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Elaboración de bases de datos

La enseñanza de la Estadística: más allá de procedimientos y técnicas.

Unidad didáctica. Segunda Parte.

Curso bimodal de capacitación para docentes de la Educación Secundaria.

2015

Contenidos

Introducción ..................................................................................................................................... 2

Representación estadística ............................................................................................................... 3

Análisis didáctico. ........................................................................................................................................ 8

Distribuciones de frecuencia. ......................................................................................................... 11

Análisis didáctico ....................................................................................................................................... 16

Relaciones entre variables .............................................................................................................. 20


Uso de medidas estadísticas ........................................................................................................... 32

Medidas absolutas .................................................................................................................................... 32

Medidas ponderadas ................................................................................................................................. 41

Medidas relativas. ..................................................................................................................................... 45


Predicciones estadísticas ................................................................................................................ 51


Anexo: cálculo de medidas de variabilidad. .................................................................................... 56

Bibliografía ..................................................................................................................................... 61

Créditos. ........................................................................................................................................ 62

2 La enseñanza de la Estadística: más allá de procedimientos y técnicas

2 Proyecto Reforma de la Educación matemática en Costa Rica, 2015

Introducción Este documento constituye la segunda parte de la unidad didáctica del Curso Bimodal de Estadística para Educación Secundaria.

Los contenidos del texto complementan los conocimientos incluidos en la primera parte, incorporando el análisis de tópicos que directa o indirectamente se relacionan con los elementos incluidos en los Programas de Estudio del Ministerio de Educación Pública. En cada sección se proponen diferentes actividades cuyo análisis requiere del uso de varias técnicas estadísticas y ante todo de una reflexión acerca del mensaje de los datos en relación con el problema que les dio origen.

Además de estos componentes, en cada sección se realiza un análisis didáctico que consiste en la propuesta de un problema y una reflexión sobre los principales componentes pedagógicos que participan en su resolución. Algunas de las actividades necesitan una adaptación pedagógica para ser implementadas en secundaria. Se incluyen algunas orientaciones en este sentido.

Representación Estadística 3

Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica, 2015 3

Representación estadística Una vez que se cuenta con datos pertinentes, válidos y confiables, se requiere aplicar la o las técnicas por medio de las cuales se utilizan los datos para describir el fenómeno estudiado y buscar una solución al problema que les dio origen. Hay que recordar que la Estadística es una disciplina científica que fundamentalmente permite describir los patrones de variabilidad de los datos con el propósito de comprender el comportamiento del problema y extraer las conclusiones correspondientes.

Las representaciones tabulares y gráficas son formas sencillas que se emplean para describir estos patrones. Sin embargo, tal como se indicó en la primera parte de esta unidad, es necesario prestar mucha atención al mensaje de los datos y no quedarse con la primera impresión.

Analice la siguiente situación.

Actividad 1.

La representación gráfica que se incluye a continuación fue publicada en un periódico de un país de Latinoamérica. Hace referencia a un movimiento sindical que estaba pidiendo la reivindicación de ciertos derechos.

Opinión de las personas entrevistadas en relación con una serie de reivindicaciones laborales que sol icita un sindicato de empleados públicos.

Estado de Miramoya, 2010

Fuente: Periódico El Mirón, 25 de julio del 2010

Nota: los nombres del lugar y del periódico fueron cambiados para guardar confidencialidad

Comente la información del gráfico de acuerdo con lo establecido en el título. ¿Nota usted algún aspecto irregular en esta representación?



Análisis de la actividad 1.

En una primera lectura, pareciera que no existen contradicciones en la representación; su título revela la información que comunica la gráfica, siendo esta última y la fuente bastante claras. No obstante, al sumar los porcentajes se tiene que el total es 107,6%. Con este error, la información del gráfico no es consistente. Una vez que un lector identifica este error, pierde confianza no solamente en la información del gráfico sino en cualquier otra que se haya incluido en el reportaje.

El manejo de la información en este gráfico es incorrecto. El problema de estos errores y otros del mismo tipo consiste en que toda la información que se está presentando pierde validez, pues como dijo Bob Marley: “Basta tan solo una mentira para poner en duda todas las verdades”.

Por esta razón, quien elabora o interpreta la información de una representación estadística debe ver mucho más allá de lo que se encuentra en primera instancia, debe analizar la consistencia y la pertinencia de la información en relación con los diferentes elementos que incluye. La siguiente actividad discute otros aspectos por tomar en cuenta dentro de las representaciones estadísticas.

Actividad 2.

Analice la siguiente representación tabular, que corresponde a precipitación pluvial (en milímetros) en la zona de Las Pailas, en Liberia, Guanacaste, para el período comprendido entre marzo del 2002 y diciembre del 2007. La información ha sido obtenida de la Estación Meteorológica Las Pailas, del Instituto Costarricense de Electricidad (ICE). En el cuadro se incluye la media y la desviación estándar (D.E.) por año. Para los meses de enero y febrero del 2002 no se obtuvo información.

Cuadro 10: Precipitación mensual en Liberia, Guanacaste



a.) Indique los elementos que hacen falta al cuadro anterior, para facilitar la comprensión de la información que comunican los datos.

b.) Reelabore el cuadro, de modo que comunique información que pueda ser de fácil comprensión para un lector cualquiera.

c.) Debido a que la lluvia es factor clave para los cultivos, es necesario que los agricultores de la zona tomen en cuenta los datos sobre precipitaciones pluviales para evitar pérdidas. La información estadística se puede convertir en una herramienta muy útil para disminuir los riesgos por pérdidas en las cosechas. Algunos estudios indican que una precipitación promedio mensual alrededor de 150 mm es adecuada para diferentes cultivos, pero se requiere adicionalmente que la variabilidad no sea muy alta de un año a otro. Según esta información, ¿en cuáles meses la región donde se ubica la Estación Meteorológica Las Pailas cumple con estos requerimientos para el cultivo?


Para analizar el cuadro en términos de sus diferentes componentes, se debe considerar si éste incluye suficiente información que permita a un lector independiente comprender el significado de los datos en su contexto, así como la fuente que proporcionó dicha información.

Puede notarse que el título no es suficientemente explicativo en relación con varios elementos.

• El título no incluye el lugar exacto donde se tomaron los datos. El cantón de Liberia es muy grande, no es lo mismo que los datos sobre precipitación pluvial sean tomados en el parque central, en la playa Nacascolo o en las cercanías del Volcán Rincón de la Vieja. Las condiciones climatológicas son muy diferentes en estos lugares.

• Con respecto al período, aunque la información que aparece dentro del cuadro es explícito en este punto, no está de más incluir en el título el período de tiempo en que la información se recabó.

• La unidad de medida no es la adecuada. Normalmente la precipitación pluvial se mide en milímetros (o centímetros) pues corresponde a una medida de longitud. En la introducción del cuadro se indica que las mediciones se realizaron en milímetros. Sin embargo, en el cuadro se indica mL o sea mililitros, esto denota una falta de consistencia en la información. En este sentido el título del cuadro debe corregirse para aclarar que la unidad de medida es mm.

• La fuente responsable de recolectar los datos no se incluye. Este es un elemento de crucial importancia. En materia climatológica existen instituciones especializadas que cuentan con equipo sofisticado para realizar esta labor, lo cual es una muestra de la calidad de la información. Además, conocer la institución responsable de recabar la información, permite determinar a quién acudir en caso de dudas o de requerir información complementaria.

• Debería incluirse una nota aclaratoria para indicar al lector el significado de la media y desviación estándar. Es posible que un lector no esté familiarizado con dichos conceptos. También podría aclararse que no se tiene información para los meses de enero y febrero del 2002.



Con la información proporcionada en el inciso b) de esta actividad, la representación podría ser mejorada de la siguiente manera:

Precipitación mensual en mil ímetros en la zona de Las Pailas, Liberia-Guanacaste. Período marzo del 2002 - diciembre del 2007

Fuente: Información obtenida en la Estación Meteorológica Las Pailas, Instituto Costarricense de Electricidad (ICE) Notas: 1. Los valores correspondientes a la media y D.E., representan la precipitación mensual promedio para cada año y su desviación estándar. 2. No se obtuvo información para los meses de enero y febrero del 2002.

Para responder la última interrogante según la experiencia recabada en estos seis años, se tiene la siguiente información estadística sobre precipitación pluvial por mes:

Precipitación mensual promedio en mil ímetros en la zona de Las Pailas, Liberia-Guanacaste. Período marzo de 2002 - diciembre de 2007

Fuente: Información obtenida en la Estación Meteorológica Las Pailas, Instituto Costarricense de Electricidad.(ICE).

Notas: 1. Los valores D.E. representan la desviación estándar por mes. 2. No se obtuvo información para los meses de enero y febrero del 2002

Mes Promedio Mensual (mm)

D.E. (mm)

Enero 181,3 236,5 Febrero 84,8 87,9 Marzo 27,1 43,5 Abril 33,1 30,7 Mayo 335,4 171,7 Junio 351,8 186,5 Julio 178,4 76,5 Agosto 264,3 208,5 Septiembre 386,4 153,7 Octubre 573,2 487,4 Noviembre 165,7 66,1 Diciembre 104,4 150,4 Total 2419,7 786,5



La información anterior muestra que los meses comprendidos entre mayo y noviembre constituyen las mejores alternativas para la siembra y cosecha de productos agrícolas, según el requerimiento establecido. Aunque se podría considerar el mes de enero cuya precipitación promedio supera los 150 mm, su desviación estándar es muy alta, lo que indica que es riesgoso debido a que presenta fuertes fluctuaciones de un año a otro. Agosto y octubre son meses que también tienen una alta variabilidad en la precipitación pluvial. Pese a ello, su promedio es muy alto, lo que reduce los riesgos.

Otra representación que puede ayudar a comprender de mejor manera lo descrito anteriormente es la siguiente:

Como puede notarse, los meses de mayo, junio, agosto setiembre y octubre son los que mejor se adaptan a los requerimientos establecidos, de un mínimo de lluvia de 150 mm.

Este es un ejemplo en el que se muestra la importancia de que las representaciones que se utilizan en los análisis de datos, deben ser suficientemente explícitas en relación con la información que comunican. Este hecho brinda la oportunidad al lector, para que extraiga sus propias conclusiones sobre los datos resumidos en la representación.

Es importante indicar que los análisis estadísticos no pueden verse en forma parcializada. Desde el punto de vista didáctico no se puede fundamentar un análisis desde la mera representación tabular o gráfica, debido a que muchas veces estas representaciones requieren combinarse con otras técnicas estadísticas para que comuniquen de una mejor manera el mensaje que se quiere comunicar. A este componente se le ha denominado “transnumeración” y fue analizado en la sección en la primera parte de la unidad didáctica. Para la solución del problema, el lector debía extraer la información del cuadro para determinar medidas estadísticas que permitieron dar argumentos sólidos para responder la última interrogante y apoyar la toma de decisiones.



Análisis didáctico. Las representaciones tabulares y gráficas pueden considerarse un tema transversal en la enseñanza de la Estadística en cualquier nivel, debido a que las diferentes técnicas estadísticas se apoyan en representaciones para simplificar los análisis y presentar los principales resultados generados. En la educación secundaria, los Programas de Estudio incluyen estas representaciones prácticamente en todos los años. A manera de ejemplo, a continuación se incluyen los conocimientos y habilidades específicas de los niveles de sétimo y octavo año, en el área de Estadística.

Sétimo año Habil idades específ icas

Frecuencia *Absoluta *Porcentual Representación Tabular: Cuadros de frecuencia absoluta y porcentual

Analizar información estadística que ha sido resumida y presentada en cuadros, gráficas u otras representaciones vinculadas con diversas áreas. Utilizar representaciones tabulares para resumir un conjunto de datos.

Octavo año

Habil idades específ icas

Frecuencia *Absoluta *Porcentual Representación Tabular: Cuadros de frecuencia absoluta y porcentual Gráfica: barras, circulares, lineales y diagramas de puntos.

Utilizar representaciones tabulares o gráficas con frecuencias absolutas o porcentuales, simples o comparativas.

Los problemas planteados en esta sección pueden ser replicados sin problemas para estudiantes de estos niveles, aunque se debería eliminar el concepto de desviación estándar que aparece en la actividad 2 de la I parte de este documento. Seguidamente, se realiza una adaptación de dicha actividad para que sea implementada con estudiantes de octavo año.

Problema.

Una organización ambiental que protege las fuentes de agua de una comunidad costarricense, contrató a una empresa consultora para que elaborara un estudio sobre la sostenibilidad de las cuencas de los principales ríos que abastecen a esa comunidad. La empresa realizó el estudio y presentó un informe final a la organización ambiental. La siguiente representación gráfica, fue incluida en el informe final, y hace referencia a la deforestación anual que se presentó en la región en un período previo al estudio:



Fuente: Información suministrada por xx.1

En el análisis del gráfico, la empresa consultora señala que resulta preocupante la cantidad de hectáreas que se han venido deforestando anualmente, la cual ha ido en creciente en el período estudiado. Manifiesta además que el período de mayor crecimiento de la deforestación de la región fue entre los años 1982 y 1993, donde el aumento en las hectáreas deforestadas superó las tendencias previas y posteriores a ese período, tal como se logra observar en la gráfica.

Analice la congruencia del análisis realizado por la empresa consultora en relación con la información del gráfico y con el mensaje de los datos ¿A qué conclusión se llega?

Mediante este problema se combinan diferentes elementos didácticos que están incluidos en los Programas de Estudio. Aparte del proceso matemático de representar que está claramente incorporado al análisis, el problema permite conectar con el área de Relaciones y Álgebra, específicamente con la representación de pares ordenados en un plano cartesiano y la identificación de relaciones. A la vez se promueven los dos procesos de comunicar y razonar y argumentar. Por otro lado, en cuanto a la incorporación de los ejes disciplinares, además de la resolución de problemas se debe resaltar la contextualización activa y el uso de tecnología, que puede aprovecharse para mejorar la representación original.

En el cierre de la actividad, el docente debe centrar la discusión sobre la representación gráfica y la información que ha pretendido ser resumida en ella. Entre otros aspectos, deberían considerarse los siguientes:

a.) Uso de la escala en los ejes de un plano cartesiano. Debe evidenciarse el problema de adoptar una escala inadecuada en uno de los ejes (en este caso eje de las abscisas), y analizar la forma en que se tergiversa la información que comunican los datos cuando la escala es incorrecta.

1 No se incluyeron los nombres de las empresas involucradas, ni de la región correspondiente, debido a que resultan innecesarios, debido a que el ejemplo tiene fines eminentemente académicos.


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Proyecto Reforma de la Educación matemática en Costa Rica, 2015

b.) Los supuestos que implica la elaboración de un gráfico de este tipo. Los autores del gráfico supusieron que el comportamiento del número de hectáreas deforestadas por año era lineal, para el período en que no tenían datos. Este elemento debe considerarse al momento de analizar la información, pues no necesariamente puede resultar verdadero.

c.) Se debe analizar el principal problema que conlleva la representación gráfica utilizada. Consiste en el abuso que hicieron los autores del documento de la información que poseían. Únicamente se tenían datos para cinco años, tres de ellos correspondientes a los primeros años de la década de los ochenta y dos de mediados de la década del noventa. Por medio de la gráfica, sobredimensionaron esta información tratando de mostrar un patrón de deforestación para un período de 15 años. Tal como se indicó en el punto anterior, esto implica asumir supuestos muy riesgosos con respecto a la realidad de los hechos. No se puede sobredimensionar la información que comunican los datos.

d.) Por último, el docente debe resaltar el hecho de que, cuando se tiene una representación tabular o gráfica, es necesario que el lector analice los datos que están resumidos en la representación, desde la perspectiva del mensaje que comunican y aquello que puede estar detrás de este mensaje, sin perder de vista el contexto al que pertenece la información.

Distribuciones de frecuencia 11


Distribuciones de frecuencia. Las distribuciones de frecuencia constituyen una forma particular de representaciones. Se utilizan para representar en forma tabular datos cuantitativos que, por la variabilidad que presentan, normalmente se tienden a agrupar en clases para determinar de una mejor manera los patrones de variabilidad de los datos.

Actividad 3.

Suponga que una compañía de hardware para computadoras está realizando un concurso para ascender a uno de los agentes de ventas al puesto de administrador de una de sus sucursales. Para tal efecto, el Gerente General decidió aplicar una prueba de conocimientos básicos de Estadística a todos sus agentes vendedores y seleccionar en una primera etapa a aquellos que obtengan calificaciones más altas que el puntaje promedio. La prueba tuvo un valor total de 120 puntos, se desarrolló sin contratiempos, fue calificada y devuelta a los concursantes para que lo tuvieran como comprobante para las siguientes etapas. Se les indicó que se estaría comunicando la nota mínima de aprobación para la etapa de entrevistas. Desafortunadamente, el funcionario que realizaba el trabajo extravió los datos, por lo que fue despedido: únicamente se recuperó la información incompleta que aparece en el siguiente cuadro.

Compañía Hardware: Resultado de la evaluación de una prueba de conocimientos estadíst icos básicos a los agentes vendedores de la compañía

Acumulado

Puntajes Número de empleados

Porcentaje de empleados

No. de empleados

% de empleados

De 60 a menos de 70 4,65 De 70 a menos de 80 8 De 80 a menos de 90 37,21 De 90 a menos de 100 25,58 De 100 a menos de 110 36 De 110 a menos de 120 7 43 100,00 Total 43

Para la siguiente etapa del proceso de selección, se requiere invitar a los agentes vendedores que tienen derecho a continuar con la etapa de entrevista. El gerente general no sabe cómo proceder con el proceso. Por el prestigio de la empresa, no desea comunicar a los 43 empleados lo que ha ocurrido, por lo que requiere de un análisis estadístico que le permita resolver el problema.

a.) Complete la información del cuadro y ofrezca al gerente de la empresa una solución al problema. b.) Indique el número de agentes vendedores que (aproximadamente) deberán participar en la etapa de

entrevistas. c.) Propongan una estrategia para determinar los nombres de los agentes vendedores que tienen

derecho a realizar la entrevista.


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Análisis de la actividad 3

Una adecuada lectura de los datos del cuadro permite, mediante cálculos matemáticos simples, completar la información de la distribución de frecuencias. Por ejemplo, el hecho de que el número total de empleados es 43 permite utilizar los porcentajes 4,65 y 25,58 para determinar que el número de empleados con calificación de 60 a menos de 70 es 0,0465 ∙ 43 ≈ 2, mientras que el número de empleados con calificación de 90 a menos

de 100 es 0,2558 ∙ 43 ≈ 11. Este mismo principio aplicado al porcentaje acumulado 0,3721 muestra que el número acumulado de empleados con calificación menor de 90 es 0,3721 ∙ 43 = 16. Por ello se tendría:

Acumulado Puntajes Número de

empleados Porcentaje

deempleados No. de

empleados Porcentaje de

empleados De 60 a menos de 70 2 4,65 De 70 a menos de 80 8 De 80 a menos de 90 16 37,21 De 90 a menos de 100 11 25,58 De 100 a menos de 110 36 De 110 a menos de 120 7 43 100,00 Total 43

Para obtener el número acumulado de empleados, se suma el número simple de empleados. Aplicando la operación inversa (la resta) se obtiene que el número de empleados con puntajes de 70 a menos de 80 sería: 8 − 2 = 6, de 80 a menos de 90 sería: 16 − 8 = 8. El número acumulado de empleados con puntaje menor de

100 es: 16 + 11 = 27, entonces el número de empleados con puntaje de 100 a menos de 110 es: 36 − 27 = 9. Con esto se completan los valores correspondientes al número de empleados. Los demás valores faltantes se completan tomando como referencia estos datos. Por lo que se obtendría:


Acumulado

Puntajes Número de empleados

Porcentaje de

empleados No. de

empleados % de

empleados De 60 a menos de 70 2 4,65 2 4,65 De 70 a menos de 80 6 13,95 8 18,60 De 80 a menos de 90 8 18,60 16 37,21 De 90 a menos de 100 11 25,58 27 62,79 De 100 a menos de 110 9 20,93 36 83,72 De 110 a menos de 120 7 16,28 43 100,00 Total 43 100,00

Fuente: Compañía Hardware

Con esta información, el gerente general de la empresa cuenta con la distribución de las calificaciones, lo cual le ofrece un mejor criterio sobre su comportamiento. No obstante, sigue sin poder identificar qué empleados aprobaron la prueba y cuál es el puntaje mínimo de aprobación. Debido a que se había indicado a los participantes que pasarían a la segunda ronda solamente quienes obtuvieran un puntaje superior al promedio, se necesita entonces determinar el puntaje promedio de los 43 empleados. Sin embargo, como se extraviaron los puntajes reales, entonces este valor debe ser aproximado por medio de la distribución de frecuencias, aplicando la técnica del promedio ponderado. En estos casos se utiliza como representante de cada clase el punto medio, que debe ser ponderado por el número de empleados en esa clase:



Puntajes Puntaje

mediode clase (X)

Número deEmpleados

(f) 𝑿 ∙ 𝒇

De 60 a menos de 70 65 2 130 De 70 a menos de 80 75 6 450 De 80 a menos de 90 85 8 680 De 90 a menos de 100 95 11 1045 De 100 a menos de 110 105 9 945 De 110 a menos de 120 115 7 805 Total 43 4055

El puntaje promedio es !!∙!!

!!!!

!!!!!!

= !"##!"

= 94,30

La estimación del puntaje promedio de los 43 empleados es 94,30. Por lo tanto tendrían que seleccionar a todos los empleados de las últimas dos clases y de la clase que va de 90 a menos de 100, se esperaría que hubieran superado el promedio un poco más de la mitad. Como la frecuencia es 11 se podría suponer que lo superaron 6 agentes. El número aproximado de agentes vendedores que deberían ser entrevistados es: 7 + 9 + 6 = 22.

Para resolver el problema de la identificación de los agentes vendedores, se puede recomendar al gerente general de la empresa que informe a los participantes que el puntaje mínimo de aprobación es 94,30. Además, se puede solicitar a los empleados que tienen una nota superior a ese valor que se presenten a la secretaría de la gerencia para que se inscriban para la entrevista. Con esto se resuelve el problema generado en la empresa.

Como puede notarse, el uso de distribuciones de frecuencia va más allá de la simple elaboración de un cuadro que agrupa datos cualitativos o de los gráficos correspondientes, sino que presupone una lectura integral de los diferentes datos que se incluyen en el cuadro y el análisis acerca de la forma en que se pueden aprovechar los datos para extraer información que resulte útil para un problema particular. Esto quedó evidenciado con el cálculo del promedio ponderado en esta actividad.

Actividad 4

Un investigador en el campo de la psicología de la Universidad de Pitujaya cree que el sexo no influye en la agresividad manifestada de una persona ante una situación extrema. Para probar este argumento, seleccionó una muestra aleatoria de 500 varones y 200 mujeres de Ciudad Pitujaya. Se aplicó un test para determinar el índice de agresividad en los primeros meses del 2015. Este índice toma valores entre 15 y 40, siendo 15 la agresividad mínima y 40 la máxima agresividad. La siguiente representación gráfica (polígono de frecuencias) resume la información obtenida:


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Fuente: Escuela de Psicología, Universidad de Pitujaya

a) Analice la información del gráfico. ¿Es adecuada esta representación para realizar el análisis comparativo que pretende el investigador?

b) Utilice la información de gráfico para aplicar algunas técnicas estadísticas que ayuden al investigador a valorar con mayor precisión su hipótesis de que no existe diferencia entre hombres y mujeres en el comportamiento de este índice.


El problema planteado nuevamente hace referencia a un grupo de datos que han sido agrupados en una distribución de frecuencias, por lo que no se tiene conocimiento de sus valores individuales sino solamente en el comportamiento grupal. La representación gráfica adoptada no es adecuada para efectuar un análisis comparativo por sexo. Las comparaciones entre dos grupos de datos de tamaños diferentes requieren recurrir a valores relativos o porcentuales, pero no a comparaciones con datos absolutos, como se hizo en esta representación gráfica. Las muestras utilizadas fueron de 200 mujeres y 500 hombres.

No obstante, del gráfico se puede extraer que hay presencia de valores extremos que corresponden a unas pocas personas con un índice de agresividad mayor del común, tanto en los hombres como en las mujeres. Aunque los datos no son comparables, se observa un índice ligeramente mayor en las mujeres que en los hombres, debido a que en el caso de las mujeres el máximo se alcanza en la tercera clase, mientras que en los hombres ese máximo se obtiene en la segunda clase.

De la información del gráfico se puede extraer una distribución de frecuencias comparativa. Para ello hay que recordar que en un polígono de frecuencias, cada clase está representada por su punto medio, por lo que los vértices del polígono son el punto medio de la clase y la frecuencia de la clase (en este caso la frecuencia



absoluta). De este modo, las clases empleadas para resumir la información son: de 20 a menos de 22, de 22 a menos de 24, y así sucesivamente. Entonces la distribución es:

Índice de agresividad correspondiente en una muestra aleatoria de 500 hombres y 200 mujeres de Ciudad Pitujaya, 2015

Número de personas Porcentaje de personas Hombres Mujeres Hombres Mujeres De 20 a menos de 22 45 13 9,0 6,5 De 22 a menos de 24 179 28 35,8 14,0 De 24 a menos de 26 124 80 24,8 40,0 De 26 a menos de 28 52 33 10,4 16,5 De 28 a menos de 30 40 17 8,0 8,5 De 30 a menos de 32 35 12 7,0 6,0 De 32 a menos de 34 15 7 3,0 3,5 De 34 a menos de 36 10 10 2,0 5,0 Total 500 200 100,0 100,0


Cuando se analizan los porcentajes correspondientes a cada sexo, se observa que los mayores porcentajes en los hombres se presentan en clases con más bajo índice que en las mujeres. Esto se puede observar más claramente mediante la siguiente representación gráfica:


Tal como se indicó arriba, las distribuciones de los índices de agresividad en los dos sexos son asimétricas (asimetría positiva). En ambos grupos se evidencia la presencia de personas que tienen un índice de agresividad mayor al común. Esto también indica que, en ambos grupos, una mayoría de personas tiende a tener un índice bajo, pero las mujeres presentan un índice ligeramente mayor que los hombres. En cuanto a la variabilidad de los datos, pareciera ser similar en ambos grupos, debido a que la forma y amplitud de la distribución es parecida. Para cuantificar la diferencia entre hombres y mujeres respecto al índice de agresividad, se puede recurrir al cálculo del promedio. Para ello se adopta el análisis similar al utilizado en la actividad 3.


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Hombres Mujeres Hombres Mujeres

X 𝒇𝑯 𝒇𝑴 𝑿 ∙ 𝒇𝑯 𝑿 ∙ 𝒇𝑴 De 20 a menos de 22 21 45 13 945 273 De 22 a menos de 24 23 179 28 4117 644 De 24 a menos de 26 25 124 80 3100 2000 De 26 a menos de 28 27 52 33 1404 891 De 28 a menos de 30 29 40 17 1160 493 De 30 a menos de 32 31 35 12 1085 372 De 32 a menos de 34 33 15 7 495 231 De 34 a menos de 36 35 10 10 350 350 Total 500 200 12 656 5254

El índice promedio para hombres es !!∙!!!

!!!!

!!!!!!!

= !" !"!!""

= 25,31. El índice promedio para mujeres es

!!∙!!!!!!!

!!!!!!!

= !"!#!""

= 26,27.

Como puede notarse, el índice de agresividad promedio es ligeramente mayor en las mujeres que en los hombres. Pese a ello, las diferencias son muy pequeñas y que pueden ser ocasionadas por el azar.

A manera de conclusión, del análisis gráfico y lo observado en las medidas estadísticas, podría indicarse que para las muestras estudiadas, el índice de agresividad es ligeramente superior en las mujeres.

Análisis didáctico Las representaciones por medio de distribuciones de frecuencias aparecen como conocimiento específico en noveno año, aunque a nivel general las distribuciones de frecuencias como tales se han venido utilizando desde primaria, debido a que el cuadro que incluye los valores que la variable puede tomar y las frecuencias correspondientes (absolutas o porcentuales) corresponde a un cuadro de frecuencias.

Los problemas que fueron analizados en esta sección pueden ser desarrollados con estudiantes de noveno o décimo año, realizando las adaptaciones correspondientes a cada nivel. Por ejemplo, suponga que se plantea la actividad 3 a estudiantes de décimo año.

Los conocimientos y habilidades específicas que se estarían desarrollando mediante la implementación de este problema son las siguientes:



Décimo año Habil idades específ icas

Representaciones tabulares y gráficas Medidas de posición

*Media aritmética

Media aritmética ponderada

1. Utilizar diferentes tipos de representaciones gráficas o tabulares para el análisis de datos cualitativos y favorecer la resolución de problemas vinculados con diversas áreas. 2. Resumir un grupo de datos mediante el uso de la moda, la media aritmética, la mediana, los cuartiles, el máximo y el mínimo, e interpretar la información que proporcionan dichas medidas. 5. Determinar la media aritmética en grupos de datos que tienen pesos relativos (o ponderación) diferentes entre sí. 6. Utilizar la media aritmética ponderada para determinar el promedio cuando los datos se encuentran agrupados en una distribución de frecuencias.

Mediante la implementación del problema, debe rescatarse la integración de habilidades específicas que se realiza, debido a que se promueven al menos cuatro habilidades en las actividades que realizan los estudiantes para buscar una solución.

En la resolución del problema se incorporan los diferentes ejes disciplinares, pero resaltan el uso de las tecnologías (calculadora y computadora) y la contextualización activa, pues aunque la situación considerada sea hipotética se requiere dar respuesta a un problema que enfrenta el gerente de una empresa. También se activan diferentes procesos matemáticos: razonar y argumentar, debido a los retos que deben enfrentar los estudiantes; representar, pues además de la representación tabular dada al inicio del problema se requieren incorporar otras formas de representación para extraer información pertinente y así resolver el problema. Al mismo tiempo, se realizan conexiones con el área de Relaciones y Álgebra, en el entendido de que los elementos del cuadro incluyen diferentes relaciones matemáticas.

En el cierre de la actividad, el docente debe tener presente al menos los siguientes aspectos:

a.) El significado matemático de cada uno de los componentes del cuadro. En la representación tabular dada al inicio se ofrecen las frecuencias: absoluta, porcentual y acumuladas (absoluta y porcentual). Estos elementos están relacionados matemáticamente, por lo que se deben emplear estas relaciones matemáticas para completar la información del cuadro.

b.) Después de completar el cuadro, los estudiantes debieron enfrentar otro problema matemático que tiene que ser analizado con detalle por el docente. ¿De qué manera se puede estimar el valor de la media aritmética si no se cuenta con la información individual de los resultados de las 43 pruebas? Únicamente se tiene la información que fue resumida en el cuadro. Con esto se sabe cuántas pruebas obtuvieron calificaciones en cada clase. Se debe recurrir a esta información para estimar la media, lo que se logra estableciendo un representante de cada clase, que puede ser aprovechado para determinar dicho promedio. El mejor representante de cada clase que se puede escoger es el punto medio: se espera que los estudiantes hayan podido llegar a esta conclusión. Sin embargo, este es apenas el primer paso, pues debe decidirse cómo utilizar los puntos medios para estimar la media.


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Puntajes Puntaje

medio de clase (X)

Número de Empleados

( f)

De 60 a menos de 70 65 2 De 70 a menos de 80 75 6 De 80 a menos de 90 85 8 De 90 a menos de 100 95 11 De 100 a menos de 110 105 9 De 110 a menos de 120 115 7 Total 43

El mayor reto que tendrían los estudiantes consiste en establecer la mejor estrategia para estimar el promedio, para ello deberían suponer que todos los datos de cada clase son iguales a su representante, o sea al punto medio de clase. De esta manera se supondría, entones que la primera clase tiene dos exámenes con puntaje de 65, la segunda clase tendría seis valores iguales a 75 y así sucesivamente, por lo que el puntaje promedio sería entonces:

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =2 ∙ 65 + 6 ∙ 75 + 8 ∙ 85 + 11 ∙ 95 + 9 ∙ 105 + 7 ∙ 115

43=405543

= 94,3

En esta etapa de clausura, el docente debería indicar que, gracias a la información del cuadro, aunque se pueden destacar siete clases y por ende siete puntos medios, cada uno de ellos debe ponderarse de acuerdo con la frecuencia de cada clase, pues el peso relativo de cada punto medio es diferente.

Puntajes Puntaje

medio de clase (X)


( f) 𝑿 ∙ 𝒇

De 60 a menos de 70 65 2 130 De 70 a menos de 80 75 6 450 De 80 a menos de 90 85 8 680 De 90 a menos de 100 95 11 1045 De 100 a menos de 110 105 9 945 De 110 a menos de 120 115 7 805 Total 43 4055

De esta manera la fórmula para determinar el promedio es:

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =𝑿 ∙ 𝒇𝒇

El símbolo Σ representa la suma de todos los valores que aparecen seguidamente, tal como se realizó arriba. Por ahora no es necesario profundizar mucho en el concepto de sumatoria, sino que el énfasis debe centrarse en el concepto de media aritmética ponderada.

c.) El tercer aspecto de interés en la solución del problema consiste en el uso de la media aritmética para resolver el problema. El docente debe resaltar en esta etapa no solamente el cálculo de la media aritmética sino también su uso. En la redacción del problema se indicó que únicamente los agentes que tuvieran una calificación superior al promedio pasarían a la segunda etapa del proceso,



que corresponde a una entrevista. Si los estudiantes lograron determinar el promedio, se espera entonces que puedan recomendar al gerente de la empresa que invite a aquellos agentes participantes que tuvieron un puntaje superior a 94,3 a presentarse para ser entrevistados, para lo cual deben traer el comprobante de su calificación. A los demás se les debe agradecer por su participación.

En la etapa de clausura es esencial reflexionar sobre este punto, porque permite hacer evidentes los ejes disciplinares: la contextualización activa como un componente pedagógico especial y la potenciación de actitudes y creencias positivas en torno a las Matemáticas.

Para responder la pregunta 2), los estudiantes debieron ubicar el promedio en la clase que incluyen los puntajes de 90 a menos de 100.

Puntajes Número de Empleados

( f)

De 90 a menos de 100 11 De 100 a menos de 110 9 De 110 a menos de 120 7

Hay 16 agentes que tuvieron notas de 100 o más, los cuales deberían estar clasificados entre los 11 agentes que están entre 90 y 100, debido a que la media es 94,3. Entonces se esperaría que aproximadamente 6 de ellos tengan nota superior a la media. Por esta razón, el número aproximado de agentes clasificados para la entrevista sería 17. Acá nuevamente el docente debe resaltar el uso y significado de la media aritmética en situaciones concretas.

Finalmente, en la etapa de clausura debe cerrar con una discusión sobre la forma en que se interrelacionan diferentes conceptos estadísticos para resolver problemas de la realidad. En el problema anterior se combinaron las representaciones tabulares con el uso de medidas para encontrar una solución al problema planteado.


20


Relaciones entre variables Al igual que se observó en las actividades 1 y 2, las representaciones tabulares y gráficas pueden ser utilizadas para visualizar relaciones estadísticas entre variables: esto significa que puede observarse la forma en que una variable influye sobre la otra.

Actividad 5.

La esperanza de vida al nacer representa el número de años que en promedio viviría una persona que ha nacido recientemente y que estará sometida a condiciones de salud idénticas al momento en que nació. Esta medida estadística es un indicador demográfico de mucho valor práctico, y es considerado en el ámbito internacional como un indicador del desarrollo en salud de un país. Observe el siguiente gráfico sobre el comportamiento de la esperanza de vida al nacer del país para un período de 80 años.

Fuente: Centro Centroamericano de Población, UCR. http://ccp.ucr.ac.cr/observa/CRindicadores/evida.html

Analice el gráfico y extraiga las principales conclusiones sobre el comportamiento de la esperanza de vida al nacer entre hombres y mujeres, para el periodo 1930-2010.

a.) ¿Qué relaciones puede identificar? b.) ¿A qué atribuye el incremento en la esperanza de vida durante este período?

Relaciones entre variables 21



El gráfico muestra una relación demográfica que es bien conocida y que se menciona regularmente en los medios de comunicación: las mujeres tienden a ser más longevas que los hombres. Hay otro aspecto relevante que debe resaltarse sobre esta relación: a medida que aumenta la esperanza de vida al nacer, la brecha en el indicador entre hombres y mujeres también se amplía, llegando a ser de aproximadamente cinco años para el 2010.

Pero la gráfica muestra relaciones notables; observe que con el pasar de los años se ha venido experimentando un aumento en la esperanza de vida al nacer de las personas en Costa Rica. Mientras en los años treinta del siglo pasado la esperanza de vida al nacer estaba entre los 40 y 45 años, para el año 2010 este indicador rondaba los 80 años. Casi se ha duplicado en las ocho décadas que se representan. Este hecho obedece a las mejoras en el sistema de salud que se han vivido durante este período. Los resultados del indicador en el año 2010 son similares a los que poseen los países desarrollados, tal como se puede comprobar en la página del Banco Mundial: http://datos.bancomundial.org/indicador/SP.DYN.LE00.IN.

Analice las relaciones que presentan los problemas .

Actividad 6.

Observe el siguiente cuadro que muestra el comportamiento sobre el fumado y el consumo de café en una muestra aleatoria de mujeres.

Relación entre el consumo de café y el fumado en una muestra aleatoria de mujeres

Porcentaje de mujeres

Fumado Alto consumo de café

Bajo o ningún consumo de café

Fumadoras 60,0 6,7 No fumadoras 40,0 93,3 Total 100,0 100,0

Fuente: Centro Centroamericano de Población, UCR. http://ccp.ucr.ac.cr/

Con base en la información del cuadro, determine lo siguiente:

a.) ¿Se observa alguna relación entre el consumo de café y el fumado en esta muestra aleatoria? b.) Entre las mujeres con alto consumo de café, determine el porcentaje de ellas que fuma, asimismo

entre las mujeres con bajo o ningún consumo de café, determine el porcentaje de ellas que fuma. ¿Cómo se interpretan estos valores?


22



Los datos del cuadro demuestran que aquellas mujeres que tienen la tendencia al fumado tienden al consumo de café y viceversa. Entre las mujeres con alto consumo de café el 60% fuma, pero este porcentaje baja a un 6,7% entre las que no consumen café o tienen un bajo consumo.

Los datos parecieran confirmar la existencia de una relación causal (causa y efecto) entre el fumado y el consumo de café. Sin embargo, estas presunciones son muy aventuradas, debido a que el análisis estadístico refleja simplemente un patrón en la variabilidad de datos, pero no justifica la relación causal. Una tendencia estadística no es suficiente para garantizar la causalidad.

Lo que ratifica la causalidad en este problema se debe al hecho de la existencia de ciertos estudios científicos que han demostrado que las personas fumadoras tienen una mayor tendencia a consumir café que las personas no fumadoras.

Relación causa y efecto: El principio de causa y efecto a menudo no ha sido bien empleado en los medios de comunicación y por profesionales de diferentes campos, debido a que se tienden a confundir las relaciones estadísticas que muestran alguna tendencia matemática con una relación de causalidad. En los análisis de datos, el principio básico de causalidad consiste en establecer si los resultados y tendencias observadas en el patrón de los datos obedecen a la aleatoriedad o al efecto que le provoca el comportamiento de alguna otra variable. Para identificar si una relación estadística entre variables es causal se necesitan análisis científicos que lo corroboren. Muchas veces, una relación estadística entre dos variables aparenta ser una relación causal; sin embargo, obedece a la participación de una tercera variable que confunde la relación. Estas variables reciben el nombre de confusoras.

Las falsas relaciones causales, es decir las relaciones estadísticas que no corresponden a una relación causal, se denominan espurias o ilegítimas.



Actividad 7.

Observe la siguiente información que se publicó en el periódico El País de España.

EL PAÍS

MARTES, 18 de octubre de 2005

El fracaso escolar es más alto en las zonas con menor renta.

Los municipios más desfavorecidos de la Comunidad son también los que tienen las tasas más altas de fracaso escolar -estudiantes de 16 años que no terminan cuarto de ESO-, según los datos del curso 2003/2004 que la Consejería de Educación ha facilitado al diputado socialista Adolfo Navarro. Los municipios con mayores tasas de fracaso -Arganda (36,5%), Torrejón de Ardoz (31%), Alcalá de Henares (27,8%) y Fuenlabrada (26,8%)- están entre las diez grandes poblaciones con la renta más baja de la región.

Fuente: http://elpais.com/diario/2005/10/18/madrid/1129634667_850215.html

Esta información fue utilizada por la Universidad Autónoma de Madrid para analizar la relación entre las variables.

Fuente: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/abaillo/AlimEst/EstAlimTema4.pdf

a) Con la información del reportaje, construya algún tipo de representación estadística que permita evidenciar una posible relación entre la renta per cápita anual y el porcentaje de fracaso escolar en la localidad.

b) ¿Se presentará esta relación también en Costa Rica? ¿Qué opinión tiene usted sobre este tema?


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c) ¿Será la relación anterior una relación causal? Justifique.


La publicación del Periódico El País se reproduce la representación empleada por la Universidad Autónoma de Madrid para resumir la información, se muestra que las barras más altas en renta se relacionan con las barras más bajas en fracaso escolar y viceversa. Esta es una forma muy particular de representación.

En el caso de dos variables cuantitativas, una forma de mostrar la presencia o ausencia de relación entre ellas consiste en dibujar un diagrama de puntos igualmente conocido como diagramas de dispersión.

Fuente: Periódico El País, Martes 18 de octubre del 2005. http://elpais.com/diario/2005/10/18/madrid/1129634667_850215.html

Esta representación revela una tendencia inversa (o negativa) entre la renta anual y los porcentajes de fracaso escolar. Puede notarse que a medida que la renta anual aumenta, los porcentajes de fracaso escolar disminuyen aunque como es lógico suponer, es una relación que no es perfecta. Se observa una relación curvilínea; si se quisiera ajustar una línea que aproximara esta relación, sería una curva decreciente.



Fuente: Periódico El País, Martes 18 de octubre del 2005. http://elpais.com/diario/2005/10/18/madrid/1129634667_850215.html

No todos los puntos estarían sobre esa línea debido a que no existe una relación perfecta entre las variables, lo que existe es una tendencia en forma curvilínea que modela la relación.

Resulta difícil determinar si la relación anterior es causal o no, debido a que se requieren estudios más especializados; no obstante, pareciera lógico pensar que al aumentar la inversión en educación se disminuya el fracaso escolar, debido a que las el sistema educativo podría ofrecer mejores condiciones académicas a los estudiantes.

Actividad 8.

En la revista cubana Salud Pública, se publicó el artículo denominado “Bajo peso al nacer y tabaquismo”. La principal conclusión a la que llegó el estudio es: “Este estudio confirma los reportes anteriores de que los niños nacidos de madres fumadoras son significativamente de menor peso que aquellos cuyas madres no fuman. El riesgo fue 2 y media veces mayor en el grupo de fumadoras.” http://bvs.sld.cu/revistas/spu/vol25_1_99/spu08199.pdf

Al respecto, un famoso ginecólogo estadounidense llamado Robert Welch ha señalado:

Fumar durante el embarazo expone al bebé a sustancias dañinas como la nicotina, el monóxido de carbono y otras toxinas que pueden afectar su desarrollo físico y cerebral. El bebé de una embarazada que fume un paquete de tabaco al día pesará al nacer media libra (226 gramos) menos como promedio (Tenga presente que “promedio” significa que algunos bebés se verán más afectados que otros). Esto es muy serio porque nacer con poco peso es uno de los principales factores asociados con enfermedades, posibles discapacidades e incluso la muerte del recién nacido. http://espanol.babycenter.com/x1300113/por-qu%C3%A9-es-peligroso-fumar-durante-el-embarazo#ixzz3VtCnglm9


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https://elestanquillo.wordpress.com/2012/10/31/la-nicotina-provoca-enfermedades-en-varias-generaciones-de-madres-fumadoras/

Al respecto hace unos unos años se realizó un estudio para determinar algunas de las causas del bajo peso al nacer (BPN) en los niños. Se dio seguimiento a una gran muestra aleatoria de mujeres embarazadas; surgió una interesante paradoja para la que a diferencia de lo anterior, no existían estudios científicos que la respaldaran. Se logró determinar que las mujeres con alto consumo de café presentaban un riesgo relativo de niños con BPN, aproximadamente el doble con respecto a las que tienen consumo bajo o del todo no consumen café.

Relación entre el consumo de café de una muestra aleatoria de madres embarazadas y el nacimiento de niños con bajo peso al nacer (BPN)

Consumo de café en madres Porcentaje de niños con BPN

Bajo o ningún consumo de café 5,7 Alto consumo de café 11,0


a) Con base en la información del cuadro, ¿es cierto que, para esta muestra de mujeres, el riesgo relativo de que nazca un niño con bajo peso es el doble entre las mujeres que tienen un alto consumo de café respecto de aquellas que no tienen esa costumbre?

b) ¿Qué opina usted de estos resultados? c) ¿Recomendaría usted a una mujer embarazada que consuma café durante su embarazo?




Observe que, entre las madres con bajo o ningún consumo de café, solamente el 5,7% tuvo niños con bajo peso, mientras que entre las madres con alto consumo el porcentaje de niños con bajo peso es del 11,0%, lo que efectivamente evidencia una relación del dos a uno.

Con un carácter sensacionalista se podría llegar a recomendar a las mujeres que disminuyan el consumo de café mientras se encuentren en la condición de embarazo. Sin embargo, la relación estadística presente en el estudio debe ser analizada en un contexto mayor y buscar respuestas científicas que pudieran justificarla.

En la actividad 6 se pudo determinar que las mujeres con alto consumo de café tienen una mayor tendencia al fumado. La información que aparece al inicio de la actividad indica que se ha demostrado científicamente que el fumar durante el embarazo es una clara causa de que los niños nazcan con bajo peso (es decir, existe una relación de causa y efecto entre el fumado durante el embarazo y el bajo peso en los niños al nacer). Los estudios citados demuestran que las madres fumadoras tienen un riesgo relativo de tener niños con bajo peso, entre dos y tres veces superior al que presentan las madres no fumadoras.

Tomando en cuenta estos elementos, se podría pensar que la relación estadística presente en el cuadro entre el consumo de café y el bajo peso de los niños al nacer no obedece a una relación causa y efecto, sino que responde más bien a un efecto indirecto del fumado. Observe el siguiente cuadro, en el cual se analiza nuevamente el fenómeno en estudio, pero ahora incluyendo las tres variables involucradas.

Relación entre el consumo de café de una muestra aleatoria de madres embarazadas y el nacimiento de niños con bajo peso al nacer (BPN),controlando por fumado

Condición de fumado

Alto consumo de café Bajo o ningún consumo de café Tamaño de

muestra (%) Niños con BPN (%)

Tamaño de muestra (%)

Niños con BPN (%)

Fumadoras 60,0 15,0 6,7 15,0 No fumadoras 40,0 5,0 93,3 5,0 Total 100 11,0 100 5,7



28


Puede notarse que al realizar el análisis incluyendo la variable fumado (se controla la relación con el fumado), desaparece la relación estadística entre consumo de café y el nacimiento de niños de bajo peso. Este hecho pone de manifiesto que la paradoja proviene de que las madres con alto consumo de café tienen una mayor tendencia al fumado que aquellas con bajo o ningún consumo de café. Observe que entre las mujeres que tuvieron un alto consumo de café, el porcentaje de niños con bajo peso fue de 15% entre las fumadoras y 5% entre las no fumadoras; cifras que también se presentaron entre aquellas con bajo o ningún consumo de café.

Igualmente, resulta interesante rescatar que, entre las madres observadas, el riesgo relativo de que un niño nazca con bajo peso es tres veces mayor entre madres fumadoras respecto a las no fumadoras, valor que se asemeja al citado en la revista cubana Salud Pública.

Por todo lo anterior, se deduce que la relación entre el consumo de café durante el embarazo y el nacimiento de niños con bajo peso corresponde a una relación espuria que responde a la participación del fumado, el cual actúa como variable confusora.

El análisis anterior deja en evidencia que quien elabora o interpreta la información de una relación estadística debe ver mucho más allá de lo que se encuentra en primera instancia. De lo contrario, puede caer en errores y conclusiones equivocadas.

Riesgo relat ivo y relaciones causales perfectas:

Además del concepto de relaciones de causa y efecto, el análisis de las actividades anteriores involucró otros que merecen la atención del lector.

En primer lugar, el concepto de riesgo relativo que se menciona en la revista cubana Salud Pública, afirmando que “El riesgo fue 2 y media veces mayor en el grupo de fumadoras”, y que a la vez se comenta en el análisis de la actividad. En términos generales, este concepto proviene de la razón de probabilidades entre dos fenómenos. En el ejemplo anterior, el último cuadro demuestra que la probabilidad frecuencista de que una madre tenga un niño de bajo peso es 0,15 para las madres fumadoras, mientras que esta probabilidad es de 0,05 para las madres no fumadoras. Entonces el riesgo relativo entre madres fumadoras y no fumadoras de tener un niño de bajo peso es !,!"!,!" = 3. Se interpreta que es tres veces más probable que una madre fumadora tenga un niño de bajo peso que una madre no fumadora.

Un segundo elemento que merece prestarle atención es el hecho de que las relaciones perfectas entre dos variables difícilmente se encuentran en la vida real. La relación entre dos variables normalmente está afectada por otros elementos que se vinculan directa o indirectamente con las variables originales. Por ejemplo,



anteriormente se ha mencionado que existe una relación causal entre el fumado durante el embarazo y el nacimiento de niños con bajo peso; y aunque dicha relación es verdadera, no puede garantizarse que una mujer que fuma durante el embarazo va a tener un niño de bajo peso. Lo único que se sabe es que al fumar aumenta las probabilidades de que esto ocurra, pero no lo garantiza. En el caso contrario, una madre que no fuma durante el embarazo no puede garantizar que no tenga un niño con bajo peso. Esto se debe a que, además del fumado, existen muchas otras causas que pueden provocar que nazca un niño con bajo peso.

Análisis didáctico El tema de relaciones entre variables no aparece como un contenido independiente en los Programas de Estudios, debido a que no representa un contenido en sí mismo, sino que el análisis de relaciones entre variables debería aparecer en problemas con diferentes conceptos estadísticos

Los ejemplos planteados en esta sección se concentraron en el uso de representaciones tabulares y gráficas; pero también pueden ser analizadas relaciones entre variables mediante el uso de otros conceptos estadísticos. Considere el siguiente problema que se propone plantear para estudiantes de décimo año.

Problema.

Según información publicada en la página web elmundo.es SALUD (http://www.elmundo.es/elmundosalud/2005/06/30/medicina/1120155622.html), se establece que la situación de la salud en los países africanos es realmente crítica. Múltiples enfermedades y poca inversión en salud amenazan a los habitantes de estos países generando una alta mortalidad en todas las edades. Entre los países que viven esta situación está Costa de Marfil, país que se encuentra en África Occidental.

Por otro lado, estudios del Banco Mundial, publicados en la página Web

http://www.infobae.com/2014/02/01/1540842-por-que-los-paises-escandinavos-e-islandia-encabezan-todos-los-rankings-mundiales, indican que en materia de salud los países escandinavos encabezan los ranking mundiales. Por ejemplo, Dinamarca aparece entre los países con la mayor inversión per cápita en esta área y con excelentes índices de salud.

Una medida estadística que se utiliza para establecer el comportamiento de la mortalidad de un país es la tasa bruta de mortalidad (TBM), que se determina dividiendo el número de defunciones ocurridas en un lugar en un período de tiempo (normalmente un año) entre la población del lugar a mitad del período; el resultado se multiplica por mil.

𝑇𝐵𝑀 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎 𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜∙ 1000


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Se interpreta como el número de defunciones durante el período por cada mil habitantes.

Si se analiza el comportamiento de esta medida en el año 2012, según se ha publicado en el anuario CIA World Factbook de la Agencia Central de Inteligencia de los Estados Unidos, la tasa bruta de mortalidad de Dinamarca y de Costa de Marfil se indica a continuación:

País Tasa Bruta de Mortal idad(por mil habitantes)

Dinamarca 10,19 Costa de Marfil 9,96

a.) Analice la información del cuadro, interprete la tasa bruta de mortalidad de Dinamarca y de Costa de Marfil.

b.) Discuta con sus compañeros sobre las posibles razones por las cuales la tasa bruta de mortalidad es un poco más baja en Costa de Marfil que en Dinamarca, a pesar de que las condiciones de salud son mucho mejores en Dinamarca.

Este problema se puede implementar en décimo año para promover habilidades vinculadas con el uso e interpretación de representaciones estadísticas. El proceso de razonar y argumentar es el que está más afianzado para lograr una respuesta lógica al problema. Por otro lado, debido a que el problema obedece a hechos reales, la contextualización activa resalta sobre los otros ejes disciplinares que están presentes en el análisis, más aún si se considera que la respuesta al problema debe deducir que tanto la mortalidad de un país como sus condiciones de salud se deben al contexto general de cada país.

El docente debe prestar mucha atención al trabajo estudiantil, de modo que las reflexiones que se realicen converjan a situaciones concretas y realistas. Podría ocurrir que los estudiantes no logren encontrar elementos que expliquen la paradoja planteada, lo que implicaría que el docente brinde alguna información adicional sobre el contexto demográfico en que se encuentran ambos países. Podría solicitarles que analicen la conformación por edad de los países, en cuál de ellos hay más población joven y en cuál hay más población adulta mayor.

En la etapa de cierre, el docente debe volver sobre la paradoja estudiada, en el sentido de que sería de esperar que exista una relación causal entre la mortalidad de un país con las condiciones de salud. El hecho de que Costa de Marfil tenga una tasa de mortalidad menor que Dinamarca puede tener su explicación en el contexto de cada país.

Si los estudiantes no lograron llegar a una buena argumentación de las razones que justifican las diferencias, el docente debería profundizar en la temática. Es bien conocido que los países africanos, sobre todo los que se ubican en la franja central del continente, experimentan un fuerte crecimiento poblacional, por lo que sus poblaciones son relativamente jóvenes y el porcentaje de adultos mayores es muy bajo. Por otro lado, al mismo tiempo se sabe que los países escandinavos enfrentan una situación demográfica contraria, un crecimiento poblacional negativo (mueren más personas de las que nacen) debido a que son poblaciones



envejecidas que experimentan una natalidad muy baja y porcentajes de adultos mayores muy altos. Por esta razón, la población de Dinamarca, al ser de mayor edad, está más expuesta al riesgo de morir, de allí que la tasa de mortalidad sea mayor. Entonces la edad de los habitantes es la variable confusora, que generó la paradoja del problema.

Puede complementar lo anterior enseñando el siguiente cuadro, que evidencia las diferencias en la distribución de la población entre los países y explica la paradoja.

Distr ibución de la población por grupos de edad en Dinamarca y Costa de Marfi l para el 2012

Población Dinamarca Costa de Marfi l

De 0 a 14 años 17,6% 39,8%

De 15 a 64 años 65,3% 57,2%

65 años y más 17,1% 3,0%

Total 100% 100%

Finalmente, el profesor debería discutir la importancia de realizar una lectura inteligente de la información estadística sobre fenómenos sociales. Las técnicas estadísticas resumen los datos mediante diferentes tipos de representaciones, ofrecen una interpretación de hechos sociales que ayuda a las personas a comprender mejor el entorno. Pero esta interpretación debe ser con congruente con el contexto que dio origen a los datos, por lo que al establecer relaciones o comparaciones debe tenerse presente el comportamiento de las variables en dicho contexto.


32


Uso de medidas estadísticas

Medidas absolutas En general, muchos de los ejemplos acá expuestos demuestran que el análisis de la información estadística trasciende la técnica adoptada, por lo que el proceso educativo debe preparar a los estudiantes para ir más allá de su mera implementación.

Actividad 9.

Carlos Mora es propietario de una empresa agrícola productora de maíz. Recientemente ha adquirido una finca de gran cantidad de hectáreas que desea utilizar para cosechar el grano. El principal problema que enfrenta consiste en decidir cuál variedad de maíz es no solamente más productiva sino también la que contenga menor variabilidad en la producción: esto pues debe buscar un equilibrio entre producción y variabilidad, para reducir así los riesgos y planificar mejor las ganancias esperadas. En la preparación de la finca va a necesitar varios meses, razón por lo que decidió aprovechar el tiempo y trabajar con pequeñas parcelas para realizar un experimento con el cultivo de las tres variedades que, por experiencia pasada, aparentemente son las que han tenido el mejor comportamiento productivo en la zona: Tico-V9, Diamantes y Guarare.

De este modo, cultivó 90 pequeñas parcelas de igual tamaño con estas variedades. Dividió aleatoriamente las parcelas en grupos de 30 y las cultivó con una de las tres variedades. La preparación de la tierra, el abono aplicado y el sistema de riego fueron los mismos para las 90 parcelas. Al final del proceso recolectó la cosecha. Seguidamente se incluyen los resultados en kilogramos de maíz producidos por parcela:

No. de

parcela Tico-V9 Diamantes Guarare No. de

parcela Tico-V9 Diamantes Guarare

1 43 38 62 16 65 73 58

2 61 64 57 17 52 57 58

3 52 58 59 18 70 83 51

4 49 54 63 19 49 53 64

5 51 52 60 20 63 70 58

6 50 56 60 21 60 61 53

7 70 85 56 22 55 61 61

8 55 60 57 23 55 60 56

9 48 49 65 24 43 40 55

10 40 35 55 25 69 78 66

11 54 58 54 26 46 43 61

Uso de medidas estadísticas 33


12 54 59 61 27 62 65 66

13 61 62 53 28 48 49 53

14 55 60 62 29 61 63 56

15 49 54 59 30 62 66 63

Realice un análisis estadístico que le permita al señor Carlos Mora tomar una decisión sobre la variedad de maíz que debería sembrar en su finca? Los argumentos empleados por usted deben ser suficientemente convincentes para que el señor Mora pueda elegir con mayor seguridad.


Este tipo de estudios se denomina diseño de experimentos, para el cual existen técnicas inferenciales especializadas. Sin embargo, desde el punto de vista de los conocimientos estadísticos incluidos en los Programas de Estudio de Matemáticas y de las habilidades que se pretenden desarrollar, es viable concretar un análisis descriptivo que le ayude al señor Mora a tomar la decisión. Una primera aproximación puede consistir en construir una distribución de frecuencias comparativa para la producción generada de las tres variedades de maíz.

Producción de maíz por parcela para las variedades Tico-V9, Diamantes y Guarare, para una muestra aleatoria de 30 parcelas por variedad.

Finca Carlos Mora, 2015 Tico-V9 Diamantes Guarare

Producción de maíz (Kg)

No. de parcelas

Porcentaje de

parcelas No. de

parcelas Porcentaje

de parcelas

No. de parcelas

Porcentaje de

parcelas

De 34 a menos de 38 - - 1 3,3 - -

De 38 a menos de 42 1 3,3 3 6,7 - -

De 42 a menos de 46 2 6,7 1 3,3 - -

De 46 a menos de 50 6 20,0 2 6,7 - -

De 50 a menos de 54 4 13,3 2 6,7 4 13,3

De 54 a menos de 58 6 20,0 4 13,3 8 26,7

De 58 a menos de 62 4 13,3 8 26,7 10 33,3

De 62 a menos de 66 4 13,3 4 13,3 6 20,0

De 66 a menos de 70 1 3,3 1 3,3 2 6,7

De 70 a menos de 74 2 6,7 2 6,7 - -

De 74 a menos de 78 - - 0 0,0 - -

De 78 a menos de 82 - - 1 3,3 - -

De 82 a menos de 86 - - 2 6,7 - -

Total 30 100 30 100 30 100 Fuente: Información recabada por el señor Carlos Mora, 2015

Del análisis del cuadro puede extraerse información muy importante para el estudio. En primer lugar, la producción de maíz por parcela resultó ser más variable para la variedad Diamantes y menos variable para Guarare. Pareciera que la producción tiende a centrarse entre los 50 y 66 Kg de maíz por hectárea: entre


34


estos datos se presentan las frecuencias más altas para las tres variedades, aunque este rango incluye toda la producción generada por la variedad Guarare. La variedad Diamantes es la que presenta los valores de producción más altos en algunas parcelas, pero al mismo tiempo presenta los valores más bajos para otras parcelas. La variedad Tico-V9 presenta una particularidad, pues sus máximos porcentajes se obtienen en dos clases diferentes no contiguas, lo que representa una distribución bimodal (dos modas).

Los polígonos de frecuencia comparativos ayudan a visualizar mejor lo que se ha citado anteriormente:

Fuente: Información recabada por el señor Carlos Mora, 2015

Observe que las tres distribuciones son aproximadamente simétricas, y que la producción de la variedad Tico-V9 pareciera ser más baja que la correspondiente a las otras variedades. Por lo demás todo lo discutido arriba se ratifica en esta representación gráfica. Aunque se debe hacer notar que para llevar la información al señor Carlos Mora puede resultar más simple presentar el gráfico que el cuadro.

Es posible que el señor Mora requiera de mejores argumentos para tomar la decisión, por lo que se requiere complementar las representaciones anteriores con el uso de medidas estadísticas. Con el uso de una calculadora que tenga incorporadas funciones estadísticas básicas, se pueden determinar las siguientes medidas:



Producción de maíz por parcela para las variedades Tico-V9, Diamantes y Guarare, para una muestra aleatoria de 30 parcelas por variedad. Finca Carlos Mora, 2015

Medidas estadísticas Variedades de maíz

Tico-V9 Diamantes Guarare

Promedio 55,07 58,87 58,73

Desviación Estándar 8,10 11,83 4,10 Fuente: Información recabada por el señor Carlos Mora, 2015

Esta información resulta relevante, pues muestra que la producción promedio por parcela en las variedades Diamantes y Guarare es muy similar; pero se demuestra una vez más que la producción media de Tico-V9 es la más baja. Además, existen grandes diferencias en la variabilidad de producción por parcela. Este hecho pareciera inclinar la balanza hacia la producción Guarare, pues los resultados de la muestra reflejan que en general la producción media es similar pero con mucha menor variabilidad, lo cual reduce el riesgo y da mayor tranquilidad al señor Mora.

Pese a ello, debido a la gran inversión que el señor Mora va a realizar, solicita que le ofrezcan elementos visuales más simples que puedan ayudar a tomar la mejor decisión. Una estrategia consiste en construir un diagrama de cajas con la información. Para ello se requieren calcular medidas estadísticas para las cuales los datos deben estar ordenados de menor a mayor:

No. de parcela Tico-V9 Diamantes Guarare No. de

parcela Tico-

V9 Diamantes Guarare

1 40 35 51 16 55 60 59

2 43 38 53 17 55 60 59

3 43 40 53 18 55 60 60

4 46 43 53 19 55 61 60

5 48 49 54 20 60 61 61

6 48 49 55 21 61 62 61

7 49 52 55 22 61 63 61

8 49 53 56 23 61 64 62

9 49 54 56 24 62 65 62

10 50 54 56 25 62 66 63

11 51 56 57 26 63 70 63

12 52 57 57 27 65 73 64

13 52 58 58 28 69 78 65

14 54 58 58 29 70 83 66

15 54 59 58 30 70 85 66

Se requiere identificar el mínimo y el máximo, los cuartiles 1 y 3, así como la mediana (que corresponde al segundo cuartil).


36


Medidas Tico-V9 Diamantes Guarare

Mínimo 40 35 51

Máximo 70 85 66 Recorrido 𝟕𝟑 − 𝟒𝟑 = 𝟑𝟎 𝟖𝟓 − 𝟑𝟓 = 𝟓𝟎 𝟔𝟔 − 𝟓𝟏 = 𝟏𝟓

Los valores mínimo y máximo simbolizan la menor y mayor producción de maíz entre las parcelas observadas, mientras que el recorrido representa la mayor diferencia en la producción de maíz entre las parcelas.

Una vez que los datos están ordenados, el cuartil m se ubica en la posición ! !!!!

, donde n representa el

número de datos. De esta manera, el primer cuartil está en la posición !∙!"!= !"

!= 7,75. Entonces el primer

cuartil se encuentra entre los datos siete y ocho. Por otro lado, el tercer cuartil se encuentra en la posición !∙!"!= !"

!= 23,25, por lo que se sitúa entre el dato 23 y el dato 24.

Al tomar los valores de la base de datos ordenada de menor a mayor y ubicar los números de la posición 7 y 8, 23 y 24, se procede a promediarlos y completar esta tabla.

Medidas Tico-V9 Diamantes Guarare

Primer cuart i l 49 + 49

2 = 49 52 + 53

2 = 52,5 55 + 56

2 = 55,5

Tercer cuarti l 61 + 62

2 = 61,5 64 + 65

2 = 64,5 62 + 62

2 = 62,0

Recorrido intercuart í l ico

61,5 − 49 = 12,5 64,5 − 52,5 = 12,0 62,0 − 55,5 = 6,5

En el caso del primer cuartil, significa que el 25% de las parcelas tuvieron una producción inferior a los valores de la tabla valor (49 Kg en el caso de Tico-V9, 52,5 Kg en el caso de Diamantes y 55,5 Kg en el caso de Guarare) y el 75% tuvo una producción superior. En el caso del tercer cuartil, significa que el 75% de las parcelas tuvo una producción inferior a los valores de la tabla (61,5 Kg en el caso de Tico-V9 y de Diamantes y 62,0 Kg en el caso de Guarare).

El recorrido intercuartílico corresponde a la diferencia entre el percentil 75 y el percentil 25. Representa el rango de variación del 50% de producción central. Tico-V9 y Diamantes tienen un recorrido intercuartílico similar, mientras que en el caso de Guarare es mucho menor.



Por último la mediana puede utilizar la fórmula del segundo cuartil, o también considerar que el valor central es:

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 =

𝑋!!!! 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

𝑋!! + 𝑋!

! !!

2 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟

Como n = 30 es par, entonces la mediana es el promedio de los datos que están en la posición 15 y en la posición 16.

Tico-V9 Diamantes Guarare

Mediana 54 + 552 = 54,5

59 + 602 = 59,5

58 + 592 = 58,5

La mediana es el valor para el cual el 50% de las parcelas tiene una producción menor o igual a ese valor y el otro 50% tiene una producción mayor. La producción de Diamantes tiene una mediana ligeramente superior.

La información de estas medidas se puede resumir en un diagrama de cajas como el siguiente:

Siguiendo este esquema con los datos calculados arriba, se tendría que los diagramas de cajas para producción de maíz por parcela serían:


38


Fuente: Información recabada por el señor Carlos Mora, 2015

Esta representación, combinada con los valores del promedio y la desviación estándar, constituye una herramienta fundamental para que el señor Carlos Mora cuente con argumentos sólidos con el fin de tomar una decisión acertada. De estos diagramas puede notarse que la variedad Diamantes presentó un rendimiento ligeramente superior a las otras variedades y las parcelas con más alta producción. Pero a la vez resulta la más riesgosa, con parcelas de muy baja producción. Por otro lado, la variedad Guarare tuvo en producción promedio y mediana un poco menos que Diamantes, pero su rendimiento fue muy homogéneo (poco variable) entre las parcelas observadas; por ello es que ofrece un menor riesgo. En cuanto a Tico-V9, el rendimiento central fue más bajo que las otras dos variedades, resalta el hecho de que tiene un recorrido intercuartílico similar a Diamantes, pero sus valores extremos tienen una menor dispersión.

En resumen, si debe elegir una sola variedad de maíz, el análisis descriptivo indica que debería seleccionar Guarare.

Actividad 10

Suponga que Fidel Villaverde tiene una finca que dedica al cultivo de maíz, contigua a la que adquirió el señor Carlos Mora. Cuando se dio cuenta del experimento que realizaba don Carlos, decidió cultivar 30 parcelas con la variedad Godo que regularmente ha cultivado en su propiedad. Le dio el mismo mantenimiento a las parcelas que el señor Mora.

Al cultivar el maíz obtuvo los siguientes datos correspondientes al rendimiento por parcela:



Producción de maíz por parcela para la variedad Godo para una muestra aleatoria de 30 parcelas. Finca Fidel Vi l laverde, 2015

Medidas estadísticas

Producción por parcela(Kg.)

Promedio 56,10

Mediana 58,0

Desviación Estándar 15,24 Fuente: Información recabada por el señor Fidel Villaverde, 2015

A pesar de que esta variedad tuvo un rendimiento promedio mucho menor que las tres variedades que cultivó don Carlos Mora, presenta una menor mediana y una mayor desviación estándar. Fidel le insiste al señor Mora en que la variedad que mejor le conviene para su finca es Godo.

a) ¿Qué opinión tiene usted sobre las afirmaciones del señor Villaverde? b) En estas circunstancia ¿qué recomendaría usted al señor Mora?


En primera instancia, pareciera que los datos obtenidos no respaldan al señor Villaverde, por lo que se podría pensar en que la mejor alternativa para la finca sigue siendo Guarare. No obstante, hay una relación entre los datos que debe llamar la atención para generar un estudio más detallado. Se trata de la diferencia entre el valor promedio y la mediana. Diferencias enormes entre el promedio y la mediana son un indicador de que la distribución de los datos es asimétrica.

Asimetría posit iva Asimetría negativa Simétrica

Cuando la distribución de los datos es asimétrica, el promedio debe ser analizado con mucho cuidado pues se encuentra afectado por la presencia de los datos extremos que sesgan su valor.

En este caso, según los datos proporcionados por el señor Villaverde, el promedio es menor que la mediana, lo que puede hacer suponer que los datos tienen asimetría negativa. Si esto fuera así, es preferible solicitar más información al señor Villaverde para poder complementar el estudio y tomar una decisión con mayor propiedad.

Si no se puede tener acceso a los 30 datos, sería adecuado solicitar información sobre los valores máximo, mínimo y los cuartiles.


40


Suponga que el señor Villaverde suministra la siguiente información:

No. de parcela Godo No. de

parcela Godo No. de parcela Godo

1 3 11 57 21 62

2 5 12 57 22 63

3 51 13 57 23 65

4 51 14 57 24 66

5 52 15 58 25 66

6 53 16 58 26 67

7 54 17 59 27 67

8 54 18 59 28 68

9 56 19 60 29 70

10 56 20 61 30 71

Al analizar estos datos, se observa que en dos parcelas la producción fue demasiado baja, apartándose de la producción de las restantes parcelas. Se consultó a don Fidel sobre el comportamiento de estos valores: aparentemente un ganado por accidente se comió una buena parte de las plantas. Ante esta situación, estas parcelas deberían ser eliminadas del estudio y las medidas estadísticas deben ser calculadas sin tomar en cuenta estos valores.

Producción de maíz por parcela para la variedad Godo para una muestra aleatoria de 28 parcelas. Finca Fidel Vi l laverde, 2015

Medidas Producción por

parcela(Kg.)

Promedio 59,82

Desviación estándar 5,83

Mínimo 51,00 Primer cuartil 56,00 Mediana 58,50 Tercer cuartil 65,50 Máximo 71,00

Fuente: Información recabada por el señor Fidel Villaverde, 2015 Nota: Se eliminaron dos parcelas cuya producción se vio afectada por elementos externos

Con esta información se puede construir de nuevo el diagrama de cajas, incluyendo ahora la variedad Godo:



Fuente: Información recabada por los señores Carlos Mora y Fidel Villaverde, 2015 Para las variedades Tico V9, Diamantes y Guarare se analizó la producción de una muestra fue de 30 parcelas, para Godo la muestra fue de 28 parcelas

Observe que al eliminar los valores de parcelas dañadas, la distribución de la producción Godo presenta ahora asimetría positiva con un promedio superior a las otras variedades, aunque tiene una variabilidad ligeramente mayor a Guarare. El hecho de presentar asimetría positiva resulta favorable, pues los sesgos a la derecha que se puedan presentar significarían una mayor producción. Por esto que se podría decir que el señor Fidel Villaverde tenía razón al recomendar la variedad Godo, al menos con los resultados que reflejan las muestras aleatorias. En los experimentos realizados esta variedad tuvo una producción superior, aunque nuevamente se debe tener presente que el estudio es eminentemente descriptivo y no se ha determinado si las diferencias encontradas son estadísticamente significativas.

Los problemas planteados en las últimas dos actividades son un ejemplo del cuidado que debe tener una persona al momento de efectuar un análisis estadístico. Las representaciones tabulares, gráficas o las mismas medidas estadísticas deben ser analizadas desde un punto de vista crítico, pues podrían generar un mensaje confuso e incluso llevar a errores en la toma de decisiones. Por esta razón, muchas veces se requiere combinar estas técnicas en busca de una mejor interpretación del problema. Los datos individuales también requieren ser revisados, pues muchas veces hay valores que no representan adecuadamente el fenómeno estudiado, tal como ocurrió con las parcelas que debieron descartarse del estudio del señor Villaverde. Es común que ocurran estos hechos en donde algunos valores atípicos responden a sesgos en los datos, ya sea por mediciones o por razones externas, tal como ocurrió en este caso.

Medidas ponderadas En diversas ocasiones los datos que se emplean para determinar una medida estadística no tienen el mismo peso relativo entre sí. Un ejemplo típico sobre este hecho corresponde a las calificaciones que se generan para una asignatura particular en el colegio. En estos casos, hay diferentes tipos de evaluación y todas ellas con valores porcentuales diferentes. Al momento de generar el promedio, no basta con sumar las calificaciones y dividirlas por el número de ellas, sino que se debe ponderar cada calificación con el porcentaje correspondiente.


42


Actividad 11

En una zapatería se promedian ventas diarias de 8 zapatos de hombre y 12 de mujer. La ganancia media en los zapatos de hombre es de ₡2000 mientras que en los zapatos de mujer la ganancia media es de ₡2500.

¿Cuál es el monto correspondiente a las utilidades o ganancias promedio por cada par de zapatos?


Debido a que en promedio se vende un número diferente de zapatos para hombres y para mujeres y que las utilidades medias también son distintas, para determinar la utilidad promedio se deben ponderar las utilidades generadas en zapatos para hombres y mujeres por el número medio de unidades de cada tipo de zapato, de la siguiente manera:

𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =8 ∙ ₡2000 + 12 ∙ ₡2500

8 + 12= ₡2300

Entonces la utilidad promedio por par de zapatos es de ₡2300

Promedio ponderado:

Si se tienen n datos 𝑋!,𝑋!,… ,𝑋!, los cuales en un problema particular tienen pesos relativos (o ponderaciones)

diferentes: 𝑊!,𝑊!,… ,𝑊! respectivamente. Por ende el promedio debe calcularse tomando en cuenta estas ponderaciones:

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =𝑋! ∙𝑊! + 𝑋! ∙𝑊!" …+ 𝑋! ∙𝑊!

𝑊! + 𝑊! + …+ 𝑊!=

𝑋! ∙𝑊!!!!!

𝑊!!!!!

Un ejemplo consiste en el cálculo de un promedio cuando los datos están agrupados en una distribución de frecuencias. En un análisis didáctico anterior se tenía el siguiente cuadro:




Puntajes Puntaje

mediode clase (X)


(f)

De 60 a menos de 70 65 2 De 70 a menos de 80 75 6 De 80 a menos de 90 85 8 De 90 a menos de 100 95 11 De 100 a menos de 110 105 9 De 110 a menos de 120 115 7 Total 43

La calificación promedio por empleado se determinó de la siguiente forma:

Promedio =2 ∙ 65 + 6 ∙ 75 + 8 ∙ 85 + 11 ∙ 95 + 9 ∙ 105 + 7 ∙ 115

43=405543

= 94,3

La fórmula empleada fue la siguiente: P𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = !∙!!

, la cual es equivalente a la que se ha aplicado en la

actividad 11.

Actividad 12

En un estudio para determinar el grado de contaminación sobre la parte alta de la cuenca del el río Tibás en las montañas de San Rafael de Heredia, se analizaron diferentes características contenidas en muestras de agua tomadas en seis sitios seleccionados aleatoriamente y en 10 meses del año 2003. El estudio fue realizado por una funcionaria de la Escuela de Química de la Universidad Nacional. Entre otras cosas, el estudio pretendió determinar la variabilidad en las mediciones generadas de algunas de las variables. Algunas de las variables más importantes consideradas en el estudio son: la cantidad de coliformes fecales y el índice de la calidad del agua, en los mismos términos en que fueron definidas en la actividad 6. Los valores correspondientes a 30 de las muestras se presentan a continuación:


44


Número de muestra

Coliformes Fecales

Índice de calidad

Número de muestra

Coliformes Fecales

Índice de calidad

1 5,94 4 16 8,77 4 2 6,66 4 17 9,82 4 3 8,77 3 18 5,87 4 4 8,77 3 19 7,47 4 5 5,87 4 20 5,87 3 6 7,52 4 21 5,87 3 7 11,4 4 22 7,95 3 8 7,47 4 23 7,47 4 9 13,78 5 24 11,4 3

10 9,82 4 25 10,33 4 11 12,07 5 26 14,11 5 12 11,4 6 27 12,57 4 13 8,77 7 28 5,87 5 14 7,47 7 29 9,82 5 15 8,77 7 30 9,82 6

Realice el análisis estadístico necesario para comparar la variabilidad relativa entre la cantidad de coliformes fecales y el índice de calidad de agua.


En los casos en que se desean realizar comparaciones entre dos o más variables, sea en cuanto a su posición o su variabilidad, los valores absolutos no son comparables, ya que la magnitud de los datos o las mismas unidades de medida son diferentes. En este caso se debe recurrir al coeficiente de variación. Los resultados se incluyen en el siguiente cuadro:

Medidas Coliformes

fecales Índice de calidad

Promedio 8,916 4,4

Desviación estándar 2,417 1,192

Coeficiente de variación 27,107 27,089

La variabilidad relativa es aproximadamente la misma para ambas variables. De acuerdo con los resultados de la muestra, se dice que la variabilidad relativa es similar para el comportamiento de los coliformes fecales y el índice de calidad del agua. Esto quiere decir que la variabilidad de la cantidad de coliformes fecales es congruete con la variabilidad en el índice de calidad de agua.



Medidas relativas. Como se ha venido indicando en los análisis didácticos de este documento, cuando se hacen comparaciones entre variables o entre datos debe analizarse el contexto en el que se está trabajando. En casos como el actual, donde la comparación incluye variables cuyos datos no solamente difieren en cuanto a magnitud sino en las unidades de medida, es necesario realizar una comparación relativa. En este tipo de comparaciones se elimina el efecto de la magnitud de los datos y de las unidades de medida. El empleo de porcentajes constituye un ejemplo simple de comparación relativa cuando se trabaja con datos cualitativos. Sin embargo, cuando se desean comparar variables cualitativas, existen medidas relativas para efectuar comparaciones en cuanto a posición o en cuanto a variabilidad. Estas se resumen seguidamente:

Posición relat iva:

Cuando se efectúan comparaciones en cuanto a la posición que tienen dos o más valores ubicados en contextos diferentes, se debe eliminar el efecto del contexto; una forma de hacerlo consiste en estandarizar los datos mediante la fórmula:

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 =𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 − 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟

Variabil idad relat iva:

Si se desea comparar la variabilidad que presentan dos o más grupos de datos tomados de contextos distintos, para los cuales hay diferencias por magnitud, unidad de medida o ambas, se requiere eliminar estos efectos. Una medida estadística apropiada para realizar estas comparaciones es el coeficiente de variación:

𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜∙ 100

Normalmente se multiplica por 100, para darle un enfoque porcentual a la medida, aunque debe quedar claro que esta medida no representa un porcentaje como tal.

Actividad 13

Suponga que tres empresas producen componentes electrónicos. Son de diferente tamaño y su producción mensual histórica tiene el siguiente comportamiento:


46


Empresa A Empresa B Empresa C Promedio mensual 140 500 83 200 254 300 Desviación estándar 45 325 33 456 65 350

En el mes de marzo del 2015, las producciones generadas en las tres empresas fueron las siguientes.

Empresa A Empresa B Empresa C Promedio mensual 130 250 77 420 232 450

a) ¿Cuál de las empresas tiene menor variabilidad relativa? b) En términos relativos, en cuál de estas empresas la producción durante el mes de marzo del 2015

fue mayor?


Para responder la primera pregunta, se debe realizar un análisis similar al efectuado en la actividad 11. Dado que las producciones en las empresas son muy diferentes, no se puede comparar la variabilidad simplemente analizando las desviaciones estándar, se debe hacer una comparación relativa, que elimine las diferencias de magnitud en las producciones de las tres empresas. Por ello se recurre a los coeficientes de variación. Por ello se tiene:

Empresa A Empresa B Empresa C Promedio mensual 140 500 83 200 254 300 Desviación estándar 45 325 33 456 65 350 Coeficiente de variación 32,3 40,2 25,7

En este sentido, la producción de componentes es relativamente más variable en la Empresa B y relativamente menos variable en la Empresa C.

Para comparar la producción en el mes de marzo del 2015 y debido a que los datos no son comparables entre sí, se requiere comparar la producción en este mes con el referente histórico de cada empresa por medio de la estandarización de los datos:



Producción estándar

Empresa A 130 250 − 140 50045 325 = −0,23

Empresa B 77 420 − 83 20033 456 = −0,17

Empresa C 232 450 − 254 30065 350 = −0,33

Los valores negativos significan que la producción en marzo estuvo por debajo de la producción histórica promedio. En términos relativos la empresa con mayor producción fue B, aunque su producción absoluta fue la más baja en términos relativos fue la que se apartó menos del promedio.

Análisis didáctico Las medidas son una de las herramientas estadísticas más empleadas en los análisis de datos, por esta razón el sistema educativo tiene el compromiso de ofrecer una adecuada alfabetización sobre un uso adecuado de ellas. Analice la siguiente situación que se puede plantear a estudiantes de undécimo año:

Problema:

Pilar y Beatriz discuten acerca del rendimiento de sus automóviles con respecto al gasto de combustible. Cada una de ellas indica que su vehículo es más económico, así que deciden medir el rendimiento de sus vehículos en los días laborales (5 días por semana). Al iniciar cada día, llenan completamente el tanque de combustible y miden el kilometraje recorrido. Al día siguiente vuelven a realizar el proceso, determinando para cada día los litros consumidos. Después de dos semanas, tienen información correspondiente a 10 días, la cual se resume en el siguiente cuadro. El experimento se realiza suponiendo que variables como topografía de los trayectos, densidad del tránsito, estilo de manejo y otras, tienen comportamientos similares para los recorridos de ambos vehículos.


48


Vehículo de Pilar Vehículo de Beatriz

Km recorridos Litros consumidos Km recorridos Litros consumidos

28,62 2,37

43,15 4,37

28,68 2,17

34,84 2,54

30,05 2,40

35,99 3,76

30,50 2,62

37,77 3,12

30,73 2,05

38,85 2,96

28,42 2,14

40,92 2,88

27,85 2,13

38,77 4,07

27,26 2,33

38,01 2,71

32,96 2,44

39,36 3,04

29,10 2,02

40,84 3,36

Utilice la información suministrada para determinar cuál de las damas tiene razón sobre el rendimiento de su vehículo.

Este es un problema similar al que se presentó en la actividad 9: los estudiantes tienen que realizar un análisis integral de la información, deben observar tanto la posición como la variabilidad de los datos. Primeramente, deben determinar en cada caso el rendimiento en kilómetros por litro para cada uno de los días observados.

Además de que conlleva muchos cálculos, el problema necesita razonamiento para utilizar y combinar las mejores medidas estadísticas que permitan obtener la respuesta, de manera que pueda estar debidamente argumentada. Al mismo tiempo, para la solución del problema los estudiantes requieren combinar diferentes formas de representación, tanto tabulares como gráficas.

Por otro lado, el problema enlaza con una situación que, aunque hipotética, tiene un contexto claro y la respuesta que se vaya a brindar responde a ese contexto. El uso de la tecnología se convierte en una herramienta indispensable para responder el problema; la calculadora y la computadora ayudan a simplificar cálculos y a la construcción de gráficas.

Para la solución de este problema, se espera que los estudiantes primero determinen el rendimiento en kilómetros por litro para cada uno de los días observados, tal como se muestra en el siguiente cuadro:



Rendimiento en consumo de combustible de los vehículos de Pi lar y Beatr iz, en una muestra aleatoria de 10 días (Km por l i tro)


km l i tros km/l i tros

km l i tros km/l i tros

28,62 2,37 12,09

43,15 4,37 9,87

28,68 2,17 13,20

34,84 2,54 13,73

30,05 2,40 12,52

35,99 3,76 9,58

30,50 2,62 11,65

37,77 3,12 12,10

30,73 2,05 15,00

38,85 2,96 13,14

28,42 2,14 13,30

40,92 2,88 14,20

27,85 2,13 13,09

38,77 4,07 9,53

27,26 2,33 11,72

38,01 2,71 14,04

32,96 2,44 13,52

39,36 3,04 12,96

29,10 2,02 14,40

40,84 3,36 12,17

Con la información del rendimiento se puede determinar las principales medidas estadísticas.

Medidas estadíst icas correspondientes al rendimiento en consumo de combustible de los vehículos de Pilar y Beatr iz, en una muestra aleatoria de 10 días (Km por l i tro)


Promedio 13,05 12,13

Mediana 13,15 12,56

percentil 25 12,20 10,42

percentil 75 13,47 13,59

Desviación Estándar 1,10 1,84

Mínimo 11,65 9,53

Máximo 15,00 14,20

La información anterior es suficiente para determinar que según los datos, el vehículo de Pilar presentó un mayor rendimiento. Así lo muestran el promedio, la mediana y las otras medidas de posición desde el punto de vista de la variabilidad. También este vehículo fue más consistente en el rendimiento, tal como lo refleja la desviación estándar. Para favorecer una mayor visualización se puede construir un diagrama de cajas:


50


Esta representación comprueba lo indicado previamente.

El docente debe estar atento a que la combinación de técnicas estadísticas que puedan emplear los estudiantes sea acorde con los requerimientos del problema. Pero debe tener presente que la solución del mismo puede ser encontrada de muchas formas, es decir, no existe un mecanismo único que permita llegar a la respuesta, sino que muchos procedimientos pueden llegar a ella. Lo importante es que los argumentos en uno u otro caso estén debidamente fundamentados desde el punto de vista estadístico.

Predicciones estadísticas 51


Predicciones estadísticas Algunos de los resultados de análisis estadísticos sencillos pueden ser utilizados para predecir valores desconocidos por medio de la interpolación o extrapolación. Existen técnicas estadísticas especializadas para realizar esta labor. El análisis de dichas técnicas supera los propósitos de este curso. Sin embargo, es posible aprovechar las estrategias analizadas en esta unidad didáctica, aunque los resultados no sean tan precisos como los que se podrían generar mediante técnicas inferenciales.

Actividad 14.

En la municipalidad de un determinado cantón de Costa Rica, están muy preocupados por el alto porcentaje de desempleados que existen. Por ello, se pretende buscar alternativas de empleo en la comunidad, para lo cual se desea conocer el número aproximado de desempleados y algunas de sus características. Primeramente se deben identificar cuáles personas se catalogan como desempleados, pues no todas las personas adultas que no tienen empleo pueden ser catalogadas como tales. Niños y adolescentes, pensionados o adultos mayores, personas que dedican su tiempo a estudiar, rentistas, amas de casa, entre otros no forman parte de este grupo. De acuerdo con la CEPAL, el porcentaje de desempleo debe determinarse sobre la población económicamente activa, la cual se define así:

POBLACIÓN ECONÓMICAMENTE ACTIVA (PEA): En general se considera población económicamente activa al conjunto de personas, de uno u otro sexo, que están dispuestas a aportar su trabajo para la producción de bienes y servicios económicos. Generalmente cada país determina la edad de inicio de la investigación de actividad económica que puede variar en el tiempo y en distintas fuentes (censos y encuestas especializadas). El CELADE para lograr una mejor armonización de las cifras considera población económicamente activa aquella que, según lo establecido por cada país en cada momento o fuente sea considerada PEA y además tenga 15 o más años de edad.

http://www.cepal.org/celade/noticias/paginas/8/45838/Def_IND.pdf

Para lograr este y otros propósitos, los miembros del Consejo Municipal aplicaron una encuesta a una muestra aleatoria de 800 ciudadanos de todas las edades de un determinado cantón. Entre otras características se determinó el desempleo en la población económicamente activa del mismo.

Se comprobó que de las 800 personas incluidas en la encuesta 370 eran personas económicamente activas, de las cuales 46 estaban desocupadas. Suponga que la encuesta tenía un error máximo del 3,4%, con una probabilidad del 95%.

De acuerdo con las proyecciones de población del Instituto Nacional de Estadísticas y Censos, al momento de aplicar la encuesta el cantón contaba con 86 546 personas.


52


a) Estime el número de desempleados que se encontraban en el cantón al momento de aplicar la encuesta.

b) Utilice el margen de error para estimar nuevamente este número de desempleados. c) ¿Qué supuestos se debe tomar en cuenta para que la estimación hecha por usted no tenga errores

muy grandes?


La encuesta aplicada a las personas del cantón demostró que la población económicamente activa

representaba el !"#!""

∙ 100% = 46,25% de la población total del cantón, y que el porcentaje de desempleo en la

muestra fue del !"!"#

∙ 100% = 12,43%.

Si estos datos se aplican sobre dicha población, se tendría una estimación de población económicamente activa para el cantón de 0,4625 ∙ 86 546 ≈ 40 208 personas. Finalmente, la proyección de personas desempleadas para el cantón sería de 0,1243 ∙ 40 208 ≈ 4998. Esto quiere decir que al momento en que se aplicó la encuesta el número de personas desempleadas del cantón se estimaba en casi cinco mil.

Al utilizar el margen de error de encuesta que es de 3,4 puntos porcentuales, se tendría que el porcentaje de desempleo en el cantón estaría entre 12,43 − 3,4 = 9,03 y 12,43 + 3,4 = 15,46. Es decir, con una probabilidad del 95% se puede indicar que el porcentaje de desempleados del cantón se encuentra aproximadamente entre el 9,0% y el 15,5%. Por esta razón, con esta misma probabilidad se puede concluir que el número total de desempleados del cantón se encuentra entre 0,093 ∙ 40 208 ≈ 3739 y 0,1546 ∙ 40 208 ≈ 6216.

Para que estas estimaciones sean adecuadas, se debe suponer que la muestra aleatoria tomada es representativa de la población.

Este tipo de estimaciones puede realizarse también mediante el uso del promedio, en términos similares a los considerados para porcentajes.

Actividad 15

La empresa Nakar S. A. ha venido experimentando un incremento en sus ventas mensuales. A continuación se presenta la información correspondiente al periodo comprendido entre agosto 2014 y julio 2015.



Ventas mensuales de la empresa Nakar S.A. en el periodo agosto-2014 a jul io-2015 (miles de colones)

Mes Ventas

Ago-14 12 983 Sep-14 16 734 Oct-14 20 807 Nov-14 20 078 Dic-14 28 258 Ene-15 19 386 Feb-15 20 851 Mar-15 26 763 Abr-15 24 037 May-15 25 372 Jun-15 24 790 Jul-15 36 054

Fuente: Información suministrada por la Empresa Nakar S.A.

a.) Utilice esta información y una hoja de cálculo para proyectar las ventas que tendría la empresa en agosto del 2015 y en diciembre del 2015.

b.) ¿Qué supuestos deben considerarse para que estas proyecciones sean aceptables? ¿Cuál de ellas sería más precisa y por qué?


La información de la empresa es una serie de tiempo, que se puede visualizar mediante el siguiente gráfico:


Puede notarse que existe una tendencia aproximadamente lineal en la relación entre los meses transcurridos desde agosto 2014 y julio 2015 respecto a las ventas. Por esta razón la relación correspondiente se podría aproximar mediante una función lineal. Para simplificar la notación, se pueden numerar los meses iniciando en agosto 2014. Con el apoyo de una hoja de cálculo se puede determinar el siguiente gráfico:


54



La relación lineal 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 = 1311,2 ∙ 𝑥 + 14 486, donde x representa el número de mes sobre el que se requiere realizar la proyección, puede ser utilizada para proyectar las ventas de los meses de agosto 2015 (mes 13) y diciembre 2015 (mes 17), de la siguiente forma:

Para agosto del 2015 sería: 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 = 1311,2 ∙ 13 + 14 486 ≈ 31 532

Para diciembre del 2015 sería: 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 = 1311,2 ∙ 17 + 14 486 ≈ 36 776

El supuesto básico para que estas dos proyecciones no tengan un elevado margen de error, consiste en que el comportamiento de ventas mantenga la misma relación que ha venido experimentando en los últimos años. Por esta razón, se esperaría que fuera más precisa la proyección de agosto 2015 que la de diciembre 2015, debido a que está más cerca del periodo estudiado.

Análisis didáctico Como puede notarse en las actividades planteadas en esta sección, las estimaciones y proyecciones son de mucho valor práctico pues tienen gran aplicabilidad. Sin embargo, el docente debe ser muy precavido sobre el tipo de problemas que propone a los estudiantes, debe cerciorarse de que estos cuenten con los conocimientos previos y las herramientas didácticas apropiadas. A manera de ejemplo, la actividad 11.

Problema:

En una zapatería se estiman ventas diarias de 8 zapatos de hombre y 12 de mujer. La ganancia media en los zapatos de hombre es de ₡2000 mientras que en los zapatos de mujer la ganancia media es de

₡2500.



a) ¿Cuál es el monto correspondiente a las utilidades o ganancias promedio por cada par de zapatos? b) Suponga que la zapatería estuvo abierta 27 días durante el mes de julio del 2015 (cierra únicamente

los domingos) y se desea estimar la utilidad total obtenida por las ventas del mes. Realice la estimación.

Este problema puede ser implementado con estudiantes de décimo año. Además de potenciar las habilidades tendientes a uso del promedio ponderado, puede aprovecharse también el uso del promedio para generar la estimación correspondiente.

Como en promedio se venden 20 pares de zapatos por día (8 pares de hombre y 12 de mujer), se determinó que la utilidad promedio por cada par de zapatos es de ₡2300, entonces la utilidad estimada para las ventas

del mes de julio sería: 20 ∙ 27 ∙ ₡2300 = ₡1 242 000.

El docente debe aclarar a los estudiantes que dicha estimación está sujeta a los márgenes de error aleatorio con que se haya recolectado la información original.


56


Anexo: cálculo de medidas de variabilidad. De la discusión que se ha llevado a cabo en la unidad didáctica ha quedado en evidencia que el papel fundamental de la Estadística consiste en identificar los patrones de variabilidad en los datos con el propósito de asimilar el mensaje que comunican. De esta forma, todas las técnicas estadísticas incluidas en los documentos siguen dicho propósito, de modo que entre mayor complejidad en la variabilidad de los datos, más sofisticada debe ser la técnica estadística.

Además de identificar la variabilidad en los datos, es relevante medirla. Para este efecto se han desarrollado diferentes medidas o indicadores de variabilidad. En la unidad didáctica, se incluyen tres medidas para determinar la variabilidad absoluta y una para medir variabilidad relativa (esta última fue discutida con detalle en la unidad didáctica).

Las medidas de variabilidad o dispersión de los datos tienen por objetivo resumir a través de un solo valor la variabilidad de los datos de acuerdo con algún principio básico que caracterice esa medida.

El recorrido total o rango de los datos

Esta es la medida de variabilidad más simple, consiste en determinar el rango total de la variación de los datos, que como se vio anteriormente viene dado por la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto.

𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 = 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 −𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜

Representa la mayor diferencia entre los datos observados. Aunque esta medida es un referente de variabilidad, no es una buena medida debido a que depende exclusivamente de los valores extremos. Si uno de ellos (máximo o mínimo) se comporta muy diferente al resto de las observaciones, entonces el recorrido tiende a sobredimensionar la variabilidad.

El recorrido intercuartílico

El recorrido intercuartílico aglutina el 50% de los valores centrales, se determina por la diferencia entre los cuartiles tercero y primero:

𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡í𝑙𝑖𝑐𝑜 = 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑖𝑙 − 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙

Anexo 57


Esta medida se ha utilizado directa e indirectamente; la forma en que más se ha empleado es a través de los diagramas de cajas. Es mucho más precisa que el recorrido total, pues elimina la influencia de los valores extremos. Desde el punto de vista de la totalidad de los datos, es adecuado recurrir a una medida estadística que en su fórmula de cálculo incluya a todos los datos.

La variancia y la desviación estándar

Como se mencionó previamente, para medir la variabilidad de una forma más precisa, es necesario buscar una medida que en su cálculo utilice toda la información de los datos. En este sentido, la medida que mejor se ajusta a este principio consiste en determinar las diferencias o desviaciones de cada dato respecto al

promedio. Es decir, se tienen n datos X1, X2 ,!, Xn , en cualquier orden, los cuales se representan en la

recta numérica en la que también se ubica el promedio 𝑋 , como lo ilustra la figura siguiente:

La varianza y la desviación estándar se determinan utilizando la diferencia de cada dato con respecto al promedio, del siguiente modo:


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Se pueden calcular todas las diferencias de cada dato con el promedio, entre mayores sean dichas diferencias, en valor absoluto, mayor variabilidad presentan los datos y entre menores sean, menos variabilidad. A pesar de todo, si se suman estas diferencias, el resultado es cero. Justifique, ¿por qué ocurre eso? Por esta razón, para utilizar las diferencias o desviaciones sin que se anulen, se recurre a la suma de sus cuadrados:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 2 3 ... nX X X X X X X X− + − + − + + −

Pero debido a que esta suma normalmente toma valores muy altos, se tiende a dividir entre el número de datos n cuando se trabaja con una población, o entre n – 1 cuando se trabaja con una muestra. Las razones por las cuales no se utiliza el mismo denominador son eminentemente técnicas dentro de la teoría estadística.

Por lo anterior, se acostumbra definir la variancia de un grupo de datos X1, X2 ,!, Xn por medio de las

siguientes fórmulas:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 2 3

2 2 2 2

1 2 3

... si los datos conforman toda la población

...si los datos conforman una muestra

1

n

n

X X X X X X X X

nVariancia

X X X X X X X X

n

⎧ − + − + − + + −⎪⎪⎪= ⎨⎪

− + − + − + + −⎪⎪ −⎩

Cuando se desean comparar dos grupos de una misma naturaleza, será más variable aquel que tenga una mayor variancia. No obstante, debido a que esta medida está constituida por la suma de cuadrados de las desviaciones, las unidades de medida que tienen los datos quedan al cuadrado; para simplificar esto se acostumbra obtener la raíz cuadrada de la variancia. A esta nueva medida se le llama desviación estándar, y en este documento se le va a representar con Des_est. Por lo anterior, se tiene:

_Des est Variancia=

Anexo 59


Debido a que tanto la variancia como la desviación estándar han sido determinadas por una serie de operaciones matemáticas, se les puede catalogar como un índice de variabilidad, por lo que se va interpretar en función de su magnitud, es decir, entre mayores sean sus valores, mayor será la variabilidad del conjunto de datos.

Nota:

Se debe recordar que el cálculo de las medidas estadísticas juega un rol secundario dentro de los análisis estadísticos descriptivos, por lo que se puede efectuar manualmente con el apoyo de una calculadora científica que tenga funciones estadísticas, mediante el uso de la computadora, por medio de una hoja de cálculo o con un programa especializado. En cualquier procedimiento que se utilice se debe tener cuidado de si los datos conforman todas las observaciones de una población, o simplemente una muestra de ella, pues como se indicó previamente hay diferencias en la fórmula de cálculo.

En un curso universitario con un alto grado de dificultad, un estudiante debió realizar cinco exámenes parciales y debía obtener una nota mínima de 7,0 para aprobar la materia. Desafortunadamente, en el cuarto examen tuvo un problema de salud que afectó su concentración y le hizo obtener una baja calificación. Las notas obtenidas son las siguientes: 7,1; 7,5; 7,8; 2,8 y 8,0. De acuerdo con esta información determine la desviación estándar de las calificaciones.

Solución:

En primer lugar, se debe determinar la desviación estándar de las cinco calificaciones. Debido a que el promedio de estas cinco calificaciones es 𝑋 = 6,64, el cálculo de las desviaciones y variancia se resumen a continuación:

Calif icaciones X 𝑿 − 𝑿 𝑿 − 𝑿 𝟐 7,1 7,1 – 6,64 = 0,46 0,2116 8,0 8,0 – 6,64 = 1,36 1,8496 7,8 7,8 – 6,64 = 1,16 1,3456 2,8 2,8 – 6,64 = -3, 84 14,7456 7,5 7,5 – 6,64 = 0,86 0,7396

Suma 0 18,89

De acuerdo con lo anterior:

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 =18,894

= 4,7225 𝑦 𝐷𝑒𝑠_𝑒𝑠𝑡 ≈ 4,7225 ≈ 2,1731


60


Esto pareciera ser un valor alto para calificaciones con nota mínima de aprobación de 7,0 y nota máxima de 10. Pese a ello, debido a que la calificación del cuarto examen se puede considerar como atípica, pues esa baja calificación podría estar ocasionada por la enfermedad que sufrió el estudiante, se puede pensar en eliminar ese dato y repetir el cálculo. Ahora el promedio es 𝑋 = 7,60

Calif icaciones X 𝑿 − 𝑿 𝑿 − 𝑿 𝟐

7,1 7,1 – 7,60 = -0,50 0,25 8,0 8,0 – 7,60 = 0,40 0,16 7,8 7,8 – 7,60 = 0,20 0,04 7,5 7,5 – 7,60 = -0,10 0,01

Suma 0 0,46

Entonces, las nuevas medidas son:

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 =0,463

≈ 0,1533 𝑦 𝐷𝑒𝑠_𝑒𝑠𝑡 ≈ 0,1533 ≈ 0,3916

Puede notarse que la variabilidad se reduce drásticamente pues pasa de aproximadamente 2,17 a 0,39. Esto implica que, sin tomar en cuenta la nota del cuarto examen, el rendimiento promedio es de 7,60 con una desviación estándar de 0,39 aproximadamente, por lo que se refleja un rendimiento positivo y muy constante durante el curso.

Nota:

Observe que la suma de las desviaciones para los dos análisis es cero. Esto se debe a que los valores positivos y negativos que toman estas desviaciones se anulan. ¿Por qué ocurre esto?

Los cálculos del promedio y de la desviación estándar se pueden simplificar empleando una calculadora científica que tenga funciones estadísticas incorporadas, la estrategia para realizar esta labor es sumamente sencilla y puede consultarse en el manual correspondiente.

En general, el cálculo de medidas estadísticas se puede realizar mediante el uso de la computadora por medio de hojas de cálculo o de otros programas como geogebra o programas estadísticos especializados. Sin embargo, para el cálculo de los percentiles se pueden presentar pequeñas diferencias con los que se obtienen mediante las fórmulas dadas en el presente documento, debido a que pero este hecho no afecta los análisis generales.



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Créditos. La enseñanza de la Estadística: más allá de procedimientos y técnicas. Unidad didáctica. Segunda parte es un recurso del Curso bimodal de capacitación para docentes de la Educación Secundaria. Una actividad del Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica.

Este proyecto del Ministerio de Educación Pública es apoyado por la Fundación Costa Rica - Estados Unidos de América para la Cooperación.

Autor de la unidad didáctica del curso Edwin Chaves Esquivel

Revisores Javier Barquero Rodríguez, Luis Hernández Solís, Erasmo López López, Keibel Ramírez Campos, Ángel Ruiz, Marianela Zumbado Castro.

Revisión Filológica Julián Ruiz Blais

Edición gráfica Keibel Ramírez Campos

Director general del proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica. Ángel Ruiz

La imagen de la portada es cortesía de http://www.freedigitalphotos.net/

Para referenciar este documento: Ministerio de Educación Pública, Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica (2015). La enseñanza de la Estadística: más allá de procedimientos y técnicas. Unidad didáctica. Segunda parte. San José, Costa Rica: autor.

La enseñanza de la Estadística: más allá de procedimientos y técnicas. Unidad didáctica. Segunda parte, por Ministerio de Educación Pública de Costa Rica, Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica, se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.

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