41

Figura 3-2: Escultura de Fidias donde expone el uso de la “proporción divina”.

En el pensamiento griego, la proporcionalidad tenía una importancia fundamental que se

expresaba en los elementos de la naturaleza, en el hombre, en sus construcciones y en la

relación con lo divino. Esta idea de la proporción, como fundamento de la armonía y de la

simetría, se manifestaba en una proposición geométrica y estética que pasaba a todas las

alternativas del conocimiento. En la arquitectura y en la escultura desarrollada por los

griegos, el cuerpo humano fue considerado el ejemplo más perfecto de simetría. Pero, no

sólo en estas áreas se expresaba esta tendencia, pues, todo su esfuerzo y su concepción del

universo buscaban situar al hombre en el centro del universo, privilegiando el desarrollo

físico y espiritual en un contexto armónico.

Incluso el filósofo Arístocles de Atenas, apodado Platón, quien vivió de 427 a 347 a. de

C., fue probablemente el pensador que más meditó sobre la proporción y la armonía,

ocupándose con especial dedicación a las proporciones entre los sólidos. En su obra Timeo

escribe: «No es posible que dos términos formen por sí solos una hermosa composición sin

un tercero, pues, es necesario que entre ellos haya un vínculo que los aproxime. Ahora bien,

de todos los vínculos, el más bello es el que se da a sí mismo, y a los términos que une, la

unidad más completa. Y es naturalmente la proporción, la que realiza esto del modo más

bello». Evidenciamos entonces la forma como el pensamiento proporcional no sólo era

valioso para las Matemáticas como tales sino también para toda la cosmovisión y el

pensamiento griego.


42

Un poco más tarde – dos siglos más exactamente - el arquitecto Romano Marco Vitruvio

Polión heredero del pensamiento griego escribió diez libros sobre el recorrido

arquitectónico greco-romano, donde concibe el mismo principio, pero dice que la simetría

consiste en el acuerdo de medidas entre los diversos elementos de la obra y éstos con el

conjunto. Vitrubio ideó una fórmula matemática para la división del espacio dentro de un

dibujo, conocida como la sección áurea o de oro, que se basa en una proporción dada entre

los lados más largos y los más cortos de un rectángulo. Dicha simetría está regida por un

canon común, el número. También estableció una afinidad entre el hombre y las figuras

geométricas al descubrir que el hombre, de pie y con los brazos extendidos, puede

inscribirse en un cuadrado, y si separa las piernas puede inscribirse dentro de un círculo que

tiene como centro el ombligo. Blanco Dávila, Feliciano. (2004).

Figura 3-3: El hombre Vitruviano (1492). Formato: 34.4 x 24.5 cm.

Leonardo da Vinci realizó una gran cantidad de estudios sobre las proporciones del

cuerpo. Esta es la obra más conocida en este género de ensayos sobre anatomía. En ella el

autor plasma la perfección del cuerpo humano desde el punto de vista geométrico y

arquitectónico inspirado en las ideas de Vitrubio Polión.


43

El conocimiento y posiblemente la aplicación de algunas proporciones como la famosa

“Divina proporción” fueron olvidadas durante cientos de años para luego ser redescubiertas

durante el Renacimiento por Artistas como Leonardo Da Vinci quien la aplicó en muchas

de sus obras como la que podemos apreciar en la figura en un extracto de su más famosa

obra “La Gioconda” donde se evidencia el perfecto uso de la proporcionalidad divina en el

rostro. Blanco Dávila, Feliciano. (2004).

Figura 3-4: Extracto de La Gioconda. Leonardo Da Vinci (1.503).

Al igual que Da Vinci otros Artistas contemporáneos han utilizado como expresión de la

belleza en la pintura la utilización de las proporciones, en particular la “divina proporción”

como es el caso del pintor Español Salvador Dalí, en la figura 3-5 su obra Leda Atómica

(1.949) en la cual se puede observar el pentágono que forman sus partes y que está

construido con proporciones áureas.

Figura 3-5: Leda Atómica, Salvador Dalí (1.949).


44

3.2 Desde la perspectiva Enseñanza-Aprendizaje

El concepto de proporcionalidad ha sido objeto de mucho interés desde esta perspectiva

pues acarrea la comprensión y el acercamiento a muchos otros temas matemáticos. En

particular el trabajo de Pozueta Mendia, Edurne y González García, Fermín M. Ofrecen

una completa investigación del tema de la proporcionalidad y su importancia para los

estudiantes desde diversos puntos de vista, a este respecto escriben sobre el tema de

proporcionalidad: “Desde nuestra experiencia como docentes uno de los temas más

sugerentes en la enseñanza de las matemáticas es el de la proporcionalidad. Desde sus

orígenes la proporcionalidad ha estado presente en el estudio del mundo que rodea al

hombre. Así, por ejemplo, al no poder medir directamente distancias, el método ha sido

buscar recursos para compararlas. Vemos aparecer la noción primero en Astronomía y

después en las Ciencias en general, tanto a nivel de definir nuevas magnitudes como para

expresar relaciones numéricas, trabajar con índices, constantes o tasas. Así pues, la

proporcionalidad es un concepto básico en las Matemáticas y es un tema de gran

importancia en el currículo escolar (Fiol y Fortuny, 1990), ya que está relacionado con la

mayoría de los contenidos de Matemáticas y con los de otras asignaturas como Física,

Biología, Química, etc…”. Pero no es un concepto sencillo, (Rapetti 2003) señala que “el

aprendizaje de la noción de proporción no es simple y que requiere que el alumnado se

enfrente a una gama de situaciones diferentes en complejidad numérica y en el tipo de

magnitudes relacionados, puesto que la necesidad de considerar las cantidades en relación

unas con otras, más allá de abordarlas de modo absoluto constituye un problema para parte

del alumnado y se convierte en un obstáculo para la comprensión de contenidos que deben

aprenderse y que guardan relación con la noción de proporcionalidad”.

Además del importante trabajo de Pozueta Mendia y González García sobre el tema de la

enseñanza de la proporcionalidad se concluye esta presentación de antecedentes con un

fragmento que es muy apropiado para el entendimiento de lo esencial que resulta la

Enseñanza-Aprendizaje del concepto de proporcionalidad para los estudiantes “Uno de los

instrumentos matemáticos más importantes, si no el primordial, para el tratamiento de la


45

regularidad de sucesos que fundamentan el trabajo de investigación de la ciencia, el trabajo

técnico y el funcionamiento de gran número de aparatos de medida, es la relación de

proporcionalidad entre las magnitudes intervinientes. El sustrato de expresiones tales como

razón, proporción, constante de proporcionalidad, etc. que se unifican sintéticamente por

medio de la función lineal o función de proporcionalidad, lo constituyen las operaciones

división y producto, dependiendo de las características que fijan la naturaleza de lo que se

trata el que se utilice una u otra”. (Salinas Ruiz, 1999).

Se evidencia entonces con los antecedentes aportados que la Enseñanza-Aprendizaje del

concepto de proporcionalidad directa puede ser desde una teoría apropiada como el

fundamental para introducir al estudiante desde dos perspectivas ya mencionadas, por una

parte la adquisición del conocimiento teórico-conceptual y por el otro el conocimiento

práctico-procedimental, es decir, utilizando situaciones problemáticas de su entorno

cotidiano, de su contexto podrá adquirir las competencias necesarias para desenvolverse

con soltura en el ámbito de las Matemáticas.

3.3 Antecedentes teóricos en la solución de Problemas

Desde la perspectiva de varios autores es posible evidenciar lo que significa tanto

resolver un problema como los pasos o instancias necesarias para resolverlo, a este respecto

Perales Palacios, F.J. (1998 p. 120) escribe sobre la solución de problemas en la revista

Educación y Pedagogía, que “un problema se puede definir como una situación incierta en

la cual al sujeto que se pregunta le provoca una tendencia a hallar la solución y reducir de

esta forma la tensión inherente a esta pregunta particular”.

Para Fraisse y Piaget (1973, p. 54) “Un problema se puede considerar como toda

situación que un sujeto no puede resolver utilizando el repertorio de respuestas de las que

dispone de inmediato, además solo es posible hablar de problema cuando existe una

solución para el mismo”.


46

Montoya E. Escribe en la Revista (ACEM N° 3, 1998, p. 9) ¿Cuánto es 2x2? Es posible

que esta pregunta no represente ningún problema para él en particular pero por otro lado

¿Por qué 2x2 no puede ser igual a 5? Posiblemente si represente una situación problema.

De esta cuestión se deriva entonces que un problema es una situación o momento en el cual

se debe realizar una búsqueda por medio de una construcción desde lo conceptual,

procedimental y actitudinal, llevando al sujeto a un estado en el cual debe realizar una serie

de procesos en los cuales activará su estructura mental y de reflexión de todos sus saberes.

Resolver el problema entonces significa un proceso de aprendizaje que involucra lo

cognoscitivo, lo creativo y lo procedimental. Para dicho proceso debe utilizar su estructura

mental y sus conocimientos previos y la creatividad lo llevará a buscar nuevas estrategias

para abordar el problema desde distintas perspectivas.

Para Bañuelos A. (1995). “La resolución de un problema supone un proceso cognitivo

complejo en el cual se involucran diversas clases de conocimientos que se encuentran en la

memoria de corto, mediano y largo plazo además de la aplicación de éstos, es decir, el

conocimiento estático o declarativo y el procedimental, en el cual se incluyen habilidades o

competencias” (Resolución de problemas matemáticos en estudiantes de bachillerato, p.

52). Para la misma autora resolver un problema requiere tres etapas a saber: 1° la entrada

(cómo se percibe o entiende el problema), 2° un proceso (puede ser algorítmico o

heurístico) y 3° la salida (una respuesta o solución adecuada). Cada una de estas fases

conlleva diferentes variables que se interrelacionan y de las cuales la más importante, tal

vez, sea la que se refiere al proceso de la solución del problema.

Desde la anterior perspectiva el trabajo que más ha influido en los procesos de

enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en la básica y la media en nuestro entorno es el

realizado por Polya en su libro “Cómo resolverlo” (1954). Polya expone cuatro etapas para

la solución de un problema:

Comprender el Problema

Concebir o idear un Plan de trabajo

Ejecutar el Plan, y


47

Verificar o mirar hacia atrás

Más detenidamente se explica cada una de estas etapas:

Comprender el Problema. En esta etapa se debe identificar claramente cuál es la pregunta

del problema, qué es lo que se está preguntando exactamente, y cuál es la información o

sub-preguntas que se requieren para resolverlo, la falta de una visión clara en este punto es

fundamental para las etapas posteriores, un problema mal entendido llevará a soluciones

erróneas o a la pérdida de tiempo en resolver cuestiones que bien no se preguntan o no se

requieren para resolver el problema original, además de generar dudas, inseguridades y

contradicciones.

Para la completa comprensión del problema es necesario tener previamente o adquirir

durante el proceso competencias tales como:

Dividir o separar los elementos del problema, determinando cuántos, cuáles y cómo son

los datos que el problema proporciona, es decir, las condiciones iniciales del mismo, qué

clase de operaciones se requieren para resolverlo, y cuáles son las preguntas o incógnitas

que el problema plantea, ya que en muchas ocasiones se requiere para resolver el problema

principal el soluciones otra serie de llamémoslas sub-preguntas.

Concebir o idear un Plan de trabajo. Después de leer, releer y analizar detenidamente el

problema, separar toda la información que contiene y tener la certeza de cuál es la pregunta

principal, las sub-preguntas y las condiciones iniciales del problema se pasa a la

organización coherente y estructurada de toda la situación problema con el fin de

compararla con otra situación similar o que pueda asimilarse que haya sido resuelta con

anterioridad y así concebir un plan, es decir, se recurre al conocimiento previo, haciendo

uso de gráficas, mapas mentales, cuadros sinópticos o cualquier otra estrategia que

posibilite la estructuración de un plan de trabajo. También es muy útil plantear todas las

ecuaciones o relaciones que sean necesarias para la posible solución del problema, en este

punto es pertinente hacerse preguntas del tipo: ¿Existen problemas similares?, ¿Se puede


48

asimilar este problema a otro ya resuelto?, ¿Se conoce algún teorema que pueda utilizarse

para resolverlo?

Ejecutar el Plan. Una vez desarrolladas las etapas anteriores entonces se ejecuta el plan de

trabajo teniendo en cuenta el orden, paso por paso, sin dejar ningún dato por fuera. Para

Polya “poner en marcha un plan, concebir una idea de solución no es nada sencillo, para

lograrlo hace falta toda una serie de circunstancias tales como: conocimientos previos,

buenos hábitos de pensamiento y razonamiento, además de mucha concentración y buena

suerte”. (Cómo Resolverlo, 1954, p. 33).

Verificar o mirar hacia atrás. Verificar o mirar hacia atrás significa que una vez

encontrada la solución se replantea el cumplimiento de las condiciones iniciales del

problema, si la solución es lógica o tiene sentido, si la utilización de las ecuaciones,

cálculos algorítmicos, unidades fueron las apropiadas.

3.3.1 La heurística como recurso para la solución de Problemas.

Parte de Heurística, http://arquepoetica.azc.uam.mx/escritos/heuristica.html.

¡Eureka, eureka!

Arquímedes

Yo no Busco, yo encuentro

Pablo Picasso

“Heurística procede del término griego εὑρίσκειν, que significa encontrar, hallar, descubrir,

inventar…”

La heurística puede definirse como la estrategia sistémica para realizar de forma inmediata

innovaciones positivas. La facultad heurística es un rasgo característico de los visionarios,

aquellos que ven un poco más allá , se define como el arte y la ciencia del descubrimiento y

de la invención, amén de cómo resolver problemas a través del pensamiento lateral o

pensamiento divergente, los cuales constituyen a la creatividad.


49

La creatividad, conocida también como inventiva, pensamiento original, imaginación

constructiva, pensamiento divergente, pensamiento creativo, es la generación de nuevas

ideas o conceptos, o de nuevas asociaciones entre ideas y conceptos conocidos, que

habitualmente producen soluciones originales, conceptos, objetos, experiencias, servicios a

la vez nuevos (originales) y apropiados (adaptados, útiles). La creatividad se refiere a la

forma como se reestructura o se proponen estructuras diferentes a las ya establecidas o

inexistentes.

La Heurística también significa concebir y visualizar formas que sublimen las ya

existentes, que sean auténticas aportaciones que beneficien inmediatamente a los seres para

trascender sus limitaciones contemporáneas.

Explicación, definición, verificación son ya logros, proezas para las ciencias que miden,

describen, cuantifican, registran, simulan, analizan, comprueban o reconstruyen fenómenos

de la naturaleza o de las sociedades.

En Diseño la Heurística es imaginar, visualizar utopías que generen nuevos paradigmas,

bienes del conocimiento que propicien la Filogénesis: la majestad de la humanidad. La

Heurística en el Diseño precisa de inventar sistemáticamente, proyectar síntesis inéditas,

generar algoritmos y mapas, proponer cualificaciones que superen las realidades anteriores.

En conclusión siempre en todo lugar y tiempo se ha planificado, proyectado y

visualizado en todos los ámbitos de la cotidianidad se proyecta, se planifica, se imagina.

Planificar, proyectar y visualizar no son actividades exclusivas de las academias y de las

culturas materiales o científicas.

Otro término importante asociado a la heurística es el que se conoce como Gnoseología

de la heurística o el estudio del cómo se generan los conocimientos innovadores, bien

podríamos estar hablando de una nueva disciplina que tiene como misión analizar los

factores determinantes del conocimiento heurístico, su naturaleza y su génesis, así como los

procesos de definición y decisión referentes a un campo de conocimiento y transformación


50

concreto, amén de dilucidar el carácter de las estrategias cognitivas para la innovación. La

heurística refiere a estrategias, métodos, criterios o astucias utilizados para hacer posible la

solución de problemas complejos y difíciles.

El conocimiento heurístico es un tipo especial de conocimiento empleado a través del

tiempo y en diversas latitudes por los seres humanos para resolver problemas de alta

complejidad. Al conocimiento en la actualidad se le demanda el adjetivo heurístico que

significa comprender, esclarecer, descubrir, transformar, innovar, desarrollar, evolucionar,

solucionar…

Un método heurístico es un conjunto de procesos cognitivos, propositivos y reflexivos

que son necesarios realizar para identificar en el menor tiempo posible alternativas de

solución de alta calidad y flexibilidad para un determinado problema.

Al principio esta forma de resolver problemas no fue bien vista en los círculos

académicos, debido aparentemente a su escaso rigor lógico y matemático. Sin embargo,

gracias a su potencial práctico para solucionar problemas reales se fueron abriendo poco a

poco las puertas a los métodos heurísticos, sobre todo a partir de los años 60 del siglo XX.

Actualmente las versiones matemáticas y de diseño de métodos heurísticos continúan

desarrollándose y están incrementando el rango de sus aplicaciones, así como su variedad

de enfoques. Nuevos métodos y técnicas heurísticas son utilizadas a diario por científicos

de diversos campos, por empresarios, por diseñadores, por desarrolladores de informática y

cibernética, para visualizar y hacer prospectivas con las cuales resolver problemas que

antes eran demasiado complejos e impensables en las anteriores generaciones.

Todas las anteriores definiciones nos dan una idea de la heurística como un proceso más

o menos empírico en el cual la imaginación y la creatividad son sus constituyentes

fundamentales. Para los autores modernos sean estos científicos o filósofos, se puede

comprender este término de otras formas.


51

Para Polya en su libro Cómo Resolverlo (1989 p. 102) “La Heurística moderna trata de

comprender el método que conduce a la solución de problemas, en particular las

operaciones mentales típicamente útiles en este proceso”.

Es posible ejercitar y mejorar los procesos mentales por medio de la utilización de los

problemas como un reto que propicie los procesos y procedimientos creativos como son los

que se dan con la heurística.

Para otros autores “La heurística proporciona un plan o esquema para enfrentar los

problemas poco conocidos y pretende mejorar la capacidad personal de buscar soluciones

con métodos eficientes. En términos generales, su objetivo no es establecer un método muy

esquemático y sistemático, pues se trata, más que de una ciencia, de un arte”.

Cuando se quiere o se pretende establecer una metodología de trabajo heurística se

deben tener en cuenta los siguientes aspectos:

Tantear

Redefinir

Relacionar

Los sub-problemas

Conjeturar

Generalizar

Inducir o Inferir

Cada una de ellas debe cumplir unas características especiales que son de muchísima

utilidad al momento de resolver un problema, las características para cada uno de estos

aspectos son:

Tantear. Esta técnica es muy común, consiste en probar una varias acciones utilizando los

datos que provee el problema, hasta encontrar las soluciones que más se acomoden al

problema que se trata de resolver, es como el método de ensayo y error, aunque poco

ortodoxo a veces es útil.


52

Redefinir. Significa reescribir el problema, es decir, plantear el mismo problema utilizando

otras palabras, ordenando la información de otra manera, cambiar las unidades en las que se

plantea el problema hacia otra que sea más comprensible o todas aquellas acciones que sin

alterar el problema original propicien un mejor entendimiento del mismo.

Relacionar. Los conocimientos previos son de gran utilidad en este aspecto ya que es

posible que se haya resuelto con anterioridad un problema no igual pero sí con

características muy similares, de manera que utilizando procedimientos, fórmulas o técnicas

asimilables pueda ayudar a la solución del problema actual.

Los sub-problemas. Es necesario no solo para ordenar o estructurar el problema principal

sino también para su solución final el establecimiento de los sub-problemas, la separación

en varias partes que puedan contribuir a simplificar el proceso de solución final.

Conjeturar. Es realizar afirmaciones respecto del problema en su desarrollo, pueden ser

verdaderas o falsas, en algunas ocasiones también necesarias o innecesarias, que se deben

justificar con demostraciones matemáticas. En general la conjetura trata de generar una ley

general para cierta clase de problemas.

Generalizar. Significa pasar de lo particular a lo general, mediante el análisis de objetos

particulares y verificando en cierto conjunto de objetos del mismo conjunto, hasta concluir

por medio de una fórmula el resultado para todo el conjunto.

Para Polya (Cómo Resolverlo, 1989, p. 97) “La generalización consiste en pasar del

examen de un objeto, al examen de un conjunto de objetos, entre los cuales figura el

primero; o pasar de un conjunto limitado de objetos al de un conjunto más extenso que

incluya al conjunto limitado”.

Inducir o Inferir. Es un método muy común mediante el cual se descubren leyes generales

a partir de la observación de ejemplos particulares y combinaciones de éstos. Este método


53

se utiliza en todas las ciencias, en matemáticas se emplea para demostrar cierta clase de

teoremas. Pérez Peña, John Jairo. Vanegas Hernández, León Jairo (2001).


54

4. Metodología

La propuesta didáctica está diseñada para la enseñanza del concepto de proporcionalidad

directa para los estudiantes de grado sexto de la Institución Educativa Samuel Barrientos

Restrepo, ubicada en la comuna 13 del municipio de Medellín. La muestra estuvo

conformada por 70 estudiantes de los grupos 6°1 y 6°2 con una intensidad de 10 horas. Al

grupo control 6°2 se le explicó y evaluó el tema de la forma tradicional, es decir, clase

magistral y una evaluación orientada en lo numérico, al igual que en los principales

conceptos de la proporcionalidad directa, al segundo grupo 6°1 se le explicó el tema, los

principales conceptos del mismo por medio de la metodología ABP, así como la evaluación

de conocimientos adquiridos utilizando un instrumento tipo taller que por medio de lo

visual y gráfico contenía todos los conceptos propios de la proporcionalidad directa.

En ambos grupos se realizó una encuesta o inventario de conocimientos previos

conocida como KPSI (ver anexo A) con el objetivo de indagar no sólo en sus

conocimientos anteriores a la exposición del tema sino conocer también la aprehensión

conceptual que se tuvo con la implementación de la propuesta de enseñanza.

El KPSI (Knowledge and Prior Study Inventory) es un instrumento diseñado por Tamir

y Lunetta en 1978, mediante el cual se obtiene información valiosa para determinar los

preconceptos y el grado de conocimiento que el estudiante cree que tiene en relación a los

contendidos de dinámica poblacional. (Jorba y Sanmartí, 1994).

Las preguntas del cuestionario de pre-post conceptos (KPSI) se gradúan en varios

niveles, el de mayor valor se refiere a si un estudiante es capaz de explicar el concepto o

procedimiento a un compañero o compañera. Este cuestionario facilita el aprendizaje de la

proporcionalidad directa como estrategia didáctica generadora de aprendizajes

significativos en educación matemática debido a que los cuestionarios tipo KPSI motivan

la toma de conciencia, permiten y facilitan la autorreflexión y autoevaluación de los

contenidos aprendidos durante el trabajo realizado y sus producciones.


56

Se aplica en dos momentos diferentes. El primero antes de iniciar con la ejecución de las

actividades, el segundo, finalizadas las actividades.

El objetivo central de la propuesta es el desarrollo de competencias y habilidades para la

solución de situaciones problema, teniendo como base la proporcionalidad directa haciendo

de lo visual y gráfico una manera “simple” de comprender el tema, además del desarrollo

de otras competencias transversales, es decir, el pensamiento proporcional o razonamiento

inductivo que se utiliza no solo en el área de las matemáticas sino en situaciones comunes

de su vida cotidiana.

La propuesta se desarrolló en cuatro momentos claves que permiten identificar el

proceso completo que realiza el estudiante en el aprendizaje de una temática cualquiera, al

mismo tiempo que permite una evaluación de la propuesta, es decir, se puede evidenciar si

el uso de lo visual y gráfico para el aprendizaje del concepto de proporcionalidad directa

realmente aportó en la adquisición de las competencias y habilidades ya mencionadas. Los

cuatro momentos fueron:

Evaluación de conocimientos previos sobre el concepto de proporcionalidad directa.

Aplicación de actividades desde la metodología ABP para la enseñanza de la

proporcionalidad directa, haciendo uso de lo visual y lo gráfico.

Aplicación de actividades e instrumentos de evaluación desde la metodología ABP para

la enseñanza de la proporcionalidad directa.

Evaluación de posconceptos utilizando el instrumento KPSI.

Además de estos cuatro momentos que permiten evaluar la pertinencia de la propuesta

también hacen parte de la metodología de trabajo la exposición magistral que se hizo acerca

de los conceptos de propios del tema de proporcionalidad directa, el refuerzo de estos

mismos conceptos a través de cada una de las actividades que se realizaron y las

discusiones que se dieron al interior de la clase durante el proceso de Enseñanza-

Aprendizaje del tema.


57

Con la aplicación de esta metodología de trabajo se pretendió dar cuenta lo más

aproximado posible y haciendo uso de las diferentes actividades que se realizaron del

aporte y la pertinencia de la propuesta de enseñanza del concepto de proporcionalidad

directa desde la metodología ABP para los estudiantes del grado sexto de la Institución

Educativa Samuel Barrientos Restrepo.


58


59

5. Resultados

Los resultados se basan en tres pruebas para cada grupo, es decir, para el grupo control

6°2 se analizan los resultados del inventario de conocimientos previos KPSI y la prueba

numérica sobre proporcionalidad directa, además del mismo cuestionario KPSI realizado al

finalizar las actividades para conocer el impacto de la enseñanza del tema y para el grupo

6°1 se analizan los resultados del inventario de conocimientos previos KPSI, la prueba

basada en lo visual y gráfico sobre el tema de proporcionalidad directa y un KPSI final de

control de los aprendizajes del tema posteriormente se comparan los resultados de las

pruebas finales llegando a las conclusiones sobre la propuesta de enseñanza y las

recomendaciones finales. En la tabla 5-1 se presenta la organización de la población de

estudio.

Tabla 5-1: Organización de la población de estudio.

GRUPO Hombres % Mujeres % TOTAL

Sexto 1 16 44,44 20 55,56 36

Sexto 2 12 35,29 22 64,71 34

La actividad tuvo una intensidad de 10 horas. Al grupo control 6° 2 se le aplicó un

pretest y postest (KPSI) con relación a la proporcionalidad directa y una prueba

estrictamente numérica.

Al grupo 6° 1 se le aplicó un pretest y postest (KPSI) con relación a la proporcionalidad

directa y una prueba basada en lo visual y gráfico, con el objetivo de verificar si la

metodología fue realmente significativa.

5.1 Análisis de resultados

5.1.1 Análisis de resultados inventario de conocimientos previos antes de iniciar el

tema. Teniendo en cuenta las dificultades observadas en los estudiantes para desenvolverse


60

de manera óptima tanto en lo conceptual del tema expuesto como en las competencias que

se desarrollan en el mismo, esto es, formular y resolver problemas; modelar procesos y

fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, y formular comparar y ejercitar

procedimientos y algoritmos, procesos fundamentales formulados en los lineamientos y

estándares para el área de matemáticas, además de la transversalización de estas

competencias en las otras áreas del conocimiento se presentan en la siguiente tabla los

resultados del inventario de conocimientos previos (KPSI) que se practicó al iniciar el tema

de proporcionalidad con los estudiantes de los grados 6°1 y 6°2 de la Institución. El KPSI

tiene 9 afirmaciones y/o preguntas relacionadas con los contenidos propios de la

proporcionalidad directa (Ver anexo A), en donde se establecen una serie de categorías

donde el estudiante jerarquiza su entendimiento de la siguiente manera:

Lo sé y como lo sé lo podría explicar a alguien.

Lo sé.

No lo entiendo.

No lo sé.

Se abordan dos categorías de la siguiente forma:

Nivel conceptual (numerales 1, 2, 3, y 4)

Nivel procedimental (numerales 5, 6, 7, 8 y 9)

Los resultados consolidados de las preguntas y/o afirmaciones para el KPSI I (Inicial),

se muestran en la tabla 5-2.


61

Tabla 5-2: Resultados consolidados de las preguntas y/o afirmaciones del KPSI

(Inicial).

GRUPOS

6° 1 6° 2

1 2 3 4 1 2 3 4

N° Pregunta % % % % % % % %

1

Conozco el concepto de

magnitud 13,89 22,22 27,78 36,11 5,88 14,71 35,29 44,12

2

Diferencio las clases de

magnitudes 13,89 27,78 33,33 25,00 8,82 8,82 23,53 58,82

3


Razón 5,56 13,89 22,22 58,33 8,82 11,76 14,71 64,71

4


proporción 0,00 5,56 5,56 88,89 8,82 14,71 2,94 73,53

% TOTAL NIVEL

(Promedio) 8,33 17,36 22,22 52,08 8,09 12,50 19,12 60,29

5

Establezco una Razón

dadas dos magnitudes 0 8,33 0 91,67 0 0 8,82 91,18

6

Aplico la propiedad

fundamental de las

proporciones

0 5,56 2,78 91,67 2,94 0 8,82 88,24

7

Aplico la Regla de tres

simple para solucionar

problemas

13,89 13,89 27,78 44,44 14,71 20,59 14,71 50,00

8

Aplico procedimientos

para establecer cuando

dos razones forman una

proporción.

5,56 5,56 13,89 75,00 5,88 5,88 5,88 82,35

9

Resuelvo problemas de

proporcionalidad

directa.

13,89 8,33 13,89 63,89 11,76 2,94 0 85,29

% TOTAL NIVEL

(Promedio) 6,67 8,33 11,67 73,33 7,06 5,88 7,65 79,41

Las preguntas sobre del nivel conceptual (preguntas 1 a 4) pretenden determinar los

subsunsores que poseen los estudiantes sobre la proporcionalidad directa y la importancia

de los conceptos magnitud, razón y proporción, estos saberes previos son el punto de

partida para abordar el tema.


62

Los resultados revelan que el 74,31% los estudiantes del grado sexto 1 y el 79,41% de

los estudiantes de grado sexto 2 no entienden o desconocen la conceptualización propia de

la proporcionalidad directa, el desarrollo y la solución de situaciones problema les causa

gran dificultad. Se evidencia que han tenido contacto con dicha conceptualización, pero no

se apropian de ella. Un bajo porcentaje; 25,69% para sexto 1 y 20,59% para sexto 2 maneja

los conceptos. Además, se evidencia que los estudiantes recuerdan muy poco de éstos.

Las preguntas de la categoría nivel procedimental (preguntas 5 a 9) pretenden que el

estudiante de cuenta de su competencia para la ejecución de actividades propias del trabajo

científico en lo concerniente a la solución de problemas.

Se observa que en el nivel procedimental solo un 15% de los estudiantes de sexto

afirmaron poder realizar operaciones y resolver problemas asociados a la temática de la

proporcionalidad directa y para sexto 2 el porcentaje es de sólo un 12,94% a pesar de que

en el área de Matemáticas según los estándares la solución de problemas sea una

competencia fundamental. En la siguiente tabla se resumen estos resultados.

Tabla 5-3: Resultados resumidos por nivel del KPSI (Inicial)

KPSI Inicial GRUPOS

6° 1 6° 2

1 2 3 4 1 2 3 4

Pregunta % % % % % % % %

TOTAL NIVEL (Promedio) 8,33 17,36 22,22 52,08 8,09 12,50 19,12 60,29

TOTAL NIVEL

CONCEPTUAL 25,69 74,31 20,59 79,41


TOTAL NIVEL

PROCEDIMENTAL 15,00 85,00 12,94 87,06


63

5.1.2 Análisis de resultados de cada una de las pruebas realizadas en los estudiantes de

6° 1 y 6° 2. A continuación se presentan los resultados de las pruebas realizadas para cada

uno de los grupos, dichos resultados se presentan como aprobados para aquellos que

superaron la prueba con un rendimiento igual o superior al 60% de la misma, y como

reprobado aquellos cuyo resultado fue inferior al 60% de la prueba, esto con el objetivo de

verificar si el uso de lo visual y lo gráfico tuvo alguna implicación en los resultados de las

pruebas de conocimientos acerca del tema de proporcionalidad directa y sus aplicaciones.

Tabla 5-4: Resultados consolidados de la prueba final por grupo.

GRUPO Aprobados % Reprobados %

Sexto 1 21 58,33 15 41,67

Sexto 2 10 29,41 24 70,59

De acuerdo a los resultados obtenidos en la prueba final de apropiación de los temas

relacionados con la proporcionalidad directa, podemos observar que los resultados del

grupo sexto 1 al cual se le aplicó la metodología del Aprendizaje Basado en Problemas

(ABP) presentada en este trabajo es de una aprobación del 58,33% mientras que para el

grupo control de sexto 2 al cual no se le dio igual tratamiento es del 29,41%. Aunque los

resultados no demuestran una gran diferencia entre ambos grupos si se evidencia una

influencia positiva.

5.1.3 Análisis de resultados inventario de conocimientos previos al finalizar el tema y

luego de aplicar las pruebas. En la siguiente tabla se presentan los resultados del

inventario de conocimientos (KPSI final) que se practicó al finalizar el tema de

proporcionalidad con los estudiantes de los grados 6°1 y 6° 2 de la Institución. Las

categorías que se evalúan son:

1. Lo sé y como lo sé lo podría explicar a alguien. 2. Lo sé. 3. No lo entiendo. 3. No

lo sé. Se abordan dos categorías de la siguiente forma:

Nivel conceptual (numerales 1, 2, 3, y 4)

Nivel procedimental (numerales 5, 6, 7, 8 y 9).


64

Los resultados consolidados de las preguntas y/o afirmaciones para el KPSI I (Final), se

muestran en la tabla.

Tabla 5-5: Resultados consolidados de las preguntas y/o afirmaciones del KPSI

(Final).

GRUPOS

6° 1 6° 2

1 2 3 4 1 2 3 4

N° Pregunta % % % % % % % %

1

Conozco el concepto

de magnitud 55,56 8,33 11,11 25,00 44,12 5,88 11,76 38,24

2

Diferencio las clases

de magnitudes 55,56 5,56 5,56 33,33 32,35 5,88 14,71 47,06

3

Conozco el concepto

de Razón 69,44 13,89 5,56 11,11 67,647 0 2,94 29,41

4

Conozco el concepto

de proporción 63,89 11,11 5,56 19,44 41,176 5,8824 11,76 41,18

% TOTAL NIVEL

(Promedio) 61,11 9,72 6,94 22,22 46,32 4,41 10,29 38,97

5

Establezco una Razón

dadas dos magnitudes 69,44 13,89 5,56 11,11 58,82 11,76 14,71 14,71

6

Aplico la propiedad

fundamental de las

proporciones

66,67 22,22 2,78 8,33 50,00 17,647 8,82 23,53

7

Aplico la Regla de tres

simple para solucionar

problemas

55,56 19,44 8,33 16,67 67,65 8,82 14,71 8,82

8

Aplico procedimientos

para establecer cuando

dos razones forman

una proporción.

63,89 22,22 13,89 0,00 61,76 11,76 8,8235 17,65

9

Resuelvo problemas

de proporcionalidad

directa.

69,44 16,67 8,33 5,56 58,82 17,65 14,706 8,82

% TOTAL NIVEL

(Promedio) 65,00 18,89 7,78 8,33 59,41 13,53 12,35 14,71

Las intervenciones que se propusieron en las diferentes actividades motivaron un

mejoramiento notorio en el desempeño en la categoría nivel conceptual, pasando en el


65

grupo sexto 1 del 25,69% al 70,83% de estudiantes que sabían y podrían explicarle a un

compañero y en el caso del grupo sexto 2 para la misma categoría del 20,59% al 50,74%.

En la categoría nivel procedimental, se pasó en el grupo sexto 1 de un 15% de

estudiantes en el nivel 1 y 2 encontrados en la prueba diagnóstica, a un 83,89% en el KPSI

Final y para el caso del grupo sexto 2 de un 12,94% a un 72,94%. Después de la aplicación

de las actividades, los estudiantes podían observar los aspectos principales de una situación

problema, y evidenciaron una mejor capacidad en razonar y realizar operaciones

algorítmicas. En la tabla que se presenta a continuación se resumen los resultados.

Tabla 5-6: Resultados resumidos por nivel del KPSI (Final).

KPSI Final GRUPOS

6° 1 6° 2

1 2 3 4 1 2 3 4

Pregunta % % % % % % % %


TOTAL NIVEL CONCEPTUAL 70,83 29,17 50,74 49,26


TOTAL NIVEL

PROCEDIMENTAL 83,89 16,11 72,94 27,06


66

6. Conclusiones y recomendaciones

De acuerdo al análisis de las tablas observadas anteriormente se pueden realizar las

siguientes conclusiones y recomendaciones.

6.1 Conclusiones

En esta propuesta de trabajo implementada en el aula para los grupos sexto 1 y sexto 2

de la institución educativa Samuel Barrientos Restrepo de la ciudad de Medellín se puede

concluir que:

El objetivo general que consistió en utilizar una metodología, a partir del Aprendizaje

Basado en Problemas (ABP) para la enseñanza del concepto de proporcionalidad

directa en los estudiantes del grado sexto de la Institución Educativa Samuel Barrientos

Restrepo, resultó satisfactorio tanto en la ejecución como en su evaluación, situación

evidenciada en el análisis de resultados.

Se consiguió mediante la aplicación del KPSI inicial como instrumento, detectarse que

los estudiantes desconocen o tienen un bajo conocimiento y poca aprehensión de los

contenidos conceptuales y procedimentales propios de la proporcionalidad directa,

situación que reforzó la necesidad de implementar la estrategia didáctica basada en lo

visual y gráfico.

Mediante la implementación de la estrategia didáctica se logró que los estudiantes

diseñaran y ejecutaran el problema cotidiano de realizar un plano proporcional de su

casa que permitiera mejorar los procesos de aprendizaje de manera significativa.

El KPSI final reveló que la mayoría de los estudiantes de sexto 1 mejoró sus niveles de

percepción en lo conceptual en un 45,14% y en el nivel procedimental mejoró en un

68,89% mostrando que la propuesta de trabajo fue pertinente y eficaz.


68

6.2 Recomendaciones

Se recomienda seguir investigando en el aula sobre métodos y estrategias de enseñanza

propios de las nuevas formas de aprendizaje de los estudiantes, su contexto, su forma de

vida con el objetivo de que su aprendizaje sea realmente significativo.

De acuerdo con lo anterior, la propuesta es asumir la ardua tarea de investigar en el aula y

rescatar prácticas didácticas que involucren activamente a los estudiantes, reflexionar sobre

ellas y favorecer las que sean más dinámicas y retadoras para los alumnos.

Mejorar la motivación de los estudiantes y profesores con prácticas innovadoras e

inspiradoras, diferentes a las tradicionales, debería ser el pilar fundamental de la

investigación en educación.


69

Bibliografía

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http://arquepoetica.azc.uam.mx/escritos/heuristica.html

Anexos

Anexo A. Inventario de conocimientos previos sobre el tema de proporcionalidad

directa.

Cuestionario de conocimientos previos sobre el tema de proporcionalidad

Nombre:

Grupo: Fecha:

Indicaciones:

Esta Evaluación inicial tiene como propósito el darse cuenta de algunos aspectos de la

Unidad que comenzaremos a trabajar; tus aprendizajes previos, con esa información

podremos saber el punto de partida, para posteriormente saber cuánto hemos aprendido.

Utilizando las categorías siguientes, marca con una X en el recuadro que lo

represente.

CATEGORÍAS:

1. Lo sé y como lo sé

lo podría explicar

a alguien.

2. Lo sé. 3. No lo

entiendo

4. No lo sé

1. NIVEL CONCEPTUAL

Planteamientos 1 2 3 4

1. Conozco el concepto de magnitud

2. Diferencio las clases de magnitudes

3. Conozco el concepto de Razón

4. Conozco el concepto de proporción

2. NIVEL PROCEDIMENTAL

Planteamientos 1 2 3 4

5. Establezco una Razón dadas dos magnitudes

6. Aplico la propiedad fundamental de las proporciones

7. Aplico la Regla de tres simple para solucionar problemas

8. Aplico procedimientos para establecer cuando dos razones

forman una proporción.

9. Resuelvo problemas de proporcionalidad directa.

Comentarios:


73

Anexo B. Actividades de evaluación sobre los conceptos relacionados con la

proporcionalidad directa

Las siguientes fueron las actividades que desarrollaron los estudiantes del grupo 6°2 para

evaluar los conocimientos adquiridos sobre los conceptos relacionados con la

proporcionalidad directa.

ACTIVIDAD 1: Magnitudes y Razones

OBJETIVO: Reconocer situaciones en donde se encuentra implícita una razón.

DEFINICIÓN

Magnitud: Se denomina magnitud a la cualidad de un objeto a la que se le puede asignar

una medida. El tiempo, la masa, la temperatura o la longitud son ejemplos de magnitudes.

Razón: Se denomina razón a cierta relación (usualmente de comparación) entre las

medidas de dos magnitudes. Las magnitudes pueden ser del mismo tipo (magnitudes

homogéneas) o de diferente tipo (magnitudes heterogéneas).

1. Identifica las magnitudes en cada situación y escríbelas en el mismo orden en el que se

encuentran.

a. En el salón de clases de 6°1 por cada 5 mujeres hay cuatro hombres:

b. Un automóvil necesita 3 galones de combustible para cada 100 kilómetros:

c. En un torneo de futbol un equipo jugó 20 partidos y perdió 5:

d. Para prepara una porción de arroz, se requieren 2 tazas de agua por 1 porción de arroz:

e. En la biblioteca del colegio por cada 20 libros de Matemáticas hay 30 de ciencias:

2. En cada una de las siguientes situaciones, establece un orden de relación entre las

magnitudes implícitas y las medidas asociadas a las mismas y escríbelas.

a. En un edificio cuyo frente tiene forma rectangular, la longitud de su base es 100 m y la

longitud de su altura es 150 m.

b. En la biblioteca de un colegio, por cada cinco libros de matemáticas existentes, hay un

libro de ciencias.


74

c. Al llegar a la estación de gasolina y llenar el tanque, Daniel debió comprar 5 galones de

gasolina, pero también notó que el conductor de un camión que se encontraba al lado debió

usar 25 galones de gasolina para llenarlo.

e. En la cuadra donde vivo, existen cinco autos por cada tres camiones que hay.

ACTIVIDAD 2: Aproximación a las proporciones

OBJETIVO: Reconocer cuando dos razones forman una proporción directa.

DEFINICIÓN

Proporción: En palabras sencillas es una igualdad entre dos razones, que se puede

representar también como la igualdad entre dos fracciones de la siguiente forma:

En donde a y d se llaman extremos y b y c se llaman medios. En una proporción numérica

siempre se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios, dicha

igualdad se conoce como la propiedad fundamental de las proporciones, que se puede

expresar así:

a x d = b x c

1. Identifica cuáles de las siguientes parejas forman una proporción:

a. e.

b. f.

c. g.

d. h.

2. Utilizando la propiedad fundamental de las proporciones encuentra el valor del término

desconocido:

a.

b.

c.

d.

e.


75

Anexo C. Actividades de evaluación sobre los conceptos relacionados con la

proporcionalidad directa por medio de lo visual y lo gráfico.


76


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81


82

ACTIVIDAD N° 1: 1. OBSERVA EL TRIÁNGULO A ¿CUÁLES DE LOS OTROS

TRIÁNGULOS SON PROPORCIONALES A ÉL?

2. OBSERVA EL TRIÁNGULO D ¿CUÁLES DE LOS OTROS TRIÁNGULOS SON

PROPORCIONALES A ÉL? POR QUÉ?

3. OBSERVA EL TRIÁNGULO G ¿CUÁLES DE LOS OTROS TRIÁNGULOS SON

PROPORCIONALES A ÉL? POR QUÉ?


83

ACTIVIDAD N° 2:

1. OBSERVA LOS PERSONAJES. ¿PUEDES EXPLICAR CUÁLES DE LOS

PERSONAJES ENTRE SÍ SON PROPORCIONALMENTE IGUALES Y POR QUÉ?

2. EXPLICA DE ACUERDO A SU ALTURA Y ANCHURA POR QUÉ NO SON

PROPORCIONALES LOS SIGUIENTES PERSONAJES:

a. A y C. b. B y D. c. C y D


84

ACTIVIDAD N° 3: DE ACUERDO AL RECTÁNGULO A DIBUJA OTRO QUE SEA:

a. Proporcionalmente 2 veces mayor.

b. Proporcionalmente la mitad

c. Proporcionalmente 3 veces mayor

d. Proporcionalmente la cuarta parte del rectángulo

A

La velocidad es el cociente entre distancia y tiempo, es decir, se puede expresar de la

siguiente forma:


85

ACTIVIDAD N° 3: Observa la siguiente gráfica donde en el eje Y se representa la

distancia recorrida en Kilómetros y en el eje X el tiempo que tarda en horas un automóvil.

1. Expresa la relación entre distancia y tiempo como una razón para:

a. 2 horas

b. 180 Kilómetros

c. 8 horas

d. 360 Kilómetros

2. De acuerdo a la gráfica completa el siguiente cuadro:

Distancia

(Km)

60 150

Tiempo (h) 6 10 15

3. Determina la constante de proporcionalidad.

4. Si un automóvil recorre 150 Kilómetros en 2 horas a velocidad constante realiza la

gráfica hasta las 10 siguientes horas.

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